COURS DE MATHÉMATIQUES C TERMINALE · LycéeEdgarQUINET 63,ruedesMartyrs 75009 PARIS Manuelscolaire:Sigma-EditionsFoucher COURS DE MATHÉMATIQUES CLASSE DE TERMINALE STMG Emmanuel

Lycée Edgar QUINET

63, rue des Martyrs75 009 PARIS

Manuel scolaire : Sigma - Editions Foucher

COURS DE MATHÉMATIQUES

CLASSE DE TERMINALE STMG

Emmanuel DUPUY

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PARIS

Année 2017-2018

COURS DE MATHS - TERMINALE STMG

Sommaire

CHAPITRE 1. Taux d’évolution et indices

§ 1. Taux d’évolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4a. Taux d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4b. Coefficient multiplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4c. Calcul d’une grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5d. Évolutions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5e. Évolution réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6f. Évolution moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 2. Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7a. Indice simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7b. Lien entre indice simple et taux d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

CHAPITRE 2. Suites

§ 1. Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8a. Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8b. Expression de un en fonction de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8c. Sens de variation d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9d. Représentation graphique d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9e. Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§ 2. Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10a. Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10b. Expression de un en fonction de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10c. Sens de variation d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11d. Représentation graphique d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11e. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 3. Applications économiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12a. Intérêts simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12b. Intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12c. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13d. Annuité d’un emprunt à annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

CHAPITRE 3. Statistiques

§ 1. Séries statistiques simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14a. Série de notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14b. Série classée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

§ 2. Séries statistiques doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16a. Série statistique double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16b. Nuage de points et point moyen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16c. Ajustement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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CHAPITRE 4. Fonctions

§ 1. Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18a. Fonction affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18b. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§ 2. Fonctions polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19a. Fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19b. Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19c. Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20d. Discriminant du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20e. Résolution de l’équation ax2 +bx +c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21f. Signe de ax2 +bx +c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§ 3. Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22a. Tangente à une courbe en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22b. Nombre dérivé d’une fonction en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22c. Nombre dérivé des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23d. Dérivées et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23e. Équation de la tangente à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

§ 4. Sens de variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24a. Signe de la dérivée et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24b. Sens de variations et tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25c. Étude du sens de variations d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25d. Étude du sens de variations d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

CHAPITRE 5. Probabilités

§ 1. Probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27a. Approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27b. Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27c. Arbre de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§ 2. Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29a. Épreuve de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29b. Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

§ 3. Loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30a. Schéma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30b. Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

§ 4. Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31a. Approximation de la loi binomiale par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31b. Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31c. Calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32d. Intervalle à « 2 sigmas » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

§ 5. Intervalles de fluctuation et de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33a. Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33b. Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 1. TAUX D’ÉVOLUTION ET INDICES

CHAPITRE

1Taux d’évolution et indices

§ 1. Taux d’évolution

a. Taux d’évolution

DÉFINITION

Le taux d’évolution t d’une grandeur qui évolue de la valeur initiale y1 à la valeur finale y2

est donné par la formule :

• t =y2 − y1

y1.

+t %y1 y2

EXEMPLE

• Un article coûtait 35 € en juin 2017 et 42 € en septembre 2017.

On a : t =y2 − y1

y1=

42−35

35=

7

35=

1

5= 0,20 =+20%.

Le prix de l’article a augmenté de 20%.

• Le cours d’une action est passé de 60 € à 57 € en un jour.

On a : t =y2 − y1

y1=

57−60

60=−

3

60=−

1

20=−0,05 =−5%.

Le cours de l’action a diminué de 5%.

b. Coefficient multiplicateur

DÉFINITION

Le coefficient multiplicateur c d’une grandeur qui évolue de la valeur initiale y1 à la valeurfinale y2 est donné par la formule :

• c =y2

y1.

y1 y2×c

EXEMPLE

• Un article coûtait 35 € en juin 2017 et 42 € en septembre 2017.

On a : c =y2

y1=

42

35=

6

5= 1,20.

Le prix de l’article a été multiplié par 1,20.



PROPRIÉTÉ

Soient t le taux d’évolution d’une grandeur et c le coefficient multiplicateur de cette gran-deur. On a :

• c = 1+ t .

• t = c −1.

EXEMPLE

• t1 =+5%.

On a : c1 = 1+ t1 = 1+0,05 = 1,05.

• t2 =−20%.

On a : c2 = 1+ t2 = 1−0,20 = 0,80.

• c3 = 0,91.

On a : t3 = c3 −1= 0,91−1=−0,09 =−9%.

• c4 = 1,005.

On a : t4 = c4 −1= 1,005−1 = 0,005 =+0,5%.

REMARQUE

• Si une grandeur augmente, alors t > 0 et c > 1.

• Si une grandeur diminue, alors t < 0 et 0 < c < 1.

c. Calcul d’une grandeur

MÉTHODE

On considère une grandeur qui évolue de la valeur initiale y1 à la valeur finale y2 et onnote t le taux d’évolution de la grandeur. On a :

• y2 = (1+ t)× y1.

• y1 =y2

1+ t.

EXEMPLE

• Une baguette coûte 1,20 € en juin 2017. Son prix augmente de 15% durant l’été 2017.

On a : y2 = (1+ t)× y1 = 1,15×1,20 = 1,38.

La baguette coûte 1,38 € en septembre 2017.

• Au bout d’un an, j’ai retiré 936 € d’un capital placé à un taux annuel de 4%.

On a : y1 =y2

1+ t=

936

1,04= 900.

J’ai placé 900 €.

d. Évolutions successives

PROPRIÉTÉ

Si t1 et t2 sont les taux de deux évolutions successives, alors le taux d’évolution global dela valeur initiale yI à la valeur finale yF est tel que :

• 1+ tglobal = (1+ t1)× (1+ t2).

yI yF

×c1 ×c2

×c1 ×c2



EXEMPLE

• On considère deux hausses successives de 10%. On a :

1+ tglobal = (1+ t1)× (1+ t2) = 1,10×1,10 = 1,21

tglobal = 1,21−1 = 0,21 = 21%

La hausse globale est de 21%.

REMARQUE

Les taux d’évolution ne s’additionnent pas mais les coefficients multiplicateurs se multi-plient.

e. Évolution réciproque

PROPRIÉTÉ

Si t est un taux d’évolution de la valeur initiale yI à la valeur finale yF, alors le taux d’évo-

lution réciproque de la valeur finale yF à la valeur initiale yI est tel que :

• 1+ tréc. =1

1+ t.

yI yF

× 1c

×c

EXEMPLE

• Quelle baisse compense une hausse de 25% ?

1+ tréc. =1

1+ t=

1

1,25= 0,80

tréc. = 0,80−1=−0,20 =−20%

Une hausse de 25% est compensée par une baisse de 20%.

REMARQUE

Les taux d’évolution ne s’opposent pas mais les coefficients multiplicateurs s’inversent.

f. Évolution moyenne

PROPRIÉTÉ

Si tglobal est le taux d’évolution global de n évolutions successives, alors le taux d’évolution

moyen sur une période n fois plus petite est tel que :

• 1+ tmoyen =(

1+ tglobal)

1n .

EXEMPLE

• En 6 mois, le prix d’un bien de consommation a diminué de 12%.

1+ tmoyen =(

1+ tglobal)

1n = 0,88

16 ≃ 0,978 9

tmoyen ≃ 0,978 9−1 ≃−0,021 1≃−2,11%

La baisse mensuelle moyenne est d’environ 2,11%.



§ 2. Indices

a. Indice simple

DÉFINITION

On considère une grandeur ayant évolué de la valeur de référence y0 à la valeur y1 entredeux dates t0 et t1. Dire que I1 est l’indice simple à la date t1 en prenant pour base I0 = 100à la date de référence t0 signifie que :

•I1

I0=

y1

y0.

Autrement dit, il y a proportionnalité entre les indices et les valeurs.

MÉTHODE

Avec les notations précédentes et pour calculer I1, on utilise la formule :

• I1 = 100×y1

y0.

EXEMPLE

• Le cours d’une action est passé de 45 € à 54 € entre 2017 et 2018.

L’indice simple en 2018 en prenant pour base 100 en 2017 est donné par :

I1 = 100×y1

y0= 100×

54

45= 100×1,20 = 120

b. Lien entre indice simple et taux d’évolution

PROPRIÉTÉ

Le taux d’évolution entre deux valeurs est égal au taux d’évolution entre les indices asso-ciés. On a donc :

• t =I2 − I1

I1.

• I2 = (1+ t)× I1.

• I1 =I2

1+ t.

EXERCICE

• Remplir le tableau :

Année 2015 2016 2017 2018Indice 100 102Taux + 5% + 4%


COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 2. SUITES

CHAPITRE

2Suites

§ 1. Suites arithmétiques

a. Suite arithmétique

DÉFINITION

Soit r un réel.

Une suite (un) est une suite arithmétique de raison r lorsque, pour tout n ∈N :

un+1 = un + r

EXEMPLE

• « Économies »

Le 1er janvier 2017, j’économise 100 €. Puis chaque 1er jour des mois suivants, j’écono-mise 15 €.

On note un les économies au bout de n mois depuis le 1er janvier 2017.

Puisque chaque 1er jour du mois, j’économise 15 €, alors pour tout n ∈N :

un+1 = un +15

Par DÉFINITION, la suite (un ) des économies est une suite arithmétique de premierterme u0 = 100 et de raison r = 15.

u1 = u0 +15 = 100+15 = 115

u2 = u1 +15 = 115+15 = 130 etc. . .

b. Expression de un en fonction de n

PROPRIÉTÉ

Si (un ) est une suite arithmétique de raison r , alors, pour tout n ∈N :

un = u0 +n× r

EXEMPLE


La suite (un) est une suite arithmétique de premier terme 100 et de raison 15 donc,par PROPRIÉTÉ, pour tout n ∈N :

un = u0 +n× r = 100+15n



Par exemple le 1er janvier 2018, n = 12 et : u12 = 100+15×12 = 280.

Ainsi, au bout d’un an, j’ai économisé 280 €.

COROLLAIRE

Si (un ) est une suite arithmétique de raison r , alors, pour tout p ∈N, pour tout n ∈N :

un = up + (n−p)× r

EXEMPLE


La suite (un ) est une suite arithmétique de raison 15 donc, pour tout n ∈N :

un = u12 + (n−12)× r = 280+15(n−12)

Par exemple le 1er janvier 2020, n = 36 et : u36 = 280+15× (36−12) = 640.

Ainsi, au bout de trois ans, j’ai économisé 640 €.

c. Sens de variation d’une suite arithmétique

PROPRIÉTÉ

Soit (un ) une suite arithmétique de raison r .

• Si r < 0, alors la suite (un) est strictement décroissante.

• Si r = 0, alors la suite (un) est constante.

• Si r > 0, alors la suite (un) est strictement croissante.

d. Représentation graphique d’une suite arithmétique

PROPRIÉTÉ

Si (un ) est une suite arithmétique, alors l’ensemble des points Mn de coordonnées (n ; un )est situé sur la droite d’équation y = u0 + x × r .

EXEMPLE


On a : M0 (0 ; 100) ; M1 (1 ; 115) ; M2 (2 ; 130) ; M3 (3 ; 145) ; M4 (4 ; 160) ; M5 (5 ; 175) ;M6 (6 ; 190) ; M7 (7 ; 205) etc...

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8

b

M0

b

M1

b

M2

b

M3

b

M4

b

M5

b

M6

b

M7



e. Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

PROPRIÉTÉ

Si (un ) est une suite arithmétique, alors la somme S de p termes consécutifs dont le pre-mier terme est a et le dernier est b est donnée par :

• S = p ×a +b

2.

EXEMPLE

• Calculer : S = 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.

La somme S est la somme de 10 termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison2 dont le premier terme est 1 et le dernier est 19 donc :

S = p ×a +b

2= 10×

1+19

2= 100

§ 2. Suites géométriques

a. Suite géométrique

DÉFINITION

Soit q un réel strictement positif.

Une suite (un) est une suite géométrique de raison q lorsque, pour tout n ∈N :

un+1 = q ×un

EXEMPLE

• « Population »

Le 1er janvier 2010, la population d’une ville nouvelle est de 10 000 habitants. La po-pulation augmente régulièrement de 5% par an.

On note un la population de la ville au bout de n années depuis le 1er janvier 2010.

Puisque chaque année, la population est multipliée par 1,05, alors pour tout n ∈N :

un+1 = 1,05×un

Par DÉFINITION, la suite (un ) des populations est une suite géométrique de premierterme u0 = 10 000 et de raison q = 1,05.

u1 = 1,05×u0 = 1,05×10 000 = 10 500

u2 = 1,05×u1 = 1,05×10 500 = 11 025 etc. . .

b. Expression de un en fonction de n

PROPRIÉTÉ

Si (un ) est une suite géométrique de raison q , alors, pour tout n ∈N :

un = qn ×u0



EXEMPLE


La suite (un ) est une suite géométrique de premier terme 10 000 et de raison 1,05 donc,par PROPRIÉTÉ, pour tout n ∈N :

un = qn ×u0 = 1,05n ×10 000

Par exemple le 1er janvier 2020, n = 10 et : u10 = 1,0510 ×10 000 ≃ 16 289.

Ainsi, au bout de dix ans, la population sera d’environ 16 289 habitants.

COROLLAIRE

Si (un ) est une suite géométrique de raison q , alors, pour tout p ∈N, pour tout n ∈N :

un = qn−p ×up

EXEMPLE


La suite (un ) est une suite géométrique de raison 1,05 donc, pour tout n ∈N :

un = qn−10 ×u10 ≃ 1,05n−10 ×16 289

Par exemple le 1er janvier 2040, n = 30 et : u30 ≃ 1,0530−10 ×16 289 ≃ 43 219.

Ainsi, au bout de trente ans, la population sera d’environ 43 219 habitants.

c. Sens de variation d’une suite géométrique

PROPRIÉTÉ

Soit (un ) une suite géométrique de raison q > 0.

• Si q < 1, alors la suite (un ) est strictement décroissante.

• Si q = 1, alors la suite (un ) est constante.

• Si q > 1, alors la suite (un ) est strictement croissante.

d. Représentation graphique d’une suite géométrique

PROPRIÉTÉ

Si (un ) est une suite géométrique de raison q 6= 1, alors l’ensemble des points Mn de coor-données (n ; un ) est situé sur une courbe exponentielle.

EXEMPLE


On a : M0 (0 ; 10 000) ; M1 (1 ; 10 500) ; M2 (2 ; 11 025) ; M5 (5 ; 12 763) etc...

9000

10000

11000

12000

13000

14000

15000

b

M0

b

M1

b

M2

b

M5



e. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

PROPRIÉTÉ

Si (un ) est une suite géométrique de raison q 6= 1, alors la somme S de p termes consécutifsdont le premier terme est a est donnée par :

• S = a ×1−qp

1−q.

EXEMPLE

• Calculer : S = 1+2+4+8+16+32+64.

La somme S est la somme de 7 termes consécutifs d’une suite géométrique de raison2 dont le premier terme est 1 donc :

S = a ×1−qp

1−q= 1×

1−27

1−2= 127

§ 3. Applications économiques

a. Intérêts simples

EXEMPLE

• Un capital de 1 000 € est placé à intérêts simples au taux annuel i = 7,5%.

On note Cn la valeur acquise par le capital au bout de n années.

Au bout de n années, les intérêts produits In sont donnés par :

In = i ×C0 = 0,075×1 000 = 75

Ces intérêts produits s’ajoutent au capital pour former le capital l’année suivante.

Autrement dit et pour tout n ∈N :

Cn+1 =Cn + In =Cn +75

Par DÉFINITION, la suite (Cn) est une suite arithmétique de premier terme C0 = 1 000et de raison r = 75.

Par PROPRIÉTÉ et pour tout n ∈N, on a :

Cn =C0 +n× r = 1 000+75n

Par exemple et au bout de 10 années : C10 = 1 000+75×10 = 1 750 €.

b. Intérêts composés

EXEMPLE

• Un organisme propose un placement de 1 000 € à intérêts composés au taux annueli = 4%.

On note Cn la valeur acquise par le capital au bout de n années.

Au bout de n années, les intérêts produits In sont donnés par :

In = i ×Cn = 0,04×Cn



Ces intérêts produits s’ajoutent au capital pour former le capital l’année suivante.

Autrement dit et pour tout n ∈N :

Cn+1 =Cn + In =Cn +0,04×Cn = 1,04×Cn

Par DÉFINITION, la suite (Cn) est une suite géométrique de premier terme C0 = 1 000et de raison q = 1,04.

Par PROPRIÉTÉ et pour tout n ∈N, on a :

Cn = 1,04n ×C0 = 1,04n ×1 000

Par exemple et au bout de 10 années : C10 = 1,0410 ×1 000 ≃ 1 480 €.

c. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes

DÉFINITION

La valeur actuelle E d’une suite de n annuités constantes (a1 ; · · · ; an) au taux d’intérêtannuel i est la somme des valeurs actuelles de chaque annuité.

Autrement dit :

• E =a1

1+ i+·· ·+

an

(1+ i )n.

PROPRIÉTÉ

Avec les notations précédentes et en notant a l’annuité constante :

• E = a ×1− (1+ i )−n

i.

EXEMPLE

• Une entreprise souhaite anticiper un remboursement de matériel décomposé en 5annuités de 2 000 € au taux d’intérêt annuel de 6%.

On a : E = a ×1− (1+ i )−n

i= 2 000×

1−1,06−5

0,06≃ 8 425.

Le montant du remboursement anticipé est environ 8 425 €.

L’économie réalisée e est donnée par : e ≃ 5×2 000−8 425 ≃ 1 575 €.

d. Annuité d’un emprunt à annuités constantes

REMARQUE

L’annuité a d’un emprunt E à n annuités constantes au taux d’intérêt annuel i est donnéepar :

• a = E ×i

1− (1+ i )−n.

EXEMPLE

• On emprunte 200 000 € pendant 20 ans au taux d’intérêt annuel de 4%.

On a : a = E ×i

1− (1+ i )−n= 200 000×

0,04

1−1,04−20≃ 14 716.

Le montant de l’annuité est environ 14 716 €.

Le coût total du crédit c est donné par : c = 20a ≃ 294 327 €.


COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 3. STATISTIQUES

CHAPITRE

3Statistiques

§ 1. Séries statistiques simples

a. Série de notes

EXERCICE

• On a relevé, pour les élèves d’une classe de terminale STMG, leur note à un examenet on a obtenu la série statistique suivante :

Note xi 6 8 9 10 11 12 15 18Effectif ni 1 2 3 6 4 2 1 1

1. Calculer la taille n de la série.

2. Calculer la moyenne x de la série.

3. Calculer la médiane Me de la série.

4. Calculer le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 de la série.

5. Représenter la série par un diagramme en boîtes.

6. Calculer la variance V et l’écart-type σ de la série.

7. Représenter la série par un nuage de points.

8. Calculer le pourcentage de valeur appartenant à l’intervalle[

x−σ ; x+σ]

.

RÉSOLUTION

1. On a : n =∑

ni = 20.

Pour les besoins de l’exercice, on note (a1 ; · · · ; a20) les 20 valeurs de la série,rangées dans l’ordre croissant, et comptées avec leur ordre de multiplicité.

2. On a : x =∑

ni xi

n=

210

20= 10,5.

3. La taille n de la série est paire donc la médiane Me est la demi-somme des

valeurs de rangn

2et

n

2+1.

On a : Me =a10 +a11

2=

10+10

2= 10.

4. Puisque 25% de n vaut 5, alors Q1 est la 5ième valeur.

On a : Q1 = a5 = 9.

Puisque 75% de n vaut 15, alors Q3 est la 15ième valeur.

On a : Q3 = a15 = 11.



5. Diagramme en boîtes de la série :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

xmin Q1 Me Q3 xmax

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

6. On a : V =∑

ni x2i

n−x2 =

2 328

20−10,52 = 6,15.

On a : σ=p

V =p

6,15 ≃ 2,48.

7. Nuage de points de la série :

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

++

+

+

+

++ +

8. On a :[

x−σ ; x+σ]

≃ [10,5−2,48 ; 10,5+2,48]≃ [8,02 ; 12,98].

L’intervalle [8,02 ; 12,98] contient 15 valeurs sur 20, soit 75% des valeurs.

b. Série classée

EXERCICE

• On a relevé, pour les élèves d’une autre classe de terminale STMG, leur taille et on aobtenu les résultats suivants (en cm) :

Taille xi [150 ; 160[ [160 ; 170[ [170 ; 175[ [175 ; 180[ [180 ; 200[Effectif ni 2 6 6 4 2Centre ci 155 165 172,5 177,5 190

1. Estimer la moyenne x par la série des centres.

2. Estimer la variance V et l’écart-type σ par la série des centres.

RÉSOLUTION

1. On a : x ≃ c =∑

ni ci

n=

3 425

20= 171,25.

2. On a : V ≃∑

ni c2i

n−c2 =

588 162,5

20−171,252 ≃ 81,56.

On a : σ=p

V ≃p

81,56 ≃ 9,03.



§ 2. Séries statistiques doubles

a. Série statistique double

DÉFINITION

Une série statistique double est le résultat de l’étude statistique de deux variables X et Y

sur une population de n individus.

On note (x1 ; · · · ; xn ) les n valeurs de la variable X et (y1 ; · · · ; yn) les n valeurs de lavariable Y .

EXEMPLE

• « Série de notes »

Note xi au baccalauréat 7 10 11 13 16Note yi à un concours 8 9 11 12 13

b. Nuage de points et point moyen

DÉFINITION

• Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points Mi de coordonnées(

xi ; yi

)

est ap-pelé le nuage de points associé à la série statistique à deux variables X et Y .

• On note x la moyenne des n valeurs de la variable X et y la moyenne des n valeurs de lavariable Y .

Le point G de coordonnées(

x ; y)

est appelé le point moyen du nuage de points associéà la série statistique à deux variables X et Y .

EXEMPLE


Le nuage de points de la série statistique double est formé des points M1 (7 ; 8) ;M2 (10 ; 9) ; M3 (11 ; 11) ; M4 (13 ; 12) et M5 (16 ; 13).

On a : x =7+10+11+13+16

5= 11,4.

On a : y =8+9+11+12+135

5= 10,6.

Le point moyen G est le point de coordonnées (11,4 ; 10,6).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

+M1

+M2

+M3

+M4

+M5

+G



c. Ajustement affine

DÉFINITION

Lorsque le nuage de points d’une série statistique double a une forme « allongée », on peuttracer une droite (ou plusieurs) qui passe « le plus près possible » des points du nuage.

On dit qu’une telle droite réalise un ajustement affine du nuage de points.

PROPRIÉTÉ

Il existe une unique droite passant par le point moyen du nuage et qui minimise la sommedes carrés des écarts verticaux des points du nuage à cette droite.

Cette droite est appelée la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés

ou la droite de régression de y en x.

EXEMPLE


Le nuage de points de la série statistique double a une forme « allongée ». On peutréaliser un ajustement affine du nuage de points par une droite.

On choisit la droite (d) de régression de y en x et à la calculatrice, on obtient l’équa-tion :

(d) : y = 0,59x +3,84

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

+M1

+M2

+M3

+M4

+M5

+G

(d)

La droite (d) passe par les points G et A de coordonnées (11,4 ; 10,6) et (0 ; 3,84).


COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 4. FONCTIONS

CHAPITRE

4Fonctions

§ 1. Fonctions affines

a. Fonction affine

DÉFINITION

Une fonction affine est une fonction f définie sur R par l’expression :

f (x) = ax +b

où a et b sont deux réels.

EXEMPLE

• « Entreprise »

On suppose que la recette R(x), en euros, de x objets vendus par une entreprise, estdonnée par : R(x) = 150x.

La fonction R est une fonction affine avec a = 150 et b = 0.

b. Représentation graphique

PROPRIÉTÉ

La représentation graphique de la fonction affine f définie sur R par f (x) = ax +b est ladroite (d) d’équation y = ax +b.

EXEMPLE


La représentation graphique de la fonction R est la droite (d) d’équation y = 150x.

La droite (d) passe par les points O et A de coordonnées (0 ; 0) et (10 ; 1 500).

0

200

400

600

8001000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17



§ 2. Fonctions polynômes du second degré

a. Fonction polynôme du second degré

DÉFINITION

• Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f définie sur R par l’expression :

f (x) = ax2 +bx +c

où a, b et c sont trois réels, avec a 6= 0.

• La forme ax2 +bx +c s’appelle la forme développée de l’expression f (x).

EXEMPLE


On suppose que le coût de fabrication C (x), en euros, de x objets fabriqués par l’en-treprise de l’EXEMPLE précédent, est donné par :

C (x) = 10x2 +10x +180

La fonction C est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 10, b = 10 et c = 180.

Le bénéficie B(x) réalisé par l’entreprise, en euros, pour x objets fabriqués et vendusest donné par :

B(x) = R(x)−C (x) = 150x − (10x2 +10x +180)

B(x) =−10x2 +140x −180

La fonction B est une fonction polynôme de degré 2 avec a =−10, b = 140 et c =−180.

b. Forme canonique

PROPRIÉTÉ

Avec les notations précédentes, il existe deux réels α et β tels que :

f (x) = a(x −α)2 +β

Les réels α et β sont donnés par :

α=−b

2aet β= f (α)

DÉFINITION

La forme a(x −α)2 +β s’appelle la forme canonique de l’expression f (x).

EXEMPLE


On considère le bénéficie B(x) =−10x2 +140x −180.

On a : α=−b

2a=

−140

2× (−10)= 7.

On a : β= f (α) =−10×72 +140×7−180 = 310.

On a : B(x) =−10(x −7)2 +310.



c. Représentation graphique

PROPRIÉTÉ

Soit f une fonction polynôme de degré 2 de forme canonique a(x −α)2 +β.

La représentation graphique de f est une parabole de sommet S(

α ; β)

et d’axe de symétriela droite d’équation x =α.

• Si a > 0 :

x =α

S(

α ; β)

b

• Si a < 0 :

x =α

S(

α ; β)

b

EXEMPLE



La représentation graphique de B est une parabole de sommet S(7 ; 310), d’axe desymétrie la droite d’équation x = 7, et dont les branches sont « tournées vers le bas ».

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Le bénéfice maximum est 310 € pour 7 objets vendus.

d. Discriminant du trinôme

DÉFINITION

Le discriminant du trinôme f (x) = ax2 +bx +c est le réel ∆ défini par :

∆= b2 −4ac

EXEMPLE



On a : ∆= b2 −4ac = 1402 −4× (−10)× (−180) = 12 400.



e. Résolution de l’équation ax2 +bx +c = 0

PROPRIÉTÉ

On note ∆ le discriminant du trinôme f (x) = ax2 +bx +c.

• Si ∆> 0, alors l’équation f (x) = 0 possède deux solutions :

x1 =−b −

p∆

2a

x2 =−b +

p∆

2a

• Si ∆= 0, alors l’équation f (x) = 0 possède une solution :

x0 =−b

2a=α

• Si ∆< 0, alors l’équation f (x) = 0 n’a pas de solution.

DÉFINITION

Les réels éventuels x1, x2 et x0 de la PROPRIÉTÉ s’appellent les racines du trinôme f (x).

EXEMPLE



Puisque ∆> 0, alors l’équation B(x) = 0 admet deux solutions :

x1 =−b −

p∆

2a=

−140−p

12 400

2× (−10)≃ 12,57

x2 =−b −

p∆

2a=

−140+p

12 400

2× (−10)≃ 1,43

f. Signe de ax2 +bx +c

PROPRIÉTÉ

On note ∆ le discriminant du trinôme f (x) = ax2 +bx +c.

• Si ∆> 0, et en ordonnant x1 et x2, alors :

x

f (x)

−∞ x1 x2 +∞

signe de a 0 signe de −a 0 signe de a

• Si ∆= 0, alors :

x

f (x)

−∞ x0 +∞

signe de a 0 signe de a

• Si ∆< 0, alors :

x

f (x)

−∞ +∞

signe de a



EXEMPLE



x

B(x)

−∞ 1,43 12,57 +∞− 0 + 0 −

L’entreprise réalise un bénéfice en vendant entre 2 et 12 objets.

§ 3. Dérivée

a. Tangente à une courbe en un point

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle I. On note C la courbe de f dans unrepère et on considère un point A de C d’abscisse a.

La tangente à la courbe C au point A est la droite (d), parmi toutes les droites passant parA, qui « approche » le mieux la courbe C au « voisinage » de A.

C

(d)

bA

b. Nombre dérivé d’une fonction en un réel

DÉFINITION

Avec les notations précédentes. Le nombre dérivé de f en a, noté f ′(a), est le coefficientdirecteur, lorsqu’il existe, de la tangente à la courbe C au point A.

EXEMPLE

• f (x) = x2 +1.

La tangente à la courbe de la fonction f au point A d’abscisse 1, au « jugé », est la droite(AB) où A et B sont les points de coordonnées (1 ; 2) et (2 ; 4).

On a : f ′(1) =∆y

∆x=

yB − yA

xB − xA=

4−2

2−1= 2.

1

2

3

4

5

−11 2 3−1

C

bA

bB



c. Nombre dérivé des fonctions usuelles

PROPRIÉTÉ

Fonction Expression f (x) Nombre dérivé f ′(x)

Constante k 0

Linéaire x 1

Affine ax +b a

Carrée x2 2x

Puissance xn nxn−1

Polynôme de degré 2 ax2 +bx +c 2ax +b

Inverse1

x−

1

x2

EXEMPLE

• f (x) = x2 +3x −2.

La fonction f est une fonction polynôme de degré 2.

Pour tout x ∈R : f ′(x) = 2x +3.

d. Dérivées et opérations

DÉFINITION

On considère une fonction f définie sur un intervalle I qui admet un nombre dérivé f ′(x)pour tout réel x ∈ I.

• On dit que f est dérivable sur I.

• La fonction f ′ définie sur I par l’expression f ′(x) s’appelle la fonction dérivée de f .

PROPRIÉTÉ

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R et k une constante réelle.

Fonction f Fonction dérivée f ′

ku ku′

u+ v u′+ v ′

uv u′v +uv ′

u

v

u′v −uv ′

v2

EXEMPLE

• f (x) = 5x3.

La fonction f est de la forme ku avec k = 5 et u(x) = x3.

Pour tout x ∈R : u′(x) = 3x2.

Pour tout x ∈R : f ′(x) = 5×u(x) = 5×3x2 = 15x2.

• f (x) = (2x +3)(5x −7).

La fonction f est de la forme uv avec u(x) = 2x +3 et v(x) = 5x −7.

Pour tout x ∈R : u′(x) = 2 et v ′(x) = 5.

Pour tout x ∈R : f ′(x) = 2× (5x −7)+ (2x +3)×5 = 20x +1.



e. Équation de la tangente à une courbe en un point

PROPRIÉTÉ

Avec les notations précédentes.

Une équation de la tangente (d) à la courbe C au point A d’abscisse a est donnée par :

(d) : y = f ′(a)(x −a)+ f (a)

EXEMPLE

• f (x) = x2 +3.

Pour tout x ∈R, on a : f ′(x) = 2x.

On a : f (1) = 4 et f ′(1) = 2.

L’équation de la tangente (d) à la courbe C au point A d’abscisse 1 est donnée par :

(d) :y = f ′(1)(x −1)+ f (1)

(d) :y = 2(x −1)+4

(d) :y = 2x +2

§ 4. Sens de variations d’une fonction

a. Signe de la dérivée et monotonie

THÉORÈME

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R.

• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) Ê 0, alors f est croissante sur I.

• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) = 0, alors f est constante sur I.

• Si, pour tout x ∈ I, f ′(x) É 0, alors f est décroissante sur I.

b A

b B

EXEMPLE

• f (x) = x2 +3.

La fonction f est dérivable sur R et pour tout x ∈R, on a : f ′(x) = 2x.

Pour tout x Ê 0, f ′(x) Ê 0 donc la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Pour tout x É 0, f ′(x) É 0 donc la fonction f est décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; 0].



b. Sens de variations et tableau de variations

DÉFINITION

Étudier le sens de variations d’une fonction consiste à découper son ensemble de défini-tion en une succession d’intervalles les plus larges possibles sur lesquels la fonction estmonotone.

MÉTHODE

Pour étudier le sens de variations d’une fonction définie sur un intervalle I, il suffit d’étu-dier le signe de sa dérivée sur I.

Un tableau de variations permet alors de résumer le sens de variations de la fonction.

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par : f (x) = 2x2 −12x.

La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 4].

Pour tout x ∈ [0 ; 4], on a : f ′(x) = 4x −12.

On obtient le signe de f ′(x) et, d’après le THÉORÈME, le sens de variations de f , dansle tableau de variations :

x

f ′(x)

f (x)

0 3 4− 0 +

00

−18−18

−16−16

c. Étude du sens de variations d’une fonction polynôme

EXERCICE

• Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−2 ; 4] par : f (x) = x3 −3x2 +2.

Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle [−2 ; 4].

RÉSOLUTION

La fonction f est dérivable sur l’intervalle [−2 ; 4].

Pour tout x ∈ [−2 ; 4], on a :

f ′(x) = 3x2 −6x

f ′(x) = 3x × (x −2)

On obtient le signe de f ′(x) et, d’après le THÉORÈME, le sens de variations de f ,dans le tableau de variations :

x

3x

x −2

f ′(x)

f (x)

−2 0 2 4− 0 + +− − 0 ++ 0 − 0 +

−18−18

22

−2−2

1818



d. Étude du sens de variations d’une fonction rationnelle

EXERCICE

• Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par : f (x) =2x +3

x +1.

Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; 4].

RÉSOLUTION

La fonction f est de la formeu

vavec : u(x) = 2x +3 et v(x) = x +1.

Pour tout x ∈ [0 ; 4], on a : u′(x) = 2 et v ′(x) = 1.

La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 4].

Pour tout x ∈ [0 ; 4], on a :

f ′(x) =2× (x +1)− (2x +3)×1

(x +1)2

f ′(x) =−1

(x +1)2

On obtient le signe de f ′(x) et, d’après le THÉORÈME, le sens de variations de f ,dans le tableau de variations :

x

f ′(x)

f (x)

0 4−

33

1,81,8


COURS DE MATHS - TERMINALE STMG CH. 5. PROBABILITÉS

CHAPITRE

5Probabilités

§ 1. Probabilités conditionnelles

a. Approche

EXEMPLE

Le tableau d’effectifs suivant donne la répartition des 500 élèves d’un lycée suivantleur sexe et la LV2 étudiée :

Allemand Espagnol TotalFilles 140 60 200

Garçons 180 120 300Total 320 180 500

On tire au hasard, parmi le fichier des élèves du lycée, la fiche d’un élève.

Calculer de deux manières la probabilité que l’élève soit une fille germaniste.

On note F l’événement : « l’élève est une fille » et A l’événement : « l’élève est germa-niste ».

On veut calculer p(A∩F).

1ère manière :

On a : p(A∩F) =nbre de filles germanistes

nbre d’élèves=

140

500= 0,28.

2ème manière :

On a : p(A∩F) =nbre de germanistes

nbre d’élèves×

nbre de filles germanistes

nbre de germanistes=

320

500×

140

320= 0,28.

Ainsi, en notant pA(F) la probabilité que l’élève soit une fille sachant que l’élève estgermaniste, on a :

p(A∩F) = p(A)×pA(F)

b. Probabilité conditionnelle

DÉFINITION

On considère une loi de probabilité sur un univers Ω, et un événement A tel que p(A) 6= 0.

Pour tout événement B, la probabilité de B sachant A, notée pA(B), est définie par :

pA(B) =p(A∩B)

p(A)

COROLLAIRE

Dans les conditions précédentes, on a :

• p(A∩B) = p(A)×pA(B).



EXEMPLE

• On tire successivement et sans remise deux boules d’une urne contenant 5 boulesrouges et 2 boules bleues. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules rouges ?

On note les événements A : « la 1ère boule est rouge » et B : « la 2ème boule est rouge ».

On cherche p(A∩B).

On a : p(A∩B) = p(A)×pA(B) =5

7×

4

6=

20

42=

10

21.

c. Arbre de probabilités

EXEMPLE « Urnes U, V et W »

On considère les trois urnes U, V et W schématisées ci-dessous.

On choisit une urne au hasard puis on tire une boule au hasard dans cette urne.

U V W

On note U l’événement : « l’urne choisie est l’urne U » etc...

On note B l’événement : « la boule tirée est bleue ».

L’arbre de probabilités est le suivant :

Ω

U

1/3

R4/7

B3/7

V1/3

R3/5

B2/5

W

1/3R1/4

B3/4

MÉTHODE

Un arbre de probabilités schématise le déroulement d’une expérience aléatoire.

Il est constitué :

• de nœuds, sur lesquels sont indiqués des événements.

• de branches, auxquelles sont affectées des probabilités.

• de chemins que l’on assimile à des intersections d’événements.

EXEMPLE « Urnes U, V et W »

• La probabilité d’une intersection d’événements correspondant à un chemin est égaleau produit des probabilités affectées à chaque branche de ce chemin.

Par exemple, par le chemin du haut : p(U∩R) = p(U)×pU(R) =1

3×

4

7=

4

21.



• La somme des probabilités affectées aux branches d’un même nœud est égale à 1.

Par exemple, depuis le nœud W : pW(R)+pW(B) =1

4+

3

4= 1.

• La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des cheminsconduisant à l’événement.

Par exemple : p(R) =1

3×

4

7+

1

3×

3

5+

1

3×

1

4=

199

420.

§ 2. Loi de Bernoulli

a. Épreuve de Bernoulli

DÉFINITION

Une épreuve de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui n’a que 2 issuespossibles :

• Une issue S, appelée succès, de probabilité p.

• Une issue S, appelée échec, de probabilité 1−p.

EXEMPLE

• Une urne contient 40 boules blanches et 60 boules noires.

On tire une boule de l’urne et on note sa couleur.

Soit S l’événement : « la boule tirée est blanche ».

On réalise une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,4.

b. Loi de Bernoulli

DÉFINITION

On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre p à deux issues S et S.

La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de probabilité discrète de la variable aléatoireX à valeurs dans 0 ; 1 et comptant le nombre de succès dans l’épreuve de Bernoulli.

Valeur k 0 1Probabilité p(X = k) 1−p p

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. On a :

• E (X ) = p.

EXEMPLE


On tire une boule de l’urne et on note sa couleur.

Le nombre de boules blanches X prend ses valeurs dans 0 ; 1 et suit la loi de Bernoullide paramètre 0,4.

Valeur k 0 1Probabilité p(X = k) 0,6 0,4

On a : E (X ) = 0,6×0+0,4×1 = 0,4.



§ 3. Loi binomiale

a. Schéma de Bernoulli

DÉFINITION

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est une expérience aléatoire qui consiste àrépéter n fois et de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètrep d’issues contraires S et E de probabilités p et 1−p.

Les issues sont donc des « mots » de n lettres, chaque lettre étant S ou E.

EXEMPLE


On tire successivement et avec remise trois boules de l’urne et on note leur couleur.

Soit S l’événement : « la boule tirée est blanche » lors d’un tirage.

On réalise une schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 0,4.

Il y a huit issues : SSS ; SSE ; SES ; SEE ; ESS ; ESE ; EES et EEE.

Ω

S

0,4

S0,4

S → SSS0,4

E → SSE0,6

E0,6

S → SES0,4

E → SEE0,6

E

0,6S

0,4

S → ESS0,4

E → ESE0,6

E0,6

S → EES0,4

E → EEE0,6

b. Loi binomiale

DÉFINITION

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.

La loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p), est la loi de probabilité discrètede la variable aléatoire X à valeurs dans 0 ; 1 ; · · · ; n et comptant le nombre de succèsobtenus dans le schéma de Bernoulli.

NOTATION

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres n et p et un entier naturel k É n.

On note

(

n

k

)

, et on lit « k parmi n », le nombre de « mots » de n lettres contenant k fois la

lettre S.

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).



• Pour tout entier k ∈ [0 ; n], on a : p(X = k) =(

n

k

)

pk (1−p)n−k .

• E (X ) = np.

• V (X ) = np(1−p).

EXEMPLE

• La loi binomiale B(3 ; 0,4).

Valeur k 0 1 2 3Probabilité p(X = k) 0,216 0,432 0,288 0,064

On obtient directement la loi à la calculatrice par la séquence binomFdp(3, 0.4).

On obtient p(X = k) par la séquence binomFdp(3, 0.4, k).

On obtient p(X É k) par la séquence binomFRép(3, 0.4, k).

§ 4. Loi normale

a. Approximation de la loi binomiale par la loi normale

REMARQUE

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p).

Son diagramme en bâtons, où en abscisses sont placées les valeurs k de X et en ordonnéesles probabilités p(X = k), prend la forme d’une courbe en cloche, symétrique par rapportà la droite d’équation x = np.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

x = 30

n = 75

p = 0,4

b. Loi normale

DÉFINITION

La courbe en cloche est la courbe d’une fonction dite de densité de probabilité dont l’airesous la courbe définit une loi de probabilité, appelée loi normale.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

µ= 30

σ≃ 4,2



PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale qui approche une variable aléatoireY suivant une loi binomiale.

L’espérance de X , notée µ, est celle de la variable aléatoire Y , et l’écart-type, noté σ, estcelui de la variable aléatoire Y .

NOTATION

On note N (µ ; σ2) la loi normale de paramètres µ et σ.

c. Calcul de probabilités

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (µ ; σ2).

Pour tout intervalle [a ; b], la probabilité p(a É X É b) que X appartienne à l’intervalle[a ; b] est égale à l’aire délimitée par la courbe en cloche, l’axe des abscisses, et les droitesd’équation x = a et x = b.

a b

p(a É X É b)

COROLLAIRE

• p(X = k) = 0.

• p(X Ê a) = p(X > a).

• p(X É b) = p(X < b).

• p(X Éµ) = p(X Êµ) = 0,5.

• p(X Ê a) = 1−p(X É a).

EXEMPLE

Dans une coopérative, le diamètre X d’une orange suit la loi normale N (70 ; 32).

• On a : p(64É X É 76) ≃ 0,954 5 ≃ 95,45%.

A la calculatrice : normalFRép(64, 76, 70, 3).

Environ 95% des oranges ont un diamètre compris entre 64 mm et 76 mm.

• On a : p(X É 76) ≃ 0,977 2≃ 97,72%.

A la calculatrice : normalFRép(-10∧9, 76, 70, 3).

On peut aussi utiliser : p(X É 76) = p(X É 70)+p(70 É X É 76) ≃ 0,5+0,477 2.

A la calculatrice : 0.5 + normalFRép(70, 76, 70, 3).

Environ 98% des oranges ont un diamètre inférieur à 76 mm.



d. Intervalle à « 2 sigmas »

PROPRIÉTÉ

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N (µ ; σ2). On a :

• p(µ−2σÉ X É µ+2σ) ≃ 0,95.

EXEMPLE

Dans l’EXEMPLE précédent, on peut affirmer que si on choisit au hasard une orangedans la coopérative, son diamètre sera compris entre 64 mm et 76 mm au seuil de 95%c’est à dire au risque de 5%.

§ 5. Intervalles de fluctuation et de confiance

a. Intervalle de fluctuation

CADRE

• On dispose d’une urne contenant des boules blanches et des boules noires.

On sait que la proportion de boules blanches est p.

On tire successivement et avec remise n boules.

On note Xn le nombre de boules blanches tirées et Fn =Xn

nla fréquence de boules blanches

dans l’échantillon.

On veut estimer F50 au seuil s = 95%, c’est à dire au risque α= 5%.

PROPRIÉTÉ

Si n Ê 30, np Ê 5 et n(1− p) Ê 5, alors Fn ∈ In =[

p −1p

n; p +

1p

n

]

avec une probabilité

supérieure ou égale à 0,95.

DÉFINITION

L’intervalle

[

p −1p

n; p +

1p

n

]

de la PROPRIÉTÉ s’appelle l’intervalle de fluctuation au

seuil de 95% de la fréquence Fn .

b. Intervalle de confiance

CADRE

• On dispose d’une urne contenant des boules blanches et des boules noires.

On ne connaît pas la proportion p de boules blanches et on veut estimer p.

On tire successivement et avec remise n boules.

On note Xn le nombre de boules blanches tirées et f =Xn

nla fréquence de boules blanches

dans l’échantillon.

PROPRIÉTÉ

Si n Ê 30, n f Ê 5 et n(1− f ) Ê 5, alors p ∈ Jn =[

f −1p

n; f +

1p

n

]

avec une probabilité

supérieure ou égale à 0,95.



DÉFINITION

L’intervalle

[

f −1p

n; f +

1p

n

]

de la PROPRIÉTÉ s’appelle l’intervalle de confiance de la

proportion p au seuil de confiance de 95%.


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