Cours - Continuite 19

c Christophe Bertault - MPSI

Continuit

Dans tout ce chapitre, les lettres I, J . . . dsignent des runions finies dintervalles ventuellement des intervallesmais pas forcment.

1 Dfinitions et premires proprits

1.1 Dfinitions

Dfinition (Continuit en un point) Soient f : I R une fonction et a I . On dit que f est continue en a si lima

f

existe. On sait dans ce cas, f tant dfinie en a, que lima

f = f(a). On peut donc dire que, par dfinition, f est continue en

a si : f(x) =xa

f(a) + o(1), ou encore si :

> 0, > 0/ x I, |x a| < =f(x) f(a) < .

b

a

f(a)

f est continue en a.

b

bc

a

f(a)

f nest pas continue en a.

b

bc

a

f(a)

f nest pas continue en a.

Dfinition (Continuit sur une runion finie dintervalles) Soit f : I R une fonction. On dit que f est continuesur I si f est continue en tout point de I .

On note C(I,R) ou C0(I,R) lensemble des fonctions continues sur I valeurs dans R.

Exemple La fonction valeur absolue | | est continue sur R.

En effet Soit a R. Montrons que || est continue en a. Soit > 0. Pour tout x R :|x||a| 6 |xa| daprs

lingalit triangulaire amliore. Posons donc = . Comme voulu : x R, |xa| < =|x| |a| < .

Dfinition (Continuit gauche/ droite en un point) Soient f : I R une fonction et a I . On suppose fdfinie au voisinage de a gauche et droite.

On dit que f est continue gauche en a si f|I ],a] est continue en a, i.e. si lima

f = f(a).

On dit que f est continue droite en a si f|I[a,[ est continue en a, i.e. si lima+

f = f(a).

b

bc

a

f(a)f est continue en a gauche,

mais pas droite.

b

bc

a

f(a)f est continue en a droite,mais pas gauche.

Thorme (Caractrisation de la continuit laide des continuits gauche/ droite) Soient f : I R unefonction et a I . On suppose f dfinie au voisinage de a gauche et droite.

f est continue en a si et seulement si f est continue gauche et droite en a.

Dmonstration Nous avons dj montr ailleurs que : lima

f = f(a) lima

f = lima+

f = f(a).

1


Exemple La fonction partie entire est continue droite, mais pas gauche, en tout entier relatif.

En effet Soit n Z. Pour tout x [n, n+ 1[, x = n.

Par consquent limxn+

x = n = n et donc est continue droite en n.

Au contraire, pour tout x [n 1, n[, x = n 1.

Alors limxn

x = n 1 6= n = n et donc f nest pas continue gauche en n.b

b

b

b

b

bc

bc

bc

bc

bc

y = x

1.2 Prolongement par continuit en un point

Dfinition (Prolongement par continuit en un point) Soient a I R et f : I \{a} R une fonction. Si

lima

f existe et est finie, on dit que f est prolongeable par continuit en a. Le prolongement f de f obtenu en posant

f(a) = lima

f est alors continu en a.

bc

a

y = f(x)

b

a

f(a)

y = f(x)

Les fonctions f et f sont distinctes en toute rigueur puisquelles nont pas le mme domaine de dfinition, mais on choisitgnralement de noter encore f le prolongement f , histoire de simplifier.

Dmonstration Nous devons montrer que f est continue en a, i.e. que lima

f = f(a). Par dfinition de f , f et

f concident sur I \{a}, donc lgalit lim

af = f(a) peut tre crite ainsi :

> 0, > 0/ x I \{a}, |x a| < =

f(x) f(a) < .Cest presque le rsultat voulu mais pas tout fait, car f est aussi dfinie en a et il faut en tenir compte. Laproposition |x a| < =

f(x) f(a) < tant trivialement vraie pour x = a, on peut rcrire comme on le souhaite : > 0, > 0/ x I, |x a| < =

f(x) f(a) < . Exemple

La fonction x 7sin x

xnest pas dfinie en 0 mais on peut la prolonger par continuit en ce point en lui donnant la valeur

1 en 0, car limx0

sin x

x= 1.

La fonction x 7 x ln x nest pas dfinie en 0 mais on peut la prolonger par continuit en ce point en lui donnant la valeur0 en 0, car lim

x0x ln x = 0.

1.3 Caractrisation squentielle de la continuit

Thorme (Caractrisation squentielle de la continuit en un point) Soient f : I R une fonction et a I .Les assertions suivantes sont quivalentes :

(i) f est continue en a.

(ii) Pour toute suite (un)nN de limite a valeurs dans I , la suite(f(un)

)nN

a pour limite f(a).

Dmonstration Consquence immdiate de la caractrisation squentielle de la limite.

En pratique Ce thorme est le plus souvent utilis dans le contexte suivant, que nous connaissons bien : celuides suites dfinies par une relation de rcurrence de la forme un+1 = f(un) . Si (un)nN converge vers un rel et si fest dfinie et continue en , alors f() = .

2


Le rsultat suivant est une jolie application ultra-classique de la caractrisation squentielle de la continuit et de la densitde Q dans R.

Thorme (Equation fonctionnelle des homothties)

Soit f C(R,R). On suppose que pour tous x, y R : f(x+ y) = f(x) + f(y).Alors f est une homothtie, i.e. une fonction de la forme x 7 x pour un certain R.

Autre formulation : les endomorphismes du groupe (R,+) qui sont continus sur R sont exactement les homothties.

Dmonstration Soit f C(R,R). On suppose que f(x+ y) = f(x) + f(y) pour tous x, y R.

1) Montrons que f est impaire.Pour tout x R : 0 = f(0) = f

(x+ (x)

)= f(x) + f(x), donc en effet f(x) = f(x).

2) Montrons que pour tous x R et n N : f(nx) = nf(x). On fixe x R.

Initialisation : f(0.x) = f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) = 2f(0) = 2f(0.x), donc f(0.x) = 0 = 0.f(x).

Hrdit : Soit n N. On suppose que f(nx) = nf(x). Montrons que f((n+ 1)x

)= (n+ 1)f(x).

f((n+ 1)x

)= f(nx+ x) = f(nx) + f(x) = nf(x) + f(x) = (n+ 1)f(x).

3) Montrons que pour tous x R et n Z : f(nx) = nf(x).Daprs 2), il nous reste montrer le rsultat pour x R et n Z \ N. En loccurrence :

f(nx) = f( (n)x

) 1)= f

((n)x

) 2)=

nN(n)f(x) = nf(x).

4) On pose = f(1). Montrons que f|Q = IdQ.

Soit r =p

q Q, o p Z et q Z \

{0}. Alors qf(r) = f(qr) = f(p) = f(p.1) = pf(1) = p daprs 3), donc

f(r) = p

q= r.

5) Montrons que f = IdR.Soit x R. Comme Q est dense dans R, nous pouvons nous donner une suite de rationnels (rn)nN de limitex. Par continuit de f en x et daprs la caractrisation squentielle de la continuit : f(x) = lim

nf(rn).

Enfin : f(x) = limn

f(rn)4)= lim

nrn = lim

nrn = x.

1.4 Oprations sur la continuit

Que ce soit en un point ou sur un intervalle, les combinaisons linaires et le produit de deux fonctions continues sont continus.Mme chose pour linverse dune fonction qui ne sannule pas. Mme chose enfin pour la compose de deux fonctions composables.Ces rsultats dcoulent immdiatement des rsultats analogues que nous avons prouvs sur les limites de fonctions.

Exemple La fonction x 7[ln(x2 + e

1x

)]2est dfinie et continue sur R.

En effet Attention, pour la composition, il faut bien prciser les domaines manipuls !

La fonction x 71

xest continue sur R ( valeurs dans R) et la fonction x 7 ex lest sur R, donc par

composition x 7 e1x est continue sur R.

La fonction x 7 x2 est continue sur R, donc sur R. Par somme, x 7 x2 + e1x est continue sur R.

La fonction x 7 x2+e1x est continue sur R valeurs dans R+ et x 7 ln x est continue sur R

+, donc par

composition x 7 ln(x2 + e

1x

)est continue sur R ( valeurs dans R).

Enfin la fonction x 7 x2 est continue sur R. Le rsultat dcoule donc dune dernire composition.

3


2 Les grands thormes

2.1 Thorme des valeurs intermdiaires

La dfinition suivante nest quun rappel plus de dtails dans le chapitre Relations dordre .

Dfinition (Intervalle de R) On appelle intervalle (de R) toute partie I de R telle que :

x, y, t R,(x I et y I et x 6 t 6 y

)= t I .

Thorme (Thorme des valeurs intermdiaires ou TVI)

(i) Ici, I est un intervalle et on fixe a, b I . Soit f C(I,R). Alors tout rel compris entre f(a) et f(b) possdeau moins un antcdent par f entre a et b.

Autre version :

(ii) Limage dun intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Explication

Dessinez nimporte quelle fonction continue sur un intervalle, lassertion (ii) vousparatra aussitt claire. Il suffit dun point de discontinuit pour quelle soit fausse,comme on le voit bien sur la figure ci-contre. b

b

b

bc

Un intervalle

Pas un intervalle

$ $ $ Attention !

Lassertion (ii) affirme que si I est un intervalle et si f C(I,R), alorsf(I) est un intervalle. Elle ne dit pas que I et f(I) sont ncessairementdeux intervalles de mme nature. Par exemple, I peut tre ouvert et f(I)un segment, ou bien I peut tre semi-ouvert et f(I) ouvert, ou bien. . .

I

f(I)bc

bc

I ouvert,f(I) ferm.

I

f(I) b

I semi-ouvert,f(I) ouvert.Dmonstration

Commenons par montrer que lassertion (i) implique lassertion (ii). Soit f C(I,R), o I est un intervalle.Montrons que f(I) est un intervalle. Soient u, v f(I) et y R tels que u 6 y 6 v. Il sagit de montrer quey f(I). Ce qui est sr, cest que u = f(a) et v = f(b) pour certains a, b I . Daprs (i), du coup, y = f(x)pour un certain x compris entre a et b. En particulier x I car I est un intervalle, et enfin y = f(x) f(I).

Dmontrons maintenant (i). Pour simplifier, on suppose a 6 b et f(a) 6 y 6 f(b) raisonnement analogue

dans les autres cas et on note X lensemble{t [a, b]/ f(t) 6 y

}.

Comme f(a) 6 y, a X et donc X est une partie nonvide de R. Par ailleurs X est majore par b. La proprit dela borne suprieure nous garantit donc lexistence de supX,que nous notons x. Nous allons prouver lgalit y = f(x) enprouvant successivement que f(x) 6 y et f(x) > y. La figureci-contre illustre le bien-fond de cette dmarche.

Comme x = supX, nous savons que x est la limitedune suite (xn)nN dlments de X, et comme f(xn) 6 ypour tout n N, la caractrisation squentielle de la conti-nuit montre que f(x) = lim

nf(xn) 6 y.

y = f(x)

b

b

y

f(a)

f(b)

a bx

b b b

X

Si x = b, f(x) = f(b) > y par hypothse. Supposons donc x < b. Pour tout n assez grand, on peut

alors dire que x +1

n [a, b], mais par ailleurs x +

1

n/ X. Pour de tels n, f

(x+

1

n

)> y, donc aprs

passage la limite et utilisation de la continuit de f en x, f(x) > y.

4


Explication On aurait aussi pu prouver le TVI par dichotomie principe dj utilis pour la dmonstration duthorme de Bolzano-Weierstrass. Lide est la suivante : on part dun intervalle, on le coupe en deux, on conserve lune de sesmoitis et on rejette lautre, puis on recommence tout a un nombre infini de fois. A la fin avec de gros guillemets lintervalle a compltement fondu et il ne reste plus quun point. Bien sr, une grande question se pose : comment choisit-on lamoiti dintervalle quon conserve ? Pas au hasard en tout cas ! Nous avions un critre de slection adapt au contexte quandnous avons dmontr le thorme de Bolzano-Weierstrass, nous en aurons un autre spcifique pour le TVI.

Pour simplifier, plaons-nous dans le cas o a 6 b et f(a) 6 f(b) et posons a0 = a et b0 = b. A partir de lintervalle [a0, b0] = [a, b],nous allons construire par rcurrence de nouveaux intervalles plus petits [a1, b1], [a2, b2], . . . Plus prcisment, soit n N.Supposons quon ait dj construit des rels a0, a1, . . . , an, b0, b1, . . . , bn pour lesquels :

1) a = a0 6 a1 6 . . . 6 an 6 bn 6 bn1 6 . . . 6 b0 = b,

2) k J0, nK, bk ak =b a

2k,

3) k J0, nK, f(ak) 6 y 6 f(bk).

On dfinit au rang n+1 les rels an+1 et bn+1 de la manire suivante :

an+1 = an et bn+1 =an + bn

2si f

(an + bn

2

)> y

an+1 =an + bn

2et bn+1 = bn si f

(an + bn

2

)< y.

Il reste alors vrifier, pour achever la construction par rcurrence, que an+1 et bn+1 vrifient les proprits 1), 2) et 3) au rangn + 1 ce que nous ne ferons pas ici. Les suites (an)nN et (bn)nN ainsi construites sont alors adjacentes daprs 1) et 2),donc possdent une limite commune x [a, b]. Or si nous faisons tendre n vers dans 3), la caractrisation squentielle de lacontinuit montre que f(x) 6 y 6 f(x), i.e. que y = f(x). Fin de la preuve du TVI par dichotomie.

y = f(x)b

b

y

f(a)

f(b)

a = a0 b0 = ba1 b1a2 b2

a3 b3...

b

x

Le rel xconstruit par dichotomie

Exemple Lquation ex = x dinconnue x ]0, 1[ possde une solution.

En effet La fonction xf7 ex x est continue sur [0, 1] et f(1) =

1

e 1 6 0 6 1 = f(0). Du coup f(x) = 0

pour un certain x [0, 1] daprs le thorme des valeurs intermdiaires. Et videmment, x 6= 0 et x 6= 1.

Thorme (Corollaire strictement monotone du TVI) Soient a, b R tels que a < b.

(i) Soit f : [a, b] R une fonction continue et strictement croissante.Alors f est bijective de [a, b] sur

[f(a), f(b)

].

(ii) Soit f : [a, b[ R une fonction continue et strictement dcroissante.Alors f est bijective de [a, b[ sur

]limbf, f(a)

].

(iii) Soit f : ]a, b[ R une fonction continue et strictement croissante.Alors f est bijective de ]a, b[ sur

]lima

f, limbf[.

(i)

a b

b

b

f(a)

f(b)(ii)

a b

b

bc

limbf

f(a)(iii)

a b

bc

bc

lima

f

limbf

Il existe bien sr dautres versions du thorme selon que f est croissante ou dcroissante et dfinie ou non en a et b, avecventuellement a = et b =.

Dmonstration Contentons-nous du cas o f est strictement croissante sur [a, b[. Evidemment f est bijectivede [a, b[ sur son image f

([a, b[

), mais nous devons montrer que f

([a, b[

)=

[f(a), lim

bf[. En tout cas, daprs le

TVI, f([a, b[

)est un intervalle.

5


Or f(a) f([a, b[

)et f(a) minore f

([a, b[

)par croissance de f , donc f(a) = min f

([a, b[

). Egalement, en vertu

du thorme de la limite monotone, limb

f = sup f([a, b[

). Ainsi f

([a, b[

)est lun des intervalles

[f(a), lim

bf]ou[

f(a), limb

f[. Mais peut-on avoir lim

bf f

([a, b[

)? Il existerait dans ce cas x [a, b[ tel que f(x) = lim

bf , et

aussitt f serait constante gale limb

f sur [x, b[, ce qui contredirait la stricte croissance de f . Puisque donc

limb

f / f([a, b[

): f

([a, b[

)=[f(a), lim

bf[.

2.2 Thorme des bornes atteintes

Thorme (Thorme des bornes atteintes)

Toute fonction continue sur un segment y est borne et atteint ses bornes.

Autre version :

Limage dun segment par une fonction continue est un segment.

Explication

Le TVI montre que limage dun intervalle par une fonction continue est un intervalle. Nousavons cependant remarqu que limage dun intervalle ouvert (resp. semi-ouvert) nest pasncessairement un intervalle ouvert (resp. semi-ouvert). Le prsent thorme affirme quentout cas un segment est toujours transform en un segment.

a b

b

b

b

b

y = f(x)

$ $ $ Attention ! Insistons : sur un intervalle qui nest pas un segment, une fonction continue na aucune raison dtre

borne en gnral. Pensez la fonction tangente sur]

2,

2

[.

Dmonstration Soient a, b R avec a 6 b et f C([a, b],R

). Daprs le TVI, f

([a, b]

)est un intervalle.

Contentons-nous de montrer que f possde un maximum mme chose pour un minimum. La proprit de laborne suprieure dans R nous autorise poser s = sup f

([a, b]

) avec s = ventuellement. Il existe alors une

suite dlments de f([a, b]

)de limite s, bref, une suite (xn)nN dlments de [a, b] pour laquelle lim

nf(xn) = s.

En particulier, (xn)nN est borne, donc daprs le thorme de Bolzano-Weierstrass, possde une suite extraite(x(n)

)nN

convergente, disons de limite x [a, b]. Par continuit de f et daprs le thorme des suites extraites,

f(x) = limn

f(x(n)

)= s. En particulier s = f(x) R, donc s < , donc f est majore sur [a, b]. Mais lgalit

s = f(x) montre aussi que s est mieux quune borne suprieure : s = max f([a, b]

).

Exemple Toute fonction continue priodique dfinie sur R est borne.

En effet Soient T > 0 et f C(R,R) T -priodique. Alors f est borne sur [0, T ] daprs le thorme des bornesatteintes, donc pour un certain K R+ : x [0, T ],

f(x) 6 K.Soit x R. Puisque

x

T 1 f(y) ni dcroissante donc il existex, y I tels que x < y et f(x) < f(y).

Notons alors la fonction 7 f((1 )x + x

) f

((1 )y + y

)de [0, 1] dans R, continue comme

compose. Comme (0) = f(x) f(y) > 0 et (1) = f(x) f(y) < 0, alors (0) = 0 pour un certain0 ]0, 1[ daprs le TVI, i.e. f

((1 0)x+ 0x

)= f

((1 0)y + 0y

).

Pourtant : (1 0)x + 0x 6= (1 0)y + 0y

, sinon on aurait :

0 0(y

x).Conclusion : f nest pas injective !

Supposons prsent f strictement monotone sur I par exemple strictement croissante. Alors f raliseune bijection de I sur son image J un intervalle daprs le TVI et f1 : J I est croissante sur J .

Soit b J . Sous lhypothse que f1 est dfinie au voisinage de b gauche, nous montrerons seulement quef1 est continue gauche en b. En tout cas, daprs le thorme de la limite monotone, lim

ybf1(y) existe,

notons-la . Comme limx

f(x) = f() par continuit de f en , alors limyb

f(f1(y)

)= f() par composition,

i.e. f() = b, et donc enfin : limb

f1 = = f1(b).

Exemple Rappelons que nous avons tabli en dbut danne lexistence des fonctions arcsinus, arccosinus et arctangente aumoyen du corollaire strictement monotone du TVI, et leur continuit grce au prcdent thorme de continuit dune rciproque.

3 Lipschitzianit et continuit uniforme

Dfinition (Lipschitzianit) Soient f : I R une fonction et K R+. On dit que f est K-lipschitzienne sur I si :

x, y I,f(x) f(y) 6 K|x y|.

Explication

Bref, f estK-lipschitzienne sur I si pour tous x, y I distincts :

f(x) f(y)x y 6 K.

Or le quotientf(x) f(y)

x yest le coefficient directeur de la corde du graphe de f entre

les points dabscisses x et y. Dire que f est K-lipschitzienne sur I revient donc direque les pentes des cordes de son graphe sont majores par K en valeur absolue. Plusgnralement, dire que f est lipschitzienne revient dire que les pentes des cordes deson graphe sont bornes.Par exemple, la fonction reprsente ci-contre droite nest pas lipschitzienne car ilest facile de construire des cordes de pente aussi leve quon veut en valeur absoluedans les deux zones entoures en pointills.

b

On peut toujours ici trouverdes cordes aussi pentues quonveut, donc la fonction nest paslipschitzienne.

7


Pente +2

Pente 2

b

b b

b

b

Les figures de gauche et de droite illustrentla 2-lipschitziennet de la fonction repr-sente : les cordes issues de chaque pointont toutes un coefficient directeur comprisentre 2 et 2.

Pente +2

Pente 2

b

b b

b

Exemple La fonction x 7 |x| est 1-lipschitzienne sur R en vertu de lingalit triangulaire : x, y R,|x||y| 6 |xy|.

Exemple La fonction x 71

xest 1-lipschitzienne sur [1,[.

En effet Pour tous x, y [1,[ :

1x 1y =

x yxy = |x y||x|.|y| 6 |x y|.

Dfinition (Continuit uniforme) Soit f : I R une fonction. On dit que f est uniformment continue sur I si :

> 0, > 0/ x, y I, |x y| < =f(x) f(y) < .

Explication Dire que f est continue sur I , cest dire que f est continue en tout point y de I , cest--dire :

y I, > 0, > 0/ x I, |x y| < =f(x) f(y) < .

Avec la continuit, on se fixe donc un point y I et un niveau , et on rcupre un . Si on change de y ou de , on change apriori la valeur de .

Avec la continuit uniforme, on obtient un en ayant seulement fix un . Cet est donc valable pour tout pointy I . Ladjectif uniforme est prcisment l pour signifier cette indpendance de par rapport y.

b

b

1Pour une mme valeur de . . .

2

. . . on arrive trouver une valeur assez grande de pour la continuit en ce point. . .

3

. . . mais plus on sapproche de 0, plus la pente est grandeet plus les valeurs de quon trouve sont petites.

4

A cause de cette vanescence de en 0,aucune valeur de ne peut convenirpour tout point.Il ny a donc pas continuit uniforme.

Thorme

(i) Toute fonction uniformment continue sur un intervalle y est continue.

(ii) Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle y est uniformment continue donc continue.

Dmonstration Soit f : I R une fonction.

(i) Evident : sil existe un uniforme valable pour tout point, alors bien sr quil en existe un pour chacun !

(ii) Supposons f K-lipschitzienne sur I pour un certain K > 0. Soit > 0. Posons =

K. Alors pour tous

x, y I tels que |x y| < :f(x) f(y) K-lip.6 K|x y| < K = .

Le thorme prcdent nadmet pas de rciproque en gnral, sauf ci-dessous pour lassertion (i) dans le cas dun segment.

Thorme (Thorme de Heine) Toute fonction continue sur un segment y est uniformment continue.

8


Dmonstration Raisonnons par labsurde en supposant que f non uniformment continue sur [a, b]. Alorspour un certain > 0 : > 0, x, y [a, b]/ |x y| < et

f(x) f(y) > . Pour tout n N, nous pouvons donc nous donner xn, yn [a, b] tels que |xnyn| .

La suite (xn)nN tant borne entre a et b, elle possde une suite extraite convergente(x(n)

)nN

en vertudu thorme de Bolzano-Weierstrass, de limite un certain [a, b].

Comme limn

(n) = et |x(n) y(n)| la limite en utilisant la continuit de f en :

0 =f() f() > > 0 contradiction.

$ $ $ Attention ! Le thorme de Heine est vrai uniquement parce quil y est question de segments. Par exemple, la

fonction x 71

xest continue sur ]0, 1] mais elle ny est pas uniformment continue.

En effet Il sagit de montrer que : > 0/ > 0, x, y ]0, 1]/ |x y| < et

1x 1y > .

Posons = 1. Soit ensuite > 0 quelconque. Posons x = min{2, 1

}et y =

x

2. Il est alors vrai que x, y ]0, 1]

et en outre : |x y| =x x

2

= x2< et

1x 1y =

1x 2x = 1x > 1 = .

4 Extension aux fonctions complexes

Les notions de continuit en un point, sur une runion finie dintervalles et en un point gauche/ droite sont dfinies dansle cas complexe de la mme faon que dans le cas rel ceci prs que | | dsigne la fonction module et non la fonction valeurabsolue. On note C(I,C) ou C0(I,C) lensemble des fonctions continues sur I valeurs dans C.

Le rsultat suivant est une consquence immdiate de la caractrisation de la limite dune fonction complexe en un point laide de ses parties relle et imaginaire.

Thorme (Caractrisation de la continuit partir des parties relle et imaginaire) Soient f : I C unefonction et a I .

f est continue en a si et seulement si Re(f) et Im(f) le sont.

La caractrisation squentielle de la continuit est maintenue. De mme les oprations de combinaison linaire, produit etinverse sur les fonctions continues donnent lieu aux mmes rsultats que dans le cas rel.

Les grands thormes sur la continuit en premier lieu le TVI sont en revanche faux pour les fonctions complexes. Parexemple, limage du segment [0, 2] par la fonction continue t 7 eit est le cercle trigonomtrique, qui nest pas un intervalle.

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