Fiches de RévisionMPSITOME II - Mathématiques

Jean-Baptiste Théou

Creactive Commons - Version 0.1

Licence

J’ai décidé d’éditer cet ouvrage sous la licence Créative Commons suivante : CC-by-nc-sa.Pour plus d’information :http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/.Ce type de licence vous offre une grande liberté, tout en permettant de protéger mon travail contreune utilisation commercial à mon insu par exemple.Pour plus d’information sur vos droits, consultez le site de Créative Commons

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Avant-propos

Il y a un plus d’un an, au milieu de ma SUP MP, j’ai décidé de faire mes fiches de révision àl’aide de Latex, un "traitement de texte" très puissant. Il en résulte les fiches qui suivent. Je penseque travailler sur des fiches de révision, totalement séparé de notre cours, est un énorme plus, etréduit grandement la quantité de travail pour apprendre son cours, ce qui laisse plus de tempspour les exercices. Mon experience en tout cas va dans ce sens, j’ai notablement progressé à l’aidede ces fiches.J’ai décidé de les rassembler sous forme d’un "livre", ou plutôt sous forme d’un recueil. Ce livreà pour principal interet pour moi d’être transportable en cours. C’est cet interet qui m’a poussé àfaire ce livre.Dans la philosophie de mes fiches de révision, ce livre est disponible gratuitement et librementsur mon blog. Il est édité sous License Créative Commons. Vous pouvez librement adapter celibre à vos besoins, les sources Latex sont disponibles sur mon blog. Je pense que pour être enaccord avec la philosophie de ces fiches, il serai bien que si vous effectuez des modifications demon ouvrage, vous rendiez ces modifications disponible à tous. Je laisserai volontiers une placepour vos modifications sur mon blog. Je pense sincèrement que ce serai vraiment profitable auplus grand nombre, et dans la logique de mon travail.J’ai hiérarchisé mon ouvrage de façon chronologique, tout en rassemblant les chapitres portantsur le même sujet sous une même partie. Les parties sont rangées dans l’ordre "d’apparition" enMPSI. J’ai mis en Annexe des petites fiches de méthodologie, qui peuvent s’avérer utiles.Je vous souhaite une bonne lecture, et surtout une bonne réussite.Jean-Baptiste Théou

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Remerciements

Je tient à remercier tout particulièrement Yann Guillou, ex Professeur de Physique-Chimie enMPSI au Lycée Lesage, actuellement en poste en Guadeloupe, qui m’a permis de consolider mesconnaisances en physique et qui m’a ouvert les yeux sur la réalité de la physique et sur son his-toire. Ces "digressions historiques" resterons de bons moments dans mon esprit, pour longtemps.Je remercie aussi Paul Maheu, Professeur de Mathématiques en MPSI au Lycée Lesage, qui m’apermis d’aquérir de solides connaisances en Mathématiques.Sans eux, ce livre ne pourrai exister.Pour finir, je me dois à mon avis d’insérer cette citation dans mon ouvrage, citation que nous adonné Mr Guillou pour nos premiers coups de crayon en Prépa. Elle est à méditer ....

Je suis convaincu qu’il est plus bénéfiquepour un étudiant de retrouver des

démonstrations à partir de quelquesindications que de les lire et de les relire ....

Qu’il les lisent une fois, qu’il lesretrouvent souvent

SRINIVÂSA AIYANGÂRRÂMÂNUJAN(1886-1920)

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Première partie

Fonctions de R dans R

1

Chapitre 1R

1.1 Définitions

1.2 Structure

Définition 1 (R,+,×) est un corps totalement ordonnée. On dit qu’il est archimédien.

Définition 2 La relation "≤" est une relation d’ordre. Elle est :→ Reflexive :

∀x ∈ R x ≤ x

→ Anti-symétrique :∀(x, y) ∈ R2 si : (x ≤ y, y ≤ x), alors x = y

→ Transitive :∀(x, y, z) ∈ R3 si : (x ≤ y, y ≤ z), alors x ≤ z

1.2.1 Majorant - Minorant

Soit A un ensemble

Majorant

Définition 3 Si M est un majorant de A, avec M ∈ A, alors :

M = Max(A)

Définition 4 Si M est le plus petit des majorants de A, alors M est la borne supérieure de A :

M = Sup(A)

Propriété 1 Si A c R, si Max(A) existe, alors Sup(A) existe et :

Sup(A) = Max(A)

Minorant

Définition 5 Si M est un minorant de A, avec M ∈ A, alors :

M = Min(A)

3

Définition 6 Si M est le plus grand des minorant de A, alors M est la borne inférieure de A :

M = Inf(A)

Propriété 2 Si A c R, si Min(A) existe, alors Inf(A) existe et :

Min(A) = Inf(A)

1.2.2 Borne supérieure - Borne inférieure

Propriété 3 Toute partie de R non vide et minorée possède une borne inférieure.

Propriété 4 Toute partie de R non vide et majorée possède une borne supérieure.

Propriété 5 Toute partie de Z non vide et majorée possède un plus grand éléments. (Max)

1.2.3 Partie bornée de RSoit A une partie de E. On note ceci : A ∈ P (E).

A est bornée si et seulement si :

∃M ∈ R tq ∀a ∈ A, |a| ≤M

Propriété 6 Propriété d’Archimède : Soient (x,y)∈ R et x>0, alors :

∃p ∈ Z tq y < px

1.2.4 Partie entière

Définition 7 Soit x ∈ R.Il existe un unique entier p telque p≤ x<p+1Cette entier p en la partie entière de x. On le note E(x).

Définition 8 En complément, on défini la partie décimale de x, notée D(x) :

D(x) = x− E(x)

1.2.5 Densité

Définition 9 Soit A une partie de RA est dense dans R si, avec x 6= y :

∀(x, y) ∈ R2 ∃a ∈ A tq a ∈]x; y[

Propriété 7 Puisque l’espace des fractions rationnels, notée Q, est dense dans R, si x ∈ R, alors il existeune suite de rationnelle qui converge vers x.

1.3 Partie de RDéfinition 10 Soient (a,b)∈ R2. On appelle segment d’extrémité a,b :

[a, b] = x ∈ R/a ≤ x ≤ b

Définition 11 Soit I une partie de R. I est un intervalle si :

∀x ∈ I, ∀y ∈ I, [x; y] c I

1.3.1 Sous-groupes de (R ;+)

Critère de reconnaissance des sous-groupes

Définition 12 Soit H une partie de R.On dit de H est un sous-groupe de (R ;+) si (H ;+) est un groupe.

Propriété 8 H est un sous-groupe si et seulement si :

1- H c R et H non vide

2- ∀(x; y) ∈ H2, x− y ∈ H

Chapitre 2Dérivation des fonctions de R dans R

2.1 Définitions

2.1.1 Définitions

Définition 13 Soit f définie sur un voisinage d’un réel a. f est dérivable en a si :

limx 7→a

f(x)− f(a)x− a

existe dans RSi f est dérivable, cette limite est le nombre dérivée de f en a.

Propriété 9 Le nombre dérivé est la pente d’une droite passant par a. Cette droite est appelé tangente à lacourbe représentative de f au point d’abscisse a.L’équation de cette tangente est :

y = f(a) + f ′(a)(x− a)

2.1.2 Lien entre tangente et dérivabilité

Soit x ∈ Df .

Propriété 10 Si on peut écrire f(x) sous la forme :

f(x) = f(a) +A(x− a) + ε(x)(x− a)

avec :limx→a

ε(x) = 0

alors f est dérivable en a et f’(a) = A.

2.1.3 Continuité et dérivabilité

Propriété 11 Si f est dérivable en a, alors f est continue en a

Propriété 12 f est dérivable en a si et seulement si :f est dérivable à droite en af est dérivable à gauche en af ′d(a) = f ′g(a)

7

2.1.4 Théorème de Rolle

Théorème 1 Si : f est continue sur [a,b]f est dérivable sur ]a,b[f(a) = f(b)

alors :∃c ∈]a, b[ tq f ′(c) = 0

2.1.5 Théorème des accroissement finies

Théorème 2 Si : f est continue sur [a,b]f est dérivable sur ]a,b[

alors :

∃c ∈]a, b[ tqf(b)− f(a)

b− a= f ′(c)

2.1.6 Inégalité des accroissement finies

Théorème 3 Si : f est continue sur [a,b]f est dérivable sur ]a,b[f’ est borné sur ]a,b[

Soit M un majorant de |f’|, alors :

|f(b)− f(a)| ≤M |b− a|

Conséquence

→ Si f est croissante sur I, alors f’(a) ≥ 0→ Si f et g sont dérivable sur [a,b], avec : ∀x ∈ [a, b] f ′(x) ≤ g′(x), alors :

f(b)− f(a) ≤ g(b)− g(a)

2.1.7 Classe d’une fonction

Soit f fonction, I un intervalle

Définition 14 f est de classe Cn sur I si f (n) est définie et continue sur I

Opération

Propriété 13 Soit I un intervalle, soit n ∈ N .La somme, le produit, la composé de fonction Cn sur I, sont des fonctions Cn sur I

2.1.8 Formulaire

∀n ∈ N , ∀x ∈ R :

cos(n)(x) = cos(x+nπ

2)

sin(n)(x) = sin(x+nπ

2)

2.1.9 Formule de Leinbniz

Soient f et g deux fonctions n fois dérivable sur I :

(fg)n) =n∑k=0

(nk

)f (k).g(n−k)

Chapitre 3Étude locale d’une fonction

3.1 Étude locale

3.1.1 Dominance - Équivalence - Négligeabilité

Soit a ∈ R ∪ +∞,−∞. Soient f et g deux fonctions définie au voisinage de a sauf peut êtreen a.

Définition 15 On dit que f est dominée par g au voisinage de a si ∃Va, voisinage de a telque | fg| soit

majorée de Va

(f(x) = 0(g(x)))⇔ (∃Va, voisinage de a,∃M ∈ R telque ∀x ∈ Va | f(x) |≤M | g(x) |)

Définition 16 On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a, si, pour a ∈ R :

∀ε > 0 ∃α > 0 telque ∀x ∈ ]a+ α; a− α[ |f(x)| ≤ ε|g(x)|

On le note f(x) g(x) et f(x) = o(g(x)). On a :

(f(x) g(x))⇔ ( limx→a

f(x)g(x)

= 0)

La définition est identique si a est infini

Définition 17 On dit que f est équivalent à g, si :

f(x)− g(x) g(x)

On note f(x) ∼ g(x). Et on a :

(f(x) ∼ g(x))⇔ ( limx→a

f(x)g(x)

= 1)

3.1.2 Comparaison successives

Soit f,g,h trois fonctions défini au voisinage de a, sauf peut être en a.Si :→ Si f(x) g(x), g(x) h(x) alors :

f(x) h(x)

→ Si f(x) g(x), g(x) ∼ h(x) alors :

f(x) h(x)

11

→ Si f(x) ∼ g(x), g(x) h(x) alors :

f(x) h(x)

→ Si f(x) ∼ g(x), g(x) ∼ h(x) alorsf(x) ∼ g(x)

3.1.3 Échelle de comparaison

Au voisinage de 0 :

0 .. x2 x 1 ln(x) 1x

Au voisinage de∞

0 1x2 1

x 1 1 ln(x)

√x x2 ex

3.1.4 Règles de Manipulation

Somme de deux fonctions

Si, au voisinage de a :

f(x) ∼ αu(x)g(x) ∼ βu(x)α+ β 6= 0

Alors f(x) + g(x) ∼ (α+ β)u(x)

Produit, rapport, valeur absolu

f(x) ∼ u(x)g(x) ∼ v(x)

Alors f(x)× g(x) ∼ u(x)× v(x)

De plus :f(x)g(x)

∼ u(x)v(x)

Soit α un réel :(f(x))α ∼ (u(x))α

| f(x) |∼| u(x) |

Changement de variable

Le changement de variable dans un équivalent est autorisé, mais pas la composé ne l’est pas.

Propriété 14 Si f(x) ∼ g(x), alors lima f et limb f ont même nature et si elles existent sont égales

3.1.5 Formule de Taylor avec reste de Young

Préliminaire

Théorème 4 Si ϕ est une fonction dérivable sur V0, un voisinage de 0, et si

ϕ(0) = 0∃n ∈ N telque si x→ 0, ϕ′(x) = O(xn)

Alors ϕ(x) = O(xn+1)

Si ϕ est dérivable sur V0 et si :

ϕ(0) = 0si x→ 0, ϕ′(x) = o(xn)

Alors si x→ 0 ϕ(x) = o(xn+1)

Formule de Taylor

Définition 18 Si f est de classe Cn sur V0, alors ∀x ∈ V0 :

f(x) = f(0) + f ′(0)x+ ...+xn

n!f (n)(0) + o(xn)

Si f est de classe Cn sur un voisinage de a, Va, a ∈ R, alors ∀x ∈ Va :

f(x) = f(0) + ...+(x− a)n

n!f (n)(a) + o((x− a)n)

Chapitre 4Développements limités

4.1 Notation de Landau

Définition 19 Si, lorsque x 7→ 0, f(x) g(x), on note :

f(x) = o(g(x))

Soit n,p entiers :→ xn × o(xp) = o(xn+p)→ o(xn)× o(xp) = o(xn+p)→ o(xn) + o(xp) = o(xinf(n,p))→ Si A est un réel fixé :

A× o(xn) = o(xn)

4.2 Définitions

Définition 20 Soit f une fonction définie au voisinage de O.On dit que f possède un développement limité d’ordre n si il ∃(a0, ...an) ∈ Rn telque :

f(x)− (a0 + a1x+ ...+ anxn) xn

donc, au voisinage de 0, f(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn + o(xn).

Il y a unicité du développement limité.On peut faire une combinaisons linéaire de développement limité.

Définition 21 On appelle partie principale du développement limité la fonction polynomiale suivant :

x 7→ a0 + a1x+ ...+ anxn

4.3 Équivalence et développement limité

Définition 22 Si f possède un développement limité d’ordre n au voisinage de 0, si ∃k telque ak 6= 0,notons p l’indice du 1er terme non nuls, alors, au voisinage de 0 :

f(x) ∼ apxp

4.4 Régularité au voisinage de 0 et développement limité

Définition 23 Au voisinage de 0 :→ f est de classe C0 ⇔ ∃ un développement limité d’ordre O

15

→ f est dérivable⇔ ∃ un développement limité d’ordre 1

f est de classe C1 ⇒ ∃ un développement limité d’ordre 1f est de classe C2 ⇒ ∃ un développement limité d’ordre 2

Formule de Taylor-Young

4.5 Développement limités usuels

→ (1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2!x2 + o(x2)

→ cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ o(x6)

→ sin(x) = 1− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ o(x7)

→ ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!+ o(x4)

→ 11− x

= 1 + x+ x2 + ...+ xn + o(xn)

→ ch(x) = 1 +x2

2!+x4

4!+ ...+

x2n

2n!+ o(x2n+1)

→ sh(x) = 1 +x3

3!+x5

5!+ ...+

x2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+1)

→ ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ o(x3)

4.6 Dérivation et Intégration

Définition 24 Pour obtenir le développement limité de f’(x), on dérive terme à terme le développementlimité de f(x).Pour obtenir le développement limité de F(x), une primitive de f(x), on intègre terme à terme :Si f(x) = a0 + ...+ anx

n + o(xn), alors :

F (x) = F (0) + a0x+ ...+ann+ 1

xn+1 + o(xn+1)

4.7 Développement limité au voisinage d’un réel a

Définition 25 Soit f fonction défini au voisinage de a. On dit que f possède, au voisinage de a, un dévelop-pement limité d’ordre n si ∃P ∈ Rn[X] telque :

f(x) = λ0 + λ1(x− a) + ....+ λn(x− a)n + o((x− a)n)

De plus :(f est dérivable en a)⇔ (f est défini en a,et f possède au voisinage de a un développement limité d’ordre 1)

4.7.1 Tangente

Propriété 15 Si, au voisinage de a, f(x) = λ0 + λ1(x− a) + o((x− a)), alors :

y = λ0 + λ1(x− a)

est tangent à la courbe en a. Le terme suivant non nul détermine la position relative de la tangente parrapport à la courbe.

4.8 Développement limité généralisé

Soit α ∈ R

Définition 26 Si au voisinage de 0, on peut écrire :

f(x) = λ0xα + ...+ λnx

α+n + o(xα+n)

Alors ceci constitue un développement limité généralisé de f en 0.

Définition 27 Si x 7→ +∞, avec f défini au voisinage de +∞. Si on peut écrire :

f(x) = λ0xα + ....+ λnx

α−n + o(xα−n)

Deuxième partie

Les suites

19

Chapitre 5Suite numérique - Géneralité

5.1 Propriétés

5.1.1 Opérations

Soit (a),(b),(c) trois suites. On peut effectuer trois types d’opérations sur les suites :→ Une somme :

((a) + (b) = (c))⇔ (∀n ∈ N a+ b = c)

→ Un produit :((a).(b) = (c))⇔ (∀n ∈ N a.b = c)

→ Un produit par un scalaire :

((a) = λ(c))⇔ (∀n ∈ N a = λc)

5.2 Suites particulière

5.2.1 Suite arithmétiques

Soit (un) une suite arithmétiques :

n∑k=0

uk = (n+ 1).u0 + un

2

5.2.2 Suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique, de raison q :

n∑k=0

uk = u0.1− qn+1

1− q

5.3 Suites vérifiant une relation de récurrence linéaire à coeffi-ciants constants

Soit (un) une suite vérifiant la récurrence :

un+2 = a.un+1 + b.un

Alors, on obtient l’équation caractéristique, en simplifiant par rn :

r2 = ar + b

21

Donc :∃(A,B) ∈ <2 tq (un) = A(r1)n +B(r2)n

Chapitre 6Convergence des suite numériquesréelles

6.1 Suites convergentes

Définition 28 Soit (un)n≥0 une suite de nombre réels.On dit que (un)n≥0 converge vers 0 si :

∀ε > 0,∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0 |un| < ε

Définition 29 Soit l ∈ R. La suite un converge vers l si :

∀ε > 0,∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0 |un − l| < ε

Les suites convergentes possède les propriétés suivantes :

→ Une suite constante est convergente

→ Une suite géométrique de raison a avec |a|<1 converge vers 0

→ La suite (1n

)n≥1 converge vers 0

→ Si (un) converge vers une limite l, elle est unique.

→ Un suite (un) converge vers 0 si et seulement si (|un|) converge vers 0

→ Une suite convergente est bornée

→ Si (an) converge vers 0 et ∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0 |un| ≤ |an|, alors (un) converge vers 0

6.1.1 Caractérisation de la borne supérieur

On peut caractériser la borne supérieur d’un ensemble non vide et majorée à l’aide d’une suite.Soit A une partie de R

( M est la borne supérieur de A )⇔

M est un majorant de A∃(an) tq ∀n ∈ Nan ∈ A et an converge vers M

23

6.1.2 Caractérisation d’une partie dense

Soit A une partie de R

( A est dense dans R)⇔ (∀x ∈ R,∃(un) ∈ Rn,∀n un ∈ A et an converge vers x)

6.1.3 Opération sur les suites convergentes

Nous avons les propriétés suivantes :

→ La somme de deux suites convergente est convergente, et la limite de la somme est lasomme des limites.

→ Le produit par une constante d’une suite convergente est convergente

→ Le produit d’une suite bornée par une suite convergente de limite nul est une suite conver-gente de limite nul.

→ Le produit d’une suite convergente par une suite convergente de limite nul est une suiteconvergente de limite nul.

→ Le produit de deux suite convergentes est une suite convergente

→ Si (un) est une suite convergente de terme tous non nuls, si l 6= 0, alors1un

converge vers

1l

→ Si (un) est une suite convergente de limite l, alors (|un|) converge vers |l|

6.1.4 Lien entre le signe de la limite et le signe des termes de la suite

→ Si l>0, alors ∃n0 ∈ N, tq ∀n ≥ n0, un > 0

→ Si l<0, alors ∃n0 ∈ N, tq ∀n ≥ n0, un < 0

→ Si ∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0, un < 0, alors l ≤ 0

→ Si ∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0, un > 0, alors l ≥ 0

De ces correspondances, on détermine les comparaisons entre deux suites convergentes.

6.1.5 Théorème d’encadrement

Si : (un) converge vers l(vn) converge vers l∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, un ≤ xn ≤ vn

Alors xn converge vers l.

6.1.6 Suite extraites

Propriété 16 Si (un) converge, alors toutes ses suites extraites converge vers la même limite.

Propriété 17 Si : (uϕ(n)) et (uψ(n)) converge vers la même limiteϕ(n) / n ∈ N ∪ ψ(n) / n ∈ N = N

Alors la suite (un) converge

6.2 Suites divergentes

6.2.1 Caractéristation des suites divergentes

Si : (uϕ(n)) et (uψ(n)) converge vers des limites différentesϕ(n) / n ∈ N ∪ ψ(n) / n ∈ N = N

Alors la suite (un) diverge

6.2.2 Suites qui diverge vers ±∞Définition 30 Soit (un)n≥0 une suite de nombre réels.On dit que (un)n≥0 diverge vers +∞ si :

∀A ∈ R+,∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0 un > A

Définition 31 Soit (un)n≥0 une suite de nombre réels.On dit que (un)n≥0 diverge vers −∞ si :

∀B ∈ R−,∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0 un < B

Propriétés

→ ((un) diverge vers −∞)⇔ ((−un) diverge vers +∞)→ La somme d’une suite bornée et d’une suite qui diverge vers +∞ diverge vers +∞→ L’inverse d’une suite qui tend vers +∞ converge vers 0

6.2.3 Théorème de minoration

Théorème 5 Si (un) et (vn) sont deux suites telque :(un) diverge vers +∞∃n0 tq ∀n ≥ n0 un ≥ xn

Alors (xn) diverge vers +∞

6.3 Suite monotone et convergente

Théorème 6 Soit (un) une suite croissante.Si elle est majorée, alors elle converge. Sinon, elle diverge vers +∞

Théorème 7 Soit (un) une suite décroissante.Si elle est minorée, alors elle converge. Sinon, elle diverge vers −∞

6.3.1 Suites adjacentes

Définition 32 Soient (un) et (vn) deux suites. Elle sont dites adjacentes si :1. (un) croissante2. (vn) décroissante3. (un − vn) converge vers 0

Propriété 18 Si (un) et (vn) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite, notée l et :

∀n ∈ N, un ≤ l ≤ vn

6.3.2 Segments emboités

Définition 33 On considère une suite de segments. On dit que la suite est emboitée si :

∀n ∈ N [an+1, bn+1]C [an, bn]

Propriété 19 Nous avons les propriétés suivantes :→ L’intersection de tous les intervalles d’une suites d’intervalle emboitée est non vide→ Si la longeur de l’intervalle tend vers 0, alors l’intersection est un singleton

6.3.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème 8 De toutes suites réelle bornée, on peut extraire une suite convergente.

Chapitre 7Suite à valeur complexe

7.1 Convergence

Définition 34 Soit (zn) une suite à valeur complexe. On dit que cette suite converge vers λ si et seulementsi :

∀ε > 0,∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0 |un − λ| < ε

7.2 Partie réeles, partie imaginaire

Propriété 20 Si Re(zn) converge vers a et Im(zn) converge vers b, alors (zn) converge vers a+ib.

7.3 Suites des modules et suites des arguments

Soit (zn) la suite défini par :∀n ∈ N zn = ρne

iθn

Propriété 21 Si : (ρn) converge vers a(θn) converge vers b

alors (zn) converge vers aeib

Mais si la suite des arguments ne converge pas, la suite (zn) peut quand meme converger.

7.4 Opération

7.4.1 Somme de deux suites convergente

Propriété 22 Soient (zn) et (z′n) deux suites convergentes de limite λ et λ′.On obtient que (zn + z′n) converge vers λ+ λ′

27

Chapitre 8Etude des suites

8.1 Suite complexe

Soit (zn) une suite de complexe

Propriété 23((zn) converge vers λ)⇔ (|zn − λ| converge vers 0 )

Propriété 24

((zn) converge vers λ)⇔ (Re(zn) converge vers Re(λ) et Im(zn) converge vers Im(λ))

Propriété 25 Si (zn) converge vers λ, alors (|zn|) converge vers |λ|.Mais aucune information sur le comportement de l’argument.

Propriété 26 Si le module de zn converge vers R et que l’argument de zn converge vers α, alors (zn)converge vers Reiα

Propriété 27 Soit (zn) suite complexe défini par :

∀n ∈ N zn = an

Avec a ∈ C. Si :→ a=0, (zn) est une suite constante

→ a ∈ ]0,1[, (zn) converge vers 0

→ |a| > 1, (zn) diverge vers +∞

→ |a| = 1.

→ Si a 6= 1, alors la suite diverge

→ Si a = 1, (zn) est une suite constante

8.2 Suites définies par récurrence

Définition 35 Soit f une fonction de R dans R, définie sur Df , et (un) une suite définie telque :

u0 ∈ R

∀n, un+1 = f(un)

29

8.2.1 Existance de la suite

Propriété 28 Soit (un) une suite de réel, défini par récurrence à l’aide de la fonction f.

(∀n, un existe)⇐ (u0 ∈ Df et Df est stable par f)

(∀n, un existe)⇐ (u0 ∈ Df et f(Df )CDf )

8.2.2 Sens de variation

Propriété 29 Soit (un) une suite de réel, défini par récurrence à l’aide de la fonction f.

((un) est croissante )⇔ (∀n ∈ N, un+1 ≥ un)

((un) est croissante )⇔ (∀n ∈ N, f(un) ≥ un)

En pratique, si ∀x ∈ I, f(x) ≥ x et si ∀n ∈ N, un ∈ I , alors (un) est croissante.

8.2.3 Limite éventuelle

Si (un) converge vers l et que f est continue en l, alors l = f(l)

8.3 Règle de d’Alembert

Soit (un) une suite de réels positifs.Supposons que :

limn→∞

un+1

un= a

→ Si a ∈ [0, 1[, (un) converge vers 0→ Si a>1, (un) diverge vers +∞

8.4 Comparaison des suites

8.4.1 Définitions

Définition 36 Soit (un) et (vn) deux suites à valeur réelle.On dit que (vn) domine (un) si :

∃A ∈ R+ tq ∀n ∈ N |un| ≤ A.|vn|

On note un=O(vn)

Définition 37 On dit que (un) est négligable devant (vn) ou que (vn) est préponderant devant (un) si :

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tq ∀n ≥ n0 |un| ≤ ε|vn|

On note un vn ou un = o(vn)

Définition 38 On dit que (un) est équivalent à (vn) si (un − vn) est négligable devant (vn)

8.4.2 Comparaison des suites de référence

Propriété 30 Soit (cn) une suite telleque :

limn→+∞

|cn| = +∞

Si (an) converge vers 0, si (bn) converge vers l, l6= 0, alors :

an bn cn

Comparaison des suites qui divergent vers +∞

Soit A > 1, α > 0 :ln(n) nα An n! nn

Comparaion des suites qui converge vers 0

Soit B < 1, β < 0, alors :

0 Bn nβ 1ln(n)

Comparaion des suites convergente de limite non nul

Soient l,l’ deux réels non nuls.Soient (un) et (vn) deux suites qui convergent respectivement vers l et l’.Alors :

un ∼l

l′vn

8.5 Règles d’utilisation des équivalents et négligabilité

Propriété 31 Soient (un), (vn) et (wn) trois suites.

un vn et vn wn ⇒ un wn

un ∼ vn et vn ∼ wn ⇒ un ∼ wnun ∼ vn et vn wn ⇒ un wn

un vn et vn ∼ wn ⇒ un wn

Propriété 32 Soient (un), (vn) deux suites et (an), (bn) deux autres suites.Si :

(un) ∼ (vn) et (an) ∼ (bn)

alors :(un)(an) ∼ (vn)(bn)

Ceci n’est pas vrai dans le cas de l’addition.

Propriété 33 Soient (un), (vn) et (an) trois suites et λ, µ deux réels de somme non nuls.Si :

(un) ∼ λ(an) et (vn) ∼ λ(an)

Alors :un + vn ∼ (λ+ µ)an

Si la somme des deux réels est nul, nous n’avons aucun résultats.

Propriété 34 Si un ∼ vn, alors uαn ∼ vαn

Propriété des équivalents

Propriété 35 Soient un et vn deux suites telque un ∼ vn.→ Si un diverge, alors vn diverge→ Si un converge, alors vn converge vers la même limite→ Si la limite de un en l’infini est l’infini, alors la limite de vn en l’infini est aussi l’infini

Troisième partie

Arcs Paramétré

33

Chapitre 9Arcs Paramétrés et Arcs Polaire

9.1 Étude locale d’un arc

Définition 39 Soit τ un arc paramétré défini par (F,I), avec I un intervalle et F une fonction :

F : I → R2

t 7→M(t)

avec : M(t) =(x(t)y(t)

)Propriété 36 Supposons que x et y soient de classe Cn sur I, alors on dit que (τ ) est de classe Cn

9.1.1 Point Régulier

Sid−→M

dt(t0) 6= −→0 , alors

d−→M

dt(t0) est un vecteur directeur de la tangente au support de l’arc en

M(t0). On dit alors que M(t0) est un point régulier de l’arc.

9.1.2 Point Singulier

Sid−→M

dt(t0) =

−→0 , alors M(t0) est un point singulier.

Par application de la formule de Taylor, on obtient les deux entiers caractéristiques suivants.

Premier entier caractéristique de (τ) en M(t0)

Définition 40 Notons p, si il existe :

p = Mink/dk−→Mdtk

(t0) 6=−→O

alorsdp−→M

dtp(t0) est tangent à l’arc en M(t0)

Deuxième entier caractéristique de (τ ) en M(t0)

Notons q, si il existe :

q = Mink/dk−→Mdtk

(t0) etdp−→M

dtp(t0) soient non colinéaire

35

Coordonnée de M(t) dans un repère particulier

Soit R le repère défini par : (M(t0),dp−→M

dtp(t0),

dq−→M

dtq(t0))

Dans ce repère, on obtient les coordonnées suivantes pour M(t) :X(t) ∼ (t− t0)p

p!

Y (t) ∼ (t− t0)q

q!

On obtient donc :→ p paire, q impaire : Point de rebroussement du première ordre→ p paire, q paire : Point de rebroussement du deuxième ordre→ p impaire, q paire : Point ordinaire→ p impaire, q impaire : Point d’inflexion

9.2 Etude métrique des arc paramétré

9.2.1 Longeur d’un arc

Soit (τ) un arc de classe C1 sur I = [a,b], avec a < b.Soit l( M(a)M(b)) la longeur de l’arc (τ) reliant M(a) à M(b). On obtient :

l( M(a)M(b)) =∫ b

a

||d−→M

dt(t)||dt

9.2.2 Abscisse curviligne

Soit τ un arc de classe C1 sur un intervalle I.On défini une abscisse curviligne avec :

1- Un point de l’arc, appelé origine.

2- Une orientation sur l’axe :→ Le sens des t croissants→ Ou le sens des t décroissants

Soit M(t0) l’origine de l’abcisse, soit s(t) l’abscisse du point M(t).

s(t) = ε

∫ t

t0

||d−→M

dt(u)||du

avec ε = ±1 selon l’orientation de l’axe.On obtient aussi :

ds

dt= ||d

−→M

dt||.ε

s est un paramétrage du support de l’arc. De plus, on obtient :

||d−→M

ds|| = 1

Repère de Frenet en M(t)

On note−→T =

d−→M

dsle premier vecteur de Frenet en M(t). On le calcul en utilisant le faite que :

d−→M

ds=

ε

||d−→Mdt ||

.d−→M

dt

On note−→N l’unique vecteur vérifiant que (M(t),

−→T ,−→N ) soit un repère orthonormée directe, appelé

repère de Frenet en M(t).Soit ϕ = (

−→i ,−→T )[2π], avec

−→i vecteur horizontal passant par M(t).

Alors :−→T =

(cos(ϕ)sin(ϕ)

)−→N =

(−sin(ϕ)cos(ϕ)

)

9.2.3 Courbure d’un arc en un point

Définition 41 On défini le rayon de courbure en M(t), notée R, par :

R =ds

dϕ

Définition 42 La courbure en M(t), notée γ, est défini par :

γ =1R

=dϕ

ds=

dϕdtdsdt

9.2.4 Formules de Frenet

Soit−→T

(cos(ϕ)sin(ϕ)

)et−→N

(−sin(ϕ)cos(ϕ)

)les deux vecteurs de la base de Frenet.

Sachant que :

d−→T

dϕ=−→N

On obtient :d−→T

ds= γ−→N

De meme, on obtient que :

d−→N

ds= −γ

−→T

Lien entre courbure, vitesse et accélération

Notons−→V =

d−→M

dtet v = ||

−→V ||.

On obtient :−→V = ε.v.

−→T

. Notons −→a =d−→V

dt. Alors :

−→a = ε.dv

dt.−→T + v2.γ.

−→N

De cette expression, on en déduit que :

γ = ε.Det(

−→V ,−→a )v3

9.3 Plan d’étude d’un arc paramétré

1- Domaine de définition

2- Réduction du domaine d’étude :

→ Periodicité

→ Symétrie

→ Partié

3- Dérivablité : Faire un double tableau de variation (un pour x, un pour y)

4- Tangentes

→ En un point régulier : Le vecteur de coordonée (x′(t0), y′(t0)) est tangent en t0.

→ En un point singulier :

limt 7→t0

y′(t)x′(t)

Ou on peut utiliser la méthode des entiers caractéristiques→ En un point limite

limt7→t0

y(t)− limt0y

x(t)− limt0x

5- Branches infinies : Si limt0x = +∞ et lim

t0y = +∞

→ limt0

y

x

→ ∞ : Branche de direction Oy

→ a ∈ R :

→ limt0y − ax :

→ b ∈ R : y = ax+b asymptote

→ ∞ ou ∅ : Branche de direction ax

→ 0 : Branche de direction Ox

→ ∅ : Aucune méthode

6- Concavité :

→ Etude du signe de Det(−→v ;−→Γ )

→ L’angle (−→v ;−→Γ ) donne la position de la tangente

→ Les points d’inflexion sont les points de changements de concavité

7- Point double : On résoud le système suivant, d’inconnu (t,t’), avec t 6= t′ :x(t) = x(t′)y(t) = y(t′)

9.4 Arcs polaire

9.4.1 Liens polaire-cartésien

Soit (ρ,θ) les coordonnée de M, telque :−−→OM = ρ−→u (θ)

On obtient les coordonées cartérisien de M avec :x = ρcos(θ)y = ρsin(θ)

On a donc :ρ = ±

√x2 + y2

9.4.2 Equivalence et symétrie

Soit M(ρ, θ) = M(−ρ, θ + π) (cette égalité est vérifie pour tout point du plan) :→ M1 symétrique de M par rapport à (Ox) si :

M1(ρ,−θ + k2π/k ∈ Z)

→ M2 symétrique de M par rapport à (Oy) si :

M2(ρ, π − θ)

→ M3 symétrique de M par rapport à l’origine si :

M3(ρ, π + θ)

9.4.3 Étude des tangentes

→ Si ρ(θ) est dérivable en θ :dM(θ)θ

est tangent en M(θ)

dM(θ)θ

= ρ′−→u + ρ−→v

avec :−→u (θ)

(cos(x)sinx

)−→v (θ)

(−sin(x)

cosx

)→ Si ρ(θ) = 0 : −→u (θ) est tangent en 0

9.4.4 Etude d’une branche infini

Si :limθ 7→θ0

ρ(θ) =∞

Alors la courbe possède une branche infini de direction −→u (θ0). On réalise alors une étude dans lerepère (0,−→u (θ0),−→v (θ0)) :

limθ 7→θ0

Y (θ)

avec Y (θ) = ρsin(θ − θ0)

Chapitre 10Les coniques

10.1 Définition

Définition 43 On appelle conique de foyer F, de directrice ∆ et d’excentricité e l’ensemble :

M/e.distance(M,∆) = MF

10.1.1 Définitions bifocale d’une ellipse

Définition 44 Soit F et F’ les deux foyers de l’ellipse. On défini cette ellipse par :

( M appartient à l’ellipse )⇔ (MF +MF ′ = cte = 2.a)

avec a le demi-grand axe.

10.1.2 Définitions bifocale d’une hyperbole

Définition 45 Soit F et F’ les deux foyers de l’hyperbole. On défini cette hyperbole par :

( M appartient à l’hyperbole )⇔ (|MF −MF ′| = cte = 2.a)

avec a la valeur absolue de la distance du point d’intersection entre l’axe 0x et l’hyperbole avec l’origine.

Définition 46 On appelle cercle principale d’une ellipse le cercle de centre O et de rayon a.

10.2 Les différentes coniques

10.2.1 L’ellipse

Une ellipse est définie par l’équation suivante :

x2

a2+y2

b2= 1

Avec a>b, a est appelé le demi grand axe, et b le demi petit axe. On peut aussi paramétrer un pointM de l’ellipse par :

x(t) = acos(t)y(t) = bsin(t)

Avec t l’angle entre l’axe Ox et OP, avec P le point correspondant à M sur le cercle principale del’ellipse. M est obtenir à partir de P à l’aide d’une affinité.

41

10.2.2 L’hyperbole

Une hyperbole est définie par l’équation suivante :

x2

a2− y2

b2= 1

Pour vérifier cette formule, on prend y=0, et on doit obtenir deux solutions. De plus, on obtientles asymptotes en annulant 1. On peut aussi paramétrer un point M de l’hyperbole par :

x(t) = ach(t)y(t) = bsh(t)

10.2.3 Parabole

L’équation réduite est :y2 = 2px

10.3 Équation polaire dans un repère de centre F

Soit M(ρ, θ), ∆ droite d’équation x = x∆. L’équation générale est :

ρ =ex∆

1 + ecos(θ)

avec e l’excentricité de la conique. Notons c l’abscisse de F.→ Si e < 1 : C’est une ellipse. Nous avons donc les résultats suivants

→ e =c

a

→ c2 = a2 − b2

→ x∆ =a2

c

→ Si e = 1 : C’est une parabole.

→ Si e > 1 : C’est une hyperbole.

→ e =c

a

→ c2 = a2 + b2

→ x∆ =a2

c

Quatrième partie

Fonctions de R2 dans R

43

Chapitre 11Fonctions de R2 dans R

11.1 Norme

Définition 47 Soit E un espace vectoriel.n est une norme de E si :

n : E → R

telque :→ ∀x ∈ E n(x) ≥ 0→ ∀λ ∈ R, ∀x ∈ E, n(λx) = |λ|n(x)→ ∀x ∈ E, n(x) = 0⇔ x = 0→ ∀(x, y) ∈ E2 n(x+ y) ≤ n(x) + n(y)

Propriété 37 La norme euclidienne, notée ||(x, y)||2 est défini par :

∀(x, y) ∈ R2 ||(x, y)||2 =√x2 + y2

Définition 48 On défini la norme ||(x, y)||n par :

||(x, y)||n = (|x|n + |y|n)1/n

Définition 49 On défini la norme infini par :

∀(x, y) ∈ R2 ||(x, y)||∞ = Max(|x|, |y|)

11.1.1 Boules

Définition 50 Soit n une norme sur E, soit x0 ∈ E, et r ∈ R+.On appelle Boule de centre x0, de rayon r :

B(x0, r) = x ∈ E/n(x0 − x) ≤ r

11.1.2 Norme équivalentes

Définition 51 Soient n1, n2 deux normes sur E.n1 et n2 sont dites équivalentes si il existe deux réels strictement positifs telque ∀x ∈ E :

αn2(x) ≤ n1(x) ≤ βn2(x)

1βn1(x) ≤ n2(x) ≤ 1

αn1(x)

Propriété 38 Dans un espace de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

45

11.1.3 Convergence d’une suite

Soit (un) une suite de vecteur de E :→ On dit que (un) converge vers 0 pour la norme n si la suite des réels (n(un)) converge vers

0→ Si deux normes sont équivalente, toutes suites convergentes pour l’une est convergente

pour l’autre→ Dans un espace de dimension finie, la définition de la convergence ne dépend pas de la

norme considéré.

11.2 Limite d’une fonction de R2 dans RDéfinition 52 Soit A une partie de R2, et n une norme de R2.Soit f une fonction de A dans R.Soit (x0, y0) ∈ A, et l un réel.On dit que : lim

(x0,y0)f = l

∀ε > 0 ∃α > 0 tq ∀(x, y) ∈ B((x0, y0), α) : |f(x, y)− l| < ε

Propriété 39 Soit f et g deux fonction défini sur A :→ La limite de la somme et la somme des limites.→ La limite du produit et le produit des limites→ Composition : Soit f : R2 → R et ϕ : R→ R. Si lim

(a,b)f = l et si lim

lϕ = m, alors :

lim(a,b)

ϕof = m

11.2.1 Théorème d’encadrement

Soient f,g,h fonctions défini sur A.Si ∀(x, y) ∈ A :

h(x, y) ≤ f(x, y) ≤ g(x, y)

et si lim(a,b)

g = lim(a,b)

h = l, alors :

lim(a,b)

f = l

11.2.2 Caractérisation de la divergence

Si :→ lim

t0x1 = a

→ limt0y1 = b

→ limαx2 = a

→ limαy2 = b

et limt→t0

f(x1(t), y1(t)) = l et limu→α

f(x2(y), y2(u)) = l′, avec l 6= l’, alors :

lim(a,b)

f n’existe pas

11.2.3 Continuité

Définition 53 Si f est une fonction définie en (a,b) et sur un voisinage de (a,b), avec :

lim(a,b)

f = f(a, b)

Alors, on dit que f est continue en (a,b).

11.3 Dérivation

11.3.1 Dérivées partielles

Soit f fonction définie au voisinage de (a,b).

Définition 54 On appelle première dérivée partielle de f en (a,b) :

∂f

∂x(a, b) = lim

x→a

f(x, b)− f(a, b)x− a

Définition 55 On appelle deuxième dérivée partielle de f en (a,b) :

∂f

∂y(a, b) = lim

y→b

f(a, y)− f(a, b)y − b

11.3.2 Dérivée suivant un vecteur

Définition 56 Soit −→u (α, β) un vecteur de R2. On défini le nombre dérivée de f en (a,b) suivant −→u , notéed−→u f(a, b), par :

d−→u f(a, b) = limt→0

f(a+ α.t, b+ β.t)− f(a, b)t

11.3.3 Fonction de classe C1

Définition 57 Soit A une partie de R2. On dit que f est de classe C1 sur A si :→ f possède sur A deux dérivées partielles→ Ces deux fonctions sont continue sur A

11.3.4 Développement limité d’ordre 1

Si f est de classe C1 sur A, voisinage de (a,b), alors :

∀(x, y) ∈ A f(x, y) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b).(x− a) +

∂f

∂y(a, b).(y − b) + o(||(x, y)− (a, b)||)

Propriété 40 Soit −→u (α, β) et f une fonction de classe C1 au voisinage de (a,b).

d−→u f = α.∂f

∂x(a, b) + β

∂f

∂y(a, b)

On en déduit que si f est de classe C1 au voisinage de (a,b), alors ∀−→u ∈ R2, d−→u f existe et est continue.

11.3.5 Plan tangent

Définition 58 On appelle plan tangent à la surface représentative d’une fonction de classe C1 le plandéfinie par le repère :

(M(a, b, f(a, b),−→t−→i,−→t−→j

)

avec :

−→t−→i

=

10

∂f

∂x(a, b)

−→t−→j

=

01

∂f

∂y(a, b)

Vecteur normale au plan tangent

Définition 59 On défini un vecteur normale au plan tangent, notée −→n , par :

−→n =−−→grad(f(x, y)− z)

11.3.6 Dérivées partielles d’ordre 2

Définition 60 Soit f définie sur une partie A de R2.

Si∂f

∂xest défini sur A et possède des dérivées partielles, on les notes :

∂2f

∂x2=

∂

∂x.∂f

∂x

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y.∂f

∂x

Respectivement pour∂f

∂y, on obtient :

∂2f

∂y2=

∂

∂y.∂f

∂y

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x.∂f

∂y

Théorème 9 Si∂2f

∂x∂yet

∂2f

∂y∂xsont continue sur A, alors :

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

11.3.7 Dérivée des composées

Premier type de composées

Soit f une fonction de classe C1 de A dans R, avec AcR.Soit ϕ une fonction dérivable sur R.Soit g = ϕ o f.

g : A→ R(x, y) 7→ ϕ(f(x, y))

On obtient les dérivées partielles suivantes :

∂g

∂x(x, y) =

∂f

∂x(x, y).ϕ′(f(x, y))

∂g

∂y(x, y) =

∂f

∂y(x, y).ϕ′(f(x, y))

Second type de composées

Soit x,y deux fonctions de R dans R, dérivable sur R.Soit f une fonction de R2 dans R, de classe C1 sur R2.Soit ϕ la fonction définie par :

ϕ : R→ Rt 7→ f(x(t), y(t))

On obtient, à l’aide d’un développement limité :

∀t : ϕ′(t) = x′(t).∂f

∂x(x(t), y(t)) + y′(t).

∂f

∂y(x(t), y(t))

Cinquième partie

Equations differentielles

49

Chapitre 12Équation différentielle

12.1 Fonction exponentielle complexe

Soit :f : t 7→ x(t) + iy(t) = ert

Avec r = a+ib.On obtient, ∀t ∈ R :

f ′(t) = rert

12.2 Équation différentielle

12.2.1 Première ordre

(∀x ∈ R ay′(t) + by(t) = 0)⇔ (∃K ∈ R, tq ∀x ∈ R y = Ke−b

ax)

12.2.2 Second ordre

On établie l’équation caractéristique, de la forme :

ax2 + bx+ c = 0

On détermine ∆ et on obtient :→ ∆ > 0 :

∃(A,B) ∈ R2 tq ∀x ∈ R y(x) = Aer1x +Ber2x

→ ∆ = 0 :∃(A,B) ∈ R2 tq ∀x ∈ R y(x) = (Ax+B)er0x

→ ∆ > 0 : Solution dans C, avec r0 = ±iω

∃(A,B) ∈ R2 tq ∀x ∈ R y(x) = (Acos(ωx) +Bsin(ωx))er0x

12.3 Recherche d’une solution particulière

12.3.1 Second membre constant

Soit (E) l’équation différentielle suivante :

ay′′ + by′ + cy = d

51

Si C 6= 0 :

y0 : x 7→ d

c

est une solution particulière. Si C = 0 :

y0 : x 7→ d

bx

est une solution particulière

12.3.2 Second membre polynomiale

En géneral, on recherche un polynome de meme degrès. Soit :

y′′ + 3y = 2x+ 1

On pose :y0 : x 7→ ax+ b

On dérive deux fois y0 et on remplace dans l’équation pour déterminer a et b

12.3.3 Second membre exponentielle

Si le second membre est de la forme :

x 7→ eαx

Alors on peut espérer une solution de la forme λeαx

12.4 Méthode de variation de la constante

Soit (E) l’équation différentielle suivante :

(E) : ay′(t) + by(t) = f(x)

On résoud l’équation sans second membre, plus on pose ∀x ∈ R :

z(x) =y(x)

e−bax⇔ y(x) = z(x)e−

bax

Puis on injecte cette expression y(x) dans (E) pour déterminer z(x)

12.5 Principe de superposition

Soit (E) l’équation différentielle suivante :

(E) : ay′′ + by′ + cy = f1(x) + f2(x)

On considere :(E1) : ay′′ + by′ + cy = 0

(E2) : ay′′ + by′ + cy = f1(x)

(E3) : ay′′ + by′ + cy = f2(x)

Soit y1, y2 solutions respective de (E2) et (E3). La solution particuliere de (E) est y1 + y2

Chapitre 13Équations différentielle linéaire

13.1 Généralité

Définition 61 On considère (E) l’équation d’inconnue la fonction y n fois dérivable sur une partie A deR :

∀x ∈ A, an(x).y(n)(x) + ...+ a0.y(x) = b(x)

avec : an, .., a0, b des fonctions définies sur A.On dit que (E) est une équation differentielle linéaire d’ordre n.

Nota 1 On note cette équation :

(E) : ∀x ∈ A : an(x).y(n) + ...+ a0.y = b(x)

Propriété 41 L’ensemble des solutions de (E) est soit :→ Vide→ Un espace affine de direction l’espace vectoriel des solutions de l’équation sans second membre.

Si les coefficients sont constant.L’ensemble des solutions est un espace de dimension n.

53

Chapitre 14Équations différentielles linéaired’ordre 1

Définition 62 Soit A ∈ R.Soit a,b,c trois fonctions définies sur A, et (E) :

(E) : a(x).y′ + b(x).y = c(x)

(E0) : a(x).y′ + b(x).y = 0

Si :→ Si a et b sont continues sur A→ A est un intervalle, notons le I→ ∀x ∈ I a(x) 6= 0

Alors :(E0)⇔ (∃K ∈ R tq ∀x ∈ I y(x) = K.e

R −b(x)a(x) dx)

55

Sixième partie

Intégration

57

Chapitre 15Intégration

Définition 63 L’intégrale d’une fonction est par définition un nombre.Une primitive est une autre fonction.

15.1 Fonctions continues par morceaux

15.1.1 Subdivision

Soit [a,b] segment de R, avec a<b.

Définition 64 On appelle subdivision de [a,b], une liste vérifiant :

a = x0 < x1 < .... < xn = b

On note σ = (xi)a≤i≤n.Le pas d’une subdivision, qui est la longueur d’intervalle la plus importante, est défini comme :

max1≤i≤n

|xi − xi−1|

Si les intervalles sont tous de la mêmes longueurs, la subdivision est dite régulière. De plus, si σest celle d’une subdivision régulière de [a,b], alors :

∀k, xk = a+ kb− an

15.1.2 Fonction en escalier sur [a,b]

Soit f fonction définie sur [a,b].

Définition 65 On dit que f est en escalier si il existe une subdivision de [a,b] : (xi)0≤i≤n telle que :

∀i ∈ 1, ...n , f est constante sur ]xi−1;xi[

Propriété 42 On défini les propriétés suivantes :→ Une fonction en escalier est bornée→ L’ensemble des fonctions en escalier sur [a,b] est un R-espace vectoriel

15.1.3 Fonction continue par morceaux

Soit f défini sur [a,b]

59

Définition 66 f est continue par morceaux sur [a,b] si :∀i ∈ 1, 2, ..., n f est continue sur ]xi−1;xi[∀i ∈ 1, 2, ..., n lim

x−i

existe

∀i ∈ 0, 2, ..., n− 1 limx+

i

existe

Propriété 43 On défini les propriétés suivantes :→ Une fonction continue par morceaux est bornée→ L’ensemble des fonctions continue par morceaux sur [a,b] est un espace vectoriel→ Une fonction en escalier est continue par morceaux→ Une fonction continue sur [a,b] est continue par morceaux

15.1.4 Approximation d’une fonction continue par morceaux par des fonc-tions en escalier

Soit f continue par morceaux sur [a,b] ( ce qui comprend les fonctions continues sur [a,b])

Définition 67

∃ε > 0 Il existe deux fonctions en escalier sur [a,b], ϕ et ψ telque∀x ∈ [a, b] ϕ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x)

0 ≤ ψ(x)− ϕ(x) ≤ ε

15.2 Intégrale de Riemann

15.2.1 Intégrale d’une fonction en escalier

Définition 68 Soit ϕ fonction en escalier sur [a,b].Notons (xi)0≤i≤n une subdivision adaptée à ϕ, et posons :

∀i ∈ 1, .., n , ∀x ∈]xi−1;xi[ ϕ(x) = λi

L’intégrale sur [a,b] de ϕ est : ∫[a,b]

ϕ =n∑i=1

(xi − xi−1)λi

On note aussi cette intégrale de la façon suivante :Si a < b, alors : ∫

[a,b]

ϕ =∫ b

a

ϕ

Si b < a : ∫[a,b]

ϕ =∫ a

b

ϕ

Convention : ∫ b

a

ϕ = −∫ a

b

ϕ∫ a

a

ϕ = 0

Propriété 44 Si ϕ et ψ sont deux fonctions en escalier sur [a,b].Si λ et µ sont deux réels : ∫

[a,b]

λϕ+ µϕ = λ

∫[a,b]

ϕ+ µ

∫[a,b]

ψ

Propriété 45 Soient ϕ et ψ deux fonctions en escalier sur [a,b].Si ∀x ∈ [a, b], ϕ(x) ≤ ψ(x), alors : ∫

[a,b]

ϕ ≤∫

[a,b]

ψ

De plus, si ϕ ≥ 0 sur [a,b] alors : ∫[a,b]

ϕ ≥ 0

15.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Soit f fonction continue par morceaux sur [a,b]. Notons :E+ = ϕ en escalier sur [a,b] /ϕ ≥ gE− = ϕ en escalier sur [a,b] /ϕ ≤ gA+ =

∫[a,b]

ϕ/ϕ ∈ E+

A− =

∫[a,b]

ϕ/ϕ ∈ E−

Propriété 46 Inf(A+) et Sup(A−) existent et sont égaux

Définition 69 La valeur commune de ces deux réels est l’intégrale de Riemannsur [a,b] de f. On la note :∫[a,b]

f

15.3.1 Somme de Riemann

Propriété 47 Soit f fonction continue par morceaux sur [a,b].Notons ∀n ∈ N : Alors (un)n≥0 et (vn)n≥0 converge vers

∫[a,b]

fun = b−a

n

∑nk=1 f(a+ k b−an )

vn = b−an

∑n−1k=0 f(a+ k b−an )

15.3.2 Linéarité

Propriété 48 Soient λ,µ réels, f, g fonctions continues par morceaux.∫[a,b]

λϕ+ µϕ = λ

∫[a,b]

ϕ+ µ

∫[a,b]

ψ

15.3.3 Transmition de l’ordre

Propriété 49 Si f et g sont continue par morceaux et f ≤ g, alors :∫[a,b]

f ≤∫

[a,b]

g

15.3.4 Intégrale et valeur absolu

Propriété 50 Soit f fonction continue par morceaux sur [a,b], donc :∫[a,b]

|f | ≥|∫

[a,b]

f |

15.3.5 Relation de Chasles

Propriété 51 Soit f continues par morceaux sur [a,b] et b ∈ [a, c].∫[a,c]

f =∫

[a,b]

f +∫

[b,c]

f

15.3.6 Inégalité de la moyenne

Propriété 52 Soit f,g continues par morceaux sur [a,b], g est bornée, avec a < b. Donc M = sup[a,b]

|g| existe.

|∫

[a,b]

fg| ≤ sup[a,b]

|g| ×∫

[a,b]

|f |

Définition 701

b− a∫

[a,b]g est la valeur moyenne de g sur [a,b].∫

[a,b]

g = µ(b− a)

15.4 Intégrale et primitive d’une fonction continue

On obtient les propriétés suivant :Soit x ∈ I. f est continue sur I, donc

∫ xaf existe

Si x0 est à l’intérieur de I, si f est continue sur I, alors∫ xaf est aussi continue sur I

Si f est continue sur I, alors g : x 7→∫ xaf est dérivable sur I et sa dérivé est f.

De la dernière propriété, on déduit que g est de classe C1 sur I. En résumé, si f est de classe Cn

alors g est de classe Cn+1

Propriété 53 Si ϕ est une fonction positive et continue sur [a,b] d’inégalité nulle, alors :

ϕ = 0

15.4.1 Utilisation des primitives d’une fonction continue

Définition 71 Soit f définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I, c’est une fonction dérivable sur Idont la dérivée est f.

15.4.2 Ensemble des primitives d’une fonction continue

Soit f continue sur un intervalle I, si F est une primitive de f sur I, alors :

(G est une autre primitive de f sur I)⇔ (∃K ∈ R tq ∀x ∈ I G(x) = F (x) +K)

Il en découle que :

(F est une primitive de f sur I )⇔ (∃K ∈ R tq ∀x ∈ I F (x) =∫ x

a

f(t)dt+K)

Et que ∀(a, b)2 ∈ I2 ∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a)

15.4.3 Notation

Définition 72 Si f est continue sur I :∫f(x)dx désigne la valeur de x d’une primitive de f.

15.4.4 Technique de calcul d’une intégrale

Intégrale par partie

Définition 73 Si f,g sont de classe C1 sur I, (a, b) ∈ I2, alors :∫ b

a

fg′ = [fg]ba −∫ b

a

f ′g

Changement de variables

Définition 74 Soit u une bijection de classe C1 de [α, β] sur un intervalle [a,b]Soit f continue sur [a,b]. ∫ b

a

f(u)du =∫ β

α

f(u(t))u′(t)dt

15.4.5 Intégrale d’une fonction paire, impaire, periodique

Fonction paire

Propriété 54 Soit a ∈ RSi f est continue et paire sur [-a,a], alors : ∫ a

−af = 2

∫ a

0

f

Fonction impaire

Propriété 55 Si f est continue et impaire sur [-a,a], alors :∫ a

−af = 0

Fonction periodique

Propriété 56 Si f est continue et T periodique sur RSoit a ∈ R ∫ a+T

a

f est indépendant de a

15.5 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Définition 75 Soient f,g continues sur [a,b] :

|∫

[a,b]

fg| ≤√∫

[a,b]

f2

∫[a,b]

g2

Si cette inégalité devient une égalité, alors ∃λ0 ∈ R telque

g = −λ0f

15.6 Formule de Taylor avec reste intégrale

Définition 76 Soit f fonction de classe Cn.∀x ∈ Df , au voisinage de a :

f(x) = f(a) + ....+(x− a)n−1

(n− 1)!f (n−1)(a) +

∫ x

a

(x− a)n−1

(n− 1)!f (n)(t)dt

15.7 Inégalité de Taylor-Lagrange

Définition 77 Soit f de classe Cn+1 sur I, a ∈ I .Supposons que f (n+1) soit majorée sur I.Notons Mn+1 = sup

I|f (n+1)|

∀x ∈ I :

|∫ x

a

(x− t)n

n!(t)dt| ≤ (x− a)n+1

(n+ 1)!Mn+1

Septième partie

Nombres complexes

65

Chapitre 16Nombres complexes

16.1 Formules

16.1.1 Généralités

→ (C,+,x) est un corps→ (a+ib)+(a’+ib’) = (a+a’)+i(b+b’)

→ (a+ib).(a’+ib’) = (aa’-bb’)+i(ab’+a’b)

→ Il y a unicité de la partie réelle et de la partie imaginaire pour un complexe.

→ z + z′ = z + z′

→ z.z′ = z.z′

→ Re(z) =z + z

2

→ Im(z) =z − z

2

→ z−−→AB

= zb − za

→ On défini le barycentre de la façon suivante :

α+ β 6= 0, zg =αzA + βzBα+ β

16.1.2 Forme Trigonométrique et exponentielle

Soit z = x+iy un complexe.→ |z| =

√x2 + y2

→ |z|2 = z.z

→ |-z| = |z| = |z|

→ (z ∈ R)⇔ (z = z)

→ (z ∈ iR)⇔ (z = −z)

67

→ |Im(z)| ≤ |z|

→ |Re(z)| ≤ |z|

→ |z.z′| = |z|.|z′|

→ |z + z′| ≤ |z|+ |z′|

→ ei(θ+θ′) = cos(θ + θ′) + isin(θ + θ′)

→ eiθ + e−iθ

2= cos(θ)

→ eiθ − e−iθ

2= sin(θ)

→ cos(iy) = ch(y)

→ sin(iy) = ish(y)

→ Formule de Moivre :

(eiθ)n = einθ ⇔ (cos(θ) + isin(θ))n = cos(nθ) + isin(inθ)

→ z = x+iy = ρeiθ

→ Racine neme de l’unite :

zn = 1⇔ ∃k ∈ 0, 1, ..., n− 1 z = eik2πn

→ Racine neme d’un complexe non nul, avec z = ρeiθ, z0 = ρ0eiθ0 :

zn = z0 ⇔ ∃k ∈ 0, 1, ..., n− 1 z = A.eik2πn

Avec A la solution évidente (Passage à la racine neme)

Chapitre 17Nombres complexe et géométrie dansle plan

17.1 Alignement, Orthogonalité, Cocyclicité

Soit (−−→AB;

−→AC) l’angle formé par ces deux vecteurs.

(−−→AB;

−→AC) = arg

(c− ab− a

)[2π]

Soit :

z =(c− ab− a

)

17.1.1 Alignements

A,B,C alignées⇔(c− ab− a

∈ R)⇔ arg

(c− ab− a

)= 0

A,B,C alignées⇔ (z = z)⇔ (Det(−−→AB;

−→AC)) = 0

avec Det(−→u ,−→v) = xy′ − x′y

17.1.2 Orthogonalité

−−→AB;

−→AC orthogonaux⇔

(c− ab− a

∈ iR)⇔ arg

(c− ab− a

)=π

2[π]

−−→AB;

−→AC orthogonaux⇔ (z = −z)⇔ (

−−→AB.−→AC) = 0

17.1.3 Cocyclicité

Soit A,B,C trois points d’un cercle C de centre O.

(−−→OB;

−−→OC) = 2(

−−→AB;

−→AC) [2π]

Condition de cocyclicité

Propriété 57 Si (−−→AB;

−→AC) = (

−−→DB;

−−→DC) [π] alors A,B,C,D sont soit cocyclique, soit alignés.

69

17.2 Similitude

Soit z l’affixe de M, z’ l’affixe de M’.

17.2.1 Translation

Définition 78 Soit −→u vecteur du plan. On appele translation de vecteur −→u l’application :

t−→u : P → P

M 7→M ′

avec−−−→MM ′ = −→u

Expression analytique complexe

soit α l’affixe de −→u Alors :z′ = α+ z

Bijectivité

t−→u est une application bijective. Soit :

t−1−→u : P → P

M 7→M ′

avec z’ = z - α

17.2.2 Homothetie

Définition 79 Soit Ω un point d’affixe ω. Soit k ∈ R. On appele homothétie de centre Ω et de rapport kl’application :

h : P → P

M 7→M ′

avec−−→ΩM ′ = k

−−→ΩM

Expression analytique complexe

z′ − ω = k(z − ω)

On détermine le centre d’une homothétie en déterminant son point fixe, donc en résolvant :

z = z′

Bijectivité

h est une application bijective. Soit :

h−1 : P → P

M 7→M ′

avec z’ - ω =1k

(z − ω)

17.2.3 Rotation

Définition 80 Soit Ω un point d’affixe ω et θ un réel. On appele rotation de centre Ω et d’angle θ l’appli-cation

r : P → P

M 7→M ′

avec ΩM ′=ΩM et (−−→ΩM ;

−−→ΩM ′) = θ [2π]

Expression analytique complexe

z′ − ω = eiθ(z − w)

On détermine le centre d’une rotation en déterminant son point fixe, donc en résolvant :

z = z′

Bijectivité

h est une application bijective. Soit :

r−1 : P → P

M 7→M ′

avec z’ - ω = e−iθ(z − ω)

17.2.4 Similitude

Définition 81 Soit Ω un point d’affixe ω et (θ,k) ∈ R2. On appele similitude direct de centre Ω, d’angle θ,et de rapport k l’application :

S : P → P

M 7→M ′

avec ΩM ′=kΩM et (−−→ΩM ;

−−→ΩM ′) = θ [2π]

Expression analytique complexe

z′ − ω = keiθ(z − w)

On détermine le centre d’une similitude en déterminant son point fixe, donc en résolvant :

z = z′

Bijectivité

S est une application bijective. Soit :

S−1 : P → P

M 7→M ′

avec z’ - ω =1ke−iθ(z − ω)

17.2.5 Affinité

Soit ϕ l’application défini par :ϕ : Plan 7→ Plan

P (x, y) 7→M(x,b

a.y)

ϕ est appelé affinité de base Ox, de direction Oy et de rapportb

a

Huitième partie

Polynomes

73

Chapitre 18Les polynomes

18.1 Définitions

Soit K un corps ( Soit R, soit C)

Définition 82 Un polynome à coefficiants dans K est une suite d’élement de K tous nul à partir d’uncertain rang.

P = (a0, ....., an, 0, ...)

On peut l’écrire aussi sous la forme :

P = a0 + a1X + ...+ anXn

avec X l’indéterminé.Il existe aussi la forme suivante :

P =n∑k=0

akXk

L’ensemble des polynomes à coefficiants dans K est notée K[X].

Soit P et Q deux polynomes. On as :

P = Q⇔ ∀k ∈ N ak = bk

18.1.1 Opérations

On peut effectuer quatres opérations :→ Une addition :

P +Q =∞∑k=0

(ak + bk)Xk

→ Un produit :

P.Q =∞∑

k,k′≥0

(ak.b′k)Xk+k′

→ Un produit par λ, λ ∈ K :

λP =∞∑k=0

(λak)Xk

→ Une composée :

P (Q) =∞∑k=0

akQk

75

18.1.2 Structure

18.1.3 Polynome constante

On observe qu’un polynome constant s’identifie à un élement du corps. On obtient donc que :

K c K[X]

Structure de (K[X],+,x)

→ (K[X],+) est un groupe commutatif→ (K[X],+,x) est un anneau commutatif : On peut donc utiliser les identités remarquables sur

les polymones. Cette anneau est intègre, ce qui signifie que :

(P.Q = 0)⇔ (P = 0 ou Q = 0)

18.1.4 Fonction polynome associée

Soit P ∈ K[X], défini par :P = a0 + a1X + ...+ anX

n

On obtient la fonction polynome associée :

∀x ∈ K, P (x) = a0 + a1x+ ...+ anxn

L’application qui lie le polynome à sa fonction associée est une bijection.Toutes les notions de partié se transmette de la fonction polynome associée au polynome.

18.1.5 Degrés

Définition 83 On défini le degrés d’un polynome par :

deg(P ) = Max k ∈ N/ak 6= 0

Par convention :deg(0) = −∞

deg(PConstant) = 0

Degrés d’une combinaison

On peut déterminer le degrés de deux combinaison :

deg(P.Q) = deg(P ) + deg(Q)

deg(P +Q) ≤Max(deg(P ), deg(Q))

18.1.6 Valuation

Définition 84 On défini la valuation d’un polynome par :

val(P ) = Min k ∈ N/ak 6= 0

Par convention :deg(0) = +∞

Valuation d’une combinaison

On peut déterminer le degres de deux combinaison :

val(P.Q) = val(P ) + val(Q)

val(P +Q) ≥Min(val(P ), val(Q))

18.1.7 Division euclidienne dans K[X]

Diviseur, Multiple

Définition 85 Soient A,B deux polynomes.On dit que B divise A, ou que A multiplie B, si :

∃Q ∈ K[X] A = B.Q

Il en découle que les polynomes constant non nuls divisent tous les autres.

Division euclidienne

Définition 86 Soit A,B deux polynomes, B non nul.

∃!(R,Q) ∈ K[X] tq A = B.Q+R

avec deg(R) ≤ deg(Q)-1.On appelle respectivement R et Q le reste et le quotient de la division euclidienne.

18.1.8 Formule de Taylor

Soit a un réel. Soit P un polynome de degrés n.On obtient :

P =n∑k=0

Dk(P )(a)k!

(X − a)k

avec Dk(P )(a) la dérivé keme de P prise en a.

18.2 Racine d’un polynome

Soit P ∈ K[X]. Soit r ∈ K

18.2.1 Racine simple

Définition 87 r est une racine de P si P (r) = 0

Propriété 58 (r est une racine de P)⇔ ((X-r) divise P)

18.2.2 Racine multiple et ordre de multiplicité

Définition 88 r est une racine d’ordre α si (X − r)α divise P et (X − r)α+1 ne divise pas P.

Propriété 59 (r est une racine d’ordre α de P)⇔ (∀i ∈ 0, .., α− 1 Di(P )(r) = 0 et Dα(P )(r) 6= 0)

18.2.3 Polynome scindé

Soit P ∈ K[X] de degrés n et de termes dominant anXn

Définition 89 P est scindé si le nombre de racine, en comptant les ordres de multiplicité, est n :

∃(r1, ..., rn) ∈ Kn,∃(α1, ..., αn) ∈ Nn tq P = an(X − r1)α1 ...(X − rn)αn

Lien entre coefficiants et racine d’un polynome scindé

On obtient les relations suivantes :n∑i=1

ri =−an−1

an

r1...rn = (−1)na0

an

18.2.4 Polynome irréductible

Dans R[X]

Définition 90 Un polynome est irréductible si il n’est divisible que par les polynomes constant et par lesproduits de lui-meme par un constante.

Dans C[X]

Théorème 10 Tout polynome non constant dans C[X] possède au moins une racine complexe.

On en déduit donc que :→ Tout polynomes dans C[X] est scindé→ Les seuls polynomes irréductible de C[X] sont ceux de degrés 1

Neuvième partie

Espace vectoriel

79

Chapitre 19Espace vectoriel

19.1 Définitions

Définition 91 Soit E un espace et K un corps.Donc dit que (E,+,.) est un K-espace vectoriel si il vérifie les propriétés suivantes :

1- + est une loi de composition interne :

∀(x, y) ∈ E2 x+ y ∈ E

2- + est une loi associative :

∀(x, y, z) ∈ E3 (x+ y) + z = x+ (y + z)

3- + possède un élement neutre OE :

∀x ∈ E x+OE = OE + x = x

4- Tous éléments x de E est symétrisable pour + dans E. Ce symétrique est −x :

∀x ∈ E x+ (−x) = (−x) + x = OE

5- + est commutatif dans E :∀(x, y) ∈ E2 x+ y = y + x

6- "." est une loi de composition externe :

∀x ∈ E,∀λ ∈ K, λ.x ∈ E

7- "." possède un élement neutre 1K :∀x ∈ E 1k.x = x

8- "." vérifie :∀x ∈ E,∀(λ, µ) ∈ K2 λ.(µ.x) = (λ× µ).x

9- "." vérifie :∀x ∈ E,∀(λ, µ) ∈ K2 (λ+ µ).x = (λ.x) + (µ.x)

10- "." vérifie :∀(x, y) ∈ E2,∀λ ∈ K λ.(x+ y) = λ.x+ λ.y

Si un espace ne vérifie que les 4ere propriétés, on dit que c’est un groupe. Si il vérifie les 5ere, c’est ungroupe commutatif.

81

Propriété 60 Soit E un K-espace vectoriel :

→ ∀x ∈ E, 0K .x = 0E

→ ∀x ∈ E − x = (−1K).x

→ Soit x un vecteur de E, λ ∈ K :

(λ.x = OE)⇔ (λ = OK ou x = OE)

19.2 Sous-espaces vectoriels

19.2.1 Définitions

Définition 92 Soit E un K-espace vectoriel. Soit F un espace.On dit que F est un sous-espace de E si :

F c E(F,+, .) est un K-espace vectoriel

Propriété 61 Soit E un K-espace vectoriel. Soient F et G deux sous espace de E :→ OE est le plus petit sous espace de E.→ F ∩G est un sous espace de E→ F ∪G est un sous espace de E

19.2.2 Critère de reconaissance

Propriété 62 ( F est un sous espace de E )⇔

F c EF 6= ∅∀(x, y) ∈ F 2,∀(λ, µ) ∈ K2, λx+ µy ∈ F

19.2.3 Sous espace supplémentaire

Soit E un K-espace vectoriel. Soient F,G deux sous espace de E.

Définition 93 F et G sont dit en somme direct si :

F ∩G = OE

Définition 94 F et G sont supplementaire si ils sont en somme direct et que :

F +G = E

On le note :F ⊕G = E

Propriété 63 Si F et G sont supplementaires, alors

∀x ∈ E

, il existe un unique couple (x,y) avec y ∈ F ,z ∈ G telque :

x = y + z

19.2.4 Partie génératrice d’un sous-espace

Sous espace engendré par un partie

Soit A une partie de E.Soit G le plus petit espace contenant A.

Définition 95 G est le sous espace engendré par A. On le note :

G = V ect(A)

On dit que A est une partie génératrice de G.

Sous espace engendré par une partie fini

Soit u1, ..., un n vecteur de E.

V ect(u1, ..., un) = λ1u1 + ...+ λnun/λ1, ..., λn ∈ Kn

19.2.5 Produit de deux espaces

Définition 96 Soient E et F deux K-espace vectoriel.On munit le produit E×F des deux lois suivant :

∀(x, y) ∈ E × F,∀(x′, y′) ∈ E × F,∀λ ∈ K(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′)λ.(x+ y) = (λx, λy)

Propriété 64 (E×F,+,.) est un K-espace vectoriel, de vecteur nul (OE , OF )

19.3 Application linéaire

Définition 97 Soient E et F deux K-espace vectoriels, f une application de E dans F.f est une application linéaire si :

∀(x, y) ∈ E2 ∀(λ, µ) ∈ K2 f(λx+ µy) = λf(x) + µf(y)

19.3.1 Vocabulaire

→ Application linéaire→Morphisme d’espace vectoriel→ Application linéaire de E dans E→ Endomorphisme→ Application linéaire bijective→ Isomorphisme→ Application linéaire bijective de E dans E→ Automorphisme

On note L(E,F ) l’ensemble des applications linéaire de E dans F

Propriété 65 Soit f isomorphisme de E dans F.Alors f−1 existe et est linéaire de F dans E

19.3.2 Noyau et Image d’une application linéaire

Soit f ∈ L(E,F )

Image

Définition 98 On appele image de f l’ensemble des images de tous les vecteurs de E par f :

Im(f) = f(x)/x ∈ E

Im(f) est un sous espace vectoriel de F

Noyau

Définition 99 On appele noyau de f l’ensemble des antécédants OF par f :

Ker(f) = x ∈ E/f(x) = 0

Ker(f) est un sous espace vectoriel de E

Propriété 66 f est une application injective si et seulement Ker(f) est réduit au vecteur nul :

(f est injective)⇔ (Ker(f) = OE)

19.3.3 Opérations sur les applications linéaires

→ La combinaison linéaire de deux applications linéaire est une application linéaire→ La composée de deux applications linéaire est linéaire

19.3.4 Structure

→ (L(E),+,o,.) est un K-Algèbre : On peut donc utiliser les identites remarquables→ GL(E) : Groupe des automorphisme de E. Dans ce groupe :

(fog)−1 = g−1of−1

19.3.5 Projecteur

Définition 100 Soit E un K-espace vectoriel, soient F et G deux sous espaces supplémentaire de E.Soit x ∈ E

∃!(y, z), y ∈ F, z ∈ G, x = y + z

On appelle projeté de x sur F parallement à G, notée p(x), le vecteur y.

Propriété 67 p est une application linéaire

Propriété 68 Soit p la projection de F parallement à G :

→ Im(p) = F

→ Ker(p) = G

→ pop = p

→ ∀x ∈ E (p(x) =x )⇔ (x ∈ F)

Propriété 69 Soit q la projection de G parallement à F. p et q sont deux projecteur associé.→ Im(q) = G

→ Ker(q) = F

→ poq = OE

→ p+q = Ide

Propriété caractéristique

Propriété 70 Si : f est linéairefof = f

Alors f est une projection sur F parallement à G avec :F = x ∈ E/f(x) = xG = Ker(f)

19.3.6 Symétrie

Définition 101 Soit E un K-espace vectoriel, soient F et G deux sous espaces supplémentaire de E.Soit x ∈ E

∃!(y, z), y ∈ F, z ∈ G, x = y + z

On appelle symétrie de x par rapport à F parallement à G :

s(x) = y − z

avec : (s(x) = x)⇔ (x ∈ F )(s(x) = −x)⇔ (x ∈ G)

Propriété 71 Soit s une symétrie :→ s est une application linéaire→ sos = Ide, donc s est une bijection

Propriété caractéristique

Propriété 72 Si : f est linéairefof = Ide

Alors f est une symétrie

Chapitre 20Espace vectoriel de dimensions finies

20.1 Partie libre - Partie liée - Partie génératrice

20.1.1 Partie finie liée

Définition 102 Soient u1, ..., up p vecteurs d’un K-espace vectoriels de E.On dit que u1, ..., un est liée ou que les vecteurs u1, ..., un sont linéairement dépendants si ∃(λ1, ..., λp) ∈Kp non tous nuls telque :

λ1u1 + ...+ λpup = OE

Propriété 73 Toutes parties qui contient le vecteur nul est liée

Propriété 74 Si L est liée, et L c L’, alors L’ est liée.

Vecteurs colinéaires

Soit u,v deux vecteurs de E.

( u et v sont colinéaire⇔ (∃λ ∈ K tq u = λv ou v = 0))

20.1.2 Partie fini libre

Définition 103 Soit L partie finie de E.

(L est libre)⇔ (L n’est pas libre)

On la caractérise par : Si ∃(λ1, ..., λp) ∈ Kp tq λ1u1 + ...+ λpup = OE alors

λ1 = ... = λp = 0

On dit que la partie est linéairemement indépendante.

Propriété 75 Si L est libre, et L’ c L, alors L’ est aussi libre.

20.1.3 Partie génératrice

Soit E un K espace vectoriel. Nous avons l’ensemble des propriétés suivantes :1- G est une partie génératrice de E si :

V ect(G) c E

2- Si A et B sont deux parties de E, si A c B, alors :

V ect(A) c V ect(B)

3- Si G est une partie génératrice de E, G’ une partie telque G c G’, alors G’ est une partie généra-trice de E

87

20.1.4 Base

Définition 104 Une base d’un espace E est une partie génératrice de E et libre.

Propriété 76 Si B = e1, ..., en est une base fini de E, alors, ∀u ∈ E, ∃! n uplet de scalaire (x1, ..., xn)telque :

u = x1e1 + ...+ xnen

Le n-uplet (x1, ..., xn) est appelé le n-uplet de coordonées de u dans la base B. On le note aussi :

matB(u) =

x1

.

.xn

Base de référence

→ Rn[X] : 1,X,X2,...,Xn

→ Rn : (1,...,0),...,(0,...,1)

20.2 Dimension d’un espace de dimension finie

Définition 105 Soit E un K-espace vectoriel.Si E possède une partie génératrice finie, on dit que E est un espace de dimension finies.

Propriété 77 Soit E un espace de dimension finies et G = u1, ..., up une partie génératrice de E.Si G est libre, alors G est une base de E.

Propriété 78 De toute partie génératrice finie, on peut extraire une base.

Théorème 11 Théorème de la base incomplète :Soit L = u1, ..., un.Si L est une partie libre, on peut la completer en une base.

Propriété 79 Lemme de Steiniz :Si E possède une partie génératrice de n vecteurs, alors toute partie de n+1 vecteurs est liée

Théorème 12 Si E est de dimension finie, toutes les bases de E ont le meme nombre d’élements et cenombre commun est la dimension de l’espace.Si B est une base de E :

dim(E) = card(B)

Propriété 80 Soit E un espace de dimension n, soit A une partie de E→ Si A est une partie génératrice de E, alors card(A) ≥ n→ Si card(A) < n, alors A n’est pas génératrice de E→ Si A est libre, alors card(A) ≤ n→ Si card(A) > n, alors A est liée.

20.2.1 Caractérisation des bases

Soit E un espace vectoriel de dimension n et A une partie de E.Si A est une base, alors A est libre, A est génératrice de E et card(A) = dim(E).

→ A est une base⇔ A est libre et card(A) = dim(E)→ A est une base⇔ A est génératrice de E et card(A) = dim(E)

20.3 Sous-espace d’un espace de dimension finie

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie :

Propriété 81 Soit F sous espace de E.F est de dimension finie et dim(F) ≤ dim(E).

Propriété 82 Soient F et G deux sous-espace de E :

(F = G)⇔F c Gdim(F ) = dim(G)

Propriété 83 Formule de Grassman :Soit F et G deux sous-espace de E :

dim(F +G) = dim(F ) + dim(G)− dim(F ∩G)

Propriété 84 Soit E espace de dimension finie.Soient F et G deux sous espaces de E. F et G sont supplémentaire si :

F +G = Edim(E) = dim(F ) + dim(G)

Propriété 85 Tous sous-espace possède au moins un supplémentaire

Propriété 86 → dim(∅) = 0→ Si D est un sous espace de dimension 1, c’est une droite vectorielle→ Si P est un sous espace de dimension 2, c’est un plan vectoriel→ Si H est un sous espace de dimension n-1, c’est un hyperplan→ Tout supplémentaires d’un hyperplan est une droite vectoriel

20.3.1 Rang d’une partie

Définition 106 Soit A une partie d’un espace E.Le rang de A est la dimension du sous espace engendré par A :

rang(A) = dim(V ectA)

Propriété 87 Soit A c E :→ (rang(A) = dim(E))⇔ (A est une partie génératrice de E)→ (A est libre)⇔ (rang(A) = card(A))

20.3.2 Sous espace supplémentaire et base

Soient F,G deux sous espaces de E, de base BF , BG :

( F et G sont supplémentaire )⇔BF ∪BG = BEBF ∩BG = ∅

20.4 Application linéaire entre deux espaces de dimension finies

Soient E et F deux K-espaces vectoriel de dimension finies

20.4.1 Caractérisation par l’image d’une base de E

Soit BE = e1, ..., ep une base de E.Soit u un vecteur de E telque :

matB(u) =

x1

.

.xp

Si f ∈ L(E,F), alors :

f(u) = x1f(e1) + ...+ xpf(ep)

20.4.2 Image d’une partie libre, liée ou génératrice de E

Soit f ∈ L(E,F).

→ Si L1 = u1, ..., up est une partie liée, alors f(u1), ..., f(up)

→ Si L1 = u1, ..., up est une partie libre, alors ? ? ? ? ? ?

→ L’image d’une partie génératrice de E est une partie génératrice de Im(f)→ Si B est une base de E, alors f(B) est génératrice de Im(f)

20.4.3 Rang d’une application linéaire

Définition 107 Soit f ∈ L(E,F).Le rang de f est la dimension de l’image de f :

rang(f) = dim(Im(f))

Propriété 88 (f est surjective)⇔ (rang(f) = dim(F))

20.4.4 Théorème du rang

Soit f ∈ L(E,F) :dim(Ker(f)) + rang(f) = dim(E)

Propriété 89 (f est injective)⇔ (rang(f) = dim(E))

20.4.5 Forme linéaire

Définition 108 Une forme linéaire d’un espace est une application linéaire de E dans son corps K.

Propriété 90 Si ϕ est une forme linéaire : rang(ϕ) ≤ 1

Propriété 91 Le noyau d’une forme linéaire non nuls est un hyperplan

20.5 Isomorphisme

Définition 109 On considère E,F deux espaces de dimension finie.On dit que E et F sont isomorphe si il existe un isomorphisme de E dans F.Dans cette situation, on obtient :→ Ker(f) = OE→ Im(f) = F→ rang(f) = dim(F) = dim(E)→ Deux espaces isomorphe ont meme dimension→ Soit BE une base de E, f un isomorphisme, alors f(BE) est une base.

20.5.1 Caractérisation des isomorphismes

Soit ϕ une application linéaire de E dans F :

Propriété 92

(ϕ est bijective)⇔Ker(ϕ) = OEdim(E) = dim(F )

(ϕ est bijective)⇔rang(ϕ) = dim(F )dim(E) = dim(F )

(ϕ est bijective)⇔ (ϕ(BE) est une base de F)

20.5.2 Espace isomorphe

Théorème 13 Si F est un espace de dimension finie, si E et F sont isomorphe, alors E est aussi de dimensionfinie, et dim(E) = dim(F)

Dixième partie

Espace vectoriel euclidien

93

Chapitre 21Espaces vectoriels euclidiens

21.1 Produit scalaire

Définition 110 Soit E un R−espace vectoriel et :

ϕ : E × E → R

ϕ est un produit scalaire sur E si :→ ϕ est bilinéaire→ ϕ est symétrique→ ϕ est positive→ ϕ est définie

21.1.1 Notation et Vocabulaire

→ Si ϕ est un produit scalaire sur E, on note :

∀(u, v) ∈ E2 ϕ(u, v) =< u, v >

→ On défini la norme de u par :

∀u ∈ E ||u|| =√< u, u >

→ Sachant que ϕ est définie, on obtient :

∀u ∈ E, (||u|| = 0)⇔ (u = 0)

→ On dit que u et v sont orthogonaux si :

< u, v >= 0

→ Un espace vectoriel est dit euclidien si :

1- E est de dimension finies

2- On a défini un produit scalaire sur E

21.2 Propriétés

Propriété 93 Soit E un R-espace euclidien.Soient u,v deux vecteurs de E :

||u+ v||2 = ||u||2 + 2 < u, v > +||v||2

95

Théorème 14 Théorème de Pythagore :

(u et v sont orthogonaux)⇔ (||u+ v|| = ||u||2 + ||v||2)

Propriété 94 Soit u ∈ E, soit λ ∈ R||λu|| = |λ|.||u||

Propriété 95 Inégalité de Cauchy :Soient u,v deux vecteurs :

| < u, v > | ≤ ||u|| × ||v||

Si il y a égalité, alors u et v sont colinéaire

Propriété 96 Inégalité de Minkouskay :

||x+ y|| ≤ (||x||+ ||y||)

Propriété 97 Si u1, ..., un sont des vecteurs non nuls et 2 à 2 orthogonaux, alors la partie est libre.

21.3 Base orthonormée

Définition 111 Soit (e1, ..., en) n vecteur de E, avec E espace de dimension n, deux à deux ortogonaux(famille orthogonale) et unitaire (famille normée) ( ∀k ||ek|| = 1).Alors,(e1, ..., en) est une famille dites orthonormée, qui, de plus, est ici une base.

Propriété 98 Tout R espace vectoriel euclidien de dimension finie admet au moins une base orthonormée.

Propriété 99 Soit B une base orthonormée de E. Soient u,v deux vecteurs de E de coordonnée respectif(x1, ..., xn) et (y1, ..., yn), alors :

< u, v >= x1y1 + ...+ xnyn

Propriété 100 On défini dans ce cas la norme de u par :

||u|| =√x2

1 + ...+ x2n

Propriété 101 Pour déterminer les coordonnées dans une base orthonormée, on détermine :

∀k ∈ 1, ..., p < u, ek >= xk

21.3.1 Matrice orthogonales

Définition 112 Une matrice de passage entre deux bases orthonormées est dites orthogonale.

Propriété 102 Soit B une base orthonormée. Soit B’ une autre base. Soit P = matB(B′).

(B’ est orthogonale)⇔ (P−1 =t P )

Propriété 103 Soit P une matrice orthogonale :

det(P ) = ±1

Propriété 104 Si P est orthogonale, alors tP est orthogonale et (l1, ..., ln) forme aussi une base orthonor-mée de Rn

21.3.2 Orientation de l’espace vectoriel

Définition 113 Soit E un espace vectoriel.On oriente une base en définisant une base dites directe.

Propriété 105 Soit B0 une base directe.Si B est une base de E :

detB0(B) > 0 B est directedetB0(B) < 0 B est indirecte

Propriété 106 Soit B,B’ deux bases de E :

(detB(B′) > 0)⇔ ( B et B’ ont la même orientation)

Dans le cas des bases orthonormée, on as :

Bases orthonormée

Propriété 107 Soit B1 une base orthonormée directedetB1(B) = 1 alors B est orthonormée directedetB1(B) = −1 alors B est orthonormée indirecte

Propriété 108 Soit (u1, ..., un) ∈ Rn.Si B et B’ sont deux bases orthonormée directe :

detB(u1, ..., un) = detB′(u1, ..., un)

Ce déterminant commun à toutes les bases orthonormée directe est notée Det(u1, ..., un)

21.3.3 Orthogonalité et sous-espace

Soit E un espace euclidien

Sous espace orthogonaux

Définition 114 Soient F et G deux sous-espaces.

(F est orthogonal à G)⇔ (∀x ∈ F,∀y ∈ G, < x, y >= 0)

Propriété 109 Deux sous espaces orthogonaux sont en somme directe.

Propriété 110 On en déduit que :

dim(F ) + dim(G) ≤ dim(E)

Orthogonal d’un sous-espace

Définition 115 Soit F un sous espace de E.On appele orthogonale de F l’ensemble des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de F.On note :

F⊥ = x ∈ E/∀y ∈ F < x, y >= 0

Propriété 111 F⊥ est un espace vectoriel.

Propriété 112 F et F⊥ sont deux sous espaces supplémentaire

Propriété 113 On en déduit que :

dim(F⊥) = dim(E)− dim(F )

Propriété 114 L’orthogonale de l’orthogonale de F :

(F⊥)⊥ = F

Propriété 115 Soit ϕ ∈ L(E,R).Soit u un vecteur de E de coordonée (x1, ..., xn). Il existe donc (a1, ..., an) telque :

ϕ(u) = a1x1 + ...+ anxn

On obtient donc :ϕ(u) =< a, u >

Par conséquence :Ker(ϕ) = (V ect(a))⊥

21.3.4 Projection orthogonale

Définition 116 La projection orthogonale sur un sous espace vectoriel F est la projection sur F parallèle-ment à F⊥

Définition 117 Soit B(e1, ...ep) une base orthonormée de F.Soit x un vecteur de E de coordonnées (x1, ..., xp).On obtient donc le projetté orthogonale de x sur F, notée p(x) :

p(x) =< x, e1 > e1 + ...+ < x, ep > ep

Propriété 116 Si p est la projection orthogonale sur F. Si u ∈ E, alors :

Inf||x− y||/y ∈ F = ||x− p(x)||

Et on note :d(x, F ) = inf

y∈F‖ x− y ‖

Et on appelle ceci distance de x à F.

Propriété 117 Si :→ y ∈ F→ x− y ∈ F⊥

Alors y = p(x).

Chapitre 22Espace euclidien de dimension 3

22.1 Définitions

22.2 Angle de deux vecteurs non nuls

Soient −→u ,−→v deux vecteurs non nuls, non colinéaire.Soit −→n vecteur orthogonale à −→u et −→v . On obtient :

cos(θ) =< −→u ;−→v >

||−→u ||.||−→v ||et :

sin(θ) =Det(−→u ;−→v ;−→n )||−→u ||.||−→v ||.||−→n ||

22.2.1 Produit vectoriel

Définition 118 Soit (−→i ,−→j ,−→k ) une base orthonormée directe de E.

Le produit vectoriel est l’unique application de E×E dans E :

– Alternée : −→u ∧ −→v = −−→v ∧ −→u– Bilinéaire

– Vérifiant :

−→i ∧ −→j =

−→k

−→j ∧−→k =

−→i

−→k ∧ −→i =

−→j

La définition du produit vectoriel est indépendante du choix de la base orthonormée.

Propriété 118 Soit −→u ,−→v deux vecteurs :

(−→u ∧ −→v =−→0 )⇔ (−→u et −→v sont colinéaire)

Propriété 119 Soient −→u ,−→v deux vecteurs non colinéaire :−→u ∧ −→v ⊥−→u

Propriété 120 On obtient la propriété suivante, pour la norme du produit vectoriel :

||−→u ∧ −→v || = ||−→u ||.||−→v ||.|sin(θ)|

22.2.2 Double produit vectoriel

Propriété 121 Soient −→a ,−→b ,−→c trois vecteurs :

−→a ∧ (−→b ∧ −→c ) =

−→b .(−→a .−→c )−−→c .(−→a .

−→b )

99

22.2.3 Produit mixte

Définition 119 Soient −→u ,−→v ,−→w trois vecteurs de E :

−→u ∧ −→v .−→w = Det(−→u ,−→v ,−→w )

Chapitre 23Isométrie Vectorielle

23.1 Généralités

Définition 120 Soit E un espace euclidien, soit f ∈ L(E).f est une isométrie vectorielle si :

∀x ∈ E ||f(x)|| = ||x||

Propriété 122 Soit f ∈ L(E).

(f est une isométrie vectorielle)⇔ (∀x ∈ E ∀y ∈ E, < f(x), f(y) >=< x, y >)

On dit que f est un endomorphisme orthogonale

Propriété 123 Une isométrie vectorielle est bijective

Propriété 124 La réciproque d’une isométrie vectorielle est une isométrie vectorielle

Propriété 125 La composée de deux isométries vectorielles est une isométrie vectorielle

Propriété 126 L’ensemble des isométrie vectorielles, munie de la loi de composition des applications est ungroupe, appelé le groupe orthogonale de E, notée O(E)

Propriété 127 Soit f endomorphisme de E, et B base orthonormée.

(f est une isométrie vectorielle)⇔ ( f(B) est une base orthonomée)

(f est une isométrie vectorielle)⇔ (matB(f) est une base orthogonale)

23.2 Isométrie vectorielle plane

23.2.1 ClassificationNom Matrice Déterminant Vecteur invariant

Rotation d’angle θ[cos(x) − sin(x)sin(x) cos(x)

]+1 0 ou E pour Ide

Symétrie ⊥ / à une droite D[cos(x) sin(x)sin(x) − cos(x)

]-1 Droite vectorielle

23.2.2 Cas particulier des rotations

Propriété 128 L’ensemble des rotations vectorielle planes est un sous groupe de O(E), appelé groupe spé-ciale orthogonale. Il est notée SO(E)

101

23.2.3 Rotation orthogonales

Propriété 129 La composée de deux symétries orthogonales par rapport à deux droites est une rotationd’angle deux fois l’angle entre les deux droites.

23.3 Isométrie vectorielle d’un espace euclidien de dimension 3

23.3.1 Symétrie orthogonale

Soit E un espace euclidien de base B=(i,j,k) orthonormée directe.Soit F un sous espace de E, et sf la symétrie orthogonale par rapport à F :

Définition de F Base Matrice Déterminant Type

F = 0 Quelconque

−1 0 00 −1 00 0 −1

-1 sf = h−1

dim(F) = 1 (e1, e2, e3) D =Vect(e1)

1 0 00 −1 00 0 −1

1 ×

dim(F) = 2 (e1, e2, e3) P =Vect(e1, e2)

1 0 00 1 00 0 −1

-1 Réflection

dim(F) = 3 Quelconque

1 0 00 1 00 0 1

1 sf = Ide

23.3.2 Propriété de la matrice d’un symétrie orthogonale dans une base ortho-normée

Si B est une base orthonormée et s une symétrie orthogonale.Soit M=matB(s).Sachant que s est une symétrie, M est inversible etM−1 = M . De plus, la symétrie est orthogonale,donc la matrice l’est aussi, donc M−1 =t M .On obtient donc M = tM . Donc M est une symétrie.

23.3.3 Rotation

Définition 121 Soit D une droite vectorielle orienté et θ un réel.La rotation d’axe de D et d’angle θ est l’application linéaire r telque :→ ∀u ∈ D r(u)=u→ Le plan D⊥ est stable par r et la restriction de r à ce plan est une rotation plane d’angle θ orienté

par D.

Propriété 130 Soit B=(e1, e2, e3) base orthonormée directe telle que D=Vect(e1) et D⊥ = V ect(e2, e3),alors : 1 0 0

0 cos(θ) −sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)

Donc :

det(r) = 1

Propriété 131 Cas particulier :→ θ = 0, alors r = Ide→ θ = π, alors r=sD

Propriété 132 Composée de deux réflections :Soient P,P’ deux plans distincts telque P ∩ P ′ = D :

→ Si u ∈ D : sP ′(sP (u)) = u→ Si u ∈ D⊥ r est stable dans D⊥

→ sP ′osP (u) est une rotation d’axe D.

23.3.4 Calcul de l’image d’un vecteur de x par une rotation

Soit r rotation d’axe D, orienté par−→d , vecteur directeur de D, et d’angle θ.

Soit −→x /∈ D :

r(−→x ) =< −→x ,

−→d >

||d||2.−→d + cos(θ)

(−→d ∧ −→x ) ∧

−→d

||−→d ||2

+ sin(θ)−→d ∧ −→x||−→d ||

Si ||−→d || = 1 :

r(−→x ) =< −→x ,−→d > .

−→d + cos(θ)(

−→d ∧ −→x ) ∧

−→d + sin(θ)

−→d ∧ −→x

23.3.5 Classification

Soit Inv(f) l’ensemble des vecteurs invariants.

dim(Inv(f)) f Base Matrice Det

3 Ide Quelconque

1 0 00 1 00 0 1

1

2 Réflexion sp Base adaptée

1 0 00 1 00 0 −1

-1

1 Rotation d’axe D, d’angle θ Base adaptée

1 0 00 cos(θ) −sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)

1

0 Réflexion o rotation Base adaptée

1 0 00 cos(θ) −sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)

-1

23.3.6 Élements caractéristiques d’une rotation

→ L’axe : L’ensemble des vecteurs invariante→ L’angle :→ cos(θ) est obtenu par la Trace(r) = 1 + 2cos(θ) dans une base adaptée.→ Le signe de sin(θ) est obtenu par le signe de Det(x,r(x),d), avec x espace non invariant de

l’espace, r(x) la rotation et d un vecteur directeur de l’axe

23.3.7 Autres résultats

Propriété 133 La matrice d’une projection orthogonale dans une base orthonormée est symétrique

Onzième partie

Espace Affine

105

Chapitre 24Espace Affine

24.1 Définitions

Définition 122 Soit E un < espace vectoriel.Soit ξ un ensemble.On dit que ξ est un espace affine de direction l’espace vectoriel E si il existe ϕ défini par :

ϕ : ξ × ξ → E

(a, b) 7→−→ab

telle que :→ ∀(A,B,C) ∈ ξ3 ϕ(A,B) + ϕ(B,C) = ϕ(A,C)→ ∀A ∈ ξ, ∀u ∈ E, ∃!B ∈ ξ tq

−−→AB = −→u

Vocabulaire 1 Si ξ est un espace affine, ses éléments sont appelé points.

Vocabulaire 2 Si B est une base de E, O∈ ξ, alors (O,B) est un repère de ξ

Vocabulaire 3 Si M∈ ξ, les coordonées de M dans (O,B) sont celles de−−→OM dans B.

Propriété 134 = est un sous espace affine de ξ si :→ = = ∅→ ou ∃ A ∈ ξ et F sous espace vectoriel de E telque :

= = A+ F

24.2 Applications affines

Définition 123 Soit ξ un espace affine, E un espace vectoriel.On appelle application affine de ξ toute application f de ξ dans ξ telle qu’il existe ϕ ∈ L(E) et O,O’ deuxpoints telque :

∀M ∈ ξ−−−−−→O′f(M) = ϕ(

−−→OM)

∀M ∈ ξ f(M) = O′ + ϕ(−−→OM)

On dit que ϕ est l’application linéaire associée à f.

Propriété 135 Si f est une application affine associée à ϕ :

∀(A,B) ∈ ξ2 −−−−−−→f(A)f(B) = ϕ(−−→AB)

Propriété 136 La composée de deux applications affines est affine et l’application linéaire associée est lacomposée des applications linéaires associées.

107

24.2.1 Homothétie affine

Définition 124 Soit A ∈ ξ et k ∈ <.On appelle homothétie de centre A et de rapport k l’application :

h : ξ → ξ

M 7→M ′

avec−−→AM ′ = k

−−→AM .

h est une application affine.

24.2.2 Conservation du barycentre

Propriété 137 Si f est l’application affine associée à ϕ, et G le barycentre de (Mi, λi)/i = 1, ..., p, alors :f(G) est le barycentre de (f(Mi), λi)/i = 1, .., p

24.2.3 Expression analytique dans un repère

Définition 125 Soit f application affine de E, et R=(O,B) un repère de ξ.Il existe des réels ai,j , bi telque si M à pour coordonnées (x1, ..., xn) et M’ à pour coordonées (x′1, ..., x′n) :

x′1 = a1,1x1 + ...+ a1,nxn + b1........x′n = an,1x1 + ...+ an,nxn + bn

24.3 Isométries affines

24.3.1 Généralités

Définition 126 Soit f une application affine d’un espace affine ξ.f est une isométrie si :

∀M,N ∈ ξ2 ||−−−−−−−→f(M)f(N)|| = ||

−−→MN ||

Propriété 138 Si ϕ est l’application linéaire associée à f :

( f est une isométrie )⇔ (ϕ est un endomorphisme orthogonale)

Vocabulaire 4 Si :→ det(ϕ) = 1, alors f est un déplacement→ det(ϕ) = -1, alors f est un anti-déplacement

24.3.2 Déplacement du plan

Soit f un déplacement plan.

Application linéaire IsométrieIdentité TranslationRotation d’angle θ [2π] Rotation affine d’angle θ [2π] de centre Ω

24.3.3 Déplacement de l’espace affine de dimension 3

Application linéaire Point Fixe IsométrieIdentité Aucun TranslationRotation d’angle θ Un point Rotation affine d’axe affine ∆, orienté par D, d’angle θRotation d’angle θ Aucun Vissage d’axe affine ∆, de vecteur u, d’angle θ

Un vissage est la composée d’une translation de vecteur ⊥ au plan et d’une rotation plane.

Propriété 139 Si f est un vissage, r une rotation plane, et −→u1 un vecteur ⊥ à ce plan, alors :

f = −→u1or = ro−→u1

Chapitre 25Equations linéaires

25.1 Espace affine

Définition 127 Soit E un K-espace vectoriel.Soit F un sous-espace vectoriel de E et x0 ∈ E

x0+ F = x0 + y/y ∈ F

est appelé espace affine de direction F.

Propriété 140 Les espaces vectorielles sont des espaces affines particuliers.

Propriété 141 Si F est de dimension finies, on dit que x0+ F est un espace affine de dimension finies.Si F est une droite vectorielle, alors x0+ F est une droite affine.

25.2 Equations linéaires

Définition 128 Soient E et F deux K-espace vectoriel.Soit f ∈ L(E,F ). Soit b ∈ F .L’équation d’inconnue x, vecteur de E :

f(x) = b

est appelé équation linéaire.

25.2.1 Structure de l’ensemble des solutions

→ Si b ∈ Im(f), l’espace des solutions est un espace affine de dimenseion Ker(f)→ Si b /∈ Im(f), l’espaces des solutions est l’ensemble vide.

Propriété 142 Si l’équation f(x) = b à une unique solution, alors :→ b ∈ Im(f)→ Ker(f) = OE

Donc :→ b ∈ Im(f)→ f est injective

25.3 Système linéaire

Définition 129 Soit (S) un système d’inconnu (x1, ..., xp).Posons :

Kp → Kn

111

(x1, ..., xn)→ (a1,1x1 + ...+ a1,pxp, ..., an,1x1 + ...+ an,pxp)

Notons :→ x = (x1, ..., xn)→ b = (b1, ..., bn)

On dit que :→ f est l’application associée à (S)→ Le rang du système est le rang de A ou rang de f→ Si b ∈ Im(f), alors S est un espace affine de dimension p-rang(A) = p-rang(S)

25.3.1 Système de Cramer

Définition 130 Un système de Cramer est un système linéaire de n équations, à n inconnues, de rang n.

On obtient la formule :xj =

1det(A)

detϕ(c1, ..., cj−1, b, cj+1, ..., cn)

Douzième partie

Matrice

113

Chapitre 26Matrice et espaces vectoriel dedimension finies

26.1 Matrice

26.1.1 Définition

Définition 131 La matrice à n lignes et p colonnes est défini par :

M = [ai,j ]

avec i variant de 1 à n, et j variant de 1 à p

26.1.2 Matrice carrée

Définition 132 Une matrice M est carrée si n=p. On défini la diagonale de A comme le n-uplet : (a11, a22, ..., ann)

26.1.3 Vecteur ligne

Définition 133 On défini le vecteur ligne comme le p-uplet :

li = (xi,1, ..., xi,p)

26.1.4 Vecteur colonne

Définition 134 On défini le vecteur colonne comme le n-uplet :

lj = (x1,j , ..., xn,j)

26.1.5 Matrice carrée particulière

Soit T = [xi,j ] ∈Mn(K)

Définition 135 On dit que T est triangulaire supérieur si :

T =

a1,1 a1,2 a1,3

0 a2,2 a2,3

0 0 a3,3

Définition 136 On dit que T est triangulaire inférieur si :

T =

a1,1 0 0a2,1 a2,2 0a3,1 a3,2 a3,3

115

Définition 137 On dit que T est une matrice scalaire si :

T =

λ 0 00 λ 00 0 λ

Si λ=1, alors la matrice est la matrice unité, noté In

26.1.6 Matrice carrée symétrique et antisymétrique

Définition 138 Soit S = [xi,j ] ∈Mn(K)S est symétrique si xi,j = xj,iS est antisymétrique si xi,j = −xj,i. Ceci implique que la diagonale de S est forcément nul dans ce cas

26.1.7 Transposition et trace

Définition 139 La transposée de M noté tM est défini par :

M =

a b c de f g hi j k l

alors

tM =

a e id f jc g kd h l

On a :

t(tM) = M

Définition 140 On défini la trace d’un matrice carrée comme la somme des termes de sa diagonale :

Trace(A) =n∑i=1

xk,k

26.1.8 Espace vectoriel des matrices

On note Mn,p(K) l’ensemble des matrices à n lignes et p colonne.L’addition des matrices est une addition termes à termes(Mn,p(K),+) est un groupe commutatif d’élément neutre [O](Mn,p(K),+, o) est un K espace vectorielSoit

A1,1 =

1 0 0 00 0 0 00 0 0 0

L’ensemble A1,1, ...., An,p est une base de Mn,p(K) et dim(Mn,p(K))=n.p(Mn(K),+, x, o) est un K-algèbre de dimension n2. Si AB=BA, alors les identités remarquablessont utilisables.

26.1.9 Transposition

Définition 141 Soit :ϕ : Mn,p(K)→Mp,n(K)

M 7→t M

ϕ est un isomorphisme, donc c’est une application linéaire. De plus, si la matrice est une matrice carrée :

ϕ est symétrie de Mn(K)

tM = M ⇔M est symétriquetM = −M ⇔M est antisymétrique

Ce sont deux espaces supplémentaire

26.1.10 Produit de matrice

Définition 142 On défini le produit de matrice par :Soit l1 la première ligne de la matrice ASoit c1 la première colonne de la matrice BSoit a1 le première terme de la matrice produit

AB =[a b c d

]×

efgh

= [ae+ bf + cg + dh]

avec [ae+bf+cg+dh] = a1 Le produit l2.c1 donne le terme a2,1 Le produit est non commutatif

Cas particuliers

Si M ∈Mn,p(K)et[0] ∈Mp,q(K) alors :

M × [0] = 0

Soit T une matrice scalaire ∈Mp,q(K), alors :

M × T = λM

Soit In matrice unité d’ordre n, et M ∈Mn(K) alors :

MIn = InM = M

26.1.11 Transposition et trace du produit

Soit A et B deux matrice ∈Mn,p(K). Alors :

t(AB) =t B ×t A

etTrace(AB) = Trace (BA), mais généralement AB 6= BA

26.1.12 Matrice Carrée inversible

Définition 143 Soit M ∈Mn(K). On dit que M est inversible si

∃N ∈Mn(K) telque MN = NM = In

On pose N = M−1. On note GLn(K) l’ensemble des matrice carrée inversible d’ordre n. Cette ensembleest un groupe linéaire. Et :

(AB)−1 = B−1A−1

Propriété 143 Soit (A,B)∈ (Mn(k))2 telque :

AB = In

On obtient que : A est inversible et B = A−1

B est inversible et A = B−1

Matrice carrée et inverse

Voir Méthodologie.

26.1.13 Rang d’une matrice

Définition 144 Le rang d’une matrice est le rang de ses vecteurs colonnes. Si A ∈Mn,p(K) et qu’on noteci son ieme vecteurs colonnes, alors :

rang(A) = rang(c1, ..., cp) = dim(V ect c1, ..., cp)

et de plus :0 ≤ rang(A) ≤Min n, p

Rang de matrice particulière

Le rang d’une matrice diagonale est r, si :

∀i ∈ 1, ...., rλii 6= 0

Si dans une matrice carrée d’ordre n, les termes diagonaux sont non tous nul, alors rang(A) = n

26.1.14 Opération élémentaire

Définition 145 Il existe trois opérations élémentaire :

I) L’échange de deux colonnes : ci ↔ cj

II) Le produit d’une colonne par un scalaire non nuls

III) L’addition à une colonne d’une combinaison linéaire des autres

Ces opérations élémentaire ne modifie par le rang de A

26.2 Matrice et espaces vectoriel de dimension finies

26.2.1 Matrice de coordonnée d’un vecteur dans une base

Définition 146 Soit B = e1, ..., en base d’un espace vectoriel de ESoit u ∈ E, ∃!(x1, ..., xn) ∈ Kn telque :

u = x1e1 + ...+ xnen

On note matB(u) =

x1

.

.xn

∈M1,n(K) la matrice de de u dans B

26.2.2 Matrice d’une famille de vecteurs

Définition 147 Si ∀j ∈ 1, ..p, uj ∈ E et matB(u) =

x1,j

.

.xn,j

, alors :

matB(u1, ..., up) =

x1,1 . . x1,p

. . . .

. . . .xn,1 . . xn,p

De plus, le rang de la matrice est le rang de la famille de vecteurs.

26.2.3 Matrice de passage entre deux bases

Définition 148 On note matB(B′) la matrice de passage de B à B’. On la note P

26.2.4 Coordonnée d’un vecteur dans deux bases

Définition 149 On note B et B’ deux bases de E.On note P = matB(B′) ∈Mn(K) la matrice de passage de B à B’Soit u ∈ EOn pose X = matB(u) et X ′ = matB′(u)On obtient la relation :

X = PX ′

De plus, P est inversible, et son inverse est :

P−1 = matB′(B)

26.2.5 Matrice d’une application linéaire

Définition 150 Soit f ∈ L(E,F ).Soit BE = e1, ..., ep base de E et BF = f1, ..., fn base de F.Soit M la matrice de f dans BE , BF :

M = matBE ,BF(f) = matBF

(f(e1), ..., f(ep))

Le nombre de colonne de la matrice est défini par la dimension de l’espace de départ, celui des ligne par ladimension de l’espace d’arrivé

Cas Particuliers

I) La matrice de l’application nul ∈ L(E,F ) est la matrice nul de Mdim(F ),dim(E)(K)

II) La matrice d’un endomorphisme de E est une matrice carrée d’ordre dim(E)III) La matrice de l’identité est InIV) La matrice de l’homothétie est de rapport k par rapport à In

26.2.6 Coordonnée de l’image d’un vecteur

Définition 151 Soit BE base de E, BF base de F.Soit u ∈ EPosons M = matBE ,BF

(f), X = matBE(u), Y = matBF

(u). Alors :

Y = M.X

De plus :

Théorème 15 Si f est une application de E dans F telque ∃M ∈ Mn,p telque ∀u ∈ E, l’égalité ci-dessusest vérifié, alors f est une application linéaire

26.2.7 Unicité de la matrice, pour les bases fixes

Définition 152 Soient BE , BF bases de E et de F, avec dim(E) = p, dim(F)=n Soit :

ϕ : L(E,F )→Mn,p(K)

f → matBE ,BF(f)

ϕ est une application linéaire. On en déduit donc que :

(f = g)⇔ (matBE ,BF(f) = matBE ,BF

(g))

Propriété 144 Soit f ∈ L(E,F ), BE , BF bases de E et FSoit A ∈Mn,p(K)Soit x ∈ E. Supposons que X = matBE

(x) et Y = matBF(f(x)), et qu’on obtient :

Y = AX

Alors A = matBE ,BF(f)

26.2.8 Matrice et opérations

Définition 153 Soient BE , BF bases fixées de E et de F.ϕ est une application linéaire, c’est donc un isomorphisme. Nous avons en effet montré que ϕ est bijective.On en déduit que Mn,p(K) est de dimension finies, donc L(E,F) l’est aussi.

dim(L(E,F ) = dim(E)× dim(F ) = dim(Mn,p)

26.2.9 Composée d’application linéaire

Définition 154 Soient E,F,G espaces vectoriel de dimension finie, et de bases respective BE , BF , BG.Soit f ∈ L(E,F ), g ∈ L(F,G). Alors :

matBE ,BG(gof) = matBF ,BG

(g)×matBE ,BF(f)

26.2.10 Matrice inversible et isomorphisme - Endomorphisme

Définition 155 Si f est un isomorphisme de E dans F, alors matBE ,BF(f) est inversible est :

(matBE ,BF(f))−1 = matBF ,BE

(f−1)

Si f est un endomorphisme, on a :(matBE

(f))n = matBE(fn)

26.2.11 Changement de bases

Définition 156 Soit f ∈ L(E,F ). Soient BE , BE′ bases de E. Soient BF , BF ′ bases de F.On pose :

M = matBE ,BF(f)

M ′ = matBE′ ,BF ′ (f)P = matBE

(BE′)Q = matBF ′ (BF )

Alors :M ′ = Q−1MP

ou, si f est un endomorphisme :M ′ = P−1MP

26.2.12 Trace d’un endomorphisme

Soit f un endomorphisme, A,B deux matrices d’ordre n. On sait déjà que Trace(AB)=Trace(BA)et si :

M = matBE(f)

M ′ = matBE′ (f)

alors rang(M) = rang(M ′) = rang(f)Trace(M) = Trace(M ′) = rang(f)det(M) = det(M ′) = det(f)

26.2.13 Matrice semblable

Définition 157 Soient A,B deux matrice carrée d’ordre n. On dit que A et B sont semblable si ∃E espacevectoriel, ∃BE , BE′ bases de E, ∃f endomorphisme de E telque :

B = P−1MP

Ce qui revient à :

(A et B sont semblables)⇔ (∃P ∈ GLn(K) telque B = P−1MP )

26.2.14 Rang d’une application linéaire

On peut toujours ramener la matrice dans des bases BE′ , BF ′ de f à Jr :

Jr =

1 . . . 00 1 . . .. . 1 . .. . . . .0 . . . 0

Donc si :f ∈ L(E,F) tel qu’il ∃BE′ , BF ′ bases de E et F telque matBE′ ,BF ′ (f) = Jr, alors rang(f)=rDe plus, on a :

(tP )−1 =t (P−1)

On montre que tA et tJr sont semblable, donc le rang d’une matrice est le rang de ses vecteurscolonnes comme celui de ses vecteurs lignes.Et on obtient :

rang(tA) = rang(A)

Chapitre 27Déterminants

27.1 Forme n-linéaire

Soit E un K-espace vectoriel de dimension n.

Définition 158 Soit :

ϕ : En → K

(u1, ..., un) 7→ ϕ(u1, ..., un)

ϕ est une forme n-linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables.

Expression dans une base

Définition 159 Soit B = (e1, ..., en) base de E.Soit u1, ..., un n vecteurs de E.

Notons pour j ∈ 1, ..., nmatB(uj) =

x1,j

.

.xn,j

Si ϕ est une forme n-linéaire, alors :

ϕ(u1, ..., un) =∑

1≤i1,...,in≤n

xi1,1...xin,nϕ(ei1 , ..., ein)

27.1.1 Forme n-linéaire alterné

Définition 160 Soit ϕ forme n-linéaire.On dit que ϕ est alternée si :∀u1, ..., un ∈ En∀i, j éléments distinct de 1, ..., n

ϕ(u1, ..., ui, ..., uj , ..., un) = −ϕ(u1, ..., uj , ..., ui, ..., un)

Propriété 145 Si ϕ est une forme n-linéaire alterné.Si u1, ..., un est une partie liée de E.Alors :

ϕ(u1, ..., un) = 0

123

Expression dans une base

Soit ϕ forme n linéaire alterné et B base de E.

ϕ(u1, ..., un) =∑

1≤i1,...,in≤n

xi1,1...xin,nϕ(ei1 , ..., ein)

Soit Sn l’ensemble des bijections de 1, ..., n dans lui même.

ϕ(u1, ..., un) =∑σ∈Sn

xσ1,1...xσn,nϕ(eσ1 , ..., eσn)

Si σ ∈ Sn, on note ϕ(eσ1 , ..., eσn) = ε(σ)ϕ(e1, ..., en)On dit que ε(σ) est la signature de σ, avec ε(σ) = (−1)p, avec p nombre de changement effectuerpour obtenir le bon ordre de la base.On obtient donc :

ϕ(u1, ..., un) =

[∑σ∈Sn

ε(σ)xσ1,1...xσn,n

]ϕ(e1, ..., en)

Définition 161 Le déterminant dans la base B est l’unique forme n-linéaire alternée ϕ vérifiant :

ϕ(e1, ..., en) = 1

On le note : detB

Propriété 146 Toutes les applications de E × E × ....× E → K défini par ∀(u1, ..., un) ∈ En :

ϕ(u1, ..., un) = A∑σ∈Sn

ε(σ)xσ(1),1...xσ(n),n

avec A scalaire fixé, est une forme n-linéaire de alterné et ϕ(B) = A, avec B base de E.

Autre formulation :

Propriété 147 L’ensemble des formes n-linéaire alternée est une droite vectorielle.

V ect(detb) = A.detb / A scalaire quelconque

27.2 Déterminant dans une base B

Définition 162 Soit B base de E.detB est l’unique forme n-linéaire alternée vérifiant detB(B) = 1.

detB(u1, ..., un) =∑σ∈Sn

ε(σ)xσ(1),1...xσ(n),n

27.2.1 Déterminant dans deux bases différentes

Soit B,B’ deux bases de E. ∀u1, ..., un vecteurs de E :

detB′(u1, ..., un) = detB′(B).detB(u1, ..., un)

Propriété 148(detB(u1, ..., un) = 0)⇔ (u1, ..., un est liée)

(detB(u1, ..., un) 6= 0)⇔ (u1, ..., un est une base)

Propriété 149 Si B et B’ sont deux bases :

detB′(B) =1

detB(B′)

Formulaire

→ detB(B) = 1→ detB(λu1, ..., λun) = λn.det(u1, ..., un)→ det(Ide) = 1

27.3 Déterminant d’un endomorphisme

Définition 163 Soit f ∈ L(E)Soient B et B’ deux bases de E.

detB(f(B)) = detB′(f(B′))

Ce scalaire, indépendant du choix de la base, est appelé déterminant de f. On le note : det(f)

Propriété 150 Si f,g sont deux endomorphisme de E :

det(fog) = det(g).det(f)

Propriété 151 Si f ∈ L(E) :( f est bijectif )⇔ (det(f) 6= 0)

Propriété 152 Si f est un automorphisme de E :

det(f−1) =1

det(f)= (det(f))−1

27.4 Déterminant d’une matrice carrée

Définition 164 Soit A ∈Mn(K).Notons c1, ..., cn ses vecteurs colonnes, élément de Kn.Notons l1, ..., ln ses vecteurs lignes, élément de Kn.Soit ϕ la base canonique de Kn.

det(A) = detϕ(c1, ..., cn) = detϕ(l1, ..., ln)

Propriété 153 Soit f ∈ L(E), avec B base de E.Notons M = matB(f).On obtient :

det(f) = detB(f(B)) = det(M)

27.4.1 Lien entre vecteurs lignes et vecteurs colonnes

Si A = [ai,j ]1≤i,j≤n :

det(A) =∑σ∈Sn

ε(σ)aσ(1),1...aσ(n),n =∑σ∈Sn

ε(σ)a1,σ(1)...an,σ(n)

Propriété 154 D’après l’égalité ci-dessus, on établie que :

det(tA) = det(A)

27.4.2 Déterminant singulier

Soient (A,B) ∈Mn(K)2, λ ∈ K.

det(AB) = det(A).det(B)

det(λA) = λndet(A)

det(A+B) =????

27.4.3 Opérations élémentaires et déterminant

On peut effectuer des opérations élémentaires, tout comme pour le calcul de rang, pour calcu-ler le déterminant d’une matrice. Ceci implique les règles suivantes :→ ci ↔ cj : Changement de signe du déterminant→ ci ← λcj : λ fois le déterminant→ ci ←

∑k=1,k 6=i

λk.ck : Aucun changement

27.4.4 Déterminant remarquable

Matrice diagonale

Soit A, matrice diagonale de diagonale : (d1, ..., dn) On obtient :

det(A) = d1d2...dn

Matrice triangulaire

Soit A, matrice triangulaire de diagonale : (t11, ..., tnn On obtient :

det(A) = t11...tnn

27.5 Développement de déterminant d’une matrice

Définition 165 Soit A = [ai,j ]1≤i,j≤n.Soit j ∈ 1, ..., n.Le développement par rapport à la j-ème colonne donne :

det(A) = a1,j∆1,j + ...+ an,j∆n,j

Le développement par rapport à la i-ème ligne donne :

det(A) = ai,1∆i,1 + ...+ ai,n∆i,n

On appelle cofacteur de ai,j dans le développement ∆i,j :

∆i,j =∑

σ∈Sn,σ(j)=i

ε(σ)aσ(1),1...aσ(j−1),j−1aσ(j+1),j+1...aσ(n),n

27.5.1 Calcul des cofacteurs

Propriété 155 On détermine le cofacteurs à l’aide de l’égalité suivantes :

∆i,j = (−1)i+j ×A

Avec :→ A : Déterminant de la matrice obtenu en enlevant la ligne i et la colonne j.

27.5.2 Inverse d’une matrice inversible

Soit A = [ai,j ]1≤i,j≤n.Soit la comatrice de A :

Com(A) = [∆i,j ]1≤i,j≤n

Si A est inversible, donc det(A) 6= 0, alors :

A−1 =1

det(A)

t

Com(A)

27.5.3 Formule de Sarrus, pour n=3

La formule de Sarrus est de reporte la 1er et la 2nd ligne de la matrice sous la matrice, puis detrace les diagonales et les anti-diagonales. Les diagonales sont comptées positivement, les anti-diagonales négative

Treizième partie

Annexe

129

Annexe AMatrices

A.1 Inversibilité et inverse

Soit A ∈Mn(K)On peut déterminer si A est inversible et trouver son inverse à l’aide de cinq méthodes :

A.1.1 Interprétation

1ère méthode

On pose que A est la matrice d’une application linéaire f dans la base canonique de Rn. Onmontre que f est un isomorphisme et on détermine f−1. Dans ce cas, A−1 = matB(f−1)

2nd méthode

Soit (e1, e2, ..., en) vecteurs de Rn telque A=matCn(e1, ..., en), avec Cn la base c1, c2, ...cn. Onpose le système correspondant par lecture en colonne de la matrice, à savoir : e1 = a1c1 + ....+ ancn

e2 = b1c1 + ....+ bncn........

Puis on retourne le système, on exprime c1, c2, ...cn en fonction de (e1, ..., en). On en déduit doncque la base de Cn est génératrice, donc base car le bon nombre d’élément. A est donc inversible.On injecte le tout par colonne dans une matrice, et on obtient la matrice inverse

A.1.2 Opérations élémentaires

On effectue des opérations élémentaire sur A jusqu’a obtenir la matrice unité In. On en déduitque rang(A)=n, donc A est inversible, et on reportent les opérations effectué sur A sur In. Lamatrice qui découle de In est A−1

A.1.3 Astuces et propriété

Si n est assez faible, 2 ou 3, on multiplie A par elle même jusqu’a obtenir une matrice de laforme :

An = λA+ µIn

On obtient A−1 grâce à ceci :

A.1µ

(An−1 − λIn) = In

Si il s’agit de monter uniquement le caractère inversible de A, on utilise la propriété suivante :

131

Propriété 156 Si rang(A) = n, alors A est inversible

A.2 Opérations sur les matrices

A.2.1 Changement de base

1ère méthode

On utilise la formule, dans le cas d’un endomorphisme, pour passer d’une base BE à une baseB′E :

M ′ = P−1MP

avec : M ′ = matB′E (f)M = matBE

(f)P = matBE

(B′E)

2nd méthode

On sait que M’, la matrice dans la nouvelle base, est constitué de l’image par f de l’ancienbase,BE en fonction de la nouvelle, B′E . On calcule donc l’image des vecteurs de BE par f, puison les expriment en fonction des vecteurs de la base B′E

A.2.2 Calcul des coordonnée d’un vecteur dans une autre base

On utilise la formule suivante :X ′ = P−1X

avec : X = matBE

(x)X ′ = matB′E(x)P−1 = matB′E (BE)

A.2.3 Coordonnée de l’image d’un vecteur dans un base

On utilise la formule suivante :Y = MX

avec Y = matBE(f(x))

X = matBE(x)

M = matBE(f)

A.3 Base de l’image et du noyau d’une application

A.3.1 Base de l’image

On détermine tout d’abord le rang de la matrice, puis on utilise la propriété qui dit que si

f : E → E

avec BE = (e1, e2, ..., en) base de E, alors :

Imf = V ect f(e1), ..., f(en)

A.3.2 Base du noyau

Si dim(Ker(f)) est 1 ou 2, alors on observe la matrice de l’application, est on cherche une combi-naison de colonne qui fourni la colonne nul. Sachant que f est linéaire et que les colonne représenteles images des vecteurs de base, on rassemble ces colonne et on obtient un vecteur du noyau.Exemple : [

1 20 0

]On remarque que 2f(e1)− f(e2) = 0, donc que 2e1 − e2 ∈ Ker(f)

Annexe BDéveloppement limité

B.1 Obtenir le développement

B.1.1 Au voisinage de 0

Développement connu

On utilise les développement de référence, en vérifiant toujour que le "u" utilisé tend toujoursvers 0 dans x tend vers 0. Si ce n’est pas le cas, faire un changement de variable.

Changement de variable

Quand on effectue un changement de variable, on pose toujours une variable qui tend vers 0.Par la suite, quand on a exprimé le développement limité usuel en fonction de t, on déterminet, t2, ..., tn jusqu’à obtenir juste un o(xp) si on cherche un développement limité d’ordre p.On peut être aussi amené à factoriser pour obtenir la forme voulu Ex :Soit f, la fonction :

f : x→ ln(1 +√

1 + x)

On observe bien que√

1 + x tend vers 1 quand x tend vers 0, et non vers 0. Posons donc :

t =√

1 + x− 1

Donc, quand x→ 0, t→ 0. D’où, au voisinage de 0 :

f(x) = ln(1 + t+ 1) = ln(2 + t)

En effet, quand t → 0, f(x) tend bien vers 2. Or le développement usuel est ln(1 + u), avec u quitend vers 0. Dans ce genre de situation, on factorise toujour par 2. En effet si :

f(x) = ln(a+ u)

f(x) = ln(a(1 +u

a))

f(x) = ln(a) + ln(1 +u

a)

Et on effectue le développement limité de ln(1+t) à ce niveau.

B.2 Asymptote

Pour determiner l’asymptote à une courbe, on détermine en premier lieu :

limx→d

f(x)x

= a

135

Avec a 6= 0 Puis :limx→d

f(x)− ax = b

Alors l’asymptote est ax+b en d

Annexe CFraction Rationnelle

C.1 Partie entière

Pour déterminer la partie entière, on fait la division euclidienne du numérateur par le déno-minateur, sans l’ordre de multiplicité si il existe.

C.2 Décomposition en élements simple

On décompose en élements simple et on détermine ces coefficent en travaillant sur l’égalité :

Num.

(X − a)α(X − b)β=

λ1

(X − a)λ2

(X − a)2...

λα(X − a)α

µ1

(X − b)µ2

(X − b)2...

µβ(X − b)β

Si deg(Dénomin.) > 1 (ex : (X2 + 1)α), dans la décomposition, alors : ∀i ∈ 1, 2, ..., α

λi = λi1X + λi2

C.2.1 Dans C

Pôle simple

Si F =P

Q=

P

(X − a)Q1, avec a qui n’est pas racine de Q1, on obtient donc :

F = F0 +λ

X − a

Avec a qui n’est pas un pôle de F0. Il existe deux techniques pour déterminer λ :I) On multiple F par le dénominateur, X-a, et on détermine la valeur en a.

(X − a)F =P

Q1= F0(X − a) + λ

λ =P (a)Q1(a)

II) On utilise la dérivé. On applique la formule de Taylor en a pour Q.

Q = 0 + Q′(a)(X − a) + (X − a)2R

avec R ∈ C[X]. D’où :

(X − a)F = (X − a)P

Q′(a)(X − a) + (X − a)2R=

P

Q′(a) + (X − a)R

137

Et on prend la valeur en a de cette expression. On obtient :

λ =P (a)Q′(a)

Pôle double

→ Sans ordre de multiplicité : Si une fraction F possède un pôle double, a et b, alors on déter-mine les coefficiants c et d en prenant la valeur en a de (X-a)F et la valeur en b de (X-b)F.

→ Avec ordre de multiplicité : Si une fraction F possède un pôle double, a et b, avec les ordresde multiplicité respectif α et β, alors on détermine deux des coefficiants en prenant la valeuren a de (X − a)α et la valeur en b de (X − b)β . Pour déterminer les autres coefficiants, ondétermine des valeurs particulière. En géneral, pour α=2, on prend la valeur en 0 et la limiteen +∞

Parité

Si on a : F (−X) = −F (X) ou F (−X) = F (X) on développe les expressions et on obtient entreles différentes coefficiants des relations, ce qui limite les calculs.

C.2.2 Dans R

Décomposition indirecte

Si on a la décomposition dans C, avec des pôles imaginaire, on met sous le même dénomina-teur les fractions avec les pôles conjugés. On obtient la décomposition dans R.

Décomposition direct

→ Soit on passe par un ensemble de valeur particulier, pour déterminer les différents coeffi-ciants

→ Soit, si possible, on utilise un pole complexe, et on détermine les coefficiant. Ex : On utilisela valeur en i de (X2+1)F.

Annexe DIntégrale

D.1 Étude de la fonction

D.1.1 Définition

Soit

g : x 7→∫ v(x)

u(x)

f

Pour étudier le domaine de définition d’une fonction :→ On travaille à x fixé : Soit x ∈ R

→ Puis : (f(x) existe)←

u(x) existev(x) existef est continue par morceaux sur [u(x) ;v(x)]

D.2 Primitive

Soit f défini sur un ensemble E :→ Si E n’est pas un intervalle, alors ? ? ? ?→ Si E est un intervalle :→ Si f n’est pas continue en un réel de E, alors ? ? ?→ Si f est continue sur E, alors f admet un ensemble de primitive

D.2.1 Dérivabilité

On défini une fonction primitive de f, qui est une fonction continue par morceaux, sur sondomaine de définition. On la note F. On obtient :

g(x) = F (v(x))− F (u(x))

Ce qui permet de dire que f est dérivable, comme F est par définition dérivable.

139

Annexe EProcédé d’orthonormalisation deGram-Schmidt

Soit (u,v,w) une base de R3 ( On peut étendre cette méthode pour une base de Rn) On rechercheune base orthonormée de R3 : (e1, e2, e3).Cette base doit vérifier :→ Vect(u) = Vect(e1)→ Vect(u, v = Vect(e1, e2)→ Vect(e1, e2, e3) = R3

Pour e1, on pose directement :e1 =

u

||u||Pour e2, on détermine tout d’abord un vecteurA2, colinéaire à e2. A l’aide d’une représation plan,on déduit que :

A2 = v + λu

On détermine λ sachant qu’il faut que :

< A2, e1 >= 0

On obtient donc λ. On obtient donc :e2 =

A2

||A2||Pour e3, on effectue une representation dans l’espace, et on déduit que :

A3 = w + λu+ µv

On détermine λ et µ sachant que A3 doit vérifier :

< A3, e1 >=< A3, e2 >= 0

Et on obtient e3 :

e3 =A3

||A3||

141

Annexe FArithmétique

F.1 Théorème de Bezout

Pour résoudre une équation de la forme :

a.u+ b.v = c

d’inconnus (u,v), avec c le P.G.C.D de u et v, on détermine tout d’abord le P.G.C.D de u et v par lethéorème d’Euclide. On procède de la façon suivante :

1- u = q1.v + r1

2- v = q2.r1 + r2

3- r1 = q3.r2 + r3 ......

4- Puis on arrive à :

5- rn−1 = qn−1.rn + rn+1

6- rn = qn.rn+1 + 0

Alors le P.G.C.D de u et v est le dernier reste non nul, rn+1

Puis, par application du théorème de Bezout qui dit que : Il existe deux entier a et b tel que, si leP.C.G.D de u et v est d, alors :

a.u+ b.v = d

On exprime le premier reste en fonction de u et v, puis on retrouve les autres expressions qu’oninjecte dans le première. On obtient au final a et b.

143

Annexe GFonctions de R2 dans R

G.1 Caractérisation de l’existence d’une limite

Pour montrer qu’il existe une limite, on peut procéder de trois façon differentes :→ Par utilisation de la définition :

∀ε > 0 ∃α > 0 tq ∀(x, y) ∈ B((x0, y0), α) : |f(x, y)− l| < ε

→ Par utilisation des propriétés sur les sommes, produits et compositions→ À l’aide du théorème d’encadrement

G.2 Caractérisation de la non-existence de limite

Pour caractériser le fait qu’une limite n’existe pas, on utilise l’idée des "chemins".On recherche tout d’abord deux couples différents, (x1, y1) et (x2, y2), qui converge vers (a,b) parexemple :→ lim

t0x1 = a

→ limt0y1 = b

→ limαx2 = a

→ limαy2 = b

Puis si on obtient, avec l différents de l’ :→ lim

t→t0f(x1(t), y1(t)) = l

→ limu→α

f(x2(y), y2(u)) = l′

Alors on en déduit que la limite en (a,b) de f n’existe pas

145

Annexe HVrac - Analyse

H.1 Équation de droite

Si on a un point A et un vecteur directeur −→u , alors on pose un point M et on détermine :

det(−−→AM,−→u ) = 0

Si on a un point A et un vecteur directeur −→n , alors on pose un point M et on détermine :

−→n .−−→AM = 0

H.2 Etude d’une limite

Comment étudier la limite en a de f ?Soit f une fonction définie sur I, sauf peut etre en a.Soit b∈ R.Pour déterminer si la limite en a de f est b :→ Regarder si f est une "composée" au voisinage de a de fonction continue.→ Utiliser le théorème d’encadrement→ Décomposer en limite à gauche et limite à droite

147

Annexe ITrigonométrie

I.1 Formules

I.1.1 Décomposition

→ cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b)

→ cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)

→ sin(a+b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a)

→ sin(a-b) = sin(a).cos(b) - sin(b).cos(a)

→ tan(a+b) =tan(a) + tan(b)

1− tan(a).tan(b)

→ tan(a-b) =tan(a)− tan(b)

1 + tan(a).tan(b)

I.1.2 Angle double

→ sin(2a) = 2.sin(a).cos(a)

→ cos(2a) = 2.cos2(a)− 1 = 1− 2.sin2(a)

→ tan(2a) =2.tan(a)

1− tan2(a)

I.1.3 Linéarisation

→ 2.cos(a).cos(b) = cos(a+b) + cos(a-b)

→ 2.sin(a).sin(b) = cos(a-b) - cos(a+b)

→ 2.sin(a).cos(b) = sin(a+b) + sin(a-b)

→ cos2(a) =1 + cos(2a)

2

→ sin2(a) =1− cos(2a)

2

149

I.1.4 Somme

Soit (p, q) ∈ R2

→ cos(p) + cos (q) = 2.(cos(p+ q

2).cos(

p− q2

))

→ cos(p) - cos (q) = -2.(sin(p+ q

2).sin(

p− q2

))

→ sin(p) + sin (q) = 2.(sin(p+ q

2).cos(

p− q2

))

→ sin(p) - sin (q) = 2.(cos(p+ q

2).sin(

p− q2

))

I.2 Fonction inverse

I.2.1 Fonction Hyperbolique

Fonction Df Df ′ f’(x)

Argch ]1 : +∞ ]1 ;+∞[1√

x2 − 1Argsh R R

1√x2 + 1

Argth ]− 1; 1[ ]− 1; 1[1

1− x2

I.2.2 Fonction Trigonométrique

Fonction Df Df ′ f’(x)

Arccos [-1 :1] ]-1 ;1[−1√

1− x2

Arcsin [-1 :1] ]-1 ;1[1√

1− x2

Arctan R R1

1 + x2

→ ∀x ∈ R arcsin(x) + arccos(x) =π

2

→ ∀x ∈ R∗ arctan(x) + arctan(1x

) = ±π2

(dépend du signe de x)

→ ∀x ∈ R cos2(x) + sin2(x) = 1

→ ∀x ∈ R ch2(x)− sh2(x) = 1

Annexe JLimites classiques

Fonctions trigonométrique

limx→0

sin(x)x

= 1

limx→0

1− cos(x)x2

=12

limx→0

arcsin(x)x

= 1

limx→0

tan(x)x

= 1

Fonctions hyperbolique

limx→+∞

ch(x)ex

=12

limx→+∞

sh(x)ex

=12

limx→+∞

ch(x)x

= 1

limx→+∞

ch(x)− 1x2

=12

Exponentielle

limx→+∞

ex

xα= +∞

limx→0

ex − 1x

= 1

limx→−∞

|xα|ex = 0

151

Logarithme

limx→+∞

(ln(x))α

xβ= 0

limx→0

ln(1 + x)x

= 1

limx→0

xα|ln(x)|β = 0

Polynomes

lim0

P

Q= Limite des termes de plus bas degres

lim∞

P

Q= Limite des termes de plus haut degres

Autres

limx→0

(1 + x)α − 1x

= α

Les formes indéterminée

∞∞

∞−∞

∞× 0

1∞