Cours de mathématiques MPSI · 2020. 10. 12. · GNE Notions ensemblistes Chapitre 1 : Éléments de logique Soient A et B deux ensembles : – L’inclusion: on dit que A est inclus

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ECours de Mathématiques

MPSI

Lycée Montaigne 2015-16

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P1

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EChapitre 1

Éléments de logique

SommaireI Notions ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1) Vocabulaire lié aux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1) Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2) Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4) Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5) Retour sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III Le raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1) Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2) Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3) Démontrer une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4) L’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5) La récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I NOTIONS ENSEMBLISTES

1) Vocabulaire lié aux ensembles

Nous ne définirons pas rigoureusement la notion d’ensemble, celle-ci sera considérée comme intuitive.Nous nous contenterons de la « définition » suivante :

Un ensemble E est une collection d’objets 1, ceux-ci sont appelés éléments de E. Si x est un élémentde E on écrira x ∈ E (se lit « x appartient à E »), dans le cas contraire on écrira x ∉ E. Si E n’a pasd’éléments on dira que c’est l’ensemble vide et on le notera ;. Deux ensembles E et F sont dits égauxsi et seulement si ils ont les mêmes éléments, on écrira alors E = F.

Définition 1.1

ZExemples :– Les ensembles de nombres :N, Z, D,Q, R, C.– L’ensemble des fonctions de R dans R : F (R,R).– Ensembles définis en extension, comme : E = 1,8,6,2 (éléments non ordonnés et devant apparaître

une seule fois dans la liste).– Ensembles définis en compréhension, comme : E = 2k +1 | k ∈Z.

1. Cependant toute collection d’objets ne constitue pas forcément un ensemble. Par exemple, le paradoxe de Bertrand Russela montré que l’ensemble des ensembles ne peut pas exister, sinon, la considération de l’ensemble y = x | x ∉ x conduit à uneabsurdité.

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Notions ensemblistes Chapitre 1 : Éléments de logique

Soient A et B deux ensembles :– L’inclusion : on dit que A est inclus dans B tous les éléments de A sont également éléments de B,

notation : A ⊂ B.– Ensemble des parties : si A est inclus dans B, on dit que A est une partie de B. L’ensemble des

parties de B est noté P (B), donc écrire « A ⊂ E » revient à écrire « A ∈P (B) ». Par exemple, l’ensemblevide et B sont des parties de B, donc ;∈P (B) et B ∈P (B).

– La réunion : on note A∪B (se lit « A union B »), l’ensemble que l’on obtient en regroupant leséléments de A avec ceux de B, par exemple 2k +1 | k ∈Z∪ 2n | n ∈Z =Z.

– L’intersection : on note A∩B (se lit « A inter B »), l’ensemble des éléments communs à A et B.Par exempleN∩Z∗ =N∗. On dit que deux ensembles sont disjoints lorsque leur intersection estl’ensemble vide.

– La différence : on note A \B (se lit « A moins B »), l’ensemble des éléments qui sont dans A mais pasdans B. Par exemple, R+ =R\]−∞;0[.

– Le complémentaire : lorsque A est une partie de B, la différence B \ A est appelé complémentairede A dans B, noté CB(A) (ou bien A). Par exemple R\Q est l’ensemble des irrationnels.

– Le produit cartésien : le produit cartésien de A par B est l’ensemble des couples (x, y) avec x ∈ A ety ∈ B, on le note A×B, c’est à dire A×B = (x, y) / x ∈ E, y ∈ F. On rappelle que (x, y) = (a,b) si etseulement si x = a et y = b.

Définition 1.2

B

A

A ⊂ B

BA

A 6⊂ B

A B

A∪B

A B

A∩B

A B

A \ B

B

A

CB(A)

FExercice 1.1 Décrire P (E) lorsque E = 1;2;3.



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Notions de logique Chapitre 1 : Éléments de logique

Remarque 1.1 :– Dire que deux ensembles A et B sont égaux, revient à dire que A est inclus dans B, et B est inclus dans A.

Donc démontrer une égalité entre deux ensembles, peut se faire en montrant une double inclusion.– Le produit cartésien se généralise à trois ensembles ou plus généralement à n ensembles :

E1 ×·· ·×En = (x1, . . . , xn) | x1 ∈ E1, . . . , xn ∈ En

Lorsque tous les ensembles sont égaux au même ensemble E, alors on note E×·· ·×E = En

2) Propriétés

Soient A, B et C trois ensembles, on a A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C). C’est la distributivité de la réunionsur l’intersection.De même, on a A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C). C’est la distributivité de l’intersection sur la réunion.

Théorème 1.1 (Propriétés de la réunion et de l’intersection)

Preuve : Ceci sera démontré un peu plus loin.

Si A et B sont deux parties d’un ensemble E :– A∪CE(A) = E.– CE(E) =;, E \;= E.– E \ (E \ A) = A.– E \ (A∪B) = (E \ A)∩ (E \ B) (loi de De Morgan 2).– E \ (A∩B) = (E \ A)∪ (E \ B) (2e loi de De Morgan).

Théorème 1.2 (Propriétés du complémentaire)

Preuve : Ceci sera démontré un peu plus loin.

II NOTIONS DE LOGIQUE

1) Propositions

Nous nous contenterons de la « définition » suivante :

Une proposition est une phrase (ou assertion) qui a un sens mathématique et qui est soit vraie soitfausse 3. On dira qu’une proposition n’a que deux valeurs de vérité : vraie (notée V) et fausse (notée F).Si P désigne une assertion, on notera non(P) (ou P) sa négation.

Définition 1.3 (Proposition)

ZExemples :– « 2 est un entier pair » est une proposition vraie.– « 3 est un entier pair » est une proposition fausse.– « n est un entier pair » n’est pas une proposition car sa valeur de vérité dépend de la valeur de n, un telle

phrase est appelée prédicat portant sur la variable n à valeurs dans Z, on pourrait noter ce prédicatP(n) par exemple.

– Si A et B désignent deux ensembles, alors la phrase A ⊂ B est une proposition (tous les éléments de Asont éléments de B). Sa négation s’écrit A 6⊂ B (un élément de A n’est pas forcément un élément de B).

Si P est une proposition, la valeur de vérité de non(P) se déduit de celle de P conformément à la table devérité suivante :

P non(P)V FF V

2. DE MORGAN Augustus (1806 – 1871) logicien anglais.3. Il ne doit pas y avoir d’autre alternative selon le principe du tiers exclu.



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Par convention :Dans les raisonnements mathématiques on n’écrit que des propositions vraies. Si P est une proposition,

au lieu d’écrire « P est vraie », on écrit plus simplement « P », et au lieu d’écrire « P est fausse », on écrit plussimplement « non(P) », c’est à dire la négation.

2) Connecteurs logiques

Ceux-ci permettent de relier deux propositions pour en donner une troisième.

Soient P et Q deux propositions.On dira que la proposition « P et Q » est vraie lorsque les deux propositions le sont simultanément,sinon on dira qu’elle fausse.On dira que la proposition « P ou Q » est vraie lorsqu’au moins une des deux propositions est vraie(voire les deux), sinon on dira qu’elle fausse.

Définition 1.4 (conjonction, disjonction inclusive)

P Q P et Q P ou QV V V VV F F VF V F VF F F F

Soient P et Q deux propositions.On dira que la proposition « P =⇒ Q » (lire « P implication Q ») est fausse lorsque P est vraie mais pasQ.On dira que la proposition « P ⇐⇒ Q » (lire « P équivalence Q ») est vraie lorsque les deux propositionsont la même valeur de vérité.

Définition 1.5 (implication, équivalence)

P Q P =⇒ Q P ⇐⇒ QV V V VV F F FF V V FF F V V

ZExemples :– La proposition « (2 est pair) =⇒ (3 est impair) » est vraie.– La proposition « (2 est impair) =⇒ (3 est pair) » est vraie.– La proposition « (2 est pair) =⇒ (3 est pair) » est fausse.– La proposition « (2 est impair) ⇐⇒ (3 est pair) » est vraie.

Soient P et Q deux propositions.Lorsque la proposition « P =⇒ Q » est vraie on dit « P implique Q » (ou « si P alors Q »).Lorsque la proposition « P ⇐⇒ Q » est vraie on dit que « P équivaut à Q » (ou « P est équivalent à Q »ou encore « P si et seulement si Q »).

Définition 1.6 (implique, équivaut)



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Principe de déductionSoient P et Q deux propositions, si on sait que P implique Q, et que P est vraie, alors on a forcément Q

vraie d’après la définition de l’implication. C’est le principe de déduction 4.

3) Propriétés

Maintenant que nous savons ce que sont des propositions équivalentes, nous allons pouvoir établir lespropriétés suivantes :

Soient P et Q deux propositions :– La proposition « non(non(P)) » est équivalente à « P ».– La proposition « non(P et Q) » est équivalente à « non(P) ou non(Q) » (1re loi de De Morgan).– La proposition « non(P ou Q) » est équivalente à « non(P) et non(Q) » (2e loi de De Morgan).– L’implication « P =⇒ Q » est équivalente à « (non P) ou Q ».– La proposition « non(P =⇒ Q) » est équivalente à « P et non(Q) ».– La proposition « P ⇐⇒ Q » est équivalente à « (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P) ».– La proposition « P ⇐⇒ Q » est équivalente à « non(P) ⇐⇒ non(Q) ».

Théorème 1.3

Preuve : La première propriété est évidente. Les autres se montrent avec une table de vérité (à compléter en exercice) :

P Q non(P et Q) non(P) ou non(Q) non(P ou Q) non(P) et non(Q) P =⇒ Q non(P) ou QV VV FF VF F

P Q non(P =⇒ Q) P et non(Q) P ⇐⇒ Q (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P) non(P) ⇐⇒ non(Q)V VV FF VF F

FExercice 1.2 Sans utiliser de table de vérité, redémontrer (en utilisant les autres propriétés) que : « non(P =⇒ Q) » est

équivalente à « P et non(Q) ».

Solution 1.2 « P =⇒ Q » équivaut à « non(P) ou Q », donc « non(P =⇒ Q) » équivaut à « non(non(P) ou Q) », ce qui

équivaut encore à « non(non(P)) et non(Q) » (loi de De Morgan), soit encore à « P et non(Q) ».

Soient P et Q deux propositions.La réciproque de l’implication « P =⇒ Q » est l’implication « Q =⇒ P ».La contraposée de l’implication « P =⇒ Q » est l’implication « non(Q) =⇒ non(P) ».

Définition 1.7 (réciproque, contraposée)

Il découle alors du théorème précédent :

Une implication et sa contraposée sont équivalentes.Deux propositions sont équivalentes si et seulement si les implications dans les deux sens sont vraies.

Théorème 1.4

4. Par contre, si P implique Q, et que P est fausse, alors on ne peut rien dire de Q.



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Remarque 1.2 – Ce résultat est à connaître car très utilisé dans les raisonnements (raisonnements par contra-position, raisonnements par double implication).

4) Quantificateurs

Les quantificateurs servent à construire des propositions à partir d’un prédicat P(x), dont la variable xprend ses valeurs dans un certain ensemble E. On rencontre :

– Le quantificateur universel : « ∀x ∈ E, P(x) » (se lit « pour tout x dans E, P(x) [sous entendu est vraie] »).Par exemple, la proposition «∀x ∈R, x2> 0 » se lit « pour tout réel x, le carré de x est positif ou nul », oubien encore « le carré de tout réel est positif ».

– Le quantificateur existentiel : « ∃x ∈ E, P(x) » (se lit « il existe au moins un x de E tel que P(x) [sousentendu est vraie] »). Par exemple, la proposition «∃x ∈C, x2 =−1 », se lit « il existe au moins un nombrecomplexe dont le carré vaut −1 ».

Remarque 1.3 :– On rencontre aussi parfois la proposition « ∃!x ∈ E, P(x) » (se lit « il existe un unique x de E tel que P(x)

[sous entendu est vraie] »). Par exemple, « ∃!x ∈R+, x2 = 2 ».– On peut trouver plusieurs quantificateurs dans une même proposition. Par exemple, « ∀y ∈ R+,∃!x ∈R+, x2 = y » traduit que tout réel positif est le carré d’un unique réel positif.

Les propositions « ∀x ∈ A,∃y ∈ B,P(x, y) » et « ∃y ∈ B,∀x ∈ A,P(x, y) », n’ont pas le même sens. En effet, dans lapremière le y dépend de x alors que dans la seconde il s’agit du même y pour tous les x.

Attention!

Celle-ci est régie par les règles suivantes :

a) La négation de ∀ est ∃ (et vice - versa).

b) On peut intervertir deux quantificateurs de même nature.

c) On ne peut pas intervertir deux quantificateurs de nature différente.

À retenir : utilisation des quantificateurs

ZExemples :– L’assertion «∀y ∈R+,∃x ∈R+, x2 = y » est vraie, elle traduit que tout réel positif est le carré d’au moins

un réel positif. Mais l’assertion « ∃x ∈R+,∀y ∈R+, x2 = y » traduit que tout réel positif est le carré d’unmême réel, ce qui est évidemment faux. Sa négation est «∀x ∈R+,∃y ∈R+, x2 6= y ».

– On a toujours l’implication suivante :(∃x ∈ A,∀y ∈ B,P(x, y)

)=⇒ (∀y ∈ B,∃x ∈ A,P(x, y)).

– La négation de «∀x ∈ A,∃y ∈ B,P(x, y) » est « ∃x ∈ A,∀y ∈ B,non(P(x, y)) ».

FExercice 1.3

1/ Traduire dans le langage mathématique : la suite (un) est majorée. Écrire la négation. Qu’en est-il de la suitedéfinie par un = n2 ? Justifier.

2/ Traduire dans le langage courant les propositions suivantes :

a) ∃y ∈R,∀x ∈R, x 6 y .

b) ∃y ∈N,∀x ∈N, y 6 x.

Solution 1.3

1/ ∃M ∈ R,∀n ∈N,un 6M. La négation est ∀M ∈ R,∃n ∈N,un > M. La suite (n2) n’est pas majorée, en effet : soitM ∈R, si n ∈N avec n > M, alors (n +1)2 > n > M.

2/ Traduction :

a) L’ensemble R a un maximum, cette proposition est fausse, sa négation s’écrit ∀y ∈R,∃x ∈R, x > y .

b) L’ensembleN a un minimum, cette proposition est vraie.

5) Retour sur les ensembles

Soient A et B deux parties d’un ensemble E.



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Intersection d’ensemblesSi x désigne un élément de E, démontrer que x ∈ A∩B, c’est démontrer la proposition « (x ∈ A) et (x ∈ B) ».

On peut donc écrire : A∩B = x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B.

Réunion d’ensemblesSi x désigne un élément de E, démontrer que x ∈ A∪B, c’est démontrer la proposition « (x ∈ A) ou (x ∈ B) ».

On peut donc écrire : A∪B = x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B.

ComplémentaireSi x désigne un élément de E, démontrer que x ∈ CE(A), c’est démontrer la proposition « (x ∉ A). On peut

donc écrire : CE(A) = x ∈ E | x ∉ A.

Différence d’ensemblesSi x désigne un élément de E, démontrer que x ∈ A \ B, c’est démontrer la proposition « (x ∈ A) et (x ∉ B) ».

On peut donc écrire : A \ B = x ∈ E | x ∈ A et x ∉ B, il en découle que A \ B = A∩CE(B).

Inclusion d’ensemblesDémontrer que A est inclus dans B, c’est démontrer que les éléments de A sont également des éléments

de B, c’est à dire, pour tout élément x de E, on a : x ∈ A =⇒ x ∈ B. Pour établir ceci, on prend un élément xquelconque de E, et on démontre la proposition x ∈ A =⇒ x ∈ B.

Égalité d’ensemblesDémontrer que A est égal à B, c’est démontrer la double inclusion : A ⊂ B et B ⊂ A, c’est à dire, pour tout

élément x de E, on a : (x ∈ A =⇒ x ∈ B) et (x ∈ B =⇒ x ∈ A), ce qui équivaut à : x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B. Pour établirceci, on prend un élément x quelconque de E, et on démontre la proposition x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B.

Démontrer que A ⊂ B, c’est démontrer : ∀x ∈ E, x ∈ A =⇒ x ∈ B.Démontrer que A = B, c’est démontrer : ∀x ∈ E, x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B.

À retenir

ZExemples :– Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E, démontrer la distributivité de la réunion sur l’intersection

c’est démontrer :∀x ∈ E,

(x ∈ A∪ (B∩C)

)⇐⇒ (x ∈ [A∪B]∩ [A∪C]

)On considère un x quelconque dans E, on peut alors montrer l’équivalence avec une table de vérité (àcompléter en exercice) :

x ∈ A x ∈ B x ∈ C x ∈ A∪ (B∩C) x ∈ [A∪B]∩ [A∪C]V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

– Soient A et B deux parties d’un ensemble E, soit x un élément quelconque de E, alors :

x ∈ CE(A∪B) ⇐⇒ non([x ∈ A] ou [x ∈ B])

⇐⇒ [x ∉ A] et [x ∉ B]

⇐⇒ x ∈ CE(A)∩CE(B)

Ce qui prouve que CE(A∪B) = CE(A)∩CE(B).

FExercice 1.4 En s’inspirant des deux exemples ci-dessus, démontrer le théorème 1.1 et le théorème 1.2.



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Le raisonnement Chapitre 1 : Éléments de logique

Résoudre une équationUne équation dans R, d’inconnue x réelle peut toujours se mettre sous la forme f (x) = 0. Résoudre

cette équation dans R c’est déterminer la partie S de R telle que « ∀x ∈R, f (x) = 0 ⇐⇒ x ∈ S » (S est appelél’ensemble des solutions réelles). La définition est la même pour une inéquation dans R.FExercice 1.5 Résoudre dans R l’inéquation 1

x <−1.

Solution 1.5 On écrit :

1

x<−1 ⇐⇒ 1

x+1 < 0

⇐⇒ x +1

x< 0

⇐⇒ (x +1)x < 0 et x 6= 0

⇐⇒ x ∈]−1;0[

III LE RAISONNEMENT

1) Raisonnement par l’absurde

Soit P une proposition dont on cherche à démontrer qu’elle est vraie. Raisonner par l’absurde c’est fairel’hypothèse que P est fausse, autrement dit, on suppose non(P), on cherche alors à obtenir une contradiction,c’est à dire une proposition Q dont sait qu’elle est fausse, et telle que non(P) =⇒ Q. Si on n’y parvient, celaveut dire que « Q et non(Q) » est vraie, ce qui est impossible car une telle proposition est toujours fausse :c’est le principe de non contradiction. La conclusion est que P est vraie.

ZExemple : montrons quep

2 est un irrationnel par l’absurde :On suppose que

p2 ∈Q, on peut écrire

p2 = p

q avec p et q entiers strictement positifs et premiers entre

eux. En élevant au carré on a 2q2 = p2, ce qui entraîne que p est pair et donc p = 2a avec a entier, d’où2q2 = 4a2 i.e. q2 = 2a2, donc q est pair lui aussi et par conséquent p et q ne sont pas premiers entre eux :contradiction.

2) Raisonnement par analyse-synthèse

Raisonner par analyse-synthèse lorsque l’on cherche la ou les solutions à un problème, c’est raisonner endeux étapes qui sont :

– l’analyse : on suppose que l’on a une solution du problème et on cherche à en déduire toutes lespropriétés possibles de cette solution, l’objectif étant d’essayer de l’identifier au mieux,

– la synthèse : elle consiste à déterminer parmi tous les objets mathématiques ayant les propriétésrequises (obtenues lors de l’analyse), ceux qui sont effectivement solutions du problème.

ZExemple : Montrons que toute fonction f : [0;1] →R est la somme d’une fonction affine et d’une fonctionqui s’annule en 0 et en 1.• Analyse : supposons qu’il existe une fonction g qui s’annule en 0 et en 1, ainsi que deux réels a et b telsque ∀x ∈ R, f (x) = g (x)+ ax +b. En évaluant en 0 on doit avoir f (0) = b, en évaluant en 1 on doit avoirf (1) = a +b, d’où a = f (1)−b = f (1)− f (0). Maintenant que a et b sont connus, on en déduit que g est lafonction x 7→ f (x)−ax −b• Synthèse : posons b = f (0), a = f (1)− f (0) et g : x 7→ f (x)− ax −b. Il est clair que f (x) = g (x)+ ax +b,d’autre part g (0) = f (0)−b = 0 et g (1) = f (1)−a −b = f (1)− f (1)+ f (0)− f (0) = 0. Donc a, b et g sont biensolution du problème et celle-ci est unique.

3) Démontrer une implication

Par définition, l’implication « P =⇒ Q » est fausse lorsque P est vraie et Q fausse, elle est vraie dans lesautres cas. En particulier, si P est fausse, l’implication est nécessairement vraie quelque soit la valeur de véritéde Q. Par contre lorsque P est vraie, tout dépend de Q. Nous savons également que l’implication « P =⇒ Q »est équivalente à sa contraposée « non(Q) =⇒ non(P) », donc démontrer l’une c’est démontrer l’autre.



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E


• Méthode directe : on suppose que la proposition P est vraie (c’est l’hypothèse), on cherche alors àétablir que nécessairement la proposition Q est vraie elle aussi.• Par l’absurde : on suppose le contraire de P =⇒ Q, c’est à dire on suppose « P et non(Q) » (i.e. Pest vraie et Q est fausse. On montre alors que ceci conduit à une contradiction, ce qui entraîne quel’hypothèse faite est fausse et par conséquent P =⇒ Q.• Par contraposition : on cherche à établir non(Q) =⇒ non(P).

À retenir : pour démontrer une implication.

Remarque 1.4 – Pour démontrer « P ou Q » : cette proposition est équivalente à « (non P) =⇒ Q ». Par consé-quent, démontrer « P ou Q » revient à démontrer « (non P) =⇒ Q ».

4) L’équivalence

Par définition, l’équivalence « P ⇐⇒ Q » est vraie lorsque P et Q ont même valeur de vérité. Nous savonsqu’elle équivaut à « (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P) », donc montrer l’équivalence c’est montrer une implication etréciproque.

• Par double implication : on établit dans un premier temps que P =⇒ Q, puis dans un deuxièmetemps on établit la réciproque, c’est à dire que Q =⇒ P.• Méthode directe : on suppose que la proposition P est vraie (hypothèse) puis on cherche à établirque Q est vraie en s’assurant à chaque étape du raisonnement que l’équivalence est conservée 5.

À retenir : pour démontrer une équivalence.

5) La récurrence

Soit P(n) un prédicat portant sur une variable n ∈N.Si on a P(0) (initialisation) et si ∀∈N,P(n) =⇒ P(n +1) (hérédité), alors nécessairement ∀n ∈N,P(n).

À retenir : rappel du principe de récurrence

Remarque 1.5 :– L’initialisation est juste une vérification, mais elle est indispensable.

Par exemple, soit le prédicat P(n) :« n = n+1 », celui-ci vérifie bien l’hérédité (n = n+1 =⇒ n+1 = n+2),mais pour tout n, P(n) est fausse.

– Démontrer l’hérédité c’est démontrer une implication. En général on le fait par la méthode directe, onfait donc l’hypothèse P(n), c’est ce que l’on appelle l’hypothèse de récurrence, et on essaie d’en déduireP(n +1).

Soit a ∈Z et P(n) un prédicat portant sur une variable n ∈Z.• Si on a P(a) et si ∀n> a,P(n) =⇒ P(n +1), alors on peut conclure que ∀n ∈Z,n> a =⇒ P(n).• Si on a P(a) et si ∀n 6 a,P(n) =⇒ P(n − 1), alors on peut conclure que ∀n ∈ Z,n 6 a =⇒ P(n)(récurrence descendante).

Théorème 1.5 (variantes)

5. Cette méthode n’est pas toujours applicable, mais c’est celle que l’on utilise dans la mesure du possible pour résoudre uneéquation ou une inéquation.



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Preuve : Pour le premier point, on applique le principe de récurrence au prédicat Q(n) = P(n +a) avec n ∈N. Pour ledeuxième, on applique le principe de récurrence au prédicat Q(n) = P(a −n) avec n ∈N.

FExercice 1.6

1/ Montrer que ∀n ∈N∗,∑n

k=1 k = n(n+1)2 .


k=1 k2 = (2n+1)n(n+1)6 .


k=1 k3 =(

n(n+1)2

)2.

Soit P(n) un prédicat portant sur une variable n ∈N.Si on a P(0) (initialisation) et si ∀∈N, (P(0) et P(1) et · · · et P(n)) =⇒ P(n +1) (hérédité), alors nécessai-rement ∀n ∈N,P(n).

Théorème 1.6 (récurrence forte)

Preuve : Appliquer la principe de récurrence au prédicat Q(n) = (P(0) et P(1) et · · · et P(n)).

La récurrence forte est utile lorsque le seul fait que P(n) soit vraie ne suffit pas à en déduire P(n +1).L’hypothèse de récurrence peut alors s’écrire : « supposons la propriété vraie jusqu’au rang n ».

À retenir

FExercice 1.7 Soit (un) la suite définie par u0 = u1 = 1 et ∀ n ∈ N,un+2 = un+1 +un (suite de Fibonacci), montrer parrécurrence que pour tout n :

un = 5+p5

10

(1+p

5

2

)n

+ 5−p5

10

(1−p

5

2

)n



MO

NTA

IGN

EChapitre 2

Nombres complexes

SommaireI Écriture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1) L’ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2) Partie réelle, partie imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3) Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2) Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1) Le groupe unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2) Exponentielle d’un imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3) Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4) Racines nes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

IV Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2) Formules d’Euler et de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

V Représentation géométrique des complexes, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1) Affixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2) Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3) Angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4) Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

On suppose connu l’ensemble R des réels, les propriétés de ses deux opérations que sont l’addition et lamultiplication, et la notion de valeur absolue d’un réel.

I ÉCRITURE ALGÉBRIQUE

1) L’ensemble des complexes

On admet l’existence d’un ensemble, que l’on notera C, contenant R et tel que :– C possède une addition et une multiplication, prolongeant celles de R et vérifiant les mêmes proprié-

tés, c’est à dire :• L’addition est interne (∀z, z ′ ∈ C, z + z ′ ∈ C), commutative (∀z, z ′ ∈ C, z + z ′ = z ′ + z), associative

(∀z, z ′, z ′′ ∈C, (z+z ′)+z ′′ = z+(z ′+z ′′)), 0 est élément neutre (∀z ∈C, z+0 = 0+z), chaque complexeadmet un opposé dans C (l’opposé de z ∈C est noté −z).

• La multiplication est interne (∀z, z ′ ∈ C, zz ′ ∈ C), commutative (∀z, z ′ ∈ C, zz ′ = z ′z), associative(∀z, z ′, z ′′ ∈C, (zz ′)z ′′ = z(z ′z ′′)), 1 est élément neutre (∀z ∈C, z ×1 = 1× z), chaque complexe autreque 0 admet un inverse dans C (l’inverse de z ∈C est noté z−1 ou 1

z ).• La multiplication est distributive sur l’addition à gauche et à droite (∀z, z ′, z ′′ ∈C, z(z ′+z ′′) = zz ′+zz ′′,

et (z ′+ z ′′)z = z ′z + z ′′z).On résume toutes ses propriétés en disant que (C,+,×) est un corps commutatif.



MO

NTA

IGN

E

Module d’un nombre complexe Chapitre 2 : Nombres complexes

– Il existe un complexe, que l’on notera i , qui vérifie i 2 =−1.– Pour tout complexe z, il existe deux réels a et b uniques tels que z = a + i b.

FExercice 2.1

1/ Montrer que si z ∈C, alors z ×0 = 0× z = 0.

2/ Soient z, z ′ ∈C tels que zz ′ = 0, montrer que z = 0 ou z ′ = 0.

2) Partie réelle, partie imaginaire

Soit z ∈ C, on sait qu’il existe un réel a unique et un réel b unique tel que z = a + i b. Le réel a estappelé partie réelle de z, notée a = Re(z), et b la partie imaginaire de z, notée b = Im(z). L’écriturez = a + i b est appelée forme algébrique de z. L’ensemble des complexes dont la partie réelle est nulle,est appelée ensemble des imaginaires purs et noté iR= z ∈C | Re(z) = 0 =

i y | y ∈R.

Définition 2.1

a) z = z ′ ⇐⇒

Re(z) = Re(z ′)Im(z) = Im(z ′)

.

b) z ∈R⇐⇒ Im(z) = 0.

c) z ∈ iR⇐⇒ Re(z) = 0.

d) Re(z + z ′) = Re(z)+Re(z ′) et Im(z + z ′) = Im(z)+ Im(z ′).

e) Si α est un réel, alors Re(αz) = αRe(z), et Im(αz) = αIm(z).

À retenir : quelques propriétés

FExercice 2.2 Démontrer les propriétés ci-dessus.

3) Conjugué d’un nombre complexe

Soit z = x + i y un complexe sous forme algébrique, on appelle conjugué de z, le complexe noté z etdéfini par z = x − i y . On a donc Re(z) = Re(z) et Im(z) =−Im(z).

Définition 2.2

Soient z, z ′ ∈C, on a : i) z + z ′ = z + z ′ ii) zz ′ = zz ′ iii) z = z.

Théorème 2.1 (propriétés de la conjugaison)

Preuve : Celle-ci est simple et laissée en exercice.

On a : z + z = 2Re(z); z − z = 2i Im(z); z ∈R⇐⇒ z = z; z est un imaginaire pur ssi z =−z.

À retenir

FExercice 2.3 Montrer que si z est non nul, alors 1z = 1

z .

II MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE

1) Définition

Soit z = x + i y un complexe sous forme algébrique, on a z × z = x2 + y2 et cette quantité est un réel positif.



MO

NTA

IGN

E

Module d’un nombre complexe Chapitre 2 : Nombres complexes

Soit z ∈C, on appelle module de z, le réel positif noté |z| et défini par : |z| =pzz.

Définition 2.3

a) |z|2 = zz.

b) |z| = 0 ⇐⇒ z = 0.

c) |Re(z)|6 |z| et |Im(z)|6 |z|.d) Si z est réel, alors son module coïncide avec sa valeur absolue.

e) |zz ′| = |z||z ′|, en particulier, ∀n ∈N, |zn | = |z|n (ceci reste valable pour n ∈Z si z 6= 0).

f) |z| = |z| et |− z| = |z|.g) Pour mettre le complexe z

z ′ sous forme algébrique, il suffit de multiplier en haut et en bas par

z ′ : zz ′ = zz ′

|z ′|2 = Re(zz ′)|z ′|2 + i Im(zz ′)

|z ′|2 .

À retenir : propriétés du module

Soient z et z ′ deux complexes :∣∣|z|− |z ′|∣∣6 |z + z ′|6 |z|+ |z ′|.

Théorème 2.2 (inégalité triangulaire)

Preuve : Pour l’inégalité de droite :

|z + z ′|2 = (z + z ′)(z + z ′)

= |z|2 +|z ′|2 +2Re(zz ′)

6 |z|2 +|z ′|2 +2|Re(zz ′)|6 |z|2 +|z ′|2 +2|zz ′| = |z|2 +|z ′|2 +2|z||z ′|6

(|z|+ |z ′|)2

d’où le résultat puis que les deux expressions sont des réels positifs.Pour l’inégalité de gauche, on écrit |z| = |z +z ′−z ′|6 |z +z ′|+|z ′| d’où |z|−|z ′|6 |z +z ′|, en inversant les rôles on a

|z ′|− |z|6 |z + z ′|, ce qui entraîne la première inégalité.

Remarque 2.1 – En remplaçant z ′ par −z ′, on a ||z|− |z ′||6 |z − z ′|6 |z|+ |z ′|.

Soient z et z ′ deux complexes non nuls, |z + z ′| = |z|+ |z ′| si et seulement si il existe un réel α stricte-ment positif tel que z = αz ′.

Théorème 2.3 (cas d’égalité)

Preuve : Si on a z = αz ′, alors |z+z ′| = |αz ′+z ′| = (1+α)|z ′| = |z ′|+α|z ′| = |z ′|+|z|. Réciproquement, si |z+z ′| = |z|+|z ′|,alors |z + z ′|2 = (|z|+ |z ′|)2, ce qui donne en développant, |z|2 +|z ′|2 +2Re(zz ′) = |z|2 +|z ′|2 +2|z||z ′|, on en déduit que

Re(zz ′) = |zz ′| ce qui prouve que zz ′ est un réel positif. Il suffit alors de prendre α= zz ′|z ′|2 , c’est bien un réel strictement

positif, et on a la relation voulue.

2) Équation du second degré

Soit a ∈C, l’équation z2 = a admet dans C deux solutions opposées (toutes deux nulles lorsque a = 0).

Théorème 2.4



MO

NTA

IGN

E

Forme trigonométrique Chapitre 2 : Nombres complexes

Preuve : Soit z0 une solution, alors l’équation z2 = a équivaut à z2 = z20 , c’est à dire à (z − z0)(z + z0) = 0, d’où z =±z0,

il reste à montrer l’existence d’une solution z0. Posons a = u + i v et z = x + i y , l’équation z2 = a est équivalente àx2−y2 = u et 2x y = v . On doit avoir également |z|2 = |a|, c’est à dire x2+y2 = |a|, par conséquent on a : x2 = u+|a|

2 , y2 =|a|−u

2 et 2x y = v. Une solution z0 = x0 + i y0 s’obtient en prenant : x0 =√

|a|+u2 et y0 = ε

√|a|−u

2 avec ε= 1 si v > 0 etε=−1 si v < 0, car on a 2x0 y0 = ε|v | = v .

ZExemples :– Si a est un réel strictement positif, alors v = 0 et u > 0 d’où |a| = u et donc x0 =

pa et y0 = 0, les deux

solutions sont ±pa, elles sont réelles.– Si a est un réel strictement négatif, alors v = 0 et u < 0 d’où |a| = −u et donc x0 = 0 et y0 =

p−a, lesdeux solutions sont ±i

p−a, ce sont des imaginaires purs.

Soient a, b, c ∈ C avec a 6= 0, l’équation az2 +bz + c = 0 admet deux solutions complexes qui sontz1 = −b+δ

2a et z2 = −b−δ2a avec δ ∈ C tel que δ2 = ∆ = b2 − 4ac (discriminant). De plus, lorsque les

coefficients a, b, c sont réels et que le discriminant b2−4ac est strictement négatif, ces deux solutionssont complexes non réelles et conjuguées.

Théorème 2.5

Preuve : L’équation est équivalente à : (z+ b2a )2− b2−4ac

4a2 = 0. Posons Z = z+ b2a et∆= b2−4ac , on sait que∆ admet deux

racines carrées dans C, soit δ l’une d’elles (δ2 =∆), l’équation est équivalente à : Z2 = δ2

4a2 , on en déduit que Z =± δ2a et

donc z = −b±δ2a . Lorsque les trois coefficients sont réels, le discriminant ∆ est lui aussi un réel, s’il est strictement négatif,

alors on peut prendre δ= ip−∆ et les solutions sont dans ce cas z = −b±i

p−∆2a , on voit que celles - ci sont complexes

non réelles et conjuguées.

La somme et le produit des deux solutions z1 et z2 de l’équation az2 +bz + c = 0, sont donnés par lesrelations : z1 + z2 = S =− b

a et z1z2 = P = ca . De plus on a la factorisation :

∀z ∈C, az2 +bz + c = a(z − z1)(z − z2).

À retenir

III FORME TRIGONOMÉTRIQUE

1) Le groupe unité

On note U l’ensemble des complexes de module 1 : U= z ∈C / |z| = 1, c’est une partie de C∗.

Définition 2.4

Il est facile de vérifier que l’ensemble U :– est stable pour la multiplication : ∀z, z ′ ∈U, zz ′ ∈U.– est stable pour le passage à l’inverse : ∀z ∈U, z 6= 0 et z−1 ∈U.– contient 1.De plus, la multiplication dans U est associative (car elle l’est dans C), on dit alors que (U,×) est un

groupe multiplicatif. Comme la multiplication est en plus commutative, on dit que (U,×) est un groupeabélien (ou commutatif), ce groupe est parfois appelé groupe unité de C.

Tout complexe de module 1 peut se mettre sous la forme cos(θ)+ i sin(θ) avec θ un réel, plus précisé-ment :

U= cos(θ)+ i sin(θ) / θ ∈R.

Théorème 2.6



MO

NTA

IGN

E


Preuve : Soit z = x + i y un complexe de module 1, on a x2 + y2 = 1, donc il existe un réel θ (unique à 2π près) tel quex = cos(θ) et y = sin(θ), c’est à dire z = cos(θ)+ i sin(θ). La réciproque est immédiate.

2) Exponentielle d’un imaginaire pur

Pour tout réel x, on pose e i x = cos(x)+ i sin(x). On a les propriétés suivantes :– ∀x ∈R, Re(e i x ) = cos(x) et Im(e i x ) = sin(x).– ∀x ∈R, e−i x = cos(−x)+ i sin(−x) = cos(x)− i sin(x) = e i x .– ∀x ∈R, |e i x | =

√cos(x)2 + sin(x)2 = 1, donc e i x ∈U.

– ∀z ∈U,∃θ ∈R, e iθ = z.

0

0

1

1

−→u

−→vM(x + i y = e iθ)

x = cos(θ)

y = sin(θ)

θ

θ= á(−→u ,

−−→OM) (mod 2π)

– Soit x, y ∈R,e i x = e i y ⇐⇒

cos(x) = cos(y)

sin(x) = sin(y)⇐⇒ x = y (2π).

∀x, y ∈R, e i x e i y = e i (x+y).

Théorème 2.7

Preuve : e i x e i y = [cos(x)+ i sin(x)][cos(y)+ i sin(y)] = [cos(x)cos(y)− sin(x)sin(y)]+ i [cos(x)sin(y)+ sin(x)cos(y)] =cos(x + y)+ i sin(x + y) = e i (x+y) d’après les formule d’addition du sinus et du cosinus.

Ce théorème permet de retrouver les formules trigonométriques.

– cos(x + y) = Re(e i (x+y)) = Re(e i x e i y ) = cos(x)cos(y)− sin(x)sin(y).– sin(x + y) = Im(e i (x+y)) = Im(e i x e i y ) = cos(x)sin(y)+ sin(x)cos(y).

En posant a = x + y

2et b = x − y

2on obtient :

– cos(x)+cos(y) = cos(a +b)+cos(a −b) = 2cos(a)cos(b) = 2cos( x+y2 )cos( x−y

2 ).

– cos(x)−cos(y) = cos(a +b)−cos(a −b) =−2sin(a)sin(b) =−2sin( x+y2 )sin( x−y

2 ).

– sin(x)+ sin(y) = sin(a +b)+ sin(a −b) = 2sin(a)cos(b) = 2sin( x+y2 )cos( x−y

2 )...etc

À retenir

3) Argument d’un nombre complexe

Soit z ∈U, on sait qu’il existe un réel θ (unique à 2π près) tel que z = e iθ. Si maintenant z est un complexenon nul quelconque alors z

|z| ∈U et donc il existe un réel θ (unique à 2π près) tel que z|z| = e iθ, c’est à dire

z = |z|e iθ.



MO

NTA

IGN

E


Soit z un complexe non nul, on appelle argument de z tout réel θ tel que z = |z|e iθ, cette égalitéest appelée forme trigonométrique de z. L’ensemble des arguments de z est noté arg(z), on a doncarg(z)=θ ∈R/ z = |z|e iθ , et si θ0 est un argument de z, alors arg(z)=θ0 +2kπ/ k ∈Z .

Définition 2.5

0 1 2−1

0

1

2

−1

θ

A(z)

B( z|z| )

Soit z ∈C∗, z possède un unique argument dans l’intervalle ]−π;π], par définition cet argument estappelé argument principal de z et noté Arg(z).

Définition 2.6

ZExemples :– Arg(i ) = π

2 , Arg( ) = 2π3 .

– si x ∈R∗+ alors Arg(x) = 0 et si x ∈R∗− alors Arg(x) =π.

Si z = r eiθ avec r et θ réels, alors c’est la forme trigonométrique de z lorsque r > 0. Mais lorsque r < 0, la formetrigonométrique de z est z =−r e i (θ+π).

Attention!

Si z = e i x + e i y , alors z = e i x+y2 [e i x−y

2 + e−i x−y2 ] = 2cos( x−y

2 )e i x+y2 . D’où |z| = 2|cos( x−y

2 )| et Arg(z) =x+y

2 (π).

De même, si z = e i x − e i y , alors z = e i x+y2 [e i x−y

2 − e−i x−y2 ] = 2i sin( x−y

2 )e i x+y2 . D’où |z| = 2|sin( x−y

2 )| et

Arg(z) = x+y+π2 (π).

À retenir : (factorisation par l’arc moitié)

Soient z, z ′ ∈C∗ avec θ= Arg(z) et θ′ = Arg(z ′) :

– z = z ′ ⇐⇒ |z| = |z ′|θ = θ′ (2π)

.

– z ∈R∗ ⇐⇒ θ= 0 (π).

– z = |z|e−iθ donc Arg(z) =−θ (2π).

– −z = |z|e i (θ+π) donc Arg(−z) = θ+π (2π).

– zz ′ = |zz ′|e i (θ+θ′) donc Arg(zz ′) = θ+θ′ (2π).

– zz ′ = |z|

|z ′|ei (θ−θ′) donc Arg( z

z ′ ) = θ−θ′ (2π).

Théorème 2.8 (propriétés)



MO

NTA

IGN

E


– ∀n ∈Z, zn = |zn |e i nθ donc Arg(zn) = nθ (2π).


Soient a,b deux réels non tous deux nuls et soit x ∈R, en posant z = a + i b = |z|e iθ on obtient :a cos(x)+b sin(x) = Re(ze i x ) = |z|cos(x −θ) =

pa2 +b2 cos(x −θ).

À retenir

4) Racines nes d’un nombre complexe

Soit a, z deux complexes et n ∈N, z est une racine ne de a lorsque zn = a.

Définition 2.7

Résolution de l’équation zn = a

Soit n un entier supérieur ou égal à 2, et a un complexe non nul. L’ensemble des racines nes de a (quel’on note Rn(a)) est un ensemble fini de cardinal n, et pour tout argument θ de a on a :

Rn(a) =

n√

|a|e i θ+2kπn / 06 k 6 n −1

.

Théorème 2.9

Preuve : Posons pour k ∈ J0;n −1K , zk = np|a|e i θ+2kπ

n , il est clair que zk est une racine ne de a. Si zk = zk ′ alors θ+2kπ=θ+2k ′π (2nπ), d’où k −k ′ ∈ nZ, or k et k ′ sont dans l’intervalle J0;n −1K ce qui entraîne k = k ′, ceci prouve que apossède au moins n racines nes : z0, · · · , zn−1.

Soit z une racine ne de a, l’égalité zn = a entraîne que |z|n = |a| et nArg(z) = θ (2π), d’où |z| = np|a| et Arg(z) =

θ+2kπn ,k ∈ Z. Effectuons la division euclidienne de k par n, il existe deux entiers q et r tels que k = nq + r avec

06 r 6 n −1, on a donc Arg(z) = θ+2rπn (2π) et par conséquent z = zr , ceci prouve que les seules racines nes de a sont

z0, · · · , zn−1.

Cas particuliers des racines nes de l’unité :

Soit n un entier supérieur ou égal à deux, on note Un l’ensemble des racines nes de l’unité, on a donc :

Un = z ∈U / zn = 1

= e2i kπ/n / 06 k 6 n −1

Définition 2.8

FExercice 2.4 Montrer que (Un ,×) est un groupe.

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M0

1−1

1

−1

Mk est le point d’affixe e2i kπ/n (n = 7).



MO

NTA

IGN

E

Exponentielle complexe Chapitre 2 : Nombres complexes

Soit a un complexe non nul et soit z0 une racine ne de a. L’équation zn = a équivaut à zn = zn0 , ou

encore(

zz0

)n = 1. On est ainsi ramené aux racines nes de l’unité, on en déduit que z = z0e i 2kπ/n avec

06 k 6 n −1.

À retenir

IV EXPONENTIELLE COMPLEXE

1) Définition

Soit z = x + i y un nombre complexe, on appelle exponentielle de z le complexe noté exp(z) et définipar : exp(z) = ex [cos(y)+ i sin(y)], c’est à dire exp(z) = ex e i y .

Définition 2.9

Remarque 2.2 :– Si z est réel (ie y = 0), alors l’exponentielle de z correspond à l’exponentielle réelle de z. De même, si z est

imaginaire pur (x = 0), alors exp(z) = exp(i y) = cos(y)+ i sin(y).– exp(0) = 1.– Re(exp(z)) = eRe(z) cos(Im(z)) et Im(exp(z)) = eRe(z) sin(Im(z)).– |exp(z)| = eRe(z) et Arg(exp(z)) = Im(z) (2π).– exp(z) = exp(z).

La fonction exp :C→C∗ est 2iπ-périodique, vérifie :∀z, z ′ ∈C, exp(z + z ′) = exp(z)×exp(z ′).

Et tout complexe non nul a peut se mettre sous la forme a = exp(z).

Théorème 2.10 (propriété fondamentale)

Preuve : Il est clair d’après la définition que exp(z) ne peut pas être nul, donc exp(z) ∈C∗. Posons z = x + i y , exp(z +2iπ) = ex [cos(y +2π)+ i sin(y +2π)] = exp(z). Soit a un complexe non nul, l’équation exp(z) = a équivaut à |a| = ex etArg(a) = y (mod 2π) (résolution trigonométrique), donc les complexes z = ln(|a|)+i (y+2kπ) (où k parcourtZ) sont lesantécédents de a, en particulier les solutions de l’équation exp(z) = 1 sont les complexes z = 2i kπ,k ∈Z. Soit z ′ = x ′+i y ′un autre complexe, exp(z+z ′) = ex+x′

[cos(y+y ′)+i sin(y+y ′)], et exp(z)exp(z ′) = ex+x′[cos(y)cos(y ′)−sin(y)sin(y ′)] =

ex+x′[cos(y + y ′)+ i sin(y + y ′)]. On peut déduire de cette propriété le calcul suivant :

exp(z) = exp(z ′) ⇐⇒ exp(z)

exp(z ′)= 1

⇐⇒ exp(z)exp(−z ′) = 1

⇐⇒ exp(z − z ′) = 1

⇐⇒∃k ∈Z, z = z ′+2i kπ.

Remarque 2.3 – La propriété fondamentale de l’exponentielle complexe : exp(z + z ′) = exp(z)exp(z ′), est lamême que celle de l’exponentielle réelle. On convient alors de noter exp(z) = ez . La propriété fondamentaledevient :

ez+z ′ = ez ×ez ′

Il découle également de cette relation que : e−z = 1

ez .

FExercice 2.5 Résoudre ez = 1+ i .

Solution 2.5 On écrit z = x + i y avec x, y réels, et 1+ i =p2e iπ/4. Résolution trigonométrique : l’équation équivaut

alors à ex =p2 et y = π

4 +2kπ avec k ∈Z, l’ensemble des solutions est donc 1

2 ln(2)+ i (π4 +2kπ) / k ∈Z.



MO

NTA

IGN

E

Représentation géométrique des complexes, applications Chapitre 2 : Nombres complexes

2) Formules d’Euler et de Moivre

Formule de Moivre 1 : ∀n ∈ Z, ∀z ∈ C, enz = [ez ]n . En particulier pour z = i x avec x réel, on a e i nx =[cos(x)+ i sin(x)]n . On en déduit que :

cos(nx) = Re([cos(x)+ i sin(x)]n) et sin(nx) = Im([cos(x)+ i sin(x)]n).

À l’aide du binôme de Newton ces formules permettent d’exprimer cos(nx) et sin(nx) sous forme d’unpolynôme en cos(x) et sin(x).

ZExemples :– cos(4x) = Re([cos(x)+ i sin(x)]4) = cos(x)4 −6cos(x)2 sin(x)2 + sin(x)4. En remplaçant sin(x)2 par 1−

cos(x)2, on pourrait obtenir cos(4x) en fonction de cos(x) uniquement.– sin(4x) = Im([cos(x)+ i sin(x)]4) = 4cos(x)3 sin(x)−4cos(x)sin(x)3.

Formules d’Euler 2 : ∀x ∈R : cos(x) = e i x+e−i x

2 et sin(x) = e i x−e−i x

2i .Ces formules permettent la linéarisation de cos(x)p sin(x)q .

ZExemples :

– cos(x)3 = (e i x+e−i x )3

8 = e i 3x+3e i 2x e−i x+3e i x e−i 2x+e−i 3x

8 = cos(3x)+3cos(x)4 .

– sin(x)3 = (e i x−e−i x )3

−8i = e i 3x−3e i 2x e−i x+3e i x e−i 2x−e−i 3x

−8i = 3sin(x)−sin(3x)4 .

V REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE DES COMPLEXES, APPLICATIONS

Le plan complexe est un plan P muni d’un repère orthonormé direct R = (O,−→u ,−→v ).

1) Affixe

Chaque point M du plan complexe est repéré par ses coordonnées : une abscisse x et une ordonnée y ,c’est à dire par le couple de réels (x, y). Autant dire que M est repéré par le complexe z = x+i y . Par définition,ce complexe est l’affixe du point M.

O

M(x, y)

−→u

−→v

x

y

Réciproquement, tout complexe z est l’affixe d’un point M du plan que l’on appelle image de z. Les axes(O,−→u ) et (O,−→v ) sont appelés respectivement axes des réels et axe des imaginaires.

Par exemple, l’image de z est le symétrique de l’image de z par la réflexion d’axe (O,−→u ).De la même façon, chaque vecteur du plan a des coordonnées dans la base (−→u ,−→v ). Si −→w a pour coordon-

nées (x, y), cela signifie que −→w = x−→u +y−→v , là encore le vecteur −→w peut être représenté par le complexe x+i y ,ce complexe est appelé affixe du vecteur −→w . Réciproquement, tout complexe z est l’affixe d’un vecteur duplan. On remarquera que l’affixe d’un point M n’est autre que l’affixe du vecteur

−−→OM .

∗) L’affixe de la somme de deux vecteurs est la somme des affixes. Si α ∈R et si −→w est le vecteur d’affixe z,alors l’affixe du vecteur α−→w est αz.

∗) Soit M d’affixe z et M′ d’affixe z ′, l’affixe du vecteur−−−→MM′ est z ′− z.

1. MOIVRE Abraham DE (1667 – 1754) : mathématicien français, il s’expatria à Londres à l’age de dix-huit ans.2. EULER Léonhard (1707 – 1783) : grand mathématicien suisse.



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2) Distances

Le module d’un complexe z représente dans le plan complexe la distance de l’origine O au point M

d’affixe z, c’est à dire |z| = OM = ‖−−→OM ‖.Si −→w est un vecteur d’affixe z, alors la norme de −→w est ‖−→w ‖ = |z|.Soit M d’affixe z et M′ d’affixe z ′, la distance de M à M′ est MM′ = ‖−−−→MM′ ‖ = |z ′− z|.

Soit a ∈C et R > 0, on définit dans le plan complexe :– le disque fermé de centre a et de rayon R : M ∈P / |z −a|6R.– le disque ouvert de centre a et de rayon R : M ∈P / |z −a| < R.– le cercle de centre a et de rayon R : M ∈P / |z −a| = R.

Définition 2.10

ZExemples :– La représentation géométrique du groupe unitéU= z ∈C / |z| = 1 est le cercle de centre O et de rayon

1 : le cercle trigonométrique.– Les points d’affixe les racines nes de l’unité (n > 2) sont les sommets d’un polygone régulier inscrit

dans le cercle unité. La longueur du coté est 2sin(πn ), et la longueur du centre au milieu d’un coté(l’apothème) est cos(πn ).

3) Angles orientés

Soit z un complexe non nul et M le point du plan d’affixe z, l’argument principal de z est une mesure de

l’angle orienté (−→u ,−−→OM ), ce que l’on écrit (−→u ,

−−→OM ) = Arg(z) (2π).

O

M(x, y)

−→u

−→v

x

y

θ

x + i y = r e iθ avec

r =√

x2 + y2 = OM

r=OM

Soient −→w et−→w ′ deux vecteurs non nuls d’affixes respectifs z et z ′. Désignons par M et M′ les points

d’affixes respectifs z et z ′, l’angle orienté entre les deux vecteurs −→w et−→w ′ est :

(−→w ,−→w ′ ) = (

−−→OM ,

−−−→OM′ )

= (−−→OM ,−→u )+ (−→u ,

−−−→OM′ )

=−(−→u ,−−→OM )+ (−→u ,

−−−→OM′ )

=−Arg(z)+Arg(z ′) (2π)

= Arg(z ′

z) (2π)

Conséquence : Soient A,B et C trois points distincts d’affixes respectifs a, b et c. L’affixe du vecteur−−→AB est

b −a et celui du vecteur−−→AC est c −a, par conséquent l’angle (

−−→AB ,

−−→AC ) est donné par :

(−−→AB ,

−−→AC ) = Arg(

c −a

b −a) (2π).

Et on a le rapport des distances ACAB = ∣∣ c−a

b−a

∣∣.MPSI3 (2015-16) LYCÉE MONTAIGNE 20 ©Fradin Patrick – http://mpsi.tuxfamily.org


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Les trois points A, B et C sont alignés si et seulement si (−−→AB ,

−−→AC ) = 0 (mod π) ce qui équivaut donc à

c−ab−a ∈R.

Les vecteurs−−→AB et

−−→AC sont orthogonaux si et seulement si (

−−→AB ,

−−→AC ) = π

2 (mod π) ce qui équivaut doncà c−a

b−a ∈ iR.

4) Similitudes directes

Soient a,b ∈C avec a 6= 0, on note Sa,b : P →P l’application qui au point d’affixe z faire correspondre lepoint d’affixe z ′ = az+b, c’est la similitude directe de paramètres a et b. On vérifie en appliquant la définition,les propriétés suivantes :

– Sa,b est une bijection et sa réciproque est aussi une similitude directe, plus précisément S−1a,b = S 1

a , −ba

.

– La composée de deux similitudes directes est une similitude directe, plus précisément, Sc,d Sa,b =Sac,cb+d avec c 6= 0.

– Soient A(zA), B(zB), C(zC) et D(zD) quatre points avec A 6= B et C 6= D, alors il existe une uniquesimilitude directe Sa,b qui transforme A en C et B en D, celle-ci se détermine en résolvant le système

azA +b = zC

azB +b = zDpour déterminer a et b.

– Lorsque a = 1, la similitude S1,b est la translation de vecteur −→u d’affixe b.

Étude lorsque a 6= 1

– Il existe un unique point fixe Ω(z0) avec z0 = b1−a , on a alors pour tout z : az +b = a(z − z0)+ z0. Ce

point est appelé centre de la similitude.– Soit M(z) un point différent du centre Ω, et soit M′(z ′) son image par Sa,b , alors : z ′−z0

z−z0= a, on en

déduit que :∣∣∣ z ′−z0

z−z0

∣∣∣= |a|, c’est à dire ΩM′ = |a|ΩM, et (−−→ΩM ,

−−−→ΩM′ ) = Arg(a) (mod 2π), ce qui permet

une construction géométrique de M′ partant de M :

Ω

M

M′

θ= Arg(a)

ΩM′ = |a|ΩM

– Cas particulier où Arg(a) = 0 : on a alors z ′ = |a|(z − z0)+ z0 d’où−−−→ΩM′ = |a|−−→ΩM , on dit que la simili-

tude est l’homothétie de centreΩ et de rapport |a|, on la note h(Ω,|a|).

– Cas particulier où |a| = 1 : on a alors z ′ = e iθ(z − z0)+ z0 d’oùΩM′ =ΩM et−−−→ΩM′ ,

−−→ΩM = Arg(a), on dit

que la similitude est la rotation de centreΩ et d’angle Arg(a), on la note r(Ω,Arg(a)).– Dans le cas général, on vérifie par le calcul que Sa,b et la composée commutative :

Sa,b = h(Ω,|a|) r(Ω,Arg(a)) = r(Ω,Arg(a)) h(Ω,|a|)

On dit que Sa,b est la similitude de centre Ω, de rapport |a| et d’angle Arg(a) . On remarquera que la

bijection réciproque est la similitude de centre Ω, de rapport 1|a| et d’angle −Arg(a).



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EChapitre 3

Calculs algébriques

SommaireI Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2) Changement d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4) Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1) Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2) Coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3) Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2) Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3) Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

I SOMMES ET PRODUITS

On se place dans C. Les sommes et les produits dont on va parler ne contiennent qu’un nombre fini determes.

1) Définition

Soit A une partie finie de C, la somme des éléments de A est notée∑

a∈Aa et le produit des éléments de

A est noté∏

a∈Aa. Par convention, lorsque A est vide, la somme est nulle et le produit vaut 1.

Définition 3.1 (somme et produit sur une partie finie)

Remarque 3.1 – Ces opérations étant commutatives dans C, l’ordre n’a pas d’importance. Comme elles sontégalement associatives, il est inutile de préciser un parenthèsage pour la somme ou le produit.

ZExemple : La somme et le produit des racines nes de l’unité se notent∑

ω∈Un

ω et∏

ω∈Un

ω.

Soit (ak )k∈I une famille de complexes indexée par un ensemble fini I. La somme des éléments de lafamille est notée

∑k∈I

ak et le produit des éléments de la famille est noté∏k∈I

ak . Par convention, lorsque

I est vide, la somme est nulle et le produit vaut 1.

Définition 3.2 (somme et produit d’une famille finie)



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Sommes et produits Chapitre 3 : Calculs algébriques

ZExemple : La famille des racines nes de l’unité est (e2i kπ/n)k∈J0;n−1K, on peut donc écrire la somme et le

produit ainsi :∑

k∈J0;n−1Ke2i kπ/n et

∏k∈J0;n−1K

e2i kπ/n .

Soit (ak )k∈I une famille de complexes indexée par un intervalle d’entiers Jn0;n1K. La somme des

éléments de la famille est notéen1∑

k=n0

ak et le produit des éléments de la famille est notén1∏

k=n0

ak . Par

convention, lorsque n0 > n1, la somme est nulle et le produit vaut 1 (car dans ce cas l’intervalleJn0;n1K est vide).

Définition 3.3 (lorsque I est un intervalle d’entiers)

ZExemple : La famille des racines nes de l’unité est (e2i kπ/n)k∈J0;n−1K, on peut donc écrire la somme et le

produit ainsi :n−1∑k=0

e2i kπ/n etn−1∏k=0

e2i kπ/n .

Dans la notationn1∑

k=n0

ak , il est implicite que l’indice k augmente de 1 lorsqu’on passe d’un terme au suivant

(idem pour le produit). Par exemple, la somme des entiers impairs de 1 à 15 ne s’écrit pas15∑

k=1k (qui correspond à la

somme de tous les entiers de 1 à 15), mais7∑

k=02k +1.

Attention!

Remarque 3.2 :– Le terme ak est appelé terme général de la somme (ou produit), la valeur n0 est appelée valeur initiale de

l’indice et n1 la valeur finale.– Dans les formules donnant la somme ou le produit, l’indice est une variable dite muette, on peut lui

donner le nom que l’on veut, le résultat ne dépend pas de l’indice.

Cas particuliers

– Lorsque le terme général est une constante α, alorsn1∑

k=n0

ak = (n1 −n0 +1)α etn1∏

k=n0

ak = αn1−n0+1 si

n06 n1.– Sommes et produits télescopiques, soit (ak )k∈Jp;q+1K une famille de complexes, alors :

q∑k=p

(ak+1 −ak ) = aq+1 −ap et si aucun terme ne s’annule, alorsq∏

k=p

ak+1ak

= aq+1

ap.

– Somme de termes consécutifs d’une suite u géométrique de raison q ∈C :

n∑k=p

uk =up−q×un

1−q si q 6= 1

n −p +1 sinon

On retiendra la formule S = p−q×d1−q où p désigne le premier terme de la somme et d le dernier.

– Somme de termes consécutifs d’une suite u arithmétique de raison r ∈C :

n∑k=p

uk = (n −p +1)(up +un)

2

On retiendra la formule S = n(p+d)2 où p désigne le premier terme de la somme, d le dernier et n le

nombre de termes.FExercice 3.1 Démontrer les deux formules ci-dessus.



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2) Changement d’indice

Formulation généraleSoit (ak )k∈I une famille finie de complexes indexée par I non vide, supposons qu’il existe une bijection

f : J → I (où J désigne un autre ensemble), par composition on a ainsi une autre famille, indexée par J, et quiest (a f (k ′))k ′∈J. La fonction f étant bijective les deux familles comportent exactement les mêmes termes àl’ordre près, par conséquent la somme des termes des deux familles est la même, et le produit aussi :∑

k∈Iak = ∑

k ′∈Ja f (k ′) et

∏k∈I

ak = ∏k ′∈J

a f (k ′)

On dit qu’on a fait le changement d’indice k = f (k ′) avec k ′ ∈ J.

Si f n’est pas bijective, il n’y a aucune raison que les deux familles aient la même somme et le même produit.

Attention!

Cas particuliersLorsque l’ensemble des indices est un intervalle d’entiers, les changements qui reviennent le plus souvent

dans les sommesn1∑

k=n0

ak (ou produits) sont (avec n06 n1) :

– des translations de l’indice : k = k ′+p (ou k ′ = k −p), ce qui donne :

n1∑k=n0

ak =n1−p∑

k ′=n0−pak ′+p

car f : Jn0 −p;n1 −pK→ Jn0;n1K définie par f (k ′) = k ′+p est bien une bijection.– des symétries : k = p −k ′ (ou k ′ = p −k) , ce qui donne :

n1∑k=n0

ak =p−n0∑

k ′=p−n1

ap−k ′

car f : Jp −n1; p −n0K→ Jn0;n1K définie par f (k ′) = p −k ′ est bien une bijection.FExercice 3.2 Résoudre dans C l’équation (1− z)2n = (1+ z)2n et calculer le produit des solutions non nulles.

Solution 3.2 L’équation équivaut à( 1+z

1−z

)2n = 1, ou encore 1+z1−z = e i kπ

n avec k ∈ J0;2n −1K, ce qui donne z = ei kπn −1

ei kπn +1

ou

encore z = i tan( kπ2n ) avec k ∈ J0;n −1K∪ Jn +1;2n −1K.

Le produit des solutions non nulles est P =n−1∏k=1

i tan( kπ2n )×

2n−1∏k=n+1

i tan( kπ2n ), en posant q = k −n dans le deuxième

produit, on obtient P =n−1∏k=1

i tan( kπ2n )×

n−1∏q=1

− itan( qπ

2n ), d’où P = i n−1 × (−1)n−1 × i n−1 = 1.

3) Propriétés

Soient α, a1, a2, . . . , an ,b1, . . . ,bn ,c1, . . . ,cm des nombres complexes, p 6 q 6 n des entiers, on a :- pour la somme :

q∑k=p

ak +n∑

k=q+1ak =

n∑k=p

ak ;n∑

k=pα×ak = α×

n∑k=p

ak ;n∑

k=p(ak +bk ) =

n∑k=p

ak +n∑

k=pbk

- pour le produit :(q∏

k=pak

)×

(n∏

k=q+1ak

)=

n∏k=p

ak ;n∏

k=pα×ak = αn−p+1 ×

n∏k=p

ak ;n∏

k=p(ak ×bk ) =

(n∏

k=pak

)×

(n∏

k=pbk

)

Théorème 3.1



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4) Sommes doubles

Sur un rectangleSoit (ak,l )(k,l )∈Jp;qK×Jn;mK une famille indexée par Jp; qK× Jn;mK où p 6 q et n6m sont des entiers. La

somme de la famille est appelée somme double et notée∑

(k,l )∈Jp;qK×Jn;mKak,l =

∑p6k6qn6l6m

ak,l .

Disposons ces nombres dans un tableau en indexant les lignes de p et q , et les colonnes de n à m :

ap,n ap,n+1 · · · ap,m

ap+1,n ap+1,n+1 · · · ap+1,m...

......

...aq,n aq,n+1 · · · aq,m

La somme des nombres figurant sur la ligne k est Sk = ak,n +ak,n+1 +·· ·+ak,m =m∑

l=nak,l . Si maintenant

nous faisons le total des sommes sur chaque ligne, nous obtenons Sp +·· ·+Sq =q∑

k=pSk =

q∑k=p

(m∑

l=nak,l

), or ce

total représente la somme des nombres de la famille (car l’addition est commutative et associative), d’où :

∑p6k6qn6l6m

ak,l =q∑

k=p

(m∑

l=nak,l

)

De même, la somme des nombres figurant sur la colonne l est Cl = ap,l +ap+1,l +·· ·+aq,l =q∑

k=pak,l . Si

maintenant nous faisons le total des sommes sur chaque colonne, nous obtenons Cn +·· ·+Cm =m∑

l=nCl =

m∑l=n

(q∑

k=pak,l

), or ce total représente la somme des nombres de la famille (car l’addition est commutative et

associative), d’où finalement :

∑p6k6qn6l6m

ak,l =q∑

k=p

(m∑

l=nak,l

)=

m∑l=n

(q∑

k=pak,l

)

Soit (ak )k∈Jp;qK et (bl )l∈Jn;mK deux familles alors :∑p6k6qn6l6m

ak bl =q∑

k=p

(m∑

l=nak bl

)=

q∑k=p

(ak

m∑l=n

bl

)=

(q∑

k=pak

)(m∑

l=nbl

)À retenir : produit de deux sommes simples

Sur un triangleSoit (ak,l )(k,l )∈A une famille indexée par A = (k, l ) | 16 k 6 l 6 n où n est un entier. La somme de la

famille est notée∑

(k,l )∈Aak,l =

∑16k6l6n

ak,l .

Disposons ces nombres dans un tableau en indexant les lignes de 1 à n :

a1,1 a1,2 · · · a1,n

a2,2 · · · a2,2

. . ....

an,n



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Binôme de Newton Chapitre 3 : Calculs algébriques

La somme des nombres figurant sur la ligne k est Sk = ak,k +ak,k+1 +·· ·+ak,n =n∑

l=kak,l . Si maintenant

nous faisons le total des sommes sur chaque ligne, nous obtenons S1 +·· ·+Sn =n∑

k=1Sk =

n∑k=1

(n∑

l=kak,l

), or ce

total représente la somme des nombres de la famille (car l’addition est commutative et associative), d’où :

∑16k6l6n

ak,l =n∑

k=1

(n∑

l=kak,l

)

De même, la somme des nombres figurant sur la colonne l est Cl = a1,l + a2,l + ·· · + al ,l =l∑

k=1ak,l . Si

maintenant nous faisons le total des sommes sur chaque colonne, nous obtenons C1 +·· ·+Cn =n∑

l=1Cl =

n∑l=1

(l∑

k=1ak,l

), or ce total représente la somme des nombres de la famille (car l’addition est commutative et

associative), d’où finalement :

∑16k6l6n

ak,l =n∑

k=1

(n∑

l=kak,l

)=

n∑l=1

(l∑

k=1ak,l

)

II BINÔME DE NEWTON

1) Factorielle

Soit n ∈N∗, on pose n! =n∏

k=1k = 1×2×·· ·×n. Par convention, on pose 0! = 1.

Définition 3.4

ZExemple : 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ...

∀n ∈N, (n +1)! = (n +1)×n!

À retenir

FExercice 3.3 Montrer que ∀ n ∈N∗, (n +1)! = 1+n∑

k=1k(k !).

2) Coefficients binomiaux

Soient n, p deux entiers positifs tels que p 6 n, on pose(n

p

)= n!p !(n−p)! (lire p parmi n).

Définition 3.5

ZExemple :(n

0

)= 1 ;(n

1

)= n ;(n

2

)= n(n−1)2 .

En simplifiant dans la formule n! avec (n −p)!, il reste :

Si 16 p 6 n alors(n

p

)= n(n−1)···(n−p+1)p ! .

À retenir : formule pour le calcul pratique

Cette formule pratique permet d’étendre la définition à tout réel x (et p ∈N) en posant :(x

p

)= x(x−1)···(x−p+1)p !

et(x

0

)= 1.



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E

Binôme de Newton Chapitre 3 : Calculs algébriques

La fonction factorielle telle que nous l’avons définie, ne s’applique qu’à des entiers positifs.

Attention!

Soient 06 p 6 n :-(n

p

)= ( nn−p

)(symétrie).

-(n+1

p+1

)= n+1p+1

(np

).

-(n

p

)+ ( np+1

)= (n+1p+1

)(relation de Pascal).


Preuve : La première formule découle directement de la définition.n+1p+1

(np

)= n+1p+1

n!(n−p)!p ! = (n+1)!

(n+1−(p+1))!(p+1)! =(n+1

p+1

).(n

p

)+ ( np+1

)= n!(n−p)!p ! + n!

(n−p−1)!(p+1)! =n!(p+1)+n!(n−p)

(n−p)(p+1)! = (n+1)!(n−p)!(p+1)! =

(n+1p+1

).

Triangle de PascalLa relation de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche dans un tableau :

n\p 0 1 2 3 4 5 6 7 80 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6+ 4 1

5 1 5 10=

10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 1

3) Formule du binôme

Soient a,b ∈C et n ∈N, alors : (a +b)n =n∑

k=0

(nk

)ak bn−k =

n∑k=0

(nk

)an−k bk .

Théorème 3.3

Preuve : Par récurrence sur n : au rang 0 la formule donne 1 ce qui correspond bien à (a + b)0. Si la formule estdémontrée au rang n, alors :

(a +b)n+1 = (a +b)(a +b)n = a(a +b)n +b(a +b)n

=n∑

k=0

(n

k

)ak+1bn−k +

n∑k=0

(n

k

)ak bn+1−k

=n+1∑p=1

(n

p −1

)ap bn+1−p +

n∑k=0

(n

k

)ak bn+1−k (changement d’indice p = k +1 dans la première somme)

=n+1∑k=1

(n

k −1

)ak bn+1−k +

n∑k=0

(n

k

)ak bn+1−k

= an+1 +bn+1 +n∑

k=1

[(n

k −1

)+

(n

k

)]ak bn+1−k (on regroupe les sommes sur J1;nK)

= an+1 +bn+1 +n∑

k=1

(n +1

k

)ak bn+1−k (relation de Pascal)

=n+1∑k=0

(n +1

k

)ak bn+1−k (formule au rang n +1)

La formule est donc établie pour tout n ∈N.



MONTA

IGNESystèmes linéaires Chapitre 3 : Calculs algébriques

ZExemples :

–n∑

k=0

(nk

)= (1+1)n = 2n .

– Si n> 1,n∑

k=1k(n

k

)= n∑k=1

n(n−1

k−1

)= n2n−1.

–n∑

k=0

(nk

)cos(k π

3 ) = Re([1+e iπ/3]n) =p3n cos(n π

6 ).

III SYSTÈMES LINÉAIRES

1) Définition

Un système (S) linéaire à n équations et p inconnues est un système d’équations de la forme :

(S)

a1,1x1 +a1,2x2 +·· ·+a1,p xp = b1

......

an,1x1 +an,2x2 +·· ·+an,p xp = bn

où x1, . . . , xp sont des nombres inconnus, b1, . . . ,bn sont des nombres donnés (appelés secondsmembres) et la famille de nombres (ai , j )(i , j )∈J1;nK×J1;pK est donnée (ce sont les coefficients, on ditqu’ils forment la matrice du système).Résoudre (S) c’est trouver tous les p-uplets de nombres (x1, . . . , xp ) vérifiant (S). Deux systèmes sontdits équivalents si et seulement si ils ont les mêmes solutions.

Définition 3.6

CodageLes différentes équations d’un système linéaire sont notées du haut vers le bas L1,L2, . . . ,Ln :

(S)

a1,1x1 +a1,2x2 +·· ·+a1,p xp = b1 (L1)

......

an,1x1 +an,2x2 +·· ·+an,p xp = bn (Ln)

Les différentes colonnes du système sont notées de gauche à droite C1,C2, . . . ,Cp .

2) Interprétation géométrique

Lorsque p = 2 : si les coefficients ai ,1 et a1,2 ne sont pas nuls simultanément, alors l’équation ai ,1x1 +ai ,2x2 = bi peut être interprétée comme l’équation d’une droite Di dans un plan muni d’un repère (O,−→ı ,−→ ),les solutions étant les coordonnées des points M(x1, x2) de la droite Di . Résoudre (S) revient alors à chercherun point commun à plusieurs droites, c’est à dire D1 ∩·· ·∩Dn . Dans le cas où n = 2, il y a trois cas possibles :

– Soit D1 et D2 sont sécantes et alors le système a une unique solution.– Soit D1 et D2 sont confondus et alors les solutions du système sont les coordonnées des points de D1.– Soit D1 et D2 sont strictement parallèles et alors il n’y a pas de solutions au système.Lorsque p = 3 : si les coefficients ai ,1, a1,2 et ai ,3 ne sont pas nuls simultanément, alors l’équation

ai ,1x1 +ai ,2x2 +ai ,3x3 = bi peut être interprétée comme l’équation d’un plan P i dans un plan muni d’un

repère (O,−→ı ,−→ ,−→k ), les solutions étant les coordonnées des points M(x1, x2, x3) du plan P i . Résoudre (S)

revient alors à chercher un point commun à plusieurs plan c’est à dire P1 ∩·· ·∩Pn . Dans le cas où n = 2, il ya trois cas possibles :

– Soit P1 et P2 sont confondus et alors les solutions du système sont les coordonnées des points de P1.– Soit P1 et P2 sont strictement parallèles et alors il n’y a pas de solutions au système.– Soit P1 et P2 se coupent suivant une droite D1,2. S’il y a une troisième équation, il s’agit ensuite

d’étudier l’intersection D1,2 ∩P3, il y a plusieurs cas :• Soit la droite coupe le plan en un point I et ses coordonnées forment l’unique solution du système.• Soit la droite est incluse dans le plan et l’intersection est la droite.• Soit la droite est strictement parallèle au plan et il n’y a pas de solution.



MO

NTA

IGN

E

Systèmes linéaires Chapitre 3 : Calculs algébriques

3) Méthode du pivot de Gauss

Systèmes triangulairesUn système linéaire (S) est dit triangulaire lorsque les coefficients situés sous la diagonale (les coefficients

ai , j avec i > j ) sont nuls. Lorsque s’un système triangulaire a ses coefficients diagonaux non nuls, on lerésout par substitutions remontantes. Exemple :

x +2y − z + t = 1

y − z +2t = 0

z + t = 1

⇐⇒

x +2y − z + t = 1

y − z +2t = 0

z = 1− t

⇐⇒

x +2y − z + t = 1

y = z −2t = 1−3t

z = 1− t

⇐⇒

x = 1−2y + z − t = 4t

y = 1−3t

z = 1− t

. L’ensemble des solutions est donc (4t ,1−3t ,1− t , t ) | t ∈R

Sur cet exemple, on voit que l’inconnue t peut-être quelconque et que les autres s’écrivent en fonction de t .On dit que t est une inconnue auxiliaire et que x, y, z sont les inconnues principales.

Opérations élémentairesLes opérations élémentaires de la méthode de Gauss sont :– L’échange de deux équations Li et L j avec i 6= j , notée Li ↔ L j , elle transforme le système en un

système équivalent car le connecteur « et » est commutatif.– L’échange de deux colonnes Ci et C j avec i 6= j , notée Ci ↔ C j , elle transforme le système en un

système équivalent car l’addition est commutative.– Multiplier une ligne Li par un nombre α non nul, notée Li ← αLi , elle transforme le système en un

système équivalent car la nouvelle équation Li est équivalente à l’ancienne puisque α 6= 0.– Ajouter à une ligne Li un multiple d’une autre ligne L j (i 6= j ), elle notée Li ← Li +λL j , elle transforme

le système en un système équivalent car l’opération Li ← Li −λL j nous permet de revenir à l’anciensystème.

La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer, avec des opérations élémentaires, le systèmelinéaire initial (S) en un système équivalent triangulaire dont les coefficients diagonaux sont non nuls.

À retenir

La méthode est une succession d’étapes, voici le descriptif de l’étape k, celle-ci se déroule en trois temps :

1. On choisit un coefficient non nul dans les lignes Lk à Ln et les colonnes Ck à Cp . Ce coefficient seraappelé le pivot de l’étape k (noté pk ), pour les calculs à la main on essaie de choisir si possible uncoefficient égal à 1 ou −1.

2. On amène le pivot pk à sa place, c’est à dire ligne Lk et colonne Ck , il peut être nécessaire pour celad’échanger deux lignes et/ou deux colonnes.

3. On « élimine » les coefficients situés sous le pivot dans les lignes Lk+1 à Ln avec des opérations du typeLi ← Li +λLk , c’est à dire qu’à chaque ligne (sous celle du pivot) on ajoute un certain nombre de fois laligne du pivot pour faire disparaître le coefficient qui est dans la colonne du pivot, ceci est possible enfaisant Li ← Li − ai ,k

pkLk si ai ,k est le coefficient de la ligne i et colonne k.

À l’issue de l’étape k on obtient un système de la forme :

p1x1+ a1,2x2+ ·· · · · · · · · +a1,p xp = b1

p2x2+ ·· · · · · · · · +a2,p xp = b2. . .

......

pk xk+ ·· · · · · +ak,p xp = bk

ak+1,k+1xk+1+ ·· · +ak+1,p xp = bk+1...

......

an,k+1xk+1+ ·· · +an,p xp = bn

,



MO

NTA

IGN

E

Systèmes linéaires Chapitre 3 : Calculs algébriques

La méthode s’arrête à l’issue de l’étape k lorsqu’on est arrivé à la dernière ligne, ou bien lorsqu’il n’estplus possible de trouver un pivot parce que tous les coefficients des lignes Lk+1 à Ln et des colonnes Ck+1 àCp sont nuls. On peut alors procéder aux substitutions remontantes.

Exemple :

(S)

2x1 +3x2 −3x3 +4x4 +2x5 = 1

3x1 +6x2 −2x3 +5x4 +9x5 = 07x1 +18x2 −2x3 +7x4 +7x5 = 2

2x1 +4x2 −2x3 +3x4 +x5 = −1Étape 1 :

⇐⇒

2x1 +3x2 −3x3 +4x4 +2x5 = 1

3x2 +5x3 −2x4 +12x5 = −3 L2 ← 2L2 −3L1

15x2 +17x3 −14x4 = −3 L3 ← 2L3 −7L1

x2 +x3 −x4 −x5 = −2 L4 ← L4 −L1

Étape 2 (L2 ↔ L4) :

⇐⇒

2x1 +3x2 −3x3 +4x4 +2x5 = 1

x2 +x3 −x4 −x5 = −2 L2 ← L4

15x2 +17x3 −14x4 = −33x2 +5x3 −2x4 +12x5 = −3 L4 ← L2

⇐⇒

2x1 +3x2 −3x3 +4x4 +2x5 = 1

x2 +x3 −x4 −x5 = −2

2x3 +x4 +15x5 = 27 L3 ← L3 −15L2

2x3 +x4 +15x5 = 3 L4 ← L4 −3L2

Étape 3 :

⇐⇒

2x1 +3x2 −3x3 +4x4 +2x5 = 1

x2 +x3 −x4 −x5 = −2

2x3 +x4 +15x5 = 27

0 = −24 L4 ← L4 −L3

On voit donc que le système n’a pas de solution.

FExercice 3.4 Résoudre en fonction du paramètre λ le système

(1−λ)x − y + z = 0

−x + (1−λ)y − z = 0

x − y + (1−λ)z = 0

.



MO

NTA

IGN

EChapitre 4

Fonctions usuelles

SommaireI Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1) Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2) La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1) Puissance quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2) Croissance comparée de ces fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III Fonctions circulaires - Inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1) Fonctions circulaires : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2) Inversion des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

IV Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2) Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

I FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE

1) Logarithme népérien

La fonction x 7→ 1x est continue sur ]0;+∞[, elle admet une unique primitive qui s’annule en 1.

L’unique primitive de la fonction x 7→ 1x sur ]0;+∞[ qui s’annule en 1 est appelée logarithme népérien

et notée ln. On a donc ∀x > 0, ln(x) = ∫ x1

d tt .

Définition 4.1

Cette fonction est donc dérivable sur I =]0;+∞[ et ln′(x) = 1

x, elle est donc strictement croissante sur I.

Soit y > 0, la fonction f : x 7→ ln(x y) et dérivable sur I et f ′(x) = y 1x y = 1

x , on en déduit que f (x) = ln(x)+coù c est une constante, on a ln(y) = f (1) = ln(1)+ c = c, par conséquent on obtient :

∀x, y > 0, ln(x y) = ln(x)+ ln(y).

Théorème 4.1 (Propriété fondamentale du logarithme)

Conséquences :– Si u est une fonction dérivable qui ne s’annule pas, alors [ln(|u|)]′ = u′

u .– ∀x, y ∈R∗, ln(|x y |) = ln(|x|)+ ln(|y |).– ∀x, y ∈R∗, ln(| x

y |) = ln(|x|)− ln(|y |).– ∀n ∈Z∗,∀x ∈R∗, ln(|xn |) = n ln(|x|).



MO

NTA

IGN

E

Fonctions logarithme et exponentielle Chapitre 4 : Fonctions usuelles

limx→+∞ ln(x) =+∞; lim

x→0+ ln(x) =−∞; limx→+∞

ln(x)

x= 0; lim

x→0+ x ln(x) = 0; limx→1

ln(x)

x −1= 1.

Théorème 4.2 (Limites du logarithme népérien)

Preuve : ∀n ∈N, ln(2n) = n ln(2) or ln(2) > 0, donc la suite (ln(2n)) tend vers +∞ ce qui prouve que la fonction ln n’estpas majorée, par conséquent elle tend +∞.

En posant X = 1x on a lim

x→0+X =+∞ donc lim

x→0+ln(x) = lim

X→+∞− ln(X) =−∞.

limx→1

ln(x)x−1 = ln′(1) = 1.

Pour t > 1 on ap

t 6 t et donc pour x > 1 on a 06 ln(x)6∫ x

1d tp

t= 2[

px −1], le théorème des gendarmes entraîne

limx→+∞

ln(x)x = 0.

Courbe représentative :

x 0 1 +∞ln′

ln

+ +

−∞

+∞0

0 1 2 3 4

0

1

−1

−2

−3

Cln

∀x > 0, ln(x)6 x −1.

Théorème 4.3 (Inégalité de convexité)

Preuve : Il suffit d’étudier la fonction f : x 7→ ln(x)−x +1.

2) La fonction exponentielle

La fonction ln est strictement croissante sur I =]0;+∞[, elle définit donc une bijection de I sur J = Im(ln),comme elle est continue on a Im(ln) =] lim

0ln; lim+∞ ln[=R.

La réciproque est appelée fonction exponentielle et notée exp, elle est définie par :

exp : R → ]0;+∞[x 7→ exp(x) = y tel que y > 0 et ln(y) = x

.

Définition 4.2

Propriétés :– La fonction exp est strictement croissante sur R et continue, de plus exp(0) = 1.– La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée ne s’annule pas, donc la fonction exp est dérivable

sur R et exp′(x) = 1

ln′(exp(x))= exp(x) .

– Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction exp et celle de la fonction ln sont symétriquespar rapport à la première bissectrice.



MO

NTA

IGN

E

Fonctions puissances Chapitre 4 : Fonctions usuelles

0 1 2 3 4−1−2−3−4

0

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

Cln

Cexp

Soient x, y ∈ R, notons X = exp(x) et Y = exp(y) alors X et Y sont dans ]0;+∞[ on peut donc écrireln(XY) = ln(X)+ ln(Y) ce qui donne x + y = ln(XY), par conséquent exp(x + y) = XY = exp(x)exp(y), on peutdonc énoncer :

∀x, y ∈R,exp(x + y) = exp(x)exp(y).

Il en découle en particulier que exp(−x) = 1exp(x) .

Théorème 4.4 (Propriété fondamentale de l’exponentielle)

Notation : On déduit de ce théorème que pour tout entier n ∈Z et pour tout réel x on a exp(nx) = [exp(x)]n .En particulier on a pour x = 1, exp(n) = [exp(1)]n . On pose alors e = exp(1) , d’où exp(n) = en . Si p et q sont

deux entiers premiers entre eux avec q 6= 0 et si r = pq , alors exp(qr ) = exp(r )q = ep , comme exp(r ) > 0 on

peut écrire exp(r ) = qp

ep = er [cf fonctions puissances]. On convient alors d’écrire pour tout réel x :

exp(x) = ex .

Les propriétés s’écrivent alors :– ex+y = ex ×ey .– e0 = 1, e−x = 1

ex , ∀n ∈Z, enx = [ex ]n .– Si u désigne une fonction dérivable alors [eu]′ = u′×eu .– ∀x ∈R,ex > x +1.

Preuve : Soit X = ex , on sait que ln(X)6X−1 ce qui donne l’inégalité.

limx→−∞ex = 0, lim

x→+∞ex =+∞, limx→+∞

ex

x=+∞, lim

x→0

ex −1

x= 1.

Théorème 4.5 (Limites de la fonction exponentielle)

Preuve : La fonction exp est continue et strictement croissante sur R donc Im(exp) =] lim−∞ exp; lim+∞ exp[=]0;+∞[. Soit

X = ex alors limx→+∞

ex

x = limX→+∞

Xln(X) =+∞. lim

x→0

ex−1x = exp′(0) = 1.

Remarque 4.1 – Il en découle que limx→+∞xe−x = 0.

II FONCTIONS PUISSANCES

Les puissances entières sont supposées connues.



MO

NTA

IGN

E

Fonctions puissances Chapitre 4 : Fonctions usuelles

1) Puissance quelconque

Si α est un réel et si x > 0 alors on pose xα = eα ln(x).

Définition 4.3

Cela définit une fonction fα continue et dérivable sur ]0;+∞[ avec la formule : [xα]′ = αxα−1.Il en découle que si u est une fonction dérivable à valeurs strictement positives, alors la fonction uα est

dérivable et : (uα

)′ = α×u′×uα−1

On a limx→0

fα(x) =

0 si α> 0+∞ si α< 0

. Dans le premier cas on pose 0α = 0, dans le second cas il y a une

asymptote verticale.

Lorsque α> 0 : xα−0x = e(α−1)ln(x) −→

x→0

0 si α> 1

+∞ si 0 < α< 1, lorsque α> 1 on a une tangente horizontale

et lorsque α< 1 on a une tangente verticale.

0 1 2 3 4−1

0

1

2

3

4

−1

α= 1

α< 0

α> 1

0 < α< 1

Cas particuliers (avec x > 0) :

a) Lorsque α= n ∈Z, on retrouve bien les puissances entières car exp(n ln(x)) = (exp(ln(x))

)n = xn .

b) Lorsque α= 1n avec n ∈N∗ : soit y = xα, on a yn = exp( n

n ln(x)) = x, comme y est positif, on dit que yest la racine ne de x. Notation pour x > 0 : x1/n = n

px.

c) Lorsque α= pq ∈Q avec p ∈Z et q ∈N∗ : soit y = xα, on a y q = exp(q p

q ln(x)) = xp , comme y est positif,

y est la racine qe de xp . Autrement dit, pour x > 0, xp/q = qp

xp .

Avec x, y > 0 et α, β ∈R :– ln(xα) = α ln(x).– xα×xβ = xα+β, et donc x−α = 1

xα , et xα

xβ= xα−β.

– (xα)β = xαβ.– (x y)α = xα× yα.– Pour α non nul, y = xα⇐⇒ x = y

1α .

Théorème 4.6 (Propriétés)


FExercice 4.1

1/ Soient u et v deux fonctions dérivables avec u > 0, calculer la dérivée de la fonction x 7→ u(x)v(x).

2/ Calculer limx→+∞

(1+ 1

x

)x.



MO

NTA

IGN

E

Fonctions circulaires - Inversions Chapitre 4 : Fonctions usuelles

Remarque 4.2 – Pour les réels x strictement positifs, on peut définir les puissances complexes à l’aide del’exponentielle complexe en posant xz = ez ln(x).

2) Croissance comparée de ces fonctions

Soit f et g deux fonctions qui ne s’annulent pas au voisinage d’un point a, on dit que f et négligeable

devant g au voisinage de a lorsque : limx→a

f (x)g (x) = 0. Notation : f (x) = o

a

(g (x)

).

Définition 4.4

Comparaison des puissances : si α < β alors xα est négligeable devant xβ au voisinage de +∞ et xβ estnégligeable devant xα au voisinage de 0 :

xα = o+∞

(xβ

)et xβ = o

0+

(xα

)c’est à dire lim

x→+∞xα

xβ= 0 et lim

x→0+xβ

xα= 0

Comparaison des puissances et des logarithmes : si α et β sont des réels strictement positifs, alors [ln(x)]α

est négligeable devant xβ au voisinage de +∞ et | ln(x)|α est négligeable devant 1xβ

au voisinage de 0 :

[ln(x)]α = o+∞

(xβ

)et | ln(x)|α = o

0+

(1

xβ


x→+∞[ln(x)]α

xβ= 0 et lim

x→0+ xβ| ln(x)|α = 0

Preuve : [ln(x)]α

xβ=

( αβ

ln(u)

u

)α=

(αβ

)α (ln(u)

u

)αavec u = x

βα , ce qui donne la première limite. La deuxième en découle avec

le changement de variable u = 1x .

Comparaison des puissances et des exponentielles : si α est un réel et si β > 0, alors xα est négligeabledevant eβx au voisinage de +∞, c’est à dire :

xα = o+∞

(eβx


x→+∞xαe−βx = 0 .

Preuve : Lorsque α6 0 il n’y a rien à démontrer. Lorsque α> 0, u = ex −→x→+∞+∞ et on a xαe−βx = [ln(u)]α

uβ−→

u→+∞ 0.

FExercice 4.2 Comparer xα et exβ au voisinage de +∞.

III FONCTIONS CIRCULAIRES - INVERSIONS

1) Fonctions circulaires : rappels

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (O,−→u ,−→v ). Soit x un réel, et M(x) le point du cercletrigonométrique tel que (−→u ,

−−→OM ) = x (mod 2π) alors les coordonnées de M(x) sont (cos(x),sin(x)), lorsque

x ∈R\π2 +kπ | k ∈Z

, on pose tan(x) = sin(x)cos(x) .

x

sin(x)M

Acos(x)O

tan(x)



MO

NTA

IGN

E


Remarque 4.3 – Le réel x représente également la longueur de l’arc de cercle_

AM avec A(1,0), le cercle étantorienté dans le sens direct.

Quelques propriétés :– ∀x ∈R,cos2(x)+ sin2(x) = 1.– Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques définies continues dérivables sur R, à valeurs dans

[−1;1], et on a sin′ = cos et cos′ =−sin.– La fonction tangente est π-périodique, définie continue dérivable sur R \ π2 + kπ | k ∈ Z et on a

tan′(x) = 1+ tan2(x) = 1cos2(x) .

– Les fonctions sinus et tangente sont impaires alors que la fonction cosinus est paire.

Si u est une fonction dérivable alors sin(u) et cos(u) sont dérivables avec les formules :[sin(u)]′ = u′ cos(u) et [cos(u)]′ =−u′ sin(u)

Si de plus la fonction cos(u)) ne s’annule pas, alors la fonction tan(u) est dérivable et :[tan(u)]′ = u′(1+ tan2(u)) = u′

cos2(u)

À retenir

0

1

−1

0 π2

π−π2

−πCsin

0

1

−1

0 π2

π−π2

−π

Ccos

0

01

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

π2−π

2

Ctan

– On a les relations sin(π+x) =−sin(x) et cos(π+x) =−cos(x).

– On a les valeurs remarquables :

x 0 π6

π4

π3

π2

sin(x) 0 12

p2

2

p3

2 1

cos(x) 1p

32

p2

212 0

tan(x) 0 1p3

1p

3

,

comme sin(π− x) = sin(x) et cos(π− x) = −cos(x), on peut compléter le tableau avec les valeurs2π3 , 3π

4 , 5π6 et π, la parité permet ensuite d’avoir un tableau de −π à π.

– Formules d’addition : ∀x, y ∈R on a :• cos(x + y) = cos(x)cos(y)− sin(x)sin(y). En particulier, cos(2x) = 2cos2(x)−1 = 1−2sin2(x).• sin(x + y) = sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y). En particilier, sin(2x) = 2sin(x)cos(x).• tan(x + y) = tan(x)+tan(y)

1−tan(x) tan(y) . En particulier, tan(2x) = 2tan(x)1−tan2(x) .

• En posant u = tan( x2 ), on a sin(x) = 2u

1+u2 et cos(x) = 1−u2

1+u2 .

FExercice 4.3

1/ Montrer que ∀x ∈R, |sin(x)|6 |x|, 06 1−cos(x)6 x2

2 .

2/ Montrer que ∀x ∈]− π2 ; π2 [, | tan(x)|> |x|.

Solution 4.3

1/ Il suffit de le démontrer pour x positif en étudiant la fonction x 7→ x−sin(x), puis on intègre de 0 à x ce qui donnela deuxième inégalité.

2/ On étudie x 7→ x − tan(x).



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E


ExtensionOn peut prolonger les fonctions sinus et cosinus à C en posant cos(z) = e i z+e−i z

2 et sin(z) = e i z−e−i z

2i .

2) Inversion des fonctions circulaires

La fonction arcsin : la fonction sin est strictement croissante sur I = [−π2 ; π2 ], elle définit une bijection de I

sur J = [sin(−π2 );sin(π2 )] = [−1;1]. La bijection réciproque est notée arcsin [arcsinus], elle est définie par :

arcsin: [−1;1] → [−π2 ; π2 ]

x 7→ arcsin(x) = y tel que

y ∈ [−π

2 ; π2 ]sin(y) = x

.

ZExemple : arcsin(0) = 0, arcsin( 12 ) = π

6 , . . .

Cette fonction est strictement croissante et continue sur [−1;1], elle est dérivable sur ]−1;1[ mais pas en−1 ni en 1 [tangente verticale en ces points], on a la formule suivante :

∀x ∈]−1;1[,arcsin′(x) = 1

cos(arcsin(x))= 1p

1−x2.

Si u est une fonction dérivable à valeurs dans ]−1;1[ alors la fonction arcsin(u) est dérivable et :[arcsin(u)]′ = u′p

1−u2

À retenir

x −1 0 +1

arcsin−π

2

+π2

0

Csin

1

−1

π2

−π2

1

−1

π2

−π2

Carcsin

Propriétés :– ∀x ∈ [−1;1],sin(arcsin(x)) = x.– ∀x ∈ [−π

2 ; π2 ],arcsin(sin(x)) = x.– ∀x ∈ [−1;1],arcsin(−x) =−arcsin(x) [fonction impaire].– ∀x ∈ [−1;1],cos(arcsin(x)) =

p1−x2.

– ∀x ∈ [−π;π],arcsin(cos(x)) = π2 −|x|.

La fonction f : x 7→ arcsin(sin(x)) n’est pas l’identité, elle est 2π- périodique et impaire, il suffit donc l’étudiersur [0;π], mais elle vérifie f (π− x) = f (x), la droite x = π

2 est donc un axe de symétrie et l’étude se réduit à [0; π2 ],intervalle sur lequel f (x) = x.

Attention!



MO

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IGN

E


La fonction arccos : la fonction f : [0;π] → [−1;1] définie par f (x) = cos(x), est continue et strictementdécroissante, elle définit donc une bijection de [0;π] sur [−1;1]. Par définition, la bijection réciproque estappelée fonction arccosinus et notée arccos, elle est définie par :

arccos: [−1;1] → [0;π]

x 7→ arccos(x) = y tel que

y ∈ [0;π]

cos(y) = x

.

ZExemple : arccos(1) = 0, arccos(0) = π2 , arccos(−1

2 ) = 2π3 , . . .

Cette fonction est strictement décroissante et continue sur [−1;1], elle est dérivable sur ]−1;1[ mais pasen −1 ni en 1 [tangente verticale en ces points], on a la formule suivante :

∀x ∈]−1;1[,arccos′(x) = −1

sin(arccos(x))= −1p

1−x2.

Si u est une fonction dérivable à valeurs dans ]−1;1[ alors la focntion arccos(u) est dérivable et :[arccos(u)]′ = −u′p

1−u2

À retenir

x −1 0 +1

arccos

π

0

π2

Ccos

−1 1

π2 π

1

−1

π2

πCarccos

Propriétés :– ∀x ∈ [−1;1],cos(arccos(x)) = x.– ∀x ∈ [0;π],arccos(cos(x)) = x.– ∀x ∈ [−1;1],sin(arccos(x)) =

p1−x2.

– ∀x ∈ [−1;1],arccos(x)+arcsin(x) = π2 .

– ∀x ∈ [−1;1],arccos(−x) =π−arccos(x).

La fonction f : x 7→ arccos(cos(x)) n’est pas l’identité, elle est 2π- périodique et paire, il suffit donc l’étudier sur[0;π] intervalle sur lequel f (x) = x.

Attention!

La fonction arctan : la fonction f :]−π2 ; π2 [→R définie par f (x) = tan(x), est continue et strictement croissante,

elle définit donc une bijection de ]− π2 ; π2 [ sur R. Par définition, la bijection réciproque est appelée fonction

arctangente et notée arctan, elle est définie par :

arctan: R → ]− π2 ; π2 [

x 7→ arctan(x) = y tel que

y ∈]− π

2 ; π2 [tan(y) = x

.

ZExemple : arctan(0) = 0, arctan(1) = π4 , arctan(

p3) = π

3 , . . .

Cette fonction est strictement croissante, continue et dérivable sur R et on a la formule suivante :

∀x ∈R,arctan′(x) = 1

1+ tan2(arctan(x))= 1

1+x2 .



MO

NTA

IGN

E

Fonctions hyperboliques Chapitre 4 : Fonctions usuelles

Si u désigne un fonction dérivable, alors la fonction arctan(u) est dérivable et :[arctan(u)]′ = u′

1+u2

À retenir

x −∞ 0 +∞

arctan

−π2

π2

0

Ctan

π2−π

2

π2

−π2

Carctan

Propriétés :– ∀x ∈R, tan(arctan(x)) = x.– ∀x ∈]− π

2 ; π2 [,arctan(tan(x)) = x.– ∀x ∈R,arctan(−x) =−arctan(x).– ∀x ∈R∗+,arctan(x)+arctan( 1

x ) = π2 .

– ∀x ∈R,arctan(x) = arcsin(

xp1+x2

).

– ∀x ∈R,arctan(x) = Arg(1+ i x).

IV FONCTIONS HYPERBOLIQUES

1) Définition

Pour x ∈ R, on pose ch(x) = ex+e−x

2 [cosinus hyperbolique], sh(x) = ex−e−x

2 [sinus hyperbolique] et

th(x) = sh(x)ch(x) = ex−e−x

ex+e−x [tangente hyperbolique].

Définition 4.5

Le cosinus hyperbolique : la fonction ch est paire, définie continue dérivable sur R et ch′(x) = sh(x), on endéduit le tableau de variation et la courbe :

x −∞ 0 +∞

ch

+∞

1

+∞

0 1 2−1−2−3

0

1

2

3

4

Cch

Quelques propriétés :– ∀x ∈R,ch(x)> 1.– lim

x→+∞ch(x)

x =+∞ et limx→+∞

ch(x)ex = 1

2 .



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NTA

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E


Le sinus hyperbolique : la fonction sh est impaire, définie continue dérivable sur R et sh′(x) = ch(x), on endéduit le tableau de variation et la courbe :

x −∞ 0 +∞

sh−∞

+∞0 0 1 2−1−2−3

01

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

Csh

Quelques propriétés :– ∀x ∈R,ch(x)> 1.– lim

x→+∞ch(x)


ch(x)ex = 1

2 .

– ∀x ∈R,ch(x)+ sh(x) = ex et ch(x)− sh(x) = e−x .– ∀x > 0, x < sh(x) < ch(x).– lim

x→+∞sh(x)


sh(x)ex = 1

2 .

La tangente hyperbolique : la fonction th est impaire, définie continue dérivable sur R et

th′(x) = ch2(x)− sh2(x)

ch2(x)= 1− th2(x) = 1

ch2(x)

d’où les variations et la courbe :

x −∞ 0 +∞

th

−1

+1

0 0 1 2−1−2−3

1

−1

Cth

Quelques propriétés :– ∀x ∈R,−1 < th(x) < 1.– ∀x > 0,th(x) < x.

2) Trigonométrie hyperbolique

– ∀x ∈R,ch2(x)− sh2(x) = 1.– Formules d’addition : ∀x, y ∈R on a :

• ch(x + y) = ch(x)ch(y)+ sh(x)sh(y).• sh(x + y) = sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y).

• th(x + y) = th(x)+th(y)1+th(x)th(y) .

En particulier :

ch(2x) = 2ch2(x)−1 = 1+2sh2(x)sh(2x) = 2sh(x)ch(x)

th(2x) = 2th(x)1+th2(x)

.



MO

NTA

IGN

E


– Transformations de somme en produit : ∀x, y ∈ R, en posant p = x+y2 et q = x−y

2 , on a x = p + q ety = p −q , on obtient :• ch(x)+ch(y) = 2ch( x+y

2 )ch( x−y2 ).

• ch(x)−ch(y) = 2sh( x+y2 )sh( x−y

2 ).

• sh(x)+ sh(y) = 2sh( x+y2 )ch( x−y

2 ).

• th(x)+ th(y) = sh(x+y)ch(x)ch(y) .

Remarque 4.4 – Il est possible d’étendre ces fonctions aux complexes, en posant pour z ∈C, ch(z) = ez+e−z

2 et

sh(z) = ez−e−z

2 . On peut déduire des formules d’Euler que pour tout réel x, cos(x) = ch(i x) et i sin(x) = sh(i x).



MO

NTA

IGN

EChapitre 5

Généralités sur les fonctions

SommaireI Rappels et compléments sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1) Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2) Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3) Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3) Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2) Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3) Calculs d’intégrales et de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4) Primitives de certaines fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Dans ce chapitre, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle non trivial de R.

I RAPPELS ET COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS

Rappels :

a) Deux fonctions sont égales lorsqu’elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d’arrivée,et le même graphe.

b) Si f : I →R est une fonction, on appelle « image de f », l’ensemble noté f (I) et défini par :

f (I) = y ∈R / ∃ x ∈ I, f (x) = y,

c’est l’ensemble des images par f des éléments de I.

1) Vocabulaire

– Représentation graphique : soit P un plan muni d’un répère (O,−→ı ,−→ ), la représentation graphique def est l’ensemble C f =

M(x, f (x)) | x ∈ I

. On dit que y = f (x) est une équation de la courbe représen-

tative de f car M(x; y) ∈C f ⇐⇒ y = f (x).– Sens de variation : soit f : I →R une fonction, on dit que f est :

• constante sur I lorsque : ∀ x, y ∈ I, f (x) = f (y).• croissante sur I lorsque : ∀ x, y ∈ I, x 6 y =⇒ f (x)6 f (y).• strictement croissante sur I lorsque : ∀ x, y ∈ I, x < y =⇒ f (x) < f (y).• décroissante sur I lorsque : ∀ x, y ∈ I, x 6 y =⇒ f (x)> f (y).• strictement décroissante sur I lorsque : ∀ x, y ∈ I, x < y =⇒ f (x) > f (y).• monotone sur I lorsque : f est ou bien croissante ou bien décroissante.



MO

NTA

IGN

E

Rappels et compléments sur les fonctions Chapitre 5 : Généralités sur les fonctions

• strictement monotone sur I lorsque : f est ou bien strictement croissante ou bien strictementdécroissante.

FExercice 5.1 Étudier le sens de variation de la composée de deux fonctions monotones, puis de la somme, puis du

produit.

– Bornée : soit f : I →R une fonction, on dit que f est :• majorée sur I lorsqu’il existe un réel M tel que ∀ x ∈ I, f (x)6M. Si c’est le cas, la courbe de f est sous

la droite y = M.• minorée sur I lorsqu’il existe un réel m tel que ∀ x ∈ I, f (x)>m. Si c’est le cas, la courbe de f est

au-dessus la droite y = m.• bornée sur I lorsque f est à la fois minorée et majorée, ce qui équivaut à : | f | est majorée.

– Parité : soit f : I →R une fonction, on dit que f est :• paire lorsque : ∀ x ∈ I,−x ∈ I et f (−x) = f (x). Dans ce cas la courbe représentative de f admet l’axe

des ordonnées comme axe de symétrie.Plus généralement, si ∀ x ∈ I,2a − x ∈ I et f (2a − x) = f (x), alors la courbe de f admet la droited’équation x = a comme axe de symétrie.

• impaire lorsque : ∀ x ∈ I,−x ∈ I et f (−x) =− f (x). Si c’est le cas, alors la courbe de f admet un centrede symétrie, l’origine du repère.Plus généralement, si ∀ x ∈ I,2a −x ∈ I et f (2a −x) = 2b − f (x), alors la courbe de f admet le pointA(a,b) comme centre de symétrie.

– Périodicité : soit f : I → R une fonction et soit a ∈ R∗, on dit que a est une période de f lorsque :∀ x ∈ I, x ± a ∈ I et f (x + a) = f (x). Si c’est le cas, le courbe de f est invariante par les translations

de vecteurs na−→i où n ∈Z. Si f est périodique, on appelle période fondamentale de f la plus petite

période strictement positive si elle existe.FExercice 5.2 Soit f : I →R une fonction périodique, on note

G f =T ∈R | ∀x ∈ I, x +T ∈ I, x −T ∈ I, f (x +T) = f (x)

Montrer que (G f ,+) est un groupe (appelé groupe des périodes de f ). Lorsque f admet une période fondamen-

tale a, montrer que G f = aZ.

– Extremum global : on dit que f : I →R admet un :• maximum global en x0 ∈ I lorsque : ∀ x ∈ I, f (x)6 f (x0). Si c’est le cas, on pose f (x0) = max

x∈If (x).

• minimum global en x0 ∈ I lorsque : ∀ x ∈ I, f (x)> f (x0). Si c’est le cas, on pose f (x0) = minx∈I

f (x).

Une fonction même bornée n’a pas forcément de maximun ou de minimum. Par exemple, la fonctionarctan a pour ensemble image Im(arctan) =]− π

2 ; π2 [, la fonction est donc bornée mais n’a ni maximum, niminimum.

Attention!

2) Opérations sur les fonctions

L’ensemble des fonctions de I vers R est noté F (I,R).

Soient f , g ∈F (I,R) et soit λ ∈R, on pose :– f + g la fonction de I vers R définie par : ∀ x ∈ I, ( f + g )(x) = f (x)+ g (x).– f × g la fonction de I vers R définie par : ∀ x ∈ I, ( f × g )(x) = f (x)g (x).– λ. f la fonction de I vers R définie par : ∀ x ∈ I, (λ. f )(x) = λ f (x).

Définition 5.1

Propriétés

a) Pour l’addition :– elle est commutative, associative,– elle admet un élément neutre : la fonction nulle (notée 0),– toute fonction f de I vers R admet un opposé qui est la fonction − f : x 7→ − f (x),

donc (F (I,R),+) est un groupe abélien.



MO

NTA

IGN

E

Rappels et compléments sur les fonctions Chapitre 5 : Généralités sur les fonctions

b) Pour le produit par un réel : si f , g ∈F (I,R) et α,β ∈R :– 1. f = f ,– (α+β). f = α. f +β. f ,– α.( f + g ) = α. f +α.g ,– α.(β. f ) = (αβ). f ,

donc (F (I,R),+, .) est un R - espace vectoriel.

c) Pour la multiplication :– elle associative, commutative,– elle possède un élément neutre, la fonction constante qui à x donne 1 (notée 1),– elle est distributive sur l’addition,– seules les fonctions f qui ne s’annulent jamais ont un inverse (la fonction 1

f ).

donc (F (I,R),+,×) n’est pas un corps, mais seulement un anneau commutatif, celui - ci n’est pasintègre, par exemple χQ× (1−χQ) = 0.

Soient f , g : I → R deux fonctions, on pose max( f , g ) et min( f , g ) les fonctions de I vers R définiespar : ∀ x ∈ I,max( f , g )(x) = max( f (x), g (x)) et min( f , g )(x) = min( f (x), g (x)). En particulier on posef + = max( f ,0) et f − = max(− f ,0), on a alors f +− f − = f et f ++ f − = | f |.

Définition 5.2 (fonctions max et min)

FExercice 5.3 Montrer que sup( f , g ) = f +g+| f −g |2 et que inf( f , g ) = f +g−| f −g |

2 .

Rappelons pour terminer ce paragraphe, qu’il existe une relation d’ordre dans F (I,R) (ordre fonctionnel),elle est définie par :

f 6 g ⇐⇒∀ x ∈ I, f (x)6 g (x)

c’est une relation d’ordre partiel.

3) Plan d’étude d’une fonction

Ensemble de définition, ensemble d’étude

– D f est l’ensemble des réels de l’ensemble de départ ayant une image par f .– Si D f est symétrique par rapport à un réel a, il se peut que la courbe de f présente une symétrie :

• un axe d’équation x = a lorsque ∀ x ∈D f , f (2a −x) = f (x).• un centre de symétrie de coordonnées (a,b) lorsque ∀ x ∈D f , f (2a −x) = 2b − f (x).

Dans les deux cas, on peut restreindre l’étude à D f ∩ [a;+∞[.– S’il existe un réel T > 0 tel que : ∀ x ∈D f , x ±T ∈D f , f (x +T) = f (x), alors f est T-périodique. On peut

restreindre l’étude à un intervalle de longueur une période : D f ∩ [a; a +T[ (a peut être quelconque),on complète ensuite la courbe avec les translations de vecteurs nT−→ı , n ∈Z.

Prolongements éventuels aux bords

Il se peut que f admette un prolongement par continuité aux bornes (finies) de D f . C’est un calcul delimite, si celle-ci existe dans R, alors il y a un prolongement. Si celle-ci est infinie, alors il y a une asymptoteverticale.

S’il y a un prolongement, on étudie la fonction prolongée, ce qui change l’ensemble de définition.

Continuité, dérivabilité

– On cherche à appliquer les théorèmes généraux, pour cela il faut regarder comment est faite la fonction(somme, produit, composée...).

– Il reste parfois des points où ces théorèmes ne s’appliquent pas, on étudie alors la continuité enrevenant à la définition (calcul de limite). S’il y a continuité, alors on étudie s’il y a dérivabilité en cemême point, il y a plusieurs méthodes : le théorème sur la limite de la dérivée, ou la définition (limitedu taux d’accroissement).



MO

NTA

IGN

E

Fonctions à valeurs complexes Chapitre 5 : Généralités sur les fonctions

Sens de variation

On rappelle que le théorème qui donne le sens de variation en fonction du signe de la dérivée, n’estvalable que sur un intervalle.

– On peut parfois éviter l’étude du signe de la dérivée : sens de variation d’une somme, d’une composée,d’un produit... Par exemple, les fonctions ln(u),

pu,eu ont le même sens de variation que u.

– Lorsqu’on ne peut pas faire autrement, on étudie le signe de la dérivée (sur un intervalle).– Les résultats sont consignés dans le tableau des variations, où doivent figurer :

• l’ensemble d’étude,• les valeurs particulières qui sont intervenues dans l’étude de la continuité, la dérivabilité et l’étude

du signe de la dérivée,• le signe de la dérivée (si on est passé par là),• les limites aux bornes de l’ensemble d’étude.

Étude des branches infinies

C f désigne la courbe de f dans un repère orthogonal.

– Si x0 est un réel de D f ou une borne et si f a une limite infinie en x0, alors on dit que C f admet uneasymptote verticale d’équation x = x0.

– Si ∞ est une borne de D f , et si lim∞ f = ` ∈ R, alors on dit que C f admet une asymptote horizontale

d’équation y = `.

– Si ∞ est une borne de D f , et si lim∞ f =∞, alors on étudie le rapport f (x)x :

• Si lim∞f (x)

x =∞ : on dit que C f admet une branche parabolique dans la direction de l’axe Oy , exemple :

f (x) = ex en +∞.

• Si lim∞f (x)

x = 0 : on dit que C f admet une branche parabolique dans la direction de l’axe Ox, exemple :

f (x) = ln(x) en +∞.

• Si f (x)x n’a pas de limite en ∞, alors on ne dit rien, exemple : f (x) = x(2+ sin(x)) en +∞.

• Si lim∞f (x)

x = a ∈R∗ : alors on étudie la différence f (x)−ax :

∗ Si lim∞ f (x)−ax = b ∈R : alors on dit que C f admet une asymptote d’équation y = ax +b, ce qui

équivaut à lim∞ f (x)−ax −b = 0. La position courbe-asymptote se détermine en étudiant le signe

de l’expression f (x)−ax −b, exemple : f (x) = x2+x+1x+2 en +∞.

∗ Si lim∞ f (x)−ax =∞ : alors on dit que C f admet une branche parabolique dans la direction y = ax,

exemple : f (x) = x + ln(x) en +∞.∗ Si f (x)−ax n’a pas de limite en ∞ : alors on dit que C f admet une branche infinie dans la direction

asymptotique y = ax, exemple : f (x) = x + sin(x) en +∞.

Si f et g sont deux fonctions définies au voisinage de ∞, on dit que C f et Cg sont asymptotes en ∞lorsque lim

x→∞ f (x)− g (x) = 0.

Définition 5.3

Représentation graphique

– On commence par placer : les asymptotes, les tangentes remarquables, les points particuliers (anguleux,de rebroussement, d’intersection avec les axes...),

– On donne ensuite l’allure de la courbe d’après le tableau de variation. Il est parfois nécessaire d’étudierla position de la courbe par rapport à certaines tangentes ou asymptotes.

II FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

1) Définition

Soit I un intervalle de R, et f : I →C une fonction à valeurs complexes.



MO

NTA

IGN

E

Fonctions à valeurs complexes Chapitre 5 : Généralités sur les fonctions

Pour t ∈ I, on pose u(t) = Re( f (t)) et v(t) = Im( f (t)), on définit ainsi deux fonctions u et v à valeursréelles telles que ∀ t ∈ I, f (t ) = u(t )+ i v(t ).

La fonction u est appelée partie réelle de f et la fonction v est appelée partie imaginaire de f .

Définition 5.4

ZExemple : Soit f définie sur R par f (t ) = e i t , on a Re( f ) = cos et Im( f ) = sin.

2) Continuité

- Une fonction u : I →R est continue en t0 ∈ I, lorsque limt→t0

f (t ) = f (t0).

- Soit f : I →C une fonction, soit u sa partie réelle et v sa partie imaginaire, on dit que f est continueen t0 ∈ I lorsque les fonctions u et v sont continues en t0.- On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de I et l’ensemble des fonctionscontinues sur I est noté C 0(I,C).

Définition 5.5

Les résultats suivants seront établis dans le chapitre sur la continuité :

- Les fonctions usuelles vues jusque là sont continues sur leur ensemble de définition.- La somme, le produit et la composée de deux fonctions continues sont continues. Si f est continueet ne s’annule pas alors 1

f est continue (théorèmes généraux de la continuité).- Si f est continue sur l’intervalle I et à valeurs réelles, alors l’ensemble f (I) est un intervalle de R(théorème des valeurs intermédiaires).- Si f est continue sur un segment [a;b] et à valeurs réelles, alors f a un maximum et un minimum.- Si f : I →R est continue en a ∈ I alors pour toute suite (un) d’éléments de I, si un → a alors f (un) →f (a).

À retenir

3) Dérivation

- Une fonction u : I →R est dérivable en t0 ∈ I, lorsque le taux d’accroissement u(t )−u(t0)t−t0

admet unelimite finie en t0. Si c’est le cas, cette limite est notée u′(t0) et appelée nombre dérivé de u en t0.- Soit f : I →C une fonction, soit u sa partie réelle et v sa partie imaginaire, on dit que f est dérivable ent0 lorsque les fonctions u et v sont dérivables en t0. Si c’est le cas, alors on pose f ′(t0) = u′(t0)+i v ′(t0).On remarquera que si f est dérivable sur I, alors Re( f ′) = (

Re( f ))′ et Im( f ′) = (

Im( f ))′.

Définition 5.6

Les fonctions usuelles ne sont pas toutes dérivables sur leur ensemble de définition, il y a les exceptions :- arcsin et arccos ne sont pas dérivables en −1 ni en 1.- La valeur absolue n’est pas dérivable en 0.- Les fonctions t 7→ tα avec α ∈]0;1[ ne sont pas dérivables en 0.

Attention!

Les résultats suivants seront établis dans le chapitre sur la dérivation :



MO

NTA

IGN

E

Primitives Chapitre 5 : Généralités sur les fonctions

- Si f est dérivable en t0 alors f est continue en t0 (réciproque fausse).- Une fonction dérivable f sur un intervalle I est constante si et seulement si sa dérivée est nulle sur I.- Si f est dérivable sur un intervalle I et f ′ > 0 (respectivement f ′ 6 0 alors f est croissante sur I(respectivement décroissante), et si de plus f ′ ne s’annule pas, alors la monotonie de f est stricte.- La somme, le produit et la composée de deux fonctions dérivables sont dérivables. Si f est dérivableet ne s’annule pas alors 1

f est dérivable (théorèmes généraux de la continuité).- Formules de dérivation pour les opérations algébriques (λ ∈C) :

( f + g )′ = f ′+ g ′ ; (λ f )′ = λ f ′ ; ( f g )′ = f ′g + f g ′ ;(

1g

)′ = −g ′

g 2

- Dérivation d’une composée : ( f g )′ = g ′× f ′ g (ou encore [ f (g )]′ = g ′× f ′(g )).

À retenir

ZExemple : La fonction f définie par f (t ) = 11+i t est dérivable sur R et f ′(t ) = −i

(1+i t )2 .

Remarque 5.1 :– On remarquera que les formules de dérivation sont les mêmes pour les fonctions à valeurs complexes que

pour les fonctions à valeurs réelles.

– Si f et g sont dérivables et que g ne s’annule pas, alors fg est dérivable et

(fg

)′ = f ′g− f g ′

g 2 .

Soit f : I 7→ C une fonction dérivable, alors la fonction t → e f (t ) est dérivable sur I (exponentiellecomplexe de f (t )) et : (

e f (t ))′ = f ′(t )e f (t )

Théorème 5.1

Preuve : On pose f (t) = a(t)+ i b(t) sous forme algébrique. e f (t ) = ea(t ) × [cos(b(t))+ i sin(b(t))], la partie réelle estdonc g (t ) = ea(t ) cos(b(t )) et sa partie imaginaire est h(t ) = ea(t ) sin(b(t )). Ces fonctions sont dérivables sur I, donc e f

est dérivable sur I et sa dérivée est g ′(t )+ i h′(t ), il suffit alors de comparer g ′(t )+ i h′(t ) avec f ′(t )e f (t ) pour constaterl’égalité.

III PRIMITIVES

1) Généralités

Soit F, f : I →C deux fonctions, on dit que F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I etF′ = f .

Définition 5.7

FExercice 5.4 Calculer une primitive de f (t ) = 11+i t et de g (t ) = e t cos(t ).

Si F et G sont deux primitives de la fonction f sur l’intervalle I, alors il existe une constante α ∈C telleque : ∀ t ∈ I,F(t ) = G(t )+α.

Théorème 5.2

Preuve : On a F′ = G′ = f , d’où (F−G)′ = 0 la fonction nulle, donc Re(F−G)′ = Im(F−G)′ = 0 sur I, ce qui entraîneque les fonctions Re(F−G) et Im(F−G) sont constantes sur l’intervalle I. Il existe donc a et b deux réels tels que∀ t ∈ I,Re(F(t )−G(t )) = a et Im(F(t )−G(t )) = b, on en déduit que ∀ t ∈ I,F(t ) = G(t )+α avec α= a + i b.

Remarque 5.2 :– Si f admet des primitives sur l’intervalle I, si t0 ∈ I et a ∈C, alors il existe une unique primitive F de f sur

I telle que F(t0) = a.– Si U désigne une primitive sur I de la fonction u : I → R et V une primitive de v : I → R, avec u et v

continues, alors la fonction U+ i V est une primitive de la fonction complexe u + i v.

Le théorème clé que nous établirons dans le chapitre sur l’intégration dit la chose suivante :



MO

NTA

IGN

E


Toute fonction f : I → C continue sur un intervalle I, admet des primitives sur cet intervalle. Plusprécisément, si x0 ∈ I et λ ∈C, alors l’unique primitive F de f sur I qui vérifie F(x0) = λ est la fonctionF: I →C définie par F(x) = λ+∫ x

x0f (t )d t .

À retenir

2) Primitives usuelles

Fonction Primitive

u′uα uα+1

α+1 si α 6= −1, ln(|u|) sinon

u′eu eu

u′ cos(u) sin(u)

u′ sin(u) −cos(u)

u′(1+ t an2(u)) = u′cos2(u) tan(u)

u′ch(u) sh(u)

u′sh(u) ch(u)

u′(1− th2(u)) = u′ch2(u)

th(u)

u′ tan(u) − ln(|cos(u)|)u′ tan(u)2 tan(u)−u

u′1+u2 arctan(u)

u′p1−u2

arcsin(u)

u′1−u2 ln(

√∣∣1+u1−u

∣∣)3) Calculs d’intégrales et de primitives

On rappelle les propriétés, soient f , g : I →C continues sur l’intervalle I, et a,b ∈ I :

a)∫ a

bf (t )d t =−

∫ b

af (t )d t et

∫ a

af (t )d t = 0.

b)∫ a

b[α f (t)+ βg (t)]d t = α

∫ b

af (t)d t + β

∫ b

ag (t)d t , c’est la linéarité de l’intégrale. On en déduit en

particulier que si f = u + i v (forme algébrique de f ), alors∫ b

a f (t )d t = ∫ ba u(t )d t + i

∫ ba v(t )d t .

c) Si 06 f sur [a;b] (avec a6 b), alors 06∫ b

af (t )d t , c’est la positivité de l’intégrale. On en déduit que

si f 6 g sur [a;b] (avec a6 b) alors∫ b

af (t )d t 6

∫ b

ag (t )d t .

d) Si a, b, c sont dans I, alors∫ b

af (t)d t =

∫ c

af (t)d t +

∫ b

cf (t)d t , c’est la relation de Chasles pour

l’intégrale.

e) Si a6 b :

∣∣∣∣∫ b

af (t )d t

∣∣∣∣6 ∫ b

a| f (t )|d t , c’est la majoration en module de l’intégrale.

Il découle du théorème fondamental, que si F est une primitive de f sur l’intervalle I, alors pour tousréels x et a de I, on a :

F(x) = F(a)+∫ x

af (t )d t

En particulier la fonction x 7→∫ x

af (t)d t est l’unique primitive de f sur I qui s’annule pour x = a. Ainsi,

calculer une intégrale peut permettre de trouver des primitives.



MO

NTA

IGN

E


En évaluant en x = b on obtient : ∫ b

af (t )d t = F(b)−F(a) = [F(t )]b

a

Les deux outils fondamentaux pour le calcul d’intégrales, sont : le théorème de l’intégration par parties etle théorème du changement de variable dont voici les énoncés :

Si f et g sont dérivables sur I (à valeurs complexes) avec leur dérivée continue, alors on a la formule

d’intégration par parties (IPP) :∫ b

af ′(t )g (t )d t = [

f (t )g (t )]b

a −∫ b

af (t )g ′(t )d t .

Théorème 5.3 (IPP)


Soit f : I →C une fonction continue, u : [a;b] → I une fonction dérivable à dérivée continue, on a :∫ b

af (u(t ))u′(t )d t =

∫ u(b)

u(a)f (x)d x

Théorème 5.4 (changement de variable)

Preuve : Soit F une primitive de f sur I, alors Fu est une primitive de u′ f (u) et donc∫ b

af (u(t))u′(t)d t = [F(u)]b

a =

F(u(b))−F(u(a)) =∫ u(b)

u(a)f (x)d x.

Dans la pratique on rédige ainsi : posons x = u(t) alors d xd t = u′(t) d’où d x = u′(t)d t et f (u(t)) = f (x).

Pour les bornes : lorsque t = a on a x = u(a) et pour t = b on a x = u(b), puis on remplace dans l’intégrale, ce

qui donne :∫ b

af (u(t ))u′(t )d t =

∫ u(b)

u(a)f (x)d x.

ZExemples :

– Calculer∫ 1

0

√1−x2 d x. On pose x = sin(t ) avec t ∈ [0; π2 ], alors d x = cos(t )d t , pour t = 0 on a x = 0 et

pour t = π2 on a x = 1, d’où : ∫ 1

0

√1−x2 d x =

∫ π/2

0

√1− sin2(t )cos(t )d t

=∫ π/2

0cos2(t )d t

=∫ π/2

0

1+cos(2t )

2d t

=[

t

2+ sin(2t )

4

]π/2

0

= π

4

– Calculer une primitive de la fonction ln sur ]0;+∞[. Une primitive est (par exemple) x 7→∫ x

1ln(t)d t

pour x > 0, cette intégrale se calcule par parties en posant f ′(t ) = 1 et g (t ) = ln(t ) :∫ x

1ln(t )d t = [t ln(t )]x

1 −∫ x

11d t

= x ln(x)− (x −1) = x ln(x)−x −1

donc une primitive de la fonction ln sur ]0;+∞[ est la fonction x 7→ x ln(x)−x (on peut évidemmentajouter n’importe quelle constante).



MO

NTA

IGN

E


4) Primitives de certaines fractions rationnelles

– Fractions du type f (x) = 1(x−a)n avec a ∈R et n ∈N∗.

Sur l’intervalle I =]−∞; a[ (ou ]a;+∞[), f est continue et admet donc des primitives. Si n = 1 alors uneprimitive est F(x) = ln(|x −a|) et si n> 2, une primitive est F(x) = −1

(n−1)(x−a)n−1 .

– Fractions du type f (x) = αx+β(x−a)(x−b) avec α, β, a et b des réels tels que a 6= b .

Il existe c et d réels tels que αx+β(x−a)(x−b) = c

x−a + dx−b , ce qui nous ramène au cas précédent.

À retenir

En effet : en réduisant au même dénominateur, on a au numérateur (c +d)x − (bc +ad), il suffit donc

de choisir c et d tels que

c +d = α

bc +ad =−β ce qui équivaut à

c +d = α

(b −a)d = β+bαet on voit que ce système

a une unique solution puisque a 6= b.– Fractions du type f (x) = ax+b

x2+px+q avec a, b, p q des réels tels que p2 −4q < 0. Le dénominateur n’a pasde racine réelle, f est donc définie sur R. La méthode est la suivante :

• on fait apparaître la dérivée du trinôme x2 +px +q au numérateur et on compense les x enmultipliant par un facteur adéquat, puis on compense les constantes en ajoutant ce qu’il faut,ce qui donne :

ax +b

x2 +px +q= a

2

2x +p

x2 +px +q+ (b − ap

2)

1

x2 +px +q.

La première de ces deux fractions est facile à intégrer puisqu’elle est du type u′u .

• Pour la deuxième fraction : on met le trinôme x2+px+q sous forme canonique afin de mettrela fraction sous la forme : α u′

1+u2 où α est une constante et u est une fonction de x, cette fonctions’intègre en αarctan(u).

À retenir

Par exemple, soit f (x) = x−2x2−x+1 :

f (x) = x −2

x2 −x +1= 1

2

2x −1

x2 −x +1− 3

2

1

x2 −x +1

et :1

x2 −x +1= 1

(x − 12 )2 + 3

4

= 2p3

2/p

3(2x−1p

3

)2 +1.

On en déduit qu’une primitive de f sur R est F: x 7→ 12 ln(x2 −x +1)−p

3arctan( 2x−1p3

).



MO

NTA

IGN

EChapitre 6

Équations différentielles

SommaireI Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2) Étude de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3) Étude de l’équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

II Équations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1) Étude de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2) Étude de l’équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1) Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2) Équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3) Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Dans ce chapitre, la lettreK désigne l’ensemble R ou bien l’ensemble C (K=R ouK=C), et les fonctionsconsidérées sont définies sur un intervalle I de R.

I ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction y : I →K intervenant sousforme dérivée (première ou supérieure). On rencontre ce genre d’équations en mécanique (lois de Newton),en électricité (circuits RLC), ... etc.

1) Définitions

Une équation différentielle scalaire linéaire d’ordre 1 est une équation différentielle de la forme :

(E) : ∀t ∈ I, a(t )y ′(t )+b(t )y(t ) = c(t ), notée plus simplement : a(t )y ′+b(t )y = c(t )

où a,b,c : I → K sont trois fonctions définies continues sur un intervalle I de R et y : I → K unefonction dérivable inconnue. On suppose de plus que la fonction a n’est pas la fonction nulle. Onappelle équation homogène associée à (E) l’équation différentielle :

(H) : ∀t ∈ I, a(t )y ′+b(t )y = 0.

La fonction c est souvent appelée second membre de l’équation (E).

Définition 6.1



MO

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IGN

E

Équations différentielles linéaires du premier ordre Chapitre 6 : Équations différentielles

Dans la pratique on a souvent en plus une condition sur la fonction inconnue y du type : y(t0) = α où t0

et α sont des données. Cette condition est appelée condition initiale, et on appelle problème de Cauchy 1 lesystème :

∀t ∈ I, a(t )y ′+b(t )y = c(t )

y(t0) = α .

ZExemple : L’équation différentielle : y ′− y = 0 avec y(0) = 1 est utilisée en terminale pour introduire l’expo-nentielle.

2) Étude de l’équation homogène

Soit SI(H) l’ensemble des solutions sur I de l’équation homogène (H), alors on a les propriétés :– 0 ∈ SI(H) (la fonction nulle est dans SI(H)).– ∀ f , g ∈ SI(H), f + g ∈ SI(H).– ∀ α ∈K,∀ f ∈ SI(H),α f ∈ SI(H).

Théorème 6.1


Résolution de (H)

On se place sur un intervalle I où la fonction a ne s’annule pas, on a alors ∀ t ∈ I, y ′ =− ba y . Soit F une

primitive de la fonction − ba sur I, on a alors :

y ∈ SI(H) ⇐⇒ y ′ = F′y ⇐⇒ y ′e−F −F′e−F y = 0 ⇐⇒ d

d t

(ye−F)= 0 ⇐⇒∃ λ ∈K,∀ t ∈ I, y(t ) = λeF(t ).

On peut donc énoncer :

Lorsque la fonction a ne s’annule pas sur l’intervalle I alors les solutions de (H) sont les fonctions :

y : t 7→ λeF(t ),

où F désigne une primitive de la fonction − ba sur I, et λ un élément quelconque deK.

Théorème 6.2

Si la fonction a ne s’annule pas sur I :- Le problème de Cauchy pour l’équation (H) a une unique solution. Car la condition initiale déterminecomplètement la constante λ.- L’unique solution sur I qui s’annule en un point donné est la fonction nulle. Par conséquent toutesles autres solutions ne s’annulent jamais sur I, lorsqueK=R elles ont toutes un signe constant (carelles sont continues).

À retenir

ZExemples :– y ′+ωy = 0 où ω ∈K est une constante : les solutions sont les fonctions définies sur R par y(t ) = λe−ωt

avec λ ∈K quelconque.– t y ′ = y sur R : on se place d’abord sur I =]0;+∞[, sur cet intervalle on a y ′ = 1

t y d’où y(t) = αt (α ∈Kquelconque). Puis on se place sur J =]−∞;0[, sur cet intervalle on a encore y ′ = 1

t y d’où y(t ) = λ|t | = βt(β = −λ ∈ K quelconque). Soit maintenant y une solution sur R, alors y est en particulier solutionsur I donc il existe α tel que ∀ t > 0, y(t) = αt , de même y est solution sur J, donc il existe β tel que∀t < 0, y(t ) = βt , mais y doit être dérivable en 0, ce qui entraîne α= β, finalement ∀t ∈R, y(t ) = αt . Onvérifie pour terminer que cette fonction est bien solution.

1. CAUCHY Augustin-Louis (1789 – 1857) : un des plus grands mathématiciens français.



MO

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IGN

E

Équations différentielles linéaires du premier ordre Chapitre 6 : Équations différentielles

3) Étude de l’équation avec second membre

On revient au cas général : (E) : a(t )y ′+b(t )y = c(t ).

Si l’ensemble des solutions de (E) n’est pas vide, et si y1 est une solution de (E), alors les solutionsde (E) sont les fonctions s’écrivant comme somme de y1 avec une solution de (H), c’est à dire lesfonctions de la forme : y : t 7→ y1(t )+ yH(t ) avec yH solution quelconque de (H).

Théorème 6.3 (structure des solutions)

Preuve : Soit y une solution de (E), posons f = y − y1, alors a f ′+b f = ay ′−ay ′1 +by −by1 = c − c = 0 donc f ∈ SI(H).

Réciproquement, soit f ∈ SI(H) et soit y = y1 + f , alors ay ′+by = ay ′1 +a f +by1 +b f = 0+ c = c, donc y ∈ SI(E).

Pour déterminer toutes les solutions de (E) on est donc ramené à résoudre l’équation homogène puis àtrouver une solution particulière de (E).

Recherche d’une solution particulière : on se place de nouveau sur un intervalle I où la fonction a nes’annule pas et on applique la méthode de la variation de la constante :

Soit F une primitive de − ba sur I, on cherche une solution particulière sous la forme y = λeF où λ est une

fonction dérivable sur I. La fonction y est solution de (E) si et seulement si a[λ′eF +λF′eF]+bλeF = c , ce quiéquivaut à aλ′eF +λ[aF′eF +beF] = c ou encore λ′ = c

a e−F, car eF est solution de (H). Donc λ doit être uneprimitive de la fonction c

a e−F, celle-ci est continue sur l’intervalle I, elle admet donc des primitives sur cet I,ce qui prouve l’existence de λ. Une solution de (E) est donc :

y1 = λeF avec λ(t ) =∫ t

t0

c(s)

a(s)e−F(s) d s et F(t ) =

∫ t

t0

−b(s)

a(s)d s,

et les solutions de (E) sont les fonctions :

y = y1 +αeF avec α ∈K quelconque [et y(t0) = α].

Lorsque la fonction a ne s’annule pas sur l’intervalle I, le problème de Cauchy a une unique solution.

À retenir

ZExemples :– t y ′+ y = sin(t ) sur R : sur l’intervalle I =]0;+∞[ les solutions de (H) sont les fonctions y = λ

t avec λ ∈Kquelconque. On cherche une solution particulière de la forme y = λ

t avec λ dérivable sur I ce qui donne

λ′ = sin(t ), une solution particulière est donc y1 =− cos(t )t , et les solutions de (E) sur I sont les fonctions

y = λ−cos(t )t avec λ ∈K quelconque. On se place ensuite sur l’intervalle J =]−∞;0[ où le raisonnement

est le même. On vérifie ensuite que la seule solution sur R est la fonction :

y : t 7→ 1−cos(t )

tavec y(0) = 0 et y ′(0) = 1

2.

– cos(t )y ′−sin(t )y = t 2 sur I =]− π2 ; π2 [ : les solutions de l’équation homogène sont les fonctions y = λ

cos(t )

avec λ ∈K quelconque. On cherche une solution particulière sous la forme y = λcos(t ) avec λ dérivable

sur I, ce qui donne λ′ = t 2. On peut donc prendre comme solution particulière y1 = t 3

3cos(t ) , et lessolutions de (E) sont les fonctions :

y : t 7→ λ+ t 3

3cos(t )avec λ ∈K.



MO

NTA

IGN

E

Équations différentielles linéaires du second ordre Chapitre 6 : Équations différentielles

Remarque 6.1 – Résoudre de telles équations différentielles revient donc à calculer des intégrales, d’où lesexpressions que l’on rencontre parfois comme : « intégrer une équation différentielle », ou « solution intégraled’une équation différentielle ».

II ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE

On s’intéressera uniquement au cas où les coefficients sont des constantes, c’est à dire aux équationsdifférentielles de la forme : ay ′′+by ′+c y = f où a,b,c ∈K, a 6= 0, et f : I →K une fonction continue (secondmembre). L’équation homogène associée est (H) : ay ′′+by ′+ c y = 0.

Pour de telles équations, le problème de Cauchy est :

ay ′′+by ′+ c y = f

y(t0) = αy ′(t0) = β

, où t0,α et β sont des don-

nées.

1) Étude de l’équation homogène

Soit SI(H) l’ensemble des solutions sur I de l’équation homogène (H), alors on a les propriétés :– 0 ∈ SI(H) (fonction nulle).– ∀ f , g ∈ SI(H), f + g ∈ SI(H).– ∀ α ∈K,∀ f ∈ SI(H),α f ∈ SI(H).

Théorème 6.4


Résolution de (H)

On cherche les solutions de la forme y = eλt avec λ ∈K, on obtient alors y ∈ SR(H) ⇐⇒ aλ2+bλ+c = 0, λdoit donc être solution de l’équation ax2 +bx + c = 0, que l’on appelle équation caractéristique de (H). Ilfaut donc distinguer plusieurs cas :

– K=C :• Si ∆ = b2 − 4ac 6= 0 : il y a deux solutions distinctes à l’équation caractéristique : λ1 et λ2. On

pose φ1(t ) = eλ1t . Soit y deux fois dérivable, posons z = yφ1

, on a alors y = zφ1, en remplaçant dans

l’équation on obtient que y est solution de (H) si et seulement si az ′′+(2aλ1+b)z ′+(aλ21+bλ1+c)z =

0, c’est à dire az ′′+ (2aλ1 +b)z ′ = 0 car λ1 est racine de l’équation caractéristique. En posant Z = z ′

on a une équation différentielle linéaire homogène en Z, dont les solutions sont Z(t) = z ′(t) =γe−(2λ1+b/a)t = γe(λ2−λ1)t , ce qui équivaut à z(t) = βe(λ2−λ1)t +α, et donc y(t) = αeλ1t +βeλ2t avecα,β ∈C des constantes quelconques.

• Si∆= b2−4ac = 0 : alors il y a une solution double à l’équation caractéristique : λ. Posonsφ1(t ) = eλt

et z = yφ1

i.e. y = zφ1. Le calcul précédent montre que y ∈ S(H) ⇐⇒ z ′′ = 0 c’est à dire il existe α,β ∈Ctels que z(t ) = βt +α, ce qui donne y(t ) = (α+βt )eλt .

– K = R (a,b,c ∈ R, avec a 6= 0) : la démarche est la même, on cherche les solutions de l’équationcaractéristique, d’où la discussion :• Si ∆> 0 : deux racines distinctes λ1 et λ2, comme dans le cas complexe, on montre que les solutions

de H sont les fonctions y : t 7→ αeλ1t +βeλ2t avec α,β ∈R.• Si ∆= 0 : une racine double λ, comme dans le cas complexe, on montre que les solutions de H sont

les fonctions y : t 7→ (α+βt )eλt avec α,β ∈R.• Si ∆< 0 : deux racines complexes non réelles conjuguées λ= r + iω et λ. Les solutions complexes

de (H) sont les fonctions y(t ) = αeλt +βeλt avec α,β ∈C, une telle solution est réelle ssi y(t ) = y(t ) =αeλt +βeλt , ce qui équivaut à α= β. Les solutions réelles sont donc les fonctions y(t ) = αeλt +αeλt =2Re(αeλt ) = er t [u cos(ωt )+v sin(ωt )], avec u = Re(α)/2 et v =−Im(α)/2 réels quelconques (car α estun complexe quelconque). On a encore que les solutions de (H) sont les fonctions y = uφ1 + vφ2

avec u, v ∈R et φ1(t ) = er t cos(ωt ) et φ2(t ) = er t sin(ωt ).



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NTA

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E

Équations différentielles linéaires du second ordre Chapitre 6 : Équations différentielles

Soit x2 +ax +b = 0 l’équation caractéristique et ∆= b2 −4ac son discriminant :– SiK=C (a, b et c sont complexes avec a 6= 0) :

• Si ∆ 6= 0, l’équation caractéristique à deux solutions distinctes : λ1 et λ2. Les solutions sont lesfonctions : t 7→ αeλ1t +βeλ2t avec α,β ∈C.

• Si ∆= 0, l’équation caractéristique à une solution double : λ1 = λ2. Les solutions sont les fonc-tions : t 7→ (α+βt )eλ1t avec α,β ∈C.

– SiK=R (a, b et c sont réels avec a 6= 0) :• Si ∆> 0, l’équation caractéristique à deux solutions distinctes : λ1 et λ2. Les solutions sont les

fonctions : t 7→ αeλ1t +βeλ2t avec α,β ∈R.• Si ∆= 0, l’équation caractéristique à une solution double : λ1 = λ2. Les solutions sont les fonc-

tions : t 7→ (α+βt )eλ1t avec α,β ∈R.• Si ∆< 0, l’équation caractéristique possède deux solutions complexes non réelles et conjuguées :λ et λ, en posant λ= r + iω (forme algébrique), les solutions sont les fonctions :

t 7→ (αcos(ωt )+βsin(ωt ))er t = Acos(ωt +ϕ)er t avec α,β, A,ϕ ∈R

À retenir : solutions de l’équation homogène

Soient a,b,c ∈R avec a 6= 0, les solutions réelles de l’équation ay ′′+by ′+c y = 0 sont les parties réellesdes solutions complexes.

Théorème 6.5


2) Étude de l’équation avec second membre

Si f : I →K est une fonction continue, alors l’équation (E) : ay ′′+by ′+ c y = f admet des solutionssur I. Si y1 est une solution de (E), alors les solutions de (E) sont les fonctions définies sur I pary : t 7→ y1(t)+ yH(t) avec yH solution quelconque de (H). De plus, le problème de Cauchy a uneunique solution.

Théorème 6.6 (structure des solutions)

Preuve : L’existence dans le cas général d’une solution particulière est admise. Soit y1 une solution de (E), soit g ∈ SI(H),il est facile de vérifier que y1 + g est solution de (E), réciproquement, si g est solution de (E), il est facile de vérifierque g − y1 est solution de (H). Les solutions au problème de Cauchy sont les fonctions de la forme y = y1 +αφ1 +βφ2

vérifiant y(t0) = c1 et y ′(t0) = c2. Ce qui donne le système :αφ1(t0)+βφ2(t0) = c1 − y1(t0)

αφ′1(t0)+βφ′

2(t0) = c2 − y ′1(t0)

.

Lorsque φ1(t ) = eλ1t et φ2(t ) = eλ2t avec λ1 et λ2 les racines distinctes de l’équation caractéristique, le déterminant dusystème est D = (λ2 −λ1)e(λ1+λ2)t0 6= 0. Lorsque les deux racines sont confondues, alors φ1(t) = eλt et φ2(t) = tφ1(t),dans ce cas, le déterminant du système est D = e2λt0 6= 0, dans les deux cas, le système a une unique solution.

Remarque 6.2 – Dans le cas réel avec ∆ < 0, l’unique solution complexe au problème de Cauchy est unesolution réelle.

Dans la suite on s’intéressera seulement au cas où le second membre est de la forme f (t ) = P(t )eλt où Pest une fonction polynomiale à coefficients dansK, et λ ∈K.

L’équation ay ′′+by ′+ c y = P(t )eλt admet une solution particulière de la forme y(t ) = Q(t )eλt où Qest une fonction polynomiale.

Théorème 6.7



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E

Compléments Chapitre 6 : Équations différentielles

Preuve : On pose y(t) = Q(t)eλt , y est solution si et seulement si aQ′′(t)+ (2aλ+b)Q′(t)+ (aλ2 +bλ+ c)Q(t) = P(t),d’où la discussion :

– Si λ n’est pas racine de l’équation caractéristique : on cherche un polynôme Q de même degré que P, par laméthode des coefficients indéterminés et identification ce qui donne un système, on admet à ce stade qu’il y atoujours au moins une solution à ce système.

– Si λ est solution de l’équation caractéristique et 2aλ+b 6= 0 : on cherche Q′ de même degré que P par la méthodedes coefficients indéterminés et identification, puis on prend une primitive.

– Si λ est solution de l’équation caractéristique et 2aλ+b = 0 (i.e. λ est racine double de l’équation caractéristique) :on a aQ′′ = P d’où Q′′ = 1

a P, on en déduit Q’ (en prenant une primitive) puis Q (en reprenant une primitive).

• Lorsque le second membre est de la forme f (t ) =∑ni=1 Pi (t )eλi t , on cherche une solution particulière

yi à l’équation ay ′′+by ′+ c y = Pi (t)eλi t pour i allant de 1 à n, la fonction y = y1 +·· ·+ yn est unesolution particulière de ay ′′+by ′+ c y = f , c’est le principe de superposition.• Si a,b,c sont réels et si y0 est solution de ay ′′+by ′+ c y = f (t) alors Re(y0) est solution de ay ′′+by ′+ c y = Re( f ) et Im(y0) est solution de ay ′′+by ′+ c y = Im( f )

Théorème 6.8


ZExemples :– y ′′ +ω2 y = t 2 + 1 avec ω ∈ R∗, ici λ = 0, cherchons une solution particulière de la forme y1 = Q

(polynôme), on obtient en remplaçant : Q′′+ω2Q = t 2 +1, on cherche donc Q sous la forme Q(t) =at 2+bt+c , ce qui donne par identification : a = 1

ω2 , b = 0, et c = ω2−2ω4 . Les solutions réelles de l’équation

homogène sont les fonctions y(t ) = αcos(ωt )+βsin(ωt ), (α, β ∈R), et les solutions de l’équation sontdonc les fonctions : y(t ) = t 2

ω2 + ω2−2ω4 +αcos(ωt )+βsin(ωt ).

– y ′′−4y ′+4y = 3(1+ sin(t)+ e2t ) sur R : l’équation caractéristique est x2 −4x +4 = 0 = (x −2)2, il ya une solution double 2, les solutions de l’équation homogène sont les fonctions y(t) = (α+βt)e2t .Cherchons une solution particulière en prenant comme second membre :– f1(t ) = 3 : il y a une solution particulière constante y1(t ) = 3

4 .– f2(t ) = 3e2t : on chercher une solution particulière de la forme y = Q(t )e2t , ce qui donne Q′′(t ) = 3 etdonc on peut prendre y2(t ) = 3

2 t 2e2t .– f3(t) = 3sin(t) : on prend en fait f3(t) = 3e i t puis on prendra la partie imaginaire d’une solutionparticulière. On cherche y sous la forme y(t ) = Q(t )e i t ce qui donne Q′′(t )+(2i−4)Q′(t )+(3−4i )Q(t ) = 3,d’où Q(t ) = 3

3−4i = 3 3+4i25 . Une solution particulière est donc y3(t ) = Im(3 3+4i

25 e i t ) = 925 sin(t )+ 12

25 cos(t ).Les solutions sont donc les fonctions :

y(t ) = 3

4+ 9

25sin(t )+ 12

25cos(t )+ (α+βt + 3

2t 2)e2t .

III COMPLÉMENTS

1) Équations à variables séparées

Une équation différentielle à variables séparées est une équation de la forme : y ′b(y) = a(t) où a,bsont deux fonctions continues données.

Définition 6.2

Si a est continue sur un intervalle I et b sur un intervalle J, on peut considérer une primitive A dea sur I et une primitive B de b sur J, dans ce cas l’équation équivaut à : d

d t [B(y)] = A′(t), et doncB(y) = A(t)+λ où λ désigne une constante. On regarde ensuite si la fonction B est localement ouglobalement bijective, auquel cas on pourra écrire y(t ) = B−1(A(t )+λ).

À retenir : méthode de résolution



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ZExemple : t 3 y ′+y3 = 0 avec y(1) =−1, y ne doit pas être constamment nulle, si une telle solution existe, il doitexister un intervalle I sur lequel y ne s’annule pas, un tel intervalle ne peut pas contenir 0 et sur I l’équation

est équivalente à : y ′

y3 = −1t 3 , c’est une équation à variable séparée. Elle est équivalente à : − 1

y2 = 1t 2 +λ, ce

qui donne y2 =− t 2

1+λt 2 , on voit que la condition initiale donne la constante λ=−2. Comme y ne s’annule

pas sur I, y garde un signe constant et donc ∀ t ∈ I, y(t ) =−√

t 2

2t 2−1 . Cette solution est définie sur l’intervalle

] 1p2

;+∞[.

2) Équation de Bernoulli

Une équation de Bernoulli 2est une équation différentielle de la forme y ′ = a(t)yλ+b(t)y où a et bsont deux fonctions continues sur un intervalle I, et λ ∈R∗ \ 1.

Définition 6.3

La fonction nulle est solution. S’il existe une solution y non constamment nulle, alors il doit existerun intervalle J sur lequel y ne s’annule pas, sur un tel intervalle y est de signe constant, on peut doncfaire le changement de fonction y = εzα avec ε=±1 suivant le signe de y , l’équation devient alors :αz ′ = b(t)z +a(t)zα(λ−1)+1, en prenant α= 1

1−λ , on a une équation différentielle linéaire du premierordre, on sait donc la résoudre.

À retenir : méthode de résolution

ZExemple : t 2 y ′+ y + y2 = 0 avec y(1) = 1 : y est une solution non constamment nulle, on pose z = 1y ce qui

donne : z ′ = 1t 2 z + 1

t 2 . Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions z(t) = λe−1t et une solution

particulière est z1(t) = −1, les solutions générales sont donc les fonctions z(t) = −1+λe−1t , la condition

initiale donne λ= 2e d’où y(t ) = 1

2e1− 1t −1

. Cette solution est définie sur l’intervalle ] 11+ln(2) ;+∞[.

3) Méthode d’Euler

On ne dispose pas de méthode générale pour résoudre n’importe quelle équation différentielle.Même pour des équations différentielles linéaires il se peut que les solutions ne s’expriment pas à l’aide

des fonctions usuelles, par exemple : y ′ = e−t 2y ⇐⇒ y : t 7→ λeF(t ) avec F une primitive de t 7→ e−t 2

, onsait qu’une telle primitive existe sur R mais on peut démontrer qu’il est impossible de l’exprimer avec lesfonctions usuelles.

Pour des applications numériques (par exemple dans les sciences appliquées), la formule qui donne lessolutions n’est donc pas toujours satisfaisante. On a alors imaginé des méthodes de calculs approchés dessolutions d’équations différentielles, la plus simple d’entre elles étant la méthode d’Euler :

Considérons l’équation différentielle y ′(t ) = f (t , y(t )) où f est une fonction de deux variables. On chercheune solution approchée vérifiant la condition initiale y(t0) = α. On considère un nombre h assez proche de 0(par exemple h = 10−6), ce nombre est appelé le pas de la méthode, puis on construit deux suites (tn) et (yn)où yn est censé être une valeur approchée de y(tn), dans la méthode d’Euler on pose :

y0 = α, et ∀n ∈N,

tn+1 = tn +h

yn+1 = yn +h × f (tn , yn)

On peut ensuite représenter dans un repère les points de coordonnées (tn , yn) ce qui donnera uneapproximation de la courbe représentative de la solution y .

Cette méthode repose sur le principe suivant : lorsque h est proche de 0, on peut approcher la fonction ysur l’intervalle [tn , tn+h] par la tangente à Cy au point d’abscisse tn , c’est à dire y(t ) ≈ y ′(tn)[t−tn]+y(tn). Parconséquent y(tn +h) ≈ y(tn)+h× y ′(tn), or y(tn) est approché par yn et y ′(tn) = f (tn , y(tn)) donc y ′(tn) peut

2. BERNOULLI Jakob (1654 – 1705) : c’est le plus illustre d’une grande famille de mathématiciens suisses.



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E


être approché par f (tn , yn) et finalement y(tn+1) ≈ yn +h × f (tn , yn) on pose donc yn+1 = yn +h × f (tn , yn)et c’est une valeur approchée de y(tn+1).

La théorie montre que sous certaines hypothèses il existe une constante K telle que :

|yn − y(tn)|6K×|h|

FIGURE 6.1: Méthode d’Euler



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EChapitre 7

Applications - Relations

SommaireI Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2) Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3) Famille d’éléments d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

II Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1) Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2) Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3) Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III Images directes, images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

IV Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2) Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3) Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

I APPLICATIONS

La notion d’application (ou fonction) entre deux ensembles E et F (non vides) est une notion clé enmathématiques. C’est l’idée d’associer, ou de faire correspondre, à chaque élément de E un élément de F.

1) Définitions

Une relation R est la donnée de :– Un ensemble de départ : E (non vide).– Un ensemble d’arrivée : F (non vide).– D’un graphe G qui est une partie de E×F (G ⊂ E×F).Soient x ∈ E et y ∈ F, on dira que x est relation avec y pour R lorsque (x, y) ∈ G, on écrira xRy . Si c’estle cas, on dira que y est une image de x par R et que x est un antécédent de y par R.Lorsque tout élément de E a une et une seule image par R, on dit que R est une application (oufonction). Si c’est le cas, et si xRy , alors on écrira plutôt y =R(x), on dira que y est l’image de x parR. L’ensemble des applications de E vers F est noté F (E,F) ou encore FE.

Définition 7.1



MONTA

IGNEApplications Chapitre 7 : Applications - Relations

Pour désigner une application on utilise en général une lettre minuscule. Si f est une application de Evers F on écrit : f : E → F

x 7→ f (x), et le graphe de f est l’ensemble G f =

(x; f (x) | x ∈ E

.

ZExemples :– L’exponentielle est une application de R vers R.– Le logarithme est une application de ]0;+∞[ vers R.– Soit f : R→ R définie par f (x) = 1

x n’est pas une application car 0 n’a pas d’image, on dit que sonensemble de définition est D f =R∗. Par contre, la restriction de f à son ensemble de définition est uneapplication, on la note f |D f : D f →R. Lorsqu’une application g est une restriction d’une application f ,on dit que f est un prolongement de g

Soit E un ensemble, l’identité de E est l’application de E dans E qui à chaque élément de E associelui-même. On la note idE : E → E

x 7→ idE(x) = x.

Définition 7.2 (identité d’un ensemble)

Diagramme sagittalLorsque les ensembles E et F ont très peu d’éléments, on peut représenter une application f : E → F sous

forme d’un diagramme sagittal :

E F

e1

e2

e3

e4

f1

f2

f3

f4

f5

Dans cet exemple, le graphe de f est G f =(e1, f3); (e2, f1); (e3, f3); (e4, f2)

.

Deux fonctions f et g sont égales si et seulement si elles ont :– le même ensemble de départ E,– le même ensemble d’arrivée F,– le même graphe, c’est à dire : ∀x ∈ E, f (x) = g (x).Par exemple, la fonction f : R→R définie par f (x) = x2 et la fonction g : R→R+ définie par g (x) = x2 ne sont paségales !

Attention! (égalité de fonctions)

Soit f : E → F une application, on appelle ensemble image de f l’ensemble de toutes les images par f ,on le note Im( f ). C’est donc une partie de F, plus précisément c’est l’ensemble des éléments de F quiont au moins un antécédent par f dans E :

Im( f ) = y ∈ F | ∃x ∈ E, y = f (x)

Définition 7.3 (ensemble image)



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E

Applications Chapitre 7 : Applications - Relations

ZExemples :– Dans l’exemple du diagramme sagittal, l’ensemble image est Im( f ) =

f1; f2; f3.

– L’ensemble image de la fonction cosinus est [−1;1]. Plus généralement, pour déterminer l’ensembleimage d’une fonction f : I →R où I est un intervalle de R, on étudie les variations de f et sa continuité(en vue d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires).

– L’ensemble image de la fonction g : C→C définie par ∀z ∈C, g (z) = z2 est Im(g ) =C.

2) Composition

Lorsque l’ensemble d’arrivée d’une application coïncide avec l’ensemble de départ d’une autre applica-tion, alors il est possible « d’enchaîner » les deux, c’est la composition :

Ef→ F

g→ Gx 7→ f (x) 7→ g ( f (x))

Soient E, F, G trois ensembles, f : E → F et g : F → G deux applications. La composée g f est l’appli-cation de E vers G définie par : ∀x ∈ E, (g f )(x) = g ( f (x)) :

g f : E → Gx 7→ (g f )(x) = g ( f (x))

Définition 7.4

On prendra garde à l’ordre dans l’écriture de g f .

Attention!

Remarque 7.1 :– Lorsqu’on a deux applications f : E → F et g : H → G avec seulement F ⊂ H (au lieu de F = H), alors on

peut encore définir la composée et on la note encore g f même si théoriquement on devrait plutôt écrire(g |F

) f .– Lorsque f est une application d’un ensemble E vers lui-même, alors on peut composer f avec elle-même,

et autant de fois que l’on veut. Si n est un entier strictement positif, on notera f n = f · · · f . Parconvention, on pose f 0 = idE.

ZExemple : Si f est l’application de R vers R définie par ∀x ∈R, f (x) = x +1, alors ∀n ∈N, f n est l’applicationde R vers R définie par ∀x ∈R, f n(x) = x +n.

FExercice 7.1 Écrire la fonction f : ]1;+∞[→R définie par f (x) = 1px−1

, comme composée de trois fonctions.

Soient f : E → F, g : F → G et h : G → H trois applications.– idF f = f et f idE = f .– (h g ) f = h (g f ), c’est l’associativité de la composition.



3) Famille d’éléments d’un ensemble

Soit I un ensemble non vide, et soit E un ensemble. On appelle famille d’éléments de E indexée par I,toute application u : I → E, on note généralement cette famille (ui )i∈I, et pour i ∈ I, on note u(i ) = ui

(appelé terme d’indice i ). L’ensemble de départ I est appelé ensemble des indices de la famille. Unefamille d’éléments de E indexée par N est appelée suite d’éléments de F. L’ensemble des familles

Définition 7.5



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E

Injection, surjection, bijection Chapitre 7 : Applications - Relations

d’éléments de E indexées par I se note F (I,E) ou EI.

Familles de parties d’un ensemble E

Conformément à la définition ci-dessus, une famille de parties de E indexée par un ensemble I non vide,est une application A: I →P (E), que l’on peut noter (Ai )i∈I (Ai étant une partie de E pour tout i ∈ I). On peutalors généraliser les notions d’intersection et de réunion de la manière suivante :

– La réunion de la famille (Ai )i∈I est⋃i∈I

Ai = x ∈ E | ∃i ∈ I, x ∈ Ai .

– L’intersection de la famille (Ai )i∈I est :⋂i∈I

Ai = x ∈ E | ∀i ∈ I, x ∈ Ai .

FExercice 7.2

1/ Pour n ∈N, on pose An =]n;n +1]. Déterminer⋃

n∈NAn et

⋂n∈N

An .

2/ Même question avec n ∈N∗ et An = [ 1n+1 ;1− 1

n+1 ].

Solution 7.2

1/ La réunion est ]0;+∞[, et l’intersection est vide.

2/ La réunion est ]0;1[ et l’intersection est le singleton 1

2

.

Les propriétés vues dans le chapitre I se généralisent :

Soit (Ai )i∈I une famille de parties de E et soit B une partie de E, alors :

– B∩(⋃

i∈IAi

)= ⋃

i∈I(B∩Ai ) et B∪

(⋂i∈I

Ai

)= ⋂

i∈I(B∪Ai ) (distributivité).

– CE

(⋃i∈I

Ai

)= ⋂

i∈ICE(Ai ) et CE

(⋂i∈I

Ai

)= ⋃

i∈ICE(Ai ) (lois de De Morgan).

Théorème 7.2


II INJECTION, SURJECTION, BIJECTION

Dans cette partie nous allons dégager des propriétés éventuelles des applications. Ces notions jouerontun rôle important par la suite.

1) Injection

Soit f : E → F une application, on dit que f est une injection (ou f est injective) lorsque tout élémentde l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent dans l’ensemble de départ. Ce qui revient à dire :pour tout élément y de F, l’équation y = f (x) a plus une solution x dans E.

Définition 7.6

E F

e1

e2

e3

e4

f1

f2

f3

f4

f5

E F

e1

e2

e3

e4

f1

f2

f3

f4

f5

Injective Non Injective



MO

NTA

IGN

E


ZExemples :– Si E est un ensemble non vide, idE est injective. Soit A une partie non vide de E, l’application f : A → E

x 7→ xest injective, c’est l’injection canonique de A dans E.

– f : R\ 1 →R définie par f (x) = x+1x−1 est une injection.

– g : ]0;+∞[→R définie par g (x) = ln(x) est une injection.– h : R→R définie par h(x) = x2 n’est pas une injection.– Une fonction f : I →R strictement monotone sur l’intervalle I est injective.

f : E → F est injective si et seulement si : ∀x, y ∈ E, f (x) = f (y) =⇒ x = y .Ce qui équivaut encore par contra-position à : ∀x, y ∈ E, x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y).

Théorème 7.3 (définition équivalente)

Preuve : Si f est injective : soit x, y ∈ E tels que f (x) = f (y), x et y sont donc deux antécédents d’un même élément deF, f étant injective ces deux éléments ne peuvent pas être distincts (sinon on a une contradiction) donc x = y .

Supposons que f vérifie : ∀x, y ∈ E, f (x) = f (y) =⇒ x = y . Soit z ∈ F ayant deux antécédents distincts x et y dans E,alors z = f (x) = f (y), on en déduit que x = y ce qui est absurde, donc z ne peut pas avoir deux antécédents distincts,par conséquent f est injective.

Soient f : E → F et g : F → G deux applications :– Si f et g sont injectives alors g f est injective.– Si g f est injective alors f est injective mais pas forcément g .



FExercice 7.3 Soit f : E → F une application, montrer que f est injective si et seulement si il existe h : F → E telle que

h f = idE.

Solution 7.3 Si h existe alors f est injective d’après le théorème.

Réciproquement, si f est injective, soit y ∈ F, on pose h(y) = x avec x antécédent de y par f si y a un antécédent

(on sait alors qu’il est unique) et si y n’a pas d’antécédent par f on choisit ce qu’on veut pour h(y) dans E. On vérifie

alors que pour tout x ∈ E, h( f (x)) = x car x est l’unique antécédent de f (x) par f .

2) Surjection

Soit f : E → F une application, on dit que f est une surjection (ou f est surjective) lorsque toutélément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent dans l’ensemble de départ. Ce qui revientà dire : pour tout élément y de F, l’équation y = f (x) a moins une solution x dans E, ou encore∀y ∈ F,∃x ∈ E, y = f (x).

Définition 7.7

E F

e1

e2

e3

e4

e5

f1

f2

f3

f4

E F

e1

e2

e3

e4

e5

f1

f2

f3

f4

Surjective Non surjective



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E


Dire que f : E → F est surjective, équivaut à Im( f ) = F.

À retenir

ZExemples :– Si E est un ensemble non vide, idE est surjective.– f : C→C définie par f (z) = z2 et une surjection.– f : R→U définie par f (x) = e i x est une surjection.– h : R\ 1 →R définie par h(x) = 2x+1

x−1 n’est pas surjective.– Si f : E → F est une application, alors f induit une surjection entre E et Im( f ) qui est l’application

g : E → Im( f ) définie par g (x) = f (x).

Soient f : E → F et g : F → G deux applications :– Si f et g sont surjectives alors g f est surjective.– Si g f est surjective alors g est surjective mais pas forcément f .



FExercice 7.4 Soit f : E → F une application, montrer que f est surjective si et seulement si il existe h : F → E telle que

f h = idF.

Solution 7.4 Si h existe alors f est surjective d’après le théorème.

Réciproquement, si f est surjective, soit y ∈ F, on pose h(y) = x avec x antécédent de y par f que l’on choisit car il

en existe. On vérifie alors que pour tout x ∈ E, f (h(x)) = x car h(x) est un antécédent de x par f .

FExercice 7.5 Soit E un ensemble non vide, et f une application de E vers P (E). En considérant la partie A = x ∈ E | x ∉ f (x)

,

montrer que f ne peut pas être surjective.

3) Bijection

Soient E, F deux ensembles et f : E → F une application, on dit que f est une bijection (ou applicationbijective) lorsque tout élément de F a un unique antécédent par f , ce qui peut s’écrire de la manièresuivante : ∀y ∈ F,∃! x ∈ E, f (x) = y .

Définition 7.8

E F

e1

e2

e3

e4

f1

f2

f3

f4

E F

e1

e2

e3

e4

f1

f2

f3

f4

Bijective Non bijective

Dire que tout élément de F a un unique antécédent revient à dire que tout élément de F a au moinsun antécédent et au plus un antécédent. Par conséquent dire que f est bijective revient à dire que f estsurjective et injective.



MO

NTA

IGN

E


f est bijective ⇐⇒ f est surjective et injective.

À retenir

ZExemples :– Si E est un ensemble non vide, alors idE est une bijection.– f : [0;+∞[→ [0;+∞[ définie par f (x) = x2 est une bijection.– g : R→]0;+∞[ définie par g (x) = ex est une bijection.– h : R→R définie par h(x) = ex n’est pas une bijection.

Si f : E → F est injective, alors f induit une bijection de E vers Im( f ) qui est f : E → Im( f ) définiepar f (x) = f (x). Cela s’applique en particulier aux fonctions f : I → R strictement monotones surl’intervalle I.

À retenir

Si f : E → F est une bijection, alors on peut considérer l’application qui va de F vers E et qui àtout élément x de F associe son unique antécédent par f , cette application est appelée bijectionréciproque de f , on la note f −1. Autrement dit, f −1 : F → E

x 7→ y défini par f (y) = x.

Définition 7.9 (bijection réciproque)

La notation f −1 n’a de sens que lorsque f est bijective.

Attention!

ZExemples :– Si E est un ensemble non vide, alors idE est une bijection et la bijection réciproque est id−1

E = idE.– f : [0;+∞[→ [0;+∞[ définie par f (x) = x2 est une bijection et la bijection réciproque est la fonction

racine carrée.– g : R→]0;+∞[ définie par g (x) = ex est une bijection et la bijection réciproque est la fonction loga-

rithme népérien.

Lorsque f : E → F est bijective : ∀x ∈ F,∀y ∈ E, f −1(x) = y ⇐⇒ f (y) = x.

y xE F

f

f −1

À retenir

Soit f : E → F une bijection.– On a f −1 f = idE et f f −1 = idF. De plus f −1 est une bijection et

(f −1

)−1 = f .– Si g : : F → G est une autre bijection, alors la composée g f est une bijection de E vers G, et sabijection réciproque est : (g f )−1 = f −1 g−1.

Théorème 7.6



MO

NTA

IGN

E

Images directes, images réciproques Chapitre 7 : Applications - Relations

Preuve : – La composée f −1 f existe et va de E dans E. Si x ∈ E, alors ( f −1 f )(x) = f −1( f (x)) = x car x est l’uniqueantécédent de f (x) par f , on a donc f −1 f = idE. De même, f f −1 existe et va de F dans F. Si x ∈ F, alors ( f f −1)(x) =f ( f −1(x)) = x car f −1(x) est l’unique antécédent de x par f , on a donc f f −1 = idF. Le point suivant est évident.

– Si g : F → G est une autre bijection, soit y ∈ G, alors pour tout x ∈ E on a :

(g f )(x) = y ⇐⇒ g ( f (x)) = y

⇐⇒ f (x) = g−1(y)

⇐⇒ x = f −1(g−1(y)) = ( f −1 g−1)(y)

le résultat en découle.

FExercice 7.6 Soient f : E → F et g : F → E deux applications telles que f g = idF et g f = idE. Montrer que f et g sont

bijectives et réciproques l’une de l’autre.

Remarque 7.2 – Le résultat de cet exercice est à connaître.

Soit E un ensemble non vide. Une involution de E est une application f de E vers lui-même telle quef f = idE. Une telle application est bijective et elle est sa propre réciproque : f −1 = f .

Définition 7.10 (involution)

ZExemples :– Dans le plan, les symétries ponctuelles, les symétries axiales, sont des involutions du plan.– La fonction f : R∗ →R∗ définie par f (x) = 1

x est une involution de R∗.– La conjugaison dans C est une involution de C.

III IMAGES DIRECTES, IMAGES RÉCIPROQUES

1) Définitions

Soit f : E → F une application, A une partie de E et B une partie de F.– On appelle image directe de A par f , l’ensemble des images des éléments de A par f , ou encore, l’en-semble des éléments F qui ont un antécédent dans A par f . Notation : f (A) =

y ∈ F | ∃x ∈ A, f (x) = y

,c’est une partie de F.– On appelle image réciproque de B par f , l’ensemble des antécédents des éléments de B par f .Notation : f −1(B) =

x ∈ E | f (x) ∈ B, c’est une partie de E.

Définition 7.11

La notation f −1(B) ne suppose pas que f est bijective. Mais lorsque f est effectivement bijective, on peut vérifierque l’image réciproque de B par f correspond à l’image directe de B par f −1.

Attention!

Remarque 7.3 :– On a f (E) = Im( f ) et f −1(F) = E.– Dans le cas d’une fonction f : I →R continue sur l’intervalle I, l’étude de la fonction permet de déterminer

l’image directe d’une partie de I et l’image réciproque d’une partie de R.

ZExemple : Soit f la fonction sinus, on a f ([0;π[) = [0;1], f −1([0;1]) = ⋃k∈Z

[2kπ; (2k +1)π].

2) Propriétés



MO

NTA

IGN

E

Relations binaires Chapitre 7 : Applications - Relations

Soit f : E → F une application. Pour toutes parties A et B de E, on a :– Si A ⊂ B alors f (A) ⊂ f (B).– f (A∪B) = f (A)∪ f (B).– f (A∩B) ⊂ f (A)∩ f (B).– A ⊂ f −1( f (A)).

Théorème 7.7

Preuve :– Le premier point est évident.– Si x ∈ A∪B alors x ∈ A ou x ∈ B donc f (x) ∈ f (A) ou f (x) ∈ f (B), c’est à dire f (x) ∈ f (A)∪ f (B). On a donc

f (A∪B) ⊂ f (A)∪ f (B). Réciproquement, on a f (A) ⊂ f (A∪B) et f (B) ⊂ f (A∪B) (d’après le premier point) et doncf (A)∪ f (B) ⊂ f (A∪B), d’où l’égalité.

– Si x ∈ A∩B alors f (x) ∈ f (A) et f (x) ∈ f (B) d’où f (x) ∈ f (A)∩ f (B), donc f (A∩B) ⊂ f (A)∩ f (B).– Si x ∈ A alors f (x) ∈ f (A), d’où l’inclusion.

Remarque 7.4 :– Dans le cas de l’intersection (3e propriété), on n’a pas l’égalité en général. Par exemple, si f est la fonction

cosinus de R dans R, si A = [−π2 ;−π

3 ] et B = [0;π], alors f (A)∩ f (B) = [0; 12 ] alors que f (A∩B) =;.

– De même pour la dernière propriété, par exemple, en reprenant la fonction cosinus avec A = [0;π], on af (A) = [−1;1] et f −1( f (A)) =R.

FExercice 7.7

1/ Montrer que les propriétés 2 et 3 du théorème précédent se généralisent à une famille quelconque de parties deE.

2/ Soient f : E → F et g : F → G deux applications, soit A une partie de E, montrer que (g f )(A) = g ( f (A)). Soit Bune partie de G, montrer que (g f )−1(B) = f −1(g−1(B)).

3/ Montrer que f : E → F est injective si et seulement si pour tout partie A de E on a f −1( f (A)) = A.

Soit f : E → F une application. Pour toutes parties A et B de F, on a :– Si A ⊂ B alors f −1(A) ⊂ f −1(B).– f −1(A∪B) = f −1(A)∪ f −1(B).– f −1(A∩B) = f −1(A)∩ f −1(B).

Théorème 7.8

Preuve :– Si x ∈ f −1(A) alors f (x) ∈ A donc f (x) ∈ B, d’où x ∈ f −1(B).– x ∈ f −1(A∪B) ⇐⇒ f (x) ∈ A ou f (x) ∈ B ⇐⇒ x ∈ f −1(A)∪ f −1(B).– x ∈ f −1(A∩B) ⇐⇒ f (x) ∈ A et f (x) ∈ B ⇐⇒ x ∈ f −1(A)∩ f −1(B).

IV RELATIONS BINAIRES

Nous revenons dans cette partie à la notion générale de relation définie en début de chapitre. Mais ons’intéresse plus particulièrement aux relations d’un ensemble E dans lui-même.

1) Définitions

Soit R une relation d’un ensemble E vers lui - même, on dit que R est :– réflexive lorsque tout élément est en relation avec lui - même : ∀ x ∈ E, xRx.– symétrique lorsque : ∀ x, y ∈ E, si xRy alors yRx (le graphe de R est symétrique).– antisymétrique lorsque : ∀ x, y ∈ E, si xRy et yRx alors x = y . On remarquera qu’il ne s’agit pas dela négation de symétrique.– transitive lorsque : ∀ x, y, z ∈ E, si xRy et yRz alors xRz.

Définition 7.12



MO

NTA

IGN

E


ZExemples :– Dans R, la relation R définie par : ∀ x, y ∈R, xRy ⇐⇒ x 6 y , est une relation réflexive, antisymétrique

et transitive.– Dans Z, la relation S définie par : ∀ x, y ∈Z, xS y ⇐⇒ x− y ∈ 2Z, est une relation réflexive, symétrique

et transitive.– Soit E un ensemble, la relation T définie dans P (E) par : ∀ A,B ∈P (E), AT B ⇐⇒ A ⊂ B. Cette relation

T est réflexive antisymétrique et transitive.

2) Relation d’équivalence

Soit E un ensemble et R une relation de E dans E, on dit que R est une relation d’équivalencelorsqu’elle est réflexive, symétrique et transitive. Si c’est le cas, alors pour tout élément a de E, onappelle classe de a l’ensemble des x ∈ E en relation avec a, notation : Cl (a) = x ∈ E / xRa.

Définition 7.13

ZExemples :– L’égalité dans un ensemble est une relation d’équivalence.– Soit n ∈Z, la relation définie dans Z, par ∀ x, y ∈Z, xRy ⇐⇒ x − y ∈ nZ, est une relation d’équivalence.

Cette relation est appelée la congruence modulo n dans Z, et on note ∀x, y ∈ Z, x ≡ y (mod n) ⇐⇒∃k ∈Z, x − y = kn.

– Soit a ∈R, la relation définie dans R, par ∀ x, y ∈R, xRy ⇐⇒ x − y ∈ aZ, est une relation d’équivalence.Cette relation est appelée la congruence modulo a dans R, et on note ∀x, y ∈ R, x ≡ y (mod a) ⇐⇒∃k ∈Z, x − y = ka.

Si R est une relation d’équivalence dans E, alors :– ∀ a,b ∈ E,Cl(a) = Cl(b) ⇐⇒ aRb.– Les classes d’équivalence forment une partition de E, c’est à dire :

• Les classes d’équivalence sont des parties de E non vides et deux à deux disjointes.• La réunion des classes d’équivalence est égale à E.

Théorème 7.9


ZExemple : Considérons la relation de congruence modulo 5 dans Z, soit n ∈Z, on a Cl(n) = n +5k / k ∈Z.On peut vérifier qu’il n’y a que cinq classes pour cette relation, celles de 0, de 1, de 2, de 3 et de 4.

3) Relation d’ordre

– Soit R une relation dans un ensemble E, on dit que R est une relation d’ordre lorsque cette relationest : réflexive, antisymétrique et transitive. Lorsque c’est le cas, on dit que (E,R) est un ensembleordonné.– Deux éléments x et y de E sont dits comparables pour l’ordre R lorsque l’on a xRy ou bien yRx.Lorsque tous les éléments de E sont comparables deux à deux, on dit que l’ordre R est total et que(E,R) est un ensemble totalement ordonné, sinon on dit que l’ordre est partiel et que (E,R) estpartiellement ordonné.– Une relation d’ordre est en général notée6, c’est à dire que xRy est plutôt noté x 6 y .

Définition 7.14



MO

NTA

IGN

E


ZExemples :– L’ordre naturel sur les réels est une relation d’ordre total.– Soit E un ensemble, (P (E),⊂) est un ensemble partiellement ordonné (dès que card(E)> 2).– Soit I un ensemble non vide, on pose E =F (I,R) l’ensemble des fonctions définies sur I et à valeurs

réelles. On définit dans E la relation R : pour f , g ∈ E, f Rg ⇐⇒∀ x ∈ I, f (x)6 g (x). On vérifie que R

est une relation d’ordre partiel (dès que card(I) > 1), cette relation est appelée ordre fonctionnel etnotée6.

– Pour (x, y) et (x ′, y ′) ∈R2, on pose :

(x, y)R(x ′, y ′) ⇐⇒

x < x ′

ou

x = x ′ et y 6 y ′

On vérifie que R est une relation d’ordre total sur R2 (appelée ordre lexicographique et notée6).

Remarque 7.5 – On prendra garde au fait que lorsque l’ordre est partiel, la négation de x 6 y est :x et y ne sont pas comparables

ou

x et ysont comparables et x > y

Soit (E,6) un ensemble ordonné et A une partie de E, on dit que :– A est majoré dans E lorsque : ∃M ∈ E,∀x ∈ A, x 6M.– A est minoré dans E lorsque : ∃m ∈ E,∀x ∈ A,m6 x.– A est borné dans E lorsque A est à la fois majoré et minoré.– A admet un maximum lorsque : ∃a ∈ A,∀x ∈ A, x 6 a. Si c’est le cas, on note a = max(A).– A admet un minimum lorsque : ∃a ∈ A,∀x ∈ A, a6 x. Si c’est le cas, on note a = min(A).

Définition 7.15

– Une partie d’un ensemble ordonné n’est pas forcément majoré (ou minoré), par exempleN est non majoré dans R.– Une partie majorée (ou minorée) dans un ensemble ordonné n’a pas forcément de maximum (ou minimum). Parexemple [0;1[ dans R.

Attention!

FExercice 7.8 Montrer que si A admet un maximum dans (E,6), alors celui-ci est unique (même chose pour minimum).



MONTA

IGNE

Chapitre 8

Nombres réels

SommaireI L’ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1) Rappels sur les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2) Opérations et ordre sur les réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

II Borne inférieure, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711) Propriété fondamentale de l’ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2) Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3) La droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4) Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

III Approximation d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751) Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2) Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3) Approximations décimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

L’existence des ensemblesQ et R est admise.

I L’ENSEMBLE DES RÉELS

1) Rappels sur les rationnels

Un rationnel est un réel de la forme pq−1 (ou pq ) où p et q sont deux entiers avec q 6= 0. L’ensemble

des rationnels est noté Q. Tout rationnel peut s’écrire de différentes manières sous forme de fractions,par exemple : p

q = 2p2q = −p

−q . Mais tout nombre rationnel s’écrit de manière unique sous forme de fraction

irréductible, c’est à dire sous la forme pq avec p ∈Z, q ∈N∗ et avec p et q premiers entre eux (i.e. sans autres

diviseurs communs que 1 et -1).

Opérations sur les rationnelsOn rappelle que : p

q + ab = aq+bp

bq et pq × a

b = apbq . L’addition et la multiplication sont donc des lois de

composition internes dans Q, on vérifie que (Q,+,×) est un corps commutatif. On vérifie également que(Q,+), (Q∗,×) et (Q∗+,×) sont des groupes commutatifs.

L’ensemble des rationnels est insuffisantEn termes d’approximations numériques,Q peut paraître suffisant en sciences appliquées. Le problème

se pose lorsqu’on a besoin de connaître la valeur exacte de certaines grandeurs. Par exemple, peut - onmesurer dansQ la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1? D’après le théorème de Pythagore 1, celarevient à se demander s’il existe un rationnel dont le carré est égal à 2, or nous avons déjà établi que laréponse est négative (

p2 ∉Q).

Cette lacune de Q avait été remarquée par les Pythagoriciens, ce qui a conduit les mathématiciens àintroduire de nouveaux nombres, les irrationnels, en concevant un ensemble plus vaste queQ, l’ensembledes nombres réels noté R.

1. PYTHAGORE De Samos (569 av J.-C. – 500 av J.-C. (environ)) : mathématicien et philosophe grec dont la vie et l’œuvre restententourées de mystères.



MO

NTA

IGN

E

Borne inférieure, borne supérieure Chapitre 8 : Nombres réels

2) Opérations et ordre sur les réels

L’ensemble R contientQ et possède une addition et une multiplication (qui prolongent celles deQ) quifont que (R,+,×) est un corps commutatif. On admettra également qu’il existe deux parties de R que l’onnote A et B et qui vérifient :

– A et B sont stables pour l’addition.– Q+ ⊂ A etQ− ⊂ B.– R= A∪B.– A∩B = 0.– Si x, y ∈ A alors x y ∈ A, si x, y ∈ B alors x y ∈ A et si x ∈ A et y ∈ B, alors x y ∈ B (règle des signes).On définit alors une relation R dans R en posant : ∀ x, y ∈R, xRy ⇐⇒ x − y ∈ B. Cette relation est :– Réflexive : ∀ x ∈R, xRx.– Antisymétrique : si xRy et yRx alors x = y .– Transitive : si xRy et yRz, alors xRz.Le relation R est donc une relation d’ordre sur R. On la notera désormais6, c’est à dire que xRy sera

noté x 6 y (i.e. x − y ∈ B).On remarquera que x 6 0 signifie que x ∈ B, et que 06 x signifie que−x ∈ B et donc x ∈ A car x = (−1)(−x) :

produit de deux éléments de B. D’autre part, si x ∈ A et y ∈ B, alors x 6 y car y −x = y + (−x) : somme de deuxéléments de B.

Si x et y sont deux réels quelconques, on a x − y ∈ A ou x − y ∈ B, c’est à dire x − y ∈ B ou y −x ∈ B, c’est àdire encore x 6 y ou y 6 x. Deux réels sont donc toujours comparables, l’ordre est total.Notation : On pose A =R+ et B =R−.

La relation d’ordre6 est :– Compatible avec l’addition, c’est à dire :

∀ x, y, z ∈R, si x 6 y alors x + z 6 y + z.

– Compatible avec la multiplication par un réel positif :

∀ x, y, z ∈R, si 06 z et x 6 y alors xz 6 y z.

Théorème 8.1

Preuve : Si x 6 y , alors x − y ∈ R−, mais (x + z)− (y + z) = x − y , donc (x + z)− (y + z) ∈ R− i.e. x + z 6 y + z. Si 06 z etx 6 y , alors x − y ∈ R− donc z(x − y) ∈ R−, i.e. zx 6 z y . On remarquera que si z 6 0 alors z(x − y) ∈ R+ donc z y 6 zx,l’inégalité change de sens.

Conséquences– Si x 6 y et a6 b, alors x +a6 y +b.– Si 06 x 6 y et 06 a6 b alors 06 ax 6 by .

II BORNE INFÉRIEURE, BORNE SUPÉRIEURE

1) Propriété fondamentale de l’ensemble des réels

Soit I une partie non vide de R et soit a un réel, on dit que :– I est majorée par a (ou a est un majorant de I), lorsque tout élément de I est inférieur ou égal à a :

∀ x ∈ I, x 6 a.– I est minorée par a (ou a est un minorant de I), lorsque tout élément de I est supérieur ou égal à a :

∀ x ∈ I, x > a.– I est bornée, lorsque I est à la fois minorée et majorée : ∃ m,M ∈R,∀ x ∈ I,m6 x 6M.

ZExemples :– L’ensemble I = x2

1+x2 / x ∈R est borné (minoré par 0 et majoré par 1).

– L’ensemble I = x2

1+|x| / x ∈R est minoré par 0, mais non majoré.



MO

NTA

IGN

E


Remarque 8.1 –– I est non majoré équivaut à : ∀ M ∈R,∃ x ∈ I, x > M.– I est non minoré équivaut à : ∀ m ∈R,∃ x ∈ I, x < m.– I est borné équivaut à : ∃ M ∈R,∀ x ∈ I, |x|6M.

Soit I une partie non vide de R. Si l’ensemble des majorants de I n’est pas vide et s’il admet un pluspetit élément, alors celui-ci est appelé borne supérieure de I et noté sup(I). La borne supérieure(lorsqu’elle existe) est donc le plus petit des majorants.Si l’ensemble des minorants de I n’est pas vide et s’il admet un plus grand élément, alors celui-ci estappelé borne inférieure de I et noté inf(I). La borne inférieure (lorsqu’elle existe) est donc le plusgrand des minorants.

Définition 8.1

ZExemples :– I =]0;1], l’ensemble des majorants est [1;+∞[, celui-ci admet un plus petit élément qui est 1, donc

sup(I) = 1. L’ensemble des minorants de I est ]−∞;0] qui admet un plus grand élément : 0, doncinf(I) = 0.

– I =]1;+∞[, l’ensemble des majorants est vide donc I n’a pas de borne supérieure. L’ensemble desminorants est ]−∞;1], celui-ci admet un plus grand élément : 1, donc inf(I) = 1.

On remarquera qu’une borne inférieure (ou supérieure) d’un ensemble I n’a aucune raison d’appartenir à I.

Attention!

Voici le lien entre minimum et borne inférieure (ou maximum et borne supérieure) :

Soit I une partie non vide de R et soit a un réel :– a = min(I) ssi a ∈ I et a = inf(I).– a = max(I) ssi a ∈ I et a = sup(I).

Théorème 8.2


Il découle de la définition :

Soit I une partie non vide de R et soit m un réel, alors :

m = sup(I) ⇐⇒

m majore I

∀ε> 0,m −ε ne majore pas I, i.e. ∃x ∈ I,m −ε< x

m = inf(I) ⇐⇒

m minore I

∀ε> 0,m +ε ne minore pas I, i.e. ∃x ∈ I, x < m +ε

Théorème 8.3

Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure.Théorème 8.4 (Propriété fondamentale de R (admise))



MO

NTA

IGN

E


Conséquence : il en découle que toute partie de R non vide et minorée admet une borne inférieure.Preuve : Soit A une partie de R non vide et minorée par un réel m, alors l’ensemble −A = −a / a ∈ A est une partiede R non vide et majorée par le réel −m. D’après le théorème précédent, −A admet une borne supérieure M et doncl’ensemble des majorants de −A est [M,+∞[, on en déduit que l’ensemble des minorants de A est ]−∞;−M] et donc Aadmet une borne inférieure qui est −M, c’est à dire inf(A) =−sup(−A).

ZExemples :– Soit a un réel positif, on pose A = x ∈ R / x2 6 a. A est une partie non vide de R car 0 ∈ A, d’autre

part A est majoré par a +1 car x > a +1 =⇒ x2 > a2 +2a +1 > a. L’ensemble A admet donc une bornesupérieure M. En raisonnant par l’absurde on peut montrer que M2 = a, par conséquent M =p

a, c’estune définition possible de la fonction racine carrée.

– Soient A et B deux parties de R non vides et bornées telles que A ⊂ B. Montrer que inf(B)6 inf(A) etsup(A)6 sup(B).Réponse : inf(B) est un minorant de B donc un minorant de A, par conséquent inf(B)6 inf(A) car inf(A)est le plus grand des minorants de A. De même, sup(B) majore B , donc majore A également, d’oùsup(A)6 sup(B) car sup(A) est le plus petit des majorants de A.

– Soient A et B deux parties de R non vides et majorées, on pose A+B = a +b / a ∈ A,b ∈ B. Montrerque sup(A+B) = sup(A)+ sup(B).Réponse : sup(A)+sup(B) majore A+B, donc A+B admet une borne sup. et sup(A+B)6 sup(A)+sup(B).Soient a ∈ A et b ∈ B, a +b6 sup(A+B), donc a6 sup(A+B)−b, ce qui signifie que A est majoré parsup(A+B)−b, d’où sup(A)6 sup(A+B)−b, mais alors b6 sup(A+B)− sup(A), donc B est majoré parsup(A+B)− sup(A), d’où sup(B)6 sup(A+B)− sup(A) et finalement sup(A)+ sup(B)6 sup(A+B) cequi prouve bien l’égalité.

2) Intervalles

Soit I une partie non vide de R, on dit que I est un intervalle lorsque : tout réel compris entre deuxéléments de I est lui-même élément de I, c’est à dire :

∀ x, y ∈ I,∀ z ∈R, x 6 z 6 y =⇒ z ∈ I.

Par convention, ; est un intervalle de R.

Définition 8.2

Si I est un intervalle non vide de R alors on a :– soit I =R,– soit I = [a;+∞[ ou I =]a,+∞[,– soit I =]−∞;b] ou I =]−∞;b[,– soit I =]a;b[ ou I =]a;b] ou I = [a;b[ ou I = [a;b].

Théorème 8.5

Preuve : Le premier correspond à I non borné, le deuxième à I minoré et non majoré, le troisième à I non minoré etmajoré, le quatrième à I borné.

ZExemple : Z n’est pas un intervalle de R car 1,2 ∈Zmais pas 32 .Q n’est pas un intervalle de R.

On a les propriétés suivantes :– L’intersection de deux intervalles de R est un intervalle de R.– La réunion de deux intervalles de R non disjoints est un intervalle de R.

Théorème 8.6



MO

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IGN

E


Preuve : Soient I et J deux intervalles de R, posons K = I∩ J. Si K est vide, alors c’est un intervalle. Si K n’est pas vide,alors soit x, y ∈ K et soit z un réel tel que x 6 z 6 y . Comme I est un intervalle contenant x et y , I contient z, de même Jcontient z, finalement z ∈ K et donc K est un intervalle de R.

Supposons I et J non disjoints et soit K = I∪ J. K est non vide, soit x, y ∈ K et soit z un réel tel que x 6 z 6 y . Si x et ysont dans I, alors z est dans I et donc dans K, de même si x et y sont dans J. Si x est dans I et y dans J, soit t ∈ I∩ J, siz 6 t , alors z est compris entre x et t qui sont éléments de I, donc z ∈ I. Si t 6 z, alors z est compris entre t et y qui sontéléments de J, donc z est élément de J. Dans les deux cas on a bien z ∈ K et donc K est un intervalle de R.

3) La droite numérique achevée

On ajoute à l’ensemble R deux éléments non réels (par exemple i et −i ), l’un de ces deux éléments estnoté −∞ et l’autre +∞.

L’ensemble R∪ −∞,+∞ est noté R et appelé droite numérique achevée.

Définition 8.3

On prolonge la relation d’ordre de R à R en posant pour tout réel x : −∞< x <+∞. L’ensemble R devientainsi un ensemble totalement ordonné, de plus il possède un maximum (+∞) et un minimum (−∞).

Pour tout réel x on pose :– (+∞)+x = x + (+∞) =+∞.– (−∞)+x = x + (−∞) =−∞.– (+∞)+ (+∞) =+∞.– (−∞)+ (−∞) =−∞.– Si x > 0 : x(+∞) = (+∞)x =+∞ et (−∞)x = x(−∞) =−∞.– si x < 0 : x(+∞) = (+∞) =−∞ et (−∞)x = x(−∞) =+∞.– (+∞)(+∞) =+∞, (−∞)(−∞) =+∞ et (−∞)(+∞) = (+∞)(−∞) =−∞.

Remarque 8.2 – On prendra garde au fait que nous n’avons pas défini de loi de composition interne dans Rpuisque nous n’avons pas défini 0× (±∞) ni (−∞)+ (+∞). Les règles de calculs définies ci-dessus auront leurutilité dans le chapitre sur les limites.

Soit A une partie non vide de R, alors A admet une borne supérieure et une borne inférieure dans R.

Théorème 8.7

Preuve : Soit A une partie non vide de R. Si A est majorée dans R alors admet une borne supérieure réelle (propriétéfondamentale de R). Si A n’est pas majorée dans R, alors dans R l’ensemble des majorants est +∞, donc il y a uneborne supérieure dans R qui est +∞ (le plus petit majorant). Le raisonnement est le même pour la borne inférieure.

4) Voisinages

Soit x ∈ R, toute partie de R contenant un intervalle de la forme ]x − ε; x + ε[ où ε > 0 est appelévoisinage de x .Toute partie de R contenant un intervalle ouvert de la forme ]a;+∞[ (a ∈R) est appelé voisinage de+∞ .Toute partie de R contenant un intervalle ouvert de la forme ]−∞; a[ (a ∈R) est appelé voisinage de−∞ .

Définition 8.4

Soit V1,V2 deux voisinages de x ∈R, alors V1 ∩V2 est un voisinage de x. Soit a,b ∈R, si a < b alors ilexiste un voisinage V de a et un voisinage V′ de b tels que ∀x ∈ V et ∀y ∈ V′, x < y .

Théorème 8.8

Preuve : Celle - ci est simple et laissée en exercice.



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E

Approximation d’un réel Chapitre 8 : Nombres réels

Soit P(x) une proposition dépendante de x ∈ R, et soit a ∈ R, on dit que la propriété P est vraie auvoisinage de a lorsqu’il existe au moins un voisinage V de a tel que :

∀ x ∈ V,P(x) est vraie.

Définition 8.5

ZExemple : Soit f (x) = x2+x−1, alors au voisinage de 0 on a f (x) < 0, et au voisinage de +∞, f (x) > 0. En effet,le trinôme x2 +x −1 admet deux racines réelles : x1 < 0 et x2 > 0, posons ε= min(|x1|, |x2|), si x ∈]0−ε;0+ε[alors x ∈]x1; x2[ et donc x2 + x −1 < 0, V =]x1; x2[ est donc un voisinage de 0 et sur ce voisinage on a bienf (x) < 0. Posons W =]x2;+∞[, alors W est un voisinage de +∞ et sur ce voisinage on a bien f (x) > 0.

III APPROXIMATION D’UN RÉEL

1) Valeur absolue

Soit x un réel, les deux nombres x et −x sont comparables puisque l’ordre est total, ce qui donne un sensà la définition suivante :

Soit x ∈ R, on appelle valeur absolue de x le réel noté |x| et défini par : |x| = max(x,−x). On a donc|x| = x lorsque 06 x, et |x| = −x lorsque x 6 0.

Définition 8.6

L’ensemble R peut être assimilé à une droite graduée (i.e. munie d’un repère (O,−→u )), les réels sont alorsles abscisses des points de cette droite. Si A(a) et B(b) sont deux points de cette droite, alors le réel positif|b−a| représente la distance de A à B, en particulier |x| représente la distance de l’origine au point d’abscissex.

O A(a) B(b)−→u R

|b −a|

Soient x, y des réels :– |x| ∈R+, |x| = |−x|, x 6 |x| et −x 6 |x|.– |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.– |x y | = |x||y | et si x 6= 0 alors | 1

x | = 1|x| . On en déduit que ‖ f r ac1x| = 1

|x| et ∀n ∈N, |xn | = |x|n .– ||x|− |y ||6 |x − y |6 |x|+ |y | (inégalité triangulaire).

Théorème 8.9


Soient a,b, x trois réels avec b positif :– |a|6 b ⇐⇒ a6 b et −a6 b ⇐⇒−b6 a6 b.– |a|> b ⇐⇒ a> b ou −a> b.– |a −x|6 b ⇐⇒−b6 a −x 6 b ⇐⇒ a −b6 x 6 a +b.– |a −x|> b ⇐⇒ x > a +b ou x 6 a −b.

À retenir

Ces inégalités sont importantes, et peuvent se retrouver en raisonnant en termes de distance.



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Soit a un réel et ε> 0, on appelle intervalle ouvert de centre a et de rayon ε, l’intervalle ]a −ε; a +ε[.C’est l’ensemble des réels x tels que |x − a| < ε. On définit de la même façon l’intervalle fermé decentre a et de rayon ε.

Définition 8.7

On rappelle qu’un intervalle ouvert est un intervalle de la forme : ]a;b[ ou ]a;+∞[ ou ]−∞;b[. L’ensemblevide et R sont des intervalles ouverts.

Soit I un intervalle ouvert non vide, pour tout élément a de I il existe au moins un voisinage de ainclus dans I : ∀ a ∈ I,∃ ε> 0, ]a −ε; a +ε[⊂ I.

Théorème 8.10

Preuve : Il suffit de passer en revue les différents cas pour I. Par exemple, si I =]α;β[ avec α< β (sinon I est vide), onpeut prendre ε= min(a −α,β−a). On remarquera que l’on peut remplacer intervalle ouvert de centre a par intervallefermé de centre a.

2) Partie entière

L’ensemble R est archimédien, c’est à dire : ∀ x, y ∈R∗+,∃ n ∈N, x 6 ny.

Théorème 8.11

Preuve : Par l’absurde, supposons que ∀ n ∈N, x > ny . Soit A = ny / n ∈N, A est non vide (contient y) et majoré par x,donc A admet une borne supérieure. Soit b = sup(A), on a b − y < b donc il existe un entier n0 ∈N tel que b − y < n0 y ,d’où b < (n0 +1)y ce qui est absurde car (n0 +1)y ∈ A.

Soit x ∈R, il existe un unique entier n ∈Z tel que n6 x < n+1, celui-ci est appelé partie entière de x,noté bxc (ou E(x)).

Théorème 8.12 (et définition)

Preuve : Montrons l’existence : si x = 0 il suffit de prendre n = 0. Supposons x non nul et soit A = n ∈Z / x < n +1, onvérifie que A est non vide (si x < 0 alors 0 ∈ A et si x > 0 on utilise que R est archimédien), de plus A est minoré par x −1,cet ensemble admet donc une borne inférieure c. On a c < c + 1

2 donc le réel c + 12 ne minore pas A donc il existe un

entier n0 ∈ A tel que c 6 n0 < c + 12 , si c < n0, alors n0 ne minore pas A, donc il existe n1 ∈ A tel que c 6 n1 < n0 < c + 1

2ce qui est absurde car n0 et n1 sont deux entiers distincts dans un intervalle de longueur 1

2 . On en déduit que c = n0 ∈ Ad’où n0 = min(A), mais alors n0 −1 ∉ A, c’est à dire x > n0 −1+1, par conséquent on a n06 x < n0 +1.

Montrons l’unicité : soient n,n′ ∈Z tels que n6 x < n+1 et n′6 x < n′+1, alors |n−n′| = |(x −n)− (x −n′)| < 1 carx −n et x −n′ sont dans l’intervalle [0;1[, comme n et n′ sont entiers, on en déduit que |n −n′| = 0 i.e. n = n′.

Propriétésa) La fonction partie entière est une fonction croissante sur R et elle constante sur tout intervalle de la

forme [n;n +1[ lorsque n ∈Z.

0 1 2 3 4−1−2−3−4

0

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4



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b) La fonction partie entière est continue sur R\Z. Pour n ∈Z, elle est continue à droite mais pas à gaucheen n.

c) Pour tout réel x et tout entier n, on a bx +nc = bxc+n.

d) La fonction x 7→ x −bxc est une fonction 1-périodique.

e) La partie entière de x est entièrement caractérisée par :

bxc ∈Zbxc6 x < bxc+1

.

Tout intervalle de la forme ]a;b[ où a < b contient au moins un rationnel, on dit queQ est dense dansR.

Théorème 8.13

Preuve : Soit x le milieu de l’intervalle ]a;b[ et ε sa demi - longueur. R étant archimédien, il existe un entier q tel que16 qε. Posons p = ⌊

qx⌋

, on a alors p 6 qx < p +1, d’où en posant r = pq , r est un rationnel et r 6 x < r + 1

q 6 r +ε, parconséquent, |x − r | < ε et donc r ∈]a;b[.

Remarque 8.3 – Ce théorème traduit que aussi près que l’on veut de n’importe quel réel, on peut trouver desrationnels. De plus la démonstration fournit une méthode de construction de p

q .

Par exemple, avec x =p2 et ε = 10−3, on peut prendre q = 1000 et p = ⌊

1000p

2⌋ = 1414 (car 14142 6

2.106 < 14152), d’où pq = 1,414 et |p2−1,414| < 10−3.

Tout intervalle ]a;b[ où a < b contient au moins un irrationnel, donc l’ensemble des irrationnels,R\Q, est dense dans R.

Théorème 8.14

Preuve : Comme précédemment on appelle x le milieu de l’intervalle ]a;b[ et ε la demi - longueur. Si x ∈ R \Q alors

il n’y a rien à faire. Si x ∈Q, alors il existe un entier n tel quep

2 < nε, on pose y = x +p

2n , le réel y est irrationnel et

|x − y | =p

2n < ε donc y ∈]a;b[.

Soit A une partie non vide de R, on dit que A est dense dans R lorsque tout intervalle ouvert non videde R contient au moins un élément de A, ce qui équivaut à :

∀ x ∈R,∀ ε> 0,∃ a ∈ A, |x −a| < ε.

Définition 8.8 (Généralisation)

Remarque 8.4 –– Ce qui signifie qu’aussi près que l’on veut de tout réel x, on peut trouver des éléments de A. Voici une

autre définition équivalente (et très utile) :– A est dense dans R ssi pour tout réel x il existe une suite (an) d’éléments de A qui converge vers x.

3) Approximations décimales

Soient a, x,ε trois réels avec ε > 0, on dit que a est une valeur approchée de x à ε près lorsque ladistance entre a et x et inférieure ou égale à ε : |a −x|6 ε. On dit que a est une valeur approchée de xpar défaut (respectivement par excès) à ε près lorsque a6 x 6 a +ε (respectivement a −ε6 x 6 a).

Définition 8.9



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Propriétésa) Si a est une valeur approchée de x par défaut et b une valeur approchée de x par excès, alors a+b

2 est

une valeur approchée de x à b−a2 près.

b) Si a est une valeur approchée de x par défaut à ε près et b une valeur approchée de x par excès à ε près,alors a+b

2 est une valeur approchée de x à ε2 près.

Soit x ∈R et soit n ∈N, on a bx10nc6 x10n < 1+bx10nc, en multipliant par 10−n on obtient :

bx10nc10n 6 x < bx10nc

10n +10−n .

Ce qui signifie que bx10nc10n est une valeur approchée de x par défaut à 10−n près, et que bx10nc

10n +10−n est unevaleur approchée de x par excès à 10−n près. Il faut remarquer que ces deux approximations de x sont desnombres décimaux (i.e. un entier sur une puissance de dix).

On appelle approximation décimale de x par défaut à 10−n près, le nombre : bx10nc10n .

Définition 8.10

ZExemples :– Prenons x =p

2 et posons an = bx10nc10n

• 16 x2 < 22, donc 16 x < 2 et a0 = bxc = 1 (partie entière de x).• (10x)2 = 200 et 142 = 1966 (10x)2 < 152 = 225, donc 146 10x < 15 et a1 = b10xc/10 = 14/10 = 1,4.• (100x)2 = 20000 et 1412 6 (100x)2 < 1422, donc 1416 100x < 142 et a2 = b100xc/100 = 141/100 =

1,41...etcSi on continue le processus, on construit la suite (an) des approximations décimales de

p2 à 10−n près

par défaut.

Si on pose pour n ∈N, an = bx10nc10n , alors on a l’inégalité |x −an |6 10−n , ce qui prouve que la suite (an)

converge vers x. On a donc une suite de rationnels qui converge vers x, ce qui est une autre façon de prouverla densité de Q dans R. On remarquera que la suite (an +10−n) (valeurs approchées décimales par excès)converge également vers x.

Soit x ∈R et an = bx10nc10n , pour n ∈N∗ on pose dn = 10n(an −an−1), alors dn est un entier compris entre

0 et 9.

Théorème 8.15

Preuve : 10n an = b10n xc 6 10n x < 1+b10n xc, d’autre part 10n an−1 = 10⌊

10n−1x⌋6 10n x < 10+ 10

⌊10n−1x

⌋, d’où

−10−⌊10n−1x

⌋<−10n x 6−10n an−1, on en déduit que dn −10 < 0 < dn +1, par conséquent 06 dn < 10, or dn est unentier, donc dn 6 9.

Pour n> 1, l’entier dn = 10n(an −an−1) = b10n xc−10⌊

10n−1x⌋

est appelé n-ième décimale de x.

Définition 8.11

Remarquons que dn10−n = an −an−1, ce qui entraîne que a0 +n∑

k=1dk 10−k = an , or la suite (an) converge

vers x, on écrit alors :

x = a0 ++∞∑k=1

dk 10−k (développement décimal de x)



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EChapitre 9

Suites numériques

SommaireI Suites réelles, généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2) Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3) Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

II Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2) Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3) Convergence et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4) Convergence et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5) Caractérisations séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

III Suites ayant une limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2) Limite infinie et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3) Limite infinie et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

IV Théorèmes d’existence d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1) Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2) Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3) Le théorème de BOLZANO - WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

V Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2) Les exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

VI Extension aux suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2) Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

I SUITES RÉELLES, GÉNÉRALITÉS

1) Définitions

Une suite numérique u est une application de A vers R : u : A → R, où A est une partie de N. Parconvention le réel u(n) est noté un , et la suite u est parfois notée (un)n∈A. Si la partie A est finie, on ditque la suite u est une suite finie. L’ensemble des suites réelles définies sur A est donc l’ensemble desapplications de A vers R, c’est à dire F (A,R).

Définition 9.1



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Suites réelles, généralités Chapitre 9 : Suites numériques

Remarque 9.1 – On prendra garde à ne pas confondre un qui est un réel (terme de rang n) avec (un)n∈A quidésigne la suite u. Les suites finies présentant peu d’intérêt, on étudiera seulement le cas où A est une partieinfinie deN. On peut alors montrer qu’il est toujours possible de se ramener au cas où A =N, si bien que dansla suite de ce chapitre on étudiera F (N,R) l’ensemble des suites réelles définies surN.

ZExemples :– Une suite u est arithmétique si et seulement si il existe un réel r (appelé raison), tel que ∀ n ∈N,un+1 = un+r . On a alors les formules suivantes : ∀ n, p ∈N,un = up +(n−p)r. La somme de n termes

consécutifs est S = n(p+d)2 où p désigne le premier terme, et d le dernier.

– Une suite u est géométrique si et seulement si il existe q ∈R (appelé raison), tel que ∀ n ∈N,un+1 =qun . On a alors les formules suivantes : ∀ n, p ∈N,un = up qn−p . La somme de n termes consécutifs est

S =

npsi q = 1

p −qd

1−qsi q 6= 1

, où p désigne le premier terme, d le dernier et q la raison.

– Suites récurrentes à un pas : ce sont les suites u définies par : u0 ∈ R et ∀ n ∈ N,un+1 = f (un), oùf : I →R est une fonction donnée. Par exemple : u0 = 1

2 et un+1 = u2n . Dans le plan, à l’aide de la courbe

représentative de f et de la première bissectrice, on peut construire géométriquement les termes de lasuite sur l’axe des abscisses.

– Suites récurrentes à deux pas : par exemple la suite de Fibonacci 1 qui est définie par : u0 = u1 = 1 et∀ n ∈N,un+2 = un+1 +un .

2) Vocabulaire

– Sens de variation : soit u une suite réelle et p un entier, on dit que la suite u est :• croissante à partir du rang p lorsque : ∀ n> p,un 6 un+1.• strictement croissante à partir du rang p lorsque : ∀ n> p,un < un+1.• décroissante à partir du rang p lorsque : ∀ n> p,un+16 un .• strictement décroissante à partir du rang p lorsque : ∀ n> p,un+1 < un .• constante (ou stationnaire) à partir du rang p lorsque : ∀ n> p,un+1 = un .• monotone lorsque u est croissante ou bien décroissante.• strictement monotone lorsque u est strictement croissante ou bien strictement décroissante.

Remarque 9.2 – Étudier le sens de variation de u peut se faire en étudiant le signe de un+1 −un , ouencore le signe de f (un+1)− f (un) où f désigne une fonction monotone.

– Suite bornée : on dit qu’une suite réelle u est :• majorée lorsque : ∃ M ∈R,∀ n ∈N,un 6M.• minorée lorsque : ∃ m ∈R,∀ n ∈N,m6 un .• bornée lorsque : ∃ m,M ∈R,∀ n ∈N,m6 un 6M (i.e. minorée et majorée).

Remarque 9.3 – Une suite u est bornée si et seulement si il existe un réel M positif tel que ∀ n ∈N, |un |6M.

Par exemple, la suite (un = sin(n)) est bornée, la suite (vn = n2) est minorée mais non majorée, la suite(wn = (−2)n) est ni minorée ni majorée.

– Suite périodique : on dit qu’une suite u est p -périodique (où p ∈ N∗) à partir du rang n0 lorsque :∀ n> n0,un+p = un . Par exemple, la suite (un) = (−1)n) est 2 - périodique, la suite w définie par w0 = 1,w1 = 1 et pour tout n wn+2 =−wn+1 −wn , est 3 - périodique, mais la suite des décimales de π n’est paspériodique car π est irrationnel.

– Suite extraite : soit u une suite réelle et soit σ :N→N une application strictement croissante, alors lasuite v définie par vn = uσ(n) est appelée suite extraite de u (σ étant l’extraction). On remarquera quel’on a : ∀n ∈N,n6σ(n). Par exemple, la suite (u2n) est une suite extraite de u, c’est la suite des termesde rangs pairs, de même la suite (u2n+1) est extraite de u, c’est la suite des termes de rangs impairs.

3) Opérations sur les suites

Soient u et v deux suites réelles et soit λ ∈R, on définit les suites :

1. FIBONACCI Leonardo (1180 – 1250 (environ)) : mathématicien italien (de son vrai nom Leonardo da Pisa) qui œuvra pourl’introduction de nombres arabes en Occident.



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Suites convergentes Chapitre 9 : Suites numériques

– u + v : en posant pour tout n ∈N, (u + v)n = un + vn ;– u × v : en posant (u × v)n = un vn .– λv : en posant (λv)n = λvn .– 1

v : si v ne s’annule pas à partir d’un certain rang n0, en posant : ( 1v )n = 1

vn.

On vérifie alors que :– (F (N,R),+) est un groupe abélien. Son élément neutre est la suite nulle (notée 0) et l’opposé d’une

suite u est la suite (−un)n∈N (notée −u).– La multiplication est associative, commutative, admet comme élément neutre la suite constante

(un = 1)n∈N (notée 1), et elle est distributive sur l’addition. Mais il y a des suites non nulles qui n’ontpas d’inverse, par exemple la suite u définie par un = 1+ (−1)n . Seules les suites u qui ne s’annulentjamais ont un inverse, et cet inverse est la suite 1

u .L’ensemble (F (N,R),+,×) n’est donc pas un corps, mais seulement un anneau commutatif. Les deux

suites u et v définies par un = 1+ (−1)n et vn = 1− (−1)n sont non nulles, mais leur produit est la suite nulle,ceci prouve que (F (N,R),+,×) est un anneau non intègre.

II SUITES CONVERGENTES

1) Définition

Soit u une suite réelle et ` ∈R, on dit que u admet comme limite ` lorsque un peut être aussi proche(ou voisin) que l’on veut de ` pourvu que n soit assez grand, c’est à dire :

∀ ε> 0,∃ N ∈N,∀ n ∈N,n>N =⇒ |un −`| < ε

Notation : limu = ` ou limun = ` ou un → `.

Définition 9.2

Remarque 9.4 –– Comme |un −`| = |(un −`)−0| = ||un −`|−0|, on a :

limun = `⇐⇒ limun −`= 0 ⇐⇒ lim |un −`| = 0.

– Comme ||un |− |`||6 |un −`|, on a : limun = `=⇒ lim |un | = |`| (réciproque fausse).– Si à partir d’un certain rang on a : |un −`|6 vn , et si vn → 0, alors limun = `.

En effet : soit ε>, à partir d’un rang N1 on a |vn | < ε, et à partir d’un rang N2 on a |un −`|6 vn , donc àpartir du rang Max(N1,N2) on a |un −`| < ε.

Lorsque la suite u admet une limite finie, on dit que u est convergente, sinon on dit qu’elle estdivergente.

Définition 9.3

ZExemples :– Toute suite stationnaire (à partir d’un certain rang) est convergente.– Soit x ∈ R et vn = bnxc

n : on a vn → x. Soit ε > 0, |vn − x| = nx−bnxcn < 1

n < ε⇐⇒ n > 1ε , il suffit donc de

prendre N = 1+⌊1ε

⌋pour avoir : n>N =⇒ |vn −x| < ε.

– un = qn avec q = 1 : la suite est constante et un → 1.– un = qn avec |q | < 1 et q 6= 0 : alors qn → 0. Soit ε > 0, comme 1

|q| > 1, on a 1|q| = 1+p avec p > 0, on

peut montrer alors que ∀n ∈N, 1|q|n > 1+np (récurrence ou binôme de Newton), on a 1

|q|n > 1ε dès que

1+np > 1ε c’est à dire dès que n>N = 1+

⌊1

pε − 1p

⌋, donc n>N =⇒ |qn | < ε.

– un = (−1)n alors la suite est divergente (2-périodique). Supposons qu’elle ait une limite finie ` alors àpartir d’un certain rang N on aura |un −`| < 1

3 par conséquent les valeurs −1 et 1 sont dans l’intervalle]`− 1

3 ;`+ 13 [ ce qui est absurde.

FExercice 9.1 Montrer qu’une suite d’entiers convergente est stationnaire.



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Suites convergentes Chapitre 9 : Suites numériques

2) Premières propriétés

Soit u une suite réelle :– Si u admet une limite ` ∈R, alors celle - ci est unique.

Preuve : Supposons un → ` et un → `′ avec ` 6= `′, Soit α ∈]`;`′[, ε= α−` et ε′ = `′−α, alors à partir d’un certainrang N on a |un − `| < ε, ce qui donne un < α, et à partir d’un certain rang N′ on a |un − `′| < ε′, ce qui donneα< un , donc à partir de max(N,N′) on a une contradiction, donc `= `′.

On a démontré au passage :– Si u converge vers ` et si α< `, alors à partir d’un certain rang α< un . De même, si α> `, alors à partir

d’un certain rang on a α> un .– Si u est convergente, alors u est bornée (la réciproque est fausse).

Preuve : Si un → ` ∈R, il existe un entier N tel que n>N =⇒ |un −`| < 1, ce qui entraîne |un | < |`|+1. On a alorspour tout entier n : |un |6max(|u0|, . . . , |uN|,1+|`|). Pour voir que la réciproque est fausse, on peut considérer lasuite u définie par un = (−1)n , elle est bornée mais non convergente.

Conséquence : la suite (qn) avec |q| > 1 est divergente car non bornée, en effet : |q| = 1+p avec p > 0donc |qn |> 1+np qui peut être aussi grand que l’on veut.

– Si u converge vers `, alors toutes les suites extraites de u convergent vers `.Preuve : Soit vn = uσ(n) une suite extraite de u et supposons un → ` ∈ R. Soit W un voisinage de `, il existe unentier N tel que n>N =⇒ un ∈ W. Mais σ étant strictement croissante, on a ∀n ∈N,n6σ(n), donc n>N =⇒σ(n)>N, mais alors uσ(n) ∈ W, c’est à dire n>N =⇒ vn ∈ W et donc vn → `.

Remarque 9.5 – Cette propriété est souvent utilisée pour montrer qu’une suite u n’a pas de limite. Soiten trouvant une suite extraite qui diverge, soit en trouvant deux suites extraites qui ne convergent pasvers la même limite. Par exemple : un = cos((n + 1

n )π).

– Si limu2n = limu2n+1 = ` ∈R, alors limu = `.Preuve : Soit ε> 0, il existe un entier N1 tel que k >N1 =⇒ |u2k −`| < ε, de même il existe un entier N2 tel quek > N2 =⇒ |u2k+1 − `| < ε. Posons N = max(2N1,2N2 +1), si n > N alors lorsque n = 2k on a k > N1 et donc|un −`| < ε, lorsque n = 2k +1 on a k >N2 et donc |un −`| < ε, finalement dès que n>N on a |un −`| < ε et doncun → `.

3) Convergence et opérations

Soient u et v deux suites qui convergent respectivement vers ` et `′, et soit λ ∈R alors :– (un + vn) converge vers `+`′.– (λun) converge vers λ`.

Théorème 9.1

Preuve : Soit ε> 0, il existe un entier N à partir duquel on a |un −`| < ε/2 et |vn −`′| < ε/2, mais alors on a |un +vn − (`+`′)|6 |un −`|+ |vn −`′| < ε, donc un + vn → `+`′.

Soit λ 6= 0, et soit ε> 0, à partir d’un certain rang on a |un −`| < ε|λ| d’où |λun −λ`| < ε.

Si (un) converge vers ` et (vn) vers `′ alors :– (un vn) converge vers ``′.– Si ` 6= 0, alors à partir d’un certain rang la suite les termes un sont non nuls et la suite ( 1

un) converge

vers 1` .

Théorème 9.2

Preuve : |un vn −``′| = |(un −`)vn +`(vn −`′)|6 |un −`||vn |+|`||vn −`′|, mais la suite v est bornée donc il existe un réelM strictement positif tel que |vn |6M et donc |un vn −``′| < |un −`|M+|`||vn −`′|, mais d’après le théorème précédentla deuxième suite tend vers 0, donc un vn → ``′.

La suite (|un |) converge vers |`| > 0 donc à partir d’un certain rang on a |un | > |`|2 > 0, donc un 6= 0 et alors :

| 1un

− 1` | = |`−un |

|ùn | < 2|`−un |`2 , or cette deuxième suite tend vers 0, donc 1

un→ 1

` .

4) Convergence et relation d’ordre



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Suites ayant une limite infinie Chapitre 9 : Suites numériques

Soient u, v et w trois suites réelles. Si u converge vers `, v converge vers `′, et si à partir d’un certainrang on a un 6 vn , alors `6 `′ (c’est le théorème du passage à la limite).

Théorème 9.3

Preuve : Supposons `> `′, alors il existe α ∈]`′,`[ donc à partir d’un certain rang on doit avoir un > α et vn < α ce qui estcontradictoire, donc `6 `′.

Remarque 9.6 – Pour le passage à la limite on peut avoir un < vn et `= `′, par exemple en prenant un = 1− 1n

et vn = 1+ 1n , donc dans un passage à la limite les inégalités deviennent larges.

Soient u, v et w trois suites réelles. Si u et v convergent vers ` et si à partir d’un certain rang on aun 6wn 6 vn , alors w converge vers ` (c’est le théorème des gendarmes ou de l’étau).

Théorème 9.4

Preuve : Soit ε> 0, il existe un entier N à partir duquel on a un 6wn 6 vn avec un , vn ∈]`−ε,`+ε[, donc wn ∈]`−ε,`+ε[à partir du rang N, donc wn → `.

Soient u et v deux suites réelles. Si u converge vers 0 et si v est bornée, alors limu × v = 0.Théorème 9.5

Preuve : Il existe un réel positif M tel que |vn |6M pour tout n, d’où |un vn |6M|un |, c’est à dire−M|un |6 un vn 6M|un |,on peut donc conclure que un vn → 0.

Déterminer la limite des suites (si elle existe) :

ZExemples :

– an = sin(n)n bn = n

2n+(−1)n cn =n∑

k=1

1n+pk

dn = n −pn

– en = n3−1n2+1 fn =

pn2 +n +1−n gn = (

1+ 1n

)n

5) Caractérisations séquentielles

Soit A une partie non vide de R et soit M ∈R, on a :M est la borne supérieure (inférieure) de A si et seulement si M majore (minore) A et il existe une suited’éléments de A qui converge vers M.

Théorème 9.6 (caractérisation séquentielle de la borne supérieure)

Preuve : Si M = sup A, alors pour tout n ∈N, ∃an ∈ A tel que M− 1n+1 < an car M− 1

n+1 ne majore pas A, la suite (an)

ainsi construite converge vers M car M− 1n+1 < an 6M.

Si M majore A et qu’il existe une suite (an) de A qui converge vers M, alors pour tout ε> 0, à partir d’un certain rangN on a M−ε< an , donc M−ε ne majore pas A, M est donc le plus petit majrant de A.

Soit A une partie non vide de R, A est dense dans R si et seulement si pour tout réel x il existe unesuite d’éléments de A qui converge vers x.

Théorème 9.7 (caractérisation séquentielle de la densité)


III SUITES AYANT UNE LIMITE INFINIE

1) Définition



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Suites ayant une limite infinie Chapitre 9 : Suites numériques

Soit u une suite réelle :– on dit que u admet comme limite +∞ lorsque un peut être aussi grand que l’on veut pourvu que n

soit assez grand, c’est à dire : ∀ A ∈R,∃ N ∈N,∀ n ∈N,n>N =⇒ un > A.Notation : limu =+∞ ou limun =+∞ ou un →+∞.

– on dit que u admet comme limite −∞ lorsque un peut être aussi petit que l’on veut pourvu que nsoit assez grand, c’est à dire : ∀ A ∈R,∃ N ∈N,∀ n ∈N,n>N =⇒ un < A.Notation : limu =−∞ ou limun =−∞ ou un →−∞.

Définition 9.4

Remarque 9.7 –– Si un →+∞ alors u n’est pas majorée.– Si un →−∞ alors u n’est pas minorée.– On a l’équivalence : limun =−∞⇐⇒ lim−un =+∞.

ZExemple : Si q > 1 alors lim qn =+∞.

Comme pour les suites convergentes, on peut montrer :– Si u admet une limite infinie, alors toutes les suites extraites de u ont la même limite que u.– Si u2n →+∞ et u2n+1 →+∞, alors un →+∞.

2) Limite infinie et ordre

Soient u et v deux suites réelles :– Si limu =+∞ et si à partir d’un certain rang on a un 6 vn , alors lim v =+∞.– Si lim v =−∞ et si un 6 vn à partir d’un certain rang, alors limu =−∞.– Si limu =+∞ (respectivement −∞) et si v est minorée (respectivement majorée), alors limu +v =

+∞ (respectivement −∞).

Théorème 9.8

Preuve : Pour le premier point : il existe un entier N1 à partir duquel on a un 6 vn , soit A un réel, il existe un entier N2 àpartir duquel on a A < un , donc si n>max(N1,N2) alors A < vn , donc vn →+∞.

Pour le deuxième point : on peut appliquer le précédent aux suites −u et −v .Pour le troisième point : supposons un →+∞ et v minorée par un réel m, alors pour tout entier n on a m +un 6

un +vn , or la suite (m+un) tend vers +∞, on peut donc appliquer le premier point, i.e. un +vn →+∞. Dans l’autre cason peut raisonner sur les suites −u et −v .

3) Limite infinie et opérations

Soient u et v deux suites de limites respectives ` et `′ dans R, et soit λ ∈R.– limu + v = `+`′ sauf si `=+∞ et `′ =−∞ (ou l’inverse).– limλu = λ` (si λ= 0 alors la suite λu est nulle).– limu × v = ``′ sauf si `= 0 et `′ =±∞ (ou l’inverse).– Si à partir d’un certain rang la suite u ne s’annule pas, alors la suite 1

u :

tend vers 1` si ` ∈R∗

tend vers 0 si `=±∞tend vers +∞ si `= 0 et u > 0tend vers −∞ si `= 0 et u < 0

n’a pas de limite dans les autres cas

.

Théorème 9.9



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Théorèmes d’existence d’une limite Chapitre 9 : Suites numériques

Preuve : Pour la somme : prenons par exemple le cas ` ∈R et `′ =+∞, la suite un est minorée par un certain réel m (carconvergente) d’après le paragraphe précédent, un + vn →+∞. Les autres cas non indéterminés se ramènent à celui-ci.Pour la forme indéterminée, on peut considérer les exemples suivants : (n + (−n +a)) qui converge, (n + (−n

2 )) qui tendvers +∞, (n + (−2n)) qui tend vers −∞, et (n + (−n + (−1)n)) qui n’a pas de limite.

Pour λu : il suffit de considérer le cas λ> 0 et un →+∞ (laissé en exercice). Les autres cas se ramènent à celui-ci.Pour le produit : prenons par exemple le cas où ` est un réel strictement positif et `′ = +∞, alors à partir d’un

certain rang, on a vn > 0 et un > `′2 >0, d’où un vn > vn

`′2 , or vn

`′2 tend vers +∞, et donc un vn aussi. Les autres cas non

indéterminés se ramènent à celui-ci. Pour la forme indéterminée, on peut considérer les exemples suivants : ( 1n × a

n )

qui converge, ( 1n × 1p

n) qui tend vers +∞, ( 1

n × −11

pn) qui tend vers −∞, et ( 1

n × (−1)n

n ) qui n’a pas de limite.

Pour l’inverse : supposons que ` = 0 et u > 0, soit A un réel et ε = 11+|A| , il existe un entier N à partir duquel on

a |un | < ε, c’est à dire en fait, 0 < un < ε et donc A < 1+ |A| = 1ε < 1

un, par conséquent 1

un→+∞. Les autres cas non

indéterminés se ramènent à celui-ci. Pour terminer prenons la suite un = (−1)n

n , son inverse est la suite ((−1)nn) et cettesuite n’a pas de limite (distinguer les termes de rangs pairs et les termes de rangs impairs).

IV THÉORÈMES D’EXISTENCE D’UNE LIMITE

1) Suites monotones

Si u est une suite croissante majorée (respectivement décroissante minorée), alors (un) converge verssupn∈N

un (respectivement vers infn∈N

un).

Si u est une suite croissante non majorée (respectivement décroissante non minorée), alors (un) tendvers +∞ (respectivement vers −∞).

Théorème 9.10

Preuve : Supposons u croissante majorée, soit `= supn∈N

un , et soit ε> 0, alors il existe un entier N tel que uN > `−ε (car

`−ε ne majore pas la suite). Si n>N alors, la suite étant croissante, `−ε< uN6 un 6 `< `+ε et donc |un −`| < ε, cequi prouve que un → `.

Lorsque u est croissante non majorée : soit A un réel, alors il existe un entier N tel que uN > A (A ne majore pas lasuite), si n>N alors A < uN6 un , donc un →+∞.

Conséquences :

a) Si (un) est croissante majorée, alors un → ` = supun ∈ R et donc ∀ n ∈ N,un 6 `. En fait si u eststrictement croissante, alors ∀ n ∈ N,un < ` (car s’il y avait l’égalité au rang N, alors la suite seraitconstante à partir de l’indice N).

b) Si (un) est décroissante minorée, alors un → ` = infun ∈ R et donc ∀ n ∈ N,un > `. En fait si u eststrictement décroissante, alors ∀ n ∈N,un > ` (car s’il y avait l’égalité au rang N, alors la suite seraitconstante à partir de l’indice N).

c) Une suite monotone est donc convergente si et seulement si elle est bornée.

ZExemples :

– Soit u la suite définie par : un =n∑

k=1

1k2 . Cette suite est croissante (un+1 −un > 0), en remarquant que

pour k > 2 on a 1k2 < 1

k(k−1) = 1k − 1

k−1 , on voit que un < 2, la suite u est donc convergente (de limite π2

6 ).– Soit v la suite définie par v0 = 1 et ∀ n ∈N, vn+1 = sin(vn). Il s’agit d’une suite récurrente, la représenta-

tion graphique des premiers termes suggère que la suite est décroissante minorée par 0, ce qui est facileà vérifier par récurrence. La suite v est donc convergente de limite `, la fonction sinus étant continue,on a sin(vn) → sin(`), c’est à dire vn+1 → sin(`), donc `= sin(`). L’étude de la fonction x 7→ sin(x)− xmontre que l’unique solution de sin(x) = x est 0, donc `= 0, i.e. vn → 0

2) Suites adjacentes



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Comparaison des suites Chapitre 9 : Suites numériques

Soient u et v deux suites, on dit qu’elles sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre décrois-sante et limun − vn = 0.

Définition 9.5

ZExemple : Soient u et v les suites définies par : un =n∑

k=0

1k ! et vn = un + 1

n×n! , ces deux suites sont adjacentes.

Deux suites adjacentes sont nécessairement convergentes et convergent vers la même limite.Théorème 9.11

Preuve : Supposons u croissante, v décroissante, et limun − vn = 0. Soit wn = vn −un , alors wn+1 −wn = (vn+1 − vn)−(un+1 −un)6 0, donc la suite w est décroissante, or lim wn = 0, donc ∀ n ∈N, wn > 0, i.e. un 6 vn . Mais alors u estmajorée par v0 et v est minorée par u0, donc u et v sont convergentes : un → ` et vn → `′, par conséquent wn → `′−`,or wn → 0, donc `= `′.

3) Le théorème de BOLZANO - WEIERSTRASS

Si u est une suite réelle bornée, alors on peut en extraire une suite convergente.Théorème 9.12 (de Bolzano 2- Weierstrass 3.)

Preuve : On applique le principe de dichotomie : il existe a0 < b0 deux réels tels que ∀ n ∈N,un ∈ [a0;b0]. On poseI0 = [a0;b0] et σ(0) = 0. On coupe cet intervalle en deux, soit I′0 = [a0; a0+b0

2 ] et I′′0 = [ a0+b02 ;b0], si n ∈ N / un ∈ I′0

est infini alors on pose I1 = I′0, sinon on pose I1 = I′′0 . On alors un nouveau segment I1 = [a1;b1] inclus dans I0 avec

b1 −a1 = b−a2 et n ∈N / un ∈ I1 infini. On peut donc choisir n1 > 0 tel que un1 ∈ I1, on pose σ(1) = n1. On recommence

de la même façon avec I1 ...On construit ainsi une suite de segments In = [an ;bn], emboîtés (In+1 ⊂ In), tels que bn −an = b−a

2n , et une applica-tion σ :N→N strictement croissante telles que pour tout n, et uσ(n) ∈ In , c’est à dire an 6 uσ(n)6 bn . Or les suites (an)et (bn) sont adjacentes, elles convergent donc vers une même limite `, et donc par le théorème des gendarmes, on auσ(n) → ` : on a donc construit une suite extraite convergente.

V COMPARAISON DES SUITES

1) Définitions

Soient (un), (vn) et (εn) trois suites telles qu’à partir d’un certain rang un = vnεn . On dit que :– un est dominée par vn lorsque la suite (εn) est bornée. Notation : un = O(vn).

– un est négligeable devant vn lorsque εn → 0. Notation : un = o(vn).

– un est équivalente à vn lorsque εn → 1. Notation : un ∼ vn .

Définition 9.6

Lorsque la suite v ne s’annule pas à partir d’un certain rang :– un = O(vn) si et seulement si la suite u

v est bornée.

– un = o(vn) si et seulement si lim unvn

= 0.

– un ∼ vn si et seulement si lim unvn

= 1.

Théorème 9.13 (Caractérisations)


ZExemple : n = o(n2

); n

n2+1 ∼ 1n ; n sin(n) = O(n).

3. BOLZANO Bernhard (1781 – 1848) : mathématicien et philosophe tchèque.3. WEIERSTRASS Karl (1815 – 1897) : mathématicien allemand parfois surnommé le père de l’analyse moderne



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Comparaison des suites Chapitre 9 : Suites numériques

Remarque 9.8 –– un = O(1) signifie que la suite (un) est bornée [donc O(vn) = vn ×O(1)].

– un = o(1) signifie que un → 0 [donc o(vn) = vn ×o(1)].

– Si un = o(vn) alors un = O(vn).

– Si un ∼ vn alors un = O(vn).

– Si un = o(vn) et vn = o(wn), alors un = o(wn) (transitivité).

– Si un = O(vn) et vn = O(wn), alors un = O(wn) (transitivité).

– un ∼ vn ⇐⇒ un − vn = o(vn).

La relation « ... est équivalente à ... » est une relation d’équivalence dans F (N,R), c’est à dire qu’elleest réflexive, symétrique et transitive. De plus :– Si ` ∈R et si un ∼ ` alors un → ` (réciproque vraie lorsque ` ∈R∗).– Si un = o(vn) alors un + vn ∼ vn .

Théorème 9.14


2) Les exemples classiques

Soient α,β ∈]0;+∞[ :– Si α< β alors nα = o

(nβ

)et 1

nβ = o( 1

nα

).

– [ln(n)]α = o(nβ

).

– nα = o(enβ

)et nα = o

(enβ

).

– ∀ a ∈R, an = o(n!) et donc nα = o(n!).

– n! = o(nn).

Théorème 9.15 (des croissances comparées)

Preuve : Pour l’avant dernier point avec a 6= 0 : on pose un = |a|nn! , alors un+1

un= |a|

n+1 612 à partir d’un certain rang N, d’où

pour n>N, 06 un 6 uN1

2n−N et donc un → 0.

Pour le dernier point : Soit un = n!nn alors 06 un 6 1

n (en écrivant que kn 6 1 pour k > 1).

Soit (un) une suite de limite nulle, alors ;• Si f : ]−a; a[→ R (où a > 0) est dérivable en 0, et si f ′(0) 6= 0, alors pour toute suite (un) de limitenulle, on a f (un)− f (0) ∼ f ′(0)un .• sin(un) ∼ un ; eun −1 ∼ un ; ln(1+un) ∼ un ; tan(un) ∼ un ; (1+un)α−1 ∼ αun ;• 1−cos(un) ∼ 1

2 u2n .

• Soit P(x) =p∑

k=0ak xk une fonction polynomiale avec ap 6= 0, alors P(n) ∼ ap np (équivalence avec le

terme de plus haut degré).• Soit Q(x) = P(x)

R(x) une fraction rationnelle avec ap xp le terme de plus haut degré de P (ap 6= 0) et br xr

celui de R (br 6= 0), alors Q(n) ∼ ap

brnp−r (équivalence avec le rapport des termes de plus haut degré).

Théorème 9.16 (les équivalents usuels)

Preuve : Si f est une fonction dérivable en 0, alors il existe une fonction ε de limite nulle en 0 telle que : f (x)− f (0) =x f ′(0)+ xε(x), si f ′(0) 6= 0 alors pour n assez grand on aura f (un)− f (0) = un f ′(0)[1+ ε(un )

f ′(0) ], ce qui entraîne que

f (un)− f (0) ∼ un f ′(0) car un → 0.

3) Propriétés



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Extension aux suites complexes Chapitre 9 : Suites numériques

Soient u et v deux suites,– Si un ∼ vn et si lim vn = ` ∈R, alors limun = `.– Si un ∼ vn et si an ∼ bn , alors un an ∼ vnbn (compatibilité avec la multiplication).– Si un ∼ vn et si v ne s’annule pas à partir d’un certain rang, alors 1

un∼ 1

vn(compatibilité avec le

passage à l’inverse).

Théorème 9.17

Preuve : Celle - ci découle directement de la définition.

Il n’y a pas compatibilité avec l’addition en général, par exemple : n + sin( 1n ) ∼ n et −n ∼ 1−n, mais sin( 1

n ) n’estpas équivalent à 1.Ces propriétés sont utiles pour les calculs de limites qui ne peuvent pas être faits directement : on essaie de seramener à un équivalent plus simple (s’il y en a ...) dont on sait calculer la limite.

Attention!

ZExemples :– Soit un =

pn2 −n −n, alors un = n[(1−1/n)1/2 −1] ∼ n[−1

2n ] =−1/2, donc un →−1/2.

– Soit un = n2−en

n!+n4 , on a n2 = o(en) donc n2 − en ∼ −en , d’autre part n4 = o(n!) donc n!+ en ∼ n!, d’où

un ∼− en

n! , mais en = o(n!), donc un → 0.

On a n! ∼ nne−np

2πn.

Théorème 9.18 (équivalent de Stirling)

VI EXTENSION AUX SUITES COMPLEXES

1) Définitions

On adopte la même définition et les mêmes notations que pour les suites réelles, une suite complexe estdonc une application u :N→C, l’ensemble des suites complexes est F (N,C).

– Si u est une suite complexe, on pose pour tout entier n, an = Re(un) et bn = Im(un), alors les suitesa et b sont des suites réelles, avec un = an + i bn . La suite a est appelée partie réelle de u et notéea = Re(u), la suite b est appelée partie imaginaire de u et notée Im(u). Par exemple, si θ ∈R, la partieréelle que la suite (e i nθ) est la suite (cos(nθ)), et sa partie imaginaire est la suite (sin(nθ)).

– La suite conjuguée de u est notée u et définie par un = an − i bn .

– La suite module de u est notée |u| est définie par |u|n = |un | =√

a2n +b2

n .– Soit σ :N→N une application strictement croissante, la suite (uσ(n)) est appelée suite extraite de u et

on a uσ(n) = aσ(n) + i bσ(n).– On dit que la suite complexe u est bornée lorsque sa partie réelle a et sa partie imaginaire b sont des

suites réelles bornées. Ceci revient à dire que la suite |u| est majorée.– On définit dans F (N,C) les mêmes opérations que pour les suites réelles : addition, multiplication

et produit par un complexe. On trouve de même que (F (N,C),+,×) est un anneau commutatif nonintègre.

2) Convergence

Soit u une suite complexe, et soit ` un complexe. On dira que la suite u converge vers ` lorsque lasuite (|un −`|)n∈N tend vers 0, c’est à dire :

∀ε> 0,∃N ∈N,∀n ∈N,n>N =⇒ |un −`| < ε.

Définition 9.7



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NTA

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E

Extension aux suites complexes Chapitre 9 : Suites numériques

ZExemple : Soit un = e i nθ

n , alors |un | = 1n → 0 donc u converge vers 0.

3) Propriétés

Soit u une suite complexe et ` un complexe, alors la suite u converge vers ` si et seulement si la suite(Re(un)) converge vers Re(`) et la suite (Im(un)) converge vers Im(`).

Théorème 9.19

Preuve : Notons un = an + i bn et ` = α+ iβ, (formes algébriques). Supposons que an → α et bn → β, alors |un − `| =√(an −α)2 + (bn −β)2 qui tend donc vers 0, donc u converge vers `.

Réciproquement, si u converge vers `, on a |an −α| 6 |un − `| et |bn −β| 6 |un − `|, or |un − `| tend vers 0, parconséquent an → α et bn → β.

Connaissant les propriétés de suites réelles convergentes, on peut en déduire celles des suites complexesconvergentes en raisonnant sur les parties réelles et imaginaires :

– Toute suite convergente est bornée.– Si u converge vers ` ∈C, alors toute suite extraite de u converge vers `.– Si u converge vers ` ∈C et v converge vers `′ ∈C, alors u + v → `+`′, uv → ``′ et ∀ λ ∈C,λu → λ`.– Si u → ` ∈C∗, alors à partir d’un certain rang un 6= 0 et 1

u → 1` .

– Si u converge vers ` ∈C, alors la suite u converge vers ` et la suite |u| converge vers |`|.– Si u est bornée alors on peut en extraire une suite convergente (Bolzano - Weierstrass).

Remarque 9.9 – Si un → ` dans C, et si u est à valeurs réelles, alors la suite (bn) est la suite nulle, or bn → Im(`),donc Im(`) = 0, c’est à dire ` ∈R.

FExercice 9.2 Étude de la suite (un = e i nθ).

Solution 9.2 C’est une suite géométrique de raison e iθ. Si θ= 0 (2π), alors la suite est constante égale à 1, donc un → 1.

Si θ 6= 0 (2π), supposons que un → ` ∈C, alors |un |→ |`|, or |un | = 1, donc |`| = 1. D’autre part, un+1 = e iθun , par passage

à la limite, on a `= è iθ, or ` 6= 0 (car |`| = 1), donc e iθ = 1 ce qui est absurde, par conséquent si θ 6= 0 (2π), la suite (un)

est divergente.



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EChapitre 10

Arithmétique

SommaireI Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1) La propriété fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902) La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913) Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914) Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

II Éléments premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931) Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932) Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

III Le plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953) Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

IV Le plus petit multiple commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

V Nombres premiers, décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972) Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993) Notion de valuation p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

I DIVISIBILITÉ

1) La propriété fondamentale

Toute partie de Z non vide et minorée admet un plus petit élément.Théorème 10.1

Preuve : Soit A une partie deZ non vide et minorée par un entier n0. Soit M l’ensemble des minorants de A, on a n0 ∈ M,supposons que n ∈ M =⇒ n+1 ∈ M, alors d’après le principe de récurrence, ∀ n ∈Z,n> n0 =⇒ n ∈ M. Soit p ∈ A, p > n0,donc p +1 ∈ M ce qui entraîne que p +16 p : absurde, donc il existe un entier n1 tel que n1 ∈ M et n1 +1 ∉ M, maisalors il existe un élément p1 de A tel que p1 < n1 +1, d’où n1 6 p1 < n1 +1, ce qui entraîne p1 = n1, et donc n1 ∈ A,nécessairement n1 est le plus petit élément de A.

• Toute partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément. En effet, si A est non videmajorée, alors −A = −a / a ∈ A est non vide minorée, donc −A admet un plus petit élément −n0, cequi signifie que n0 est le plus grand élément de A.• Toute partie non vide de N admet un plus petit élément (propriété fondamentale de N). En effet,

À retenir



MO

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E

Divisibilité Chapitre 10 : Arithmétique

une partie non vide deN est une partie non vide de Zminorée par 0.

2) La division euclidienne

Soient a ∈Z et b ∈Z∗, il existe un unique couple d’entiers (q,r ) tel que a = bq + r avec 06 r < |b|, qest appelé le quotient, et r le reste.

Théorème 10.2

Preuve : Supposons b > 0 : soit B = b(n +1) / n ∈Z, alors B est non majoré et non minoré, donc il existe un entier n1

tel que a < b(n1 +1) et il existe un entier n2 tel que b(n2 +1) < a. Soit A = n ∈ Z / a < b(n +1), alors A est non vide(n1 ∈ A) et minoré par n2, donc A admet un plus petit élément q , d’où bq 6 a < b(q +1), en posant r = a −bq , on aa = bq + r et 06 r 0, il existe un entier q et un entier r tels que a = (−b)q + r =b(−q)+ r avec 06 r <−b = |b|.

Montrons l’unicité : si a = bq +r = bq ′+r ′ avec 06 r < |b| et 06 r ′ < |b|, alors |r −r ′| = |bq ′−bq| = |b||q ′−q| < |b|,d’où q ′ = q (ce sont des entiers) et donc r ′ = r .

Soient a,b ∈Z, on dit que b divise a lorsqu’il existe k ∈Z tel que a = bk. Notation : b|a.

Définition 10.1

Remarque 10.1 – On a ainsi défini une relation dans Z, elle est réflexive, non symétrique, non antisymétrique,et transitive.

Soient a,b ∈Z avec b 6= 0, alors b|a ssi le reste dans la division euclidienne de a par b est nul.Théorème 10.3


Notation : Soit n ∈Z, on note nZ l’ensemble des multiples de n : nZ= kn / k ∈Z.On vérifie facilement la propriété suivante :(aZ,+) est un groupe commutatif et ∀b ∈Z,∀u ∈ aZ,bu ∈ aZ. On dit que aZ est un idéal de Z.

FExercice 10.1 Montrer que aZ+bZ et (aZ)∩ (bZ) sont également des idéaux de Z.

• b | a ⇐⇒ a ∈ bZ.• Si a 6= 0, alors b | a =⇒ |b|6 |a|.• (a | b et b | a) ⇐⇒ aZ= bZ⇐⇒ a = λb avec λ=±1 [on dit que a et b sont associés].• Si b | a et b | c alors ∀ u, v ∈Z,b | au + cv .• Si nb | na et si n 6= 0, alors b | a.

Théorème 10.4

3) Congruences

Soient a,b,n ∈Z, on dit que a est congru à b modulo n lorsque n | a −b. Notation : a ≡ b (mod n).

Définition 10.2 (congruences)

• La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence.• Soient a,b,c,d ,n ∈Z, si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n) alors :

ac ≡ bd (mod n) et a + c ≡ b +d (mod n).On dit que la relation de congruence est compatible avec les opérations.

Théorème 10.5



MO

NTA

IGN

E

Divisibilité Chapitre 10 : Arithmétique


ZExemple : Dans Z, si n = a0+10a1+·· ·+10p ap (écriture décimale) alors n ≡ a0+·· ·+ap (mod 3) car 10k ≡ 1(mod 3)

4) Diviseurs communs

Pour a ∈Z, on note Da l’ensemble des diviseurs de a. Si a,b ∈Z, on note Da,b l’ensemble des diviseurscommuns à a et b, on a donc Da,b = Da ∩Db , cet ensemble contient toujours ±1.

Définition 10.3 (diviseurs communs)

Remarque 10.2 –– Pour tout élément a ∈Z, ±1 | a.– Si a 6= 0, alors Da est un ensemble fini, plus précisément Db ⊂ J−|a|; |a|K.– D0 =Z, D±1 = ±1.– Si a et b sont non nuls : Da = D|a| (on en déduit que Da,b = D|a|,|b|).

Soient a,b, q,r ∈Z, si a = bq + r , alors Da,b = Db,r .Théorème 10.6

Preuve : Si d ∈ Da,b , alors d | a et d | b donc d | a −bq i.e. d | r , donc d ∈ Db,r .Réciproquement, si d ∈ Db,r , alors d | b et d | r donc d | bq + r i.e. d | a, d’où d ∈ Da,b .

Application – Le théorème ci-dessus fournit un algorithme pour la recherche des diviseurs communs à a et b basé surla division euclidienne : c’est l’algorithme d’Euclide 1, voici son principe :

On remarque que si b = 0 alors Da,b = Da . On peut supposer désormais que b 6= 0 et on cherche à calculerD = Da,b :

Étape 1 : on effectue la division euclidienne de a par b : a = bq1 + r1 avec 06 r1 < b. On a D = Db,r1 , doncsi r1 = 0 alors D = Db , sinon on passe à l’étape 2 :

Étape 2 : on effectue la division euclidienne de b par r1 : b = r1q2 + r2 avec 06 r2 < r1. On a D = Dr1,r2 ,donc si r2 = 0 alors D = Dr1 , sinon on passe à l’étape 3 :

Étape 3 : on effectue la division euclidienne de r1 par r2 : r1 = r2q3 + r3 avec 06 r3 < r2. On a D = Dr2,r3 ,donc si r3 = 0 alors D = Dr2 , sinon on passe à l’étape 4...

La suite des restes obtenus est une suite strictement décroissante d’entiers positifs, elle est donc néces-sairement finie, i.e. il existe un entier n > 1 tel que rn = 0, l’ensemble cherché est donc D = Drn−1 (avec laconvention r0 = b).

Da,b est l’ensemble des diviseurs du dernier reste non nul.

À retenir

1. EUCLIDE (300 av. J.C. – 275 av. J.C. environ) : on ne sait pratiquement rien de sa vie, il était vraisemblablement grec. Sonœuvre est colossale et son ouvrage fondamental « Les éléments » regroupe toutes les connaissances de l’époque, il faudra près devingt siècles pour dépasser son œuvre.



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E

Éléments premiers entre eux Chapitre 10 : Arithmétique

ZExemple : Cherchons les diviseurs communs à a = 336 et b = 210– on effectue la division de a par b : 336 = 1×210+126, donc Da,b = D210,126.– on effectue la division de 210 par 126 : 210 = 1×126+84, donc Da,b = D210,126 = D126,84.– on effectue la division de 126 par 84 : 126 = 1×84+42, donc Da,b = D84,42.– on effectue la division de 84 par 42 : 84 = 2×42+0, donc Da,b = D42,0 = D42, c’est à dire :

D336,210 = ±1,±2,±3,±6,±7,±14,±21,±42.

II ÉLÉMENTS PREMIERS ENTRE EUX

1) Théorème de Bézout

Soient a,b ∈ Z, on dit que a et b sont premiers entre eux (ou a est premier avec b) lorsque le seuldiviseur commun positif est 1, i.e. Da,b = ±1.

Définition 10.4

Remarque 10.3 –– Dire que a est premier avec b revient à dire que le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide est 1.– Si a est premier avec b, alors au moins un des deux est non nul (sinon l’ensemble des diviseurs communs

est Z).– a est premier avec a si et seulement si a ±1.

Soient a,b ∈ Z, alors a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u, v ∈ Z tels queau +bv = 1. Les entiers u et v sont appelés coefficients de Bézout (non uniques en général).

Théorème 10.7 (théorème de Bézout 2)

Preuve : Supposons que u et v existent et soit d un diviseur commun à a et b, alors d | a et d | b, donc d | au +bv i.e.d | 1, donc d =±1 ce qui prouve que a et b sont premiers entre eux.

Réciproquement : si a est premier avec b. En appliquant l’algorithme d’Euclide on vérifie qu’à chaque étape lereste rk peut se mettre sous la forme rk = a.uk +b.vk avec uk et vk dans Z (récurrence) (algorithme d’Euclide étendu),comme le dernier reste non nul est 1, il existe bien u et v dans Z tels que 1 = au +bv (de plus on sait les calculer !).

ZExemple : ∀ n ∈Z,n et n +1 sont premiers entre eux, puisque n +1−n = 1.

2) Conséquences

Si a est premier avec b et si a est premier avec c, alors a est premier avec le produit bc. On en déduitque si a est premier avec c1, . . . ,cn , alors a est premier avec le produit c1 × . . .× cn .

Théorème 10.8

Preuve : Il existe u, v ∈Z tels que au +bv = 1, il existe p, q ∈Z tels que ap + cq = 1. On effectue le produit de ces deuxrelations, ce qui donne a(ucq +uap +pbv)+bc(vq) = 1, d’après le théorème de Bézout, a et bc sont premiers entreeux. Une simple récurrence sur n permet de démontrer la généralisation.

Si a est premier avec c, si a | b et si c | b, alors ac | b.Théorème 10.9

Preuve : Il existe u, v ∈Z tels que au+cv = 1, on multiplie par b, ce qui donne : bau+bcv = b, or c | b donc ac | bau, eta | b donc ac | bcv , ce qui entraîne ac | bau +bcv i.e. ac | b.

Remarquons que ce théorème est faux lorsque a et c ne sont pas premiers entre eux, par exemple : 2 | 12 et 4 | 12mais 2×4 = 8 6 |12.

2. BÉZOUT Étienne(1730 – 1783) : mathématicien français, l’un des précurseurs de la géométrie algébrique.



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E

Le plus grand diviseur commun Chapitre 10 : Arithmétique

Si a | bc et si a est premier avec c, alors a | b.Théorème 10.10 (théorème de Gauss)

Preuve : Il existe u, v ∈Z tels que au+cv = 1, on multiplie par b, ce qui donne bau+bvc = b, or a | bc donc a | bau+bcv ,i.e. a | b.

FExercice 10.2 Résoudre dans Z l’équation 17x +12y = 3.

Solution 10.2 a = 17 et b = 12 sont premiers entre eux : a = b ×1+5 d’où r1 = 5 = a −b

b = r1 ×2+2, d’où r2 = 2 = b −2r1 = b −2(a −b) =−2a +3b

r1 = r2 ×2+1, d’où r3 = 1 = r1 −2r2 = a −b +4a −6b = 5a −7b

On a ainsi une relation de Bézout entre a et b, on en déduit une solution particulière en multipliant par 3 : 15a−21b = 3,

donc (x0 = 15, y0 = −21) est une solution particulière. L’équation équivaut alors à a(x − x0) = b(y0 − y), d’après le

théorème de Gauss, a et b étant premiers entre eux, on a b | x − x0 et a | y0 − y , i.e. x = x0 +bk et y = y0 −bk ′, en

reportant dans la relation on voit que k = k ′ et donc les solutions sont les couples : (x0 +bk, y0 −ak) avec k ∈Z.

III LE PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN

1) Définition

Soient a,b ∈Z non tous deux nuls (i.e. a 6= 0 ou b 6= 0), on sait que Da,b = Dr où r est le dernier reste nonnul dans l’algorithme d’Euclide, on voit que les diviseurs communs à a et b ont une valeur absolue inférieureou égale à celle de r et donc r est le plus grand diviseur commun.

Soient a,b ∈ Z non tous deux nuls, on appelle pgcd de a et de b le plus grand diviseur commun.Notation : pgcd(a,b) ou a ∧b, c’est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.

Définition 10.5

Remarque 10.4 – Il en découle que deux éléments a et b de Z, non tous deux nuls, sont premiers entre eux si etseulement si pgcd(a,b) = 1.

Soient a,b ∈Z non tous deux nuls, et d = pgcd(a,b), alors d est l’unique élément positif dans Z telque aZ+bZ= dZ.

Théorème 10.11

Preuve : Unicité : si dZ= d ′Z alors d et d ′ sont associés, mais comme ils sont positifs, on a d = d ′.Égalité : dans l’algorithme d’Euclide étendu, il existe u et v dans Z tel que au + bv = d , ce qui entraine que

dZ⊂ aZ+bZ. Si r ∈ aZ+bZ, alors d est diviseur de r donc aZ+bZ⊂ dZ, d’où l’égalité.

Si a,b ∈Z sont non tous deux nuls alors ∀q ∈Z,pgcd(a,b) = pgcd(a −bq,b).Théorème 10.12 (Calcul pratique d’un pgcd)

Preuve : Soit r = a −bq , on a a = bq + r et on sait alors que Da,b = Db,r , le résultat en découle.

L’algorithme d’Euclide s’écrit ainsi en python pour a et b positifs :

1 def pgcd(a,b):2 A=a3 B=b4 R=b5 while R!=0:6 R=A%B7 A=B8 B=R9 return A #dernier reste non nul

FExercice 10.3



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E

Le plus grand diviseur commun Chapitre 10 : Arithmétique

1/ Prouver la terminaison de l’algorithme.

2/ Montrer que l’on a l’invariant de boucle de boucle P(k) = « pgcd(a,b) = pgcd(Ak ,Rk ) ».

ZExemple : Soit à calculer d = pgcd(3282,1281) :– 3282 = 2×1281+720, donc d = pgcd(1281,720),– 1281 = 1×720+561, donc d = pgcd(720,561),– 720 = 1×561+159, donc d = pgcd(561,159),– 561 = 3×159+84, donc d = pgcd(159,84),– 159 = 1×84+75, donc d = pgcd(84,75),– 84 = 1×75+9, donc d = pgcd(75,9),– 75 = 8×9+3, donc d = pgcd(9,3),– 9 = 3×3+0, donc d = 3.

2) Propriétés

Soient a,b ∈Z non tous deux nuls, et soit d ∈N∗. On a alors :d = pgcd(a,b) ⇐⇒∃ u, v ∈Z premiers entre eux tels que a = du et b = d v .

Théorème 10.13 (caractérisations du pgcd)

Preuve : Si d = pgcd(a,b) alors il existe u, v ∈ Z tels que a = du et b = d v , soit k = u ∧ v , alors kd divise a et b, donc|kd |6 |d | ce qui entraîne k = 1.

Si a = du,b = d v avec u ∧ v = 1 : alors d est un diviseur commun à a et b, d’après le théorème de Bézout, il existeα,β ∈Z tels que αu +βv = 1, d’où d = αa +βb, on voit donc que tout diviseur commun à a et b est diviseur de d , doncDa,b = Dd i.e. d est le plus grand diviseur commun [d est positif ], i.e. d = a ∧b.

Soient a,b ∈Z non tous deux nuls :

a) ∀ n ∈Z, si n | a et n | b, alors n | pgcd(a,b).

b) ∀ k ∈N∗,pgcd(ka,kb) = kpgcd(a,b).

c) ∀ n ∈N,pgcd(an ,bn) = pgcd(a,b)n .

d) Si a et c sont premiers entre eux, alors pgcd(a,bc) = pgcd(a,b).

Théorème 10.14 (quelques propriétés du pgcd)

Preuve : Pour le premier point : Soit d = pgcd(a,b), alors Da,b = Dd donc tout diviseur commun à a et b est un diviseurde d .

Pour le deuxième point : soit d = pgcd(a,b), alors il existe u, v ∈Z premiers entre eux tels que a = du et b = d v ,d’où ka = kdu et kb = kd v , donc kd = pgcd(ka,kb).

Pour le troisième point : en reprenant les notations ci-dessus, an = d nun et bn = d n vn , or u et v sont premiersentre eux, donc un et vn aussi (conséquence du théorème de Bézout), par conséquent d n = pgcd(an ,bn).

Pour le dernier point : on reprend les notations ci-dessus, a = du et bc = dcv mais u | a et a est premier avec c,donc u est premier avec c, d’où u est premier avec cv , et donc d = pgcd(a,bc).

3) Généralisation

Soient a,b,c trois entiers non tous nuls, l’ensemble des diviseurs communs à a, b et c est :

Da,b,c = Da ∩Db ∩Dc = (Da ∩Db)∩Dc = Da ∩ (Db ∩Dc )

or on sait que Da ∩Db = Da∧b , donc Da,b,c = D(a∧b)∧c = Da∧(b∧c). Ces deux entiers étant strictement positifs,on a (a ∧b)∧ c = a ∧ (b ∧ c) et ce nombre est le plus grand diviseur positif commun à a, b et c. Par définitionce nombre est le pgcd de a, b et c, on le note : pgcd(a,b,c) .

Soient a,b,c trois entiers avec b non nul, alors pgcd(a,b,c) = (a ∧b)∧ c = a ∧ (b ∧ c).Théorème 10.15 (associativité du pgcd)



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IGN

E

Le plus petit multiple commun Chapitre 10 : Arithmétique

L’associativité du pgcd permet de ramener le calcul au cas de deux entiers.

À retenir

Notons d ′ = a ∧b et d = pgcd(a,b,c), alors d = d ′∧ c, donc il existe deux entiers u′ et w tels que d =d ′u′+cw , de même, il existe deux entiers α et β tels que d ′ = αa +βb, d’où en remplaçant, d = aαu′+bβu′+cw = au +bv + cw avec u, v, w ∈Z.

Réciproquement, si d est un diviseur commun positif, et si d = au+bv +cw , alors il est facile de voir quetout diviseur commun à a, b et c est un diviseur de d et donc d = pgcd(a,b,c), d’où le théorème :

Soient a,b,c trois entiers non tous nuls et d ∈N∗, alors :d = pgcd(a,b,c) ⇐⇒ d ∈ Da,b,c et ∃u, v, w ∈Z, d = au +bv + cw .

Théorème 10.16

Soient a,b,c trois entiers non tous nuls, on dira que ces trois nombres sont :• premiers entre eux dans leur ensemble lorsque pgcd(a,b,c) = 1.• premiers entre eux deux à deux lorsque pgcd(a,b) = pgcd(b,c) = pgcd(a,c) = 1.

Définition 10.6

Les deux notions ne sont pas équivalentes, la deuxième entraîne la première mais la réciproque est fausse commele montre l’exemple suivant :

pgcd(6,15,20) = 1 mais pgcd(6,15) = 3, pgcd(6,20) = 2 et pgcd(15,20) = 5.

Attention!

Il découle du théorème précédent :

Soient a,b,c trois entiers non tous nuls, alors a, b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble siet seulement si :

∃u, v, w ∈Z, au +bv + cw = 1.

Théorème 10.17 (de Bézout)

Soient a,b,c trois entiers non tous nuls et d ∈N∗, alors :d = pgcd(a,b,c) ⇐⇒∃u, v, w ∈Z, a = du, b = d v et c = d w avec pgcd(u, v, w) = 1.

Théorème 10.18 (caractérisation)

Preuve : Si d = pgcd(a,b,c) alors il existe ∃u, v, w ∈Z, a = du, b = d v et c = d w . Il existe également des entiers α,β et γtels que d = αa +βb +γc d’où 1 = αu +βv +γc et donc pgcd(u, v, w) = 1.

Réciproquement, si a = du, b = d v et c = d w avec pgcd(u, v, w) = 1. Il existe des entiers α,β et γ tels que 1 =αu +βv +γw , en multipliant par d il vient alors que d = αa +βb +γc, ce qui entraîne que d = pgcd(a,b,c) (car d ∈N∗et d ∈ Da,b,c ).

Remarque 10.5 – Nous avons étendu la notion de pgcd à trois entiers, mais on pourrait l’étendre de la mêmemanière à n entiers.

IV LE PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN

1) Définition



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Nombres premiers, décomposition Chapitre 10 : Arithmétique

Si a et b sont non nuls, il existe un unique élément m positif dans Z tel que (aZ)∩ (bZ) = mZ.Théorème 10.19

Preuve : aZ∩bZ contient |ab| > 0, on note m le plus petit élément strictement positif dans aZ∩bZ, alors il est facile devoir que mZ⊂ aZ∩bZ. Si p ∈ aZ∩bZ, on effectue la division de p par m, p = mq + r avec 06 r < m, d’où r = p −mq ,on vérifie alors que r est aussi dans aZ∩bZ (car a et b divisent p et m donc p −mq). Si r > 0 alors r >m car m estle plus petit élément strictement positif dans aZ∩bZ, ceci est absurde, donc r = 0 et p = mq , d’où aZ∩bZ⊂ mZ, etfinalement on a bein l’inégalité.

Si m′Z= mZ avec m′ > 0, alors m et m′ se divisent muutuellement, d’où m = m′.

Il découle de ce théorème que c est un multiple commun à a et b si et seulement si c ∈ (aZ)∩ (bZ), ce quiéquivaut à c ∈ mZ, c’est à dire m | c. Ceci entraîne en particulier : m6 |c|.

Soit a,b ∈Z, non nuls, et soit m ∈N∗, on dit que m est le ppcm de a et b lorsque (aZ)∩ (bZ) = mZ.Notation : m = ppcm(a,b) ou encore m = a ∨b.

Définition 10.7

Soient a,b ∈Z, non nuls, et soit m ∈N∗ alors :m = ppcm(a,b) ⇐⇒∃ u, v ∈Z premiers entre eux tels que m = au = bv .

Théorème 10.20 (caractérisation du ppcm)

Preuve : On suppose a,b ∈Z, non nuls.Si m = ppcm(a,b) : alors a | m et b | m. Donc il existe u, v ∈Z tels que m = au = bv , soit d = pgcd(u, v) alors il existe

α,β ∈ Z premiers entre eux tels que u = dα et v = dβ, d’où m = adα= bdβ, mais alors m′ = aα= bβ est un multiplecommun à a et b donc |m|6 |m′| ce qui entraîne d = 1.

Si ∃u, v ∈Z premiers entre eux tels que m = au = bv , alors a | m et b | m, il existe α,β tels que uα+ vβ= 1, soit m′un multiple commun non nul, alors m′ = m′uα+m′vβ, on en déduit que m | m′ et donc |m|6 |n|, ce qui prouve quem = ppcm(a,b).

2) Propriétés

Soient a,b ∈Z, non nuls :

a) ∀ n ∈Z, si a | n et b | n alors ppcm(a,b) | n.

b) Si a et b sont premiers entre eux, alors ppcm(a,b) = |ab|.c) ∀ k ∈N, non nul, ppcm(ka,kb) = kppcm(a,b).

d) ppcm(a,b)×pgcd(a,b) = |ab|.e) ∀ n ∈N,ppcm(an ,bn) = ppcm(a,b)n .

Théorème 10.21

Preuve : Pour le deuxième point : a et b sont premiers entre eux, alors ab = ba par conséquent ppcm(a,b) = ab d’aprèsle théorème précédent.

Pour le troisième point : soit m = ppcm(a,b), alors m = au = bv avec u et v premiers entre eux, d’où km = kau =kbv et donc km = ppcm(ka,kb).

Pour le quatrième point : soit m = ppcm(a,b) et d = pgcd(a,b), il existe u et v premiers entre eux tels que a = d v etb = du, or au = bv donc m = au = bv par conséquent md = adu = ab.

Pour le cinquième point : soit m = ppcm(a,b) on a m = au = bv avec u et v premiers entre eux, donc mn = anun =bn vn avec un et vn premiers entre eux, donc mn = ppcm(an ,bn).

V NOMBRES PREMIERS, DÉCOMPOSITION

1) Définition



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E


Un entier p ∈Z est dit premier lorsque p > 2, et que ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p. L’ensembledes nombres premiers est noté P .

Définition 10.8

ZExemples :– 2,3,5,7,11,13,17,19,23, . . . sont des nombres premiers.– Les nombres de Fermat 3 : Fn = 22n +1 sont premiers pour n = 0,1,2,3,4 mais pas pour n = 5.– Les nombres de Mersennes 4 : Mp = 2p −1 où p ∈ P, sont premiers pour p = 2,3,5,7,127, . . . mais pas

pour p = 11.

FExercice 10.4

1/ Montrer que si 2p +1 est un nombre premier alors p est une puissance de 2.

2/ Montrer que si 2p −1 est un nombre premier, alors p est un nombre premier.

Propriétés élémentaires :

a) Si p est premier, alors ∀n ∈Z, soit p | n, soit pgcd(n, p) = 1.Preuve : Soit d = pgcd(p,n), alors d | p donc d = 1 ou d = p, mais p ne divise pas n, donc d 6= p, i.e. d = 1.

b) Si n> 2, alors n possède au moins un diviseur premier.Preuve : Soit B = |d | / d | n et d 6= 1, alors B est une partie deN non vide (|n| ∈ B), soit p un diviseur de n avec|p| ∈ B minimal, si d | p avec d positif et d 6= 1, alors d | n et donc |d | ∈ B, d’où |d |> |p|, or d | p, donc |d |6 |p| etfinalement |d | = |p|, d’où d = p et donc p est premier.

c) L’ensemble P est infini.Preuve : Si P est fini, alors P = p1, . . . , pn, posons N = 1+p1 × . . .×pn , alors N > 1, donc N admet au moins undiviseur premier q , comme q ∈P , on a q | p1 × . . .×pn , et comme q | N, on a q | 1 ce qui est absurde, donc P estinfini.

d) Si p est premier et si p | nm, alors p | n ou p | m.Preuve : Supposons que p ne divise pas n, alors n ∉ pZ donc pgcd(p,n) = 1 et par conséquent p | m (d’après lethéorème de Gauss).

e) Si n > 1 n’a pas de diviseur autre que 1 dans l’intervalle [1;p

n], alors n est premier.Preuve : Si n est non premier alors on peut écrire n = pq avec p > 1 et q > 1. Si les deux étaient strictementsupérieurs à

pn alors on aurait pq > n ce qui est absurde, donc un des deux est dans [1;

pn]. Le résultat s’en

déduit par contraposée.

f) Si p est premier, alors ∀ k ∈ J1; p −1K , p | (pk

). On en déduit que pour tout entier a et b, on a (a +b)p ≡

ap +bp (mod p).Preuve : On a k

(pk

) = p(p−1

k−1

)qui est donc divisible par p, mais comme k ∈ J1; p −1K, p est premier avec k, par

conséquent, d’après le théorème de Gauss, p | (pk

). Pour le second point, on développe le binôme.

Compléments : Soit (pn)n>1 la suite strictement croissante des nombres premiers, la répartition de cesnombres encore aujourd’hui mal connue, cependant on a les quelques résultats suivants :

– Tout segment de la forme Jn;2nK contient au moins un nombre premier (théorème de Bertrand ).– Si a,b ∈N∗ sont premier entre eux, alors il existe une infinité de nombre premiers de la forme an +b

(théorème de Dirichlet).– pn ∼+∞ n ln(n) (théorème de Hadamard ).

Si p est un nombre premier, alors pour tout entier n on a np ≡ n (mod p). Et si n ∉ pZ, alors np−1 ≡ 1(mod p).

Théorème 10.22 (petit théorème de Fermat)

3. FERMAT Pierre De (1601 – 1665) : mathématicien amateur (éclairé !) l’un des plus féconds de son époque mais qui faisait peude démonstrations et publiait peu.

4. MERSENNES Marin (1588 – 1648) : moine français qui entretenait une correspondance suivie avec les mathématiciens de sonépoque.



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Preuve : Pour n ∈ N on fait une récurrence : la propriété est vraie au rang 0, supposons la vraie au rang n, alors(n +1)p ≡ np +1 (mod p), en appliquant l’hypothèse de récurrence, on a (n +1)p ≡ n +1 (mod p).

On remarque ensuite que (−1)p ≡−1 (mod p) car soit p = 2, soit p est premier impair, on en déduit que (−n)p ≡−n(mod p). On a donc pour tout entier n, p | np −n = n(np−1 −1), si p ne divise pas n alors p est premier avec n, doncp | np−1 −1, c’est à dire np−1 ≡ 1 (mod p).

2) Décomposition en facteurs premiers

Tout élément n ∈Z, autre que ±1, est un produit de nombres premiers. Plus précisément, il exister > 1, il existe p1, . . . , pr ∈P (distincts), il existe des entiers α1, . . . ,αr ∈N∗, il existe λ ∈ −1;1 tels que :

n = λ×pα11 ×pα2

2 × . . .×pαrr .

Théorème 10.23 (décomposition en produit de facteurs premiers)

Preuve : On a n = λ×|n| avec λ=±1. On se ramène ainsi au cas où n est positif.Par récurrence sur n : pour n = 2 il n’y a rien à montrer car 2 est premier. Supposons le théorème démontré jusqu’au

rang n> 2, alors n +1 admet au moins un diviseur premier p, donc n +1 = pk, si k = 1 alors n +1 est premier, sinon kest un produit de facteurs premiers (HR), donc n +1 aussi.

Si n ∈Z s’écrit sous la forme :n = λ×pα1

1 × . . .×pαrr =µ×qβ1

1 × . . .×qβss , avec p1, . . . , pr ∈P (distincts),α1, . . . ,αr ∈N∗, q1, . . . , qs ∈P

(distincts), β1, . . . ,βs ∈N∗, et λ,µ ∈ −1;1 alors r = s, λ=µ et il existe une permutation σ de J1;r K telleque pour i ∈ J1;r K , pi = qσ(i ),αi = βσ(i ). La décomposition est unique [à l’ordre près].

Théorème 10.24 (unicité de la décomposition)

Preuve : Si p1 ∉ q1, . . . , qs , alors p1 est premier avec q1, . . . , qs , donc p1 est premier avec qβ11 ×. . .×qβs

s , i.e. p1 est premieravec n, ce qui est absurde puisque p1 | n, donc p1 ∈ q1, . . . , qs . Finalement on a p1, . . . , pr ⊂ q1, . . . , qs et par symétrieon a l’égalité des deux ensembles, donc r = s. Quitte à permuter les indices que la famille (qi ), on peut supposer quep1 = q1, . . . , pr = qr .

Le théorème de Gauss entraîne que pαkk | pβk

k , donc αk 6 βk , par symétrie on a βk 6 αk , et donc αk = βk , ce quitermine la preuve.

3) Notion de valuation p-adique

Si n est un entier naturel non nul et p un nombre premier, alors l’ensemblek ∈N / pk | n

est non vide

(contient 0) et majoré par n (on peut montrer par récurrence que pn >n), cet ensemble admet donc unmaximum :

Soit p ∈P et n ∈N∗ on appelle valuation p-adique de n, notée vp (n), le plus grand entier k tel quepk | n. La définition s’étend à Z, en posant vp (−n) = vp (n) si n < 0 et vp (0) =+∞.

Définition 10.9

Remarque 10.6 :

– vp (n) = k ⇐⇒ pk | n et pk+1 - n ⇐⇒ ∃ q ∈N, n = pk q avec p ∧q = 1 .– vp (n) > 1 ⇐⇒ p | n, auquel cas vp (n) est la puissance de p dans la décomposition de n en facteurs

premiers.–

k ∈N / pk | n

= J0; vp (n)K.

Pour tout entier n> 2, la décomposition de n en produit de facteurs premiers s’écrit : n = ∏p∈P

pvp (n).

À retenir

En effet, seul un nombre fini de valuations sont non nulles (les autres donnent un facteur égal à 1).



MO

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∀n,m ∈Z, on a :

a) ∀p ∈P , vp (nm) = vp (n)+ vp (m).

b) ∀p ∈P , vp (n +m)>min(vp (n); vp (m)).

c) n | m ⇐⇒∀p ∈P , vp (n)6 vp (m).

d) Si n et m sont non nuls alors ∀p ∈P :

vp (n ∧m) = min(vp (n); vp (m)) et vp (n ∨m) = max(vp (n); vp (m)).


Preuve :

a) Si un des deux est nul, c’est évident. Supposons n et m non nuls, soit n = pk q avec p ∧q = 1 et m = pk ′q ′ avec

p ∧q ′ = 1, d’où nm = pk+k ′qq ′ et p ∧ (qq ′) = 1, donc vp (nm) = kk ′.

b) Si un des deux est nul, c’est évident. Supposons n et m non nuls, et avec les mêmes notations, supposons k 6 k ′,alors n +m = pk [q +pk ′−k q ′] donc vp (n +m)> k. On remarque qu’il y a égalité lorsque k 6= k ′.

c) Si m = 0 c’est évident, supposons m 6= 0 et n | m, alors pour tout premier p,k ∈N / pk | n

⊂ k ∈N / pk | m

donc vp (n)6 vp (m). La réciproque est évidente.

d) Soit d = n∧m alors vp (d)6 vp (n) et vp (d)6 vp (m), donc vp (d)6min(vp (n); vp (m)). D’autre part pmin(vp (n);vp (m))

divise n et m donc divise d d’où min(vp (n); vp (m))6 vp (d), par conséquent min(vp (n); vp (m)) = vp (d). Pourle ppcm on peut utiliser le fait que (n ∧m)(n ∨m) = |nm| et donc vp (n ∨m) = vp (nm)− vp (n ∧m) = vp (n)+vp (m)−min(vp (n); vp (m)) = max(vp (n); vp (m)).

Il découle du théorème ci-dessus que :pgcd(n,m) = ∏

p∈Ppmin(vp (n);vp (m)) et ppcm(n,m) = ∏

p∈Ppmax(vp (n);vp (m)).

À retenir : formules du pgcd et du ppcm

4) Applications

– Si n 6= ±1, alors la décomposition de n en produit de facteurs premiers permet de trouver tous lesdiviseurs de n.En effet : Si n = λ×pα1

1 × . . .×pαrr , soit d est un diviseur positif de n, si p est un diviseur premier de d ,

alors p est un diviseur premier de n, donc p ∈ p1, . . . , pr , donc d s’écrit sous la forme :

d = pβ1

1 × . . .×pβrr avec 06 βk 6 αk

– Si n,m ∉ −1;1, alors à partir de leur décomposition en produit de facteurs premiers, on peut calculerpgcd(n,m) = ∏

p∈Ppmin(vp (n);vp (m)) et ppcm(n,m) = ∏

p∈Ppmax(vp (n);vp (m)). Plus précisément :

Si n = λ×pα11 × . . .×pαr

r et m =µ×qβ1

1 × . . .×qβss , alors les diviseurs premiers communs à n et m doivent

appartenir à p1, . . . , pr ∩ q1, . . . , qs, d’où la discussion :• p1, . . . , pr ∩ q1, . . . , qs = ;, alors n et m sont premiers entre eux. i.e. pgcd(n,m) = 1 et donc

ppcm(n,m) = |nm|.• p1, . . . , pr ∩ q1, . . . , qs = v1, . . . , vt , alors quitte à changer la numérotation, on peut supposer que

p1 = q1 = v1, . . . , pt = qt = vt sont les diviseurs premiers communs à n et m.

pgcd(n,m) = vk11 × . . .× vkt

t avec ki = min(αi ,βi ) pour i ∈ J1; tK.

Et :

ppcm(n,m) = vk11 × . . .× vkt

t ×pαt+1t+1 × . . .×pαr

r ×qβt+1

t+1 × . . .×qβss

avec ki = max(αi ,βi ) pour i ∈ J1; tK.

ZExemple : 336 = 24 ×3×7 et 420 = 22 ×3×5×7, donc pgcd(336,420) = 22 ×3×7 = 84, et ppcm(336,420) =24 ×3×5×7.



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EChapitre 11

Limite d’une fonction

SommaireI Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


3) Limite à gauche, limite à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

II Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031) Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2) Limite et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3) Limite et composition des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4) Limite et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

III Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061) Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2) Les exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081) Définition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Dans ce chapitre, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle non trivial de R.

I LIMITES

1) Définition

Soit f : I → R une fonction, soit a un élément de I ou bien une extrémité de I (a ∈ R), et soit b ∈ R,intuitivement on dira que b est la limite de f (x) quand x tend vers a lorsque f (x) peut être aussi voisin quel’on veut de b pourvu que x soit suffisamment voisin de a, d’où la définition :

On dit que f admet pour limite b en a lorsque : ∀ W, voisinage de b,∃ V, voisinage de a, tel que∀ x ∈ I, x ∈ I∩V =⇒ f (x) ∈ W. Si c’est le cas, on notera :

limx→a

f (x) = b = lima

f = b, ou encore f (x) −→x→a

b.

Définition 11.1

– Si a,b ∈R : ∀ ε> 0,∃ α> 0,∀ x ∈ I, |x −a| < α=⇒ | f (x)−b| < ε.– Si a ∈R et b =+∞ : ∀ A ∈R,∃ α> 0,∀ x ∈ I, |x −a| < α=⇒ f (x) > A.– Si a ∈R et b =−∞ : ∀ A ∈R,∃ α> 0,∀ x ∈ I, |x −a| < α=⇒ f (x) < A.– Si a =+∞ et b ∈R : ∀ ε> 0,∃ A ∈R,∀ x ∈ I, x > A =⇒ | f (x)−b| < ε.– Si a =+∞ et b =+∞ : ∀ A ∈R,∃ B ∈R,∀ x ∈ I, x > B =⇒ f (x) > A.

À retenir : lima

f = b signifie



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Limites Chapitre 11 : Limite d’une fonction

– Si a =+∞ et b =−∞ : ∀ A ∈R,∃ B ∈R,∀ x ∈ I, x > B =⇒ f (x) < A.– Si a =−∞ et b ∈R : ∀ ε> 0,∃ B ∈R,∀ x ∈ I, x A.– Si a =−∞ et b =−∞ : ∀ A ∈R,∃ B ∈R,∀ x ∈ I, x B alors x2 > B2 = |A|> A

donc f (x) > A.– Soit f (x) = x2 et soit a ∈R, montrons que lim

af = a2 : soit ε> 0, |x2 −a2| = |x −a||x +a|, si |x −a| < α,

alors |x2 − a2| < α(α+ 2|a|), si on prend α = min(1; ε1+2|a|) ), alors α(α+ 2|a|) 6 α(1+ 2|a|) 6 ε, donc

∀ x ∈R, |x −a| < α=⇒ |x2 −a2| < ε.

Remarque 11.1 –

a) Si lima

f = b alors lima

| f | = |b|, mais la réciproque est fausse sauf pour b = 0.

b) Lorsque b ∈R, lima

f = b ⇐⇒ lima

| f (x)−b| = 0 ⇐⇒ lima

f (x)−b = 0.

La définition de la limite d’une suite, que nous avons vue dans un chapitre précédent, peut s’énoncerainsi en terme de voisinage :

On dit que la suite (un) admet pour limite ` ∈R lorsque :∀ W, voisinage de `,∃ N ∈N,∀ n ∈N,n>N =⇒ un ∈ W.

Définition 11.2 (Retour sur les suites)


Soit f : I →R une fonction et soit a un élément ou une extrémité de I.• Si f admet une limite en a, alors celle - ci est unique.• Si f admet une limite finie en a, alors f est bornée au voisinage de a (réciproque fausse).• Si lim

af = b et si α α).• Si lim

af = b avec a ∈ I, alors nécessairement b = f (a).

Théorème 11.1

Preuve : Pour les trois premiers points, la preuve est tout à fait analogue à celle faite pour les suites.Pour le quatrième point : tout voisinage de b doit contenir f (a), on en déduit par l’absurde que b = f (a).

lima

f = b ⇐⇒ pour toute suite (un) d’éléments de I qui tend vers a (dans R), la suite ( f (un)) tend vers

b (dans R).

Théorème 11.2 (caractérisation séquentielle de la limite)

Preuve : Supposons que lima

f = b et soit (un) une suite d’éléments de I telle que un −→ a. Soit W un voisinage de

b, il existe V un voisinage de a tel que x ∈ I∩V =⇒ f (x) ∈ W. Comme un −→ a, il existe un entier N ∈ N tel que

n > N =⇒ un ∈ V, or les termes un sont dans I donc si n > N alors un ∈ I∩V et donc f (un) ∈ W, ce qui prouve quef (un) −→ b.

Supposons maintenant que pour toute suite (un) d’éléments de I qui tend vers a, la suite ( f (un)) tend vers b. Si lafonction f n’a pas pour limite b en a, alors il existe un voisinage W de b tel que pour tout voisinage V de a, il existex ∈ I∩V tel que f (x) ∉ W. En prenant pour n ∈N∗ des voisinages de la forme Vn =]a − 1

n ; a + 1n [ si a ∈R, Vn =]n;+∞[ si

a =+∞, ou Vn =]−∞;−n[ si a =−∞, on construit une suite (un) d’éléments de I telle que un ∈ Vn et f (un) ∉ W, il estfacile de voir que la suite (un) tend vers a, donc la suite ( f (un)) tend vers b, à partir d’un certain rang on doit donc avoirf (un) ∈ W ce qui est contradictoire, donc lim

af = b.

Applications :



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Propriétés des limites Chapitre 11 : Limite d’une fonction

– Ce théorème peut être utilisé pour montrer qu’une fonction f n’a pas de limite en a.Par exemple, la fonction fc ol onx 7→ sin(x) n’a pas de limite en +∞ car la suite u définie par un = π

2 +nπ tendvers +∞ mais la suite ( f (un) = (−1)n) n’a pas de limite.

– Ce théorème peut être également utilisé pour prouver les propriétés de la limite d’une fonction en se ramenant àcelles des suites.

Voici un autre lien avec les suites (que l’on utilisait déjà de manière assez naturelle) :

Soit f : ]A;+∞[→R une fonction telle que lim+∞ f = b ∈R, alors la suite (un) définie (à partir d’un certain

rang) par un = f (n) a pour limite b.

Théorème 11.3

Preuve : Soit W un voisinage de b, il existe un réel B tel que ∀ x ∈ I, x > B =⇒ f (x) ∈ W, par conséquent si n>N = 1+bBc,alors un ∈ W, donc un → b.

3) Limite à gauche, limite à droite

Soit f : I →R une fonction, soit a un élément de I ou une extrémité réelle de I, et soit b ∈R.– Si I∩]−∞; a[ 6= ; : on dit que b est la limite à gauche en a de f lorsque :

∀ W,voisinage de b, ∃ α> 0,∀ x ∈ I, x ∈]a −α; a[=⇒ f (x) ∈ W .Notations : lim

a− f = limx→a− f (x) = lim

x−→x<a

af (x) = b.

– Si I∩]a;+∞[ 6= ; : on dit que b est la limite à droite en a de f lorsque :∀ W, voisinage de b, ∃ α> 0,∀ x ∈ I, x ∈]a; a +α[=⇒ f (x) ∈ W.

Notations : lima+ f = lim

x→a+ f (x) = limx−→

x>aa

f (x) = b.

Définition 11.3

ZExemple : Soit f (x) = bxc et soit a ∈Z, alors lima+ f = a et lim

a− f = a −1.

On a limx−→

x 6=aa

f (x) = b ⇐⇒ lima+ f = lim

a− f = b. Et lorsque a ∈ I :

limx→a

f (x) = b ⇐⇒(

f (a) = b et limx−→

x 6=aa

f (x) = b

).

Théorème 11.4


ZExemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x) =

x +1 si x < 0

0 si x = 0

1−x2 si x > 0

. Il est facile de voir que : limx−→

x 6=00

f (x) = 1,

mais la fonction f n’a pas de limite en 0 car f (0) 6= 1.

II PROPRIÉTÉS DES LIMITES

1) Limites et opérations

Soient f , g ∈ F (I,R) et soit a un élément de I ou une extrémité de I. Si lima

f = ` et lima

g = `′ (dans R),

alors :

– lima

f + g = `+`′ sauf si `=+∞ et `′ =−∞ (ou l’inverse) : forme indéterminée.

Théorème 11.5



MO

NTA

IGN

E


– lima

f × g = ``′ sauf si `= 0 et `′ =±∞ (ou l’inverse) : forme indéterminée.

– Si λ ∈R∗, limaλ f = λ`.

Preuve : Pour le premier point : soit (un) une suite d’éléments de I qui tend vers a, alors f (un) −→ ` et g (un) −→ `′

donc (propriétés des suites) f (un)+g (un) −→ `+`′ car nous ne sommes pas dans le cas d’une forme indéterminée, par

conséquent la fonction f +g a pour limite `+`′ en a. Le raisonnement est le même pour tous les autres points jusqu’audernier.

Si f ne s’annule pas au voisinage de a alors :

lima

1

f=

1` si ` ∈R∗

0 si `=±∞+∞ si `= 0 et f > 0 au voisinage de a

−i n f t y si `= 0 et f < 0 au voisinage de a

n’existe pas sinon

Théorème 11.6

Preuve : Nous sommes dans le cas où ` = 0 et sur tout voisinage de a f prend des valeurs strictement positives etdes valeurs strictement négatives ( f n’est pas de signe constant), on peut donc construire deux suites (un) et (vn) quitendent vers a et telles que f (un) > 0 et f (vn) < 0, mais alors 1

f (un ) −→+∞ et 1f (vn ) −→−∞, donc 1

f n’a pas de limite en

a.

ZExemples :– Soit a ∈R, lim

ax = a d’où ∀ n ∈N∗, lim

axn = an (encore vrai pour n = 0). On en déduit que si P est une

fonction polynomiale, alors lima

P = P(a).

– Si R = PQ est une fraction rationnelle et si Q(a) 6= 0, alors lim

aR = R(a).

2) Limite et relation d’ordre

Soient f , g ,h : I →R trois fonctions et soit a un élément de I ou une extrémité de I.– On suppose qu’au voisinage de a, f 6 g , alors :

• Si lima

f =+∞ alors lima

g =+∞.

• Si lima

g =−∞ alors lima

f =−∞.

– Si f 6 h6 g au voisinage de a et si lima

f = lima

g = ` ∈R, alors lima

h = ` (théorème des gendarmes

ou de l’étau).– Si f 6 g au voisinage de a et si f et g ont chacune une limite dans R, alors lim

af 6 lim

ag (théorème

du passage à la limite).– Si lim

af = 0 et si g est bornée au voisinage de a, alors lim

af × g = 0.

– Si lima

f =+∞ (respectivement −∞) et si g est minorée au voisinage de a (respectivement majorée),

alors lima

f + g =+∞ (respectivement −∞).

Théorème 11.7

Preuve : Supposons lima

f =+∞, soit (un) une suite d’éléments de I qui tend vers a, à partir d’un certain rang, on a

f (un)6 g (un), or f (un) →+∞, donc g (un) →+∞ et par conséquent lima

g =+∞. Pour le deuxième cas, on raisonne

sur − f et −g .Pour les autres points on procède de la même façon, en se ramenant aux suites.

Remarque 11.2 –– Si | f |6 g au voisinage de a et si lim

ag = 0, alors lim

af = 0.

– On peut avoir f < g au voisinage de a et lima

f = lima

g . Dans un passage à la limite les inégalités

deviennent larges.



MO

NTA

IGN

E


3) Limite et composition des fonctions

Soit f : I →R une fonction, soit a un élément de I ou une extrémité de I, et soit g : J →R une autre fonctionavec Im( f ) ⊂ J.

Si lima

f = b, alors b appartient à J ou b est une extrémité de J.Théorème 11.8

Preuve : Il suffit de distinguer les cas sur J, par exemple, si J =]α;β[, alors ∀ x ∈ I,α< f (x) < β, par passage à la limite, onobtient α6 b6 β. Les autres cas se traitent de la même façon.

Si lima

f = b et limb

g = ` (dans R), alors lima

g f = `.

Théorème 11.9 (composition des limites)

Preuve : Soit (un) une suite d’éléments de I qui tend vers a, la suite ( f (un)) est une suite d’éléments de J qui tend vers b,donc la suite (g [ f (un)]) tend vers `, ce qui prouve que lim

ag f = `.

Dans la pratique, ce théorème est parfois appelé changement de variable dans une limite. Il dit en effetque si on pose X = f (x), alors comme X →

x→ab, on a lim

x→ag ( f (x)) = lim

X→bg (X) = `.

ZExemple : Calculons lim0+ f avec : f (x) = esin(x) ln(x)−1

sin(x) ln(x) . On pose X = sin(x) ln(x), alors lim0+ X = 0, or lim

X→0

eX−1X = 1,

donc la limite cherchée vaut 1.

4) Limite et sens de variation

Soit f : I →R une fonction croissante, on pose a = inf(I) et b = sup(I) dans R.

Comme f est croissante, pour tout réel c ∈ I, on a dans R :sup

x∈]c;b[f (x) = supx∈]a;b[ f (x) et inf

x∈]a;c[f (x) = infx∈]a;b[ f (x).

Théorème 11.10

Preuve : Soit S1 = supx∈]c;b[

f (x) et S2 = supx∈]a;b[

f (x), il est clair que S1 6 S2. Si x ∈]c;b[, alors f (x)6 S1,∀ t ∈]a; x], on a

f (t )6 f (x)6 S1 et ∀ t ∈ [x;b[,c < t < b, donc f (t )6 S1, finalement ∀ t ∈]a;b[, f (t )6 S1 et donc S26 S1, d’où l’égalité.Le raisonnement est similaire pour les bornes inférieures.

Si f : I →R est croissante, en notant a la borne de gauche de I et b la borne de droite :• si f est majorée, alors f admet une limite finie à gauche en b qui est lim

b−f = sup

x∈]a;b[f (x). Si de plus si

b ∈ I, alors limb−

f 6 f (b).

• si f est non majorée, alors f admet +∞ comme limite à gauche en b.• si f est minorée, alors f admet une limite finie à droite en a qui est lim

a+ f = infx∈]a;b[

f (x). Si de plus si

a ∈ I, alors lima+ f > f (a).

• si f est non minorée, alors f admet −∞ comme limite à droite en a.

Théorème 11.11

Preuve : Soit S = sup]a;b[

f dans R, soit W un voisinage de S, il existe un réel x0 ∈]a;b[ tel que f (x0) ∈ W. Si x ∈]x0;b[, alors

f (x0)6 f (x)6 S ce qui entraîne f (x) ∈ W et donc limb− f = S. Si de plus b ∈ I, alors comme f est croissante, f est majorée

sur ]a;b[ par f (b), donc on a S6 f (b). Le raisonnement est similaire pour lima+ f .



MO

NTA

IGN

E

Calculs de limites Chapitre 11 : Limite d’une fonction

Remarque 11.3 –

a) Si f est croissante majorée sur I alors f admet une limite finie en b− (limite non atteinte sur ]a;b[ si lacroissance est stricte).

b) Si f est croissante non majorée sur I alors f a pour limite +∞ en b−.

c) Si f est croissante minorée sur I alors f admet une limite finie en a+ (limite non atteinte sur ]a;b[ si lacroissance est stricte).

d) Si f est croissante non minorée sur I alors f a pour limite −∞ en a+.

ZExemple : Soit f (x) = ln(x). Pour n ∈N∗, ln(2n) = n ln(2), or ln(2) > 0 car 1 < 2 et f est strictement croissante,donc n ln(2) →+∞, ce qui prouve que f est non majorée, comme elle est croissante, on a lim+∞ f =+∞.

Si f est croissante sur I, soit a = inf(I) et b = sup(I) (dans R), pour tout réel x0 ∈]a;b[, f admet unelimite finie à droite et à gauche en x0, de plus on a : lim

x−0

f 6 f (x0)6 limx+

0

f . Et si x1 ∈]a;b[ avec x0 < x1,

alors : limx+

0

f 6 limx−

1

f .

Théorème 11.12 (de la limite monotone)

Preuve : Sur l’intervalle ]a; x0[, la fonction f est croissante et majorée par f (x0), donc la fonction f a une limite finie àgauche en x0 et d’après le théorème précédent : lim

x−0

f = supt∈]a;x0[

f (t )6 f (x0). Le raisonnement est le même à droite. Si

x0 < x1 < b, on applique le théorème précédent sur l’intervalle ]x0; x1[ : limx+

0

f = inft∈]x0;x1[

f (t )6 supt∈]x0;x1[

f (t ) = limx−

1

f .

Remarque 11.4 – En changeant f et − f et en utilisant que pour une partie non vide A deR : inf(A) =−sup(−A),on obtient deux théorèmes analogues aux précédents pour les fonctions décroissantes.

III CALCULS DE LIMITES

1) Comparaison des fonctions

Soient f , g : I →R deux fonctions, et soit a ∈ I ou une extrémité de I. On dit que :– f est dominée par g au voisinage de a lorsqu’il existe un voisinage V de a, et une fonction ε : V →R

tels que : ∀ x ∈ V ∩ I, f (x) = g (x)ε(x) avec ε bornée. Notation : f (x) = Oa

(g (x)

).

– f est négligeable devant g au voisinage de a lorsqu’il existe un voisinage V de a, et une fonctionε : V →R tels que : ∀ x ∈ V ∩ I, f (x) = g (x)ε(x) avec lim

x→aε(x) = 0. Notation : f (x) = o

a

(g (x)

).

– f est équivalente à g au voisinage de a lorsqu’il existe un voisinage V de a, et une fonction ε : V →R

tels que : ∀ x ∈ V ∩ I, f (x) = g (x)ε(x) avec limx→a

ε(x) = 1. Notation : f (x) ∼a

g (x).

Définition 11.4

Lorsque la fonction g ne s’annule pas au voisinage de a (sauf peut être en a) :

– f (x) = Oa

(g (x)

)si et seulement si

fg est bornée au voisinage de a

si a ∈ I : g (a) = 0 =⇒ f (a) = 0.

– f (x) = oa

(g (x)

)si et seulement si

lim

a

fg = 0

si a ∈ I : f (a) = 0.

– f (x) ∼a

g (x) si et seulement si

lim

a

fg = 1

si a ∈ I : g (a) = f (a).

Théorème 11.13 (Caractérisations)




MO

NTA

IGN

E

Calculs de limites Chapitre 11 : Limite d’une fonction

Remarque 11.5 –

a) f (x) = Oa

(1) signifie que la fonction f est bornée au voisinage de a.

b) f (x) = oa

(1) signifie que lima

f = 0.

c) Si f (x) = oa

(g (x)

)alors f (x) = O

a

(g (x)

).

d) Si f (x) ∼a

g (x) alors f (x) = Oa

(g (x)

).

e) Si f (x) = oa

(g (x)

)et g (x) = o

a(h(x)), alors f (x) = o

a(h(x)) (transitivité).

f) Si f (x) = Oa

(g (x)

)et g (x) = O

a(h(x)), alors f (x) = O

a(h(x)) (transitivité)

g) f (x) ∼a

g (x) ⇐⇒ f (x) = g (x)+oa

(g (x)

).

La relation « ... est équivalente à ... au voisinage de a » est une relation d’équivalence dans F (I,R),c’est à dire qu’elle est réflexive, symétrique et transitive. De plus :– Si ` ∈R∗ alors lim

af = ` équivaut à f (x) ∼

a`.

– Si f (x) = oa

(g (x)

)alors f (x)+ g (x) ∼

ag (x).

Théorème 11.14


2) Les exemples classiques

Soient α,β ∈]0;+∞[ :– Si α< β alors : xα = o+∞

(xβ

)et xβ = o

0(xα).

– [ln(x)]α = o+∞(xβ

)et | ln(x)|α = o

0

(1

xβ

).

– xα = o+∞(exβ

)et xα = o+∞

(exβ

).

– Si a > 1 alors xα = o+∞(ax ).

Théorème 11.15 (croissances comparées)

Preuve : Identique à celle des suites.

– Si f est dérivable en 0 et si f ′(0) 6= 0, alors f (x)− f (0) ∼0

f ′(0)x.

– sin(x) ∼(0)

x ; ex −1 ∼0

x ; ln(1+x) ∼0

x ; tan(x) ∼0

x ; 1−cos(x) ∼0

12 x2 ; (1+x)α−1 ∼

0αx.

– Soit P(x) =p∑

k=0ak xk une fonction polynomiale avec ap 6= 0, alors P(x) ∼±∞ ap xp (équivalence avec le

terme de plus haut degré).– Soit Q(x) = P(x)

R(x) une fraction rationnelle avec ap xp le terme de plus haut degré de P (ap 6= 0) et

br xr celui de R (br 6= 0), alors Q(x) ∼±∞ap

brxp−r (équivalence avec le rapport des termes de plus haut

degré).

Théorème 11.16 (les équivalents usuels)

Preuve : Identique à celle des suites.

Soient f , g : J → R, ε : I → R telle que Im(ε) ⊂ J et soit a ∈ I ou une extrémité de I. Si limaε = b et si

f (x) ∼b

g (x), alors : f (ε(x)) ∼a

g (ε(x)).




MO

NTA

IGN

E

Extension aux fonctions à valeurs complexes Chapitre 11 : Limite d’une fonction

Preuve : Celle - ci découle du théorème de composition des limites.

Remarque 11.6 – Pour la recherche d’un équivalent en a, on peut toujours se ramener en 0 :– Si a ∈ R, on pose u = x − a(= ε(x)), on a alors u −→

x→a0, on pose h(u) = f (x) = f (u + a). Si h(u) ∼

0g (u),

alors f (x) ∼a

g (x −a).

– Si a =±∞ alors on pose u = 1x (= ε(x)), on a alors u →

x→a0, on pose h(u) = f (x) = f ( 1

u ). Si h(u) ∼0

g (u),

alors f (x) ∼a

g ( 1x ).

3) Propriétés

Il découle de la définition :

Soient f , g : I →R deux fonctions, et soit a ∈ I ou une extrémité de I :– Si f ∼

ag alors f et g ont le même signe au voisinage de a.

– Si f ∼a

g et si lima

g = ` ∈R, alors lima

f = `.

– Si f ∼a

g et si h ∼a

k, alors f ×h ∼a

g ×k (compatibilité avec la multiplication).

– Si f ∼a

g et si g ne s’annule pas au voisinage de a, alors 1f ∼

a1g (compatibilité avec le passage à

l’inverse).– Si f ∼

ag et si g > 0 au voisinage de a, alors f α ∼

agα pour tout réel α.

Théorème 11.18

Remarque 11.7 –– Il n’y a pas compatibilité avec l’addition en général. Par exemple : x + sin( 1

x ) ∼+∞ x et −x ∼+∞ 1−x, mais

sin( 1x ) n’est pas équivalent à 1 au voisinage de +∞.

– Ces propriétés sont utiles pour les calculs de limites qui ne peuvent pas être faits directement : on essaiede se ramener à un équivalent plus simple (s’il y en a ...) dont on sait calculer la limite.

ZExemples :– Limite en +∞ de (1+ 1

x )x : ici f (x) = exp(x ln(1+ 1x )), or ln(1+ 1

x ) ∼+∞1x car 1

x →+∞ 0, donc x ln(1+ 1x ) ∼+∞ 1,

la limite cherchée est donc égale à 1.– Soit à calculer : lim

x→0+sin(x)x−1p

x ln(x). On a sin(x)x = exp(x ln(sin(x))), or ln(sin(x)) = ln( sin(x)

x )+ ln(x), on en

déduit ln(sin(x)) ∼0

ln(x) et donc x ln(sin(x)) ∼0

x ln(x) −→0

0, d’où : exp(x ln(sin(x)))−1 ∼0

x ln(sin(x)) ∼0

x ln(x), par conséquent f (x) ∼0

xpx=p

x, et donc la limite cherchée est égale à 0.

IV EXTENSION AUX FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

1) Définition de la limite

Les fonctions à valeurs complexes ont été introduites au début du chapitre 6. Soit f : I →C une fonction,on note u = Re( f ) (partie réelle de f ) et v = Im( f ) (partie imaginaire de f ), on rappelle que u et v sont desfonctions de I vers R, et ∀ t ∈ I, f (t ) = u(t )+ i v(t ).

La fonction conjuguée de f et la fonction f : t 7→ u(t )− i v(t ).La fonction module de f est la fonction | f | : t 7→ | f (t )| =

√u(t )2 + v(t )2.

La fonction f est bornée sur I si et seulement si ∃ M ∈R+, ∀ t ∈ I, | f (t )|6M. Ceci équivaut à dire que lesfonctions u et v sont bornées.

L’ensemble des fonctions de I vers C est notée F (I,C), pour les opérations usuelles sur les fonctions, c’estun C-espace vectoriel et un anneau commutatif non intègre.

Soit ` ∈C, et soit a un élément de I ou une extrémité de I. On dira que la fonction f a pour limite ` en

Définition 11.5



MO

NTA

IGN

E

Extension aux fonctions à valeurs complexes Chapitre 11 : Limite d’une fonction

a lorsque limt→a

| f (t )−`| = 0. C’est à dire :

∀ε> 0,∃V, voisinage de a, ∀t ∈ I, t ∈ V =⇒ | f (t )−`| < ε.

ZExemple : Soit f (t ) = e i t

i+t , on a | f (t )| = 1p1+t 2

→ 0, donc limt→0

f (t ) = 0.

2) Propriétés

limt→a

| f (t )−`| = 0 ⇐⇒ limt→a

Re( f (t )) = Re(`) et limt→a

Im( f (t )) = Im(`).Théorème 11.19

Preuve : Celle - ci découle de l’inégalité : ∀ t ∈ I,max(|Re( f (t ))−Re(`)|, |Im( f (t ))− Im(`)|)6 | f (t )−`| =

√|Re( f (t ))−Re(`)|2 +|Im( f (t ))− Im(`)|2.

Connaissant les propriétés des limites (finies) des fonctions à valeurs réelles, on peut déduire celles desfonctions à valeurs complexes en raisonnant sur les parties réelles et imaginaires :

– lima

f = ` ∈ C si et seulement si pour toute suite (un) d’éléments de I qui tend vers a, la suite ( f (un))

tend vers `.– Si lim

af = ` ∈C, alors f est bornée au voisinage de a.

– Si lima

f = `, lima

g = `′, alors lima

f + g = `+`′, lima

f × g = ``′,∀ λ ∈C, limaλ f = λ`.

– Si lima

f = ` alors lima

f = ` et lima

| f | = |`|.– Si lim

af = ` ∈C∗, alors au voisinage de a f ne s’annule pas et lim

a1f = 1

` .



MO

NTA

IGN

EChapitre 12

Continuité

SommaireI Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2) Théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

II Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1) Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2) Continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3) Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

III Continuité et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1) Image d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2) Monotonie et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3) Théorème des bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

I RAPPELS

1) Définitions

Soit f : I →R une fonction et soit a ∈ I, on dit que f est– continue en a lorsque lim

t→af (t ) = f (a) (sinon on dit que a est un point de discontinuité de f ).

– continue à gauche en a lorsque I∩]−∞; a[ 6= ; et limt→a− f (t ) = f (a).

– continue à droite en a lorsque I∩]a;+∞[ 6= ; et limt→a+ f (t ) = f (a).

Si f est continue en tout point de I, alors on dit que f est continue sur I. L’ensemble des fonctionscontinues sur I est noté C 0(I,R).

Définition 12.1

Remarque 12.1 :– Les fonctions trigonométriques, logarithmes, exponentielles, puissances, polynomiales, rationnelles,

ainsi que la fonction valeur absolue sont continues sur leur ensemble de définition.– f est continue en a ∈ I si et seulement si ∀ ε> 0,∃ α> 0,∀ x ∈ I, |x −a| < α=⇒ | f (x)− f (a)| < ε.– Si f est continue sur I et si J ⊂ I, alors f est continue sur J.– f est continue en a si et seulement si lim

x →x 6=a

af (t ) = f (a), lorsque a n’est pas une borne de I, ceci équivaut à

limt→a+ f (t ) = f (a) et lim

t→a− f (t ) = f (a), i.e. f est continue à gauche et à droite en a.

– Si f est continue en a, alors f est bornée au voisinage de a (car f a une limite finie en a).– f est continue en a ssi pour toute suite (un) d’éléments de I, qui tend vers a, la suite ( f (un)) tend vers

f (a).



MO

NTA

IGN

E

Fonctions continues sur un intervalle Chapitre 12 : Continuité

FExercice 12.1

1/ Étudier la continuité de x 7→ bxc en a ∈R, distinguer a ∈Z et a ∈R\Z.

2/ Montrer que la fonction caractéristique deQ, 1Q, est discontinue en tout point de R.

Soit f : I\a →R une fonction non définie en a ∈ I, si f admet une limite finie ` en a, alors la fonctionf : I →R définie par :

f (x) =

f (x) si x 6= a

` si x = aest continue en a. Cette fonction est appelée prolongement de f par continuité en a.

Définition 12.2 (Prolongement par continuité)

ZExemple : La fonction f définie sur R∗ par f (x) = sin(x)x admet un prolongement par continuité en 0 en

posant f (0) = 1.

2) Théorèmes généraux

Soient f , g deux fonctions continues sur I, et soit α un réel, alors :– f + g , f × g et α f sont continues sur I.

– Si g ne s’annule pas sur I alors fg est continue sur I.

– Si h : J →R est une fonction continue sur l’intervalle J et si f (I) ⊂ J, alors h f est continue sur I.

Théorème 12.1

Preuve : Ceci découle des propriétés des limites, par exemple : lima

f = f (a) et lima

g = g (a), donc lima

( f +g ) = f (a)+g (a)

(somme de limites finies), ce qui prouve que f +g est continue en a. Les autres points se démontrent de la même façon.

Conséquences :

a) Il découlent des théorèmes généraux que C 0(I,R) est une R-algèbre pour les opérations usuelles surles fonctions.

b) Si f et g sont continues sur I alors sup( f , g ) et inf( f , g ) le sont (en particulier f + et f − le sont), car

sup( f , g ) = f +g+| f −g |2 et inf( f , g ) = f +g−| f −g |

2 .

FExercice 12.2 Étudier la continuité de la fonction f avec f (x) =

ln(1+x)(x−π)sin(x) si 0 < x <π

ex −cos(x) si x 6 0, y-a-t’il un prolongement

par continuité en π?

II FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE

1) Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f : [a;b] → R une fonction continue sur le segment [a;b] (a < b), si f (a) et f (b) sont de signescontraires, alors f s’annule au moins une fois, i.e. : ∃ ` ∈ [a;b], f (`) = 0.

Théorème 12.2

Preuve : Méthode dichotomique : on construit deux suites (récurrentes) (an) et (bn) en posant a0 = a,b0 = b, puis pourtout entier n :

si f ( an+bn2 ) et f (an) sont de signes contraires, alors on pose an+1 = an et bn+1 = an+bn

2 (moitié de gauche), sinon,

on pose an+1 = an+bn2 et bn+1 = bn (moitié de droite).

On montre ensuite par récurrence, la propriété :

P(n) : « an ,bn ∈ [a;b], bn −an = b−a2n , f (an) et f (bn) sont de signes contraires ».

Pour n = 0 : rien à faire. Si c’est vrai pour un entier n > 0 : alors an et bn sont dans [a;b], donc cn = an+bn2 aussi

(milieu).



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E


Si f (cn) et f (an) sont de signes contraires, alors bn+1 = an+bn2 et an+1 = bn , on voit donc que an+1 et bn+1 sont dans

[a,b], que bn+1 −an+1 = bn−an2 = b−a

2n+1 , que f (an+1) et f (bn+1) sont de signes contraires, et que an 6 an+1 et bn+16 bn .Si f (cn) et f (an) ont le même signe, alors d’après l’hypothèse de récurrence, f (cn) et f (bn) sont de signes contraires,

on a alors an+1 = an+bn2 et bn+1 = bn , on voit donc que an+1 et bn+1 sont dans [a,b], que bn+1 −an+1 = bn−an

2 = b−a2n+1 ,

que f (an+1) et f (bn+1) sont de signes contraires, et que an 6 an+1 et bn+16 bn .La propriété est donc vraie pour tout entier n, de plus la suite (an) est croissante, et la suite (bn) est décroissante.

Comme bn −an = b−a2n → 0, les deux suites sont adjacentes. Elles ont donc une limite commune c ∈ [a;b] (passage à la

limite). La fonction f étant continue en c, on a f (an) → f (c) et f (bn) → f (c), donc f (an)× f (bn) → f (c)2, or pour toutn, f (an)× f (bn)6 0, donc f (c)26 0 (passage à la limite), et donc f (c) = 0.

Remarque 12.2 –– Cette méthode permet de calculer des valeurs approchées de `. Dans la preuve ci-dessus, on a pour

tout n, an est une valeur approchée de ` (solution de f (x) = 0) par défaut à b−a2n près car |an − `| =

`−an 6 bn −an = b−a2n . De même, pour tout n, bn est une valeur approchée de ` par excès à b−a

2n près car

|bn −`| = bn −`6 bn −an = b−a2n . Voici un algorithme en python :

1 def dichotomie(f,a,b,epsilon): #f continue et f(a)*f(b)<=0 avec a<b2 while b-a >= epsilon:3 milieu = (a+b)/2.4 if f(a)*f(milieu) <= 0: #f s’annule dans la première moitié5 b = milieu6 else:7 a = milieu #f s’annule dans la deuxième moitié8 return (a+b)/2.

Invariant : on peut vérifier que la proposition P(k) : « Bk − Ak = B−A2k , et f (Ak )× f (Bk ) 6 0 », est un

invariant de la boucle while, qui permet de prouver la fonction, et sa terminaison. Quelques exemplesd’utilisation de cet algorithme :

C f

ca b

a0 b0a1 b1

a2 b2a3 b3a4 b4

C f

ca b

a0 b0a1 b1a2 b2a3 b3a4 b4

C f

ca b

a0 b0a1 b1

a2 b2a3 b3

a4 b4

f continue en c f discontinue en c f ne change pas de signe.

– Il découle de ce théorème que si f : I →R est continue sur l’intervalle I et si f change de signe, alors fs’annule au moins une fois sur I.

– Une fonction continue sur un intervalle et qui ne s’annule pas, garde un signe constant. Ceci est faux si In’est pas un intervalle, par exemple la fonction x 7→ 1

x sur R∗.

FExercice 12.3 Montrer que tout polynôme (réel) de degré impair admet au moins une racine réelle.

Si f : I →R est continue sur l’intervalle I, alors f (I) est un intervalle.Plus précisément, si a,b ∈ I et si α est un réel compris entre f (a) et f (b), alors il existe c entre a et btel que f (c) = α.

Théorème 12.3 (des valeurs intermédiaires)

Preuve : Soient a,b deux réels distincts de I, supposons a < b, soit α un réel compris entre f (a) et f (b), posonsg (t ) = f (t )−α, alors g est continue sur l’intervalle [a;b] et g (a) et g (b) sont de signes contraires. D’après le théorèmeprécédent, il existe c ∈ [a;b] tel que g (c) = 0, i.e. f (c) = α.

Posons J = f (I) et soient u < v deux éléments de J, alors il existe a,b ∈ I (distincts) tels que f (a) = u et f (b) = v . Soitα ∈ [u, v], alors il existe c entre a et b tel que f (c) = α donc α ∈ J, ce qui prouve que J est un intervalle.



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E


2) Continuité sur un segment

L’image d’un segment [a;b] par une fonction continue est un segment [m;M].Théorème 12.4

Preuve : Soit f : [a;b] →R une fonction continue sur le segment [a;b], posons J = f ([a;b]), on sait que J est un intervalle.Posons m = la borne de gauche de J, et M la borne de droite (dans R), il existe une suite (yn) de J qui tend vers m,or yn ∈ f ([a;b]), donc il existe xn ∈ [a;b] tel que f (xn) = yn . La suite (xn) est une suite de [a;b], elle est donc bornée,d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une suite convergente : xσ(n) → `, par passage à la limiteon a ` ∈ [a;b], mais alors f (xσ(n)) → f (`) car f est continue, c’est à dire yσ(n) → f (`), or yσ(n) → m, donc m = f (`). Ceciprouve que m est un réel et que m ∈ J, donc m = min(J). De même on montre que M est un réel que M ∈ J, finalementJ = [m;M].

Remarque 12.3 – Il en découle qu’une fonction continue sur un segment possède un maximum (M) et unminimum (m). On dit aussi parfois qu’une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

3) Uniforme continuité

Dans la définition de « f est continue en a », on a :

∀ ε> 0,∃ α> 0,∀ x ∈ I, |x −a| < α=⇒ | f (x)− f (a)| < ε.

Dans cette définition, le réel α dépend de a (et de ε bien entendu). On va distinguer dans la suite le cas où αne dépend que de ε :

On dit que la fonction f : I →R est uniformément continue sur I lorsque :∀ ε> 0,∃ α> 0,∀ a, x ∈ I, |x −a| < α=⇒ | f (x)− f (a)| < ε.

Définition 12.3

Remarque 12.4 –

a) Cette définition dépend aussi de l’ensemble I, on dit qu’elle a un caractère global, alors que la définitionde la continuité en un point est locale car elle ne dépend que du point (pas de l’ensemble I).

b) La définition d’uniforme continuité est plus forte que la définition de continuité. Autrement dit, unefonction uniformément continue sur I est nécessairement continue sur I. Nous verrons que la réciproqueest fausse en général.

On dit que la fonction f : I →R est lipschitzienne lorsqu’il existe une constante K ∈R+ tel que :

∀ x, y ∈ I, | f (x)− f (y)|6K|x − y |.Ce qui signifie que tous les taux d’accroissements de f sont majorés en valeur absolue par K.

Définition 12.4 (fonction lipschitzienne)

c) Soit k ∈R+, une fonction K-lipschitzienne sur I est nécessairement uniformément continue sur I. En effet,une telle fonction vérifie pour tout x, y ∈ I, | f (x)− f (y)|6K|x − y |n, par conséquent, si on prend α= ε

k+1

alors on a | f (x)− f (y)|6 kk+1ε< ε. Nous verrons dans le chapitre sur la dérivation, que si f est dérivable

et si f ′ est majorée en valeur absolue par une constante K, alors f est K-lipschitzienne (par contre si f ′

n’est pas bornée, alors la fonction ne peut pas être lipschitzienne). Par exemple, les fonctions sin et cossont 1-lipschitziennes.

ZExemples :– La fonction x 7→ x2 est uniformément continue sur tout segment [a;b] (car lipschitzienne). Pour la

même raison, les fonctions sin et cos sont uniformément continues sur R.– La fonction x 7→p

x est uniformément continue sur [0;+∞[. Car pour x, y > 0, |px −py |6√|x − y |,

il suffit donc de prendre α= ε2 dans la définition. Cependant nous verrons que cette même fonctionn’est pas lipschitzienne sur [0;+∞[ (dérivée non bornée).



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E

Continuité et fonctions monotones Chapitre 12 : Continuité

– La fonction x 7→ x2 n’est pas uniformément continue sur R. Si c’était le cas : avec ε= 1 il existe α> 0tel que ∀ x, y ∈R, |x − y | < α=⇒ |x2 − y2| < 1. Prenons xn =p

n +1 et yn =pn alors xn − yn ∼ 1

2p

n→ 0,

donc pour n assez grand on aura |xn − yn | < α d’où |x2n − y2

n | < 1 i.e. 1 < 1 ce qui est absurde.

FExercice 12.4 Étudier l’uniforme continuité des fonctions x 7→ cos(p

x) et x 7→ cos(x2) sur [0;+∞[.

Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.Théorème 12.5 (de Heine 1)

Preuve : Par l’absurde : on suppose qu’il existe ε> 0 tel que :

∀ α> 0,∃ x, y ∈ I, |x − y | < α et | f (x)− f (y)|> ε.

En prenant α= 1n+1 pour chaque valeur de n ∈N, on construit deux suites (xn) et (yn) de I telles que |xn − yn | < 1

n+1et | f (xn)− f (yn)|> ε. La suite (xn) étant bornée (car I est un segment), on peut en extraire une suite convergente :xσ(n) → `. Par passage à la limite on ` ∈ I. L’inégalité |xn − yn | < 1

n+1 pour tout n entraîne que yσ(n) → `. La fonction fétant continue en `, on a f (xσ(n)) → f (`) et f (yσ(n)) → f (`), donc | f (xσ(n))− f (yσ(n))|→ 0, ce qui donne par passage àla limite, 0> ε ce qui est absurde. Donc f est uniformément continue sur I.

FExercice 12.5 Montrer qu’une fonction continue sur un segment strictement positive, est minorée par un réel stricte-

ment positif.

III CONTINUITÉ ET FONCTIONS MONOTONES

1) Image d’un intervalle

Si f est strictement croissante et continue sur l’intervalle I, alors :• lorsque I = [a;b], on a f (I) = [ f (a); f (b)],• lorsque I = [a;b[, on a f (I) = [ f (a); lim

bf [,

• lorsque I =]a;b], on a f (I) =] lima

f ; f (b)],

• lorsque I =]a;b[, on a f (I) =] lima

f ; limb

f [.

Théorème 12.6

Preuve : Montrons par exemple le cas où I = [a;b[, on sait que J = f (I) est un intervalle car f est continue sur I. La bornede droite de J est la limite de f en b (finie ou +i n f t y , la limite non atteinte car la monotonie est stricte), la borne degauche de J est f (a) qui le minimum de f , donc f (I) = [ f (a); lim

bf [. Les autres cas se traitent de la même façon, on a

évidemment un énoncé analogue lorsque f est strictement décroissante.

Lorsque la monotonie n’est pas stricte, il se peut que les limites aux bornes exclues soit atteintes.

Attention!

2) Monotonie et continuité

Si f : I → R est monotone sur l’intervalle I et si f (I) est un intervalle, alors f est nécessairementcontinue sur I.

Théorème 12.7

Preuve : Quitte à changer f en − f , on peut supposons f croissante sur I. Soit a ∈ I un élément de I qui n’est pas laborne inférieure de I. Si x ∈ I avec x < a, alors f (x)6 lim

a− f 6 f (a), ce qui entraîne que lima− f ∈ f (I). D’autre part, si x > a,

alors f (x)> f (a). On en déduit que l’intervalle ] lima− f , f (a)[ est inclus dans f (I) mais il ne contient aucun élément de

f (I), cet intervalle est donc vide, i.e. lima− f = f (a), ce qui prouve que f est continue à gauche en a. Le raisonnement est

analogue pour montrer la continuité à droite en a (si a n’est pas la borne de droite de I).

1. HEINE Heinrich Eduard (1821 – 1881) : mathématicien allemand qui travailla sur la théorie des fonctions.



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E

Extension aux fonctions à valeurs complexes Chapitre 12 : Continuité

Remarque 12.5 – Ce théorème énonce une réciproque du théorème des valeurs intermédiaires, mais elle n’estvalable que pour les fonctions monotones.

Si f : I →R est continue sur l’intervalle I et injective, alors f est strictement monotone.Théorème 12.8

Preuve : Soient a < b deux éléments de I, f étant injective, f (a) 6= f (b), quitte à changer f en − f , on peut supposerf (a) < f (b), montrons alors que f est strictement croissante sur I :

– Étape 1 : soit x ∈]a;b[, si f (x) > f (b), alors un réel c ∈] f (b); f (x)[ aura un antécédent dans ]x;b[ (théorème desvaleurs intermédiaires), et un antécédent dans ]a; x[ car on a aussi c ∈] f (a); f (x)[, ce qui contredit l’injectivitéde f , donc f (x) < f (b). De la même façon, on montre que f (x) > f (a). En conclusion, si x ∈]a;b[, alors f (a) <f (x) < f (b).

– Étape 2 : soit x ∈ I avec x < a, si f (x) > f (b) alors d’après l’étape 1 (appliquée à − f ), on devrait avoir f (x) >f (a) > f (b) ce qui est absurde, donc f (x) < f (b), mais alors l’étape 1 (en échangeant a et x) nous dit quef (x) < f (a) < f (b). En conclusion, si x < a alors f (x) < f (a).

– Étape 3 : soit x ∈ I avec x > b, comme ci-dessus, on montre que f (x) > f (b).– Étape 4 : soient x < y deux éléments de I :

• Si x < y 6 a : on sait que f (x) < f (a), mais alors l’étape 1 entraîne que f (x) < f (y).• Si x 6 a < y : on sait alors que f (x)6 f (a) < f (y), donc f (x) < f (y).• Si a < x < y : alors on sait que f (a) < f (y), mais alors l’étape 1 entraîne que f (x) < f (y).Dans tous les cas, f (x) < f (y), f est strictement croissante.

3) Théorème des bijections

Soit f : I →R une fonction strictement monotone, alors f est injective, donc f induit une bijection f de Isur f (I), la bijection réciproque est :

f −1 : f (I) → I

x 7→ y défini par y ∈ I et f (y) = x

De plus, la bijection a le même sens de variation que f , en effet, supposons f croissante et soient y < y ′ deuxéléments de f (I), alors il existe x, x ′ ∈ I, tels que f (x) = y et f (x ′) = y ′ ; si on avait x > x ′ alors on aurait y > y ′

ce qui est contradictoire, donc x < x ′ i.e. f −1(y) < f −1(y ′).D’autre part, dans un repère orthonormé du plan, on a :

M(x, y) ∈C f −1 ⇐⇒

x ∈ f (I)y = f −1(x)

⇐⇒

y ∈ If (y) = x

⇐⇒ M′(y, x) ∈C f .

On en déduit que les courbes représentatives des fonctions f et f −1 sont symétriques par rapport à lapremière bissectrice.

Le théorème suivant apporte une précision sur la continuité de la réciproque :

Si f : I →R est strictement monotone sur l’intervalle I, alors f induit une bijection de I sur J = f (I). Side plus f est continue sur I, alors la bijection réciproque est continue sur J.

Théorème 12.9

Preuve : I étant un intervalle et f continue, l’ensemble J = f (I) est un intervalle, donc la bijection réciproque f −1 estmonotone et transforme l’intervalle J en l’intervalle I, d’après un des théorèmes précédents, f −1 est continue sur J.


1) Continuité

Soit f : I →C une fonction à valeurs complexes, on pose u = Re( f ) et v = Im( f ).



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E

Extension aux fonctions à valeurs complexes Chapitre 12 : Continuité

On dira que f est continue sur I lorsque limt0

f = f (t0). L’ensemble des fonctions continues sur I est

noté C 0(I,C).

Définition 12.5

Remarque 12.6 – D’après le chapitre sur les limites, on a vu que :lim

t0f = f (t0) si et seulement si lim

t0u = u(t0) et lim

t0v = v(t0), par conséquent on peut dire que :

f est continue en t0 si et seulement si Re( f ) et Im( f ) sont continues en t0.

ZExemple : La fonction t 7→ e i t est continue sur R, la fonction t 7→ 11+i t aussi.

2) Propriétés

Compte tenu de la définition, on retrouve des propriétés analogues au cas réel, à une exception près.– On retrouve les mêmes théorèmes généraux, en particulier C 0(I,C) est une C-algèbre.– Si f est continue sur I, alors les fonctions f et | f | aussi.– Si f : [a;b] →C est continue sur le segment [a;b], alors f est bornée et atteint ses bornes, c’est à dire, il

existe t0, t1 ∈ [a;b] tels que :| f (t0)| = sup

t∈[a;b]| f (t )| et f (t1)| = inft∈[a;b] | f (t )|.

En effet : la fonction | f | est continue sur [a;b] et à valeurs réelles, on sait donc qu’elle admet unminimum et un maximum.

– Si f : [a;b] →C, est continue sur le segment [a;b], alors f est uniformément continue (théorème deHeine).En effet : cela découle de l’égalité : | f (t )− f (t0)| =

√|u(t )−u(t0)|2 +|v(t )− v(t0)|2, et du théorème de

Heine pour les fonctions à valeurs réelles.

Par exemple, la fonction f (t) = e i t est continue sur [0;2π], 0 est compris entre f (π) = −1 et f (0) = 1, mais 0 ∉f ([0;2π]) car f ne s’annule pas (ici f [0;2π]) n’est pas un intervalle, mais un cercle !).

Attention! (Le théorème des valeurs intermédiaires n’est plus vrai)



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EChapitre 13

Dérivation

SommaireI Dérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2) Théorème généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3) Dérivabilité à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4) Dérivée d’une bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

II Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1) Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2) Les accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3) Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

III Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1) Classe d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2) Formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3) Classe d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4) Classe d’une réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3) Classe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

I DÉRIVÉE PREMIÈRE

1) Définition

Origine géométrique :

M

M0

t0

f (t0)

t

f (t )

La droite qui joint les points M(t , f (t)) etM0(t0, f (t0)) (sécante) a pour équation :

y = f (t )− f (t0)

t − t0(x − t0)+ f (t0)

Lorsque l’on rapproche t de t0, cette droite pi-

vote autour du point M0 et, lorsque la courbe est

régulière, semble rapprocher d’une position « li-

mite » qui nous définirons comme la tangente au

point M0. Le coefficient directeur de cette droite

« limite » doit être la limite lorsque t tend vers t0

du coefficient directeur de la sécante, c’est dire

limt→t0

f (t )− f (t0)t−t0

.



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E

Dérivée première Chapitre 13 : Dérivation

Soit f : I → R une fonction et soit t0 ∈ I, on dit que f est dérivable en t0 lorsque la fonction : t 7→f (t )− f (t0)

t−t0admet une limite finie en t0. Si c’est le cas, cette limite est notée f ′(t0) et appelée nombre

dérivé de f en t0. Lorsque f est dérivable en tout point de I on dit que f est dérivable sur I et la

fonction de I vers R qui à t associe f ′(t) est appelée dérivée de f sur I, on la note f ′ ou bien d fd t .

L’ensemble des fonctions dérivables sur I est noté D(I,R). Si le plan est muni d’un repère orthonorméet si f est dérivable en t0, la droite d’équation y = f ′(t0)(x− t0)+ f (t0) est appelée tangente à la courbeau point d’abscisse t0. Si le taux d’accroissement de f en t0 a une limite infinie et si f est continue ent0, alors on dit que la courbe admet une tangente verticale au point d’abscisse t0, d’équation x = t0.

Définition 13.1

Remarque 13.1 – Les fonctions trigonométriques, logarithme, exponentielle, polynomiales et rationnelles sontdérivables sur leur ensemble de définition. Mais :

La fonction valeur absolue et la fonction x 7→ xα avec 0 < α< 1, ne sont pas dérivables en 0.

Attention!

f est dérivable en t0 et f ′(t0) = a si et seulement si f (t ) = f (t0)+a(t − t0)+ (t − t0)ot0

(1).

On dit alors que f admet un développement limité d’ordre 1 en t0.

Théorème 13.1 (définition équivalente)


2) Théorème généraux

Si f est dérivable en t0, alors f est continue en t0 mais la réciproque est fausse.Théorème 13.2 (Dérivabilité et continuité)

Preuve : Il suffit d’appliquer la définition équivalente ci-dessus pour voir que limt0

f = f (t0). Pour la réciproque, on a par

exemple la fonction t 7→ |t | qui est continue en 0 mais non dérivable.

• Si f et g sont dérivables sur I et si α ∈ R alors les fonctions f + g , f × g et α f sont dérivables sur Iavec les formules :– ( f + g )′ = f ′+ g ′.– ( f × g )′ = f ′× g + f × g ′.– (α f )′ = α f ′.• Si f est dérivable sur I et ne s’annule pas alors 1

f est dérivable sur et(

1f

)′ = − f ′

f 2 .

• Si f est dérivable sur I et si g est dérivable sur J avec Im( f ) ⊂ J, alors g f est dérivable sur I et(g f )′ = f ′× [g ′ f ].

Théorème 13.3 (Théorèmes généraux)

Preuve : Les deux premiers points ne posent pas de difficultés, passons au troisième : soit x0 = f (t0), posons :

h(x) = g (x)−g (x0)

x−x0si x 6= x0

g ′(x0) si x = x0

alors h est continue en x0 et pour t 6= t0 on a : g ( f (t ))−g ( f (t0))t−t0

= h[ f (t)]× f (t )− f (t0)t−t0

, même si f (t) = f (t0), comme f est

continue en t0, on a : limt→t0

g ( f (t ))−g ( f (t0))t−t0

= h(x0)× f ′(t0) = f ′(t0)× g ′( f (t0)).

Du troisième point découlent les formules de dérivation usuelles :



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E

Dérivée première Chapitre 13 : Dérivation

Fonction Dérivéesin(u) u′ cos(u)cos(u) −u′ sin(u)

tan(u) u′(1+ tan(u)2) = u′cos(u)2

sh(u) u′ch(u)ch(u) u′sh(u)

th(u) u′(1− th(u)2) = u′ch(u)2

eu u′eu

ln(|u|) u′u

uα αu′uα−1

Remarque 13.2 – Il découle des théorèmes généraux que pour les opérations usuelles sur les fonctions D(I,R)est un anneau et un R-espace vectoriel.

FExercice 13.1

1/ Étudier la dérivabilité de : f (x) =

x2 sin( 1x ) si x 6= 0

0 si x = 0.

2/ Étudier la dérivabilité de : f (x) = |x ln(|x|)|.

3) Dérivabilité à gauche et à droite

Soit f : I →R une fonction, et soit t0 ∈ I :• Si t0 6= inf(I) : on dit que f est dérivable à gauche en t0 lorsque le taux d’accroissement de f a unelimite finie à gauche en t0. Si c’est le cas, cette limite est notée f ′

g (t0) et la demi-droite d’équationy = f ′

g (t0)(x − t0)+ f (t0)

x 6 t0, est appelée demi-tangente à la courbe au point d’abscisse t0.

• Si t0 6= sup(I) : on dit que f est dérivable à droite en t0 lorsque le taux d’accroissement de f a unelimite finie à droite en t0. Si c’est le cas, cette limite est notée f ′

d (t0) et la demi-droite d’équationy = f ′

d (t0)(x − t0)+ f (t0)

x > t0, est appelée demi-tangente à la courbe au point d’abscisse t0.

Définition 13.2

ZExemples :– La fonction valeur absolue est dérivable à gauche en 0, et f ′

g (0) =−1, elle est dérivable à droite en 0 etf ′

d (0) = 1, mais elle n’est pas dérivable en 0 car −1 6= 1, on dit que le point de la courbe d’abscisse 0 estun point anguleux.

– La fonction f (t) =p|t | n’est pas dérivable en 0, le taux d’accroissement tend vers +∞ en 0+ et vers−∞ en 0−, on dit que le point de la courbe d’abscisse 0 est un point de rebroussement de premièreespèce.

Soit t0 un point intérieur à I, f est dérivable en t0 ssi f est dérivable à gauche et à droite en t0 avecf ′

g (t0) = f ′d (t0).

Théorème 13.4

Preuve : Cela découle des propriétés des limites.

4) Dérivée d’une bijection réciproque



MO

NTA

IGN

E

Applications de la dérivation Chapitre 13 : Dérivation

Si f : I → R est une fonction continue strictement monotone, alors f induit une bijection de I surJ = Im( f ). Soit y0 = f (t0) ∈ J (t0 ∈ I), si f est dérivable en t0 et si f ′(t0) 6= 0, alors la bijection réciproque,φ, est dérivable en y0 et φ′(y0) = 1

f ′(t0) = 1f ′φ(y0) . Si f est dérivable en t0 et f ′(t0) = 0, alors φ n’est pas

dérivable en y0 mais la courbe représentative de φ admet une tangente verticale au point d’abscissey0.

Théorème 13.5

Preuve : Soit t0 ∈ I et y0 = f (t0), pour y ∈ J \y0, on a φ(y)−φ(y0)y−y0

= t−t0f (t )− f (t0) en posant t =φ(y),φ étant continue, lorsque

y toy0, on a t → t0 et donc t−t0f (t )− f (t0) → 1

f ′(t0) car f ′(t0) 6= 0. Ce qui prouve le premier résultat.

Si f ′(t0) = 0, comme f est monotone la fraction t−t0f (t )− f (t0) garde un signe constant, donc sa limite lorsque y → y0 est

infinie, ce qui prouve le second résultat.

Remarque 13.3 –– Si f : I → J est bijective, continue, dérivable et si f ′ ne s’annule pas sur I, alors d’après le théorème

précédent, f −1 est dérivable sur J et on a la formule :(f −1)′ = 1

f ′ f −1 .

– Si f n’est pas dérivable en t0 mais si sa courbe a une tangente verticale en ce point, alors f −1 est dérivableen y0 = f (t0) et

(f −1

)′(y0) = 0 (car le taux d’accroissement de f en t0 a une limite infinie en t0).

ZExemples :– La fonction ln :]0;+∞[→R est une fonction continue, strictement croissante, dérivable et sa dérivée ne

s’annule pas. Sa bijection réciproque, la fonction exponentielle, est donc dérivable sur R et :

∀ x ∈R,exp(x)′ = 1

ln′ exp(x)= exp(x).

– La fonction f : [−π2 ; π2 ] → [−1;1] définie par f (x) = sin(x) est bijective, continue, dérivable et sa dérivée

( f ′(x) = cos(x)) ne s’annule pas sur ]− π2 ; π2 [, donc la bijection réciproque arcsin, est dérivable sur

]−1;1[ et :

arcsin′(x) = 1

f ′(arcsin(x))= 1

cos(arcsin(x))= 1p

1−x2.

– La fonction f : [0;π] → [−1;1] définie par f (x) = cos(x) est bijective, continue, dérivable et sa dérivée( f ′(x) =−sin(x)) ne s’annule pas sur ]0;π[, donc la bijection réciproque arccos, est dérivable sur ]−1;1[et :

arccos′(x) = 1

f ′(arccos(x))= −1

sin(arccos(x))= −1p

1−x2.

Par contre la fonction arccos n’est pas dérivable en ±1 (une tangente verticale en ces points).– La fonction f : ]−π/2;π/2[→R définie par f (x) = tan(x) est bijective, continue, dérivable et sa dérivée

( f ′(x) = 1+ tan(x)2) ne s’annule pas, donc la bijection réciproque arctan, est dérivable sur R et :

arctan′(x) = 1

f ′(arctan(x))= 1

1+ tan2(arctan(x))= 1

1+x2 .

II APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION

1) Théorème de Rolle

Soit f : [a;b] → R dérivable sur ]a;b[ et soit t0 ∈]a;b[. Si f admet un extremum local en t0, alorsf ′(t0) = 0, mais la réciproque est fausse.

Théorème 13.6

Preuve : Supposons que f présente un maximum local en t0, alors à gauche en t0 on a f (t )− f (t0)t−t0

> 0, d’où par passage à

la limite en t0 : f ′(t0)> 0. À droite en t0 on a : f (t )− f (t0)t−t0

6 0, d’où par passage à la limite en t0 : f ′(t0)6 0, par conséquent

f ′(t0) = 0. Pour la réciproque il suffit de considérer la fonction x 7→ x3 en 0.



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NTA

IGN

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Remarque 13.4 – Dans le théorème ci-dessus, il est essentiel que t0 ne soit pas une borne de l’intervalle. Parexemple la fonction f (t ) = 1+ t admet un maximum sur [0;1] en t0 = 1 mais f ′(t0) 6= 0.

Si f : [a;b] →R est continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[ et si f (a) = f (b), alors :il existe c ∈]a;b[, f ′(c) = 0.

Théorème 13.7 (de Rolle 1)

Preuve : Si f est constante alors il n’y a rien à montrer. Si f n’est pas constante, Im( f ) = [m;M] ( f est continue sur lesegment [a;b]) avec m < M. Supposons f (a) 6= M, alors f (b) 6= M or il existe c ∈ [a;b] tel que f (c) = M donc c ∈]a;b[,d’après la proposition précédente (maximum global en c) on a f ′(c) = 0. Si f (a) = M alors f (a) 6= m et le mêmeraisonnement s’applique avec le minimum.

Remarque 13.5 –– Ce théorème est faux si f n’est pas continue en a ou en b (prendre f (x) = x sur [0;1[ et f (1) = 0).– Ce théorème est faux si f est à valeurs complexes, par exemple f (t) = e i t , on a f (0) = f (2π) mais

f ′(t ) = i e i t ne s’annule jamais.

FExercice 13.2 Soit f : R→R une fonction dérivable qui admet n racines distinctes, alors f ′ admet au moins n−1 racines

distinctes.

Solution 13.2 Il suffit d’appliquer le théorème de Rolle à la fonction f entre deux racines consécutives. On montre

ainsi qu’entre deux racines de f il y a toujours une racine de f ′.

2) Les accroissements finis

Si f : [a;b] →R est continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[ alors :∃c ∈]a;b[, f (b)− f (a) = (b −a) f ′(c).

Théorème 13.8 (égalité de accroissements finis)

Preuve : Soit φ(t) = t(

f (b)− f (a))− (b − a) f (t), la fonction φ est continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[, de plus

φ(a) = a f (b)−b f (a) =φ(b), d’après le théorème de Rolle, il existe c ∈]a;b[ tel que φ′(c) = 0, ce qui donne la relation.

Remarque 13.6 –– De même, si f et g sont continues sur [a;b] et dérivables sur ]a;b[, il existe c ∈]a;b[ tel que :

( f (b)− f (a))g ′(c) = (g (b)− g (a)) f ′(c).

– L’égalité s’écrit aussi : f ′(c) = f (b)− f (a)b−a , ce qui signifie géométriquement qu’il existe un point de la courbe

(d’abscisse c) où la tangente est parallèle à la corde définie par le point d’abscisse a et le point d’abscisseb.

– Autre preuve : soit g la fonction affine prenant la même valeur que f en a et b, g (x) = f (b)− f (a)b−a (x −a)+

f (a). On a f (a)−g (a) = f (b)−g (b), d’après le théorème de Rolle il existe c ∈]a;b[ tel que f ′(c) = g ′(c) ce

qui donne f ′(c) = f (b)− f (a)b−a .

a b

A

B

c1 c2

1. ROLLE Michel (1652 – 1719) : mathématicien français.



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Si f : [a;b] → R est continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[ et s’il existe deux réels m et M tels que∀ x ∈]a;b[,m6 f ′(x)6M, alors :

m(b −a)6 f (b)− f (a)6M(b −a).

Théorème 13.9 (inégalité des accroissements finis)

Preuve : Celle-ci découle directement de l’égalité des accroissement finis.

Applications :– Si ∀ t ∈]a;b[, | f ′(t )|6M, alors | f (b)− f (a)|6M(b −a), et plus généralement :

∀ x, y ∈ [a;b], | f (x)− f (y)|6M|x − y |, la fonction f est M-lipschitzienne.Réciproquement, si f est M-lipschitzienne sur un intervalle I, alors tous les taux d’accroissements sont majorésen valeur absolue par M, et donc par passage à la limite, | f ′|6M.

– Si f : [a;b] → [a;b] est continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[ et si | f ′|6 k < 1, alors la suite définie par u0 ∈ [a;b]et un+1 = f (un) est convergente, et converge vers un point fixe de f , et ce point fixe est unique.Preuve : La suite u est parfaitement définie. La fonction f possède un point fixe ` dans [a;b] (on montre queg : x 7→ f (x)−x s’annule car continue et change de signe), on a alors |un+1 −`| = | f (un)− f (`)|6 k|un −`|, on endéduit que |un −`|6 kn |u0 −`|→ 0 car |k| < 1, et donc un → `.

ZExemple : Pour tout x, y de [1;+∞[, on a |px −py |6 1

2 |x − y |. ∀x > 0, 1x+1 6 ln(x +1)− ln(x)6 1

x .

Soit f : [a;b] →R continue sur [a;b] et dérivable sur [a;b[. Si f ′ admet une limite ` en b, alors :• Si ` ∈R alors f est dérivable en b et f ′(b) = `.• Si `=±∞ alors f n’est pas dérivable en b, mais il y a une tangente verticale pour la courbe réprésen-tative.

Théorème 13.10 (limite de la dérivée)

Preuve : D’après l’égalité des accroissements finis, pour t ∈ [a;b[, il existe ct ∈]t ;b[ tel que f (b)− f (t ) = (b−t ) f ′(ct ) = (b−t ) f ′(ct ), d’où f (t )− f (b)

t−b = f ′(ct ), mais si t tend vers b, alors ct tend vers b et donc f ′(ct ) tend vers `, d’où : limt→b

f (t )− f (b)t−b = `,

ce qui termine la preuve.

Remarque 13.7 – Si f ′ n’a pas de limite en b, on ne peut rien dire en général.On a un résultat analogue pour f : [a;b] →R continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b], avec lim

t→af ′(t ) = `.

ZExemple : La fonction arcsin est dérivable sur ]−1;1[ et arcsin′(x) = 1p1−x2

, cette dérivée a pour limite +∞quand x → 1. On retrouve ainsi que arcsin n’est pas dérivable en 1 et qu’il y a une tangente verticale en cepoint pour la courbe.

3) Sens de variation

Soit f : I →R une fonction continue sur l’intervalle I, et dérivable sur I privé des ses bornes (notéI,

intérieur de I), on a les résultats suivants :

• f est croissante si et seulement si ∀ t ∈ I, f ′(t )> 0.

• f est décroissante si et seulement si ∀ t ∈ I, f ′(t )6 0.

• f est constante si et seulement si ∀ t ∈ I, f ′(t ) = 0.

• f est strictement croissante si et seulement si ∀ t ∈ I, f ′(t )> 0 et il n’existe aucun intervalle ouvert

non vide inclus dans I sur lequel f ′ est constamment nulle.

• f est strictement décroissante si et seulement si ∀ t ∈ I, f ′(t )6 0 et il n’existe aucun intervalle ouvert

non vide inclus dans I sur lequel f ′ est constamment nulle.

Théorème 13.11



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Dérivées successives Chapitre 13 : Dérivation

Preuve : Si f est croissante sur I, soit t0 ∈I, le taux d’accroissement de f en t0 est toujours positif, donc par passage à la

limite, on a f ′(t0)> 0. Réciproquement, si f ′> 0 surI, soit t < t ′ deux éléments de I, d’après l’égalité des accroissements

finis, il existe c compris entre t et t ′ (strictement) tel que f (t)− f (t ′) = f ′(c)(t − t ′)6 0, donc f (t)6 f (t ′) i.e. f estcroissante. Pour f décroissante on applique ce qui précède à − f . Pour f constante, il suffit de dire que f est à la foiscroissante et décroissante.

Si f est strictement croissante, alors on sait que f ′ > 0 surI. Si f ′ est nulle sur un intervalle J ⊂ I, alors f est

constante sur J, ce qui est absurde. Réciproquement, si ∀ t ∈ I, f ′(t )> 0 et il n’existe aucun intervalle ouvert non vide

inclus dans I sur lequel f ′ est constamment nulle, soit t < t ′ deux éléments de I, on sait que f (t)6 f (t ′), si on avaitf (t) = f (t ′) alors ∀ c ∈ [t ; t ′], f (t) = f (c) = f (t ′), donc f est constante sur [t ; t ′], ce qui entraîne que f ′ est nulle sur]t ; t ′[ : absurde, donc f (t ) < f (t ′) i.e. f est strictement croissante.

Remarque 13.8 – Ce théorème est faux si I n’est pas intervalle, par exemple la fonction f (t ) = 1t est dérivable

sur R∗ avec f ′ < 0, mais f n’est pas monotone sur R∗.

III DÉRIVÉES SUCCESSIVES

1) Classe d’une application

Soit f : I → R une fonction et soit n ∈ N∗. On dit que f est de classe C n sur I lorsque f est n foisdérivable sur I et que la dérivée ne de f est continue sur I. L’ensemble des fonctions de classe C n sur I

est noté C n(I,R). La dérivée ne de f est notée f (n) où d n fd t n . Par convention, on pose f (0) = f , on a alors

∀ n ∈N, f (n+1) = (f (n)

)′.

Définition 13.3

Remarque 13.9 –– C n+1(I,R) ⊂C n(I,R).– Si f ∈C n(I,R) avec n> 1, alors ∀ k ∈ J0;nK , f (k) ∈C n−k (I,R).

ZExemples :– ∀ n ∈N, f (t ) = 1

t est de classe C n sur R∗ et pour n> 0, f (n)(t ) = (−1)n n!t n+1 .

– ∀ n ∈N, f (t ) = ln(t ) est de classe C n sur ]0;+∞[ et pour n> 1, f (n)(t ) = (−1)n−1(n−1)!t n .

– ∀ n ∈N, cos et sin sont de classe C n sur R et cos(n)(t ) = cos(t +n π2 ), sin(n)(t ) = sin(t +n π

2 ).

Lorsque f est de classe C n pour tout entier n, on dit que f est de classe C ∞, l’ensemble des cesfonctions est noté C ∞(I,R), et on a donc C ∞(I,R) = ⋂

n∈NC n(I,R).

Définition 13.4

Remarque 13.10 –– ∀ n ∈N,C ∞(I,R) ⊂C n(I,R).– Dire que f est C ∞ sur I revient à dire que f est dérivable autant de fois que l’on veut (infiniment

dérivable), autrement dit C ∞(I,R) = ⋂n∈N

Dn(I,R).

ZExemples :– Toute fonction polynomiale est C ∞ sur R (car la dérivée d’un polynôme est un polynôme).– Toute fonction rationnelle est C ∞ sur son ensemble de définition (car la dérivée d’une fonction

rationnelle est une fonction rationnelle).– Les fonctions ln,exp,cos,sin et tan sont C ∞ sur leur ensemble de définition.

FExercice 13.3 Étudier la classe sur R de la fonction f : x 7→ x2|x|.

Soit f : [a;b[→R une fonction de classe C n sur [a;b[ telle que toutes ses dérivées ke ont une limiteThéorème 13.12 (prolongement de classe C n )



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Dérivées successives Chapitre 13 : Dérivation

finie en b :∀k ∈ J0;nK, ∃`k ∈R, limx→b

f (k)(x) = `k . Alors le prolongement de f obtenu en posant f (b) = `0,

est un prolongement de classe C n sur [a;b], et on a ∀k ∈ J0;nK, f (k)(b) = `k .

Preuve : Par récurrence sur n. Pour n = 0, c’est un prolongement par continuité de f en b. Supposons le théorème établiau rang n et que f vérifie les hypothèses au rang n +1, en appliquant (HR), le prolongement de f obtenu en posantf (b) = `0, est un prolongement de classe C n sur [a;b], et on a ∀k ∈ J0;nK, f (k)(b) = `k . Soit g = f (n), alors g est continuesur [a;b], de classe C 1 sur [a;b[ et lim

x→bg ′(x) = `n+1 ∈R, on en déduit que g est dérivable en b et que g ′(b) = `n+1, ce qui

entraîne que g ′ est continue en b. Finalement le prolongement de f est bien de classe C n+1 sur [a;b], et f (k)(b) = `k

pour k ∈ J0;n +1K.

2) Formule de Leibniz

Si f et g sont de classe C n sur I alors :• f + g est de classe C n sur I et ( f + g )(n) = f (n) + g (n).• ∀λ ∈R, λ. f est de classe C n sur I et (λ. f )(n) = λ. f (n).

• f × g est de classe C n sur I et on a la formule (de Leibniz) :(

f × g)(n) =

n∑k=0

(nk

)f (k) × g (n−k).

Théorème 13.13 (généraux)

Preuve : Pour n = 0 le théorème est vrai. Supposons le théorème démontré au rang n> 0 avec la formule de Leibniz, et

supposons que f et g sont de classe C n+1. En particulier f et g sont C n , donc f × g aussi et(

f × g)(n) =

n∑k=0

(nk

)f (k) ×

g (n−k), on en déduit donc que(

f × g)(n) est dérivable sur I (somme de produits de fonctions dérivables) et sa dérivée est(

f × g)(n+1) =

n∑k=0

(nk

)f (k+1) × g (n−k) +

n∑k=0

(nk

)f (k) × g (n+1−k), ce qui donne f (n+1) × g + f × g (n+1) +

n∑k=1

((nk

)+ ( nk−1

))f (k) ×

g (n+1−k), c’est à diren+1∑k=0

(n+1k

)f (k)×g (n+1−k), ce qui donne la formule au rang n+1, de plus cette somme est une somme

de fonctions continues, ce qui prouve que f × g est bien de classe C n+1 sur I.

∀ n ∈N∪ +∞,C n(I,R) est un R-espace vectoriel et un anneau.Théorème 13.14

Preuve : Cela découle du théorème précédent (s.e.v et sous-anneau de F (I,R)).

FExercice 13.4 Calculer de deux façons la dérivée n-ième en 0 de la fonction x 7→ (1−x2)n . Quelle relation obtient-on ?

3) Classe d’une composée

Soient f : I →R et g : J →R deux fonctions de classe C n avec Im( f ) ⊂ J, alors g f est de classe C n surI. En particulier, si f et g sont C ∞ alors g f aussi.

Théorème 13.15

Preuve : Le théorème est vrai pour n = 0 (composée de deux fonctions continues), supposons le vrai au rang n> 0 etsupposons f et g de classe C n+1, comme n +1> 1, f et g sont dérivables, donc g f est dérivable avec la formule(g f )′ = f ′× g ′ f , d’après l’hypothèse de récurrence, g ′ f est de classe C n (car g ′ et f sont de classe C n), or f ′ estégalement de classe C n , par conséquent f ′× g ′ f est de classe C n , ce qui signifie que g f est de classe C n+1.

Remarque 13.11 –– Il existe une formule qui exprime (g f )′ en fonction des dérivées de f et de g , mais ce n’est pas une

formule simple.– La fonction inverse g : x 7→ 1

x est C ∞ sur R∗, si f : I → R est une fonction de classe C n qui ne s’annule,alors la composée, i.e. la fonction 1

f , est de classe C n (même si n =∞).– On retrouve donc les mêmes théorèmes généraux que pour la continuité et la dérivabilité.

4) Classe d’une réciproque



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E

Extension aux fonctions à valeurs complexes Chapitre 13 : Dérivation

Soit f : I → J une bijection de I sur J = Im( f ), de classe C n avec n ∈N∗∪ ∞. Si f ′ ne s’annule pas surI, alors la bijection réciproque f −1 est de classe C n sur J (i.e. de même classe que f ).

Théorème 13.16

Preuve : On sait déjà que f −1 est dérivable sur J et que ( f −1)′ = 1f ′ f −1 , on voit alors que f −1 est de classe C 1 sur J, le

théorème est donc vrai pour n = 1, supposons le vrai au rang n > 1 et supposons que f est C n+1, par hypothèse derécurrence f −1 est de classe C n , mais alors f ′ f −1 est une fonction de classe C n qui ne s’annule pas, donc son inverseest de classe C n , i.e. ( f −1)′ est C n , ce qui signifie que f −1 est de classe C n+1 sur J.

ZExemples :– Les fonctions arcsin et arccos sont de classe C ∞ sur ]−1;1[.– La fonction arctan est de classe C ∞ sur R.


1) Définition

On adopte la même définition que dans le cas réel :

On dira que f : I → C est dérivable en t0 ∈ I si et seulement si la fonction t 7→ f (t )− f (t0)t−t0

définie surI \ t0, admet une limite finie (dans C) en t0. Si celle-ci existe, elle est notée f ′(t0). L’ensemble desfonctions dérivables sur I est noté D(I,C).

Définition 13.5

2) Propriétés

Soit f : I →C une fonction, soit u = Re( f ) et v = Im( f ), alors f est dérivable en t0 ∈ I si et seulement siu et v sont dérivables en t0. Si tel est le cas, alors f ′(t0) = u′(t0)+ i v ′(t0).


Preuve : Il suffit d’écrire que :f (t )− f (t0)

t − t0= u(t )−u(t0)

t − t0+ i

v(t )− v(t0)

t − t0

avec u = Re( f ) et v = Im( f ).

Il découle de ce théorème, que lorsque f est dérivable sur I, on a : Re( f ′) = Re( f )′ et Im( f ′) = Im( f )′.À retenir

Comme la caractérisation nous ramène aux fonctions à valeurs réelles, on peut déduire les propriétés desfonctions dérivables à valeurs complexes :

– On retrouve les mêmes théorèmes généraux, à savoir :• Toute fonction f : I →C dérivable est continue (réciproque fausse).• Si f , g : I → C sont dérivables, alors f + g , f × g et λ f (λ ∈ C) sont dérivables avec les formules :

( f + g )′ = f ′+ g ′, ( f × g )′ = f ′× g + f × g ′, (λ f )′ = λ f ′.• Si g : I →C est dérivable et ne s’annule pas, alors 1

g est dérivable sur I et ( 1g )′ =− g ′

g 2 . On en déduit que

si f est également dérivable sur I alors(

fg

)′ = f ′×g− f ×g ′

g 2 .

• Si f : I → R et g : J → C sont dérivables avec Im( f ) ⊂ J, alors g f est dérivable sur I et (g f )′ =f ′× g ′ f .

• Si f : I →C est dérivable alors exp( f ) est dérivable sur I et [exp( f )]′ = f ′×exp( f ).– Cependant, le théorème de Rolle n’est plus valable, par exemple la fonction f (t ) = exp(i t ) est dérivable

sur R et f ′(t) = i exp(i t), on a f (0) = f (2π) mais f ′ ne s’annule pas. Par conséquent l’égalité desaccroissements finis n’est plus valable non plus, mais on conserve les inégalités.



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E

Extension aux fonctions à valeurs complexes Chapitre 13 : Dérivation

Si f : I → C est une fonction C 1 sur [a;b], et si ∀ t ∈]a;b[, | f ′(t)| 6 g ′(t) où g : [a;b] → R est unefonction C 1 sur [a;b], alors :

| f (b)− f (a)|6 |g (b)− g (a)|.

Théorème 13.18 (inégalité des accroissements finis généralisée)

Remarque 13.12 –– Si ∀ t ∈]a;b[, | f ′(t )|6M, alors en prenant la fonction g (t ) = Mt , et en appliquant le théorème ci-dessus,

on obtient :| f (b)− f (a)|6M|b −a|.

– Sous les mêmes hypothèses du théorème, on a ∀x, y ∈ [a;b], | f (x)− f (y)|6 |g (x)− g (y)|.ZExemple : Avec f (t ) = exp(αt ) où α= a + i b ∈C avec a 6= 0, on a | f ′(t )| = |α|exp(at ) = g ′(t ), par conséquent :

∀ t , t ′ ∈R, |exp(αt )−exp(αt ′)|6 |α||a| |exp(at )−exp(at ′)|.

3) Classe d’une fonction

On donne la même définition avec les mêmes notations que pour les fonctions à valeurs réelles, à savoir :f : I → C est de classe C n ssi f est n fois dérivable et f (n) est continue sur I, ce qui revient à dire que lesparties réelle et imaginaire de f sont de classe C n . L’ensemble des fonctions de classe C n sur I est notéC n(I,C), et on pose C ∞(I,C) = ⋂

n∈NC n(I,C) : ensemble des fonctions de classe C ∞.

On retrouve les mêmes théorèmes généraux : C n(I,C) est une C-algèbre (n ∈N∪ ∞). La formule deLeibniz reste valable, et la composée de deux fonctions de classe C n est également de classe C n .

FExercice 13.5 Soit f (t ) = cos(t )exp(tp

3), calculer f (n)(t ).

Solution 13.5 On a f (t) = Re(g (t)) avec g (t) = exp(t(i +p3)) = exp(αt) en posant α =p

3+ i = 2exp(i π6 ). On a donc

g (n)(t ) = αn exp(αt ) et f (t ) = Re(αn exp(αt )) = 2n cos(t +n π6 )exp(t

p3).



MO

NTA

IGN

EChapitre 14

Développements limités

SommaireI Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2) Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3) Développements usuels en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

II Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2) Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3) Développements usuels (compléments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

III Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1) Recherche d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2) Étude locale d’une fonction au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3) Étude locale au voisinage de l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4) Recherche d’un équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

I DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

1) Définition

Soit f : I → C une fonction et soit a ∈ I ou une borne réelle de I. Soit n ∈N, on dit que f admet undéveloppement limité d’ordre n en a (ou un dln(a)) lorsqu’il existe un polynôme P de degré au plus ntel que :

f (x) = P(x −a)+oa

((x −a)n)

.

Si c’est le cas, alors le polynôme P(x −a) est appelé partie régulière du dln(a).

Définition 14.1

Remarque 14.1 –– On notera Cn[X] l’ensemble des polynômes de degré au plus n et à coefficients complexes.

– On a P(x −a) =n∑

k=0ak (x −a)k , dans la pratique on ne développe jamais les termes (x −a)k .

– Le reste du dln(a) , c’est à dire oa

((x −a)n) peut aussi se mettre sous la forme (x −a)nε(x) où limx→a

ε(x) = 0.

– C’est le reste qui donne l’ordre du dln(a).

2) Formule de Taylor-Young



MO

NTA

IGN

E

Développements limités Chapitre 14 : Développements limités

Soit f : I → C une fonction, et soit a ∈ I, si f possède des dérivées jusqu’à l’ordre n en a, alors onappelle polynôme de Taylor de f en a à l’ordre n, la fonction polynomiale notée Tn, f ,a définie par :

Tn, f ,a(x) =n∑

k=0

f (k)(a)k ! (x −a)k .

La différence f (x)−Tn, f ,a(x) est notée Rn, f ,a(x) est appelée reste de f en a à l’ordre n.

Définition 14.2 (polynôme de Taylor et reste)

Remarque 14.2 – Si f est n +1 fois dérivable en a, alors[Tn+1, f ,a(x)

]′ = Tn, f ′,a(x).

Soit n ∈N, soit f : I →C une fonction de classe C n sur l’intervalle I et a ∈ I, on a : Rn, f ,a(x) = oa

((x −a)n),

c’est à dire : f (x) =n∑

k=0

f (k)(a)k ! (x −a)k +o

a((x −a)n).

Théorème 14.1 (formule de Taylor-Young)

Preuve : Il s’agit de montrer que limx→a

f (x)−Tn, f ,a (x)(x−a)n = 0. Par récurrence sur n : pour n = 0 il s’agit de la définition de

continuité en a. Supposons le théorème démontré au rang n, et supposons f de classe C n+1 sur I, supposons a < xet pour t ∈ [a; x] posons h(t) = f (t)−Tn+1, f ,a(t), on a h dérivable et h′(t) = f ′(t)−Tn, f ′,a(t). On se donne ε > 0,l’hypothèse de récurrence appliquée à f ′ permet d’affirmer qu’il existe un voisinage V de a tel que t ∈ V ∩ I =⇒|h′(t )|6 ε(t −a)n = g ′(t ) avec g (t ) = ε (t−a)n+1

n+1 , l’inégalité des accroissements finis généralisée nous donne alors pour

x ∈ V : |h(x)−h(a)|6 g (x)− g (a), c’est à dire x ∈ V ∩ I =⇒ | f (x)−Tn+1, f ,a(x)|6 ε (x−a)n+1

n+1 6 ε(x −a)n+1, ce qu’il fallaitdémontrer. Le raisonnement est similaire pour x < a.

Remarque 14.3 – Sous les mêmes hypothèses, on peut écrire qu’il existe une fonction ε telle que :f (x) = Tn, f ,a(x)+ (x −a)nε(x) avec lim

x→aε(x) = 0.

Soit f : I →C et soit a ∈ I, si f est de classe C n sur l’intervalle I, alors f admet un dln(a) et sa partierégulière est Tn, f ,a(x), c’est à dire son polynôme de Taylor en a à l’ordre n. Si f est de classe C ∞ sur I,alors f admet un dl en tout point de I et à n’importe quel ordre.

Théorème 14.2

3) Développements usuels en 0

– exp(x) =n∑

k=0

xk

k ! +o0

(xn).

– ln(1+x) =n∑

k=1(−1)k−1 xk

k +o0

(xn).

– sin(x) =n∑

k=0(−1)k x2k+1

(2k+1)! +o0

(x2n+2

)(il s’agit du dl2n+2(0)).

– cos(x) =n∑

k=0(−1)k x2k

(2k)! +o0

(x2n+1

)(il s’agit d’un dl2n+1(0)).

– sh(x) =n∑

k=0

x2k+1

(2k+1)! +o0

(x2n+2

)(il s’agit du dl2n+2(0)).

– ch(x) =n∑

k=0

x2k

(2k)! +o0

(x2n+1

)(il s’agit d’un dl2n+1(0)).

– (1+ x)α =n∑

k=0

(α

k

)xk +o

0

(xn)

, où

(α

k

)= α(α−1) · · · (α−k +1)

k !, formule des coefficients du binôme

généralisée. En particulier : 11+x =

n∑k=0

(−1)k xk +o0

(xn).

À retenir



MO

NTA

IGN

E

Propriétés Chapitre 14 : Développements limités

II PROPRIÉTÉS

1) Généralités

Si f admet un dln(a) alors pour tout entier p ∈ J0;nK, f admet un dlp (a) dont la partie régulières’obtient en tronquant la partie régulière du dln(a) au degré p.

Théorème 14.3 (troncature)


Si f admet un dln(a) alors celui-ci est unique.Théorème 14.4 (unicité du dl)

Preuve : Par récurrence sur n. Au rang 0 c’est évident avec un passage à la limite. Supposons l’unicité montrée au rangn−1. Si f a deux dln(a), alors par troncature elle a deux dln−1(a), ils sont donc égaux, ce qui donne après simplificationαn(x −a)n +o

a((x −a)n) = βn(x −a)n +o

a((x −a)n), en simplifiant par (x −a)n (pour x 6= a), et par passage à la limite en

a, on obtient αn = βn et on a bien l’unicité au rang n.

Changement de variableOn peut toujours se ramener en a = 0 :– On pose u = x −a, on a alors f (x) = f (u +a) = g (u), d’où :

f admet un dln(a) ⇐⇒∃ P ∈Cn[X], f (x) = P(x −a)+oa

((x −a)n)

⇐⇒∃ P ∈Cn[X], g (u) = P(u)+o0

(un)

⇐⇒ g admet un dln(0).

– Si f est définie au voisinage de ±∞ : on pose u = 1x , on a alors f (x) = f ( 1

u ) = g (u). Si g admet un dln(0) ;alors il existe un polynôme P ∈Cn[X] tel queg (u) = P(u)+o

0(un), ce qui donne f (x) = P( 1

x )+ o±∞( 1

xn

), on

dit alors que f admet un développement asymptotique en 1x d’ordre n en ±∞, on remarquera que la

partie régulière n’est pas un polynôme en x mais en 1x .

• f admet un dl0(a) si et seulement si f admet une limite finie en a.• f admet un dl1(a) si et seulement si f admet un prolongement continu dérivable en a.• Si f admet un dln(0), alors la partie régulière a la même parité que f .

Théorème 14.5


Une fonction peut avoir un dl2(a) sans être deux fois dérivable en a.

Attention!

FExercice 14.1 Soit f (x) = exp(− 1x2 )sin(exp( 1

x2 )), montrer que f admet des développements limités à n’importe quel

ordre en 0, mais qu’elle n’est pas deux fois dérivable en 0.

Solution 14.1 On a pour tout entier n, f (x) = o0

(xn), donc f admet des dl en 0 à n’importe quel ordre et la partie

régulière est nulle, en particulier f se prolonge par continuité en 0 en posant f (0) = 0, et ce prolongement est dérivableen 0 avec f ′(0) = 0. Pour x 6= 0, on a f ′(x) = 2

x3 f (x)− 2x3 cos(exp( 1

x2 )), or la fonction x 7→ 1x4 cos(exp( 1

x2 )) n’a pas de limite

en 0 (considérer par exemple la suite un = 1pln(nπ)

), on en déduit que f ′(x)x n’a pas de limite en 0 et donc que f n’est pas

deux fois dérivable en 0.

Plus simplement, on peut montrer que la fonction définie par f (x) = x3 sin( 1x ) avec f (0) = 0, admet un dl2(0) (dont

la partie régulière est nulle), mais f ′ n’est pas dérivable en 0, donc f n’est pas deux fois dérivable en 0.

2) Règles de calculs



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E

Propriétés Chapitre 14 : Développements limités

Si f , g admettent un dln(0), f (x) = P(x)+o0

(xn) et g (x) = Q(x)+o0

(xn), avec P,Q ∈Cn[X].

– DL d’une combinaison linéaire : ∀ λ ∈C,λ f + g admet un dln(0) dont la partie régulière en λP(x)+Q(x).

– DL d’un produit : f (x)× g (x) admet un dln(0) dont la partie régulière est [P(x)Q(x)]n (polynômeP(x)×Q(x) tronqué au degré n).

– DL d’une composée : si limx→0

g (x) = 0, alors f (g (x)) admet un dln(0) dont la partie régulière est

[P(Q(x))]n .– Intégration des DL : si f ′ admet un dln(0) dont la partie régulière est P(x), alors f admet un dln+1(0)

dont la partie régulière est : f (0)+∫ x0 P(t )d t .

– Inversion d’un DL : si limx→0

f (x) = a 6= 0, alors 1f (x) admet un dln(0) qui s’obtient en composant le

dln(0) de 11+u avec celui de f (x)−a

a , et en multipliant par 1a .

Théorème 14.6

Preuve : Donnons un exemple pour la composition avec n = 2 : f (x) = a+bx +cx2 +x2u(x) et g (x) = αx +βx2 +x2v(x),avec u et v de limite nulle en 0, on en déduit en composant : f (g (x)) = a + b(αx + βx2 + x2v(x)))+ c(αx + βx2 +v(x))2 + (αx +βx2 +x2v(x))2u(g (x)), ce qui donne après avoir développer et regrouper les puissances de x strictementsupérieures à 2 : f (g (x)) = a +bαx + [bβ+ cα2]x2 +o

0

(x2

), on peut vérifier que la partie régulière est la troncature au

degré 2 de P(Q(x)).Pour l’intégration : on a f ′(t) = P(t)+ t nu(t) avec lim

x→0u(x) = 0. On se donne ε > 0, au voisinage de 0 on aura

| f ′(t )−P(t )|6 |t |nε, en appliquant l’inégalité des accroissements finis généralisée, on obtient pour x au voisinage de 0,| f (x)− f (0)−∫ x

0 P(t )d t |6 ε|x|n+1, ce qui prouve le résultat.

Pour 1f (x) : comme a 6= 0, on a 1

f (x) = 1a

1

1+ f (x)−aa

, et f (x)−aa −→

x→00, donc la règle de composition s’applique.

Il n’y a pas de propriété de dérivation de DL. Par exemple, on vérifiera que la fonction définie par f (x) = x2 sin( 1x )

avec f (0) = 0, admet un dl1(0) (dont la partie régulière est nulle), mais f ′ n’a pas de limite fine en 0, donc f ′ n’a pasde dl0(0).

Attention!

3) Développements usuels (compléments)

Pour x 6= 1, on an∑

k=0xk = 1−xn+1

1−x , on en déduit :

1

1−x=

n∑k=0

xk + xn+1

1−x=

n∑k=0

xk +o0

(xn)

.

En substituant −x à x, on obtient :

1

1+x=

n∑k=0

(−1)k xk +o0

(xn)

.

En intégrant ce dernier développement entre 0 et x, on obtient :

ln(1+x) =n∑

k=0(−1)k xk+1

k +1+o

0

(xn+1).

En substituant x2 à x dans l’avant dernier, on obtient :

1

1+x2 =n∑

k=0(−1)k x2k +o

0

(x2n+1) c’est un dl2n+1(0).

En intégrant ce dernier développement entre 0 et x, on obtient :

arctan(x) =n∑

k=0(−1)k x2k+1

2k +1+o

0

(x2n+2).



MO

NTA

IGN

E

Applications Chapitre 14 : Développements limités

On a :1p

1+x=

n∑k=0

(−1/2

k

)xk +o

0

(xn)

.

Or(−1/2

k

)= (−1)k 1×3×...×(2k−1)k !2k = (−1)k (2k

k )4k , on a finalement :

1p1+x

=n∑

k=0(−1)k

(2kk

)4k

xk +o0

(xn)

.

On en déduit que :

1p1−x2

=n∑

k=0

(2kk

)4k

x2k +o0

(x2n+1).

En intégrant entre 0 et x, obtient :

arcsin(x) =n∑

k=0

(2kk

)4k (2k +1)

x2k+1 +o0

(x2n+2).

et :

arccos(x) = π

2−

n∑k=0

(2kk

)4k (2k +1)

x2k+1 +o0

(x2n+2).

ZExemples :– Calculer un dl3(0) de exp(sin(x)).

On a sin(x) = x − x3

6 +o0

(x3

)et exp(u) = 1+u + u2

2 + u3

6 +o0

(u3

). Comme lim

x→0sin(x) = 0, on peut appli-

quer le théorème de composition, et composer les parties régulières jusqu’à l’ordre 3, ce qui donneexp(sin(x)) = 1+x + x2

2 +o0

(x3

).

– Calculer un dl4(0) de (1+ sin(x))x .L’expression est égale à exp[x ln(1+sin(x))]. Un dl3(0) de sin(x) est sin(x) = x− x3

6 +o0

(x3

), et ln(1+u) =

u − u2 + u3

3 + o0

(u3

), on obtient par composition, ln(1+ sin(x)) = x − x2

2 + x3

6 + o0

(x3

)et donc x ln(1+

sin(x)) = x2 − x3

2 + x4

6 + o0

(x4

). On a également exp(v) = 1 + v + v2

2 + o0

(v2

), d’où par composition :

exp[x ln(1+ sin(x))] = 1+x2 − x3

2 +2 x4

3 +o0

(x4

).

– Calculer un dl5(0) de tan(x) :On a tan(x) = sin(x)× 1

cos(x) . sin(x) = x − x3

6 + x5

120 +o0

(x5

). D’autre part 1

cos(x) = 11+u avec u = cos(x)−1,

comme u → 0, on pourra donc composer, cos(x)−1 =− x2

2 + x4

24 +o0

(x5

)et 1

1+u = 1−u +u2 +o0

(u2

), ce

qui donne : 1cos(x) = 1+ x2

2 +5 x4

24 +o0

(x5

). On effectue ensuite le produit avec le dl de sin(x), ce qui donne

tan(x) = x + x3

3 + 2x5

15 +o0

(x5

).

Autre méthode : on a tan(x) = 0+o0

(1), d’où 1+ tan(x)2 = 1+o0

(1), en intégrant, on obtient tan(x) =x +o

0(x). Puis on recommence : 1+ tan(x)2 = 1+x2 +o

0

(x2

)et donc tan(x) = x + x3

3 +o0

(x3

), mais alors

1+ tan(x)2 = 1+x2 + 2x4

3 +o0

(x4

), et donc tan(x) = x + x3

3 + 2x5

15 +o0

(x5

)... etc

III APPLICATIONS

1) Recherche d’une limite

– Soit f (x) = x2−1−2x ln(x)x(x−1)ln(x) , calculer lim

x→1f (x).

Il s’agit bien d’une forme indéterminée, on ramène le problème en 0 en posant u = x − 1, ce qui

donne f (x) = u2+2u−2(1−u) ln(1+u)u(1+u) ln(1+u) ∼

0

u2+2u−2(1+u) ln(1+u)u2 . On cherche alors un dl2(0) du numérateur, ce

qui donne o0

(u2

), on a donc f (x) = f (1+u) ∼

0o0

(1) et donc la limite cherchée est nulle.



MO

NTA

IGN

E


– Calculer limx→+∞x2 ln( x

1+x )+x −1.

Il s’agit bien d’une forme indéterminée, on se ramène en 0 en posant u = 1/x, on a alors f (x) = f ( 1u ) =

−1u2 ln(1+u)+ 1

u −1, ce qui donne f ( 1u ) = −1

2 +o0

(1), et donc la limite cherchée est −12 .

2) Étude locale d’une fonction au voisinage d’un point

Si f a un dl2(a), f (x) = a0 +a1(x −a)+a2(x −a)2 +oa

((x −a)2

), alors on voit que lim

x→af (x) = a0, on peut

donc prolonger f par continuité en a, en posant f (a) = a0 (si ce n’est pas déjà fait !). Le taux d’accroissement

en a s’écrit : f (x)−a0

x−a = a1 +oa

(1), donc ce prolongement est dérivable en a et f ′(a) = a1. L’équation de la

tangente à la courbe au point d’abscisse a est y = a1(x −a)+a0, et l’étude de la position courbe-tangente sefait en étudiant le signe de f (x)− [a0 +a1(x −a)] = (x −a)2[a2 +o

a(1)], d’où la discussion :

– si a2 > 0 : alors au voisinage de a on a [a2 +oa

(1)] > 0 et donc f (x) > a0 + a1(x − a), i.e. la courbe est

au-dessus de sa tangente au voisinage de a.– si a2 < 0 : c’est la situation inverse.– si a2 = 0 : on ne peut rien dire, il faut aller plus loin dans le développement limité. Dans la pratique on

s’arrête au premier terme non nul de degré supérieur ou égal à 2.

ZExemple : Soit f (x) = x ln(x)x2−1 , effectuons une étude locale en a = 1 : on pose u = x −1 d’où f (x) = f (1+u) =

ln(1+u)u (1+u) 1

2[1+u/2] , le calcul donne f (x) = f (1+u) = 12 − u2

12 +o0

(u2

). On en déduit que f se prolonge par

continuité en 1 en posant f (1) = 12 , ce prolongement est dérivable en 1 et f ′(1) = 0, de plus, au voisinage de 1,

la courbe est en-dessous de la tangente. On a donc un maximum local en 1.

3) Étude locale au voisinage de l’infini

Si f est définie au voisinage de ∞ et admet une limite infinie, alors on peut étudier la branche infinie

de f de la manière suivante : on pose g (x) = f (x)x , on se ramène en 0 en posant u = 1/x, ce qui donne

g (x) = g (1/u) = u f (1/u), et on cherche un dl2(0) de cette expression : u f (1/u) = a0 + a1u + a2u2 +o0

(u2

),

ce qui donne en revenant à x, f (x) = a0x +a1 +a21x + o∞

( 1x

), d’où lim

x→∞ f (x)− [a0x +a1] = 0, donc la droite

d’équation y = a0x +a1 est asymptote à C f au voisinage de ∞. Pour la position courbe-asymptote, on étudiela différence : f (x)− [a0x +a1] = 1

x [a2+ o∞(1)], l’étude du signe se fait comme dans le paragraphe précédent si

a2 6= 0. Lorsque a2 = 0 il faut aller plus loin dans le développement pour avoir le signe.

ZExemple : f (x) = 3√

x4

x−3 au voisinage de +∞.

On voit que f est définie au voisinage de +∞ et que f (x) ∼+∞ x, il y a donc une branche infinie de direction

asymptotique y = x. Posons u = 1/x, on a alors f (x)x = u f ( 1

u ) = 1+u+2u2+o0

(u2

), d’où f (x) = x+1+ 2

x + o+∞( 1

x

).

Donc la droite d’équation y = x +1 est asymptote à la courbe de f en +∞, et au voisinage de +∞ la courbede f est au-dessus.

4) Recherche d’un équivalent

Si f admet un dln(a), alors f (x) est équivalente en a au terme non nul de plus bas degré de la partierégulière, s’il existe.

Théorème 14.7

Preuve : Soit ap (x −a)p le premier terme non nul, on a alors f (x) = ap (x −a)p +oa

((x −a)p ) = (x −a)p [1+oa

(1)], ce qui

prouve l’équivalence annoncée.

Remarque 14.4 –– En se ramenant en 0, on peut également trouver un équivalent d’une fonction en ±∞.– Avec ce théorème, on retrouve tous les équivalents dits « classiques ».



MO

NTA

IGN

E


FExercice 14.2 Équivalent en 0 de la fonction f (x) = arcsin(x)p1−x2

− 3x3−2x2 .

Solution 14.2 On a 1p1−x2

= 1+ x2

2 + 3x4

8 +o0

(x5

), en intégrant on obtient arcsin(x) = x+ x3

6 + 3x5

40 +o0

(x5

), en effectuant le

produit, il vient que : arcsin(x)p1−x2

= x + 2x3

3 + 8x5

15 +o0

(x5

). D’un autre côté, on a 3x

3−2x2 = x 11−2x2/3

= x[1+ 2x2

3 + 4x4

9 +o0

(x4

)] =

x + 2x3

3 + 4x5

9 +o0

(x5

). Finalement, on a f (x) = 4x5

45 +o0

(x5

), et donc f (x) ∼

0

4x5

45 .



MO

NTA

IGN

EChapitre 15

Structures algébriques

SommaireI Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

2) Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

II Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2) Sous-groupes d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

III Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1) Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2) Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

I LOIS DE COMPOSITION INTERNE

1) Définitions

Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne (ou lci) dans E toute applicationde E×E vers E. L’image d’un couple (x, y) ∈ E2 par une telle application est en général noté sous laforme d’une opération avec un symbole : x + y ou x × y ou x ∗ y ou x.y ou xTy , ... Et on écrira (E,∗)pour dire que l’ensemble E est muni d’une lci notée ∗.

Définition 15.1 (loi de composition interne)

ZExemples :– L’addition et la multiplication des nombres sont des lci dansN, dans Z, dansQ, dans R, dans Cmais

pas dans [−2;2] par exemple.– L’addition et la multiplication des fonctions dans (F (A,C) sont des lci (A étant un ensemble non vide).

En particulier l’addition et la multiplication des suites sont des lci dans F (N,C).– L’addition et la multiplication des polynômes sont des lci dans K[X]. Si n ∈N, l’addition est une lci

dansKn[X] mais pas la multiplication.– Soit E un ensemble non vide, on note SE =

f : E → E | f est bijective

(ensemble des permutations deE). La composition des applications (dite loi ) est une lci dans SE.

FExercice 15.1 Soit E =]−1;1[. Pour x, y ∈ E, on pose x ∗ y = x+y1+x y . Montrer que l’on définit ainsi une lci dans E.

Soit (E,∗) un ensemble muni d’une lci.• On dit que la loi est associative lorsque : ∀x, y, z ∈ E, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y)∗ z.•On dit que deux éléments x et y de E commutent lorsque x∗y = y∗x. Si tous les éléments commutentdeux à deux, non dit que la lci est commutative.

Définition 15.2 (associativité, commutativité)



MO

NTA

IGN

E

Lois de composition interne Chapitre 15 : Structures algébriques

ZExemples :– L’addition et la multiplication des nombres dansN, Z,Q, R, C, sont associatives et commutatives.– L’addition et la multiplication des fonctions dans (F (A,C) (A étant un ensemble non vide) sont asso-

ciatives et commutatives.– L’addition et la multiplication des polynômes sont associatives et commutatives.– Dans (SE,), la loi est associative mais non commutative en général.– Dans (R,∗) avec x ∗ y = x − y pour tout x, y ∈ R, la loi est une lci non commutative (2∗3 = −1 mais

3∗2 = 1) et non associative ( (1∗2)∗3 = (−1)∗3 =−4 et 1∗ (2∗3) = 1∗ (−1) = 2).

FExercice 15.2 Soit E =]−1;1[. Pour x, y ∈ E, on pose x ∗ y = x+y1+x y . Montrer que l’opération ∗ est associative et commuta-

tive.

2) Élément neutre

Soit (E,∗) un ensemble muni d’une lci et soit e ∈ E, on dit que e est un élément neutre pour la loi∗ lorsque ∀x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x. Dans le cas où l’opération est notée additivement, l’élémentneutre (s’il existe) est appelé noté en général 0E (zéro de E). Dans le cas où l’opération est notéemultiplicativement, l’élément neutre (s’il existe) est noté en général 1E (un de E).

Définition 15.3

ZExemples :– L’élément neutre de l’addition des nombres est 0. Celui de la multiplication des nombres est 1.– L’élément neutre de l’addition des fonctions dans (F (A,C) est la fonction constamment nulle. Celui de

la multiplication est la fonction constante x 7→ 1.– L’élément neutre de l’addition des polynômes est le polynôme nul, celui de la multiplication est la

polynôme constant 1.– Dans (SE,), idE est élément neutre.– Dans (R,∗) avec x ∗ y = x − y il y a un élément neutre à droite qui est 0 car ∀x ∈R, x −0 = x, mais il n’y

a pas d’élément neutre à gauche.

FExercice 15.3 Soit E =]− 1;1[. Pour x, y ∈ E, on pose x ∗ y = x+y1+x y . Montrer qu’il y a un élément neutre pour cette

opération.

Remarque 15.1 – Si (E,∗) possède un élément neutre, alors celui-ci est unique. En effet, si on a deux élémentsneutre e et e ′, alors e ∗e ′ = e car e ′ est neutre, et e ∗e ′ = e ′ car e est neutre, d’où e = e ′.

Soit (E,∗) un ensemble muni d’une lci possédant un élément neutre e. On dit que x ∈ E est symétri-sable lorsqu’il existe x ′ ∈ E tel que x ∗ x ′ = x ′ ∗ x = e. Si c’est le cas, on dit que x ′ est un symétriquede x. Dans le cas où l’opération est notée additivement, le symétrique de x est appelé opposé de xet noté −x. Dans le cas où l’opération est notée multiplicativement, le symétrique de x est appeléinverse de x et noté x−1.

Définition 15.4

ZExemples :– Dans (C,+), (R,+), (Q,+) et (Z,+), chaque élément possède un opposé, mais pas dans (N,+).– Dans (C∗,×), (R∗,×), (Q∗,×), chaque élément possède un inverse, mais pas dans (Z∗,×).– Dans (F (A,C),+) chaque fonction possède un opposé.– Dans (F (A,C),×), seules les fonctions qui ne s’annulent jamais ont un inverse.– Dans (K[X],+) chaque polynôme possède un opposé.– Dans (K,×), seuls les polynômes constants non nuls ont un inverse.– Dans (SE,), chaque permutation f de E a un symétrique qui est la bijection réciproque f −1.



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IGN

E

Structure de groupe Chapitre 15 : Structures algébriques

Soit (E,∗) un ensemble muni d’une lci associative et possédant un élément neutre e. Si un élément xpossède un symétrique x ′ dans E, alors celui-ci est unique.

Théorème 15.1

Preuve : Si x ′ et x ′′ sont deux symétriques de x, alors x ′ = x ′∗e = x ′∗ (x ∗x ′′) = (x ′∗x)∗x ′′ = e ∗x ′′ = x ′′.

FExercice 15.4 Soit E =]−1;1[. Pour x, y ∈ E, on pose x∗ y = x+y1+x y . Montrer que chaque élément a un symétrique dans E.

II STRUCTURE DE GROUPE

1) Définitions

Un groupe est un ensemble non vide G muni d’une opération ∗ (ou loi de composition) qui vérifie lespropriétés suivantes :– elle doit être interne : ∀ x, y ∈ G, x ∗ y ∈ G.– elle doit être associative : ∀ x, y, z ∈ G, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y)∗ z.– elle doit posséder un élément neutre : ∃ e ∈ G,∀ x ∈ G,e ∗ x = x ∗ e = x. Si la loi est une addition

l’élément neutre sera noté 0G et on parlera de groupe additif. Si la loi est une multiplication,l’élément neutre sera noté 1G et on parlera de groupe multiplicatif. Dans le cas général l’élémentneutre est souvent noté eG.

– tout élément de G doit avoir un symétrique dans G : ∀ x ∈ G,∃ x ′ ∈ G, x∗x ′ = x ′∗x = eG. En notationadditive, le symétrique de x est appelé opposé de x et noté −x, en notation multiplicative onl’appelle inverse de x et on le note x−1.

Lorsque toutes ces conditions sont remplies, on dit (G,∗) est un groupe. Si en plus la loi ∗ est commu-tative (∀ x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗x), alors on dit que (G,∗) est un groupe abélien (ou groupe commutatif).

Définition 15.5

ZExemples :– (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Q∗,×), (R∗,×), (C∗,×) sont des groupes abéliens.– (N,+) et (Z∗,×) ne sont pas des groupes.– (F (I,C),+) est un groupe abélien pour l’addition des fonctions (ou des suites si I =N).– (K[X],+) est un groupe abélien.– Si E est un ensemble non vide, (SE,) est un groupe (non abélien en général), on appelle groupe des

permutations de E.

Soit (G,∗) un groupe :– Soient x, y ∈ G, le symétrique de x ∗ y est : (x ∗ y)′ = y ′∗x ′.– Soient a,b ∈ G, l’équation a ∗x = b admet comme unique solution dans G, x = a′∗b.– Soient a,b,c ∈ G, si a ∗b = a ∗ c alors b = c (régularité à gauche).– Soient a,b,c ∈ G, si b ∗a = c ∗a alors b = c (régularité à droite).

À retenir : Règles de calculs

FExercice 15.5 Soit n> 2, dansKn (K=R ou C) on définit l’addition :(x1, . . . , xn)+ (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

Montrer que (Kn ,+) est un groupe abélien.

2) Sous-groupes d’un groupe

Soit (G, .) un groupe et H un ensemble, on dit que H est un sous-groupe de (G, .) lorsque :H ⊂ G; H 6= ; et ∀ x, y ∈ H, x.y ∈ H, x−1 ∈ H.

Définition 15.6



MO

NTA

IGN

E

Anneaux et corps Chapitre 15 : Structures algébriques

ZExemples :– e et G sont des sous-groupes de (G, .), ils sont appelés sous-groupes triviaux de (G, .).– Si (H, .) est un groupe inclus dans un groupe (G, .) pour la même loi, alors H est un sous-groupe de G,

car on vérifie facilement que l’élément neutre de G est forcément égal à l’élément neutre de H, ce quientraîne pour x ∈ H, que son symétrique dans G et son symétrique dans H sont les mêmes.

– (U,×) et (Un ,×) sont des sous-groupes de (C∗,×).– L’ensemble des fonctions définies sur R et 2π-périodiques est un groupe additif, car c’est un sous-

groupe de (F (R,R),+).– L’ensemble des entiers pairs est un groupe additif, car c’est un sous-groupe de (Z,+).– Z[i ] = a + i b | a,b ∈Z est un sous-groupe de (C,+).

Remarque 15.2 – Si H est un sous-groupe de (G, .) alors (H, .) lui-même est un groupe (de même élément neutreque G). Ceci est souvent utilisé dans la pratique pour montrer qu’un ensemble est un groupe pour une loi, onessaie de montrer (quand c’est possible) que c’est un sous-groupe d’un groupe connu pour cette même loi.

H est un sous-groupe de (Z,+) si et seulement si il existe un entier n tel que H = nZ (ensemble desmultiples entiers de n). L’entier n est unique au signe près et si H 6= 0, alors n = minH∗+.

Théorème 15.2 (sous-groupes de (Z,+))

Preuve : Il est facile de vérifier que pour n ∈Z, nZ est un sous-groupe de Z. Si H = 0, alors on peut prendre n = 0 etc’est le seul entier qui convienne. Si H 6= 0, posons, n = minH∗+ (n existe dansN, c’est la propriété fondamentale deN), on a n ∈ H, comme H est un sous-groupe de (Z,+), tout multiple de n est dans H, i.e. nZ⊂ H. Soit k ∈ H effectuonsla division euclidienne de k par n (n 6= 0) : k = nq + r avec 06 r < n. On a donc r = k −nq ∈ H+, si r 6= 0 alors r > nce qui est absurde, donc r = 0 ce qui donne k = nq ∈ nZ, finalement H = nZ. Si on a aussi H = mZ avec m ∈N, alorsnZ= mZ, donc n et m se divisent mutuellement dansN, donc n = m.

Soit G un sous-groupe de (R,+) non réduit à 0, alors soit G est dense dans R, soit G est de la formeG = αZ avec α> 0.

Théorème 15.3 (sous-groupes de (R,+))

Preuve : G∗+ est non vide, soit α= infG∗+.– Si α > 0 : supposons α ∉ G, alors on peut trouver deux éléments de G, g1 et g2 tels que α < g1 < g2 < 2α, mais

alors 0 < g2−g1 < α avec g2−g1 ∈ G∗+ : absurde., donc α ∈ G. On en déduit alors que αZ⊂ G. Soit g ∈ G et n = ⌊ gα

⌋,

alors nα6 g < ((n +1)α et donc 06 g −nα< α, on en déduit que g −nα est nul car c’est un élément positif de G,d’où G = αZ.

– Si α = 0 : soit x ∈ R et ε > 0, il existe g ∈ G tel que 0 < g < ε, soit n =⌊

xg

⌋alors ng 6 x < ng + g < ng + ε, donc

|x −ng | < ε avec ng ∈ G, donc G est dense dans R.

FExercice 15.6 Soient a,b ∈R∗, montrer que G = aZ+bZ est un sous-groupe de (R,+) dense dans R si et seulement si ab

est irrationnel. En déduire que cos(n) | n ∈N est dense dans [−1;1].

Une intersection de sous-groupes de (G, .), est un sous-groupe de (G, .), mais ceci n’est pas vrai pourla réunion.

Théorème 15.4 (propriétés des sous-groupes)

Preuve : Celle-ci est laissée en exercice. Donnons cependant un contre-exemple pour la réunion : 2Z∪3Z n’est pasun sous-groupe de (Z,+), car 2 et 3 sont dans la réunion, mais pas 2+3 = 5, cet ensemble n’est donc pas stable pourl’addition (les autres conditions sont néanmoins remplies).

III ANNEAUX ET CORPS

1) Anneaux



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E


Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition internes : une addition et unemultiplication, qui vérifient :– (A,+) est un groupe abélien.– La multiplication :

• est associative,• admet un élément neutre (noté 1).• est distributive sur l’addition.

Si de plus la multiplication est commutative, on dit que (A,+,×) est un anneau commutatif.

Définition 15.7

ZExemples :– (Z,+,×) est un anneau commutatif mais ce n’est pas un corps.– (F (N,C),+,×) est un anneau commutatif.– Si E est un ensemble non vide, l’ensemble des fonctions de E dans Cmuni des opérations usuelles sur

les fonctions, est un anneau commutatif, i.e. (F (E,C),+,×) est un anneau commutatif.– Plus généralement, si (A,+,×) est un anneau et E est un ensemble non vide, alors (F (E, A),+,×) est un

anneau.

Soit (A,+,×) un anneau :– ∀ x ∈ A, x ×0 = 0×x = 0.– ∀ x, y ∈ A,−(x × y) = (−x)× y = x × (−y).– ∀ x, y ∈ A, si x et y sont inversibles (pour la multiplication), alors x × y est inversible est (x × y)−1 =

y−1 ×x−1.– Si x ∈ A et p ∈Z alors on note p.x = 0 si p = 0, p.x = x+·· ·+x, p fois si p > 0, et p.x = (−x)+·· ·+(−x),

−p fois si p < 0. On note également xp = 1A si p = 0, xp = x × ·· · × x, p fois si p > 0, et xp =x−1 ×·· ·×x−1, −p fois si p < 0 et x inversible.

– ∀ x, y ∈ A, si x et y commutent (x × y = y ×x), alors on peut utiliser la formule du binôme, c’est àdire : ∀ n ∈N, (x + y)n =∑n

k=0

(nk

).xk × yn−k =∑n

k=0

(nk

).xn−k × yk .

– Si x, y ∈ A avec x × y = y ×x alors ∀n ∈N∗ : xn − yn = (x − y)∑n−1

k=0 ak bn−1−k .

À retenir : Règles de calculs dans un anneau

FExercice 15.7 Si x ∈ A, simplifier (1−x)∑n

k=0 xk et (1+x)∑n

k=0(−1)k xk .

Soit (A,+,×) un anneau, l’ensemble des inversibles de A est noté U(A), cet ensemble est un groupemultiplicatif. (U(A),×) est appelé groupe des unités de A.

Théorème 15.5 (groupe des inversibles)


ZExemples :– U(Z) = ±1.– Si A est l’anneau des suites complexes, alors U(A) est l’ensemble des suites complexes qui ne s’annulent

pas.

Soit (A,+,×) un anneau. On dit que A est un anneau intègre lorsque le produit de deux éléments nonnuls est toujours non nul, sinon on dit que A est un anneau non intègre.

Définition 15.8 (anneau intègre)



MO

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IGN

E


Remarque 15.3 –– Dans un anneau intègre, un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est

nul.– (Z,+,×) est un anneau intègre.– L’ensemble des suites complexes est un anneau non intègre.

Soit (A,+,×) un anneau, et soit H un ensemble, on dit que H est un sous-anneau de A lorsque :– H ⊂ A.– 1A ∈ H.– ∀ x, y ∈ H, x + y ∈ H, x × y ∈ H et −x ∈ H.Si c’est le cas, alors (H,+,×) est lui-même un anneau.

Définition 15.9 (sous-anneaux d’un anneau)

ZExemple : Z[i ] est un sous-anneau de (C,+,×).

Une intersection de sous-anneaux de (A,+,×) est un sous-anneau de A.Théorème 15.6


2) Corps

Un corps est un ensemble E muni de deux opérations (ou deux lois de composition), une addition etune multiplication. Ces deux opérations doivent vérifier les propriétés suivantes :– (E,+,×) est un anneau.– U(E) = E \ 0, i.e. : ∀ x ∈ E \ 0, x a un inverse dans E. Si de plus la multiplication est commutative,

on dit que (E,+,×) est un corps commutatif.

Définition 15.10

ZExemples :– (R,+,×), (Q,+,×), (C,+,×) sont des corps commutatifs, mais (Z,+,×) n’est pas un corps.– Il existe des corps non commutatifs (corps des quaternions).

Remarque 15.4 –– Un corps est toujours intègre.– Les règles de calculs sont les mêmes que dans un anneau.

Soit (K,+,×) un corps et soit H un ensemble, on dit que H est un sous-corps de K lorsque :– H ⊂ K.– 1K ∈ H.– ∀ x, y ∈ H, x + y ∈ H, −x ∈ H et x × y ∈ H.– ∀ x ∈ H \ 0, x−1 ∈ H.Si c’est le cas alors (H,+,×) est lui-même un corps.

Définition 15.11 (sous-corps d’un corps)

ZExemples :– Q est un sous-corps de R qui est lui-même un sous-corps de C.– Q[i ] = a + i b / a,b ∈Q est un sous-corps de (C,+,×).– Q[

p2] = a +b

p2 / a,b ∈Q est un sous-corps de R.



MO

NTA

IGN

EChapitre 16

Polynômes

SommaireI Ensemble des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2) Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

II Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

1) Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2) Algorithme de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

III Fonctions polynomiales, racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1) Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2) Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3) Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4) Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5) Relations racines coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

IV Formule de Taylor des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1) Dérivation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2) Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Dans tout ce chapitre,K désigne un corps inclus dans C.

I ENSEMBLE DES POLYNÔMES

1) Définition

On appelle polynôme à coefficients dans K toute somme de la forme : P = a0 +a1X+·· ·+ cnXn , oùn ∈N, a0, . . . , an ∈K, et où X est un symbole appelé indéterminée. Les ai sont appelés coefficients dupolynôme. Si tous les coefficients sont nuls, on dit que P est le polynôme nul. Si tous les coefficientssont nuls sauf un, le polynôme est appelé monôme. Si tous les coefficients sont nuls à partir de l’indice1, on dit que le polynôme est constant. L’ensemble des polynômes à coefficients dansK est notéK[X].

Définition 16.1

Remarque 16.1 – Il est commode de noter les polynômes sous la forme∑

k∈Nak Xk avec la convention que les

coefficients sont tous nuls à partir d’un certain rang. Ainsi on peut dire que les coefficients d’un polynômeforment une suite (ak ) d’éléments deK, nulle à partir d’un certain rang.



MO

NTA

IGN

E

Division euclidienne Chapitre 16 : Polynômes

On pose :∑

k∈Nak Xk = ∑

k∈Nbk Xk ⇐⇒∀k ∈N, ak = bk (mêmes coefficients).

Définition 16.2 (égalité de deux polynômes)

2) Opérations sur les polynômes

Soient P = ∑k∈N

ak Xk et Q = ∑k∈N

bk Xk deux polynômes. Il existe deux entiers N et N′ tels que : n>N =⇒ an =0, et n>N′ =⇒ bn = 0, par conséquent si n>max(N,N′), alors an +bn = 0. Si λ ∈K, alors n>N =⇒ λan = 0.

On pose : P+Q = ∑k∈N

(ak +bk )Xk , et pour λ ∈K, on pose λ.P = ∑k∈N

λak Xk . On définit ainsi une addition

interne dansK[X] et un produit par les scalaires.

Définition 16.3 (Somme et produit par un scalaire)

Propriétés : (K[X],+, .) est unK-espace vectoriel.

Avec les notations précédentes, pour n ∈N, on pose cn =n∑

k=0ak bn−k , si n>N+N′−1, alors il est facile de

voir que pour toute valeur de k dans J0;nK, le produit ak bn−k est nul, et donc cn est nul.

On pose P × Q = ∑n∈N

cnXn où la suite (cn) est définie par : cn =n∑

k=0ak bn−k . On définit ainsi une

multiplication interne dansK[X].

Définition 16.4 (Produit de deux polynômes)

Remarque 16.2 – On a aussi cn =n∑

k=0an−k bk = ∑

p+q=nap bq .

Propriétés : on vérifie que cette multiplication :– est commutative,– est associative,– possède un élément neutre qui est le polynôme constant 1.– est distributive sur l’addition.

Par conséquent : (K[X],+,×)est un anneau.

On a également : ∀P,Q ∈K[X],∀λ ∈K, λ.(P×Q) = (λ.P)×Q = P× (λ.Q).

∑n∈N

anXn = ∑n∈N

bnXn ⇐⇒∀ n ∈N, an = bn .( ∑n∈N

anXn)+

( ∑n∈N

bnXn)= ∑

n∈N(an +bn)Xn .( ∑

n∈NanXn

)×

( ∑n∈N

bnXn)= ∑

n∈N

( ∑p+q=n

ap bq

)Xn .∑

n∈NanXn ∈K⇐⇒∀ n> 1, an = 0.

À retenir

II DIVISION EUCLIDIENNE

1) Degré d’un polynôme

Soit P ∈K[X], si P = 0 alors tous les coefficients de P sont nuls, si P 6= 0, alors l’ensemble des indices descoefficients non nuls de P n’est pas vide, et il est majoré (les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang),donc cet ensemble admet un plus grand élément.



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Division euclidienne Chapitre 16 : Polynômes

Soit P ∈K[X], si P = 0 alors on pose deg(P) =−∞, sinon on pose deg(P) = maxk ∈N / ak 6= 0. Si P estnon nul de degré n, alors le coefficient an est appelé coefficient dominant de P, si ce coefficient vaut1, alors on dit que le polynôme P est unitaire (ou normalisé).

Définition 16.5

Remarque 16.3 – Caractérisations du polynôme nul et des polynômes constants non nuls– P = 0 ⇐⇒ deg(P) =−∞.– P ∈K∗ ⇐⇒ deg(P) = 0.

Soient P,Q ∈K[X],deg(P+Q)6max(deg(P),deg(Q)), et deg(P×Q) = deg(P)+deg(Q).Théorème 16.1

Preuve : Si l’un des deux polynômes est nul, alors le théorème est évident. Supposons les deux polynômes non nuls : P =∑n

anXn et Q =∑n

bnXn , si an+bn 6= 0 alors an 6= 0 ou bn 6= 0, donc n6 deg(P) ou n6 deg(Q) i.e. n6max(deg(P),deg(Q)),

ce qui prouve le premier résultat.P×Q = ∑

ncnXn où cn = ∑

p+q=nap bq . Posons N = deg(P) et N′ = deg(Q), il est clair que cN+N′ = aNbN′ 6= 0, d’autre

part si n > N+N′, alors si p + q = n on a p > N ou q > N′ donc ap bq = 0 ce qui entraîne cn = 0. Par conséquent,deg(P×Q) = N+N′ = deg(P)+deg(Q).

Remarque 16.4 – Lorsque P et Q ont des degrés distincts, ou bien lorsque P et Q ont même degré mais descoefficients dominants non opposés, alors deg(P+Q) = max(deg(P),deg(Q)).

L’anneau (K[X],+,×) est un anneau intègre, et seuls les polynômes constants non nuls ont un inversedansK[X].

Théorème 16.2

Preuve : Si P et Q sont deux polynômes non nuls, alors deg(P×Q) = deg(P)+deg(Q) ∈N, donc P×Q 6= 0, ce qui prouvequeK[X] est intègre.

Si P est inversible dans K[X], alors il existe un polynôme Q tel que P ×Q = 1, d’où deg(P)+deg(Q) = 0, ce quientraîne deg(P) = deg(Q) = 0 et donc P ∈K∗. La réciproque est évidente.

Notation : Soit n ∈N, on noteKn[X] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n :

Kn[X] = P ∈K[X] / deg(P)6 n

2) Algorithme de la division euclidienne

Soient A et B deux polynômes avec B 6= 0, alors il existe deux polynômes Q et R uniques tels que :A = B×Q+R avec deg(R) < deg(B)

Théorème 16.3 (de la division euclidienne)

Preuve : Pour l’existence : si deg(A) < deg(B), alors on peut prendre Q = 0 et R = A; si deg(A) = deg(B) = d : soit ad

le coefficient dominant de A, et bd celui de B, posons Q = adbd

, alors le coefficient dominant de B×Q est ad , doncdeg(A−B×Q) < d = deg(B), on peut donc prendre R = A−B×Q. Supposons maintenant l’existence démontréepour deg(A) 6 n avec n > d , et soit A de degré n +1, notons an+1 son coefficient dominant, soit Q′ = an+1

bdXn+1−d ,

alors deg(B×Q′) = n +1 et le coefficient dominant de B×Q′ est an+1, donc deg(A−B×Q′)6 n, d’après l’hypothèsede récurrence, il existe deux polynômes Q′′ et R tels que A−B×Q′ = B×Q"+R avec deg(R) < deg(B), mais alorsA = B× (Q′+Q′′)+R, ce qui prouve l’existence au rang n +1.

Pour l’unicité : supposons que A = B×Q+R = B×Q′+R′ avec deg(R) < deg(B) et deg(R′) < deg(B), alors B×(Q−Q′) =R′−R, d’où deg(B)+deg(Q−Q′) = deg(R′−R) < deg(B), comme deg(B)> 0, on a nécessairement deg(Q−Q′) =−∞=deg(R′−R), et donc Q = Q′,R = R′.



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Fonctions polynomiales, racines Chapitre 16 : Polynômes

Remarque 16.5 – La démonstration est constructive, en ce sens qu’elle donne un algorithme de calcul duquotient (Q) et du reste (R).

ZExemple : Avec A = X4 + aX2 + bX + c et B = X2 +X + 1, on obtient le quotient Q = X2 −X + a et le resteR = (b −a +1)X+ c −a. On peut vérifier que A = B× (X2 −X+a)+ (b −a +1)X+ c −a.

3) Divisibilité

Soient A,B ∈K[X], on dit que B divise A lorsqu’il existe un polynôme Q tel que A = Q×B, notation B|A.

Définition 16.6

Remarque 16.6 – On définit ainsi une relation dansK[X], on peut vérifier que celle - ci est réflexive, transitive,mais elle n’est ni symétrique, ni antisymétrique. Plus précisément, B|A et A|B ssi il existe λ ∈K∗ tel que A = λB(on dit que A et B sont associés).

– Si B 6= 0, alors B|A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.– Si A 6= 0 et B|A, alors deg(B)6 deg(A).– Si B|A et B|C, alors ∀ U,V ∈K[X],B|A×U+C×V.

Théorème 16.4


Remarque 16.7 – Il découle du dernier point que si B|A−C et B|D−E, alors B|(A+D)− (C+E) et B|AD−EC,en particulier, si B|A−C alors ∀ n ∈N,B|An −Cn .

III FONCTIONS POLYNOMIALES, RACINES

1) Substitution

Soit A uneK-algèbre et soit a ∈A , l’application : Sa : K[X] → An∑

k=0αk Xk 7→

n∑k=0

αk ak

, est un morphisme

deK-algèbres, c’est à dire : ∀ P,Q ∈K[X],∀ λ ∈K– Sa(P+Q) = Sa(P)+Sa(Q).– Sa(P×Q) = Sa(P)×Sa(Q).– Sa(λP) = λSa(P).– Sa(1) = 1.

Théorème 16.5

Preuve : Celle - ci repose sur les règles de calculs dans une algèbre.

Remarque 16.8 – L’application Sa est appelée substitution par a. Concrètement, le théorème ci - dessus dit quela substitution par a consiste simplement à remplacer l’indéterminée X par a. Par exemple, si on a P = Q×B+R,alors Sa(P) = Sa(Q)×Sa(B)+Sa(R).

2) Fonctions polynomiales

L’application : P : K → K

x 7→ Sx (P), est appelée fonction polynomiale associée au polynôme P. Si

P =n∑

k=0ak Xk , alors P : x 7→

n∑k=0

ak xk où x est une variable qui décritK.

Définition 16.7



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Remarque 16.9 – On prendra garde à ne pas confondre la variable x, qui est un élément deK, avec l’indéter-minée X (qui n’appartient pas àK).

Remarque 16.10 – On a P+Q = P+ Q, P×Q = P× Q, λ.P = λ.P.

3) Racines d’un polynôme

Soit P =n∑

k=0ak Xk ∈K[X], on appelle racine de P dansK tout élément a ∈K tel que P(a) = 0, c’est à dire

toute solution dansK à l’équationn∑

k=0ak xk = 0.

Définition 16.8

Soit P ∈K[X] :– Soit a ∈K, a est racine de P ssi X−a|P.– Si deg(P)6 n et si P admet au moins (n +1) racines dansK, alors P = 0.

Théorème 16.6

Preuve : Soit a ∈K, on effectue la division euclidienne de P par X−a : P = Q× (X−a)+R avec deg(R) < 1, donc R estun polynôme constant R = λ, finalement P = Q× (X−a)+λ. Substituons a à X : P(a) = Q(a)× (a −a)+λ, c’est à dire :λ= P(a), ce qui prouve la première assertion.

La deuxième assertion se démontre par récurrence sur n : pour n = 0, l’hypothèse dit que P est une constante etque P a au moins une racine, donc cette constante est nulle, i.e. P = 0. Supposons le résultat démontré au rang n, et soitdeg(P)6 n +1 avec P ayant au moins n +2 racines, soit a l’une d’elles, alors il existe Q ∈K[X], tel que P = Q× (X−a),mais alors deg(Q)6 n et Q a au moins n +1 racines dansK, donc Q = 0 (HR) et par conséquent, P = 0.

Conséquences :

a) Si a1, . . . , an sont des racines distinctes de P alors (X−a1) · · · (X−an)|P.

b) Si P est non nul de degré n, alors P admet au plus n racines distinctes.

c) L’application φ :K[X] →F (K,K) définie par φ(P) = P est injective. On pourrait donc identifier P et P lafonction polynomiale associée à P.

FExercice 16.1 Soit P un polynôme de degré 2, on pose :Q = (1−X2)P(0)+ X(X−1)

2 P(−1)+ X(X+1)2 P(1)

Montrer que P = Q.

Remarque 16.11 – Pour montrer qu’un polynôme P est nul on dispose de trois méthodes :– Montrer que tous les coefficients de P sont nuls.– Montrer que le degré de P est −∞.– Montrer que P a une infinité de racines.

Soit P un polynôme non nul et soit a ∈K, on sait que que si (X−a)k |P alors k 6 deg(P) (car P 6= 0). Parconséquent l’ensemble k ∈ N / (X − a)k |P est un ensemble non vide (contient 0) et majoré par deg(P),comme c’est une partie deN, cet ensemble admet un plus grand élément.

Soit P ∈K[X] un polynôme non nul et soit a ∈K, on appelle multiplicité de a dans P le plus grand desentiers k tels que (X−a)k |P. Notation : mP(a). Une racine de multiplicité 1 est appelée racine simple,une racine de multiplicité 2 est appelée racine double...etc

Définition 16.9 (multiplicité d’une racine)

Remarque 16.12 –– a est racine de P équivaut à mP(a)> 1.– Il est facile de vérifier que si q ∈ k ∈N / (X−a)k |P, alors tout entier inférieur ou égal à q est également

dans l’ensemble, cela signifie que l’ensemble k ∈N / (X−a)k |P est un intervalle d’entiers, on peut doncénoncer : m = mP(a) ⇐⇒ (X−a)m divise P et (X−a)m+1 ne divise pas P.

FExercice 16.2 Calculer la multiplicité de 1 dans les polynômes P = X3 −3X2 +2 et Q = X3 −4X2 +5X−2.



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Soit P un polynôme non nul, soit a ∈K, et soit m ∈N, on a alors :m = mP(a) ⇐⇒∃ Q ∈K[X],P = (X−a)m ×Q et Q(a) 6= 0.

Théorème 16.7

Preuve : Si on a P = (X−a)m ×Q et Q(a) 6= 0, alors mP(a)>m, mais si (X−a)m+1|P, il est facile de voir que X−a|Q cequi est absurde, donc mP(a) = m.

Réciproquement, si m = mP(a), alors il existe Q tel que P = (X−a)m×Q, si Q(a) = 0 alors X−a|Q et donc (X−a)m+1|Pce qui contradictoire, donc Q(a) 6= 0.

Soient P,Q ∈K[X], non nuls, et a ∈Ka) mP×Q(a) = mP(a)+mQ(a).

b) si P+Q 6= 0, alors mP+Q(a)>min(mP(a);mQ(a)).

Théorème 16.8


4) Corps algébriquement clos

Soit P un polynôme non nul ayant des racines dansK, soient a1, . . . , an toutes les racines distinctes de P demultiplicités respectives : m1, . . . ,mn . D’après ce qui précède il existe un polynôme Q tel que P = (X−a1)m1×Qavec Q(a1) 6= 0, comme a2 6= a1 on peut affirmer que a2 est racine de Q : Q = (X−a2)m ×T avec T(a2) 6= 0, maisalors P = (X−a2)m×(X−a1)m1 ×T, on en déduit que m = m2, par conséquent on a P = (X−a1)m1 (X−a2)m2 ×Tavec a1 et a2 qui ne sont pas racines de T. De proche en proche (récurrence sur n) on a arrive à : il existe unpolynôme S tel que P = (X−a1)m1 · · · (X−an)mn ×S, avec a1, . . . , an qui ne sont pas racines de S, mais commeP n’a pas d’autres racines on peut en déduire que S est sans racine dansK.

Si a1, . . . , an sont les racines distinctes de P de multiplicités respectives m1, . . . ,mn , alors il existe un

polynôme Q sans racine dansK tel que P = Q×n∏

k=1(X−ak )mk .

Théorème 16.9 (factorisation d’un polynôme connaissant toutes ses racines)

Si a1, . . . , an sont les racines distinctes de P de multiplicités respectives m1, . . . ,mn , alors d’après le

théorème précédent :n∑

k=1mk 6 deg(P). La quantité

n∑k=1

mk (somme des multiplicités des racines) est

appelée nombre de racines de P comptées avec leur multiplicité. On dira que le polynôme P estscindé surK lorsque cette quantité est égale au degré de P, on dit aussi que P admet toutes ses racinesdansK (toutes : signifie que le nombre de racines comptées avec leur multiplicité, est égal au degré)

Définition 16.10 (polynôme scindé)

En reprenant la factorisation précédente : P = Q×n∏

k=1(X−ak )mk , on voit que lorsque P est scindé, alors

deg(Q) = 0, le polynôme Q est donc une constante non nulle, en comparant les coefficients dominants dechaque coté, on voit que Q est égal au coefficient dominant de P, d’où l’énoncé :

Si P est scindé et si a1, . . . , an sont les racines distinctes de P de multiplicités respectives m1, . . . ,mn ,

alors P = λn∏

k=1(X−ak )mk , où λ est le coefficient dominant de P.

Théorème 16.10

ZExemples :– X2 −2 est scindé sur R, mais pas surQ.– X2 +1 est scindé sur C, mais pas sur R.



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On dit que le corpsK est algébriquement clos lorsque tout polynôme non constant deK[X] admet aumoins une racine dansK.

Définition 16.11

Remarque 16.13 – D’après les exemples précédents, les corpsQ et R ne sont pas algébriquement clos.

SiK est un corps algébriquement clos, alors tout polynôme non constant deK[X] est scindé surK.Théorème 16.11

Preuve : On montre par récurrence sur n que si deg(P) = n alors P admet n racines dans K. Pour n = 1, P = aX+b =a(X+b/a), une racine −b/a. Supposons le résultat démontré au rang n, et soit P de degré n +1 : P est non constant,donc P admet au moins une racine a, d’où P = (X−a)×Q, mais deg(Q) = n, il suffit alors d’appliquer l’hypothèse derécurrence à Q pour terminer.

C est un corps algébriquement clos.Théorème 16.12 (de D’Alembert 1)

ZExemples :– Factoriser X2n −1 dans C[X] puis dans R[X].

X2n −1 =2n−1∏k=0

(X−exp(i kπ

n))

= (X−1)(X+1)n−1∏k=1

(X−exp(i kπ

n))(X−exp(−i k

π

n))

= (X−1)(X+1)n−1∏k=1

(X2 −2cos(kπ

n)X+1).

– Factoriser dans R[X] : X4 +X2 +1 et X4 +X2 −1.

X4 +X2 +1 = (X2 +1)2 −X2 = (X2 −X+1)(X2 +X+1)

X4 +X2 −1 = (X2 + 1

2)2 − 5

4= (X2 + 1+p

5

2)(X2 −

p5−1

2)

= (X2 + 1+p5

2)(X−

√p5−1

2)(X+

√p5−1

2)

FExercice 16.3

1/ Soit P ∈C[X] avec P =∑k

ak Xk , on appelle conjugué de P le polynôme P =∑k

ak Xk . Montrer que P+Q = P+Q, que

PQ = P×Q, et que P ∈R[X] si et seulement si P = P. Vérifier que pour z ∈C, P(z) = P(z).

2/ Soit P ∈R[X] non constant, soit z une racine complexe de P de multiplicité m. Montrer que z est racine de P demultiplicité m.

5) Relations racines coefficients

Soit P un polynôme scindé sur K, si deg(P) = n et si λ est le coefficient dominant de P, alors il existea1, . . . , an ∈K (racines de P) tels que P = λ(X−a1) · · · (X−an), si on développe ensuite cette expression, on vaobtenir les coefficients de P en fonction des ak . Par exemple :

– P = λ(X−a1)(X−a2) = λX2 −λ(a1 +a2)X+λa1a2.– P = λ(X−a1)(X−a2)(X−a3) = λX3 −λ(a1 +a2 +a3)X2 +λ(a1a2 +a1a3 +a2a3)X−λa1a2a3.

1. D’ALEMBERT JEAN Le Rond (1717 – 1783) : mathématicien français qui contribua notamment à l’étude des nombrescomplexes, l’analyse et les probabilités.



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Formule de Taylor des polynômes Chapitre 16 : Polynômes

Notation : On pose σ0 = 1, et pour k compris entre 1 et n :σk = ∑16i1<···<ik6n

ai1 · · ·aik .

σk est la somme des produits des racines (de P) par paquets de longueur k, par exemple : σ1 est la sommedes racines, σ2 est la somme des produits deux à deux, · · · , σn est le produit des racines.

Par récurrence on peut alors établir que :

(X−a1) · · · (X−an) = Xn −σ1Xn−1 +σ2Xn−2 −·· ·+ (−1)nσn =n∑

k=0(−1)kσk Xn−k

On en déduit :

Soient a1, . . . , an ∈K, si P =n∑

k=0αk Xk = αn(X−a1) · · ·(X−an), alors on a les relations racines - coeffi-

cients suivantes : αn−k = (−1)kαnσk .

Théorème 16.13

En particulier, la somme des racines est −αn−1αn

et le produit des racines est (−1)n α0αn

.FExercice 16.4 Calculer la somme et le produit des racines n-ièmes de l’unité.

IV FORMULE DE TAYLOR DES POLYNÔMES

1) Dérivation des polynômes

On reprend la dérivation usuelle des fonctions polynomiales :

Soit P =∑k

ak Xk , on appelle polynôme dérivé de P, le polynôme noté P′ ou dPdX , et défini par :

P′ = ∑k>1

kak Xk−1.

Par récurrence, la dérivée n-ième de P, notée P(n), est : P(n) =

P si n = 0[P(n−1)

]′si n> 1

Définition 16.12

Soient, P,Q ∈K[X] et soit λ ∈K :– (P+Q)′ = P′+Q′ et (λP)′ = λP′.– (P×Q)′ = P′×Q+P×Q′, plus généralement, on a la formule de LEIBNIZ 2 :

(P×Q)(n) =n∑

k=0

(n

k

)P(k) ×Q(n−k).

– P(Q)′ = Q′×P′(Q) (dérivée d’une composée).


Preuve : La première propriété est simple à vérifier. Pour la deuxième propriété, on commence par montrer que(Xn ×Q)′ = nXn−1 ×Q+Xn ×Q′, puis on applique la première propriété. La formule de LEIBNIZ se montre ensuite parrécurrence sur n (exactement comme la formule du binôme de NEWTON). Quant à la troisième, on commence par lecas où P = Xn , c’est à dire on commence par montrer que [Qn]′ = nQ′×Qn−1, ce qui se fait par récurrence sur n, onutilise ensuite la première propriété pour le cas général.

2. LEIBNIZ Gottfried (1646 – 1716) : philosophe et mathématicien allemand.



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Si P = Xn , alors P(k) =

n!(n−k)! X

n−k si k 6 n

0 si k > n. On en déduit que si P =∑

nanXn , alors

P(k) = ∑n>k

n!

(n −k)!anXn−k

En particulier si deg(P) = n alors P(n) = ann! et si k > deg(P), alors P(k) = 0. D’autre part, lorsquek 6 deg(P), alors deg(P(k)) = deg(P)−k.

Théorème 16.15


2) Formule de Taylor

Soit P =n∑

k=0ak Xk , soit r un entier compris entre 0 et n, alors P(r ) =

n∑k=r

r !(k

r

)ak Xk−r , substituons 0 à X, on

obtient alors P(r )(0) = r !ar , on en déduit donc que :

∀r ∈ J0;nK , ar = P(r )(0)

r !.

Remarquons que la formule reste vraie pour r > n, finalement on obtient la formule de TAYLOR 3 en 0 :

P =∑k

P(k)(0)

k !Xk .

Soit a ∈K, posons Q = P(X+a) (composée de P avec le polynôme X+a), d’après ce qui précède, on a :

Q =∑k

Q(k)(0)

k !Xk .

Or, il est facile de montrer que Q(k) = P(k)(X+a), par conséquent Q(k)(0) = P(k)(a), et comme P = Q(X−a), onobtient :

P =∑k

P(k)(a)

k !(X−a)k .

Si P ∈K[X] et a ∈K, alors P =∑k

P(k)(a)k ! (X−a)k . C’est la formule de TAYLOR pour le polynôme P en a.

Théorème 16.16

Applications :– Division euclidienne d’un polynôme P par (X−a)n : d’après la formule de TAYLOR en a appliquée à P, on a :

P =∑k

P(k)(a)

k !(X−a)k

= ∑k>n

P(k)(a)

k !(X−a)k + ∑

k<n

P(k)(a)

k !(X−a)k

= (X−a)n × ∑k>n

P(k)(a)

k !(X−a)k−n + ∑

k<n

P(k)(a)

k !(X−a)k ,

comme deg(∑

k<n

P(k)(a)k ! (X−a)k ) < n, on en déduit que le quotient Q et le reste R dans la division euclidienne par

(X−a)n sont :

Q = ∑k>n

P(k)(a)

k !(X−a)k−n et R = ∑

k<n

P(k)(a)

k !(X−a)k .

– Calcul de la multiplicité d’une racine :

3. TAYLOR BROOK (1685 – 1731) : mathématicien anglais qui a énoncé sa célèbre formule en 1715.



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a ∈K est une racine de P de multiplicité n> 1 si et seulement si :

∀ k ∈ J0;n −1K , P(k)(a) = 0 et P(n)(a) 6= 0.

Théorème 16.17

Preuve : En effet, d’après ce qui précède, P = (X−a)nQ+R avec Q = ∑k>n

P(k)(a)k ! (X−a)k−n et R = ∑

k<n

P(k)(a)k ! (X−a)k , d’où :

n = mP(a) ⇐⇒ R = 0 et Q(a) 6= 0

⇐⇒ R(X+a) = 0 et Q(a) 6= 0

⇐⇒∀k ∈ J0;n −1K , P(k)(a) = 0, et P(n)(a) 6= 0



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EChapitre 17

Arithmétique des polynômes

SommaireI Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1) La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2) Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3) Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

II Éléments premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

1) Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2) Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

III Le plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3) Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

IV Le plus petit multiple commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

V Polynômes irréductibles, décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

2) Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3) Notion de P-valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

I DIVISIBILITÉ

1) La division euclidienne

Soient A ∈K[X] et B ∈K[X] non nul, il existe un unique couple de polynômes (Q,R) tel que A = BQ+Ravec deg(R) < deg(B), Q est appelé le quotient, et R le reste.

Théorème 17.1

Soient A,B ∈K[X], on dit que B divise A lorsqu’il existe un polynôme Q tel que A = Q×B, notation B|A.

Définition 17.1

Remarque 17.1 – On définit ainsi une relation dansK[X], on peut vérifier que celle - ci est réflexive, transitive,mais elle n’est ni symétrique, ni antisymétrique. Plus précisément, B|A et A|B ssi il existe λ ∈K∗ tel que A = λB(on dit que A et B sont associés).



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Divisibilité Chapitre 17 : Arithmétique des polynômes

– Si B 6= 0, alors B|A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.– Si A 6= 0 et B|A, alors deg(B)6 deg(A).– Si B|A et B|C, alors ∀ U,V ∈K[X],B|A×U+C×V.

Théorème 17.2


Remarque 17.2 – Il découle du dernier point que si B|A−C et B|D−E, alors B|(A+D)− (C+E) et B|AD−EC,en particulier, si B|A−C alors ∀ n ∈N,B|An −Cn .

Notation : Soit P ∈K[X], on note PK[X] l’ensemble des multiples de P : PK[X] = P×Q / Q ∈K[X].On vérifie facilement la propriété suivante :(PK[X],+) est un groupe commutatif et ∀B ∈K[X],∀U ∈ PK[X],BU ∈ PK[X].

2) Congruences

Soient A,B,P ∈K[X], on dit que A est congru à B modulo P lorsque P | A−B.Notation : A ≡ B (mod P).

Définition 17.2 (congruences)

• La relation de congruence modulo P est une relation d’équivalence.• Soient A,B,C,D,P ∈K[X], si A ≡ B (mod P) et C ≡ D (mod P) alors :

AC ≡ BD (mod P) et A+C ≡ B+D (mod P).On dit que la relation de congruence est compatible avec les opérations.

Théorème 17.3

3) Diviseurs communs

Soit A un polynôme non nul, on appelle A normalisé le polynôme noté A obtenu en divisant A par soncoefficient dominant, ce polynôme est donc unitaire et associé à A. C’est l’unique polynôme unitaireassocié à A.

Définition 17.3 (polynôme normalisé)

Pour A ∈K[X], on note DA l’ensemble des diviseurs de A. Cet ensemble contient toujours K∗. Onnotera DA,B = DA ∩DB l’ensemble des diviseurs communs à A et B.

Définition 17.4 (diviseurs communs)

Remarque 17.3 –– Si A 6= 0, alors DA est un ensemble infini, mais

deg(P) / P ∈ DA

est fini car inclus dans J0;deg(A)K.

– D0 =K[X], si λ ∈K∗, Dλ =K∗.– Si A est non nul, DA = DA.

Soient A,B,Q,R ∈K[X], si A = BQ+R, alors DA ∩DB = DB ∩DR.Théorème 17.4



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Éléments premiers entre eux Chapitre 17 : Arithmétique des polynômes

Application – Le théorème ci-dessus fournit un algorithme pour la recherche des diviseurs communs à A et B basé surla division euclidienne : c’est l’algorithme d’Euclide, rappelons son principe :

On remarque que si B = 0 alors DA,B = DA. On peut supposer désormais que B 6= 0 et on cherche à calculerD = DA,B :

Étape 1 : on effectue la division euclidienne de A par B : A = BQ1+R1 avec deg(R1) < deg(B). On a D = DB,R1 ,donc si R1 = 0 alors D = DB, sinon on passe à l’étape 2 :

Étape 2 : on effectue la division euclidienne de B par R1 : B = R1Q2 +R2 avec deg(R2) < deg(B). On aD = DR1,R2 , donc si R2 = 0 alors D = DR1 , sinon on passe à l’étape 3 ...

La suite des degrés des restes obtenus est une suite strictement décroissante d’entiers positifs, elle estdonc nécessairement finie, i.e. il existe nécessairement un entier n> 1 tel que Rn = 0, l’ensemble cherché estdonc D = DRn−1 (avec la convention R0 = B).

II ÉLÉMENTS PREMIERS ENTRE EUX

1) Théorème de Bézout

Soient A,B ∈K[X], on dit que a et b sont premiers entre eux (ou A est premier avec B) lorsque le seuldiviseur commun unitaire est 1, i.e. DA,B =K∗.

Définition 17.5

Remarque 17.4 –– Dire que A est premier avec B revient à dire que le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide est

égal à 1 une fois normalisé.– Si A est premier avec B, alors au moins un des deux est non nul (sinon l’ensemble des diviseurs communs

estK[X]).– A est premier avec A si et seulement si A ∈K∗.

Soient A,B ∈K[X], alors A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe U,V ∈K[X] tels queAU+BV = 1. Les polynômes U et V sont appelés coefficients de Bézout (non uniques en général).

Théorème 17.5 (théorème de Bézout)

Preuve : C’est l’algorithme d’Euclide étendu, comme dans Z.

2) Conséquences

• Si A est premier avec B et si A est premier avec C, alors A est premier avec le produit BC. On endéduit que si A est premier avec C1, . . . ,Cn , alors A est premier avec le produit C1 × . . .×Cn .• Si A est premier avec C, si A | B et si C | B, alors AC | B.• Si A | BC et si A est premier avec C, alors A | B.

Théorème 17.6

Preuve : Identique à celle dans Z.

III LE PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN

1) Définition

Soient A,B ∈ K[X] non tous deux nuls, on sait que DA,B = DR où R est le dernier reste non nul dansl’algorithme d’Euclide, on voit que les diviseurs communs à A et B ont un degré inférieur ou égal à celui de R.Soit D un diviseur commn de même degré que R, alors comme D | R on a R = λQ avec λ ∈K∗, on en déduitque les polynômes R et D normalisés sont égaux.



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Le plus grand diviseur commun Chapitre 17 : Arithmétique des polynômes

Soient A,B ∈K[X] non tous deux nuls, le pgcd de A et de B le plus grand diviseur commun unitaire.Notation : pgcd(A,B) ou A∧B, c’est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide, une foisnormalisé.

Définition 17.6

Remarque 17.5 – Il en découle que deux éléments A et B deK[X], non tous deux nuls, sont premiers entre euxsi et seulement si pgcd(A,B) = 1. On remarquera au passage qu’un pgcd entre deux polynômes est unitaire.

Soient A,B ∈K[X] non tous deux nuls, et D = pgcd(A,B), alors D est l’unique polynôme unitaire dansK[X] tel que AK[X]+BK[X] = DK[X].

Théorème 17.7

Preuve : Unicité : si DK[X] = D′K[X] alors D et D′ sont associés, mais comme ils sont unitaires, on a D = D′.Égalité : dans l’algorithme d’Euclide étendu, il existe U et V dans K[X] tel que AU+BV = D, ce qui entraîne que

DK[X] ⊂ AK[X]+BK[X]. Si R ∈ AK[X]+BK[X], alors D est diviseur de R donc AK[X]+BK[X] ⊂ DK[X], d’où l’égalité.

Si A,B ∈K[X] sont non tous deux nuls alors ∀Q ∈K[X],pgcd(A,B) = pgcd(A−BQ,B).Théorème 17.8 (Calcul pratique d’un pgcd)

FExercice 17.1 Calculer le pgcd entre X4 −1 et X10 −1.

2) Propriétés

Soient A,B ∈K[X] non tous deux nuls, et soit D ∈K[X] non nul et unitaire. On a alors :D = pgcd(A,B) ⇐⇒∃ U,V ∈K[X] premiers entre eux tels que A = DU et B = DV.

Théorème 17.9 (caractérisations du pgcd)

Preuve : Si D = pgcd(A,B) alors il existe U,V ∈K[X] tels que A = DU et B = DV, soit K = U∧V, alors KD divise A et B,donc deg(KD)6 deg(D) ce qui entraîne K = 1.

Si A = DU,B = DV avec U∧V = 1 : alors D est un diviseur commun à A et B, d’après le théorème de Bézout, il existeα,β ∈K[X] tels que αU+βV = 1, d’où D = αA+βB, on voit donc que tout diviseur commun à A et B est diviseur de D,donc DA,B = DD i.e. D est le plus grand diviseur commun [car d est unitaire], i.e. D = A∧B.

Soient A,B ∈K[X] non tous deux nuls :

a) ∀ P ∈K[X], si P | A et P | B, alors P | pgcd(A,B).

b) pgcd(A,B) = pgcd(A, B).

c) ∀ K ∈K[X], unitaire, pgcd(KA,KB) = Kpgcd(A,B).

d) ∀ n ∈N, pgcd(An ,Bn) = pgcd(A,B)n .

e) Si A et C sont premiers entre eux, alors pgcd(A,BC) = pgcd(A,B).

Théorème 17.10 (quelques propriétés du pgcd)

Preuve : Pour le premier point : soit D = pgcd(A,B), alors DA,B = DD donc tout diviseur commun à A et B est un diviseurde D.

Pour le deuxième point : soit D = pgcd(A,B), alors il existe U,V ∈K[X] premiers entre eux tels que A = DU et B = DV,d’où KA = KAU et KB = KDV, donc KD = pgcd(KA,KB) (KD est unitaire).

Pour le reste la preuve est identique à celle dans Z.



MONTA

IGNELe plus grand diviseur commun Chapitre 17 : Arithmétique des polynômes

3) Généralisation

Soient A,B,C trois polynômes non tous nuls, l’ensemble des diviseurs communs à A, B et C est :

DA,B,D = DA ∩DB ∩DC = (DA ∩DB)∩DC = DA ∩ (DB ∩DC)

or on sait que DA ∩DB = DA∧B, donc DA,B,C = D(A∧B)∧C = DA∧(B∧C). Ces deux polynômes étant unitaires, on a(A∧B)∧C = A∧ (B∧C) et ce polynôme est le plus grand (en degré) diviseur unitaire commun à A, B et C. Pardéfinition ce nombre est le pgcd de A, B et C, on le note : pgcd(A,B,C) .

Soient A,B,C trois polynômes avec B non nul, alors pgcd(A,B,C) = (A∧B)∧C = A∧ (B∧C).Théorème 17.11 (associativité du pgcd)

L’associativité du pgcd permet de ramener le calcul au cas de deux polynômes.

À retenir

Notons D1 = A∧B et R = pgcd(A,B,C), alors R = D1 ∧C, donc il existe deux polynômes U1 et W tels queR = D1U1 +CW, de même, il existe deux polynômes U2 et V1 tels que D1 = AU2 +BV1, d’où en remplaçant,R = AU2U1 +BV1U1 + cW = AU+BV +CW avec U,V,W ∈K[X].

Réciproquement, si R est un diviseur commun unitaire, et si R = AU+BV +CW, alors il est facile de voirque tout diviseur commun à A, B et C est un diviseur de R et donc R = pgcd(A,B,C), d’où le théorème :

Soient A,B,C trois polynômes non tous nuls et R unitaire, alors :R = pgcd(A,B,C) ⇐⇒ R ∈ DA,B,C et ∃U,V,W ∈K[X], R = AU+BV +CW.

Théorème 17.12

Soient A,B,C trois polynômes non tous nuls, on dira que ces trois polynômes sont :• premiers entre eux dans leur ensemble lorsque pgcd(A,B,C) = 1.• premiers entre eux deux à deux lorsque pgcd(A,B) = pgcd(B,C) = pgcd(A,C) = 1.

Définition 17.7

Les deux notions ne sont pas équivalentes, la deuxième entraîne la première mais la réciproque est fausse commele montre l’exemple suivant :pgcd((X+1)X,(X+1)(X+2),X(X+2)) = 1 mais pgcd(X(X+1), (X+1)(X+2)) = X+1, pgcd(X(X+1),X(X+2)) = X etpgcd((X+1)(X+2),X(X+2)) = X+2.

Attention!

Il découle du théorème précédent :

Soient A,B,C trois polynômes non tous nuls, alors A, B et C sont premiers entre eux dans leur ensemblesi et seulement si :

∃U,V,W ∈K[X], AU+BV +CW = 1.

Théorème 17.13 (de Bézout)

Soient A,B,C trois polynômes non tous nuls et R unitaire, alors :R = pgcd(A,B,C) ⇐⇒∃U,V,W ∈K[X], A = RU, B = RV et C = RW avec pgcd(U,V,W) = 1.




MONTA

IGNELe plus petit multiple commun Chapitre 17 : Arithmétique des polynômes

Preuve : Si R = pgcd(A,B,C) alors il existe ∃U,V,W ∈K[X], A = RU, B = RV et C = RW. Il existe également des polynômesU1,V1 et W1 tels que R = AU1 +BV1 +CW1 d’où 1 = UU1 +VV1 +WW1 et donc pgcd(U,V,W) = 1.

Réciproquement, si A = RU, B = RV et C = RW avec pgcd(U,V,W) = 1. Il existe des polynômes U1,V1 et W1 tels1 = UU1 +VV1 +WW1, en multipliant par R il vient alors que R = RUU1 +RVV1 +RWW1 = AU1 +BV1 +CW1, ce quientraîne que R = pgcd(A,B,C) (car R est unitaire et diviseur commun à A, B et C).

Remarque 17.6 – La notion de pgcd s’étend de la même manière à n polynômes.

IV LE PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN

1) Définition

Si A et B sont non nuls, il existe un unique polynôme M unitaire dansK[X] tel que :AK[X]∩BK[X] = MK[X].

Théorème 17.15

Preuve :deg(P) / P ∈ AK[X]∩BK[X], P 6= 0

contient deg(AB), il existe donc un multiple commun non nul de degré

minimal, quitte à le normaliser, on peut le supposer unitaire, et on le note M. Il est facile de voir que MK[X] ⊂AK[X]∩BK[X]. Si P ∈ AK[X]∩BK[X], on effectue la division de P par M, P = MQ +R avec deg(R) < deg(M), d’oùR = P −MQ, on vérifie alors que R est aussi dans AK[X]∩BK[X] . Si R 6= 0 alors deg(R)> deg(M) car M est de degréminial, ceci est absurde, donc R = 0 et P = MQ, d’où AK[X]∩BK[X] ⊂ MK[X], et finalement on a bien l’inégalité.

Si M′K[X] = MK[X] avec M′ unitaire, alors M et M′ se divisent mutuellement, ils sont donc associés et unitairesd’où M = M′.

Il découle de ce théorème que C est un multiple commun à A et B si et seulement si C ∈ AK[X]∩BK[X],ce qui équivaut à C ∈ MK[X], c’est à dire M | C. Ceci entraîne en particulier : deg(M)6 deg(C).

Soit A,B ∈ K[X], non nuls, et soit M ∈ K[X] unitaire, on dit que M est le ppcm de A et B lorsqueAK[X]∩BK[X] = MK[X]. Notation : M = ppcm(A,B) ou encore M = A∨B.

Définition 17.8

Soient A,B ∈K[X], non nuls, et soit M ∈K[X] unitaire alors :M = ppcm(A,B) ⇐⇒∃ U,V ∈K[X] premiers entre eux tels que M = AU = BV.

Théorème 17.16 (caractérisation du ppcm)

Preuve : On suppose a,b ∈K[X], non nuls.Si m = ppcm(a,b) : alors a | m et b | m. Donc il existe u, v ∈K[X] tels que m = au = bv , soit d = pgcd(u, v) alors il

existe α,β ∈K[X] premiers entre eux tels que u = dα et v = dβ, d’où m = adα= bdβ, mais alors m′ = aα= bβ est unmultiple commun à a et b donc deg(m)6 deg(m′) ce qui entraîne d = 1 (car d est unitaire et m = m′d).

Si ∃u, v ∈K[X] premiers entre eux tels que m = au = bv , alors a | m et b | m, il existe α,β tels que uα+ vβ= 1, soitm′ un multiple commun non nul, alors m′ = m′uα+m′vβ, on en déduit que m | m′ et donc deg(m)6 deg(m′), ce quiprouve que m = ppcm(a,b).

2) Propriétés

Soient a,b ∈K[X], non nuls :

a) ∀ P ∈K[X], si A | P et B | P alors ppcm(A,B) | P.

b) Si A et B sont premiers entre eux, alors ppcm(A,B) = AB.

c) ∀ K ∈K[X], unitaire, ppcm(KA,KBb) = Kppcm(A,B).

d) ppcm(A,B)×pgcd(A,B) = AB.

e) ∀ n ∈N,ppcm(An ,Bn) = ppcm(A,B)n .

Théorème 17.17



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Polynômes irréductibles, décomposition Chapitre 17 : Arithmétique des polynômes

Preuve : Analogue au cas des entiers.

V POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES, DÉCOMPOSITION

1) Définition

Un polynôme P ∈K[X] est dit irréductible surK lorsque P est non constant et que ses seuls diviseursunitaires sont 1 et P. L’ensemble des éléments irréductibles normalisés deK[X] est noté IK[X].

Définition 17.9

ZExemples :– Tout polynôme de degré 1 est irréductible, donc ∀ λ ∈K,X+λ ∈IK[X].– Tout polynôme de degré 2 sans racine dansK est irréductible dansK[X]. Cependant cette propriété

ne se généralise pas au delà du degré 2, par exemple : X4 +1 est sans racine dans R, mais ce polynômeest réductible car X4 +1 = (X2 −p

2X+1)(X2 +p2X+1).

– La notion de polynôme irréductible dépend du corpsK, par exemple, X2 +1 est irréductible dans R[X],mais pas dans C[X]. De même, le polynôme X2 −2 est irréductible dansQ[X], mais pas dans R[X].

Dans C[X], les polynômes irréductibles unitaires sont les polynômes unitaires de degré 1, c’est à dire :IC[X] = X+a / a ∈C.

Dans R[X], les polynômes irréductibles sont les polynômes unitaires de degré 1, plus les polynômesunitaires de degré 2 sans racines réelles. C’est à dire :

IR[X] = X+a / a ∈R∪X2 +pX+q / p, q ∈R, p2 −4q < 0

.

Théorème 17.18

Preuve : Pour C[X] cela découle du théorème de D’Alembert.Dans R[X] : les polynômes annoncés sont bien irréductibles unitaires. Soit P ∈IK[X], avec deg(P)> 2 alors P admet

des racines complexes, et celles-ci sont non réelles (P est irréductible de degré supérieur à 1), soit α l’une d’elles, alors αest également racine de P (et distincte de α), donc dansC[X] le polynôme P est divisible par (X−α)(X−α) = X2+pX+q ∈R[X] avec p2 −4q < 0. Mais alors P est divisible dans R[X] par X2 +pX+q (unicité du quotient et du reste), or P ∈IK[X],donc nécessairement P = X2 +pX+q .

Propriétés élémentaires :

a) Si P est irréductible, alors pour tout polynôme Q, soit P | Q soit pgcd(P,Q) = 1.Preuve : Soit D = pgcd(P,Q), D | P donc D = 1 ou D = P.

b) Si P ∈K[X] est non constant, alors P possède au moins un diviseur irréductible.Preuve : Soit B = deg(d) / d | P et d ∉K∗, alors B est une partie de N non vide (deg(P) ∈ B), soit Q un diviseurde P avec deg(P) ∈ B minimal, si D | Q avec D normalisé et D ∉K∗, alors D | P et donc deg(D) ∈ B, d’où deg(D)>deg(Q), or D | Q, donc deg(D)6 deg(Q) et finalement deg(D) = deg(Q), d’où D = Q et donc Q est irréductible.

c) L’ensemble IK[X] est infini, puisque tout polynôme X+a où a ∈K est irréductible unitaire.

d) Si P est irréductible et si P | AB, alors P | A ou P | B.Preuve : Supposons que P ne divise pas A, alors pgcd(P, A) = 1 et par conséquent P | B (d’après le théorème deGauss).

2) Décomposition en facteurs irréductibles

Tout élément Q ∈K[X] non constant, est un produit d’éléments irréductibles. Plus précisément, ilexiste r > 1, il existe P1, . . . ,Pr ∈IK[X], il existe des entiers α1, . . . ,αr ∈N∗, il existe λ ∈K∗ tels que :

Q = λ×Pα11 ×Pα2

2 × . . .×Pαrr .

Théorème 17.19 (décomposition en produit de facteurs irréductibles)



MO

NTA

IGN

E


Preuve : On a Q = λ× Q avec λ le coefficient dominant de Q. On se ramène ainsi au cas où Q est unitaire.Par récurrence sur deg(Q) : pour deg(Q) = 1 il n’y a rien à montrer. Supposons le théorème démontré jusqu’au

rang k, si deg(Q) = k +1 alors Q admet au moins un diviseur irréductible unitaire P, donc Q = PR, si R = 1 alors Q estirréductible, sinon R est un produit de facteurs irréductibles (HR), donc Q aussi.

Si Q ∈K[X] s’écrit sous la forme : Q = λ×Pα11 × . . .×Pαr

r =µ×Qβ1

1 × . . .×Qβss ,

avec P1, . . . ,Pr ∈IK[X],α1, . . . ,αr ∈N∗,Q1, . . . ,Qs ∈IK[X], β1, . . . ,βs ∈N∗, et λ,µ ∈K∗, alors r = s, λ= µet il existe une permutation σ de J1;r K telle que pour i ∈ J1;r K ,Pi = Qσ(i ),αi = βσ(i ). La décompositionest unique [à l’ordre près].

Théorème 17.20 (unicité de la décomposition)

Preuve : Identique à celle des entiers.

3) Notion de P-valuation

Si Q est un polynôme non nul et P un polynôme irréductible, alors l’ensemblek ∈N / Pk | Q

est non

vide (contient 0) et majoré par deg(Q), cet ensemble admet donc un maximum :

Soit P ∈IK[X] et Q olynôme non nul, on appelle P-valuation de Q, notée vP(Q), le plus grand entier ktel que Pk | Q. La définition s’étend au polynôme nul en posant vP(0) =+∞.

Définition 17.10

Remarque 17.7 :

– vP(Q) = k ⇐⇒ Pk | Q et Pk+1 -Q ⇐⇒ ∃ T ∈K[X], Q = Pk T avec P -Q .

– vP(Q)> 1 ⇐⇒ P | Q, auquel cas vP(Q) est la puissance de P dans la décomposition de Q en facteursirréductible.

–k ∈N / Pk | Q

= J0; vP(Q)K.

Pour tout polynôme Q non constant, la décomposition de Q en produit de facteurs irréductible s’écrit :Q = λQ

∏P∈IK[X]

PvP(Q).

À retenir

En effet, seul un nombre fini de valuations sont non nulles (les autres donnent un facteur égal à 1).

Soient Q,R deux polynômes, on a :

a) ∀P ∈IK[X], vP(QR) = vP(Q)+ vP(R).

b) ∀P ∈IK[X], vP(Q+R)>min(vP(Q); vP(R)).

c) Q | R ⇐⇒∀P ∈IK[X], vP(Q)6 vP(R).

d) Si Q et R sont non nuls alors ∀P ∈IK[X] :

vP(Q∧R) = min(vP(Q); vP(R)) et vP(Q∨R) = max(vP(Q); vP(R)).


Preuve : Analogue au cas des entiers.

Il découle du théorème ci-dessus que :pgcd(Q,R) = ∏

P∈IK[X]

Pmin(vP(Q);vP(R)) et ppcm(Q,R) = ∏P∈IK[X]

Pmax(vP(Q);vP(R)).

À retenir : formules du pgcd et du ppcm



MO

NTA

IGN

E


4) Applications

Comme dans Z :– Si P est non constant, alors la décomposition de P en produit de facteurs irréductibles permet de

trouver tous les diviseurs de P.– Si P,Q sont non constants, alors à partir de leur décomposition en produit de facteurs irréductibles, on

peut calculer pgcd(P,Q) et ppcm(P,Q).FExercice 17.2 Dans C[X], montrer que z ∈C est racine commune de P et Q si et seulement si z est racine de pgcd(P,Q).

FExercice 17.3 Dans C[X], montrer que pour n,m ∈N∗, on a pgcd(Xn −1,Xm −1) = Xd −1 où d = pgcd(n,m).

Solution 17.3 Il existe u, v ∈Z tels que nu +mv = d , on en déduit que zn = zm = 1 si et seulement si zd = 1, les racines

du pgcd sont donc les racines d es de l’unité, ce qui donne le résultat.



MO

NTA

IGN

EChapitre 18

Fractions rationnelles

SommaireI Construction de l’ensemble des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

1) Définition d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2) Opérations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3) Représentants irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

II Degré, pôles et racines d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

1) Notion de degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2) Pôles et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3) Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4) Dérivation d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

III Décomposition d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

1) Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2) Éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3) Existence de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

IV Décomposition dans le cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1) Forme de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2) Calcul d’une partie polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3) Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

V Décomposition dans le cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

1) Forme de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2) Calcul des éléments simples de seconde espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

VI Applications de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

1) Calcul de la dérivée n-ième d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2) Primitives d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

I CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES FRACTIONS RATIONNELLES

Le corpsK désigne un sous-corps de C, i.e. un corps inclus dans C.

1) Définition d’une fraction rationnelle

Dans l’ensembleK[X]× (K[X] \ 0) = (P,Q) / P,Q ∈K[X],Q 6= 0, on définit la relation R en posant :

(P,Q)R(R,S) ⇐⇒ P×S = Q×R.

On vérifie que la relation R est une relation d’équivalence dansK[X]×(K[X]\0). La transitivité de la relationutilise l’intégrité deK[X].



MO

NTA

IGN

E

Construction de l’ensemble des fractions rationnelles Chapitre 18 : Fractions rationnelles

On appelle fraction rationnelle à coefficients dansK toute classe d’équivalence pour la relation R. Laclasse de (P,Q) est notée P

Q [avec P le numérateur et Q le dénominateur], on a donc :

P

Q= (R,S) ∈K[X]× (K[X] \ 0) / PS = QR.

On dit que (P,Q) est un représentant de la fraction PQ . L’ensemble des fractions rationnelles est noté

K(X) et la relation R est appelée égalité des fractions rationnelles.

Définition 18.1

2) Opérations sur les fractions

Soient PQ , R

S deux fractions rationnelles et soit λ ∈K, on pose :

P

Q+ R

S= PS +QR

QS,

P

Q× R

S= PR

QS, et λ

P

Q= λP

Q.

Définition 18.2 (addition, multiplication, produit par un scalaire)

Pour que la définition ait un sens il faut le résultat ne dépende pas des représentants choisis pour lesfractions, c’est à dire si P

Q = P′Q′ et R

S = R′S′ , alors :

PS +QR

QS= P′S′+Q′R′

Q′S′ ;PR

QS= P′R′

Q′S′ et λP

Q= λ P′

Q′ .

Cette vérification est simple et laissée en exercice.Propriétés :

a) Pour l’addition :– elle est associative, commutative,– elle admet un élément neutre, la fraction 0

Q (∀ Q 6= 0), appelée fraction nulle. On remarquera qu’unefraction est nulle ssi son numérateur est nul.

– toute fraction PQ admet un opposé et − P

Q = −PQ = P

−Q .

b) Pour la multiplication :– elle est associative, commutative,– elle admet un élément neutre qui est la fraction P

P (∀ P 6= 0), appelée fraction unité.

– toute fraction PQ non nulle (i.e. P 6= 0) admet un inverse, et

(PQ

)−1 = QP .

– elle est distributive sur l’addition.

c) Pour le produit par un scalaire : ∀ λ,µ ∈K,∀ F,G ∈K(X) :

1.F = F λ.(F+G) = λ.F+λ.G (λ+µ).F = λ.F+λ.G µ.(µ).F = (λµ).F

etλ.(F×G) = (λ.F)×G = F× (λ.G).

Par conséquent, (K(X),+,×) est un corps commutatif et (K(X),+×, .) est uneK-algèbre commutative.

3) Représentants irréductibles

L’application φ :K[X] →K(X) définie par φ(P) = P1 est un morphisme d’algèbres injectif.

Théorème 18.1 (plongement des polynômes dansK(X))



MO

NTA

IGN

E

Degré, pôles et racines d’une fraction Chapitre 18 : Fractions rationnelles


Par conséquent on peut identifier le polynôme P avec la fraction P1 , ce qui fait que l’on peut considérer

queK[X] ⊂K(X). En particulier la fraction nulle (en vertu de l’égalité des fractions) est identifiée au polynômenul 0, et la fraction unité est identifiée au polynôme constant 1.

Soit F = PQ une fraction, on dit que P

Q est un représentant irréductible lorsque pgcd(P,Q) = 1.

Définition 18.3

ZExemple : Soit F = X3−1X2−1 , un représentant irréductible est X2+X+1

X+1 , c’est à dire F = X2+X+1X+1 .

Remarque 18.1 – Toute fraction admet des représentants irréductibles. Si on impose en plus que le dénomina-teur doit être unitaire, alors il y a un seul représentant irréductible.

II DEGRÉ, PÔLES ET RACINES D’UNE FRACTION

1) Notion de degré

Soit F une fraction non nulle et PQ , R

S deux représentants de F (i.e. F = PQ = R

S ), on a donc PS = QR, d’oùdeg(P)−deg(Q) = deg(R)−deg(S). Autrement dit, la différence entre le degré du numérateur et le degré dudénominateur, ne dépend pas du représentant de F, mais seulement de F.

Soit F = PQ une fraction, on pose deg(F) = −∞ si F = 0, et deg(F) = deg(P)−deg(Q) sinon. Le degré

d’une fraction est donc un élément de Z∪ −∞.

Définition 18.4 (degré d’une fraction)

Remarque 18.2 – Soit P un polynôme, en tant que polynôme son degré est deg(P), mais en tant que fraction,son degré est deg( P

1 ) = deg(P)−deg(1) = deg(P), on trouve bien la même chose.

ZExemple : deg( X2+X+1X+1 ) = 1 et deg( X

X3−X2+2 ) =−2.

Soient F,G ∈K(X), on a : deg(F+G)6max(deg(F),deg(G)), et deg(F×G) = deg(F)+deg(G). On retrouveles mêmes propriétés que pour les polynômes.

Théorème 18.2 (propriétés du degré)

Preuve : Posons F = PQ et G = R

S , alors F×G = PRQS , donc deg(F×G) = deg(PR)−deg(QS) = deg(P)−deg(Q)+deg(R)−

deg(S) = deg(F)+deg(G). De même, deg(F+G) = deg(PS +QR)−deg(QS), or deg(PS +QR)6max(deg(PS),deg(QR)),donc on a deg(F+G) 6 deg(PS)−deg(QS) ou deg(F+G) 6 deg(QR)−deg(QS), c’est à dire deg(F+G) 6 deg(F) oudeg(F+G)6 deg(G), finalement, deg(F+G)6max(deg(F),deg(G)).

Remarque 18.3 :– Une fraction rationnelle constante non nulle a un degré nul, mais la réciproque est fausse, par exemple :

F = XX+1 .

– Si deg(F) 6= deg(G) alors deg(F+G) = max(deg(F),deg(G)).– Une fraction F est nulle ssi son degré vaut −∞.

2) Pôles et racines

Soit F ∈K(X) non nulle, et soit PQ un représentant irréductible de F. On dit que a ∈K est racine de F

de multiplicité m ∈N∗ lorsque a est racine du numérateur P de multiplicité m. On dit que a ∈K estpôle de F de multiplicité m ∈N∗ lorsque a est racine du dénominateur Q de multiplicité m.

Définition 18.5



MO

NTA

IGN

E

Degré, pôles et racines d’une fraction Chapitre 18 : Fractions rationnelles

Remarque 18.4 :– Puisque P

Q est irréductible, on voit qu’un scalaire a ne peut pas être à la fois pôle et racine de F, sinon P etQ seraient divisibles par X−a.

– a est un pôle de F de multiplicité m ∈N∗ revient à dire que a est racine de multiplicité m de 1F .

– Par exemple, la fraction F = X3−1X2−1 possède deux racines complexes simples j et j 2, un pôle simple −1,

mais pas racine réelle.

3) Fonctions rationnelles

Soit F ∈ K(X) et PQ un représentant irréductible de F. On pose DF = K \ pôles de F, c’est à dire

DF = x ∈ K / Q(x) 6= 0. On appelle fonction rationnelle de K dans K associée à la fraction F, la

fonction notée F de DF versK définie par F(x) = P(x)Q(x)

.

Définition 18.6

Remarque 18.5 – Avant d’étudier une fonction rationnelle, il faut la mettre sous forme irréductible.

Soient F,G ∈K(X), si les fonctions rationnelles F et G sont égales sur une partie infinie I de DF ∩DG,alors les fractions rationnelles sont égales, i.e. F = G.

Théorème 18.3

Preuve : Le corpsK est infini, l’ensemble des pôles de F et celui de G sont finis, donc DF ∩DG est un ensemble infini.Posons F = P

Q et G = RS irréductibles, alors ∀ x ∈ I, on a P(x)S(x)−R(x)Q(x) = 0, donc le polynôme PS −QR est nul

(infinité de racines) ce qui signifie exactement que F = G.

4) Dérivation d’une fraction rationnelle

Soit F ∈K(X) une fraction rationnelle et PQ = R

S deux représentants de F, on a PS = QR, d’où (P′Q−PQ′)S2 =P′QS2−PQ′S2 = P′QS2−Q′QRS = QS(P′S−Q′R), mais en dérivant la relation polynomiale PS = QR on obtientP′S +PS′ = Q′R+QR′, d’où (P′Q−PQ′)S2 = QS(QR′−PS′) = Q2SR′−QPSS′ = Q2SR′−Q2RS′ = Q2(SR′−RS′),ce qui traduit l’égalité des fractions :

P′Q−PQ′

Q2 = R′S −RS′

S2 .

Soit F = PQ ∈K(X), on appelle fraction dérivée de F la fraction notée F′ (ou dF

dX ) définie par :

F′ = P′Q−PQ′

Q2 ,

Le résultat ne dépend pas du représentant de F choisi. On définit également les dérivées successivesde F en posant F(0) = F et pour tout n ∈N,F(n+1) = (

F(n))′

.

Définition 18.7

Remarque 18.6 –– Soit P un polynôme, la dérivée de P en tant que fraction rationnelle est

(P1

)′ = P′1−P1′12 = P′, on retrouve

bien la dérivée de P en tant que polynôme.– Contrairement aux polynômes le degré de F′ n’est pas toujours égal à deg(F)−1, par exemple : F = X

X+1 ,on a deg(F) = 0 et F′ = 1

(X+1)2 donc deg(F′) =−2.Par contre on a toujours deg(F′)6 deg(F)−1.



MO

NTA

IGN

E

Décomposition d’une fraction rationnelle Chapitre 18 : Fractions rationnelles

On retrouve les propriétés usuelles de la dérivation avec les formules usuelles : (F+G)′ = F′+G′; (F×G)′ = F′×G+F×G′; (λ.F)′ = λ.F′;

( 1F

)′ = −F′F2 , et la formule de Leibniz :

(F×G)(n) =n∑

k=0

(n

k

)F(k) ×G(n−k).


Preuve : Celle-ci est laissée en exercice.

Soit P un polynôme non nul, la dérivée logarithmique de P est la fraction P′P .

Définition 18.8 (Dérivée logarithmique)

Si P est un polynôme non nul qui se factorise en P = P1 ×·· ·×Pn dansK[X], alors :P′P = P′

1P1

+·· ·+ P′n

Pn.

Théorème 18.5

Preuve : Par récurrence sur n en commençant par le cas n = 2. Si P = P1P2 alors P′ = P′1P2 +P1P′

2, d’où P′P = P′

1P2+P1P′2

P1P2=

P′1

P1+ P′

2P2

. Le passage du rang n au rang n +1 se ramène au cas n = 2.

III DÉCOMPOSITION D’UNE FRACTION RATIONNELLE

1) Partie entière

Soit F = AB une fraction, on effectue la division euclidienne de A par B : A = BQ+R avec deg(R) < deg(B).

On a alors F = Q+ RB avec deg( R

B ) < 0 et Q ∈K[X]. Supposons qu’il existe un autre polynôme S et une fractionG tels que F = S +G avec deg(G) < 0, alors deg(Q−S) = deg(G− R

B ) < 0 donc Q = S car ce sont des polynômes,et G = R

B . On peut donc énoncer :

Soit F ∈K(X), il existe un unique polynôme Q tel que deg(F−Q) < 0, celui-ci est appelé partie entièrede F, c’est le quotient dans la division euclidienne du numérateur de F par le dénominateur.

Théorème 18.6

Remarque 18.7 – Si deg(F) < 0 alors la partie entière de F est nulle (à cause de l’unicité).

2) Éléments simples

Un élément simple deK(X) est une fraction du type ABn où B est un polynôme irréductible unitaire

(i.e. B ∈ IK[X]), deg(A) < deg(B), et n> 1.

Définition 18.9

– Éléments simples dans C(X) :on sait que IC[X] = X−a / a ∈C, donc les éléments simples de C(X) sont les fractions :

α

(X−a)n avec α, a ∈C et n> 1.

– Éléments simples de R(X) :on sait que IR[X] = X−a / a ∈ R∪ X2 +pX+q / p, q ∈ R, p2 −4q < 0, donc les éléments simples deR(X) sont de deux types :



MO

NTA

IGN

E

Décomposition d’une fraction rationnelle Chapitre 18 : Fractions rationnelles

• éléments simples de première espèce :

α

(X−a)n avec α, a ∈R et n> 1.

• éléments simples de seconde espèce :

aX+b

(X2 +pX+q)n avec a,b, p, q ∈R, p2 −4q < 0, et n> 1.

Décomposer une fraction rationnelle F non nulle, c’est l’écrire comme somme de sa partie entière etd’éléments simples.

Définition 18.10

ZExemples :– F = X3

X2+1 , sa partie entière est X, et on a F = X+ −XX2+1 : c’est la décomposition de F en éléments simples

dans R(X), mais pas dans C(X).– Dans C(X) on a : F = X+ −1/2

X+i + −1/2X−i .

3) Existence de la décomposition

Soit F une fraction non nulle et non polynomiale : F = AB (forme irréductible), on calcule sa partie entière :

E, on a alors = E+ RB avec deg( R

B ) < 0, on est alors amené à décomposer une fraction de degré strictementnégatif en éléments simples.

On factorise le dénominateur B en produit de polynômes irréductibles unitaires : B =r∏

i=1Pmi

i (on peut

supposer B unitaire).

Si T,S sont deux polynômes premiers entre eux et si deg( ATS ) < 0, alors il existe deux polynômes U et

V tels que :A

TS= U

T+ V

Savec deg(U) < deg(T),deg(V) < deg(S).

Théorème 18.7

Preuve : Il existe deux polynômes U′,V′ tels que U′S+V′T = 1 (théorème de Bezout), on a alors ATS = AU′

T + AV′S , soit E1 la

partie entière de AU′T et E2 celle de AV′

S , il existe deux polynômes U et V tels que AU′T = E1 + U

T avec deg(U) < deg(T), etAV′

S = E2 + VS avec deg(V) < deg(S), d’où : A

TS = E1 +E2 + UT + V

S , mais deg( UT + V

S ) < 0, donc E1 +E2 est la partie entière deA

TS , or celle-ci est nulle, donc E1 +E2 = 0, ce qui donne le résultat.

Conséquence : Par récurrence on en déduit que si B1, . . . ,Bn sont premiers entre eux deux à deux et sideg( A

B1×...×Bn) < 0, alors il existe des polynômes U1, . . . ,Un tels que :

A

B1 × . . .×Bn=

n∑i=1

Ui

Biavec deg(Ui ) < deg(Bi ).

En appliquant ceci à notre fraction F, on peut affirmer qu’il existe des polynômes (Ui )16i6r tels que :

F = E+r∑

i=1

Ui

Pmi

i

avec deg(Ui ) < deg[Pmi

i ].

Si T est un polynôme irréductible unitaire et si deg( ATn ) < 0 (n > 1), alors il existe des polynômes

V1, . . . ,Vn tels que :A

Tn =n∑

k=1

Vk

Tkavec deg(Vk ) < deg(T).

Théorème 18.8



MO

NTA

IGN

E

Décomposition dans le cas complexe Chapitre 18 : Fractions rationnelles

C’est une décomposition en éléments simples.

Preuve : Par récurrence sur n : pour n = 1 il n’y a rien à faire. Si le théorème est vrai au rang n et si deg( ATn+1 ) < 0, alors

on effectue la division euclidienne de A par T : A = QT+Vn+1 avec deg(Vn+1) < deg(T), ce qui donne ATn+1 = Q

Tn + Vn+1Tn+1 , il

est facile de voir que deg( QTn ) < 0, on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence, ce qui donne le résultat.

On peut appliquer ce théorème à chacune des fractions Ui

Pmii

: il existe des polynômes V1,i , . . . ,Vmi ,i tels

que :Ui

Pmi

i

=mi∑j=1

V j ,i

P ji

avec deg(V j ,i ) < deg(Pi ).

Ce qui donne pour F :

F = E+r∑

i=1

[mi∑j=1

V j ,i

P ji

].

C’est une décomposition de F en éléments simples.

La décomposition en éléments simples est unique.Théorème 18.9 (admis)

Soit P un polynôme non nul et P = λPm11 × ·· · ×Pmn

n sa décomposition en facteurs irréductibles

unitaires, alors P′P = m1P′

1P1

+·· ·+ mn P′n

Pn(décomposition en éléments simples).

Théorème 18.10 (décomposition de P′P )

Preuve : Découle de la propriété de la dérivée logarithmique.

IV DÉCOMPOSITION DANS LE CAS COMPLEXE

1) Forme de la décomposition

Soit F = AB ∈C(X), sous forme irréductible, soit E sa partie entière et soit B =

r∏k=1

(X−ak )mk la factorisa-

tion du dénominateur. Les complexes ak sont les pôles de F, et les entiers mk (> 1) sont les multiplicitésrespectives.

D’après l’étude générale, la forme de la décomposition de F sera :

F = E+r∑

k=1

[mk∑j=1

b j ,k

(X−ak ) j

].

Chaque pôle de F va donc générer des éléments simples qui lui correspondent : ce sont lesb j ,k

(X−ak ) j pour

j ∈ J1;mkK.

La somme des éléments simples relatifs au pôle ak est appelée partie polaire de F relative au pôle ak ,elle est notée PF(ak ).

Définition 18.11 (partie polaire)

On a donc PF(ak ) =mk∑j=1

b j ,k

(X−ak ) j , et la forme de la décomposition de F est :

F = E+PF(a1)+·· ·+PF(ar ).

C’est à dire : partie entière plus les parties polaires relatives aux pôles de F.

La décomposition dans C(X) consiste donc à calculer des parties polaires.



MO

NTA

IGN

E


2) Calcul d’une partie polaire

Soit F = AB ∈C(X) (sous forme irréductible) et soit a ∈C un pôle de F de multiplicité m> 1.

– Cas d’un pôle simple : on prend m = 1. On peut écrire B = (X−a)Q avec Q(a) 6= 0. Comme m = 1, lapartie polaire de F relative à a est PF(a) = c

X−a , en regroupant les parties polaires relatives aux autrespôles, on peut écrire F = E+ c

X−a + UV avec E la partie entière et deg( U

V ) < 0. En multipliant par X−aon obtient : A

Q = (X−a)E+ c + (X−a) UV , mais a n’étant pas un pôle de U

V , on peut évaluer en a, ce qui

donne : c = A(a)Q(a) . Comme B = (X−a)Q, il est facile de voir que Q(a) = B′(a), en conclusion :

Si a est un pôle simple de F = AB , alors la partie polaire de F relative à a est :

PF(a) = cX−a avec c = A(a)

B′(a) = A(a)Q(a) où Q est tel que B = (X−a)Q.

ZExemple : Soit F = 1Xn−1 avec n> 1. On a deg(F) < 0 donc la partie entière est nulle. Les pôles de F sont

les racines n-ièmes de l’unité : ak = exp(2i kπ/n) avec k ∈ J0;n −1K, et ce sont des pôles simples. Lapartie polaire de F relative à ak est ck

X−akavec ck = 1

nan−1k

= akn . La décomposition de F est :

1

Xn −1=

n−1∑k=0

ak

n(X−ak ).

– Cas d’un pôle double : on prend m = 2, on peut écrire B = (X−a)2Q avec Q(a) 6= 0, la partie polaire deF relative à a est PF(a) = α

X−a + β

(X−a)2 , en regroupant les parties polaires relatives aux autres pôles, onobtient :

F = E+ α

X−a+ β

(X−a)2 + U

Vavec deg(

U

V) < 0.

Si on multiplie le tout par (X−a)2 et que l’on évalue en a (a n’est pas un pôle de UV ), on obtient β= A(a)

Q(a) .

Pour obtenir α, on peut poser G = F− β

(X−a)2 , on a alors G = E+ αX−a + U

V , donc a est un pôle simple deG, ce qui nous ramène au cas précédent.Autre méthode : on pose H = (X−a)2 ×F = A

Q , on a en fait H = (X−a)2E+α(X−a)+β+ (X−a)2 UV , en

évaluant en a on trouve β= H(a), et en évaluant la dérivée en a, on trouve α= H′(a). En conclusion :

Si a est un pôle double de F = AB , alors la partie polaire de F relative à a est :

PF(a) = αX−a + β

(X−a)2 avec β= H(a) et α= H′(a), en posant H = (X−a)2 ×F.

Remarque 18.8 – Cette autre méthode se généralise au cas d’un pôle a de multiplicité m > 3 en posantH = (X−a)m ×F.

ZExemple : Soit F = X6

(X−1)2(X3+1) . La fraction est irréductible et son degré vaut 1, il y a donc une partie entière

non nulle, on trouve E = X+2 (le dénominateur est égal à X5 −2X4 +X3 +X2 −2X+1). La fraction possède 4pôles :

* 1 : c’est un pôle double, on pose H = (X−1)2 ×F = X3

X3+1 , la partie polaire relative à 1 est :

PF(1) = 9/4

X−1+ 1/2

(X−1)2 .

Car H(1) = 1/2 et H′(1) = 9/4.* −1 : c’est un pôle simple, la partie polaire de F relative à −1 est :

PF(−1) = 1/12

X+1.

* − j : c’est un pôle simple, la partie polaire relative à − j est :

PF(− j ) = 1/3

X+ j.



MO

NTA

IGN

E


* − j 2 : est un pôle simple, la partie polaire relative à − j 2 est :

PF(− j 2) = 1/3

X+ j 2 .

Finalement, la décomposition de F en éléments simples dans C(X) est :

F = X+2+ 9/4

X−1+ 1/2

(X−1)2 + 1/12

X+1+ 1/3

X+ j+ 1/3

X+ j 2 .

3) Cas particuliers

– Si F est à coefficients réels alors :les parties polaires relatives aux pôles conjugués, sont conjuguées.

Preuve : Si a est un pôle complexe non réel de F de multiplicité m, alors on sait que a est un pôle de F demême multiplicité car F ∈R(X), en regroupant les parties polaires relatives aux pôles autres que a, on obtient :

F = E+PF(a)+ UV , où E ∈R[X] est la partie entière, si on conjugue l’expression, alors on obtient : F = E+PF(a)+ U

V.

Si on pose PF(a) =m∑

k=1

ck

(X−a)k , alors PF(a) =m∑

k=1

ck

(X−a)k et donc :

F = E+m∑

k=1

ck

(X−a)k+ U

V,

mais a n’est pas un pôle de UV

, donc PF(a) est la partie polaire de F relative à a, i.e. PF(a) = PF(a).

ZExemple : Soit F = 1(X2+X+1)2 , deg(F) < 0 donc sa partie entière est nulle. F possède deux pôles doubles

j et j 2. La partie polaire relative au pôle j est : PF( j ) = H′( j )X− j + H( j )

(X− j )2 en posant H = (X− j )2 ×F = 1(X− j 2)2 ,

on obtient H( j ) =−1/3 et H′( j ) =−2ip

39 . F étant à coefficients réels, la partie polaire relative à j 2 est la

conjuguée de celle relative à j , la décomposition de F est donc :

F = −1

3(X− j )2 − 2ip

3

9(X− j )+ −1

3(X− j )2+ 2i

p3

9(X− j ).

– Si F est paire ou impaire, alors en utilisant la relation entre F(X) et F(−X) et avec l’unicité de la décom-position, on obtient des relations entre les coefficients à déterminer dans les parties polaires.

ZExemple : Soit F = X4+1X(X2−1)2 , deg(F) < 0 donc la partie entière est nulle. La fraction est irréductible,

impaire, et possède un pôle simple : 0, et deux pôles doubles : 1 et −1. La forme générale de ladécomposition de F est :

F = a

X+ b

X−1+ c

(X−1)2 + d

X+1+ e

(X+1)2 .

F étant impaire, on a F(X) =−F(−X), ce qui donne :

F = a

X+ b

X+1+ −c

(X+1)2 + d

X−1+ −e

(X−1)2 .

L’unicité de la décomposition nous donne les relations :

d = b

e =−c, ce qui fait deux coefficients en

moins à calculer. La partie polaire relative à 0 est PF(0) = 1X (pôle simple). En substituant 1 à X dans

(X−1)2 ×F, on obtient c = 1/2, et en faisant tendre x vers +∞ dans la fonction rationnelle x 7→ xF(x),on obtient la relation 1 = a +b +d i.e. 2b = 0 d’où b = 0, finalement la décomposition de F est :

F = 1

X+ 1

2(X−1)2 − 1

2(X+1)2 .



MO

NTA

IGN

E

Décomposition dans le cas réel Chapitre 18 : Fractions rationnelles

V DÉCOMPOSITION DANS LE CAS RÉEL

1) Forme de la décomposition

Soit F = AB ∈ R(X) (sous forme irréductible), soit E sa partie entière et soit B =

n∏k=1

(X − ak )mk ×r∏

k=1(X2 +

pk X+qk )αk la factorisation de B en produit de facteurs irréductibles unitaires (p2k −4qk < 0). D’après l’étude

générale, la forme de la décomposition de F est :

F = E+n∑

k=1

[mk∑j=1

b j ,k

(X−ak ) j

]+

r∑k=1

[αk∑j=1

c j ,k X+d j ,k

(X2 +pk X+qk ) j

].

La première somme est en fait la somme des parties polaires de F relatives aux pôles réels de F. Lestechniques de calculs sont les mêmes dans le cas complexe.

La seconde somme est la somme des éléments simples de seconde espèce.

2) Calcul des éléments simples de seconde espèce

On se limitera au cas où X2 +pX+q est un diviseur irréductible de B de multiplicité 1, en regroupant lesautres éléments simples, on obtient :

F = E+ aX+b

X2 +pX+q+ U

V.

Soient c et c les deux racines complexes (non réelles) de X2 +pX+q , alors c et c ne sont pas pôles de UV , et c

et c sont pôles simples de F, on peut calculer la partie polaire de F relative à c dans C(X) : PF(c) = αX−c , comme

F ∈R(X) on a PF(c) = αX−c , la somme de ces deux parties polaires donne : PF(c)+PF(c) = 2Re(α)X−2Re(αc)

X2+pX+q , c’estun élément simple de R(X), comme la décomposition dans R(X) est unique, il en résulte que :

aX+b

X2 +pX+q= 2Re(α)X−2Re(αc)

X2 +pX+q.

Autre méthode : Soit H = (X2+pX+q)×F, on a : H = (X2+pX+q)×E+aX+b+ (X2+pX+q)× UV . on obtient

alors le système :

H(c) = ac +bH(c) = ac +b

, en résolvant on trouve a et b.

ZExemple : Soit F = X4

X3−1 , on a deg(F) = 1, il y a donc une partie entière non nulle, celle-ci vaut X, d’autre parton a X3 −1 = (X−1)(X2 +X+1), d’où la forme de la décomposition :

F = X+ a

X−1+ bX+ c

X2 +X+1.

La partie polaire relative à 1 est PF(1) = 13(X−1) . Dans C(X), la partie polaire relative à j est PF( j ) = j 2

3(X− j ) , et la

partie polaire relative à j 2 est la conjuguée, i.e. PF( j 2) = j3(X− j 2) , la somme de ces deux parties polaires donne :

−X+13(X2+X+1) , la décomposition de F est donc :

F = X+ 1

3(X−1)+ −X+1

3(X2 +X+1).

Remarque 18.9 – En évaluant en 0 on obtient c −a = 0 d’où c = a = 1/3. En faisant tendre x vers +∞ dansx(F(x)−x) = x2

x3−1 , on obtient a +b = 0 d’où b =−a =−1/3.

VI APPLICATIONS DE LA DÉCOMPOSITION

1) Calcul de la dérivée n-ième d’une fraction

ZExemple : Soit f (x) = 1x2+1 , calculons f (n)(x). Dans C(X) on a 1

X2+1 = 12i (X−i ) − 1

2i (X+i ) , d’où :

f (n)(x) = 1

2i

[(−1)nn!

(x − i )n+1 − (−1)nn!

(x + i )n+1

].



MO

NTA

IGN

E

Applications de la décomposition Chapitre 18 : Fractions rationnelles

Ce qui donne :

f (n)(x) = (−1)nn!Im((x + i )n+1)

(x2 +1)n+1 = (−1)nn!

b n2 c∑

k=0

( n+12k+1

)(−1)k xn−2k

(x2 +1)n+1 .

FExercice 18.1 Calculer la dérivée n-ième de la fonction f (x) = x(x−1)(x2+x+1)

.

Solution 18.1 Soit F = X(X−1)(X2+X+1)

. La décomposition dans C(X) de F donne :

F = 1

3(X−1)+ j 2

3(X− j )+ j

3(X− j 2).

On a donc :

f (n)(x) = (−1)nn!

3

[1

(x −1)n+1 +2Re

(j 2

(x − j )n+1

)],

or j 2

(x− j )n+1 = j 2(x− j 2)n+1

(x2+x+1)n+1 , ce qui donne finalement :

f (n)(x) = (−1)nn!

3

1

(x −1)n+1 +2

n+1∑k=0

(n+1k

)(−1)k cos(4(k +1)π/3)xn+1−k

(x2 +x +1)n+1

.

2) Primitives d’une fraction rationnelle

Soit F ∈ R(X), on décompose F en éléments simples dans R(X), on est donc ramené à calculer desprimitives de trois types :

– La partie entière : c’est un polynôme.– Les éléments simples de première espèce : 1

(X−a)n avec n> 1, on sait les intégrer, car :∫ x d t

(t −a)n =

ln(|x −a|) si n = 1−1

(n−1)(x−a)n−1 si n> 2.

– Les éléments simples de seconde espèce : aX+bX2+pX+q , pour ceux-là la méthode est la suivante :

• on fait apparaître la dérivée du trinôme X2 +pX+q au numérateur et on compense les X en mul-tipliant par un facteur adéquat, puis on compense les constantes en ajoutant ce qu’il faut, ce quidonne :

aX+b

X2 +pX+q= a

2

2X+p

X2 +pX+q+ (b − ap

2)

1

X2 +pX+q.

La première de ces deux fractions est facile à intégrer (du type u′u ).

• Pour la deuxième fraction : on met le trinôme X2 +pX+q sous forme canonique afin de mettre lafraction sous la forme : α u′

1+u2 où u est une fonction de x, cette fonction est s’intègre en αarctan(u).

ZExemple : Calculons F(x) = ∫ x d tt 3+1 sur ]−1;+∞[ :

On décompose la fraction rationnelle 1X3+1 en éléments simples dans R(X), ce qui donne :

1

X3 +1= 1

3(X+1)− X−2

3(X2 −X+1).

On a :X−2

X2 −X+1= 1

2

2X−1

X2 −X+1− 3

2

1

X2 −X+1et :

1

X2 −X+1= 1

(X−1/2)2 +3/4= 2p

3

2/p

3(2X−1p

3

)2 +1.

On en déduit alors :

F(x) = 1

3ln(x +1)− 1

6ln(x2 −x +1)+

p3

3arctan(

2x −1p3

).

C’est à dire :

F(x) = 1

3ln(

x +1px2 −x +1

)+p

3

3arctan(

2x −1p3

)+ cte.



MO

NTA

IGN

EChapitre 19

Espaces vectoriels

SommaireI Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

2) Exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3) Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4) Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

II Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

1) Définition, noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3) S.e.v. et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

III S.e.v. d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

1) Sous-espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

2) Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3) Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4) S.e.v. supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

IV Projections, symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

1) Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

2) Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Dans ce chapitre,K désigne un sous-corps de C.

I GÉNÉRALITÉS

1) Définition

Soit E un ensemble non vide, on dit que E est unK - espace vectoriel (ouK-e.v.) lorsque E possède uneaddition et un produit par les scalaires (loi de composition externe, notée « . », c’est une application :K×E → E(λ, x) 7→ λ.x

), avec les propriétés suivantes :

– (E,+) est un groupe abélien (l’élément neutre est noté 0E ou−→0E et appelé vecteur nul de E).

– La loi . (ou produit par les scalaires) doit vérifier : ∀ λ,µ ∈K,∀ x, y ∈ E :• 1.x = x• λ.(x + y) = λ.x +λ.y• (λ+µ).x = λ.x +µ.x• λ.(µ.x) = (λµ).x

Si ces propriétés sont vérifiées, on dit que (E,+, .) est unK - e.v., les éléments deK sont appelés lesscalaires et les éléments de E sont appelés vecteurs (parfois notés avec une flèche).

Définition 19.1



MONTA

IGNEGénéralités Chapitre 19 : Espaces vectoriels

2) Exemples de référence

ZExemples :– Un corpsK est unK-e.v..– R est un Q-e.v., C est un Q-e.v., C est un R-e.v. Plus généralement si K est corps inclus dans un autre

corps L, alors L est unK-e.v..– L’ensembleKn muni des opérations suivantes :

(x1, . . . , xn)+ (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) et λ.(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . ,λxn),

est unK-e.v., le vecteur nul est le n-uplet : (0, . . . ,0).– Si I est un ensemble non vide, alors l’ensemble des applications de I versK : F (I,K), pour les opérations

usuelles (addition de deux fonctions et produit par un scalaire) est un K-e.v., le vecteur nul étantl’application nulle. En particulier (C n(I,K),+, .) sont desK-e.v., ainsi que l’espace des suites à valeursdansK.Plus généralement, si E est unK-e.v., l’ensemble des applications de I vers E : F (I,E), pour les opéra-tions usuelles sur les fonctions, est unK-e.v..

– (K[X],+, .), (K(X),+, .) sont desK-espaces vectoriels.– Espace produit : Soient E et F deuxK-e.v., on définit sur E×F l’addition : (x, y)+ (x ′, y ′) = (x +x ′, y + y ′),

et un produit par les scalaires : λ.(x, y) = (λ.x,λ.y). On peut vérifier alors que (E×F,+, .) est unK-e.v., levecteur nul étant (0E,0F). Cela se généralise au produit cartésien d’un nombre fini deK-e.v.

3) Règles de calculs

Soit E unK-e.v.

– ∀ −→x ∈ E,0.−→x =−→0 , et ∀ λ ∈K,λ.

−→0 =−→

0 .– ∀ −→x ∈ E,∀ λ ∈K,−(λ.−→x ) = (−λ).−→x = λ.(−−→x ).– ∀ −→x ∈ E,∀ λ ∈K,λ.−→x =−→

0 =⇒ λ= 0 ou −→x =−→0 .

4) Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel

Soit E unK-e.v. et soit H un ensemble, on dit que H est un sous-espace vectoriel de E (ou s.e.v de E)lorsque :– H ⊂ E, H 6= ;.– ∀ x, y ∈ H, x + y ∈ H (H est stable pour l’addition).– ∀ x ∈ H,∀ λ ∈K,λ.x ∈ H (H est stable pour la loi .).Si c’est le cas, alors il est facile de vérifier que (H,+, .) est lui-même unK-e.v.

Définition 19.2

ZExemples :– L (E,F) est un s.e.v. de F (E,F).– L’ensemble des fonctions paires (respectivement impaires, bornées, T-périodiques, lipschitziennes)

définies sur R est un s.e.v. de F (R,R).– L’ensemble (C n(I,C),+, .) est un sous-espace vectoriel de (F (I,C),+, .).– L’ensemble (Kn[X],+, .) est un sous-espace vectoriel de (K[X],+, .).– L’ensemble des suites complexes de limite nulle et un s.e.v de l’espace des suites complexes conver-

gentes, qui est lui-même un s.e.v de l’espace de suites complexes bornées, qui est lui-même un s.e.v del’espace des suites complexes.

– Soient a,b,c ∈K, F = (x, y, z) ∈K3 / ax +by + cz = 0 est un s.e.v deK3.

Soit (Hi )i∈I une famille de s.e.v de E (I est un ensemble d’indices), alors⋂i∈I

Hi est un s.e.v de E.Théorème 19.1 (intersection de sous-espaces vectoriels)



MO

NTA

IGN

E

Applications linéaires Chapitre 19 : Espaces vectoriels


II APPLICATIONS LINÉAIRES

1) Définition, noyau

Soient E et F deuxK-e.v. et soit f : E → F une application, on dit que f est une application linéaire (oumorphisme deK-espaces vectoriels), lorsque :

∀ x, y ∈ E,∀ λ ∈K, f (x + y) = f (x)+ f (y) et f (λ.x) = λ. f (x).Si de plus, f est bijective, alors on dit que f est un isomorphisme (d’espaces vectoriels). L’ensembledes applications linéaires de E vers F est noté L (E,F).

Définition 19.3

Remarque 19.1 – Les applications linéaires deK dansK sont les applications de la forme f (x) = ax (a ∈K),car f (x) = x f (1).

ZExemples :– L’application nulle (notée 0) de E vers F est linéaire.– L’application identité de E : idE : E → E définie par idE(x) = x, est linéaire bijective (et (idE)−1 = idE).– Soit λ ∈K∗, l’homothétie de rapport λ : hλ : E → E, définie par hλ(x) = λ.x, est linéaire et bijective. Sa

réciproque est l’homothétie de rapport 1/λ. L’ensemble des homothéties de E est un groupe pour la loi car c’est un sous-groupe du groupe des permutations de E.

– L’application f :K2 →K2 définie par f (x, y) = (x;−y) est un isomorphisme deK2 sur lui-même.

f ∈L (E,F) alors f (0E) = 0F et ∀x ∈ E, f (−x) =− f (x).

À retenir

– Une application linéaire de E vers E est appelée un endomorphisme de E. L’ensemble des endo-morphismes de E est noté L (E) (on a donc L (E) =L (E,E)).

– Un isomorphisme de E vers E est appelé un automorphisme de E. L’ensemble des automorphismesde E est noté GL(E) et appelé groupe linéaire de E.

– Une application linéaire de E versK est appelée une forme linéaire sur E. L’ensemble des formeslinéaires sur E est noté E∗ et appelé dual de E (on a donc E∗ =L (E,K)).

Définition 19.4 (vocabulaire)

ZExemples :– idE ∈ GL(E),∀ λ ∈K∗,hλ ∈ GL(E).– Soit E =C 0([0;1],R) et φ : E →R définie par φ( f ) = ∫ 1

0 f (t )d t , alors φ est une forme linéaire sur E.– Soit E = u ∈F (N,C) / (un) converge est un C-e.v. et l’application φ : E →C définie par φ(u) = limun ,

est une forme linéaire sur E.– Soient a,b,c ∈K, l’application φ :K3 →K définie par φ(x, y, z) = ax +by + cz, est une forme linéaire

surK3. En exercice, montrer la réciproque, c’est à dire que toutes les formes linéaires surK3 sont de cetype.

Soit f ∈L (E,F), on appelle noyau de f l’ensemble noté ker( f ) et défini par :ker( f ) =

x ∈ E / f (x) = 0F

Le noyau de f contient toujours 0E.

Définition 19.5 (Noyau d’une application linéaire)



MO

NTA

IGN

E

Applications linéaires Chapitre 19 : Espaces vectoriels

ZExemples :– Le noyau d’une application linéaire bijective est 0E.– Le noyau de l’application linéaire d : K[X] →K[x] définie par d(P) = P′ est ker(d) =K.– Le noyau de l’application linéaire f : K3 →K2 définie par f (x, y, z) = (x + y + z, x −2y − z) est ker( f ) =

(x,2x,−3x / x ∈K.

2) Propriétés

Il est facile de vérifier les propriétés suivantes :– f ∈L (E,F) est injective si et seulement si ker( f ) = 0E.– La composée de deux applications linéaires est linéaire. On en déduit que GL(E) est stable pour la loi .– Si f ∈L (E,F) est un isomorphisme, alors f −1 ∈L (F,E). On en déduit que GL(E) est stable par symétri-

sation, i.e. si f ∈ GL(E), alors f −1 ∈ GL(E).– (GL(E),) est un groupe (non abélien en général), c’est en fait un sous-groupe du groupe des permuta-

tions de E : (SE,).– Si f , g ∈L (E,F) et si λ ∈K, alors f +g et λ. f sont linéaires. On en déduit que (L (E,F),+, .) est unK-e.v.

(s.e.v. de F (E,F)).– (L (E),+,) est un anneau, la loi jouant le rôle d’une multiplication.

Remarque 19.2 –– En général, l’anneau L (E) n’est pas commutatif. Le groupe des inversibles de cet anneau est GL(E).– La loi jouant le rôle d’une multiplication, on adopte les notations usuelles des anneaux pour les

puissances, i.e. si u ∈L (E) et si n est entier, alors :

un =

idE si n = 0

u · · · u n fois si n > 0

u−1 · · · u−1 −n fois si u est inversible et n < 0

,

de plus si u, v ∈L (E) commutent (i.e. u v = v u), alors on peut utiliser le binôme de Newton :

(u + v)n =n∑

k=0

(n

k

)uk vn−k

– Soit E =K2 et f : (x; y) 7→ (y ;0), on vérifie facilement que f ∈ L (E) et que f 2 = 0 (application nulle),pourtant f 6= 0. Cet exemple montre qu’en général L (E) n’est pas un anneau intègre.

3) S.e.v. et applications linéaires

Si f ∈L (E,F) alors ker( f ) est un s.e.v de E et Im( f ) est un s.e.v de F.Théorème 19.2 (noyau et image d’une application linéaire)


Soit f ∈L (E,F) alors f est un isomorphisme si et seulement si ker( f ) = 0E et Im( f ) = F.

À retenir

Soit H un s.e.v de E et f ∈L (E,F), alors f (H) (ensemble des images par f des éléments de H) est uns.e.v de F.

Théorème 19.3 (image d’un s.e.v par une application linéaire)

Preuve : Il suffit de considérer la restriction de f à H : g : H → F définie par ∀ x ∈ H, g (x) = f (x), il est clair que g estlinéaire et que f (H) = Im(g ), on peut appliquer alors le théorème précédent.



MO

NTA

IGN

E

S.e.v. d’un espace vectoriel Chapitre 19 : Espaces vectoriels

Soit H un s.e.v de F et soit f ∈L (E,F) alors f −1(H) (ensemble des antécédents des éléments de H parf ) est un s.e.v de E.

Théorème 19.4 (image réciproque d’un s.e.v par une application linéaire)


ZExemples :– H = f ∈ C 0([a;b],R) /

∫ b0 f = 0 est un s.e.v de C 0([a;b],R), car c’est le noyau de la forme linéaire

φ : f 7→ ∫ b0 f .

– H = (x, y, z) ∈K3 / ax+by+cz = 0 est un s.e.v deK3 car c’est le noyau de la forme linéaireφ : (x, y, z) 7→ax +by + cz.

– H = (x, y, z) ∈K3 / 2x + y −z = 0 et 3x −2z = 0 est un s.e.v deK3 car c’est l’intersection des noyaux desdeux formes linéaires : φ1 : (x, y, z) 7→ 2x + y − z et φ2 : (x, y, z) 7→ 3x −2z.

Soit H un s.e.v de E, on dit que H est un hyperplan de E lorsqu’il existe une forme linéaire φ sur E,non identiquement nulle, telle que H = ker(φ).

Définition 19.6 (hyperplan)

III S.E.V. D’UN ESPACE VECTORIEL

1) Sous-espace engendré

Soit E un K-e.v et soit x1, . . . , xn des vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de la famille(xi )16i6n , tout vecteur x de E pour lequel il existe des scalaires λ1, . . . ,λn tels que :

x =n∑

i=1λi xi .

L’ensemble des combinaisons linéaires de la famille (xi )16i6n est noté Vect[x1, . . . , xn].Deux vecteurs x et y de E sont dits colinéaires lorsque l’un des deux est combinaison linéaire del’autre, i.e. ∃ λ ∈K, x = λy ou y = λx.

Définition 19.7 (combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs)

ZExemples :– Vect[0E] = 0E.– Si x ∈ E \ 0E, alors Vect[x] = λx / λ ∈K, c’est un s.e.v de E appelé droite vectorielle engendrée par x.

On dit que x est un vecteur directeur de cette droite. Les autres vecteurs directeurs sont les vecteurs dela forme λx avec λ 6= 0.

– Soient x, y ∈ E deux vecteurs non nuls, si les deux vecteurs sont colinéaires, alors Vect[x, y

]= Vect[x] =Vect

[y]

(droite vectorielle). Si ces deux vecteurs sont non colinéaires, alors :

Vect[x, y

]= αx +βy / α,β ∈K

c’est un s.e.v de E, on l’appelle plan vectoriel engendré par x et y , il contient (strictement) les deuxdroites engendrées par x et y .

– DansK3 déterminer une équation cartésienne du plan vectoriel engendré par les vecteurs x = (1,1,1)et y = (0,−1,1).

Soit E unK-e.v et soit (xi )16i6n une famille de vecteurs de E. Soit f ∈L (E,F), alors l’image par f d’unecombinaison linéaire de la famille (xi )16i6n et une combinaison linéaire de la famille ( f (xi ))16i6n

(dans F) avec les mêmes coefficients.

Théorème 19.5 (image d’une combinaison linéaire par une application linéaire)



MONTA

IGNES.e.v. d’un espace vectoriel Chapitre 19 : Espaces vectoriels

Preuve : Par récurrence sur n : pour n = 1 il n’y a rien à démontrer. Supposons le théorème vrai au rang n, et soitx = λ1x1 +·· ·+λn+1xn+1, f étant linéaire, on peut écrire f (x) = f (λ1x1 +·· ·+λn xn)+λn+1. f (xn+1), on applique alorsl’hypothèse de récurrence pour conclure.

Soit (xi )i∈I une famille de vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de la famille, tout vecteur deE pouvant s’écrire comme combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs de la famille. Notation :

Vect[(xi )i∈I] =∑

j∈Jα j x j / J partie finie de I et ∀ j ∈ J,α j ∈K.

Définition 19.8 (généralisation)

Remarque 19.3 – Si X est une partie de E, on notera Vect[X] l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteursde X. On peut écrire :

Vect[X] = ∑

x∈Xαx x / (αx )x∈X est une famille de scalaires tous nuls sauf un nombre fini

.

De telles familles de scalaires sont appelées familles à support fini. Le théorème 19.5 se généralise alorsainsi :

Si f ∈L (E,F) alors f (∑

x∈Xαx x) = ∑

x∈Xαx f (x), pour toute famille de scalaires (αx )x∈X à support fini.

Soit (xi )i∈I une famille de vecteurs de E, Vect[(xi )i∈I] est un s.e.v de E. C’est même le plus petit (pourl’inclusion) s.e.v de E qui contient tous les vecteurs de cette famille. On l’appelle s.e.v engendré par(xi )i∈I.

Théorème 19.6 (sous-espace engendré)


ZExemples :– Soit E =Kn pour i ∈ J1;nK on pose ei = (δi ,1, . . . ,δi ,n), on a alors E = Vect[e1, . . . ,en].– Soit H = u ∈K3 / ∃ α,β,γ ∈K,u = (α−β,2α−2β+γ,−α+β+2γ). Posons e1 = (1,2,−1),e2 = (−1,−2,1)

et e3 = (0,1,2), on a alors H = Vect[e1,e2,e3], ce qui prouve que H est un s.e.v deK3. On remarque quee2 =−e1, donc finalement H = Vect[e1,e3], et comme e1 et e3 ne sont pas colinéaires, H est un planvectoriel.

– Soit E = F (R,R), les deux fonctions idR et 1 sont non colinéaires, donc elles engendrent un planvectoriel dans E : P = Vect[idR,1]. f ∈ P équivaut à ∃ a,b ∈R, f = a.idR+b.1, et donc f : x 7→ ax +b, Pest donc l’ensemble des applications affines.

2) Somme de sous-espaces vectoriels

Soient F et G deux s.e.v de E, on appelle somme de F et G l’ensemble noté F+G et défini par :F+G = x ∈ E / ∃ u ∈ F, v ∈ G, x = u + v.

Plus généralement, si F1, . . . ,Fp sont des s.e.v. de E, la somme de ces s.e.v. est :F1 +·· ·+Fp = x ∈ E / ∃ u1 ∈ F1, . . . ,up ∈ Fp , x = u1 +·· ·+up .

Définition 19.9 (somme de s.e.v)

Une somme de s.e.v de E est un s.e.v de E.Théorème 19.7

Preuve : F1, . . . ,Fp sont des s.e.v de E , donc ce sont en particulier des K-e.v, par conséquent le produit cartésienF1 × ·· ·×Fp est lui-même un K-e.v. On considère alors l’application f : F1 × ·· ·×Fp → E définie par f (u1, . . . ,up ) =u1 +·· ·+up . On vérifie facilement que f est linéaire, il est clair d’après la définition que F1 +·· ·+Fp = Im( f ), et doncc’est un s.e.v de E.

ZExemples :– Dans K3, posons i = (1,0,0), j = (0,1,0),k = (0,0,1), on peut vérifier que K3 = Vect[i ]+Vect

[j]+

Vect[k] = Vect[i , j

]+Vect[k] = Vect[i ]+Vect[

j ,k].

– Soient x, y ∈ E deux vecteurs, on a Vect[x]+Vect[

y]= Vect

[x, y

]. Plus généralement, on peut remplacer

x et y par deux familles de vecteurs de E (et cela se généralise à plus de deux).



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NTA

IGN

E

S.e.v. d’un espace vectoriel Chapitre 19 : Espaces vectoriels

3) Sommes directes

Soient F1, . . . ,Fp des s.e.v de E, on dit que la somme F1 +·· ·+Fp est directe lorsque tout vecteur decette somme s’écrit de manière unique sous la forme u1 +·· ·+up avec ui ∈ Fi , 16 i 6 p. Si c’est lecas, la somme est notée F1 ⊕·· ·⊕Fp .

Définition 19.10 (somme directe)

Soient F1, . . . ,Fp des s.e.v de E, les assertions suivantes sont équivalentes :

a) la somme F1 +·· ·+Fp est directe.

b) ∀ (x1, . . . , xp ) ∈ F1 ×·· ·×Fp , si x1 +·· ·+xp = 0E alors x1 = ·· · = xp = 0E.

c) ∀i ∈ J1; pK, l’intersection entre Fi et la somme des autres s.e.v. est réduite à 0E.

d) l’application linéaire φ : F1 ×·· ·×Fp → E définie par φ(x1, . . . , xp ) = x1 +·· ·+xp est injective.

Théorème 19.8 (caractérisation des sommes directes)

Preuve : Montrons a) =⇒ b) : soient xi ∈ Fi tels que∑p

i=1 xi = 0E, alors∑p

i=1 xi = ∑pi=1 0E, or 0E est dans chaque Fi ,

l’unicité permet de conclure que xi = 0E.Montrons que b) =⇒ c) : soient x1 ∈ F1 ∩ (F2 +·· ·+Fp ) alors il existe x2 ∈ F2, . . . , xp ∈ Fp tels que x1 = x2 +·· ·+ xp ,

alors x1 −x2 −·· ·−xp = 0E avec −xi ∈ Fi , et donc chacun de ces vecteurs est nul, en particulier x1. Le raisonnement estle même si on permute les indices.

Montrons c) =⇒ d) : si (x1, . . . , xp ) ∈ ker(φ) alors x1 +·· ·+xp = 0E et donc x1 =−x2 −·· ·−xp , or ce vecteur est dansF2 +·· ·+Fp , donc x1 = 0E, le même façon on montre que les autres sont nuls et donc que φ est injective.

Montrons que d) =⇒ a) : Si x1 + ·· ·+ xp = y1 + ·· ·+ yp avec xi , yi ∈ Fi , alors (x1 − y1)+ ·· ·+ (xp − yp ) = 0E, donc(x1−y1, . . . , xp −yp ) ∈ ker(φ) (car xi −yi ∈ Fi ),φ étant injective il vient que xi −yi = 0E d’où l’unicité de la décomposition,la somme est donc directe.

ZExemples :– Dans F (R,R) le s.e.v des fonctions paires et le s.e.v des fonctions impaires sont en somme directe.– Dans K3 le plan P d’équation x + y + z = 0 et la droite engendrée par le vecteur i = (1,1,1) sont en

somme directe, mais P n’est pas en somme directe avec le plan P′ engendré par i et j = (1,−1,1).

Cas de deux s.e.v. : F1 et F2, s.e.v. de E, sont en somme directe si et seulement si F1 ∩F2 = 0E.

À retenir

Ceci est faux à partir de trois s.e.v. de E.

4) S.e.v. supplémentaires

Soient F et G deux s.e.v de E , on dit que F et G sont supplémentaires lorsque F⊕G = E. Ce qui signifieque E = F+G et la somme F+G est directe, ou encore : tout vecteur de E s’écrit de manière uniquecomme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G.

Définition 19.11 (s.e.v supplémentaires)

ZExemples :– Dans F (R,R) le s.e.v des fonctions paires et le s.e.v des fonctions impaires sont supplémentaires.– Dans E =C 0([a;b],R) le s.e.v H = f ∈ E /

∫ ba f = 0 et le s.e.v G = Vect[idR] sont supplémentaires.

Soit H un s.e.v de E, les assertions suivantes sont équivalentes :

a) H est un hyperplan de E (i.e. le noyau d’une forme linéaire sur E non nulle).

b) ∀ x0 ∈ E \ H,H⊕Vect[x0] = E.

Théorème 19.9 (caractérisations des hyperplans)



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E

Projections, symétries Chapitre 19 : Espaces vectoriels

c) ∃ x0 ∈ E \ H tel que H⊕Vect[x0] = E.

Preuve : Montrons que a) =⇒ b) : soit x0 ∈ E \ H, comme x0 n’est pas dans H, il est facile de voir que H et Vect[x0] sonten somme directe. Soit φ une forme linéaire (non nulle) telle que ker(φ) = H, on a φ(x0) = α 6= 0, soit x ∈ E et λ=φ(x),posons y = x − λ

αx0, on a φ(y) = 0, donc y ∈ H et de plus x = y + λαx0, ce qui prouve que E = H+Vect[x0].

Montrons que b) =⇒ c) : rien à faire.Montrons que c) =⇒ a) : Pour x ∈ E, il existe y ∈ H et λ ∈ K, uniques tels que x = y +λx0. Posons φ(x) = λ. On

définit ainsi une application non nulle de E versK, on peut vérifier ensuite que φ est bien linéaire (laissé en exercice),x ∈ ker(φ) ⇐⇒ λ= 0 ⇐⇒ x = y ⇐⇒ x ∈ H, donc ker(φ) = H, ce qui prouve que H est un hyperplan.

IV PROJECTIONS, SYMÉTRIES

1) Projecteurs

Soit E unK-e.v, une projection dans E (ou un projecteur de E) est un endomorphisme p de E tel quep2 = p (i.e. p p = p).

Définition 19.12

ZExemples :– E =K2 et p(x, y) = (x,0).

– E =F (R,R) et p qui à f ∈ E associe p( f ) : x 7→ f (x)+ f (−x)2 .

Remarque 19.4 – Invariants d’un endomorphisme : si f ∈L (E), alors x ∈ E est invariant par f (ou un pointfixe de f ) si et seulement si f (x) = x, ce qui équivaut à ( f − idE)(x) = 0E, ou encore x ∈ ker( f − idE). L’ensembledes points fixes de f est donc le s.e.v ker( f − idE).

p ∈L (E) est un projecteur ⇐⇒ E = ker(p)⊕ker(p − idE). Si c’est le cas, alors Im(p) = ker(p − idE) eton dit que p est la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p). Tout vecteur x de E se décompose dela manière suivante : x = (x −p(x))+p(x), avec x −p(x) ∈ ker(p) et p(x) ∈ ker(p − idE).

Théorème 19.10 (caractérisation des projections)

Preuve : Si p est un projecteur, soit x ∈ ker(p)∩ker(p − idE), alors p(x) = 0E = x, donc la somme est directe. Soit x ∈ E,alors p(x − p(x)) = p(x)− p2(x) = 0E, donc x − p(x) ∈ ker(p), on a alors x = (x − p(x))+ p(x) et p(x) ∈ ker(p − idE),donc E = ker(p)⊕ker(p − idE). De la définition, il découle que Im(p) ⊂ ker(p − idE), l’inclusion étant évidente, on aIm(p) = ker(p − i dE).

Réciproque : si E = ker(p)⊕ker(p − idE), soit x ∈ E, alors x = y + z avec y ∈ ker(p) et z ∈ ker(p − idE), d’où p(x) =p(y)+p(z) = p(z) = z, et donc p2(x) = p(z) = z = p(x), ce qui prouve que p est un projecteur.

p(x) ker(p − id)

Im(p)

x −p(x)

ker(p)

x

ZExemples :– Dans le premier exemple, p est la projection sur la droite Vect[(1,0)] et parallèlement à la droite

Vect[(0,1)].



MO

NTA

IGN

E


– Dans le deuxième exemple, p est la projection sur le s.e.v des fonctions paires, parallèlement au s.e.vdes fonctions impaires.

Si F et G sont deux s.e.v de E supplémentaires (E = F⊕G), alors il existe une unique projection p telleque Im(p) = F et ker(p) = G, i.e. qui soit la projection sur F parallèlement à G.

Théorème 19.11 (projection associée à une décomposition)

Preuve : Pour x ∈ E, il existe xF ∈ F et xG ∈ G, uniques tels que x = xF + xG, on pose alors p(x) = xF, ce qui définit uneapplication de E dans E. On vérifie facilement que p est linéaire, et comme xF ∈ F, on a par définition même de p, quep2(x) = xF = p(x), donc p est bien un projecteur. On a p(x) = 0E ⇐⇒ xF = 0E ⇐⇒ x = xG ⇐⇒ x ∈ G, donc ker(p) = G,d’autre part, p(x) = x ⇐⇒ x = xF ⇐⇒ x ∈ F, donc ker(p − idE) = F, ce qui termine la preuve.

ZExemples :– Soit E =K3, F = (x, y, z) ∈ E / z = 0 et G = Vect[(1,1,1)]. Montrer que F et G sont supplémentaires, et

déterminer l’expression analytique de la projection sur F parallèlement à G.– Soit p un projecteur de E, montrer que q = idE −p est un projecteur, préciser ses éléments caractéris-

tiques.

2) Symétries

Soit E unK-e.v, une symétrie de E est un endomorphisme s tel que s2 = idE (involution linéaire).

Définition 19.13

ZExemples :– Dans E =K2, l’application s définie par s(x, y) = (y, x) est une symétrie.– Dans E =F (R,R) l’application s définie par s( f ) est la fonction qui à s( f ) : x 7→ f (−x), est une symétrie.

Soit s ∈L (E), s est une symétrie⇐⇒ E = ker(s−idE)⊕ker(s+idE). Ce qui revient à dire que l’applicationp = 1

2 (idE + s) est une projection. Si c’est le cas, on dit que s est la symétrie par rapport à ker(s − idE)(ensemble des invariants) et parallèlement à ker(s + idE), et on dit que p est la projection associée à s.Tout vecteur x de E se décompose de la manière suivante :

x = 12 (x + s(x))+ 1

2 (x − s(x)),avec 1

2 (x + s(x)) ∈ ker(s − idE) et 12 (x − s(x)) ∈ ker(s + idE).

Théorème 19.12 (caractérisation des symétries)

Preuve : Posons p = 12 (idE + s), s est une symétrie équivaut à s2 = idE, c’est à dire (2p − idE)2 = idE, ou encore p2 = p, ce

qui équivaut à dire que E = ker(p)⊕ker(p − idE), et donc E = ker(s + idE)⊕ker(s − idE).

p(x) ker(s − id)

ker(p − id)

x −p(x)

ker(p) = ker(s + id)

x

s(x)

p(x)−x



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E


Si F et G sont deux s.e.v de E supplémentaires (E = F⊕G), alors il existe une unique symétrie s telleque ker(s − idE) = F et ker(s + idE) = G, i.e. qui soit la symétrie par rapport à F et parallèlement à G.

Théorème 19.13 (symétrie associée à une décomposition)

Preuve : Soit p la projection sur F parallèlement à G, posons s = 2p − idE, on sait alors que s est une symétrie etker(s − idE) = ker(p − idE) = F et ker(s + idE) = ker(p) = G, donc s existe. Réciproquement, si s existe, alors la projectionassociée est nécessairement la projection sur F parallèlement à G, or celle-ci est unique, c’est p, donc s est unique.

ZExemples :– Dans le premier exemple ci-dessus, s est la symétrie par rapport à la droite Vect[(1,1)] et parallèlement

à la droite Vect[(1,−1)].– Dans le deuxième exemple, s est la symétrie par rapport au s.e.v des fonctions paires, et parallèlement

au s.e.v des fonctions impaires.



MO

NTA

IGN

EChapitre 20

La dimension finie

SommaireI Espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

1) Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

2) Familles libres, familles liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3) Familles libres et familles liées en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

II Propriétés de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

1) Bases, coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

2) Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3) Applications linéaires et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

III Notion de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

1) Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

2) Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3) Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

IV Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

1) Hyperplans en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

2) Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3) Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

I ESPACES DE DIMENSION FINIE

1) Familles génératrices

Soit E unK-e.v, et soit A une famille de vecteurs de E, on dit que la famille A est une famille génératricede E lorsque E = Vect[A]. Ce qui signifie que tout vecteur de E est combinaison linéaire d’un nombrefini de vecteurs de A.

Définition 20.1

ZExemples :– Soit E =Kn , pour i ∈ J1;nK, on pose ei = (δi ,1, . . . ,δi ,n), alors la famille A = (e1, . . . ,en) est une famille

génératrice de E, car (x1, . . . , xn) =n∑

i=1xi ei .

– Soit E =Kn[X], la famille A = (Xi )06i6n est une famille génératrice de E.– Soit E =K[X], la famille A = (Xi )i∈N est une famille génératrice de E.– Soit E =C 0(R,R), la famille A = ( fk )06k6n où fk : x 7→ ekx , n’est pas une famille génératrice de E. Si elle

l’était, il existerait des réels ak tels que sin =n∑

k=0ak fk , en posant P =

n∑k=0

ak Xk , on aurait alors pour tout

réel x : sin(x) = P(ex ), la fonction sin s’annulant une infinité de fois et la fonction exp étant injective, onvoit que P possède une infinité de racines, donc P = 0 i.e. tous les réels ak sont nuls et donc la fonctionsin est nulle, ce qui est absurde.



MO

NTA

IGN

E

Espaces de dimension finie Chapitre 20 : La dimension finie

Soit A une famille génératrice de E :– Toute sur-famille de A est génératrice, i.e. si B est une famille de vecteurs de E telle que A ⊂ B, alors

B est génératrice.– Si f ∈L (E,F), alors B = ( f (x))x∈A est une famille génératrice de Im( f ).– Soit f ∈L (E,F), alors f est surjective si et seulement si f (A) est une famille génératrice de F.

Théorème 20.1 (premières propriétés)

Preuve : Le premier point est évident. Si f ∈ L (E,F), soit y ∈ Im( f ), alors il existe x ∈ E tel que f (x) = y , mais A est

génératrice de E, donc il existe x1, . . . , xn ∈ A et des scalaires α1, . . . ,αn tels que x =b∑

i=1αi xi , f étant linéaire, on a alors

f (x) =n∑

i=1αi f (xi ), ce qui prouve que B est génératrice de Im( f ). Le troisième point en découle.

FExercice 20.1 Les familles suivantes sont-elles génératrices dansK3 ?– A = (1,1,1); (−1,0,2); (1,2,3).– A = (1,1,1), (1,2,3).

Soit E unK-e.v, on dit que E est de dimension finie lorsque E possède une famille génératrice finie,c’est à dire lorsqu’il existe des vecteurs x1, . . . , xn ∈ E tels que E = Vect[x1, . . . , xn]. Si ce n’est pas le cas,on dit que E est de dimension infinie.

Définition 20.2 (espace de dimension finie)

ZExemples :– Kn est de dimension finie.– Kn[X] est de dimension finie.– K[X] est de dimension infinie. En effet : sinon, il existerait une famille de polynômes P1, . . . ,Pn telle queK[X] = Vect[P1, . . . ,Pn], mais alors tout polynôme aurait un degré inférieur ou égal à max(deg(P1), . . . ,deg(Pn)),ce qui est absurde. Nous verrons plus loin que F (R,R) est également de dimension infinie.

Soit E unK-e.v de dimension finie :– Si f ∈L (E,F), alors Im( f ) est de dimension finie. En particulier lorsque f est surjective, F est de

dimension finie.– Si F est de dimension finie, alors E×F est de dimension finie également.

Théorème 20.2

Preuve : Le premier point découle directement du théorème précédent. Si (x1, . . . , xn) est une famille génératrice de Eet si (y1, . . . , yp ) est une famille génératrice de F, alors pour (x, y) ∈ E×F, on a :

(x, y) = (n∑

i=1αi xi ,

p∑k=1

βk yk ) = ∑16i6n

αi (xi ,0F)+ ∑16k6p

βk (0E, yk ),

ce qui prouve que la famille ((xi ,0F); (0E, yk ))16i6n,16k6n est une famille génératrice finie de E×F.

2) Familles libres, familles liées

Soit (xi )i∈I une famille de vecteurs d’unK-e.v E, on dit que :– La famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire de la famille qui donne le vecteur nul est

celle pour laquelle tous les coefficients sont nuls (on dit aussi que les vecteurs sont linéairementindépendants), c’est à dire : ∑

i∈Iαi xi = 0E =⇒∀ i ∈ I,αi = 0.

– La famille est dite liée lorsqu’elle n’est pas libre (on dit aussi que les vecteurs sont linéairementdépendants), ce qui signifie qu’il existe une famille de scalaires à support fini (αi )i∈I non tous nulstels que :

Définition 20.3



MO

NTA

IGN

E

Espaces de dimension finie Chapitre 20 : La dimension finie

∑i∈Iαi xi = 0E.

La famille (xi )i∈I est liée si et seulement si un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire desautres.

Théorème 20.3 (caractérisation des familles liées)

Preuve : Supposons xk = ∑i∈I\k

αi xi , on a alors xk − ∑i∈I\k

αi xi = 0E avec le coefficient de xk qui est non nul, donc la

famille est liée.Réciproquement : si la famille est liée, il existe une famille à support fini de scalaires (λi )i∈I non tous nuls tels que∑

i∈Iλi xi = 0E, supposons que λi0 6= 0, on a alors : xi0 =

∑i∈I\i0

−λiλi0

xi .

Remarque 20.1 – Soient x, y ∈ E, alors la famille (x, y) est liée si et seulement si les deux vecteurs sont coli-néaires.

ZExemples :– E =Kn , la famille A = (e1, . . . ,en) avec ei = (δi ,1, . . . ,δi ,n) est une famille libre.– E =Kn[X], la famille A = (Xi )06i6n est une famille libre.– E =K[X], la famille A = (Xi )i∈N est une famille libre.– E =C 0([a;b],C), pour k ∈ J0;nK on pose fk : x 7→ ekx , alors la famille A = ( fk )k∈N est libre.– E =K2, soit i = (1,1), j = (1,2) et k = (4,3), la famille A = (i , j ,k) est une famille liée.– Soit E =C 0(R,R) pour k ∈ J1;nK on pose fk : x 7→ sin(kx). Montrer par récurrence sur n que la famille

A = ( fk )k>1 est libre.

Il est clair que ( f1) est libre, supposons que ( f1, . . . , fn−1) soit libre et supposons quen∑

k=1αk fk = 0, on a donc pour

tout réel x de [a;b] :n∑

k=0αk sin(kx) = 0, en dérivant deux fois cette relation, on obtient :

n∑k=1

k2αk sin(kx) = 0, en

lui retranchant n2 fois la première, on obtient :n−1∑k=1

(k2 −n2)αk fk = 0, de l’hypothèse de récurrence on déduit que

αk = 0 pour k ∈ J1;n −1K, il reste alors αn fn = 0 et donc αn = 0.

Soit E unK-e.v– Si x ∈ E, alors la famille (x) est libre si et seulement si x 6= 0E.– Toute famille contenant le vecteur nul est liée.– Toute partie d’une famille libre est une famille libre.– Toute famille contenant une famille liée est une famille liée.– L’image d’une famille liée par une application linéaire est une famille liée.– Soit f ∈L (E,F), alors f est injective si et seulement si f transforme toute famille libre de E en une

famille libre de F.– La famille (xi )i∈I est libre si et seulement si ∀ x ∈ Vect[(xi )i∈I], x s’écrit de manière unique comme

combinaison linéaire des vecteurs (xi )i∈I.– Soit (xi )i∈I une famille libre, alors ∀ x ∈ E, x ∈ Vect[(xi )i∈I] ⇐⇒ x, (xi )i∈I est liée.

Théorème 20.4 (propriétés des familles libres et des familles liées)

Preuve : Démontrons les trois derniers points, il suffit de les démontrer pour toute famille finie :

Si f est injective et si (x1, . . . , xn) est libre dans E, supposons quen∑

k=1αk f (xk ) = 0F, alors

n∑k=1

αk xk ∈ ker( f ), donc

n∑k=1

αk xk = 0E, mais cette famille étant libre, les coefficients αk sont tous nuls.

Si f transforme une famille libre en une famille libre : si x ∈ ker( f ) et si x 6= 0E, alors (x) est libre, donc ( f (x)) estlibre i.e. f (x) 6= 0F ce qui est absurde, donc x = 0E et f est injective.

Si (x1, . . . , xn) est libre et si x =n∑

k=1αk xk =

n∑k=1

βk xk , alorsn∑

k=1(αk −βk )xk = 0E et donc, la famille étant libre, αk = βk

pour k ∈ J1;nK.

Réciproquement, si l’écriture est unique alorsn∑

k=1αk xk = 0E =⇒∀ k ∈ J1;nK ,αk = 0, i.e. la famille est libre.



MO

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IGN

E

Propriétés de la dimension finie Chapitre 20 : La dimension finie

Si x ∈ Vect[x1, . . . , xn], alors x =n∑

k=1αk xk ce qui prouve que la famille (x1, . . . , xn , x) est liée.

Réciproque : si (x1, . . . , xn , x) est liée, alors il existe des scalaires αk pour k ∈ J1;n +1K tels quen∑

k=1αk xk +αn+1x = 0E,

si αn+1 = 0, alors il resten∑

k=1αk xk = 0E donc tous les scalaires αk sont nuls, ce qui est contradictoire, d’où αn+1 6= 0, ce

qui entraîne x =−n∑

k=1

αkαn+1

xk .

3) Familles libres et familles liées en dimension finie

Si E est de dimension finie et si (x1, . . . , xn) est une famille génératrice de E, alors toute famille decardinal supérieur ou égal à n +1 est une famille liée.

Théorème 20.5 (fondamental de la dimension finie)

Preuve : Par récurrence sur n : pour n = 1 on a E = Vect[x1] soit x, y ∈ E, x = αx1 et y = βx1. Si α= 0 alors x = 0E et lafamille (x, y) est liée, sinon on a y = β/αx et donc la famille (x, y) est liée.

Supposons le théorème vrai au rang n et soit (x1, . . . , xn+1) une famille génératrice de E, soit (y1, . . . , yn+2) une famillede vecteurs de E, on pose F = Vect[x1, . . . , xn]. Si tous les vecteurs yi sont dans F alors on peut appliquer l’hypothèsede récurrence et la famille (y1, . . . , yn+2) est liée, dans le cas contraire, supposons yn+2 ∉ F, pour tout j ∈ J1;n +2K ilexiste un scalaire λ j et un vecteur u j de F tels que y j = u j +λ j xn+1, on a donc λn+2 6= 0, on en déduit xn+1 en fonction

de un+2 et yn+2, d’où pour j ∈ J1;n +1K : y j = u j − λ j

λn+2un+2 + λ j

λn+2yn+2, mais la famille (u j − λ j

λn+2un+2) j∈J1;n+1K est liée

dans F (hypothèse de récurrence), donc la famille (y j − λ j

λn+2yn+2) j∈J1;n+1K est liée dans E, ce qui entraîne que la famille

(y1, . . . , yn+2) est liée dans E.

ZExemples :– E =Kn , pour i ∈ J1;nK, on pose ei = (δi ,1, . . . ,δi ,n), on a vu en exemple que la famille A = (e1, . . . ,en) est

génératrice, donc dansKn , toute famille de n +1 vecteurs (ou plus) est liée.– E =Kn[X], on sait que la famille A = (X0, . . . ,Xn) est génératrice, donc dansKn[X] toute famille de n +2

vecteurs (ou plus) est liée.– E =F (R,C) est de dimension infinie, sinon il existe une famille génératrice finie A = ( f1, . . . , fn), mais

alors toute famille de n +1 vecteurs est liée, or la famille (g0, . . . , gn) où gk : x 7→ ekx , est une famillelibre, on a donc une contradiction, ce qui prouve que E est de dimension infinie.

Si E est de dimension finie et si (x1, . . . , xn) est une famille libre, alors toute famille génératrice de Econtient au moins n vecteurs.

Théorème 20.6

Preuve : Soit (y1, . . . , ym) une famille génératrice de E, si n > m, alors d’après le théorème fondamental, la famille(x1, . . . , xn) est liée, ce qui est contradictoire, donc m> n.

II PROPRIÉTÉS DE LA DIMENSION FINIE

1) Bases, coordonnées

Soit E un K-e.v et soit B = (e1, . . . ,en) une famille de vecteurs de E, on dit que B est une base deE lorsque B est à la fois libre et génératrice de E. Si c’est le cas, alors ∀ x ∈ E,∃!(λ1, . . . ,λn) ∈ Kn ,

tel que x =n∑

k=1λk xk . Par définition (λ1, . . . ,λn) sont les coordonnées de x dans la base B, et on

pose CoordB(x) = (λ1, . . . ,λn) ∈Kn (on fera attention à l’ordre sur les vecteurs de la base B, λi est lacoordonnée de x sur le vecteur ei ).

Définition 20.4



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E


ZExemples :– E =Kn , la famille B = (e1, . . . ,en) où ei = (δi ,1, . . . ,δi ,n) pour i ∈ J1;nK, est une famille libre et génératrice

deKn , c’est donc une base, on l’appelle base canonique deKn . Si u = (λ1, . . . ,λn) ∈Kn , alors on sait que

u =n∑

k=1λk ek , donc CoordB(u) = (λ1, . . . ,λn), c’est à dire : dans la base canonique deKn les coordonnées

d’un vecteur u sont les composantes de u.– E =Kn[X], on sait que la famille B = (X0, . . . ,Xn) est libre et génératrice deKn[X], c’est donc une base de

Kn[X], on l’appelle base canonique de Kn[X]. Si P =n∑

k=0λk Xk ∈Kn[X], alors CoordB(P) = (λ0, . . . ,λn),

c’est à dire : dans la base canonique deKn[X], les coordonnées d’un polynôme P sont les coefficientsde P.

– DansKn[X], soit a ∈K, d’après la formule de Taylor en a, la famille B = ((X−a)k )k∈J0;nK est une famille

libre et génératrice de Kn[X], c’est donc une base. Pour P ∈Kn[X], on sait que P =n∑

k=0

P(k)(a)k ! (X−a)k ,

donc CoordB(P) = (P(a),P′(a), . . . , P(n)(a)n! ).

FExercice 20.2 E = K2, on pose i = (1,1) et j = (1,2), montrer que B = (i , j ) est une base de E, et pour u = (x, y) ∈ E,

calculer CoordB(u).

Tout K-e.v non réduit au vecteur nul et de dimension finie, possède des bases. Plus précisément,toute famille génératrice contient une base.

Théorème 20.7 (existence de bases)

Preuve : Soit (x1, . . . , xn) une famille génératrice de E, si tous ces vecteurs sont nuls, alors E = 0E ce qui est exclu, doncau moins un des vecteurs de la famille est non nul, on peut donc considérer les sous-familles de (x1, . . . , xn) qui sontlibres et en prendre une de cardinal maximal : (xi1 , . . . , xir ). Posons y j = xi j pour j ∈ J1;r K, lorsque k ∉ i1, . . . , ir on a

(y1, . . . , yr , xk ) est liée (maximalité de r ), donc xk ∈ Vect[

y1, . . . , yr], mais alors Vect[x1, . . . , xn] ⊂ Vect

[y1, . . . , yr

], ce qui

entraîne que (y1, . . . , yr ) est une famille génératrice de E, comme elle est libre, c’est une base de E.

Si E est unK-e.v de dimension finie, alors toutes les bases de E ont le même cardinal. Ce cardinal estappelé dimension de E et noté dim(E) ou dimK(E). Par convention 0E est de dimension 0.

Théorème 20.8 (propriété fondamentale des bases en dimension finie)

Preuve : Soit B = (e1, . . . ,en) une base de E, cette famille est libre, donc toute famille génératrice possède au minimumn vecteurs, mais cette famille est également génératrice, donc toute famille libre contient au maximum n vecteurs,finalement, toute base de E, étant à la fois libre et génératrice, contient exactement n vecteurs.

ZExemples :– La base canonique deKn contient n vecteurs, donc dimK(Kn) = n.– La base canonique deKn[X] contient n +1 vecteurs, donc dimK(Kn[X]) = n +1.– C=R2 donc dimR(C) = 2, mais dimC(C) = 1.– Une droite vectorielle est un espace de dimension 1 et un plan vectoriel est un espace de dimension 2.

Si E est de dimension n> 1 et si B est une famille de vecteurs de E alors les assertions suivantes sontéquivalentes :

a) B est une base de E.

b) B est libre de cardinal n (on dit aussi libre maximale).

c) B est génératrice de cardinal n (on dit aussi génératrice minimale).

Théorème 20.9 (application)

Preuve : On a évidemment a) =⇒ b) et a) =⇒ c).Montrons b) =⇒ c) : si B est libre de cardinal n : B = (y1, . . . , yn), alors pour tout x ∈ E, la famille (y1, . . . , yn , x) est liée

(car de cardinal n +1 et E possède une base de cardinal n), ce qui entraîne que x ∈ Vect[

y1, . . . , yn], ce qui prouve que B

est génératrice.Montrons c) =⇒ a) : si B est génératrice de cardinal n, on peut extraire de B une famille libre de cardinal maximal,

cette famille sera alors une base de E, elle est donc de cardinal n, mais B est de cardinal n, donc cette famille extraite nepeut être que B elle-même, c’est à dire B est une base de E.



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E


FExercice 20.3 Montrer que dansKn[X], la famille B = (Xk (1−X)n−k )k∈J0;nK est une base.

Solution 20.3 La base canonique deKn[X] possède n +1 vecteurs et card(B) = n +1, il suffit donc de démontrer que

B est libre : si on an∑

k=0αk Xk (1−X)n−k = 0, en évaluant en 1, il reste αn = 0, donc

n−1∑k=0

αk Xk (1−X)n−k = 0, c’est à dire

n−1∑k=0

αk Xk (1−X)n−1−k = 0, on peut terminer par récurrence sur n pour montrer que B est libre, la propriété étant évidente

pour n = 0. B est donc une base deKn[X].

On remarquera au passage la puissance du théorème précédent, car le fait que cette famille B soitgénératrice n’est pas du tout évident à démontrer « à la main ».

Soit B = (e1, . . . ,en) une base de E, l’application :

CoordB : E → Kn

x 7→ CoordB(x)

est un isomorphisme entre E etKn .

Théorème 20.10

Preuve : En exercice.

Remarque 20.2 – Ce théorème permet de calculer facilement les coordonnées d’une combinaison linéaire devecteurs connaissant les coordonnées de chacun d’eux.

Soient E et F deux K-e.v, soit B = (e1, . . . ,en) une base de E, toute application linéaire de E vers Fest entièrement déterminée par la donnée des images des vecteurs de la base B, plus précisément,si on se donne y1, . . . , yn ∈ F, alors il existe une unique application linéaire f : E → F telle que ∀ i ∈J1;nK , f (ei ) = yi , de plus :– f est injective si et seulement si (y1, . . . , yn) est libre dans F.– f est surjective si et seulement si (y1, . . . , yn) est génératrice de F.– f est bijective si et seulement si (y1, . . . , yn) est une base de F.

Théorème 20.11

Preuve : Soit x ∈ E et (λ1, . . . ,λn) = CoordB(x), on définit f : E → F en posant f (x) =n∑

k=1λk yk . Il est facile de vérifier que

f est linéaire et que c’est la seule qui vérifie f (ek ) = yk pour k ∈ J1;nK.Les deux équivalences suivantes sont simples à démontrer et la troisième est la conjonction des deux précédentes.

On retient la troisième en disant que f est un isomorphisme de E vers F si et seulement si f transforme une base de Een une base de F.

Remarque 20.3 – Il en découle que deux applications linéaires de E vers F qui coïncident sur une base de Esont égales.

Soit B = (e1, . . . ,en) une base de E et soit (y1, . . . , yr ) une famille libre de E avec r < n alors il existe desvecteurs eir+1 , . . . ,ein de B tels que la famille (y1, . . . , yr ,eir+1 , . . . ,ein ) soit une base de E.

Théorème 20.12 (de la base incomplète)

Preuve : Comme r < n la famille (y1, . . . , yr ) n’est pas génératrice de E, donc il existe au moins un vecteur ek tel que(y1, . . . , yr ,ek ) soit libre. Posons A = (y1, . . . , yr ,e1, . . . ,en) alors A est une famille génératrice de E. La famille A contient desfamilles libres et parmi celles-ci il y en a qui contiennent les vecteurs y1, . . . , yr , on peut donc considérer une sous-famillelibre de A qui contient ces vecteurs et qui soit de cardinal maximal : C = (y1, . . . , yr ,eir+1 , . . . ,eis ), si k ∉ ir+1, . . . , is alorsla famille (y1, . . . , yr ,eir+1 , . . . ,eis ,ek ) est liée (maximalité de C), donc ek ∈ Vect[C] ce qui entraîne que C est une famillegénératrice de E, or C est libre donc C est une base de E, ce qui entraîne également que s = n car toutes les bases de Eont n vecteurs.

ZExemple : Soit E =K3 et B = (i , j ,k) la base canonique deK3, soit u = (1,1,1). La famille (u) est libre, on peutdonc compléter cette famille en une base de E avec deux vecteurs de la base canonique. Les vecteurs i et usont non colinéaires, donc (u, i ) est libre. On a j ∉ Vect[u, i ] donc (u, i , j ) est libre, c’est donc une base deK3.On remarquera que (u, i ,k) et (u, j ,k) conviennent également.



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E


2) Sous-espaces vectoriels

Si E est de dimension finie, alors tout s.e.v F de E est de dimension finie et dim(F)6 dim(E). De plus,si dim(F) = dim(E) alors F = E.

Théorème 20.13

Preuve : Si dim(E) = 0 il n’y a rien à démontrer. On suppose donc dim(E) = n > 1, si F = 0E alors il n’y a rien àdémontrer, on suppose donc F 6= 0E, mais alors F contient des familles libres et elles ont toute un cardinal inférieurou égal à n, on peut donc considérer une famille C libre de F de cardinal maximal, on a alors ∀ x ∈ F,C ∪ (x) est liée,donc x ∈ Vect[C ] ce qui prouve que C est une base de F, et le premier point est démontré. Si dim(F) = dim(E), alorscard(C ) = n, donc C est également une base de E, d’où E = F.

Si E est de dimension finie, alors tout s.e.v F de E admet au moins un supplémentaire G dans E.Théorème 20.14

Preuve : On écarte les trois cas triviaux : E = 0E,F = E,F = 0E. Dans le cas général, soit (y1, . . . , yp ) une base de F alorson peut compléter cette famille en une base de E : (y1, . . . , yp ,ep+1, . . . ,en), on pose alors G = Vect

[ep+1, . . . ,en

]et on

vérifie que G est un supplémentaire de F dans E.

Soient F et G deux s.e.v d’unK-e.v E de dimension finie, les assertions suivantes sont équivalentes :

i) F est G sont supplémentaires.

ii) La somme F+G est directe et dim(F)+dim(G) = dim(E).

iii) E = F+G et dim(F)+dim(G) = dim(E).

Théorème 20.15

Preuve : Il est clair que i ) =⇒ i i ).Supposons i i ) : soit B = (y1, . . . , yp ) une base de F, alors dim(G) = n − p (où n = dim(E)), soit B′ = (yp+1, . . . , yn)

une base de G, il est facile de vérifier que F∩G = 0E =⇒ B∪B′ est libre, or card(B∪B′) = n, c’est donc une famillegénératrice de E, ce qui entraîne E = F+G, donc i i ) =⇒ i i i ).

Supposons i i i ) : avec les notations précédentes, l’hypothèse E = F+G implique que B∪B′ est génératrice de E,mais elle est de cardinal n, c’est donc une famille libre ce qui entraîne que la somme F+G est directe et donc E = F⊕G,donc i i i ) =⇒ i ).

Si E est de dimension finie et si F et G sont deux s.e.v de E, alors (formule de Grassmann 1) :dim(F+G) = dim(F)+dim(G)−dim(F∩G).

Théorème 20.16

Preuve : Soit H un supplémentaire de F ∩ G dans F : F = H ⊕ (F ∩ G), on a donc d’après la propriété précédente,dim(H) = dim(F)−dim(F∩G). On vérifie ensuite que F+G = H⊕G, on en déduit alors que dim(F+G) = dim(H)+dim(G),ce qui donne la formule.

Si E et F sont deux K-e.v de dimension finie, alors E × F est de dimension finie et dim(E × F) =dim(E)+dim(F).

Théorème 20.17

Preuve : Soit (e1, . . . ,en) une base de E et (y1, . . . , yp ) une base de F, alors on a déjà montré que la famille :B = ((e1,0F), . . . , (en ,0F), (0E, y1), . . . , (0E, yp )) est un famille génératrice de E×F, on peut vérifier alors que c’est aussi

une famille libre, ce qui donne le résultat.

ZExemple : Si dim(E) = 3, décrire les s.e.v de E et étudier les positions relatives (intersection de deux s.e.v deE).

1. Hermann Günter GRASSMANN (1809 – 1877) : mathématicien allemand qui a développé les notions fondamentales de l’algèbrelinéaire.



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E


3) Applications linéaires et dimension finie

Si dim(E) = n et dim(F) = p, alors L (E,F) est de dimension finie et dim(L (E,F)) = np.Théorème 20.18 (dimension de L (E,F))

Preuve : Ce théorème sera établi dans le chapître sur les matrices.

ZExemples :– L (Kn ,Kp ) est de dimension np.– Si dim(E) = n, alors dim(E∗) = n (dual de E).

Si E et F sont de dimension finie et si f ∈L (E,F) :– f injective =⇒ dim(E)6 dim(F).– f surjective =⇒ dim(E)> dim(F).– f bijective (isomorphisme) =⇒ dim(E) = dim(F).

Théorème 20.19 (comparaison des dimensions)

Preuve : Soit B = (e1, . . . ,en) une base de E et B′ = (y1, . . . , yp ) une base de F.Si f est injective, alors la famille ( f (e1), . . . , f (en)) est libre dans F donc n6 p = dim(F).Si f est surjective, alors la famille ( f (e1), . . . , f (en)) est génératrice de F donc n> p = dim(F).Si f est un isomorphisme, alors la famille ( f (e1), . . . , f (en)) est une base de F donc n = p = dim(F).

Remarque 20.4 –– ToutK-e.v de dimension n est isomorphe àKn .– Si E est de dimension finie, alors E est isomorphe à E∗, son dual.

Soient E et F deuxK-e.v de dimension finie tels que dim(E) = dim(F), et soit f ∈L (E,F), les assertionssuivantes sont équivalentes :

a) f est injective.

b) f est surjective.

c) f est bijective.

d) ∃ g ∈L (F,E), f g = idF.

e) ∃ h ∈L (F,E),h f = idE.

Théorème 20.20 (caractérisations des isomorphismes)

Preuve : Soit B = (e1, . . . ,en) une base de E.a) =⇒ b) : si f est injective alors ( f (e1), . . . , f (en)) est libre de cardinal n dans F, or dim(F) = dim(E) = n, c’est une

famille génératrice de F, et donc f est surjective.b) =⇒ c) : f est surjective, donc la famille ( f (e1), . . . , f (en)) est génératrice de F de cardinal dim(F), c’est donc une

base de F, ce qui signifie que f est un isomorphisme.c) =⇒ d) : f est bijective, il suffit donc de prendre g = f −1.d) =⇒ e) : on a f g = idF donc f est surjective, ce qui entraîne que f est bijective, on a donc g = f −1 et il suffit

alors de prendre h = g .e) =⇒ a) : on a h f = idE, donc f est injective.

Remarque 20.5 –– Lorsque dim(E) = dim(F) l’égalité f g = idF entraîne automatiquement g f = idE, ce qui est tout à fait

remarquable puisqu’en général la loi n’est pas commutative.– Le théorème précédent est faux en dimension infinie comme le montre les exemples suivants : f :K[X] →K[X] définie par f (P) = P′ (surjective non injective) et g :K[X] →K[X] définie par g (P) = XP (injectivenon surjective).

ZExemples :



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E

Notion de rang Chapitre 20 : La dimension finie

– Polynômes d’endomorphismes : si dim(E) = n alors dim(L (E)) = n2, donc si u ∈L (E), alors la famille(i d ,u, . . . ,un2

) est liée, donc il existe un polynôme P =∑λk Xk non nul de degré6 n2 tel que P(u) = 0.

Si P(0) 6= 0, alors λ0 6= 0 d’où idE =− ∑k>1

λkλ0

uk , ou encore :

idE = u [− ∑

k>1

λk

λ0uk−1

].

Ce qui prouve que u ∈ GL(E) et u−1 =− ∑k>1

λkλ0

uk−1.

– Polynôme d’interpolation de Lagrange : soient a0, . . . , an n +1 scalaires distincts, on note f :Kn[X] →Kn+1 définie par f (P) = (P(a0), . . . ,P(an)). Il est facile de vérifier que f est linéaire et injective, commedim(Kn[X]) = n+1, f est un isomorphisme, par conséquent pour (α0, . . . ,αn) ∈Kn+1 il existe un uniquepolynôme P ∈Kn[X] tel que ∀ i ∈ J0;nK ,P(ai ) = αi . Soit B = (e0, . . . ,en) la base canonique deKn+1, onnote Li l’unique polynôme de degré6 n tel que f (Li ) = ei . On vérifie facilement que :

Li (X) =n∏

k=0,k 6=i

X−ak

ai −ak.

C’est le i -ième polynôme d’interpolation de Lagrange aux points (a0, . . . , an), on en déduit que :

f −1(α0, . . . ,αn) =n∑

k=0αk Lk (X).

FExercice 20.4 Soit E de dimension finie et soit u ∈ GL(E), soit F un s.e.v de E stable par u, on appelle v la restriction de

u à F, c’est à dire v : F → F définie par v(x) = u(x). Montrer que v ∈ GL(F).

III NOTION DE RANG

1) Rang d’une application linéaire

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈L (E,F), on sait que Im( f ) est de dimension finie,par définition, on appelle rang de f la dimension de Im( f ).Notation : rg( f ) = dim(Im( f )).

Définition 20.5

Remarque 20.6 –– Si B = (e1, . . . ,en) est une base de E alors on sait que ( f (e1), . . . , f (en)) est une famille génératrice de Im( f )

donc dim(Im( f ))6 n, c’est à dire :rg( f )6 dim(E).

– Si de plus F est de dimension finie, alors dim(Im( f ))6 dim(F), donc :

rg( f )6min(dim(E),dim(F)).

– f est surjective si et seulement si Im( f ) = F, donc :

f est surjective ⇐⇒ rg( f ) = dim(F).

Si E et de dimension finie et si f ∈L (E,F) alors : dim(E) = dim(ker( f ))+ rg( f ).Théorème 20.21 (théorème du rang)



MONTA

IGNENotion de rang Chapitre 20 : La dimension finie

Preuve : Soit G un supplémentaire de ker( f ) dans E : E = ker( f )⊕G. Il est facile de vérifier que l’application linéairev : G → Im( f ) définie par v(x) = f (x) est un isomorphisme, ce qui entraîne que dim(G) = dim(Im( f )) = rg( f ), ordim(E) = dim(ker( f ))+dim(G), d’où le résultat.

Conséquences : Soit f : E → F linéaire,si E de dimension finie, alors : f est injective ⇐⇒ rg( f ) = dim(E).

ZExemples :– Soit u :Kn+1[X] →Kn[X] définie par u(P) = P(X+1)−P(X). Il est clair que u est linéaire, on vérifie que

ker(u) =K, le théorème du rang nous dit alors que rg(u) = dim(Kn+1[X])−dim(ker(u)) = n +2−1 =n +1 = dim(Kn[X]), ce qui prouve que u est surjective.

– Soient F et G deux s.e.v de E, on considère l’application ϕ : F×G → E définie par ϕ(x, y) = x + y , onvérifie que ϕ est linéaire et que ker(ϕ) = (x,−x) / x ∈ F∩G. On voit que ker(ϕ) est isomorphe à F∩Get que Im(ϕ) = F+G, le théorème du rang nous dit alors que dim(F×G) = dim(F∩G)+dim(F+G), d’oùdim(F+G) = dim(F)+dim(G)−dim(F∩G), on retrouve ainsi la formule de Grassmann.

FExercice 20.5 Soit B = (i , j ,k) une base deK3, on considère u :K3 →K4 définie par

u(i ) = (1,2,−1,0)u( j ) = (−1,0,1,−2)u(k) = (1,4,−1,−2)

. Calcu-

ler le rang de u :

Solution 20.5 x = ai +b j + ck ∈ ker(u) ⇐⇒

b = −ca = −2c

, on en déduit que ker(u) = Vect[2i + j −k

], d’où rg(u) =

dim(K3)−1 = 2, donc Im(u) est un plan vectoriel, comme u(i ) et u( j ) sont non colinéaires, on a Im(u) = Vect[u(i ),u( j )

].

Soient E,F,G troisK-e.v, soit f ∈L (E,F) et g ∈L (F,G), on a : rg(g f )6min(rg(g ), rg( f )).De plus, si f est surjective, alors rg(g f ) = rg(g ), et si g est injective, alors rg(g f ) = rg( f ).

Théorème 20.22 (propriétés du rang)

Preuve : Soit h : Im( f ) → G définie par h(x) = g (x), alors h est linéaire et Im(h) = Im(g f ) ⊂ Im(g ), on a doncrg(g f ) = rg(h)6 dim(Im( f )) d’après le théorème du rang, de plus l’inclusion ci-dessus prouve que rg(h)6 rg(g ), d’oùle résultat.

Si f est surjective, alors Im( f ) = F et donc h = g , d’où rg(g f ) = rg(g ).Si g est injective, alors h est injective, donc rg(h) = dim(Im( f )) = rg( f ).

FExercice 20.6 Soient E,F deuxK-e.v de dimension finie et soit u, v ∈L (E,F), montrer que :

|rg(u)− rg(v)|6 rg(u + v)6 rg(u)+ rg(v).

2) Rang d’une famille de vecteurs

Soit (x1, . . . , xn) une famille de vecteurs d’un K-.v E. On appelle rang de la famille (x1, . . . , xn) ladimension du s.e.v engendré par cette famille.Notation : rg(x1, . . . , xn) = dim(Vect[x1, . . . , xn]).

Définition 20.6

Remarque 20.7 –– La famille (x1, . . . , xn) est génératrice de F = Vect[x1, . . . , xn], donc son rang est inférieur ou égal à n. De

plus on sait que l’on peut extraire de cette famille une base de F en prenant une sous-famille libre decardinal maximal, ce cardinal maximal est donc le rang de la famille.

– La famille (x1, . . . , xn) est libre si et seulement si c’est une base de F = Vect[x1, . . . , xn] ce qui équivaut àdim(F) = n, ce qui équivaut encore à : le rang de la famille est égal à n, donc :

(x1, . . . , xn) libre ⇐⇒ rg(x1, . . . , xn) = n.

– Soit B = (e1, . . . ,en) une base de E et soit f ∈L (E,F) alors :

rg( f ) = dim(Im( f )) = dim(Vect[

f (e1), . . . , f (en)]) = rg( f (e1), . . . , f (en)).

ZExemples :– DansK3 calculons le rang de la famille (i , j ,k) avec i = (1,1,1), j = (−1,2,5) et k = (3,0,−3). La famille

(i ) est libre, j est non colinéaire à i donc (i , j ) est libre, mais k = 2i − j donc la famille (i , j ,k) est liée,par conséquent (i , j ) est libre maximale d’où rg(i , j ,k) = 2 et Vect

[i , j ,k

]= Vect[i , j

].



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E

Notion de rang Chapitre 20 : La dimension finie

3) Méthode du pivot de Gauss

Celle-ci est utilisée dans la pratique pour le calcul du rang d’une famille de vecteurs.Soit E unK-e.v de dimension n et soit B = (e1, . . . ,en) une base de E, on considère une famille de vecteurs

de E : (x1, . . . , xp ) dont on cherche le rang. On a les propriétés suivantes :– Si xp = 0E, alors rg(x1, . . . , xp ) = rg(x1, . . . , xp−1). Autrement dit, si l’un des vecteurs de la famille est nul,

on peut le retirer de la famille, cela ne change pas le rang (en fait cela ne change pas le s.e.v engendré).– Si α ∈ K∗, alors rg(x1, . . . , xp ) = rg(αx1, x2, . . . , xp ), autrement dit, multiplier l’un des vecteurs par un

scalaire non nul ne change pas le rang.

– Si λ2, . . . ,λp ∈ K, alors rg(x1, . . . , xp ) = rg(x1 +p∑

k=2λk xk , x2, . . . , xp ). Autrement dit, ajouter à l’un des

vecteurs une combinaison linéaire des autres ne change pas le rang.– Si on a le système suivant (dans le cas où p 6 n) :

x1 = λ1,1e1 +λ1,2e2+ ·· · · · · +λ1,nen

x2 = λ2,2e2+ ·· · · · · +λ2,nen...

. . .

xp = λp,p ep+ ·· · +λp,nen

,

alors si les scalaires λ1,1, . . . ,λp,p (pivots de Gauss) sont tous non nuls, on a rg(x1, . . . , xp ) = p, c’est àdire la famille (x1, . . . , xp ) est libre.Preuve : Laissée en exercice.

La méthode est la suivante, on exprime les vecteurs x1, . . . , xp dans une base (e1, . . . ,en), puis on effectuesur ce système des transformations élémentaires de manière à le rendre triangulaire (comme le systèmeci-dessus). Les transformations élémentaires de la méthode de Gauss sont :

– Échanger deux lignes : Li ↔ L j (elle permet de mettre le pivot dans la bonne ligne (ligne k pour lek-ième pivot).

– Échanger deux colonnes : Ci ↔ C j (elle permet de mettre le pivot dans la bonne colonne (colonne kpour le k-ième pivot).

– Multiplier une ligne par un scalaire non nul : Li ← αLi .– Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne : Li ← Li +λL j (elle permet les éliminations à partir

de la ligne du pivot dans les lignes suivantes).D’après les propriétés précédentes, après chaque opération élémentaire, on obtient une nouvellefamille qui a le même rang que la précédente.

ZExemple : Soit x1 = (2,3,−3,4,2), x2 = (3,6,−2,5,9), x3 = (7,18,−2,7,7) et x4 = (2,4,−2,3,1). On prend B =



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E

Compléments Chapitre 20 : La dimension finie

(e1,e2,e3,e4,e5) la base canonique deK5, on a alors le système de coordonnées :

Système initial :

e1 e2 e3 e4 e5

x1 : 2 3 −3 4 2x2 : 3 6 −2 5 9x3 : 7 18 −2 7 7x4 : 2 4 −2 3 1

Étape 1 :

e1 e2 e3 e4 e5

x1 : 2 3 −3 4 22x2 −3x1 = v2 : 3 5 −2 12 L2 ← 2L2 −3L1

2x3 −7x1 = v3 : 15 17 −14 L3 ← 2L3 −7L1

x4 −x1 = v4 : 1 1 −1 −1 L4 ← L4 −L1

Étape 2 (L2 ↔ L4) :

e1 e2 e3 e4 e5

x1 : 2 3 −3 4 2v4 : 1 1 −1 −1

v3 −15v4 : 2 1 15 L3 ← L3 −15L2

v2 −3v4 : 2 1 15 L4 ← L4 −3L2

Étape 3 :

e1 e2 e3 e4 e5

x1 : 2 3 −3 4 2v4 : 1 1 −1 −1

v3 −15v4 : 2 1 15v2 − v3 +12v4 : 0 0 L4 ← L4 −L3

On a donc rg(x1, . . . , x4) = rg(v1, v4, v3−15v4) = 3, de plus on a v2−v3+12v4 = 0, ce qui donne x2 = 4x1+x3−6x4, et par conséquent : rg(x1, x2, x3, x4) = rg(x1, x3, x4) = 3.

IV COMPLÉMENTS

1) Hyperplans en dimension finie

Soit E un espace de dimension n et H un s.e.v. de E, soit B = (e1, . . . ,en) une base de E. Les assertionssuivantes sont équivalentes :

a) H est un hyperplan de E.

b) Il existe des scalaires (a1, . . . , an) non tous nuls tels que :

H = x

x1...

xn

∈ E / a1x1 +·· ·+an xn = 0 (on a une équation cartésienne de H).

c) dim(H) = n −1.

Théorème 20.23

Preuve : Montrons i =⇒ i i : H est le noyau d’un forme linéaire f sur E, non nulle. Posons f (ei ) = ai , alors au moins un

des ai est non nul. Soit x de coordonnées (x1, . . . , xn) dans la base B, alors f (x) = a1 f (e1) = ·· ·+an f (en) =n∑

i=1ai xi . Le

résultat en découle.Montrons que i i =⇒ i i i : supposons a1 6= 0, quitte à tout diviser par a1 on peut suppose a1 = 1, l’équation de

H équivaut alors à x1 = −a2x2 − ·· · − an xn , on en déduit que x ∈ H ⇐⇒ x = x2[−a2e1 + e2]+ ·· ·xn[−ane1 + en], parconséquent H = Vect[−a2e1 +e2; . . . ;−ane1 +en], on a une famille génératrice de H, on vérifie qu’elle est libre, c’estdonc une base de H et donc dim(H) = n −1.

Montrons que i i i =⇒ i : soit (h1, . . . ,hn−1) une base de H, c’est une famille libre, on peut la complèter en une basede E : (h1, . . . ,hn−1,hn), soit f la forme linéaire sur E définie par f (hi ) = 0 si 16 i 6 n −1 et f (hn) = 1. Alors f est nonnulle, et on vérifie que ker( f ) = H, donc H est un hyperplan.



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E


Soient H1 = ker( f1) et H2 = ker( f2) deux hyperplans de E, alors H1 = H2 ⇐⇒ ( f1, f2) est liée.Théorème 20.24 (égalité de deux hyperplans)

Preuve : Si ( f1, f2) est liée, il existe un scalaire a tel que f1 = a f2 (car f2 est non nulle), comme f1 est non nulle, on aa 6= 0, par conséquent ∀x ∈ E, f1(x) = 0 ⇐⇒ f2(x) = 0, on en déduit que H1 = H2.

Si H1 = H2, soit (h1, . . . ,hn−1) une base de H1, que l’on complète en une base de E : (h1, . . . ,hn−1,hn), hn étant nidans H1 ni dans H2, on a f1(hn) et f2(hn) non nuls, il existe donc un scalaire a tel que f1(hn) = a f2(hn), on vérifie alorsque pour i dans J1;nK, on a f1(hi ) = a f2(hi ) et donc f1 = a f2, la famille ( f1, f2) est liée.

FExercice 20.7

1/ Montrer que les deux équations a1x1 +·· ·+an xn = 0 et b1x1 +·· ·+bn xn = 0 dans une base B sont équivalentessi et seulement si (a1, . . . , an) et (b1, . . . ,bn) sont colinéaires dansKn .

2/ Soient H1 et H2 deux hyperplans distincts, montrer que dim(H1 ∩H2) = n −2 si n = dim(E).

Solution 20.7

1/ C’est une application directe du théorème ci-dessus.

2/ Il existe au moins un vecteur de H2 qui n’est pas dans H1, donc H1 +H2 contient une base de E, par conséquentH1 +H2 = E, en appliquant la formule de Grassmann on obtient le résultat.

• Si H1, . . . ,Hp sont des hyperplans de E, alors dim(H1 ∩·· ·∩Hp )> n −p.• Tout s.e.v. de E de dimension n −p est l’intersection de p hyperplans de E.

Théorème 20.25

Preuve :• On écrit Hi = ker( fi ) où les fi sont des formes linéaires non nulles sur E. L’application E →Kp définie par g (x) =( f1(x), . . . , fp (x)) est linéaire, son noyau est l’intersection H1∩·· ·∩Hp et son rang est inférieure ou égale à p. Le théorèmedu rang donne le résultat.• Soit (e1, . . . ,en−p ) une base de ce s.e.v., on complète en une base de E : B = (e1, . . . ,en), soit fi la forme linéaire définiepar fi (e j ) = δi j pour i ∈ Jn −p +1;nK. On vérifie que ker( fi ) est l’ensemble des vecteurs sont la coordonnée dans labase B sur ei est nulle, on en déduit que Vect

[e1, . . . ,en−p

]= ker( fn−p+1)∩·· ·∩ker( fn).

2) Sous-espaces affines

Soit −→u ∈ E, la translation de vecteur −→u est l’application 2 t−→u : E → E définie par t−→u (−→v ) =−→u +−→v . L’ensemblede ces applications est noté TE et il est facile de vérifier que (TE,) est un groupe abélien, c’est un sous -groupe du groupe des permutations de E.

Si −→v , −→w sont deux vecteurs de E, alors il existe un unique vecteur −→u ∈ E tel que t−→u (−→v ) = −→w . Cettepropriété très simple, suggère un autre point de vue pour les éléments de E : la notion de points.

La propriété précédente peut alors s’énoncer sous la forme suivante : si A et B sont deux points de E, alorsil existe un unique vecteur −→u tel que B = t−→u (A). Ce vecteur −→u est noté :

−−→AB , on remarquera que :

–−−→AB = B−A, et A+−−→

AB = B,–

−−→AB = 0 ⇐⇒ A = B,

–−−→BA =−−−→AB ,

–−−→AC =−−→

AB +−−→BC .

2. non linéaire si −→u 6= −→0 .



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E


−−→AB

A

B

−→0

Un sous - espace affine de E est l’image d’un s.e.v. de E par une translation. Soit V une partie de E, V

est un s.e.a. de E ssi il existe un s.e.v V et un vecteur −→u tel que V = t−→u < V >, si c’est le cas, V est appelédirection du s.e.a. V (ce que l’on écrira : (V ,V)), et on pose dim(V ) = dim(V). On remarquera qu’uns.e.v. est un s.e.a. de direction lui - même.

Définition 20.7

Propriétés :– Si V est un s.e.a. de direction V, alors V est unique (mais pas le vecteur de la translation), de plus V est

un s.e.v. si et seulement si V contient le vecteur nul.– Si (V ,V) est un s.e.a. alors ∀ A ∈ V , V = A+−→u / −→u ∈ V, et V =

−−→AB / B ∈ V , on remarquera que

∀ B ∈ E,B ∈ V ⇐⇒−−→AB ∈ V.

– Si (V ,V) et (V ′,V′) sont deux s.e.a. de E, et si V ∩V ′ n’est pas vide, alors V ∩V ′ est un s.e.a de directionV ∩V′.

– Soient (V ,V) et (V ′,V′) sont deux s.e.a. de E, soient A ∈ V et A′ ∈ V ′, alors V ∩V ′ 6= ;⇐⇒−−→AA′ ∈ V +V′.

On remarquera que la condition est nécessairement remplie lorsque E = V +V′.FExercice 20.8 Étudier les s.e.a. de E lorsque dim(E) = 1,2,3.

Un repère cartésien R = (O,−→e1 , . . . ,−→en ) de E, est la donnée d’un point O de E (appelé origine durepère), et d’une base B = (−→e1 , . . . ,−→en ) de E. Pour tout point M de E, on appelle coordonnées de Mdans le repère R, les coordonnées du vecteur

−−→OM dans la base B. On remarquera qu’il s’agit des

coordonnées de M−O dans la base B.

Définition 20.8

Propriété : si A et B ont pour coordonnées respectives (u1, . . . ,un) et (v1, . . . , vn) dans le repère R, alors lescoordonnées du vecteur

−−→AB dans la base B sont (v1−u1, . . . , vn−un). Il suffit pour cela d’écrire

−−→AB =−−→

OB −−−→OA .Équation(s) cartésienne(s) d’un hyperplan affine : Soit R = (O,B) un repère de E, avec dim(E) = n, soit(H ,H) un hyperplan affine de E, soit a1x1 + ·· ·+ an xn = 0 une équation de H dans la base B (un des ai

au moins est non nul), soit A(u1, . . . ,un) ∈H . Un point M de coordonnées (x1, . . . , xn) appartient à H si etseulement si

−−→AM ∈ H, ce qui revient à dire que a1(x1 −u1)+·· ·+an(xn −un) = 0, on obtient une équation

cartésienne de H de la forme : a1x1 +·· ·+an xn = b.FExercice 20.9 Montrer que la réciproque est vraie, c’est à dire que les points de coordonnées (x1, . . . , xn) vérifiant une

équation du type a1x1 +·· ·+an xn = b avec au moins un des coefficients ai non nul, forment un hyperplan affine de

direction l’hyperplan vectoriel d’équation cartésienne a1x1 +·· ·+an xn = 0.

3) Équations linéaires



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E


Une équation linéaire est une équation du type : u(x) = b avec u ∈L (E,F),b ∈ F et x ∈ E (inconnue).L’équation u(x) = 0F est appelée équation homogène associée.

Définition 20.9

ZExemples :

– Tout système linéaire est une équation linéaire, par exemple, le système

2x − y = 1x + 2y = 3

3x + 5y = −1, peut

se mettre sous la forme u(X) = b avec u : R2 → R3 définie par u(x, y) = (2x − y, x +2y,3x +5y), avecb = (1,3,−1) ∈R3 et X = (x, y) ∈R2, il est facile de vérifier que u ∈L (R2,R3).

– Une équation différentielle linéaire est une équation linéaire, par exemple l’équation différentielle :y ′+ y = 1 peut se mettre sous la forme u(y) = b avec u : C 1(R,R) →C 0(R,R) définie par u(y) = y ′+ y (uest linéaire), et b ∈C 0(R,R) la fonction constante 1.

Soit u ∈L (E,F) et soit b ∈ F, l’équation linéaire u(x) = b avec x ∈ E a des solutions si et seulement sib ∈ Im(u). Si c’est le cas, et si x0 ∈ E désigne une solution particulière (i.e. u(x0) = b), alors l’ensemblede toutes les solutions est S = y +x0 / y ∈ ker(u) = x0 +ker(u). C’est donc un sous-espace affine dedirection ker(u).

Théorème 20.26 (structure des solutions d’une équation linéaire)

Preuve : Il est clair qu’il y a des solutions si et seulement si b ∈ Im(u). Si on a u(x0) = b, alors l’équation u(x) = béquivaut à u(x) = u(x0), ou encore à u(x −x0) = 0F (u est linéaire), ce qui équivaut encore à ∃ y ∈ ker(u), x = y +x0.

ZExemples :– Le système linéaire équivaut à (méthode de Gauss 3) :

−y + 2x = 15x = 5 (L2 ← L2 +2L1)

13x = 4 (L3 ← L3 +5L1)⇐⇒

−y + 2x = 1

x = 10 = −9 (L3 ← L3 −13L2)

La dernière équation montre que ce système n’a pas de solution (i.e. b ∉ Im(u)).– Pour l’équation différentielle, il y a une solution particulière : y0 : t 7→ 1. L’équation homogène associée

est y ′+ y = 0 dont les solutions sont les fonctions y = λφ où φ : t 7→ e−t . L’ensemble des solutions estdonc S = 1+λφ / λ ∈R.

3. Carl Friedrich (1777 – 1855) : mathématicien allemand de génie, sans doute l’un des plus grands de tous les temps.



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EChapitre 21

Séries numériques

SommaireI Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195


3) Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

II Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

1) Critère de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

2) Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3) Comparaison avec une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

III Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

1) Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2) Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

3) Séries obtenues par une formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4) Développement décimal d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

I GÉNÉRALITÉS

Dans tout le chapitreK désigne R ou C. On cherche à généraliser la notion de somme d’éléments deK àun nombre infini de termes.

1) Définitions

Soit (un)n∈N une suite d’éléments deK. On appelle série de terme général un la suite (Sn)n∈N définie

par Sn =n∑

k=0uk . Le nombre Sn est appelé somme partielle de rang n (d’ordre n) de la série. La série

de terme général un est notée∑

n∈Nun .

Définition 21.1

ZExemples :–

∑n>1

qn : série géométrique de raison q .

–∑

n∈Nzn

n! avec z ∈K : série exponentielle.

–∑

n>1

1nα où α ∈R : séries de Riemann.



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E

Généralités Chapitre 21 : Séries numériques

• On dit que la série de terme général un est convergente lorsque la suite des sommes partielles(Sn)n∈N est convergente. Si c’est le cas, la limite de la suite des sommes partielles est appelée somme

de la série et notée+∞∑n=0

un . On a donc+∞∑n=0

un = limn→+∞Sn = lim

n→+∞n∑

k=0uk . La différence entre la somme

de la série et la somme partielle Sn est appelée reste de rang n, noté Rn =+∞∑n=0

un −n∑

k=0uk =

+∞∑k=n+1

uk .

• Une série qui n’est pas convergente, est dite divergente.• Déterminer la nature d’une série, c’est déterminer si elle est convergente ou divergente.

Définition 21.2 (convergence d’une série)

On prendra garde à ne pas confondre la notation∑

n∈Nun qui désigne la série (c’est à dire la suite des sommes

partielles), avec la notation+∞∑n=0

un qui désigne la somme de la série, si celle-ci converge (c’est la limite des sommes

partielles lorsque celle-ci existe dansK).

Attention!

ZExemples :

– La série de terme général un = n : Sn =n∑

k=0k = n(n+1)

2 donc limSn =+∞ et la série∑

n∈Nn est divergente.

– La série de terme général un = (−13 )n : Sn =

n∑k=0

(−13 )k = 1−( 1

3 )n+1

1+ 13

, or |− 13 | < 1 donc limSn = 3

4 . La série∑n∈N(−1

3 )n est convergente et sa somme est+∞∑n=0

(−13 )n = 3

4 .

FExercice 21.1 Étudier la nature de la série de terme général un = (−1)n .

Solution 21.1 On vérifie par récurrence que S2n = 1 et S2n+1 = 0, la suite (Sn) est donc divergente et par conséquent la

série de terme général un aussi.


Soit (sn)n∈K une suite, il existe une suite (un)n∈N telle que ∀n ∈N, sn =n∑

k=0uk . Autrement dit, il existe

une suite (un)n∈N telle que (sn)n∈N est la série de terme général un .

Théorème 21.1 (lien suite-série)

Preuve : Posons u0 = s0 et pour n > 0, un = sn − sn−1, on a alorsn∑

k=0uk = s0 + (s1 − s0)+·· ·+ (sn − sn−1) = sn .

Remarque 21.1 – L’ensemble des séries deK n’est donc autre que F (N,K). Pour les opérations usuelles sur lessuites, on sait que c’est un K-e.v. Soient

∑n∈N

un et∑

n∈Nvn deux séries, λ ∈K. Il est facile de voir que la somme

des deux séries∑

n∈Nun + ∑

n∈Nvn est la série de terme général un + vn , et que la série λ

∑n∈N

un est la série de terme

général λun .

FExercice 21.2 Montrer que l’application de F (N,K) dans lui-même qui a chaque suite (un)n∈N associe la suite des

sommes partielles

(n∑

k=0uk

)n∈N

est un automorphisme.

L’ensemble des séries convergentes deK est unK-espace vectoriel. De plus l’application qui à chaquesérie convergente associe sa somme, est (une forme) linéaire. Plus précisément, si

∑n∈N

un et∑

n∈Nvn

sont deux séries convergentes, alors ∀α,β ∈K, la série∑

n∈Nαun +βvn est convergente et :

+∞∑n=0

αun +βvn = α+∞∑n=0

un +β+∞∑n=0

vn .

Théorème 21.2



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E

Généralités Chapitre 21 : Séries numériques

Preuve : Soit (Un) la suite des sommes partielles de la série∑

n∈Nun et (Vn) la suite des sommes partielles de la série∑

n∈Nvn . Alors (αUn +βVn) est la suite des sommes partielles de la série

∑n∈N

αun +βvn . Le reste découle des propriétés

des suites convergentes.

• La somme de deux séries divergentes peut très bien donner une série convergente (prendre deux séries divergentesopposées par exemple).• La somme d’une série divergente et d’une série convergente est forcément une série divergente (raisonner parl’absurde).

Attention!

Soit∑

n∈Nun une série à terme complexe, celle-ci est convergente si et seulement si les deux séries réelles∑

n∈NRe(un) et

∑n∈N

Im(vn) sont convergentes, et auquel cas on a :+∞∑n=0

un =+∞∑n=0

Re(un)+ i+∞∑n=0

Im(un).

Théorème 21.3 (convergence d’une série complexe)

Preuve : Soit (An) la suite des sommes partielles de la série∑

n∈NRe(un) et (Bn) la suite des sommes partielles de la série∑

n∈NIm(vn). Alors (Un + i Vn) est la suite des sommes partielles de la série

∑n∈N

un . Le reste découle des propriétés des

suites complexes convergentes.

Si la série∑

n∈Nun converge alors on a nécessairement limun = 0, mais la réciproque est fausse.

Théorème 21.4 (condition nécessaire de convergence)

Preuve : Soit (Sn) la suite des sommes partielles, alors la suite (Sn) converge vers S∞ la somme de la série, d’oùlimUn −Un−1 = S∞−S∞ = 0, c’est à dire limun = 0.

Pour la réciproque prenons un = 1pn

, alors Sn =n∑

k=1

1pk> n 1p

n= p

n, on en déduit que Sn → +∞. La série est

divergente bien que le terme général un tende vers 0.

On dit que la série∑

n∈Nun diverge grossièrement lorsque le terme général ne tend pas vers 0.

Définition 21.3

ZExemples :– La série

∑n∈N

(−1)n est grossièrement divergente.

– La série∑

n∈N1n (série harmonique) est divergente (mais pas grossièrement), en effet S2n −Sn =

2n∑k=n+1

1k >

n2n = 1

2 . Si la série était convergente alors la suite (Sn) convergerait vers la somme S∞, mais alorsS2n − Sn → S∞ − S∞ = 0, on aurait donc 0 > 1

2 ce qui est absurde. La série harmonique est doncdivergente.

Rappel : dans le TD sur les suites, nous avons établi quen∑

k=1

1k ∼ ln(n).

3) Séries géométriques

La série géométrique∑

n∈Nzn avec z ∈C, est convergente si et seulement si |z| < 1, auquel cas sa somme

est+∞∑n=0

zn = 11−z .

Théorème 21.5 (nature des séries géométriques)



MO

NTA

IGN

E

Séries à termes positifs Chapitre 21 : Séries numériques

Preuve : Si |z|> 1 alors |zn |> 1 et donc la suite (zn) ne peut pas tendre vers 0, la série est donc grossièrement divergentedans ce cas.

Si |z| < 1, alors Sn =n∑

k=0zk = 1−zn+1

1−z , or zn+1 → 0 car |z| < 1, il en découle que Sn → 11−z .

ZExemples :

– La série∑

n∈N(−1

3 )n est convergente et+∞∑n=0

= 11+ 1

3

= 34 .

– La série∑

n∈N(−1)n est grossièrement divergente.

Pour les séries géométriques convergentes on prendra garde à l’indice du premier terme avant d’appliquer laformule !

Attention!

II SÉRIES À TERMES POSITIFS

Dans ce paragraphe toutes les séries sont à termes réels positifs. Pour ces séries, il faut remarquer queles sommes partielles forment une suite croissante. La définition peut s’étendre aux séries dont le termegénéral est réel positif à partir d’un certain rang seulement.

1) Critère de convergence

Une série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majoréedans R.

Théorème 21.6

Preuve : La série converge si et seulement si la suite (Sn) converge, or cette suite est croissante, on sait donc qu’elleconverge si et seulement si elle est majorée. La résultat en découle.

Remarque 21.2 –• Lorsque la suite (Sn) des sommes partielles n’est pas majorée, on a Sn →+∞ puisque cette suite est croissante.• Le critère s’applique aux séries à termes positifs à partir d’un certain rang.

ZExemple : La série∑

n∈N1

n2 est convergente. En effet, pour n> 2 on a 1k2 6

1k(k−1) = 1

k−1 − 1k , on en déduit que

Sn 6 1+n∑

k=2

1k−1 − 1

k = 2− 1n , et par conséquent Sn 6 2.

Le critère est en défaut lorsque la série n’est pas à termes positifs. Par exemple la série∑

n∈N(−1)n est divergente alors

que ses sommes partielles sont bornées.

Attention!

2) Théorèmes de comparaison

Soient∑

n∈Nun et

∑n∈N

vn deux séries telles qu’à partir d’un certain rang N on ait 06 un 6 vn , alors on a :

• Si la∑

n∈Nvn converge alors la série

∑n∈N

un converge et on a+∞∑n=N

un 6+∞∑n=N

vn .

• Si la série∑

n∈Nun diverge alors la série

∑n∈N

vn diverge.

Théorème 21.7



MO

NTA

IGN

E

Séries à termes positifs Chapitre 21 : Séries numériques

Preuve : D’après les hypothèses, on an∑

k=Nuk 6

n∑k=N

vk .

• Si la série∑

n∈Nvn converge, alors (

n∑k=0

vk ) converge et donc (n∑

k=Nvk ) converge, cette suite est donc majorée par un

certain réel M, on en déduit que la somme partielle de la série∑

n∈Nun est majorée, comme elle est à termes positifs à

partir d’un certain rang, elle converge et l’inégalité sur les sommes en découle.

• Si la série∑

n∈Nun diverge, alors (

n∑k=N

uk ) est croissante divergente, donc de limite +∞, on en déduit que (n∑

k=0vk ) tend

vers +∞, cette suite n’est donc pas majorée, donc la série∑

n∈Nvn est divergente puisqu’elle est à terme positif à partir

d’un certain rang.

ZExemples :– La série de terme général 1

n3 est convergente car 1n3 6

1n2 et celle-ci est une série est convergente.

– Si α< 1, alors la série de terme général 1nα est divergente car 1

n 61

nα et on sait que la série harmoniqueest divergente.

Soient (un) et (vn) deux suites à termes positifs (à partir d’un certain rang).• Si un = O(vn) et si

∑n∈N

vn converge, alors la série∑

n∈Nun converge.

• Si un = O(vn) et si∑

n∈Nun diverge, alors la série

∑n∈N

vn diverge.

• Si un ∼ vn alors les deux séries∑

n∈Nun et

∑n∈N

vn sont de même nature.

Théorème 21.8 (utilisation des relations de comparaison)

Preuve : Si un = O(vn), alors il existe un réel M > 0 tel qu’à partir d’un certain rang on ait un 6Mvn , les deux premiers

points en découlent compte tenu du théorème précédent.Si un ∼ vn alors on a à la fois un = O(vn) et vn = O(un). Le résultat en découle.

Remarque 21.3 – Les deux premiers points du théorème s’appliquent aussi lorsque un = o(vn).

ZExemples :– Soit un = sin( 1

n ) alors un ∼ 1n , on en déduit que la série de terme général un est à termes positifs pour n

assez grand et qu’elle est divergente, car la série harmonique diverge.– Soit un = 1−cos( 1

n ), alors un ∼ 12n2 , on en déduit que la série de terme général un est à termes positifs

pour n assez grand et qu’elle est convergente, car la série de terme général 1n2 converge.

3) Comparaison avec une intégrale

Cette comparaison peut se faire pour les séries dont le terme général est de la forme un = f (n) où f estune fonction continue monotone et à valeurs positives sur un intervalle I = [A;+∞[.

Soit f : [0;+∞[→R une fonction continue, monotone et à valeurs positives.

• Si f est croissante alors ∀n ∈N, f (0)+∫ n0 f (t )d t 6

n∑k=0

f (k)6∫ n+1

0 f (t )d t .

• Si f est décroissante alors ∀n ∈N,∫ n+1

0 f (t )d t 6n∑

k=0f (k)6 f (0)+∫ n

0 f (t )d t .

Théorème 21.9

Preuve : Supposons f croissante, alors sur l’intervalle [k;k +1] on a f (k)6 f (t )6 f (k +1), on en déduit en intégrant

sur cet intervalle que f (k)6∫ k+1

k f (t )d t 6 f (k +1), on somme alors ces inégalités pour k allant de 0 à n, ce qui donnen∑

k=0f (k)6

∫ n+10 f (t )d t 6

n+1∑k=1

f (k), ce qui donne le premier encadrement. L’autre cas se traite de la même façon.

ZExemple : On considère la série de terme général un = 1n ln(n) pour n> 2. Soit f (t ) = 1

t ln(t ) sur [2;+∞[, cette

fonction est continue, positive et décroissante, on en déduit que∫ n+1

2 f (t )d t 6n∑

k=2

1k ln(k) )6 f (2)+∫ n

2 f (t )d t ,

or∫ n

2 f (t )d t = [ln(ln(t ))]n2 = ln(ln(n))− ln(ln(2) →+∞, la série est donc divergente.



MO

NTA

IGN

E

Séries à termes quelconques Chapitre 21 : Séries numériques

Soit α ∈R, la série de terme général 1nα est convergente si et seulement si α> 1.

Théorème 21.10 (convergence des séries de Riemann)

Preuve : Si α6 0 alors le terme général ne tend pas vers 0, la série est donc grossièrement divergente.Supposons α> 0 et soit f (t ) = 1

tα , c’est une fonction continue, positive et décroissante sur [1;+∞[, on en déduit que

que∫ n+1

1 f (t )d t 6n∑

k=1

1kα 6 f (1)+∫ n

1 f (t )d t . On sait que∫ n

1d ttα =

ln(n) si α= 1n1−α−1

1−α sinon. Si α6 1 alors

∫ n1 f (t )d t →+∞ et

donc les sommes partielles tendent vers +∞. Par contre, si α> 1 alors (∫ n

1 f (t)d t) est convergente, donc majorée, etdonc la série (qui est à termes positifs) converge.

ZExemples :

– Soit un = e−p

n , on sait que n2 = o(ep

n), on en déduit que n2un = o(1) et donc un = o

( 1n2

), or la série

de Riemann de terme général 1n2 converge, donc la série

∑n∈N

e−p

n est convergente.

– Soit un = 1pn ln(n)

, nαun = nα−1/2

ln(n) →+∞ si on prend α> 12 (théorème des croissances comparées), donc

pour n assez grand, on a 1nα 6 un , en prenant α ∈] 1

2 ;1[ on peut en déduire que série de terme généralun est divergente.

– Soit un = ln2(n)n3/2 , nαun = nα−3/2 ln(n)2 → 0 si on prend α < 3

2 (théorème des croissances comparées),

donc pour n assez grand, on a un 6 1nα , en prenant α ∈]1; 3

2 [ on peut en déduire que série de termegénéral un est convergente.

III SÉRIES À TERMES QUELCONQUES

Les séries considérées sont à termes complexes.

1) Séries absolument convergentes

La série∑

n∈Nun est dite absolument convergente lorsque la série

∑n∈N

|un | est convergente.

Définition 21.4

Remarque 21.4 – La série∑

n∈N|un | est évidemment à termes positifs.

ZExemple : La série de terme général un = e i n

n3 est absolument convergente car |un | = 1n3 : série de Riemann

convergente.

Si la série∑

n∈Nun est absolument convergente, alors est elle convergente et on a

∣∣∣∣+∞∑n=0

un

∣∣∣∣6 +∞∑n=0

|un |. La

réciproque est fausse.

Théorème 21.11

Preuve : Posons un = an + i bn avec an et bn réels. Posons a+n = max(0, an) et a−

n = max(0,−an) (idem pour bn), alorson a 06 a+

n , 06 a−n , a+

n + a−n = |an | et a+

n − a−n = an . On en déduit que 06 a+

n 6 |an |6 |un | et 06 a−n 6 |an |6 |un |.

On en déduit que les séries à termes positifs a+n et a−

n sont convergentes, et par conséquent la série de terme générala+

n −a−n = an est convergente. De même on montre que la série de terme général bn converge et donc la série de terme

général an + i bn = un est convergente.

L’inégalité triangulaire donne

∣∣∣∣ n∑k=0

uk

∣∣∣∣6 n∑k=0

|uk |, par passage à la limite, on obtient l’inégalité annoncée car on sait

que les deux sommes ont une limite.



MO

NTA

IGN

E


La réciproque du théorème ci-dessus est fausse, par exemple on montrera que la série de terme général un = (−1)n

nest convergente, mais on sait que la série de terme général |un | = 1

n est divergente. Une telle série est dite semi-convergente.

Attention!

2) Séries alternées

Une série alternée est une série dont le terme général est de la forme (−1)n an où (an) est une suiteréelle positive.

Définition 21.5

Une série alternée∑

n∈N(−1)n an telle que la suite (an) est décroissante de limite nulle, est convergente.

De plus on a la majoration du reste d’ordre n : |Rn |6 an+1.

Théorème 21.12 (critère spécial à certaines séries alternées)

Preuve : Soit Sn =n∑

k=0(−1)k ak les sommes partielles, posons un = S2n et vn = S2n+1, alors un+1 −un = S2n+2 −S2n =

a2n+2 −a2n+16 0 car la suite (ak ) est décroissante, on en déduit que la suite u est décroissante. De même, vn+1 − vn =S2n+3 −S2n+1 = a2n+2 − a2n+3 > 0, la suite v est donc croissante. Or un − vn = a2n+1 → 0, les deux suites sont doncadjacentes, elles convergent vers une même limite `, on a donc S2n → ` et S2n+1 → `, on en déduit que Sn → `, la sérieest donc bien convergente de somme `.

De plus on a l’encadrement vn 6 ` 6 un , ce qui veut dire que ` est compris entre Sn et Sn+1 pour tout n, parconséquent : |Rn | = |`−Sn |6 |Sn+1 −Sn | = an+1.

Remarque 21.5 – Lorsque le critère s’applique, la majoration du reste donne un renseignement sur la vitessede convergence. Cette majoration est également utile lorsqu’on veut faire un calcul approché de la somme àvec une précision donnée.

ZExemple : La série de terme général (−1)n

n est convergente, soit S sa somme, on a |S −n∑

k=1

(−1)k

k | 6 1n+1 , à

priori la convergence est lente. Nous verrons en exercice que S =− ln(2). Cette série n’est pas absolumentconvergente, mais seulement semi-convergente.

FExercice 21.3 utilisation d’un développement asymptotique)

1/ Nature de la série de terme général un = sin( (−1)npn

).

2/ Même chose avec un = ln(1+ (−1)npn

).

Solution 21.3

1/ On a sin( (−1)npn

) = (−1)npn

− (−1)n

6n3/2 +o(

1n3/2

), on reconnaît trois séries convergentes : la première par le critère spécial

des séries alternées, la deuxième est absolument convergente car en valeur absolue c’est une série de Riemann,et la troisième par comparaison avec une série de Riemann également. On en déduit que la série

∑n∈N

un converge.

2/ On a pour n > 1, ln(1+ (−1)npn

) = (−1)npn

− 12n − (−1)n

3n3/2 +o(

1n3/2

), on reconnaît trois séries convergentes : la première

par le critère spécial des séries alternées, la troisième est absolument convergente car en valeur absolue c’estune série de Riemann, la quatrième par comparaison avec une série de Riemann également, mais la deuxièmeest une série de Riemann divergente. On en déduit que la série

∑n∈N

un diverge.

Sur le deuxième exemple on a ln(1+ (−1)npn

) ∼ (−1)npn

, la série de gauche est divergente alors que la série de droite

est convergente. Le théorème de comparaison est donc en défaut lorsque les séries ne sont pas à termes de signeconstant.

Attention!

3) Séries obtenues par une formule de Taylor



MO

NTA

IGN

E


Soit f : I →C une fonction de classe C n+1 sur l’intervalle I, alors on a la formule suivante :

∀ a, x ∈ I, f (x) =n∑

k=0

f (k)(a)k ! (x −a)k +∫ x

a(x−t )n

n! f (n+1)(t )d t .

Théorème 21.13 (formule de Taylor avec reste intégrale)

Preuve : Celle-ci est laissée en exercice, il s’agit d’une simple récurrence sur n. On en déduit le théorème suivant.

Si f : I →C est de classe C n+1 sur I et si | f (n+1)| est majorée par un réel Mn+1, alors :

∀ x, a ∈ I,∣∣ f (x)−Tn, f ,a(x)

∣∣6Mn+1|x−a|n+1

(n+1)! .

Théorème 21.14 (inégalité de Taylor-Lagrange 1)

Applications :– La série exponentielle : soit z ∈ C, pour t ∈ [0;1] on pose f (t) = e t z , cette fonction est de classe C ∞ sur [0;1],

pour n ∈N, on a f (n+1)(t ) = zn+1e t z , en posant z = a + i b, on a | f (n+1)(t )|6 |z|n+1e t a 6 |z|n+1M où M désigne lemaximum de la fonction e t a sur [0;1], appliquons l’inégalité de Taylor-Lagrange entre 0 et 1 à l’ordre n :∣∣∣∣∣ez −

n∑k=0

zk

k !

∣∣∣∣∣6M|z|n+1

(n +1)!.

On voit que le majorant tend vers 0 lorsque n →+∞, car |z|n = o(n!), par conséquent :

∀ z ∈C,ez = limn→+∞

n∑k=0

zk

k !ou encore ∀z ∈C, ez =

+∞∑n=0

zn

n!.

– Développement de sin en série : avec la fonction sin, toutes ses dérivées sont majorées par 1, on a donc pourx ∈R et n ∈N, en appliquant l’inégalité de Taylor-Lagrange entre 0 et x à l’ordre 2n +1 :∣∣∣∣∣sin(x)−

n∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k +1)!

∣∣∣∣∣6 |x|2n+2

(2n +2)!.

Là encore, on voit que le majorant tend vers 0 lorsque n →+∞ on en déduit donc que :

∀ x ∈R, sin(x) = limn→+∞

n∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k +1)!ou encore ∀x ∈R, sin(x) =

+∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n +1)!.

– Développement de cos en série : de la même façon on montre que

∀ x ∈R,cos(x) = limn→+∞

n∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!ou encore ∀x ∈R, cos(x) =

+∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!.

Remarque 21.6 –– On peut aussi déduire le développement en série de sin et cos en prenant les parties imaginaire et réelle

du développement en série de e i x .– Ceci se généralise au cas où f est C ∞ et que ses dérivées en module sont toutes majorées par une même

constante, car on sait que |x −a|n = o(n!).

4) Développement décimal d’un réel

RappelsSoit x ∈R :

• Soit an = b10n xc10n , la suite (an) est la suite de approximations décimales de x par défaut à 10−n près, car

an 6 x < an +10−n .• Pour n> 1, on pose dn = 10n[an −an−1], alors dn est un entier de l’intervalle J0;9K (appelé ne décimale dex).

1. LAGRANGE Joseph Louis (1736 – 1813) : mathématicien qui fut un précurseur dans de nombreux domaines scientifiques.



MO

NTA

IGN

E


On remarque alors qu’en posant d0 = a0 = bxc, on an∑

k=0

dk

10k = a0 +n∑

k=0ak −ak−1 = an → x, ce qui signifie

que la série de terme général dn10n est convergente et de somme x :

x =+∞∑n=0

dn

10n , c’est le développement décimal de x

ZExemple : 13 =

+∞∑n=1

310n , 7

6 = 1+ 110 +

+∞∑n=2

610n · · ·

• La suite (dn) définie ci-dessus ne peut jamais être constante égale à 9 à partir d’un certain rang, c’estce que l’on appelle le développement décimal propre de x.• Tout réel x admet un unique développement décimal propre.• La suite (dn)n>1 des décimales est périodique à partir d’un certain rang si et seulement si x estrationnel.

Théorème 21.15 (Compléments)

Remarque 21.7 –• Pour toute suite d’entiers (dn) telle que ∀n> 1, dn ∈ J0;9K, la série

∑n∈N

dn10n est convergente car positive à partir

du rang 1, et majorée par une série géométrique convergente.• Si on n’impose pas la condition « (dn) ne doit pas être constante égale à 9 à partir d’un certain rang », alors il

n’y a plus unicité du développement décimal, car par exemple+∞∑n=1

910n = 1.

Il n’existe pas de bijection entreN et R (on dit que R est non dénombrable).Théorème 21.16 (Une application)

Preuve : Soit φ : N→ R une application, alors pour tout n ∈ N, φ(n) a un unique développement décimal propre

φ(n) =+∞∑k=0

dn,k

10k . On définit une suite (bk )k>0 en posant bk = 0 si dk,k 6= 0 et bk = 1 si dk,k = 0, soit x =+∞∑k=0

bk

10k , s’il existait

m ∈N tel que φ(m) = x alors on devrait avoir (par unicité) bm = dm,m , ce qui absurde car ∀k ∈N, bk 6= dk,k , x n’a doncpas d’antécédent par φ, et donc φ ne peut pas être surjective.

Remarque 21.8 – La méthode utilisée dans la preuve est connue sous le nom de « procédé diagonal de Cantor ».



MO

NTA

IGN

EChapitre 22

Matrices

SommaireI Matrices, liens avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2) Structure d’espace vectoriel sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3) Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

II Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

2) Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3) Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

III Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

2) Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

IV Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

1) Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2) Formules du changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

3) Changement de bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4) Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

V Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

2) Propriétés du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

VI Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

2) Calcul pratique du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

3) Calcul pratique de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

K désigne un sous-corps de C.

I MATRICES, LIENS AVEC LES APPLICATIONS LINÉAIRES

1) Définitions

Soient n, p ∈N∗, on appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dansK, toute applicationM : J1;nK× J1; pK→K. Pour (i , j ) ∈ J1;nK× J1; pK, on pose M(i , j ) = Mi , j (ou mi , j ), c’est le coefficientde la matrice M d’indices i et j , le premier indice est appelé indice de ligne, et le second indice decolonne.L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dansK est noté Mn,p (K), on a doncMn,p (K) =F (J1;nK× J1; pK ,K).

Définition 22.1



MO

NTA

IGN

E

Matrices, liens avec les applications linéaires Chapitre 22 : Matrices

Notations : Si M ∈Mn,p (K), on peut écrire : M = (mi , j )16i6n16 j6p

ou bien M =

m1,1 · · · m1,p...

...mn,1 · · · mn,p

.

Remarque 22.1 – L’égalité entre deux matrices est en fait l’égalité entre deux fonctions, par conséquent deuxmatrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et les mêmes coefficients.

Cas particuliers :– Lorsque n = p on dit que la matrice est carrée, l’ensemble des matrices carrées à n lignes est noté

Mn(K) au lieu de Mn,n(K).– Lorsque n = 1 on dit que M est une matrice ligne :

(1 2 −3

) ∈M1,3(K).

– Lorsque p = 1 on dit que M est une matrice colonne :

205

∈M3,1(K).

Soit M ∈Mn,p (K), pour k ∈ J1; pK :On appelle k-ième vecteur colonne de M le vecteur ck (M) = (m1,k , . . . ,mn,k ), c’est un élément deKn .

On appelle k-ième matrice colonne de M la matrice Ck (M) =

m1,k...

mn,k

∈Mn,1(K).

On appelle k-ième vecteur ligne de M le vecteur Lk (M) = (mk,1, . . . ,mk,p ), c’est un élément deKp .On appelle k-ième matrice ligne de M la matrice Lk (M) = (

mk,1 · · · mk,p) ∈M1,p (K).

Définition 22.2

Soit M ∈Mn,p (K), on appelle transposée de M la matrice de Mp,n(K) notée tM et définie par :[(

tM)

i , j = M j ,i pour i ∈ J1; pK et j ∈ J1;nKAutrement dit, la ligne i de tM est la colonne i de M.

Définition 22.3 (transposition)

ZExemple : Soit M =(1 2 34 5 6

)∈M2,3(K), on a tM =

1 42 53 6

∈M3,2(K).

On a les propriétés suivantes :• Mn(K) est stable pour la transposition.• t(tM

)= M, on en déduit en particulier que la transposition est une involution dans Mn(K).• Lk (tM) = Ck (M) et Ck (tM) = Lk (M).

Théorème 22.1 (propriétés de la transposition)


Soit M ∈Mn(K), on appelle trace de M le scalaire noté tr(M) et défini par : tr(M) =n∑

i=1Mi ,i , c’est donc

la somme des coefficients diagonaux.

Définition 22.4 (trace d’une matrice carrée)

Matrices particulières :– Matrice nulle : la matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de Mn,p (K) dont tous les

coefficients sont nuls, celle-ci est notée On,p . Lorsque p = n, la matrice On,n est notée simplement On ,c’est la matrice nulle de Mn(K).



MO

NTA

IGN

E


– Matrice unité : la matrice unité de Mn(K) est la matrice carrée de taille n, notée In et définie parIn = (δi , j )16i , j6n , c’est à dire, In est la matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1, lesautres (coefficients extra-diagonaux) sont tous nuls.

ZExemple : I3 =1 0 0

0 1 00 0 1

est la matrice unité de M3(K).

– Matrice diagonale : une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients extra-

diagonaux sont nuls. C’est donc une matrice de la forme M =

a1 0 · · · 00 a2 0 · · · 0...

. . ....

0 · · · 0 an

, une telle matrice

est notée parfois M = diag(a1, . . . , an).– Matrice élémentaire : une matrice élémentaire de Mn,p (K) est une matrice dont tous les coefficients

sont nuls sauf un qui vaut 1. Il y a donc np matrices élémentaires dans Mn,p (K), pour (i , j ) ∈ J1;nK×J1; pK, on note Ei , j la matrice élémentaire qui possède un 1 ligne i colonne j , et des 0 ailleurs, plusprécisément : (Ei , j )k,l = δi ,kδ j ,l .

ZExemple : Dans M2,3(K), on a E1,2 =(0 1 00 0 0

).

– Matrice triangulaire supérieure : c’est une matrice carrée dont tous les éléments situés sous la diago-nale principale sont nuls. L’ensemble des matrices triangulaires supérieures de Mn(K) est noté T s

n (K),on a donc :

M ∈T sn (K) ⇐⇒∀ i , j ∈ J1;nK , i > j =⇒ Mi , j = 0.

– Matrice triangulaire inférieure : c’est une matrice carrée dont tous les éléments situés au-dessus dela diagonale principale sont nuls. L’ensemble des matrices triangulaires inférieures de Mn(K) est notéT i

n (K), on a donc :M ∈T i

n (K) ⇐⇒∀ i , j ∈ J1;nK , i < j =⇒ Mi , j = 0.– Matrice symétrique : c’est une matrice qui est égale à sa transposée (elle est donc nécessairement

carrée) : M = tM. L’ensemble des matrices symétriques de taille n est noté Sn(K), on a donc :M ∈Sn(K) ⇐⇒∀ i , j ∈ J1;nK ,Mi , j = M j ,i .

– Matrice antisymétrique : c’est une matrice qui est égale à l’opposé de sa transposée (elle est doncnécessairement carrée) : M =−tM. L’ensemble des matrices antisymétriques de taille n est noté An(K),on a donc :

M ∈An(K) ⇐⇒∀ i , j ∈ J1;nK ,Mi , j =−M j ,i ,on en déduit en particulier que Mi ,i = 0 (les coefficients diagonaux sont nuls).

2) Structure d’espace vectoriel sur les matrices

Soient A,B ∈Mn,p (K), on appelle somme de A et B la matrice de Mn,p (K) notée A+B et définie par :∀ (i , j ) ∈ J1;nK× J1; pK , (A+B)i , j = Ai , j +Bi , j . On additionne entre eux les éléments ayant les mêmesindices.

Définition 22.5 (somme de deux matrices)

ZExemple :

(1 2 34 5 6

)+

(−1 0 1−2 3 4

)=

(0 2 42 8 10

).

(Mn,p (K),+) est un groupe abélien. L’élément neutre est la matrice nulle : On,p , et si A ∈ Mn,p (K),l’opposé de A est la matrice −A définie par ∀ (i , j ) ∈ J1;nK× J1; pK , (−A)i , j =−Ai , j .

Théorème 22.2




MO

NTA

IGN

E


Soit M ∈ Mn,p (K) et soit λ ∈ K, on appelle produit de la matrice M par le scalaire λ la matrice deMn,p (K) notée λ.M et définie par :∀ (i , j ) ∈ J1;nK× J1; pK , (λ.M)i , j = λ×Mi , j . C’est à dire, chaquecoefficient de M est multiplié par λ.

Définition 22.6 (produit par un scalaire)

ZExemple : 2 ·1 2

3 45 6

= 2 4

6 810 12

.

Propriétés : On peut vérifier facilement, soient A,B ∈Mn,p (K), soient λ,µ ∈K :– 1.A = A.– λ.(A+B) = λ.A+λ.B.– (λ+µ).A = λ.A+µ.A.– (λµ).A = λ.(µ.A).On peut donc énoncer le résultat suivant : (Mn,p (K),+, .) est unK-espace vectoriel.

Mn,p (K) est unK-e.v de dimension np, et les matrices élémentaires (Ei , j )16i6n16 j6p

constituent une base

de Mn,p (K). Cette base est appelée base canonique de Mn,p (K), car les coordonnées d’une matriceM ∈Mn,p (K) dans cette base sont les coefficients de M, c’est à dire :

M = ∑16i6n16 j6p

Mi , j .Ei , j .

Théorème 22.3 (dimension de Mn,p (K))

Preuve : Il reste à montrer que la famille des matrices élémentaires est libre et génératrice de Mn,p (K). Soit M ∈Mn,p (K), posons B = ∑

16i6n16 j6p

Mi , j .Ei , j , on a alors ∀ (k, l ) ∈ J1;nK× J1; pK ,Bk,l =∑

16i6n16 j6p

Mi , j .(Ei , j )k,l , ce qui donne Bk,l =∑

16i6n16 j6p

Mi , jδi ,kδ j ,l , et donc Bk,l = Mk,l , d’où B = M. Ce qui prouve que toute matrice M s’écrit de manière unique

comme combinaison linéaire des matrices élémentaires, celles-ci constituent donc une base de Mn,p (K), or elles sontau nombre de np, donc dim(Mn,p (K)) = np. Celle-ci est simple et laissée en exercice.

FExercice 22.1 Montrer que T sn (K),T i

n (K),Sn(K) et An(K) sont des s.e.v de Mn(K). Pour chacun d’eux donner une

base et la dimension.

On a les propriétés suivantes :• La transposition est linéaire, plus précisément, c’est un isomorphisme de Mn,p (K) sur Mp,n(K).• La trace est une forme linéaire non nulle sur Mn(K).

Théorème 22.4 (propriétés de la transposition et de la trace)

Preuve : Pour le premier point, la linéarité est simple à vérifier. On peut voir ensuite que la transposition transforme labase canonique de Mn,p (K) en la base canonique de Mp,n(K).

Pour le second point, il s’agit d’une simple vérification de la linéarité, d’autre part, tr(In) = n 6= 0.

FExercice 22.2 Montrer que la transposition dans Mn(K) est une symétrie, déterminer ses éléments caractéristiques.

3) Matrice d’une application linéaire

Soit E unK-e.v de dimension p, soit B= (e1, . . . ,ep ) une base de E. Soit F unK-e.v de dimension n et soitB′ = (u1, . . . ,un) une base de F. Soit f ∈L (E,F), on sait que f est entièrement déterminée par la donnée def (e1), . . . , f (ep ), mais chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par ses coordonnées dans la base B′

de F. Notons coordB′

( f (e j )) = (a1, j , . . . , an, j ) pour j ∈ J1; pK, c’est à dire :

∀ j ∈ J1; pK , f (e j ) =n∑

i=1ai , j ui .

On obtient ainsi une matrice A = (ai , j )16i6n16 j6p

cette matrice est définie par : c j (A) = coordB′

( f (e j )).



MO

NTA

IGN

E


Soit f ∈L (E,F), soit B= (e1, . . . ,ep ) une base de E et soit B′ = (u1, . . . ,un) une base de F, on appellematrice de f relative aux bases B et B′ la matrice de Mn,p (K) notée mat

B,B′( f ) et définie par : pour

j ∈ J1; pK, le j -ième vecteur colonne de cette matrice est coordB′

( f (e j )), autrement dit, le coefficient de

la ligne i colonne j est la coordonnée sur ui du vecteur f (e j ).

Définition 22.7

Construction de cette matrice :

f (e1) . . . f (ep )↓ ↓

matB,B′

( f ) =

a1,1 · · · a1,p...

......

an,1 · · · an,p

→ u1...

→ un

ZExemples :– Soit B = (e1,e2,e3) la base canonique de K3 et soit B′ = (u, v) la base canonique de K2, soit f ∈

L (K3,K2) définie par ∀ (x, y, z) ∈K3, f (x, y, z) = (2x − y + z, x +2y −3z). Déterminons A = matB,B′

( f ), on

a

f (e1) = f (1,0,0) = (2,1) = 2u + v

f (e2) = f (0,1,0) = (−1,2) =−u + v

f (e3) = f (0,0,1) = (1,−3) = u −3v

, donc la matrice de f est :

A =(2 −1 11 2 −3

).

– Avec les notations précédentes, déterminons l’application linéaire g :K3 →K2 donnée par :

matB,B′

(g ) =(6 −2 14 5 −1

).

On a g (x, y, z) = xg (e1)+ y g (e2)+ zg (e3) = x(6,4)+ y(−2,5)+ z(1,−1) = (6x −2y + z,4x +5y − z).

Remarque 22.2 – Cas particuliers des endomorphismes : lorsque l’espace d’arrivée est le même que celui dedépart (F = E), on choisit en général la même base à l’arrivée qu’au départ (B′ =B), on note alors mat

B,B( f ) =

matB

( f ), c’est une matrice carrée.

FExercice 22.3

1/ Soit E =K3[X] et soit B la base canonique de E :

a) On note D la dérivation dans E, calculer matB

(D).

b) Soit ∆ définie par ∆(P) = P(X+1)−P(X), calculer matB

(∆).

c) Soit P0 = 1,P1 = X,P2 = X(X−1)2 et P3 = X(X−1)(X−2)

6 , montrer que B′ = (P0,P1,P2,P3) est une base de E etcalculer mat

B′ (∆).

2/ Calculer la matrice de la transposition dans la base canonique de M2(K).

Soit E un e.v de dimension n et soit B une base de E :• Soit f ∈L (E), alors f = idE ⇐⇒ mat

B( f ) = In .

• Soit F un e.v de dimension p et soit B′ une base de F, soit f ∈L (E,F), alors :f = 0 ⇐⇒ mat

B,B′( f ) = Op,n .

Théorème 22.5 (caractérisation de l’identité et de l’application nulle)




MO

NTA

IGN

E

Produit matriciel Chapitre 22 : Matrices

Soient E,F deuxK-e.v, soit B une base de E et soit B′ une base de F, soient f , g ∈L (E,F) et soit λ ∈K.On a :

matB,B′

( f + g ) = matB,B′

( f )+matB,B′

(g ) et matB,B′

(λ. f ) = λ. matB,B′

( f ).

Autrement dit, l’application : matB,B′

: L (E,F) → Mn,p (K) (avec n = dim(F) et p = dim(E)), est une

application linéaire. Plus précisément, cette application est un isomorphisme.

Théorème 22.6

Preuve : La vérification de la linéarité est simple (elle découle de la linéarité de l’application coordonnées). Si matB,B′( f ) =

On,p , alors on sait que f est nulle, donc l’application matB,B′ est injective, la surjectivité étant évidente, on a donc bien un

isomorphisme.

Soit E un K-espace vectoriel de dimension p, soit F un K-espace vectoriel de dimension n, et soitu ∈ L (E,F) une application linéaire de rang r , alors il existe une base B de E et une base B′ de Ftelles que mat

B,B′(u) = Jn,p,r où Jn,p,r désigne la matrice de Mn,p (K) définie par :

Jn,p,r =

1 0 · · · 0

0. . .

...... 10 · · · 0 · · · 0...

. . .

0 · · · 0

Il y a r fois le scalaire 1 sur la diagonale.

Théorème 22.7

Preuve : D’après le théorème du rang, dim(ker(u)) = p − r , soit H un supplémentaire de ker(u) dans E et soit (e1, . . . ,er )une base de H, soit (er+1, . . . ,ep ) une base de ker(u), alors B= (e1, . . . ,ep ) est une base de E. On sait que (u(e1), . . . ,u(er ))est une base de Im(u), on peut compléter en une base de F :B′ = (u(e1), . . . ,u(er ), vr+1, . . . , vn) et la matrice de u dansles bases B et B′ a exactement la forme voulue.

II PRODUIT MATRICIEL

Matrice d’une composée : Soient B = (e1, . . . ,eq ) une base de E, B′ = (u1, . . . ,up ) une base de F, et B′′ =(v1, . . . , vn) une base de G, soit f ∈L (E,F), g ∈L (F,G), on pose B = mat

B,B′( f ) ∈Mp,q (K), A = mat

B′,B′′(g ) ∈Mn,p (K)

et C = matB,B′′

(g f ) ∈ Mn,q (K). Il s’agit de calculer g f (e j ) dans la base B′′, on a : f (e j ) =p∑

k=1Bk, j uk , donc :

g f (e j ) =p∑

k=1Bk, j g (uk ) =

p∑k=1

n∑i=1

Bk, j Ai ,k vi , c’est à dire : g f (e j ) =n∑

i=1

( p∑k=1

Ai ,k Bk, j

)vi . On doit donc avoir :

C ∈Mn,q (K) avec Ci , j =p∑

k=1Ai ,k Bk, j . On voit que l’opération à effectuer sur les matrices A et B pour obtenir C

n’est pas aussi simple que pour la somme. Nous allons définir cette opération comme étant le produit entreles deux matrices A et B.

1) Définition

Soient A ∈Mn,p (K), soit B ∈Mp,q (K), on appelle produit de A par B la matrice de Mn,q (K) notée A×Bet définie par :

∀ (i , j ) ∈ J1;nK× J1; qK , [A×B]i , j =p∑

k=1Ai ,k Bk, j .

On retient ceci en disant que le coefficient [A×B]i , j est le résultat du « produit de la ligne i de A avecla colonne j de B ».

Définition 22.8



MO

NTA

IGN

E


Disposition des calculs :

b11 · · · b1 j · · · b1q

B = ......

...

bp1 · · · bp j · · · bpq

a11 · · · a1p • · · · · · · •...

......

...

A = ai 1 · · · ai p • · · ·p∑

k=1ai k bk j · · · • = AB

......

......

an1 · · · anp • · · · · · · •

×

=

Remarque 22.3 :– Le produit A×B n’est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le

résultat a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B.– Dans Mn(K) le produit matriciel est interne.– En général A×B 6= B×A, il se peut même que A×B soit défini, mais pas B×A.

ZExemple :

(1 −1 3

)× 0 1−1 22 1

= (7 2

) 123

× (1 −1 3

)=1 −1 3

2 −2 63 −3 9

(1 −1 2

)×1

23

= (5) (

1 2−2 1

)×

(0 1 1−1 0 1

)=

(−2 1 3−1 −2 −1

)

(1 2−2 1

)×

0 1−1 20 1

n’est pas défini

0 1−1 20 1

×(

1 2−2 1

)=

−2 1−5 0−2 1

2) Retour aux applications linéaires

Soit B une base de E, soit B′ une base de F et soit B′′ une base de G, soit f ∈L (E,F) et soit g ∈L (F,G)avec A = mat

B′,B′′(g ) et B = mat

B,B′( f ), alors :

matB,B′′

(g f ) = A×B = matB′,B′′

(g )×matB,B′

( f ).

Théorème 22.8

Remarque 22.4 – Cas particulier des endomorphismes : Soit E un K-e.v, soit B une base de E et soientu, v ∈L (E) avec A = mat

B(u) et B = mat

B(v), on a alors mat

B(u v) = mat

B(u)×mat

B(v) = A×B, en particulier :

∀ n ∈N,matB

(un) =[

matB

(u)

]n

= An .

Soit B= (e1, . . . ,ep ) une base de E, soit B′ = (u1, . . . ,un) une base de F et soit f ∈L (E,F). Pour x ∈ E,on pose X la matrice colonne des coordonnées de x dans la base B, ce que l’on note : X = Coord

B(x) ∈

Mp,1(K)) et Y la matrice colonne des coordonnées de y = f (x) dans la base B′ : Y = CoordB′

( f (x)) ∈

Théorème 22.9 (relation fondamentale)



MO

NTA

IGN

E


Mn,1(K). En posant A = matB,B′

( f ), on a alors la relation suivante :

Y = A×X i.e. CoordB′

( f (x)) = matB,B′

( f )×CoordB

(x).

Preuve : Posons X =

x1...

xp

et Y =

y1...

yn

, comme A ∈Mn,p (K) on voit que le produit A×X est bien défini et que c’est une

matrice colonne à n lignes. On a f (x) =p∑

k=1xk f (ek ), mais on a f (ek ) =

n∑i=1

ai ,k ui , ce qui donne :

f (x) =n∑

i=1

( p∑k=1

ai ,k xk,1

)ui =

n∑i=1

[A×X]i ,1ui =n∑

i=1yi ui .

Ce qui prouve que Y = A×X.

FExercice 22.4

1/ Soient B la base canonique deK3 et B′ la base canonique deK2, soit f ∈L (K3,K2) définie par sa matrice dans

les bases B et B′ : matB,B′( f ) = A =

(1 −2 32 1 −5

), calculer f (x, y, z).

2/ Soit B= (i , j ,k) la base canonique deK3, on pose B′ = (i , i + j , i + j +k), on vérifie que B′ est une base deK3.

Soit f ∈L (K3) défini par matB′ ( f ) = A =

1 −1 00 2 −10 0 1

, calculer f (x, y, z).

3/ Soient A,B ∈Mn,p (K) telles que ∀ X ∈Mp,1(K), AX = BX, montrer que A = B.

Solution 22.4

1/ CoordB

(x, y, z) = X =x

yz

, d’où CoordB′ ( f (x, y, z)) = A×X =

(x −2y +3z2x + y −5z

), donc f (x, y, z) = (x −2y +3z,2x + y −5z)

(B′ est la base canonique deK2).

2/ On a (x, y, z) = xi + y j + zk = z(i + j + k) + (y − z)(i + j ) + (x − y)i , donc CoordB′ (x, y, z) = X =

x − yy − z

z

, d’où

CoordB′ ( f (x, y, z)) = A×X =

x −2y + z2y −3z

z

, c’est à dire f (x, y, z) = (x − 2y + z)i + (2y − 3z)(i + j )+ z(i + j + k), et

donc f (x, y, z) = (x − z,2y −2z, z).

3/ Soit B la base canonique deKp et B′ la base canonique deKn , soit f ∈L (Kp ,Kn) l’application linéaire définiepar mat

B,B′( f ) = A−B. Pour x ∈Kp , posons X = CoordB

(x), on a alors CoordB′ ( f (x)) = (A−B)X = On,1, ce qui montre

que f est l’application nulle, donc sa matrice est nulle, ce qui donne A = B.

Soit A ∈Mn,p (K), on appelle application linéaire canoniquement associée à A l’application linéairefA ∈L (Kp ,Kn) dont la matrice dans les bases canoniques deKp etKn , est A.

Définition 22.9 (application linéaire canoniquement associée)

3) Propriétés du produit matriciel

– « Associativité » : Si A ∈Mn,p (K),B ∈Mp,q (K) et C ∈Mq,r (K), alors :

A× (B×C) = (A×B)×C ∈Mn,r (K).

Preuve : Soit f ∈L (Kp ,Kn) l’application linéaire canoniquement associée à A, g ∈L (Kq ,Kp ) canoniquementassociée à B et h ∈L (Kr ,Kq ) canoniquement associée à C. On a f (g h) ∈L (Kr ,Kn) et sa matrice dans lesbases canoniques est A× (B×C). De même ( f g )h ∈L (Kr ,Kn) et sa matrice dans les bases canoniques est(A×B)×C, or la composition des applications est associative, ce qui donne l’égalité.

– « Élément neutre » : Soit A ∈Mn,p (K), on a : A× Ip = A et In ×A = A.Preuve : Soit f ∈L (Kp ,Kn) l’application linéaire canoniquement associée à A, idKn est l’application linéairecanoniquement associée à In , la matrice dans les bases canoniques de idKn f est donc In ×A, or idKn f = f ,donc A = In ×A.



MO

NTA

IGN

E

Matrices carrées inversibles Chapitre 22 : Matrices

– « Distributivité » : Soient A,B ∈Mn,p (K), soit C ∈Mp,q (K) et D ∈Mr,n , on a :

(A+B)×C = A×C+B×C et D× (A+B) = D×A+D×B

Preuve : Soit f ∈L (Kp ,Kn) l’application canoniquement associée à A, soit g ∈L (Kp ,Kn) l’application canoni-quement associée à B, et soit h ∈L (Kq ,Kp ) l’application canoniquement associée à C. L’application linéairecanoniquement associé à la matrice (A+B)×C est ( f +g )h ∈L (Kq ,Kn), et l’application linéaire canoniquementassociée à A×C+B×C est f h+g h ∈L (Kq ,Kn), or ( f +g )h = f h+g h, ce qui donne la première égalité.La seconde se montre de la même façon.

– Transposée d’un produit : Si A ∈Mn,p (K) et B ∈Mp,q (K) alors : t(A×B) = tB× tA.

Preuve : [t(A×B)]i , j = [A×B] j ,i =p∑

k=1a j ,k bk,i =

p∑k=1

[tB]i ,k [tA]k, j = [tB× tA]i , j .

FExercice 22.5 Calculer le produit entre deux matrices carrées élémentaires de même taille.

Solution 22.5 Soient Ei , j ,Ek,l deux matrices élémentaires de Mn(K), soient (r, s) ∈ J1;nK2 :

[Ei , j ×Ek,l ]r,s =n∑

p=1[Ei , j ]r,p [Ek,l ]p,s =

n∑p=1

δi ,rδp, jδp,kδl ,s = δ j ,kδi ,rδl ,s = δ j ,k [Ei ,l ]r,s ,

on a donc Ei , j ×Ek,l = δ j ,k Ei ,l .

On a le résultat suivant : (Mn(K),+,×, .) est uneK-algèbre (non commutative si n> 2).Théorème 22.10 (structure de Mn(K))

Preuve : On sait déjà que (Mn(K),+, .) est unK-espace vectoriel, le reste découle des propriétés du produit matriciel, ilreste simplement à vérifier la compatibilité entre le produit interne et le produit externe, i.e. : ∀ λ ∈K,∀ A,B ∈Mn(K) :

λ.(A×B) = (λ.A)×B = A× (λ.B),

ce qui est laissé en exercice. Donnons un contre-exemple pour la non commutativité : soit A =(0 01 0

),B =

(1 10 1

),

on a AB =(0 01 1

), mais BA =

(1 01 0

).

Remarque 22.5 :

– L’algèbre Mn(K) n’est pas intègre lorsque n> 2. Par exemple :

(0 01 0

)×

(0 01 1

)= O2. De ce fait, il y a dans

Mn(K) des éléments nilpotents, par exemple : A =(0 01 0

).

– On peut utiliser dans Mn(K) les règles du calcul algébrique, en prenant garde toutefois au fait que leproduit n’est pas commutatif. Par exemple, si A,B ∈ Mn(K) commutent (i.e. AB = BA), alors on peututiliser le binôme de Newton pour calculer (A+B)n . Mais si AB 6= BA on peut néanmoins développer, parexemple : (A+B)2 = A2 +AB+BA+B2.

FExercice 22.6 Soit A =1 1 0

0 1 10 0 1

. En écrivant A = I3 + J, calculer An pour n ∈N.

Solution 22.6 On a A = I3 + J avec J =0 1 0

0 0 10 0 0

, de plus J2 = K =0 0 1

0 0 00 0 0

, et J3 = O3. Comme I3 × J = J× I3, on peut

utiliser le binôme de Newton :

An =n∑

k=0

(nk

)Jk = I3 +nJ+ n(n−1)

2 K =1 n n(n+1)

20 1 n0 0 1

.

III MATRICES CARRÉES INVERSIBLES

1) Définition

L’ensemble (Mn(K),+,×) a une structure d’anneau, on peut donc s’intéresser aux éléments inversiblesde cet anneau. C’est à dire aux matrices M ∈Mn(K) pour lesquelles il existe une matrice N ∈Mn(K) telle queM×N = N×N = In . Si M ∈Mn(K) est inversible, son inverse sera noté M−1.



MO

NTA

IGN

E


Le groupe multiplicatif des inversibles de l’anneau (Mn(K),+,×) est noté GLn(K).

Définition 22.10

Remarque 22.6 – Puisque (GLn(K),×) est un groupe, on a :• le produit de deux matrices inversibles est inversible.• Si M,N ∈ GLn(K), alors (M×N)−1 = N−1 ×M−1.

Cas particuliers :– Matrices diagonales inversibles : Soit D = diag(a1, . . . , an) ∈Mn(K), alors D est inversible ssi les coef-

ficients diagonaux sont tous non nuls, auquel cas on a : D−1 = diag( 1a1

, . . . , 1an

).Preuve : Si les coefficients diagonaux sont tous non nuls, il est facile de vérifier que la matrice proposée est bienl’inverse de D.Réciproquement, supposons D ∈ GLn(K), alors l’équation DX = On,1 d’inconnue X ∈ Mn,1(K) admet commeunique solution X = D−1×On,1 = On,1. Supposons a1 = 0 et prenons X ∈Mn,1(K) définie par Xi ,1 = δi ,1, il est facilede voir que le produit DX donne la première colonne de D, c’est à dire On,1, pourtant X 6= On,1 : contradiction,donc a1 6= 0. Le raisonnement est similaire pour les autres coefficients.

– Polynômes de matrices : Soit P ∈K[X] et A ∈Mn(K), si P =r∑

k=1ak Xk , alors la matrice P(A) est P(A) =

r∑k=1

ak Ak (la substitution de X par Aest un morphisme d’algèbres), on a alors le résultat suivant : Si

P(A) = On et si P(0) 6= 0, alors A est inversible.Preuve : P(0) 6= 0 signifie que a0 6= 0, on a alors :

In = A×[

r∑k=1

−aka0

Ak−1]=

[r∑

k=1

−aka0

Ak−1]×A.

Par exemple, si A =(

a bc d

)avec ad −bc 6= 0, on vérifie que A2 − (a+d)A+ (ad −bc)I2 = O2, donc A est inversible

et A−1 = 1ad−bc [(a +d)I2 −A] = 1

ad−bc

(d −b−c a

).

2) Retour aux applications linéaires

Soient E et F deux K-e.v de même dimension n, soit B une base de E et B′ une base de F, soitu ∈L (E,F), alors u est un isomorphisme de E vers F si et seulement si mat

B,B′(u) ∈ GLn(K), si c’est le cas,

alors matB′,B

(u−1) =[

matB,B′

(u)

]−1

.

Théorème 22.11

Preuve : Si u est un isomorphisme, posons A = matB,B′(u) et B = mat

B′,B(u−1), on a A,B ∈Mn(K). On sait que u u−1 = idF,

d’où In = matB′ (idF) = mat

B,B′(u)× matB′,B

(u−1) = A×B, de même B×A = matB

(idE) = In .

Cas des endomorphismes : Si E est un K-espace vectoriel de dimension n et B une base de E, alors onsait déjà que l’application mat

B: L (E) → Mn(K) est un isomorphisme d’espaces vectoriels, mais comme

(L (E),+,, .) et (Mn(K),+,×; .) sont des K-algèbres et que matB

(u v) = matB

(u)×matB

(v) et matB

(idE) = In ,

on peut affirmer que l’application matB

est un isomorphisme d’algèbres. En particulier celui-ci induit un

isomorphisme de groupes : matB

: GL(E) → GLn(K).

Soit A ∈Mn(K), alors les assertions suivantes sont équivalentes :

a) A est inversible.

b) Il existe une matrice B ∈Mn(K) telle que BA = In .

c) L’équation AX = On,1 d’inconnue X ∈Mn,1(K) admet une unique solution X = On,1.

d) ∀ Y ∈Mn,1(K), l’équation AX = Y d’inconnue X ∈Mn,1(K) admet une unique solution.

Théorème 22.12 (caractérisations des matrices carrées inversibles)



MO

NTA

IGN

E


e) ∀ Y ∈Mn,1(K), l’équation AX = Y d’inconnue X ∈Mn,1(K) admet au moins une solution.

Preuve : L’implication i ) =⇒ i i ) est évidente en prenant B = A−1.Montrons i i ) =⇒ i i i ) : On a BA = In , d’où AX = On,1 =⇒ BAX = On,1 = X.Montrons i i i ) =⇒ i v) : Soit f ∈ L (Kn) l’endomorphisme de Kn canoniquement associé à A, soit x ∈ ker( f ),

posons X = CoordB

(x) où B désigne la base canonique de Kn , on a alors CoordB

( f (x)) = AX = On,1, donc X = On,1 i.e.

x = −→0 , l’application f est donc injective, mais alors elle est bijective : ∀ y ∈ Kn ,∃! x ∈ Kn , f (x) = y , ce qui entraîne

∀ Y ∈Mn,1(K),∃! X ∈Mn,1(K), AX = Y (remarquons que A est inversible puisque f est bijective, et que X = A−1Y).L’implication i v) =⇒ v) est évidente.Montrons v) =⇒ i ) : Avec les notations précédentes, l’application f est surjective par hypothèse, donc f est bijective

et par conséquent sa matrice A est inversible.

Remarque 22.7 – Il découle en particulier de ce théorème que si BA = In alors AB = In (car A ∈ GLn(K) et doncB = A−1), ce qui est remarquable.

FExercice 22.7

1/ Si A ∈ GLn(K), montrer que tA est inversible et que (tA)−1 = t(A−1).

2/ Soit A =1 λ −1

0 2 11 0 1

, déterminer en fonction de λ si A est inversible ou non, si c’est le cas, calculer A−1.

3/ soit T ∈Mn(K) une matrice triangulaire supérieure, montrer que T ∈ GLn(K) ssi ses éléments diagonaux sonttous non nuls, si c’est le cas, montrer que T−1 est également triangulaire supérieure.

Solution 22.7

1/ Posons B = t(A−1), alors B× tA = t

(A×A−1) = tIn = In , donc tA est inversible et son inverse est B.

2/ Soit X =x

yz

et soit Y =a

bc

, résolvons l’équation AX = Y :

AX = Y ⇐⇒

x + λy − z = a2y + z = b

x + z = c

⇐⇒

x + λy − z = a2y + z = b

− λy + 2z = c −a (L3 ← L3 −L1)

⇐⇒

x − z + λy = az + 2y = b

− (4+λ)y = c −a −2b (L3 ← L3 −2L2).

D’où la discussion :

– Si λ=−4 : alors le système n’a pas de solution lorsque c −a −2b 6= 0, la matrice A n’est donc pas inversible.

– Si λ 6= −4 : le système admet une unique solution qui est :

y = a+2b−c4+λ

z = −2a+λb+2c4+λ

x = 2a−λb+(λ+2)c4+λ

.

Or on sait que cette unique solution est X = A−1Y, on en déduit alors que :

A−1 = 14+λ

2 −λ λ+21 2 −1−2 λ 2

.

3/ Supposons les coefficients diagonaux tous non nuls, soit X =

x1...

xn

et Y =

y1...

yn

, lorsqu’on résout le système

TX = Y (d’inconnue X) par substitutions remontantes, on obtient une solution de la forme :

X =

xn = bn,n yn

xn−1 = bn−1,n−1 yn−1 +bn−1,n yn

...

x1 = b1,1 y1 +·· ·+b1,n yn

.



MO

NTA

IGN

E

Changement de bases Chapitre 22 : Matrices

Il y a une seule solution, donc T est inversible, on sait alors que X = T−1Y, donc les coefficients de la matrice T−1

sont les coefficients bi , j ci-dessus, ce qui prouve que T−1 est triangulaire supérieure.Réciproquement, si T est inversible, alors T−1T = In , notons ai j les coefficients de T−1, alors on doit avoir :a11a1 = 1, donc a1 6= 0. Puis a21a1 = 0 donc a21 = 0, puis a22a2 = 1 donc a2 6= 0. On montre ainsi de proche enproche que T−1 est triangulaire supérieure et que les coefficients diagonaux de T sont tous non nuls.

IV CHANGEMENT DE BASES

1) Matrice de passage

Soit E un K-espace vectoriel, soit B = (e1, . . . ,en) une base de E, soit S = (x1, . . . , xp ) une famille devecteurs de E, on appelle matrice du système S dans la base B, la matrice A ∈Mn,p (K) définie par :∀ (i , j ) ∈ J1;nK× J1; pK , ai , j est la coordonnée sur ei de x j . Autrement dit, pour j ∈ J1; pK, le j -ièmevecteur colonne de A est C j (A) = coord

B(x j ). Cette matrice est notée PB,S et appelée matrice de

passage de B à S, elle exprime les vecteurs de S dans la base B :

x1 · · · xp → vecteurs de S↓ · · · ↓

PB,S =

a1,1 · · · a1,p...

...an,1 · · · an,p

→ coordonnée sur e1 premier vecteur de B...

→ coordonnée sur en dernier vecteur de B

Définition 22.11

ZExemples :– Soit B la base canonique de K3, soit x1 = (1,−1,0) et x2 = (2,−1,3), alors la matrice de passage de la

base B au système S = (x1, x2) est PB,S = 1 2−1 −10 3

.

– Soit B= (i , j ,k) la base canonique deK3, soit B′ = (i , i + j , i + j +k), on vérifie que B′ est une base deK3. Déterminons la matrice du système S précédent dans la base B′ : on a x1 = i − j = 2i − (i + j ) et

x2 = 2i − j +3k = 3(i + j +k)−4(i + j )+3i , on a donc PB′,S = 2 3−1 −40 3

.

Interprétations de la matrice de passage :

a) Dans le cas où p 6= n : soit B= (e1, . . . ,en) une base de E et soit S = (x1, . . . , xp ) une famille de p vecteursde E. Soit B′ = (u1, . . . ,up ) la base canonique de Kp , on définit l’application linéaire f : Kp → E enposant pour i ∈ J1; pK , f (ui ) = xi , alors : PB,S = mat

B′,B( f ).

b) Dans le cas où p = n : on a S = (x1, . . . , xn), soit u ∈L (E) défini par ∀ i ∈ J1;nK ,u(ei ) = xi , on a alors :PB,S = mat

B(u).

Soit B une base de E, et soit B′ = (x1, . . . , xn) une famille de n vecteurs de E, alors B′ est une base deE ssi la matrice de passage de B à B′ est inversible ,i.e. PB,B′ ∈ GLn(K).

Théorème 22.13 (caractérisation des bases)

Preuve : Cela découle directement de la deuxième interprétation.

Interprétation de la matrice de passage entre deux bases : Soient B et B′ deux bases de E, en considérantl’application idE : (E,B′) → (E,B) avec B′ comme base au départ et B comme base à l’arrivée, on a larelation : PB,B′ = mat

B′,B(idE).



MO

NTA

IGN

E


Soient B,B′,B′′ trois bases de E, on a : PB′,B = [PB,B′

]−1 et PB,B′′ =PB,B′ ×PB′,B′′ .

Théorème 22.14 (application)

Preuve : On a PB′,B = matB,B′(idE) =

[matB′,B

(id−1E )

]−1

=PB,B′ car id−1E = idE, ce qui prouve le premier point.

Pour le second, on considère la composition : idE idE : (E,B′′) → (E,B′) → (E,B), ce qui donne matB′′,B

(idE) =matB′,B

(idE)× matB′′,B′(idE), c’est à dire PB,B′′ =PB,B′ ×PB′,B′′ .

2) Formules du changement de bases

Soient B et B′ deux bases de E, pour tout vecteur x ∈ E on peut calculer ses coordonnées dans la base B :X = Coord

B(x), ou bien ses coordonnées dans la base B′ : X′ = Coord

B′(x), on cherche le lien entre X et X′.

Considérons l’identité : idE : (E,B′) → (E,B), on sait que matB′,B

(idE) = PB,B′ , mais on a idE(x) = x, d’où

CoordB

(idE(x)) = PB,B′ × CoordB′

(x), ce qui donne la relation : X = PB,B′ × X′, et donc X′ = PB′,B × X =[PB,B′

]−1 ×X, on peut donc énoncer :

Soient B et B′ deux bases de E, soit x ∈ E, on pose X = CoordB

(x) et X′ = CoordB′

(x), on a les formules

suivantes : X =PB,B′ ×X′ et X′ =PB′,B×X.

Théorème 22.15 (formules du changement de bases)

FExercice 22.8 Soit B la base canonique deK3[X], on pose B′ = (1,X,X(X−1),X(X−1)(X−2)), montrer que B′ est une

base deK3[X] et pour P ∈K3[X] calculer coordB′ (P).

Solution 22.8 La matrice de passage de B à B′ est A =

1 0 0 00 1 −1 20 0 1 −30 0 0 1

, cette matrice est triangulaire et ses élé-

ments diagonaux sont tous non nuls, elle est donc inversible, ce qui prouve que B′ est une base de K3[X]. On a

la relation CoordB′ (P) = A−1 × Coord

B(P), il faut donc calculer A−1, on peut résoudre l’équation A ×

xyzt

=

abcd

, ce

qui donne

x = a

y = b + c +d

z = c +3d

t = d

, on en déduit que A−1 =

1 0 0 00 1 1 10 0 1 30 0 0 1

. Finalement, si P = a + bX + cX2 + dX3, alors

CoordB′ (P) =

a

b + c +dc +3d

d

.

3) Changement de bases et applications linéaires

Soient E et F deuxK-espaces vectoriels, soit B1 une base de E et soit B2 une base de F. Si u ∈L (E,F) onpeut calculer A = mat

B1,B2

(u). Si on prend une autre base dans E : B′1 et une autre base dans F, B′

2, alors on peut

calculer A′ = matB′

1,B′2

(u), on cherche le lien entre ces deux matrices.

Soit x ∈ E et y = u(x), on pose X = CoordB1

(x),Y = CoordB2

(u(x)),X′ = CoordB′

1

(x) et Y′ = CoordB′

2

(u(x)). On a la

relation Y = A×X = A×PB1,B′1×X′, d’autre part Y′ =PB′

2,B2×Y, d’où finalement Y′ =PB′

2,B2×A×PB1,B′

1×X′,

c’est à dire Y′ =P −1B2,B′

2×A×PB1,B′

1×X′, mais de plus Y′ = A′×X′, l’égalité ayant lieu pour toute colonne X′,

on a : A′ =P −1B2,B′

2×A×PB1,B′

1, on peut donc énoncer :



MO

NTA

IGN

E


Soient B1,B′1 deux bases de E et P =PB1,B′

1la matrice de passage, soient B2,B′

2 deux bases de F etsoit Q =PB2,B′

2la matrice de passage, soit u ∈L (E,F), on pose A = mat

B1,B2

(u), A′ = matB′

1,B′2

(u), on a alors

la relation : A′ = Q−1 ×A×P.

Théorème 22.16 (effet d’un changement de bases sur la matrice d’une application linéaire)

Soient B,B′ deux bases de E et soit P = PB,B′ la matrice de passage, soit u ∈ L (E), si on poseA = mat

B(u) et A′ = mat

B′(u), alors on a la relation : A′ = P−1 ×A×P.

Théorème 22.17 (cas des endomorphismes)

Preuve : Cela découle du théorème précédent, puisque l’on a Q = P.

FExercice 22.9 SoitB= (i , j ) la base canonique deK2 et soit u ∈L (K2) défini par matB

(u) =(

2 −1−1 2

). On pose e1 = (1,1)

et e2 = (1,−1), montrer que B′ = (e1,e2) est une base de K2, et calculer la matrice de u dans la base B′. En déduire

l’expression de un(x, y).

Solution 22.9 La matrice de passage de B à B′ est P =(1 11 −1

), cette matrice est inversible et P−1 = 1

2

(1 11 −1

), on en

déduit que B′ est bien une base deK2 et que matB′ (u) = A′ = P−1 ×A×A =

(1 00 3

). On en déduit que A′n =

(1 00 3n

), on a

alors An = [P×A′×P−1]n = P×A′n ×P−1 ce qui donne : An = 12

(1+3n 1−3n

1−3n 1+3n

), or An = mat

B(un), par conséquent :

∀ (x, y) ∈K2,un(x, y) = 12

((1+3n)x + (1−3n)y ; (1−3n)x + (1+3n)y

).

Soient A,B ∈ Mn(K), on dit que les matrices A et B sont semblables si et seulement si il existe unematrice carrée inversible P ∈ GLn(K) telle que A = P−1 ×B×P.

Définition 22.12

Remarque 22.8 :– Les matrices d’un endomorphisme dans deux bases sont semblables.– Deux matrices sont semblables lorsque ce sont deux matrices d’un même endomorphisme exprimées

dans deux bases (P étant la matrice de passage).– La relation « ..est semblable à .. » est une relation d’équivalence dans Mn(K).

4) Trace d’un endomorphisme

Soient A,B ∈Mn(K), on a la propriété : tr(A×B) = tr(B×A).Théorème 22.18

Preuve : On a tr(A×B) =n∑

i=1[A×B]i ,i =

n∑i=1

(n∑

k=1Ai ,k Bk,i

), ce qui donne tr(A×B) =

n∑k=1

(n∑

i=1Bk,i Ai ,k

)=

n∑k=1

[B× A]k,k =tr(B×A).

Si A ∈Mn(K) et si P ∈ GLn(K), alors tr(A) = tr(P−1 ×A×P).

Théorème 22.19 (conséquence)

Soit E un espace vectoriel de dimension n, soient B et B′ deux bases de E, et soit u ∈ L (E), on noteA = mat

B(u) et A′ = mat

B′(u), on sait alors que A′ = P−1 ×A×P avec P =PB,B′ la matrice de passage, d’après le

théorème précédent, on peut affirmer que tr(A) = tr(A′).



MO

NTA

IGN

E

Rang d’une matrice Chapitre 22 : Matrices

Soit u ∈L (E) et soit B une base de E, on appelle trace de l’endomorphisme u le scalaire noté tr(u) etdéfini par tr(u) = tr(mat

B(u)), ce scalaire est indépendant de la base B choisie.

Définition 22.13

L’application trace, tr : L (E) →K, est une forme linéaire non nulle sur L (E), qui vérifie :∀ u, v ∈L (E), tr(u v) = tr(v u).

Théorème 22.20

Preuve : Soit B une base de E, soit A = matB

(u) et B = matB

(v), on a par définition, tr(u+v) = tr(matB

(u+v)) = tr(matB

(u))+tr(mat

B(v)) = tr(u)+ tr(v). De la même façon, on montre que tr(λu) = λtr(u) avec λ ∈K. On a donc une forme linéaire

sur L (E), celle-ci est non nulle, car tr(idE) = tr(In) = n = dim(E)> 1. D’autre part : tr(u v) = tr(matB

(u)×matB

(v)) =tr(mat

B(v)×mat

B(u)) = tr(mat

B(v u)) = tr(v u).

FExercice 22.10 Soit E un espace vectoriel de dimension n, et soit p ∈L (E) un projecteur, montrer que tr(p) = rg(p).

Solution 22.10 r = rg(p), on a E = Im(p)⊕ ker(p), soit (e1, . . . ,er ) une base de Im(p) et soit (er+1, . . . ,en) une base

de ker(p), alors B = (e1, . . . ,en) est une base de E et il est clair que matB

(p) = Jn,n,r (car Im(p) = ker(p − idE)), d’où

tr(p) = tr(Jn,n,r ) = r = rg(p).

V RANG D’UNE MATRICE

1) Définition

Soit A ∈Mn,p (K) une matrice, on appelle rang de la matrice A, le rang dansKn du système constituépar ses p vecteurs colonnes, notation : rg(A) = rg(C1(A), . . . ,Cp (A)).

Définition 22.14

Soit u ∈L (E,F), soit B une base de E, soit B′ une base de F, et soit A = matB,B′

(u), alors rg(u) = rg(A).

Théorème 22.21

Preuve : Soit B = (e1, . . . ,ep ),B′ = (e ′1, . . . ,e ′n) et soit B′′ = (e ′′1 , . . . ,e ′′n) la base canonique de Kn . Soit v ∈ L (F,Kn)défini par ∀ i ∈ J1;nK , v(e ′i ) = e ′′i , alors v est bijective (transforme une base en une base), donc rg(u) = rg(v u) =rg(v(u(e1)), . . . , v(u(ep ))) ; or v(u(e j )) =

n∑k=1

Ak, j e ′′j = C j (A), donc rg(u) = rg(A) d’après la définition précédente.

Soit E un espace vectoriel de dimension n, soit S = (x1, . . . , xp ) une famille de p vecteurs de E et soit Bune base de E, alors le rang de la famille S est égal au rang de la matrice de ce système dans la baseB.

Théorème 22.22 (conséquence)

Preuve : Posons B= (e1, . . . ,en), soit B′ = (e ′1, . . . ,e ′p ) la base canonique deKp , soit u ∈L (Kp ,E) l’application linéairedéfinie par : ∀ i ∈ J1; pK ,u(e ′i ) = xi , alors A = mat

B′,B(u) est la matrice du système S dans la base B, or rg(A) = rg(u) =

rg(x1, . . . , xp ), ce qui donne le résultat.

Calculer le rang d’une application linéaire, ou d’une famille de vecteurs, revient à calculer le rang d’unematrice.



MO

NTA

IGN

E

Opérations élémentaires sur les matrices Chapitre 22 : Matrices

2) Propriétés du rang d’une matrice

Les propriétés suivantes découlent de celles du rang des applications linéaires.

a) Soit f ∈L (E,F), soit B une base de E avec dim(E) = p, soit B′ une base de F avec dim(F) = n, et soitA = mat

B,B′( f ) ∈Mn,p (K), on a :

i) rg(A)6min(n, p).

ii) rg(A) = n ⇐⇒ f est surjective.

iii) rg(A) = p ⇐⇒ f est injective.

b) Si A ∈Mn(K), alors A ∈ GLn(K) ⇐⇒ rg(A) = n.

c) Si A ∈Mn,p (K),B ∈Mp,q (K), alors rg(A×B)6min(rg(A),rg(B)).

d) Si A ∈ GLn(K),B ∈Mn,p (K), alors rg(A×B) = rg(B).

e) Si A ∈Mn,p (K),B ∈ GLp (K), alors rg(A×B) = rg(A).

Soit A ∈Mn,p (K), alors : rg(A) = r ⇐⇒∃ U ∈ GLn(K),∃ V ∈ GLp (K),UAV = Jn,p,r .Théorème 22.23

Preuve : Si U et V existent alors rg(A) = rg(UAV) = rg(Jn,p,r ) = r.Réciproquement, si rg(A) = r , soit B la base canonique de Kp , soit B1 la base canonique de Kn , et soit u ∈

L (Kp ,Kn) défini par matB,B1

(u) = A (u est l’application linéaire canoniquement associée à A), on a rg(u) = rg(A) = r , on

sait alors qu’il existe une base B′ deKp et une base B′1 deKn telles que mat

B′,B′1

(u) = Jn,p,r , soit P =PB,B′ et Q =PB1,B′1,

d’après les formules de changement de bases, on a Jn,p,r = Q−1 ×A×P, ce qui termine la preuve, en prenant U = Q−1 etV = P.

FExercice 22.11 Montrer qu’une matrice A ∈Mn,p (K) et sa transposée ont le même rang.

Solution 22.11 Il existe U ∈ GLn(K),V ∈ GLp (K) telles que UAV = Jn,p,r avec r = rg(A). On a alors tVtAtU = tJn,p,r = Jp,n,r ,

ce qui donne le résultat.

VI OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES MATRICES

1) Définition

Soit A ∈Mn,p (K), on appelle opérations élémentaires sur A les opérations suivantes :– Permuter deux lignes de A (ou deux colonnes), notation : Li ↔ L j (respectivement Ci ↔ C j ).– Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation : Li ← αLi (respectivement

Ci ← αCi ).– Ajouter à une ligne (ou une colonne) un multiple d’une autre ligne (respectivement une autre

colonne), notation : Li ← Li +αL j , avec i 6= j (respectivement Ci ← Ci +αC j )).

Définition 22.15

Effectuer une opération élémentaire sur une matrice A ∈ Mn,p (K) revient à multiplier A à gauchepar une matrice inversible pour les opérations sur les lignes (à droite pour une opération sur lescolonnes).

Théorème 22.24



MO

NTA

IGN

E


Preuve : On désigne par Li (A) la ligne i de A sous forme d’une matrice ligne.Pour l’opération Li ↔ L j (avec i 6= j ) : soit Pi j ∈ Mn(K) la matrice obtenue en effectuant cette opération sur la

matrice In , alors Pi j ×A est la matrice que l’on obtient en effectuant l’opération Li ↔ L j dans A, en effet : si k ∉ i , j ,alors Lk (Pi j ×A) = Lk (Pi j )×A = Lk (In)×A = Lk (A), si k = i , alors Li (Pi j ×A) = Li (Pi j )×A = L j (In)×A = L j (A), demême L j (Pi j ×A) =Li (A). De plus, par définition même, Pi j ×Pi j = In , donc Pi j est inversible et P−1

i j = Pi j .

Pour l’opération Li ← αLi , avec α ∈K∗ : soit Di (α) ∈Mn(K) la matrice obtenue en effectuant cette opération surIn , alors Di (α)×A est la matrice que l’on obtient en effectuant cette même opération sur A, en effet : si k 6= i , alorsLk (Di (α)×A) =Lk (Di (α))×A =Lk (In)×A =Lk (A), et Li (Di (α)×A) =Li (Di (α))×A = α.Li (In)×A = α.Li (A). De plus, ilest clair que Di (α)×Di (1/α) = In , donc cette matrice est inversible et Di (α)−1 = Di (1/α).

Pour l’opération Li ← Li +αL j , avec i 6= j et α ∈K : soit Ti j (α) ∈ Mn(K) la matrice obtenue en effectuant cetteopération sur In , alors Ti j (α)×A est la matrice que l’on obtient en effectuant cette même opération sur A, en effet : sik 6= i , Lk (Ti j (α)×A) =Lk (Ti j (α))×A =Lk (In)×A =Lk (A), et Li (Ti j (α)×A) =Li (Ti j (α))×A = (Li (In)+αL j (In))×A =Li (In)×A+α.L j (In)×A =Li (A)+α.L j (A). De plus, il est clair que Ti j (α)×Ti j (−α) = In , donc cette matrice est inversibleet Ti j (α)−1 = Ti j (−α).

Les opérations élémentaires conservent le rang de la matrice.Théorème 22.25

Preuve : Découle directement des propriétés du rang et du théorème précédent.

2) Calcul pratique du rang d’une matrice

Soient A,B ∈ Mn,p (K), on dit que A et B sont équivalentes lorqu’il existe Q ∈ GLn(K) et O ∈ GLp (K)telles que B = QAP.

Définition 22.16

Remarque 22.9 –– On définit ainsi une relation d’équivalence dans Mn,p (K).– Deux matrices équivalentes ont le même rang.– Une opération élémentaire donne une matrice équivalente.– Deux matrices carrées semblables sont équivalentes.– A ∈Mn,p (K) a un rang égal à r si et seulement si A est équivalente à Jn,p,r .

Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.Théorème 22.26


Si A ∈ Mn,p (K) est équivalente à B =

p1 ∗ ·· · ∗ · · · ∗0

. . .. . .

... · · · ......

. . . pr ∗ ·· · ∗... 0 0 · · · 0...

...... · · · ...

0 · · · 0 0 · · · 0

, avec p1 × ·· · × pr 6= 0, alors

rg(A) = r .

Théorème 22.27



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E


Preuve : Le rang de B est le rang de ses vecteurs lignes, d’où rg(B) = rg(l1(B), . . . , lr (B)) = r , or A est équivalente à B doncrg(A) = rg(B) = r .

La méthodeCelle-ci consiste à transformer la matrice A en la matrice B ci-dessus à l’aide des opérations élémentaires

sur les lignes ou les colonnes (méthode de Gauss), à chaque étape, la matrice obtenue a le même rang que A,plus précisément, à chaque étape la nouvelle matrice s’écrit sous la forme Uk ×A×Vk avec Uk ,Vk inversibles.À l’étape no k, le principe est le suivant :

a) On choisit un pivot (i.e. un coefficient non nul) dans les lignes Lk à Ln et dans les colonnes Ck à Cp .

b) On amène le pivot à sa place, c’est à dire sur la ligne Lk dans la colonne Ck en échangeant éventuelle-ment deux lignes et/ou deux colonnes.

c) On fait des éliminations en dessous du pivot pour faire apparaître des 0, avec les opérations du type :Li ← Li +αLk .

ZExemple : Soit A = 3 1 1

1 0 2−1 2 −12

Étape 1 : premier pivot : 1 (ligne L1 colonne C2)

C1 ↔ C2 donne

1 3 10 1 22 −1 −12

,L3 ← L3 −2L1 donne

1 3 10 1 20 −7 −14

.

Étape 2 : deuxième pivot : 1 (ligne L2 colonne C2)

L3 ← L3 +7L2 donne

1 3 10 1 20 0 0

.

Étape 3 : pas de troisième pivot.Donc rg(A) = 2.

FExercice 22.12 Avec la matrice A précédente, déduire de la méthode deux matrices inversibles U et V telles que

UAV = J3,3,2.

Solution 22.12 On transforme la matrice obtonue précédemment en J3,3,2 :

C2 ← C2 −3C1,C3 ← C3 −C1 donnent

1 0 00 1 20 0 0

,C3 ← C3 −2C2 donne

1 0 00 1 00 0 0

.

On a obtient la matrice U en effectuant sur lignes de I3 les mêmes opérations que sur les lignes de A (dans le mêmeordre), et la matrice V en effectuant sur colonnes de I3, les mêmes opérations sur les colonnes de A (dans le mêmeordre) :

U = 1 0 0

0 1 0−2 7 1

et V =0 1 −2

1 −3 50 0 1

ZExemple : (Variante) Il peut être parfois avantageux de n’effectuer que des transformations sur les colonnes,

les éliminations se font alors à droite du pivot avec les opérations du type Ci ← Ci +αCk (à l’étape k). Voiciquel peut être l’intérêt :

Soit B= (i , j ,k) une base de E et soit u ∈L (E) défini par matB

(u) = A (la matrice précédente), calculons le

rang de A (donc le rang de u) en utilisant la variante :Étape 1 : premier pivot 1 (ligne L1 colonne C2)

C1 ↔ C2 donne

1 3 10 1 22 −1 −12

C2 ← C2 −3C1 donne

1 0 10 1 22 −7 −12

,C3 ← C3 −C1 donne

1 0 00 1 22 −7 −14

.



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E


Étape 2 : deuxième pivot 1 (ligne L2 colonne C2)

C3 ← C3 −2C2 donne

1 0 00 1 02 −7 0

À l’étape 1, la première matrice obtenue est celle du système (u( j ),u(i ),u(k)), la deuxième est la matrice

du système (u( j ),u(i −3 j ),u(k)) et la troisième est celle du système (u( j ),u(i −3 j ),u(k− j )). À la fin de l’étape2 on a la matrice du système (u( j ),u(i −3 j ),u(−2i +5 j +k)), on en déduit que non seulement le rang de uest égal à 2, mais en plus ker(u) = Vect

[−2i +5 j +k]

et Im(u) = Vect[u( j ),u(i −3 j )

]= Vect[u( j ),u(i )

].

3) Calcul pratique de l’inverse d’une matrice

Soit A ∈Mn(K), supposons qu’en r opérations sur les lignes de A on obtienne la matrice In , on a alorsune relation du type Gr ×·· ·×G1×A = In , où Gi est la matrice correspondant à l’opération numéro i . On peutalors en déduire que la matrice A est inversible et que son inverse est A−1 = Gr ×·· ·×G1, pour obtenir cettematrice, il suffit d’effectuer les mêmes opérations (dans le même ordre) sur la matrice In en même tempsque sur A. La méthode consiste donc à écrire la matrice A suivie de la matrice In :

A In

a1,1 · · · a1,n 1 O...

.... . .

an,1 · · · an,n O 1

Les opérations sont effectuées sur toute la longueur de chaque ligne. L’objectif est d’obtenir la matrice In

à la place de A, alors on pourra conclure que A est inversible, et là où il y avait In on aura A−1, on utilise laméthode de Gauss-Jordan 1 :

À l’étape k :– On choisit un pivot (i.e. un coefficient non nul) dans les lignes Lk . . .Ln et dans la colonne Ck .– On amène le pivot à sa place : ligne Lk (en échangeant éventuellement deux lignes).– On fait les éliminations (pour faire apparaître des zéros) en dessous et au-dessus du pivot avec les

opérations : Li ← Li +αLk .Il y a donc au plus n étapes.

Il y a deux cas possibles au cours du processus :– Si à chaque étape on peut trouver un pivot, alors après l’étape n, il ne reste plus qu’à diviser chaque

ligne par le pivot correspondant pour obtenir la matrice In : c’est le cas où la matrice A est inversible.– Si au cours de l’étape k on ne peut pas trouver de pivot dans la colonne Ck et dans les lignes Lk . . .Ln ,

alors on est dans la situation suivante, à l’issue de l’étape k −1 :p1 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ·· · · · · ∗0

. . . 0...

......

......

... pk−1 ∗ ∗ ∗ ......

... 0 0 ∗ ∗ ......

......

......

......

...0 · · · 0 0 ∗ ∗ ∗ ·· · · · · ∗

p1, . . . , pk−1 désignent les pivots des k −1 étapes précédentes, ces pivots étant non nuls, il est facilede voir qu’avec des opérations sur les colonnes, on peut faire apparaître des zéros dans la colonne ksur les lignes L1 . . .Lk−1, sans changer les coefficients des lignes Lk . . .Ln de cette même colonne. Lamatrice ainsi obtenue possède une colonne nulle, donc son rang est inférieur ou égal à n −1, or cettematrice a le même rang que A, donc nous sommes dans le cas où A est non inversible.

ZExemple : Soit A =2 4 2

0 1 12 2 −1

, appliquons la méthode de Gauss-Jordan :2 4 2 1 0 00 1 1 0 1 02 2 -1 0 0 1

.

1. JORDAN Camille (1838 – 1922) : mathématicien français dont l’œuvre considérable touche tous les domaines des mathéma-tiques.



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E


Étape 1 : pivot p1 = 1, ligne L1 colonne C1, éliminations : L3 ← L3 −L1, ce qui donne :

2 4 2 1 0 00 1 1 0 1 00 −2 −3 −1 0 1

Étape 2 : pivot p2 = 1, ligne L2, colonne C2, éliminations : L1 ← L1 −4L2 et L3 ← L3 +2L2, ce qui donne :

2 0 −2 1 −4 00 1 1 0 1 00 0 −1 −1 2 1

Étape 3 : pivot p3 =−1, ligne L3, colonne C3, éliminations : L1 ← L1 −2L3 et L2 ← L2 +L3, ce qui donne :

2 0 0 3 −8 −20 1 0 −1 3 10 0 −1 −1 2 1

En conclusion, la matrice A est inversible et son inverse est : A−1 =3/2 −4 −1−1 3 11 −2 −1

.



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EChapitre 23

Dénombrement

SommaireI Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

1) Rappels : injections, surjections, bijections, permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2) Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

3) Propriétés du cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

II Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

1) Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

2) Le nombre d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

3) Le nombre de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4) Le nombre de bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5) Le nombre de p-parties (ou p-combinaisons) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

I CARDINAL D’UN ENSEMBLE FINI

1) Rappels : injections, surjections, bijections, permutations

a) La composée de deux injections (respectivement surjections) est une injection (respectivement surjec-tion).

b) Si f : E → F est injective, alors f induit une bijection de E sur Im( f ).

c) Si f g est injective, alors g est injective.

d) Si f g est surjective, alors f est surjective.

e) Si f : E → F est une application, alors f induit une surjection de E sur Im( f ).

f) Si f : E → F est surjective, alors il existe une application g : F → E telle que f g = idF.

Soit E un ensemble, on appelle permutation de E toute bijection de E vers E. L’ensemble des permu-tations de E est noté S (E).

Définition 23.1

Soit E un ensemble non vide, alors (S (E),) est un groupe (non commutatif en général), appelégroupe des permutations de E.

Théorème 23.1

Preuve : Celle - ci est simple et laissée en exercice. On vérifie que l’élément neutre est l’application identité de E : idE, etque le symétrique de f ∈S (E) est la bijection réciproque f −1.

2) Ensembles finis



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E

Cardinal d’un ensemble fini Chapitre 23 : Dénombrement

Soit E un ensemble non vide, on dit que E est fini lorsqu’il existe un entier n ∈N∗ et une bijectionφ : J1;nK→ E. Si c’est le cas, on pose card(E) = n (ou |E| = n ou #(E) = n), sinon on dit que E est unensemble infini. Par convention ; est un ensemble fini de cardinal nul.

Définition 23.2

Remarque 23.1 :– Dire que E est fini de cardinal n > 1 revient à dire que l’on peut indexer les éléments de E de 1 à n :

E = e1, . . . ,en (les éléments étant distincts deux à deux).– Si E est fini de cardinal n +1 et si a ∈ E, alors E \ a est fini de cardinal n.

En effet : soit φ : J1;n +1K→ E une bijection, soit τ la permutation de E qui échange φ(n +1) et a, alorsτφ : J1;n +1K→ E est une bijection qui envoie n +1 en a, elle induit donc une bijection de J1;nK surE \ a.

– Si E est fini de cardinal n et b ∉ E, alors E∪ b est fini de cardinal n +1.

Soit n ∈N∗, toute partie de J1;nK est un ensemble fini de cardinal au plus égal à n. De plus, si F ⊂ J1;nKet si card(F) = n alors F = J1;nK.

Théorème 23.2

Preuve : Par récurrence sur n : pour n = 1 c’est évident. Supposons le théorème établi pour un entier n > 1 et soitF une partie de J1;n +1K. Si n + 1 ∉ F, alors F est une partie de J1;nK donc (hypothèse de récurrence) F est fini etcard(F)6 n < n +1. Si n +1 ∈ F, alors F \ n +1 est une partie de J1;nK, donc F \ n +1 est un ensemble fini de cardinalp 6 n, mais alors F est fini de cardinal p +16 n +1. Supposons maintenant que card(F) = n +1, on a nécessairementn+1 ∈ F, d’où F \ n+1 ⊂ J1;nK et card(F \ n+1) = n, donc F \ n+1 = J1;nK (hypothèse de récurrence) et finalementF = J1;n +1K.

Soient n, p ∈N∗, et soit f : J1;nK→ J1; pK une application :– Si f est injective, alors n6 p.– Si f est surjective, alors n> p.– Si f est bijective, alors n = p.

Théorème 23.3

Preuve : On remarque que la troisième propriété découle des deux précédentes. Montrons la première : on a f : J1;nK→J1; pK une injection, alors f induit une bijection de J1;nK sur Im( f ), donc Im( f ) est fini de cardinal n, or Im( f ) est unepartie de J1; pK, donc Im( f ) est fini de cardinal au plus p, i.e. n6 p.

Montrons la deuxième : f : J1;nK→ J1; pK est surjective, alors il existe une application g : J1; pK→ J1;nK telle quef g = idJ1;pK, donc g est injective et par conséquent p 6 n.

Conséquence : soit E un ensemble fini non vide, il existe un entier n> 1 et une bijection φ : J1;nK→ E, s’ilexiste un autre entier p et une bijection ψ : J1; pK→ E, alors l’application ψ−1 φ est une bijection de J1;nKsur J1; pK, donc n = p. Ce qui prouve l’unicité du nombre card(E) et justifie à posteriori la définition.

Soit n> 1, toute application injective (respectivement surjective) de J1;nK dans J1;nK est bijective.

Théorème 23.4

Preuve : Si f : J1;nK→ J1;nK est injective, alors f induit une bijection de J1;nK sur Im( f ), donc Im( f ) est fini de cardinaln, mais Im( f ) ⊂ J1;nK, donc Im( f ) = J1;nK i.e. f est surjective (et donc bijective).

Supposons maintenant que f est surjective, alors il existe g : J1;nK→ J1;nK telle que f g = idJ1;nK, mais alors g est

injective, donc bijective d’après ce qui précède et f = ( f g ) g−1 composée de bijections, donc f est bijective.

3) Propriétés du cardinal



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E

Cardinal d’un ensemble fini Chapitre 23 : Dénombrement

Soient E et F deux ensembles finis non vides, avec n = card(E) et p = card(F) et soit f : E → F uneapplication :• Si f est injective alors n6 p.• Si f est surjective alors n> p.• Si f est bijective alors n = p.

Théorème 23.5

Preuve : Soient φ1 : J1;nK→ E et φ2 : J1; pK→ F deux bijections. Si f est injective alors φ2 f φ1 est une injection deJ1;nK vers J1; pK, donc n6 p. Le raisonnement est le même pour les deux autres points.

Remarque 23.2 – Il en découle que si F est en bijection avec E et si E est fini, alors F est fini de même cardinalde E.

Soient E et F deux ensembles finis non vides de même cardinal et soit f : E → F une application, lesassertions suivantes sont équivalentes :

a) f est injective.

b) f est surjective.

c) f est bijective.

Théorème 23.6

Preuve : Soient φ : J1;nK→ E et ψ : J1;nK→ F deux bijections, alors g =ψ−1 f φ est une application de J1;nK vers lui- même, avec f =ψ g φ−1. Si f est injective, alors g aussi, donc g est bijective et f aussi. Si f est surjective, alors gaussi et donc g est bijective et f aussi.

ZExemple : Soit A un anneau intègre fini, alors A est nécessairement un corps. En effet, soit a un élément nonnul de A, l’application f : A → A définie par f (x) = a ×x est injective (car A est intègre), or A est fini, donc fest bijective, par conséquent il existe a′ ∈ A tel que f (a′) = 1 i.e. a ×a′ = 1. De même il existe a′′ ∈ A tel quea′′×a = 1, mais alors a′′ = a′′× (a ×a′) = (a′′×a)×a′ = a′. Finalement, tout élément non nul de A possèdeun inverse et donc A est un corps.

Si E est un ensemble fini et si F est une partie de E, alors F est fini. De plus, si card(F) = card(E), alorsF = E.

Théorème 23.7

Preuve : On écarte le cas évident où E =;. Soit n = card(E) et φ : J1;nK→ E une bijection. Notons i : F → E définie pari (x) = x, i est une injection donc g =φ−1 i est une injection de F vers J1;nK qui induit donc une bijection de F surIm(g ), or Im(g ) est une partie de J1;nK, donc Im(g ) est un ensemble fini de cardinal p 6 n, par conséquent F est fini decardinal p. Si n = p, alors Im(g ) = J1;nK donc g est une bijection ce qui entraîne que i est une bijection, donc Im(i ) = E,c’est à dire F = E.

Soient E et F deux ensembles finis, l’ensemble E∪F est fini et :card(E∪F) = card(E)+card(F)−card(E∩F)

Théorème 23.8

Preuve : Si l’un des deux est vide, il n’y a rien à démontrer. Supposons E et F non vides, dans un premier temps onenvisage le cas où E∩F =;, soit f : J1;nK→ E et g : J1; pK→ F deux bijections, on considère l’applicationφ : J1;n +pK→E∪F définie par φ(k) = f (k) si 16 k 6 n et φ(k) = g (k −n) si n +16 k 6 n +p, comme E∩F = ; on voit que φ estinjective, d’autre part la surjectivité est évidente, donc φ est bijective, ce qui montre que E∪F est fini de cardinal n +p.

Passons maintenant au cas général : posons I = E∩F, on a E∪F = E∪ (F \ E) et ces deux ensembles sont disjointset finis, donc E∪F est fini et card(E∪F) = card(E)+card(F \ E), d’autre part F = I∪ (F \ E) et ces deux ensembles sontdisjoints et finis, donc card(F) = card(I)+card(F\E), on a donccard(F\E) = card(F)−card(I), ce qui donne la formule.



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E

Dénombrement Chapitre 23 : Dénombrement

Si E et F sont deux ensembles finis, alors l’ensemble E×F est fini et card(E×F) = card(E)×card(F).Théorème 23.9

Preuve : Si l’un des deux est vide, alors E×F est vide et le résultat est évident. Soit n = card(E), si n = 1 alors E = eet l’application f : F → E×F définie par f (x) = (e, x) est une bijection, donc E×F est fini de même cardinal que F, lethéorème est donc vrai pour n = 1.

Supposons le théorème démontré pour un entier n> 1 et supposons card(E) = n +1, on fixe un élément e ∈ E et onpose E′ = E \ e. On a E×F = (e×F)∪ (E′×F), ces deux ensembles sont disjoints et finis (hypothèse de récurrence),donc E×F est fini et card(E×F) = card(e×F)+card(E′×F) = card(F)+card(E′)×card(F) = (n+1)×card(F). Le théorèmeest démontré au rang n +1.

Conséquence : si p ∈N∗, et si E est fini de cardinal n> 1, alors Ep (ensemble des p - uplets d’éléments de E)est fini et card(Ep ) = [card(E)]p .

II DÉNOMBREMENT

1) Préliminaires

Dénombrer un ensemble fini E c’est calculer son cardinal. Dans la pratique, c’est le mettre en bijectionavec un ensemble F dont on connaît le cardinal.

Définition 23.3

La fonction factorielle : elle est définie surN par : n! =

1 si n = 0

1×·· ·×n si n > 0. On peut également en donner

une définition récurrente : 0! = 1 et ∀ n ∈N, (n +1)! = (n +1)×n!.

Soient E un ensemble fini et soient A1, . . . , An n parties de E deux à deux disjointes et dont la réunion

est égale à E, alors : card(E) =n∑

k=1card(Ak ).

Théorème 23.10 (diviser pour mieux compter)

Preuve : Celle - ci est simple, c’est un raisonnement par récurrence sur n, sachant que la formule est vraie pour n = 2.

Application – Si f : E → F est une application et si E est fini, alors :

card(E) = ∑y∈Im( f )

card( f −1(

y))

Dans le cas où les éléments de Im( f ) ont tous le même nombre d’antécédents p, alors card(E) = pcard(Im( f )).

2) Le nombre d’applications

Soit E et F deux ensembles finis avec p = card(E) et n = card(F), l’ensemble des applications de E versF, F (E,F) (ou FE), est fini de cardinal np .

Théorème 23.11

Preuve : Posons E = e1, . . . ,ep , on vérifie que l’application φ : FE → Fp définie par φ( f ) = ( f (e1), . . . , f (ep )) est unebijection. Or Fp est un ensemble fini de cardinal np ce qui donne le résultat.

Remarque 23.3 :– Le théorème justifie le raisonnement suivant : pour construire une application de E vers F on compte

pour chaque élément de E le nombre de choix possibles pour son image (soit n choix), puis on fait leproduit, soit np constructions possibles.

– Le nombre de façons de tirer avec remise p boules parmi n est np .– Le nombre de façons de ranger p boules dans n boites est np .

Complément : lorsque p 6 n, le nombre d’injections de E vers F est n(n −1) · · · (n −p +1).



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E


3) Le nombre de parties d’un ensemble

Soit E un ensemble et A une partie de E, on appelle fonction caractéristique de A l’application

1A : E → 0;1 définie par 1A(x) =

1 si x ∈ A

0 sinon.

Définition 23.4

Si E est fini de cardinal n, alors P (E), l’ensemble des parties de E, est fini de cardinal 2n .Théorème 23.12

Preuve : Il est facile de vérifier que l’application de P (E) vers F (E, 0;1) qui à toute partie de E associe sa fonctioncaractéristique, est une bijection. Or l’ensemble F (E, 0;1) est fini de cardinal 2n ce qui donne le résultat.

Remarque 23.4 – Le théorème justifie le raisonnement suivant : pour construire une partie de E il y a deuxchoix possibles pour chaque élément de E (on le prend ou on ne le prend pas), comme il y a n éléments dans Ecela fait 2n constructions possibles, soit 2n parties.

4) Le nombre de bijections

Si E et de F sont deux ensembles finis de même cardinal n > 0, il y a n! bijections de E vers F. Enparticulier, card(S (E)) = n! (groupe des permutations de E).

Théorème 23.13

Preuve : Lorsque card(E) = card(F) = n, l’ensemble des bijections de E vers F est inclus dans l’ensemble des applications,c’est donc un ensemble fini de cardinal inférieur ou égal à nn . On montre ensuite la formule par récurrence sur n,le résultat étant immédiat pour n = 1, supposons le vrai au rang n −1. Posons F = d1, . . . ,dn, soit e ∈ E fixé, on poseDk =

f ∈ Bij(E,F) / f (e) = dk

pour k ∈ J1;nK. Il est clair que Bij = D1∪. . .∪Dn et que card(Dk ) = card(Bij(E\e,F\dk ),on obtient ainsi que card(Bij(E,F)) = n × (n −1)! = n!.

5) Le nombre de p-parties (ou p-combinaisons)

Soit E un ensemble de cardinal n ∈N et soit p ∈N, on appelle p - combinaison d’éléments de E (ou p- partie) toute partie de E de cardinal p. L’ensemble des p - parties de E est noté Pp (E).

Définition 23.5

Remarque 23.5 – Pp (E) est un ensemble fini car il est inclus dans P (E), et son cardinal est majoré par 2n .

Cas particuliers :

a) Si p = 0 la seule partie de E à 0 élément est ;, donc card(P0(E)) = 1.

b) Si p = n, la seule partie de E à n éléments est E, donc card(Pn(E)) = 1.

c) Si p > n il n’y a aucune partie de E à p éléments donc dans ce cas, card(Pp (E)) = 0.

Si n, p ∈N, alors card(Pp (E)) =∏p−1

k=0 (n−k)p ! = (n

p

)(avec la convention que le produit vaut 1 lorsque p = 0,

et que(n

p

)= 0 si p > n).

Théorème 23.14



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IGN

E


Preuve : Par récurrence sur n : pour n = 0 et n = 1, la vérification est immédiate.Supposons le théorème vrai pour un entier n > 1 et supposons card(E) = n + 1, si p = 0 la formule est vraie,

supposons p > 1, on fixe un élément a ∈ E, soit A l’ensemble des p - parties de E contenant a et B l’ensembledes p - parties de E ne contenant pas a, alors Pp (E) = A∪B et A∩B = ;, donc card(Pp (E)) = card(A)+ card(B),

or card(B) =∏p−1

k=0 (n−k)

p ! (car B est en bijection avec Pp (E \ a)) et card(A) =∏p−2

k=0 (n−k)

(p−1)! (car A est en bijection avecPp−1(E \ a)), d’où :

card(Pp (E)) = n ×·· ·× (n −p +1)

p !+ n ×·· ·× (n −p +2)

(p −1)!

= n ×·· · (n −p +2)[n −p +1+p]

p !

= (n +1)n ×·· · (n +1−p +1)

p !

la formule est donc vraie au rang n +1.

FExercice 23.1 À l’aide d’un raisonnement de dénombrement, retrouver sans calcul les propriétés suivantes :

1/ Si p 6 n,(n

p

)= ( nn−p

).

2/ Si 06 p 6 n −1,(n

p

)+ ( np+1

)= (n+1p+1

).

3/ Binôme de Newton : ∀ n ∈N,∀ x, y ∈C, (x + y)n =n∑

k=0

(nk

)xk yn−k =

n∑k=0

(nk

)xn−k yk .

4/ Si 16 p 6 n,(n

p

)= n

p

(n−1p−1

).

Solution 23.1

1/ L’application de f : Pp (E) →Pn−p (E) définie par f (A) = A (complémentaire de A dans E) est bijective.

2/ Pour compter le nombre de (p +1)-parties de J1;n +1K, on compte celles qui contiennent n +1 (il y en a(n

p

)) et

celles qui ne contiennent pas n +1 (il y en a( n

p+1

)).

3/ Lorsqu’on développe (x + y)n = (x + y)×·· ·× (x + y) on obtient une somme de termes f1 ×·· ·× fn où fi provientdu facteur numéro i , on a fi = x ou y , par conséquent on a une somme de termes du type xk yn−k avec k ∈ J0;nK,et chacun de ces termes est obtenu

(nk

)fois (k facteurs parmi n égaux à x et les autres égaux à y).

4/ Considérons un ensemble constitué de p boules rouges et n −p bleues. Le nombre de façons de ranger ces nboules dans n boites (une par boite) est :

(np

)(p boites parmi n pour les rouges, celles qui restent sont pour les

bleues), imaginons que pour chacun de ces rangements on peint une des boules rouges en blanc, on obtientalors p

(np

)façons de ranger n boules dont 1 blanche, p −1 rouges et n −p bleues, c’est à dire n

(n−1p−1

)(une boite

pour la blanche, p −1 pour les rouges, celles qui restent pour les bleues).



MO

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IGN

EChapitre 24

Probabilités sur un univers fini

SommaireI Univers finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

1) Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

2) Évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

II Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

1) Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

2) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

3) Probabilité des événements élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

III Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

2) Probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

3) Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4) Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

IV Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

1) Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

2) Indépendance d’une famille d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Le calcul des probabilités est la branche des mathématiques qui modélise les phénomènes aléatoires 1.

I UNIVERS FINIS

1) Expérience aléatoire

Une expérience est dite aléatoire lorsque l’issue ne peut pas être prédite avec certitude (on parle aussid’épreuve aléatoire). On considère qu’à une expérience aléatoire correspond un ensemble contenanttous les résultats possibles, cet ensemble est appelé univers et noté Ω.

Définition 24.1

Remarque 24.1 – On ne donne pas de définition mathématique du terme expérience. Par contre, l’univers Ωassocié à une expérience aléatoire, est un ensemble au sens mathématique du terme, sa détermination résulted’une modélisation de l’expérience (avec éventuellement des choix simplificateurs).

ZExemples :– Expérience : on lance un dé, on note le numéro de la face supérieure.

Univers : Ω= J1;6K.– Expérience : on lance trois dés distincts, on note les trois numéros de la face supérieure.

Univers : Ω= J1;6K3, ensemble des triplets de nombres entre 1 et 6.– Expérience : on prélève trois cartes d’un jeu de 32.

Univers : Ω est l’ensemble des parties à 3 éléments de l’ensemble des 32 cartes.

1. Andreï Kolmogorov (25 avril 1903 – 20 octobre 1987) : mathématicien russe, fondateur de la théorie des probabilités dans lesannées 30.



MO

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E

Espaces probabilisés Chapitre 24 : Probabilités sur un univers fini

– Expérience : on lance un pièce n fois.Univers : Ω= P,Fn avec P pour pile et F pour face.

Conformément au programme on se limitera au cas où Ω est un ensemble non vide et fini.

2) Évènements

On considère une expérience dont l’univers est Ω (fini).• Les éléments de Ω sont appelés les possibles (ou éventualités), en général notés avec une lettreminuscule : Ω= ω1, . . . ,ωn.• On appelle événement toute partie de Ω. Un singleton est appelé événement élémentaire. L’en-semble des événements est donc P (Ω).• L’ensemble vide est appelé événement impossible et Ω et appelé événement certain.• Si A est un événement, on appelle événement contraire l’événement A (parfois noté Ac , c’est lecomplémentaire de A dans Ω).• On dit que l’événement A implique (ou entraîne) l’événement B lorsque A ⊂ B.

Définition 24.2

ZExemple : Expérience : lancer un dé. Univers Ω= J1;6K. Les événements élémentaires sont 1, 2, 3, 4,5, 6. L’événement « obtenir un chiffre pair » est représenté par A = 2,4,6, l’événement « obtenir un chiffreimpair » est l’événement contraire, représenté par Ac = 1,3,5. L’événement « obtenir le chiffre 1 » impliquel’événement « obtenir un chiffre impair ».

On considère une expérience dont l’univers est Ω (fini). Soient A et B eux événements.• L’événement « A ou B » est représenté par la réunion A∪B.• L’événement « A et B » est représenté par l’intersection A∩B (conjonction des événements).• On dira que ces deux événement sont incompatibles (ou disjoints) lorsque A∩B =;.

Définition 24.3 (Opérations sur les événements)

ZExemple : Tout événement est incompatible avec l’événement contraire.

On considère une expérience dont l’univers est Ω (fini). Soit (Ai )i∈J1;nK une famille d’événements, ondit que cette famille est un système complet d’événements lorsque :• les événements sont deux à deux incompatibles : ∀(i , j ) ∈ J1;nK2 , i 6= j =⇒ Ai ∩A j =;.

• la réunion des ces événements est l’événement certain :n⋃

i=1Ai =Ω.

Définition 24.4 (Système complet d’événements)

Remarque 24.2 – On retrouve une partie de la définition de partition, la différence est qu’on ne demande pasà ce que les événements Ai soient non vides.

ZExemples :– Si A est un événement alors

A; Ac

est un système complet d’événements.

– La famille des événements élémentaires, (ω)ω∈Ω, est un système complet d’événements.

II ESPACES PROBABILISÉS

Une fois l’expérience clairement définie et son univers déterminé, on cherche à définir le pourcentage dechance de réalisation des événements. L’approche statistique consiste à répéter n fois l’expérience et calculerla fréquence de réalisation de chaque événement A : fn(A) = nombre de réalisations de A

n . La fréquence apparaîtalors comme une application de P (Ω) vers [0;1] qui vérifie fn(Ω) = 1 et fn(A∪B) = fn(A)+ fn(B) lorsque A etB sont incompatibles (il en découle qu’il suffit de connaître la fréquence de chaque événement élémentaire).C’est cette approche qui est à l’origine de la définition suivante.



MO

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IGN

E

Espaces probabilisés Chapitre 24 : Probabilités sur un univers fini

1) Probabilité

Soit Ω un univers fini. On appelle probabilité sur Ω toute application P de P (Ω) vers [0;1] vérifiant :• P(Ω) = 1 ;• P est additive, c’est à dire :

∀ A,B ∈P (Ω), si A et B sont incompatibles, alors P(A∪B) =P(A)+P(B).Le couple (Ω,P) est appelé espace probabilisé.

Définition 24.5

ZExemples :

– SiΩ= ω1, . . . ,ωn, alors en posantP(ωi ) =

1 si i = 1

0 sinonavec l’hypothèse queP est additive, on définit

une probabilité sur Ω (dans cet exemple, ω1 est une issue certaine).– Si Ω = ω1, . . . ,ωn, alors en posant P(ωi ) = 1

n avec l’hypothèse que P est additive, on définit uneprobabilité sur Ω.

Il n’y a pas unicité de la probabilité sur un univers fini, le choix de celle-ci fait partie de la modélisation del’expérience et résulte souvent d’une hypothèse (par exemple : toutes les issues sont équiprobables).

Attention!

2) Propriétés

Soit (Ω,P) un espace probabilisé, et soient A et B deux événements :• P(;) = 0 ;• P(Ac ) = 1−P(A) ;• si A ⊂ B alors P(A)6P(B) (on dit que P est croissante) et P(B \ A) =P(B)−P(A) ;• P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B) ;• pour toute famille (Ai )i∈J1;nK d’événements incompatibles deux à deux :

P(A1 ∪·· ·∪An) =n∑

i=1P(Ai ).

Théorème 24.1

Preuve :• On a 1 =P(Ω) =P(Ω∪;) =P(Ω)+P(;) = 1+P(;), d’où le résultat.• On a 1 =P(Ω) =P(A∪Ac ) =P(A)+P(Ac ), d’où le résultat.• On a P(B) =P(A∪B \ A) =P(A)+P(B \ A)>P(A) car une probabilité est positive. Les deux résultats en découlent.• On a P(B) =P([A∩B]∪B \ A) =P(A∩B)+P(B \ A), d’où P(B \ A) =P(B)−P(A∩B), puis on a P(A∪B) =P(A)+P(B \ A),le résultat en découle.• récurrence sur n.

FExercice 24.1 (Inégalité de Boole)

Montrer que toute famille d’événements A1, . . . , An on a P(A1 ∪·· ·∪An)6n∑

i=1P(Ai ).

Solution 24.1 Pour n = 2 : P(A1 ∪A2) =P(A1)+P(A2)−P(A1 ∩A2)6P(A1)+P(A2). On termine ensuite par récurrence

sur n.

Soit (Ai )1∈J1;nK un système complet d’événements, on a :

•n∑

i=1P(Ai ) = 1 ;

• Pour tout événement B : P(B) =n∑

i=1P(B∩Ai ).

Théorème 24.2



MONTA

IGNEProbabilités conditionnelles Chapitre 24 : Probabilités sur un univers fini

Preuve : Les événements de la famille sont incompatibles deux à deux et leur réunion donne Ω, donc 1 = P(Ω) =P(A1 ∪·· ·∪An) =

n∑i=1

P(Ai ).

B = B∩Ω= B∩ (A1 ∪·· ·∪An) = (B∩A1)∪·· ·∪ (B∩An) et ces événements sont incompatibles deux à deux, d’où

P(B) =n∑

i=1P(B∩Ai ).

3) Probabilité des événements élémentaires

Une probabilité P sur un univers fini Ω est entièrement déterminée par la connaissance des probabilitésdes événements élémentaires.

Soit Ω= ω1, . . . ,ωn un univers fini.

• Soit P une probabilité sur Ω et soit pi =P(ωi ), on a alors : ∀i ∈ J1;nK, pi > 0, etn∑

i=1pi = 1.

• Réciproquement, si (pi )i∈J1;nK est une famille de réels positifs et de somme égale à 1, alors ilexiste une probabilité P sur Ω telle que ∀i ∈ J1;nK, P(ωi ) = pi . Pour tout événement A, on a alorsP(A) = ∑

ωi∈Api .

Théorème 24.3


FExercice 24.2 On lance un dé truqué à 6 faces, la probabilité d’obtenir la face k est proportionnelle à k. Quelle est la

probabilité d’obtenir un chiffre pair ?

Solution 24.2 On a P(k) = ak avec k une constante positive, or6∑

k=1P(k) = 1, on en déduit que a = 1

1+2+3+4+5+6 = 121 ,

la probabilité demandée est P(2,4,6) = a(2+4+6) = 1221 = 4

7 .

Sur tout univers fini Ω, il existe une unique probabilité P qui prend la même valeur sur chaqueévénement élémentaire (on parle d’événements équiprobables). Elle est définie par ∀ω ∈Ω, P(ω) =

1card(Ω) , on l’appelle probabilité uniforme sur Ω, et pour tout événement A on a P(A) = card(A)

card(Ω) .

Théorème 24.4

Preuve : Il suffit de vérifier que la valeur commune est un réel positif, et que∑ω∈Ω

1card(Ω) = 1. On a alorsP(A) = ∑

ω∈AP(ω) =∑

ω∈A

1card(Ω) = card(A)

card(Ω) .

Remarque 24.3 – La formule P(A) = card(A)card(Ω) s’énonce parfois « nombre de cas favorables sur nombre de cas

possibles », dans ce cadre, calculer des probabilités se ramène à des calculs de dénombrement.FExercice 24.3

1/ On lance six fois un dé non truqué. Quelle est la probabilité d’obtenir une fois chaque numéro ?

2/ On prélève cinq cartes au hasard dans un jeu de 52. Quelle est la probabilité d’avoir une paire?

3/ On distribue 52 cartes à 4 joueurs (13 par joueur). Quelle est la probabilité que chacun reçoive un as ?

Solution 24.3

1/ Ω= J1;6K6, les issues sont considérées équiprobables. L’événement cherché est l’ensemble 6-listes contenantune et une seule fois chaque chiffre, par conséquent card(A) = 6! et P(A) = 6!

66 ≈ 0,015.

2/ Ω est l’ensemble des 5-parties de l’ensemble des cartes. Dénombrons l’événement contraire (aucune paire), ilfaut donc 5 hauteurs de cartes différentes et pour chacune des hauteurs il faut choisir une carte parmi 4 ce qui

donne(13

5

)45 mains dans cet événement, d’où la probabilité cherchée 1−

(135

)45(52

5

) ≈ 0,49.

3/ La probabilité cherchée est4(48

12

)×3(36

12

)×2(24

12

)×1(12

12

)(5213

)(3913

)(2613

) = 4!134

52·51·50·49 ≈ 0,105.

III PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Soit (Ω,P) un univers fini muni de la probabilité uniforme (par exemple), soit A un événement dont onsait qu’il est réalisé, un événement B est réalisé si et seulement si A∩B est réalisé, donc la probabilité de Bsachant que A est réalisé est card(A∩B)

card(A) = card(A∩B)/card(Ω)card(A)/card(Ω) = P(A∩B)

P(A) .



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IGN

E

Probabilités conditionnelles Chapitre 24 : Probabilités sur un univers fini

1) Définition

Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini et A un événement tel que P(A) 6= 0. Pour tout événement B onappelle probabilité de B sachant A le réel noté PA(B) est défini par PA(B) = P(A∩B)

P(A) .

Définition 24.6

Si A est un événement tel que P(A) 6= 0, alors l’application PA : P (Ω) →R définie par PA(B) = P(A∩B)P(A)

est une probabilité sur Ω, appelée probabilité conditionnelle sachant A.

Théorème 24.5 (probabilité conditionnelle)


On veillera à ne pas confondre PA(B) et P(A∩B).

Attention!

Remarque 24.4 –– Dans certains ouvrages la probabilité conditionnelle PA(B) est notée P(B | A), mais nous éviterons cette

notation qui pourrait laisser croire que B | A est un événement.– Comme PA est une probabilité, on a en particulier PA(Bc ) = 1−PA(B).

FExercice 24.4 Une famille a deux enfants, chaque enfant a une chance sur deux d’être une fille.

1/ Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles sachant que l’aînée est une fille?

2/ Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles sachant qu’il y a au moins fille ?

Solution 24.4 L’univers est Ω= F,G2 ensemble des couples de lettres F ou G (premier enfant et deuxième enfant).

1/ L’événement « l’aînée est une fille » est A = (F,G), (F,F) et P(A) = 24 = 1

2 . L’événement cherché est B = (F,F) qui

implique A, d’où PA(B) = P(B)P(A) = 1

2 .

2/ L’événement « au moins un enfant est une fille » est A = (F,G); (F,F); (G,F) et P(A) = 34 . L’événement cherché est

B = (F,F) qui implique A, d’où PA(B) = P(B)P(A) = 1

3 .

2) Probabilités composées

La plupart du temps on ne calcule pas PA(B) à partir de P(A∩B) car le plus souvent on connaît PA(B) etP(A) ce qui permet d’en déduire P(A∩B).

Si A et B sont deux événements alors :• P(A∩B) =P(A)×PA(B) si P(A) 6= 0 ;• P(A∩B) =P(B)×PB(A) si P(B) 6= 0.

Théorème 24.6

Preuve : Il suffit de revenir à la définition de probabilité conditionnelle.

FExercice 24.5 Une urne contient 4 boules blanches et 2 noires. On tire une boule, on la remet dans l’urne en ajoutant

une autre boule de la même couleur, puis on procède à un autre tirage. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules

noires?

Solution 24.5 Notons A l’événement « la première boule tirée est noire », et B l’événement « la deuxième boule tirée est

noire ». On cherche à calculer P(A∩B), on a P(A∩B) =P(A)×PA(B) = 26 × 3

7 = 17 .

Soient (Ai )i∈J1;nK une famille d’événements (n> 2) telle que P(A1 ∩·· ·∩An−1) 6= 0, alors :P(A1 ∩·· ·∩An) =P(A1)×PA1 (A2)×PA1∩A2 (A3)×·· ·×PA1∩···∩An−1 (An).

Théorème 24.7 (formules des probabilités composées)



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E


Preuve : Remarquons que toutes les probabilités conditionnelles de la formule sont bien définies car 0 6=P(A1 ∩·· ·∩An−1)6 · · ·6P(A1 ∩A2)6P(A1). La formule se démontre par récurrence sur n, le théorème précédent est le cas n = 2.En appliquant l’hypothèse de récurrence on a :

P(A1 ∩·· ·∩An+1) =P(A1)×PA1 (A2)×PA1∩A2 (A3)×·· ·×PA1∩···∩An−1 (An ∩An+1)

notons B = A1 ∩·· ·∩An−1, alors :

PB(An ∩An+1) = P(B∩An ∩An+1)

P(B)= P(B∩An)×PB∩An (An+1)

P(B)=PB(An)×PB∩An (An+1)

en reportant dans la relation ci-dessus, on obtient la formule au rang n +1.

Remarque 24.5 – Le produit à droite de l’égalité dans le théorème est un produit télescopique.

Cette formule est utile lorsque les événements sont dans un ordre chronologique.

À retenir

FExercice 24.6 Une urne contient n boules : b blanches et r rouges. Soit k ∈ J1;b +1K. On tire des boules successivement

de cette urne sans remise. Quelle est la probabilité qu’une boule rouge apparaisse pour la première fois au ke tirage ?

Solution 24.6 Soit Bi l’événement « au i e tirage la boule est blanche (on définit de même Ri ), on demande :

p(B1 ∩·· ·∩Bk−1 ∩Rk ) = p(B1)pB1 (B2) · · ·pB1∩···Bk−1 (Rk )

= b

n×·· ·× b −k +2

n −k +2× r

n −k +1

= b(b −1) · · · (b −k +2)r

n(n −1) · · · (n −k +1)

FExercice 24.7 Une puce se déplace sur les trois sommets A, B C d’un triangle en partant de A. À chaque instant elle faitun saut : si elle est en A alors elle va en B, si elle est en B alors elle a une chance sur deux d’aller en A et une chance surdeux d’aller en C, si elle est en C elle y reste.

1/ Montrer qu’on ne peut arriver en C qu’à des instants pairs.

2/ Quelle est la probabilité que la puce arrive en C pour la première fois à l’instant 2n ?

Solution 24.7

1/ Pour arriver en C la puce doit venir de B (un saut), pour être en B la puce doit venir de A et pour arriver en A lapuce doit venir de B, donc avant d’arriver en C la puce fait un certain nombre d’aller-retours en A et B, ce quidonne un instant impair pour être en B et donc pair pour être en C.

2/ Soit Ak l’événement « la puce est en A à l’instant k » et Bk l’événement « la puce est en B à l’instant k », on cherchedonc P(B1 ∩A2 ∩·· ·∩B2n−1 ∩C2n), d’après la formule des probabilités composées, c’est :

P(B1 ∩A2 ∩·· ·∩B2n−1) =P(B1)×PB1 (A2)×PB1∩A2 (B3)×·· ·×PB1∩A2∩···∩B2n−1 (C2n)

ce qui donne( 1

2

)n = 12n .

3) Formule des probabilités totales

Soit (A1, . . . , An) un système complet d’événements sur un espace probabilisé fini (Ω,P), on a déjà vu

que pour tout événement B, on a P(B) =n∑

k=1P(B∩Ak ), or nous savons que P(B∩Ak ) =P(Ak )PAk (B) lorsque

P(Ak ) 6= 0. Nous pouvons donc énoncer :

Soit (A1, . . . , An) un système complet d’événements sur un espace probabilisé fini (Ω,P), tous deprobabilité non nulle, alors pour tout événement B on a :

P(B) =n∑

k=1P(Ak )PAk (B).

Théorème 24.8 (formule des probabilités totales)



MO

NTA

IGN

E


FExercice 24.8 Le fonctionnement d’un appareil est régi par la règle suivante :– s’il fonctionne à l’instant tn alors il a la probabilité a ∈]0;1[ de fonctionner à l’instant tn+1 ;– s’il est en panne à l’instant tn alors il a la probabilité b ∈]0;1[ d’être en panne à l’instant tn+1.

Il est en état de marche à l’instant 0. Déterminer la probabilité pn qu’il soit en état de marche à l’instant tn .

Solution 24.8 Soit Mn l’événement correspondant, alors (Mn ,Mcn) est un système complet d’événements donc

pn+1 =P(Mn)PMn (Mn+1)+P(Mcn)PMc

n(Mn+1) = pn a + (1−pn)(1−b) = (a +b −1)pn +1−b, on a une suite arithmético-

géométrique, une solution constante est ` = 1−b2−a−b et la suite (pn − `) est géométrique de raison a + b − 1, d’où

pn = (a + b − 1)n(p0 − `)+ ` avec p0 = 1, ce qui donne pn = 1−b+(a+b−1)n (1−a)2−a−b . On voit que lorsque |a + b − 1| < 1,

cette suite tend vers 1−b2−a−b .

Remarque 24.6 – Lorsque le système complet comporte peu d’événements, on peut illustrer la formule desprobabilités totales par un arbre pondéré, mais la justification est l’application de la formule des probabilitéstotales.

PA1(B)

PA1 (Bc)P(A1)

PA2(B)

PA2 (Bc)

P(A2 )

B

Bc

A1

B

Bc

A2

4) Formule de Bayes

Soient A et B deux événements de probabilité non nulle de l’espace probabilisé (Ω,P), imaginons quel’on sache calculer la probabilité conditionnelle PA(B) et que l’on souhaite calculer PB(A). On a :

PB(A) = P(A∩B)

P(B)= P(A)PA(B)

P(B)

Cela peut-être utile lorsqu’il y a une chronologie, (A antérieure à B) et que l’on cherche à « remonter le temps ».Dans le cas le plus général, on utilise la formule des probabilités totales pour exprimer P(B) :

Soit (A1, . . . , An) un système complet d’événements sur un espace probabilisé fini (Ω,P), tous deprobabilité non nulle, soit B un événement de probabilité non nulle, alors pour tout i ∈ J1;nK :

PB(Ai ) = P(Ai )PAi (B)n∑

k=1P(Ak )PAk

(B).

Théorème 24.9 (formule de Bayes (ou formule de probabilité des causes))

Remarque 24.7 – En particulier, lorsque le système est réduit à deux événements (A, Ac ) (de probabilité nonnulle), et si P(B) 6= 0, alors PB(A) = P(A)PA(B)

P(A)PA(B)+P(Ac )PAc (B) .

FExercice 24.9 On a six urnes numérotées de 1 à 6, l’urne k contient k boules blanches et 6−k boules noires. On lance

un dé non truqué, si la face k sort alors on tire une boule de l’urne k. La boule tirée est blanche, quelle est la probabilité

d’avoir fait un 6 ?

Solution 24.9 On a un système complet (D1, . . . ,D6) (résultat du jet de dé), soit B l’événement « obtenir une bouleblanche », alors on demande PB(D6), d’après la formule de Bayes, on a :

PB(D6) = P(D6)PD6 (B)P(B) = P(D6)PD6 (B)

6∑k=1

P(Dk )PDk(B)

= 1/66∑

k=1

k36

= 621 = 2

7 .



MO

NTA

IGN

E

Indépendance Chapitre 24 : Probabilités sur un univers fini

IV INDÉPENDANCE

1) Indépendance de deux événements

On dit que deux événements A et B d’un espace probabilisé (Ω,P) sont indépendants lorsque :P(A∩B) =P(A)×P(B).

Définition 24.7

Remarque 24.8 –– La relation est symétrique.– Si P(A) = 0 alors A est indépendant avec tout autre événement B.

Lorsque P(A) 6= 0, alors A et B sont indépendants si et seulement si PA(B) =P(B).

À retenir

ZExemple : On lance un dé non truqué, soit A :« obtenir un chiffre pair » et B : « obtenir un chiffre inférieurou égale à 4 ». On P(A) = 1

2 , P(B) = 23 , P(A∩B) = 1

3 =P(A)P(B), ces deux événements sont indépendants. SoitC :« obtenir un chiffre inférieur ou égale à 3 », on a P(C) = 1

2 et P(A∩C) = 16 6= P(A)P(C), A et C ne sont pas

indépendants.

On veillera à ne pas confondre indépendance de deux événements (qui dépend de la probabilité) et l’incompatibilitéde deux événements (qui ne dépend pas de la probabilité).

Attention!

Si A est B sont deux événements indépendants de (Ω,P) alors :• A et Bc sont indépendants ;• Ac et B sont indépendants ;• Ac et Bc sont indépendants.

Théorème 24.10

Preuve : P(A) =P(A∩B)+P(A∩Bc ) =P(A)P(B)+P(A∩Bc ) d’où P(A∩Bc ) =P(A)[1−P(B)] =P(A)P(Bc ). Les deux autresrésultats en découlent.

2) Indépendance d’une famille d’événements

Soient A1, . . . , An des événements dans (Ω,P) :• On dit ces événements sont deux à deux indépendants lorsque :

∀i , j ∈ J1;nK , i 6= j =⇒P(Ai ∩A j ) =P(Ai )P(A j ).• On dit ces événements sont mutuellement indépendants lorsque :

∀J ⊂ J1;nK , P(⋂

k∈JAk ) = ∏

k∈JP(Ak ).

Définition 24.8

Remarque 24.9 – La vérification de l’indépendance mutuelle nécessite beaucoup de vérifications :∑n

k=2

(nk

)=2n −n − 1. Il découle de la définition que des événements mutuellement indépendants sont deux à deuxindépendants.



MO

NTA

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E

Indépendance Chapitre 24 : Probabilités sur un univers fini

Des événements deux à deux indépendants ne sont pas nécessairement mutuellement indépendants comme lemontre l’exemple suivant.

Attention!

ZExemple : On lance deux dés parfaits, on note A1 : « le premier dé amène un nombre pair », A2 : « le deuxièmedé amène un nombre pair » et A3 : « la somme des nombres obtenus est paire ». On a P(A1) = 1

2 , P(A2) = 12 ,

P(A3) = 1836 = 1

2 , P(A1 ∩ A2) = 14 , P(A1 ∩ A3) = 1

4 , P(A2 ∩ A3) = 14 , mais P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1 ∩ A2) = 1

4 : lesévénements sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement indépendants.

FExercice 24.10 Soient A1, . . . , An des événements mutuellement indépendants dans (Ω,P).

1/ Montrer que les événements B1, . . . ,Bn où Bi = Ai ou Aci , sont mutuellement indépendants.

2/ Soit p ∈ J1;n −1K, montrer que B1 ∪·· ·∪Bp et Bp+1 ∩·· ·∪Bn sont indépendants.

Solution 24.10

1/ Il suffit de traiter le cas où un seul des Bi est égal Aci (on peut supposer que c’est Bn), si J est une partie de

J1;n −1K, alors on sait que⋂j∈J

A j et An sont indépendants, donc⋂j∈J

A j et Acn aussi.

2/ On sait que Bc1, . . . ,Bc

p ,Bp+1, . . . ,Bn sont mutuellement indépendants, donc Bc1 ∩·· ·∩Bc

p et Bp+1 ∩·· ·∩Bn sont

indépendants, par conséquent,[

Bc1 ∩·· ·∩Bc

p

]c = B1 ∪·· ·∪Bp et Bp+1 ∩·· ·∩Bn sont indépendants.



MO

NTA

IGN

EChapitre 25

Déterminants

SommaireI Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

1) Décomposition des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2) Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

II Applications n-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

2) Développement suivant une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

III Déterminant dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

1) Formes n-linéaires en dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

2) Déterminants de n vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

3) Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

IV Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

2) Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

V Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

2) Propriétés du déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

3) Développement suivant une ligne ou une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4) Comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

VI Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

1) Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

2) Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

3) Orientation d’un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

I LE GROUPE SYMÉTRIQUE

1) Décomposition des permutations

Soit En = J1;nK, avec n ∈N∗, on note Sn l’ensemble des permutations de En , c’est à dire l’ensembledes bijections de En vers lui-même. On rappelle que (Sn ,) est un groupe de cardinal n! (non abéliendès que n> 3), ce groupe est appelé groupe symétrique de type n.

Définition 25.1

Représentation d’une permutation :

On adoptera la notation suivante : soit σ ∈Sn ,σ=(

1 · · · nσ(1) · · · σ(n)

), la deuxième ligne étant les images

de la première par σ (dans le même ordre).



MO

NTA

IGN

E

Le groupe symétrique Chapitre 25 : Déterminants

Soit σ ∈Sn , on dit que σ est un cycle lorsqu’il existe k entiers distincts dans J1;nK : i1, . . . , ik (k > 1)tels que σ(i1) = i2, . . . ,σ(ik−1) = ik ,σ(ik ) = i1, les autres entiers de En étant fixes par σ. Dans ce cas, onnoteraσ= (i1 i2 . . . ik ). Le nombre k est appelé longueur du cycle, et un cycle de longueur 2 est appeléune transposition. L’ensemble i1, . . . , ik est appelé support du cycle σ. On convient que l’identitéde En est un cycle de longueur nulle et à support vide.

Définition 25.2 (notion de cycle)

FExercice 25.1

1/ Décrire tous les cycles de S3.

2/ Combien y-a-t’il de cycles de longueur k dans Sn ?

3/ Si σ est un cycle dans Sn , déterminer σ−1.

4/ Si σ est un cycle de longueur k dans Sn , montrer que σk = id et que σi 6= id si i < k. En déduire que si a est unélément du support de σ, alors σ= (a σ(a) . . .σk−1(a)).

Toute permutation de En est un produit (pour la loi ) de cycles à supports disjoints, cette décompo-sition est unique à l’ordre près.

Théorème 25.1 (admis)

ZExemples :

– Soit σ=(1 2 3 4 5 63 2 1 6 4 5

), alors σ= (1 3) (4 6 5).

– Montrer que deux cycles à supports disjoints commutent. Et si les supports sont non disjoints ?

Toute permutation est un produit de transpositions.Théorème 25.2

Preuve : Il suffit de le prouver pour un cycle, soitσ= (i1 . . . ik ), il est facile de vérifier queσ= (i1 i2)(i2 i3) · · · (ik−1 ik ). Onremarquera que les supports des transpositions ne sont pas disjoints deux à deux, et que le nombre de transpositionsdans la décomposition est égal à k −1.

2) Signature

Soit σ ∈Sn , on appelle inversion de σ tout couple d’entiers (i , j ) ∈ J1;nK2 tel que i < j et σ(i ) >σ( j ).Le nombre d’inversions de σ est noté Iσ.

Définition 25.3 (inversion)

Soit σ= (a b) une transposition de Sn avec a < b : alors Iσ = 2(b −a)−1.Théorème 25.3 (Nombre d’inversions d’une transposition)

Preuve : En effet, soit i < j deux entiers de En :– Si i , j ∉ a,b, alors i et j sont fixes, donc (i , j ) n’est pas une inversion de σ.– Si i = a et j = b, alors (i , j ) est une inversion.– Si i = a et j 6= b, alors (i , j ) est une inversion ssi j ∈ Ja +1;b −1K.– Si i 6= a et j = b, alors (i , j ) est une inversion ssi i ∈ Ja +1;b −1K.

Ce qui nous fait au total 2(b −a)−1 inversions pour la transposition (a b).

Soit σ ∈Sn , on appelle signature de σ le nombre noté ε(σ) et défini par ε(σ) = (−1)Iσ .

Définition 25.4 (signature d’une permutation)

On peut vérifier que ε(σ) = ∏16i< j6n

σ(i )−σ( j )i− j .

ZExemple : Signature d’une transposition, si σ= (a b) avec a < b ∈ En , alors Iσ = 2(b −a)−1, donc ε(σ) =−1.



MO

NTA

IGN

E

Applications n-linéaires Chapitre 25 : Déterminants

L’application signature ε : (Sn ,) → (±1,×), est un morphisme de groupes, c’est à dire :∀ σ,σ′ ∈Sn ,ε(σσ′) = ε(σ)×ε(σ′).

Théorème 25.4 (admis)

Application – Calcul de la signature d’une permutation. Pour calculer la signature d’une permutation σ, il suffit deconnaître sa décomposition en produit de transpositions : σ= τ1 . . .τk , on a alors ε(σ) = ε(τ1)× . . .ε(τk ) = (−1)k .

ZExemples :– Calculer la signature d’un cycle de longueur p > 1.

– Calculer la signature de σ=(1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 10 4 6 9 7 1 5 8 2

).

II APPLICATIONS N-LINÉAIRES

1) Définition

Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f : En → F une application. On dit que f est n-linéairelorsque f est linéaire par rapport à chacune de ses variables (les autres étant fixes), c’est à dire :∀ x1, . . . , xn ∈ E,∀ i ∈ J1;nK, l’application fi : E → F définie par :

fi (x) = f (x1, . . . , xi−1, x, xi+1, . . . , xn) est linéaire.

Définition 25.5

ZExemples :– L’application f : R2 ×R2 → R définie par f (u, v) = u1v1 +u2v2 (avec u = (u1,u2, ) et v = (v1, v2)), est

bilinéaire, plus précisément, c’est une forme bilinéaire sur R2.– L’application f :R2×R2 →R définie par f (u, v) = u1v2−u2v1 (avec u = (u1,u2, ) et v = (v1, v2)), est une

forme bilinéaire sur R2.– Soit E =Mn(K), l’application f : E3 → E définie par f (A,B,C) = A×B×C, est trilinéaire.– Soit E = C 0([a;b],R). L’application f : E2 → R définie par f (u, v) = ∫ b

a u(t)v(t)d t , est une forme bili-néaire sur E.

Soit f : En → F une application n-linéaire, on dit que f est :– symétrique : lorsque ∀ σ ∈ Sn ,∀ x1, . . . , xn ∈ E : f (xσ(1), . . . , xσ(n)) = f (x1, . . . , xn), autrement dit,

changer l’ordre des vecteurs ne change pas le résultat.– antisymétrique : lorsque ∀ σ ∈ Sn ,∀ x1, . . . , xn ∈ E : f (xσ(1), . . . , xσ(n)) = ε(σ). f (x1, . . . , xn), autre-

ment dit, échanger deux vecteurs change le signe du résultat.– alternée : lorsque∀ x1, . . . , xn ∈ E, s’il existe i , j ∈ J1;nK tels que i 6= j et xi = x j , alors f (x1, . . . , xn) = 0,

autrement dit, si deux des vecteurs sont égaux alors le résultat est nul.

Définition 25.6

Notation : Soit f : En → F une application n-linéaire, pour σ ∈ Sn on pose : fσ : En → F définie parfσ(x1, . . . , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n)). On remarquera que fσ est également n-linéaire.

ZExemple : En reprenant les exemples ci-dessus, la première application et la quatrième sont symétriques, ladeuxième est antisymétrique et alternée, la troisième est ni symétrique, ni antisymétrique, ni alternée.

Il y a équivalence entre antisymétrique et alternée.Théorème 25.5



MO

NTA

IGN

E

Déterminant dans une base Chapitre 25 : Déterminants

Preuve : Si f : En → F est n-linéaire alternée, soient x1, . . . , xn ∈ E, soit τ= (i j ) avec i , j ∈ J1;nK, posons x ′i = x ′

j = xi +x j ,

et S = f (x1, . . . , xi−1, x ′i , xi+1, . . . , x j−1, x ′

j , x j+1, . . . , xn), comme f est alternée, S = 0, mais S = f (x1, . . . , xi−1, xi , xi+1, . . . , x j−1, x j , x j+1, . . . , xn)+

f (x1, . . . , xi−1, x j , xi+1, . . . , x j−1, xi , x j+1, . . . , xn) (en développant par rapport à la i -ième variable puis par rapport à laj -ième), ce qui donne fτ =− f = ε(τ). f , mais comme toute permutation est un produit de transpositions, on en déduitque ∀ σ ∈Sn , fσ = ε(σ). f c’est à dire f est antisymétrique.

Si f est antisymétrique : supposons xi = x j avec i 6= j , alors soit τ = (i j ), on a f (x1, . . . , xn) = fτ(x1, . . . , xn) =− f (x1, . . . , xn), donc f (x1, . . . , xn) = 0, i.e. f est alternée.

L’ensemble des applications n-linéaires de En vers F est unK-espace vectoriel (s.e.v. de F (En ,F)).L’ensemble des applications n-linéaires alternées de En vers F est un K-espace vectoriel (s.e.v. deF (En ,F)).

Théorème 25.6


2) Développement suivant une base

Soit E de dimension p, soit B= (e1, . . . ,ep ) une base de E, soit S = (x1, . . . , xn) un système de n vecteursde E et soit A = PB,S ∈ Mp,n(K) la matrice de passage de B à S. Soit u = f (x1, . . . , xn), en développant parrapport à la première variable, on obtient :

u = ∑16 j16p

a j1,1 f (e j1 , x2, . . . , xn)

Puis on développe chacun de ces termes par rapport à la deuxième variable x2, ce qui donne

u = ∑16 j1, j26p

a j1,1a j2,2 f (e j1 ,e j2 , x3, . . . , xn)

etc..., ce qui donne à la fin :

f (x1, . . . , xn) = ∑16 j1,..., jn6p

a j1,1 · · ·a jn ,n f (e j1 , . . . ,e jn )

C’est le développement de f (x1, . . . , xn) dans la base B, on voit ainsi qu’une application n-linéairef : En → F est entièrement déterminée par la donnée des vecteurs f (e j1 , . . . ,e jn ).

III DÉTERMINANT DANS UNE BASE

1) Formes n-linéaires en dimension n

Avec les notations précédentes, supposons que la dimension de E soit égale à n, soit B= (e1, . . . ,en) unebase de E, et f une forme n-linéaire alternée sur E, d’après ce qui précède, on a :

f (x1, . . . , xn) = ∑16 j1,..., jn6n

a j1,1 · · ·a jn ,n f (e j1 , . . . ,e jn )

comme f est alternée, dès que deux indices sont égaux, le terme correspondant est nul, il reste donc :

f (x1, . . . , xn) = ∑16 j1,..., jn6n,distincts

a j1,1 · · ·a jn ,n f (e j1 , . . . ,e jn )

Lorsque les indices sont distincts deux à deux, on a forcément,

j1, . . . , jn= J1;nK, en posant σ(k) = jk

on définit une permutation des entiers de 1 à n et on peut alors écrire :

f (x1, . . . , xn) = ∑σ∈Sn

aσ(1),1 · · ·aσ(n),n f (eσ(1), . . . ,eσ(n))

Or, f (eσ(1), . . . ,eσ(n)) = ε(σ). f (e1, . . . ,en) ( f est antisymétrique), finalement on a la formule :

f (x1, . . . , xn) =( ∑σ∈Sn

ε(σ)aσ(1),1 · · ·aσ(n),n

)f (e1, . . . ,en)



MO

NTA

IGN

E

Déterminant dans une base Chapitre 25 : Déterminants

Donc si f est une forme n-linéaire alternée sur E, alors il existe un scalaire α tel que :

∀ x1, . . . , xn ∈ E, f (x1, . . . , xn) = α ∑σ∈Sn

ε(σ)aσ(1),1aσ(2),2 . . . aσ(n),n .

Avec α= f (e1, . . . ,en) (ce qui détermine entièrement f ), et les scalaires ai , j étant les coefficients de la matricede la famille (x1, . . . , xn) dans la base B.

Si σ parcourt Sn , alors σ−1 aussi, on peut donc écrire :

∀x1, . . . , xn ∈ E, f (x1, . . . , xn) = α ∑σ−1∈Sn

ε(σ)a1,σ−1(1)a2,σ−1(2) . . . an,σ−1(n)

= α ∑σ∈Sn

ε(σ)a1,σ(1) . . . an,σ(n).

On pose pour x1, . . . , xn ∈ E, f1(x1, . . . , xn) = ∑σ∈Sn

ε(σ)a1,σ(1) . . . an,σ(n), alors f1 est une forme n-linéaire

alternée sur E et f1(e1, . . . ,en) = 1 (en particulier f1 est non nulle).

Théorème 25.7

Preuve : On note ci la forme linéaire qui à tout vecteur x de E associe sa coordonnée sur ei .On note alors f (x1, . . . , xn) = c1(x1)c2(x2) · · ·cn(xn), on vérifie que f ainsi définie, est n-linéaire de En vers K. On

pose g (x1, . . . , xn) = ∑σ∈Sn

ε(σ) f (xσ(1), . . . , xσ(n)), on sait que g est n-linéaire (combinaison linéaire de formes n-linéaires),

soit τ une transposition de En , alors : g (xτ(1), . . . , xτ(n)) = ∑σ∈Sn

ε(σ) f (xτ(σ(1)), . . . , xτ(σ(n))), on effectue un changement

d’indice en posant σ′ = τ σ (σ′ parcourt Sn une et seule fois lorsque σ parcourt Sn), on a ε(σ′) = −ε(σ), d’où :g (xτ(1), . . . , xτ(n)) =− ∑

σ′∈Sn

ε(σ′) f (xσ′(1), . . . , xσ′(n)) =−g (x1, . . . , xn), donc g est alternée.

En revenant à la définition de f , et en posant x j =n∑

i=1ai j ei , on a :

g (x1, . . . , xn) = ∑σ∈Sn

ε(σ)a1σ(1) ×·· ·×anσ(n) = f1(x1, . . . , xn)

Lorsqu’on calcule f1(e1, . . . ,en), tous les ai j sont nuls sauf ceux de la diagonale qui valent 1, il reste seulement le termecorrespondant à l’identité de En , ce qui donne f1(e1, . . . ,en) = a11 ×·· ·×ann = 1.

Si dim(E) = n, alors l’ensemble des formes n-linéaires alternées sur E est un K-espace vectoriel dedimension 1 (droite vectorielle), dont une base est l’application f1 ci-dessus.

Théorème 25.8

Preuve : D’après le début de ce paragraphe, toute forme f , n-linéaire alternée sur E, est du type f = α f1 avec α ∈K.

2) Déterminants de n vecteurs dans une base

L’application f1 définie ci-dessus est appelée déterminant dans la base B, elle est notée detB.C’est donc une forme n-linéaire alternée sur E, qui constitue une base de l’ensemble des formesn-linéaires alternées sur E, plus précisément, c’est l’unique forme n-linéaire alternée sur E qui vérifie :detB(e1, . . . ,en) = 1.

Définition 25.7



MO

NTA

IGN

E

Déterminant d’un endomorphisme Chapitre 25 : Déterminants

Expression du déterminant : Soit B= (e1, . . . ,en) une base de E et soit (x1, . . . , xn) une famille de n vecteursde E, et soit A = (ai , j ) ∈Mn(K) la matrice de cette famille dans la base B, on a l’expression suivante :

detB

(x1, . . . , xn) = ∑σ∈Sn

ε(σ)a1,σ(1) . . . an,σ(n)

ZExemples :– Soit E = K2,B = (i , j ), la base canonique, soient u = (u1,u2), v = (v1, v2) ∈ E, alors detB(u, v) =

a1,1a2,2 −a1,2a2,1 = u1v2 −u2v1.– Soit E =K3,B= (i , j ,k), la base canonique, soient u = (u1,u2,u3), v = (v1, v2, v3) et w = (w1, w2, w3) ∈

E, alors detB(u, v, w) = u1v2w3 −u2v1w3 −u3v2w1 −u1v3w2 +u3v1w2 +u2v3w1.– Si dim(E) = n,B = (e1, . . . ,en) une base de E, (x1, . . . , xn) une famille de E telle que la matrice A du

système dans la base B soit triangulaire supérieure, alors : detB(x1, . . . , xn) = a1,1 . . . an,n , produit descoefficients diagonaux de la matrice.En effet : pour que a1,σ(1) . . . an,σ(n) ait une chance d’être non nul, il faut que 16σ(1), . . . ,n6σ(n), cequi ne donne qu’une seule possibilité : σ= id.

3) Propriétés du déterminant

Soit E unK-espace vectoriel de dimension n et B= (e1; . . . ,en) une base de E.– L’application detB est une forme n-linéaire alternée , donc :

• elle est linéaire par rapport à chaque variable, par exemple :detB(αx1 +βx ′

1, x2, . . . , xn) = αdetB(x1, x2, . . . , xn)+βdetB(x ′1, x2, . . . , xn).

• si on échange deux vecteurs dans le déterminant, alors le résultat change de signe. Par exemple :detB(x2, x1, x3, . . . , xn) =−detB(x1, x2, x3, . . . , xn). Plus généralement :

∀ σ ∈Sn ,detB

(xσ(1), . . . , xσ(n)) = ε(σ)detB

(x1, . . . , xn).

• Si deux des vecteurs de la famille (x1, . . . , xn) sont égaux, alors detB(x1, . . . , xn) = 0. On en déduitsi l’un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des autres (i.e. la famille est liée), alorsle déterminant est nul, on en déduit également qu’ajouter à l’un des vecteurs une combinaisonlinéaire des autres, ne change pas le déterminant, par conséquent on peut calculer un déterminantavec la méthode de Gauss (pour obtenir un système de vecteurs dont la matrice dans la base B esttriangulaire supérieure).

– detB

(e1, . . . ,en) = 1 , ce que l’on note detB(B) = 1, c’est l’unique forme n-linéaire alternée sur E qui

vérifie cette égalité.– Si B′ est une autre base de E, alors det

B′= det

B′(B).det

B. On en déduit que detB′(B)detB(B′) = 1.

Preuve : L’ensemble des forme n-linéaires alternées est une droite vectorielle engendrée par detB, donc il existeun scalaire α tel que detB′ = α.detB, pour obtenir α, il suffit d’appliquer cette égalité sur les vecteurs de B.

– La famille (x1, . . . , xn) est une base de E ssi detB(x1, . . . , xn) 6= 0 .Preuve : Soit B′ = (x1, . . . , xn), si B′ est une base de E, alors l’ensemble des formes n-linéaires alternées surE est une droite engendrée par detB′ et detB = detB(B′).detB′ , or detB n’est pas l’application nulle, doncdetB(B′) 6= 0.Réciproquement, si detB(B′) 6= 0 : alors la famille B′ est libre, car si elle était liée, l’un de ses vecteurs seraitcombinaison linéaire des autres et donc le déterminant dans la base B serait nul, ce qui est absurde. Donc B′est une famille libre de n vecteurs en dimension n, c’est donc une base de E.

IV DÉTERMINANT D’UN ENDOMORPHISME

1) Définition

Soit E unK-espace vectoriel, soient B= (e1, . . . ,en) et B′ = (e ′1, . . . ,e ′n) deux bases de E, et soit u ∈L (E),on note f la forme n-linéaire alternée définie par :

f (x1, . . . , xn) = detB

(u(x1), . . . ,u(xn))



MO

NTA

IGN

E

Déterminant d’une matrice carrée Chapitre 25 : Déterminants

On sait qu’il existe un scalaire α tel que f = αdetB′ , avec α= f (e ′1, . . . ,e ′n), or detB = detB(B′)detB′ , d’oùα= detB(B′)detB′(u(e ′1), . . . ,u(e ′n)), En calculant f (e1, . . . ,en), on obtient :

detB

(u(e1), . . . ,u(en)) = αdetB′

(B) = detB′

(u(e ′1), . . . ,u(e ′n))

car detB′(B)detB(B′) = 1.

Soit E un K-espace vectoriel et soit B = (e1, . . . ,en) une base de E, soit u ∈ L (E), on appelle dé-terminant de u le scalaire, noté det(u) et défini par : det(u) = detB(u(e1), . . . ,u(en)). Ce scalaire estindépendant de la base B choisie.

Définition 25.8

ZExemple : Soit u ∈L (R2) défini par u(x, y) = (x + y ;2x − y), notons B= (i , j ) la base canonique de R2, alorsdet(u) = detB(i +2 j , i − j ) = detB(3i , i − j ) = detB(3i ,− j ) =−3detB(i , j ) =−3.

Expression du déterminant : Soit u ∈ L (E) et soit B = (e1, . . . ,en) une base de E, la matrice du système(u(e1), . . . ,u(en)) est en fait la matrice de u dans la base B, posons A = (ai , j ) = mat

B(u), alors on peut écrire :

det(u) = ∑σ∈Sn

ε(σ)a1σ(1) · · ·anσ(n)

2) Propriétés du déterminant

– Soit u ∈L (E), soit B une base de E, alors :

∀ x1, . . . , xn ∈ E,detB

(u(x1), . . . ,u(xn)) = det(u)detB

(x1, . . . , xn)

Preuve : L’application f définie par f (x1, . . . , xn) = detB(u(x1), . . . ,u(xn)) est n-linéaire alternée, donc il existeun scalaire α tel que f = αdetB, ce scalaire vaut α = f (e1, . . . ,en) (en posant B = (e1, . . . ,en)), donc α = det(u)d’après la définition.

– Soient u, v ∈L (E), on a det(u v) = det(v u) = det(u)det(v) .Preuve : Soit B= (e1, . . . ,en) une base de E, alors :

det(u v) = detB

(u(v(e1)), . . . ,u(v(en))) = det(u)detB

(v(e1), . . . , v(en)) = det(u)det(v),

de même, on obtient det(v u) = det(v)det(u), ce qui donne l’égalité.

– Soit u ∈L (E) et soit B une base de E, alors u ∈ GL(E) ssi det(u) 6= 0 , et si c’est le cas, alors det(u−1) =1

det(u) .Preuve : Si u ∈ GL(E), alors det(u)det(u−1) = det(u u−1) = det(idE) = 1, donc det(u) 6= 0, et on a la formule.Réciproquement, si det(u) 6= 0, alors la famille (u(e1), . . . ,u(en)) est libre, donc u est bien un automorphisme deE.

V DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE

1) Définition

Soit A = (ai , j ) ∈ Mn(K), et soit u l’endomorphisme de Kn canoniquement associé à A, on appelledéterminant de A le déterminant de u et on pose :

det(A) = det(u) = detB

(C1(A), . . . ,Cn(A)),

où B désigne la base canonique deKn .

Définition 25.9



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E


Expression du déterminant : A est la matrice de u dans la base canonique deKn , donc d’après le paragrapheprécédent, on a :

det(A) = ∑σ∈Sn

ε(σ)a1,σ(1) · · ·an,σ(n)

Notation : on écrit : det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣a1,1 · · · a1,n

......

an,1 · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣ZExemples :

– Cas d’une matrice carrée de taille 2 :

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣= ad −bc.

– Cas d’une matrice triangulaire : si A est triangulaire, alors det(A) =n∏

i=1ai ,i (produit des éléments

diagonaux).

2) Propriétés du déterminant d’une matrice carrée

– Une matrice carrée A et sa transposée, ont le même déterminant. On en déduit que si B est la basecanonique deKn , alors det(A) = detB(C1(A), . . . ,Cn(A)) = detB(L1(A), . . . ,Ln(A)).Preuve : En effet, on a det(A) = ∑

σ∈Sn

ε(σ)a1,σ(1) · · ·an,σ(n) = ∑σ∈Sn

ε(σ)aσ(1),1 · · ·aσ(n),n = det(tA).

– Soit u ∈L (E), et soit B une base quelconque de E, si matB

(u) = A ∈Mn(K), alors det(u) = det(A). On en

déduit en particulier que si P ∈ GLn(K), alors det(P−1 ×A×P) = det(A).– Si A,B ∈Mn(K), alors det(A×B) = det(A)det(B), en particulier, on a det(A×B) = det(B×A).– Une matrice carrée est inversible ssi son déterminant est non nul, si c’est le cas, alors det(A−1) =

det(A)−1.– Utilisation de la méthode de Gauss : on utilise celle-ci pour se ramener au calcul du déterminant d’une

matrice triangulaire, plus précisément :• L’opération Li ↔ L j , change le signe du déterminant (idem avec les colonnes).• L’opération Li ← αLi (α 6= 0), multiplie le déterminant par α (idem avec les colonnes).• L’opération Li ← Li +αL j , ne change pas le déterminant (idem avec les colonnes).

ZExemple : Avec A = 1 1 1−1 2 02 3 1

.

det(A)C1↔C3= −

∣∣∣∣∣∣1 1 10 2 −11 3 2

∣∣∣∣∣∣ L3←L3−L1= −∣∣∣∣∣∣1 1 10 2 −10 2 1

∣∣∣∣∣∣ L3←L3−L2= −∣∣∣∣∣∣1 1 10 2 −10 0 2

∣∣∣∣∣∣=−4.

FExercice 25.2 Soit A ∈Mn(K) et λ ∈K, montrer que det(λA) = λn det(A).

Solution 25.2 Par linéarité sur chaque vecteur colonne, on peut sortir le coefficient λ de chaque colonne.

3) Développement suivant une ligne ou une colonne

Soit A = (ai , j ) ∈ Mn(K), soit B = (e1, . . . ,en) la base canonique de Kn , notons C1, . . . ,Cn les vecteurs

colonnes de A, pour j ∈ J1;nK, on a C j =n∑

i=1ai , j ei , par linéarité par rapport à la j -ième variable, on peut

écrire :

det(A) =n∑

i=1ai , j det

B(C1, . . . ,C j−1,ei ,C j+1, . . . ,Cn).

En posant γi , j (A) = detB(C1, . . . ,C j−1,ei ,C j+1, . . . ,Cn), on a alors det(A) =n∑

i=1ai , jγi , j (A), c’est le développe-

ment de det(A) suivant la colonne j .



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IGN

E


Le scalaire γi , j (A) est appelé cofacteur (i j ) de la matrice A, c’est le déterminant de la matrice A danslaquelle la colonne j a été remplacée par le i -ième vecteur de la base canonique deKn .

Définition 25.10

Calcul de γi , j (A) :

On a γi , j (A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 · · · a1, j−1 0 a1, j+1 · · · a1,n...

......

......

ai−1,1 · · · ai−1, j−1 0 ai−1, j+1 · · · ai−1,n

ai ,1 · · · ai , j−1 1 ai , j+1 · · · ai ,n

ai+1,1 · · · ai+1, j−1 0 ai+1, j+1 · · · ai+1,n...

......

......

an,1 · · · an, j−1 0 an, j+1 · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, on échange les colonnes C j+1 et C j , puis

C j+1 et C j+2, . . . etc, pour amener la colonne j en dernière position, sans changer l’ordre sur les autrescolonnes, le déterminant est multiplié par (−1)n− j . De le même façon, on amène la ligne i en dernièreposition sans changer l’ordre des autres lignes, le déterminant est multiplié par (−1)n−i . On obtient alors :

γi , j (A) = (−1)i+ j

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 · · · a1, j−1 a1, j+1 · · · a1,n 0...

......

......

ai−1,1 · · · ai−1, j−1 ai−1, j+1 · · · ai−1,n 0ai+1,1 · · · ai+1, j−1 ai+1, j+1 · · · ai+1,n 0

......

......

...an,1 · · · an, j−1 an, j+1 · · · an,n 0ai ,1 · · · ai , j−1 ai , j+1 · · · ai ,n 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

notons bi , j les coefficients de la matrice à l’intérieur de ce déterminant, on a

γi , j (A) = (−1)i+ j∑σ∈Sn

ε(σ)bσ(1),1 · · ·bσ(n),n ,

on remarque que lorsque σ(n) 6= n, alors bσ(n),n = 0, on peut donc ne retenir que les permutations ayant ncomme point fixe, c’est à dire en fait les éléments de Sn−1, et comme bn,n = 1, on a alors :

γi , j (A) = (−1)i+ j∑

σ∈Sn−1

ε(σ)bσ(1),1 · · ·bσ(n−1),n−1.

C’est le déterminant de la matrice extraite de A par suppression de la ligne i et de la colonne j , multi-plié par (−1)i+ j .

Soit A ∈ Mn(K), on appelle mineur (i j ) de la matrice A, le déterminant ∆i , j (A) de la matrice Ai , j

obtenue par suppression de ligne i et de la colonne j de A. Le lien entre cofacteur et mineur est :γi , j (A) = (−1)i+ j∆i , j (A).

Définition 25.11

Le développement de det(A) suivant la colonne j s’écrit donc :

det(A) =n∑

i=1ai , j (−1)i+ j∆i , j (A).

∆i , j (A) est un déterminant d’ordre n −1, c’est donc une formule récurrente.

ZExemple : En développant suivant la deuxième colonne :∣∣∣∣∣∣1 2 1−1 0 21 3 1

∣∣∣∣∣∣=−2

∣∣∣∣−1 21 1

∣∣∣∣−3

∣∣∣∣ 1 1−1 2

∣∣∣∣= (−2)(−3)−9 =−3.



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E

Applications Chapitre 25 : Déterminants

Développement suivant la ligne j : comme une matrice A ∈ Mn(K) a le même déterminant que sa trans-posée, développer det(A) suivant la ligne j revient à développer det(tA) suivant la colonne j , ce qui donne

det(A) =n∑

i=1(tA)i , j (−1)i+ j∆i , j (tA), mais ∆i , j (tA) =∆ j ,i (A), ce qui donne finalement :

det(A) =n∑

i=1a j ,i (−1)i+ j∆ j ,i (A)

Un exemple classique : le déterminant de Vandermonde 1

Soit A =

1 α0 · · · αn0

......

...1 αn · · · αn

n

, où α0, . . . ,αn ∈K, soit Vn = det(A), alors on a le résultat suivant :

Vn = ∏06i< j6n

(α j −αi )

Preuve : Si deux des scalaires sont égaux, le résultat est évident. Supposons les αi distincts deux à deux. On peutvérifier que pour n = 2 le résultat est vrai. Supposons le vrai au rang n, et remplaçons dans Vn+1 la dernière ligne par(1 X X2 . . .Xn+1), le déterminant obtenu en développant suivant la dernière ligne, est un polynôme P(X) de degré au plus

n+1, dont les racines sont α0, . . . ,αn , de plus son coefficient dominant est Vn , par conséquent on a P(X) = Vn

n∏i=0

(X−αi ),

d’où Vn+1 = Vn

n∏i=0

(αn+1 −αi ) = ∏06i< j6n+1

(α j −αi ).

4) Comatrice

Soit A ∈Mn(K), on appelle comatrice de A la matrice de Mn(K) dont les coefficients sont les cofacteursγi , j (A). Notation : Com(A) = (γi , j (A))16i , j6n .

Définition 25.12

ZExemple : Si A =(

a bc d

), alors Com(A)) =

(d −c−b a

).

∀ A ∈Mn(K), A× tCom(A) = tCom(A)×A = det(A)In

Théorème 25.9 (relation fondamentale)

Preuve : Soit B = A× tCom(A), alors bi , j =n∑

k=1ai ,k (−1) j+k∆ j k (A), qui est le déterminant de la matrice obtenue en

remplaçant dans A, la ligne j par la ligne i , d’où bi , j = det(A)δi , j .

Posons C = tCom(A)×A, alors ci , j =n∑

k=1ak, j (−1)i+k∆k,i (A), qui est le déterminant de la matrice obtenue en rempla-

çant dans A, la colonne i par la colonne j , on a donc ci , j = det(A)δi , j .

Application – Si A ∈Mn(K) est inversible, alors :

A−1 = 1

det(A)tCom(A)

VI APPLICATIONS

1) Géométrie

Soit E un espace de dimension n, muni d’un repère R = (O,B) avec B= (e1, . . . ,en), soit H un hyperplanpassant par A(a1, . . . , an) et de direction un hyperplan vectoriel de base (u1, . . . ,un−1). On a alors :

1. VANDERMONDE Alexandre (1735 – 1796) : mathématicien français qui fut le premier à étudier les déterminants.



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E


M(x1, . . . , xn) ∈H ⇐⇒−−→AM ∈ H

⇐⇒ (u1, . . . ,un−1,−−→AM ) est liée

⇐⇒ detB(u1, . . . ,un−1,−−→AM ) = 0

⇐⇒

∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n−1 x1 −a1

......

...an1 · · · ann−1 xn −an

∣∣∣∣∣∣∣= 0

⇐⇒ (−1)n+1∆1n(x1 −an)+·· ·+ (−1)n+n∆nn(xn −an) = 0 (développement suivant la colonne n)

⇐⇒ α1(x1 −a1)+·· ·+αn(xn −an) = 0

⇐⇒ α1x1 +·· ·+αn xn = d

on obtient ainsi une équation cartésienne de l’hyperplan affine H , on remarquera qu’une équation carté-sienne de la direction H est α1x1 +·· ·+αn xn = 0.

2) Systèmes linéaires

C’est un système de la forme (S) :

a11x1 + . . .+a1p xp = b1

...an1x1 + . . .+anp xp = bn

, où les scalaires x1, . . . , xp sont les

inconnues.Le système (S) peut s’interpréter de plusieurs façons :– Interprétation géométrique : chaque équation de (S) peut être vue comme l’équation d’un hyperplan

de Kp (lorsque les coefficients ne sont pas tous nuls). Les solutions de (S) sont les coordonnées despoints de l’intersection de n hyperplans.

– Sous forme matricielle : (S) ⇐⇒ AX = B où X =

x1...

xp

, B =

b1...

bn

, et A =

a11 · · · a1n...

...an1 · · · anp

, A est la matrice

du système. Le rang de la matrice A est appelé le rng du système S, il peut être vu comme le nombremaximal d’équations indépendantes du système.

– Sous forme linéaire : soit u ∈L (Kp ,Kn) l’application linéaire canoniquement associée à A, soit x ∈Kp

le vecteur de coordonnées (x1, . . . , xp ) dans la base canonique, et soit b le vecteur deKn de coordonnées(b1, . . . ,bn), on a alors (S) ⇐⇒ u(x) = b.

– Sous forme vectorielle : soient v1, . . . , vp les vecteurs colonnes de A, on a (S) ⇐⇒ x1v1 + . . .+xp vp = b,c’est une équation vectorielle dansKn .

Rappel : structure de l’ensemble des solutions de l’équation linéaire u(x) = b :Il y a des solutions si et seulement si b ∈ Im(u), si c’est le cas, et si x0 ∈Kp désigne une solution particulière,

alors l’ensemble des solutions est x0+ker(u), où ker(u) est l’ensemble des solutions de l’équation homogène,qui est un s.e.v deKp de dimension p − rg(u). L’ensemble des solutions est donc un sous-espace affine dedirection ker(u).

C’est un système linéaire carré possédant une unique solution, ce qui revient à dire que la matricedu système est carrée inversible.

Définition 25.13 (Systèmes de CRAMER)

Formules de Cramer 2 : on a ici n = p, notons C1, . . . ,Cn les colonnes de A ,on a B = x1C1 + . . .+xnCn , soit Di

la matrice obtenue en remplaçant dans A la colonne i par la colonne B, on a :

det(Di ) =n∑

k=1xk det(C1, . . . ,Ci−1,Ck ,Ci+1, . . . ,Cn)

2. CRAMER Gabriel (1704 – 1752) : mathématicien français qui s’est intéressé aux systèmes linéaires et à la théorie des détermi-nants.



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E


ce qui donne det(Di ) = xi det(A), d’où les formules :

∀ i ∈ J1;nK , xi = det(C1, . . . ,Ci−1,B,Ci+1, . . . ,Cn)

det(A)

ZExemple : Si ad −bc 6= 0, alors le système (S) :

ax +by = u

cx +d y = v, possède une unique solution :

x = ud−vb

ad−bc

y = av−cuad−bc

3) Orientation d’un espace vectoriel réel

Soient B et B′ deux bases d’un R-espace vectoriel de dimension finie, E, soit P la matrice de passage,alors P est une matrice inversible, donc det(P) 6= 0, on a alors soit det(P) > 0, soit det(P) < 0.

On dit que la base B est en relation avec la base B′ lorsque la matrice de passage a un déterminantstrictement positif, on note alors BRB′.

Définition 25.14

ZExemple : Une base B= (e1, . . . ,en) est en relation avec elle-même, mais pas avec B′ = (−e1,e2, . . . ,en).

La relation R est une relation d’équivalence, et il n’y a que deux classes d’équivalence.Théorème 25.10

Preuve : La réflexivité est évidente. La symétrie découle de la formule PB,B′ = P−1B′,B. La transitivité découle de la

formule : PB,B′′ = PB,B′ ×PB′,B′′ .D’après l’exemple ci-dessus, il y a au moins deux classes d’équivalence, soit B′′ une troisième base, supposons que

B ne soit pas en relation avec B′′, alors PB′,B′′ = PB′,B×PB,B′′ , d’où det(PB′,B′′ ) = det(PB′,B)×det(PB,B′′ ) > 0, carces deux déterminants sont négatifs, par conséquent B′′RB′, et donc la classe de B′′ et égale à celle de B′.

Orienter l’espace vectoriel E c’est choisir une des deux classes d’équivalence, que l’on appelle classedes bases directes, l’autre étant alors appelée classe des bases indirectes. Il n’y a donc que deuxorientations possibles.

Définition 25.15

Remarque 25.1 – À retenir : le déterminant de la matrice de passage entre deux bases directes (ou deux basesindirectes) est strictement positif. Le déterminant de la matrice de passage entre une base directe et une baseindirecte est strictement négatif.

Soit H un hyperplan de E (R-espace vectoriel orienté), et soit en un vecteur de E n’appartenant pas àH, soit B= (e1, . . . ,en−1) une base de H, la famille (e1, . . . ,en) est une base de E, si cette base est directe,on dira que (e1, . . . ,en−1) est une base directe de H pour l’orientation induite sur H par le vecteur en .

Définition 25.16 (orientation induite sur un hyperplan)



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E


−→e1

−→e2

−→e3

+

H

FIGURE 25.1: Exemple en dimension 3 : (e1,e2) est une base directe de H pour l’orientation induite par e3,l’espace étant « orienté avec la règle du tire-bouchon ».



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EChapitre 26

Espaces euclidiens

SommaireI Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

2) Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

3) Bases orthonormales dans un euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

4) Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

5) Distance d’un vecteur à un s.e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6) Hyperplans affines dans un euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

II Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2581) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

2) Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

3) Espace vectoriel euclidien orienté - Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

III Endomorphismes orthogonaux en dimension 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2621) En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

2) En dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Dans tout le chapitre, E désigne un R-espace vectoriel.

I PRODUIT SCALAIRE

1) Définitions

Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire sur E, généralement notée (.|.), qui à tout couple devecteurs (x, y) associe le réel (x|y), et qui vérifie :– ∀ x, y ∈ E,(x|y) = (y |x) (symétrie).– ∀ x ∈ E,(x|x)> 0 (positive).– ∀ x ∈ E, si (x|x) = 0, alors x = 0 (définie).Lorsque E est muni d’un produit scalaire (.|.), on dit que (E,(.|.)) est un espace euclidien s’il est dedimension finie, ou un espace préhilbertien réel sinon.

Définition 26.1

ZExemples :

– Produit scalaire canonique de Rn : (x|y) =n∑

i=1xi yi .

– E =C 0([a;b],R) et ∀ f , g ∈ E,( f |g ) = ∫ ba f (t )g (t )d t (avec a < b).

– E =R[X], on définit un produit scalaire sur E en posant :

∀ P,Q ∈ E,(P|Q) =∫ b

aP(t )Q(t )d t (avec a < b)

– Pour x, y ∈ R2, ϕ(x, y) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 +2x2 y2 est un produit scalaire sur R2, mais pas ψ(x, y) =x1 y1 +x1 y2 +x2 y1 +x2 y2.



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E

Produit scalaire Chapitre 26 : Espaces euclidiens

– E =Rn[X], soient a0, . . . , an des réels distincts, on définit un produit scalaire sur E en posant :

∀ P,Q ∈ E,(P|Q) =n∑

k=0P(ak )Q(ak )

∀ x, y ∈ E,(x|y)26 (x|x)(y |y).

Théorème 26.1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Preuve : ∀ λ ∈ R, (x +λy |x +λy)> 0, ce qui donne en développant : λ2(y |y)+2λ(x|y)+ (x|x)> 0. Lorsque (y |y) 6= 0,le discriminant du trinôme en λ doit être négatif ou nul (s’il était strictement positif il y aurait deux racines réellesdistinctes r1 < r2 et le trinôme serait strictement négatif dans l’intervalle ouvert ]r1;r2[), ce qui donne l’inégalité.Lorsque (y |y) = 0, alors y = 0 et l’inégalité est triviale.

∀ x, y ∈ E,(x|y)2 = (x|x)(y |y) ⇐⇒ (x, y) est liée.

Théorème 26.2 (cas d’égalité)


Soit x ∈ (E,(.|.)), on pose ‖x‖ =p(x|x), c’est la norme euclidienne de x. Un vecteur de norme égale à 1

est dit unitaire. L’inégalité de Cauchy-Schwarz peut alors s’écrire : |(x | y)|6 ‖x‖‖y‖.

Définition 26.2 (norme euclidienne)

Remarque 26.1 – Si x est non nul alors le vecteur 1‖x‖x est unitaire.

• ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0.• ∀ λ ∈R,‖λx‖ = |λ|‖x‖.• ‖x + y‖6 ‖x‖+‖y‖ (inégalité triangulaire).



Soient x et y deux vecteurs non nuls, on a |(x|y)|‖x‖‖y‖ 6 1, donc en posant θ = arccos

((x|y)

‖x‖‖y‖)∈ [0;π],

on peut écrire : (x | y) = ‖x‖y‖cos(θ), ce réel θ est appelé écart angulaire entre les vecteurs x et y .Lorsque θ ∈ [0; π2 ] (c’est à dire (x | y)> 0) on dit que les vecteurs sont dans le même sens, et lorsqueθ ∈ [π2 ;π] (c’est à dire (x | y)6 0) on dit que les vecteurs sont dans le sens contraire.

Définition 26.3 (écart angulaire)

FExercice 26.1 Soient x, y ∈ E deux vecteurs non nuls, montrer que :

1/ |‖x‖−‖y‖|6 ‖x + y‖.

2/ x et y sont colinéaires si et seulement si leur écart angulaire vaut 0 ou π (pour x et y non nuls).

3/ ‖x + y‖ = ‖x‖+‖y‖⇐⇒∃ α> 0, x = αy .

ZExemples :– E =Rn , avec le produit scalaire canonique, l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit :(

n∑i=1

xi yi

)2

6

(n∑

i=1x2

i

)(n∑

i=1y2

i

)et ‖x‖ =

√n∑

i=1x2

i

– E =C 0([a;b],R) avec le produit scalaire : ( f |g ) = ∫ ba f (t )g (t )d t , l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit :(∫ b

a f (t ) f g (t )d t)26

(∫ ba f 2

)(∫ ba g 2

)et ‖ f ‖ =

√∫ ba f 2.



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E


• ‖x + y‖2 = ‖x‖2 +‖y‖2 +2(x|y) et ‖x − y‖2 = ‖x‖2 +‖y‖2 −2(x|y).• ‖x + y‖2 +‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 +‖y‖2) (théorème de la médiane ou identité du parallélogramme).• (x|y) = 1

4

(‖x + y‖2 −‖x − y‖2) = 1

2

(‖x + y‖2 −‖x‖2 −‖y‖2) = 1

2

(‖x‖2 +‖y‖2 −‖x + y‖2)

(identités depolarisation).

À retenir : Relations entre le produit scalaire et la norme

2) Orthogonalité

Soient x, y ∈ E, et soient F,G deux s.e.v de E, on dit que :• x et y sont orthogonaux lorsque (x|y) = 0.• F et G sont orthogonaux lorsque ∀ x ∈ F,∀ y ∈ G,(x|y) = 0.On appelle orthogonal de A (une partie de E), l’ensemble des vecteurs de E orthogonaux à tous lesvecteurs de A, notation : A⊥ = x ∈ E / ∀ y ∈ A,(x|y) = 0. On remarquera que dire que F et G sontorthogonaux équivaut à F ⊂ G⊥, ou encore G ⊂ F⊥.

Définition 26.4

Remarque 26.2 :– Le seul vecteur orthogonal à tous les autres est le vecteur nul, i.e. E⊥ = 0, car le produit scalaire est

défini.– Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur écart angulaire vaut π

2 .

FExercice 26.2 Si A est une partie de E, montrer que A⊥ est un sev de E.

Deux vecteurs x et y sont orthogonaux si et seulement si ‖x + y‖2 = ‖x‖2 +‖y‖2.

Théorème 26.4 (de Pythagore)

Si F est un s.e.v de E, alors F⊥ est un s.e.v de E en somme directe avec F.

Théorème 26.5

Preuve : Pour y ∈ E, on pose fy : E →R définie par fy (x) = (x|y), alors fy est une forme linéaire sur E, et il est facile devoir que F⊥ = ⋂

y∈Fker( fy ), ce qui prouve que F⊥ est un s.e.v de E. Si x ∈ F∩F⊥, alors on doit avoir (x|x) = 0, d’où x = 0.

Propriétés :– Si A et B sont deux parties de E telles que A ⊂ B, alors B⊥ ⊂ A⊥.– Si A est une partie de E, alors A ⊂ (A⊥)⊥.– Si F et G sont deux sev de E, alors (F+G)⊥ = F⊥∩G⊥.

Si E est un espace euclidien de dimension n, et si F est un s.e.v de E de dimension p, alors dim(F⊥) =n −p, on a donc :

E = F⊕F⊥.

Théorème 26.6

Preuve : On sait que dim(F⊕F⊥)6 n, d’où dim(F⊥)6 n −p.Soit f : E →Rp l’application définie par f (x) = ((e1|x), . . . , (ep |x)) où B = (e1, . . . ,ep ) désigne une base de F, alors il est

facile de voir que f est linéaire et que ker( f ) = F⊥. D’après le théorème du rang, on a n = dim(F⊥)+rg( f )6 dim(F⊥)+p,ce qui donne dim(F⊥)> n −p, et donc dim(F⊥) = n −p.

Ce théorème est faux en dimension infinie. Par exemple dans E =R[X] avec le produit scalaire (P | Q) = ∫ 10 P(t )Q(t )d t,

l’orthogonal de F = Vect[X,X2, . . .

]est réduit au polynôme nul alors que F 6= E.

Attention!



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E


Quelques conséquences :– (F⊥)⊥ = F.– (F∩G)⊥ = F⊥+G⊥.

Soit E un euclidien et f : E → R une forme linéaire, alors il existe un unique vecteur a ∈ E tel que∀ x ∈ E, f (x) = (a|x).

Théorème 26.7 (représentation des formes linéaires sur E)

Preuve : Pour l’existence : si f est nulle alors on peut prendre a = 0. Si f est non nulle, alors ker( f ) est un hyperplan deE, donc ker( f )⊥ = Vect[u] est une droite vectorielle. Posons f (u) = λ et prenons a = λ

‖u‖2 u. Il est facile de vérifier quepour tout x ∈ E, f (x) = (a|x).

Si b est un autre vecteur qui convient, alors ∀ x ∈ E,(a −b|x) = 0, donc a −b = 0.

3) Bases orthonormales dans un euclidien

Une famille (x1, . . . , xp ) de E est dite orthonormale lorsque ∀ i , j ∈ J1; pK , (ei |e j ) = δi j . Cette familleest dite orthogonale lorsque ∀ i , j ∈ J1; pK , i 6= j =⇒ (ei |e j ) = 0.

Définition 26.5

Une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre. En particulier, une famille ortho-normale est libre.

Théorème 26.8

Preuve : Soit (e1, . . . ,ep ) une famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul, sip∑

k=1λk ek = 0, alors soit i ∈ J1; pK, on

a (ei |p∑

k=1λk ek ) =

p∑k=1

λk (ei |ek ) = λi‖ei‖2 = 0, ce qui entraîne λi = 0.

Cas particulierSi E est un euclidien de dimension n, alors une famille orthonormale de n vecteurs est une base de E, on

dit que l’on a une base orthonormale (b.o.n en abrégé). Par exemple, la base canonique que Rn est une baseorthonormale pour le produit scalaire canonique.

Si (e1, . . . ,ep ) est une famille orthogonale, alors : ‖p∑

k=1ei‖2 =

p∑i=1

‖ei‖2.

Théorème 26.9

Preuve : En effet, on a ‖p∑

i=1ei‖2 =

p∑i , j=1

(ei |e j ) =p∑

i=1‖ei‖2.

Soit B= (e1, . . . ,en) une b.o.n de E, alors ∀ x, y ∈ E :

• x =n∑

i=1(x|ei )ei , autrement dit, la coordonnée de x sur ei est (x|ei ) ;

• (x|y) =n∑

i=1xi yi , expression analogue au produit scalaire canonique de Rn ;

• ‖x‖2 =n∑

i=1x2

i .

avec xi = (x|ei ) et yi = (y |ei ) les coordonnés de x et de y .

Théorème 26.10 (interêt d’une b.o.n)

Preuve : Soit CoordB(x) = (λ1, . . . ,λn), on a (x|ek ) = (n∑

i=1λi ei |ek ) =

n∑i=1

λi (ei |ek ) = λk . Pour les deux autres points, il suffit

de développer le produit scalaire.



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E


Le théorème ci-dessus est fondamental et démontre l’interêt des b.o.n. dans les espaces euclidiens.

Attention!

Dans un espace euclidien, il existe toujours des bases orthonormales.Théorème 26.11

Preuve : Par récurrence sur n = dim(E) : pour n = 1, on a E = Vect[e1], une b.o.n de E est (e ′1) avec e ′1 = e1‖e1‖ .

Supposons le théorème vrai au rang n −1 (n> 1), et soit e1 un vecteur unitaire de E, soit F = Vect[e1]⊥, alors F estun s.e.v de dimension n −1, soit (e2, . . . ,en) une b.o.n de F, il est facile de voir que (e1,e2, . . . ,en) est une b.o.n de E.

4) Projections orthogonales

Soit p ∈L (E) une projection (p p = p), on dit que p est une projection orthogonale lorsque ker(p) =ker(p − id)⊥. Si F est un s.e.v de E, la projection orthogonale sur F, notée pF, est la projection sur Fparallèlement à F⊥.

Définition 26.6

Remarque 26.3 – Si F est un s.e.v de E, alors la projection orthogonale sur F⊥ est id−pF.

Si F est un s.e.v de E, et si (e1, . . . ,ep ) est une b.o.n de F, alors ∀ x ∈ E, pF(x) =p∑

i=1(x|ei )ei .

Théorème 26.12 (projét orthogonal sur un s.e.v.)

Preuve : Soit (ep+1, . . . ,en) une b.o.n de F⊥, alors B= (e1, . . . ,en) est une b.o.n de E, donc x =n∑

i=1(x|ei )ei , ce qui donne

x =p∑

i=1(x|ei )ei +

n∑i=p+1

(x|ei )ei , la première somme désigne un vecteur de F, et la seconde un vecteur de F⊥, donc

pF(x) =p∑

i=1(x|ei )ei .

Remarque 26.4 – On peut en déduire que : si E est un espace préhilbertien réel, et si F est un sev de E

de dimension finie, alors E = F⊕F⊥, car si (e1, . . . ,ep ) est une b.o.n de F, alors le vecteur x −p∑

i=1(x|ei )ei est dans

F⊥.

ZExemple : Si D = Vect[u] est une droite vectorielle, alors (e1 = u‖u‖ ) est une b.o.n de D, donc ∀ x ∈ E, pD(x) =

(x|e1)e1, c’est à dire : pD(x) = (x|u)‖u‖2 .u.

Soit E un espace préhilbertien réel, et soit (e1, . . . ,en) une famille libre de E, alors il existe une uniquefamille orthonormale (v1, . . . , vn) de E telle que :

∀ i ∈ J1;nK ,

Vect[e1, . . . ,ei ] = Vect[v1, . . . , vi ](ei |vi ) > 0

.

Théorème 26.13 (procédé d’orthonormalisation de Schmidt 1)

Preuve : On pose v1 = e1‖e1‖ , on a bien Vect[e1] = Vect[v1] et (e1|v1) > 0.

Supposons les vecteurs v1, . . . , vi construits et vérifiant les conditions, on pose e ′i+1 = pF⊥i

(ei+1) où Fi = Vect[v1, . . . , vi ] =

Vect[e1, . . . ,ei ], ce qui donne e ′i+1 = ei+1−i∑

k=1(ei+1|vk )vk , ce vecteur e ′i+1 est non nul et dans Fi+1, on pose ensuite vi+1 =

e ′i+1‖e ′i+1‖

, il est facile de voir que Vect[e1, . . . ,ei+1] = Vect[v1, . . . , vi+1]. D’autre part, (ei+1|vi+1) = (e ′i+1|vi+1) = ‖e ′i+1‖ > 0.

On remarque qu’à chaque étape, il y a deux choix pour vi , mais la condition (ei |vi ) > 0 élimine une des deuxpossibilités, ce qui entraîne l’unicité, car on doit prendre e ′i+1 dans Fi+1 ∩F⊥

i qui est une droite vectorielle.

1. SCHMIDT Erhard (1876 – 1959) : mathématicien allemand.



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E


Remarque 26.5 – Si (e1, . . . ,en) une base de E, alors la famille (v1, . . . , vn) obtenue par la méthode Schmidt estune b.o.n de E.

FExercice 26.3 Soit E = R3, muni du produit scalaire canonique, on pose v1 = (1,1,0), v2 = (1,0,1) et v3 = (0,1,1).

Appliquer la méthode de Schmidt à la base (v1, v2, v3).

Solution 26.3 On pose e1 = v1‖v1‖ = 1p

2(1,1,0), puis e ′2 = v2 − (v2 | e1) · e1 = ( 1

2 ,− 12 ,1) et e2 = e ′2

‖e ′2‖= 1p

6(1,−1,2). Enfin,

e ′3 = v3 − (v3 | e1) ·e1 − (v3 | e2) ·e2 = 23 (−1,1,1) et e3 = e ′3

‖e ′3‖= 1p

3(−1,1,1).

Dans la suite, (E,(.|.)) désigne un espace euclidien.

5) Distance d’un vecteur à un s.e.v

Soit F un s.e.v de E et soit x ∈ E, pour tout vecteur y ∈ F, on a :

‖x − y‖2 = ‖(pF(x)− y)+pF⊥(x)‖2 = ‖pF(x)− y‖2 +‖pF⊥(x)‖2

on voit donc que ∀ y ∈ E,‖x − y‖2> ‖pF⊥(x)‖2, et que cette valeur est un minimum atteint uniquement poury = pF(x),

F

F⊥

pF(x)

pF⊥ (x)

x

y

x − y

FIGURE 26.1: Projection orthogonale et distance à F

d’où le théorème :

Soit F un s.e.v de E, pour x ∈ E, l’ensemble ‖x − y‖ / y ∈ F admet un minimum, celui-ci est atteintuniquement pour y = pF(x), et vaut ‖pF⊥(x)‖. Ce minimum est appelé distance de x à F et noté d(x,F) :d(x,F) = min

y∈F‖x − y‖ = ‖pF⊥(x)‖ = ‖x −pF(x)‖.

Théorème 26.14

ZExemples :– Distance d’un vecteur à une droite : soit D = Vect[u] une droite vectorielle, on sait que pD(x) = (x|u)

‖u‖2 u,

d’où d(x,D) =√‖x −pD(x)‖2 =

√‖x‖2 − (x|u)2

‖u‖2 .

– Distance d’un vecteur à un hyperplan : soit H un hyperplan de E, alors H⊥ = Vect[u] est une droitevectorielle, d’où d(x,H) = ‖pD(x)‖ = |(x|u)|

‖u‖ .

6) Hyperplans affines dans un euclidien

On se place dans un repère R = (O,B) orthonormal (ce qui signifie que B est un b.o.n. de E).

Équation cartésienne et produit scalaireSoit H un hyperplan affine de direction H, on sait que H admet une équation cartésienne de la forme

α1x1 +·· ·+αn xn = c où les αi sont non tous nuls, soit n(α1, . . . ,αn), et soit A(a1, · · · , an) un point de H , alors :

M(x1, . . . , xn) ∈H ⇐⇒ α1x1 +·· ·+αn xn = c

⇐⇒ α1x1 +·· ·+αn xn = α1a1 +·· ·+αn an (car A ∈H )

⇐⇒ α1(x1 −a1)+·· ·+αn(xn −an) =⇐⇒ (n|−−→AM ) = 0

On dit que H est l’hyperplan affine passant par A et normal au vecteur n.



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E

Endomorphismes orthogonaux Chapitre 26 : Espaces euclidiens

Les coordonnées d’un vecteur normal à H se lisent directement sur une équation cartésienne de H .La direction de l’hyperplan affine est H = x ∈ E / (n|x) = 0 = Vect[n]⊥.

À retenir

Distance d’un point à un hyperplan affine

Soit H un hyperplan affine, M ∈ E, P son projeté orthogonal sur H

et soit A ∈H , alors AM2 = AP2 +PM2, par conséquent la distance AMest minimale lorsque A = P auquel on a AM = PM, cette distance estappelée distance de M à H et notée :

d(M,H ) = PM.

M

AP

H

−→n

Calcul de d(M,H )

Soit −→n un vecteur normal à H et A un point de H on a−−→AM = −−→

AP +−−→PM or

−−→AP ⊥−→n , d’où

−−→AM · −→n =−−→

PM ·−→n =±PM‖−→n ‖ (vecteurs colinéaires) et donc :

d(M,H ) = PM =

∣∣∣−−→AM ·−→n∣∣∣

‖−→n ‖Si H est donné par une équation cartésienne α1x1 +·· ·+αn xn = c dans un repère orthonormal, alors on

peut prendre n(α1, . . . ,αn) et on a−−→AM ·−→n = α1(x1 −a1)+·· ·+αn(xn −an) = α1x1 +·· ·+αn xn − c car A ∈H ,

par conséquent on a :

d(M,H ) = |α1x1 +·· ·+αn xn − c|√α2

1 +·· ·+α2n

II ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX

1) Définition

Une isométrie vectorielle de E (ou endomorphisme orthogonal de E) est une application f ∈L (E)telle que ∀ x ∈ E,‖ f (x)‖ = ‖x‖ (on dit que f conserve la norme), l’ensemble des endomorphismesorthogonaux de E est noté O(E).

Définition 26.7

ZExemple : idE,h−1 sont des endomorphismes orthogonaux de E.

Un endomorphisme f de E est une isométrie si et seulement si f conserve le produit scalaire, c’est àdire :

∀ x, y ∈ E,( f (x)| f (y)) = (x|y).

Théorème 26.15

Preuve : Si f conserve le produit scalaire, il est clair que f conserve la norme, et donc f ∈ O(E).Réciproquement, si f ∈ O(E) : soient x, y ∈ E, ‖ f (x)+ f (y)‖2 = ‖x‖2 +‖y‖2 +2( f (x)| f (y)), mais on a aussi ‖ f (x)+

f (y)‖2 = ‖ f (x + y)‖2 = ‖x + y‖2 = ‖x‖2 +‖y‖2 +2(x|y), d’où ( f (x)| f (y)) = (x|y).



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E


O(E) est un groupe pour la loi , plus précisément c’est un sous-groupe de GL(E), on l’appelle groupeorthogonal de E.

Théorème 26.16

Preuve : Si f ∈ O(E), alors si x ∈ ker( f ), on a ‖ f (x)‖ = 0 = ‖x‖, d’où x = 0, donc f est injective, comme E est dedimension finie, on a bien f ∈ GL(E). D’autre part, idE ∈ O(E), soient f , g ∈ O(E), ‖ f (g (x))‖ = ‖g (x)‖ = ‖x‖, doncf g ∈ O(E), ‖x‖ = ‖ f ( f −1(x))‖ = ‖ f −1(x)‖, donc f −1 ∈ O(E).

Soient s ∈ L (E) une symétrie (s2 = idE), soit F = ker(s − id) et G = ker(s + id), alors on sait que s estla symétrie par rapport à F et parallèlement à G. On dit que s est une symétrie orthogonale lorsqueF = G⊥, on parle alors de la symétrie orthogonale par rapport à F (notée sF).

Définition 26.8 (symétrie orthogonale)

Une symétrie orthogonale est une isométrie vectorielle.Théorème 26.17

Preuve : Soit sF la symétrie orthogonale par rapport au s.e.v F, soit p = 12 (s + id), alors on sait que p est la projection

sur F parallèlement à ker(s + id) = F⊥, donc p est une projection orthogonale. Soit x ∈ E, ‖sF(x)‖2 = ‖pF(x)−pF⊥ (x)‖2 =‖pF(x)‖2 +‖pF⊥ (x)‖2, or ‖x‖2 = ‖pF(x)+pF⊥ (x)‖2 = ‖pF(x)‖2 +‖pF⊥ (x)‖2 = ‖sF(x)‖2, d’où sF ∈ O(E).

Remarque 26.6 – Une projection orthogonale qui n’est pas l’identité, n’est pas une isométrie (elle n’est pasbijective).

Une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

Définition 26.9 (réflexion)

FExercice 26.4 Soient u, v ∈ E deux vecteurs non nuls, de même norme et distincts. Montrer qu’il existe une unique

réflexion qui échange u et v .

Solution 26.4 Soit w = u−v , soit H = Vect[w]⊥ et s = sH, on a (u−v |u+v) = ‖u‖2−‖v‖2 = 0, donc u+v ∈ H, on a donc

s(u − v) = v −u et s(u + v) = u + v , la résolution de ce système donne s(u) = v et s(v) = u.

Si s′ est une autre réflexion qui convient, alors on doit avoir s′(u − v) = v − u, donc ker(s′ + id) = Vect[w] et par

conséquent, s′ = s.

Remarque : l’hyperplan H s’appelle hyperplan médiateur de [u; v], car si x ∈ H, alors ‖u −x‖ = ‖s(v)− s(x)‖ = ‖v −x‖.

Soit f ∈L (E), alors f ∈ O(E) ⇐⇒ f transforme une b.o.n en une b.o.n de E.Théorème 26.18

Preuve : Soit B = (e1, . . . ,en) une b.o.n de E, on a (ei |e j ) = δi , j . Si f ∈ O(E), alors ( f (ei )| f (ek )) = (ei |e j ) = δi , j , doncB′ = ( f (e1), . . . , f (en)) est une b.o.n de E.

Réciproquement, si B′ = ( f (e1), . . . , f (en)) est une b.o.n de E, alors pour x ∈ E,‖ f (x)‖2 = ‖n∑

i=1xi f (ei )‖2 =

n∑i=1

x2i =

‖x‖2, donc f ∈ O(E).

2) Matrices orthogonales

Soit f ∈L (E), soit B une base orthonormale de E et soit A = matB

( f ) ∈Mn(R), alors :

f ∈ O(E) ⇐⇒ tA×A = In .

Théorème 26.19

Preuve : Soit B= (e1, . . . ,en), on a [tA×A]i , j =n∑

k=1ak,i ak, j = ( f (ei )| f (e j )) = δi , j , donc tA×A = In .



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E


Plus généralement, si x1, . . . , xp est une famille de vecteurs de E et si A désigne la matrice des coordon-nées de cette famille dans une b.o.n., alors tA×A est la matrice carrée de taille p dont le terme généralest (xi |x j ), cette matrice est appelée matrice de Gram de la famille.

À retenir

Soit A ∈Mn(R), on dit que A est une matrice orthogonale lorsque tA×A = In , l’ensemble des matricesorthogonales de taille n est noté On(R).

Définition 26.10

Soit A ∈Mn(R), les assertions suivantes sont équivalentes :• A ∈ On(R).• A est inversible et A−1 = tA.• Les vecteurs colonnes de A forment une b.o.n de Rn .

Théorème 26.20 (Caractérisations des matrices orthogonales)

Preuve : On sait que [tA×A]i , j =n∑

k=1ak,i ak, j = (ci (A)|c j (A)) (produit scalaire canonique dans Rn). Donc le troisième

point équivaut [tA×A]i , j = δi , j .

ConséquencesOn(R) est un groupe multiplicatif, c’est en fait un sous-groupe de (GLn(R),×), que l’on appelle groupe

orthogonal de type n sur R.

Si f ∈ O(E), alors det( f ) =±1. Si A ∈ On(R) alors det(A) =±1.Théorème 26.21

Preuve : Si A est la matrice de f dans une base orthonormale, alors A ∈ On(R) donc tA× A = In , on en déduit quedet(tA×A) = 1 = det(A)2, et donc det(A) =±1.

Il est facile de vérifier que l’ensemble

f ∈ O(E) / det( f ) = 1

est un sous-groupe de (O(E),). Onl’appelle groupe des rotations et on le note SO(E) groupe spécial orthogonal de E (parfois notéO+(E)). On a donc SO(E) = f ∈ O(E) / det( f ) = 1.De même, on vérifie que l’ensemble des matrices orthogonales de déterminant égal à 1 est un sous-groupe de On(R), on le note SOn(R) et on l’appelle groupe spécial orthogonal de type n sur R (ougroupe des matrices de rotation de taille n).

Définition 26.11

ZExemples :

– Soit A = 12

−1 1 −1 11 1 1 11 −1 −1 1−1 −1 1 1

, les vecteurs colonnes de A sont unitaires et deux à deux orthogonaux,

donc A ∈ O4(R), on a det(A) = 1, donc A est la matrice d’une rotation.– Une réflexion n’est pas dans SO(E), en effet, soit s la réflexion par rapport à un hyperplan H, soit en un

vecteur unitaire de la droite H⊥, et soit (e1, . . . ,en−1) une b.o.n de H, alors B= (e1, . . . ,en) est une b.o.n

de E et matB

(s) =

1 0 · · · 0

0. . .

...... 1 00 · · · 0 −1

, on voit donc que det(s) =−1.



MO

NTA

IGN

E


En raisonnant sur le déterminant, on obtient :• La composée de deux rotations est une rotation.• La composée d’une rotation et d’une isométrie négative (det =−1) est une isométrie négative.• La composée de deux isométries négatives est une rotation.

À retenir : composée d’endomorphismes orthogonaux

Soit f ∈ O(E), soit F un s.e.v de E, montrer que si F est stable par f , alors F⊥ aussi.

Théorème 26.22


3) Espace vectoriel euclidien orienté - Produit mixte

Soit (E,(.|.)) un espace euclidien orienté (on a donc choisi la classe des bases directes).

Un endomorphisme f de E est une rotation si et seulement si f transforme une b.o.n.d en une b.o.n.d(on dit que f conserve l’orientation).

Théorème 26.23 (caractérisation des rotations)

Preuve : Si f ∈ SO(E), soit B = (e1, . . . ,en) une b.o.n.d de E, on sait que f transforme B en une b.o.n de E,B′ =( f (e1), . . . , f (en)), le déterminant de la matrice de passage est le déterminant de f qui vaut 1, donc B′ est une basedirecte.

Réciproquement : si f transforme une b.o.n.d B en une b.o.n.d B′, alors on sait que f ∈ O(E), le déterminant de fvaut ±1, or le déterminant de f est le déterminant de la matrice de passage de B à B′ et celui-ci est strictement positif,donc det( f ) = 1, i.e. f est une rotation.

Soit B une b.o.n.d de E, soit B′ une autre base orthonormale de E, alors :• Si B′ est directe, alors detB′ = detB.• Si B′ est indirecte, alors detB′ =−detB.

Théorème 26.24

Preuve : Si B′ est indirecte, alors la matrice de passage de B à B′ a un déterminant strictement négatif, mais cettematrice est une matrice orthogonale, donc son déterminant vaut −1. Or on a la relation detB = detB(B′)detB′ , etdonc detB =−detB′ .

L’espace vectoriel E est euclidien, orienté et de dimension n.

Soit B = (e1, . . . ,en) une b.o.n.d de E, soit (x1, . . . , xn) une famille de vecteurs de E. On appelle pro-duit mixte des vecteurs x1, . . . , xn , le réel noté [x1, . . . , xn] et défini par : [x1, . . . , xn] = detB(x1, . . . , xn).D’après le théorème précédent, ce nombre ne dépend pas de la b.o.n.d choisie.

Définition 26.12

Remarque 26.7 – Le produit mixte étant un déterminant, il hérite des propriétés de ce dernier.



MO

NTA

IGN

E

Endomorphismes orthogonaux en dimension 1 et 2 Chapitre 26 : Espaces euclidiens

Interprétation géométrique– En dimension 2 : si E est un plan euclidien orienté et (u, v) est une base (quelconque) de E, alors [u, v]

est l’aire orientée du parallélogramme construit sur u et v , positive si (u, v) est dans le sens directe,négative sinon. Lorsque (u, v) est liée, le résultat est encore valable car le produit mixte est nul dans cecas, et l’aire aussi.En effet : on construit une b.o.n.d (i , j ) de telle sorte que u = ‖u‖i , on a alors u(‖u‖,0) et v(a,b) d’où[u, v] = ‖u‖b or cette quantité représente effectivement l’aire annoncée (base fois hauteur).

– En dimension 3 : si E est un espace euclidien orienté de dimension 3, et (u, v, w) est une base (quel-conque) de E, alors [u, v, w] est le volume orienté du parallélépipède construit sur u, v et w , positif si(u, v, w) est dans le sens directe, négatif sinon. Lorsque (u, v, w) est liée, le résultat est encore valablecar le produit mixte est nul dans ce cas, et le volume aussi (vecteurs coplanaires).En effet : on construit une b.o.n.d (i , j ,k) de telle sorte que u = ‖u‖i , v = ai +b j et b > 0, on a alorsu(‖u‖,0,0), v(a,b,0) et w(α,β,γ), d’où [u, v, w] = ‖u‖bγ = [u, v]γ (produit mixte [u, v] dans le plan(i , j ) orienté par k), cette quantité représente effectivement le volume annoncé (base fois hauteur).

III ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX EN DIMENSION 1 ET 2

1) En dimension 1

Si dim(E) = 1 et si f ∈ O(E), alors f est une homothétie de rapport λ ∈R, mais f conserve la norme donc∀ x ∈ E,‖λx‖ = ‖x‖, ce qui donne en prenant x 6= 0, |λ| = 1, d’où O(E) = ±idE et SO(E) = idE.

2) En dimension 2

Soit E un plan euclidien orienté et soit f ∈ O(E), on peut effectuer la classification suivant les invariantsde f , c’est à dire suivent le s.e.v. F = ker( f − idE).

– dim(F) = 2 : alors f = idE ∈ SO(E) .

– dim(F) = 1 : alors F = Vect[u] est une droite vectorielle (avec u unitaire) stable par f , donc F⊥ estune droite vectorielle stable par f également et sur laquelle le seul vecteur invariant est 0, donc larestriction de f à F⊥ est −idF⊥ . Soit v un vecteur unitaire de F⊥, alors B= (u, v) est une b.o.n de E et on

a matB

( f ) =(1 00 −1

), donc f est la réflexion d’axe F .

Soit B′ = (i , j ) une b.o.n.d, il existe un réel θ tel que u = cos(θ/2)i + sin(θ/2) j , on prend alors v =−sin(θ/2)i +cos(θ/2) j , la matrice de passage de B′ à B est P =

(cos(θ/2) −sin(θ/2)sin(θ/2) cos(θ/2)

), et la matrice

de f dans la base B′ est matB′

( f ) =(cos(θ) sin(θ)sin(θ) −cos(θ)

).

– dim(F) = 0, seul 0 est invariant par f , soit B= (i , j ) une b.o.n.d de E, alors matB

( f ) = A =(

a bc d

), avec

a2 + c2 = 1

b2 +d 2 = 1

ab + cd = 0

, avec les complexes z = a+i c et z ′ = b+i d , on a |z| = |z ′| = 1, donc z = e iθ, z ′ = e iθ′ , avec

Re(zz ′) = ab+cd = 0, donc cos(θ−θ′) = 0, d’où θ′ = θ+π/2+kπ, ce qui donne

b = cos(θ′) =−sin(θ)

d = sin(θ′) = cos(θ),

ou bien

b = cos(θ′) = sin(θ)

d = sin(θ′) =−cos(θ), mais le second cas correspond à une réflexion d’après l’étude précé-

dente, il reste donc : matB

( f ) =(cos(θ) −sin(θ)sin(θ) cos(θ)

), cette matrice est notée R(θ), c’est la matrice d’une

rotation (déterminant 1).

Soit u un vecteur non nul, et soit v = f (u), notons X =(

ab

)les coordonnées de u dans la base B, alors

les coordonnées de v sont X′ = AX =(

a cos(θ)−b sin(θ)a sin(θ)+b cos(θ)

), d’où l’affixe de v , zv = a cos(θ)−b sin(θ+



MO

NTA

IGN

E

Endomorphismes orthogonaux en dimension 1 et 2 Chapitre 26 : Espaces euclidiens

i (a sin(θ)+b cos(θ)) = e iθ(a + i b) = e iθzu , donc θ est l’angle orienté des deux vecteurs u et v . On ditque f est la rotation d’angle θ .

En dimension 2, la matrice de la rotation d’angle θ est R(θ) dans toutes les b.o.n.d de E.

À retenir

En résumé :

→ SO(E) = f ∈ O(E) / ∃ θ ∈R,matB

( f ) = R(θ), où B est une b.o.n.d quelconque de E

→ O−(E) = f ∈ O(E) / ∃ θ ∈R,matB

( f ) =(cos(θ) sin(θ)sin(θ) −cos(θ)

),

où B est une b.o.n.d quelconque de E. Ce sont des réflexions d’axe Vect[u]où u = cos(θ/2)i + sin(θ/2) j .

→ SO2(R) = R(θ) / θ ∈R et O−2 (R) =

(cos(θ) sin(θ)sin(θ) −cos(θ)

)/ θ ∈R

−→ı

−→ θ/2

DD⊥

−→x2

−→x =−→x1 +−→x2

−→x1

s(−→x ) =−→x1 −−→x2

−−→x2

−→ı

−→θ

−→x

r (−→x )

FIGURE 26.2: Réflexion et rotation

Propriété : L’application R :R→ SO2(R) définie par R(θ) =(cos(θ) −sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)est un morphisme de groupes

surjectif. En particulier, on a R(0) = I2 et ∀ θ,θ′ ∈R,R(θ+θ′) = R(θ)×R(θ′), d’où R(θ)−1 = R(−θ).

Pour tous réels θ et θ′, on a R(θ)×R(θ′) = R(θ+θ′). On en déduit que le groupe des rotations, (SO(E),),est commutatif, ainsi que le groupe (SO2(R),×).

Théorème 26.25 (composée de deux rotations)


On en déduit également que R(−θ)×R(θ) = R(0) = I2 et donc :la bijection réciproque de la rotation d’angle θ est la rotation d’angle −θ.

Composée de deux réflexionsSoit B = (i , j ) une b.o.n.d de E, soit s la réflexion d’axe Vect[u] et s′ la réflexion d’axe Vect

[u′] avec

u = cos(θ/2)i + sin(θ/2) j et u′ = cos(θ′/2)i + sin(θ′/2) j . La matrice de s s′ dans la base B est la matrice

A =(cos(θ) sin(θ)sin(θ) −cos(θ)

)×

(cos(θ′) sin(θ′)sin(θ′) −cos(θ′)

)= R(θ−θ′), donc s s′ est la rotation d’angle θ−θ′ = 2(u′,u)

(mod 2π). Ce calcul montre en même temps, qu’une rotation peut s’écrire comme la composée de deuxréflexions dont une est arbitraire.



MO

NTA

IGN

EChapitre 27

Variables aléatoires sur un univers fini

SommaireI Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

2) Loi d’une VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

3) Image d’une VA par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

II Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

1) Variables certaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

2) Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

3) Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

4) Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

III Espérance et variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

1) Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

2) Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

3) Cas des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

IV Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

2) Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

3) Applications de l’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

4) Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Souvent, lors d’une expérience aléatoire, on ne s’intéresse pas vraiment à l’ensemble des résultats possibles,mais un aspect particulier du résultat, par exemple : la somme obtenue lors d’un lancer de deux dés, le

temps d’attente du premier pile dans un lancer de pièce etc.

I NOTION DE VARIABLE ALÉATOIRE

1) Définition

SoitΩ un univers fini. Toute application X : Ω→ E est appelée variable aléatoire, lorsque E =R, on ditque X est une variable aléatoire réelle (notée VAR). Lorsque X est constante, on parle de VA constanteou de variable aléatoire certaine.

Définition 27.1

Remarque 27.1 –– Notons qu’une variable aléatoire n’est une pas une variable en réalité, mais une application, et n’a rien

d’aléatoire !– L’ensemble des images X(Ω) est un ensemble fini qu’on note parfois X(Ω) = x1, . . . , xn.

ZExemples :– Expérience : on lance deux dés, on note X la somme des chiffres obtenus.

Univers : Ω= J1;6K, X(Ω) = J2;12K.



MONTA

IGNENotion de variable aléatoire Chapitre 27 : Variables aléatoires sur un univers fini

– Expérience : on lance n fois une pièce, on note X le numéro du lancer où apparaît un pîle la premièrefois.Univers : Ω= P,Fn , X(Ω) = J0;nK.

Soit A un événement, l’application 1A : Ω→R définie par 1A(ω) =

1si ω ∈ A

0 sinonest la variable indica-

trice de A.

Définition 27.2 (variable indicatrice d’un événement)

Remarque 27.2 –– L’ensemble des VAR sur Ω est F (Ω,R) qui a une structure de R-espace vectoriel et d’anneau pour les lois

usuelles.– Si X : Ω→ E est une VA et u : E → F est une application, alors u X est une VA sur Ω, elle est généralement

notée u(X).

Événements liés à une VA– Si X : Ω→ E est une VA, si A est une partie de E alors X−1(A) est un événement, on le note généralement

(X ∈ A), on a donc (X ∈ A) = ω ∈Ω / X(ω) ∈ A.– Plus généralement, si P(x) désigne une propriété définie sur E, l’événement ω ∈Ω / P(X(ω)) est noté

(X vérifie P).– Dans le cas particulier d’une VAR, on écrit pour tout x ∈ R : (X 6 x) = ω ∈Ω / X(ω)6 x ; (X > x) =

ω ∈Ω / X(ω)> x ; etc. En particulier (X6 x) = (X < x)∪ (X = x).

2) Loi d’une VA

Si X est une VA sur (Ω,P), l’application PX : P (X(Ω)) → [0;1] définie par PX(A) =P(X ∈ A) pour toutepartie A de X(Ω), est une probabilité sur X(Ω), on l’appelle loi de X.

Théorème 27.1

Preuve : On aPX(X(Ω)) =P(X ∈ X(Ω)) =P(Ω) = 1. Soient A et B deux parties disjointes de X(Ω) alors X−1(A) et X−1(B) sontdeux événements incompatibles de Ω, donc PX(A∪B) =P(X−1(A∪B)) =P(X−1(A)∪X−1(B)) =P(X−1(A))+P(X−1(B)) =PX(A)+PX(B).

Remarque 27.3 – Si A est une partie de X(Ω) alors P(X ∈ A) =PX(A) = ∑x∈A

PX(x) = ∑x∈A

P(X = x).

Déterminer la loi de X, c’est déterminer X(Ω) et pour tout x ∈ X(Ω), la probabilité P(X = x). Onremarquera que si X est une VA sur l’univers fini Ω, alors la famille d’événements ((X = x))x∈X(Ω) estun système complet d’événements.

À retenir

Il est clair que ces événements sont incompatibles deux à deux et que :∑x∈(Ω)

P(X = x) =P(⋃

x∈X(Ω)(X = x)) =P(Ω) = 1

Remarque 27.4 – Parfois on ne connaît pas exactement X(Ω) mais un ensemble E contenant X(Ω), dans ce cas,pour x ∉ X(Ω) on trouve P(X = x) = 0.

FExercice 27.1 On lance un dés deux fois, on note X la somme obtenue. Déterminer la loi de X.

Solution 27.1 Ω= J1;6K2, X(Ω) = J2;12K et P(X = k) =P(

(i , j ) ∈ J1;6K2 / i + j = k

). On doit avoir j = k−i ∈ J1;6K, d’où

k −66 i 6 k −1 avec i ∈ J1;6K, d’où la discussion : si k 6 6, alors P(X = k) =k−1∑i=1

P((i ,k − i )) = k−136 , et si 76 k 6 12 alors

P(X = k) =6∑

i=k−6P((i ,k − i )) = 13−k

36 .

FExercice 27.2 Soit X un VAR à valeurs entières, montrer queP(X = k) =P(X6 k)−P(X6 k−1) =P(X> k))−P(X> k+1).

Solution 27.2 Il suffit d’écrire que (X 6 k) = (X = k)∪ (X 6 k − 1) et que (X > k) = (X = k)∪ (X > k + 1) (réunion

d’événements incompatibles).



MONTA

IGNELois usuelles Chapitre 27 : Variables aléatoires sur un univers fini

3) Image d’une VA par une fonction

Soit X une VA sur (Ω,P) et u une fonction définie sur X(Ω), notons Y = u X et X(Ω) = x1, . . . , xn,alors :

∀y ∈ Y(Ω),P(Y = y) = ∑x∈u−1(y)

P(X = x)

Théorème 27.2

Preuve : En effet, (Y = y) = ω ∈Ω / u X(ω) = y

= (X ∈ u−1(

y)).

FExercice 27.3 On lance un dé successivement deux fois, on note X le premier résultat moins le deuxième, déterminer la

loi de X, de |X| et de X2.

Solution 27.3 X(Ω) = J−5;5K, si k = i − j alors i = k + j ∈ J1;6K d’où 1−k 6 j 6 6−k, d’où la discussion, si k 6 0, alors

P(X = k) =6∑

j=1−kP(

(k + j , j )

) = 6+k

36 , et si k > 1, P(X = k) =6−k∑j=1

P((k + j , j )

) = 6−k

36 .

P(|X| = k) =P((X = k)∪ (X =−k)) = 16 si k = 0 et 6−k

18 si k ∈ J1;5K.

P(X2 = k2) =P((X = k)∪ (X =−k)) = 16 et 6−k

12 si k ∈ J1;5K.

Comme on le voit dans l’exemple ci-dessus, deux VA peuvent avoir la même loi sans être égales pour autant !

Attention!

Remarque 27.5 – Si X et Y sont deux VA sur (Ω,P) alors on peut définir les lois de X+Y et de XY :

P(X+Y = z) = ∑(x,y)∈Iz

P((X = x)∩ (Y = y)) où Iz =(x, y) ∈ X(Ω)×Y(Ω) / x + y = z

P(XY = z) = ∑

(x,y)∈Iz

P((X = x)∩ (Y = y)) où Iz =(x, y) ∈ X(Ω)×Y(Ω) / x y = z

II LOIS USUELLES

1) Variables certaines

Une VA est dire certaine lorsqu’elle est constante, auquel cas on a X(Ω) = x1 et donc P(X = x1) = 1.

Définition 27.3

2) Loi uniforme

On dit que la VA X suit une loi uniforme sur X(Ω) = x1, . . . , xn lorsque ∀k ∈ J1;nK ,P(X = xk ) = 1n . Ce

que l’on note X ,→U (X(Ω)).

Définition 27.4

ZExemple : On lance un dé parfait, on note X le chiffre obtenu alors X ,→U (J1;6K).

3) Loi de Bernoulli

Soit p ∈ [0;1] et q = 1−p. On dit que la VA X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, lorsque surX(Ω) = 0,1, P(X = 1) = p et P(X = 0) = q . Ce que l’on note X ,→B(p).

Définition 27.5



MO

NTA

IGN

E

Espérance et variance d’une variable aléatoire Chapitre 27 : Variables aléatoires sur un univers fini

Remarque 27.6 – Cette loi est utile pour les expériences aléatoires ayant deux issues possibles : succès avecprobabilité p ou bien échec avec une probabilité de 1−p, ce que l’on appelle des épreuves de Bernoulli.

ZExemple : La variable indicatrice d’un événement A suit une loi de Bernoulli de paramètre p =P(A).

Remarque 27.7 – Si X et Y sont deux VA qui suivent une loi de Bernoulli, alors XY également.

4) Loi binomiale

Soient n ∈N, p ∈ [0;1] et q = 1−p. On dit que la VA X suit une loi binomiale de paramètres n et p,lorsque sur X(Ω) = J0;nK, et ∀k ∈ J0;nK, P(X = k) = (n

k

)pk (1−p)n−k . Ce que l’on note X ,→B(n, p).

Définition 27.6

On vérifie qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité sur J0;nK.

La loi binomiale apparaît quand on considère le nombre X de succès dans une suite de n épreuves deBernoulli mutuellement indépendantes et dans lesquelles la probabilité du succès est p ∈ [0;1].

À retenir

En effet, on a X(Ω) = J0;nK et l’événement (X = k) est l’ensemble des n-uplets de 1 ou 0 contenant k foisle nombre 1, il y en a

(nk

), la probabilité de chacun d’eux est pk (1−p)n−k car les épreuves sont mutuellement

indépendantes, d’où P(X = k) = (nk

)pk (1−p)n−k .

ZExemples :– On effectue n tirages successifs avec remise dans une urne contenant des boules blanches et noires

dans des proportions de p et q = 1− p. On note X le nombre de boules blanches obtenues, alorsX ,→B(n, p).

– Une pièce donne face avec une probabilité p et pile avec une probabilité q = 1−p. On effectue n lancersdans les mêmes conditions à chaque fois, on note X le nombre de faces obtenus, alors X ,→B(n, p).

III ESPÉRANCE ET VARIANCE D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE

1) Espérance

L’espérance d’une variable aléatoire X est le réel noté E(X) et défini par :E(X) = ∑

x∈X(Ω)xP(X = x).

Lorsque son espérance est nulle, on dit que la variable aléatoire X est centrée.

Définition 27.7

Remarque 27.8 – Il s’agit de la moyenne pondérée des valeurs prises par X, car la somme des probabilités vaut1.

ZExemples :

– On lance un dé équilibré, X est le numéro de la face supérieure, E(X) =6∑

i=1

i6 = 21

6 = 72 .

– Si A est un événement, l’espérance de l’indicatrice de A est E(1A) =P(A).– L’espérance d’une variable certaine est la constante.

Si X est une variable aléatoire sur (Ω,P) alors E(X) = ∑ω∈Ω

X(ω)P(ω).Théorème 27.3



MO

NTA

IGN

E


Preuve : Soit X(Ω) = x1, . . . , xp

, soit Ak = X−1(

xk

), alors (A1, . . . , Ap ) est un système complet d’événements et P(Ak ) =∑

ω∈Ak

P(ω). On a donc :

∑ω∈Ω

X(ω)P(ω) =p∑

k=1

( ∑ω∈Ak

X(ω)P(ω)

)

=p∑

k=1

( ∑ω∈Ak

xkP(ω)

)

=p∑

k=1xk

( ∑ω∈Ak

P(ω)

)

=p∑

k=1xkP(Ak ) =

p∑k=1

xkP(X = xk ) = E(X).

Si X et Y sont deux variables aléatoires sur (Ω,P) alors pour tout réel λ :E(λX+Y) = λE(X)+E(Y).

Théorème 27.4 (linéarité de l’espérance)

Preuve : En utilisant le résultat du théorème précédent, on a :

E(λX+Y) = ∑ω∈Ω

[λX(ω)+Y(ω)]P(ω) = λ ∑ω∈Ω

X(ω)P(ω)+ ∑ω∈Ω

Y(ω)P(ω) = λE(X)+E(Y).

Si X est une variable aléatoire alors X−E(X) est une variable aléatoire centrée. C’est la variable aléatoirecentrée associée à X.

À retenir

FExercice 27.4 Une urne contient n boules numérotées de 1 à n, on les tire successivement et sans remise, on dit qu’il y

a rencontre au tirage i lorsque la boule tirée est la boule numéro i . Déterminer le nombre moyen de rencontres.

Solution 27.4 Soit X le nombre de rencontres, on demande E(X), notons Xi la variable aléatoire qui vaut 1 si le i e tirage

est une rencontre, 0 sinon (variable de Bernoulli), on a alors X = X1 +·· ·+Xn et donc E(X) =n∑

i=1E(Xi ) =

n∑i=1

P(Xi = 1). On

peut modéliser l’expérience par le choix équiprobable d’une permutation des n boules, on alors P(Xi = 1) = (n−1)!n! = 1

n

(autrement dit Xi ,→B( 1n )) et donc E(X) = 1.

Si X est une variable aléatoire positive ou nulle sur (Ω,P) alors :• E(X)> 0 (positivité).• E(X) = 0 ⇐⇒P(X = 0) = 1, on dit que la variable X est presque sûrement nulle.

Théorème 27.5 (positivité de l’espérance)

Preuve : Le premier point découle de la définition d’espérance E(X) =n∑

k=1xkP(X = xk ), car chaque valeur xk de X est

positive ou nulle et les probabilités aussi. Si cette somme est nulle, alors tous les termes doivent être nuls, X prend doncnécessairement la valeur 0 (sinon E(X) > 0 car les probabilités ne peuvent pas être toutes nulles) et pour xk 6= 0 on aforcément P(X = xk ) = 0), ce qui entraîne que P(X = 0) = 1 puisque la somme des probabilités doit faire 1. La réciproqueest immédiate.

Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles définies sur (Ω,P) telles que X6 Y, alors E(X)6 E(Y).Théorème 27.6 (croissance de l’espérance)

Preuve : La variable Z = Y−X est positive, donc E(Z)> 0, la linéarité permet alors d’écrire E(Y)−E(X)> 0 ce qui donnele résultat.



MO

NTA

IGN

E


Pour tout variable aléatoire positive X on a :∀a > 0, P(X> a)6 E(X)

a .

Théorème 27.7 (inégalité de Markov)

Preuve : Notons A = x ∈ X(Ω) / x > a, A ⊂ X(Ω) donc :E(X) = ∑

x∈X(Ω)xP(X = x)>

∑x∈A

xP(X = x)> a∑

x∈AP(X = x) = aP(A), d’où P(A)6 E(X)

a .

Remarque 27.9 – On peut aussi montrer l’inégalité de Markov en remarquant que 1X>a 6 Xa et utiliser la

croissance de l’espérance.

Si X est une variable aléatoire sur (Ω,P) et si u est une application de X(Ω) vers R, alors :E(u(X)) = ∑

x∈X(Ω)u(x)P(X = x).

Théorème 27.8 (de transfert)

Preuve : Posons X(Ω) = x1, . . . , xn et Ak = X−1(

xk), alors (A1, . . . , An) est un système complet d’événements de Ω, et

on a :

E(u(X)) = ∑ω∈Ω

u(X(ω))P(ω)

=n∑

k=1

( ∑ω∈Ak

u(X(ω))P(ω)

)=

n∑k=1

u(xk )

( ∑ω∈Ak

P(ω)

)

=n∑

k=1u(xk )P(Ak ) =

n∑k=1

u(xk )P(X = xk )

= ∑x∈X(Ω)

u(x)P(X = x)

Remarque 27.10 – La formule de droite proposée dans le théorème n’est autre que l’espérance de la variablealéatoire u sur l’espace probabilisé (X(Ω),PX). Cette formule fait intervenir la loi de probabilité de X mais pascelle de u(X), ce qui fait son interêt.

FExercice 27.5 Si X ,→U (J1;nK), calculer E(X2) et E(eX).

Solution 27.5 E(X2) =n∑

k=1k2 1

n = (2n+1)(n+1)6 , et E(eX) =

n∑k=1

ek 1n = e(en−1)

n(e−1) .

2) Variance et écart-type

Soit X un variable aléatoire réelle et r ∈N, on appelle moment d’ordre r de la variable X l’espérancede la variable aléatoire Xr , c’est à dire le nombre E(Xr ) = ∑

x∈X(Ω)xrP(X = x) (théorème de transfert), on

le note parfois mr (X).

Définition 27.8 (moments d’une variable aléatoire)

Remarque 27.11 – Le moment d’ordre 0 vaut 1, et le moment d’ordre 1 est l’espérance.

On appelle variance de la variable aléatoire X le réel V(X) = E([X−E(X)]2

), et l’écart-type de X est le

réel σ(X) =pV(X).

Définition 27.9 (variance, écart-type)



MO

NTA

IGN

E


Remarque 27.12 –– La définition a bien un sens puisque X − E(X) est une variable aléatoire. Ces notions permettent de

mesurer la dispersion de X autour de sa valeur moyenne.– V(X) = 0 ⇐⇒P(X = E(X)) = 1, la variable aléatoire X est presque sûrement constante.– Il résulte du théorème de transfert que V(X) = ∑

x∈X(Ω)(x −E(X))2P(X = x), mais la formule la plus utilisée

est celle du théorème suivant.

Si X est une variable aléatoire réelle sur (Ω,P) alors V(X) = E(X2)− (E(X))2.

Théorème 27.9 (formule de Kœnig-Huygens)

Preuve : En effet :(X−E(X))2 = X2 +E(X)2 −2XE(X), l’espérance étant linéaire, on a V(X) = E(X2)+E(X)2 −2E(X)E(X) = E(X2)− (E(X))2.

FExercice 27.6

1/ Si X(Ω) = J1;nK et P(X = k) = ak. Calculer a, E(X) et V(X).

2/ Si X est une VAR, déterminer le minimum de la fonction f : t 7→ E([X− t ]2) sur R.

Solution 27.6

1/ On doit avoirn∑

k=1ak = 1 d’où a = 2

n(n+1) . E(X) =n∑

k=1ak2 = 2

n(n+1)(2n+1)n(n+1)

6 = 2n+13 . E(X2) =

n∑k=1

ak3 = n(n+1)2 ,

V(X) = E(X2)−E(X)2 = n(n+1)2 − (2n+1)2

9 = (n−1)(n+2)18 .

2/ f (t) = E(X2)−2tE(X)+ t 2 = (t −E(X))2 +E(X2)−E(X)2 = (t −E(X))2 +V(X), cette quantité est minimale lorsquet = E(X) et le minimum est V(X).

Il est parfois judicieux de calculer E(X(X−1)) ou E(X(X+1)) pour en déduire E(X2).

À retenir

Soit X une variable aléatoire réelle sur (Ω,P) alors :• V(X)> 0.• ∀a,b ∈R, V(aX+b) = a2V(X) et σ(aX+b) = |a|σ(X).• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : ∀ε> 0, P(|X−E(X)|> ε|)6 V(X)

ε2 .


Preuve :• Par définition, V(X) = E([X−E(X)]2) qui est donc un réel positif par positivité de l’espérance.• On a E(aX+b) = aE(X)+b d’où [(aX+b)−E(aX+b)]2 = a2[X−E(X)]2 et donc V(aX+b) = E(a2[X−E(X)]2) = a2V(X).En prenant la racine carrée on obtient σ(aX+b) = |a|σ(X).• Soit Y = [X −E(X)]2, alors P(|X −E(X)| > ε|) = P(Y > ε2) 6 E(Y)

ε2 (inégalité de Markov), ce qui donne exactement lerésultat.

Applications :– Une variable aléatoire dont l’écart-type vaut 1 est appelée variable aléatoire réduite. Si X est une VAR dont la

variance est non nulle, alors la variable aléatoire X∗ = X−E(X)σ(X) est une variable aléatoire centrée réduite, appelée

variable centrée réduite associée à X.– L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev apporte réellement un renseignement lorsque V(X)

ε2 6 1, mais cette majo-ration est en général assez grossière et son intérêt est surtout théorique. Elle indique néanmoins que X prenddes valeurs proches de sa moyenne avec une grande probabilité. On peut également l’écrire sous la forme :P(|X−E(X)| < ε)> 1− V(X)

ε2 .

3) Cas des lois usuelles



MO

NTA

IGN

E

Couples de variables aléatoires Chapitre 27 : Variables aléatoires sur un univers fini

• Si X est une variable certaine de valeur a ∈R, alors E(X) = a et V(X) = 0.• Si X suit la loi uniforme sur x1, . . . , xn alors E(X) = x1+···+xn

n . En particulier si X ,→ U (J1;nK) alors

E(X) = n+12 et V(X) = n2−1

12 .• Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0;1] alors E(X) = p et V(X) = p(1−p).• Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X) = np et V(X) = np(1−p).

Théorème 27.11

Preuve :• Immédiat.

• Si X ,→U (J1;nK) : E(X) =n∑

k=1

kn = n+1

2 , E(X2) =n∑

k=1

k2

n = (2n+1)(n+1)6 , d’où V(X) = (2n+1)(n+1)

6 − (n+1)2

4 = (n+1)(n−1)12 .

• Si X ,→B(p), E(X) =P(X = 1) = p, X2 suit la même loi que X donc V(X) = p −p2 = p(1−p).

• Si X ,→B(n, p), il s’agit de calculer E(X) =n∑

k=0k(n

k

)pk qn−k (avec q = 1−p), cette expression est la dérivée en 1 de la

fonction f (x) =n∑

k=0

(nk

)xk pk qn−k = (px +q)n , d’où f ′(x) = pn(px +q)n−1 et donc f ′(1) = np.

Autre méthode : une pièce donne face avec une probabilité p et pile avec une probabilité q = 1−p. On effectue nlancers dans les mêmes conditions à chaque fois, on note X le nombre de faces obtenus, alors X ,→B(n, p). Notons Xi

la variable aléatoire valant 1 si on a obtenu face au lancer numéro i , 0 sinon, alors Xi ,→B(p) et X = X1 +·· ·+Xn , d’oùE(X) = E(X1)+·· ·+E(Xn) = np.

Pour la variance, on calcule E(X(X −1)) =n∑

k=0k(k −1)

(nk

)pk qn−k = f ′′(1) avec les notations ci-dessus, or f ′′(x) =

p2n(n −1)(px +q)n−2 et donc E(X(X−1)) = n(n −1)p2 = E(X2)−E(X), d’où E(X2) = n(n −1)p2 +np = np[np −p +1] etV(X) = E(X2)−E(X)n = np[np −p +1]− (np)2 = np(1−p).

IV COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

1) Définitions

Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω,P) à valeurs dans E pour X et F pour Y, on appelle coupledes variables X et Y, et on note Z = (X,Y), l’application :

Z: Ω → E×Fω 7→ Z(ω) = (X(ω),Y(ω))

.

Définition 27.10

Remarque 27.13 – L’application Z est une variable aléatoire sur (Ω,P) et Z(Ω) ⊂ X(Ω)×Y(Ω).

Soient X : Ω→ E et Y : Ω→ F deux variables aléatoires sur (Ω,P). On appelle loi conjointe du coupledes variables X et Y, la loi de la variable aléatoire Z = (X,Y), c’est à dire l’application :

Z(Ω) → [0;1](x, y) 7→ P([X = x]∩ [Y = y])

.

Définition 27.11 (loi conjointe)

Remarque 27.14 – Déterminer la loi conjointe revient donc à déterminer X(Ω) = x1, . . . , xn et Y(Ω) =y1, . . . , yp

, puis à calculer les probabilités pi j = P([X = xi ]∩ [Y = y j ]) pour (i , j ) ∈ J1;nK× J1; pK. Dans la

pratique on présente la loi conjointe sous forme d’un tableau :

y1 y2 · · · yp

x1

x2

...xn

p11 p12 · · · p1p

p21 p22 · · · p2p

......

...pn1 pn2 · · · pnp

XY



MO

NTA

IGN

E


Si (X,Y) est un couple de variables aléatoires sur (Ω,P), les lois de probabilités de X et de Y sontappelées lois marginales du couple.

Définition 27.12 (lois marginales)

La loi conjointe permet d’obtenir les lois marginales, car on peut écrire (avec les notations précé-dentes) :

P(X = xi ) =p∑

j=1P([X = xi ]∩ [Y = y j ]) =

p∑j=1

pi j

et :

P(Y = x j ) =n∑

i=1P([X = xi ]∩ [Y = y j ]) =

n∑i=1

pi j .

Notation : on écrit pi• =P(X = xi ) et p• j =P(Y = y j ).

À retenir

FExercice 27.7 On lance 2 dés parfaits, on note X le minimum des deux résultats et Y le maximum. Déterminer la loi

conjointe et les lois marginales.

Solution 27.7 On a X(Ω) = Y(Ω) = J1;6K, pour (i , j ) ∈ J1;6K, on a pi j = 0 si i > j , pi i = 136 et pi j = 1

18 si i < j , d’où latable :

1 2 3 4 5 6 pi•

1

2

3

4

5

6

p• j

136

118

118

118

118

118

1136

0 136

118

118

118

118

936

0 0 136

118

118

118

736

0 0 0 136

118

118

536

0 0 0 0 136

118

112

0 0 0 0 0 136

136

136

112

536

736

936

1136

XY

11

La connaissance des lois marginales ne permet pas en général de retrouver la loi conjointe, comme on peut s’enconvaincre sur l’exemple précédent.

Attention!

Soient X : Ω→ E et Y : Ω→ F deux variables aléatoires sur (Ω,P). Soit y ∈ Y(Ω), on appelle loi condi-tionnelle de X sachant (Y = y) la loi de X dans l’espace (Ω,P(Y=y)), c’est à dire l’application :

X(Ω) → [0;1]

x 7→ P(Y=y)(X = x) = P([X=x]∩[Y=y])P(Y=y)

.

De même, soit x ∈ X(Ω), on appelle loi conditionnelle de Y sachant (X = x) la loi de Y dans l’espace(Ω,P(X=x)), c’est à dire l’application :

Y(Ω) → [0;1]

y 7→ P(X=x)(Y = y) = P([Y=y]∩[X=x])P(X=x)

.

Définition 27.13

ZExemple : En reprenant l’exercice précédent, la loi de X sachant (Y = 4) est :

xi 1 2 3 4 5 6P(Y=4)(X = xi ) 2

727

27

17 0 0

Plus généralement P(Y= j )(X = i ) =

0 si i > j1/362 j−1

36

= 12 j−1 si i = j

2/362 j−1

36

= 22 j−1 si i < j



MO

NTA

IGN

E


Il découle de la formule des probabilités totales :

Si (X,Y) est un couple de variables aléatoires sur (Ω,P), on suppose que pour tout x ∈ X(Ω) et touty ∈ Y(Ω), P(X = x) 6= 0 et P(Y = y) 6= 0, alors :

P(X = x) = ∑y∈Y(Ω)

P(Y = y)×P(Y=y)(X = x),

et :P(Y = y) = ∑

x∈X(Ω)P(X = x)×P(X=x)(Y = y),

À retenir

La notion de couple de variables aléatoires se généralise à un n-uplet de variables aléatoires :

Soient, X1, . . . ,Xn des variables aléatoires sur (Ω,P) à valeurs dans E1, . . . ,En respectivement, le vecteuraléatoire Z = (X1, . . . ,Xn) est l’application :

Z: Ω → E1 ×·· ·×En

ω 7→ Z(ω) = (X1(ω), · · · ,Xn(ω)).

La loi conjointe du vecteur Z est la loi de probabilité de la variable aléatoire Z = (X1, . . . ,Xn), c’est àdire l’application :

Z(Ω) →R

(x1, . . . , xn) 7→ P([X1 = x1]∩·· ·∩ [Xn = xn]).

et les lois des variables aléatoires X1, . . . ,Xn sont appelées lois marginales du vecteur Z.

Définition 27.14 (généralisation : vecteurs aléatoires)

2) Indépendance de variables aléatoires

Soient X et Y deux variables aléatoires sur (Ω,P), on dit que X et Y sont indépendantes lorsque :∀A ⊂ X(Ω), ∀B ⊂ Y(Ω), P([X ∈ A]∩ [Y ∈ B]) =P(X ∈ A)×P(Y ∈ B),

c’est à dire les événements (X ∈ A) et (Y ∈ B) sont indépendants.

Définition 27.15

Deux variables aléatoires X et Y sur (Ω,P) sont indépendantes si et seulement si :∀(x, y) ∈ X(Ω)×Y(Ω), P([X = x]∩ [Y = y]) =P(X = x)×P(Y = y).

Théorème 27.12

Preuve : Le sens =⇒ est évident. Montrons la réciproque : soient A une partie de X(Ω) et B une partie de Y(Ω), on a alors[X ∈ A]∩ [Y ∈ B] = ⋃

(x,y)∈A×B[X = x]∩ [Y = y] et ces événements sont incompatibles deux à deux, d’où :

P([X ∈ A]∩ [Y ∈ B]) = ∑(x,y)∈A×B

P([X = x]∩ [Y = y])

= ∑(x,y)∈A×B

P(X = x)×P(Y = y) (d’après l’hypothèse)

= ∑x∈A

∑y∈B

P(X = x)×P(Y = y)

=(∑

x∈AP(X = x)

)×

(∑y∈B

P(Y = y)

)=P(X ∈ A)×P(Y ∈ B)

donc les deux variables aléatoires sont indépendantes.



MO

NTA

IGN

E


Remarque 27.15 – Lorsque X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes sur (Ω,P), la connaissance desdeux lois marginales permet de reconstituer la loi conjointe car pi j = pi•×p• j , et les lois conditionnelles sontégales aux lois marginales.

ZExemple : Dans l’exercice 27.7, les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes.

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes sur (Ω,P), si f est une application sur X(Ω) et gune application sur Y(Ω), alors les variables aléatoires f (X) et g (Y) sont indépendantes.

Théorème 27.13 (indépendance de fonctions de variables aléatoires)

Preuve : Soient a ∈ Im( f ) et b ∈ Im(g ), soit A = f −1(a) et B = g−1(b), alors :

P([ f (X) = a]∩ [g (Y) = b]) =P([X ∈ A]∩ [Y ∈ B]) =P(X ∈ A)×P(Y ∈ B) =P( f (X) = a)×P(g (Y) = b)

Les variables aléatoires f (X) et g (Y) sont donc indépendantes.

Voici un autre résultat utile :

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes sur (Ω,P), et f : X(Ω)×Y(Ω) → E, alors :P( f (X,Y) = z) = ∑

(x,y)∈ f −1(z)P(X = x)×P(Y = y).

À retenir

En effet, il suffit de remarquer que l’événement ( f (X,Y) = z) s’écrit⋃

(x,y)∈ f −1(z)[X = x]∩ [Y = y].

FExercice 27.8 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes sur (Ω,P) suivant la même loi uniforme sur J1;nK.

Déterminer les lois de X+Y et de X−Y.

Solution 27.8 Soit Z = X+Y, alors Z(Ω) = J2;2nK et :

P(Z = k) =min(k−1,n)∑

i=max(k−n,1)P(X = i )×P(Y = k − i )

= min(k −1,n)−max(k −n,1)+1

n2 = n −|n +1−k|n2

=

k−1n2 si k 6 n +1

2n+1−kn2 sinon

De même, en posant H = X−Y, on montre que H(Ω) = J−(n −1); (n −1)K et P(H = k) = n−|k|n2 .

Soit (X1, . . . ,Xn) un vecteur aléatoire sur (Ω,P) à valeurs dans E1 ×·· ·×En . On dit que ces n variablesaléatoires sont :• deux à deux indépendantes : lorsque pour tout couple (i , j ) ∈ J1;nK2, Xi et X j sont indépendantes ;• mutuellement indépendantes : lorsque pour toute partie A1 de E1, A2 de E2, . . . , An de En , lesévénements (X1 ∈ A1), . . . , (Xn ∈ An) sont mutuellement indépendants.

Définition 27.16 (généralisation : indépendance de n variables aléatoires)

Remarque 27.16 – Comme pour les événements, l’indépendance mutuelle des variables aléatoires entraînel’indépendance deux à deux, mais la réciproque est fausse.

En généralisant la preuve du théorème 27.12

Les variables aléatoires X1, . . . ,Xn sur (Ω,P) sont mutuellement indépendantes si et seulement si :pour tout (x1, . . . , xn) ∈ X1(Ω)×·· ·×Xn(Ω), les événements (X1 = x1), . . . , (Xn = xn) sont mutuellementindépendantes.

Théorème 27.14

De même, on montrerait que f1(X1), . . . , fn(Xn) sont mutuellement indépendantes, avec fi : Xi (Ω) → Fi .



MO

NTA

IGN

E


On considère des variables aléatoires X1, . . . ,Xn sur (Ω,P) mutuellement indépendantes.• Soit 1 < p < n, les variables aléatoires Y = (X1, . . . ,Yp ) et Z = (Xp+1, . . . ,Xn) sont indépendantes.• Si f est une fonction à p variables et g à n −p variables, alors f (X1, . . . ,Xp ) et g (Xp+1, . . . ,Xn) sontindépendantes.

Théorème 27.15


Remarque 27.17 – Le résultat ci-dessus se généralise au cas où on partage l’ensemble des n variables aléatoiresen plus de deux parties, on remplace alors « indépendantes » par « mutuellement indépendantes » dans lesconclusions. Par exemple, si X, Y, Z et T sont mutuellement indépendantes, alors XY et ZT sont indépendantes,les variables aléatoires X, Y+Z et T2 sont mutuellement indépendantes etc.

3) Applications de l’indépendance

Si X1, . . . ,Xn n variables aléatoires sur (Ω,P) suivent toutes une même loi de Bernoulli de paramètrep ∈ [0;1], et sont mutuellement indépendantes, alors la somme X1 +·· ·+Xn suit une loi binomiale deparamètre n et p.

Théorème 27.16

Preuve : On a Xi ,→B(p), soit X = X1 +·· ·+Xn , alors X(Ω) = J0;nK, l’événement (X = k) se réalise si et seulement si kdes variables Xi prennent la valeur 1 et les n −k autres la valeur 0, il y a donc

(nk

)cas possibles incompatibles deux à

deux, calculons la probabilité d’un cas : notons Xi1 , . . . ,Xik celles qui prennent la valeur 1 et Xik+1 , . . . ,Xin les autres alorsdu fait de l’indépendance, on a :

P([Xi1 = 1]∩·· ·∩ [Xik = 1]∩ [Xik+1 = 0]∩·· ·∩ [Xin = 0]) =P(Xi1 = 1)×·· ·×P(Xik = 1)×P(Xik+1 = 0)×·· ·×P(Xin = 0) = pk (1−p)n−k .

par conséquent P(X = k) = (nk

)pk (1−p)n−k .

Si X ,→B(n, p), alors on peut écrire X = X1 +·· ·+Xn où les Xi sont mutuellement indépendantes etsuivent toutes la loi de Bernoulli de paramètre p. On a donc E(X) = E(X1)+·· ·+E(Xn) = p+·· ·+p = np.

À retenir

FExercice 27.9 Soit (Xk )k∈J1;mK m variables aléatoires sur (Ω,P) qui suivent toutes une loi binomiale de paramètre (nk , p)(respectivement) avec p ∈ [0;1], et sont mutuellement indépendantes, alors :

X1 +·· ·+Xm ,→B(n1 +·· ·+nm , p).

Solution 27.9 Par récurrence sur m, il suffit de montrer le théorème pour m = 2 : soit Z = X1 +X2, alors Z(Ω) =J0;n1 +n2K et :

P(Z = k) =k∑

i=0P([X1 = i ]∩ [X2 = k − i ])

=k∑

i=0P(X1 = i )×P(X2 = k − i ) (indépendance)

=k∑

i=0

(n1

i

)p i (1−p)n1−i

(n2

k − i

)pk−i (1−p)n2−k+i (en convenant que

(n

k

)= 0 si k > n ou k < 0)

=k∑

i=0

(n1

i

)p i (1−p)n1−i

(n2

k − i

)pk−i (1−p)n2−k+i

=k∑

i=0

(n1

i

)(n2

k − i

)pk (1−p)n1+n2−k

= pk (1−p)n1+n2−kk∑

i=0

(n1

i

)(n2

k − i

)

=(

n1 +n2

k

)pk (1−p)n1+n2−k (formule de Vandermonde)

donc X1+X2 ,→B(n1+n2, p). Le passage du rang n au rang n+1 se ramène au rang 2 en posant X′2 = X2+·· ·+Xn+1.



MO

NTA

IGN

E


Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes sur (Ω,P), alors E(XY) = E(X)E(Y), mais laréciproque est fausse. Le résultat se généralise au produit de n variables aléatoires mutuellementindépendantes.

Théorème 27.17 (espérance d’un produit)

Preuve : Soit Z = (X,Y) et u : (x, y) 7→ x y , alors :

E(XY) = E(u(Z)) = ∑(x,y)∈Z(Ω)

u(x, y)P(Z = (x, y)) (théorème de transfert)

= ∑(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)

x yP(X = x)×P(Y = y)) (indépendance)

=( ∑

x∈X(Ω)xP(X = x)

)( ∑y∈Y(Ω)

yP(Y = y)

)= E(X)E(Y)

une récurrence permet ensuite la généralisation.

FExercice 27.10 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur −1;0;1 et Y la fonction indicatrice de

l’événement (X = 0). Montrer que E(XY) = E(X)E(Y) mais que X et Y ne sont pas indépendantes.

Solution 27.10 Ces variables ne sont pas indépendantes, car P([X = 1]∩ [Y = 1]) = P([X = 1]∩ [X = 0]) = 0 alors que

P(X = 1)×P(Y = 1) = 19 . D’autre part E(X) = 0, E(Y) = 1

3 , et E(XY) = 0 car XY est une variable certaine égale à 0, on a donc

E(XY) = E(X)E(Y).

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes sur (Ω,P), alors V(X +Y) = V(X)+V(Y). Lerésultat se généralise au cas de n variables aléatoires mutuellement indépendantes.

Théorème 27.18 (variance et indépendance)

Preuve : D’après la formule de Kœnig-Huygens, V(X+Y) = E([X+Y]2)− [E(X)+E(Y)]2 avec la linéarité de l’espérance,on a donc V(X+Y) = E(X2)+E(Y2)+2E(XY)−E(X)2 −E(Y)2 −2E(X)E(Y) =V(X)+V(Y) car les variables aléatoires étantindépendantes, on a E(XY) = E(X)E(Y). Une récurrence permet ensuite la généralisation.

Si X ,→B(n, p), alors on peut écrire X = X1 +·· ·+Xn où les Xi sont mutuellement indépendantes etsuivent toutes la loi de Bernoulli de paramètre p. On a donc V(X) =V(X1)+·· ·+V(Xn) = p(1−p)+·· ·+p(1−p) = np(1−p).

À retenir

4) Covariance

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur (Ω,P). On appelle covariance de X et Y le réel définipar :

cov(X,Y) = E([X−E(X)][Y−E(Y)]).

Définition 27.17

Remarque 27.18 – C’est l’espérance du produit des variables centrées associées à X et Y. Lorsque Y = X on acov(X,X) =V(X)> 0, on dit que la covariance est positive.

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur (Ω,P) :• cov(X,Y) = E(XY)−E(X)E(Y) ;• cov(Y,X) = cov(X,Y), la covariance est symétrique;• La covariance est bilinéaire : cov(aX+Y,Z) = acov(X,Z)+cov(Y,Z) (même chose sur la deuxièmevariable) ;

Théorème 27.19 (propriétés de la covariance)



MO

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E


• V(X+Y) =V(X)+V(Y)+2cov(X,Y) ;• Si X et Y sont indépendantes, alors cov(X,Y) = 0 mais la réciproque est fausse.

Preuve :• On a [X−E(X)][Y−E(Y)] = XY−E(X)Y−E(Y)X+E(X)E(Y), on applique ensuite la linéarité de l’espérance ce qui donnela formule ;• immédiat ;• On utilise la formule ci-dessus et la linéarité de l’espérance : E([aX+Y]Z)−E(aX+Y)E(Z) = aE(XZ)+E(YZ)−aE(X)E(Z)−E(Y)E(Z) = acov(X,Z)+cov(Y,Z). Par symétrie on a la linéarité sur la deuxième variable.• D’après un calcul fait plus haut : V(X +Y) = E([X +Y]2)− [E(X)+E(Y)]2 avec la linéarité de l’espérance, on a doncV(X+Y) = E(X2)+E(Y2)+2E(XY)−E(X)2 −E(Y)2 −2E(X)E(Y) =V(X)+V(Y)+2cov(X,Y).• On sait que si X et Y sont indépendantes alors E(XY) = E(X)E(Y) ce qui donne cov(X,Y) = 0.

Remarque 27.19 – La covariance est une forme bilinéaire symétrique et positive, mais ce n’est pas un produitscalaire car V(X) = 0 n’entraîne pas X = 0, mais seulement P(X = m) = 1. On peut cependant établir l’inégalitéde Cauchy-Schwarz pour ce type d’applications, ce qui ce traduit ici par :

cov(X,Y)26V(X)V(Y) ou encore |cov(X,Y)|6σ(X)σ(Y)

FExercice 27.11 On lance deux fois un dé équilibré dans les mêmes conditions, on note S la somme obtenue et D la

différence (premier moins deuxième). Calculer cov(S,D). Les variables aléatoires S et S sont-elles indépendantes ?

Solution 27.11 Soit X le premier résultat et Y le second, alors S = X+Y et D = X−Y, on calcule donc cov(X+Y,X−Y) =V(X)−cov(X,Y)+cov(Y,X)−V(Y) = 0 car X et Y suivent la même loi uniforme sur J1;6K. Les deux variables aléatoires ne

sont pas indépendantes car par exemple P([S = 3]∩ [D = 0]) = 0 alors que P(S = 3) et P(D = 0) ne sont pas nulles.

Si X1, . . . ,Xn sont des variables aléatoires sur (Ω,P) alors :

V(X1 +·· ·+Xn) =n∑

i=1V(Xi )+2

∑16i< j6n

cov(Xi ,Y j ).

Si les variables aléatoires Xi sont deux à deux indépendantes, alors :

V(X1 +·· ·+Xn) =n∑

i=1V(Xi ).

Théorème 27.20

Preuve : La deuxième formule découle de la première, et la première se montre par récurrence sur n.

Lorsque cov(X,Y) = 0 on sait que les variables aléatoires ne sont pas forcément indépendantes, on ditqu’elles sont non corrélées.Plus généralement, lorsque V(X) et V(Y) sont non nuls, on sait que cov(X,Y)

σ(X)σ(Y) ∈ [−1;1], ce nombre estappelé coefficient de corrélation entre X et Y.

Définition 27.18

FExercice 27.12 On suppose que V(X) et V(Y) sont non nuls et le coefficient de corrélation vaut ±1. Montrer qu’il existe

deux réels a et b tel que P(Y = aX+b) = 1, c’est à dire il est presque sûr que Y = aX+b.

Solution 27.12 Reprendre la démonstration du cas d’égalité de Cauchy-Schwarz vue dans les espaces euclidiens en

partant de V(λX+Y)> 0 pour tout réel λ.

FExercice 27.13 Montrer que deux variables de Bernoulli sont indépendantes si et seulement si elles sont non corrélées.

Solution 27.13 Il y a déjà un sens connu : indépendantes implique non corrélées. Supposons X et Y non corrélées

et suivant une loi de Bernoulli de paramètres respectifs p1 et p2, alors XY suit une loi de Bernoulli, de paramètre

p = E(XY) = E(X)E(Y) = p1p2, par conséquent P([X = 1]∩ [Y = 1]) =P(X = 1)×P(Y = 1), les événements (X = 1) et (Y = 1)

sont indépendants, donc (X = 0) et (Y = 1) aussi etc. Les deux variables aléatoires sont indépendantes.



MO

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IGN

EChapitre 28

Intégration sur un segment

SommaireI Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

1) Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

2) Intégrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

II Intégrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

1) Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

2) Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

3) Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

4) Premières propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

III Calcul d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

1) Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

2) Rappels : techniques de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

IV Propriétés de l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

1) Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

2) Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

V Compléments : recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

1) Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

2) Fractions rationnelles en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

3) Fractions rationnelles en ch et sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

4) Fonctions se ramenant aux types précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

5) Polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Dans tout le chapitreK désigne R ou C

I INTÉGRALE DES FONCTIONS EN ESCALIER

1) Fonctions en escalier

Soit f : [a;b] →K une fonction, on dit que f est en escalier sur [a;b] lorsqu’il existe un entier n ∈N∗,des réels x0 = a < x1 < ·· · < xn = b, et des nombres c0, . . . ,cn−1 deK tels que sur chacun des intervallesouverts : ]xk ; xk+1[ la fonction f est constante égale à ck (06 k 6 n −1). On dit aussi parfois que f estconstante par morceaux. L’ensemble des fonctions en escalier sur [a;b] est noté E ([a;b],K).

Définition 28.1

ZExemples :– Une fonction constante sur [a;b] est en escalier.– La fonction partie entière restreinte à [a;b] est en escalier.



MO

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IGN

E

Intégrale des fonctions en escalier Chapitre 28 : Intégration sur un segment

0 1 2 3−1−2−3

0

1

2

−1

−2

−3

−4

FIGURE 28.1: La fonction partie entière sur [−3.5,3.5].

Remarque 28.1 –– La courbe représentative d’une fonction en escalier a la forme d’un escalier !– Les réels x0 = a < ·· · < xn = b de la définition constituent ce que l’on appelle une subdivision de l’inter-

valle [a;b]. Une telle subdivision est dite adaptée à la fonction en escalier f lorsque f est constante surchacun des morceaux (ouverts) de la subdivision. Il est facile de voir qu’il y a une infinité de subdivisionsadaptées à f lorsque f est en escalier. Le réel max06k6n−1 xk+1 −xk est appelé le pas de la subdivision.Lorsque le pas est constant, il vaut b−a

n , on dit que la subdivision est régulière.– La définition ne fait pas intervenir la valeur de f aux points de la subdivision.– Une fonction en escalier sur [a;b] est bornée.

Si σ,σ′ sont deux subdivisions de [a;b], on dit que σ′ est plus fine que σ lorsque les points de lasubdivision σ font partie de la subdivision σ′, ce que l’on note σ ⊂ σ′, si de plus σ est adaptée àf ∈ E ([a;b],K), alors σ′ aussi.

Définition 28.2

Remarque 28.2 –– Si σ,σ′ sont deux subdivisions de [a;b], on note σ∪σ′ la subdivision obtenue en réunissant les points deσ avec ceux de σ′ (et en les rangeant dans l’ordre croissant). Cette nouvelle subdivision est plus fine queles deux précédentes.

– Il en découle que si f et g sont en escalier sur [a;b] alors il existe une subdivision σ de [a;b] qui est à lafois adaptée à f et à g .

L’ensemble E ([a;b],K) est un K-espace vectoriel (et même une K-algèbre) pour les opérationsusuelles sur les fonctions.

Théorème 28.1


2) Intégrale d’une fonction en escalier

Soit f ∈ E ([a;b],K) et soit σ= (xi )06i6n une subdivision de [a;b] adaptée à f , alors la quantité :

Iσ( f ) =n−1∑i=0

(xi+1 −xi )ci ,

où ci désigne la valeur de f sur l’intervalle ]xi , xi+1[, est indépendante de la subdivision adaptée à f .Autrement dit, si σ′ est une autre subdivision adaptée à f , alors Iσ( f ) = Iσ′( f ).

Théorème 28.2



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IGN

E

Intégrale des fonctions continues par morceaux Chapitre 28 : Intégration sur un segment

Preuve : Si on rajoute un point d à la subdivision σ, on obtient une nouvelle subdivision σ′ et il existe un indicej ∈ J0;(n −1)K tel que d ∈]x j , x j+1[, mais alors c j (x j+1 −x j ) = c j (d −x j )+c j (x j+1 −d), on voit donc que Iσ( f ) = Iσ′ ( f ).Par récurrence, on en déduit que si σ′ est une subdivision plus fine que σ, alors Iσ( f ) = Iσ′ ( f ).

Soit σ′ une autre subdivision de [a;b] adaptée à f , la subdivision σ′′ =σ′∪σ est adaptée à f et plus fine que σ et σ′,donc Iσ′′ ( f ) = Iσ′ ( f ) = Iσ( f ).

d 0 1 2 3 4−1−2−3−4

0

1

2

3

4

−1

−2

FIGURE 28.2: Interprétation géométrique

Remarque 28.3 – Géométriquement, si f ∈ E ([a;b],K) et si σ est une subdivision de [a;b] adaptée à f , alorsdans un repère orthonormé, la quantité Iσ( f ) représente l’aire algébrique de la portion de plan délimitée par lacourbe de f , l’axe des abscisses, et les droites d’équation : x = a et x = b, c’est une somme d’aires de rectangles.

Si f ∈ E ([a;b],R), on appelle intégrale de f sur [a;b] le nombre (complexe) noté∫

[a;b] f et défini par :∫[a;b] f = Iσ( f ) =

n−1∑i=0

(xi+1 −xi )ci ,

où σ= (xi )06i6n est une subdivision adaptée à f .

Définition 28.3 (intégrale d’une fonction en escalier)

• L’intégrale de f sur [a;b] ne dépend pas de la valeur de f aux points de la subdivision. Il en découleque si on modifie la valeur de f en un nombre fini de points, la valeur de l’intégrale reste inchangée.• Si f , g ∈ E ([a;b],K) et si f et g coïncident sur [a;b] \ x1, . . . , xn, alors

∫[a;b] f = ∫

[a;b] g car il suffit dechanger la valeur de f aux points x1, . . . , xn pour obtenir la fonction g , ce qui ne change pas l’intégralede f .

À retenir

Soient f , g ∈ E ([a;b],K) :• linéarité :

∫[a;b] f + g = ∫

[a;b] f +∫[a;b] g et si λ ∈K,

∫[a,b]λ f = λ∫

[a;b] f .• positivité : si f est à valeurs réelles positives, alors

∫[a;b] f > 0. On en déduit que si f et g sont à

valeurs réelles et si f 6g, alors∫

[a;b] f 6∫

[a;b] g .• majoration : |∫[a;b] f |6 ∫

[a;b] | f |.• relation de CHASLES 1 : si a < c < b, alors

∫[a;b] f = ∫

[a;c] f +∫[c;b] f .

Théorème 28.3 (Propriétés élémentaires)


II INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX

1) Fonctions continues par morceaux

1. CHASLES MICHEL (1793 – 1880) : mathématicien français, auteur d’importants travaux en géométrie.



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E


Une fonction f : [a;b] →K est dite continue par morceaux sur le segment [a;b], lorsqu’il existe unesubdivision σ= (a = x0, . . . , xn = b) de [a;b] telle que sur chaque morceau ]xk ; xk+1[ la fonction f estcontinue et prolongeable par continuité sur [xk ; xk+1] (i.e. f a une limite finie à droite en xk et àgauche en xk+1).L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a;b] est noté CM ([a;b],K). Plus généralement,on dit qu’une fonction est continue par morceaux sur un intervalle I, lorsque sa restriction à toutsegment inclus dans I est continue par morceaux.

Définition 28.4

ZExemples :– Une fonction continue sur [a;b] est continue par morceaux.– Une fonction en escalier sur [a;b] est continue par morceaux.– La fonction f définie par f (x) = sin( 1

x ) sur ]0;1] et f (0) = 0 n’est pas continue par morceaux sur [0;1].

0 1 2 3 4−1−2−3−4−5

01

2

−1

−2

−3

−4

FIGURE 28.3: Exemple de fonction continue par morceaux

Remarque 28.4 –– Une fonction continue par morceaux sur [a;b] est bornée.– La valeur de f aux points de la subdivision n’intervient pas dans la définition.

L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a;b], CM ([a;b],K), est unK-espace vectoriel(et même uneK-algèbre) pour les opérations usuelles sur les fonctions.

Théorème 28.4


2) Approximation uniforme

Si f : [a;b] →K est continue par morceaux sur le segment [a;b], alors pour tout ε> 0, il existe unefonction ψ en escalier sur [a;b] telle que | f −ψ|6 ε, c’est à dire :

∀t ∈ [a;b], | f (t )−ψ(t )|6 ε.

Théorème 28.5

Preuve :• Cas où f est continue : f est uniformément continue sur [a;b] (théorème de Heine), il existe donc un réel α> 0 tel que

pour tout x, y ∈ [a,b], |x − y | < α=⇒ | f (x)− f (y)| < ε. Soit n = 1+⌊

b−aα

⌋, on a alors

b −a

n< α. Découpons l’intervalle

[a;b] en n morceaux de longueur b−an , on obtient ainsi une subdivision dont les points sont les réels xk = a +k

b −a

npour k ∈ J0;nK. On définit maintenant la fonction g en posant :

g (t ) =

f (b) si t = b

f (xk ) si t ∈ [xk ; xk+1[



MO

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E


il est alors facile de vérifier que pour tout réel t de [a;b], on a | f (t )−g (t )| < ε en distinguant les cas t = b et t ∈ [xk ; xk+1[,on a donc | f − g | < ε.• Cas où f est continue par morceaux : sur chaque morceau ]xk ; xk+1[ la fonction f est prolongeable par continuitésur [xk ; xk+1] en une fonction fk . On sait alors qu’il existe une fonction gk en escalier sur [xk ; xk+1] telle que ∀ t ∈[xk ; xk+1], | fk (t )− gk (t )| < ε, en particulier ∀ t ∈]xk ; xk+1[, | f (t )− gk (t )| < ε.

On construit la fonction g en posant : g (xk ) = f (xk ) et pour t ∈]xk ; xk+1[, g (t ) = gk (t ). Il est clair que g est en escaliersur [a;b] et que ∀ t ∈ [a;b], | f (t )− g (t )| < ε, donc | f − g | < ε.

0 1 2 3−1−2−3

0

1

−1

−2

C f +εC fC f −εCψ

Remarque 28.5 –– C’est l’uniforme continuité de f qui fait aboutir la démonstration.– Si f est continue sur [a,b], alors pour tout ε > 0 il existe deux fonctions en escalier φ et ψ telle que

∀ t ∈ [a;b],ψ(t )6 f (t )6φ(t ) avec φ(t )−ψ(t ) < ε.En effet, on sait qu’il existe une fonction en escalier g telle que | f −g | < ε/2, on a donc pour t ∈ [a;b], g (t )−ε/26 f (t )6 g (t )+ε/2, il suffit donc de prendre ψ= g −ε/2 et φ= g +ε/2.

– Si f ∈CM ([a;b],K) alors il existe une suite (ψn) de fonctions en escalier sur [a;b] telle que :sup

x∈[a;b]| f (x)−ψn(x)| −→

n→+∞ 0.

On dit que la suite (ψn) converge uniformément vers f sur [a;b].

3) Définition de l’intégrale

Soit f ∈CM ([a;b],K) et soit (φn) une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément versf sur [a;b], alors :• la suite (

∫[a;b]φn) converge vers un nombre ` ∈K ;

• ce nombre ` qui ne dépend pas de la suite (φn) choisie.

Théorème 28.6

Preuve : Posons un = ∫[a;b]φn , soit ε > 0, il existe un entier N ∈ N tel que n > N =⇒ |φn − f | < ε, on en déduit que

|φn | < | f |+ε6M+ε où M est un majorant de | f |, on a alors |un |6 (b−a)(M+ε) : la suite u est bornée, on peut donc enextraire une suite convergente : uσ(n) → `, mais pour n>N on a |φn −φσ(n)|6 |φn − f |+ | f −φσ(n)|6 2ε, on en déduitque |un −uσ(n)|6 (b −a)2ε ce qui entraîne que un → `.

Soit (ψn) une autre suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers f , posons vn = ∫[a;b]ψn , d’après

ce qui précède, la suite (vn) converge vers un nombre `′. Soit (gn) la suite de fonctions en escalier définie par g2n =φn

et g2n+1 =ψn , il est facile de voir que (gn) converge uniformément vers f , donc la suite (wn = ∫[a;b] gn) converge vers

un nombre `′′, or w2n = un et w2n+1 = vn , on en déduit que `′′ = `= `′.

Soit f ∈CM ([a;b],K), on appelle intégrale de f sur [a;b] le nombre noté∫

[a;b] f et défini par :∫[a;b] f = lim

n→+∞∫

[a;b]φn ,

où (φn) est une suite de fonctions en escalier sur [a;b] qui converge uniformément vers f .Géométriquement, dans un repère orthonormé, si f est à valeurs réelles, on dit que

∫[a;b] f représente

l’aire algébrique de la portion de plan délimitée par la courbe de f , l’axe des abscisses, et les droitesd’équation x = a et x = b.

Définition 28.5 (intégrale d’une fonction continue par morceaux)



MO

NTA

IGN

E


0 1 2 3−1−2

0

1

2

−1

FIGURE 28.4: Cas d’une fonction continue

4) Premières propriétés de l’intégrale

Soient f , g ∈CM ([a;b],K) et soit λ ∈K, alors :∫[a;b]( f + g ) = ∫

[a;b] f +∫[a;b] g et

∫[a;b]λ. f = λ.

∫[a;b] f .

Théorème 28.7 (linéarité de l’intégrale)

Preuve : Soient (φn) et (ψn) deux suites de fonctions en escalier qui convergent uniformément respectivement versf et g , il est facile de voir que la suite (φn +ψn) converge uniformément vers f + g . D’après la définition, on a∫

[a;b]( f + g ) = limn→+∞

∫[a;b](φn +ψn), la linéarité étant vérifiée pour les fonctions en escalier, on peut écrire que

∫[a;b]( f +

g ) = ∫[a;b]φn +∫

[a;b]ψn , le résultat s’obtient alors par passage à la limite. La preuve est du même type pour le secondpoint.

Remarque 28.6 – Soit f ∈ CM ([a;b],K), posons u = Re( f ) et v = Im( f ). La linéarité de l’intégrale permetd’écrire :

∫[a;b] f = ∫

[a;b] Re( f )+ i∫

[a;b] Im( f ). On peut donc toujours se ramener à intégrer des fonctions àvaleurs réelles (mais ce n’est pas toujours la meilleure solution). D’autre part, on a établi :

Re(∫

[a;b] f ) = ∫[a;b] Re( f ) et Im(

∫[a;b] f ) = ∫

[a;b] Im( f ), d’où∫

[a;b] f = ∫[a;b] f .

Si f ∈CM ([a;b],R) est à valeurs positives, alors 06∫

[a;b] f . En particulier si f , g ∈CM ([a;b],R) et sif 6 g , alors

∫[a;b] f 6

∫[a;b] g .

Théorème 28.8 (positivité)

Preuve : Si f est à valeurs positives, on peut construire une suite (φn) de fonctions en escalier positives, qui convergeuniformément vers f , comme

∫[a;b] f = lim

n→+∞φn , on a le résultat par passage à la limite.

Si f 6 g , on applique ce qui précède à la fonction h = g − f et on conclut avec la linéarité.

Si f ∈CM ([a;b],K), alors |∫[a;b] f |6 ∫[a;b] | f |.

En particulier si | f |6M sur [a;b], alors |∫[a;b] f |6M(b −a).

Théorème 28.9 (majoration en module)

Preuve : Si f est continue par morceaux sur [a;b], alors | f | aussi, et si (φn) est une suite de fonctions en escalier quiconverge uniformément vers f , il est facile de vérifier que la suite (|φn |) est une suite de fonctions en escalier quiconverge uniformément vers | f |, de plus, on sait que |∫[a;b]φn |6

∫[|a;b] |φn |, le résultat s’obtient par passage à la limite.



MO

NTA

IGN

E

Calcul d’une intégrale Chapitre 28 : Intégration sur un segment

Si f ∈CM ([a;b],K) et si a < c < b, alors∫

[a;b] f = ∫[a;c] f +∫

[c;b] f .

Théorème 28.10 (relation de Chasles)

Preuve : Même type de preuve que pour les résultats précédents.

Si f est à valeurs réelles, continue, positive sur [a;b], et si∫

[a;b] f = 0, alors f est nulle sur [a;b].

Théorème 28.11 (cas d’une intégrale nulle)

Preuve : Par l’absurde, supposons f 6= 0, alors il existe t0 ∈ [a;b] tel que f (t0) > 0, soit ε= f (t0)/2, f étant continue en

t0, il existe t1 < t2 ∈ [a;b] tels que ∀ t ∈ [t1; t2], f (t ) > ε. Soit g la fonction en escalier définie par g (t ) =

0 si t ∉ [t1; t2]

ε si t ∈ [t1; t2],

alors on g 6 f , donc∫

[a;b] g 6∫

[a;b] f , or∫

[a;b] g = ε(t2 − t1) > 0, ce qui est contradictoire, donc f est nulle sur [a;b].

Remarque 28.7 – Le théorème ci-dessus est faux si f n’est pas continue sur [a;b], on peut considérer par

exemple la fonction f définie par f (t ) =

1 si t = a

0 sinon, cette fonction est positive, non nulle et d’intégrale nulle.

Si f , g ∈CM ([a;b],K) coïncident sur [a;b] \ x1, . . . , xn, alors∫

[a;b] f = ∫[a;b] g .

Théorème 28.12 (égalité d’intégrales)

Preuve : Posons h = g − f , alors h est une fonction en escalier qui coïncide avec la fonction nulle sauf éventuellementaux points x1, . . . , xn , on sait alors que

∫[a;b] h = 0, et la linéarité entraîne alors le résultat.

Convention d’écritureSi f est continue par morceaux sur un intervalle [a;b], pour x, y ∈ [a;b], on pose :

∫ y

xf (t )d t =

∫

[x;y] f si x < y

0 si x = y

−∫[y ;x] f si y < x

.

Avec cette convention :

Si f ∈CM ([a;b],K) alors :– ∀ x, y ∈ [a;b],

∫ yx f (t )d t =−∫ x

y f (t )d t .

– ∀ x, y, z ∈ [a;b],∫ y

x f (t )d t = ∫ zx f (t )d t +∫ y

z f (t )d t (relation de Chasles généralisée).

Théorème 28.13


III CALCUL D’UNE INTÉGRALE

1) Primitives

Soient f ,F : I →C deux fonctions définies sur un intervalle I de R, on dit que F est une primitive de fsur I lorsque F est dérivable sur I et que F′ = f . L’ensemble des primitives de f sur I est noté P I( f ).

Définition 28.6

Remarque 28.8 – D’après le théorème de Darboux, une dérivée vérifie toujours le théorème des valeursintermédiaires, par conséquent une fonction f qui ne vérifie pas ce théorème (i.e. une fonction f telle que Im( f )n’est pas un intervalle), ne peut pas avoir de primitive sur I.



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Calcul d’une intégrale Chapitre 28 : Intégration sur un segment

Si f : I →C admet une primitive F sur l’intervalle I, alors P I( f ) = F+λ / λ ∈C.Théorème 28.14

Preuve : G ∈P I( f ) ⇐⇒ G′ = F′ ⇐⇒ (G−F)′ = 0 ⇐⇒∃ λ ∈C,G = F+λ (car I est un intervalle).

ConséquenceSi f : I →C admet une primitive F sur I, alors ∀ y0 ∈C,∀ t0 ∈ I, f possède une unique primitive G sur I qui

vérifie G(t0) = y0.

Si f : I →C est continue, alors f admet des primitives sur I. Plus précisément, si t0 ∈ I et y0 ∈C, alorsla fonction F définie sur I par : F(t) = y0 +

∫ tt0

f (u)du, est l’unique primitive de f sur I qui prend lavaleur y0 en t0.

Théorème 28.15 (fondamental de l’intégration)

Preuve : Soit t1 ∈ I, on a |F(t)−F(t1)− (t − t1) f (t1)| = |∫ tt1

f (u)du − ∫ tt1

f (t1)du| = |∫ tt1

( f (u)− f (t1))du|6 |∫ tt1| f (u)−

f (t1)|du|. On se donne ε> 0, f étant continue en t1, il existe α> 0 tel que ∀ u ∈ I, |u− t1| < α=⇒ | f (u)− f (t1)| < ε, doncsi |t − t1| < α, alors |∫ t

t1| f (u)− f (t1)|du|6 |t − t1|ε, d’où :∣∣∣∣F(t )−F(t1)

t − t1− f (t1)

∣∣∣∣6 ε,

on en déduit que F est dérivable en t1 et que F′(t1) = f (t1). La fonction F est donc une primitive de f sur I, et il est clairque F(t0) = y0.

Remarque 28.9 – La continuité de f est essentielle pour la démonstration, prenons f (t ) =

1 si t = 0

0 sinon, alors

avec t0 = y0 = 0, on obtient que F = 0, F est bien dérivable mais ce n’est pas une primitive de f sur [0;1].

Si f : I →C est continue sur l’intervalle I et si F désigne une primitive de f sur I, alors :∀a,b ∈ I,

∫ ba f (t )d t = [F]b

a = F(b)−F(a).

Théorème 28.16 (calcul d’une intégrale)

Preuve : F étant une primitive de f , on a ∀ t ∈ I,F(t ) = F(a)+∫ ta f (u)du, d’où F(b)−F(a) = ∫ b

a f (u)du.

Cas d’une fonction continue par morceauxsi f : [a;b] →C est continue par morceaux, soitσ= (xi )06i6n une subdivision adaptée à f . Sur chacun des

morceaux ]xi ; xi+1[ la fonction f admet un prolongement par continuité fi sur le segment [xi , xi+1], les deuxfonctions coïncidant sur le segment [xi , xi+1], sauf peut être en deux points, on a

∫ xi+1xi

f (t )d t = ∫ xi+1xi

fi (t )d t ,mais fi admet une primitive Fi sur [xi ; xi+1], d’où :

∫ xi+1xi

f = Fi (xi+1)−Fi (xi ), la relation de Chasles donnealors : ∫ b

af (t )d t =

n−1∑i=0

Fi (xi+1)−Fi (xi ).

On peut donc toujours se ramener au cas des fonctions continues et donc à une recherche de primitive.

Si f est de classe C 1 sur l’intervalle I, alors ∀ t , t0 ∈ I, f (t ) = f (t0)+∫ tt0

f ′(u)du.

Théorème 28.17 (lien entre une fonction et sa dérivée)

Si f , g : I →C sont de classe C 1 sur l’intervalle I et si ∀ t ∈ I, | f ′(t )|6 g ′(t ), alors :∀ a,b ∈ I, | f (b)− f (a)|6 |g (b)− g (a)|.

Théorème 28.18 (inégalité des accroissements finis généralisée)



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Propriétés de l’intégration Chapitre 28 : Intégration sur un segment

Preuve : Supposons a < b, on a :| f (b)− f (a)| = |∫[a;b] f ′(u)du|6 ∫

[a;b] | f ′(u)|du6∫

[a;b] g ′(u)du = g (b)− g (a) = |g (b)− g (a)|.

2) Rappels : techniques de calculs

Soient f , g : I →C deux fonctions de classe C 1, alors :∀ a,b ∈ I,

∫ ba f ′(u)g (u)du = [ f (u)g (u)]b

a −∫ b

a f (u)g ′(u)du.

Théorème 28.19 (intégration par parties)

Soit θ : J → I une fonction de classe C 1 sur l’intervalle J, et soit f : I → C une fonction continue surl’intervalle I, alors on a : ∀ a,b ∈ J,

∫ ba f (θ(u))θ′(u)du = ∫ θ(b)

θ(a) f (t )d t .


ZExemples :– Soit I = ∫ 1

0

p1− t 2 d t .

On effectue le changement de variable t = sin(u) avec u ∈ [0; π2 ], on a alors d t = cos(u)du, d’où I =∫ π/20

√1− sin(u)2 cos(u)du = ∫ π/2

0 cos(u)2 du = ∫ π/20

1+cos(2u)2 du =

[u2 + sin(2u)

4

]π/2

0= π

4 . En particulier

on en déduit que la surface du cercle trigonométrique vaut π.– Soit I = ∫ π/3

0 ln(cos(t ))sin(t )d t .On effectue le changement de variable u = cos(t ) avec cos : [0; π3 ] → [ 1

2 ;1] (C 1), on a du =−sin(t )d t et

donc I = ∫ 11/2 ln(u)du = [u ln(u)−u]1

1/2 = ln(2)−12 .

FExercice 28.1 Calculer I = ∫ 10 t

p1− t 2 d t .

Solution 28.1 La fonction à intégrer est de la forme au′u1/2 et s’intègre donc en 2a3 u3/2, d’où :

I = [− 13 (1− t 2)3/2]1

0 = 13 .

IV PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRATION

1) Inégalités

Soit f , g deux fonctions continues par morceaux sur [a;b] et à valeurs réelles, on a :(∫[a;b] f g

)26(∫

[a;b] f 2)(∫

[a;b] g 2)

(inégalité de CAUCHY-SCHWARZ).

Théorème 28.21 (cas d’égalité de Cauchy-Schwarz 2)

Preuve : L’application ( f , g ) 7→ ∫a;b f g n’est pas un produit scalaire sur CM ([a;b],R) c’est néanmoins une forme

bilinéaire symétrique et positive, on peut donc lui appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz, dont on rappelle unepreuve :

Posons a = ∫[a;b] f 2,b = ∫

[a;b] f g et c = ∫[a;b] g 2. Pour tout réel λ on a 06

∫[a;b](λ f + g )2 (intégrale d’une fonction

positive), en développant on obtient par linéarité aλ2 +2bλ+ c > 0. Si a 6= 0 alors on a un trinôme du second degré quiest toujours positif, donc son discriminant est négatif ou nul, i.e. b2 −ac 6 0 ce qui donne exactement l’inégalité deCauchy-Schwarz. Si a = 0 alors pour tout réel λ on a 2bλ+ c > 0 ce qui entraîne b = 0 et donc b26 ac.

Dans le cas des fonctions continues sur [a;b], l’application ( f , g ) 7→ ∫a;b f g est un produit scalaire sur

C 0([a;b],R), on a donc comme dans tout espace préhilbertien réel :

Si f , g sont continues et à valeurs réelles, alors :(∫[a;b] f g

)2 = (∫[a;b] f 2

)(∫[a;b] g 2

)⇐⇒ f et g sont colinéaires.

Théorème 28.22 (cas d’égalité de Cauchy-Schwarz)

2. SCHWARZ HERMANN (1846 – 1921) : mathématicien allemand.



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Propriétés de l’intégration Chapitre 28 : Intégration sur un segment

ZExemple : Soit f : [0;1] →R une fonction de classe C 1 telle que f (0) = 0. Pour t ∈ [0;1] on a f (t ) = ∫ t0 f ′(u)du,

d’où f (t)2 = (∫ t0 f ′(u)du

)26

(∫ t0 1

)(∫ t0 f ′(u)2 du

), ce qui entraîne f (t)26 t

∫ 10 f ′(u)2 du, il en découle alors

que : ∫ 1

0f 2(t )d t 6

1

2

∫ 1

0f ′(u)2 du.

Soi f : [a;b] →C continue par morceaux, majorée par M ∈R+ en module, alors :∣∣∫[a;b] f

∣∣6M(b −a).

Théorème 28.23 (Inégalité de la moyenne)

ZExemple : Soient 0 < a 0. D’après le théorème ci-dessus :cos(εb) ln( b

a )6∫ εbεa

cos(t )t d t 6 cos(εa) ln( b

a ). D’où : limε→0

∫ εbεa

cos(t )t d t = ln( b

a ).

2) Sommes de Riemann

Soit f : [a;b] →C une fonction continue par morceaux et n ∈N∗, on appelle somme de Riemann 3

d’ordre n associée à f la quantité :

Rn( f ) = b−an

n−1∑k=0

f (a +k b−an ).

Définition 28.7

Remarque 28.10 – Soitφ la fonction en escalier sur [a;b] définie parφ(t ) = f (xk ) si t ∈ [xk ; xk+1[ etφ(b) = f (b),alors on a Rn( f ) = ∫

[a;b]φ.

Soit f : [a;b] →C une fonction continue par morceaux on a : limn→+∞

b−an

n−1∑k=0

f (a +k b−an ) = ∫

[a;b] f .

Théorème 28.24 (limite des sommes de Riemann)

Preuve : On se limite au cas où f est de classe C 1 conformément au programme. Comme f ′ est bornée sur le segment[a;b], il existe un réel M ∈R+ tel que ∀t ∈ [a;b], | f ′(t )|6M et donc ∀x, y ∈ [a;b], | f (x)− f (y)|6M|x − y | (IAF).

∣∣∣∣Rn( f )−∫

[a;b]f

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣n−1∑

k=0

∫ xk+1

xk

f (xk )d t −n−1∑k=0

∫ xk+1

xk

f (t )d t

∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣n−1∑

k=0

∫ xk+1

xk

(f (xk )− f (t )

)d t

∣∣∣∣∣6

n−1∑k=0

∣∣∣∣∫ xk+1

xk

(f (xk )− f (t )

)d t

∣∣∣∣6 n−1∑k=0

∫ xk+1

xk

∣∣ f (kk )− f (t )∣∣ d t

6n−1∑k=0

∫ xk+1

xk

M|xk − t |d t 6n−1∑k=0

∫ xk+1

xk

Mb −a

nd t

6n−1∑k=0

M(b −a)2

n2 = M(b −a)2

n

on a donc∣∣Rn( f )−∫

[a;b] f∣∣6 M(b−a)2

n → 0.

Méthode des rectangles de gauche pour le calcul approché d’une intégrale :

Rn( f ) = b−an

n−1∑k=0

f (a +k b−an ) est une valeur approchée de

∫[a;b] f à M(b−a)2

n près où M = supa6t6b

| f ′(t )|.

À retenir

3. RIEMANN GEORG FRIEDRICH BERNHARD (1826 – 1866) : mathématicien allemand dont l’œuvre est colossale.



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Compléments : recherche de primitives Chapitre 28 : Intégration sur un segment

0 1 2 3−1−2

0

1

2

−1

FIGURE 28.5: Méthode des rectangles de gauche

Soit f : [a;b] →C une fonction continue par morceaux on a : limn→+∞

b−an

n∑k=1

f (a +k b−an ) = ∫

[a;b] f .

Théorème 28.25 (méthode de rectangles de droite)

Preuve : Même preuve que le théorème précédent, avec la même majoration de l’erreur.

0 1 2 3−1−2

0

1

2

−1

FIGURE 28.6: Méthode des rectangles de droite

La demi-somme des rectangles de gauche et des rectangles de droite est la méthode des trapèzes :

Tn( f ) = b−an

n−1∑k=0

12 ( f (xk )+ f (xk+1) = b−a

2n [ f (a)+2 f (x1)+·· ·+2 f (xn−1)+ f (b)] → ∫[a;b] f . On admettra

que∣∣Tn( f )−∫

[a;b] f∣∣6 M2(b−a)3

12n2 où M2 = supa6t6b

| f ′′(t )|.

À retenir

0 1 2 3−1−2

0

1

2

−1

FIGURE 28.7: Méthode des trapèzes

ZExemples :

– Étude de certaines suites : soit un =n∑

k=1

1n+k , on a alors un = 1

n

n∑k=1

11+k/n , c’est la méthode des rectangles

de droite appliquée à la fonction f : t 7→ 11+t sur l’intervalle [0;1], la fonction étant continue sur cet

intervalle, on a limun = ∫[0;1] f = ln(2).

– Calcul de certaines intégrales :∫ 2π

0 ln(1−2x cos(t )+x2)d t pour |x| 6= 1 (cf. TD).

V COMPLÉMENTS : RECHERCHE DE PRIMITIVES

Convention : soit f une fonction continue sur un intervalle I, une primitive de f sur I est la fonctionF : x 7→ ∫ x

a f (t )d t où a ∈ I est quelconque, ce qui fait que l’on notera simplement F(x) = ∫ x f (t )d t .



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1) Fonctions usuelles

Fonction Primitive

u′uα uα+1

α+1 si α 6= −1, ln(|u|) sinonu′eu eu

u′ cos(u) sin(u)u′ sin(u) −cos(u)

u′(1+ t an2(u)) = u′cos2(u) tan(u)

u′ch(u) sh(u)u′sh(u) ch(u)

u′(1− th2(u)) = u′ch2(u)

th(u)

u′ tan(u) − ln(|cos(u)|)u′ tan(u)2 tan(u)−u

u′1+u2 arctan(u)

u′p1−u2

arcsin(u)u′p

1+u2argsh(u)

u′pu2−1

argch(u)

u′1−u2 argth(u) = ln(

√∣∣1+u1−u

∣∣)2) Fractions rationnelles en sinus et cosinus

Soit f (t ) une fraction rationnelle en sin(t ) et cos(t ) : f (t ) =∑p,q

ap,q sin(t )p cos(t )q∑p,q

bp,q sin(t )p cos(t )q .

Pour intégrer ce type de fonction on peut appliquer la règle de Bioche :– Si f (−t )d(−t ) = f (t )d t , alors on peut poser u = cos(t ).– Si f (π− t )d(π− t ) = f (t )d t , alors on peut poser u = sin(t ).– Si f (π+ t )d(π+ t ) = f (t )d t , alors on peut poser u = tan(t ).– Sinon on peut poser u = tan(t/2). Rappelons que sin(t ) = 2u

1+u2 et cos(t ) = 1−u2

1+u2 .

Dans tous les cas, on est ramené à une fraction rationnelle en u.

ZExemples :– Calculer une primitive de f (t ) = 1

sin(t )2+3cos(t )2 sur ]−π/2;π/2[.

Solution 28.1 Il s’agit de calculer F(x) = ∫ x f (t)d t = ∫ x d t1+2cos(t )2 , d’après la règle de Bioche, on peut poser

u = tan(t ), ce qui donne du = (1+u2)d t , et donc F(x) = ∫ tan(x) duu2+3

, ce qui donne :

F(x) = 1p3

arctan(tan(x)p

3)+cte.

– Calculer une primitive de f (x) = 1sin(x) sur ]0;π[.

Solution 28.1 Une primitive est F(x) = ∫ x d tsin(t ) , posons u = tan(t/2), on a alors 2du = (1+u2)d t , d’où F(x) =∫ tan(x/2) 2(1+u2)

2u(1+u2)du = ∫ tan(x/2) 1

u du = ln(| tan(x/2)|)+ cte.

3) Fractions rationnelles en ch et sh

Soit F(X,Y) une fraction rationnelle à deux indéterminées X et Y, la fonction f (t ) = F(ch(t ),sh(t )) est unefraction rationnelle en ch et sh. Pour intégrer ce type de fonction, on peut appliquer la règle de Bioche à lafonction g (t ) = F(cos(t ),sin(t )), c’est à dire en remplaçant ch(t ) par cos(t ) et sh(t ) par sin(t ) :

– Si g (−t )d(−t ) = g (t )d t , alors on peut poser u = ch(t ).– Si g (π− t )d(π− t ) = g (t )d t , alors on peut poser u = sh(t ).– Si g (π+ t )d(π+ t ) = g (t )d t , alors on peut poser u = th(t ).– Sinon on peut poser u = exp(t ).



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Dans tous les cas, on est ramené à une fraction rationnelle en u.

ZExemple : Calculons F(x) = ∫ x d tch(t ) sur R, d’après la règle de Bioche, on peut poser u = sh(t), d’où du =

ch(t )d t et F(x) = ∫ sh(x) du1+u2 , et donc : F(x) = arctan(sh(x))+cte.

4) Fonctions se ramenant aux types précédents

– Une fraction rationnelle en t etp

a2 − t 2 peut s’intégrer en posant t = a sin(u), ce qui donne unefraction rationnelle en sin(u) et cos(u).

ZExemple : Une primitive de f (x) =p

1+x −x2 sur [ 1−p52 ; 1+p5

2 ] est F(x) = ∫ x p1+ t − t 2 d t .

On a f (t ) =p

52

√1−

(2t−1p

5

)2, donc F(x) =

p5

2

∫ x√

1−(

2t−1p5

)2d t , on pose sin(u) = 2t−1p

5∈ [−1;1], on peut

donc prendre u ∈ [−π/2;π/2], on a d t =p

52 cos(u)du, et donc :

F(x) = 5

4

∫ arcsin( 2x−1p5

)cos(u)2 du

ce qui donne :

F(x) = 5

8arcsin(

2x −1p5

)+ 2x −1

4

√1+x −x2 +cte.


t 2 −a2 peut s’intégrer en posant t = ach(u), on obtient alors unefraction rationnelle en ch(u) et sh(u).

ZExemple : Une primitive de f (x) =p

x2 −1 sur [1;+∞[ est la fonction F(x) = ∫ x pt 2 −1d t , on pose t =ch(u) avec u ∈ [0;+∞[, on a d t = sh(u)du, et donc F(x) = ∫ ln(x+

px2−1) sh(u)2 du, or sh2(u) = e2u+e−2u−2

4 ,

donc F(x) =[

e2u−e−2u−4u8

]ln(x+p

x2−1), ce qui donne après simplifications :

F(x) = xp

x2 −1− ln(x +p

x2 −1)

2+cte.


t 2 +a2 peut s’intégrer en posant t = ash(u), on obtient alors unefraction rationnelle en ch(u) et sh(u).

ZExemple : Une primitive de la fonction f (x) = 1p1+x2

sur R est la fonction F(x) = ∫ x d tp1+t 2

, on pose

t = sh(u), on a d t = ch(u)du et donc F(x) = ∫ ln(x+p

x2+1) du = ln(x +p

1+x2)+cte.

– Une fraction rationnelle en t et√

at+bct+d peut s’intégrer en posant u =

√at+bct+d , on obtient alors une

fraction rationnelle en u.

ZExemple : Une primitive de f (x) = 1x−px−1

sur [1;+∞[ est la fonction F(x) = ∫ x d tt−pt−1

d t , on pose

u =pt −1, d’où t = u2 +1, donc d t = 2udu et F(x) = ∫ p

x−1 2uduu2−u+1 . Or 2u

u2−u+1 = 2u−1u2−u+1 + 1

(u−1/2)2+3/4 ,

d’où F(x) = ln(x −px −1)+ 4

3

∫ px−1 du(

2u−1p3

)2+1, ce qui donne finalement :

F(x) = ln(x −px −1)+2

p3

3arctan(

2p

x −1−1p3

)+cte.

5) Polynômes trigonométriques

Il s’agit des sommes finies du type∑

p,qai , j cos(x)p sin(x)q . Une telle fonction est un cas particulier de

fraction rationnelle en cos et sin, la règle de Bioche peut s’appliquer, mais il y a parfois plus simple, on est enfait ramené à chercher une primitive de cos(x)p sin(x)q :

– Linéarisation : on écrit que cos(t )p =(

e i t+e−i t

2

)pet sin(t )q =

(e i t−e−i t

2i

)q, puis on développe.

ZExemple :∫ x cos(t )4 sin(t )2 d t , on a :

cos(t )4 sin(t )2 =(

e i t +e−i t

2

)4 (e i t −e−i t

2i

)2

= −cos(6t )−2cos(4t )+cos(2t )+2

32.



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E


Ce qui donne finalement :∫ xcos(t )4 sin(t )2 d t =−sin(6x)

192− sin(4x)

64+ sin(2x)

64+ x

16+cte.

– Changement de variable : lorsque l’un des exposants est impair, par exemple p = 2k +1, on a F(x) =∫ x cos(t )p sin(t )q d t = ∫ x cos(t )2k sin(t )q cos(t )d t , on pose alors u = sin(t ), d’où du = cos(t )d t et doncF(x) = ∫ sin(x)(1−u2)k uq du, c’est un polynôme en u.

ZExemple : Soit à calculer F(x) = ∫ x sin(t )5 d t , on pose u = cos(t ), d’où du =−sin(t )d t et

F(x) =−∫ cos(x)

(1−u2)2 du =−cos(x)5

5+ 2cos(x)3

3−cos(x)+cte



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EChapitre 29

Réduction des endomorphismes

SommaireI Éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292


3) Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

II Réduction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

1) Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

2) Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

III Réduction d’une matrice carrée. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

1) Éléments propres d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

2) Réduction d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

3) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

K désigne un sous-corps de C et E unK-espace vectoriel différent de 0.

I ÉLÉMENTS PROPRES D’UN ENDOMORPHISME

1) Définitions

Soit u ∈L (E), soit λ ∈K, on dit que λ est une valeur propre de u si et seulement si il existe un vecteurx ∈ E non nul, tel que u(x) = λx. Si c’est le cas, on dit que x est un vecteur propre associé à la valeurpropre λ.– L’ensemble des valeurs propres de u est noté Sp(u) (spectre de u).– L’ensemble Eλ(u) = x ∈ E / u(x) = λx est appelé sous-espace propre de u associé à la valeur propreλ. On a Eλ(u) = ker(u −λid).

Définition 29.1

Remarque 29.1 :– λ ∈ Sp(u) ⇐⇒ Eλ(u) 6= 0 ⇐⇒ u −λid est non injectif.– 0 est valeur propre de u si et seulement si u est non injectif, auquel cas le sous-espace propre associé est

ker(u).

ZExemples :– Cas d’une homothétie : l’application u : x 7→ λx admet comme unique valeur propre λ.



MO

NTA

IGN

E

Éléments propres d’un endomorphisme Chapitre 29 : Réduction des endomorphismes

– Utilisation de la méthode de GAUSS : si matB

(u) = 1 2 1

2 32 1

−1 1 0

alors :

u(x) = λx ⇐⇒ (Sλ)

(1−λ)x +2y + z = 0

2x + (3

2−λ)y + z = 0

−x + y −λz = 0

⇐⇒

z +2y + (1−λ)x = 0

−(λ+ 1

2)y + (1+λ)x = 0 [L2 ← L2 −L1]

(2λ+1)y − (λ2 −λ+1)x = 0 [L3 ← L3 +λL1]

⇐⇒

z +2y + (1−λ)x = 0

−(λ+ 1

2)y + (1+λ)x = 0

(−λ2 +3λ+1)x = 0 [L3 ← L3 +2L2]

.

On en déduit que Sp(u) = −12 ; 3+p13

2 ; 3−p132 (le déterminant du système ci-dessus doit être nul). En

résolvant (Sλ) avec ces valeurs de λ on détermine les sous-espaces propres de u.


Si x1, . . . , xp sont des vecteurs propres de u associés à des valeurs propres λ1, . . . ,λp distinctes, alors lafamille (x1, . . . , xp ) est libre.

Théorème 29.1

Preuve : Par récurrence sur p : pour p = 1 il n’y a rien à faire. Supposons le théorème établi au rang p, si x1, . . . , xp+1 sont

des vecteurs propres de u associés à des valeurs propres λ1, . . . ,λp+1 distinctes et sip+1∑i=1

ai xi = 0, alors en appliquant

u −λp+1id, il restep∑

i=1ai (λi −λp+1)xi = 0, l’hypothèse de récurrence entraîne que a1 = . . . = ap = 0, il reste donc

λp+1xp+1 = 0 et donc λp+1 = 0, le théorème est démontré au rang p +1.

Application – En dimension n (dim(E) = n), un endomorphisme u ne peut pas avoir plus de n valeurs propres.

Si x est un vecteur propre de u associée à la valeur propre λ et si P(X) ∈K[X], alors x est un vecteurpropre de P(u) associé à la valeur propre P(λ).

Théorème 29.2

Preuve : On a u(x) = λx, donc ∀k ∈N,uk (x) = λk x, le résultat en découle.

Application – Si P(X) est un polynôme annulateur de u (i.e. P(u) = 0), alors les valeurs propres de u sont racines de P(X).La réciproque est fausse, c’est à dire : les racines de P ne sont pas forcément des valeurs propres de u, par exemple :(X−1)(X−2) annule id, mais 2 n’est pas valeur propre de id.

Dans la suite de ce chapitre, E est de dimension finie.

Soit u ∈L (E) et λ ∈K, alors λ est valeur propre de u ssi det(u −λid) = 0.Théorème 29.3

Preuve : Cela découle de l’équivalence : u −λid injective ⇐⇒ u −λid bijective valable en dimension finie.



MO

NTA

IGN

E

Éléments propres d’un endomorphisme Chapitre 29 : Réduction des endomorphismes

Remarque 29.2 – u est un automorphisme si et seulement si 0 n’est pas valeur propre de u. Si c’est le cas et si xest un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ, alors x est un vecteur propre de u−1 associé à la valeurpropre 1

λ .

3) Polynôme caractéristique

Soient B, soit u ∈L (E), A = matB

(u), soit x ∈K, alors det(u − xid) = det(matB

(u − xid)) = det(A− xIn). En

notant bi j les coefficients de la matrice A−xIn , on a det(u−xid) = ∑σ∈Sn

ε(σ)b1σ(1) · · ·bnσ(n) ce qui prouve que

l’on a un polynôme en x. CommeK est infini, on peut identifier cette fonction polynomiale avec le polynômecorrespondant.

La fonction polynomiale x 7→ det(u −xid) est appelée polynôme caractéristique de u et notée Pu(X).

Définition 29.2

Remarque 29.3 – Le polynôme caractéristique est souvent noté Pu(X) = det(u −Xid) mais cette notation estabusive car X n’est pas un scalaire.

λ est valeur propre de u si et seulement si λ est racine du polynôme caractéristique de u, i.e. :

λ ∈ Sp(u) ⇐⇒ Pu(λ) = 0.

Si c’est le cas, alors la multiplicité de λ dans le polynôme Pu(X) est appelée multiplicité de la valeurpropre λ.

Théorème 29.4

Preuve : Cela découle du théorème précédent.

ZExemples :

– Si la matrice de u dans une base est A = 1 2 1

2 32 1

−1 1 0

, alors Pu(X) =∣∣∣∣∣∣1−X 2 1

2 32 −X 1

−1 1 −X

∣∣∣∣∣∣= (X+ 12 )(−X2 +

3X+1). D’où Sp(u) = −12 ; 3+p13

2 ; 3−p132 .

– Si la matrice de u dans une certaine base est triangulaire : A =

a1 ∗ . . . ∗0

. . .. . .

......

. . .. . . ∗

0 . . . 0 an

, alors Pu(X) =

n∏i=1

(ai −X) = (−1)nn∏

i=1(X−ai ). Donc les valeurs propres de u sont les coefficients diagonaux de A.

– Si u est un projecteur de rang r : E = ker(u − id)⊕ ker(u), donc il existe une base B de E telle quematB

(u) = Jn,n,r , d’où Pu(X) = (1−X)r (−X)n−r = (−1)nXn−r (X−1)r . D’où Sp(u) = 1;0 (si 0 < r < n).

– Si u est une symétrie : E = ker(u − id)⊕ker(u + id), donc il existe une base B de E telle que matB

(u) =

1 0 . . . . . . . . . 0

0. . .

. . ....

.... . . 1

. . ....

.... . . −1

. . ....

.... . .

. . . 00 . . . . . . . . . 0 −1

, d’où Pu(X) = (1−X)r (−1−X)n−r = (−1)n(X−1)r (X+1)n−r avec r = dim[ker(u−

id)]. D’où Sp(u) = ±1 (si 0 < r < n).



MO

NTA

IGN

E

Réduction d’un endomorphisme Chapitre 29 : Réduction des endomorphismes

– Matrice compagnon : soit P(X) = Xn+an−1Xn−1+·· ·+a1X+a0 ∈K[X], la matrice compagnon de P est la

matrice A =

0 · · · · · · 0 −a0

1. . .

......

0. . .

. . ....

......

. . .. . . 0

...0 · · · 0 1 −an−1

, montrer que le polynôme caractéristique de l’endomorphisme

deKn canoniquement associé à A, est (−1)nP(X) (raisonner par récurrence sur n et développer suivantla colonne 1).

Si dim(E) = n et u ∈L (E), alors le polynôme caractéristique de u est de degré n, plus précisément,Pu(X) = (−1)nXn + (−1)n−1tr(u)Xn−1 + . . .+det(u).

Théorème 29.5

Preuve : Soit A la matrice de u dans une base et B = A−xIn , alors Pu(x) = ∑σ∈Sn

ε(σ)b1σ(1) · · ·bnσ(n), le seul terme qui soit

de degré n est celui pour lequel σ= idJ1;nK c’est à dire (a11 −X). . . (ann −X) = (−1)nXn − (−1)n−1tr(A)Xn−1 + . . ., commeles autres termes sont de degré6 n −2, on a les deux premiers termes de Pu(X). Quant au terme constant, il s’obtienten prenant x = 0.

Remarque 29.4 – Le nombre de valeurs propres de u comptées avec leur multiplicité est inférieur ou égal à n,où n est la dimension de E. D’après le théorème de D’ALEMBERT, lorsqueK=C, tout endomorphisme admetexactement n valeurs propres (comptées avec leur multiplicité).

Le polynôme caractéristique de u est un polynôme annulateur de u.Théorème 29.6 (de Cayley-Hamilton)

FExercice 29.1 Preuve du théorème de Cayley-Hamilton.Soit E un espace de dimension finie, soit u ∈L (E) et x0 ∈ E non nul, on poseF = Vect

[uk (x0),k ∈N]

et on note v la restriction de u à F (car F est stable par u).

1/ Montrer que Pv (X) divise Pu(X) [polynômes caractéristiques].

2/ Montrer que Pv (u)(x0) = 0 [on calculera Pv (X)].

3/ En déduire que Pu(u) = 0.

Solution 29.1

1/ F est stable par u, la divisibilité en découle (on peut raisonner matriciellement).

2/ Soit p ∈ N tel que B = (x0, . . . ,up−1(x0)) soit libre et up (x0) = a0 + . . .+ ap−1up−1(x0), alors B est une base deF et la matrice de v dans cette base est la matrice compagnon du polynôme Xp − ap−1Xp−1 − . . .− a0, doncPv (X) = (−1)p [Xp −ap−1Xp−1 − . . .−a0], le résultat en découle.

3/ Pu(u)(x0) = R(u)Pv (u)(x0) = 0, ceci étant vrai pour tout vecteur x0 de E on a bien Pu(u) = 0.

II RÉDUCTION D’UN ENDOMORPHISME

1) Diagonalisation

On dit que u ∈ L (E) est diagonalisable si et seulement si il existe une base B = (e1, . . . ,en) de Econstituée de vecteurs propres de E. Si c’est le cas, alors la matrice de u dans cette base est mat

B(u) =

diag(λ1, . . . ,λn) où λi et la valeur propre associée au vecteur propre ei .

Définition 29.3

Remarque 29.5 – Sur la diagonale de cette matrice on a toutes les valeurs propres de u, on en déduit que lasomme des valeurs propres est tr(u) et que le produit des valeurs propres est det(u) [si u est diagonalisable !].



MO

NTA

IGN

E


Remarque 29.6 – u est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de uest diagonale.

ZExemples :– Une projection est diagonalisable.– Une symétrie est diagonalisable.– L’application u ∈ L (K2) définie par u(x, y) = (2x + y ; x + 2y) est diagonalisable. En effet : Pu(X) =

(2−X)2 − 1 = (1−X)(3−X), donc les valeurs propres sont 1 et 3. Un vecteur propre associé à 1 este1 = (1;−1;) et un vecteur propre associé à 3 est e2 = (1;1). La famille B= (e1,e2) est libre, c’est une

base deK2 et matB

(u) =(1 00 3

).

Si u ∈L (E) admet n valeurs propres distinctes (où n = dim(E)), alors u est diagonalisable (réciproquefausse).

Théorème 29.7

Preuve : Soit λ1, . . . ,λn ces valeurs propres et e1, . . . ,en des vecteurs propres respectivement associés, alors on sait quela famille (e1, . . . ,en) est libre, c’est donc une base de E et u est diagonalisable.

La réciproque est fausse : prendre par exemple id.

Remarque 29.7 – Il y a des endomorphismes qui ne sont pas diagonalisables, par exemple u : (x, y) 7→ (x+ y, y)admet une valeur propre double 1, si u était diagonalisable on aurait alors u = id : absurde.

Soit u ∈L (E), soient P, Q deux polynômes premiers entre eux alors :

ker(P(u)Q(u)) = ker(P(u))⊕ker(Q(u))

Théorème 29.8 (lemme des noyaux)

Preuve : D’après le théorème de Bezout il existe deux polynômes S et T tels que SP +TQ = 1, ce qui donne S(u) P(u)+T(u)Q(u) = idE. Soit x ∈ ker(P(u)Q(u)), alors x = idE(x) = S(u)P(u)(x)+T(u)Q(u)(x), en remarquant quele premier vecteur est dans ker(Q(u)) et le suivant dans ker(P(u)) (car les polynômes en u commutent pour la loi ),on montre que ker(P(u)Q(u)) ⊂ ker(P(u))+ker(Q(u)). D’autre part il est clair que ker(Q(u)) ⊂ ker(P(u)Q(u)) et queker(P(u)) ⊂ ker(P(u)Q(u)), par conséquent ker(P(u))+ker(Q(u)) ⊂ ker(P(u)Q(u)). Il reste à montrer que la sommeest directe :

Soit x ∈ ker(P(u))∩ker(Q(u)), on sait que x = S(u)P(u)(x)+T(u)Q(u)(x), or ces deux vecteurs sont nuls, doncx = 0 ce qui termine la preuve.

Remarque 29.8 – Ce théorème se généralise par récurrence sur le nombre de facteurs : si P = P1 · · ·Pr où lespolynômes Pi sont premiers entre eux deux à deux, alors :

ker(P(u)) = ker(P1(u))⊕·· ·⊕ker(Pr (u))

u ∈ L (E) est diagonalisable si et seulement si il existe P(X) ∈ K[X] un polynôme annulateur de uscindé à racines simples.

Théorème 29.9

Preuve : Si u est diagonalisable, alors il existe une base B= (e1, . . . ,en) constituée de vecteurs propres de u, notonsλ1, . . . ,λp les valeurs propres distinctes de u, alors il est facile de vérifier sur la base B que le polynôme P(X) =(X−λ1) . . . (X−λp ) annule u.

Réciproquement : si on a un polynôme annulateur (que l’on peut supposé unitaire) scindé à racines simples :Q(X) = (X−a1) · · ·(X−ar ) où les ai sont distincts deux à deux. D’après le lemme des noyaux, E = ker(Q(u)) = ker(u −a1id)⊕·· ·⊕ker(u −ar id), soit Bi une base de ker(u −ai id) (si ce noyau est réduit à 0 alors on le retire de la somme cequi ne change pas celle-ci). La réunion B=B1 ∪·· ·∪Br est donc une base de E et chacun de ses vecteurs est non nulet appartient à un des ker(u −ai id), ce sont donc tous des vecteurs propres de u : u est diagonalisable.

ZExemples :– Le polynôme X2 −X annule tout projecteur, donc tout projecteur est diagonalisable.– Le polynôme X2 −1 annule toute symétrie, donc toute symétrie est diagonalisable.



MO

NTA

IGN

E


2) Trigonalisation

On dit que u ∈L (E) est trigonalisable lorsqu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u esttriangulaire.

Définition 29.4

Remarque 29.9 :– Sur la diagonale de cette matrice on doit avoir les valeurs propres de u ce qui implique que u admette n

valeurs propres c’est à dire Pu(X) est scindé surK.– Diagonalisable entraîne trigonalisable (réciproque fausse).

u ∈L (E) est trigonalisable si et seulement si Pu(X) est scindé surK (i.e. u admet n valeurs propresdansK).

Théorème 29.10

Preuve : Si u est trigonalisable, alors il existe une base dans laquelle la matrice de u est triangulaire. Soient λ1, . . . ,λn lescoefficients de la diagonale de cette matrice (non nécessairement distincts deux à deux), alors on sait que le polynôme

caractéristique de u est Pu(X) =n∏

i=1(λi −X), il est donc scindé.

Pour la réciproque, elle se fait par récurrence sur n : pour n = 1 il n’y a rien à faire. Supposons le théorème démontréau rang n et supposons E de dimension n +1 avec Pu(X) scindé surK. Soit λ une valeur propre de u et e1 un vecteurpropre associé, on construit une base B de E en complétant (e1) et la matrice de u dans cette base est de la forme :

M =

λ ∗ . . . ∗0 a11 . . . a1,n...

......

0 an,1 . . . an,n

, on a alors Pu(x) = (λ−x)det(A−xIn), on en déduit que le polynôme det(A−xIn) est scindé

surK, donc l’endomorphisme de F = Vect[e2, . . . ,en+1] associé à la matrice A est trigonalisable (HR) : Q−1AQ = T ce qui

entraîne P−1MP =(λ ∗O T

)matrice triangulaire en prenant P =

(1 OO Q

), ce qui signifie que dans une certaine base

(avec P comme matrice de passage) la matrice de u est une matrice triangulaire.

Remarque 29.10 – LorsqueK=C, tout endomorphisme est trigonalisable. La somme des valeurs propres estla trace de l’endomorphisme, et le produit des valeurs propres est son déterminant.

ZExemples :– Un endomorphisme u non nul et nilpotent (∃p ∈N∗,up = 0) est trigonalisable mais non diagonalisable,

plus précisément, il existe une base dans laquelle la matrice de u est triangulaire avec des 0 sur ladiagonale.

– Soit u :K2 →K2 définie par u(x, y) = (3x + y ;−4x − y), le polynôme caractéristique de u est Pu(X) =(X − 1)2, 1 est la seule valeur propre mais u 6= id donc u n’est pas diagonalisable, par contre u esttrigonalisable, un vecteur propre associé à 1 est e1 = (−1;2), prenons e2 = (0;1) alors B′ = (e1,e2) est

une base deK2 et matB′

(u) =(1 −10 1

).

Si λ est valeur propre de u de multiplicité m (i.e. racine de Pu(X) de multiplicité m), alors on appellesous espace caractéristique de u associé à λ le s.e.v ker([u −λidE]m).

Définition 29.5

– Le sous espace caractéristique associé à λ contient le sous espace propre associé à λ.– Les sous espaces caractéristiques de u sont en somme directe et stables par u.

Théorème 29.11



MO

NTA

IGN

E

Réduction d’une matrice carrée. Applications Chapitre 29 : Réduction des endomorphismes

Preuve : Pour le premier point : ker(u −λidE) ⊂ ker([u −λidE]m).Soient λ1, . . . ,λp les valeurs propres distinctes de u de multiplicités respectives m1, . . . ,mp , alors les polynômes

(X−λi )mi sont premiers entre eux deux à deux, donc d’après le lemme des noyaux :

ker(Pu(u)) = ker([u −λ1idE]m1 )⊕·· ·⊕ker([u −λp idE]mp )

Si x ∈ ker([u −λidE]m), alors (u −λ)m u(x) = u (u −λidE)m(x) = 0, donc u(x) ∈ ker([u −λidE]m).

On sait d’après le théorème de Cayley-Hamilton que Pu(u) = 0 et donc :

E = ker([u −λi idE]m1 )⊕·· ·⊕ker([u −λp idE]mp )

Autrement dit, E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u. Soit v la restriction à F =ker([u −λ1idE]m1 ), alors on peut écrire v = λidF +w avec w = (v −λidF), w est un endomorphisme nilpotentde F, donc il existe une base B1 de F dans la quelle la matrice de w est triangulaire avec des 0 sur la diagonale,donc dans cette base la matrice de v est triangulaire avec λ1 sur la diagonale. On procède ainsi pour chaquesous espace caractéristique, on pose alors B=B1 ∪·· ·∪Bp , c’est une base de E dans laquelle la matrice

de u est triangulaire (et même triangulaire par blocs) :

T1 (0) · · · (0)

(0) T2. . .

......

. . .. . . (0)

(0) · · · (0) Tp

. Notons di la dimension de

ker([u −λi idE]mi ), alors Ti =

λi ∗ ·· · ∗0

. . .. . .

......

. . .. . . ∗

0 · · · 0 λi

∈Mdi (K), mais alors le polynôme caractéristique de u est

Pu(X) =p∏

i=1(λi −X)di , or Pu(X) =

p∏i=1

(λi −X)mi , par conséquent on a montré :

Soit u ∈L (E) et Pu(X) =p∏

i=1(λi −X)mi son polynôme caractéristique supposé scindé surK, alors

– la dimension de chaque sous espace caractéristique ker([u −λi id]mi ) est exactement mi , la multi-plicité de λi .

– la dimension du sous espace propre Eλi est inférieure ou égale à mi .– u est diagonalisable ⇐⇒ chaque sous-espace propre Eλi est de dimension mi ⇐⇒ chaque sous-

espace propre Eλi est égal au sous-espace caractéristique ker([u −λi id]mi ).

Théorème 29.12

Remarque 29.11 – Dans la pratique, un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme desdimensions des sous-espaces propres est égale à la dimension de l’espace.

III RÉDUCTION D’UNE MATRICE CARRÉE. APPLICATIONS

1) Éléments propres d’une matrice carrée

Soit A ∈Mn(K) et uA l’endomorphisme deKn canoniquement associé à A.– On dit que λ ∈K est valeur propre de A lorsque λ est valeur propre de uA, on note Sp(A) = Sp(uA)

(spectre de A).– On dit que X ∈Mn,1(K) est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ si et seulement si X

est non nul et AX = λX.– Le sous-espace propre de A associé à la valeur propre λ est Eλ(A) = X ∈Mn,1(K) / AX = λX.

Définition 29.6



MO

NTA

IGN

E


Remarque 29.12 :– En identifiant Mn,1(K) et Kn , les vecteurs propres de A sont les vecteurs propres de uA [idem avec les

sous-espaces propres ].– On a les mêmes propriétés que pour les éléments propres d’un endomorphisme.– Si u ∈ L (E) avec E un K-espace de dimension n, si A est la matrice de u dans une base B de E, alors

Sp(u) = Sp(A) et : x ∈ Eλ(u) ⇐⇒ CoordB(x) ∈ Eλ(A).– On a les équivalences :

λ ∈ Sp(A) ⇐⇒ AX = λX a des solutions X non nulles

⇐⇒ A−λIn est non inversible

⇐⇒ det(A−λIn) = 0.

La fonction polynomiale : x 7→ det(A−xIn) est appelée polynôme caractéristique de A et notée PA(X).

Définition 29.7

Remarque 29.13 – Si u ∈L (E) avec E unK-espace de dimension n, si A est la matrice de u dans une base Bde E, alors Pu(X) = PA(X). On retrouve donc les mêmes propriétés que pour le polynôme caractéristique d’unendomorphisme. En particulier :

– Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.– λ est valeur propre de A si et seulement si PA(λ) = 0.– PA(X) = (−1)nXn + (−1)n−1tr(A)Xn−1 + . . .+det(A).– Le polynôme PA(X) annule la matrice A [théorème de CAYLEY-HAMILTON].– Une matrice et sa transposée ont le même polynôme caractéristique car t[A−xIn] = t(A)−xIn [et deux

matrices transposées ont le même déterminant].

2) Réduction d’une matrice carrée

Soit A ∈Mn(K), on dit que :– A est diagonalisable, si et seulement si A est semblable à une matrice D diagonale, i.e. :

∃P ∈ GLn(K),P−1AP = D.

– A est trigonalisable, si et seulement si A est semblable à une matrice T triangulaire, i.e. :

∃P ∈ GLn(K),P−1AP = T.

Définition 29.8

Remarque 29.14 – Si u ∈L (E) avec E unK-espace de dimension n, si A est la matrice de u dans une base Bde E, alors A est diagonalisable si et seulement si u est diagonalisable [idem avec trigonalisable]. On retrouvedonc les mêmes propriétés que pour la réduction des endomorphismes. En particulier :

– A est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme annulateur de A (non nul), scindé surK et àracines simples.

– A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à lataille de A.

– A est trigonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé surK.

3) Applications

∗ Calcul de la puissance n-ième d’une matrice :



MO

NTA

IGN

E


Si A ∈ Mn(K) est diagonalisable alors il existe P ∈ GLn(K) telle que P−1AP = diag(λ1; . . . ,λn) d’où Ap =Pdiag(λp

1 , . . . ,λpn )P−1.

FExercice 29.2 Déterminer les suites réelles vérifiant :

un+1 = 2un + vn +wn

vn+1 = un +2vn +wn

wn+1 = un + vn +2wn

.

Solution 29.2 En posant A =2 1 1

1 2 11 1 2

, et Xn =un

vn

wn

, on a Xn+1 = AXn , d’où Xn = AnX0. On est ramené à déterminer

An . On voit que AX1 = 4X1 avec X1 =1

11

, que AX2 = X2 avec X2 = 1−10

et AX3 = X3 avec X3 = 0

1−1

donc A est

diagonalisable et P−1AP = diag(4,1,1) avec P =1 1 0

1 −1 11 0 −1

d’où An = Pdiag(4n ,1,1)P−1 = 13

4n +2 4n −1 4n −14n −1 4n +2 4n −14n −1 4n −1 4n +2

.

On en déduit ensuite les expressions.

∗ Résolution de systèmes différentiels linéaires :

FExercice 29.3 Déterminer les fonctions x, y, z C ∞ sur R telles que

x ′ = 4x −3z

y ′ = x − y + z

z ′ = 2x − y

.

Solution 29.3 On a X′ = AX en posant X =x

yz

et A =4 0 −3

1 −1 12 −1 0

. On voit que AU1 = U1 avec U1 =1

11

, on a

E1(A) = Vect[U1], la somme des deux autres valeurs propres vaut S = 2 et le produit P = 1, donc elles sont égales à 1

(i.e. PA(X) = (1−X)3). On en déduit que A est seulement trigonalisable, si on pose U2 =0

21

, U3 =0

10

et P =1 0 0

1 2 11 1 0

,

alors P−1AP =1 −3 0

0 1 −10 0 1

= T. Avec Y = P−1X =a

bc

l’équation devient Y′ = TY, on obtient

a = (α−3βt + 3

2γt 2)e t

b = (β−γt )e t

c = γe t

,

les solutions du système initial sont ensuite données par la relation X = PY.

∗ Résolution d’équations matricielles :

FExercice 29.4 Résoudre l’équation V2 = A avec A = 6 −1 −1

2 3 −1−2 1 5

.

Solution 29.4 Les valeurs propres de A sont 4 et 6 avec E4(A) = Vect[U1,U2] où U1 =1

11

et U2 = 0−11

, E6(A) = Vect[U3]

où U3 = 1

1−1

. On en déduit que A est diagonalisable, soit P =1 0 1

1 −1 11 1 −1

, on a P−1AP = D =4 0 0

0 4 00 0 6

= Y2 en po-

sant Y = P−1VP. La matrice V est diagonalisable car le polynôme (X2−4)(X2−6) annule V et il est scindé à racines simples.

Les s.e.v. E4(A) et E6(A) « sont stables par V », donc U3 est un vecteur propre de V associé à ±p6 et Y =(

B 00 ±p6

)avec B2 = 4I2 donc 1

2 B est une matrice de symétrie, elle est donc de la forme B = 2Q−1(±1 0

0 ±1

)Q avec Q ∈ GL2(K)

(quelconque), puis on en déduit les solutions pour V avec la relation V = PYP−1 = P

2Q−1(±1 0

0 ±1

)Q (0)

(0) ±p6

P−1.



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ETable des matières

1 Éléments de logique 1I Notions ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1) Vocabulaire lié aux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31) Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32) Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54) Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65) Retour sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III Le raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81) Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82) Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83) Démontrer une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84) L’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95) La récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Nombres complexes 11I Écriture algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1) L’ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112) Partie réelle, partie imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123) Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122) Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141) Le groupe unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142) Exponentielle d’un imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153) Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154) Racines nes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

IV Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182) Formules d’Euler et de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

V Représentation géométrique des complexes, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191) Affixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192) Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203) Angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204) Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Calculs algébriques 22I Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222) Changement d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244) Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



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TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

II Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261) Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262) Coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263) Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282) Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283) Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Fonctions usuelles 31I Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1) Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312) La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331) Puissance quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342) Croissance comparée de ces fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III Fonctions circulaires - Inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351) Fonctions circulaires : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352) Inversion des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

IV Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392) Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Généralités sur les fonctions 42I Rappels et compléments sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1) Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422) Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433) Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463) Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472) Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483) Calculs d’intégrales et de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484) Primitives de certaines fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Équations différentielles 51I Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512) Étude de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523) Étude de l’équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

II Équations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541) Étude de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542) Étude de l’équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561) Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562) Équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573) Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57



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7 Applications - Relations 59I Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592) Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613) Famille d’éléments d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

II Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621) Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622) Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633) Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III Images directes, images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

IV Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672) Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683) Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8 Nombres réels 70I L’ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1) Rappels sur les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702) Opérations et ordre sur les réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

II Borne inférieure, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711) Propriété fondamentale de l’ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712) Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733) La droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744) Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

III Approximation d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751) Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752) Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763) Approximations décimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9 Suites numériques 79I Suites réelles, généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792) Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803) Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

II Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812) Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823) Convergence et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824) Convergence et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825) Caractérisations séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

III Suites ayant une limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832) Limite infinie et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843) Limite infinie et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

IV Théorèmes d’existence d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851) Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852) Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853) Le théorème de BOLZANO - WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

V Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862) Les exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

VI Extension aux suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88



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1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882) Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10 Arithmétique 90I Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1) La propriété fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902) La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913) Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914) Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

II Éléments premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931) Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932) Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

III Le plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953) Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

IV Le plus petit multiple commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

V Nombres premiers, décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972) Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993) Notion de valuation p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11 Limite d’une fonction 101I Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012) Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023) Limite à gauche, limite à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

II Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031) Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032) Limite et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043) Limite et composition des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054) Limite et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

III Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061) Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062) Les exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081) Définition de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

12 Continuité 110I Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102) Théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

II Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111) Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112) Continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133) Uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

III Continuité et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141) Image d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142) Monotonie et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114



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3) Théorème des bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

13 Dérivation 117I Dérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172) Théorème généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183) Dérivabilité à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194) Dérivée d’une bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

II Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201) Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202) Les accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213) Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

III Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231) Classe d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232) Formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243) Classe d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244) Classe d’une réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

IV Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253) Classe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

14 Développements limités 127I Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272) Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273) Développements usuels en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

II Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292) Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293) Développements usuels (compléments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

III Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311) Recherche d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312) Étude locale d’une fonction au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323) Étude locale au voisinage de l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324) Recherche d’un équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

15 Structures algébriques 134I Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342) Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

II Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362) Sous-groupes d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

III Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371) Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372) Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139



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16 Polynômes 140I Ensemble des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402) Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

II Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411) Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412) Algorithme de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

III Fonctions polynomiales, racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431) Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432) Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433) Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444) Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455) Relations racines coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

IV Formule de Taylor des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471) Dérivation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472) Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

17 Arithmétique des polynômes 150I Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1) La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502) Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513) Diviseurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

II Éléments premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1521) Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522) Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

III Le plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1521) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533) Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

IV Le plus petit multiple commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1551) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

V Polynômes irréductibles, décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1561) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562) Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563) Notion de P-valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

18 Fractions rationnelles 159I Construction de l’ensemble des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

1) Définition d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1592) Opérations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603) Représentants irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

II Degré, pôles et racines d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611) Notion de degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612) Pôles et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613) Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624) Dérivation d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

III Décomposition d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631) Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632) Éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633) Existence de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

IV Décomposition dans le cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651) Forme de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165



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2) Calcul d’une partie polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663) Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

V Décomposition dans le cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681) Forme de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682) Calcul des éléments simples de seconde espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

VI Applications de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681) Calcul de la dérivée n-ième d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682) Primitives d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

19 Espaces vectoriels 170I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702) Exemples de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713) Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714) Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

II Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721) Définition, noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1722) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733) S.e.v. et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

III S.e.v. d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1741) Sous-espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742) Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753) Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764) S.e.v. supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

IV Projections, symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1771) Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1772) Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

20 La dimension finie 180I Espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

1) Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802) Familles libres, familles liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813) Familles libres et familles liées en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

II Propriétés de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1831) Bases, coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1832) Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863) Applications linéaires et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

III Notion de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1881) Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882) Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893) Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

IV Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911) Hyperplans en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912) Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923) Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

21 Séries numériques 195I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952) Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963) Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

II Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1981) Critère de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982) Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983) Comparaison avec une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199



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III Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001) Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002) Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013) Séries obtenues par une formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014) Développement décimal d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

22 Matrices 204I Matrices, liens avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042) Structure d’espace vectoriel sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063) Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

II Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2091) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092) Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2103) Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

III Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2121) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122) Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

IV Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2151) Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152) Formules du changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163) Changement de bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164) Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

V Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2181) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2182) Propriétés du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

VI Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2191) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2192) Calcul pratique du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203) Calcul pratique de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

23 Dénombrement 224I Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

1) Rappels : injections, surjections, bijections, permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2242) Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2243) Propriétés du cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

II Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2271) Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2272) Le nombre d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2273) Le nombre de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284) Le nombre de bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285) Le nombre de p-parties (ou p-combinaisons) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

24 Probabilités sur un univers fini 230I Univers finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

1) Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2302) Évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

II Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2311) Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2322) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323) Probabilité des événements élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

III Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2331) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2342) Probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2343) Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235



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4) Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236IV Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

1) Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372) Indépendance d’une famille d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

25 Déterminants 239I Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

1) Décomposition des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2392) Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

II Applications n-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412) Développement suivant une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

III Déterminant dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2421) Formes n-linéaires en dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2422) Déterminants de n vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2433) Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

IV Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2441) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2442) Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

V Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2451) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2452) Propriétés du déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2463) Développement suivant une ligne ou une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464) Comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

VI Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2481) Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2482) Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2493) Orientation d’un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

26 Espaces euclidiens 252I Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522) Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543) Bases orthonormales dans un euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554) Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2565) Distance d’un vecteur à un s.e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576) Hyperplans affines dans un euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

II Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2581) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2582) Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2593) Espace vectoriel euclidien orienté - Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

III Endomorphismes orthogonaux en dimension 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2621) En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2622) En dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

27 Variables aléatoires sur un univers fini 264I Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2642) Loi d’une VA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2653) Image d’une VA par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

II Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2661) Variables certaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2662) Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2663) Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2664) Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267



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III Espérance et variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2671) Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2672) Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2693) Cas des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

IV Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2712) Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2733) Applications de l’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2754) Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

28 Intégration sur un segment 278I Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

1) Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2782) Intégrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

II Intégrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2801) Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2802) Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2813) Définition de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2824) Premières propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

III Calcul d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2841) Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2842) Rappels : techniques de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

IV Propriétés de l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2861) Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2862) Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

V Compléments : recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2881) Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2892) Fractions rationnelles en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2893) Fractions rationnelles en ch et sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2894) Fonctions se ramenant aux types précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2905) Polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

29 Réduction des endomorphismes 292I Éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

1) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922) Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2933) Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

II Réduction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2951) Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2952) Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

III Réduction d’une matrice carrée. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2981) Éléments propres d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2982) Réduction d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2993) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

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Cours de mathématiques MPSI · 2020. 10. 12. · GNE Notions ensemblistes Chapitre 1 : Éléments de logique Soient A et B deux ensembles : – L’inclusion: on dit que A est inclus