Mécanique des fluides

Guy Gauthier ing. Ph.D.

SYS-823 - Été 2013

LE BILAN MATIÈRE

Comme en comptabilité, il faut que ça balance.Rien ne se perd, rien ne se créé…

Cours #1 - SYS-823 Page 3

Le bilan matière 

Équation de ce bilan : 

m asse d e liq u id ed an s le ré se rv o irà t t

m asse d e liqu id edan s le réserv o irà t

m asse de liq u ide en tran t d ans le rése rv o ird e t à t t

m asse d e liq u id e so rtan t d u réserv o irde t à t t

V V F dt F d tt t t i

t

t t

t

t t

dVdt

F Fi

Cours #3 - SYS-823 Page 4

Le bilan matière [2] 

Or :

Si la densité est constante :

Bilan :

dVdt

Vdd t

dVd t

dVdt

dVdt

dVdt

F Fi dVdt

F Fi

Cours #1 - SYS-823 Page 5

Équation différentielle linéaire ordinaire

Pour résoudre cette équation différentielle:

Il suffit de connaître: Les entrées : Fi(t) et F(t); Le volume initial : V(0).

dVdt

F Fi

Variable d’état

Entrées

Cours #1 - SYS-823 Page 6

Solution

La solution de cette équation différentielle est :

V F F d Vi

t

( ) ( ) ( ) 0

0

Cours #1 - SYS-823 Page 7

Exemple avec réservoir cylindrique

Pour un réservoir cylindrique : V = Ah

Si le débit de sortie est proportionnel à la racine carrée de la hauteur de liquide:

dVdt

Adhd t

F Fi

F h

Cours #1 - SYS-823 Page 8

Équation différentielle non-linéaire

L’équation différentielle à résoudre pour la hauteur est :

dhdt

FA A

hi

Variable d’état

Entrée

Paramètres

Cours #1 - SYS-823 Page 9

Solution – vidange d’un réservoir s’écoulant par gravité

La solution de cette équation est (en supposant que Fi = 0) :

dhd t A

h

dhh A

dt

dh

h Adt

h

h

t

t

o o

Cours #1 - SYS-823 Page 10

Solution (2)

Donc :

Si to = 0 :

2 2

2

h hA

t t

h hA

t t

o o

o o

h t hA

to( )

2

2

Ballon-tampon de gaz(Gas surge drum)

Soit: V : volume du ballon-tampon (m3); n : quantité de gaz (moles); MW : poids moléculaire du gaz

(kg/mole); qi : débit molaire entrant (moles/s); q : débit molaire sortant (moles/s);

Ballon-tampon de gaz

La masse s’accumulant dans le ballon est:

Si poids moléculaire constant:

Wi Wi W

d nMq M qM

dt

idn q qdt

Loi des gaz parfaits

La relation pression-volume est caractérisée par la loi des gaz parfaits:

Ainsi:

PV nRT

PVnRT

Loi des gaz parfaits

Donc:

La température T (en kelvins) et le volume V (en m3) sont assumés constants.

R est la constante des gaz parfaits (en J/(k.mole)).

8.314472 J/(k.mole).

i

d PV RTdn V dP q qdt dt RT dt

Bilan

Finalement:

Le stockage de gaz dans un réservoir change la pression.

idP RT q qdt V

Exemple:

Réservoir de 5 m3, Température de 300 kelvins, Pression initiale du réservoir de 101300 Pa.

Débit entrant de 100 moles/min; Pression en aval de 101300 Pa; coefficient d’écoulement de 0.035 mole/(Pa.min).

Exemple:

n = 203.06 moles, quantité initiale de gaz – évalué à partir de la loi des gaz parfaits.

Puis:

i

i av

dP RT q qdt V

RT q P PV

PVnRT

Exemple:

Avec les valeurs numériques:

6

498.87 0.035 101300

498.87 17.460 1.77 10

i

i

dP q Pdt

q P

Exemple:

Simulation:

Minutes

Pasc

al

Loi de Bernoulli

Équation correspondant à cette loi:

Fluide incompressible; Fluide parfait (viscosité négligeable et

pas de pertes de charges).

2

constante2v p zg g

Exemple

Réservoir qui se vide par gravité:

Exemple

Selon Bernoulli:2 21 1 2 2

1 22 2v p v pz zg g g g

v1 = 0 m/sp1 = 1 atm. p2 = 1 atm.

Exemple

Ce qui mène à:

Donc:

Et:

22

1 22v z z hg

2 2v gh

2 2 2 2 2Q A v A gh

Exemple

Dans le réservoir:

Ce qui mène à:

Ressemble à:

2 1dhQ Adt

2

1

2A ghdhdt A

dh hdt A

Car le réservoir se vide

Exemple

Dans le réservoir:

Ce qui mène à:

Ressemble à:

2 1dhQ Adt

2

1

2A ghdhdt A

dh hdt A

Car le réservoir se vide

Bilan énergétique d’une ligne de fluide

Énergie cinétique:

Énergie potentielle:

Énergie élastique:

2 21 1 12 2c VE mv v

1z VE mgz gz

1p VE pV p

Correspond à

chaque terme

Loi de Bernoulli (fluide compressible)

Équation correspondant à cette loi:

Avec g le rapport des capacités calorifiques du fluide donné par:

2

constante2 1v p zg g

gg

p

v

CC

g 1.67 pour gaz monoatomique

1.40 pour gaz diatomique

Tableau de Cp et Cv pour divers gaz

Cp J/kg/k Cv J/kg/kAir 1005 718O2 917 653N2 1038 741Vapeur d’eau 1867 1406He 5234 3140Ne 1030 618Propane (C3H8) 1692 1507