Cours de Gnie ElectriqueG. CHAGNON2Table des matiresIntroduction 111 Quelques mathmatiques... 121.1 Gnralits sur les signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 Les classes de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2.1 Temps continu et temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2.2 Valeurs continues et valeurs discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2.3 Priode, frquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3 Energie, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3.1 Dnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3.2 Remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 La Transforme de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1.2 Dnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Proprits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2.1 Linarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2.2 Dcalage en temps/frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2.3 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2.4 Dilatation en temps/frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2.5 Conjugaison complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Reprsentation de Fourier des signaux dnergie innie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3.1 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3.2 Spectre des signaux priodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3.3 Cas particulier : peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3 Notion de ltre linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1 Linarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Gnralits 272.1 Le circuit lectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.1 Circuits lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Courant, tension, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2.1 Courant lectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2.2 Diffrence de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.2.3 Energie, puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2.4 Conventions gnrateur/rcepteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.3 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3.1 Loi des nuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Diples lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1 Le rsistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1.1 Leffet rsistif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1.2 Loi dOhm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134 TABLE DES MATIRES2.2.1.3 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1.4 Associations de rsistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 La bobine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2.1 Les effets inductif et auto-inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2.2 Caractristique tension/courant dune bobine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2.3 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3 Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3.1 Leffet capacitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3.2 Caractristique tension/courant dun condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3.3 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Rgime sinusodal, ou harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2 Puissance en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2.1 Puissance en rgime priodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2.2 Puissance instantane en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2.3 Puissance moyenne en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Reprsentation complexe dun signal harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.4 Impdances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.4.1 Rappel : caractristiques tension/courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.4.2 Impdance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.4.3 Associations dimpdances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Spectre et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1 Spectre dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1.2 Signaux multipriodiques et apriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 Du semi-conducteur aux transistors 423.1 Les semi-conducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1 Semi-conducteurs intrinsques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1.1 Rseau cristallin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1.2 Dnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2 Semi-conducteurs extrinsques de type n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2.1 Rseau cristallin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2.2 Dnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2.3 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.3 Semi-conducteurs extrinsques de type p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.3.1 Rseau cristallin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.3.2 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.3.3 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 La jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.4 Barrire de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.5 Caractristique lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.5.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.5.2 Dnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.5.3 Caractristique et dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Le transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1.2 Dnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1.3 Hypothse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.1.4 Transistor au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.2 Modes de fonctionnement du transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2.1 Dnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TABLE DES MATIRES 53.3.2.2 Blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2.3 Fonctionnement normal inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2.4 Fonctionnement normal inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2.5 Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Le transistor MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2 Dnitions et principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 Systmes analogiques 554.1 Reprsentation quadripolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.4 Impdances dentre/sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Contreraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1.2 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1.3 Un exemple dintrt du bouclage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.2 Un peu de vocabulaire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2.1 Les signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2.2 Les (( branches )) de la boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2.3 Les gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.3 Inuence dune perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.4 Exemples de systmes contreraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.4.1 Exemple dtaill : une le de voitures sur lautoroute . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.4.2 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Diagramme de Bode ; Gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.1 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.1.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.1.3 Les types de ltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.2 Gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Bruit dans les composants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.1 Densit spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2 Les types de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.2.1 Bruit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.2.2 Bruit de grenaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4.2.3 Bruit en 1/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4.2.4 Bruit en crneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.3 Bruit dans un diple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.3.1 Temprature quivalente de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.3.2 Rapport de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.4 Facteur de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.4.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.4.2 Temprature de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.4.3 Facteur de bruit dun quadriple passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.4.4 Thorme de Friiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Parasites radiolectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.1 Les sources de parasites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.2 Classication des parasites... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.2.1 ... par leur propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5.2.2 ... par leurs effets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5.3 Les parades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 TABLE DES MATIRES5 Systmes numriques 765.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1.2 Reprsentation logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1.3 Familles de portes logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Logique combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1 Les oprateurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1.1 Les oprateurs simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.1.3 Les oprateurs (( intermdiaires )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.2 Table de Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2.2 Code binaire rchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.3 Quelques fonctions plus volues de la logique combinatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.3.1 Codage, dcodage, transcodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.3.2 Multiplexage, dmultiplexage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2.4 Fonctions arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.4.1 Fonctions logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.4.2 Fonctions arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.5 Mmoire morte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.6 Le PAL et le PLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.6.1 Le PAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.6.2 Le PLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Logique squentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.1.1 Le caractre squentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3.1.2 Systmes synchrones et asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3.1.3 Exemple : bascule RS asynchrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3.2 Fonctions importantes de la logique squentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.2.1 Bascules simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.2.2 Bascules fonctionnement en deux temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.2.3 Registres (ensembles de bascules) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.3.3 Synthse des systmes squentiels synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.3.1 Registres de bascules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.3.2 Compteur programmable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.3.3 Unit centrale de contrle et de traitement (CPU) : microprocesseur. . . . . . . . . 945.4 Numrisation de linformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1 Le thorme de Shannon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1.1 Ncessit de lchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1.2 Exemple : chantillonnage dune sinusode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1.3 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4.2 Les chantillonneurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4.3 Convertisseur analogique/numrique (CAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.3.2 Les caractristiques dun CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.3.3 Quelques CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.4 Convertisseur numrique/analogique (CNA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.4.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.4.2 Un exemple de CNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.4.3 Applications des CNA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016 Transmission de linformation 1026.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.1.1 Quelques dates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.1.2 Ncessit dun conditionnement de linformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.1.3 Transports simultans des informations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.1.4 Introduction sur les modulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103TABLE DES MATIRES 76.2 Emission dinformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.1 Modulation damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.1.2 Modulation porteuse conserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.1.3 Modulation porteuse supprime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.2 Modulations angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.2.2 Aspect temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.2.3 Aspect frquentiel de la modulation de frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3 Rception dinformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3.1 Dmodulation damplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3.1.1 Dmodulation incohrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3.1.2 Dtection synchrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3.2 Dmodulation angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107 Notions dlectrotechnique 1127.1 Le transformateur monophas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.1.1 Description, principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.1.1.1 Ncessit du transformateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.1.1.2 Principe du transformateur statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.1.2 Les quations du transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.1.2.1 Conventions algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.1.2.2 Dtermination des forces lectromotrices induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.1.2.3 Le transformateur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2 Systmes triphass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.2.1 Dnition et classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.2.1.1 Dnition dun systme polyphas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.2.1.2 Systmes direct, inverse et homopolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.1.3 Proprits des systmes triphass quilibrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.2 Associations toile et triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2.2.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2.2.2 Association toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.2.3 Association triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.2.4 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.3 Grandeurs de phase et grandeurs de ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.3.1 Dnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.3.2 Relations dans le montage toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.3.3 Relations dans le montage triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.2.3.4 Bilan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.3 Les machines lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3.1.1 Mouvement dun conducteur dans un champ dinduction magntique uniforme . . . 1217.3.1.2 Le thorme de Ferraris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.2 La machine courant continu (MCC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.2.1 Principe de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.2.2 Ralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3.2.3 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3.2.4 Excitation parallle, excitation srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3.3 La machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.3.4 La machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.4 Conversion dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4.2 Les interrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.4.2.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.4.2.2 Les types dinterrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4.3 Le redressement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4.3.1 Montages diodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4.3.2 Montage thyristors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308 TABLE DES MATIRES7.4.4 Londulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.4.4.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.4.4.2 Exemple donduleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131A Table de transformes de Fourier usuelles 133A.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.2 Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134B Quelques thormes gnraux de llectricit 135B.1 Diviseur de tension, diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135B.1.1 Diviseur de tension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135B.1.2 Diviseur de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136B.2 Thorme de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136B.3 Thormes de Thvenin et Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137B.3.1 Thorme de Thvenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137B.3.2 Thorme de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138B.3.3 Relation entre les deux thormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138C LAmplicateur Oprationnel (AO) 139C.1 LAO idal en fonctionnement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.1.1 Reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.1.2 Caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.1.3 Exemple : montage amplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.2 LAO non idal en fonctionnement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.2.1 Reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.2.2 Caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.2.3 Exemples : montage amplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141C.2.3.1 Gain non inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141C.2.3.2 Impdance dentre non innie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141C.2.3.3 Rponse en frquence imparfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142C.3 LAO en fonctionnement non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142D Lignes de transmission 143D.1 Lignes sans perte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143D.1.1 Quelques types de lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143D.1.2 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143D.1.3 Rsolution de lquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144D.2 Interface entre deux lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144D.2.1 Coefcients de rexion/transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144D.2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145D.3 Ligne avec pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146D.3.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146D.3.2 Rsolution de lquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146E Rappels sur les nombres complexes 147E.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147E.2 Reprsentations algbrique et polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147E.2.1 Reprsentation algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147E.2.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147E.2.1.2 Rgles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148E.2.1.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148E.2.2 Reprsentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148E.2.2.1 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148E.2.2.2 Reprsentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149E.2.2.3 Rgles de calcul et conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149E.3 Tables rcapitulatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150E.3.1 Quelques nombres complexes remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150E.3.2 Rgles de calcul et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150TABLE DES MATIRES 9F Liste dabrviations usuelles en lectricit 151Index 15310 TABLE DES MATIRESIntroductionCe cours a pour but de prsenter rapidement le plus large ventail possible des connaissances de base en lectro-nique (analogique et numrique), lectrotechnique, traitement et transport du signal.Le premier chapitre, la lecture facultative, introduit la notion de transforme de Fourier et en tablit les pro-prits mathmatiques ;Le deuxime chapitre aborde les notions de base des circuits lectriques, et prsente une approche plus (( empi-rique )) des dnitions du chapitre prcdent ;le chapitre suivant expose rapidement les principes de fonctionnement des semi-conducteurs, et prsente suc-cintement transistors bipolaire et MOS ;Le quatrime regroupe sous le titre (( Systmes analogiques )) des champs aussi divers que les notions de ltrage,de bruit dans les composants, de contreraction, etc. ;Le chapitre suivant aborde les(( systmes numriques)) : circuits de logique combinatoire ou squentielle etquelques contraintes techniques lies au traitement numrique de linformation ;Le sixime chapitre expose brivement quelques modes de transport de linformation ;Le dernier introduit quelques concepts-clefs de llectrotechnique et de llectronique de puissance : transfor-mateur, systmes polyphass, machines lectriques et conversion dnergie ;On trouvera en n de polycopi quelques annexes et un index.11Chapitre 1Quelques mathmatiques...1.1 Gnralits sur les signaux1.1.1 IntroductionLe concept de signal est extrmement vaste :le relev en fonction du temps de lactionnement dun interrupteur ;une mission radiophonique ou tlvise ;une photographie...... sont autant de signaux diffrents.Un signal y dpend dune variable x, sous la forme gnrale1.1:y = o(x)avec y Cmet x CnOn se limitera, sauf mention contraire, au cas o m = 1 et n = 1. Le cas le plus courant est celui o x est en fait letemps t. Nous considrerons donc lavenir que les signaux que nous allons tudier sont des fonctions de t.1.1.2 Les classes de signauxLes signaux peuvent tre classs en diverses catgories :1.1.2.1 Temps continu et temps discretDans le premier cas, le signal x est une fonction continue du temps t.Exemple :1.1. Rappel : IN dsigne lensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ... 33, etc.), ZZ lensemble des entiers relatifs (-10, -4, 0, 1, etc.), Q lensembledes nombres rationnels (tous les nombres qui peuvent scrire sous la forme dune fraction), IR lensemble des nombres rels (tous les nombresrationnels, plus des nombres comme ,2,e, etc.), et C lensemble des nombres complexes.121.1. GNRALITS SUR LES SIGNAUX 136-Tempsx(t)FIG. 1.1 Signal temps continuOn notera souvent un tel signal sous la forme x(t), par exemple.Dans le deuxime, x nest dni quen un ensemble dnombrable de points.Exemple :6-Tempsx(t)FIG. 1.2 Signal temps discretOn notera souvent un tel signal sous la forme x(n), par exemple. Ces points sont souvent rpartis des intervallesde temps rguliers.1.1.2.2 Valeurs continues et valeurs discrtesDans le premier cas, le signal x peut prendre toutes les valeurs possibles dans un ensemble de dnition donn(exemple ] ; +2[ ou C). Un tel signal est galement appel analogique en rfrence llectronique.Dans le deuxime, le signal x ne peut prendre quun ensemble dnombrable de valeurs. Un tel signal est gale-ment appel numrique en rfrence llectronique.Exemple :6-Tempsx(t)FIG. 1.3 Signal valeurs discrtesNotezquelesquatrecombinaisonssontpossibles :lesgures1.1,1.2et1.3donnentainsirespectivementunexemple de signal analogique temps continu, de signal analogique temps discret, et de signal numrique tempscontinu.On se limitera dans la suite du chapitre aux signaux analogiques temps continu. On peut passer dun signalanalogique un signal numrique par chantillonnage : se reporter notamment au chapitre 5.4 pour plus de dtails.14 CHAPITRE 1. QUELQUES MATHMATIQUES...1.1.2.3 Priode, frquenceOn parle galement de signaux priodiques : un signal x est dit priodique de priode T, ou par anglicisme T-priodique, si pour tout instant t0, x(t0 +T) = x(t0) : le signal se rpte, identique lui-mme, au bout dun intervallede temps T.On dnit alors sa frquence f1.2parf=1TUne frquence est linverse dun temps, et sexprime en Hertz (Hz).1.1.3 Energie, puissance1.1.3.1 DnitionsEnergie : soit un signal x(t) temps continu, tel que + [x(t)[2dt existe et converge. Alors le signal est dit nergie nie et la valeur de cette intgrale est appele nergie du signal x1.3:Ex=

+[x(t)[2dt (1.1)Puissance : pour le mme type de signaux, on dnit galement la puissance, note Px, par :Px= lim+12

+[x(t)[2dt (1.2)1.1.3.2 Remarques1. Pour un signal priodique, lintgrale 1.1 ne converge pas. On peut nanmoins dnir la puissance dun signalx T-priodique par :Px=1T

(T)[x(t)[2dt2. Il existe des signaux ni priodiques, ni dnergie nie, pour lesquels la puissance ne peut tre dnie, commepar exemple la (( rampe )) x(t) = t.3. Il sagit l de dnitions mathmatiques. En pratique, un signal mesur ne lest jamais sur un intervalle detemps inni. Par exemple, on peut commencer visualiser un signal un instant quon prendra comme originedes temps, et dans ce cas on arrtera son examen au bout dun temps Tobs. Comme on ne sait pas ce que ce signaltait avant quon ne lobserve, ni ce quil deviendra aprs, il serait prsomptueux dutiliser les bornes et+dans lintgrale 1.1, et on se limitera donc lcrire sous la forme Tobs0[x(t)[2dt. Remarquons dailleursque cette dernire intgrale converge toujours.Ce quil faut retenirLes signaux peuvent tre valeurs discrtes ou continues ; temps discret ou continu ;1.2. Parfois note ( prononcer (( nu ))).1.3. Le symbole= dsigne une dnition.1.2. LA TRANSFORME DE FOURIER 15La priode dun signal est lintervalle de temps au bout duquel il se rpte identique lui-mme ; sa frquenceest linverse de la priode ;Lnergie dun signal x temps continu vaut :Ex=

+[x(t)[2dt1.2 La Transforme de Fourier1.2.1 Gnralits1.2.1.1 IntroductionCet outil fut introduit pour la premire fois par le physicien franais Joseph Fourier, pour ses travaux sur la conduc-tion de la chaleur au XIXesicle. Depuis lors, il a longuement t dvelopp, et des extensions en ont t proposes.Il existe plusieurs sortes de Transformes de Fourier, chacune adapte aux classes de signaux quelle analyse, ouau type de signal quelle gnre. On dnombre ainsi :une transforme continue pour les signaux temps continu : la Transforme de Fourier proprement parler ;une transforme continue pour les signaux temps discret : la Transforme de Fourier temps discret ;une transforme discrte pour les signaux priodiques temps continu : le dveloppement en srie de Fourier,ou Transforme de Fourier au sens des distributions ;une transforme discrte pour les signaux temps discret : la Transforme de Fourier Discrte.Nous allons nous limiter, pour ltablissement des proprits, la Transforme de Fourier continue des signaux temps continu.1.2.1.2 Dnitions1. Transforme de Fourier : soit un signalx(t) temps continu, tel que + [x(t)[dt converge1.4. On dnitalors la transforme de Fourier de x, note X() ou TF[x(t)], par :X()=

+x(t)ej2tdt (1.3)o j est tel que j2= 11.5. La transforme de Fourier permet de mesurer le (( contenu frquentiel )) dun signal, savoir la manire dont on peut le dcomposer en une somme de sinusodes de frquences .2. Transforme de Fourier inverse : si de plus x est nergie nie1.6, cette relation est inversible enx(t) =

+X()e+j2td (1.4)1.4. On dit alors que (( x L1)), ou que x est dintgrale (( absolument convergente )).1.5. On utilise la lettrejet noni comme en mathmatiques pour dsigner la racine carre(( classique)) de -1 pour viter la confusion avec lecourant i en lectricit.1.6. Rappel : + |x(t)|2dt converge.16 CHAPITRE 1. QUELQUES MATHMATIQUES...LoprationcorrespondanteestappeletransformationdeFourierinverse :ellepermetderevenirausignaltemporel x partir de son contenu frquentiel.Ces deux dnitions permettent de disposer de deux manires de dnir compltement un signal qui satisfait auxconditions dinversibilit de la transforme de Fourier. On peut le dnir :soit par sa reprsentation temporelle ;soit par sa reprsentation frquentielle.Ces deux domaines sont souvent appels (( duaux )) car leurs variables t et f sont lies par f= 1/t.Spectre : on appelle spectre de x le module de la transforme de Fourier de x:S() = [X()[1.2.2 PropritsPour toutes les dmonstrations suivantes, les signaux x et y sont dintgrales absolument convergentes. On noteraindiffremment X() ou TFx() la transforme de Fourier du signal x.1.2.2.1 LinaritSoient et deux nombres complexes quelconques. La linarit de lquation 1.3 entrane facilement que :TF(x +y) = TF(x) +TF(y) (1.5)1.2.2.2 Dcalage en temps/frquenceSoit t0 un rel strictement positif. Calculons TF[x(t t0)] :TF[x(t t0)] =

+x(t t0)ej2tdtOn effectue le changement de variable1.7u = t t0, et il vient :TF[x(t t0)] =

+x(u)ej2(u+t0)duDo :TF[x(t t0)] = e2jt0

+x(u)ej2uduEt donc :TF[x(t t0)] = ej2t0X() (1.6)Par symtrie dans les relations 1.3 et 1.4, on obtient de mme :TF[e+j20tx(t)] = X( 0) (1.7)1.7. Il faut vrier son caractre C1, cest--dire continu et drivable, et galement sassurer quil soit strictement monotone.1.2. LA TRANSFORME DE FOURIER 171.2.2.3 DrivationOn note x

(t) =dx/dt. Alors :TF[x

(t)] =

+x

(t)ej2tdtOn effectue une intgration par parties1.8en intgrant x(t) et en drivant lexponentielle complexe. On obtientalors :TF[x

(t)] = [x(t)ej2t]+ +j2

+x(t)ej2tdtCommexest, physiquement, ncessairementnul 1.9etquelexponentiellecomplexeyresteborne, lepremier terme de la somme devient nul et donc :TF[x

(t)] = j2X() (1.8)1.2.2.4 Dilatation en temps/frquenceSoit un rel non nul. Calculons TF[x(t)] :TF[x(t)] =

+x(t)ej2tdtEffectuons le changement de variable1.10u = t. Deux cas se prsentent alors:Soit > 0 ; alorsTF[x(t)] =1

+x(u)ej2uduEt doncTF[x(t)] =1X

avec > 0 (1.9)Soit < 0 ; alorsTF[x(t)] =1

+x(u)ej2udu = 1

+x(u)ej2uduEt doncTF[x(t)] = 1X

avec < 0 (1.10)Remarque : si on applique la formule 1.10 en posant = 1, on obtient TF[x(t)] = X(). On en dduit doncque la parit de la Transforme de Fourier est la mme que celle du signal original.1.8. Rappel sur lintgration par parties : Soient fet g deux fonctions drivables et dnies sur lintervalle [a,b], dont les drives sont continuessur ]a,b[. Alors :

baf

(t)g(t)dt = [f(t)g(t)]ba

baf(t)g

(t)dtavec [f(t)g(t)]ba= f(b)g(b) f(a)g(a)1.9. Un signal observ est toujours nul en car il ntait alors pas encore observ, et nul en +car il ne lest plus.1.10. cf. note 1.7.18 CHAPITRE 1. QUELQUES MATHMATIQUES...1.2.2.5 Conjugaison complexeOn note x le signal conjugu de x1.11. Calculons TF[x(t)] :TF[x(t)] =

+x(t)ej2tdt =

+x(t)e+j2tdt

Et donc :TF[x(t)] = X() (1.11)Remarque : si x est un signal rel, alors x(t) =x(t), donc X() = X(). Si de plus x est pair (ou impair),alorsx(t) =x(t)(respectivement x(t) =x(t))etenutilisantlaremarqueduparagraphe1.2.2.4, ilvientX() =X()(respectivement X() = X())doX() =X()et Xestrelle(respectivementimaginaire pure). En dnitive, on obtient le tableau rcapitulatif suivant :Signal x Pair ImpairRel X relle paire X imaginaire pure impaireImaginaire pur X imaginaire pure paire X relle impaire1.2.2.6 ConvolutionDnition: Soient deux signaux x et y valeurs continues et temps continu. On dnit le produit de convolutiondes deux signaux, ou plus simplement leur convolution, par :(x y)(t)=

+x()y(t )d (1.12)On vrie aisment que (x y)(t) = (y x)(t), cest--dire que la convolution est commutative, et donc que :

+x()y(t )d =

+x(t )y()d (1.13)Transforme de Fourier : Calculons TF[(x y)(t)]...TF[(x y)(t)] =

+

+x()y(t )d

ej2tdtOu :TF[(x y)(t)] =

+

+x()y(t )ej2tddtOn crit ej2t= ej2(t)ej2et on obtient, en regroupant :TF[(x y)(t)] =

+

+y(t )ej2(t)dt

x()ej2dDans lintgrale centrale, on effectue le changement de variable u = t ; il vient alors :TF[(x y)(t)] =

+

+y(u)ej2udu

x()ej2dOn peut ensuite sparer les variables, et on obtient :TF[(x y)(t)] =

+y(u)ej2udu

+x()ej2d

1.11. Autrement dit, si on crit x(t) sous la forme x(t) = x1(t) + jx2(t), alors x(t) = x1(t) jx2(t).1.2. LA TRANSFORME DE FOURIER 19Et donc :TF[(x y)(t)] = X()Y () (1.14)Par symtrie dans les relations 1.3 et 1.4, on obtient de mme :TF[(x.y)(t)] = (X Y )() (1.15)La transforme de Fourier de la convolution de deux signaux est le produit de leurs transformes de Fourier,et la transforme de Fourier inverse dune convolution de deux TF est le produit des deux transformes deFourier inverses.1.2.3 Reprsentation de Fourier des signaux dnergie innieLes signaux dnergie innie sont ceux pour lesquels lintgrale 1.1 ne converge pas.1.2.3.1 Impulsion de DiracDnition: on introduit (t), not impulsion de Dirac1.12, dni par sa transforme de Fourier, tel que :TF[(t)]= 1l (1.16)o 1l dsigne la fonction uniformment gale 1 sur IR.Plus (( physiquement )), est la limite quand T 0 du signal suivant :

`-T/2 T/21/T

`

`

`FIG. 1.4 Construction dune impulsion de DiracOn reprsente graphiquement cette impulsion ainsi :

`6 6Temps(t)t0(t t0)FIG. 1.5 Reprsentation schmatique dune impulsion de Dirac1.12. On dit parfois aussi (( pic )) de Dirac.20 CHAPITRE 1. QUELQUES MATHMATIQUES...Proprits : soit x un signal temps continu, dnergie nie.1. Calculons TF[x(t)(t)] : il sagit de la transforme de Fourier dun produit, donc en appliquant la formule 1.15,le rsultat est la convolution des deux transformes de Fourier :TF[x(t)(t)] =

+X(

)1l(

)d

=

+X(

)d

On crit 1 = e+j2

0, et on obtient :TF[x(t)(t)] =

+X(

)e+j2

0d

Or le membre de droite nest autre que la valeur prise par x(t) en t = 0 (cf. dnition 1.4 de la transforme deFourier inverse). Il vient donc :TF[x(t)(t)]() = x(0) (1.17)En particulier, pour = 0, on obtient facilement :

+x(t)(t)dt = x(0) (1.18)En gnralisant, on obtient galement facilement par un changement de variable :

+x(t)(t t0)dt = x(t0) (1.19)2. Calculons galement (x )(t) :(x )(t) = TF1[TF(x )] = TF1[X().1l] = TF1[X()] = xLimpulsion de Dirac est donc llment neutre de la convolution.3. La dnition 1.16 se traduit par :

+e+j2td = (t)mais galement par symtrie entre les relations 1.3 et 1.4, par :

+ej2tdt = () (1.20)4. Impulsion de Dirac et chelon de Heaviside. Lchelon de Heaviside est dni comme suit :0 t1u(t) = 0 pour t < 0u(t) = 1 pour t 0

FIG. 1.6 chelon de HeavisideSoient a et b deux rels non nuls, b > a. Calculons I = bau

(t)x(t)dt :

bau

(t)x(t)dt = [u(t)x(t)]ba

bau(t)x

(t)dten utilisant une intgration par parties (cf. note 1.8). Trois cas se prsentent alors :(a) a > 0 et b > 0 : alors u(b) = u(a) = 1, etI = u(b)x(b) u(a)x(a) (x(b) x(a)) = 01.2. LA TRANSFORME DE FOURIER 21(b) a < 0 et b < 0 : alors u(b) = u(a) = 0, etI = 0 0 +

ba0.x(t)dt = 0(c) a < 0 et b > 0 : alors u(b) = 1 et u(a) = 0, etI = x(b)

b0x

(t)dt = x(b) (x(b) x(0)) = x(0)Cette relation devant tre vrie quels que soient a et b, on obtient :

+u

(t)x(t)dt = x(0)En comparant avec la relation 1.18, et ces galits devant tre vries quel que soit le signal x, il vient doncqueu

(t) = (t) (1.21)La drive de lchelon de Heaviside est limpulsion de Dirac.1.2.3.2 Spectre des signaux priodiquesSoit x(t) un signal temps continu, de priode T. On admet que x est (( dveloppable en srie de Fourier )) sous laforme :x(t) =nZZxnej2ntT(1.22)avecxn =1T

(T)x(t)ej2ntTdt (1.23)Pour un signal x impair, son dveloppement en srie de Fourier se simplie enx(t) =nINn sin

2n tT

Si x est pair, on peut de mme crirex(t) =nINn cos

2n tT

Dans les deux cas, le coefcient1est l(( amplitude du fondamental )) et pourn>1 les coefcientsnsont lesamplitudes des (( harmoniques )). On peut alors dnir le taux dharmoniques par=1n>1nCalculons la Transforme de Fourier de x:X() =

+x(t)ej2tdt =

+

nZZxnej2ntT

ej2tdtEn admettant la validit de la permutation des symboles de somme et dintgration, on obtient :X() =nZZxn

+ej2ntTej2tdt

=nZZxn

+ej2(nT)tdt

Or la relation 1.20 donne +ej2(nT)tdt =

nT

donc :X() =nZZxn

nT

(1.24)22 CHAPITRE 1. QUELQUES MATHMATIQUES...Exemple : cas dun signal carr.On considre le signal T-priodique x(t) tel que :

x(t) = 1 pour T/4 < t < +T/4x(t) = 0 pour +T/4 < [t[ < Ttx(t)+T/4 T/4FIG. 1.7 Exemple de signal carrOn a alorsxn =1T

(T)x(t)ej2ntTdt =1T

+T/4T/4ej2ntTdt =1j2n(ejn/2e+jn/2) =1n sin n2En remarquant que seuls les termes dordre n impair sont non nuls, et en crivant dans ce cas n = 2k + 1, on obtientX() =1kZZ(1)k2k + 1

nT

1.2.3.3 Cas particulier : peigne de DiracDnition: on dnit le peigne de Dirac de priode Tpar la relation suivante :T(t)=nZZ(t nT) (1.25)Il se reprsente graphiquement comme suit :

`6 6 6 6(t)TempsT 2T -T(t +T) (t T) (t 2T)0FIG. 1.8 Peigne de DiracProprit : le peigne de Dirac est un signal priodique, de priodeT ; il est donc((dveloppable en srie deFourier )) :T(t) =nZZnej2ntTChacun des coefcients n vaut en vertu de la formule 1.23 :n =1T

+T/2T/2T(t)ej2ntTdtSoit :n =1TnZZ

+T/2T/2(t nT)ej2ntTdt1.2. LA TRANSFORME DE FOURIER 23Dans cette somme innie, seul le terme pourn=0 est non nul (les autres(((t nT))) sont nuls sur lintervalle

T2, +T2

). Il vient donc :n =1T

+T/2T/2(t)ej2ntTdtOn peut alors augmenter lintervalle de calcul de lintgrale sur lensemble IR entier, car(t) y est nul ; on obtientalors :n =1T

+(t)ej2ntTdtEt en utilisant la formule 1.18 il vient :n =1TEn notant T() la Transforme de Fourier du peigne T, il vient donc :T() =nZZn

nT

=1TnZZ

nT

=1T 1T()On peut alors retenir le rsultat suivant :La transforme de Fourier dun peigne de Dirac (en temps) est un peigne de Dirac (en frquence).Corollaire : Autre formule du peigne de Dirac. Utilisons la relation 1.4 de la transforme de Fourier inverse :T(t) =

+T()e+j2td =1TnZZ

+

nT

e+j2td

On applique alors la proprit 1.19, et il vient :T(t) =1TnZZej2nT tCe quil faut retenirLa dnition de la Transforme de Fourier ;Le spectre dun signal est le module de sa transforme de Fourier ;Les proprits de la TF, et plus spcialement la proprit lie la convolution :TF[x y(t)] = TF[x(t)].TF[y(t)]Llment neutre de la convolution est limpulsion de Dirac ; sa transforme de Fourier est la fonction contin-ment gale 1.24 CHAPITRE 1. QUELQUES MATHMATIQUES...1.3 Notion de ltre linaire1.3.1 LinaritOn considre un systme o quelconque, reprsent sous une forme de (( bote noire )), dentre x et de sortie y : x(t) y(t)oPar dnition, o est un systme linaire sil existe une fonction de deux variables h(t,) telle que :Si on est temps continu :y(t) =

+h(t,)x()d (1.26)Si on est temps discret :y(n) =mZZh(n,m)x(m)h est appele rponse impulsionnelle du systme. En effet, en tudiant la rponse du systme une impulsion, dansle cas par exemple de signaux temps continu, avec par exemple une impulsion retarde dun temps x(t) = (t),on obtient facilement en utilisant la formule 1.19 : y(t,) =h(t,). A priori, la rponse du systme dpend donc dumoment de lexcitation.Dans la suite du cours, on se limitera une fois encore aux signaux temps continu pour ltablissement des qua-tions.1.3.2 InvarianceComme il a t soulign dans le paragraphe prcdent, la rponse du systme dpend a priori de linstant o il estexcit. Linvariance est la traduction du fait que lon dsire que cette rponse ne dpende plus de cet instant. Autrementdit, si y(t) est la rponse au signal x(t), alors le signal x(t ) doit entraner la rponse y(t ).Soit donc le signal x1(t) ; son image par le systme o est le signal y1(t). On considre le signal x2(t) = x1(t )(il sagit du signalx1retard du temps) ; son image est le signaly2(t). On cherche avoiry2(t) =y1(t ).Traduisons cette galit en utilisant la relation 1.26 :

+h(t,)x2()d =

+h(t ,)x1()dSoit :

+h(t,)x1( )d =

+h(t ,u)x1(u)duOn effectue dans la premire intgrale le changement de variable u = ; il vient alors :

+h(t,u +)x1(u)du =

+h(t ,u)x1(u)duCette galit devant tre vrie quel que soit le signal x1, on a donc ncessairement :Quels que soient t, , u: h(t, +u) = h(t ,u)1.3. NOTION DE FILTRE LINAIRE 25En particulier, pour u = 0 on obtient :h(t,) = h(t ,0)La fonction de deux variablesh(t,) peut donc se mettre sous la forme dune fonction de la diffrence de ces deuxvariables. Par la suite, pour un systme linaire invariant, nous crirons donc plus simplement h(t,) =h(t ). Enremplaant dans lquation 1.26, on obtient :o est un systme linaire invariant y(t) =

+h(t )x()d (1.27)Soit plus simplement, en comparant avec la formule 1.12 :o est un systme linaire invariant y(t) = (h x)(t)La rponse dun systme linaire invariant une entre quelconque est la convolution de cette entre par la rponseimpulsionnelle du systme.1.3.3 Fonction de transfertSoit o un systme linaire invariant, et h sa rponse impulsionnelle. Appliquons lentre de o le signal x(t) =x0est, avec s C. En utilisant la relation 1.27, il vient :y(t) =

+h(t )x0esdSoit encore, en utilisant la commutativit de la convolution (formule 1.13) :y(t) = x0

+h()es(t)dOn peut alors (( sortir )) estde lintgrale :y(t) = (x0est).

+h()esd

Le premier terme du produit est en fait x(t). Le deuxime terme du produit ne dpend pas du temps, mais seulementde la variable s. Pour les mathmaticiens, ces deux remarques se traduisent par la constatation que les signaux de laforme estsont des signaux propres du systme o. On note le deuxime terme H(s) :H(s) =

+h()esdHest appele fonction de transfert de o. Dans le cas particulier os = j2, on reconnat dans lexpressionprcdente la transforme de Fourier de la rponse impulsionnelle h, et on parle alors de la fonction de transfert enrgime harmonique.La fonction de transfert en rgime harmonique est la transforme de Fourier de la rponse impulsionnelle,soit :H() =

+h()ej2d (1.28)Fonction de transfert et reprsentation complexe : On a dmontr que pour un systme linaire invariant o, defonction de transfert H(s), dans le cas o lentre tait de la forme x(t) =x0est, on avait la relation suivante entrelentrex et la sortiey:y(t)=H(s)x(t). Lorsque lon utilise la reprsentation complexe, en crivantx(t) sous la26 CHAPITRE 1. QUELQUES MATHMATIQUES...formex0ejt, la relation qui apparat lie directement les reprsentations complexes de lentre et de la sortie, et lafonction de transfert en rgime harmonique :y(t) = y0ejt= x0ejtH(j) = x(t)H(j)Ce quil faut retenirDans un ltre linaire invariant, la sortie est la convolution de lentre par la rponse impulsionnelle du systme.La Transforme de Fourier de la sortie est donc gale la Transforme de Fourier de lentre multiplie par cellede la rponse impulsionnelle, appele fonction de transfert ;Chapitre 2Gnralits2.1 Le circuit lectriqueLe but de cette partie est dintroduire quelques notions de base de llectricit dans son ensemble.2.1.1 Circuits lectriquesUn circuit lectrique est un ensemble de composants lectriques interconnects dune manire quelconque par desconducteurs.Un composant lectrique est :dans le cas le plus simple un lment deux bornes (on dit aussi un diple), que lon reprsente sous laforme suivante : abLes bornes a et b servent la connexion avec dautres composants. Dans cette catgorie on trouve parexemple les rsistors2.1, condensateurs2.1, bobines2.1, piles, etc.) ;danscertainscasunlmentplusdedeuxbornes. Parexemple, untransistorpossde3bornes, untransformateur peut en avoir 4 voire 6. Un composant quatre bornes est appel quadriple.Un conducteur est constitu dun matriau transportant bien le courant lectrique. Pour des raisons physiques,un bon conducteur lectrique est galement un bon conducteur thermique. On en trouve ainsi ralis en mtal, etsurtout en cuivre. Mais il est galement possible dutiliser un liquide conducteur, appel lectrolyte : lexemplele plus classique est leau sale.2.1.2 Courant, tension, puissance2.1.2.1 Courant lectriqueUn courant lectrique est un dplacement densemble ordonn de charges lectriques dans un conducteur. On lecaractrise par une grandeur, lintensit, dnie comme tant le dbit de charges lectriques dans le conducteur2.2.2.1. voir section 2.2.2.2. Lunit lgale de charge lectrique est le Coulomb (symbole C). Par exemple, un lectron porte une charge lmentaire ngative, note e, etvalant e 1,61019C.2728 CHAPITRE 2. GNRALITSCette grandeur est souvent note I. Quand, pendant un temps dt, il passe dq Coulombs, lintensit vautI =dqdtLunit lgale dans laquelle sexprime lintensit du courant lectrique est lampre (symbole A). Le courant dans leschma dun circuit lectrique est reprsent par une che. Il est noter que du fait de la dnition de lintensit(I = +dqdt) et de la charge de llectron (charge ngative), le sens de dplacement effectif des lectrons est loppos dusens positif du courant2.3.On reprsente un courant lectrique par une che sur un conducteur, indiquant le sens positif de lintensit :iCette che indique que si les lectrons passent de droite gauche, on comptera une intensit positive ; ngative silsvont de gauche droite.2.1.2.2 Diffrence de potentielAu repos, les charges lectriques dun conducteur sont en mouvement continuel sous leffet de lagitation ther-mique :

-

Cependant, ce mouvement, une vitesse non nulle, ne se traduit pas par un dplacement global susceptible de setraduire en courant lectrique. Pour mettre en mouvement ces charges dans une direction donne, il est ncessairedappliquer un champ lectrique aux bornes du conducteur. En appliquant le potentiel lectrique V1 et le potentiel V2 ces deux bornes, on cre une diffrence de potentiel qui met les lectrons2.4en mouvement2.5.La valeur de la diffrence de potentiel est appele la tension , et son unit est le Volt (symbole V). Le Volt est dnide telle manire quune charge dun Coulomb acclre sous une tension de 1V acquiert une nergie de 1J : 1V=1J/C.On reprsente une diffrence de potentiel par une che ct du composant, comme sur le schma suivant :TV1V2V2V1Dans le bas de ce schma, les symboles rays indiquent la rfrence de potentiel nulle, appele la masse, par rapport laquelle sont dnis les potentiels V1 et V2.2.3. Cette petite incohrence a des origines historiques, llectron ayant t dcouvert aprs la formalisation du phnomne lectrique.2.4. L o des lectrons(( manquent)) dans la structure cristalline du mtal, on trouve des(( trous)), ou absence dlectrons, que lon considrecomme tant de petites charges positives, galement susceptibles dtre mises en mouvement.2.5. Rappel sur la force de Laplace : quand une charge lectrique q est place dans un champ lectriqueE, elle est soumise une force F= qE.2.1. LE CIRCUIT LECTRIQUE 292.1.2.3 Energie, puissanceAinsiquonlasoulignauparagrapheprcdent,lapplicationdunediffrencedepotentielauxbornesdunconducteur permet de mettre en mouvement les charges lectriques libres quil renferme. Ce faisant, on leur a com-muniqu de lnergie cintique en apportant de lnergie lectrostatique sous la forme de la diffrence de potentielimpose. En se ramenant une unit de temps, on peut introduire une puissance lectrique dnie comme tant leproduit de la tension par le ux de charges par unit de temps dans le conducteur, autrement dit par lintensit. Il estfacile de vrier que ce produit est effectivement homogne une puissance : 1V.1A=1(J/C).1(C/s)=1(J/s)=1W.2.1.2.4 Conventions gnrateur/rcepteurIl est possible de (( rafner )) cette notion de puissance lectrique en distinguant les composants (( gnrateurs )) depuissance de ceux qui se (( contentent )) de la recevoir.Convention rcepteur : considrons un diple que lon qualiera de (( passif )) , uniquement capable de recevoirde lnergie lectrique. On impose aux bornes de ce diple une ddp V2 V1, avec V2>V1. Les lectrons, decharges ngatives, vont se diriger vers le ple de potentiel le plus lev. Par consquent, le courant sera positifdans le sens contraire. Il sensuit que lon peut dnir une convention rcepteur pour les sens positifs des courantet tensions, comme suit :TV2V1> 0I> 0SensdeslectronsOn notera que la che de la tension et celle du courant sont de sens opposs.Convention gnrateur : cette convention est la (( duale )) de la prcdente. Il sagit cette fois-ci pour le dipledimposerlatensionsesbornesetlintensitducourantquiletraverse. Enfait, ondnitlaconventiongnrateur daprs la convention rcepteur. Si lon veut pouvoir brancher lun en face lautre un rcepteur et ungnrateur, il faut ncessairement que les conventions de signe pour ce dernier soient les suivantes, pour quilny ait pas dincompatibilit entre les dnitions :TV2V1> 0I> 0SensdeslectronsOn notera que cette fois-ci, les deux ches sont dans le mme sens.30 CHAPITRE 2. GNRALITS2.1.3 Lois de Kirchhoff2.1.3.1 Loi des nudsCette loi se dduit facilement de la notion de courant lectrique. Supposons que lon ait un ux i0 =dq1dtdlectronsdans un conducteur arrivant un (( embranchement )) dun circuit lectrique :i0i1i2Les lectrons venant de la(( gauche)) partiront soit dans la premire, soit dans la deuxime branche. Mais le nombretotal dlectrons par seconde restera le mme que celui qui arrive en permanence par la gauche, et donc i0 =i1 + i2(avec les sens des courants dnis suivant la gure prcdente).Dans la thorie des rseaux de Kirchhoff, un nud est un point de convergence de plusieurs conducteurs.Plus gnralement, si on considre n conducteurs arrivant au mme point O, avec les sens positifs des courants indnis comme suit, vers O...Oin-`i1i2i3i4La loi des nuds stipule alors que la somme algbrique des courants arrivant un nud est constamment nulle :nk=1ik = 02.1.3.2 Loi des maillesCette loi dcoule de la remarque selon laquelle entre deux points quelconques, la diffrence de potentiel est biendnie. Considrons par exemple trois points A, B et C. On mesure entre A et B la tension VAB = VBVA, entre Aet C la tension V1 et entre C et B la tension V2 :ABCVABV1V2Par dnition de V1, on a V1 = VCVA et de mme pour V2, V2 = VBVC. Il sensuit que V1 +V2 = (VCVA) +(VBVC) = VBVA = VAB. Cela sapparente une relation vectorielle.2.2. DIPLES LECTRIQUES 31Dans la thorie des rseaux de Kirchhoff, une maille est une (( chane )) de conducteurs et de composants lectriques,partant dun point, et arrivant ce mme point, par exemple :mailleA1A2A3A4 A5A6A7La loi des mailles stipule que la somme algbrique des tensions le long de la maille est constamment nulle :nk=2VAkAk1 = 0Ce quil faut retenirce que sont le courant lectrique (un ux dlectrons), sa mesure (lintensit), et la tension ;la notion dnergie et de puissance lectriques ;les lois des nuds et des mailles.2.2 Diples lectriques2.2.1 Le rsistor2.2.1.1 Leffet rsistifOn considre un conducteur, aux bornes duquel on impose une diffrence de potentiel. On a dj indiqu quece conducteur serait alors travers par un courant lectrique, un ux dlectrons. Cependant, tous les matriaux ne(( conduisent )) pas llectricit aussi facilement : certains offrent plus ou moins de rsistance au passage des lectrons.Cest ce phnomne que lon appelle leffet rsistif.2.2.1.2 Loi dOhmCette loi exprime que certains matriaux ont une rponse linaire en courant une diffrence de potentiel impose.Si lon considre un tel diple, not T aux bornes duquel on impose la diffrence de potention U, et travers par le32 CHAPITRE 2. GNRALITScourant i. Ce diple est un rsistor :TUiQuel que soit linstant t, U et i vrient la relation de proportionnalitU(t) = R.i(t)o R est appele rsistance du rsistor, et sexprime en Ohms , en abbrg . Linverse de la rsistance est la conduc-tance , souvent note G, et sexprime en Siemens (abbrviation S) : G = 1/R.2.2.1.3 Aspect nergtiqueOn a dj dit que la rsistance traduisait la (( difcult )) avec laquelle les lectrons peuvent circuler dans le matriau.Cette difcult saccompagne dun chauffement : cest ce quon appelle leffet Joule. Cet chauffement, du point devue du circuit lectrique, est une perte dnergie par dissipation thermique. Pour une rsistance R, parcourue par uncourant i et aux bornes de laquelle on mesure la tension U, cette puissance perdue PJ est gale :PJ= Ri2=U2RPar exemple, une rsistance R = 10 parcourue par un courant de i = 0,5 A dissipe 2,5 W.2.2.1.4 Associations de rsistorsConsidrons deux rsistancesR1etR2. On peut les associer de deux manires : soit elles sont parcourues parle mme courant (association en srie), soit elles sont soumises la mme diffrence de potentiel (association enparallle). On cherche dans chaque cas la rsistance R quivalente lensemble de R1 et R2.1. Association en srie ; les deux rsistances sont associes ainsi :R1R2iU1U2RUiULa loi des mailles (paragraphe 2.1.3.2) nous permet dcrire U= U1+U2. Or on a aussi U1 = R1i et U2 = R2i.Il vient donc U= (R1 +R2)i, soit R = R1 +R2 :La rsistance quivalente deux rsistances mises en srie est gale la somme des rsistances.2.2. DIPLES LECTRIQUES 332. Association en parallle ; les deux rsistances sont associes ainsi :R1 = 1/G1R2 = 1/G2R = 1/GiiUUi1i2On note leurs conductances respectives G1,G2 et la conductance quivalente G. La loi des nuds (paragraphe 2.1.3.1)nous permet dcrire i =i1 + i2. Or on a aussi i1=G1Uet i2=G2U. Il vient donc i = (G1 + G2)U, soitG = G1 +G2 :La conductance quivalente deux conductances mises en parallle est gale la somme des conduc-tances.Autrement dit, linverse de la rsistance quivalente est gale la somme des inverses des rsistances.2.2.2 La bobine2.2.2.1 Les effets inductif et auto-inductifConsidrons deux conducteurs. On fait circuler dans lun de ces conducteurs un courant lectrique :iCe courant cre un champ dinduction magntique. Si de plus le courant est variable, le champ ainsi cr est lui-mmevariable et est responsable de lapparition dun courant dit induit dans le deuxime conducteur : cest leffet inductif.Dans le mme temps, le champ dinduction magntique rtroagit sur le courant qui la cr, en ralentissant sa vitessede variation. Cest leffet auto-inductif.2.2.2.2 Caractristique tension/courant dune bobineOn dnit le coefcient dinduction magntique de la bobine par le rapport entre le ux dinduction magntique travers le circuit2.6, et le courant qui lui donne naissance ; on le note L:L(t) =(t)i(t)Or la diffrence de potentiel u apparaissant grce leffet auto-inductif aux bornes de la bobine est gale u =ddt . Ilvient doncu(t) = Ldidto L est appele linductance de la bobine et sexprime en Henri (H). Dans un circuit lectrique, on reprsente unebobine sous la forme suivante :iuL2.6. En rsum, le produit du champ magntique par la surface enserre par le circuit.34 CHAPITRE 2. GNRALITS2.2.2.3 Aspect nergtiqueLe phnomne physique correspond au stockage dnergie sous forme magntique. Le stockage est momentan etlnergie est restitue au circuit en courant. Lnergie accumule par la bobine vaut :Emag(t) =12Li(t)22.2.3 Le condensateur2.2.3.1 Leffet capacitifLorquon applique une diffrence de potentiel deux conducteurs isols, on assiste une accumulation de chargespar effet lectrostatique. Cest leffet capacitif. Il peut tre recherch et dans ce cas on fabrique des composants sp-cialiss qui lui font appel, les condensateurs, ou bien ntre quun parasite. Il tend retarder les signaux.2.2.3.2 Caractristique tension/courant dun condensateurPour un circuit donn, on dnit sa capacit C comme le rapport de la charge accumule sur la tension applique ses bornes :C =quLunit de C est le Farad (F).Or le courant est la drive de la charge par unit de temps (cf 2.1.2.1) : i(t) =dqdtdonc il vient :i(t) = CdudtOn reprsente un condensateur sous la forme suivante :iuC2.2.3.3 Aspect nergtiqueLe phnomne physique correspond au stockage dnergie sous forme lectrostatique. Le stockage est momentanet cette nergie est restitue au circuit sous forme de tension. Lnergie accumule par le condensateur vaut :Estat =12Cu(t)2Ce quil faut retenirrsistor et rsistance ; condensateur et capacit ; bobine et inductance ;2.3. RGIME SINUSODAL, OU HARMONIQUE 35les lois dassociation en srie et en parallle des rsistances.2.3 Rgime sinusodal, ou harmonique2.3.1 DnitionsUn signal harmonique, ou en utilisant une analogie avec la lumire, monochromatique, est un signal sinusodal, defrquence donne. La reprsentation (( classique )) de ce signal se fait sous la forme relle :x(t) = x0 sin 2t ou x(t) = X2 sin 2tx0est appel amplitude et Xvaleur efcace dex. On peut poser=2f : est appele pulsation (ou vitesseangulaire pour certaines applications).2.3.2 Puissance en rgime sinusodal2.3.2.1 Puissance en rgime priodiqueOn considre un diple T en convention rcepteur:TiuOn dnit la puissance instantane dissipe dans le diple parp(t) = u(t)i(t)En rgime priodique2.7, avec tension et courant de priode T, on peut dnir galement la puissance moyenne parP=1T

(T)p(t)dt =1T

(T)u(t)i(t)dt2.3.2.2 Puissance instantane en rgime sinusodalSupposons que u(t) = U2 cos t et i(t) = I2 cos (t ). Il vient alors, aprs quelques calculs :p(t) = UI[cos + cos (2t )]La puissance instantane est donc la somme dun terme constant (UI cos ) et dun terme variable frquence doublede la frquence initiale (UI cos (2t )). Il sensuit que dans le cas gnral ( = 0 et = ), le signe de p(t) varieau cours du temps : le diple est tour tour gnrateur puis rcepteur de puissance lectrique.2.7. Sinusodal ou non...36 CHAPITRE 2. GNRALITS2.3.2.3 Puissance moyenne en rgime sinusodal1. Puissance active : On la dnit par P= UI cos . On lappelle puissance active car cest elle qui est rellementutile (par exemple, dans un moteur, cest la puissance active qui est transforme en puissance mcanique, auxpertes prs). Deux cas se prsentent : /2 < < +/2 : P> 0, ce qui signie que le diple est rcepteur de puissance ;+/2 < < + : P< 0, ce qui signie que le diple est metteur de puissance.Cas dun condensateur ou dune bobine :Condensateur : on a i(t) = Cdu(t)dtdonc si u(t) = U2 cos t, alorsi(t) = CU2 sin t = (CU). .. .I2 cos [t (/2)]On en dduit que= /2, et donc que dans le cas dun condensateur parfait, la puissance active estnulle.Bobine : on a de mme u(t) =Ldi(t)dt, qui nous amne facilement = +/2, et donc galement unepuissance active nulle.2. Puissance ractive : On ne peut pas faire de diffrence, simplement en examinant le bilan de puissance active,entre un condensateur et une bobine. Par symtrie avec la dnition de la puissance active, on dnit la puissanceractive, souvent note Q, par Q = UI sin . Lunit de puissance ractive est le Volt Ampre Ractif (VAR).Quand 0 0 et on dit que le diple est de type inductif. Quand /2 < 0, Q< 0 et lediple est dit capacitif2.8.3. Puissance apparente : P =UI cos et Q=UI sin amnent naturellement dnirlaquantitS =

P2+Q2= UI, appele puissance apparente.Il vient alors P= S cos : cos est donc un facteur mesurant lefcacit de production de puissance active dusystme, et est appel facteur de puissance .2.3.3 Reprsentation complexe dun signal harmoniqueOn considre un signal harmonique x(t) = x0 cos t. On dnit alors sa reprsentation complexe x sous la forme x(t) = x0ejtOn identiera par la suite x et x, et on crira donc souvent par abus de notation : x(t) =x0ejt. On verra plus tardque lutilisation de la reprsentation complexe permet de simplier les calculs. Pour repasser ensuite dans le domainerel, il suft de prendre la partie imaginaire2.9du rsultat des calculs2.10: x(t) = [ x(t)].Drivation: A partir de la forme complexe, il est ais dtablir une relation entre un signal x(t) et sa drive parrapport au temps. En effet, si x(t) = x0ejt, alorsdxdt= (j)x0ejt= j

x0ejt

, soit :dxdt= jxDe mme, pour intgrer un signal, il suft de diviser sa reprsentation complexe par j.Expression de la puissance en notation complexe : Lexpression utilisable en notations relles et donne dans leparagraphe 2.3.2.2 ne lest plus quand on manipule les reprsentations complexes. La puissance instantane devientp(t) =12'

u(t)i(t)

2.8. Attention : si lon change la dnition du dphasage et que lon pose par exemple i(t)=I2 cos (t + ), alors la puissance ractive estdnie par Q = UI sin.2.9. On peut galement dnir la reprsentation complexe partir de x(t)=x0 cos 2t, auquel cas pour revenir la reprsentation relle dusignal il faut prendre la partie relle.2.10. Les signes (z) et (z) dsignent respectivement les parties relle et imaginaire du nombre complexe z.2.3. RGIME SINUSODAL, OU HARMONIQUE 37oi(t) dsigne la quantit complexe conjugue du courant. La puissance moyenne scrit alorsP=12T'

(T)p(t)dt =12T'

(T)u(t)i(t)dt2.3.4 Impdances2.3.4.1 Rappel : caractristiques tension/courantOn considre un diple, parcouru par un courant i, et aux bornes duquel on mesure la tension u:Nom Rsistance Condensateur BobineSchma

,iuR

,iuC

i,uLExpression de la loi dOhm u = Ri i =Cdudtu =LdidtTAB. 2.1 Relations entre u et i en rel2.3.4.2 Impdance complexePour un diple T, parcouru par le courant i et aux bornes duquel on mesure la tension u, limpdance complexeest dnie comme tant le rapport de la reprsentation complexe de u par celle de i :TiuZ =uiLinverse de limpdance est appele admittance, et est souvent note Y .Dans le cas gnral, un diple quelconque na pas une impdance(( purement )) relle ou imaginaire. De plus,apriori, cetteimpdancedpenddelafrquence, commeonpeutleremarquerparexemplepourunebobineouun condensateur. Une impdance peut galement avoir une partie imaginaire ngative (comme un condensateur, parexemple) et on dit alors quelle est de type capacitif, ou une partie imaginaire positive (par exemple une bobine) :elle est alors de type inductif. En revanche, pour des composants passifs2.11, la partie relle, qui correspond unersistance, est dite rsistive et est toujours positive.Le tableau 2.1 se traduit alors en :2.11. Pour simplier, les composants dits(( actifs)) sont aliments : par exemple, un transistor ou un amplicateur oprationnel (qui nest autrequun ensemble de transistors et de composants passifs !), et les composants (( passifs )) sont... les autres : rsistances, condensateurs, diodes, etc.38 CHAPITRE 2. GNRALITSNom Rsistance Condensateur BobineSchma

,iuR

,iuC

i,uLExpression de la loi dOhm u = Ri u =1jCi u = jLiTAB. 2.2 Relations entre u et i en complexe2.3.4.3 Associations dimpdancesIl est facile de vrier que :Limpdance quivalente deux impdances mises en srie est gale la somme des deux impdances :Z1Z2Z = Z1 +Z2Limpdance quivalente deux impdances mises en parallle est gale linverse de la somme des inversesdes impdances (autrement dit, les admittances sajoutent) :Z1Z2Z =Z1Z2Z1+Z2Ce quil faut retenirla dnition de la reprsentation complexe dun signal harmonique ;puissances active, ractive et apparente ;la dnition de limpdance complexe ;impdances dun rsistor, dun condensateur, dune bobine et leurs rgles dassociation.2.4 Spectre et fonction de transfertCe paragraphe est une reformulation simplie de ce qui a dj t fait en 1.3.2.4.1 Spectre dun signal2.4.1.1 IntroductionNous avons dj dni ce qutait un signal(( harmonique)), ou monochromatique, dans le paragraphe 2.3. Untel signal ne prsente quune unique frquence. Mais on peut imaginer un signal prsentant 2, 3 voire une centainede frquences diffrentes. On pourrait reprsenter ce signal par son volution temporelle ; il existe nanmoins uneautre manire de le reprsenter, en mettant en vidence son contenu frquentiel. Pour introduire cette nouvelle repr-sentation, nous allons pour un temps revenir un signal monochromatique, de la forme x(t) =x0 cos 0t. On peut2.4. SPECTRE ET FONCTION DE TRANSFERT 39galement crire, en utilisant une formule dEulerx(t) =x02

e+j0t+ej0t

Cette dernire formulation met en vidence le fait quex(t) peut scrire comme la somme de deux exponentiellescomplexes, associes aux pulsations0et 0. On reprsente ces deux composantes sur un axe gradu en pulsa-tions, ou, mieux, en frquences, par deux(( ches2.12)) affectes de leurs poids respectifs (en loccurrence, les deuxcomposantes ont un poids gal x0/2) :f0f0 0x02x02Cette reprsentation est la reprsentation frquentielle du signal, et la fonction X(f) correspondante, ici limite deuxpics f0, est sa (( transforme de Fourier )). Le module de X(f), not Sx(f) = [X(f)[, est le spectre du signal.Lorsque lon a un signal prsentant deux frquences, comme par exemple y(t) = y1 cos 1t+y2 cos 2t, on obtientfacilement de mme :0 f1f1f2f2y12y12y22y22Un problme (qui nen est bien sr pas un...) semble se poser pour un signal de la formez(t)=z1 cos 1t +z2 sin2t. Revenons la dcomposition que nous avons dj utilise :z(t) =z12

e+j1t+ej1t

+z22j

e+j2tej2t

Cette fois-ci, il apparat que les (( poids )) des impulsions de Dirac sont des nombres complexes : pour f1 il sagit dez1/2, pour f2 de (z2/2)e+j/2et pour +f2 de (z2/2)ej/2. Par consquent, le spectre de z(t) est rigoureusementgal celui de y(t), bien que ces deux signaux ne soient pas gaux. En effet, seules les phases de leurs transformesde Fourier diffrent, et elles napparaissent pas dans le spectre.2.4.1.2 Signaux multipriodiques et apriodiques1. Spectre dun signal multipriodique : il existe des signaux priodiques dont le contenu frquentiel est inni.Par exemple, le signal carr c(t) suivant...tT02.12. Cette reprsentation est en fait celle dune (( impulsion de Dirac )) : cf. 1.2.3.1.40 CHAPITRE 2. GNRALITS... prsente ce que lon appelle un(( spectre de raies)) : on montre quil peut scrire sous la forme2.13c(t) =x0+k=0xk cos [2(2k + 1)t/T0], x0 = 0, avec xk = x0/(2k +1). Son spectre prsente donc de lnergie auxfrquences du type fk = (2k + 1)/T0, avec k entier naturel :Sc(f)ff0 =1T03f05f0x0x1 =x03x2 =x052. Spectredunsignalapriodique :commesonnomlindique, untel signal napasunnombre((dnom-brable))2.14defrquences, maisuneinnit. Lespectreduntelsignalnestpasunspectrederaies, maisprsente des parties continues, par exemple :fS(f)On peut considrer quil sagit de la juxtaposition dun nombre inni dimpulsions de Dirac. On appelle supportfrquentiel dun signal lintervalle de frquences entre lesquelles son spectre prsente de lnergie.2.4.2 Fonction de transfertOn considre une(( bote noire)), lentre et la sortie de laquelle on mesure respectivement les tensions ve etvs, dont on prend les reprsentations complexes ve et vs :vevsOn dnit la fonction de transfert en rgime harmonique du systme, note H(j), parH(j) = vs veLa fonction de transfert est une caractristique du systme, dont la valeur ne dpend que de la frquence du signaldentre.Remarque : Il est galement possible de dnir une fonction de transfert comme le rapport de la tension de sortieet du courant dentre par exemple, auquel cas cette grandeur a la dimension dune rsistance, mais le plus souvent ilsagit du rapport de deux tensions, quantit sans dimension.2.13. Il est dcomposable en srie de Fourier. Mathmatiquement en fait, il faut de plus quun tel signal soit continu, ce qui na pas t suppos ;nanmoins, tous les signaux (( physiques )) en lectricit sont continus.2.14. Que lon peut compter...2.4. SPECTRE ET FONCTION DE TRANSFERT 41Ce quil faut retenirla dnition du spectre dun signal ;la notion de fonction de transfert comme le rapport dune grandeur complexe de sortie sur une grandeur com-plexe dentre.Chapitre 3Du semi-conducteur aux transistorsRemarque : ce chapitre est trs largement inspir de la partie correspondante du remarquable Cours dlectroniquepour ingnieurs physiciens de lEcole polytechnique fdrale de Lausanne, accessible par Internet http://c3iwww.epfl.ch/teaching/physiciens/index.html.3.1 Les semi-conducteursCette partie va prsenter quelques modles simples de semi-conducteurs, en vue dexpliquer rapidement le fonc-tionnement des dispositifs les utilisant, tels que diode, transistor effet de champ, transistor bipolaire, etc.3.1.1 Semi-conducteurs intrinsques3.1.1.1 Rseau cristallinUn cristal de semi-conducteur intrinsque est un solide dont les noyaux atomiques sont disposs aux noeux dunrseau gomtrique rgulier. La cohsion de cet dice est assure par les liens de valence qui rsultent de la mise encommun de deux lectrons appartenant chacun deux atomes voisins de la maille cristalline. Les atomes de semicon-ducteur sont ttravalents3.1et le cristal peut tre reprsent par le rseau de la gure suivante :.Lien de valence3.1.1.2 DnitionsLlectron qui possde une nergie sufsante peut quitter la liaison de valence pour devenir un lectron libre. Illaisse derrire lui un trou qui peut tre assimil une charge libre positive ; en effet, llectron quittant la liaison de3.1. Chaque atome peut former quatre liaisons de valence. Un atome trivalent peut former trois liaisons, et un atome pentavalent peut former cinqliaisons.423.1. LES SEMI-CONDUCTEURS 43valence laquelle il appartenait dmasque une charge positive du noyau correspondant. Le trou peut tre occup parun autre lectron de valence qui laisse, son tour, un trou derrire lui : tout se passe comme si le trou stait dplac,ce qui lui vaut la qualication de charge libre. La cration dune paire lectron libre-trou est appele gnration alorsquon donne le nom de recombinaison au mcanisme inverse.La temprature tant une mesure de lnergie cintique moyenne des lectrons dans le solide, la concentration enlectrons libres et en trous en dpend trs fortement.3.1.1.3 ExemplesLe silicium a un nombre volumique datomes de 5.1022par cm3. A 300K (27rC), le nombre volumique des lec-trons libres et des trous est de 1,5.1010cm3, soit une paire lectron libre-trou pour 3,3.1012atomes.Le nombre volumique des atomes dans le germanium est de 4,4.1022par cm3. A 300K, le nombre volumique deslectrons libres et des trous est 2,5.1013cm3, soit une paire lectron libre-trou pour 1,8.109atomes.3.1.2 Semi-conducteurs extrinsques de type n3.1.2.1 Rseau cristallinUn semiconducteur dans lequel on aurait substitu quelques atomes ttravalents des atomes pentavalents est ditextrinsque de type n:............................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................

Atome (donneur) ionisCharge xe positive

Electron libre :Charge mobile ngativeQuatre lectrons de la couche priphrique de latome pentavalent prennent part aux liens de valence alors que lecinquime, sans attache, est libre de se mouvoir dans le cristal. Llectron libre ainsi cr neutralise la charge positive,solidaire du rseau cristallin, quest latome pentavalent ionis.3.1.2.2 DnitionsLe dopage est laction qui consiste rendre un semiconducteur extrinsque. Par extension, ce terme qualie gale-ment lexistence dune concentration datomes trangers : on parle de dopage de type n. On donne le nom dimpuretsaux atomes trangers introduits dans la maille cristalline. Dans le cas dun semiconducteur extrinsque de type n, lesimpurets sont appeles donneurs car chacune dentre elles donne un lectron libre.3.1.2.3 ModleLes dopages courants sont denviron 1016 1018atomes par cm3. On peut admettre que le nombre volumique deslectrons libres est gal au nombre volumique des impurets et que le nombre volumique des trous (charges libres44 CHAPITRE 3. DU SEMI-CONDUCTEUR AUX TRANSISTORSpositives) est ngligeable. Etant donnes ces considrations, on tablit le modle de semiconducteur reprsent ci-dessous dans lequel napparaissent que les charges essentielles, savoir les lectrons libres et les donneurs ioniss.Les charges xes sont entoures dun cercle.++++++++--------

Atome (donneur) ionisCharge xe positive

Electron libre :Charge mobile ngative3.1.3 Semi-conducteurs extrinsques de type p3.1.3.1 Rseau cristallinSi lon introduit des atomes trivalents dans le rseau cristallin du semiconducteur, les trois lectrons de la couchepriphrique de limpuret prennent part aux liens de valence, laissant une place libre. Ce trou peut tre occup parun lectron dun autre lien de valence qui laisse, son tour, un trou derrire lui. Latome trivalent est alors ionis et sacharge ngative est neutralise par le trou (voir gure ci-dessous). Le semi-conducteur est alors dit extrinsque de typep. Les impurets, pouvant accepter des lectrons, sont appeles accepteurs............................................ ................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Atome (accepteur) ionisCharge xe ngativeTrou libreCharge mobile positive3.1.3.2 DnitionLes impurets, dans un semi-conducteur extrinsque de type p, sont appeles accepteurs au vu de leur propritdaccepter un lectron situ dans un lien de valence.3.1.3.3 ModleOn peut faire les mmes considrations quau paragraphe 3.1.2.3 concernant le nombre volumique des trous : ilest approximativement gal au nombre volumique des impurets. Le nombre volumique des lectrons libres est alorsconsidr comme ngligeable. Il sensuit un modle, reprsent la gure ci-dessous, dans lequel napparaissent queles charges prpondrantes : les trous et les accepteurs ioniss.--------++++++++

Atome (accepteur) ionisCharge xe ngative

Trou libre :Charge mobile positive3.2. LA JONCTION PN 45Remarque : il faut remarquer que le semiconducteur extrinsque, typep ou typen, est globalement neutre. Onpeut le comparer un rseau gomtrique dont certains nuds sont chargs et dans lequel stagne un (( gaz )) de chargesmobiles qui neutralise les charges xes du rseau. On largit, par la suite, la notion de semiconducteur de type n unsemiconducteur dont le nombre volumique des donneurs lemporte sur celui des accepteurs et celle de semiconducteurde type p un semiconducteur dans lequel le nombre volumique des accepteurs est prpondrant.Ce quil faut retenirla nature dun semi-conducteur intrisque ;le dopage (type n et p) et ses consquences.3.2 La jonction PN3.2.1 IntroductionLe dopage non uniforme dun semiconducteur, qui met en prsence une rgion de type n et une rgion de typep, donne naissance une jonction pn. Une telle jonction est aussi appele diode. Dans la prsente section, on tudie,qualitativement, les phnomnes qui ont pour sige la jonction pn. On donne galement la relation exponentielle quilie courant et tension dans une telle jonction.3.2.2 DescriptionSoit le semiconducteur dopage non uniforme ci-dessous qui prsente une rgion p nombre volumique datomesaccepteurs constant, suivie immdiatement dune rgion n nombre volumique de donneurs constant galement.AccepteursDonneursRgion p Rgion nJonction0xNombre volumique dimpuretsLa surface de transition entre les deux rgions est appele jonction pn abrupte. Du fait de la continuit du rseaucristallin, les (( gaz )) de trous de la rgion p et dlectrons de la rgion n ont tendance uniformiser leur concentrationdans tout le volume disposition. Cependant, la diffusion des trous vers la rgion n et des lectrons libres vers la rgionp provoque un dsquilibre lectrique si bien que, dans la zone proche de la jonction, la neutralit lectrique nest plussatisfaite. On trouve, dans la rgion p, des atomes accepteurs et des lectrons, soit une charge locale ngative, et dansla rgion n, des atomes donneurs et des trous, soit une charge locale positive. Il sest donc cr un diple aux abordsde la jonction et, conjointement, un champ lectrique. Une fois lquilibre atteint, ce champ lectrique est tel quilsoppose tout dplacement global de charges libres.46 CHAPITRE 3. DU SEMI-CONDUCTEUR AUX TRANSISTORS3.2.3 DnitionsLa rgion dans laquelle la neutralit nest pas satisfaite est appele zone de dpltion ou zone de charge spatialealors que les autres rgions sont dites rgions neutres.Le champ lectrique interne cr par le diple est nomm champ de rtention de la diffusion car il soppose toutediffusion des charges mobiles.Remarque : gnralement, la concentration des charges mobiles dans la zone de charge spatiale est ngligeablevis--vis du nombre volumique des charges xes. On idalise cet tat de fait et lon admet quil ny a pas de chargesmobiles dans la zone de dpltion :AccepteursDonneursRgion p Rgion nJonction0xNombre volumique dimpuretstrouslectrons..................................................................Zone de dpltion+++++------- -----+++++++----++++,E3.2.4 Barrire de potentielIl existe, entre la rgion p et la rgion n, une barrire de potentiel UB0nergtique pour les charges mobiles.Lexistence de cette barrire se traduit par une diffrence de potentiel lectrique lie au champ de rtention de ladiffusion :3.2. LA JONCTION PN 47Exemple : pour une jonction pn au silicium avec un dopageNA=1018cm3dans la rgion p et un dopageND = 1017cm3dans la rgion n, la hauteur de la barrire de potentiel 300 K (27r C) lquilibre vaut 872mV.Remarque : la hauteur de la barrire de potentiel lquilibre est telle que les trous qui sont dans la rgion p ontune nergie moyenne qui est juste assez insufsante pour leur interdire de passer la barrire de potentiel. Il en va demme pour les lectrons qui se trouvent dans la rgion n.3.2.5 Caractristique lectrique3.2.5.1 DescriptionSi lon applique une tension U la jonction, cette tension se reporte presque entirement la zone de dpltionqui prsente une rsistivit trs grande due la quasi-absence de charges mobiles. Une tension U ngative renforce lechamp de rtention de la diffusion et augmente, par consquent, la hauteur de la barrire de potentiel, de telle sortequaucune charge libre ne traverse la zone de charge spatiale.Au contraire, si lon applique une tension U positive, le champ lectrique de rtention de la diffusion est diminu etles charges mobiles qui ont une nergie suprieure celle que reprsente la hauteur de la barrire de potentiel peuventtraverser la zone de charge spatiale.Ces situations sont rsumes dans le schma ci-dessous :48 CHAPITRE 3. DU SEMI-CONDUCTEUR AUX TRANSISTORS3.2.5.2 DnitionsLapplication dune tension qui diminue la hauteur de la barrire de potentiel par rapport lquilibre est appelepolarisation directe par opposition la polarisation inverse qui augmente la