COLE POLYTECHNIQUE FDRALE DE LAUSANNE

Circuits I - circuits lectriquesG. Gremaud

Equations constitutives des lments passifs

Rsistances

Equations constitutives des lments passifs

Capacits

Inductances

Equations constitutives des lments passifs

Equations de Kirchhoff dun rseau

Noeuds

Soit un circuit lectrique compos d'lments passifs constituant les branches du rseau et relis entre eux aux noeuds du rseau

Pour tudier le comportement lectrique d'un tel rseau, on doit faire appel aux quations de Kirchhoff, qui traduisent que:

le courant lectrique est une grandeur conserve

Mailles la tension lectrique est un potentiel

Elements passifs en srie et parallle

Rsistances en parallle

A l'aide des quations de Kirchhoff et des quations constitutives des lments, il est possible de trouver les quations diffrentielles qui rgissent un rseau lectrique.

Rsistances en srie

Equations diffrentielles dun circuit

Circuit RCL

Equations diffrentielles dun circuit

Introduisons alors les grandeurs dfinies comme suit

Grce ces nouveaux paramtres, on peut crire l'quation diffrentielle sous la forme suivante:

Cette quation est une quation diffrentielle extrmement courante en physique, qu'on appelle en gnral "l'quation de l'oscillateur harmonique amorti". Toute quation diffrentielle de ce type possde une solution qui est la somme:- d'une solution transitoire correspondant la rponse transitoire de la

sortie us(t), et calcule comme la solution de l'quation diffrentielle

sans second membre (avec ue = 0),- d'une solution permanente correspondant la rponse permanente us(t)

une entre ue(t) donne.

Solutions transitoires (oscillations libres)

Ces diffrentes solutions transitoires peuvent tre mises en vidence trs simplement si, l'instant t=o, on passe d'une tension d'entre constante ue(t) = ueo une tension nulle ue(t) = o :

La solution transitoire de l'quation diffrentielle peut prendre trois formes:

Solutions transitoires (oscillations libres)

Solutions transitoires (oscillations libres)

La rponse transitoire us(t) est appele oscillations libres et elle prend les allures suivantes :

Solutions permanentes (oscillations forces)

Signal dentre continu

Signal dentre harmonique

Solutions permanentes (oscillations forces)Gain A:

Solutions permanentes (oscillations forces)

Pour l'amortissement faible , l'amplitude A() passe par un maximum pour = r telle que

On parle alors d'un phnomne de rsonance, et la largeur de rsonance , mesure pour A() = Amax /21/2 , vaut:

On peut encore introduire la notion de facteur de qualit Q du circuit, dfini par la relation

Q mesure en fait l'acuit de rsonance ou slectivit du circuit rsonnant.

BattementsDans le cas d'amortissement faible , l'enclenchement de l'oscillation force l'instant t=o peut conduire l'apparition d'un rgime transitoire de battements entre la solution transitoire et la solution permanente, car

Les diplesOn appelle diple un ensemble dlments deux bornes

En rge gnral, le calcul dun diple fait appel au calcul complexe (voir annexe dans polycopi)

Les diples

Exemple: circuit rsonnant parallle

Les quadriplesSoit un rseau compliqu qu'on appelle un quadriple, de par l'existence de deux bornes d'entre et de deux bornes de sortie:

Si on impose une tension d'entre ue(t), la sortie us(t) sera appele la rponse du quadriple.

Un tel rseau peut tre reprsent par la "bote noire" suivante :

Si le rseau est constitu de rsistances, de condensateurs et de selfs, ce sont uniquement les rsistances qui fixeront la tension de sortie (self = court-circuit, condensateur = circuit ouvert), do

En rponse continue, on appelle gain A du circuit quadriple la grandeur:

Rponse continue des quadriples

Rponse harmonique des quadriples

Si l'on impose la tension d'entre harmonique, la rponse, dans le cas o le circuit est linaire, est du type

Cette rponse peut tre caractrise par la fonction de transfert du quadriple. Cette fonction de transfert joue un rle trs important en lectronique (amplificateurs, filtres, rglages automatiques, etc.).

Rponse harmonique des quadriples

Reprsentation relle de la fonction de transfert: le diagramme de Bode

La reprsentation relle de la fonction de transfert fait appel aux gain A et la phase respectivement, donns en fonction de la frquence du signal d'entre:

En gnral, on reprsente graphiquement 20 log10 A dans un diagramme en fonction du logarithme de la pulsation. Un tel diagramme, appel diagramme de Bode, a l'avantage de prsenter en gnral des droites. On exprime la pente de ces droites en dB/octave, un octave correspondant un doublement de la frquence.

Rponses temporelles des quadriples

L'entre ue(t) n'est pas toujours une fonction harmonique. Par exemple, on considre souvent les rponses d'un rseau des sollicitations de type indiciel ou impulsionnel

Dans ce cas, le calcul de la rponse temporelle du rseau quadriple peut se faire de plusieurs faons:

recherche de la rponse transitoire par rsolution des quations diffrentielles du rseau

utilisation de la transforme de Fourier lorsqu'on a affaire un signal d'entre priodique et qu'on s'intresse uniquement au rgime permanent de la rponse (cf .V.2.4)

utilisation du calcul oprationnel (transforme de Laplace) pour les signaux d'entre non priodiques (type indiciel, impulsionnel, etc.) et pour les rgimes transitoires survenant lors de l'application soudaine d'un signal l'instant t=0.

Rponses priodiques des quadriplesla transforme de Fourier

Lorsqu'on recherche la rponse d'un circuit quadriple un signal priodique quelconque (signal carr, triangulaire, etc.), on peut employer la transformation de Fourier, qui est base sur la proprit mathmatique suivante:

Tout signal priodique de priode T peut tre dcompos en somme de sinus et cosinus aux frquences harmoniques de la frquence de base du signal, sous la forme

Les coefficients an et bn se calculent par les intgrales suivantes:

Rponses priodiques des quadriplesla transforme de Fourier

Si le signal ue(t) est appliqu un quadriple avec une fonction de transfert connue

La rponse us(t) sera simplement donne par:

qui n'est rien d'autre que la reprsentation de Fourier du signal priodique de priode T prsent la sortie us(t).

Rponse des quadriples non-linaires:gnration dharmoniques et phnomnes chaotiques

Si le rseau considr contient des lments non-linaires, la rponse us(t) une sollicitation harmonique ue(t) dpend de l'amplitude ueo de la sollicitation, et la mthode du calcul complexe n'est alors plus utilisable!

Dans ce cas, la rponse une sollicitation harmonique ue(t) n'est plus harmonique:

Le signal de sortie us(t) contient en fait des harmoniques de la frquence fondamentale du signal d'entre. Ainsi, les circuits non-linaires conduisent la gnration d'harmoniques. Parfois mme, en prsence d'lments fortement non-linaires, il peut apparatre des phnomnes chaotiques: