Octobre 1999

COURS DE

MECANIQUE DES

FLUIDES Version 1.0

A. L. MAR

AVERTTSEMENT

Ce cours de quarante heures, destin aux lves-ingnieurs de la premire anne de

YEcole Inter-Etats des Ingnieurs de YEquipement Rural, est plus une introduction

lhydraulique gnrale quun cours de mcanique des fluides thorique.

Lobjectif se limite tablir et resoudre les quations de lhydrodynamique pour les

coulements courants rencontrs dans le mtier de lingnieur de lquipement rural :

i hydrostatique, dbit de fluite travers les digues et les fondations des barrages, coulement

unidirectionnel dans les canalisations et forces exerces par les coulements sur des obstacles.

Ainsi, seule ltude des fluides parfaits incompressibles a t dveloppe avec cependant des

ouvertures permettant aux lves ingnieurs intresss de poursuivre ltude des fluides

compressibles. Les lois de frottement pour les fluides rels seront plutt abordes dans les

cours dhydraulique en charge et dhydraulique en surface libre.

Le dveloppement mathmatique, en particulier pour la cinmatique, a t abrg et peu

rigoureux compte tenu des objectifs du cours et de lhtrognit des profils des lves-

ingnieurs. Cest pourquoi les formules essentielles de lanalyse vectorielle et de la mcanique

ont t parachutes dans les annexes pour faire des exercices si le besoin se faisait sentir.

Tous les exercices ont t volontairement tirs du livre de W.H.GRAF cit dans la

bibliographie disponible au CD1 et intressante pour les lves ingnieurs qui veulent pousser

plus loin ltude de la mcanique des fluides.

A.L. MAR

CHAPITRE 1: INTRODUCTION ET PRO- PRIETES DES FLUIDES

CHAWTRE 1 : INTRODUCTION ET PROPRIETES DES FLUIDES

1. DEFINITION DU FLUIDE

1.1. Solide , liquide , gaz

1.2 Dformation dun lment fluide soumis des forces de cisaillement

2. LE SCHEMA DE MILIEU CONTINU : LA MASSE VOLUMIQUE, LA PRESSION

2.2. La masse volumique

2.2. La pression

3. LA VICOSITE

4. LA TENSION SUPERFICIELLE ET LA CAPILARITE

5. LA TENSION DE VAPEUR ET LA CAVlTATlOr;r

1 CHAPPFRE 4, :. INfRODW2TION ET PR&RIETE$ DES Fi!JlbES 1

1. DEFINITION DU FLUIDE

1.1. Solide , liquide , gaz La matire se prsente sous lune des trois phases suivantes : solide, liquide, gaz Un quatrime tat, appel plasma, peut tre considr. Il sagit dun gaz ionis cest

dire charg lectriquement. Lordre de grandeur des forces intermolculaires caractrise chacune de ces phases: 1. En ohase soiitie, ces forces sont considrables et le rseau molculaire est

rigide. Les atomes ou mol&ules sont bloqus dans leurs orientations ; ainsi la forme extrieure dun solide non sollicit se maintient indfhiment.

2. En r?hase liquide, les forces sont beaucoup plus faibles. Lorientation des molcules devient un degr de libert mais celles-ci sont toujours lies en distance les unes aux autres.

La forme dun liauide pouse celle -du contenant. Toutefois, une masse donne dun liquide occupe un volume dfini, indpendant de la-forme du contenant.

3. En zihase gazeuse, les forces sont si faibles que les molcules ont perdu leurs liaisons distance

Le gaz na ni de forme Drom-e, ni de volume propre. Vue sous cet angle, la diffrence fondamentale entre les solides et les fluides est la

proprit de ces derniers de pouvoir changer de forme indfiniment

1.2. Dformation dun lbment fluide soumis des forces de cisaillement Rappelons dabord quel serait le comportement dun lment rectangulaire solide, de

taille infinitsimale, soumis une lgre force de cisaillement (fig. l-l).

F cisai lement -4

F cisaillement

Figure 1-l : Dformation dun solide

4

Llment initialement rectangulaire, subit une dformation angulaire finie y, proportionnelle la tension de cisaillement qui est la force de cisaillement applique par unit de surface:

1 Y=G (1-l)

La constante de proportionnalit est linverse de ce qui est appel le module de cisaillement G dont la valeur est propre chaque solide particulier.

La plupart des solides se conforment cette relation simple tant que ia tension de cisaillement nexcde pas un certain seuil appel limite Ia.stique .

La figure l-2 montre le mme lment de fluide soumis aux mmes conditions, Lexprience montre quil va subir une dformation angulaire continue et infinie (coulement), aussi petite que soit la tension applique.

F

lI,IL tF- t=0

F

/ %-- t=Dt

F

!!lIIic %- t=2Dt

F

l!mIITT %-- t=iDt

dr= l dt 2

z pour un fluide newtonien

Fig. 1-2 : Dformation dun fluide

Beaucoup de fluides, et les plus courants dailleurs, rpondent la loi suivante :

La vitesse de dformation anpullaire y varie linairement avec la tension de

cisaillement z dy 1

y=-=-r * df P

(i-2)

Les fluides qui rpondent cette loi sont appels fluides newtoniens Tous les gaz sont des fluides newtoniens ainsi que la plupart des liquides. Le sang, le lait, le bton liquide, les suspensions collodales ne sont pas des fluides

newtoniens. Les fluides newtoniens uniquement seront tudis dans ce cours.

2. LE SCEMA DE MILIEU CONTINU, LA MASSE VOLUMQUE, LA PRESSION La notion de milieu continu est un pur schma du ftit que la matire a une structure

discontinue. Elle consiste admettre que la matire est rpartie dune manire continue dans tout le matriau (ce qui nexclut pas des discontinuits aux interfaces).

Cette notion consiste donc oublier la discontinuit de la matire lchelle molculaire et toutes les chelles infrieures.

5

Toute thorie physique base sur ce schma ne prtend bien reprsenter que les phnom&nes grande chelle ; celle-ci tant trtis grande par rapport lchelle caractristique de la premikre discontinuit oublie. On entend ici chelle de longueur et de temps.

lobjectif de la thorie consiste aussi reprsenter fidlement les consquences, grande chelle, des phnomnes dont le sige est petite chelle.

La premire question concerne la dfinition des valeurs locales pour les grandeurs comme la masse volumique, la pression, etc.

Imaginons un instrument de mesure dune grandeur g qui puisse tre miniaturise autant que lon veut et portons la valeur de g mesure en fonction du volume (surface, longueur) observ x (figure l-3). g lViLb A f Valeur locale Fig. l-3 : Dfinition des grandeurs locales, particule fluide

1. Si x est du mme ordre de grandeur que la distance entre les molcules d, la grandeur mesure dpendra du nombre de molcules observes (quelques units), de leurs positions, etc. La grandeur g oscille et semble mal dfinie.

2. Si x est trs grand par rapport aux distances intermolculaires ; le nombre de molcules observes est aussi trs grand ; et la valeur g mesure est une moyenne statistique des observations et ne dpend plus de x.

Cette valeur, trs grande par rapport aux distances intermolculaires (quelques lO-lom) est cependant extrmement petite par rapport la taille de le erience L (quelques 10-2~. Cec.i justifie que lon considre comme locak, ou ponctue le, cette valeur g p indpendante de x.

On admet que ce volume observ, que nous dsignerons particule fluide est aussi assez petit pour tre assimil un lement de volume infinitsimal dV et pour justifier lutilisation du calcul differentiel et intgrale.

On dfinit ainsi des densits volumique :

6

o 6G est la valeur de la grandeur considre et qui est porte par le volume 6V. Exemples : la masse volumique

P= $ le volume spcifique est linverse de la masse volurnique

1 v=-

- le poids spcifique est le poids par unit de vohune tD=pg

2.1. masse wolumique des liquides La masse volumique de la plupart des liquides dcrot lentement quand la temprature

croit. Le taux de variation est de lordre de

*m-o OOdT

-O,l% par C :

P *I Par ailleurs, un accroissement de pression ne produit quune tible augmentation de la

masse volumique des liquides. En effet si la pression sur une unit de volume v dun liquide

augmente de dp, cette unit6 de volume sera rduite de -dv et le rapport dP ---; est le module

dlasticit cubiaue E. Son inverse sappelle le coeffjcient de com~res,s+ibilit x = w!- &

Pour un volume V du liquide, on aura :

& = v@? -- dV

or dp=-dv P v

aP do E=- WP

Exemple : Pour leau OC, on trouve a=1,99 108 K&f-/m2 .CeCi Signifie Fe Pour produire une variation de masse volumque de 1% il faut exercer un accroissement de la pression de 1,99 106 K$$/m2 !!! On ne rencontre pas couramment de telles

circonstances. On peut donc trs souvent considrer que les liquides sont des fluides

incompressibles, cest dire de masse Yolumisue constante.

PliquideCt e U-3)

Cependant certains phnomnes de choc qui ne sont pas du cadre de ce cours, tels que les coups de blier dans les conduites soumises une brusque variation du dbit (dclenchement ou arrt dune pompe, ouverture ou fermeture rapide dune vanne,.. ) ne peuvent sexpliquer et se calculer quen tenant compte de la compressibilit du liquide.

2.2. La pression

PS Si 2% est une surface et 6G la force normale 6F cette surface, alors g est la pression

p&- ~-HI 8

On dmontrera quen labsence de forces de frottement, cette pression est indpendante de lorientation de la surface 83 considre. On dit alors que la pression est isotrope @est & dire quelle est une grandeur scalaire.

Les fluides o ilnexiste pas de force de frottement sont appels fluides parfaits

3. LA VISCOSITE Quand on observe le mouvement dun fluide au voisinage dune surfce solide, on y

constate labsence totale de mouvement relatif des particules ; elles adhrent lu wroi. Le mouvement est de plus en plus accentu au fur et mesure quon sloigne de la

surface . La figure l-4 illustre un diagramme typique de la rpartition de la vitesse en fonction de la distance normale la paroi.

4 n

X

Figure l-4 : Variation du gradient de vitesse en fonction de la distance la paroi

Ce profil de vitesse est caractris par V=O n=O et la viscosit du-fluide en est lu cause

Quelle que soit la valeur de la viscosit, le fluide adhre la paroi et la vitesse y est nulle. Lcoulement exerce sur la Duroi une force de cisaillement sui tend lentraner dans la direction du mouvement.

Quand lcoulement est bien ordonn, cest dire que des lames bien individualises glissent les unes sur autres, on dit quil est laminaire. Dans ce cas, si le fluide est newtonien, la tension de cisaillement est donne par lquation ( 1-2).

Le coefficient p est appel coefficient de viscosit dvnamique ou viscosit &namiuue ou viscosit absolue. Pour les liquides, il dcrot quand la temprature croit et il est peu affect par les variations de pression.

On dbit un deuxime coefficient de viscosit, la viscosit cinmatique, qui est le rapport de la viscosit absolue la masse volumique.

J/=E V-4) P

Le taux de dkformation angulaire peut tre exprim en fonction de la vitesse. Il stit de considrer le mouvement dune ligne de longueur infnitsimale dn (figure l-5). Si elle est initialement verticale, ses extrmits ne vont pas la mme vitesse. Elle tourne donc

la vitesse angulaire a

; = --;

do f3

2= ji- al

U-5)

ligne fluide t=O

NL dv*d,t

< ligne fluide t=dt

Figure l-5 : Taux de dformation angulaire en fonction de la vitesse

La quantit g est le gradient de vitesse. Le profil de vitesse (figure l-6) suggre

que le aradient de vitesse varie en fonction de la distance la paroi. A grande distance, ce gradient est quasiment nul et les tensions de fkottement interne dans le liquide sont donc quasiment nulles. Par contre, au voisinage de la paroi, les tensions sont importantes et contre la paroi elle-mme, la tension vaut

i5b * zo=P(-)

6h n=O On a utilis une dkive partielle plutt quune drive droite parce que la tension ne

dpend que de la variation de la vitesse en fonction de la distance n, normale lcoulement et non de la variation ventuelle de la vitesse en fonction de la distance x dans le sens de lcoulement (figure l-6). On peut considrer quun fluide dont la viscosit est si faible que les tensions de cisaillement peuvent tre ngliges est un fluide idal. Un fluide parfait nexerce donc pas de tension de cisaillement.

Figure 1-O : Plaque mince aligne dans un courant uniforme

4. TENSION SUPERFICIELLE, CAPILLARITE Il y a, dans les liquides, des forces intermolculaires responsables de leur cohsion,

cest dire de leur aptitude rsister une traction. Elles sont galement responsables de leur capacit dadhsion un corps tranger solide ou liquide.

A linterface entre deux liquides non miscibles ou linterface entre un liquide et un gaz, lattraction entre les molcules forme un film imaginaire cat7able de rsister une tension. Cest ce quon appelle la tension de surface ou tension superficielle. Cest une force par unit de longueur.

La capillarit est due la fois la cohsion et ladhsion. Lorsque ladhsion lemporte SU la cohsion, le Eiauide mouiZZe la surface solide avec laquelle il est en contact. Il en est ainsi pour Peau et le verre et ceci explique lascension capillaire de leau dans un tube de verre. Quand la cohsion lemporte sur ladhsion, le liquide est non mouillant. Cest le cas du mercure pour le verre.

Lascension capillaire ou la dpression peut se calculer. Il faut connatre la valeur de la tension superficielle G du liquide et celle de langle de contact 8 caractristique de ladhsion du liquide au solide avec lequel il est en contact. Si le mnisque dinterface est de forme sphrique, lquation dquilibre de la colonne hachure la figure 1-7 scrit :

2nrucos i9= nr2hpg

&OU h _ 2acost9

U-7)

Les effets capillaires seront gnralement ngligs dans les problmes que nous traiterons par la suite.

10

- - I

h

Figure 1-7 : Remonte capillaire dans un tube

~TENSION DE VAPEUR, CAVITATION Les liquides svaporent parce que les molcules schappent de la surface libre. Les

molecules de vapeur exercent une pression partielle dans lespace Si cet espace au-dessus du liquide est ferm, aprs un temps donn, le nombre de molcules qui se condensent est gal au nombre de molcules qui svaporent. La uression gui rane dans lesvace est la tension de vaueur.

Ce phnomne dpend de lactivit molculaire qui est fonction de la temprature . La tension de vapeur dpend donc de la temprature et crot avec elle (figure l-8).

Quand la pression du liquide est gale la tension de vapeur, il y a vaporation . Ainsi, lorsque lcoulement dun liquide dans un systme de canalisations et de machines atteint une zone o la pression a une valeur infrieure la tension de vapeur, il y a vaporisation du liquide a cet endroit. Ceci peut ne pas tre dsir et entraner le phnomne dangereux appel cavitation. Les bulles de vapeur alors formes dans cette zone sont entranes par lcoulement et elles atteignent une zone o la pression a retrouv une valeur suprieure la tension de vapeur pour se condenser. Le phnomne est toujours rapide et donne lieu une succession dimplosions qui gnrent des trains dondes de choc. II en rsultent des bruits, des vibrations et parfois la destruction des parois solides en contact avec les zones de cavitation.

6. GRANDEURS ET UNITES On loublie parfois; aucun calcul nest correct sil nutilise des units consistantes. Les units de base du systme international (S.I.) sont :

q - le mtre (m) pour les longueurs [L] n - le kilogramme (Kg) pour la masse M 1 - la seconde (s) pour le temps [T] q - le degr celcius ou kelvin pour la di@rence de temprature

Cest pourquoi on lappelle aussi systme MKgS.

11

Toutes les units fondamentales en drivent. On peut citer les grandeurs drives figurant au tableau l-l

Pour la puissance, on utilise parfois le cheval vapeur 1 ch = 736 W

Pour la pression, on rencontre souvent dans la littrature les units suivantes : - le bar 1 bar = 106 barye = 105 Pa - latmosphre (atm) 1 atm = 1,014 105 Pa B 105 Pa - le m&re de colonne deau 1mCE = 0,98 104 Pa ti 104Pa - le mtre de colonne de mercure 1 mCHg = 13,6 mCE =1,36 105 Pa

Le tableau 1-2 donne les proprits physiques de leau la pression atmosphrique.

12

Poids volumi~~~ /m Pression fn>

Dimension LT-l

1 LT- MLT-2 M.L2T-2

[-m&qT

ML-3

IlllIS cmh I mls2 I crds2 1 Newton (N) 1 dyne I- _ ~. 1 Joule (J)

I 1 erg

1

I Watt fW I erQ/s I u I Kg/m3 1 g/Cl?3

Grandeurs drives vitesse (V) Acckation (y) Force (F) Travail (IV) nergie (E) Puissance (P) Mass volumique (p)

1 ML-IT-2 I Pascal fPa> 1 harve I - _ _-----_ -- - \- --/ -- - Module dlasticit (E) ML-lT-2 Pa barye Coefficient de comuressibilit (Y) MmlLTL Pa*l barve- 1

Tableau l-1 : Grandeurs drives du Systme International .

Temprature

OC 0 5 10 15 20 25 30 35 40 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Masse Tension Tension Module Volumique superficielle de vapeur dlasticit P 0 hV & K@m3 10-Z N/m mCE 5OC 107 Pa 999,9 7,62 0,06 204 1000,0 7,54 0,09 206 999,7 7,48 0,12 211 999,l 7,41 0,17 214 998,2 7,36 0,25 220 997,l 7,26 0,33 222 995,7 7,18 0,44 223 994,1 7,lO 0,58 224 992,2 7,Ol 0,76 227 988,l 6,82 1,26 230 985,7 6,74 1,61 231 983,2 6,68 2,03 228 980,6 6,58 2,56 226 977,8 6,50 3,20 225 974,9 6,40 3,96 223 971,8 6,30 4,86 221 968,6 6,20 5,93 217 965,3 6,12 7,18 216 961,9 6,02 8,62 211 958,4 5,94 10,33 207

Viscosit dynamique

y()-3 PI

1,792 1,519 1,308 1,140 1,005 0,894 0,801 0,723 0,656 0,549 0,506 0,469 0,436 0,406 0,380 0,357 0,336 0,317 0.,299 0,284

Tableau l-2 : Proprit physique de leau(daprs ASCE)

13

/ CHAPITRE 2 : HYDROSTATIQUE 1

CHAPITRE 2 : HYDROSTATIQUE

1 a PRESSION EN UN POINT

2. EQUAT~ONS GENERALES DE LA STATIQUE DES FLUIDES

3. CAS DES FLUIDES HOMOGENES INCOMPRESSIBLES

3.1, Fluides homognes incompressibles

3.2. Fluides homognes incompressibles soumis B la seule action de la gravit : HYDROSTATIQUE

4. APPLICATIONS DE ~44 LOI HYDROSTATIQUE

4.1. Gar avec faible variation daltitude

4.2. Liquides stratifies en couches superposes de densitds diffrentes

4.3. Les manomtres tube

5. RESULTANTE DES FO~RCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

5.1. Direction, norme, sens de la pousse

5.2. Point dapplication : centre de pousse

6. ACTION DUN LIQUIDE SUR UNE SURFACE GAUCHE

6.1. Sut-Face gauche quelconque

6.2. Surface ferme : Psu33&2 dARCHlMEDE

15

I CHAPITRE 2 : HYDROSTAtlQUE 1

Lhydrostatique est la science qui tudie les conditions dquilibre de leau au repos. Par extension cette science traite des conditions dquilibre des liquides au repos

1. PRESSION EN UN POINT

Dcoupons fictivement un corps par un plan (figure 2-l). Pour maintenir le corps en

quilibre, il faut exercer sur ce plan un effort F qui est un vecteur orient et qui est la

rsultante de tous les efforts lmentaires & qui sexercent sur les lments de surface dS.

Figure 2-11 : Efforts lmentaires d> sur la surface dS dont la rsultante F maintient le corps en quilibre.

On appelle contrainte au point M, pour une direction de coupe donne, la limite du

C& rapport - quand dS tend vers zro.

dS

Dans un fluide, toute inclinaison de d> par rapport la normale dS provoque des dformations inftniment grandes cest dire un coulement. En hydrostatique, les contraintes sont donc perpendiculaires aux surfaces sur lesquelles elles sappliquent car il ny a pas dcoulement. On crira donc lquation suivante :

$F =-p;ldS (2-l)

o n est la normale extrieure a la surface dS ; et d% , la force sur dS.

16

Figure 2-2 : Pour un fluide au repos, dF est normale dS.

Ainsi si d> est une compression, p est positif Si aTf; est une traction, p est ngatif; mais ce cas ne se rencontre pas dans les problemes de mcanique des fluides car les forces de liaison sont trs faibles et le schma de milieu continu serait compromis.

Il faut maintenant montrer que la-wession est isotrup cest dire quelle ne dpend pas

de lorientation n de la surface dS ; ou encore quelle est une grandeur scalaire. En effet, soit un lement de surface dS de centre M et un cylindre infiniment petit de

section droite dS (figure 2-3). Lautre base dS, de centre M, est dorientation quelconque dfinie par langle a. Les dimensions linaires de ce cylindre, donc MM, sont infiniment petites du premier ordre.

d+=-odS i?

l\

M- d 3 =-pds n

P ne dpend pas de cc car dScosa = dS

Figure 2-3 : Forces de pression sexerant sur un lment de cylindre

Nous avons par dfinition :

d:=-p;dS

& = -p&js

En crivant lquilibre des forces agissant sur ce cylindre lmentaire, on peut ngliger les forces de volume (infiniment petits dordre 3) devant les forces de surface (infiniment petits dordre 2) et on aura :

d>+ d>+ Ed; = ?I

o les d$ sont les forces sur la surface latrale du cylindre.

La projection de cette quation dans la direction G donne : pdScosa=pdS

a7

car les forces de surface agissant sur les faces Latrales sont normales M, et sliminent.

Comme dcosa=dS; on aura p=p. Cette galit est vraie quel que soit a, la pression est donc indpendante de lorientation

de dS.

2. &lUATION GENEFtALE DE LA STATIQUE DES FLUIDES Soient 0X, OY, 02 trois axes de coordonnes rectangulaires auxquels nous rapportons

les points de la masse fluide. Considrons, dans le fluide, un paralllpipde rectangle infiniment petit dont les aretes dx, dy, dz sont parallles aux axes (figure 2-4).

H dy G

dz

C

> Y

Fig 2-4 : Equilibre dun parallelepipde rectangle infinitsimal

Ecrivons les conditions dquilibre de ce paralllpipde :

LF=8 Les forces agissant sur lui sont :

1. les -tirces de volume pdxdydzf o ?est la force extrieure agissant sur la masse fluide et rapporte lunit de masse.

Les composantes de f seront notes I?x, ry, Tz et elles ont la dimension dune acclration.

2. Les -forces de surface qui se rduisent, en hydrostatique, aux forces de pression sur les six faces. Rappelons que ces forces sont normales aux faces, donc parallles aux axes choisis.

La somme suivant 0X est gale la somme des forces de pressions sexerant sur les faces AEICD et EFGH.

18

Soit p la pression au centre du paralllpipde; la pression sur la face

aph AE3CD efp-zT-

aph et celle sur la face EFGH vaut p -I- - - car entre ces Sk2

deux face, seul x varie. La somme algbrique des forces de pression suivant 0X est donc

(P-+* ax --)dydz-( p + -$ $)d ydz

et par suite

On trouverait de mme: suivant OY

et suivant OZ

En dtitive, la condition dquilibre dans le systme daxe scrit

4J - -+prx=o a 4J - - +pry=o 49

+ - -+prz=o a?

G-2)

Le vecteur qui a pour composantes cp - a

est le zradient de P et on le note q*adp.

L& 6%)

On voit donc que la somme des _forcm de pression sur llment de volume db

considr est bivalente la-force de volume -gZadp&V

Lquation (2-2).peut aussi scrire sous une forme vectorielle indpendante du systme de coordonnes :

-g:dp+p?=; ou

p:=&dp (2-3) ou

r=lgradp P

Les quations (2-3) sont les quations fondamentales de la statique des fluides et aucune hypothse na t faite sur la nature du fluide ni sur les forces de volume.

3. CAS DES FLUIDES HOMOGENES INCOMPRESSIBLES SOUMIS A LA SEULE ACTION DE LA 19

c---

PESANTEUR

3.1. Fluides homognes incompressibles Four les fluides homognes incompressibles, la masse volumique est constante dans

tout le fluide et on aura :

&.&g P

Dans ce cas, lquilibre nest possible que si le chamD de-firces extrieures drive dun potentiel ce qui veut dire quil existe une fonction U telle que :

?=-g&dU (2-4) On aura en plus

-U==Z SCte P

(2-5)

U est ce quon appelle le potentiel ou fonction de force. Les su-ces uui~otentielles quon appelle galement surface de niveau sont

caractrises par U=Cte. En vertu de lquation (2-3, les surfaces quipotentielles sont confondues avec les

surfaces dgale pression appeles aussi isobares et caractrises par p=Cte.

3.2, Fluides homognes incompressibles soumis la seule action de la gravit (HYDROSTATIQUE)

Si la gravit est la seule action qui agit comme force extrieure dans le systme Daxes OXYZ :

0

F= 0

!:1 Il faut bien noter que laxe 02 est vertical et dirim? vers le haut

On peut alors vtier que F drive du potentiel U=gz et lquation (2-5) devient :

-gz=p +Cte P

ou p+pgz=Cte (2-Q

Lquation (2-6) est lquation fondamentale de lhydrostatique. On a lhabitude dappeler pression motrice ou pression toile la quantit p+pgz qui est

note p*. On dit alors que la pression toile p* est constante dans un liquide au repos : p*=Cte (2-6)a

Les sucftices quiDotentielles sont des w/ans horizontaux. En effet U=gz=Cte donne z-Cte qui est lquation dun plan Horizontal dans les axes Oxyz.

Comme les quipotentielles et les isobares sont confondues, la uression ne varie pas dans un riEan horizontal. Elle ne varie que selon la verticale.

La suTface libre est horizontale car cest une surface isobare (p = pression atmosphrique = Cte)

20

4. APPLICATIONS DE LA LOI DE LHYDROSTATIQUE

4.1. Cas des gaz avec faible variation daltitude

IA

PA-PB=f&B-A) 1 enceinte

IB

Pour lair, p*1,225Kg/m3 aux conditions normales (compar 1000 pour leau); prenons pour fixer les ides Q-ZA=lm qui est caractristique des rcipients de gaz. On aura :

PB-PA4,225*9,81*1 =y12 Pa

Ce qui est trs ngligeable par rapport la pression atmosphrique qui est de lordre de

1dPa. On admettra donc, sans erreur perceptible, que la pression est constante dans un

rcivient remvli de Paz.

4.2. Cas des liquides stratifihs en couches superposes de densit& diffhentes

Par exemple 23

+P2&1 -z2) G-7)

fP3&2-z)

4.3. Les manomtres tubes Ce sont des instruments trs rpandus pour mesurer la pression cause de leur

simplicit et de leur ftible cot. En principe, ce sont des tubes de faible diamtre en matriau transparent contenant un

liquide dont le niveau est dtermin par les pressions qui sexercent chaque extrmit. 1. Le vizomtre Cest linstrument le plus direct et le plus primitif Il indique la pression relative au point o il est branch (figure 2-6).

Prel=fJgh ou (2-W Pabs=Patm+Pgh

Cette relation est invoque pour justifier quune pression relative puisse tre exprime en une hauteur dune colonne de liquide de masse volumique p.

Linconvnient du pizomtre est de requrir ventuellement des hauteurs h

21

considrables. Il ne convient pas non plus la mesure de pressions des gaz. Une configuration plus frquente est donc le manomtre en U.

Figure 2-6 Le pizomtre indique la pression relative au point o il est branch

2. Manomtres en U La figure 2-7 montre un cas classique de ralisation. Le cercle reprsente lenceinte,

quelle quelle soit, dans laquelle la pression doit tre mesure.

hl

h4 Patm

, -. L

h3

Figure 2-7 Manomtre en U

Puisque les fluides contenus dans le tube ne sont pas en mouvement, la pression dans ce tube est distribue de faon hydrostatique.

Pour tablir la relation entre P mesurer et les cotes des mnisques sparant les dif5rents fluides, on peut procder en crivant une quation qui exprime que les fluides sont en quilibre :

Pf=P+Plghl+Pzgh2 du ct gauche

PfPatm+Pairgh4+P2gh3 du cte droite En liminant Pf , on obtient

P=Patm+P2g(h3-h2)-P1ghl~+Pairgh4 (2-9) Le dernier terme est souvent ngligeable du fait que pan. est trs faible devant la masse

volumique des liquides. Lexpression (2-9) pourrait aussi tre obtenue comme sur la figure 2-7A : Cette mthode dcrire lquation du manomtre est plus puissante pour lanalyse des

manomtres complexes comportant plusieurs branches et plusieurs liquides.

22

P f pl hl

1. 1 - Px?U

Pressio

mesurer

i--l Pres

I-h2) - Pair ah4 =Patm

Pr d ssion en C =Patm

Figure 2-7A : Equation du manomtre

5. RESULTANTE DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SUFACE PLANE Considrons une surface plane quelconque dont la trace sur une coupe verticale est le

segment AB (figure 2-8) La surface est donc incline dun angle a par rapport la surface libre qui est

horizontale et elle a une aire S

I kz

Surf. libre

0 --r

Figure 2-8 : Rsultante des forces de pression sur une surface plane. Projection sur un plan vertical.

5.1. Direction, sens, norme de la pousse

23

--- -- --~--

comme les forces lmentaires, exerces par le fluide sont toutes normales la surface, elles sont toutes paralkles et elles donnent une rsultante unique appelee pousse.

5, =js p; dS=&pdS En choisissant

hydrostatique

do

la surface libre comme origine des z ; p est donne par la loi

P+ogrGteTatm

F, =i Ss(Patm-Pgz)dS Sur lautre face de la surface S, sexerce la pression atmosphrique qui donnera une

rsultante $, oppose fi, avec $,=-sjspatmdS En dfinitive, on aura la force nette sur la surface :

Fn~*~=F,+F,=-njsPgzdS

=mpg; JszdS Le calcul de cette dernire intgrale est identique celui quon fait quand on cherche

dterminer la position du barycentre G dune surface plane quon appelle parfois centrode ou centre dinertie de la surface.

Ainsi, nous avons : j,zdS=zGS

o z~ est la cote du centrode G de la surface plane daire S. Nous avons donc la force nette qui sexprime ainsi :

F;,=-wc& La cote ZG est lie x~ (coordonne suivant laxe Gx) par la relation suivante

z=-xsinct (2-l 1) Au signe prs ZG est la profondeur du centrode de la surfce plane. La pression relative qui rgne au centrode PG vaut -pgzG selon la loi de

Ihydrostatique. Do la force nette peut galement scrire:

(2-12)

La relation (2-12) sinterprte comme suit La force de vression hvdrostatiaue sur une surface vlane auelconaue est gale la

force aui serait exerce sur la mme surface var une vression uniforme aale celle oui h-ne au centrode de la surface

De mme nous pouvons constater que le produit -zGS est le volume dune colonne ayant pour hauteur la profondeur du centrode de la sur%ace et pour surface de base la surface S.

Do lautre interprtation de la relation (2-12) : La vousse exerce sur une surface vlane. var un liauide en auilibre, est aale au

poids dune colonne du limide avant vour base la surface de la varoi et vour hauteur la profondeur du centrode de la surface

5.2. Centre de pouss6e Pour certains calculs en structure (barrages, vannes, . ..). on a besoin du point

dapplication de la pousse appel Centre de vousse Sa position sobtient en crivant que le moment des forces lmentaires par rapport un

point ou une droite est gale au moment de la pousse.

24

Prenons, par exemple, les moments lmentaires par rapport la droite Cy qui est lintersection de la surfce libre et du plan de la surface considre.

dM=CM .dF=x.(-pgzdS) Le moment rsultant est

M=&M=&pgzxdS. Ce moment doit tre quilibr par le moment de la pousse qui vaut -pgZGsXp ; do aprs simplification :

zGSxp=&xdS En remarquant que z=-xsino et zG=-x~sin01 , on peut encore ecrire

zGSxGfsxzdS ou le terme de droite est le moment dinertie 1 de la surface par rapport laxe Cy. En appelant IGy le moment dinertie de la surface par rapport la droite Gy passant par

G et parallle Cy, le thorme de Huygens donne :

et par suite I=IGy+s(X&2

ZGsXp=IGy+s(XG)*

sXG(Xp-XG>IGy

I xP-XG=I-

sxG (2-12)

La relation (2-12) montre que le centre de pousse P nest vas canfondu avec le centrode G: il est togiours situ au dessous

Au cas o la surface S a un axe de symtrie Gxpurall&le Cx (figure 243, le centre de pousse se trouve sur cet axe.

Dans le cas contraire, il faudra calculer la coordonne Yp suivant laxe Cy (figure 2- %

C C YG YG I I

Yp Yp / /

>Y >Y

XCi XCi ------- -------

xp------- xp-------

vX vX

Figure 2-9 : Vue de la surface plane S dans le plan CxCy Figure 2-9 : Vue de la surface plane S dans le plan CxCy

On obtient Yp en quilibrant les moments par rapport a laxe Cx : On obtient Yp en quilibrant les moments par rapport a laxe Cx :

25

F.Yp=hydF soit : YpP&S=.!&~dS ou; en vertu de la relation (2-l 1) :

Y$(-jS=j,xydS (2-13)

Lintgrale qui figure dans le second membre est appele produit dinertie Icxc#e la surface S par rapport aux axes CxCy

On peut dmontrer que

kxCyIGxGy+%YG o IGxGy est le produit dinertie de s par rapport aux axes GxGy passant par le centre

de gravit et parallles Cx, Cy respectivement; et x~, yG ,les coordonnes du centre de gravit G. Ensuite la relation (2- 13) donnera

I Yp-yG=* SXG

(2-14)

La dtermination du centre de pousse ncessite donc la connaissance des caractristiques statiques des surfaces et le tableau 2-l donne celles de quelques plaques de formes courantes.

6. ACTION DUN LIQUIDE SUR UNE SURFACE GAUCHE

6.1. Surface gauche quelconque A la figure 2-10, isolons un lment de surface dS. Son vecteur unitaire normal

extrieur est n et dS,, dSy, dS, sont ses projections respectives dans les plans respectifs (y,~), (XA (KY> .

Figure 2- 10 : Forces sur une surface gauche dS, projection de dS sur le plan (y,~) dSy projection de dS sur le plan (x,z) dS, projection de dS sur le plan (~,y)

26

T;iIic:iii 2 . I : car:icirisiiqiic siatiqiics tlc qiiclqiies pl;iqiics

I:oriiic

A Gx

---r--l

,[ l I h Y I

I B I

I

%

v G x

S

B L

BL 2

1 2

3 6

d+ L(Ld+L) 2(3d+L)

hl m

Tableau 2.1 : caractristiques statiques de quelques plaques (suite)

Forme

i b l

-

S

L(B+ b) 2

4 6 4

3b2+4bB+ B2 (B+2b}( b+B)

d+ 8d+5D 2d+D

Tableau 2.1 : caractristiques statiques de quelques plaques (suite)

8Ded+5g+9 8(2d+@

Forme

___

L 8d+5L

mGx

I > B

S

4

n B L 4

Z(De - Di") 64

64

-

d+

w O

Tableau 2. I : caractristiques statiques de quelques plaques (Suite)

GX I

GY

AG

cB+

S

a 2 - r 2 a+sin.--

B 4 9 r 2 - 64 1152 rr

(a + sin a ) A, = 3r. a 1 6 sin --

2

B 37c-2 6z

gC; =-

2B 3x

=-

3xl3

La force lmentaire due la pression sur cet lment dS vaut :

d>=-p;dS Sa composante en x rsulte dun produit scalaire

+-+ i.dF

soit dF, = -p(;.;)dS do il rsulte

dFx=fpdSx De mme, les composantes en y et z peuvent scrire

dFy=kpdS y dFz=ztpdS,

Le signe est + ou - suivant que le produit scalaire des vecteurs unitaires est positif ou ngatif. On peut illustrer quelques cas la figure 2- 11.

Examinons de plus prs la composante en z : dF, Avec pTa-ogz qui est la loi de lhydrostatique; on aura :

dF&(padS,-PgzdS,) Cette force est compose de deux termes : - le premier terme correspond la pression atmosphrique sur la projection horizontale

de la surface lmentaire dS,. - le second terme correspond au Doids dun ylindre de Eiauide de volume dV*, avant

une section droite dSz et une hauteur gale la profondeur de liauide sur la surface expose (figure 2-12) -

On aura en dfinitive : FxIsxdFx=dsx pds, w=kydFy==bx PdSy (2-14) Fz=k(PaSz+pgV*)

Les composantes en x et y se calculent donc comme des forces agissant sur les sufaces planes S, et Sy On a vu comment le faire et wmment en localiser les lignes daction au paragraphe 5

Quant a la composante verticale, la ligne daction de Pas, passe par le centrode de S, et celle de pgV*, par le centre de gravit du volume V*.

Dans la plupart des cas, on aura traiter une force Pas, agissant sur lautre face si bien que la seule composante nette pgV* sera considrer.

31

dFz= +pd$>O

cest dire orient suivant z

&? >O dFZ= +pd%O

cest dire orient en sens oppos laxe z

Figure -l 1 : Signe de dF, = k pdS,

32

6.2. Forces sur une surface ferme : Pousske dArchim&de

1. Composante horizontale : (figure 2-12) Si nous dcoupons en prismes infkiment petits, paralleles au plan (XJ) In rsultunte

des comDosantes horizontales est nulle. En effet, les surfaces lementaires dS et dS ont la mme projection selon une direction horizontale, les pressions sont les mmes et les forces sont opposes.

figure 2-12 : La pression est constante sur une stice lmentaire prismatique pris dans le plan horizontal ; do la rsultante a une composante horizontale nulle.

2. Composante vetticale En dcoupant le volume V par le plan de la figure 2- 13, nous pouvons constater : - une force sur S1 gale au poids du volume hachur Vl* du liquide et dirige vers le

bas - une force sur S2 gale au poids du volume V1 *+V du liquide et dirigee vers le haut. Il vient donc que la force nette sur la surface S=S 1fS2 est gale au poids du volume V

de liquide et dirige vers le haut. Do le thorme dArchimde suivant : Un corps solide plong6 dans un liquid eu suiiibre subit une pousse verticale,

dirige vers le haut, gale au poids du volume du liquide dplac. La pousse est applique au centre de gravit de ce volume appel centre de carne.

33

Figure 2- 13 : Force verticale exerce sur un corps immerg = poids du liquide dplac et elle est dirige vers le haut.

34

t GOMTRIE ! 1 Lignes I

Polygones rguliers

Voir en fin du chapitre.

Segment circulaire

Arc de cercle : 1 = - n Ra OU 0,017 453 Ra (a etant exprime en degrs)

180

Corde : c = 2R sin !! 2

c = 2 4 7 3 q

Flche : f = R (1 - cos i)

avec le signe - quand a < 180 le signe + quand LY 1800

l Ellipse -- j

(a - b)z 2 2 I

Primtre N n J (oz -t ba) - -___

1

Aires

Triangle

1 S = - a h

2

Volumes (fin)

Volume quelconque

(rge de Simpso) La formule donne la fin du chapitre AIRES * peut sappliquer au calcul

dun volume quelconque, ho, h,. h,. . . . . h, tant les aires des surfaces dkoupes dans le volume par des plans parallles quidistants espacs de I (les aires h, et h, sont nulles dans le cas gnral).

Remarque : Cette mthode de calcul est particulirement simple dutilirotion dons le cas dun volume de rvolution : si on le dcoupe paf des plans perpendiculaires 0 son axe. les surfaces obie- r-mer sont des cercles.

Polygones rguliers

/T$ / R Dsignation

Triangle . . . . . , 3

Carr . . . . . . . . 4

Pentagone convexe . _ 5

Hexagone . . . . . . 6

Octogone convexe . . 8

Dcagone convexe . 10

Dodcagone convexe . 12

Polydres rguliers

Longueur dune arte = 1

0,5774 c

0,7071 c

0.8507 c

1,000 c

1,307 c

~ 1.618 c

/ 1,932 c

! r 0.2887 c

0.5000 c

0,6882 c

0.8640 c

1,207 c

1,539 c

1,866 c

C

1,732 R ou 3,464 r

1.414 R ou 2,000 r

1,176 Roui,453 r

1,000 Rou1,155 r

0.7654 R ou 0,8284 r

0.6180 R ou 0,6498 r

0.5176 R ou OS359 r

Aire

0.4330 c2 ou 1,299 Ra

1,000 c2 ou 2,000 RP

1,721 c2 ou 2,378 AZ

2,598 ca ou 2,598 RL

4,828 ce ou 2,828 Ra

7,694 c2 ou 2,939 RZ

Ii,20 ca ou 3,000 Rs

Dsignation Nature de la surface

Ttradre _ . . . . , . . . 4 triangles quilatraux

Cube . . . . . . . . . 6 carrs

Octadre . . . . . . . . 8 triangles quilatraux

Dodcadre . . . , . . 12 pentagones

Aire

1,732 12

6,000 1=

3,464 12

20.65 la

Volume

0.1178 F

l.ooo P

0,4714 13

7,663 P

GOMTRIE GOMTRIE

Volumes (suite)

Segment sphrique une base

V = $ n (hs + 30~) h ou 0,523 60 (hs f 30s) h

Y = f x (3R - h) hz ou 1.0472 (3R - h) hz

\

Segment sphrique deux bases

v = ;- n (3b2 + 3cs + h?) h ou 0,523 60 (36s + 3cs + hs) h

Ellipsode de rvolution aplati ou ailong

V = f na2b ou 4,1888 asb

-- -7 -q

-1

Ellipsode quelconque

Y = 4 nabc ou 4,1888 obc

Parabololde de rvolution

v = ; nR21 ou 1.5708 R21

Segment de parabolode de r&olution

Y = ; A (Rs + rs) 1 ou 1.5708 (Rs + r2) 1

Volumes (suite)

Tore

Y = 2 nerzR ou 19,739 r2R

Portion de tore extrieure au cylindre ABCD (voir figure)

V = f nr2 (3nR + 4r) ou rs (9.8696 R + 4,1888 r)

Portion de tore intrieure au cylindre ABCD (voir figure)

Y = nr& (3nR - 4r) ou rs (9,8696 R - 4,18118 r)

Tonneau profil en arc de cercle

V z & x (2W + dz) h ou 0.262 (2D f dz) h

Volume engendr par la r6volution dune surface plane autour dun axe situe dans son plan et ne la coupant pas (thorme de Guldin)

Y = 2zRS ou 6,2832 RS

Remarque : Si le centre de gravit de la surface est dif- ficile 6 dterminer. on pourra la diviser en plusieurs portions, appliquer chacune delles la formule ci-dessus, puis addi- tionner les volumes partiels trouvs.

G : centre de gravit de la surface

Aire de la surface = S

GOMETRIE G EOMfTRIE

Volumes (suite)

Cylindre oblique bases quelconques non paralt&ter

V = Sd

G et G : centres de gravit des bases Section droite = 5

Volume compris entre deux cylindres de r6volution coaxiaux (volume dun cylindra creux)

V = n (R + f) eh OU 3,1416 (R + r) eh

Si e est petit :

V#Znreh#2nReh

Portion dun demi-cylindre de rkvolution comprise entre deux plons dont lun est perpendiculaire laxe du cilindre et qui se coupent selon un diomtre

Y = f Rab ou 0.666 67 RZh

Cane de rvolution ou cane oblique a base circulaire

V = f nR2h ou 1.0472 R2h

Cne quelconque

V+h

Volumes (suite)

r

@

c- -.* I .-..-_

R

Tronc de cne de rkvolution

V = f n (R2 C r* + Rr) h ou 1.0472 (R2 + ra + Rr) h

Tronc de c6na bases paralfles quelconques

V=;(B+b+@)h

Sphre

Y = f nR3 ou 4.1888 R3

v = ; 70 ou 0,523 6003

Volume compris entre deux sphres concentriques (volume dune sphre creuse)

v = $I (l? - t? ou 4,1888 [@ - r?)

Si e est petit :

V = x (R + tjZ e =4sR2e

Secteur sphrique

v 3 5-- nRZh ou 2.0944 RZh

I

G OMTRIE

c. O

Volumes (suite)

Tronc de pyramide rgulier ou tronc de pyramide quelconque

bases

Prlsmatolde bases rectangulaires (tas de sable)

1 6

V = - [(2 + 0) b + (20 + d ) b] h

Polydres rguliers

Voir en fin du chapitre.

~~~ ce----

Cylindre de rvolution

Y = nR*h ou 3,1416 Rzh

PrismatoVde quelconque

Y = 1 ( B + B4-45) h

(formule dite

btUMt 1 Klt

Aires (fin)

Surface plane quelconque (rgie de Simpson)

Diviser la surface en un nombre pair 2m de tranches par des lignes parallles equidistantes; soient I lespacement entre ces lignes et h,. h,, h,,

h,, h,, . . . . km-a p ham-1 s hn les segments dtermins sur ces parallles par la surlace (h, et hzm &ant nuls dans le cas gkkral).

Aires (suite)

Triangle sphrique

Raou[0,017453(~+~+~)-3.14i6]~s

(a, /? et y tant exprims en degrs)

5 = 4nPrR ou 39,478 rR

Portion de tore extrieure au cylindre ABCD (voir figure) (non compris la surface de ce cylindre)

S = Znr (xR + 2r) ou r (19,739 R + 12,566 r)

Il) 7zI.A

X G 4 R X

G : centre de gravit de la courbe

Longueur dveloppe de la courbe = 1

Portion de tore int6rieure au cylindre ABCD (voir figure) (non compris la surface de ce cylindre)

5 = hr (nR - 2r) ou r (19.739 R - 12,566 r)

Surface engendrke par la r&olution dune courbe piorne autour dun axe situ dans son plan et ne 10 coupant pas (thorme de Guldin)

S=ZTcRl

Remarque : Si le cenfre de gravit de la courbe est difficile determiner, mais quelle puisse tre divise approximativement en segments (droites et arcs de cercle) dont les centres de gravit sont connus, on pourra appliquer chacun de ces segments la formule ci-dessus, puis additionner les surfaces partielles trouves. Si la courbe est tout fait quelconque, on pourra la diviser en petits segments et prendre pour centre de gravit de chacun deux son milieu; Iapptica- tion de cette mthode donnera la surface totale cherche avec une approximation dautant plus grande que le nombre des segments sera plus lev.

s x f 1 [(ho + h,,) -t- 4 th, + h, -I- . -. + hlm-J + 2 (h, + h, + .. -t b-2)1

Lapproximation obtenue est dautant meilleure quon a choisi m plus grand. ..

Volumes Prisme droit

V= Bh

Prisme oblique

V = Bh

v = SI

Section droite = 5

Pyramide rgulire OU quelconque

Y=$Bh

GOMTRIE

r

I

-P N

GOMTRIE

Ai res (suite)

7 I

Cylindre da rvolution

A i re latrale = 2nRh

Aire totale

ou 6,2832 Rh

= 2nR (R + h) ou 6,2832 R (R + h)

Cylindre d secfion droite circulaire, avec une base droite ef une base oblique

Aire latrale = n R (h, + hJ ou 3,1416 R (h, + h,)

Cylindre d section droite circulaire, avec deux bases obliques parallles

Aire latrale = 2 n R i ou 6,2832 R i

___---- sQ Portion dun demi-cylindre de rvoiution comprise entre deux plans

dont lun est perpendiculaire laxe du cylindre et qui se coupent selon un diamtre

Ai re latrale = 2Rh

Aires (suite) n /-- --_ w

Cne de rvolution

Aire latrale e nRi ou 3,1416 R i

Aire latrale = nR/RZ+hzou 3,1416 RJRZ+h? Aire totale

Ai re totale

,

= x R (R + 1 ) OU 3,1416 R (R + 1) = n R (R -+- JRa+h2 ) ou 3,1416 R (R + )

Tronc de c6ne de rvolution

Aire latrale = n (R + r ) i ou 3,1416 (R f r) 1 Aire latrale = (R + r ) 4- ou 3,1416 (R + r) d m

Sphre

5 = 4nR2 OU 12,556 R2

5 = xD2 OU 3,1416 Da

Fuseau sphrique

n S = - Raa ou 0,034 907 R2a (a tant exprim en degrs)

90

seau sphrique

n S = - Raa ou 0,034 907 R2a (a tant exprim en degrs)

90

L I

Calotte sphrique et zone sphrique

5 = h R h OU 6,2832 R!i

GEOMETRIE GOMTRIE

Aires (suite)

iizl

Parall6logramme

S = bh t

b -~_

Trop&e

s = ; (6 + 6') h

5 = bah

Quadrilatre quelconque

1 S= - mnsina

2

Polygones rguliers

Voir en fin du chapitre.

D

ci!2

Polygone irrgulier

c 5 = surface AK 4 surface ACD + surface ADE

E

Cercle

S = nR2 ou 3,1416 R2 = : DZ ou 0,785 40 DB

Aires (suite)

Surface dune couronne circulaire

s = II (R + rl e ou 3.1416 (R + f) e

Si e est petit :

S#2xre#ZnRe

Secteur circutaire

S = & R% ou 0,008 726 6 R2a

(a tant exprim en degrs)

Segment circulaire

S = i R2 (& /t - sin fi) ou i R2 (0,017 453 fi - sin /f)

(p etont exprim en degrs)

Ellipse

S = nab ou 3,1416 ab

Parabole

S =;obou1,3333ab

1 EXERCICESi DHYDROSTATIQUE 1

Problmes non rsolus

Ex. ST.1 Etudier Ics conditions dquilibre de trois liquides contenus dans un tube en U. Calculer z0 , z1 , z2, z3 .

zo - Zl = 0.2 [m] , 23 - z2 = 0.1 [ml, z1 f z2 = 1.0 [m] ,

y1 = 9.81 [kN/m3] (eau) * y2 = 133.42 [kN/m3] (Hg) ,

73 = 6.87 [kN/m3] (esscncc) .

Ex. ST.2 Dans un Etat initial, le mercure est en 6quilibre dans les deux branches dun tube en U (niveau de rkfrence). Quelle est la quantit deau que lon doit verser dans la branche de droite pour que la hauteur deau atteigne une cote dc 84 [cm] par rapport au niveau initial du mercure ?

YrIg = 133.42 [kN/m3] , y,, = 9.81 [kN/m3] .

Ex. ST.3 Calculer la diffrence de pression (~1 - ~2) entre les deux rservoirs ci-contre.

y1 = 9.81 [kN/m3] , yI~g = 133.42 [kN/m3] ,

y2 = 12.75 [N/m3],

hl = 1.5 [m] , h = 0.3 [m] , h2 = 1.4 [ml.

Y1 73

~~~

::: 20

I

I:f., 12 g.

z, .y::., y. ,,:;;;:: .,._:.,,::::::?::i::,:, Il Z2

-- - _---- I -.

f+=l [cm1 fs=2~clRl

Ex. ST.4 Un piston creux en forme dentonnoir, ferm son extrmit suprieure de diamtre D, pouvant glisser dans un tube de diamlre d, SC trouve en quilibre sous leffet des pressions hydrostatiques dans la position indique sur la figure ci-contre. ,Q ue e est la valeur du rapport 11 h/b quand D/d = 4 7 On nbgligera les frottements et le poids propre du piston, ainsi que lpaisseur des parois.

Ex. ST.5 Dterminer lintensit. le point dapplication et la direction de la pousse rsultante, par mtre de largeur, agissant sur la paroi semi-cylindrique.

D = 3 [m] , yeau = 9.81 [kN/m3] .

.,.....

Ex. ST.6 Une paroi dun rservoir deau inclinte B 45* componc un orifice dc 2 [m] dc rayon dont le centre est situ 10 [m] au-dessous du niveau de Iesu. Cet orifice est obtur par un couvercle hmisph6rique fix la paroi par des boulons. Calculer les composantes normale (traction) ct tangcnticllc (cisaillement) de la fofcc agissant sur Ic joint (cnsemblc dc boulons).

Y ca,, = 9.81 [kN/m3].

fur. ST.7 Por r&gIcr Ic niveau deau dun Gscrvoir, on emploie un clapet rectan- gulaire pivotant de 1 fm] dc haut ct 2 fm] dc iarge. Dtcrmincr la position de larticulation A pour que le clapet souvre automatiquement lorsque le niveau deau atteint la cote dc 6 [ml.

Y eau = 9.81 IkN/m3].

Ex. ST.8 On veut dterminer Ics forces agissant sur une vanne segment de poids W et de largeur b. Lc centre de rotation et le centre de courbure de la vanne ne sont donc pas confondus. On cherche: i) la force rsultant dc la pression

hydrostatique cxcrcc sur la vann, ii) la r6action dappui cn A. b = 10.0 [m] , h = 5.3 [m] , r = 6.0 [m] , d = 1.5 [m] , e = 1.0 [m] , f = 1.0 [m] ,

W = 3728 [kN] , y=, = 9.81 [kN/m3] .

Ex. ST.9 On veut dEtermincr la pression hydrostatique dans un r&scrvoir rcmpl i dhuile. Dans la partie du rtscrvoir qui contient de lair, on admet une rpartition uniforme dc la pression. On demande: il la pression absolue pi dans Ic rservoir, ii) la force F sur JC piston cylindrique, iii) la hauteur h de la colonne dhuile dans

lc tube de gauche.

Yhuilc= 7.75 [kN/m3] , ytlg= 133.42 [kN/m3] , D = 0.12 [ml, tl = 1.20 [ml, t2 = 0.24 [m] ,

d = 0.60 [ml, pa = 105 [Pal .

i- ?

-Y-zf

x i

4

A a

. . . . . . ..a.< . . . ..;

.%-?

- 6.00 [m] L&A $:& .A :.x4

buiu

- 1.00 [m]

L

- 0.00 [m]

46

Ex. ST.10 Une vanne conique permet de rgler le niveau deau du rservoir de la figure ci-contre. Lorifice au fond du

rbservoir a un diamtre de 2r et le pqids de la vanne est de W. Un ressort maintient la vanne fermte en lui appliquant une force F. Lorsque le niveau deau (h+r) du rservoir est dpass6, la vanne souvre. Dtcrmincr le niveau deau (h+r) pour lequel la vanne se dplace verticalcmcnt en ouvrant lorifice.

r = 2 [cm] , W = 1 [N] , F = 6 [N] , y = 9.81 10m3 [N/cm3] .

Ex. ST. 11 Trois pistons de surfaces rcspcctives S,, S, et SS sur lesquels agissent les forces F,, Fz et FS se - -- - trouvent la surface de leau dans les trois z compartiments dun rservoir. Trouver les hauteurs x et z. I .----

Fl = 2 [kN] , F, = 4 [kN] , F3 = 5 [kN] ,

SI = 0.03 [m2] , S2 = 0.03 [m2] , S3 i 0.03 [m2] ,

Ex. ST.12 Lorifice circulaire dans une des parois verticales dun rkservoir est ferm par un clapet dont larticulation se trouve au point A. Un levier portant un contrepoids est fix perpendiculairement au clapet. Celui-ci souvre de lui-mme quand le niveau deau dans le rcipient dpasse la hauteur h = 80 [cm] mesure depuis le milieu de lorifice. Le contrepoids se trouve a 55 [cm] de larticulation. On cherche: 0 la force de pression sur lc clapet, ii) la distance entre le point dapplication

de la force de pression ct le milieu de lorifice,

iii) le poids du contrepoids.

Ex. ST.13 Une bote cubique de 50 [cm] de cat, moiti remplie dhuile, est acctltrte uniformment le long dun plan inclin de 30 avec lhorizontale. On cherche: 0 la pente de la surface libre, ii) la pression le long du fond dc la bote.

Acclration uniforme: a = 2 [m/s*],

! huiic = 800 [kg/m3] , g = 9.81 [m/s*].

47

Ex. ST. 14 Une bote cubique de 50 [cm] de ct, moiti remplie dhuile, est acclre uniformment. Lacclration

uniforme vaut: a = 2 [mis] On cherche: 9 la pente dc la surface libre ii) la pression lc long du fond de la bote

P huile = 800 [kg/m3] , g = 9.81 [m/s2].

Ex. ST.1 5 Une vanne canec dc 3.3 [m] dc cte est formce dune plaque mktalliquc consolidec par deux poutrelles horizontalcs. En exploitation courante, ic niveau deau se situe 2.35 [ml au-dessus dc son arte suprieure. il Placer les poutrcllcs de manierc ce quelles

prennent la mme charge. ii) Calculer le rapport des charges sur les poutrelles

si lc niveau deau monte encore de 10 [m] ; dans ce cas, la pression sur la vanne peut tre considre comme uniforme.

Ex. ST.16 Calculer la pousse et le moment agissant sur une trappe articule a la partie infrieure dc la paroi sparant les deux rbscrvoirs ci-contre. DCterminer la position des centres de pousse et le point dapplication de la rsultante.

Y1 = 9.81 [kN/m3] , y2 = 8.85 [kN/m3] .

Ex. ST.17 Les appontcmcnts cn bCton prcontraint dun port ont en coupe les dimensions donnCcs sur la figure ci-contre. Calculer:

0 la hauteur mCtaccntriquc de Iapponte-

50 [ml a a .~~~i:~::,:.:, _........._.....,. ,..., ;..,.,..: _.,.,... ..::::::::::::::::::::::::::;:;:::::~~:~~.~ *huilr ::::::.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:,:.:., . . . . . . . ;.:.:.:.:..:.:.:.:.:.:,:.:.:,:.,,~.: .....Y :.:.:.:.:.:.:.:.:,:,:,;,~,~.~,~.~.: .,.y.:.:.,. _, .; . . . . ._.,. .,.,.

Ex. ST.19 Le tunnel cylindrique ci-contre est maintenu en

s

quilibre par des cbles disposs par paires tous les 6 [m] . La charge dans le tunnel (voie, trottoirs, charge utile) est de 9.81 [kN] par mttre de loqgucur, a laquelle sajoute le poids de la paroi du tunnel. Calculer la force de traction dans les cbles damarrage du tunnel. Diametrc inttrieur: D = 3.0 [m] , Epaisseur du b6ton: e = 0.25 [m] ,

yb = 24.53 [kN/m3] , yclu = 9.81 [kN/m3] .

Ex. ST.20 Dterminer la- valeur de la force agissant sur le joint (fond de paroi) dun rcipient tronconique ouvert son extrmit suprieure et rempli de mercure: i> lorsque le rcipient est pose sur un support

horizontal, ii) lorsquil est suspendu par le haut.

Y& = 133.42 [kN/m3] .

Ex. ST.21 Les accumulateurs avions ont souvent lair sous pression

olopneumatiques employes dans les systmes hydrauliques des la forme dun cylindre et dun piston o se trouvent dune part

Pl et dautre part le liquide refoul par une pompe. Lors du remplissage de laccumulateur, le piston SC dplace vers la gauche sous laction dc la pression du liquide et emmagasine une rserve dnergie en comprimant le

volume dair V- t. Au cours de la dcharge de laccumulateur, lair se dtend et lnergie est dlivre au consommateur. Dterminer la rserve dnergie (travail) dun

accumulateur charg jusqu la pression p1 = 1.5 107 [Pal dans le cas o sa dcharge irait jusqu la

pression p2 = 0.75 107 [Pal correspondant A un volume

dair y2 = 3 10w3 [m3].

On admet que: - la compression ct la dtente de lair sont

isothermiques (pF= Cte), - les volumes dair sont proportionnels aux

deplacements dx du piston, - le frottement du piston est ngligeable.

Ex. ST.22 Dans un rservoir. le niveau deau est rgl par la valve leste reprsente sur la figure ci-contre. Lextrmit ouverte du tuyau de 8.5 [cm] de diamtre est maintenue ferme par un contrepoids de masse W = 5 [kg]. i) Quelle est la hauteur du niveau deau au-dessus

de la valve ainsi rgle 7 ii) Jusquo doit-on dtplacer lc poids sur le bras du

levier pour maintenir le niveau deau 2.5 [m] 7

air

49

I?x. ST.23 Dtcrmincr la hauteur h du niveau deau du tube pizometriquc utilis pour mesurer la pression Iintcricur du gazomtrc ci-contre. On considre un plan dc rferencc passant par lc point A et lon tient compte dc la variation de la pression atmospherique duc a laltitude mais on admet que g ct Ics masses volumiqucs sont constantes.

Pg.z = 0.56 [kg/ml] , P,ir = 1.26 [kg/m3] ,

P Ca = 1000 [kg/m3] , z1 = 0.1 [ml , z2 = 92 [m] .

Ex. ST.24 1) La

une il ii)

iii)

2) La

vanne de la figure (a) ci-dessous commence A basculer quand leau arrive distance h = 0.65 [m] de 0: dessiner le diagramme dc pression sur la vanne, dessiner la force rsultante (des pressions) exerce par leau sur la vanne (direction et point dapplication), trouver lc poids W (applique cn mtre dc largeur.

son ccntrc de gravit) de la vanne par

vanne est en quilibre sur la figure (b) avec h = 2.5 [m]. Quel serait lc poids W dans ce cas ? a = 0.6 [ml , b = 0.4 [m] , f = 1.5 [m] .

Les multiplicateurs hydrauliques dc la figure ci- contre ont pour fonction daugmcntcr la pression p1 fournie par une pompe ou un accumulateur. La

pression p1 est amene au cylindre 1 a lintrieur duquel se dplace le cylindre creux 2. de poids W et de diamttre D. Ce dernier glisse lc long du plongeur fixe 3. de diametre d. dont Ic canal sert lcoulement du liquide haute pression pZ . Determincr la pression p2 dans les conditions suivantes:

W = 3000 [N] , D = 0.125 [m] , pl = 107 [Pal , d = 0.05

(ml. Ne pas tenir compte des forces de frottcmcnt dans Ics joints dctanchirC.

50

r- r p2

CHAPITRE 3 : CINEMktTI&UE

CHAPITRE 3 : NOTIONS DE CINEMATIQUE

A. Particule fluide, vitesse et acclkration

2. Ecoulements permanents, &oulements non permanents

2-l. Ecoulements permanents, coulements non permanents

2-2. Ecoulements permanents en moyenne

3. descriptions dun coulement

3-l. Mthode de Lagrange : Trajectoires

3-2. Mthode dEuler : lignes de courant, lignes dmission

4. Dimensionnalit et directionnalite dun coulement

5. Dtbbit, dbit massique

6. Principe de conservation de la masse, quation de continuit

6-l. Forme diffrentielle en coordonnes cartsiennes

6-2. Equation de continuit pour un tube de courant

6-3. Gnthalisation : volume de contrle, surface de contrle

7, Ecoulements potentiels plans

7-2. Ecoulement potentiel

7-2. Ecoulement plan

7-3. Ecoulements potentiels plans

52

La cinmatique est ltude du mouvement des particules fluides sans faire intervenir les forces qui entrent en jeu.

Nous ne donnerons que les dfinitions courantes sans insister sur les diverses thories qui ressortent plutt du domaine mathmatique.

1. Parkule fluide, vitesse et acd&ation Au chapitre 1, on a df%i le concept de particule fluide qui dsigne un petit lkment

de masse (trs petit par rapport a lchelle de lingnieur mais trs grand par rapport lchelle molculaire).On attribue la particule fluide une entit dans lcoulement et elle contient donc toujours le mme fluide,

Ce concept est introduit parce que les lois de la physique newtonienne reposent sur les notions de vitesse et dacclration de telles particules tiquetes.

Des variables comme la vitesse, la pression et la masse volumique peuvent dpendre . de deux types de variables indpendantes :

1 / la position considre dans le champ dcoulement, gnralement tridimensionnel; 2/ le temps auquel sont observes leurs valeurs. Dans le cas le plus gnral, une variable dcoulement peut ainsi dpendre de 4

variables indpendantes (3 spatiales + 1 temporelle). Ds lors les drives doivent tre exprimes en termes de drives partielles.

1-I. La vitesse et Iwcl~ration

La vitesse dune particule est le taux de variation temporelle du vecteur position *(t) de la particule (figure 3-l).

-+ ;&

dt (3-U

Rappelons que ce vecteur vitesse peut dpendre de 4 variables : 3 variables de position et 1 variable temporelle t.

Lacclration dune particule est le taux de variation temporelle du vecteur vitesse

? de la particule. +

y-de

--z (3-2)

Un changement de la grandeur ou de la direction du vecteur vitesse cause une acclration.

53

Position de la particule t+6t

sition de la particule t

0

T(t + Si-Z(t) ~=lirn a

&+0

Figure 3-l : Vitesse dune particule

l-2. Systhes daxes Tout vecteur peut tre dfini par ses composantes dans un systme de coordonnes.

Ces composantes diflrent selon le systme choisi. Elles sont des scalaires et leurs valeurs sont spcifies par les vecteurs unitaires associs aux axes du systme.

Puisque le vecteur vitesse peut dpendre de 4 variables, il en est de mme pour chacune de ses composantes.

Dans un systme de coordonnes cartsiennes, chaque vecteur unitaire conserve la mme direction; ce qui nest pas le cas en coordonnes cylindriques, sphriques ou naturelles o les vecteurs unitaires changent de direction avec la position (figures 3-2).

Ainsi, toute derive spatiale de la vitesse doit aussi bien considrer le changement de direction des vecteurs unitaires que le changement de grandeurs de ses composantes.

Figure 3-2 (a) : Coordonn&es naturelles

54

Figure 3-2 (b) : Coordonnes cylindriques

Figure 3-2 (c) : Coordonnkes sphriques

2. Ecoulements permanents, coulements non permanents

2-l. Ecoulements permanents Un coulement est permanent lorsque le champ de vitesse ne dpend pas du temps,

cest dire la vitesse de la particule qui se trouve en un point donn reste la mme des instants difFrents. Il sen suit en gnral que les autres variables de lcoulement sont indpendantes du temps.

55

Dans un coulement permanent, la drive partielle --$ de toute variable de

koulement est nulle. Un coulement non permanent est un coulement qui nest pas permanent.

2-2. Ecoulements permanents en moyenne En gnral, les composantes u, v, w ainsi que la pression p en un point M dpendent

du temps. Mais trs souvent ces quantits restent constantes en moyenne, cest dire quil est possible de trouver un intervalle de temps T tel que les quantits moyennes :

- 1 +T =- udt

T f

-= $jt w T f

restent indpendantes de linstant initial t choisi.

3. Descriptions dun coulement On peut employer deux mthodes pour dcrire un coulement :

- la mthode de Lagrange - la methode dEuler.

3-l Description lagrangienne : trajectoire Elle consiste individualiser une particule dtermine du fluide et la suivre dans son

mouvement. Soient a, b, c les coordonnes dune particule A linstant to ; linstant t , cette

particule prend la position M dfinie par ses coordo.nnes x, y, z en fonction de a, b, c et t : x = f (a, b, c, t) y = g (a, b, c, t> (3-3) z = h (a, b, c, t) Cette description du mouvement est dite description lagrangienne et les variables x, y,

z sont les variables de Lagrange. Le lieu gomtrique des positions successives dune particule sappelle sa trajectoire.

Les quations param&riques (en t) de la trajectoire sont donc donnes par les relations (3-3) On neut en dduire la vitesse de cette particule tout instant t A

a!x d u(a,b,c,t)=-=-f

dt 6l

v(a,b,c,t)=$=-$g

dz d w(a,b,c,t)=z=2h

Si lcoulementkt nk permanent, les particules qui passent par un mme point des instants di@rents peuvent avoir des trajectoires diffrentes (figure 3-4). Si lcoulement est permanent, toutes les trajectoires des particules qui passent par un mme point se confondent.

En pratique, lobservation dune trajectoire peut se fkire par injection locale dune petite quantit de traceur dans le fluide.

La description lagrangienne nest pas trs adapte la mcanique des tluides parce que les particules fluides ne conservent pas longtemps leur individualit en raison de la dif%sion molculaire. On utilise plutt la mthode dEuler.

56

,------

Figure 3-3 : Description lagrangienne du mouvement

Figure 3-4 : Trajectoires des particules 1 , 2 et 3

cl 1 est pass en P au temps ti

0 2 1, t2

cl 3 II I, t3

Si lcoulement est permanent, les 3 trajectoires sont confondues.

3-2. Description Eulrienne, lignes de courant Elie consiste considrer un point fixe M de lespace et tudier, en fonction du

temps, ce qui se passe en ce point. Nous dterminerons ainsi, en fonction du temps, la vitesse V de la particule qui se

trouve en ce point M de coordonnes x, y, z. Nous aurons alors les composantes de la vitesse en chaque instant t :

u = F(x, y, z, t> v= G(x, Y, z, t) (3-5) w= wx, Y, z, t> Les variables u, v, w sont appeles variables dEuler.

57

On appelle ligne de courant une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse en ce point. Ce qui se traduit mathmatiquement par :

LA: OU

C&A v = 0 (3-6) ou di dy dz -=-=- 24 v w

Les quations des lignes de courant sobtiennent donc par intgration des quations ci- dessus.

Dans le cas le plus gnral dun mouvement non permanent, la forme des lignes de courant change avec le temps.

On appelle surface de courant lWinit (faisceau) de lignes de courant qui sappuient sur une courbe donne C. La vitesse en un point quelconque de cette surface est videmment situe, linstant considr, dans le plan tangent.

Lorsque la courbe C est une courbe ferriree, la surfke devient un tube de courant. Si le tube de courant est de section infiniment petite, on lappelle un filet de courant. On peut obtenir approximativement le trac des lignes de courant par technique

photographique. Pour ce faire, on disperse dans un liquide transparent de petites particules dun corps solide tranger de densit voisine celle du fluide et on photographie lcoulement avec un temps de pose trs court t. Sur le cliche, chaque particule opaque va tre reprsente par un petit trait qui indique la direction de la vitesse au point o elle se trouve. Ds lors on peut tracer des lignes tangentes ces traits cest dire les lignes de courant.

3-3. Lignes dbmission Une ligne dmission est limage instantane des positions de toutes les particules qui

sont passes par un mme point (point dmission) depuis un temps initial to, En pratique, linjection locale et continue dun traceur, partir dun instant donne,

permet de visualiser la ligne dmission chaque instant. Dans un coulement non permanent, la ligne dmission issue dun point donn change

de forme avec le temps. Dans un coulement permanent, trajectoire, ligne de courant et ligne dmission se

confondent et ne changent pas dans le temps.

4. DimensionnaKt et directionnalit dun coulement A cause de la nature vectorielle de la vitesse, il faut faire la distinction entre la

dimensionnalit et la directionnalit dun coulement : 11 La dimensionnalit est le nombre de coordonnes spatiales indpendantes

ncessaires pour dcrire les variables de lcoulement. Si ces variables ne changent que dans une direction x, lcoulement est

unidimensionnel suivant cette direction x. Si elles changent suivant deux directions du systme daxes, lcoulement est bi-

dimensionne1 suivant ces deus axes. 2/ La directionnalit est le nombre de composantes requises pour exprimer le vecteur

vitesse dans le systme daxes choisi. Si la vitesse a une seule composante non nulle, on dit que lcoulement est

unidirectionnel. Si la vitesse a deux composantes non nulles, on dit que lcoulement est bidirectionnel.

58

Il y aura donc avantage procder un choix judicieux du systme de coordonnes pour dcrire un coulement. Le meilleur choix est celui qui minimise la dimensionnalit et la directionnalit de lcoulement.

5. Dbit, debit massique Le dbit est le volume de fluide qui traverse une section donne par unit de temps. Considrons un lement de surface dS travers par le fluide et normal la direction de

la vitesse (figure 3-5). Dans un intervalle d.e temps dt, la quantit de fluide passe travers dS est contenue

dans un cylindre de longueur Vdt et de base dS. Son volume vaut alors : dv=VdtdS Le dbit traversant la surface lmentaire dS est donc gal

dQ=$=VdS

Si la vitesse fait un angle 8 avec le vecteur unitaire n normal la stice dS, la dbit qui traverse est videmment moindre (figure 3-6) .

La longueur du cylindre voqu nest plus que Vdtcose et le dbit devient : dQ = V cose dS

Nous reconnaissons en V~OS~ la projection de G sur la direction de G :

v Cos@= ix

dQ= i%dS

Le dbit massique ou dbit en masse dm est la quantit de masse qui traverse dS par unit de temps :

dm = pdQ = p?;dS A travers une section de grandeur finie S, le dbit sobtient par intgration de vitesse.

Q= jdQ= j?.;dS P-8) S

&y 1 dkt= p;.;dS (3-9) S S

Pour les liquides, p est constante dans lintgrale de la relation (3-9) et on peut crire :

m=pQ

Si la vitesse a une orientation constante en tout point dune section droite, Iexpression gnrale (3-9) devient

Q= jVdS (3-l 1) S

ou encore Q=SU en introduisant le concept de vitesse moyenne U dfinie par :

U=i jVdS (3-12) S

Lexpression (3-l 1) est utilise pour jauger les cours deau en explorant le champ de vitesse V dans la section S laide dun moulinet par exemple. Lintgration doit videmment tre faite numriquement ou graphiquement puisquon ne peut effectuer quun nombre limit de mesures de vitesse.

59

dS

dQ=$=VdS

Figure 3-5 : Expression du dbit dans le cas o dS est normale G

dS

_- ..

4.

/ \

V CO& dt

Figure 3-6 : Expression du dbit dans le cas o dS fait un angle 0 avec if

6. Principe de conservation de la masse, quation de continuit Lquation de continuit doit traduire le principe de la conservation de la masse qui

snonce ainsi : Laugmentation de masse, pendant un certain temps, du fluide contenu dans un

volume donn, doit tre gale la somme des masses de fluide qui entrent moins la somme des masses de fluides qui sortent.

60

6-1, Femme diff&entielle en coordonnbes carthiennes La forme diffrentielle de lquation de continuit, dans le cas le plus gnral, est la

suivante :

qv est un dbit par unit de volume des sources ou des puits. Nous pouvons tablir la relation (3- 13) de la manire suivante. La variation, pendant le temps dt, de la masse pdxdydz contenue dans le volume

kmentaire parall6lpipdique de la figure 3-7 est donne par :

-$ (pixdydz)dt = dnfydzdt

Cette variation de masse est par ailleurs gale la somme : l/ des masses qui passent par les six faces :

* sur les 2 faces perpendiculaires x pudydzdt entre.

pu + 3(P) x-dx dydzdt 1

sort

* sur les 2 faces perpendiculakes y pdxdzdt entre

[pv+~dyjdxdzdt sort

* sur les 2 faces perpendiculaires z pwdydxdt entre

pV+qp) ---g-dz dydxdt 1 sort do le bilan (ce qui entre - ce qui sort) :

2/ des masses de fluide fournies pendant dt par les sources ou par unit de volume, situs lintrieur du parallk!pipde, soit

les puits, de dbit qv

On aura donc

4J adxdydzdt = - ~(Pu) + + d(pw) 7 - - a az 1

dxdydzdt + (~pqv)dx&kdt

et en shnplihnt par dxdydzdt on trouve lexpression (3-13). On appelle coulement conservatif un coulement o il ny a pas de sources ni de

puits; donc xq, = 0

( P w f ap;w dz ) dxdydt

?

pvdxdzdt I l I

pudydzdt

/

(PV + y dy ) dxdzdt

pwdxdydt

Figure 3-7 : Masses de fluide qui passent par les six faces dun pamlllpipde rectangle infinitsimal pendant un intervalle de temps dt.

62

Si lcoulement conservatif est permanent, z = 0 et on aura :

Pour les fluides incompressibles en coulement conservatifpermanent, p = Cte et on a

4f+e+ay=, a@&

ou (3-14)

div(i;) = 0

6-2. Equation de continuit pour un tube de courant : Considrons le tube de courant de la figure 3-8 et crivons le principe de la

conservation de la masse pour le volume entre les sections SI et S2 pour un fluide incompressible en coulement permanent ;

masse qui entre par Si = pUlS1 masse qui sort par S2 = pU2S2 do

U~S1U2S2 (3-15) o U1 et U2 sont des vitesses moyennes aux sections S1 et S2

Figure 3-8 : Equation de continuit pour un tube de courant : le fluide ne traverse pas c

6-3. Gnralisation Dans le paragraphe O-l, on a pris un volume parailelpipdique i&nitsimal pour

crire le principe de la conservation de la masse et dans le 6-2 un autre volume dlimit par S 1, S2 et les lignes de courant.

Le volume ainsi considr est appel volume de contrle V, par beaucoup dauteurs. La surfae ferme qui le dlimite est appele surfce de contrle.

Le volume de contrle peut tre fixe ou mobile, dformable ou indformable, fini ou infiniment petit. Son choix est donc arbitraire mais il doit se faire judicieusement en fonction des variables du problme et pour simplifier la formulation mathmatique.

63

o le signe moins oriente la vitesse dans le sens des potentiels dcroissants. Cest le cas des coulements en milieu poreux homogne et isotrope o le potentiel CD

est la charge hydraulique (au coefficient K prs) qui se rsume deux termes seulement car le

Y terme dnergie cintique - 2g

est ngligeable (voir chapitre 4) :

@=KHz z+J-- * 4 1 PS

(3-18)

o K est la permabilit du milieu qui a la dimension dune vitesse. Il est quivalent de dire que lcoulement est irrotationnel cest dire que le vecteur

rotation instantan de la particule fluide rot v ( au coeflcient % prs) dont les composantes en coordonnes cartsiennes sont donnes par lquation (2- 19) est nulle

f I d 5 a .z

Lexpression gnrale de lquation de continuit pour un coulement conservatif est la suivante :

;j& pdz+ II, p&idS=O (3-16) 0 e

o q, est la vitesse relative du fluide par rapport llment dS de la surface de

contrle S, dont n est la normale extrieure.

Si dS a une vitesse G et le fluide une vitesse absolue : , par composition des vitesses :

+y:-;

Le premier terme de lquation (3-16) est la variation de la masse contenue dans b volume Vc pendant Iunitk de temps.

Si le volume Vc est indformable (ne dpend pas de t); le fluide incompressible et Ecoulement permanent, ce terme est nul.

Lintgrale de surface est le dbit massique qui sort moins le dbit massique qui entre car sur chaque lment dS, le produit scalaire

J? .n)O si le fluide sort

p:.G{O si le fluide entre.

7. Ecoulements potentiels plans

7-1 Ecoulement potentiel. Il existe une grande classe dcoulement o la vitesse drive dun potentiel CD ; cest

dire :

xwv=-g&b (3-17)

Physiquement, cette rotation est provoque par les tensions de cisaillement.

64

Lquation de continuit pour un fluide incompressible div Y; () pourra alors tre ombinke avec la relation (2-l 7) pour donner :

La divergence du gradient donne le laplacien qui est not VQ et qui sexprime en coordonnes cartsiennes de la faon suivante : 1

(3-20)

On dit alors que le potentiel (b est une fonction harmonique car elle vrifie lquation (2-20) qui est lquation de Laplace.

Les surfaces Q = constante sont appeles surfaces quipotentielles. Le vecteur vitesse

sur un point de cette surface est normale la surface car p .is = d0 = 0 o 28 est un vecteur lmentaire de celle-ci.

7-2. Ecoulement plan On entend par coulement plan un coulement o le vecteur vitesse et les lignes de

courant sont tous contenus dans des pkans paraliles. La premire possibilit concerne les

champs de vitesse de la forme p[ &~,y), Y(x,~), W = 0] dans un repre cartsien. Dans les

coordonnes cylindriques, ils sont de la forme p[ Ur(r,8),JT,(r, 19), W = 01.

11 existe une autre classe dcoulements qui a les mmes proprits que les coulements plans avec une lgre dBrence. Ce sont les coulements de rvolution ou coulements axisymtriques. Le vecteur vitesse et les ligues de courant sont dans des plans qui se dduisent les uns des autres par une rotation autour dun axe z. Ils sont de la forme

~[u,(r,z),T/,(r,.z),W = 0] dans un repre cylindrique.

Dans tous les cas, lquation de continuit pour un fluide incompressible ou la condition de divergence nulle est quivalente :

3&&;t; (3-2 1)

car div rit -=O. ( 1

Le vecteur 0 qui est dfini une constante additive prs C*>G! A) a une seule

composante non nulle pour les coulements plans et de rvolution :

;[o,o,Y] o Y est une fonction soit de x,y,t ; soit de r,C),t pour les coulements plans et r,z,t

pour les coulements de rvolution. On peut donc crire pur les coulements plans en coordonnes cartsiennes :

u=- a

65

La fonction Y est invariante le long dune ligne de courant do son nom fonction de courant. En effet si lon considre deux points M M voisius et situs sur une mme ligne de courant ; la variation de Y est donne par :

bY=~&+~sy=LGy-v*

avec ~~=&=[h%O] Comme M et M sont sur la mme ligne de courant, on aura :

f% 4Y --- U-V

do w=o

Le dbit par unit de largeur q qui passe entre les deux lignes de courant y, et

y, (figure 3-9) est donn par la relation (2-22) :

En effet :

Donc :

.

Figure 3-9 : Calcul du dbit q entre deux lignes de courant.

7-3 Ecoulements potentiels plans La fonction de courant est alors harmonique car on aura les quations de Cauchy :

a?m

u=c7,=c

Il sen suit que le laplacien de la fonction de courant est nul :

Pour les coulements potentiels plans, il est quivalent de donner soit le champs de

vitesse p, soit le potentiel @ ou son quation diffrentiel avec les conditions limites, soit la fonction de courant Y ou son quation diffrentiel avec les conditions limites.

Les ligues de courant Y==constante et les ligues quipotentielles @=constante sont orthogonales. En effet, la ligne de courant Y=coustaate est tangente au vecteur vitesse

qui est perpendiculaire la ligne @=cunstante car y = - &>d CD.

On peut donc tracer ce rseau de lignes pour des ecoulements potentiels plans et choisir les sauts A@ et AY de faon avoir des carreaux curvilignes. Pour cela, il suffit de prendre A@=AY. En effet considrons le rseau de la figure (3-10) :

on a : q=AY=VAs A@

or V=- A?l

A@ donc AY=----As

An si A@=AY alors An=As Donc les deux cots du carreau sont gaux.

Les dimensions des carreaux varient en raison inverse de la vitesse car As=% .

j. Y+A'F \

,.>' ,I

/-----

:

Figure 3-10 : Proprit du rseau des lignes quipotentielles et des lignes de courant.

67

Le trac de ces rseaux (figure 3-l 1) se fait par analogie lectrique en utilisant le papier Tldehos ou par des techniques de construction particulires (mthode de Prasil, etc.),

Si on numrote les quipotentiels dcroissants de 0 y1@ et les lignes de courant de 0

y2v , le dbit de fuite se calcule alors simplement :

q=nY AY car on a nY tubes de mme dbit AY

q=n, AQ car A@=AY

@o-Q,* 4=ny car les ACD sont gaux. na

Donc la formule de dbit de fuite est :

pi (3-23)

Les fonctions cf, et Y et leurs proprits permettent de construire galement le potentiel complexe, la vitesse complexe et utiliser la thorie des fonctions complexes, les transformations conformes, les transformations hodographiques, la thorie des images et la superposition. Ces mthodes ne seront pas abordes dans ce cours mais elles constituent des outils puissants permettant danalyser des cas complexes dcoulements potentiels plans.

Figure 3-11 : Dbit de fuite dans un massifporeux (barrage).

1 ANNEXE CHAPITRE 3 1

Vitesse et acclration

dans les repres orthonorms courants.

1 Repre maQik gnral

: ,, :

/ LT , /(J

/ /

- Repre fxe E Repre mobile F

expression gnrale de la drive dun vecteur

est le vecteur rotation instantane du repre G par rapport au repre E

est la drive du vecteur L4 par rapport au repre F

applications

Tl T2 T3 T4

70

Tl vitesse absolue du point M T2 vitesse relative du point M T3 vitesse du point B li au repre mobile T4 vitesse angulaire du point M li au repre mobile (T3+T4=vitesse dentranement du point

W

Tl T2 T3 T4 TS Th

Tl acclration absolue du point M T2 acclration relative du point M T3 acclration dinertie du point B li au repre mobile T4 acclration angulaire du point M li au repre mobile T5 acclration centripte du point M li au repre mobile (T3+T4+TS=acclration dentranement) T6 acclration de Corriolis du point M

2 Coofdonnes cartsien ries

3 Coordonnes cylindriques

x = r COS~ y = r sin0

d@ dr d8 -+~------- r dt? dt dt

71

4 Coordonnes intrinsques

si

1 -- R-

1 -=- T

si F(x,y,z)=O et G(x,y,z)=O on pose x=f(t) et on se ramne au cas prcdent.

expressions de la vitesse et de lacclration

a torsian et R le rayon de courbure

72

formules de Frenet-Serret

d; 1 --.-.- ds -Rn

+

5 CoordonnBes sphriques

x = r cosq sine y = r sintp sin0

73

expression des oprateurs courants

1 coordonnes cartsiennes (x,y,z)

l----- -~- - %l .F-

rOt A

--

i .i i? d d d 5 z - dZ A. A,. Az

d@ + a@ d24b &Y cy2 + dz

2 Coordonnes cylindriques (r,e,r)

-+ -+

rot A r d dr.

- p"

-3

B o'

3 Coordonnes sphriques (r,e,q)

+ grad

+ - +

rot A

2 r s i n 8 I' s i n B

d r A , .

P r d

dfp

Problmes non rholus

Ex. CN.1 La vitesse dans la direction x de lcoulcmcni bidimensionnel dun fluide

incomprcssiblc est donnec par IJ = ,4x3 + Iiy.

i> Trouver la relation pour la vitesse, v, dans la direction y avec la condition aux limites: y = 0, v = 0.

ii) L&oulcmcnt est-il irrotationncl 7

Ex. CN.2 L&qualion dune famiile de lignes de courant est donne par Y = 2xy.

i> Trouver ltquation dc la fonction potenticllc des vitesses 0 =f(x,y). ii) Dcssincr quclqucs lignes pour Ltcoulcmcnt est-il rotationnrl ? ii) La conlinuit est-clic satisfaite 7 iii) Application lbcoulemcnt plan suivant: les frontires passent par P(2, -1) et

R(1, -4). les coordonnes tant donnes en mbtres. La vitesse dans la direction n au point R est u = - 10 [m/scc]. Quel est le dbit par mEtre dpaisseur si la section du tuyau est rectangulaire 7

Ex. CN.4 Le potentiel des vitcsscs dun coulement permanent et incompressible est donn

7; la relation Q = (- a/2) ( x2 + 2y - z2) o a > 0 est une constante arbitraire. Trouver les composantes du vcctcur des vitesses.

ii) Trouver 1Cquation des lignes de courant dans le plan xz. iii) Prouver que la continuit& est satisfaite.

Ex. CN.5 LC champ des lignes dc courant dun t5coulement plan permanent est donn par la

famille de courbes y = k (w2 + b) avec a = 0.5 [l/sJ , b = 1 [m2/s] et les frontiEres par

k =Octk= 1. La composante selon x dc la vifessc est u = bV,/(ax2 + b) , avec

V o = 10 [m/s]. Calculer la vitcssc et 1acclEration convective au point P( -2, 2) et

faire un graphique.

Ex. CN.6 Les quipoienticlles dc lcoulement dun liquide sous une barribre peuvent &trc eslimCcs par des arcs de ccrclcs (rgion ARCD) et des lignes droites (rbgion EFGII).

i> Si dans la rgion A13CD lc potentiel des vitesses est donn par Q, 1 = a lnr2, o

r2 2 2 la continuit est-elle satisfaite 7 =x +y, ii) Si dans la rCgion EFGII le potentiel

des vitesses est donn 02 = bx + c o b > 0, trouver la

fonction de courant corrcspon- dantc, Y2.

iii) Un potentiel des vitcsscs

Ex. CN.7 Montrer que les conditions de Cauchy-Riemann (Qn CN.23) en coordonnes polaires (x = rcos0 et y = rsin8) scrivent:

iaa, ay --.--- ve = r 20 Jr

Soit alors, en coordonnes polaires, la fonction potcnticlic @ = - (6/2~) lnr:

9 trouver la fonction de la ligne dc courant, Y, corrcspondantc, ii) dessiner Ic rtscau des lignes de courant ct des quipotcnticllcs, iii) d&crmincr Ics composantes dc la vilcssc au point P(x = 2,~ = 3). La condition

limite tant Y =OpourO=O.

Ex. CN.8

Lquation dune famille dc lignes de courant est: Y = m A x +Y

i> Quelle est lquation de la famille des quipotenticlles, 0 ? ii) Montrer quen tout point du champ la vitesse est:

I I v = (m/r2) 03 r=m

iii) Identifier le type dcoulement.

Ex. CN.9 Le potentiel des vitesses est donne par:

a = 3x2 - 3x i- 3y2 c 16t3 -t- 12zt o t = Cte.

9 Dfinir le champ de vitesse associ cette fonction. ii> LcouIement est-il irrotationnel 7 iii) La continuit du fluide incompressible est-elle satisfaite 1

Ex. CN.10 Dans un Ccoulcmcnt plan, qn associe une source, S , de dbit qv et un puits,

p . de dbit (- qv). On adoptera les

notations de la figure ci-contre:

il Dterminer la fonction de courant obtenue Par cette superposition. Montrer que les lignes de courant sont dEfinies par fi = Cte. Dterminer la fonction potentielle des vitesses. R-p ,O) Esquisser le rkseau, @ et Y.

S(+fl IO)

ii) La source tant situe au point sj(+ 43, 0) et le puits au point P(- 43, 0), trouver graphiquement par un dessin lchelle et par calcul la vitesse au

point M(O.l) avec qv = 4n [m3/s/m]. iii) Si lon fait tendre A prsent E vers zkro. de telle faon que le produit

m = (qv/2x), c.-&-d. lintensit de lcoulement. reste constant, on peut dmontrer que le potentiel 0 de lcoulement obtenu scrit:

a = m E (COS~ Pr) .

Que vaut la fonction de courant associe, Y ? Esquisser Ic rseau Q> et Y.

79

, ---

Ex. CN. 11 soit

a)

b)

9 ii)

iii)

les deux couicments plans definis par les potentiels dc vitesse suivants:

01 = -ux avec U = 1 [m/s]

Q* = -2 In 4x2 + y2 avec q = 20a [m3/s/m]

iv)

Trouver Ics fonctions de courant correspondantes Y1 et Y2 . Donner la fonction dc courant Y, obtenue par superposition des deux

6coulcmcnts. Pour ce dcrnicr Ccoulcmcnt, dktcrmincr les coordonnes du point A o Ies composantes dc la vitcssc sont nulles. Trouver lexpression pour la ligne dc courant Y, = 0.

Calculer et rcprescnter graphiquement (a lchelle) les vitesses de Iecoulcmcnt aux points M ct M dabscisse nulle sur la ligne dc courant Y s = 0. Esquisser lallure dc ccttc ligne; que reprsente-t-elle ?

Ex. CN.12 DCtcrmincr puis dcssincr le r6scau des

lignes,

6. CN