Université Paris 13

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1

Université Paris 13

Traitement Numérique du Signal Master 1

1. Exemple de filtres analogiques issus de la propagation2. Comportement fréquentiel des filtres et classification3. Stroboscope4. Repliement de spectre5. Critère de Shannon-Nyquist6. Reconstruction du signal après échantillonnage7. Sous-échantillonnage8. Sur-échantillonnage


1/ Une onde sur un ressortsignal à tempscontinu : t |-> l(t)

t=t0

t=t1

t=t2

l(t0)

l(t1)

l(t2)


Onde sonore

p

v

rc=fc=343m.s^-12cm->30m10Hz->20kHz

p = p-p0 = 1.41 Peff(r) cos(2ft-r/v = 1.41 Veff(r) sin(2ft-r/

Signal à temps continu périodiqueSignal en r2 en retard par rapport à signal en r1

Puissance d’un signal

I = p v

Sound Wave

Bruit très fort (90dB)1.5mm.s-1, 0.5Pa(0.05mm)


Echos

p(r,t)=1.41 Peff/r cos(2ft-r/))L’intensité sonore et la puissance varient en r^-2sO(t)=Peff/r1 cos(2f(t-r1/c))+Peff/(r2+r3) cos(2f(t-(r2+r3)/c))

sO(t) = a s(t-ta)+ b s(t-tb)

r1

r2r3

observateur

LinéaritéFiltre analogiqueEntréeSortie

En pratique : déphasage ?

1/r : dispersion plutôt qu’absorption.

réfraction


Effet LarsenAudio-Feedback


Instabilité (microphone proche des haut-parleurs)


Instabilité moindre (microphones plus loin des haut-parleurs)


2/ Filtre analogique

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)( fUfHfYttuty

Passe-bas

Passe-haut

Passe-bande

Coupe-bande

Passe-tout

fc

Fréquencede coupure

f

Réponse fréquentielle

Domaine temporel =>Domaine fréquentiel TF


Filtre numérique

)(ˆ)(ˆ)(ˆ][ fUfHfYnuy nn

Passe-bas

Passe-haut

Passe-bande

Coupe-bande

Passe-tout

fc

Fréquencede coupure

f

Réponse fréquentielle périodique

TFTDDomaine temporel =>Domaine fréquentiel

-fe/2 fe/2


3/ Exemple du stroboscope (vitesse lente)


Exemple du stroboscope (vitesse rapide)



module

4/ Repliement de spectre

en nTss )( en nTss

l

eee lffSffS ˆˆ

Signaux non-périodiques Signaux périodiques

échantillonnage

repliement despectre

t t

f f

phase

l

lNke SNkS ˆˆ

N=T/Te


Repliement de spectre

• Repliement :

• Elle rend compatible :

• En effet (changement de variable f’=f-lfe) :

l

e lfefSffS )(ˆ)(ˆ #

2/

2/

2# )(ˆ1)(

fe

fe

fnTej

e

dfefSf

nTes

dfefSnTes fnTej 2)(ˆ)(

2/

2/

2/

2/

'22 ')'(ˆ)(ˆ1fe

fe l n

lfefe

lfefe

lTefjflTej

e

dfefSdfelfefSfef


Transformée de Fourier de signaux échantillonnés

échantillonnage, troncature puis périodisationsignal en temps module du spectre

échantillonnage

troncature

périodisation

TF

TFTD

repliement de spectre

oscillationsTFTD

TFTD

raiesTFTD

TFD

déphasage*fe

discontinuité

sinc



échantillonnage, troncature puis périodisation

nanT

at

Ee

e

2

1

2

1

22

1

1

12

1

2

afj

f

e

afj

eTafj e

ln

anT lNneN

E )(2

11 1..0

signal en temps module du spectre

échantillonnage

troncature

périodisation

TF

TFTD

repliement de spectre

oscillationsTFTD

TFTD

raiesTFTD

TFD

déphasage*fe

Nee

e

NN

kj

aT

aNT

e

e

2

1

1

112

nNanT ne E

2

11 1..0

2

1

1

12

2

afjT

afTjNT

e

ee

e

e

discontinuité



troncature, périodisation puis échantillonnagesignal en temps module du spectre

troncature

périodisation

échantillonnage

TF

TFoscillation

raies

TF

Coéf Série de Fourier

repliementde spectre

TFD

discontinuité

déphasage

sinc



troncature, périodisation puis échantillonnagesignal en temps module du spectre

troncature

périodisation

échantil-lonnage

TF

TFoscillation

raies

TF

Coéf Série de Fourier

repliementde spectre

TFD

te

e

Tat

at

],0[1

afj

eeafj

fTjaT

2

12

1

2

lNn

anT lNne E )(2

11 1..0

Nee

e

NN

kj

aT

aNT

e

e

2

1

1

112

lT

at lTte ,01a

T

kj

ee

T

T

kj

aT

2

112 *1/T

*Te


5/ Critère de Shannon-Nyquist

2maxef

f

0)(ˆsupmax fXff f

0)(ˆ,2

fXf

f e

fmax-fmaxf

|X(f)|^

)(ˆ)(ˆ,)( fXfXtx

Formulation 1 Formulation 2

Le signal est réel aussile module du spectre est paire.


6/ Reconstruction– Pour reconstruire, on n’utilise que la bande

fondamentale• Produit de la réponse en fréquence par la fonction porte

(largeur fe, amplitude 1/fe, centrée en f = 0) : TF (domaine temporel) Sinc(fet)

• On obtient le produit de convolution de la fonction par Sinc(fet)

nfefe fX

feTFtxnfefXfefX )](ˆ1

1[)()( #

]2/,2/[1#

-

#

-

#sin

1)(

)(sin

n

n

n e

e

nTe

tTe

t

xntf

ntfxtx

nn

)(*)](11

[ #]2/,2/[

1 txffe

TFtx fefe

dunTetxutfe

utfetx

nn

)()(

))(sin( #

^ ^


Reconstruction• Pour un signal constant xn = 1 pour n>=0 et xn=0 sinon.


Echantillonnage et interpolation

)(tx

)(ˆ fX

nxSignal en temps

k

ee kffXf )(ˆ

2

,2

11

ee ffef

Spectre

n ee

een nTtf

nTtfx

)(

sin

)(tx

)(ˆ fX

1TFTF

Échantil-lonnage

Repliement de spectre

interpolationTFTD

2maxef

f

Nyquist


7/ Sous-échantillonnage

nx

fX̂)(ˆ fH

)(

2

2n

ab

x

nxnx

)(ˆ)(ˆ fXfX b

1TFTDSous-échantillonnageTFTD

4,

4ee ff

f

)2

()2

(

)()(ˆ

ea

ea

ab

ffX

ffX

fXfX

][nxa

nh*

)(ˆ fX a

4maxef

f

Nyquist

filtrage


8/ Suréchantillonnage

fX̂

ffHee ff

2,2

1ˆ

fX̂

nx

)(ˆ2 fH

2][ e

b

Tnxnx

)(ˆ2)(ˆ fXfX b

1TFTDsuréchantillonnageTFTD

2,

2ee ff

f)()(ˆ fXfX a

0]12[

]2[

nx

xnx

a

na nh2*

si

0)(ˆ fX b

e

eee f

ffff ,

22,

filtrage

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