COURS DE PHYSIQUE · 2014. 11. 15. · COURS DE PHYSIQUE TERMINALE S MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 5 L'abscisse curviligne du mobile est S, S M =M̂0M. L’abscisse angulaire

COURS DE PHYSIQUE TERMINALE S

MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 1

LLEEÇÇOONN NN°° 11 :: CCIINNEEMMAATTIIQQUUEE DDUU PPOOIINNTT MMAATTEERRIIEELL Durée : 06h Classe : T°S

INTRODUCTION La cinématique du point matériel est la physique qui étudie le mouvement du point matériel sans se préoccuper de ses causes. Elle est construite autour des « éléments cinématiques » suivants : position, trajectoire, vitesse (ou impulsion) et accélération. Outre les repérages spatial et temporel, des informations sur la façon dont est parcourue la trajectoire sont déduites. Cette leçon comporte quatre (04) paragraphes. 1. RAPPELS SUR LES GENERALITES SUR LA CINEMATIQUE 1.1. NOTION DE MOBILE Le point matériel est un objet dont les dimensions sont extrêmement petites par rapport à sa distance d’observation. Un point matériel en mouvement est appelé mobile. Dans le cours du Lycée, les solides seront assimilés à des points matériels. 1.2. NOTION DE MOUVEMENT 1.2.1. DEFINITION Un point matériel est en mouvement lorsque sa position varie dans le temps et dans l’espace. 1.2.2. RELATIVITE DU MOUVEMENT Considérons une mouche, assimilable à un point, qui reste "collée" au plafond d'une voiture qui avance sur une route rectiligne horizontale à la vitesse constante V = 20 m/s.

La trajectoire de la mouche par rapport au solide Terre est une droite. Par rapport à la Terre, le vecteur

vitesse V de la mouche est constant, sa norme a pour valeur V = 20 m/s. La trajectoire de la mouche par rapport au solide Voiture est un point immobile. Par rapport au solide

voiture la vitesse de la mouche est V' = 0 m/s puisqu'elle reste "collée" au plafond. Cet exemple montre que le mouvement est relatif et qu'il faut toujours préciser le référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile. Remarque : Si la mouche se met à voler dans la voiture son mouvement par rapport au référentiel "Terre" sera très différent de son mouvement par rapport au référentiel "voiture". 1.3. NOTION DE REFERENTIEL. 1.3.1. DEFINITION Un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. On prend souvent un solide très concret comme la Terre (référentiel du laboratoire ou référentiel terrestre). 1.3.2. REFERENTIEL TERRESTRE DU LABORATOIRE Le référentiel terrestre ou de laboratoire est un référentiel d’espace dont l’origine est un point de la terre et les trois(03) axes sont orientés vers trois (03) points fixes au voisinage de la terre. Dans les exercices de la classe de Terminale S (Exemples : pendule simple, ressort, chute d’un corps..), on utilise souvent le référentiel terrestre. 1.3.3. REFERENTIEL HELIOCENTRIQUE Le référentiel Héliocentrique (de Copernic ou de Kepler) (solide formé par les centres du soleil et de trois autres étoiles, les 4 points n'étant pas coplanaires) est utilisé pour étudier les voyages interplanétaires (Terre → Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des Planètes autour du Soleil.

Figure 1 : référentiel héliocentrique

http://perso.orange.fr/physique.chimie/1S_Physique/1_S_LEXIQUE_DE_PHYSIQUE.htm#ANCRE_Heliocentrique



1.3.4. REFERENTIEL GEOCENTRIQUE Le référentiel Géocentrique(ou de Coriolis) (solide formé par le centre de la Terre et trois étoiles ponctuelles, les 4 points n'étant pas dans un même plan) est utilisé pour étudier le mouvement des satellites terrestres. Remarque : Par analogie, on peut définir d’autres référentiels (Uranocentrique, Mercurocentrique, …) 1.3.5. REFERENTIEL GALILEEN Un référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l’inertie est vérifié. Tous les théorèmes généraux y trouvent leur justification. Cependant le référentiel Galiléen absolument parfait n’existe pas mais les référentiels ci-dessus sont considérés(ou supposés) comme étant Galiléens pour la plupart des problèmes de la vie courante étudiés en classe terminale. Remarque : Tous les référentiels en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel Galiléen sont eux-mêmes Galiléens. Exercice proposé : Dans les trois référentiels ci-dessus (Héliocentrique, Géocentrique, terrestre) lequel se rapproche le plus du référentiel Galiléen parfait ? Quelle est la trajectoire du centre de la Terre dans ces trois référentiels ? Décrire brièvement la trajectoire de Paris, assimilée à un point, dans les trois référentiels ci-dessus. 1.4. NOTION DE TRAJECTOIRE La trajectoire d’un point matériel est l’ensemble des positions occupées successivement par ce point au cours du temps. Elle dépend du référentiel choisi. Il existe plusieurs types de trajectoire :

mouvement rectiligne : la trajectoire est une droite. mouvement circulaire : la trajectoire est un arc de cercle ou un cercle. mouvement curviligne : la trajectoire est une courbe quelconque, plane ou non.

Exemples : La trajectoire est une droite la trajectoire est une courbe quelconque 2. GRANDEURS CINEMATIQUES Pour décrire le mouvement d’un mobile il faut pouvoir préciser sa position à tout instant. Nous sommes donc amenés à définir un référentiel auquel on associe un repère d’espace et une horloge permettant de mesurer le temps. 2.1. REPERES D’ESPACE ET SYSTEMES DE COORDONNEES 2.1.1. COORDONNEES CARTESIENNES

A. EN TROIS DIMENSIONS

C’est le repère ℛ (O,i , j , k ), O est l’origine du repère et les vecteurs i , j et k sont unitaires. Il est constitué de trois axes (Ox), (Oy), (Oz) orthogonales. Le triplet de réels (x, y, z) appelé les coordonnées cartésiennes

de M dans le repère ℛ (O, i , j , k ) est uniquement déterminé par la position du point M.

le réel x s'appelle l'abscisse. le réel y s'appelle l'ordonnée ou la profondeur. le réel z s'appelle la côte ou la hauteur.

Les coordonnées du point M étant celles du vecteur OM = xi + yj + zk

Figure 2 : référentiel géocentrique

http://perso.orange.fr/physique.chimie/1S_Physique/1_S_LEXIQUE_DE_PHYSIQUE.htm#ANCRE_Geocentrique



Les trois plans (Oxy), (Oxz) et (Oyz) constituent les plans de bases du repère.

La distance OM s'écrira alors: ‖OM ‖ = √x2 + y2 + z2

Démonstration : utiliser le produit scalaire OM . OM Remarque : Dans un même référentiel donné il est possible de tracer une infinité de repères orthonormés différents

ℛ (O, i , j , k ). On choisit celui qui est le mieux adapté au problème posé.

Exemple : ℛ’(O’, i ’, j ’, k ’). O′M = x’ i + y’ j + z’k , ( x’, y’, z’) ≠ (x, y, z).

B. EN DEUX DIMENSIONS C’est le repère R (O,i ,j ), O est l’origine du repère et les vecteurs i et j sont unitaires. Il est constitué de deux axes (Ox), (Oy) orthogonales. Le doublet de réels (x, y) est uniquement déterminé par la position du point M. Il s'appelle les coordonnées (cartésiennes) de M dans le repère ℛ (O,i ,j ):

Le réel x est appelé l'abscisse de M. Le réel y est appelé l'ordonnée de M.

Les coordonnées du point M étant celles du vecteur OM = x i + y j

La distance OM s'écrira alors : ‖OM ‖ = √x2 + y2

Démonstration : utiliser le produit scalaire OM . OM

C. EN UNE DIMENSION C’est le repèreℛ (O, i ), O est l’origine du repère et le vecteur i est unitaire. Il est constitué d’un axe (Ox). Le réel x, uniquement déterminé par la position du point M, est l'abscisse de M dans le repère ℛ (O, i ).

Les coordonnées du point M étant celles du vecteur OM = x i

La distance OM s'écrira alors: OM = |x|. Démonstration : utiliser le produit scalaire OM . OM 2.1.2. COORDONNEES POLAIRES Il s’agit d’un système bidimensionnel, chaque point est déterminé par les coordonnées polaires, sont la coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelée rayon) et la coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut, et souvent notée t ou θ).

Dans la base (O, u ρ,u θ) OM = ρu ρ avec u ρ = cosθe x + sinθe y. La coordonnée radiale exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). La coordonnée angulaire exprime la mesure, dans le sens trigonométrique (sens positif), de l’angle entre le point et la demi-droite d’angle 0°, appelé axe polaire (équivalent à l’axe des abscisses en coordonnées cartésiennes). Ce système est particulièrement utile dans les situations où la relation entre deux points est plus facile à exprimer en termes d’angle et de distance, voir par exemple le pendule.

RELATION ENTRE SYSTEMES POLAIRE ET CARTESIEN Les deux coordonnées polaires ρ et θ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus :

x = ρcosθ = rcosθ y = ρsinθ = rsinθ

Figure 3 : Coordonnées polaires

http://fr.wikipedia.org/wiki/Azimut

http://fr.wikipedia.org/wiki/Sens_trigonom%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Demi-droite

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9siennes

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_trigonom%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_trigonom%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Polar_to_cartesian.svg



2.1.3. COORDONNEES CYLYNDRIQUES Le système de coordonnées cylindriques est un système de coordonnées qui étend le système de coordonnées polaires à deux dimensions en y ajoutant une troisième dimension qui mesure la hauteur d'un point par rapport au plan repéré par les coordonnées polaires ; de la même manière que l'on étend le système de coordonnées cartésiennes de deux à trois dimensions. La troisième coordonnée est souvent notée h ou z.

Dans la base (O, e ρ, e θ, e z) OM = ρe ρ + ze z avec e ρ = cosθe x + sinθe y.

RELATION ENTRE SYSTEMES CYLINDRIQUE ET CARTESIEN Les trois coordonnées cylindriques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par: 2.1.4. COORDONNEES SPHERIQUES En physique, on utilise le plus souvent les coordonnées (r, θ, φ), où r désigne la distance du point au pôle, θ est l'angle depuis l'axe des z (appelé colatitude ou zénith, compris entre 0° et 180°) et φ est l'angle depuis l'axe des x (compris, comme dans les coordonnées polaires, entre 0° et 360°). Dans la base (O, e r, e θ, e 𝜑)

OM = OM e r = r e r avec e r = cosφe x + sinφe y.

RELATION ENTRE SYSTEMES SPHERIQUE ET CARTESIEN Les trois coordonnées sphériques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par :

2.1.5. REPERE DE FRENET Cette base est constituée de deux vecteurs unitaires u T et u N. Le vecteur unitaire u T est tangent à la trajectoire plane, au point M où se trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement dans le sens du mouvement). Le vecteur unitaire u N est normal à la trajectoire. Il est orienté vers l'intérieur de la courbe. En classe terminale nous limiterons l'emploi da la base de Frenet au cas des mouvements circulaires. Caractéristiques de �� T Caractéristiques de �� N Direction : tangente en M à l’arc Direction : orthogonale à u T Sens : celui du mouvement Sens : orienté vers la concavité de la trajectoire Norme : unitaire Norme : unitaire Les vecteurs unitaires normal u N et tangentiel u T constituent la base orthonormale directe, appelée base de Frenet (u N, u T).

u N s'obtient en effectuant une rotation de π

2 (quart de tour dans le sens direct) du vecteur u T.

Système de coordonnées

Figure 4 : Coordonnées cylindriques

Figure 6 : Illustration de a et V

Figure 5 : Coordonnées sphériques

x = rcosθ y = rsinθ z = h

x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ

http://fr.wikipedia.org/wiki/Physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Colatitude

http://fr.wikipedia.org/wiki/Base_orthonormale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Orientation_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Spherical_Coordinates_(Latitude,_Longitude).svg



L'abscisse curviligne du mobile est S, SM =M0M.

L’abscisse angulaire 𝜃 = (OM 0, OM ) Cas d’un cercle : S = M0M = Rθ et x2 + y2 = R2. Le trièdre de Frenet est un repère mobile puisque les éléments de ce repère changent selon le point considéré. Remarque : En physique, il ne faut pas confondre cette notion avec celle de référentiel; puisque les vecteurs de Frenet se déplacent avec le point, s'il s'agissait d'un référentiel alors le vecteur position serait le vecteur nul, et la vitesse serait également nulle. 2.2. REPERE DE TEMPS L'étude du mouvement d'un mobile nécessite non seulement le choix d'un référentiel auquel on associe un repère mais aussi le choix d'une horloge permettant de mesurer le temps. Le repère de temps est doté :

D’une origine des dates t = 0. D’une unité de mesure de temps la seconde s. D’une horloge pour mesurer la durée des événements.

2.3. NOTION DE VITESSE D'UN POINT DU SOLIDE. La donnée de la trajectoire d'un point mobile n'est pas suffisante pour connaître le mouvement d'un point mobile. Pour que l'étude soit complète, il faut connaître à chaque instant la position du point mobile, c’est à dire la vitesse. La vitesse est une grandeur physique qui caractérise la variation du vecteur position au cours du temps. Le tachymètre (ci-contre) permet de connaître la vitesse à l'instant où on le regarde, c'est-à-dire la vitesse instantanée. 2.3.1. VITESSE MOYENNE D’UN POINT Dans le référentiel terrestre, la valeur absolue de la vitesse moyenne d'un point mobile est égale au quotient de la

distance parcourue ∆l (m)par la durée du parcours ∆t(s) est : |Vmoy|=|∆l

∆t|(m/ s)

2.3.2. VITESSE INSTANTANEE D’UN POINT La vitesse peut souvent varier à chaque instant ; on définit alors la vitesse instantanée. Dans le référentiel terrestre, la vitesse instantanée v(t) d’un point mobile, à la date t, est pratiquement égale à sa vitesse moyenne calculée pendant un intervalle de temps très court encadrant l’instant t considéré. C'est la vitesse donnée par le tachymètre à l'instant ou on le regarde. On évalue la valeur absolue de la vitesse instantanée d'un point P à la date t2 en calculant la vitesse moyenne de ce

point entre deux dates t1 et t3, aussi proches que possibles, encadrant la date t2 : |V(t)|= |P3P1

(t3−t1)|(en m / s).

Figure 7 : Le tachymètre d’un véhicule

Figure 8 : Mouvement rectiligne Figure 9 : Mouvement curviligne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A8dre

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Rep%C3%A8re_mobile&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel



2.3.3. VECTEUR VITESSE MOYENNE D’UN POINT A. DEFINITION

Le vecteur vitesse moyenne �� moy est le déplacement total (changement dans la position) d'un objet pendant un temps écoulé, divisé par ce temps écoulé.

V moy = M1M2

t2−t1 =

∆r

∆t

B. CARACTERISTIQUES

Direction : celle du déplacement (celle de M1M2 ).

Sens : celui du déplacement (celui de M1M2 ).

Intensité : appelée "norme" par le mathématicien, est égale au rapport de la norme du vecteur déplacement sur la

durée du déplacement |Vmoy|=|M1M2 |

t2−t1.

2.3.4. VECTEUR VITESSE INSTANTANEE D’UN POINT La valeur de la vitesse instantanée est insuffisante pour caractériser le mouvement d'un point mobile. Elle n'indique pas la direction et le sens du mouvement. L'outil mathématique qui permet d'indiquer une direction, un sens est le vecteur. On utilise en physique le vecteur

vitesse instantanée noté V (t).

A. DEFINITION Le vecteur vitesse instantanée correspond à la limite vers laquelle tend le vecteur vitesse moyenne sur une courte

durée, c’est la dérivée de la distance par rapport au temps V (t) = dOM

dt.

Démonstration :

V (t) = lim∆t→0 V moy = limt2→t1

M1M2

t2−t1= limt2→t1

M1O + OM2

t2−t1 = limt2→t1

OM2−OM1

t2−t1

On reconnait dans cette écriture celle d’une dérivée donc V (t) = dOM

dt

B. CARACTERISTIQUES

Le vecteur vitesse instantanée a les caractéristiques suivantes :

Origine : position occupée par le point mobile à l'instant considéré t. Direction : tangente à la trajectoire au point considéré. Sens : celui du mouvement à cet instant Valeur : celle de la vitesse instantanée à cet instant.

Remarque: Il faut toujours préciser le référentiel d’étude pour déterminer la valeur de la vitesse. La vitesse est relative au référentiel d'étude.

C. EXPRESSION DU VECTEUR VITESSE INSTANTANEE Dans la base cartésienne :

V (t) = dOM

dt =

d(xi + yj + zk)

dt = x i + yj +z k = Vx i + Vy j + Vzk

Figure 10: Illustration de V moy



Les coordonnées du vecteur vitesse correspondent aux dérivées premières par rapport au temps des coordonnées du vecteur position. Dans la base de FRENET :

V (t) = limt2→t1

M1M2

t2−t1

Lorsque t2→ t1, alors M2 se rapproche de M1 ; à la limite M1M2 serait porté par u T.

M1M2 = ‖M1M2

‖.u T

‖M1M2 ‖ = M1M2 = M0M2 - M0M1 = S2-S1.

M1M2 = (S2-S1) u T

V (t) = limt2→t1S2 – S1

t2 − t1u T ⟹ V (t) =

ds

dtu T =

ds

dtu T + 0u N

V (t) = VT u T+ VN u N avec VT = ds

dt = vitesse tangentielle et VN = 0 = vitesse normale.

NB : La vitesse est toujours portée par la tangente à la trajectoire u T. Dans les bases polaire, cylindrique ou sphérique : (la démonstration est laissée aux élèves en guise d’entrainement) 2.4. NOTION D’ACCELERATION L’accélération est une grandeur physique qui caractérise la variation du vecteur vitesse au cours du temps. 2.4.1. VECTEUR ACCELERATION MOYENNE

L'accélération moyenne a sur un intervalle de temps Δt est définie par : a moy = V2 −V1

t2–t1 =

∆V

∆t

v 2 est le vecteur vitesse à la date t2 et v 1 est le vecteur vitesse à la date t1. 2.4.2. VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE

A. DEFINITION Le vecteur accélération instantanée correspond à la limite vers laquelle tend le vecteur vitesse moyenne sur une courte durée, c’est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

a (t) = lim∆t→0 a moy = lim∆t→0V2 −V1

t2−t1 soit �� (t) =

𝐝��

𝐝𝐭

B. EXPRESSION DU VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE

Dans la base cartésienne : Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération sont données par :



Les coordonnées du vecteur accélération correspond aux dérivées secondes par rapport au temps des coordonnées du vecteur position. Dans la base de Frenet : Désignons par v (t) et a (t) les vecteurs vitesse et accélération du mobile ponctuel décrivant un cercle.

On admettra les résultats suivants :

aT = dV

dt est la valeur de l'accélération tangentielle mesurée sur l'axe u T.

Elle peut être positive, négative ou nulle.

aN = V2

R est la valeur de l'accélération normale mesurée sur l'axe u N. Elle est positive.

𝑎 (t) = aT u T + aNu N = dV

dtu T +

V2

Ru N

Dans un repère de Frenet (Mouvement circulaire) on distingue l'accélération tangentielle (dans le sens du mouvement) et l'accélération normale ou centripète (perpendiculaire au mouvement). Démonstration : on utilise les propriétés de la dérivation et les relations

a (t) = 𝑑

𝑑𝑡(

ds

dtu T) u T = - sinθ i + cosθ j et u N= - cosθ i - sinθ j

Dans la base polaire, cylindrique ou sphérique : (Démonstration laissée aux élèves). APPLICATION 1: Dans le repère ℛ (O, i , j ), considérons le mouvement d'équation horaire : x = 1 + cos 2t et y = sin 2t

1. Donner l’expression du vecteur position. 2. Donner l’expression du vecteur vitesse et son module 3. Déterminer l’accélération tangentielle et donner l’expression du vecteur accélération 4. Trouver son module et en déduire l’accélération normale 5. En déduire la nature de la trajectoire du mouvement

SOLUTION 1

1. Le vecteur position s'écrit r = x i +y j = (1 + cos 2t) i + (sin 2t) j

2. Le vecteur vitesse s'écrit v (t) = dr

dt = -2sin 2t i + 2cos 2t) j

Le module du vecteur vitesse est v = 2, c'est une constante.

3. L'accélération tangentielle est at = dv

dt = 0

Le vecteur accélération totale est : a = -4cos2t i - 4sin2t j 4. Son module est a = 4, c'est une constante.

Les accélérations totale, tangentielle et normale forment un triangle rectangle ayant l'accélération totale pour hypoténuse ; alors d'après le théorème de Pythagore on a : a2 = at

2 + an2 ce qui donne que an = 4. Or on a : 𝜌 = v2/an.

5. Donc ρ = 1, c'est une constante donc cette courbe n'est autre qu'un cercle.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Acc%C3%A9l%C3%A9ration_tangentielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Acc%C3%A9l%C3%A9ration_centrip%C3%A8te



2.5. PARAMETRES D’EVOLUTION 2.5.1. LOIS HORAIRES OU EQUATIONS HORAIRES Le mobile est en mouvement si ses coordonnées sont fonctions du temps. Les expressions des coordonnées en fonction du temps x(t), y(t) et z(t) constituent les équations horaires ou lois horaires du mobile. En mathématiques, t est un paramètre x(t), y(t) et z(t) sont appelées équations paramétriques. 2.5.2. EQUATION CARTESIENNE L’équation cartésienne s’obtient en éliminant la variable t entre les équations horaires. On distingue les trajectoires rectiligne, curviligne, circulaire, parabolique, ...

APPLICATION 2 : On donne 𝑂𝑀 = 2t 𝑖 + (t2+4) 𝑗 . En déduireles équations horaires et l’équation cartésienne. Préciser la nature de la trajectoire SOLUTION 2 : Les équations horaires x = 2t (1) y = t2 + 4 (2)

(1) ⟹ t = x

2 et (2) donne y(x) =

1

4 x2 + 4, c’est l’équation cartésienne.

Nature de la trajectoire : parabole.

APPLICATION 3 : Soit un mobile dont le vecteur position est 𝑂𝑀 {𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝑡𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛3𝑡

Déterminer l’équation cartésienne et la nature de la trajectoire. SOLUTION 3 : On montre que x2 + y2 = 4 équation cartésienne. Cette équation peut s’écrire sous la forme (x-0)2 + (y-0)2 = 22, c’est l’équation d’un cercle de centre O (0,0) et de rayon 2. 3. EXEMPLES DE MOUVEMENT 3.1. RAPPELS (cours de seconde) 3.1.1. MOUVEMENT DE TRANSLATION D'UN SOLIDE Définitions : On appelle solide indéformable un objet matériel dont la distance entre deux points quelconques ne varie pas au cours du temps. Un solide est en mouvement de translation lorsqu'un segment quelconque de ce solide reste parallèle à lui-même au cours du déplacement.

Conséquence : Tous les points du solide ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse V (t). C'est le vecteur vitesse du solide en translation. Cas particuliers : Mouvement de translation rectiligne : Les divers points du solide en translation rectiligne décrivent des droites. Exemple : luge descendant une piste rectiligne, véhicule sur piste rectiligne Mouvement de translation curviligne : Les divers points du solide en translation curviligne décrivent des courbes superposables. Exemple : cabine de téléphérique (Figure 12).

Figure 11 : Véhicule en translation rectiligne



Mouvement de translation circulaire : Les divers points du solide en translation circulaire décrivent des cercles superposables. Exemple : la grande roue (Figure 13). 3.1.2. MOUVEMENT DE ROTATION D'UN SOLIDE AUTOUR D'UN AXE FIXE

A. DEFINITION Un solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe lorsqu'un point quelconque de ce solide décrit une trajectoire circulaire autour de cet axe au cours du déplacement.

B. VITESSE ANGULAIRE DE ROTATION Considérons une poulie en rotation autour d'un axe (D) fixe dans le référentiel terrestre. La vitesse angulaire ω est égale à l'angle en radians décrit par le mobile en une seconde. Si pendant la durée de temps ∆t la poulie tourne d'un angle ∆α, alors la vitesse angulaire de la poulie est :

ω = ∆α

∆t =

2π

T

Angle balayé par le rayon ∆α (en rad) Durée Δt (en s) Vitesse angulaire 𝜔 (en rad/s)

C. PERIODE ET FREQUENCE La période, notée T, est l’intervalle de temps séparant 2 passages du mobile au même point et dans le même sens :

T = 𝟐𝝅

𝝎

La fréquence, notée f, est le nombre de tours effectués par le mobile en une seconde : f = 1

𝑇

Unité : T en seconde (s) 𝜔 (en rad/s) f en hertz (Hz).

Remarque : Relations utiles : V = Rω = 2πRf = 2πR

T

Pour un solide qui effectue un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe Δ, tous les points du solide ont la même vitesse angulaire ω. En revanche, tous les points du solide n'ont pas la même vitesse linéaire, la vitesse d'un point (en m / s) dépend de sa distance à l'axe. Si on prend deux points A et B du solide tels que : VA = ωRA et VB = ωRB ⟹ VA≠ VB

Remarque : Si le vecteur vitesse V (t) est constant au cours du temps alors le solide est animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme. 3.2. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME (MRU) 3.2.1. DIFINITION Un point mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme si sa trajectoire est une droite et sa vitesse instantanée est constante au cours du mouvement. 3.2.2. EQUATION HORAIRE

V = Vm =V0= ∆𝑥

∆𝑡⟹ V0 =

𝑑𝑥

𝑑𝑡⟹ dx = V0dt ⟹ prim dx = prim V0dt

Figure 12 : translation circulaire Figure 13 : translation circulaire



⟹ x(t) = V0t + cte avec Cte= x(t=0)= x0= abscisse initiale ⟹ x(t) = v0t + x0 équation horaire d’un MRU. NB : x, x0 sont des grandeurs algébriques. Remarque : Les distances parcourues sont proportionnelles aux durées des parcours. Les distances parcourues pendant des durées égales sont les mêmes. 3.3. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE(MRUV) 3.3.1. DEFINITION Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne varié si sa trajectoire est une droite et sa vitesse instantanée change au cours du mouvement. Le vecteur accélération instantané est contant. 3.3.2. EQUATION HORAIRE

Par définition a = 𝑑𝑣

𝑑𝑡⟹ dv = adt

⟹ v(t) = at + cte avec cte = v(t=0)= V0= vitesse initiale soit V(t) = at + V0 (1)

Par définition v = dx

dt⟹ dx = vdt = (at + V0) dt soit x(t) =

1

2 at2 + v0t+x0 (2)

(1) et (2) constituent les équations horaires d’un MRUV. Théorème 1 : v2² – v1² = 2 a (x2 – x1) (3). Cette relation caractérise un mouvement rectiligne à accélération constante.

En effet, (1) ⟹ t= V−Vo

a et (2) donne x - x0=

1

2 a (

V−Vo

a) 2 + V0 (

V−Vo

a)

En développant, on obtient V2- V0

2 = 2a(x-x0). Théorème 2 : Lors d’un mouvement rectiligne uniformément varié (d’accélération a), les espaces parcourus, pendant des intervalles de temps successifs égaux à θ, forment une progression arithmétique de raison r = a θ². Démonstration :

A t1, x1 = 1

2 a (t+θ) 2 + v0(t + θ)

A t2, x2 = 1

2 a (t+2θ) 2 + v0(t + 2θ)

A t3, x3 = 1

2 a (t+3θ) 2 + v0(t + 3θ)

Calculons les espaces ei et faisons leurs différences

e1= x1-x0 = 1

2 aθ2 + atθ + v0θ

e2= x2-x1 = 3


e3= x3-x2 = 5


e2 – e1 = aθ2 ⟹ e2 = e1 + aθ2

e3 – e2 = aθ2 ⟹ e3 = e2 + aθ2 = e1 + aθ2 + aθ2 ⟹ e3 = e1 + 2aθ2

On constate en continuant que en = e1 + (n-1) aθ2 Si (Un) n ∈N est une suite arithmétique de raison r, on a : Un = U1 + (n-1) r Si (en) n ∈N est une suite arithmétique de raison r, on a : en = e1 +(n-1) r = e1+(n-1)aθ2 d’où r = aθ² Remarque : reconnaissance de la nature d’un mouvement



-a . v > 0 mouvement accéléré -a . v < 0 mouvement retardé -a . v = 0 mouvement uniforme Exemples :

3.4. MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOIDAL 3.4.1. DEFINITION ET EXPRESSION DE L’ABSCISSE (OU POSITION) Trajectoire : la trajectoire est une droite Position : La position du mobile ponctuel est donnée par l'équation horaire x(t) = Xm sin (ω t + φ) x ∈[-Xm, +Xm]. Dans cette expression :

L'amplitude ou l’élongation maximale est Xm. La phase à l'instant t est (ωt + φ). La phase à la date t = 0 (phase initiale) est φ. La pulsation est ω

La période est T = 2π

ω et la fréquence est N =

1

T .

3.4.2. EXPRESSION DE LA VITESSE

On obtient v(t) = dx

dt = Xmωcos (ω t + φ)

Remarque : la vitesse est aussi une fonction sinusoïdale de même pulsation que l’abscisse x mais dont la phase est en

avance de π

2.

Elle est maximale à l’origine des abscisses(x = 0) et nulle aux élongations maximales Démonstration :

Relations utiles : cosa= cosb alors a = b ou a = -b ; sina =sinb alors a = b ou a = π-b

Si x = 0 : on a Xm sin (ω t + φ)= 0 ⟹(ω t + φ) =0 ou (ω t + φ) = π

alors v = Xmωcos0 = +Xmω ou v = Xmωcosπ = -Xm ω

Si x = +Xm : on a +Xm = Xm sin (ω t + φ)⟹ (ω t + φ) = π

2 ou (ω t + φ) =

π

2 alors v = 0.

Si x = -Xm : on a -Xm = Xm sin (ω t + φ) ⟹ (ω t + φ)= - π

2 ou (ω t + φ) =

π

2 alors v = 0.

3.4.3. EXPRESSION DE L’ACCELERATION

On obtient a(t) = dv

dt = - Xmω2sin (ω t + φ) = - ω2x.

Remarque : L'amplitude Xm et la phase à l’origine φ se déterminent souvent en exprimant x et v à l'instant t = 0. Théorème : La relation a + ω2x = 0 (équation différentielle du 2nd ordre sans 2nd membre) équivaut à x = Xm sin (ω t + φ). 3.5. MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME (MCU) 3.5.1. DEFINITION

Figure 14 : reconnaissance d’un mouvement



Un point mobile est animé d'un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est circulaire et si sa vitesse instantanée garde la même valeur au cours du mouvement. Sa vitesse angulaire est constante. 3.5.2. EQUATION HORAIRE

On repère la position de M par les abscisses angulaire θ = (OA ,OM ) ou curviligne S=AM=Rθ (θ en radian). Les équations horaires du mouvement en abscisse curviligne et angulaire sont ci-dessous:

En abscisse curviligne : ds

dt = vo ⟹ s(t) = vot + so

En abscisse angulaire : d𝛉

dt = ωo ⟹ θ(t) = ωot + θo

ou encore : d𝛉

dt = θ ⟹ θ(t) = θ t + θo

3.5.3. REPRESENTATION DE �� (t) et �� (t)

Dans un mouvement circulaire uniforme : V (t) = VT u T = vo u T et a = v ²

Ru N

Remarque : Dans un mouvement circulaire uniforme : Le vecteur vitesse est tangent au cercle et le vecteur accélération est centripète. La vitesse est constante en norme mais pas en direction, il y a donc accélération.

La période est T = 2π

ω et la fréquence est N =

1

T .

3.6. MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE(MCUV) 3.6.1. DEFINITION Un point mobile est animé d'un mouvement circulaire uniformément varié si sa trajectoire est circulaire et si sa vitesse angulaire varie uniformément au cours du mouvement. Conséquence : L’accélération angulaire est constante. 3.6.2. EQUATION HORAIRE

θ = dθ

dt en intégranton obtient θ (t)= θ t + θ0 (1)

θ = dθ

dtdθ = θ dt = ( θ t +θ 0) dt

prim θ dt = prim( θ t +θ 0) dt ⟹ θ(t) = 1

2 θ t2+θ0t + θo (2)

(1) et (2) constituent les équations horaires d’un MCUV

Théorème : θ 2² – θ 1² = 2 θ ( θ 2 – θ 1) (3). Cette relation caractérise un mouvement rectiligne à accélération constante.

Démonstration : (1) ⟹ t = θ−θo

θ et (2) donne ( θ - θ 0) =

1

2θ (

θ−θo

θ ) 2 + θ 0(

θ−θo

θ )

En développant, on obtient θ ² – θ 0²= 2 θ ( θ - θ 0).

4. APPLICATIONS APPLIQUER LA METHODE

Figure 15 : représentation de la vitesse et de l’accélération



1. Mémoriser les équations horaires des différents exemples de mouvement ;

2. S’assurer de l’exemple de mouvement proposé ; 3. Se rappeler des différentes équations intervenant dans ce mouvement ; 4. Se donner une origine des espaces et des dates avant d’écrire les équations ; 5. Poser x(t) = xp lors d’un passage du mobile à un point P ou x1(t) = x2(t) lors d’une rencontre ou d’un

rattrapage.

PROBLEME A RESOUDRE 1 : Le vecteur position d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé

(O, 𝑖 , 𝑖 ) est 𝑂𝑀 = {𝑥 = 2𝑡 𝑦 = 2𝑡2 − 5𝑡𝑧 = 3

x et y en mètres et t en secondes

1) Montrer que le mobile se déplace dans un plan et définir ce plan.

2) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile, quelle est la nature de la trajectoire ? 3) A quel instant le mobile passe-t-il au point d'abscisse x = 10 m ? calculer sa vitesse à cet instant. 4) A l'instant t = 0, le mobile se trouve à son point de départ. En combien de temps parcourt-il la distance d=5 m ? PROBLEME A RESOUDRE 2 : Le diagramme temporel de la vitesse d'un point décrivant une trajectoire rectiligne est donné par le diagramme ci- contre. 1) Déterminer graphiquement la distance parcourue par le point mobile pendant les deux premières secondes. Pour cela montrer que la distance correspond à la valeur de l'aire limitée par OA, l'axe des abscisses et l'ordonnée du point A. 2) Calculer également la distance totale parcourue aux dates t = 3 s et t = 4 s. 3) Déterminer les accélérations (éventuelles) du point et tracer le diagramme a = f(t). PROBLEME A RESOUDRE 3 : Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal d'amplitude Xm = 15 cm et de période T = 2s. A l'instant t = 0, le mobile est à sa position d'élongation maximale. 1) Écrire l'équation horaire du mouvement. 2) Calculer l'élongation, la vitesse et l'accélération du mobile à l'instant t = 0,5 s. 3) A quels instants le mobile passe-t-il pour la première fois, pour la deuxième fois, pour la troisième fois au point d'abscisse x = -7,5 cm ? Calculer la vitesse du mobile et son accélération à ces différents instants.



LLEEÇÇOONN NN°°22 :: LLEESS BBAASSEESS FFOONNDDAAMMEENNTTAALLEESS DDEE LLAA DDYYNNAAMMIIQQUUEE Durée : 05heures Classe : T°S

INTRODUCTION La dynamique, plus complète, étudie le mouvement en remontant à son origine. Elle fournit les lois qui associent les éléments cinématiques précédents d'une part, et les forces et leurs moments d'autre part. La richesse apportée par les forces, outre le mouvement qu'elles produisent, peut être analysée via l'énergie qu'elles véhiculent. Cette leçon comporte cinq (05) paragraphes. 1. GENERALITES SUR LA DYNAMIQUE 1.1. NOTION DE FORCE 1.1.1. DEFINITION DYNAMIQUE ET STATIQUE La force est toute cause (action) capable de mettre un corps en mouvement, de modifier le mouvement de ce corps ou de le déformer. 1.1.2. DEFINITION RELATIVE A LA QUANTITE DE MOUVEMENT Un solide au repos possède une certaine quantité de mouvement. Dès qu’il se déplace, la quantité de mouvement varie. La principale cause de ce mouvement étant une force : la force est donc toute action capable de modifier la quantité de mouvement d’un système.

Elle est définie par F = ∆P

∆t , P est le vecteur quantité de mouvement.

1.2. FORCES INTERIEURES ET FORCES EXTERIEURS Une force intérieure est une force exercée par un élément du système. Exemple : le poids d’un solide dans le système univers. Une force extérieure est une force exercée par un élément extérieur au système. Exemple : le poids d’un solide dans le système solide. 1.3. SYSTEME ISOLE ET SYSTEME PSEUDO-ISOLE Un système isolé est un système qui n’est soumis à aucune force. C’est un idéal physique qui n’existe pas. Un système pseudo-isolé est système sur lequel la somme des forces appliquées est nulle.

Exemple : un objet immobile sur un support horizontal (P + R =0 ). 2. NOTION D’INERTIE D’UN SYSTEME L’inertie d’un corps caractérise son incapacité de se mouvoir. Cette notion est liée à la masse du système. Plus la masse du système est importante, plus inerte est le système. 2.1. CENTRE D’INERTIE. 2.1.1. DEFINITION Le centre d’inertie G d’un système ou centre de gravité est un point unique du système pseudo-isolé qui soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme (MRU). 2.1.2. RELATION BARYCENTRIQUE Tout système matériel est formé de particules quasi ponctuelles A1, A2, ... de masse m1, m2, ...On peut associer à ce système un centre d’inertie G défini par la relation barycentrique :

m1GA 1 +m2GA 2 + …. = 0

O étant un point quelconque (généralement origine d’un repère), on peut montrer que : OG = m1OA1 +m2OA2 +⋯

m1+m2+ …

Cas particuliers : Pour un système homogène, le Centre d’inertie G coïncide au milieu géométrique.

2.2. PRINCIPE DE L'INERTIE (1° LOI DE NEWTON)



Enoncé du principe de l’inertie : Dans un référentiel Galiléen, si la somme des forces extérieures

(F =∑ F ) appliquées à un système est nulle alors le centre d’inertie de ce système est soit au repos, soit en mouvement

rectiligne uniforme (le vecteur vitesse du centre d’inertie V G ne varie pas). La réciproque est vraie : Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle. 3. NOTION DE QUANTITE DE MOUVEMENT En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et à la masse d'un objet. Elle fait partie, avec l'énergie, des grandeurs qui se conservent lors des interactions entre éléments du système. Remarque : Quantité de mouvement et impulsion sont souvent confondues en raison de leur coïncidence dans la majorité des cas. Néanmoins en théorie ces deux grandeurs sont distinctes. 3.1. VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT DU POINT MATERIEL

En mécanique classique, le vecteur quantité de mouvement �� d'un point matériel de masse m animé d'une vitesse ��

est définie comme produit de la masse et de la vitesse : P = mv

P ‖direction: cellede v sens ∶ celuide v norme ∶ p = mv

C'est donc, comme la vitesse, une grandeur vectorielle. L'unité dans le SI de la quantité de mouvement est le kg. m. s-

1. 3.2. VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT D’UN SYSTEME MATERIEL Un système matériel est constitué par un ensemble de point matériel. Son vecteur quantité de mouvement serait

égal à la somme des vecteurs quantités de mouvement des différents points matériels constituant le système : P =

P 1+ P 2 +…… +P n

P = m1v 1+ m2v 2 +…… + mnv n soit P = ∑ mini=1 v i.

Cas particulier : système en translation

∀ le point i∈ système, v i = V = vitesse du système.

P = m1v 1+ m2v 2 +…… + mnv n = (m1+ m2+…… + mn) V

P = ∑ 𝑚𝑛𝑖=1 i.V or ∑ 𝑚𝑛

𝑖=1 i = M = masse du système alors P = MV .

Remarque : Dans le cours de Terminale, on se limite à l’étude du point matériel ; l’étude d’un système(ou d’un solide) se réduit à celle de son centre d’inertie. Ainsi, si M désigne la masse totale du système(ou du solide) et G son

centre d'inertie, alors, la quantité de mouvement du système (ou résultante cinétique) est : P = MV G, V G désignant la vitesse du centre d'inertie du système. 3.3. CONSERVATION OU NON DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT. 3.3.1. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT A. DEFINITION La quantité de mouvement est une fonction du vecteur vitesse (la masse du système étant constante). Dans un référentiel Galiléen, la conservation de la quantité de mouvement désigne, l'absence de variation de la quantité de mouvement du centre d'inertie d'un système dans certaines situations physiques : le système est dit pseudo-isolé.

Mathématiquement, la quantité de mouvement P est conservée lorsque sa variation instantanée est nulle : dP

dt = 0

soit (P avant interaction = P après interaction).


http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Masse

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_conservation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_lin%C3%A9aire

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_classique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_international_d%27unit%C3%A9s

http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_d%27inertie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A9_de_mouvement

http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_d%27inertie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_physique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_isol%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_isol%C3%A9



Remarque : Ce principe est équivalent au principe d'inertie, mais fait intervenir la masse des corps (par définition P = mv , ce qui permet d'introduire la notion de force (par définition

F = dP

dt = m

dv

dt) dans le cas où le mouvement n'est pas rectiligne uniforme.

B. CONDITION DE CONSERVATION: Pour que la quantité de mouvement d'un système soit conservée, il est essentiel que la sommation vectorielle des forces extérieures agissant sur le système soit nulle c'est-à-dire le vecteur vitesse est constant. A l'inverse, les forces internes dues aux collisions n'empêchent pas la conservation. Il est cependant important de considérer le milieu comme un système car la quantité de mouvement de chaque corps prise individuellement n'est pas conservée. C'est la somme vectorielle de chacune d'elles qui reste constante. Exemple : Dans un référentiel galiléen, et en l'absence de frottement, un système de corps soumis à aucune force extérieure mais entrant en collision les uns avec les autres. C . ETUDE DES COLLISIONS La conservation de la quantité de mouvement peut intervenir lors d'une collision entre deux ou plusieurs objets ou particules. Lorsqu'il y a conservation, l'addition vectorielle des quantités de mouvement de chaque corps faisant partie du milieu conserve la même valeur avant et après la collision. En ayant recours à ce principe, il n'est pas nécessaire de connaitre les forces qui ont lieu lors de la collision. La quantité de mouvement se conserve dans trois types de collisions :

les collisions élastiques ou chocs élastiques, les collisions inélastiques, les collisions parfaitement inélastiques ou chocs mous.

C1. LES COLLISIONS ELASTIQUES Une collision élastique est une collision qui prend place lorsque la somme des énergies cinétiques après la collision est égale à la somme des énergies cinétiques avant la collision. C'est une collision qui respecte le principe de conservation de l'énergie et durant lequel les objets se séparent.

‖P avant choc = P après chocEcf = Eci

Remarque : Si une balle entre en collision élastique avec une autre balle de même masse initialement au repos, l'angle séparant leur deux trajectoire après la collision sera de 90°. C2. LES COLLISIONS INELASTIQUES Une collision inélastique est une collision qui prend place lorsque la somme des énergies cinétiques après la collision est différente de la somme des énergies cinétiques avant la collision. Cela pourrait prendre place avec des balles de tennis. Une partie de l'énergie cinétique initiale sera transformée en énergie potentielle lors de la déformation de la balle, ce qui explique la variation négative de l'énergie cinétique du système.

‖ P avant choc = P après chocEcf ≠ Eci en effet Ecf < 𝐸𝑐𝑖

Figure 1 : Avant une collision entre deux objets

Figure 2 : Après une collision élastique entre deux objets

Figure 3 : Illustration d’un choc élastique particulier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_d%27inertie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Masse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_ext%C3%A9rieure

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Force_interne&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_vectorielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Frottement

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_%28entit%C3%A9%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Collision_%C3%A9lastique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Collision_in%C3%A9lastique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Collision_parfaitement_in%C3%A9lastique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conservation_de_l%27%C3%A9nergie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Avantcollision.JPG



http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Apres.JPG

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:BotsingB.png



C3. LES CHOCS PARFAITEMENT INELASTIQUES OU CHOCS MOUS

Une collision parfaitement inélastique est une collision qui prend place lorsque le niveau d'énergie cinétique est plus bas que l'énergie cinétique qu'il y avait avant la collision. Durant cette collision, les deux objets s'unissent et se déplacent ensuite avec la même vitesse vectorielle. Par conséquent, on considère que les deux corps n'en forment plus qu'un à la suite de la collision. 3.3.2. NON CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT Définition : Quand la quantité de mouvement d'un système n'est pas conservée, la raison en est attribuée à des forces extérieures qui ne se compensent pas. En mécanique newtonienne, l'égalité suivante est la définition de la force s’exerçant sur le centre d'inertie du

système : F = dP

dt

Cette force s'appliquant sur le centre d'inertie est la résultante des diverses forces s'exerçant sur les corps du

système. En se basant sur cette relation, la variation de la quantité de mouvement ∆P peut être déterminée par la

multiplication de la force moyenne exercée sur le système étudié par le temps d'action de cette force ∆P = F moy.∆t. Exemples : Choc entre deux boules de billard Le choc entre deux boules de billard peut être approximé comme étant une collision élastique à une, deux ou trois dimensions. Dans cet exemple, les équations de la conservation de la quantité de mouvement et de la conservation de l'énergie cinétique donnent, pour une particule de masse m1 et m2 ayant chacune une vitesse initiale �� 1 et �� 2 et une vitesse finale �� 1 et �� 2 : 𝐦𝟏�� 1 + 𝐦𝟐�� 2 = 𝐦𝟏�� 1 + 𝐦𝟐�� 2 Le théorème s'énonce alors ainsi : la variation de la quantité de mouvement du système est égale à la somme des forces

extérieures s'exerçant sur le système : dP

dt = ∑ F ext

Cette relation est fondamentale : c'est elle qui permet d'étudier le mouvement d'un solide sans avoir besoin de connaître les forces de liaison interatomique. Elle sert à étudier autant la chute d'une pomme que le mouvement de la Lune autour de la Terre.

4. THEOREME GENERAUX DE LA DYNAMIQUE 4.1. THEOREME DU CENTRE D'INERTIE (TCI) (2°LOI DE NEWTON) Enoncé semi-quantitatif donné en classe de première :

Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse 𝑣 G du centre d'inertie d'un solide varie, alors la somme 𝐹 = ∑𝐹 𝑒𝑥𝑡 des

forces extérieures appliquées à ce solide n'est pas nulle et réciproquement. La direction et le sens de cette somme 𝐹 sont ceux de la variation ∆𝑣 G de 𝑣 G entre deux instants proches. Remarque : Pour un point matériel ce résultat constitue la 2° loi de Newton. Exemple : Mouvement rectiligne accéléré

- Référentiel Galiléen : le solide Terre. - Système étudié : le palet. - Le solide est soumis à 3 forces extérieures :

Figure 4 : mouvement rectiligne sur coussin d’air

http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_newtonienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_r%C3%A9sultante

http://fr.wikipedia.org/wiki/Billard



P : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le palet.

R : action normale de la piste sur le palet. Ici, grâce au coussin d'air, on néglige les frottements.

T : action du fil sur le palet.

-La somme P + R + T = 0 + T = T des forces extérieures appliquées à ce solide n'est pas nulle.

- Etudions la variation de la vitesse V G du centre d'inertie du palet. - Représentons les vecteurs vitesses :

- Déterminons les variations de vitesse :

∆V G2 = V G3 - V G1 = 1,063 i - 0,563i = 0,500 i

∆V G3 = V G4 - V G2 = 1,313i - 0,813 i = 0,500i

- Conformément à la deuxième loi de Newton, la somme des forces extérieures appliquées au solide : P + R + T = 0 +

T = Ti a bien la direction et le sens de la variation ∆V G = 0,500i du vecteur V G.

- De plus, ici, la variation de vitesse ∆V G2 = ∆V G3. Cela est lié au fait que la force T est un vecteur constant. - L'introduction du vecteur accélération a G du centre d'inertie du solide va permettre de donner un énoncé plus précis de la deuxième loi de Newton appelé relation fondamentale de la dynamique (relation applicable à tout le solide en translation). Enoncé : Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la

masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie : ∑ F ext = m a G (1) Démonstration :

D’après la définition de la force relative à la quantité de mouvement, ∑ F ext = ∆P

dt

Sur une courte durée ∑ F ext = dP

dt = m

dv G

dt soit ∑ F ext = m a G.

Remarque1: Si ∑ F (ext) = 0 alors a G = 0 et, par conséquent,V G reste constant en direction, sens et norme (on retrouve la première loi de Newton).



Remarque 2 : Le TCI et la RFD sont valables dans le cadre de la mécanique classique (Vsolide petite devant celle de la lumière). Lorsque Vs proche de celle de la lumière, l’étude se fait dans le cadre de la mécanique relativiste développée par Albert EINSTEIN. 4.2. LOI DES ACTIONS RECIPROQUES (3° LOI DE NEWTON) Enoncé : Lorsque deux solides S1 et S2 sont en interaction, les forces qu'ils exercent l'un sur l'autre sont directement

opposées : �� 1/2 = - �� 2/1

Exemples Exemple n° 1 : Interaction à distance Terre / Lune.

La Terre attire la Lune avec une force F T/L.

Réciproquement, la Lune attire la Terre avec une force F L/T égale

et opposée à F T/L : F T/L = - F L/T Exemple n° 2 : Interaction de contact solide / sol. Un solide, immobile par rapport à la Terre, appuie sur le sol

horizontal avec une force F solide/sol. Réciproquement, le sol

soutient le solide, avec une force F sol/solide,

telle que : F solide/sol= - F sol/solide

Remarque :

- Le vecteur F solide/sol est différent du vecteur poids du solide P (leur point d'application, notamment, est différent).

Le vecteur P existe même en l'absence du sol. Si on confond

le poids P appliqué au centre de gravité G avec la force de Newton exercée par la Terre sur le solide, l'action réciproque représentant l'action du solide sur la Terre serait appliquée au centre de la Terre. - Sur le solide S s'exercent deux forces extérieures :

P (Poids) : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide S (force à distance).

F sol/solide : action verticale du sol sur le solide S (force de contact). Comme le solide est au repos dans le référentiel terrestre (Galiléen), on peut, d'après le principe de l'inertie, écrire :

P + F sol/solide = 0 LES TROIS (03) LOIS DE NEWTON : Le principe d’inertie, le théorème du centre d’inertie et la loi des actions réciproques sont les trois(03) lois de NEWTON qui, complétés par la loi de la gravitation universelle, constituent le fondement de la mécanique classique. 4.3. THEOREME DE LENERGIE CINETIQUE (TEC) Enoncé : Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants tinitial et tfinal, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

∆Ec =∑𝑤(𝐹 𝑒𝑥𝑡) .

Pour un solide en translation : 1

2 m.V²final -

1

2 m.V²initial = W(F 1) + W(F 2) + ...

Démonstration :

∑w(F ext) = ∫dw(F ext) or dw =F .dl = travail élémentaire et dl = déplacement élémentaire

⟹ ∑w(F ext) = ∫ F . dl avec F = dp

dt = m

dv

dt

⟹ ∑w(F ext) =∫mdv

dt. dl = ∫m v . dv car

dl

dt = v .

⟹ ∑w(F ext) = ∫mvdvcos(dv .v ) =∫mv. dvcar (dv .v )=0

On sait que dv2 = d (v.v) = vdv + vdv = 2vdv donc vdv = d (1

2dv2)

⟹ ∑w(F ext) =∫ d(1

2dv2)

V2

V1 =

1

2 m.V2² -

1

2m.V1² = ∆Ec ⟹ ∑𝐰(𝐅 𝐞𝐱𝐭) = ∆Ec.

NB : Le TEC n’est pas une nouvelle loi de la mécanique classique ; c’est une conséquence du TCI et une manière commode de résoudre une question.



4.4. THEOREME DE L’ENERGIE POTENTIELLE (TEP) Enoncé :Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie potentielle d'un solide(d’un système), entre deux instants tinitial et tfinal, est égale à l’opposé de la somme des travaux des forces intérieures appliquées au solide(au système) entre

ces deux instants ∆Ep = - ∑w(F int) . 4.5. THEOREME DE L’ENERGIE MECANIQUE (TEM) Théorème : Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie mécanique d'un solide (d’un système), entre deux instants tinitial et tfinal, est égale à la somme des travaux des forces non conservatives (généralement des forces de

frottement) appliquées au solide (au système) entre ces deux instants ∆Em = ∑𝑤(𝐹 𝑛𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒) =

∑𝑤(𝐹 𝑓𝑟𝑜𝑡𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡). Remarque : L'énergie mécanique d'un système soumis uniquement à des forces conservatives est constante. Rappel : Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi pour aller de la position initiale à la position finale. C’est le cas du poids, de la force électrique mais pas des forces de frottement.

Système E mécanique = E cinétique + E potentielle

Particule dans un champ de pesanteur E mécanique = 1

2 m v² + m g z

Particule dans un champ de force élastique E mécanique = 1

2 m v² +

1

2 K x²

Particule dans un champ de force électrique E mécanique = 1

2 m v² + q U

4.6. THEOREME DE L’ACCELERATION ANGULAIRE(TAA) Enoncé : Dans un référentiel galiléen, la somme des moments des forces extérieures appliquées à un système (ou un solide) mobile autour d’un axe est égale au produit du moment d’inertie du système (ou du solide) par rapport à l’axe

de rotation par son accélération angulaire. ∑ℳ/∆ (F ext) =J∆θ (2) Où θ est l’accélération angulaire instantanée du solide et J∆ le moment d’inertie du système par rapport à l’axe de rotation ∆. J∆ est une grandeur qui caractérise la répartition de masse autour de l’axe ∆du solide. L’unité SI de moment d’inertie est kg.m2. Démonstration :

On sait que : ∑ℳ(F ext) =∑ F i . ri =∑mi . ai .ri or ai = dvi

dt =

driθ

dt = ri θ

⟹ ∑ℳ(F ext) = ∑mi . ri θ.ri =∑mi . ri2 θ avec ∑mi . ri

2 = J∆ ⟹ ∑ℳ(F ext) = J∆θ

Cette relation algébrique est à comparer à ∑ F ext = m a G pour un solide en translation. Remarque : Un mouvement au sens le plus général peut être considéré à chaque instant comme la superposition d’une translation et d’une rotation autour d’un axe (par exemple le mouvement d’une bille sur un plan incliné). Pour résoudre les équations du mouvement, les 2 équations encadrées ci-dessus (1) et (2) sont nécessaires. Dans le cas d’une rotation autour d’un axe fixe, la première relation suffit.



Cas particulier du mouvement de rotation uniforme : Si le mouvement est circulaire et uniforme (la vitesse angulaire est constante): l’accélération angulaire est nulle et donc la somme algébrique des moments appliquées au solide est nulle également.

θ = cte ⟺ ∑ℳ/∆ (F ext) = 0 La constante pouvant être nulle (cas particulier de l’équilibre). Cette relation est analogue à celle en translation:

V G = cte ⟺ ∑ F ext = 0



COMPLEMENTS : Moments d’inertie par rapport à un axe (∆) d’objets courants La masse inertielle m d'une particule est la mesure de son inertie de translation. Elle représente l'opposition qu'offre un corps à voir changer son état de mouvement de translation. En rotation, c'est le moment d'inertie I d'un système qui représente la mesure de l'opposition qu'offre ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe.

Définitions : A-moment d’inertie d’une masse ponctuelle : Par définition le moment d'inertie I∆, par rapport à un axe ∆, d'un point matériel de masse m située à une distance r de ∆ est :

B- moment d’inertie d’un système de points : Un système de N points matériels de masses mi, distants de ri de l’axe ∆, aura pour moment d'inertie par rapport à ∆ :

Le moment d’inertie d’une distribution de masse par rapport à un axe est égal à la somme des produits de chaque élément de masse mi par le carré de la distance ri de cet élément à l’axe : I = ∑mi ri

2 Dans le cas d'un corps solide constitué d'une infinité de points matériels, nous passerons à la limite suivante :

C-Moment d'inertie par rapport à un point : Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un point O est égal à la demi-somme de ses moments d'inertie par rapports à trois axes perpendiculaires (Ox, Oy, Oz) passant par le point O.

Exemples : Tous les solides considérés ci-dessous sont supposés homogènes, de masse linéique, surfacique ou volumique ρ. Tige de longueur L et de masse m Moment d’inertie d’une barre de longueur L, par rapport à un axe perpendiculaire à la barre et passant par son centre : La barre est homogène de masse linéaire ρ.

IO =1

2 (IOx + IOy + IOz)

avec M = ρL



Cercle de rayon R et de masse m : Le cerceau est supposée homogène de masse linéaire λ. Décomposons la circonférence en petits éléments de jante de masse dm situés tous à la distance r de l’axe. dm = λ.ds = λ.r.dθ avec λ= masse linéaire de la jante Moment d’inertie élémentaire : dI∆ = dm.r2 = λ .r3.dθ. Soit :

Ici, le calcul est simple puisque r est constant, il peut être sorti de l’intégrale La masse totale de la jante est : M = 2.πr..on a donc I∆ = Mr2. Disque plein de rayon R et de masse m

Sphère creuse de rayon R et de masse m

Sphère pleine de rayon R et de masse m

Cylindre de rayon R et de longueur L par rapport à l’axe de symétrie longitudinal. Le moment d’inertie du cylindre est la somme des moments d’inertie des volumes élémentaires (en jaune) situés à distance r de l’axe de rotation Théorème d'Huygens : Le moment d'inertie d'un solide, par rapport à un axe (∆1), est égal au moment d'inertie de ce solides par rapport à un axe ∆G , parallèle à ∆1, passant par le centre de gravité augmenté du produit Md2 (M étant la

masse du solide et d la distance entre les deux axes) I∆ = I∆G +Md2



Exemple 1 : Calculons le moment d'inertie d’une barre par rapport à l’axe passant par une de ses extrémités et parallèle à ∆.

Exemple 2 : Calculons le moment d’inertie d’un cylindre par rapport à une génératrice ∆1.



LLEEÇÇOONN NN°°33 :: AAPPPPLLIICCAATTIIOONNSS DDEESS BBAASSEESS DDEE LLAA DDYYNNAAMMIIQQUUEE Durée : 10h Classe : T°S

APPLIQUER LA MRTHODE

1. Identifier le système à étudier après construction ou reproduction du schéma 2. Rappeler le type de référentiel galiléen 3. Faire le bilan des forces extérieures appliquées au système et les représenter sur le schéma 4. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique (choisir un système d’axes convenable suivant lequel on

projette cette relation vectorielle) ou le théorème de l’accélération angulaire. NB : Faire appel aux autres théorèmes généraux si nécessaire.

1. MOUVEMENT D’UN PROJECTILE DANS LE CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME Dans cette partie nous allons appliquer les lois de Newton à l'étude de la chute verticale d'un solide au voisinage de la Terre. Les deux derniers paragraphes sont présentés sous forme d'exercices résolus. Dans un premier temps, nous reviendrons sur la définition du poids d'un objet puis sur la poussée d'Archimède et les forces de frottement fluide.

1.1. FORCE DE PESANTEUR ET CHAMP DE PESANTEUR TERRESTRE 1.1.1. FORCE DE PESANTEUR

En première approximation, on peut dire que le poids d'un objet est égal à la force d'attraction gravitationnelle que

la Terre exerce sur lui. Cette force de pesanteur est représentée par un vecteur P possédant : Une origine : le centre de gravité G (ou centre d'inertie) du corps Une direction : la verticale passant par G Un sens : du haut vers le bas. Une valeur : P = m g Unités : Le poids P s'exprime en newton (N), La masse m s'exprime en kilogramme (kg) L'intensité de la pesanteur g s'exprime en newton par kilogramme (N/kg ou en m / s²) Remarque : En réalité, le poids n'est pas rigoureusement confondu avec la force de gravitation.

1.1.2. CHAMP DE PESANTEUR TERRESTRE

En un point donné M, au voisinage de la Terre, le poids P d'un objet de masse m peut s'écrire :

P = m g où g est, par définition, le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré. Ce vecteur champ de pesanteur terrestre g possède : Une origine : le point M Une direction : la verticale passant par M Un sens : du haut vers le bas Une valeur : l'intensité g de la pesanteur au point M La valeur de l'intensité g de la pesanteur dépend de la latitude du point M où l'on opère (9,78 N/kg à l'équateur, 9, 83 N / kg au pôle Nord, au niveau de la mer) et de son altitude (diminution d'environ 1 % tous les 30 km).

1.1.3. CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME Dans un domaine restreint au voisinage de la Terre (dimensions de l'ordre de quelques kilomètres), on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur champ de pesanteur𝑔 a même direction, même sens et même valeur en tout point de ce domaine restreint (voir l'étude des chutes rectilignes ou paraboliques dans la suite du cours).

1.2. ACTION D’UN FLUIDE SUR UN SOLIDE La surface d'un solide immergé dans un fluide (liquide, gaz) est constamment "frappée" par les molécules de ce fluide. Ces chocs sont à l'origine de la poussée d'Archimède. De plus, si ce solide se déplace par rapport au fluide, il apparaît des forces de "frottement fluide" sur toute la surface du solide.

1.2.1. POUSSE D’ARCHIMEDE



La poussée d'Archimède est une force de contact répartie sur la surface de contact solide-fluide. On la représente

par un vecteur П qui possède : Une origine : le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé Une direction : la verticale passant par C Un sens : du bas vers le haut Une valeur : PA = П = ρfluide .V. g égale au poids du fluide déplacé. Unités : La poussée d'Archimède П s'exprime en newton (N) La masse volumique du fluide ρfluide s'exprime en kilogramme par mètre cube (kg / m3) Le volume de fluide déplacé V s'exprime en mètre cube (m3) L'intensité de la pesanteur g s'exprime en newton par kilogramme (N / kg ou en m / s²) Remarque : Le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé peut être différent du centre d'inertie G du solide. C'est le cas, notamment, si le solide n'est que partiellement immergé dans le fluide ou s'il n'est pas homogène. Par contre, dans le cas fréquent d'un solide homogène totalement immergé dans le fluide, le centre d'inertie C du volume de fluide déplacé est confondu avec le centre d'inertie G du solide.

1.2.2. FORCE DE FROTTEMENT FLUIDE - Si un solide se déplace dans un fluide, il apparaît des forces de "frottement fluide" sur toute la surface du solide. Ces forces de frottement fluide peuvent être résistantes (chute d'une bille ralentie par la présence d'air ou d'eau) ou motrices (feuille emportée par le vent). - Dans le cas d'un solide homogène animé d'un mouvement de translation dans le fluide, on les modélise par un

vecteur f de sens opposé au mouvement si les frottements sont résistants. Comme on étudie le mouvement du

centre d'inertie G, on reporte en ce point toutes les forces extérieures agissant sur le solide, notamment f . - La valeur f de la force de frottement dépend de la nature du fluide. Elle dépend également de la vitesse V du solide en translation, de sa forme, de son état de surface. Dans les exercices qui suivront, cette valeur de la force de frottement sera modélisée par une expression de la forme : f = k .Vn (par exemple f = k .V pour les vitesses faibles ou f = k .V2 pour des vitesses plus importantes). On peut aussi être amené à choisir une expression de la forme f = k1.V + k2.V2 + ... C'est l'expression qui donne la meilleure adéquation entre les prévisions théoriques et les résultats expérimentaux qui, bien évidemment, doit être retenue. - Dans les deux paragraphes qui suivent, nous étudierons le cas d'une chute verticale libre (l'air est absent ou son influence est négligeable) puis le cas d'une chute influencée par la présence d'un fluide (air, eau, etc).

1.3. ETUDE DE LA CHUTE LIBRE 1.3.1. DEFINITION

Un solide est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids �� . C'est ce qui se passe si on supprime l'air dans une enceinte pour y étudier la chute d'un solide dans le vide (dans le tube de NEWTON; au voisinage du sol de la Lune, sans atmosphère, toutes les chutes sont libres). Remarquons que la chute est quasi libre si on étudie, dans l'air, la chute d'une bille de masse volumique grande par rapport à la masse volumique de l'air (la poussée d'Archimède est alors négligeable par rapport au poids) sur une hauteur de quelques mètres (les forces de frottement sont, à faible vitesse, également négligeables par rapport au poids).

1.3.2. LE VECTEUR ACCELERATION DANS UNE CHUTE LIBRE Système Etudié : solide de masse m Référentiel : Terrestre Galiléen

Bilan des forces : le poids du solide P

Théorème du centre d’inertie : P = m𝑎 ⟹ mg = ma ⟹ a = g Dans les mouvements de chute libre, le vecteur accélération du centre d’inertie du solide est égale au vecteur champ de pesanteur 𝑎 = 𝑔 .

1.3.3. LES EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA CHUTE LIBRE



A. CHUTE LIBRE VERTICALE AVEC VITESSE INITIALE NULLE OU PARALLELE A G : MOUVEMENT

RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE

On sait que a = g

a {ax = 0ay = 0az = −g

, v o{vox = 0voy = 0voz = vo

, OM o{

xo = 0 (1)yo = 0 (2)

zo (3)

(1) et (2)⟹ pas de mouvement sur les axes 𝑜𝑥 et 𝑜𝑦 et le mouvement est rectiligne uniformément varié sur 𝑜𝑧 d’après (3).

az = - g ⟹ vz = -gt + vo ⟹ z(t) = - 1

2 gt + vot + zo.

Si v0 est nulle alors vz = -gt et z(t) = - 1

2 gt + zo.

Les trajectoires des centres d’inerties des corps en chute libre avec vitesse initiale nulle ou parallèle à 𝑔 sont rectilignes. Exemples : chute d’une bille d’une altitude z, Le point culminant C : c’est le point le plus élevé que peut atteindre le projectile.

A ce point vc = 0 = -gt + v0 ⟹ tc = vo

g.

APPLICATION 1:

ENONCE : Une petite bille en plomb de masse m est lâchée, sans vitesse initiale, à partir de l'origine d'un axe vertical

(O, k ) orienté vers le bas. Après un parcours de 2 m, la bille frappe le sol. a- Pourquoi peut-on considérer qu'il s'agit d'une chute libre ? b-Etablir l'équation différentielle du mouvement. c- Quelle est la solution analytique de cette équation ? (On prendra l'origine des temps à l'instant du départ de la bille du point O). d-A quelle date et à quelle vitesse la bille frappera-t-elle le sol ? On donne l'intensité de la pesanteur terrestre au lieu où est réalisée l'expérience g = 9,80 N / kg). SOLUTION a- Expliquons pourquoi on peut considérer que la chute est libre. D'une part, la bille étant en plomb, son poids P est très grand par rapport à la poussée d'Archimède PA dans l'air. On peut donc négliger la poussée d'Archimède. D'autre part, la bille est petite, de forme sphérique, sa vitesse restera faible (hauteur de chute petite). Dans ces conditions, la force de frottement fluide exercée par l'air sur la surface de la bille est également négligeable par rapport au poids.

La seule force agissant sur la bille est donc le poidsP . La chute est dite libre. b-Etablissons l'équation différentielle du mouvement et cherchons sa solution analytique.

Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère (O, k ). Système étudié : la bille Une seule force extérieure s'exerce sur la bille :

Le poids P = mg , essentiellement dû à l'action gravitationnelle de la Terre sur la bille.

- Appliquons la deuxième loi de Newton :

Figure 1 : chute libre sans vitesse initiale



Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse m du solide par l'accélération a Gde son centre d'inertie.

Ici, cette loi s'écrit : P = ma alors mg = ma (on confond la masse gravitationnelle et la masse inertielle) ⟹ a = g ⟹ az

k = gz k ⟹ az = gz

Ici gz = g (avec g = 9,80 N / kg). De plus, on sait que az = dVz

dt.

Donc dVz

dt = g , c'est l'équation différentielle relative à la vitesse de la bille.

Nous allons chercher la fonction Vz (t) qui est solution de cette équation différentielle du premier ordre. c- Solution analytique de l'équation différentielle

- Recherchons la primitive de : dVz

dt = g

- La fonction Vz qui admet g comme dérivée est : Vz = g t + C1 La constante C1 est la valeur prise par la vitesse V à la date 0. L'énoncé donne C1 = V(o) = 0 m / s.

Vz = g t soit : dz

dt = g t

- Recherchons de nouveau la primitive.

La fonction z qui admet g t comme dérivée est : z = 1

2 g t ² + C2

La constante C2 est la valeur prise par z à la date 0.

L'énoncé donne C2 = z (o) = 0 m. z = 1

2 g t ²

Les équations horaires du mouvement sont donc : z = 1

2 g t 2Vz = g t az = g

- On dit que la bille est animée d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré (le vecteur accélération ne change pas). d-Cherchons à quelle date et avec quelle vitesse la bille frappe le sol. La bille frappe le sol au point S tel que zS = + 2 m.

- Portons dans z = 1

2g t² avec zS = 2 m et g = 9,80 N / kg :

2 = 1

2 x 9,80 x tS² ⟹ tS² = 4 / 9,80 = 0,4082

Seule la racine positive convient : tS = 0,639 s - Utilisons Vz = g t avec tS = 0,639 s :VS = 9,80 x 0,639 = 6,26 m / s - Résumons : zS = 2 m tS = 0,639 s VS = 6,26 m / s a = 9,80 m.s - 2

B. CHUTE LIBRE VERTICALE AVEC VITESSE INITIALE QUELCONQUE : MOUVEMENT PARABOLIQUE.

On sait que a = g

a {ax = 0ay = 0az = −g

, vo {vox = vocosαvoy = vo voz = vosinα

, OMo {

xo = 0 (1)yo = 0 (2)

zo (3)

(1) ⟹ pas de mouvement sur l’axe 𝑜𝑦 . Le mouvement s’effectue sur le plan xoz c'est-à-dire dans

le plan vertical qui contient V 0. Suivant ox , ax = 0 alors vx = vocosα et x(t) = vocosαt (x0 =0) ⟹ mouvement uniforme.

Suivant oz , az = - g alors vz = - gt + v0sin α et z(t) = - 1

2 g t² + vosin α t (z0 = 0) ⟹ mouvement uniformément varié.

t = x

vocosα ⟹ z(x) = -

1

2 g (1/Vo

2cos2α). x2 + tanα. x

NB : (1/ cos2𝛂) = 1 + tan2𝛂 Les trajectoires des centres d’inertie des corps en chute libre avec vitesse initiale quelconque sont paraboliques. Exemple : jet d’eau, balle de tennis, …

NOTION DE PORTEE La portée P (A dans le schéma) d’un tir est la distance qui sépare la verticale passant par le point de tir et la verticale passant par le point de chute au niveau du point de tir.

En P zp = 0 ⟹ - 1

2 g(1/Vo

2cos2α). xp2 + tanα. xp = 0 ⟹ (-

1

2 g/Vo

2cos2α. xp + tanα ) xp = 0 avec xp = 0

Figure 2 : chute libre avec vitesse initiale



⟹ - 1

2 g / Vo

2cos2α . xp = tanα ⟹ xp = (2Vo2cosαsinα/g)

NB : 2cos𝛂 sin𝛂 = sin2𝛂 ⟹ xp = (Vo

2sin2α/g) = abscisse de la portée. Remarque : Pour avoir une portée maximale dans l’épreuve de tir du lancer de poids, il faut que sin2α = 1 ⟹ sin2α =

sin π

2⟹ 2α =

π

2⟹ α =

π

4.

NOTION DE FLECHE DU TIR

La flèche d’un tir parabolique correspond à la hauteur maximale atteinte par la parabole c'est-à-dire l’ordonnée de son sommet. Détermination de la flèche : 1ère méthode :

En S on a 𝑑𝑧

𝑑𝑥 = 0 or z (x) = -

1

2 g(1/Vo

2cos2𝛼).x2 + tan𝛼.x ⟹𝑑𝑧

𝑑𝑥 = - g/Vo

2cos2𝛼.xs + tan𝛼= 0

⟹ xs = (Vo

2cos𝛼sin𝛼/g) = (Vo22cos𝛼sin𝛼/2g) ⟹ xs = (V0

2sin2𝛼/2g) =(xp/2) En remplaçant sur z(x), on obtient zs =(V0

2sin2𝛼/2g) 2ème méthode :

OM x = V0 cos 𝛼.t

z = -1

2 g t² + V0 sin 𝛼.t

V Vx = dx / dt = V0 cos𝛼

Vz = dz / dt = - g t + V0 sin𝛼

En S �� s est porté par la tangente ⟹ V s =Vsx𝑖 et Vsz = 0 ⟹ - g ts + Vo sin𝛼 ⟹ ts = (Vo sin𝛼/g)

⟹ zs = (Vo2 sin2𝛼/2g)

Remarque : La trajectoire dépend de la valeur de la vitesse initiale et de l'angle que fait la direction du lancé avec l'horizontale.

APPLICATION 2 : ENONCE : Projectile dans le champ de pesanteur�� supposé uniforme Un mobile ponctuel M glisse le long d'une table inclinée d'un angle 𝛼 = 30° sur l'horizontale. Il quitte celle-ci, à la date t = 0 s,

au point Mo, avec une vitesse V o. 1 Préciser les conditions initiales. Calculer, à t = 0 s, les cordonnées

du vecteur position OM o et du vecteur vitesse V o dans le repère

orthonormé ( O, 𝑖 , 𝑗 , �� ). 2 Déterminer les équations horaires du mouvement. Montrer que le mouvement a lieu dans un plan. 3 Etudier la trajectoire aérienne du mobile. Montrer que cette trajectoire, entre Mo et S, est parabolique. 4 Déterminer les coordonnées du point d'impact S sur le sol ainsi que la date tS et la vitesse VS du mobile juste avant le choc. On donne g = 9,8 N/ kg V0 = 0,80m/s h = OM0 = 2m

Figure 3 : les types de trajectoire en fonction de la vitesse



SOLUTION 1 Précisons les conditions initiales.

A la date t = 0 s, les vecteurs position OM 0 et vitesse V o ont pour coordonnées :

OM 0

x0 = 0 (1) y0 = OMo = h = 2 m (2) z0 = 0 (3)

V 0

V0x = Vocos (i ,V o) = 0,80 cos (-30°)=0,693 m / s (1)

V0y =Vocos (j ,V o)=0,80 cos (-120° )=-0,400 m/s (2) V0z = 0 m / s (3)

2 Déterminons les équations horaires du mouvement. Référentiel Galiléen : le solide Terre auquel on associe le repère orthonormé (O, 𝑖 , 𝑗 ). Système étudié : le mobile M.

Force appliquée : le poids P = m𝑔 (essentiellement attraction gravitationnelle de la Terre sur le mobile M de masse m) Appliquons la deuxième loi de Newton : Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse

m du solide par l'accélération a G de son centre d'inertie : ∑ F ext = ma G

Ici, on écrit : P = ma alors mg = ma . L'accélération est donc : a = g Les coordonnées du vecteur accélération sont donc :

a ax = dVx / dt = 0 ay = dVy / dt = - g az = dVz / dt = 0

Cherchons les primitives de ces trois fonctions. On obtient, avec 3 constantes C1, C2 et C3 :

V

Vx = C1 Vy = - g t + C2 Vz = C3

Les 3 constantes C1, C2 et C3 sont déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux coordonnées du

vecteur vitesseV 0, à l'instant 0 (voir ci-dessus). Par conséquent :

V

Vx = dx / dt = V0 cos ( - 30° ) Vy = dy / dt = - g t + V0 cos ( - 120° ) Vz = dz / dt = 0

- Cherchons de nouveau les primitives de ces trois fonctions :

OM

x = V0 cos (30°) t + C4

y = -1

2 g t² + V0 cos (120°) t + C5

z = C6

On a tenu compte du fait que cos ( - 30° ) = cos ( 30° ) et que cos ( - 120° ) = cos ( 120° ) Les 3 constantes C4, C5 et C6 sont déterminées en se plaçant à l'instant initial. Elles sont égales aux coordonnées du

vecteur position initiale OM O, à l'instant 0 (voir ci-dessus). Par conséquent :

http://pagesperso-orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_13_MOUVEMENT_DE_PROJECTILES.htm#Vo_OMo_coord

http://pagesperso-orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_13_MOUVEMENT_DE_PROJECTILES.htm#Vo_OMo_coord



OM

x = V0 cos (30°) t + 0

y = -1

2 g t² + V0 cos (120°) t + h

z = 0

- Comme z = 0, la trajectoire est plane. Le mouvement a lieu dans le plan vertical (xoy). Les équations horaires paramétriques du mouvement sont :

x = V0 cos (30°) t

y = - 1

2 g t² + V0 cos (120°) t + h = -

1

2 g t² - V0 sin (30°) t + h

z = 0

Remarque : Tous les calculs précédents peuvent être faits, plus rapidement, dans un tableau : - Dans le tableau, on a utilisé les relations suivantes : cos(-30°) = cos (30°) cos(120°) = -sin (30°) cos (180°) = -1 3 Etudions la trajectoire aérienne du mobile. Montrons que cette trajectoire, entre Mo et S, est parabolique. - L'équation x = V0 cos ( 30° ) t donne t = X / V0 cos (30°) .

Portons dans l'équation y = -1

2 g t² - V0 sin ( 30° ) t + h

On obtient l'équation de la trajectoire aérienne du mobile : Y = -1

2 ( g / V0² cos² 30° ) X² - tan (30°) X + h soit

Y = - 10,2 X² - 0,577 X + 2 Entre Mo et S, la trajectoire aérienne du mobile est donc un arc de parabole. 4 Déterminons les coordonnées du point d'impact S du mobile sur le sol ainsi que la date tS et la vitesse correspondante VS. - Au point S on a yS = 0 m. La relation Y = - 10,2 X² - 0,577 X + 2 donne 0 = - 10,2.x² - 0,577.x + 2. C'est un trinôme du second degré de la forme 0 = a x² + b x + c Le discriminant est ∆ = b² - 4ac = 81,13

Les racines sont x1= −b + √∆

2a= - 0,469 m et x2 =

−b − √∆

2a = 0,412 m.

Physiquement, la bonne solution est :xS = 0,412 m associé à yS = 0 m L'abscisse x1 correspond à un point virtuel (intersection de la parabole, prolongée du coté x < 0, avec le sol). - La relation x = V0 cos (30°) t donne :tS = xS/(Vocos 30°) = 0,412/( 0,8 ´cos 30°) ⟹ tS = 0,595 s - Les relations :Vx= V0 cos ( - 30° ) et Vy= - g t + V0 cos ( - 120° ) permettent de calculer VSx et VSy :

V S VSx = Vo cos 30° = 0,693 m / s VSy = - g tS - Vo sin 30° = - 6,231 m / s

Figure 4



On en déduit VS² = V²Sx + V²Sy = 0,693² + ( - 6,231 )² = 39,31 m² / s² soit :VS = 6,27 m / s Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique donne plus rapidement la solution. Rappelons son énoncé :Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants tinitial et tfinal, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.


2 m.V²final -

1

2 m.V²initial = W(F 1)ext + W(F 2)ext + ...

Ici, on écrira : 1

2 mVS

2 - 1

2 mVM0

2 = W (P ) ⟹1

2 mVS

2- 1

2 mVM0

2 = mgh soit VS² = 2gh + VMo² soit

VS2= 2 ´ 9,8 ´ 2 + 0,80² = 39,84 m² / s² ⟹ VS = 6,31 m / s

L'écart relatif entre les valeurs de Vs données par les relations ci-dessus est inférieur à 1/100. Il n'est dû qu'aux approximations faites dans les calculs.

C. CHUTE RALENTIE : MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT RETARDE

Rappelons que la valeur f de la force de frottement dépend de la nature du fluide. Elle dépend également de la vitesse V du solide en translation, de sa forme, de son état de surface. Nous traiterons ce paragraphe sous forme d'exercice. PROBLEME : CHUTE VERTICALE D'UNE BILLE SOUMISE A UNE FORCE DE FROTTEMENT FLUIDE ENONCE : Une bille en verre (masse volumique, rayon r) est lâchée, sans vitesse initiale, à la surface d'un tube vertical contenant de l'huile de ricin (masse volumique o). a- Exprimer, en fonction de l'intensité de la pesanteur terrestre g, du rayon r de la bille et des masses volumiqueset o, le poids P et la poussée d'Archimède exercée par le liquide sur la bille. b-Etablir l'équation différentielle du mouvement de la bille sachant que, dans le domaine de vitesse étudié, la force de frottement fluide peut s'écrire sous la forme :

f = - 6r V (relation de Stokes, valable lorsque la vitesse reste faible)

-est le coefficient de viscosité du liquide

- V est le vecteur vitesse de la bille en translation rectiligne

- r est le rayon de la bille c-Déterminer, en fonction g, et o, l'accélération initiale de la bille. d-Déterminer, en fonction g, , o, r et, la vitesse limite de la bille. e-Calculer numériquement le coefficient de viscosité de l'huile de ricin sachant que la vitesse limite de la bille est Vlim = 0,71 mm / s. On donne : r = 1 mm = 2600 kg / m3= 970 kg / m3g = 9,81 N / kg Remarque : Dans un problème résolu nous verrons que l'équation différentielle du mouvement peut être résolue de façon approchée par la méthode graphique d'Euler. Nous verrons également que si, comme c'est le cas dans cet exercice, la force de frottement fluide obéit à la formule de Stokes (force f proportionnelle à V), alors on peut également donner la solution analytique v = f (t) SOLUTION

a- Exprimons, en fonction de l'intensité de la pesanteur terrestre g, du rayon r de la bille et des masses volumiques et o, le poids P et la poussée d'Archimède

- Le volume de la bille est : v = 4

3 πr3.

Sa masse est : m = vµ=

4

3πr3µ

Son poids s'exprime sous la forme : P = m g = 4

3 πr3µg

- La poussée d'Archimèdeexercée par le liquide sur la bille est égale au poids du liquide déplacé par la bille :

= v g = 4

3r

3g

b-Etablissons l'équation différentielle du mouvement de la bille sachant que, dans le domaine de vitesse étudié, la

force de frottement fluide peut s'écrire sous la forme : f = - 6 r V (relation de Stokes, valable lorsque la vitesse reste faible) Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère (O, j ). Système étudié : la bille Forces extérieures s'exerçant sur la bille :

- Le poidsP , essentiellement dû à l'action gravitationnelle

Figure 5 : chute ralentie

http://pagesperso-orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/LEXIQUE_DE_PHYSIQUE.htm#Variation_Ec

http://pagesperso-orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/LEXIQUE_DE_PHYSIQUE.htm#Translation



de la Terre sur la bille

- La poussée d'Archimède П exercée par le liquide sur la bille

- La force de frottement fluide f = - 6r V = - 6 r Vj également exercée par le liquide sur la bille (V > 0). Appliquons la deuxième loi de Newton : Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse

m du solide par l'accélération a Gde son centre d'inertie : F 1+F 2+F 3= ma G

Ici, ce théorème s'écrit : P + П + f = ma

Utilisons les expressions : P = 4

3r

3gj , П = -

4

3r

3g j (g > 0) et f = - 6r Vj (V varie mais reste > 0)

Il vient, avec a = m 𝑑𝑉

𝑑𝑡𝑗 :

4

3r

3gj -

4

3r

3gj - 6r Vj = m

dV

dtj Soit :

4

3r

3g - 6r V = m

𝑑𝑉

𝑑𝑡

Introduisons m =4

3r

3alors

4

3r

3g - 6r V =

4

3 r

3

𝑑𝑉

𝑑𝑡 soit g /6π/ rV

𝑑𝑉

𝑑𝑡

Soit, en plaçant le terme constant dans le second membre : dV

dt + 9 / (2 r) V = g (1 - / )

dV

dt +

V

τ = C avec = 2r

2 / 9et C = g (1 - / )

Unités internationales : les trois termes de l'équation doivent avoir la même unité (m / s²). t et dt en (s) - V et dV en (m / s) – τen (s) - C en (m/ s²)

Remarque : est souvent appelée constante de temps associée au montage.

c-Déterminons, en fonction g, et o, l'accélération initiale de la bille. A l'instant du départ t = 0 s, l'énoncé dit que la vitesse est nulle.

Portons dans l'équation différentielle 𝑑𝑉

𝑑𝑡 +

𝑉

𝜏 = C. On obtient : (

dV

dt)o= ao = C = g (1 - / )

d-Déterminons, en fonction g, , o, r et , la vitesse limite Vlim de la bille.

Initialement nulle, la force de frottement f augmente proportionnellement à la vitesse. Le moment vient où la force

motrice P motrice est compensée par la somme des deux forces résistantes П +f lim. La somme des forces est alors nulle et, d'après la deuxième loi de Newton :

P + П + f lim = ma lim, l'accélération limite a lim est nulle a lim =0

La relation𝑑𝑉

𝑑𝑡 +

𝑉

𝜏 = C donne alors, avec (

𝑑𝑉

𝑑𝑡)lim = 0 m / s² :

Vlim = C = (2r2 / 9) x g (1 - / ) soit Vlim = 2 g r2 ()/ 9

e-Calculons numériquement le coefficient de viscosité de l'huile de ricin sachant que la vitesse limite de la bille est

Vlim = 0,71 mm / s.

L'énoncé donne : r = 10 - 3 m= 2600 kg / m3= 970 kg / m3g = 9,81 N / kg Vlim = 0,71 mm / s = 7,1x10 - 4 m / s

La relation Vlim = 2 g r2 ()/ 9 peut aussi s'écrire := 2 g r2(/ 9 Vlim

= 2 x 9,81 x 10 - 6 x (2600 - 970) / (9 x7,1 x 10– 4)

= 19,62 x 10 - 6 x 1630 / (63,9 x 10– 4) soit = 5,00 SI = 5,00 N.s / m² = 5,00 Pa.s

2. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME 2.1. RAPPELS SUR LE CHAMP ELECTRIQUE

Entre 2 plateaux parallèles, distants de d, soumis à la différence de potentiel U existe un champ électrique uniforme

E , dirigé du plateau positif vers le plateau négatif, de valeur : ‖E ‖ = |U|

D .

Dans un champ électrique E , une particule chargée est soumise à la force : F = qE .

Le travail de la force électrique F = qE ne dépend que de la différence de potentiel entre le point initial et le point

final : W (F ) = q (U initial – U final).



Les particules élémentaires (électrons, protons, neutrons, ions,…) ont des masses très faibles ; on peut négliger leur poids devant leur force électrique.

2.2. LE DISPPOSITIF EXPERIMENTAL La particule est un ion 27Al +++ (ou AL3+) qui quitte la chambre d'ionisation d'un accélérateur avec une vitesse négligeable. Il est attiré par une électrode percée d'un trou A qu'il traverse avec une vitesse VA.

2.3. LE VECTEUR ACCELERATION

Système étudié : l’ion 27Al +++ de masse molaire M = 27 g / mol et de masse : Référentiel Galiléen : le solide Terre.

Forces extérieures appliquées sur l'ion : F = qE (le poids est négligeable)

T. C. I.: ∑ F (ext) = m a = q E ⟹ a = q

mE

Le vecteur accélération d’une particule de charge q et de masse m dans un champ électrique uniforme est un vecteur

constant �� = 𝐪

𝐦��

2.4. MOUVEMENT RECTILIGNE 2.4.1. EQUATIONS HORAIRES

On sait que �� = 𝐪

𝐦��

Dans la base (O, 𝑖 , 𝑗 , �� ), les coordonnées des vecteurs accélération, vitesse et position initiale s’écrivent :

�� ax = dVx / dt =

eE

m(1)

ay = dVy / dt = 0 (2) az = dVz / dt = 0 (3)

�� o

Vx = 0 (1) Vy= 0(2) Vz= 0 (3)

𝐎𝐌

x = 0(1) y = 0(2) z = 0 (3)

(2) et (3) ⟹ pas de mouvement suivant 𝑜𝑦 , 𝑜𝑧 . (1) ⟹ ax =cte, le mouvement est rectiligne uniformément varié suivant 𝑜𝑥 .

ax = eE

m (1) ⟹ Vx =

eE

mt (2) ⟹ x(t)=

eE

2 m t2 (3)

Les équations (1), (2) et (3) sont les équations horaires du mouvement.

2.4.2. CALCUL DE LA VITESSE VS A LA SORTIE DU CONDENSATEUR

La durée trajet s’obtient en faisant x = d ⟹ x = d= 𝑒𝐸

2 𝑚𝑡𝑠2 ⟹ 𝑡𝑠

2= 2𝑚𝑑

𝑒𝐸 ⟹ ts =√

2𝑚𝑑

𝑒𝐸

On reporte dans l’équation de la vitesse ⟹ Vs = 𝑒𝐸

𝑚ts =

𝑒𝐸

𝑚√

2𝑚𝑑

𝑒𝐸 = √

2𝑒𝐸𝑑

𝑚 or U = E.d Donc VS = √

𝟐𝐞𝐔

𝐦 .

2.4.3. CALCUL DE L’ENERGIE CINETIQUE

Par définition ECS = 1

2 m Vs

2 = 1

2 m

2eE

m ⟹ ECS = e U.

Remarque : On peut également appliquer le T.E.C.

2.4.4. EXERCICE D’APPLICATION PROBLEME 1 : Mouvement rectiligne uniformément accéléré Un ion 27Al +++ quitte la chambre d'ionisation d'un accélérateur avec une vitesse négligeable. Il est attiré par une électrode percée d'un trou A qu'il traverse avec une vitesse VA . 1. Calculer la vitesse en A sachant que AO = d = 20 cm et que UAO = - 1000 V

Figure 6 : particule dans un champ électrique



On donne : g = 9,8 N / kg e = 1,6 x 10 -19 C N = 6,02 x 10 23 / mol 2. Etudier le mouvement entre O et A puis au-delà de A . Calculer la durée du trajet OA. SOLUTION 1.Calculons la vitesse de l'ion au passage par le point A. Référentiel Galiléen : le solide Terre. Système étudié : l’ion 27Al +++ de masse molaire M = 27 g / mol et de masse : m = 27 / 6,02.10 23 = 4,49 x 10 -23 g = 4,49 x 10 -26 kg Forces extérieures appliquées sur l'ion :

- La force électrique F = q E qui représente l'action du champ électrique sur l'ion Al+++ (q = 3e) - Le poids p = mg qui représente l'action de la Terre (essentiellement) sur l'ion Al+++ . - Comparons la valeur du poids et celle de la force électrique : Le champ électrique E = 5000 V / m permet de calculer la force électrique : F= q E= 3eE = 3 x1,6 x 10 -19 x5000 ⟹ F = 2,4 x10 -15 N Calculons le poids de l'ion : P= mg = 4,49 x 10 -26x 9,8 ⟹ P = 4,39 x 10 - 25 N Le poids est très inférieur à la force électrique et sera négligé par la suite. Appliquons le théorème de la variation de l'énergie cinétique : Théorème de l'énergie cinétique : Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.


2m.V²final -

1

2 m.V²initial = W (F ) + W (P ) + ...

Ici, on écrira : 1

2 m VA² - 0 = W (F ) = q (UO - UA) ou encore : VA

2 = 2 q (UO - UA ) / m soit numériquement :

VA2=2 x 4,8.10 -19 x 1000/4,49.10 -26 = 2,138.1010 m² / s² ⟹ VA = 1,46.105 m/s.

2. Mouvement de l'ion Al +++ dans le champ électrique E dirigé du plateau positif vers le plateau négatif. Référentiel Galiléen : le solide Terre. Système étudié : l’ion 27Al +++.

Forces appliquées : Seule la force électrique F = q E agit sur

l'ion Al+++. Le poids P est négligeable. Appliquons le théorème du centre d'inertie: Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse

du solide par l'accélération de son centre d'inertie : ∑ F (ext) = ma = qE . Ici, on écrit : qE = ma Projetons dans la base ( i , j )en posant : E = 5000 V/m q = 3 e = 3 x 1,6.10 -19 = 4,8 x 10 -19 C Entre O et A le mouvement est rectiligne uniformément accéléré :

x = 1

2 (q E / m) t² (1) ou encore x = 2,673 x 1010t²

La durée du trajet OA = xA = 0,20 m est donnée par la relation ci-dessus : 0,20 = 2,673 x 1010tA2

tA2 = 7,48 x 10 -12 s² soit : tA = 2,73 x 10 - 6 s

Au-delà de A le mouvement de l’ion est un mouvement rectiligne à vitesse constante (aucune force n'agit sur l'ion). Conclusion : Tous les appareils à canon d'électrons (oscilloscope, télévision, micro-ordinateur, etc) accélèrent les électrons de façon semblable à celle étudiée ici.

La lecture des colonnes 3, 4, 5 permet de remplir les colonnes 6 et 7



2.5. MOUVEMENT PARABOLIQUE - DEFLEXION ELECTRIQUE PROBLEME 2 : Mouvement parabolique - Déflexion électrostatique Un électron de charge q = - e, de masse m, arrive dans le vide, à l'instant t = 0 au point origine O d'un référentiel

galiléen. Sa vitesse est : V 0 = V0i (V0 > O).

Cet électron est alors soumis à l'action d'un champ électrostatique uniforme : E = - U

di avec U = UP - UN > 0

Ce champ électrostatique uniforme est créé entre deux plaques P et N dans la région d'espace définie par :

O < x < L et - d

2 < y <

d

2 (voir schéma).

1- Montrer qu'entre les plaques la trajectoire de l'électron est parabolique. 2- Donner la condition sur la tension U pour que la particule sorte du champ sans heurter les plaques. 3- Cette condition réalisée, la particule frappe un écran situé dans un plan x = D > L. Exprimer la déviation 0'I du point d'impact et montrer qu'elle est fonction linéaire de la tension U = UP - UN appliquée entre les plaques P et N. SOLUTION 1- Etudions la trajectoire de l'électron dans

le champ électrostatique uniforme E (entre les plaques P et N). Référentiel Galiléen : le solide terre. Système étudié : l'électron. Forces appliquées :

- La force électrique F = qE qui représente l'action du champ électrique sur l'électron (q = - e)

- Le poids P = mg est négligeable devant la force électrique Appliquons le théorème du centre d'inertie: Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse

du solide par l'accélération de son centre d'inertie : ∑ F (ext) = ma = qE

Ici, on écrit : qE = ma (La charge q de l'électron étant négative, les vecteurs E et a sont de sens contraire).

Projetons la relation qE = ma dans la base(i , j ):

Le relation (1) s'écrit t = x

V0.

Portons dans la relation (2) qui donne : y = 1

2

eE

mV02 x 2 ou encore, avec E =

U

d, y =

1

2

eE

mV02 x 2 =

1

2

eU

mdV02 x 2.

Entre les points O et S la trajectoire de l'électron est parabolique.2- Cherchons les valeurs positives de la tension U pour lesquelles l'électron sort du champ sans heurter les plaques. L'électron sort du champ électrique sans heurter les plaques :

si pour xS = OH = L on a yS < d

2 soit

1

2

eU

mdV02L2 <

d

2 ou encore : U <

mV02d2

eL2

3- Calcul de la déviation 0'I (voir le schéma)

La lecture des colonnes 3, 4, 5 permet de remplir les colonnes 6 et 7

http://pagesperso-orange.fr/physique.chimie/Cours_de_physique/Physique_11_PARTICULE_CHARGEE_DANS_UN_CHAMP_ELECTRIQUE.htm#ANCRE_s1B



Après S, l'électron n'est plus soumis à aucune force et possède un mouvement rectiligne uniforme suivant la tangente à la parabole au point S. On sait que cette droite SI passe par le milieu A du segment OH. L'angle de déviation θ de la particule est tel que :

tanθ = O′I

AO′ = HS

AH soit

O′I

D − L

2

= ysL

2

avec ys = 1

2

eU

mdV02L 2, on a : O’I =

eL (D − L

2 )

2mdV02 U

La déviation O' I est proportionnelle à la tension appliquée U. Remarque 1 : Si U était négatif la déviation aurait lieu vers le bas de l'écran. Remarque 2 : Ce type de déviation électrique intervient dans de nombreux appareils, notamment les oscilloscopes. APPLICATION : CAS DE L’OSCILLOSCOPE Problème a résoudre 1- La cathode C d'un oscillographe électronique émet des électrons avec une vitesse négligeable. Les électrons arrivent ensuite sur l'anode P et la traversent par l'ouverture O1. On établit une différence de potentiel U0 = UP - UC. Calculer la vitesse V01 des électrons à leur passage en O1. Quelle est la nature de leur mouvement au-delà de P, entre O1 et O ? Le poids d'un électron est négligeable par rapport aux autres forces appliquées. 2- Les électrons pénètrent en O entre les armatures horizontales A et B d'un condensateur. Les armatures, de longueur l, sont distantes de AB = d. On établit entre les armatures une tension positive U = UA - UB. a- Etudier le mouvement des électrons entre les deux plaques A et B dans le système d'axes xOy. Etablir l'équation de leur trajectoire. b- Quelle condition doit remplir U pour que les électrons puissent sortir du condensateur AB ? 3- Le faisceau d'électrons arrive ensuite sur un écran fluorescent E situé à la distance L du centre de symétrie J des plaques. Calculer le déplacement Y du spot sur l'écran et la valeur numérique de la sensibilité s = Y / U de l'appareil en centimètres par volt. N.B: On peut utiliser la propriété suivante : la tangente à la trajectoire, à la sortie des plaques, passe par le point J. Données numériques : U0 = 1000 V d = 2 cm l = 6 cm L = 12 cm ; Charge de l'électron : q = - e = - 1,6 x 10 - 19 C ; Masse de l'électron : m = 9,1 x 10 - 31 kg.

3. AUTRES EXEMPLES DE MOUVEMENT 3.1. L’ACCELEROMETRE 3.1.1. PRINCIPE DE L’ACCELEROMETRE

Le principe consiste à déterminer l’accélération d’un mobile en lui adjoignant un pendule simple. De la déviation du pendule, on peut déterminer l’accélération.

3.1.2. DETERMINATION DE L’ACCELERATION : cas d’un MRUA - Référentiel Galiléen : le solide Terre, Repère orthonormé associé à la terre : (O, 𝑖 , 𝑗 ) - Système étudié : le mobile de masse (m) - Forces appliquées :

Le poids P (essentiellement action de le Terre sur le mobile)

La force T (action du fil sur le mobile)

- La relation fondamentale de la dynamique : P +T =m a Projetons cette relation sur le repère (O, 𝑖 , 𝑗 ) :

|𝑃𝑥 + 𝑇𝑥 = 𝑚𝑎𝑥𝑝𝑦 + 𝑇𝑦 = 𝑚𝑎𝑦

⟹ |0 + 𝑇𝑠𝑖𝑛α = 𝑚𝑎−𝑚𝑔 + 𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0

⟹ |𝑇𝑠𝑖𝑛α = 𝑚𝑎 (1)

𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚𝑔(2)

⟹(2)

(1)⟹

𝑚𝑎

𝑚𝑔 =

𝑠𝑖𝑛α

𝑐𝑜𝑠𝛼 ⟹ 𝑡𝑎𝑛𝛼 =

𝑎

𝑔 soit a = g 𝑡𝑎𝑛𝛼

Remarque 1: Pour le MRUR, l’accélération est la même.

Figure 7 : accéléromètre



Remarque 2: Le sens de l’inclinaison du fil est toujours opposé à celui du vecteur accélération.

3.1.3. EXERCICE D’APPLICATION ENONCE : Un pendule est constitué par une petite sphère suspendue par un fil. Ce pendule étant accroché sans osciller au plafond d'une voiture qui roule sur une route rectiligne horizontale, déterminer l'angle qu'il forme avec la verticale dans les trois cas suivants: 1 Pendant le démarrage de la voiture avec une accélération constante, sachant que la vitesse de 90 km/h est atteinte après un parcours de 100 m. 2 Pendant le parcours horizontal en ligne droite, avec la vitesse constante de 90 km/h. On prendra g = 9,8 N/kg. 3 Pendant que la voiture freine avec une accélération ax = - 2 m / s2. 4 Le fil est remplacé par un ressort de raideur K = 5 N / m soutenant la même sphère de masse m = 100 g. Calculer la longueur du ressort dans chacun des cas ci-dessus sachant que sa longueur à vide est lo = 30 cm. Quelques conseils pour la résolution du problème : On choisira : - Référentiel Galiléen : le solide Terre Repère orthonormé associé à la terre : (O, 𝑖 , 𝑗 ) - Système : la sphère Forces appliquées à la sphère :

Le poids P (essentiellement action de le Terre sur la sphère)

La force T (action du fil sur la sphère) L'angle change dans les trois phases à étudier. On précisera bien si le fil est incliné vers l'avant, vers l'arrière ou s'il reste vertical.

3.2. MOUVEMENTS CIRCULAIRES UNIFORMES 3.2.1. PENDULE CONIQUE A. DEFINITION ET DISPOSITIF

IL est constitué d’un solide de masse (m) attaché à un fil inextensible ; l’ensemble pouvant tourné autour d’un axe verticale (∆).

B. DETERMINATION DE LA VITESSE ANGULAIRE MINIMALE - Référentiel Galiléen : le solide Terre, Repère orthonormé associé à la terre : (O, 𝑖 , 𝑗 ) - Système étudié : le solide de masse (m) - Forces appliquées :

Le poids P (essentiellement action de le Terre sur le solide)

La force T (action du fil sur le solide)

- La relation fondamentale de la dynamique : P +T =m a Projetons cette relation sur le repère (O, i , j ) :

|𝑃𝑥 + 𝑇𝑥 = 𝑚𝑎𝑥𝑝𝑦 + 𝑇𝑦 = 𝑚𝑎𝑦

⟹ |0 + 𝑇𝑠𝑖𝑛α = 𝑚𝑎−𝑚𝑔 + 𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0

⟹ |𝑇𝑠𝑖𝑛α = 𝑚𝑟𝜔2

𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚𝑔

⟹ |𝑇𝑠𝑖𝑛α = 𝑚𝑙𝜔2𝑠𝑖𝑛α𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚𝑔

⟹ |𝑇 = 𝑚𝑙𝜔2 (1)

𝑇𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚𝑔 (2)

(2)

(1)⟹

𝑔

𝑙𝜔2 = cos𝛼 or cos𝛼 ≤ 1 donc 𝑔

𝑙𝜔2 ≤ 1 ⟹ ω ≥ √ g

l d’où 𝛚minimale = √

𝐠

𝐥

3.2.2. LA FRONDE

Une fronde (du latin funda)(ou une Lance-pierre) est une arme de jet constituée d'une pièce de matière souple (par exemple le cuir) dans laquelle est placé le projectile et que l'on fait tournoyer à

Figure 8 : pendule conique

Figure 9 : fronde



l'aide de lanières tenues à la main. Exemples de fronde :

3.2.3. LE VIRAGE Un virage est une partie courbe d'une route, d'une piste. Exemple : Changement de direction d'un véhicule, de quelqu'un à skis, etc. Lors d’un MCU, il est très difficile voire impossible d’aborder un virage sur un sol horizontal car la résultante des forces aurait une direction verticale et non centripète. Pour faciliter les virages, il est préférable de procéder à un relèvement lors de la construction. L’angle de relèvement du virage doit être déterminant pour le choix de la vitesse avec laquelle on aborde ce virage. - Référentiel Galiléen : le solide Terre, Repère orthonormé associé à la terre : (O, 𝑖 , 𝑗 ) - Système étudié : le mobile de masse(m) - Forces appliquées :

Le poids : P (essentiellement action de le Terre sur le mobile)

La force : R (action de la terre sur le mobile)

- La relation fondamentale de la dynamique : P + F = m a

Projetons cette relation sur le repère (O, 𝑖 , 𝑗 ) : |𝑃𝑥 + 𝑅𝑥 = 𝑚𝑎𝑥𝑝𝑦 + 𝑅𝑦 = 𝑚𝑎𝑦

⟹ |0 + 𝑅𝑠𝑖𝑛α = 𝑚𝑎𝑛−𝑚𝑔 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0

⟹ |𝑅𝑠𝑖𝑛α = 𝑚

𝑉2

𝑟 (1)

𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚𝑔(2)

(1)

(2)⟹

𝑉2

𝑔𝑟 = tan𝛼 ⟹ V = √𝒈𝒓𝐭𝐚𝐧𝜶

3.2.4. MOUVEMENTS COMBINES (ROTATION-TRANSLATION) : Machine d’ATWOOD. A. PRESENTATION DU DISPOSITIF

La machine d’Atwood permet d’estimer l’accélération de la pesanteur g. Elle se compose d’une potence d’environ 2 m supportant une poulie. Sur la poulie passe un fil aux extrémités duquel sont suspendus deux masses égales. L’une des masses M se déplace le long d’une règle graduée munie d’un curseur plein et d’un curseur creux (le diamètre de ce dernier permet de se laisser traverser par la masse M). Enfin un métronome, battant la seconde, complète l’installation afin de mesurer le temps de chute de la masse M.

B. ETUDE DYNAMIQUE DU MOUVEMENT PREMIERE METHODE: étude séparée.

- Référentiel Galiléen : le solide Terre, Repère orthonormé associé à la terre : (O, 𝑖 , 𝑗 ) - Système étudié : le solide de masse (m)

- Forces appliquées : P , T 1.

- La relation fondamentale de la dynamique : P + T 1= m a Suivant y’y, on a Py + T1y = may ⟹ mg – T1 = ma soit T1 = mg – ma (1) - Référentiel Galiléen : le solide Terre, Repère orthonormé associé à la terre : (O, 𝑖 , 𝑗 ) - Système étudié : la poulie (P).

- Forces appliquées : P ’, T 2, R

- le théorème de l’accélération angulaire : ∑𝑀(F ext)/∆ = J∆θ

Figure 10 : virage

Figure 11 : machine d’ATWOOD



⟹ 𝐽∆�� = T2r or �� = 𝑎

𝑟 avec M (P ’)/∆ = 0 et M (R )/∆ = 0 ⟹ T2 =

𝐽∆𝑎

𝑟 (2)

Par ailleurs T1 = T2 ⟹ mg – ma = 𝐽∆𝑎

𝑟 ⟹ a =

𝒎𝒈

𝒎 + 𝑱∆𝒓

= cte d’où θ = cte ⟹ {(S) est animé d’un MRUV(P) est animé d’un MCUV

DEUXIEME METHODE: étude combinée.

- Système étudié : le solide de masse(m) + la poulie(P).

- Forces appliquées : P , T 1, P ’, T 2, R

- le théorème de l’énergie cinétique : ∆Ec = ∑𝑊(𝐹 ext) = W (�� )

⟹ Ec(t) – Ec(t = 0) = mgz ⟹1

2 mv2 +

1

2𝐽∆𝜔2 - 0 = mgz or 𝜔2 =

v2

r2

⟹1

2 mv2 +

1

2𝐽∆

v2

r2 = mgz ⟹

1

2 v2 (m +

𝐽∆

r2 ) = mgz or v2 – 𝑣0

2 = 2az soit v2 = 2az

⟹1

2(2az)(m +

𝐽∆

r2 ) = mgz ⟹ a (m +

𝐽∆

r2 ) = mg ⟹ a =

𝒎𝒈

𝒎 + 𝑱∆𝒓

= cte d’où θ = cte ⟹ {(S) est animé d’un MRUV(P) est animé d’un MCUV

3.2.5. MOUVEMENTS SUCCESSIFS (ROTATION PUIS TRANSLATION)

PROBLEME A RESOUDRE : Piste circulaire puis rectiligne Un solide de masse m, assimilable à un point matériel, se déplace sur la piste représentée sur le schéma ci-dessous. La portion AB

est un arc de cercle de centre O, d'angle θ = (OA ,OB ), de rayon r. La portion BC est horizontale.

On lance le solide à partir du point A avec une vitesse V Atangente au cercle. Données : m = 100 g ; r = 1,5 m ; g = 9,8 N / kg ; VA = 2,0 m / s ; 𝜃 = 60°. 1- On suppose les frottements entre le solide et la piste négligeables sur la portion circulaire AB. a- Etablir les expressions de : - la vitesse VB du solide à son passage en B en fonction de VA, r et θ. - l'action RB exercée par la piste sur le solide en B en fonction de VB, m, g et r. - conclure. b- Calculer les valeurs de VB et RB.

2- Sur la partie horizontale BC existent des frottements entre la piste et le solide. Ils sont assimilables à une force f , de valeur constante, colinéaire au vecteur vitesse. a- Montrer que le mouvement du solide entre B et C est uniformément retardé b- Déterminer l'expression puis la valeur de la force de frottement, sachant que : VC = 2,0 m / s et BC = d = 2,0 m 3- Question facultative non posée lors de l'épreuve du Baccalauréat.

Calculer la vitesse VD et l'action RD de la piste sur le solide lorsque le solide passe par le point D tel que : (OA ,OD ) = 30 °.

3.3. MOUVEMENTS CIRCULAIRES NON UNIFORMES 3.3.1. SOLIDE GLISSANT SUR UNE GOUTTIÈRE A. LE DISPOSITIF EXPERIMENTAL

Le solide (S) est lancé sans vitesse initiale.

Figure 12 : piste combinée

Figure 13 : mouvement sur gouttière



B. DETERMINATION DE LA VITESSE A UN INSTANT QUELCONQUE

- Référentiel Galiléen : le solide Terre, Repère orthonormé associé à la terre : (O, i , j ) - Système étudié : le solide de masse(m) - Forces appliquées :

Le poids P (essentiellement action de le Terre sur le solide)

La force F (action de la gouttièresur le solide)

- Le théorème de l’énergie cinétique : ∆Ec = ∑𝐹 ext = w (P ) + w (F )

Soit 1

2 m. VM

2 - 1

2 m. VO

2= mgh = mgr (1 - cos⟹ VM2 = 2gr (1 - cos

Soit : VM = √2gr(1 – cosθ)

Remarque : Lorsque le mobile glisse à partir de A : - l'angle augmente en partant de 0

- cosdiminue en partant de 1 - V² = 2 g R (1 - cos) augmente en partant de 0. La vitesse augmente lorsque le mobile descend donc le mouvement est circulaire et varié.

C. DETERMINATION DE LA REACTION A UN INSTANT QUELCONQUE

- La relation fondamentale de la dynamique : P + F = m a

Suivant u n on a PN + FN = maN⟹ Pcos- R = mVM

2

R⟹ F = mgcos-

𝑚

𝑟 [2gr (1 - cos)]

⟹ F = mgcos- 2mg + 2mgcos] ⟹ F = mg (3cos -2) Remarque : Lorsque le mobile glisse à partir de A : - l'angle augmente en partant de 0

- cosdiminue en partant de 1

- F = mg (3cos- 2) diminue en partant de F = m g. L’intensité F de la force exercée par la sphère sur le mobile diminue lorsque le mobile descend.

D. DETERMINATION DE L’ANGLE A PARTIR DUQUEL LE SOLIDE QUITTE LA GOUTTIERE

Lorsque le mobile quitte gouttière, l'action F de la gouttière sur ce mobile s'annule. La relation donnant F s'écrit alors :0 = m ( 3 cos1 - 2 ). On en déduit : cos1 = 2/3 soit : 1 = 48,2° = 0,841 rad. Cette valeur 1 = 48,2° pour laquelle le mobile quitte la gouttière est indépendante de la masse m du mobile et du rayon R de la gouttière immobile.

Remarque : Le mobile exerce sur la gouttière une force égale et opposée à F . Cette sphère doit donc être maintenue afin de rester immobile par rapport à la Terre.

3.3.2. EXERCICES D’APPLICATION ENONCE : PARTICULE GLISSANT SUR UNE SPHÈRE Une particule de masse m se met à glisser, sans frottement, à partir du sommet A d'une sphère immobile de rayon R.

1 Représenter et calculer, en fonction de R, g et la vitesse V de la particule au point M. Cette vitesse reste-t-elle constante ?

2 Représenter la force F exercée par la sphère sur le mobile et calculer sa valeur en fonction de m, g et Cette force reste-t-elle constante ? 3 Calculer numériquement l'angle 1 pour lequel la particule quitte la sphère.



SOLUTION

1 Déterminons la vitesse V de la particule au point M. Référentiel Galiléen : le solide Terre. Système étudié : la particule. Forces extérieures appliquées sur la particule :

- PoidsP : essentiellement attraction de la Terre sur la particule

- Force de contact F : action de la sphère sur la particule Appliquons le théorème de l'énergie cinétique: Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants t initial et t final, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.


2 m.V²final -

1

2 m.V²initial = W(F 1) + W(F 2) + ...

Ici, ce théorème se traduit par : 1

2 m V² - 0 = W (P ) + W (F ) (1)

Calculons les travaux des deux forces extérieures appliquées au mobile entre les points A et M :

W (P ) = m g h = m g R (1 - cos) (revoir le schéma ci-dessus)

W (F ) = 0 Joule car la force F reste perpendiculaire à la trajectoire (en l'absence de frottement)

Portons dans (1) : 1

2 m V² - 0 = m g R (1 - cos) + 0. On en déduit : V² = 2 g R (1 - cos) (2)

Lorsque le mobile glisse à partir de A : - l'angle augmente en partant de 0

- cos diminue en partant de 1 - V² = 2 g R (1 - cos) augmente en partant de 0. La vitesse augmente lorsque le mobile descend.

2 Calculons la valeur de force F exercée par la sphère sur le mobile. - Appliquons le théorème du centre d'inertie: Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse

du solide par l'accélération de son centre d'inertie : F 1+ F 2+ F 3 = ma G. Ici, on écrit : F + mg = ma Projetons cette relation sur la normale de Frenet:

Suivant u T 0 + m g cos (90° -) = m 𝑑𝑉

𝑑𝑡 Suivant u N - F + m g cos= m

V2

R

Portons V² = 2 g R (1 - cos) dans - F + m gcos= m V2

R

On obtient: - F + m g cos= m 2 g (1 - cos) soit F = m g ( 3 cos- 2 ) - Lorsque le mobile glisse à partir de A : - l'angle augmente en partant de 0

- cosdiminue en partant de 1

- F = m g (3 cos- 2) diminue en partant de F = m g. La force F exercée par la sphère sur le mobile diminue lorsque le mobile descend. 3 Calculons numériquement l'angle 1 pour lequel la particule quitte la sphère.

Lorsque le mobile quitte la sphère, l'action F 1 de la sphère sur ce mobile s'annule. La relation F = m g (3 cos- 2) s'écrit alors : 0 = m (3 cos1 - 2). On en déduit : cos1 = 2 / 3 soit : 1 = 48,2° = 0,841 rad Cette valeur 1 = 48,2° pour laquelle le mobile quitte la sphère est indépendante de la masse m du mobile et du rayon R de la sphère immobile.

Remarque : Le mobile exerce sur la sphère une force égale et opposée à F . Cette sphère doit donc être maintenue afin de rester immobile par rapport à la Terre.

http://pagesperso-orange.fr/physique.chimie/Cours_de_physique/Physique_9_MOUVEMENTS_CIRCULAIRES_NON_UNIFORMES.htm#ANCRE solution



LLEEÇÇOONN NN°°44 :: LLAA GGRRAAVVIITTAATTIIOONN UUNNIIVVEERRSSEELLLLEE Durée : 06h Classe : T°S

INTRODUCTION L’idée de la gravitation fut émise par le savant anglais Sir Isaac Newton qui partait d’une simple observation de la chute d’un fruit. Par la suite dans son ouvrage (Principes mathématiques de philosophie naturelle, 1686), il émit les lois de la mécanique (les trois (03) de NEWTON) complétées par la loi de la gravitation universelle. Dans la suite de la leçon, après avoir parlé de la loi de la gravitation universelle, nous limiterons notre étude aux satellites en orbites circulaires. Cette leçon comporte sept (07) paragraphes. UN PEU D’HISTOIRE Depuis la plus haute Antiquité les hommes ont cherché à décrire et à comprendre le mouvement des objets célestes. Pendant tout le Moyen Age, appliquant le système du savant grec Ptolémée Claude (2° siècle), on pense que la Terre est le centre du monde et que les astres tournent autour d'elle. Copernic Nicolas, savant Polonais, montre que la Terre, comme les autres planètes, tourne sur elle même et autour du Soleil (Traité sur les révolutions du monde céleste, 1543). Kepler Johannes, savant allemand, exploite les mesures de son maître danois Tycho Brahé et énonce les trois lois qui régissent le mouvement des planètes autour du Soleil (La nouvelle astronomie, 1609). C'est le savant anglais Sir Isaac Newton qui énonce la loi de gravitation universelle, permettant d'expliquer de nombreux mouvements célestes (Principes mathématiques de philosophie naturelle, 1686). Certains phénomènes seront expliqués par la mécanique relativiste d'Einstein au 20° siècle. La connaissance de l'Univers physique occupe, encore de nos jours, de nombreux chercheurs.

1. INTERACTION GRAVITATIONNELLE 1.1. LOI DE GRAVITATION UNIVERSELLE SOUS SA FORME VECTORIELLE

En 1687, Newton énonce la loi suivante : Deux objets ponctuels A et B exercent l'un sur l'autre une force attractive dirigée suivant la droite qui les joint. Cette force varie proportionnellement au produit de leurs masses et à l'inverse du carré de la distance qui les sépare.

F A = - F B = GMAMB

r2u AB ou FA = FB =

GMAMB

r2

- u AB est le vecteur unitaire dirigé de A vers B. - r est la distance qui sépare A et B. - G est la constante de gravitation : G = 6,67.10 - 11 dans le système international d'unités (S.I.) Remarque : Cette relation est encore vraie pour deux objets à répartition sphérique de masse. La distance r est alors égale à la distance séparant le centre des deux sphères. Elle servira, en particulier, à expliquer pourquoi la Lune décrit une trajectoire quasi circulaire autour de la Terre.

1.2. EFFET DE LA LOI DE NEWTON EXECICE 1 : Calculer la force d’interaction entre deux corps de masse 1 kg chacun, placés à 1m l’un de l’autre. Comparer cette force à leurs poids. SOLUTION : F = G.M1M2 / r² = (6,67 x 10 – 11 x 1 x 1)/12 = 6,67 x 10 – 11 N et P1 = P2 = m1 = m2 = 1x 10 = 10 N. On constate que F << P donc la force de gravitation n’est pas perceptible. EXERCICE 2 : Cas ou l’un des objets est la terre MT = 6 x 1024 kg. SOLUTION : F = G.M1M2 / r² = (6,67 x 10 – 11 x 6 x 1024x 1)/12 = 4 x 104 N. On constate que F >> P donc l’objet est attiré par la terre.

1.3. CONCLUSION



Entre deux objets ponctuels quelconques s’appliquent l’interaction gravitationnelle mais n’est perceptible que si l’un des objets ait la dimension d’un astre.

2. CHAMP DE GRAVITATION - VECTEUR CHAMP DE GRAVITATION �� 2.1. LE CHAMP DE GRAVITATION

Supposons qu’en un point B de l’espace, un objet ponctuel de masse m1 soit soumis à la force gravitationnelle F 1.

Des objets de masses respectives m2, m3, …, placés en ce point, seront également soumis aux forces respectives F 2,

F 3, … L’expérience montre que : F1

m1 =

F2

m2 =

F3

m3 = ….. = Cte.

Cette constante définit le champ de gravitation noté 𝓰 créé au point B.

2.2. LE VECTEUR CHAMP DE GRAVITATION

En un point B de l'espace existe un champ de gravitation caractérisé par le vecteur ℊ si un corps de masse MB, placé

en B, est soumis à une force gravitationnelle : F B = MB ℊ (2) Définition : En un point de l’espace, le vecteur champ de gravitation ℊ est égal au quotient de la force de gravitation

F subie par un objet ponctuel placé en ce point par la masse m de l’objet ℊ = F

𝑚

Unités : Dans le système international (SI) F(N) m (kg)ℊ(N/kg) Remarque 1: Le vecteur ℊ représente le vecteur champ de gravitation créé en B par les masses autres que MB Remarque 2 : Le champ de gravitation garde la même valeur sur tous les points situés à égale distance de m (sur le cercle de centre A) : on dit que le champ est radial.

2.3. VECTEUR CHAMP DE GRAVITATION CREE PAR UN OBJET PONCTUEL Un objet ponctuel de masse MA, placé au point A, engendre un champ de gravitation �� au point B, situé à la distance r

du point A : �� = - 𝐆𝐌𝐀

𝐫𝟐 �� AB

Remarque: Le signe moins (-) montre que ℊ est centripète (il est toujours orienté vers la masse qui le crée).

Cette dernière relation est une conséquence des relations FB = GMAMB

r2 et FB = MB.ℊ.

2.4. VECTEUR CHAMP DE GRAVITATION CREE PAR UN OBJET A REPARTITION SPHERIQUE DE MASSE

Un objet à répartition sphérique de masse est un objet sphérique dont la matière est répartie uniformément ou en couches sphériques. Exemple : Soleil, Planètes… Remarque : Certains satellites naturels, les comètes, les astéroïdes ne le sont pas. Nous admettons que le champ de gravitation créé par un objet à répartition sphérique de masse est le même, pour un point extérieur, que celui créé par un objet ponctuel de même masse, placé en son centre.

3. CHAMP DE PESANTEUR - CHAMP DE GRAVITATION TERRESTRE 3.1. POIDS ET FORCE DE GRAVITATION

- On appelle poids �� d'un objet ponctuel, situé en un point M donné, la force �� s'opposant à la tension du fil qui maintient cet objet ponctuel au repos par rapport au solide Terre, pris comme référentiel.

Dans ce système de référence, le poids P de l'objet ponctuel peut se mettre sous la forme : P = m g où g est, par définition, le vecteur champ de pesanteur terrestre au point M considéré. Remarque : Pour un objet de dimensions finies le montage devrait se trouver sous vide afin de s'affranchir de la poussée d'Archimède.

- On appelle force de gravitation de NEWTON 𝐹 Newton d’un objet ponctuel, situé en un point M donné, la force d'attraction qu'exerce la terre sur cet objet.



3.2. CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

La terre est considérée comme un objet sphérique de masse MT = 6.1024 kg et dont le rayon est R = 6400 km. Dans un domaine restreint au voisinage de la Terre, on peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme : le vecteur champ de pesanteur g a même direction, même sens et même valeur (g = 9,8 N/kg) en tout point de ce domaine restreint (voir l'étude des chutes rectilignes ou paraboliques dans la leçon précédente).

3.3. RELATION ENTRE CHAMP DE PESANTEUR �� ET CHAMP DE GRAVITATION ��

3.3.1. DISTINCTION ENTRE LE POIDS �� D’UN OBJET ET LA FORCE D’ATTRACTION𝐅 Newton QU’EXERCE LA TERRE SUR CET OBJET

On peut écrire : P = F Newton + F 1 + F 2

- P est le poids de l'objet.

- F Newtonest la force d'attraction qu'exerce la terre sur cet objet.

- F 1 est la force due à l'attraction des astres autres que la terre (lune, soleil, etc) sur cet objet.

- F 2 est la force due à la rotation de la terre.

3.3.2. EGALITE ENTRE CHAMP DE GRAVITATION ET CHAMP DE PESANTEUR

Dans les problèmes étudiés en terminale S on peut négliger F 1 et F 2. On confond alors le poids d'un objet et la force d'attraction de Newton qu'exerce la terre sur cet objet.

On écrit : P = F Newtonsoit, en confondant la masse pesante et la masse gravitationnelle : m g = m ℊ ou encore : g = ℊ On confond le vecteur champ de pesanteur g et le vecteur champ de gravitation ℊ au voisinage du sol de la terre.

C’est également le cas au niveau des pôles. ℊ = GMT

R2 = (6,67.10 – 11 x 6.1024)/(6400.103)2 = 9,8 N/kg.

3.3.3. DIFFERENCE ENTRE CHAMP DE GRAVITATION ET CHAMP DE PESANTEUR

Le champ de gravitation de la terre de masse M0, de rayon R0, varie avec l'altitude h : - Au niveau du sol, on peut écrire ℊ0 = G.M0 / R0

2ou encore G.M0 = ℊ0. R02

- A l'altitude h (r = R0 + h) on écrit ℊ = G.M0 / r² ou encore G.M0 = ℊ.r² Les relations ci-dessus permettent d'écrire : ℊ. r² = ℊ0.R0

2

Comme r = R0 + h, la relation ci-dessus s'écrit encore ℊ = ℊ0 (R0

R0+ h)

3.4. EXPRESSION AFFINE DU CHAMP DE GRAVITATION 𝓰 EN FONCTION DE h

D’après la relation ℊ = ℊ0 (Ro

Ro+ h) 2 , nous avons : (

Ro

Ro+ h)2 =(

Ro

Ro )2 x (

1

1+ h

Ro

)2 = (1 + ℎ

𝑅𝑜)- 2

On sait que si ℰ << 1 alors (1 + ℰ) n = 1 + n ℰor ℎ

𝑅𝑜<< 1 car h << R0 donc (1 +

ℎ

𝑅𝑜)- 2 = 1 -

2ℎ

𝑅𝑜

D’où 𝓰(h) = - 𝟐𝓰𝐨

R0h+ 𝓰0R0. Cette équation est une fonction affine de l’altitude h.

4. ETUDE DYNAMIQUE

4.1. NATURE DU MOUVEMENT D’UN SOLIDE DANS LE CHAMP DE GRAVITATION TERRESTRE Exemple :Cas du mouvement de la lune autour de la terre Système étudié : la Lune de masse m, située à la distance r du centre de la Terre. Référentiel Galiléen : le référentiel géocentrique. Bilan des forces extérieures : Une seule force extérieure est

appliquée sur la Lune F : attraction gravitationnelle de la Terre sur la Lune.

Théorème du centre d’inertie : ∑ F ext = m a ⟹ m ℊ = m 𝑎 ⟹ 𝑎 = ℊ = ℊ u N + 0 u T ⟹ 𝑎 = 0 u T+ (G.M0/r2 ) u N = 0 u T + ( ℊ0 . R0

2)/r2 u N Donc aN = ℊ = v ²/ r = (ℊ0 . R02)/r2



⟹ r = (ℊ0 . R02)/V2 trajectoire circulaire.

aT = 0 = dV

dt⟹ V = cte mouvement uniforme. D’où le mouvement est circulaire uniforme

4.2. EXPRESSION DE LA VITESSE DANS LE CHAMP DE GRAVITATION

La relation r = ( ℊ0 . R0²)/V2 permet de calculer la vitesse : v ² = G M / r = (ℊ0. R0²)/r

Soit V= R0√ℊo

𝐫 = R0√

ℊo

𝐑𝐨+𝐡

4.3. EXPRESSION DE LA PERIODE DANS LE CHAMP DE GRAVITATION

La période est la durée nécessaire pour effectuer un tour complet (durée au bout de laquelle le mouvement se répète identiquement à lui-même).

La période de révolution de la Lune autour de la terre est, dans le référentiel géocentrique : T = Périmètre

v =

2 π r

v soit T

= 𝟐 𝛑 (R0+𝐡)

𝐑𝐨√

R0+𝒉

𝓰𝒐

4.4. EXPRESSION DE LA VITESSE ANGULAIRE

𝜔 = 2 π

T =

2 π

2 π (Ro+h)

Ro√

𝑅𝑜+ℎ

ℊ𝑜

soit 𝝎 = R0

R0+𝐡√

𝓰𝒐

R0+𝒉

4.5. LES TROIS (03) LOIS DE KEPLER

Les études astronomiques ont permis à KEPLER de déterminer le mouvement réel des planètes autour du soleil et d’établir les lois qui portent son nom. Dans le référentiel héliocentrique, la terre tourne sur elle-même et autour du soleil ; le soleil tourne sur lui-même. Ces trois lois sont valables dans le référentiel héliocentrique, considéré comme étant Galiléen.

4.5.1. PREMIERE LOI DE KEPLER (1609). Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit une trajectoire elliptique dont le Soleil S est l'un des foyers. Rappel : Une ellipse est formée par l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes ( les foyers F et F' ) est constante : MF + MF' = 2a . Remarque : Un cercle peut être considéré comme une ellipse dont les deux foyers sont confondus.

http://pagesperso-orange.fr/physique.chimie/TS_Physique/Physique_11_LA_MECANIQUE_DE_NEWTON.htm#heliocentique_geo



4.5.2. DEUXIEME LOI DE KEPLER (1609). Dans le référentiel héliocentrique, le segment de droite qui relie les centres du Soleil S et de la planète M "balaie" des aires égales pendant des durées égales. La vitesse la plus grande de la planète est en A, point le plus rapproché du Soleil (périhélie). La vitesse la plus faible est en A', point le plus éloigné du Soleil(Aphélie).

Remarque : Les vitesses moyennes pendant ces balayages sont : V1 = 𝑙1

ℸ , V2 =

𝑙2

ℸ , V3 =

𝑙3

ℸ or l1 > l2 > l3

Donc V1 > V2 > V3. L’inégalité des vitesses montre que la vitesse augmente lorsque la planète s’approche du périhélie et diminue lorsque la planète s’approche de l’Aphélie.

4.5.3. TROISIEME LOI DE KEPLER (1619). Dans le référentiel héliocentrique, le rapport entre le carré de la période de révolution T de chaque planète et le cube du demi-grand axe a de l'orbite elliptique est constant : T2 / a3 = Cte La valeur de la constante ne dépend que du Soleil.

En effet, T = 2 π (Ro+h)

Ro√

𝑅𝑜+ℎ

ℊ𝑜 =

2 π r

Ro√

𝑟

ℊ𝑜⟹T2 =(

2 π r

Ro )2

𝑟

ℊ𝑜⟹T2 =(4π2r3/ℊ0R0

2)

Soit T2 / a3 = (4π2/ 𝓰0𝐑𝟎𝟐 ) = Constante

Remarque : Les trois lois de Kepler sont également valables pour les satellites de la Terre dans le référentiel géocentrique. La constante figurant dans T2/a3 = Cte ne dépend alors que de la Terre.

5. ETUDE ENERGETIQUE 5.1. EXPRESSION DE L’ENERGIE CINETIQUE

Par définition Ec = 1

2 m V2 or v ² = G M / r=( ℊ0 . R0²)/r ⟹ Ec =

1

2 m ( ℊ0 . R0²)/r

Soit Ec = 𝐆 𝐌 𝐦

𝟐 𝐫avec r = R0 + h

5.2. EXPRESSION DE L’ENERGIE POTENTIELLE

On étudie le système solide + terre

Le théorème de l’énergie potentielle ΔEp = - ∑W(F int) or F = - 𝐺𝑀𝑚

𝑟2��

Dans un petit domaine de variation de r, on a : dEp = - dW(𝐹 )

⟹ ∫dEp = - ∫𝑑𝑊(𝐹 ) avec dW = F . dr = F dr

⟹ ∫dEp = - ∫𝐺𝑀𝑚

𝑟2 dr = -G ⟹ Ep(r) = Mm [ -

1

𝑟 ] + cte

⟹ Ep(r) = - 𝐺𝑀𝑚

𝑟 + cte

Les constantes sont données par les conditions de l’énoncé : aux limites (au sol et à l’∞) Ep = 0.

1er cas : Ep(∞) = 0 , alors cte = 0 ⟹ Ep(r) = - 𝑮𝑴𝒎

𝒓





2ème cas : Ep(r = R0) = 0 , alors Ep(R0) = - 𝐺𝑀𝑚

𝑅𝑜 + cte = 0 ⟹ cte =

𝐺𝑀𝑚

𝑅𝑜⟹ Ep(r) = -

𝑮𝑴𝒎

𝒓 +

𝑮𝑴𝒎

𝑹𝒐

En général on prend Ep(r) = - 𝑮𝑴𝒎

𝒓avec r = R0 + h

5.3. EXPRESSION DE L’ENERGIE MECANIQUE

Em = Ec + Ep = G M m

2 r -

𝐺𝑀𝑚

𝑟 soit Em= -

𝑮𝑴𝒎

𝟐𝒓

Remarque : Em = - Ec et Em = 1

2 Ep

6. APPLICATION AUX SATELLITES A TRAJECTOIRE CIRCULAIRE 6.1. DEFINITION D’UN SATELLITE

Un satellite artificiel est un objet fabriqué par l'homme, envoyé dans l'espace à l'aide d'un lanceur et gravitant autour d'une planète ou d'un satellite naturel comme la Lune. La vitesse imprimée par la fusée au satellite lui permet de se maintenir pratiquement indéfiniment dans l'espace en décrivant une orbite autour du corps céleste. Celle-ci, définie en fonction de la mission du satellite, peut prendre différentes formes — héliosynchrone, géostationnaire, elliptique, circulaire — et se situer à des altitudes plus ou moins élevées classifiées en orbite basse, moyenne ou haute. Exemple : Remarque : Un corps satellisé ne revient jamais sur Terre. Le premier satellite artificiel Spoutnik I est lancé par l'URSS en 1957. Depuis cette époque, plus de 5 500 satellites artificiels ont été placés en orbite. Applications : Les satellites jouent désormais un rôle important à la fois sur les plans économique (télécommunications, positionnement , prévision météorologique), militaire (renseignement) et scientifique (observation astronomique, microgravité, observation de la Terre, océanographie, altimétrie). Ils sont, en particulier, devenus des instruments incontournables pour notre compréhension de l'univers physique, la modélisation des changements climatiques et le fonctionnement de la société de l'information.

6.2. SATELLITE GEOSTATIONNAIRE Les satellites sont des engins destinés à tourner sur des orbites. Certains d’entre eux évoluent d’Ouest en Est, dans le plan équatorial, avec une vitesse angulaire et une période égales à celle de la terre. Ils semblent immobiles par rapport à un observateur terrestre : ce sont des satellites géostationnaires.

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/wiki/Altim%C3%A9trie

/wiki/Cosmologie

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Remarque : Un satellite géostationnaire est un satellite artificiel qui se trouve sur une orbite géostationnaire. Il fait partie des satellites dits « passifs », c'est-à-dire qui ont besoin d'une source de rayonnement extérieur quand il s'agit de collecter des données.

6.3. PERIODE D’UN SATELLITE La période satellitaire est le temps au bout duquel le satellite repasse sur le même point pour la première fois. Un satellite géostationnaire située à 35 786 km d'altitude possède une période de révolution très exactement égale à la période de rotation de la Terre (soit environ égale à 24h) et paraît immobile par rapport à un point de référence à la surface de la Terre, c’est-à-dire reste toujours à la verticale du même point sur terre, propriété utilisée pour en faire des satellites d'observation, de télécommunications, ou bien de télédiffusion. Pour respecter cette propriété, un satellite géostationnaire se situe forcément dans le plan de l'équateur. Son taux de rotation (sa vitesse angulaire de rotation ) est égal à celui de la Terre, soit environ 15°/heure. Les satellites géostationnaires sont de basse résolution. Ainsi pour exemple NOAA est un satellite dont la résolution est de 1 km (c'est-à-dire que l'unité d'affichage élémentaire fait 1 km de côté) Cette basse résolution est due au fait que les données recueillies ne nécessitent pas une grande précision cartographique ; de plus ces satellites sont utilisés pour des applications (comme la météorologie) nécessitant une vision la plus large possible. Ces satellites, qui sont en orbite, ne peuvent également pas voir les 2 pôles.

6.3.1. RAYON DE L’ORBITE DU SATELLITE La 3ème loi de Kepler permet de calculer le rayon

T2 = (4π2r3/ ℊ0R02) ⟹ r3 =

ℊ0R02T2

4π2 ( ℊ0R02T2/4π2) soit r = √

ℊ0R02T2

4π2

3

Applications numériques : ℊ0 = 9,8N/kg , R0 = 64.105 m et T = 24h = 86400s donc r = 42 155km .

6.3.2. L’ALTITUDE DU SATELLITE R = R0 +h donc h = r - R0 = 42 155 – 6400 soit h = 35 755 km.

6.4. LES VITESSES COSMIQUES 6.4.1. VITESSE DE SATELLISATION OU 1ERE VITESSE COSMIQUE A. DEFINITION

La vitesse de satellisation minimale Vs (le terme correspondant en anglais est minimum velocity of orbitation), dans le domaine de l'astronautique, est la vitesse minimale qu'il faudrait théoriquement communiquer à un corps au départ d'un astre pour le satelliser au plus près de ce dernier sur une orbite circulaire. Pour la Terre, cette vitesse, dite aussi « première vitesse cosmique » (first space velocity), est d'environ Vs = 7,920 km/s par rapport à un repère inertiel géocentrique.

B. RELATION MATHEMATIQUE DANS LE CAS DE LA TERRE L'astre est supposé sphérique et de centre de masse confondu avec le centre de la sphère. La seule force appliquée au corps est la force gravitationnelle. Le corps est en mouvement circulaire et uniforme autour de l'astre. La vitesse de satellisation minimale correspond à la vitesse dans le champ de gravitation pour de basses altitudes (h

<< R0) et est donnée par la formule :

Vgravitation = R0√ℊ𝑜

𝑟 = R0√

ℊ𝑜

𝑅𝑜+ℎ si h<< R0 on obtient Vs =Vgravitation =√ℊoR0

Soit Vs = √𝟗, 𝟖 𝐱 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 7,920 103 m/s =7,920 km/s

6.4.2. VITESSE DE LIBERATION OU 2EME VITESSE COSMIQUE A. DEFINITION

La vitesse de libération VL (aussi appelée vitesse d'évasion, vitesse parabolique, vitesse de fuite, ou vitesse d'échappement, en anglais escape velocity) d'une planète est la vitesse qui, si elle est impartie à un objet à la surface de

http://fr.wikipedia.org/wiki/Satellite_artificiel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Orbite_g%C3%A9ostationnaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Altitude

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9riode_de_r%C3%A9volution

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9riode_de_rotation


http://fr.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9l%C3%A9communications

http://fr.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9l%C3%A9diffusion

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quateur_%28ligne_%C3%A9quinoxiale%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/National_Oceanic_and_Atmospheric_Administration

http://fr.wikipedia.org/wiki/Astronautique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Astre


http://fr.wikipedia.org/wiki/Orbite

http://fr.wikipedia.org/wiki/Terre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_cosmique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan%C3%A8te




cette planète, conduira à ce qu'il échappe définitivement à l'attraction gravitationnelle de cette planète (ceci en supposant négligeable la résistance de l'atmosphère). Formulé autrement, c'est la vitesse minimale que doit atteindre théoriquement un corps pour s'éloigner indéfiniment d'un astre malgré l'attraction gravitationnelle de ce dernier. La vitesse de libération d'une planète est aussi la vitesse qu'un corps, initialement au repos et à distance infinie, acquiert en tombant jusqu'à la surface de la planète. La vitesse de libération d'un astre se calcule d'après la formule suivante :

B. RELATION MATHEMATIQUE DANS LA CAS DE LA TERRE On part du principe selon lequel l'énergie mécanique du corps est constante au cours du temps : en effet, la seule force appliquée au corps est ici la force de gravitation, et cette force est conservative. Au sol (altitudeR0), la vitesse du corps est la vitesse de libération.

Son énergie mécanique est Em(Sol)= - ( ℊ0. R0².m)/R0 + 1

2 m VL

2

À une distance infinie, sa vitesse et son énergie potentielle de gravitation sont nulles. Son énergie mécanique est donc nulle Em(∞)= 0.

Em = constante donc ∆Em = Em(∞) - Em(Sol)= 0 + ( ℊ0. R0².m)/R0 - 1

2 m VL

2= 0.

⇒( ℊ0. R02m)/R0 =

1

2 m VL

2 soit VL= √2. ℊo. R02 = √2 . Vs soit VL= 11,2 km/s.

Remarque 1: La vitesse de satellisation minimale Vs est la vitesse minimale nécessaire à un corps pour être placé (et rester) en orbite autour de l'astre, et donc pour ne pas retomber dessus ; elle correspond à la vitesse que doit posséder le corps pour être en orbite circulaire de rayon r à distance minimale de l'astre.

Si la vitesse V du corps envoyé depuis l'astre est inférieure à la vitesse de satellisation minimale Vs (V < Vs), le corps retombe sur l'astre ;

si la vitesse est égale à la vitesse de satellisation minimale (V =Vs), le corps est placé en orbite circulaire (MCU autour de l’astre) ;

si la vitesse est supérieure à la vitesse de satellisation minimale (mais inférieure à la vitesse de libération) (Vs< V < VL), le corps aura une trajectoire elliptique ;

si la vitesse est supérieure ou égale à la vitesse de libération V ≥ VL), le corps échappera définitivement à l'attraction gravitationnelle de l'astre.

Illustration du raisonnement d'Isaac Newton. Depuis le sommet d'une montagne, un canon envoie des projectiles avec chaque fois plus de puissance. Les projectiles A et B retombent sur terre. Le projectile C entre en orbite circulaire, D en orbite elliptique. Le projectile E se libère de l'attraction terrestre. Remarque 2: Contrairement à une croyance répandue, il n'y a aucun besoin que la vitesse (pour permettre la libération du satellite) soit verticale : la vitesse de libération est une quantité scalaire et non pas vectorielle. Il s'agit en fait d'une énergie cinétique de libération, mais comme celle-ci est proportionnelle à la masse de l'objet, il est commode de la caractériser par la vitesse qui lui est associée. Peu importe la direction vers laquelle le corps se dirige, sous réserve tout de même que ce ne soit pas directement vers la planète ! On peut aussi parler de vitesse parabolique : c'est la valeur, exprimée en fonction d'une planète, de la vitesse qu'il faut donner à un objet pour que la trajectoire de cet objet soumis exclusivement à l'attraction de cette planète soit une parabole (qui pourrait être dégénérée).

7. APPLICATION PROBLEME RESOLU: SATELLITE A ORBITE CIRCULAIRE: La Lune. Troisième loi de Kepler

On admet que la Lune décrit une trajectoire circulaire, de rayon r = 384000 km, autour de la Terre. La Terre est assimilée à une sphère de masse M = 6,0.10 24 kg et de rayon R = 6400 km.1. Définir le référentiel géocentrique. 2. Calculer, dans le référentiel ci-dessus, la vitesse v de la lune et sa période de révolution T. Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10 - 11 S.I. (Système international d'unités) 3. Etablir la troisième loi de Kepler T2 / r3 = 4. ² / G.M. En déduire la période de révolution du télescope Hubble qui gravite autour de la Terre à l'altitude h = 600 km.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gravit%C3%A9


http://fr.wikipedia.org/wiki/Astre

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_m%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_de_lib%C3%A9ration

http://fr.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://fr.wikipedia.org/wiki/Scalaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_cin%C3%A9tique



SOLUTION 1. Le référentiel géocentrique supposé Galiléen est un solide formé par le centre de la terre et par les centres de 3 étoiles lointaines (les quatre points n'étant pas dans un même plan). Dans ce référentiel Paris décrit un cercle. 2. Déterminons la vitesse v de la lune et sa période de révolution T Référentiel Galiléen : le référentiel géocentrique. Système étudié : la Lune de masse m, située à la distance r du centre de la Terre. Une seule force extérieure est appliquée sur la Lune :

F : attraction gravitationnelle de la Terre sur la Lune.

On peut écrire, dans la base de Frenet( u T,u N ) : F = 0 u T + GMm

r2u N

Appliquons la deuxième loi de Newton (théorème du centre d'inertie): Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse

du solide par l'accélération de son centre d'inertie : ∑ F ext = ma G

Ce théorème s'écrit ici : F = ma soit 0 u T + GMm

r2u N = m(

dv

dtu T +

V2

ru N)

Identifions les coefficients de u T, d'une part, puis ceux de u N, d'autre part. 0 = m dv

dt et

GMm

r2 = m

V2

r

La relation entraîne aT = dv

dt = 0 et montre que la vitesse a une valeur constante. L'accélération tangentielle est nulle

mais il y a une accélération centripète aN = V2

r =

GM

r2 car la direction du vecteur vitesse varie.

La relation ci-dessus permet de calculer la vitesse : v ² = G M / r L'énoncé donne : G = 6,67 x 10 - 11 SI M = 6,0 x 10 24 kg, r = 384000 km = 384000000 m = 3,84 x10 8 m Portons ces valeurs dans la relation : v ² = 6,67 x 10 - 11 x6,0 x 10 24 / 3,84 x10 8 = 1,042 x10 6 m² / s² Soit v = 1021 m / s. La période de révolution de la Lune autour de la terre est, dans le référentiel géocentrique : T = 2 r / v soit, numériquement : T = 2,363 x 10 6 s = 27,3 jours Remarque : L'accélération du centre d'inertie de la Lune est telle que :

aT = dv

dt = 0 m/s2 et aN =

V2

r = (1021)2 / (3,84 x 108) = 2,7 x 10 - 3 m/s2 donc a = 0,0027u N

3. Les relations v ² = G M / r et T = 2r / v entraînent : T ² = 4 ² r ² / v ² = 4 ² r ² / (G M r -1) Soit : T ² / r 3 = 4 ² / (G M) = constante. C'est la troisième loi de Kepler. Pour le satellite Hubble (r1 = R + h = 6400 + 600 = 7000 km = 7 x 10 6 m) on trouve une période T1 telle que T1² / r1

3 = T ² / r 3 soit : T12 = T 2 (r1 / r) 3 = (2,363 x 10 6) 2 (7 x 10 6 / 3,84 x 10 8) 3 T1

2 = 3,38 x 10 7 s² Soit T1 = 5816 s = 1 h 37 min

http://pagesperso-orange.fr/physique.chimie/Cours_de_physique/LEXIQUE_DE_PHYSIQUE.htm#ANCRE Géocentrique



LECTURE : VALEURS REMARQUABLES DE VITESSE DE LIBERATION

La vitesse de libération d'un corps quittant la surface de la Terre, dite aussi deuxième vitesse cosmique, est de l'ordre de 11,2 km/s (soit environ 40 000 km/h) par rapport à un repère inertiel géocentrique. Par comparaison, celle de Jupiter est de 59,5 km/s. La sonde Luna 1 fut, en 1959, le premier objet construit par l'homme à atteindre la vitesse de libération terrestre lors de son trajet en direction de la Lune. La vitesse de libération d'un corps quittant le système solaire, dite aussi troisième vitesse cosmique, est de l'ordre de 16,6 km/s par rapport à un repère inertiel géocentrique.

Vitesse de libération d'un véhicule spatial ...

Position Pour échapper à Ve

Position Pour échapper à Ve

à la surface du Soleil,

l'attraction du Soleil 617,5 km/s

à la surface de Mercure,

l'attraction de Mercure 4,3 km/s

à la surface de Mercure

l'attraction du Soleil

67,7 km/s

à la surface de Vénus,

l'attraction de Vénus 10,3 km/s

à la surface de Vénus,


49,5 km/s

à la surface de la Terre,

l'attraction de la Terre 11,2 km/s

à la surface de la Terre ou la Lune


42,1 km/s

à la surface de la Lune,

l'attraction de la Lune 2,4 km/s

à la surface de la Lune

l'attraction de la Terre

1,4 km/s

à la surface de Mars, l'attraction de Mars 5,0 km/s

à la surface de Mars, l'attraction du Soleil

34,1 km/s

à la surface de Jupiter,

l'attraction de Jupiter 59,5 km/s

à la surface de Jupiter,


18,5 km/s

à la surface de Saturne,

l'attraction de Saturne 35,6 km/s

à la surface de Saturne


13,6 km/s

à la surface d'Uranus,

l'attraction d'Uranus 21,2 km/s

à la surface d'Uranus


9,6 km/s

à la surface de Neptune,

l'attraction de Neptune 23,6 km/s

à la surface de Neptune,


7,7 km/s

dans le système solaire,

l'attraction de la voie lactée

~1000 km/s

http://fr.wikipedia.org/wiki/Terre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Deuxi%C3%A8me_vitesse_cosmique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Jupiter_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Luna_1

http://fr.wikipedia.org/wiki/1959

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lune

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_solaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Troisi%C3%A8me_vitesse_cosmique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Soleil

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mercure_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9nus_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Terre_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lune

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mars_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Jupiter_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Saturne_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Uranus_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Neptune_%28plan%C3%A8te%29



http://fr.wikipedia.org/wiki/Voie_lact%C3%A9e

http://fr.wikipedia.org/wiki/Voie_lact%C3%A9e



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