Cours de mathématiques – Seconde - Jocelyn De Britojocelyn.de.brito.free.fr/Enseignement/Cours 2de.pdf · c) Vecteur Définitions : La translation qui transforme A en B est la

Cours de mathmatiques Seconde

Chapitre 1 Vecteurs et translations....................................................................................................4I Dfinitions et premires proprits............................................................................................4

a) Rappels sur le paralllogramme..............................................................................................4b) Translation..............................................................................................................................4c) Vecteur....................................................................................................................................5d) Vecteurs gaux........................................................................................................................5e) Vecteurs opposs, vecteur nul.................................................................................................6

II Oprations sur les vecteurs........................................................................................................7a) Addition de vecteurs...............................................................................................................7b) Soustraction de deux vecteurs................................................................................................8c) Relations algbriques..............................................................................................................8

III Coordonnes d'un vecteur........................................................................................................9a) Coordonnes d'un vecteur.......................................................................................................9b) Calculs des coordonnes.......................................................................................................10c) Multiplication d'un vecteur par un nombre rel....................................................................10d) Milieu d'un segment..............................................................................................................12

IV Vecteurs colinaires...............................................................................................................13V Longueur d'un segment, norme d'un vecteur..........................................................................14

a) Norme d'un vecteur...............................................................................................................14b) Longueur d'un segment.........................................................................................................14

Chapitre 2 Fonctions........................................................................................................................15I Intervalles.................................................................................................................................15II Dfinir une fonction................................................................................................................16

a) Vocabulaire............................................................................................................................16b) Reprsentation graphique.....................................................................................................17

III Rsolutions graphiques..........................................................................................................18a) quations...............................................................................................................................18b) Inquations............................................................................................................................19

IV Sens de variation et extrema..................................................................................................20a) Illustration graphique du sens de variation...........................................................................20b) Dfinition algbrique du sens de variation...........................................................................21c) Extrema.................................................................................................................................22

Chapitre 3 Statistiques.....................................................................................................................23I Prsentation d'une srie statistique...........................................................................................23

a) Effectifs cumuls, frquences cumules...............................................................................23b) Reprsentations graphiques..................................................................................................24

II Paramtres de position et de dispersion..................................................................................26a) Mesures de tendance centrale...............................................................................................26b) Mesures de dispersion...........................................................................................................27

Chapitre 4 chantillonnage et estimation........................................................................................28I Principe de l'chantillonnage et de l'estimation........................................................................28II Intervalles de fluctuation et de confiance................................................................................28

a) Calcul des intervalles de fluctuation et de confiance............................................................28b) Signification des intervalles..................................................................................................29c) Prise de dcision partir d'un chantillon.............................................................................29

Cours de mathmatiques Seconde : 1/65

Chapitre 5 Droites et systmes........................................................................................................30I quations de droite...................................................................................................................30

a) Caractrisation analytique d'une droite.................................................................................30b) Coefficient directeur.............................................................................................................32c) Vecteur directeur...................................................................................................................33

II Droites parallles.....................................................................................................................34III Systmes de deux quations linaires deux inconnues.......................................................34

a) Systmes de deux quations linaires deux inconnues......................................................35b) Condition de colinarit pour un systme de deux quations linaires deux inconnues. . .35c) Rsolution d'un systme de deux quations linaires deux inconnues..............................36

Chapitre 6 Fonctions affines et inquations....................................................................................38I Signe d'une fonction affine.......................................................................................................38II Tableau de signe......................................................................................................................39

Chapitre 7 Probabilits....................................................................................................................41I Probabilits sur un ensemble fini.............................................................................................41

a) Loi de probabilit sur un ensemble fini................................................................................41b) Loi de probabilit et distribution des frquences..................................................................41

II Probabilit d'un vnement.....................................................................................................42a) vnement.............................................................................................................................42b) Probabilit d'un vnement...................................................................................................42

III Calcul de probabilits............................................................................................................43a) Union et intersection d'vnements......................................................................................43b) Calcul de la probabilit d'une union.....................................................................................43c) Probabilit de l'vnement contraire.....................................................................................44

Chapitre 8 Fonctions de rfrence...................................................................................................45I La fonction carr.......................................................................................................................45

a) Parit de la fonction carr.....................................................................................................45b) Signe de la fonction carr.....................................................................................................45c) Sens de variations de la fonction carr.................................................................................45d) Reprsentation graphique de la fonction carr.....................................................................46e) quations avec un carr........................................................................................................46f) Inquations avec un carr......................................................................................................47

II La fonction inverse..................................................................................................................48a) Imparit de la fonction inverse.............................................................................................48b) Signe de la fonction inverse..................................................................................................48c) Sens de variation de la fonction inverse...............................................................................49d) Reprsentation graphique de la fonction inverse..................................................................50e) quations avec un inverse.....................................................................................................50f) Inquations avec un inverse..................................................................................................51

III Fonctions polynmes du deuxime degr..............................................................................52a) Forme dveloppe.................................................................................................................52b) Forme canonique..................................................................................................................52c) Forme factorise....................................................................................................................54

Chapitre 9 Trigonomtrie................................................................................................................56I Enroulement de la droite des rels sur le cercle trigonomtrique............................................56

a) Le cercle trigonomtrique.....................................................................................................56b) Principe de l'enroulement.....................................................................................................56

II Fonctions cosinus et sinus.......................................................................................................58a) Cosinus et sinus d'un rel......................................................................................................58b) Valeurs usuelles.....................................................................................................................59


Chapitre 10 Gomtrie dans l'espace...............................................................................................60I La perspective cavalire...........................................................................................................60II Plans et droites........................................................................................................................60III Position relative de droites et plans.......................................................................................61

a) Position relative de deux droites...........................................................................................61b) Position relative de deux plans.............................................................................................62c) Position relative d'une droite et d'un plan.............................................................................62

IV Paralllisme dans l'espace......................................................................................................63a) Caractrisation du paralllisme.............................................................................................63b) Thormes relatifs au paralllisme.......................................................................................64


Chapitre 1 Vecteurs et translations

I Dfinitions et premires proprits

a) Rappels sur le paralllogramme

Les dfinitions suivantes du paralllogramme sont quivalentes :

Un paralllogramme est un quadrilatre ayant ses cts opposs parallles.

Un paralllogramme est un quadrilatre ayant ses cts opposs de mme longueur.

Un paralllogramme est un quadrilatre ayant deux cts de mme longueur et parallles.

Un paralllogramme est un quadrilatre dont les diagonales se coupent en leur milieu.

b) Translation

Dfinition : Soient A et B deux points du plan.

La translation qui transforme A en B est la transformation qui associe tout point C du plan l'unique point D tel que ABDC soit un paralllogramme, ventuellement aplati.

1er cas : A , B et C ne sont pas aligns 2d cas : A , B et C sont aligns.

La translation peut tre vue comme un glissement rectiligne. Pour la dfinir, on indique la direction,le sens, et la longueur du mouvement.

Chapitre 1 Vecteurs et translations : 4/65

c) Vecteur

Dfinitions : La translation qui transforme A en B est la translation de vecteur AB .

On dira que B est l'image de A par la translation de vecteur AB .

Caractrisation d'un vecteur : Un vecteur AB , ou la translation correspondante, se dfinit par trois caractristiques :

Sa direction : c'est la direction de la droite (AB) .

Son sens : pour une direction, il y a deux senspossibles. Ici, c'est de A vers B .

Sa longueur, ou norme : c'est la longueur dusegment [ AB ] . La norme se note AB . On adonc AB=AB .

La flche indique le sens : de A vers B .

Deux droites ont la mme direction si et seulement si elles sont parallles.

d) Vecteurs gaux

Si D est l'image de C par la translation de vecteur AB , alors pour tout point M du plan, la translation de vecteur AB et la translation de vecteur CD associent le mme point N .

En effet, si ABDC et ABNM sont des paralllogrammes, alors CDNM est galement un paralllogramme.

Dfinition : AB et CD sont gaux si et seulement si la translation qui transforme A en B transforme C en D . On note AB=CD .

Dfinitions : Si deux vecteurs sont gaux, on dit que ce sont deux reprsentants d'un mme vecteur, que l'on notera u par exemple. Ce vecteur peut donc tre reprsent n'importe o. Sur la figure prcdente, comme AB=MN=CD , ce sont trois reprsentants du mme vecteur. AB est le reprsentant d'origine A , CD est le reprsentant d'origine C , etc.


e) Vecteurs opposs, vecteur nul

Dfinition : Le vecteur nul, not 0 , est associ la translation qui transforme A en A , B en B , etc.

0= AA=BB=CC=

Dfinition : Le vecteur oppos au vecteur AB , not AB , est le vecteur associ la translation qui transforme B en A . C'est donc le vecteur BA : on a donc AB= BA .

Proprit : Deux vecteurs sont opposs si et seulement si ils ont mme direction, mme longueur, mais sens opposs.

Proprit : I est le milieu de [ AB ] si et seulement si AI= IB .


II Oprations sur les vecteurs

a) Addition de vecteurs

Soient u et v deux vecteurs, et M un point.

Si N est l'image de M par la translation de vecteur u , et si P est l'image de N par la translation de vecteur v , alors P est l'image de M par la translation de vecteur u+ v .

u+ v est le vecteur associ la translation rsultant de l'enchainement des deux translations associes u et v .

La construction de la somme peut se faire de deux manires :

soit en les disposant bout--bout, comme sur la figure prcdente,

soit en reprsentant un paralllogramme, les trois vecteurs partant du mme point :

Relation de Chasles : Pour tous points A , B et C du plan, on a AB+ BC= AC .


b) Soustraction de deux vecteurs

Soustraire un vecteur, c'est ajouter son oppos :u v=u+(v ) .

c) Relations algbriques

Pour tous vecteurs u , v , w , on a :

u+ v= v+ u

u+ 0=u

uu= 0

( u+ v)+ w=u+( v+ w)

Application : Construisons le point F tel que AF=DCDB+ CA .

On cherche simplifier l'expression :DCDB+CA=DC+ BD+CA=BD+ DC

Chasles

+CA=BC+ CAChasles

=BA .

On a donc AF=BA , ce qui permet de construire le point F .


III Coordonnes d'un vecteur

Dfinition : Un repre du plan est not (O ; I , J ) : O est l'origine, I le point de coordonnes(1; 0) et J le point de coordonnes (0 ;1) .

Le repre peut aussi se noter (O ; i , j) o i=OI et j=OJ .

a) Coordonnes d'un vecteur

Dfinition : Les coordonnes de u sont les coordonnes du point M tel que OM= u .

Les coordonnes ( x ; y) d'un vecteur peuvent se noter en colonne ( xy) , alors que pour les points seule la notation en ligne est utilise.

Exemple : Le reprsentant d'origine O du vecteur u a pour

coordonnes ( 23) puisque M a pour coordonnes (2 ;3) .Par la translation de vecteur u , l'abscisse du point image estgale celle du point augmente de 2, l'ordonne du pointimage est gale celle du point diminue de 3.

Proprit : Deux vecteurs sont gaux si et seulement s'ils ont les mme coordonnes.

Preuve: Supposons que M soit l'image de O par la translation de vecteur u , et N soit l'image deO par la translation de vecteur v .

u= vM=NM et N ont les mmes coordonnes u et v ont les mmes coordonnes.


b) Calculs des coordonnes

Proprit : Si A( xA ; y A) et B(xB ; yB ) , alors AB (xBxA ; yB y A) .

Exemple : Si A (5 ; 3) et B (7 ;5) , alors AB (75 ;53) AB(2 ;8) .

Proprit : On dduit de cette proprit que si u( x ; y ) , alors u (x ; y) .

Proprits : Si u( x ; y ) et v (x ' ; y ') , alors u+ v ( x+ x '; y+ y ' ) et u v ( xx '; y y ') .

Exemple : Supposons que u(52) , v (41) et w (13 ) .Alors u v+w (54+(1)21+3 ) u v+ w(04) .

c) Multiplication d'un vecteur par un nombre rel

Dfinition : On note l'ensemble des nombres rels. C'est l'ensemble de tous les nombres rencontrs jusqu' maintenant. Ces nombres peuvent tre reprsents sur une droite gradue.

Exemples : 5 ; 8 ; 16 ; 5,956 ; 2 ;

1+ 58

; sont des nombres rels.

On dit aussi qu'ils appartiennent , ce qui se note : 5 , ...


Dfinition : Soient k et u( xy ) un vecteur dans un repre. Le vecteur ku , aussi notk u , est le vecteur de coordonnes ( k xk y) . Ce vecteur ne dpend pas du repre choisi.

Exemple :

u(31) , donc 2 u(62) et 3u (93) .

Proprit : Soit k un rel non nul et u un vecteur non nul. Alors les vecteurs u et k u ont lamme direction. De plus :

Si k>0 , alors ils ont le mme sens.

Si k0 Si k

Proprits : Soient k et h des rels, et u et v des vecteurs.

k u= 0 k=0 ou u= 0

1 u=u et 1 u=u

k ( u+ v )=k u+k v

(k+h) u=k u+h u

(k h) u=k (h u)

(k+h)( u+ v )=k u+k v+ hu+ h v

Ces relations se prouvent notamment en utilisant les coordonnes des vecteurs.

d) Milieu d'un segment

Proprit : I est le milieu de [ AB ] IA= BI AB=2 AI AB=2 IB .

Proprit : Si A( xA ; y A) et B(xB ; yB ) , alors I milieu de [ AB ] a pour coordonnes

( x A+ xB2 ; y A+ yB2 ) .

Exemple : Soient A (4 ; 3) et B (5 ;7 ) . Alors I milieu de [ AB ] aura pour coordonnes

( 4+52 ; 3+(7 )2 ) , donc ( 92 ;2) .

Preuve de la proprit : Comme I (xI ; yI ) est le milieu de [ AB ] , AB=2 AI . On en dduit donc

que { xBxA=2(x I x A)yB yA=2( yI y A) { xBx A=2 xI 2 x Ay B y A=2 yI 2 y A{ xB+x A=2 xIyB+ y A=2 yI { xB+x A2 =x IyB+ y A2

= y I.


IV Vecteurs colinaires

Dfinition : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinaires si et seulement s'il existe un relk tel que u=k v , c'est--dire si et seulement si u et v ont la mme direction.

Exemple :

Les vecteurs u , v , w sont colinaires.

Les vecteurs u et k ne sont pas colinaires.

Remarque : On considre que le vecteur nul 0 est colinaire tout vecteur u .

Deux vecteurs tant colinaires si et seulement si leurs coordonnes sont proportionnelles, on en dduit la proprit suivante :

Proprit : Deux vecteurs u( xy ) et v ( x 'y ') sont colinaires si et seulement si x y '=x ' y .

Exemple : Soient u(78) et v (94) . 7498=440 donc les vecteurs ne sont pas colinaires.

Proprits :

Trois points A , B et C sont aligns si et seulement si AB et AC sont colinaires.

Deux droites (AB) et (CD) sont parallles si et seulement si AB et CD sont colinaires.


V Longueur d'un segment, norme d'un vecteur

Dfinition : Un repre est orthonorm (ou orthonormal) si et seulement si ses axes sont perpendiculaires et on a la mme unit de longueur sur chaque axe : (OI )(OJ ) et OI=OJ .

a) Norme d'un vecteur

Rappel : La norme d'un vecteur u est la longueur de ce vecteur. Celle-ci est note u .

Thorme : Soit u( xy ) dans un repre orthonorm ; alors u= x2+ y2 .

Exemple : Soit u( 23) un vecteur dans un repreorthonorm. u= 22+(3)2=4+9=13 .

b) Longueur d'un segment

Pour tous points A (x A ; y A) et B (xB ; yB) , AB=AB et AB( xBxAyB y A) . On a donc :

Thorme : Dans un repre orthonorm, pour tous points A( xA ; y A) et B(xB ; yB ) ,AB=( xBxA)2+( yB yA)2 .


Chapitre 2 Fonctions

I Intervalles

est l'ensemble des nombres rels. Comme cet ensemble contient des nombres aussi grands ou aussi petit que l'on veut, on peut le reprsenter par une droite gradue. Le symbole reprsente l'infini.

Certaines parties de sont des intervalles ; on les note avec des crochets.

Ensemble des rels xtels que

Reprsentation graphique Intervalle auquelappartient x

axb [a ; b ]

a

Vocabulaire :

Pour ]a ;b [ , ]a ;+[ , ]; b[ , on dira que les crochets sont vers l'extrieur , ou ouverts .

Pour [a ; b ] , on dira que les crochets sont vers l'intrieur , ou ferms .

Remarque : et + n'tant pas des nombres, ils ne sont jamais inclus dans les intervalles, doncleurs crochets sont vers l'extrieur. On a donc =] ;+[ .

II Dfinir une fonction

a) Vocabulaire

Dfinitions :

Dfinir une fonction f sur une partie D de , c'est associer tout rel xD un unique nombre rel appel image de x , et not f (x) . La fonction f est parfois note x f ( x) .

D est l'ensemble de dfinition de la fonction f .

Si f (a)=b (avec aD ), on dit que a est un antcdent de b .

Remarque : L'ensemble de dfinition de la fonction dpend de contraintes mathmatiques par exemple, on ne peut pas diviser par zro, ou prendre la racine carre d'un nombre strictement ngatif et de contraintes lies des problmes par exemple, si x dsigne une longueur dans un problme, x ne peut pas tre un nombre strictement ngatif.

Exemple : On considre la fonction f dfinie par f (x)=x . Dterminons son ensemble de dfinition : comme on ne peut pas prendre la racine carre

d'un nombre strictement ngatif, le domaine de dfinition est [0 ;+[ .

Cherchons l'image de 5 : 5 appartient au domaine, et f (5)=5 . Cherchons les antcdents ventuels de 9 : on rsout donc sur [0 ;+[ l'quation

f (x)=9 x=9x=92 x=81 . L'antcdent de 9 est 81. Cherchons les antcdents ventuels de 6 : on rsout donc sur [0 ;+[ l'quation

f (x)=6x=6 or une racine carre n'est jamais strictement ngative. Donc l'quation n'a pas de solution, donc 6 n'a pas d'antcdent.

Chapitre 2 Fonctions : 16/65

b) Reprsentation graphique

Dfinition : Soit f une fonction dfinie sur un ensemble D . La courbe reprsentative de la fonction f dans un repre (O ; I , J ) est l'ensemble C f des points de coordonnes (x ; f (x )) oxD .

Remarques :

Un point M (x ; y ) appartient C f si et seulement si xD et y=f (x ) .

Le trac peut s'obtenir avec la calculatrice.

Mthode :

Pour dterminer le domaine de dfinition d'une fonction, on cherche l'ensemble des rels correspondant des abscisses de points de la courbe.

Pour dterminer l'image d'un rel a appartenant au domaine, on cherche l'ordonne du point de la courbe d'abscisse a .

Pour dterminer les antcdents ventuelles d'un rel b , on cherche les abscisses des ventuels points de la courbe d'ordonne b .

Exemple :

La courbe C f partant en abscisse de 0 ( A ) et allant jusqu' 5 ( B ), le domaine est [0 ;5 ] .

Cherchons l'image de 3 : 3[ 0 ;5 ] et E(3 ; 5) appartenant la courbe, on en dduit que f (3)=5 .

Cherchons les antcdents ventuelles de 4 :C(2 ; 4) et D(4 ; 4) sont les seuls points de la courbe d'ordonne 4, donc 4 a pour antcdents 2 et4. On pouvait tracer la droite y=4 pour bien les observer.

Remarque : La prcision du graphique empche, par exemple, de dterminer de manire rigoureuse l'image de 4,61


III Rsolutions graphiques

a) quations

Proprit : Les solutions de l'quation f ( x)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C f avec la droite d'quation y=k .

Exemple : On considre la fonction f ci-dessous dfinie sur . On veut rsoudre f (x)=5 .

Cela revient donc chercher les antcdents ventuels de 5.

On trace la droite y=5 . Il y a trois points d'intersection, donc 3 solutions.

Les solutions sont les abscisses de ces points :3 ; 1 et 2 .

On note S= {3; 1; 2 } .

Remarque : Cette mthode a deux dfauts :

La prcision de lecture.

On ne voit pas toujours la courbe en entier (notamment quand elle est dfinie sur ). Donc certaines solutions peuvent ne pas tre visibles.

Proprit : Les solutions de l'quation f ( x)=g( x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes C f et Cg .


Exemple : On considre les fonctions f et g ci-dessous dfinies sur . On veut rsoudref (x)=g (x) .

Les courbes ont trois points d'intersection. Les abscisses de ces points sont 3 , 1 et 2 .

On note S= {3; 1; 2 } .

b) Inquations

Exemple : On considre la fonction f ci-dessous dfinie sur . On veut rsoudre f (x)5 .

Les solutions sont les abscisses des points de la courbe au-dessous de la droite ou sur la droite, puisque l'on a unegalit au sens large.

On a donc comme solutions 3x1ou x2 , que l'on peut noter par une union de deux intervalles :S=[3 ;1][ 2 ;+[ .


Exemple : On considre les fonctions f et g ci-dessous dfinies sur . On veut rsoudref (x)>g(x ) .

Les solutions sont les abscisses des points de la courbe C f strictement au-dessus de ceux de la courbe Cg .

On a donc comme solutions x

On peut rsumer ces variations par un tableau de variation :

x 4 2 1 2

f (x)3

2

7

3

Remarques :

En ligne x , on ne met que des abscisses.

En ligne f (x) (ou f ), on ne met que des ordonnes.

Les flches sont toujours orientes vers la droite.

Les flches sont droites, mais cela ne veut pas dire que la fonction est reprsente par des segments de droite.

On ne peut pas dire que f est strictement dcroissante sur [4 ;2] car son sens de variation change.

b) Dfinition algbrique du sens de variation

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I .

On dit que f est strictement croissante sur I si et seulementsi pour tous ab de I , f a f b .

Dans ce cas, on dit que f conserve l'ordre.

On dit que f est strictement dcroissante sur I si etseulement si pour tous ab de I , f a f b .

Dans ce cas, on dit que f inverse l'ordre.


Remarque : On peut affaiblir ces dfinitions en enlevant le terme strictement . f est croissante sur I si et seulement si pour tous a

Chapitre 3 Statistiques

I Prsentation d'une srie statistiqueUn caractre (ou une variable) est une proprit commune aux lments d'une population.

L'tude statistique d'un caractre consiste partager la population en groupes d'lments ayant la mme valeur du caractre.

L'effectif d'une valeur d'un caractre est le nombre d'lments ayant cette valeur du caractre.

Exemple : On considre une classe de seconde. La population sera donc l'ensemble des lves de cette classe, les lments seront les lves. La couleur des cheveux est un caractre qualitatif (il peut prendre pour valeur brun ,

blond , roux ...). L'ge est un caractre quantitatif (il prend des valeurs numriques : 15 ans, 16 ans...).

Une srie statistique est l'ensemble des rsultats d'une tude statistique, c'est--dire les valeurs prises par le caractre et leurs effectifs correspondants.

a) Effectifs cumuls, frquences cumules

On considre un caractre quantitatif.Ce caractre peut prendre p valeurs diffrentes, notes x1 , x2 , ..., x p .L'effectif de la population ayant pour valeur du caractre x i sera not n i .

On peut rsumer la situation par un tableau :

Valeur du caractre x1 x2 ... x pEffectif n1 n2 ... n p

L'effectif total sera not N . On a donc N=n1+n2++ np . On peut remplacer les effectifs par les frquences. Pour chaque valeur x i ,

l'effectif n i peut tre remplac par la frquence f i . On a donc f i=niN

.

Proprit : La somme des frquences gale 1.

Preuve : f 1+ f 2++f p=n1N+

n2N++

npN=

n1+n2++npN

=NN=1 .

Chapitre 3 Statistiques : 23/65

Dfinitions : L'effectif cumul croissant (respectivement dcroissant) de x i est la somme des effectifs des valeurs infrieures (respectivement suprieures) ou gales x i .On dfinit de mme les frquences cumules croissantes (respectivement dcroissantes).

Exemple : Les anacondas sont des serpents aquatiques d'Amrique du Sud. Dans le tableau ci-contre, on a relev les tailles de femelles adultes.

Taille (en m) 4 5 6 7 8 9

Effectif 28 88 56 80 76 72

Effectif cumul croissant 28 116 172 252 328 400

Effectif cumul dcroissant 400 372 284 228 148 72

Frquence 0,07 0,22 0,14 0,2 0,19 0,18

Frquence cumule croissante 0,07 0,29 0,43 0,63 0,82 1

Frquence cumule dcroissante 1 0,93 0,71 0,57 0,37 0,18

b) Reprsentations graphiques

Pour l'tude sur la taille des anacondas, on peut utiliser plusieurs reprsentations :

Nuage de points


Diagramme circulaire (camembert)Chaque part est proportionnelle son effectif.

Courbe des effectifs cumulsOn place les points correspondants aux effectifs cumuls croissants (ou dcroissants), puis on les joint par des segments de droites.

On peut procder de mme avec les frquences cumules.


II Paramtres de position et de dispersiona) Mesures de tendance centrale

La moyenne

Valeur du caractre x1 x2 ... x pEffectif n1 n2 ... n p

La moyenne de cette srie statistique (d'effectif N ) est le rel x tel que

x=n1 x1+n2 x2++ npx p

N

Proprit : On peut aussi calculer la moyenne avec les frquences : x=f 1x1+ f 2 x2+ f px p

Preuve : x=n1 x1+n2 x2++ npx p

N=n1x1N+n2x2N++

np x pN=f 1x1+ f 2 x2++ f px p

La mdiane

On considre que les N donnes sont classes, et numrotes par ordre croissant :x1 x2... xN . Chaque valeur est rpte autant de fois que son effectif.

La mdiane partage la srie en deux sous-sries de mme effectif :

Si N est impair, la mdiane est la donne de rang N12 Me=xN12 . Si N est pair, la mdiane est la moyenne des donnes de rang N2 et

N21

Me= x N2x N2 12 . Les quartiles

On considre que les N donnes sont classes, et numrotes par ordre croissant :x1 x2... xN . Chaque valeur est rpte autant de fois que son effectif.

Le premier quartile Q1 est la plus petite donne de la liste telle qu'au moins un quart des donnes de la liste sont infrieurs ou gales Q1 .

Le troisime quartile Q3 est la plus petite donne de la liste telle qu'au moins lestrois quarts des donnes de la liste sont infrieurs ou gales Q3 .


Remarques : Le deuxime quartile correspond la mdiane Me . Lorsque l'effectif n'est pas divisible par 4, d'aprs la dfinition des quartiles, on arrondit le

numro de la valeur toujours l'entier suprieur ; pour N=49 par exemple, comme N4 =12,25 ,

Q1=x13 ( Q1 sera la treizime valeur).

On peut rsumer ceci par un schma :

Exemple : On considre la srie suivante :

1 1 2 3 4 5 7 8 8 9

10 12 13 23 55 57 58 59 60 61

Dterminons la moyenne x :N=20 donc

x=1+1+2+3+4+5+7+8+8+9+10+12+13+23+55+57+58+59+60+6120 =22,8

Dterminons la mdiane Me :

N est pair et les valeurs sont classes, donc Me=x10+x11

2=9+10

2=9,5 .

Dterminons les quartiles Q1 et Q3 :

N4 =5 donc Q1=x5=4 .

3 N4 =15 donc Q3=x15=55 .

b) Mesures de dispersion

La diffrence entre la plus grande et la plus petite valeur est l'tendue de la srie. La diffrence entre Q3 et Q1 est l'cart interquartile.

Exemple : Dterminons ces deux mesures de dispersion pour la srie prcdente.

L'tendue est 611=60 .L'cart interquartile est Q3Q1=554=51 .


Chapitre 4 chantillonnage etestimation

I Principe de l'chantillonnage et de l'estimation

On illustre la situation ainsi : on dispose d'une grande urne o se trouvent un trs grand nombre de boules rouges et bleues.

Cas 1 : la proportion p des boules rouges estconnue

Cas 2 : la proportion p des boules rouges estinconnue

On tire au hasard avec remise n boules de l'urne. On obtient donc une frquence f de boules rouges sur cet chantillon.On s'attend ce que la frquence f observe soit proche de p , frquence thorique.

On est ici dans le cadre d'un chantillonnage.

On veut donc estimer la proportion p de boulesrouges dans l'urne. Comme il y en a beaucoup, on ne peut pas toutes les compter.On tire donc au hasard avec remise n boules de l'urne. On obtient donc une frquence f de boules rouges sur cet chantillon. On s'attend ce que la frquence p thorique soit proche de f , frquence observe.

On est ici dans le cadre d'une estimation.

II Intervalles de fluctuation et de confiance

a) Calcul des intervalles de fluctuation et de confiance

chantillonnage EstimationOn connait p , frquence thorique d'un caractre sur une population.On a un chantillon de taille n .

L'intervalle [ p 1n ; p+ 1n ] est appel intervalle de fluctuation au seuil 95 % de la frquence de ce caractre alatoire de taille n issu de la population.

Conditions de validit :n30 , n p5 et n(1p)5 .

On connait f , frquence observe d'un caractre sur un chantillon de taille n d'une population.

L'intervalle [ f 1n ; f+ 1n ] est appel intervalle de confiance au seuil 95 % de la proportion p de ce caractre alatoire de la population.

Chapitre 4 chantillonnage et estimation : 28/65

b) Signification des intervalles

chantillonnage EstimationLa frquence observe f sur un chantillon de taille n appartient l'intervalle de fluctuation au seuil 95 % dans 95 % des cas.

Au moins 95 % des intervalles de confiance auseuil 95 % contiennent la frquence thoriquep .

Exemples :

On considre une pice de monnaie quilibre. La frquence thorique (ou probabilit) de l'issue Pile est p=0,5 .

Imaginons qu'on lance cette pice 10000 fois ; on obtiendrait un chantillon de taillen=10000 .

Comme n30 , n p=50005 et n(1p)=50005 , on peut calculer l'intervalle de fluctuation au seuil 95 % du caractre Pile :

[p 1n ; p+ 1n ]=[0,5 110000 ;0,5+ 110000 ]=[0,49 ; 0,51 ] . Il y a donc 95 % de chance que la frquence observe de l'issue Pile sur un chantillon de taille 10000 appartienne cet intervalle.

On dispose d'une pice de monnaie que l'on sait truque. On veut estimer la probabilit p de l'issue Pile pour cette pice.

On procde 10000 tirages. La frquence observe sur cet chantillon de taille n=10000 de l'issue Pile est f=0,423 .

On calcule l'intervalle de confiance au seuil 95 % :

[ f 1n ; f + 1n ]=[0,423 110000 ; 0,423+ 110000 ]=[0,413 ;0,433 ] .Il y a donc 95 % de chance que la probabilit p de l'issue Pile appartienne cet intervalle.

c) Prise de dcision partir d'un chantillon

Proprit : On considre une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractre est p . On observe sur un chantillon de taille n une frquence f du caractre.

On veut tester l'hypothse : La proportion de ce caractre dans la population est p .

Si I est l'intervalle de fluctuation au seuil 95 % (en respectant les conditions de validit), la rgle de dcision est la suivante :

Si f I , on considre que l'hypothse selon laquelle la proportion est p dans la population n'est pas remise en question, et on l'accepte au seuil de confiance 95 %.

Si f I , on rejette l'hypothse selon laquelle cette proportion est p au seuil de confiance 95 %.

Chapitre 4 chantillonnage et estimation : 29/65

Chapitre 5 Droites et systmes

Dans tout le chapitre, on considre des droites dans un plan muni d'un repre. m , p et c sont des

nombres rels.

I quations de droite

a) Caractrisation analytique d'une droite

Proprit : L'ensemble des points M ( x ; y ) tels que y=m x+ p ou x=c est une droite.

Cas y=m x+ p Cas x=c

p est l'ordonne l'origine, c'est l'ordonne dupoint d'intersection entre la droite et l'axe des

ordonnes.m est le coefficient directeur (ou pente), c'est laquantit (positive ou ngative) dont on doit se

dplacer verticalement afin de retrouver la droitesi partant d'un point de la droite, on s'est dplac

horizontalement de 1.Si m=0 , la droite est horizontale.

c est l'abscisse du point d'intersection entre ladroite et l'axe des abscisses.

Chapitre 5 Droites et systmes : 30/65

Mthode pour tracer une droite :

Pour tracer une droite d'quation x=c , on trace une droite parallle l'axe des ordonnes passant par le point (c ;0) .

Pour tracer une droite d'quation y=m x+ p , on choisit deux valeurs x1 et x2 , on calcule leurs images y1 et y2 par la fonction xm x+ p , et on trace la droite passant par les points de coordonnes (x1; y1) et (x2; y2) .

ou

On place un point de la droite, et pour obtenir un autre point, on lui applique la translation

de vecteur u( 1m) .

Exemple : On veut tracer la droite D d'quation y=2 x+3 .

On choisit deux nombres dont on calcule leurs imagespar la fonction x 2 x+3 :

0 a pour image 20+3=3 et 2 a pour image22+3=1 .

La droite D est donc la droite (AB) avec A (0 ; 3) etB (2 ;1) .

ou

On choisit un nombre dont on calcule l'image par lafonction x 2 x+3 : A (0 ; 3) .

On applique la translation de vecteur u( 12) au pointA , on obtient C(1;1) .

La droite D est donc la droite (AC) .

Proprit rciproque : Dans un repre, toute droite a une quation de la forme y=m x+ p oux=c .

Remarque : Une droite d'quation y=m x+ p est la reprsentation graphique de la fonction affinef (x)=m x+ p (dfinie sur ).


b) Coefficient directeur

Proprit : Dans un repre, A( xA ; y A) et B(xB ; yB)sont deux points tels que xAxB .

Le coefficient directeur de (AB) est m=yB y AxBx A

.

Preuve : x AxB(AB) n'est pas parallle l'axe des ordonnes (AB) a une quation de la forme y=m x+ p . Les coordonnes de A et B vrifient l'quation, donc :

yB=m xB+ p

y A=m x A+ p

En soustrayant membre--membre, on obtient :

yB y A=m xB+ p(m x A+ p) y B y A=m xB+ pm x Ap yB y A=m( xBx A) .

Comme x AxB , xBx A0 , donc on peut diviser par xBx A . On obtient m=yB y AxB x A

.

Mthode pour dterminer l'quation d'une droite :

Si la droite est parallle l'axe des ordonnes, on cherche l'abscisse c d'un point de la droite. Son quation est alors x=c .

Sinon, on cherche deux points A (x A ; y A) et B (xB ; yB) appartenant la droite qui a pour

quation y=m x+ p . On calcule m=yB y AxBxA

.

Pour dterminer p , on rsout l'quation y A=m x A+ p ou l'quation yB=m xB+ p .

Exemple : On veut dterminer l'quation de (AB) avec A (2 ;1) et B (5 ; 3) .

25 donc (AB) a pour quation y=m x+ p avec m=yB y AxBxA

=3(1)

52=4

3 .

A(AB) donc y A=m x A+ p1=432+ p1

83=p

33

83=p

113 = p .

(AB) a pour quation y=43 x

113 .


c) Vecteur directeur

Dfinition : Soit (AB) une droite. Tout vecteur colinaire AB est directeur de la droite(AB) .

Remarque : Un vecteur est directeur d'une droite si et seulement si il a la mme direction que la droite.

Exemple : Les vecteurs u et w sont directeurs de(AB), v n'est pas directeur de (AB) .

Remarque : Si (AB) n'est pas parallle l'axe des ordonnes, son coefficient directeur est

m=yB y AxBxA

. Le vecteur AB( yB y AxBxA ) est directeur de (AB) , ainsi que tout vecteur qui lui est colinaire.

Or un vecteur u est colinaire AB si et seulement si il existe k tel que u=k AB .

On remarque que si k=1

xBx A, alors u a pour coordonnes

1x Bx A ( xBx AyB y A) , c'est--dire

(xB xAxB xAyB y AxB xA

) , soit ( 1m) .On retrouve la dfinition de m :


II Droites parallles

Proprit : Soient d et d ' deux droites non parallles l'axe des ordonnes.d et d ' sont parallles si et seulement si elles ont le mme coefficient directeur.

Preuve : Comme d et d ' ne sont pas parallles l'axe des ordonnes, d a pour quationy=m x+ p et d ' a pour quation y=m ' x+ p ' .

u( 1m) est directeur de d .u ' ( 1m' ) est directeur de d ' .d et d ' sont parallles u et u ' sont colinaires 1m'=1mm'=md et d ' ont le mme coefficient directeur.

III Systmes de deux quations linaires deux inconnues

Dfinition : Une quation linaire deux inconnues x et y est une quation de la formea x+b y=c avec a et b deux rels non nuls en mme temps, et c un rel quelconque.

Exemples :

2 x3 y=0 est une quation linaire.

3 x=5 est une quation linaire.

x2+ y=5 n'est pas une quation linaire.

Remarque : On peut facilement dmontrer qu'une quation est linaire si et seulement si elle est quivalente une quation de droite. Une quation linaire est donc une quation de droite.

Dfinition : Les solutions d'une quation linaire deux inconnues x et y a x+b y=c sont les couples ( x ; y) qui correspondent aux coordonnes des points de la droite d'quationa x+b y=c .


a) Systmes de deux quations linaires deux inconnues

On considre le systme suivant de deux quations linaires deux inconnues x et y :

{ a x+b y= ca ' x+b ' y=c ' .Rsoudre ce systme, c'est dterminer les ventuels couples de coordonnes ( x ; y) des points communs aux droites d'quations a x+b y=c et a ' x+ b ' y=c ' .

On a donc trois cas de figure :

Position relative desdeux droites

Parallles Non paralllesStrictement parallles Confondues Scantes

Illustration

Nombre de solutions 0 Une infinit 1

Solutions Tous les couples

(x ; y ) correspondantaux coordonnes depoints de la droite

Le couple (x ; y )coordonnes de A ,intersection des deux

droites

b) Condition de colinarit pour un systme de deux quations linaires deux inconnues

Thorme : Les droites du systme de deux quations linaires { a x+ b y= ca ' x+b ' y= c ' sont parallles si et seulement si a b 'b a '=0 .

Exemple : Soit {2 x+5 y= 21x+9 y=3 .295(1)=230 donc les deux droites ne sont pas parallles.


c) Rsolution d'un systme de deux quations linaires deux inconnues

Mthode :

On vrifie la condition de colinarit.

Si elle vaut 0, on rduit les deux quations sous la forme y=m x+ p ou x=c le cas chant. On conclue alors, suivant si les droites sont strictement parallles ou confondues.

Sinon, la solution est unique : on la dtermine par combinaison linaire ou substitution.

On crit l'ensemble solution.

Exemple 1 : Soit { 2 x+3 y=38 x+12 y=12 .21238=0 donc les droites sont parallles.

{ 2 x+3 y=38 x+12 y=12{ 3 y=2 x+312 y=8 x+12{ y=23 x+ 33y= 812

x+ 1212

{y=23 x+1y=23

x+1.

Les droites sont confondues, il y a une infinit de solutions. S={( x ; 23 x+ 1) avec x } .

Exemple 2 : Soit { 2 x y=56 x+3 y=9 .23(1)6=0 donc les droites sont parallles.

{ 2 x y=56 x+3 y=9{ y=2 x+53 y=6 x+9 { y=2 x5y=63 x+ 93{y=2 x5y=2 x+3 .Les droites sont strictement parallles, il n'y a pas de solution. S= .


Exemple 3 : Soit { x y=82 x+5 y=65 .15(1)2=7 donc les droites sont scantes. Il y a une unique solution.

Par combinaison linaire : on multiplie chaque quation par des nombres bien choisis, de faon liminer une inconnue en ajoutant ou soustrayant les deux quations.

Ici, on peut liminer les x en multipliant la premire quation par 2 , puis en ajoutant les deux quations membre--membre. On garde l'une des quations de manire toujours en avoir deux dans le systme.

{ x y=82 x+5 y=65{2 x+2 y=162 x+5 y=65 { 7 y=492 x+5 y=65 .On rsout l'quation avec une seule inconnue, et on remplace dans l'autre.

{ 7 y=492 x+5 y=65{ y=72 x+57=65 { y=72 x=30{ y=7x=15 . S= { (15 ;7 ) } . Par substitution : on isole une inconnue dans une quation, que l'on remplace dans l'autre

quation.

Ici, on peut isoler x dans la premire quation, et donc remplacer x dans la seconde quation.

{ x y=82 x+5 y=65{ x= y+82( y+8)+5 y=65{ x= y+82 y+16+5 y=65 {x= y+87 y=49{x= y+8y=7 .On remplace l'inconnue trouve dans l'autre quation.

{x= y+8y=7 {x=7+8y=7 {x=15y=7 . S= { (15 ;7 ) } .


Chapitre 6 Fonctions affines etinquations

I Signe d'une fonction affine

Thorme : Soit f ( x)=m x+ p une fonction affine (dfinie sur ) telle que m0 .

La fonction f s'annule en x= pm .

Si m>0 , f est strictement croissante sur .

Si m0 doncf (b) f (a)>0 f (b)> f (a) . La fonction f est donc strictement croissante sur .

Chapitre 6 Fonctions affines et inquations : 38/65

Ce thorme permet de dduire le tableau de signe d'une fonction affine :

m0

x pm+

m x+ p 0 +

x pm+

m x+ p + 0

m x+ p>0 x> pm

m x+ p

x 34

32 +

4 x+3 0 + | +32 x + | + | +

(4 x+3)(32x ) 0 + 0

3) On crit l'ensemble solution : on voulait rsoudre (4 x+3)(32 x)>0 , or d'aprs le tableau,

(4 x+3)(32 x)>0 34< x 0 tel que p1 p2pn=1 .Ce nombre pi est appel probabilit de l'issue i .

Exemple : Si le d de l'exemple prcdent est bien quilibr, on a comme loi :

Issue 1 2 3 4 5 6

Probabilit 16

16

16

16

16

16

Dfinition : Lorsque la loi de probabilit associe toutes les issues d'une exprience alatoire la mme probabilit, on parle de loi quirpartie. On dit aussi que l'on est dans une situation

d'quiprobabilit. Si possde n issues, chaque issue a comme probabilit 1n .

b) Loi de probabilit et distribution des frquences

Aprs avoir retenu un modle pour une exprience alatoire, on peut simuler cette exprience. On obtient alors, aprs N simulations, une srie statistique d'effectif N .Il y a un lien entre les frquences des issues obtenues et les probabilits de ces issues :

Loi des grands nombres : Pour une exprience donne, les frquences calcules l'issue de Nsimulations se rapprochent des probabilits lorsque N devient grand.

Exemple : Si on lance un d quilibr un trs grand nombre de fois, la frquence (observe) de

chaque issue sera proche de 16 .

Chapitre 7 Probabilits : 41/65

II Probabilit d'un vnementa) vnement

Dfinition : est l'ensemble des issues d'une exprience alatoire. Un vnement est une partie de .

Lorsqu'une issue appartient un vnement A , on dit que ralise A ( A ). est appel vnement impossible, aucune issue ne le ralise. est appel vnement certain, toutes les issues le ralisent. Un vnement constitu d'une seule issue est appel vnement lmentaire.

Exemples : Pour notre lancer de d quilibr, soit A l'vnement Le rsultat est un nombre pair . On a A={2 ;4 ;6 } . Soit B Le rsultat est un nombre ngatif . B est impossible.

b) Probabilit d'un vnement

Dfinition : On dispose d'une loi de probabilit sur ; la probabilit de l'vnement A est lasomme des probabilits des issues ralisant A . On note cette probabilit P A .

Exemple : On dispose d'un d pip, dont voici les probabilits d'apparition des diffrentes faces :

Issue 1 2 3 4 5 6

Probabilit 112

14

16

16

112

14

A est l'vnement Obtenir un rsultat pair . On a P(A)= 14+16 +14=

312 +

212 +

312=

812=

23 .

Consquences : Aucune issue ne ralise l'vnement impossible, donc P =0 . Toutes les issues ralisent l'vnement certain, donc P =1 . Pour tout vnement A , on a 0P A1 .

Thorme : Dans une situation d'quiprobabilit, la probabilit d'un vnement A est

donne par : P A= nombre d'issues ralisant A nombre total d'issues .

Preuve : Soit n1 le nombre d'issues de . Par quiprobabilit, chaque issue a pour probabilit1n

. Soit r le nombre d'issues ralisant A . On a donc P(A)=1n +

1n++

1n

r termes

=rn .


III Calcul de probabilitsa) Union et intersection d'vnements

Dfinitions : Soient A et B deux vnements. AB (se lit A inter B ) est l'vnement form des issues qui ralisent la fois A et

B .

AB (se lit A union B ) est l'vnement form des issues qui ralisent au moins l'un des vnements A et B .

AB AB

Exemple : Concernant le lancer d'un d, si A est l'vnement Le rsultat est un nombre pair etB est l'vnement Le rsultat est suprieur ou gal 4 , on a donc AB={4 ;6 } , etAB={2 ; 4 ;5 ; 6 } .

Dfinition : Lorsque aucune issue ne ralise A et B , c'est--dire si AB= , on dit que A etB sont incompatibles.

b) Calcul de la probabilit d'une union

Thorme : Une loi de probabilit tant dfinie sur un ensemble , pour tous vnements Aet B , on a :P AB=P AP B P AB .

Preuve : La probabilit d'un vnement est la somme des probabilits des issues qui le ralisent.La somme P AP B est donc la probabilit de l'vnement AB augmente de la probabilit de l'vnement AB puisque cette probabilit est compte deux fois, donc une fois de trop.On en dduit donc que P AP B=P ABP AB , ce qui prouve le thorme.

Remarque : A et B sont incompatibles si et seulement si P AB=P AP B .


c) Probabilit de l'vnement contraire

Dfinition : L'vnement contraire de l'vnement A est form des issues qui ne ralisent pasA . On le note A .

Exemple : Pour le lancer d'une pice de monnaie, si F est l'vnement raliser face , F est l'vnement ne pas raliser face , c'est--dire raliser pile .

Thorme : Une loi de probabilit tant dfinie sur un ensemble , pour tout vnement A on P A =1 P A .

Preuve : On a AA= et AA= donc 1=P()=P (A )+P ( A ) .


Chapitre 8 Fonctions de rfrence

I La fonction carr

La fonction carr est la fonction f dfinie sur par f ( x)=x2 .

a) Parit de la fonction carr

Pour tout x , f (x )=(x )2=x2=f ( x) : Deux nombres opposs ont la mme image.

On dit que la fonction carr est paire.

b) Signe de la fonction carr

Si x=0 , x2=0 .

Si x>0 , x2>0 car c'est le produit de deux nombres strictement positifs.

Si x0 car c'est le produit de deux nombres strictement ngatifs.

On en dduit ce tableau de signe :

x 0 +

x2 + 0 +

c) Sens de variations de la fonction carr

Thorme : La fonction carr est strictement dcroissante sur ] ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ;+[ .

Preuve :

Sur ]; 0 ] : soient a et b appartenant ]; 0 ] tels que a

On a donc ce tableau de variation :

x 0 +

x20

d) Reprsentation graphique de la fonction carr

Dans un repre orthonormal (O ; I , J ) , la fonction carr est reprsente par une parabole.

On retrouve les rsultats concernant les variationset le signe de la fonction carr.

La courbe est symtrique par rapport l'axe desordonnes. C'est l'interprtation graphique de laparit de la fonction carr.

e) quations avec un carr

Thorme : On considre l'quation d'inconnue x x2=k o k .

Si k=0 , l'quation a une seule solution : x=0 .

Si k>0 , l'quation a deux solutions : x= k ou x= k . Si k

f) Inquations avec un carr

La mthode utilise est celle vue dans le chapitre 2 (on trace la fonction carr et des droites horizontales), cependant les tracs sont faits main leve.

Les abscisses des points d'intersections tant calcules avec le thorme du e), la mthode est rigoureuse et exacte.

Exemple 1 : On rsout x225 .

On trace main leve la parabole correspondant la fonction carr.

On trace la droite y=25 .

On marque les points d'intersection, et on noteleurs abscisses (ici 25=5 et 25=5 ).

On met en vidence sur l'axe des abscisses lessolutions (ici, ce sont les abscisses pourlesquelles la parabole est en-dessous de la droiteainsi que les abscisses des points d'intersection).

On crit l'ensemble solution.

S=[5 ; 5 ] .

Exemple 2 : On rsout x249 .

S=] ;7 ][ 7 ;+[ .

Chapitre 8 Fonctions de rfrence : 47/65

Exemple 3 : On rsout 9

c) Sens de variation de la fonction inverse

Thorme : La fonction inverse est strictement dcroissante sur ] ; 0[ et strictement dcroissante sur ] 0;+[ .

Remarque : La fonction inverse n'est pas strictement dcroissante sur ]; 0[]0 ;+[ .

Preuve :

Sur ]; 0[ : Soient a et b appartenant ]; 0[ tels que a0 car a0 car a et b sont strictement

ngatifs. On en dduit d'aprs la rgle des signes que 1a

1b>0

1a>

1b .

La fonction inverse est donc strictement dcroissante sur ]; 0[ .

Sur ]0 ;+[ : Soient a et b appartenant ]0 ;+[ tels que a0 car a0 car a et b sont strictement

positifs. On en dduit d'aprs la rgle des signes que 1a

1b>0

1a>

1b .

La fonction inverse est donc strictement dcroissante sur ]0 ;+[ .

On a donc ce tableau de variation :

x 0 +

1x


d) Reprsentation graphique de la fonction inverse

Dans un repre orthonormal (O ; I , J ) , la fonction inverse est reprsente par une hyperbole.

On retrouve les rsultatsconcernant les variations etle signe de la fonctioninverse.

La courbe est symtriquepar rapport l'origine. C'estl'interprtation graphique del'imparit de la fonctioninverse.

e) quations avec un inverse

Thorme : On considre l'quation d'inconnue x 1x=k o k .

Si k0 , l'quation a une seule solution : x= 1k .

Si k=0 , l'quation n'a pas de solution.

Exemple : On rsout sur l'quation 1x=8 :

1x=8x=

18 .

S={ 18 } .

Remarque : Pour x0 , l'inverse de x peut aussi se noter x1 : 1x=x1 .


f) Inquations avec un inverse

La mthode est la mme que pour les inquations avec un carr, sauf bien sr que l'on trace l'hyperbole main leve plutt que la parabole. 0 tant la valeur interdite, elle ne fera jamais partie des solutions.

Exemple 1 : On rsout 1x5 .

S=] ;0 [[ 0 ;+[ .

Exemple 2 : On rsout 18

1x

III Fonctions polynmes du deuxime degr

a) Forme dveloppe

Dfinition : Une fonction polynme du deuxime degr est une fonction f dfinie sur qui peut se mettre sous la forme f ( x)=a x2+b x+ c avec a0 , b , c . Cette forme s'appelle la forme dveloppe.

Exemple : la fonction f (x)=x 2+9 x1 dfinie sur est une fonction polynme du deuxime

degr avec { a=1b=9c=1 .Thorme : Une fonction polynme du deuxime degr est reprsente par une parabole.

Remarque : Si la fonction polynme du second degr a pour forme dveloppe f (x)=ax2+b x+c , alors la parabole la reprsentant passe par le point de coordonnes (0 ;c ) puisquef (0)=a02+b0+c=c .

b) Forme canonique

Thorme : Toute fonction polynme du deuxime degr f peut se mettre sous la formef ( x)=a ( x)2+ , avec a0 , , . Cette forme s'appelle la forme canonique.

Remarques :

Le coefficient a des formes dveloppe et canonique correspond au mme nombre, ce qui justifie l'emploi de la mme lettre.

Cette fonction peut tre vue par cet enchainement :

x x(x)2a(x)2a(x)2+


Thorme : Soit f une fonction polynme du deuxime degr de forme canoniquef ( x)=a ( x)2+ avec a0 . Cette fonction admet comme tableau de variation :

Si a0

x +

f ( x)

x +

f ( x)

Exemple : Soit f la fonction dfinie sur par f (x)=( x+2)2+3 .

f est une fonction polynme du deuxime degr sous forme canonique avec {a=1=2=3 . Commea

Thorme : La fonction f ( x)=a ( x)2+ dfinie sur avec a0 est reprsente dans un repre orthonormal par une parabole de sommet S( ;) . Cette parabole est symtrique par rapport la droite d'quation x= .

Si a0

Le sommet S correspond au maximum de lafonction. La parabole est oriente vers le bas.

Le sommet S correspond au minimum de lafonction. La parabole est oriente vers le haut.

c) Forme factorise

Thorme : Soit f une fonction polynme du deuxime degr. On admet que l'on peut factoriser f ( x) si et seulement si la parabole coupe l'axe des abscisses :

Si l'axe des abscisses est coup deux fois en x1 et x2 , la forme factorise estf ( x)=a ( xx1) (xx2) .

De plus, par symtrie de la courbe par rapport la droite d'quation x= , est la

moyenne de x1 et x2 : =x1+ x2

2.

Si l'axe des abscisses est coup une seule fois, c'est ncessairement en . On a alors=0 , et la forme canonique et la forme factorise sont identiques : f ( x)=a ( x)2 .

Remarque : Le coefficient a des trois formes correspond au mme nombre.


Si l'axe des abscisses est coup deux fois Si l'axe des abscisses est coup une fois

Forme factorise : f (x)=a(xx1)(xx2) Forme factorise : f (x)=a(x)2

Exemple : Soit f une fonction polynme dudeuxime degr reprsente par cette parabole.

On cherche les trois formes de f (x) :

La parabole coupe deux fois l'axe des abscisses enx1=4 et x2=2 , donc sa forme factorise estf (x)=a(xx1)(xx2)=a (x(4))( x2 ) , doncf (x)=a(x+4)(x2) . Or f (0)=4 donc 4=a(0+4)(02)4=a4(2 )4=8a

donc a=12 . La forme factorise est donc

f ( x)= 12 (x+ 4)( x2) .

On dveloppe : f (x)=12 ( x+4)(x2)=

12 (x

22 x+4 x8 )= 12 x2+x2 x+4=12 x

2x+4 .

La forme dveloppe est donc f ( x)=12 x

2x+ 4 .

Le sommet a pour abscisse =x1+x2

2=4+2

2=1 . =f ()= f (1)=

12(1)

2(1)+4

donc =92 . La forme canonique est donc

f ( x)= 12 (x+1)2+

92 .


Chapitre 9 Trigonomtrie

I Enroulement de la droite des rels sur le cercle trigonomtrique(O ; I , J ) est un repre orthonormal du plan.

a) Le cercle trigonomtrique

Dfinition : Le cercle de centre O et de rayon 1 est appel cercle trigonomtrique ; il est orient dans le sens indiqu par la flche, appel sens direct (c'est le sens inverse des aiguilles d'une montre).

Remarques : Le sens des aiguilles d'une montre est le sens indirect. Comme le cercle a pour rayon 1, I et J appartiennent au cercle trigonomtrique.

b) Principe de l'enroulement

On place en I la droite des rels, tangente au cercle c'est donc une droite gradue parallle l'axe des ordonnes, dont l'origine est en I .

On considre un point M de la droite la graduation x . On enroule la droite des rels autour du cercle, le point M va donc concider avec un

unique point N du cercle.

L'exemple qui suit illustre la situation pour M , de graduation 1, et M ' , de graduation -1.

Chapitre 9 Trigonomtrie : 56/65

La longueur de l'arc NI est donc la mme que celle dusegment [MI ] , c'est--dire 1.

Par exemple, le point de la droite des rels correspondant

la graduation 2 va venir concider avec le point J ,

le point de la droite des rels correspondant lagraduation 0 concidant avec le point I .

Remarque : Lorsque la graduation x du point M de ladroite des rels appartient l'intervalle [0 ; 2 ] , elle estgale la longueur de l'arc de cercle d'origine I etd'extrmit N sur lequel M se superpose.

Consquence de l'orientation : On enroule la droite partir du point I , en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (pour les mesures positives). Pour les mesures ngatives, on enroule dans le sens des aiguilles d'une montre...

Dfinition : Soit x[ 0; 2 ] . Lorsque le point M correspondant la graduation x se superpose avec le point N du cercle trigonomtrique, on dit que x est la mesure en radians de l'arc de cercle IN .Si x[ 0; 2 ] , x est appel aussi mesure en radians de l'angle ION .

Lien avec les degrs : Par proportionnalit, on remarque que pour passer d'une mesure en degrs

une mesure en radians, on multiplie par

180 . Pour passer d'une mesure en radians une mesure en

degrs, on multiplie par 180 .

Exemples : 90 correspond 2 ;

3 correspond 60.

Remarque : Pour les radians, on n'crit pas l'unit.

Exemples : En convertissant en degrs et en tantattentif au sens de rotation, on a :

N1 correspond au rel

N2 correspond au rel 2


N4 correspond au rel 3 2

N5 correspond au rel



Remarque : Les points du cercle correspondant aux rels 6 ;

62 ;

64 ;

66 ,

ainsi que les points du cercle correspondant aux 6 2 ;

6 4 ;

6 6 , sont confondus.

Consquence : Pour un angle, on remarque que la mesure n'est pas unique ; comme 2 est une mesure de l'angle total, on en dduit que si x est une mesure d'un angle donn, toutes les mesures de cet angle sont donnes par x+2 k , avec k . est l'ensemble des nombres entiers relatifs : ={; 2 ; 1 ;0 ;1 ;2;} .

II Fonctions cosinus et sinus(O ; I , J ) est un repre orthonormal du plan, C est le cercle trigonomtrique de centre O .

a) Cosinus et sinus d'un rel

Dfinitions : N est le point de C image du rel x . Le cosinus de x not cos x est l'abscisse de N dans le repre (O; I , J ) .Le sinus de x not sin x est l'ordonne de N dans le repre (O; I , J ) .

cos et sin sont donc deux fonctions dfinies sur .

Proprits fondamentales : Pour tout x et tout k , on a : 1cos x1 et 1sin x 1 cos x2 k =cos x et sin x2 k =sin x ; on dit que les fonctions cos et sin

sont priodiques, de priode 2 . cos2 xsin2 x=1 ; c'est le thorme de Pythagore.


b) Valeurs usuelles

Angle ION 0 30 45 60 90x 0

64

3

2

cos x 1 32

22

12

0

sin x 0 12

22

32

1


Chapitre 10 Gomtrie dans l'espace

I La perspective cavalire

Rgles de reprsentation d'un solide :

Une figure situe dans un plan vu de face est reprsente en vraie grandeur (sans changer sa forme).

Deux droites parallles sont reprsentes par deux droites parallles.

Des points aligns sont reprsents par des points aligns.

Le milieu d'un segment est reprsent par le milieu du segment dessin.

Les lments visibles sont dessins en traits pleins, les lments cachs sont dessins en pointills.

Exemple : ABCDEFGH est un cube.

ABCD et EFGH sont des carrs reprsents de face, donc sur la figure, ce sont galement des carrs.

BFGC est un carr, mais il n'est pas de face, donc sur la figure BF


A , B et C ne sont pas aligns, ils dfinissent donc un plan, le plan (ABC) . Ce plan ne se limite pas au triangleABC ; c'est l'tendue plane infinie sans bords qui contient

le triangle ABC . Le point D appartient donc au plan(ABC) , les droites (AB) , (AD) , (BC) , sont inclusesdans le plan (ABC) .

(HG) , C , (DG) , DCG , sont coplanaires, car (DHG) les contient tous.

III Position relative de droites et plans

Dans cette partie, ABCDEFGH est un cube.

a) Position relative de deux droites

Deux droites de l'espace peuvent tre :

Coplanaires Non coplanairesParallles Scantes

Strictement parallles Confondues

Pas de point commun Une infinit de pointscommuns (une droite)

Un unique pointcommun

Pas de point commun

(GH ) et (CD) sontstrictement parallles :elles sont coplanaires

sans avoir de pointcommun.

(GH ) et (GH ) sontconfondues.

(GD) et (GH ) sontscantes en G .

(GH ) et (CB) nesont pas coplanaires :

elles ne sont pasparallles et n'ont pas

de point commun.

Chapitre 10 Gomtrie dans l'espace : 61/65

b) Position relative de deux plans

Deux plans de l'espace peuvent tre :

Parallles Scants

Strictement parallles Confondus

Pas de point commun Une infinit de points communs(un plan)

Une infinit de points communs(une droite)

(ABE) et (DCH ) sontstrictement parallles.

(ABE) et (ABE) sontconfondus.

(ABE) et (ADH ) sontscants, leur intersection est la

droite (AE) .

c) Position relative d'une droite et d'un plan

Une droite de l'espace peut tre :

Parallle au plan Scante au plan

Strictement parallle au plan Incluse dans le plan

Pas de point commun Une infinit de points communs(une droite)

Un unique point commun

(ABE) et (DG) sontstrictement parallles.

(AF) est incluse dans (ABE) . (ABE) et (BD) sont scantesen B .


IV Paralllisme dans l'espace Si deux droites sont parallles une troisime, alors elles sont parallles entre elles. Si deux plans sont parallles un troisime, alors ils sont parallles entre eux.

Remarque : Les thormes mlangeant droites et plans sont faux !


(CD) et (AB) sont parallles, (CD) et (GH ) sontparallles, donc (AB) et (GH ) sont parallles.

(AB) et (EFG) sont parallles, (AB) et (DCH ) sontparallles, mais (EFG) et (DCH ) ne sont pas parallles.

a) Caractrisation du paralllisme

Caractriser une droite parallle un plan Caractriser deux plans paralllesUne droite est parallle un plan si et seulement

si elle est parallle une droite de ce plan.Deux plans sont parallles si et seulement si l'uncontient deux droites scantes qui sont parallles

deux droites scantes incluses dans l'autreplan.

d1 et d2 sont parallles et d2 est incluse dansle plan P donc d1 est parallle P .

D1 et d1 sont deux droites scantes inclusesdans P1 ;

D2 et d2 sont deux droites scantes inclusesdans P2 ;

D1 et D2 sont parallles ; d1 et d2 sontparallles ; donc P1 et P2 sont parallles.


b) Thormes relatifs au paralllisme

Thorme : Si P1 et P2 sont deux plans scants selon une droite et si une droite d est parallle , alors d est parallle aux plans P1 et P2 .

Thorme : Si deux plans parallles P1 et P2 sont scants avec un troisime plan P , alors les deux droites d'intersection d1 et d2 sont parallles.


Thorme du toit : Si : d1 et d2 sont deux droites parallles, d1 est incluse dans le plan P1 et d2 est incluse dans le plan P2 , P1 et P2 sont scants et ont pour intersection la droite ,

alors est parallle d1 et d2 .


Cours de mathmatiques SecondeChapitre 1 Vecteurs et translationsI Dfinitions et premires propritsa) Rappels sur le paralllogrammeb) Translationc) Vecteurd) Vecteurs gauxe) Vecteurs opposs, vecteur nul

II Oprations sur les vecteursa) Addition de vecteursb) Soustraction de deux vecteursc) Relations algbriques

III Coordonnes d'un vecteura) Coordonnes d'un vecteurb) Calculs des coordonnesc) Multiplication d'un vecteur par un nombre reld) Milieu d'un segment

IV Vecteurs colinairesV Longueur d'un segment, norme d'un vecteura) Norme d'un vecteurb) Longueur d'un segment

Chapitre 2 FonctionsI IntervallesII Dfinir une fonctiona) Vocabulaireb) Reprsentation graphique

III Rsolutions graphiquesa) quationsb) Inquations

IV Sens de variation et extremaa) Illustration graphique du sens de variationb) Dfinition algbrique du sens de variationc) Extrema

Chapitre 3 StatistiquesI Prsentation d'une srie statistiquea) Effectifs cumuls, frquences cumulesb) Reprsentations graphiques

II Paramtres de position et de dispersiona) Mesures de tendance centraleb) Mesures de dispersion

Chapitre 4 chantillonnage et estimationI Principe de l'chantillonnage et de l'estimationII Intervalles de fluctuation et de confiancea) Calcul des intervalles de fluctuation et de confianceb) Signification des intervallesc) Prise de dcision partir d'un chantillon

Chapitre 5 Droites et systmesI quations de droitea) Caractrisation analytique d'une droiteb) Coefficient directeurc) Vecteur directeur

II Droites paralllesIII Systmes de deux quations linaires deux inconnuesa) Systmes de deux quations linaires deux inconnuesb) Condition de colinarit pour un systme de deux quations linaires deux inconnuesc) Rsolution d'un systme de deux quations linaires deux inconnues

Chapitre 6 Fonctions affines et inquationsI Signe d'une fonction affineII Tableau de signe

Chapitre 7 ProbabilitsI Probabilits sur un ensemble finia) Loi de probabilit sur un ensemble finib) Loi de probabilit et distribution des frquences

II Probabilit d'un vnementa) vnementb) Probabilit d'un vnement

III Calcul de probabilitsa) Union et intersection d'vnementsb) Calcul de la probabilit d'une unionc) Probabilit de l'vnement contraire

Chapitre 8 Fonctions de rfrenceI La fonction carra) Parit de la fonction carrb) Signe de la fonction carrc) Sens de variations de la fonction carrd) Reprsentation graphique de la fonction carre) quations avec un carrf) Inquations avec un carr

II La fonction inversea) Imparit de la fonction inverseb) Signe de la fonction inversec) Sens de variation de la fonction inversed) Reprsentation graphique de la fonction inversee) quations avec un inversef) Inquations avec un inverse

III Fonctions polynmes du deuxime degra) Forme dveloppeb) Forme canoniquec) Forme factorise

Chapitre 9 TrigonomtrieI Enroulement de la droite des rels sur le cercle trigonomtriquea) Le cercle trigonomtriqueb) Principe de l'enroulement

II Fonctions cosinus et sinusa) Cosinus et sinus d'un relb) Valeurs usuelles

Chapitre 10 Gomtrie dans l'espaceI La perspective cavalireII Plans et droitesIII Position relative de droites et plansa) Position relative de deux droitesb) Position relative de deux plansc) Position relative d'une droite et d'un plan

IV Paralllisme dans l'espacea) Caractrisation du paralllismeb) Thormes relatifs au paralllisme

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Cours de mathématiques – Seconde - Jocelyn De Britojocelyn.de.brito.free.fr/Enseignement/Cours 2de.pdf · c) Vecteur Définitions : La translation qui transforme A en B est la