Cours de PCSI au Lycée Gontran Damas - fabienpucci.fr

Chapitre

3

Applications

« Les mathématiciens n’étudient pas des objets

mais les relations entre ces objets. »

Henri Poincaré

U

ne civilisation constituée de groupes de personnes n’interagissant pas entreeux serait assez pauvre. Ce sont les relations entre groupes d’individus quipermettent de comparer, d’apprendre, de progresser, de transmettre, que

ce soient des relations internes à un groupe donné, ou des relations d’un groupe àun autre. Une civilisation sans relation est vouée à la stérilité et à l’immobilisme, etdonc à l’extinction.

I

l en est de même pour les ensembles mathématiques. La théorie axiomatiquedes ensembles est certes très belle en soi, mais si on n’y rajoute pas unecouche, elle est d’un intérêt assez limité pour le mathématicien recherchant

le débouché concret. Comme dans le cas d’une civilisation, il faut faire interagirles ensembles, il faut créer des relations permettant de comparer les éléments d’unensemble d’une façon ou d’une autre. Ce n’est qu’ainsi qu’on peut donner vie auxensembles.

Sommaire

I Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II Injection, Surjection et Bijection . . . . . . . . . . . . . . 6

II.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

III Images directes, Images réciproques . . . . . . . . . . . . 13

III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV.2 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

IV.3 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

Chapitre 3: Applications I. APPLICATIONS

I Applications

La notion d’application (ou fonction) entre deux ensembles E et F (non vides) estune notion clé en mathématiques. C’est l’idée d’associer, ou de faire correspondre, àchaque élément de E un élément de F .

I.1 Définitions

Une relation R est la donnée de :

— Un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E (non vide).

— Un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F (non vide).

— D’un . . . . . . . . . . G qui est une partie de E × F .

Soient x ∈ E et y ∈ F , on dira que x est en relation avec y pour R lorsque(x ; y) ∈ G et on écrira alors . . . . . . . . .Si c’est le cas, on dira que y est une image de x par R et que x est un antécédentde y par R.

Lorsque tout élément de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . par R, on dit queR est une application (ou fonction).Si c’est le cas, et si xRy, alors on écrira plutôt y = R(x).L’ensemble des applications de E vers F est noté F (E ; F ) ou encore F E.

Définition 1 (Relation)

Définir une application nécessite donc la donnée de E, de F et du graphe G, ce quirevient à définir, d’une façon ou d’une autre, un élément f(x) pour tout x ∈ E.

Pour désigner une application on utilise en général une lettre minuscule. Si f estune application de E vers F on écrit :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et le graphe de f est l’ensemble Gf ={

(x ; f(x)) / x ∈ E}

.

Diagramme sagittal : Lorsque les ensembles E et F ont très peu d’éléments, onpeut représenter une application f : E 7−→ F sous forme d’un diagramme sagittal :

×

e1e1

×

e2e2

×

e3e3

×

e4e4

×

e5e5

×

f1f1

×

f2f2

×

f3f3

×

f4f4

×

f5f5

f

E F

Gf ={

(e1 ; f3) ; (e2 ; f1) ; (e3 ; f3) ; (e4 ; f2) ; (e5 ; f5)}

F.PUCCI 2


Exemples 1 :

— L’exponentielle est une application de . . . . vers . . . . .

— Le logarithme est une application de . . . . . . . . . . . . vers . . . . .

— Soit f : R 7−→ R définie par f(x) =1x

n’est pas une application car 0 n’a

pas d’image, on dit que son ensemble de définition est Df = R∗.Par contre, la restriction de f à son ensemble de définition est une application,on la note f|Df

/ : Df 7−→ R.

Remarque : Lorsqu’une application g est une restriction d’une applicationf , on dit que f est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de g.

ATTENTION

Égalité de fonctionsDeux fonctions f et g sont égales si, et seulement si elles ont :

— le même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

— le même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

— le même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Par exemple, la fonction f : R 7−→ R définie par f(x) = x2 et la fonctiong : R 7−→ R+ définie par g(x) = x2 ne sont pas égales !

Soit E un ensemble.L’identité de E est l’application de E dans E qui à chaque élément de E associelui-même. On la note :

. . . . : E Ex . . . . . . . . . . . .

.

Définition 2 (Identité d’un ensemble)

Exemples 2 (Important) :— Soit E ⊂ F . L’injection canonique i : E → F définie par

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

— Soit E ⊂ F . La fonction caractéristique de E 1E : E 7−→ F définie par

1(x) =

. . . . . . . . . . . ,

. . . . . . . . . . . .

— La projection canonique pE : E × F 7−→ E définie par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

F.PUCCI 3


Soit f : E 7−→ F une application. On appelle ensemble image de f , noté imfou f(E), l’ensemble de toutes les images par f .

Définition 3 (Ensemble image)

C’est donc une partie de . . . . et plus précisément c’est l’ensemble des éléments deF qui ont au moins un antécédent par f dans E c.-à-d.

imf = f(E) ={

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

.

Exemples 3 :— Pour l’exemple précédent, imf = { . . . . . . . . . . . . . }.

— L’ensemble image de la fonction cosinus est . . . . . . . . . . . .

— Plus généralement, pour déterminer l’ensemble image d’une fonctionf : I 7−→ R où I est un intervalle de R, on étudie les variations de f .

— L’ensemble image de la fonction g : C 7−→ C définie par ∀z ∈ C, g(z) = z2

est g(C) = C.

I.2 Composition

Lorsque l’ensemble d’arrivée d’une application coïncide avec l’ensemble de départd’une autre application ⌊1⌋, alors il est possible « d’enchaîner » les deux, c’est lacomposition :

E F G

x f(x) g(

f(x))

Soient E, F et G trois ensembles, f : E 7−→ F et g : F 7−→ G deux applications.La composée de f par g, notée g ◦ f est l’application de E vers G définie par :∀x ∈ E, (g ◦ f)(x) =

. . . . . . . . ..

g ◦ f : E G

x (g ◦ f)(x) =. . . . . . . . .

Définition 4 (Composée de fonctions)

ATTENTION à l’ordre dans l’écriture de g ◦ f ! ! !

Remarques :— Lorsque l’on a deux applications f : E 7−→ F et g : H 7−→ G avec seulement

F ⊂ H (au lieu de F = H), alors on peut encore définir la composée et on lanote encore g ◦ f même si théoriquement on devrait plutôt écrire g|F ◦ f .

⌊1⌋. ou, du moins, l’image de l’une est incluse dans l’ensemble de départ de l’autre

F.PUCCI 4


— Lorsque f est une application d’un ensemble E vers lui-même, alors on peutcomposer f avec elle-même, et autant de fois que l’on veut.Si n est un entier strictement positif, on notera

fn = f ◦ . . . ◦ f︸︷︷︸

n fois

.

Par convention, on pose f 0 = idE .

Exemple 4 : Dans la définition des suites par récurrence, un+1 = f(un), ona un+1 = . . . . . . . .

Exercice 1 :

1. Écrire la fonction f :]1 ; +∞ [ 7−→ R définie par f(x) =1√

x − 1comme la

composée de trois fonctions usuelles.

2. Soit les fonctions définies par f(x) = (1 − x)2, g(x) = cos x et h(x) =1x

.

Déterminer les fonctions g ◦ f , f ◦ g, h ◦ h, f ◦ g ◦ h, h ◦ g ◦ f et g ◦ h ◦ f ainsique leur domaine de définition respectif.

Soient f : E 7−→ F , g : F 7−→ G et h : G 7−→ H trois applications.

— idF ◦ f = f et f ◦ idE = f . On dit que l’identité est élément neutre pourla composition.

— (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h). La composition est associative.

Théorème 1

Preuve: Il su�t d'é rire. . .

F.PUCCI 5

Chapitre 3: Applications II. INJECTION, SURJECTION ET BIJECTION

II Injection, Surjection et Bijection

indexBijection Dans cette partie nous allons dégager des propriétés éventuelles desapplications. Ces notions joueront un rôle (très) important par la suite.

II.1 Injection

Soit f : E 7−→ F une application.On dit que f est une injection (ou f est injective) lorsque tout élément del’ensemble d’arrivée a . . . . . . . . . . . un antécédent dans l’ensemble de départ.

Définition 5

La définition (5) revient à dire que pour tout élément y de F , l’équation y = f(x)a . . . . . . . . . . . une solution x dans E.

×

e1e1

×

e2e2

×

e3e3

×

e4e4

×

f1f1

×

f2f2

×

f3f3

×

f4f4

×

f5f5

f

E F

f . . . . . . . . . . . .

×

e1e1

×

e2e2

×

e3e3

×

e4e4

×

f1f1

×

f2f2

×

f4f4

×

f5f5

×

f3f3

f

E F

f . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemples 5 :— Si E est un ensemble non vide, idE est injective.

— Soit A une partie non vide de E, l’application de l’ exemple (2) ,i : A E

x xest . . . . . . . . . . . . d’où son nom d’ . . . . . . . . . . . . canonique

de A dans E.

— La fonction ln est une injection de . . . . . . . . . . . . dans . . . . de même que safonction réciproque exp qui l’est de . . . . dans . . . . . . . . . . . . .

— La fonction carrée x 7−→ x2 n’est pas une injection de R.

— Une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur un intervalle y est injective.

F.PUCCI 6


f : E 7−→ F est injective si, et seulement si

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ce qui équivaut encore par contraposition à :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Théorème 2

Preuve:

Démonstration

à faire

Soient f : E 7−→ F et g : F 7−→ G deux applications.

— Si f et g sont injectives alors . . . . . . . . est injective.

— Si g ◦ f est injective alors . . . est injective.

Théorème 3

ATTENTION Dans la deuxième assertion du théorème (3) , la fonction gn’est en rien obligée d’être injective !

Preuve: Pour l'élève assidu . . .

Exercice 2 (Important) : Soit f : E 7−→ F une application.

Montrer que f est injective si, et seulement si il existe h : F 7−→ E telle queh ◦ f = idE.

II.2 Surjection

Soit f : E 7−→ F une application.On dit que f est une surjection (ou f est surjective) lorsque tout élément del’ensemble d’arrivée a . . . . . . . . . . . . . un antécédent dans l’ensemble de départ.

Définition 6

F.PUCCI 7


La définition (6) revient à dire que pour tout élément y de F , l’équation y = f(x)a . . . . . . . . . . . . . une solution x dans E, ou encore

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

×

e1e1

×

e2e2

×

e3e3

×

e4e4

×

e5e5

×

f1f1

×

f2f2

×

f3f3

×

f4f4

f

E F

f . . . . . . . . . . . . . .

×

e1e1

×

e2e2

×

e3e3

×

e4e4

×

e5e5

×

f1f1

×

f2f2

×

f4f4

×

f5f5

×

f3f3

f

E F

f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Et d’une manière générale très importante :

f est surjective de E dans F ⇐⇒ imf = . . .

Exemples 6 (Important) :— Si E est un ensemble non vide, idE est surjective.

— f : C 7−→ C définie par f(z) = z2 est une surjection.

— f : R 7−→ U =. . . . . . . . . . . . . . . . . .

définie par f(x) = eix est une surjection.

— h : R\{1} 7−→ R définie par h(x) =2x + 1x − 1

n’est pas surjective comme toute

homographie non dégénérée.

— Si f : E 7−→ F est une application, alors f induit une surjection entre E et

. . . . . . . qui est l’application :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

— La projection pE : E × F E(x ; y) x

définie à l’ exemple (2) est surjective.

Les relèvements (antécédents) de tout élément x de E sont de la forme

. . . . . . . . . . . . .

F.PUCCI 8


Soient f : E 7−→ F et g : F 7−→ G deux applications.

— Si f et g sont surjectives alors . . . . . . . . est surjective.

— Si g ◦ f est surjective alors . . . est surjective.

Théorème 4

On fera la même remarque sur la surjectivité de f dans la seconde assertion duthéorème (4) que dans celle du théorème (3) .

Exercice 3 : Soit f : E 7−→ F une application.

Montrer que f est surjective si, et seulement si il existe h : F 7−→ E telle quef ◦ h = idF .

Remarque : Dans une structure algébrique, l’inversibilité d’un élément a se traduitpar l’existence de b tel que ab = ba = 1 (ou 1 est le neutre multiplicatif de lastructure).

Si on a seulement l’existence de b tel que ab = 1, on parle d’inversibilité à droite dea, et de même, d’inversibilité à gauche si ba = 1.

Pour une fonction f : E 7−→ F , l’ exercice (2) et l’ exercice (3) montrent queles propriétés d’injectivité, surjectivité et bijectivité peuvent être vues comme despropriétés d’inversibilité à gauche, droite et bilatéral respectivement :

f est injective ⇐⇒ ∃ g ∈ F (F, E) / g ◦ f = idE ⇐⇒ f est inversible à gauche.

f est surjective ⇐⇒ ∃ g ∈ F (F, E) / f ◦ g = idF ⇐⇒ f est inversible à droite.

et si E = F ,

f est bijective ⇐⇒ ∃ g ∈ F (E, E) / f ◦ g = g ◦ f = idE ⇐⇒ f est inversible.

Exercice 4 : Soit E un ensemble non vide et f une application de E vers P(E).

En considérant la partie A ={

x ∈ E / x /∈ f(x)}

, montrer que f ne peut pas êtresurjective.

II.3 Bijection

Soient E, F deux ensembles et f : E 7−→ F une application.On dit que f est une bijection (ou application bijective) lorsque tout élémentde F a . . . . . . . . . . . . . . antécédent par f :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition 7

F.PUCCI 9


Dire que tout élément de F a un unique antécédent revient à dire que tout élémentde F a au moins un antécédent et au plus un antécédent.

Par conséquent dire que f est bijective revient à dire que f est surjective et injective.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

×

e1e1

×

e2e2

×

e3e3

×

e4e4

×

e5e5

×

f1f1

×

f2f2

×

f3f3

×

f4f4

×

f5f5

f

E F

f . . . . . . . . . . . .

×

e1e1

×

e2e2

×

e3e3

×

e4e4

×

e5e5

×

f1f1

×

f2f2

×

f4f4

×

f5f5

×

f3f3

f

E F

f . . . . . . . . . . . . . . . . . .

×

e1e1

×

e2e2

×

e3e3

×

e4e4

×

f1f1

×

f2f2

×

f4f4

×

f5f5

×

f3f3

f

E F

f

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemples 7 (Important) :— Si E est un ensemble non vide, alors idE est une bijection.

— f : . . . . . . . . . 7−→ . . . . . . . . . définie par f(x) = x2 est une bijection.

— exp : . . 7−→ . . . . . . . . . et ln : . . . . . . . . . 7−→ . . sont des bijections.

— h : R 7−→ R définie par h(x) = ex n’est pas une bijection.

— Enfin, le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions stricte-ment monotones de terminale disait simplement que toute fonction continuestrictement monotone sur un intervalle I étaient une . . . . . . . . . . . . de . . . surson image . . . . . . . .

— Si f : E 7−→ F est injective, alors f induit une bijection de E vers Imf quiest f : E 7−→ imf définie par f(x) = f(x).Cela s’applique en particulier aux fonctions strictement monotones sur unintervalle I.

F.PUCCI 10


Si f : E 7−→ F est une bijection, alors on peut considérer l’application qui vade F vers E et qui à tout élément x de F associe son unique antécédent par f ,cette application est appelée bijection réciproque de f , on la note f−1 :

f−1 : F Ex y défini par f(y) = x.

Définition 8 (Bijection réciproque)

ATTENTION La notation f−1 n’a de sens que lorsque f est bijective.

Exemples 8 :— Si E est un ensemble non vide, alors idE est une bijection et la bijection

réciproque est id−1E = idE.

— f : [0 ; +∞ [ 7−→ [0 ; +∞ définie par f(x) = x2 est une bijection dont labijection réciproque est la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

— exp est une bijection de R sur ]0 ; +∞ [ dont la bijection réciproque est lafonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soit f : E 7−→ F une bijection.

— On a f−1 ◦ f = idE et f ◦ f−1 = idF .De plus f−1 est une bijection et (f−1)−1 = f .

— Si g : F 7−→ G est une autre bijection, alors la composée g ◦ f est unebijection de E vers G, et sa bijection réciproque est :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Théorème 5

Preuve:

Démonstration

à faire

Exercice 5 (À retenir) : Soient f : E 7−→ F et g : F 7−→ E deux applicationstelles que :

f ◦ g = idF et g ◦ f = idE.

Montrer que f et g sont bijectives et réciproques l’une de l’autre.

F.PUCCI 11


Soit E un ensemble non vide.Une involution (ou une application idem-potente) de E est une application fde E vers lui-même telle que f ◦ f = idE .

Définition 9 (involution)

En conséquence, une telle application est . . . . . . . . . . . . et elle est sa propre . . . . . . . . . . . . . . . :

. . . . . . . . ..

Exemples 9 :— Dans le plan, les symétries ponctuelles et les symétries axiales, sont des in-

volutions du plan.

— La fonction f : R∗ 7−→ R∗ définie par f(x) =1x

est une involution de R∗.

— La . . . . . . . . . . . . . . . . . dans C est une involution de C.

Une bijection de E dans lui-même est appelée permutation de E.On note S (E) l’ensemble des permutations de E.Si E = {1, . . . , n}, on note Sn au lieu de S (E).L’ensemble Sn est appelé nième

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition 10 (Groupe symétrique)

F.PUCCI 12

Chapitre 3: Applications III. IMAGES DIRECTES, IMAGES RÉCIPROQUES

III Images directes, Images réciproques

III.1 Définition

Ces définitions ont déjà été vues dans le chapitre précédent. On en donne une défi-nition succinte.

Soit f : E 7−→ F une application.

Image directe : Soit A une partie de E.

f(A) ={

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

⊂ . . .

Image réciproque : Soit B une partie de F .

f−1(B) ={

. . . . . . . . . . . . . . . . . .}

⊂ . . .

Définition 11

ATTENTION La notation f−1(B) ne suppose pas que f est bijective. Maislorsque f est effectivement bijective, on peut vérifier que l’image réciproque de Bpar f correspond à l’image directe de B par f−1.

Exemples 10 :

— On a f(E) = . . . . . et f−1(F ) = . . .

— Soit f la fonction sin, on a f(

[0 ; π [)

= . . . . . . et

f−1(

[0 ; 1 ])

=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Exercice 6 : Soit f : R 7−→ R définie par f(x) = x2. Déterminer les imagesdirecte et réciproque des parties suivantes :

1. A = R.

2. B = [−2 ; 0 ].

3. C = [−1 ; 4 ].

4. D =] − 4 ; −2 [∪[1 ; 3 ].

Soit f : E 7−→ F une application.Pour tout y de F , les ensembles f−1

(

{y})

sont deux à deux disjoints et⋃

y∈F

f−1(

{y})

= E.

Proposition 1

F.PUCCI 13


Preuve: Dé oule de la dé�nition d'une appli ation.

En particulier, si f est . . . . . . . . . . . . . . , la famille

(

f−1(

{y}))

y∈F

forme une . . . . . . . . . . . . .

de E.

III.2 Propriétés

On résume ici des propriétés déjà rencontrées dans des exercices antérieurs.

Soit f : E 7−→ F une application. Pour toute parties A et B de E, on a :

1. A ⊂ B =⇒ f(A) . . f(B).

2. f(A ∪ B) . .f(A) ∪ f(B).

3. f(A ∩ B) . . f(A) ∩ f(B).

4. A . . f−1(

f(A))

.

Théorème 6 (Stabilité par image directe)

Preuve:

Démonstration

à faire

Exercice 7 : Montrer que les assertions (2) et (3) du théorème (6) se généra-lisent à une famille quelconques de parties de E.

Exercice 8 : Montrer que l’inclusion (3) du théorème (6) est une égalité si,et seulement si f est injective.

Exercice 9 : Soit f une application sur un ensemble E.

1. Montrer que f est injective si, et seulement si pour toute partie A de E,f(

∁EA)

⊂ ∁Ef(A).

2. Montrer que f est surjective si, et seulement si pour toute partie A de E,∁Ef(A) ⊂ f

(

∁EA)

.

3. Cas d’égalité ?

Exercice 10 :1. Soient f : E 7−→ F et g : F 7−→ G deux applications.

(a) A une partie de E. Montrer que (g ◦ f)(A) = g(

f(A))

.

(b) Soit B une partie de G, montrer que (g ◦ f)−1(B) = f−1(

g−1(B))

.

F.PUCCI 14


2. Montrer que f : E 7−→ F est injective si, et seulement si pour tout partie Ade E on a :

f−1(

f(A))

= A.

Soit f : E 7−→ F une application. Pour toute parties A et B de F , on a :

1. A ⊂ B =⇒ f−1(A) . . f−1(B).

2. f−1(A ∪ B) . . f−1(A) ∪ f−1(B).

3. f−1(A ∩ B) . . f−1(A) ∩ f−1(B).

Théorème 7 (Stabilité par image réciproque)

Preuve:

Démonstration

à faire

F.PUCCI 15

Chapitre 3: Applications IV. RELATIONS BINAIRES

IV Relations binaires

Nous revenons dans cette partie à la notion générale de relation définie en début dechapitre. On s’intéresse plus particulièrement aux relations d’un ensemble E danslui-même.

IV.1 Définitions

Soit R une relation d’un ensemble E vers lui-même, on dit que R est :

— . . . . . . . . . . . . . lorsque tout élément est en relation avec lui-même : ∀x ∈ E,

. . . . . . . . .

— . . . . . . . . . . . . . . . . lorsque : ∀x, y ∈ E, si xRy alors . . . . . . . . . (le graphe deR est symétrique).

— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lorsque : ∀x, y ∈ E, si xRy et yRx alors . . . . . . . . .. ⌊2⌋

— . . . . . . . . . . . . . . lorsque : ∀x, y, z ∈ E, si xRy et yRz alors . . . . . . . . .

Définition 12

Exemples 11 :— Dans R, la relation R définie par : ∀x, y ∈ R, xRy ⇐⇒ x 6 y, est une

relation . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . .

— Dans Z, la relation S définie par : ∀x, y ∈ Z, xS y ⇐⇒ x−y ∈ 2Z, est unerelation . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . . C’est l’équivalencemodulo 2.

— Soit E un ensemble, la relation T définie dans P(E) par : ∀A, B ∈ P(E),AT B ⇐⇒ AcB est . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . .

Les relations d’égalité, de parallélismes, d’équivalence, de colinéarité de vecteursnon nuls sont toutes des relations . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . . .dans leur ensemble respectif. Elle définissent une classe bien plus large : les relations

d’équivalence.

⌊2⌋. On remarquera qu’il ne s’agit pas de la négation de « symétrique ».

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IV.2 Relation d’équivalence

Soit E un ensemble et R une relation de E dans E.On dit que R est une relation d’équivalence lorsqu’elle est . . . . . . . . . . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . .Si c’est le cas, alors pour tout élément a de E, on appelle classe de a l’ensembledes x ∈ E en relation avec a :

a = C l(a) = {x ∈ E / xRa}.

Définition 13

a est appelé le représentant de la classe a.

On note E/R l’ensemble des classes d’équivalence de E sous la relation R.

Exemples 12 :— L’égalité dans un ensemble . . . . . une relation d’équivalence.

— Soit n ∈ Z, la relation définie dans Z, par ∀x, y ∈ Z, xRy ⇐⇒ x − y ∈ nZ,

. . . . . une relation d’équivalence.Cette relation est appelée la congruence modulo n dans Z, et on note∀x, y ∈ Z, x ≡ y [n] ⇐⇒ ∃ k ∈ Z, x − y = kn.On note Z/nZ l’ensemble des classes d’équivalence modulo n.Pour n = 2, l’ensemble des classes pour la relation ≡ possède deux éléments :0 et 1, les nombres pairs et les nombres impairs.

— Dans Q, la relation = définie par ∀a

b,

c

d∈ Q,

a

b=

c

d⇐⇒ ad − bc = 0 . . . . .

une relation d’équivalence dont les représentants des (nombreuses) classessont les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si R est une relation d’équivalence dans E, alors :

— ∀a, b ∈ E, C l(a) = C l(b) ⇐⇒ . . . . ..

— Les classes d’équivalence forment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Théorème 8 (Fondamental)

La seconde assertion du théorème précédent signifie que :

— Les classes d’équivalence sont des parties de E non vides et deux à deuxdisjointes.

— La réunion des classes d’équivalence est égale à E.

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Preuve:

Démonstration

à faire

Exemple 13 : Pour la relation de congruence modulo 5 dans Z, soit n ∈ Z, on aC l(n) = {n + 5k / k ∈ Z}.

Il y a cinq classes d’équivalence qui sont 0, 1, 2, 3 et 4

IV.3 Relation d’ordre

Soit E un ensemble et R une relation de E dans E.On dit que R est une relation d’ordre lorsqu’elle est . . . . . . . . . . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . .Lorsque c’est le cas, on dit que (E, R) est un ensemble . . . . . . . . . . . . .Deux éléments x et y de E sont dits comparables pour l’ordre R lorsque l’on axRy ou bien yRx.Lorsque tous les éléments de E sont comparables deux à deux, on dit que l’ordreR est . . . . . . . et que (E, R) est un ensemble totalement ordonné, partiel dansl’autre cas.

Définition 14

Une relation d’ordre est en général notée 6 c.-à-d. que xRy est plutôt noté x 6 y,de la même manière que l’on choisit, en général des symboles qui ressemblent ausigne « = » pour les relations d’équivalence.

Exemples 14 :— L’ordre naturel sur les réels est une relation d’ordre total.

— Soit E un ensemble, (P(E), ⊂) est un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . or-donné ⌊3⌋

— Soit I un ensemble non vide, on pose E = F (I,R) l’ensemble des fonctionsdéfinies sur I et à valeurs réelles.On définit dans E la relation R : pour f, g ∈ E,fRg ⇐⇒ ∀x ∈ I, f(x) 6 g(x).On vérifie que R est une relation d’ordre . . . . . . . . .

⌊4⌋ appelée ordre fonc-tionnel et notée 6.

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— Pour (x ; y) , (x′ ; y′) (x′, y′) ∈ R2, on pose :

(x ; y)R (x′ ; y′) ⇐⇒

x < x′

oux = x′ et y 6 y′

On vérifie que R est une relation d’ordre total sur R2 appelée ordre lexico-graphique.

ATTENTION

On prendra garde au fait que lorsque l’ordre est . . . . . . . . . . , la négation dex 6 y est :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 11 : La relation « divise » est-elle une relation d’ordre sur N ? sur Z ? Sioui, est-ce une relation d’ordre total ?

Soit (E, 6) un ensemble ordonné et A une partie de E, on dit que :

— A est majorée dans E lorsque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

— A est minorée dans E lorsque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

— A est bornée dans E lorsque A est à la fois . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . .

— A admet un maximum lorsque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

— A admet un minimum lorsque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Définition 15

ATTENTION

— Une partie d’un ensemble ordonné n’est pas forcément majoré (ouminoré), par exemple N est non majoré dans R.

— Une partie majorée (ou minorée) dans un ensemble ordonné n’a pasforcément de maximum (ou minimum).Par exemple [0 ; 1 [ dans R.

Exercice 12 (Important) : Montrer que si A admet un maximum dans (E, 6),alors celui-ci est unique (même chose pour minimum).

⌊4⌋. dès que card(E) > 2.⌊4⌋. dès que card(I) > 1.

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@

Index

Imf , 4, 10

Application, 2, 3bijective, 9Composition d’, 4Graphe d’une, 2identité, 3injective, 6Prolongement, 3Restriction d’une, 3surjective, 7

Bijection, 9, 10réciproque, 11

Diagramme sagittal, 2

Ensemble, 1de définition, 3image directe, 4, 13image réciproque, 13ordonné, 18

Fonction, 2caractéristique, 3

Graphed’une relation symétrique, 16d’une application, 2

Injection, 6canonique, 3, 6

Inversibilité, 9Involution, 12

Majorant, 19Maximum, 19Minimum, 19Minorant, 19Monotone

Fonction strictement, 10

Ordrelexicographique, 19

Partition, 17

Poincarré, 1Projection

canonique, 3

Relation, 2anti-symétrique, 16binaire, 16d’équivalence, 16d’ordre, 18réflexive, 16symétrique, 16transitive, 16

Surjection, 6, 7canonique, 8

Théorèmedes valeurs intermédiaires, 10

Unicitédu maximum, 19

1

Chapitre 7: INDEX INDEX

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Documents

Cours de PCSI au Lycée Gontran Damas - fabienpucci.fr