Cours de Magnétisme

Organisation •  6 Cours de 2h environ •  3 DM à rendre les séances 3, 5 et 6 •  4 séances TD/DM: semaines 3, 4, 5 et 6 après le cours

Evaluation •  30% DM •  40% examen •  30% oral

Yann Gallais Matériaux et Phénomènes Quantiques, Université Paris Diderot

Site web: www.mpq.univ-paris-diderot.fr/spip.php?rubrique260 (slides du cours, énoncés TD et bibliographie)

Magnétisme en matière condensée Le magnétisme est la science des effets coopératifs et collectifs des moments magnétiques dans la matière condensée

•  Le magnétisme est un phénomène purement quantique: un exemple unique de phénomène collectifs quantique à l’échelle macroscopique (comme la supraconductivité)

•  Rôle clé dans l’établissement de la théorie des transitions de phase et du concept de symétrie brisée (Ising…)

•  Illustration d’un phénomène émergent dus aux interactions: « more is different »

T>TN T<TN

P. W. Anderson. Science, New Series, Vol. 177, No. 4047. (Aug. 4, 1972), pp. 393-396.

Magnétisme et supraconductivité

•  traditionnellement: 2 états quantiques électroniques incompatibles •  1987: découverte des supraconducteurs à haute température critique

•  Deux ordres quantiques liés aux intéractions électroniques •  Magnétisme: origine de la supraconductivité à haute température?

pnictures: FeAs

cuprates: CuO2

Plan du cours

  Magnétisme sans interaction (1.5 séances)   Magnétisme atomique   Moments magnétiques localisés

  Magnétisme localisé en interaction (2 séances)   Interactions d’échange   Modèle de champ moyen du ferromagnétisme   Hystérésis et transitions méta-magnétiques

  Au delà du champ moyen (1.5 séances)   Hamiltonien d’Heisenberg: du classique au quantique   Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques

  Magnétisme itinérant (1 séance)   Instabilité magnétique de Stoner   Phases onde de densité de spin

Moment magnétique classique

I

dµ! "!

dS

dµ! "!

= IdS! "!

moment magnétique élémentaire

anneau de courant = dipôle magnétique orienté perpendiculairement au plan de l’anneau

µ[ ] = A.m2

mouvement de charge = mouvement de masse

moment cinétique associé

µ!"= !L!"

γ: facteur gyromagnétique

L!"=mr"!v"

µ!"/ /L!"/ /dS! "!

modèle classique de l’orbite électronique circulaire

x

v!=!"!!r!

L!"=mr"!!!"!r"=m!r2u

!z

µ!"= IS"= e !2"

!"r2u!z =

e!r2

2u!z

µ!"=

e2m

L!"

note: e<0 donc direction opposée!

µ!"

L!"

µ!"= !

e2m

L!"

Moment magnétique classique

dr

force de Laplace (charge ponctuelle): F!"= qv"!B!"

dF!"= dn! ev

""B!"= !dr! ev

""B!"= Idr""B!"

force agissant sur un fil dr:

B!"

dF! "!

Sous champ B:

dr

O

M dM!"!

F /0 =OM! "!!!

!dF! "!

=OM! "!!!

! Idr!"!!B!"= IdS! "!!B!"

µ!"

B!"

M!"!

F /0 = dM! "!!

F /0#! =C!"= IS""B!"= µ!""B!"

Sur un contour fermé (boucle)

dF! "!F

!"= dF! "!#! = 0

"

Un couple s’exerce sur le dipôle magnétique: énergie potentielle

Moment magnétique classique

travail du couple magnétique:

W = Cd!0

"

! = µBsin! d! = µB(1" cos" )0

"

!

B!"

µ!"

ϕ C!"= µ!"!B!"

assemblée de moments magnétiques

U = !1V

µi

!"!.B!"

i" = !M

!"!.B!"

M!"!= !

"U!B!"aimantation macroscopique

U = !µ!".B!"

énergie potentielle

µ!"= !

"U!B!"moment magnétique

note: n’inclut pas l’énergie électromagnétique

M!"!=1V

µ!"i

i!

Dynamique classique: précession de Larmor

équation du mouvement: théorème du moment cinétique

dL!"

dt= M!"!= µ!"!B!"

"dµ!"

dt= !µ!"!B!" dynamique classique du moment magnétique

(pas de dissipation)

mouvement de précession du moment autour du champ µ!"

B!"

précession classique de Larmor µ!"

B!"

U = !µ!".B!"

énergie potentielle

mais le moment magnétique est associé à un moment cinétique: dynamique

Thermodynamique d’un système magnétique classique

Energie interne dU = TdS !MdB

Energie libre F =U !TS dF = !SdT !MdB

Note: à T=0K

M = !"U"B

= !"F"B

Z = dr1... drN dp1... dpNe!!U (r1.... pN )""""

Fonction de partition d’un système de N électrons

! =1kBT

avec

F = !kBT lnZ

M = !"F"B#

$%

&

'(T

= kBT" lnZ"B

#

$%

&

'(T

énergie libre

aimantation

Le magnétisme classique existe t’il?

Théorème de Bohr-van Leeuwen: de l’impossibilité d’une aimantation macroscopique dans un système électronique classique (1911 Bohr / 1919 van Leeuwen)

Z = dr1... drN dp1... dpNe!!U (r1.... pN )""""

Impulsion généralisée sous champ magnétique p!"! p!"" eA!"

Z est inchangée car uniquement un décalage de l’intégration sur les p

Z et F sont indépendants de A (B) M = !"F"B#

$%

&

'(T

= kBT" lnZ"B

#

$%

&

'(T

= 0

image classique: compensation des moments magnétiques du volume par le moment magnétique associée aux orbites périphériques qui font « des ricochets »

Origine quantique du magnétisme électronique

QUANTUM MECHANICSTHE KEY TO UNDERSTANDING MAGNETISMNobel Lecture, 8 December, 1977

J . H . V A N V L E C KHarvard University, Cambridge, Massachusetts, USA

The existence of magnetic materials has been known almost since prehistorictimes, but only in the 20th century has it been understood how and why themagnetic susceptibility is influenced by chemical composition or crystallo-graphic structure. In the 19th century the pioneer work of Oersted, Ampere,Faraday and Joseph Henry revealed the intimate connection between electric-ity and magnetism. Maxwell’s classical field equations paved the way for thewireless telegraph and the radio. At the turn of the present century Zeemanand Lorentz received the second Nobel Prize in physics for respectivelyobserving and explaining in terms of classical theory the so-called normalZeeman effect. The other outstanding early attempt to understand magnetismat the atomic level was provided by the semi-empirical theories of Langevinand Weiss. To account for paramagnetism, Langevin (1) in 1905 assumed ina purely ad hoc fashion that an atomic or molecular magnet carried a per-manent moment , whose spatial distribution was determined by the Boltz-mann factor. It seems today almost incredible that this elegantly simple ideahad not occurred earlier to some other physicist inasmuch as Boltzmann haddeveloped his celebrated statistics over a quarter of a century earlier. Withthe Langevin model, the average magnetization resulting from N elementarymagnetic dipoles of strength in a field H is given by the expression

(1)

At ordinary temperatures and field strengths, the argument x of the Langevin

function can be treated as small compared with unity. Then L(x) = :x, and

Eq. (1) becomes

perature, a relation observed experimentally for oxygen ten years earlier byPierre Curie (2) and hence termed Curie’s law.

To explain diamagnetism, Langevin took into account the Larmor preces-sion of the electrons about the magnetic field, and the resulting formula forthe diamagnetic susceptibility is

La présence de moments magnétiques électroniques doit être justifiée d’un point de vue quantique

2 types de magnétisme: -  Magnétisme itinérant: les électrons sont délocalisés (métaux). espace des k (bandes)

-  Magnétisme localisé: espace réel (isolants/ interactions fortes)

Le magnétisme est un effet quantique

Magnétisme atomique quantique

électron de l’atome d’H sous champ magnétique

H0 =p2

2m+V (r!) H =

12m(p!"! eA!")2 +V (r

") = H0 !

e2m(A!".p!"+ p!".A!")+ e 2

2mA2

p!"=#i!!"

jauge de Coulomb A!"=B!"!r"

2!!".A!"=12!!".(B!""r") = 12((!!"#B!").r"$B!".(!!"# r")) = 0 si B est constant

H = H0 !emA!".p!"+e2m

A2 = H0 !em(B!""r").p!"

2+e2

8m(B!""r")2 !L

"#= r#! p"#

moment cinétique

relation cyclique (B!"!r").p!"= B!".(r"! p!") = B!".L!"

H = H0 !!e2m

B"#.L"#+e2

8m(B"#"r#)2 = H0 +µB B

!".L!"+e2

8m(B!""r")2 µB =

! e2m

Magnéton de Bohr

e<0

A!".p!"+ p!".A!"=relation d’anti-commutation

!.!"!(A!"!) =!

!".A!"! + A!".!!"!

A!".p!"+#i(!!".A!"+ A!".!!") = 2A!".p!"+#i!!".A

l=0

l=1

l=2

Diamagnétisme et paramagnétisme atomique

H = H0 +µB B!".L!"+e2

8m(B!"!r")2

terme paramagnétique Hz en B terme diamagnétique Hdia en B2

54

Modèle de l'atome en mécanique quantique

Description Hartree-Fock

Sous-couche magnétique incomplète: n[l]x, x<2.(2l+1) L ! 0 , S ! 0

Sous-couches pleines :

états d'orbites tous occupés

états de spin tous occupéssz

210-1-2m

! (! r ) = Rnl (r).Ylm(" ,#)

Partie radiale Harmonique sphérique

Nombreuses configurations de remplissage L = ? , S = ?

L = 0S = 0

rmax

!H =

µ02 e2

8meH 2 (xi

2 + yi2 )

i"

Diamagnétisme de Larmor

!H = µ0 µB!H " (!L + 2

!S)Correction prépondérante

V.1 Le magnétisme localisé : magnétisme atomique

!L =

!li

i!moment orbital total: moment de spin total:

!S = !si

i!

états propres de H0

bons nombres quantiques pour H0: n, l et ml

µB =! e2m

= 9.27.10!24 J.T !1 = 5.8.10!5eV.T !1

Paramagnétisme atomique

H = H0 +µB B!".L!"+e2

8m(B!"!r")2

L2 l,ml = l(l +1) l,ml

Lz l,ml =ml l,ml ml ! "l, l[ ]

terme paramagnétique Hz

µ!"para = !µB.L

!"

µ!"para

L!"

Hz = !µ!"para.B!"

B!"

µ!"para / /B

!"abaissement de l’énergie si similaire au cas classique mais L est quantifié!

1

-1

•  moment magnétique permanent •  levée de dégénérescence E(ml): effet Zeeman

ml=1

l=1

ml=-1

ml=0

B=0 B≠0

µB =! e2m

= 9.27.10!24 J.T !1 = 5.8.10!5eV.T !1

HZ (1T ) ! 0.1meV

Diamagnétisme atomique

H = H0 +µB B!".L!"+e2

8m(B!"!r")2

terme diamagnétique Hdia

Hdia =e2

8mB2 uz!"!!(xu"x + yu"y )"

#$%2=e2

8mB2 (&yu

"x + xu"y )2 = e2

8mB2 (x2 + y2 )

B!"= Bu"zsi

Hdia toujours positif

diamagnétisme de Larmor

µ!"dia

B!"

µ!"dia = !

"Hdia

"B!" = !

e2

4mB0 (x

2 + y2 )u"z

anti // à µ!"dia B

!"

nul si B=0

Hdia << Hzen général:

(exceptions!)

Hdia

Hz

!10"6B(T )

! a02

spin

Spin = moment magnétique intrinsèque de l’électron

µ!"spin = !gµB.S

"g ! 2 (cf. équation de Dirac)

S2 s,ms = s(s+1) s,ms

Sz s,ms =ms s,ms

ms = ±12

s = 12

électron:

µ!"spin

S!

couplage spin-orbite

contribution additionnelle au terme Zeeman Hz

Hz = µB (L!"+ gS").B!"

µ!"para = !µB.(L

!"+ gS")2 composantes au moment magnétique atomique:

orbitale spin

Couplage spin orbite (I)

+Ze -e

v!

+Ze

-e

!v!

changement de référentiel

S!

Beff

l’électron sent un champ magnétique effectif Beff du au mouvement relatif de la charge du noyau

dans le référentiel de l’électron on a: B!"eff = !

v""E!"

c2v2

c2<<1si avec E

!"= !"! "!!! = !

r!

rd!drsym. sphérique

HSO = µB S!.B"!eff = µB

1rc 2

d!drS!.(v!!r!) = "µB

#rc2m

d!drS!.L"!

couplage spin – Beff Hamiltonien spin-orbite

!!L"#

m= v#"r#

HSO = !S!.L"! •  traitement exact: équation de Dirac (même résultat à un facteur 2 près)

•  λ positif et croît avec nombre atomique Z •  conséquence importante: L et S ne sont plus de bons nombres quantiques!

Couplage spin orbite (II)

H = H0 +!S!.L"!

HSO,L2!" #$= 0

HSO,S2!" #$= 0

H0,HSO[ ] = 0

•  ms et ml ne sont plus des bons nombres quantiques •  Il existe une base d’états propres commune

Relations de commutations

Li,Lj!" #$= i!!ijkLkSi,Sj!" #$= i!!ijkSkL2,Li!" #$= 0

S2,Si!" #$= 0

HSO,Lz[ ] ! 0HSO,Sz[ ] ! 0

sym. sphérique (L2)

J!"= L!"+ S"

Moment cinétique total

Jz,L!".S"

!"

#$= Lz,L

!".S"

!"

#$+ Sz,L

!".S"

!"

#$= 0

J 2 = L2 + S2 + 2L!".S"

J 2,L!".S"

!"

#$= 0 j, mj, l et s bons nombres quantiques

Spectre de structure fine

!Ejls = jmjls HSO jmjls =

levée de dégénérescence (2l+1)(2s+1) à B=0

58

Couplage Spin-Orbite

Effet relativiste atomes lourdsDégénérescence (2L+1)(2S+1) abaissée par le couplage spin-orbite

L et S pas si bons que ça…

H s.o. = A!! L !! S

! J =! L +! S + J du moment cinétique total

H s.o. = A!! L !! S = A

2(J(J +1) " S(S +1) " L(L +1))

"3ème" règle :Une fois formés L et S à partir des règles de Hund, le nombre de moment total J correspondant à l'état de plus basse énergie est :

J = |L-S|, pour une couche (n,l) moins qu'à moitié remplie.J = L+S, pour une couche (n,l) plus qu'à moitié remplie.

Pr3+ : 4f2 L = 5 S = 1 J = |L-S|= 4

J = L+S

J = |L-S|

J = L+S-1

J = |L-S|+1hiérarchie selon le signe de A

A > 0A < 0

V.1 Le magnétisme localisé : magnétisme atomique

! jmjls(J 2 ! S2 ! L2 )

2jmjls =

!2

j( j +1)! l(l +1)! s(s+1)( )

Couplage spin orbite vs effet Zeeman

H = H0 +Hz +HSO +HdiaHamiltonien total

Hz,HSO[ ] ! 0HSO = !S!.L"!

2 perturbations

Hz = µB (L!"+ gS").B!"

Hz, J2!" #$% 0

Hz, Jz[ ] = 0

j n’est plus en bon nombre quantique en champ

j, mj, l et s bons nombres quantiques Hz est traité en perturbation sur les états

2 limites: champs faibles Hz << HSO

jmjls

Hz >> HSO

l, s, ml et ms bons nombres quantiques HSO est traité en perturbation sur les états lsml ms

champs forts

Limite bas champ: facteur de Landé (I)

limite très bas champ: développement en perturbation de Hz au premier ordre

!Ez = jmjls µB (L!"+ 2S").B!"jmjls +

jmjls µB (L!"+ 2S").B!"j 'mjls

2

Ej "Ej 'j '# +.....

Ejls = E0 +!2

j( j +1)! l(l +1)! s(s+1)( )spectre non-perturbé

58

Couplage Spin-Orbite

Effet relativiste atomes lourdsDégénérescence (2L+1)(2S+1) abaissée par le couplage spin-orbite

L et S pas si bons que ça…

H s.o. = A!! L !! S

! J =! L +! S + J du moment cinétique total

H s.o. = A!! L !! S = A

2(J(J +1) " S(S +1) " L(L +1))

"3ème" règle :Une fois formés L et S à partir des règles de Hund, le nombre de moment total J correspondant à l'état de plus basse énergie est :

J = |L-S|, pour une couche (n,l) moins qu'à moitié remplie.J = L+S, pour une couche (n,l) plus qu'à moitié remplie.

Pr3+ : 4f2 L = 5 S = 1 J = |L-S|= 4

J = L+S

J = |L-S|

J = L+S-1

J = |L-S|+1hiérarchie selon le signe de A

A > 0A < 0

V.1 Le magnétisme localisé : magnétisme atomique

jmjls Jz jmjls =mj

jmjls Sz jmjls = ?

Dans la plupart des cas HZ<<HSO

théorème de Wigner-Eckart (« projection theorem ») Sakurai, Modern Quantum Mechanics 3.10

jmjls Ti jmjls =jmjls T

!".J!"jmjls

j( j +1)jmjls Ji jmjls

!Ez " jmjls µB (L!"+ 2S").B!"jmjls = µBB jmjls (Jz + Sz ) jmjls