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1
Cours de Rayonnement Thermique
Jean-Luc Battaglia [email protected]
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2
Le processus physique de rayonnement thermique
vide
Ten
Tcp
instant initial
Teq
Teq
aprs un certain temps
isolation parfaite
-
3
Mise en vidence du transfert par rayonnement
Au bout dun certain temps, on mesure la temprature de la surface
interne de lenceinte et celle du corps. On trouve que ces deux
tempratures sont gales la mme temprature . Il y a eu donc transfert
dnergie sous forme de chaleur entre les deux corps. tant donn quil
ny a pas de transfert de chaleur entre lenceinte et le milieu
ambiant et que la chaleur ne peut pas voir t change par conduction
et convection entre le corps et la surface de lenceinte du fait du
vide, on en dduit que ce transfert na pu seffectuer que par le
biais dun troisime mode : cest le rayonnement thermique.
-
4
Nature physique duale onde - particule du rayonnement
Le rayonnement thermique est un phnomne
ondulatoire, il est donc dcrit par les relations de Maxwell pour
les ondes lectromagntiques.
Le rayonnement thermique est aussi un phnomne particulaires. La
mcanique quantique nous renseigne sur le comportement des photons
et sur leurs interactions avec les atomes constituants la
matire.
-
5
Le spectre lectromagntique
-
6
Explication physique simple de linteraction photon - atome
1
2
couche n
1s2
2s2 2p6
3s1
3
4
5
6
h f1 = E6-E3
h f 2= E3-E2
-
7
Absorption - mission Pour apprhender ce phnomne il suffit juste
de
comprendre quun atome est un diple lectrique : le noyau
constitue la charge positive et le cortge lectronique constitue la
charge ngative. A lquilibre, les centres de gravit des charges
positives et ngatives sont confondus. Par contre, lorsque cet atome
est mis en prsence dun champ lectromagntique, tel que celui associ
un photon, alors le diple est mis en mouvement doscillation. Lors
de cette oscillation, les centres de gravit peuvent alors ne plus
tre confondus et le diple lectrique prend une valeur non nulle. Ce
faisant, latome peut alors changer de lnergie avec le photon en
gnrant soit un phnomne dabsorption, soit un phnomne dmission.
-
absorbtion
8
+ -
+
-
,f
,f
,f
E
-
9
Nature des matriaux Le rayonnement thermique peut tre mis ou
absorb par les lectrons de manire quantifie dans latome, les
molcules ou les matriaux semiconducteurs.
Le rayonnement thermique peut tre mis ou absorb par les lectrons
de manire continue lorsquils sont libres dans les mtaux.
Les mouvements de translation - rotation des molcules dans les
gaz ou les liquides permettent dmettre ou dabsorber du rayonnement
thermique de manire quantifie.
-
10
Les corps noirs Un corps noir est une surface idale (qui
nexiste donc pas dans la nature) possdant les proprits suivantes
:
Il absorbe tout clairement indpendamment de la longueur donde et
de la direction de cet clairement.
A une temprature de surface quivalente, le rayonnement dun corps
noir est plus grand que celui de toute autre surface
Le rayonnement dun corps noir est isotrope
-
11
exemple de corps noirs
Le systme qui se rapproche au plus prs du corps noir est celui
constitu dune cavit isole de lambiance extrieure.
surface isotherme
a/ b/ c/
-
12
Loi de Planck Un photon i est li une onde de frquence et donc
de
longueur donde donne. Cette onde dfinit donc un mode. En
examinant la totalit des phonons, nous constatons que plusieurs
prsentent exactement le mme mode. Nous pourrons alors les regrouper
dans des ensembles se distinguant les uns des autres par la valeur
de ce mode. Comme le nombre de modes dans chaque ensemble est trs
grand, la mcanique statistique nous apprend que lnergie moyenne
pour le mode i est donne par la distribution de Bose :
exp 1 exp 1
i ii
i i
B B
e h fee h f
k T k T
= =
-
13
On montre que la densit volumique de modes est donne par : En
admettant ces deux rsultats, on peut alors donner lexpression
de
lnergie totale du gaz de photons : Soit encore avec : Nous
obtenons ainsi la loi de Planck qui est lexpression de la
densit
volumique dnergie spectrale du gaz de photons la temprature T
:
( )3 3
3 3 3 3
8 8i i i
L Lg e e h fh c h c
= =
( )3 2
30 0
8d dexp 1
ii i i i
i
B
L fE g e e e eh c h f
k T
= =
i i ie h f h c = =
( )3 50 0
8 1 d , dexp 1
B
E h c u TL h c
k T
= =
( ) 3 158 1, J m m
exp 1B
h cu Th ck T
=
-
14
Rayonnement des corps noirs
Luminance des corps noirs
0
20 2 1 10
5
2 W m m st
1Bh ck T
h cLe
=
Lindice 0 est souvent utilis pour les grandeurs physiques
associes un corps noir.
-
15
0 2 4 6 8 10 12100
101
102
103
104
105
106
107
108
10000 K
5000 K
3000 K
1500 K
1000 KCourbe des max
Longueur d'onde (m)
Lum
inan
ce h
mis
phr
ique
(W/m
m
)
UV IRvisible
-
16
Lois de Wien On drive la loi de Planck et on cherche tel que :
On trouve alors la longueur donde correspondant la luminance
maximale en fonction de la temprature du matriau : Cette valeur
correspond une luminance maximale : Ces deux relations constituent
les lois de Wien.
d 0dL
=
max
[ ]max 2897 m KT =
max
0 12 54,096 10L T=
-
17
Loi de Stefan - Boltzmann La loi de Lambert conduit exprimer la
relation de Planck sous la
forme dune fonction de lmittance du corps noir en fonction de la
temprature :
Avec : En remplaant la relation dans la dfinition de lmittance
totale,
relation , on obtient la relation de Stefan Boltzmann. Constante
de Stefan Boltzmann.
2
0 1
5 1C
T
CMe
=
8 4 21 3,742 10 W m mC
= 4
2 1,439 10 m KC =
0 4sM T=
8 2 45,670 10 W m Ks =
-
18
mission spectrale du corps noir
On recherche souvent calculer le flux mis dans une bande
spectrale bien dfinie et non sur la totalit du spectre. Nous
cherchons donc calculer :
Nous dfinissons pour cela la fonction : Cette quantit reprsente
la fraction de flux mis dans la
bande spectrale
0
0
dM
( )
00
00 4 4
0
dd
T
s s
MMF T
T T
= =
( )0
-
19
Graphe de la fonction F
102
103
104
105
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
T (m K)
F(0
->
)
1 2 2 10 0F F F =
-
20
Les notions gomtriques essentielles
90
75
60
45
30
150
0 0,2 0,4 0,6 0,820
8,2
4
1,62
1,0
0,43longueur d'onde m Angle d'mission
missivit directionnelle
90
75
60
45
30
150
0 0,2 0,4 0,6 0,8
Angle d'mission
mission directionnelle
0,4 m0,1 m0,05 m
Rugosit
-
21
Rayonnement isotrope et homogne
Lorsque le rayonnement est le mme dans toutes les directions de
lespace on dit quil est isotrope. Lorsque la rpartition spatiale du
rayonnement est indpendante de la longueur donde on dit quil est
homogne.
-
22
Modlisation gomtrique
ddS
L x
n
O
dS
-
23
Angle solide
2d sin d dS r =
2
dd Sr
=
d sin d d =
Quantit de chaleur transporte par les photons dans un cne
entourant une direction dmission. Nous appelons ce cne langle
solide. Cest une gnralisation de langle plan la configuration
sphrique. Langle solide sexprime en stradians (sr) et la sphre
mesure .
-
24
Grandeurs lies lmission
Luminance Nous appelons luminance le flux de chaleur mis par
un
corps par unit de surface de ce corps perpendiculaire la
direction dmission et par unit dangle solide :
La luminance est dfinie la longueur donde .
( ) d, ,d cos d
L
=
( ) d, ,d cos sin d d
L
=
-
25
Emittance
Lmittance est le flux mit par unit de surface mettrice :
Lmittance est dfinie la longueur donde . lmittance et la luminance
sont lis par la relation :
( ) d, ,d
M =
( ) ( ), , , , cos sin d dM L =
-
26
Quantit hmisphrique et totale
Pour toutes les quantits physiques lies au rayonnement, on
dsigne par hmisphrique lintgrale sur tout le domaine spatiale. La
grandeur est dite totale si elle est intgre sur tout le domaine
spectral, c'est--dire toutes les longueurs donde.
-
27
Application lmittance Emittance hmisphrique Lmittance
hmisphrique dsigne lintgrale de lmittance sur tout
lhmisphre entourant lmetteur : Elle ne dpend que de la longueur
donde.
Emittance hmisphrique totale Cest lintgrale sur tout le domaine
de longueur donde de lmittance
hmisphrique :
( )22
0 0
, , cos sin d dM L
= =
=
0
dM M
=
-
28
Loi de Lambert Si le rayonnement est isotrope, la luminance ne
dpend
plus des paramtres dangle. Dans ce cas, lmittance hmisphrique
devient :
De la mme faon pour lmittance hmisphrique
totale, on obtient la relation de Lambert :
22
0 0
cos sin d dM L L
= =
= =
M L=
-
29
Grandeurs lies au rcepteur
clairement Il dsigne le flux incident reu par unit de
surface de rcepteur perpendiculairement la direction dincidence
:
( ) d, ,d cos
E
=
-
30
Lien avec la luminance
Le flux incident peut toujours sexprimer partir de la luminance
:
Il faut bien noter que dans ce cas cest la luminance li au flux
incident et non celle lie au flux mit par la surface.
( ) ( ), , , , cos sin d dE L =
-
31
clairement hmisphrique et total
clairement hmisphrique Cest lintgrale de lclairement sur tout
lhmisphre
entourant le rcepteur :
clairement hmisphrique total Cest lintgrale sur tout le domaine
de longueur donde de
lclairement hmisphrique :
( )22
0 0
, , cos sin d dE L
= =
=
0
dE E
=
-
32
Loi de Lambert pour lclairement
Si lclairement est isotrope, il ne dpend plus des paramtres
dangle. Dans ce cas on obtient les relations suivantes pour
lclairement hmisphrique :
De mme pour lclairement hmisphrique total :
E L =
E L=
-
33
mission hmisphrique et totale Le coefficient dmission
hmisphrique dune surface relle est le
rapport entre la luminance hmisphrique de cette surface et celle
de la surface du corps noir quivalent :
Le coefficient dmission total est le rapport entre la luminance
totale et
celle du corps noir quivalent : Enfin, le coefficient dmission
total hmisphrique est le rapport entre
la luminance totale hmisphrique et celle du corps noir quivalent
:
( ) ( )( )0
L TT
L T
=
( ) ( )( )0, ,
, ,L T
TL T
=
( ) ( )( )0
L TT
L T =
-
34
Rayonnement des corps rels
missivit des corps rels Le coefficient dmission dun matriau est
dfinit comme
le rapport entre la luminance du corps rel avec la luminance du
corps noir quivalent :
Il est fonction de la direction dmission, de la longueur
donde du rayonnement mit ainsi que de la temprature.
( ) ( )( )0
, , ,, , ,
L TT
L T
=
-
35
Exemple
-
36
Absorptivit
Labsorptivit est le rapport entre le flux absorb et lclairement
:
Labsorptivit hmisphrique est le mme rapport
mais en considrant cette fois les grandeurs hmisphriques :
Labsorptivit totale hmisphrique est enfin :
( ) ( )( )
, ,, ,
, ,aE
E
=
,aEE
=
aEE
=
-
37
Rflectivit
La rflectivit est le rapport entre le flux rflchit et
lclairement :
La rflectivit hmisphrique est le mme rapport
mais en considrant cette fois les grandeurs hmisphriques :
La rflectivit totale hmisphrique est enfin :
( ) ( )( )
, ,, ,
, ,rE
E
=
,rEE
=
rEE
=
-
38
Transmissivit La transmissivit est le rapport entre le flux
transmis et lclairement : La transmissivit hmisphrique est le
mme
rapport mais en considrant cette fois les grandeurs hmisphriques
:
La transmissivit totale hmisphrique est enfin :
( ) ( )( )
, ,, ,
, ,tE
E
=
,tEE
=
tEE
=
-
39
galit fondamentale
Quelque soit la quantit tudie (spectrale, hmisphrique ou totale
hmisphrique, on doit toujours avoir :
( ) ( ) ( ), , , , , , 1 + + =
1 + + =
1 + + =
-
40
Radiosit La radiosit dsigne la somme du flux mis par un corps
et
de la fraction de flux incident qui est rflchit par ce mme corps
par unit de surface perpendiculaire la direction dmission -
rflexion. La radiosit est donc la somme de lmittance et de la
fraction dclairement rflchit :
( ) ( ) ( ), , , , , ,J M E = +
-
41
Radiosit hmisphrique et total Radiosit hmisphrique Cest la somme
de lmittance hmisphrique et de la
fraction dclairement hmisphrique rflchit : Radiosit hmisphrique
totale Cest la somme de lmittance hmisphrique totale et de
la fraction dclairement hmisphrique totale rflchit :
J M E = +
J M E= +
-
42
La loi de Kirchhoff
Ten
A1
E=M0
M
A lquilibre thermique, le flux qui est mis par le petit corps
doit tre gal ce qui est absorb : En remplaant lexpression de
lclairement de la relation dans la relation , on trouve lexpression
: Or nous savons que ce rapport est aussi la dfinition de lmissivit
hmisphrique totale (il suffit dutiliser la loi de Lambert liant
luminance et mittance pour retrouver lexacte galit).
( )1 1flux absorb flux mis
enE A M T A =
( )( )0
en
en
M TM T
=
-
43
Application de la loi de Kirchhoff aux quantits hmisphrique et
total
Pour tout corps, lmissivit totale hmisphrique est gale
labsorptivit totale hmisphrique :
Si on considre laspect spectral, la relation prcdente reste
vraie
et il suffit pour cela que le rayonnement du corps soit
isotrope. On a alors :
Si on considre en plus laspect directionnel, lgalit est vraie et
ne
ncessite mme plus la condition de rayonnement corps noir :
=
=
( ) ( ), , , , =
-
44
Les corps gris
( )0?0 0
d dE M T
E M
= = =
Comme , il ressort que pour que la relation soit vrifie il faut
que une des conditions suivantes le soit : Lclairement corresponde
une mittance de corps noir la temprature T, auquel cas : et donc .
Les grandeurs et sont indpendantes de , auquel cas la surface est
dite grise.
( )0M T E =( )0M T E=
1 2
=
-
45
Exercice 1 : une petite surface daire 3 210 mA = met de faon
isotrope (voir figure ci-dessous). On mesure la luminance totale
dans la direction normale la surface : 2 14500W m srnL
= . Le flux rayonn est intercept par 4 autres surfaces de mme
aire A . Sont surfaces sont orientes comme reprsent sur la figure (
0 0,7mr = ).
1. Quelle est la luminance totale dans les 4 directions dmission
associes aux 4 rcepteurs ?
2. Quelles sont les valeurs des angles solides sous lesquels les
4 surfaces rceptrices sont vues depuis lmetteur ?
3. Quelles sont les valeurs des flux intercepts par les 4
surfaces ? Hypothses : (H1) les surfaces mettent de manire homogne
et isotrope. (H2) Les surfaces sont suffisamment petites pour que
lon puisse considrer :
2 1i iA r .
r0
A
45 60
A
A
A30
r0
r0
1
2
3
4
-
46
Exercice 2 : une surface dont la temprature est de 1300 K met
avec lmissivit hmisphrique spectrale reprsente sur la figure
ci-dessous.
1 2
0,8
0,40,2
0 Les deux longueurs dondes caractristiques sont : 1 1,5 m = et
1 6 m = .
1. Dterminer lmissivit hmisphrique totale ainsi que lmittance
totale. 2. A quelle longueur donde se situe le maximum dmission
?
Hypothse : la surface met de manire isotrope.
-
47
Exercice 3 : on considre une cavit maintenue la temprature de
1500 K, comme reprsent sur la figure ci-dessous. Cette cavit est
dote dun petit orifice travers lequel le rayonnement de type corps
noir de la cavit est possible.
1. Calculer lmittance totale hmisphrique au travers de la cavit.
2. Quelle est la longueur donde en de de laquelle 15% de ce
rayonnement
est mis ? 3. Quelle est la longueur donde au-del de laquelle 20%
du rayonnement est
mis ? 4. Dterminer la valeur du maximum dmittance et la longueur
donde
laquelle il apparat. 5. Calculer lclairement total hmisphrique
dun petit objet plac
lintrieur de la cavit.
T=1500 K
1 max 2
0L
15%20%
( )0L T
( )0L T
-
48
Exercice 4 : Les proprits radiatives des surfaces relles opaques
sont souvent obtenues par rflectivit. Un exemple de mesure de
rflectivit hmisphrique spectrale la temprature de 1000 K est
reprsent sur le graphe de la figure ci-dessous. Les deux longueurs
donde caractristiques sont 1 1,5 m = et
1 6 m = . Calculer lmittance totale hmisphrique cette
temprature.
1 2
0,8
0,4
0,2
0
-
49
Exercice 5 : Une surface opaque est caractrise par son missivit
spectrale hmisphrique et son clairement hmisphrique reprsentes
toutes deux sur la figure ci-dessous.
1. Reprsenter la variation spectrale de la rflectivit
hmisphrique. 2. Calculer labsorptivit totale hmisphrique de la
surface. 3. La temprature initiale de la surface tant de 450 K et
son missivit totale
hmisphrique tant gale 0,65, la temprature va-t-elle crotre ou
dcrotre ?
(m)
1
0,20 6 8
(m)
1000
00 6 12
(W/mm)
4 10
-
50
Exercice 6 : Une petite bille mtallique opaque est place dans un
four dont la temprature des parois internes est maintenue T=1300 K.
Le vide est ralis lintrieur du four. La temprature initiale de la
bille est ( )0 450KbT = . Labsorptivit spectrale de la bille est
reprsente sur la figure ci dessous. La longueur donde
caractristique est 1 6m = . Le rayonnement pour le four et la bille
est isotrope.
1. Dterminer labsorptivit et lmissivit totales hmisphriques de
la bille linstant initiale.
2. Dterminer ces mmes grandeurs lorsque la bille a atteint sa
temprature constante dans le four.
3. Si on suppose que le diamtre de la bille est 1 cm, que sa
masse m est 100 g, et que sa chaleur spcifique par unit de volume
est -3 -1p 400J m KC = , dterminer la vitesse de monte en
temprature de la bille dans le four.
1
0,8
0,2
0
E M
T
bille
four
-
51
Exercice 7 : Le capteur solaire air que l'on tudie ici est
compos, comme le montre la coupe ci-dessous par un absorbeur (1) au
dessus duquel se trouve une plaque de verre (3). Dans l'espace (2),
entre l'absorbeur et la plaque de verre, le vide a t ralis.
L'absorbeur est en fait un changeur qui restitue une partie de son
nergie une masse d'air (4) (de chaleur massique Ca=1000 J kg-1 K-1
et initialement la
temprature T0=10 C) qui circule sous l'absorbeur avec un dbit
-10,25kgsm =
. Cet change se produit grce aux changes convectifs (h=25 W m-2
K-1) entre l'air et la paroi infrieure de l'absorbeur. La face
arrire du capteur est parfaitement isole donc adiabatique.
La face suprieure de l'absorbeur se comporte comme un corps noir
et sa face infrieure se comporte comme une surface parfaitement
rflchissante ( inf 1 = ). Les caractristiques radiatives du verre
sont donnes sur la figure ci-dessous :
-
52
On suppose que la temprature de l'absorbeur et celle de la vitre
sont uniformes et pour un bon fonctionnement du systme c'est--dire
une rcupration d'nergie suffisante, la temprature de l'absorbeur
doit atteindre Ta= 80C. Les changes convectifs entre la vitre et
lair ambiant sont ngligeables. Les dimensions du capteur seront
notes L suivant x et l=3 m suivant y. Dans l'air qui circule sous
l'absorbeur, la temprature est suppose uniforme dans chaque section
(y,z), autrement dit la temprature de l'air en circulation ne dpend
que de x.
1. Effectuer, sur une mme figure, une reprsentation qualitative
de l'volution de la temprature de l'absorbeur et de l'air en
circulation suivant x.
2. Effectuer un bilan thermique sur un lment de volume dair
compris entre x et x+x et dduire la loi d'volution de la temprature
de l'air, soit T(x).
3. Donner l'expression du flux total air rcupr par l'air lors de
son passage sous l'absorbeur. Pour que l'intensit de ce flux soit
air = 7500 W, quelle doit tre la longueur L de l'absorbeur et par
consquent sa surface S ?
4. Pour pouvoir atteindre le niveau de temprature voulu pour
l'absorbeur, on cherche dterminer quel devrait tre l'clairement
solaire E du capteur. Effectuer un schma de tous les changes
radiatifs se produisant au niveau du vitrage, et de
l'absorbeur.
5. Compte tenu des courbes fournies, prciser les valeurs des
coefficients d'absorption, de transmission et de rflexion de la
vitre dans le visible et l'ultraviolet pour
-
53
1. Si le rayonnement est isotrope, alors son intensit ne dpend
pas de la direction dmission. La luminance est donc : 2 14500W m
srnL L
= = . 2. Langle solide entre la surface i (2, 3 et 4) et la
surface 1 est donn par la
relation 21d cosi idA r = . Dans cette relation, i dsigne langle
que fait la surface i avec la direction du rayonnement incident
provenant de 1. Cependant, partir de lhypothse (H2) on peut dire
que r ne varie pas beaucoup vis--vis de 0r lorsque lon balaye la
surface i. On peut donc donner une valeur approche des angles
solides par :
332
2 1 2 20
cos 10 cos30 1,767 10 sr0,7
Ar
= = =
333
3 1 2 20
cos 10 cos0 2,041 10 sr0,7
Ar
= = =
332
4 1 2 20
cos 10 cos45 1,443 10 sr0,7
Ar
= = =
3. Pour calculer le flux intercept par la surface i (2, 3 et 4)
en venant de 1 on utilise la relation : 1 1 1cosj jL A = . Dans
cette relation, 1 dsigne langle que fait la direction du
rayonnement issu de 1 et incident aux surfaces i avec la surface 1.
On trouve alors :
3 3 31 2 1 2 1cos 7000 10 cos60 1,767 10 6,18 10 WL A
= = =
3 3 31 3 1 3 1cos 7000 10 cos0 2,041 10 14,29 10 WL A
= = =
3 3 31 4 1 4 1cos 7000 10 cos45 1,443 10 7,14 10 WL A
= = =
Solution Exo1
-
54
1. Daprs la dfinition de lmissivit totale hmisphrique, nous
avons : 21
1 2
0 00 02 31
0 00 0 0 0
L LL L
L L L L
= = + +
En utilisant la notation du cours cette relation est quivalente
:
1 1 2 21 0 2 3F F F = + +
Soit :
( ) ( )1 2 1 21 0 2 0 0 3 0 0F F F F F = + + En utilisant les
valeurs tabules du Erreur ! Source du renvoi introuvable. on trouve
:
1 1,5 1300 1950 m KT = = , do 10 0,064F .
2 6 1300 7800 m KT = = , do 20 0,848F .
On trouve donc en finalit : ( ) ( )0,8 0,064 0,2 0,848 0,064 0,3
1 0,848 0,254 = + + = .
On en dduit lmittance totale :
0 4 8 4 -20,254 5,67 10 1300 41,068kW msM M T = = = =
Solution Exo 2
-
55
1. Si lon suppose que la surface se comportait comme un corps
noir, nous aurions accs la longueur donde correspondant au pic
dmission par la relation de Wien :
max2898 2,23m1300
= =
Si on adopte cette valeur pour notre surface, cela veut dire que
lmittance maximale est :
( ) ( )0max max0,2M M = La loi de Planck nous donne :
( ) 48
0 -2max 1,439 10
5 2,23 1300
3,742 10 47,74 kW m
2,23 1
M
e
= =
Soit : ( ) -2max 9,55kW mM = . Nanmoins, nous avons une
variation de lmissivit 1,5 m et il faut donc vrifier que ce nest
pas cette longueur donde, pour la valeur de lmissivit de 0,8, que
nous avons le maximum. Calculons alors lmittance spectrale partir
de la relation :
( ) ( )01,5 0,8 1,5M M = La loi de Planck nous donne :
( ) 48
0 -2
1,439 105 1,5 1300
3,742 101,5 30,76 kW m
1,5 1
M
e
= =
.
Ce qui conduit : ( ) ( )-2 max1.5 0,8 30,76 24,61kW mM M = =
> .
On constate donc que le maximum dmittance lieu pour 1,5m = .
-
56
1. Lmittance totale hmisphrique de la cavit est celle dun corps
noir : ( )0 4 8 4 -25,67 10 1500 287,04kW msM T T = = =
2. La longueur donde correspondant lmittance en de de laquelle
15% du rayonnement est mis est telle que
100,15F = . En utilisant les
donnes du Erreur ! Source du renvoi introuvable. on trouve 1
2450m KT . Cela conduit 1 2450 1500 1,63m = = .
3. La longueur donde correspondant lmittance au del de laquelle
20% du rayonnement est mis est telle que
2 201 1 0,2 0,8F F = = = . En
utilisant les donnes du Erreur ! Source du renvoi introuvable.
on trouve 2 6900m KT . Cela conduit 2 6900 1500 4,6m = = .
4. La loi de Wien nous donne : max 2898m KT = , ce qui nous
donne la longueur donde correspondant au maximum dmittance :
max 2898 1500 1,93m = = . A cette valeur est associ le maximum
de luminance
max
0 12 5 12 5 -2 -14,096 10 4,096 10 1500 31104W m srL T = = =
et donc, daprs la loi de Lambert, le maximum dmittance :
max max
0 0 -231104 97,716kW mM L = = = .
5. Comme nous lavons vu dans le cours lclairement total
hmisphrique de lobjet plac dans la cavit sera gal lmittance du
corps noir, soit :
( ) ( )0 -2287,04kW mE T M T= =
Solution Exo 3
-
57
Lmittance totale hmisphrique est :
( )0 00 0
d 1 dM M M
= =
En utilisant la notation du cours :
( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 2 00 01 1 1M F F F M = + + Soit encore
:
( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 2 2 1 2 2 00 0 0 0 01 1 1 1M F F F F M =
+ + En se reportant dans le Erreur ! Source du renvoi introuvable.
on trouve :
1 1,5 1000 1500 m KT = = , do 10 0,0095F = .
2 6 1000 6000 m KT = = , do 20 0,738F = .
( ) ( ) 0 00,6 0,0095 0,8 0,738 0,0095 0,6 1 0,738 0,745M M M= +
+ = Comme : 0 4 8 4 -25,67 10 1000 287,043kW msM T
= = = On trouve finalement lmittance totale hmisphrique :
-20,745 287,043 213,85kW mM = = .
Solution Exo 4
-
58
1. La loi de Kirchhoff nous dit que labsorption hmisphrique est
gale lmission hmisphrique : = . Dautre part, la surface tant
opaque, on a : 1 = . On obtient donc la variation de rflectivit
hmisphrique tel que reprsent sur la figure ci-dessous.
(m)
00 6 8
0,8
2. Labsorptivit totale hmisphrique de la surface est le rapport
entre
lclairement total hmisphrique absorb et lclairement total
hmisphrique incident :
0
0
d
d
a
EEE
E
= =
Solution Exo 5
-
59
En tenant compte des variations de et de E , cela revient
calculer :
6 8 10 12
4 6 8 106 10 12
4 6 10
1 d 1000 d 1000 0,2 d 0,2 d
d 1000 d d
aEE
E E
E E
=
+ + + =
+ +
Soit :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 11000 6 4 1000 0,8 8 6 1000 0,2 10 82 2
10,2 1000 12 1021 11000 6 4 1000 10 6 1000 12 102 2
+ + + =
+ + C
e qui donne en finalit : 2400 0,64000
= =
1. Calculons la densit de flux net la surface qui est la
diffrence entre le flux absorb et le flux mis ( ne pas confondre
avec la radiosit) :
4net sE M E T = =
Soit : 8 4
net-2
0,6 4000 0,65 5,67 10 450
888W m
=
=
Comme le flux net est positif, la temprature de surface va donc
crotre.
-
60
1. Il faut tout dabord remarquer que la bille tant de dimensions
trs petites devant celles du four, ce dernier pourra donc tre
considr comme un corps noir. Cela veut aussi dire que lclairement
de la bille est gal lmittance du corps noir. On en dduit donc que
labsorptivit totale hmisphrique est :
0
0 00
0
d d
d
E M
ME
= =
Cette expression scrit :
( )
1
1
1 1
00
01 2 1 0 2 00 0
dd1
MMF F
M M
= + = +
Avec 1 6 1300 7800m KT = = , le Erreur ! Source du renvoi
introuvable. donne
100,848F = . Donc on a finalement :
( )0,8 0,848 0,2 1 0,848 0,71 = + = Le calcul de lmissivit total
hmisphrique est similaire :
00
dM
M
=
Daprs la relation de Kirchhoff on a galit entre lmissivit et
labsorptivit spectrales : = ; et donc :
( )1 11 0 2 01F F = + Cependant cette fois-ci les fonctions F
sont calcules partir de la temprature initiale de la bille et non
du four. Ainsi pour
1 6 450 2700m KbT = = , on a 10 0,21F = .
Donc on a finalement :
( )0,8 0,21 0,2 1 0,21 0,33 = + =
Solution Exo 6
-
61
1. Lorsque lon atteint ltat dquilibre, la temprature de la bille
devient gale la temprature des parois du four. A ce moment l on
voit que : = . On se retrouve dans la configuration qui nous a
permit de dmontrer la loi de Kirchhoff dans le cours.
2. Le vide tant cr dans le four, il ny a pas dchanges convectifs
avec la bille. Dautre part, le diamtre de la bille tant petit, on
peut faire lhypothse daccommodation thermique totale de la bille,
c'est--dire que la temprature de la bille est uniforme chaque
instant. Ceci conduit alors dire que la variation dnergie interne
de la bille ne rsulte que du flux de chaleur chang la surface de la
bille par rayonnement entre la bille et le four (lexactitude de
cette relation ne peut tre dmontre qu partir des outils que nous
dvelopperons au chapitre suivant pour ce qui concerne lhypothse sur
la facteur de forme), soit :
dd
bp a e
TmCt
=
a est le flux absorb par la bille et e est le flux mis par la
bille. On trouve donc :
4dd
bp s b
TM C AE A Tt
=
Cette quation diffrentielle est complexe car elle est fortement
non linaire mais en plus le coefficient dmission va varier au cours
du temps comme nous avons pu le dmontrer aux deux premires
questions. On peut par contre obtenir la vitesse de monte en
temprature de la bille au premiers instants en considrant lorsque (
)0b bT T= , soit :
( )4d 0d
bp s b
TmC AE A Tt
=
On trouve alors :
( ) ( ) ( )4 4
0
0 0dd
s b s bb
t p p
AE A T A TTt M C M C
=
= =
-
62
Petit calcul numrique On peut calculer lvolution de la
temprature au cours du temps en utilisant une mthode numrique telle
que celle que nous avons vu pour tracer lvolution de la fonction F.
La mthode consiste tout simplement crire la drive en temps sous
forme discrte :
( ) ( )41 11dd
i ii is bb b b
p
A TT T Tt t M C
=
ce qui donne la valeur de la temprature de la bille linstant i
en fonction de celle linstant i-1 :
( ) ( )41 11 i is bi ib b
p
A TT T t
M C
= +
A chaque itration on calcule la valeur de lmissivit en
recalculant la valeur de la fonction F pour la nouvelle valeur de
la temprature de la bille. On constate que lon atteint le rgime
dquilibre environs 360 secondes aussi bien sur la temprature que
sur lmissivit.
0 100 200 300 400 500
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
temps (sec)
T b (K
)
0 100 200 300 400 500
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
temps (sec)
-
63
1. La temprature de lair va tendre vers la temprature de
labsorbeur. Tair
Ta
T0
x0 L
T1
m
2. On effectue un bilan thermique sur une tranche de longueur x
de
labsorbeur :
( ) ( )( )( ) ( )a amC T x x T x h l x T T x+ =
Soit :
( )( )( )a amC T x hl x T T x =
Ce qui conduit donc :
( )( )
aa
T x h l xT x T mC
=
On intgre cette relation entre 0 et x : ( )( )
ln0
a
aa
T x T h l xT T mC
=
Soit finalement lexpression de la temprature en tout point de
labsorbeur :
( ) ( )( )0 expa aa
h lT x T T T xmC
=
Solution Exo 7
-
64
1. On a :
( ) ( )( )1 0 0air a amC T T mC T L T = =
Ce qui conduit :
( ) 0aira
T L TmC
= +
( ) 7500 10 40 C0,25 1000
T L = + =
En reportant dans la relation obtenue en 2/ :
( ) ( )( )0 expa aa
h lT L T T T LmC
=
( )( )
ln0
aa
a
T L TmCLhl T T
=
On trouve : 1,86mL = et 21,86 3 5,6mS = = 2. Le flux solaire
incident est transmis en grande partie par la vitre et est
absorb par labsorbeur. La vitre met un flux, celui qui qui dirig
vers labsorbeur sera absorb par ce dernier. Le flux mis par
labsorbeur est dans le domaine de lIR. Il va donc tre rflchit par
la vitre en grande partie et va tre rabsorb par labsorbeur. Cest ce
que lon appelle leffet de serre. Cette effet est utilis ici de
manire augmenter la temprature de labsorbeur, un niveau plus haut
que celui que lon atteindrait sans la vitre. On retrouve cet effet
au niveau de notre plante et cest la couche nuage qui joue le rle
de la vitre. On imagine donc que plus cette couche nuage sera
opaque aux IR, plus la temprature du sol sera importante.
vitreTv
AbsorbeurTa
E
1 E
1 E
1 E
2 v4
2 a4
2 a4
2 v4
2 v4
2 a4
a4
1 E 2 a4
-
65
1. Comme : 1 + + = , les courbes nous donnent :
1 1 10; 0,95; 0,05; = = =
2 2 20,05; 0; 0,95; = = = 2. La face suprieure de labsorbeur est
un corps noir, donc sup 1 =
La face infrieure de labsorbeur est rflchissante, donc inf 1 =
On en dduit inf 0 = et inf 0 =
3. Ces flux sont : 4
ae s aT S = 42ve s vT S =
4. 4 4
2 1 2aa s a s vT S E S T S = + + 4 4
2 1 2va s a s aT S E S T S = + = car 1 0 = 1 = 0 5. Bilan sur
labsorbeur :
aa ae air = + Bilan sur la vitre :
ve va = On en dduit :
14 4
23,8 C2a
vTT = =
Puis en utilisant le bilan sur labsorbeur on trouve : E = 1361 W
m-2.
-
66
Annexe fonction F
( )510 m KT 0F ( )510 m KT 0F ( )510 m KT 0F ( )510 m KT 0F
0.001 0 0.0339 0.36 0.1389 0.9616 0.569 0.9988 0.0095 0.0002
0.0391 0.4634 0.16 0.9733 0.6551 0.999 0.011 0.0009 0.045 0.5637
0.1842 0.9815 0.7543 0.9992
0.0126 0.0034 0.0518 0.6551 0.2121 0.9872 0.8685 0.9993 0.0146
0.0104 0.0596 0.7342 0.2442 0.9911 1 0.9994 0.0168 0.0263 0.0687
0.7997 0.2812 0.9939 0.0193 0.0563 0.0791 0.852 0.3237 0.9957
0.0222 0.1051 0.091 0.8924 0.3728 0.997 0.0256 0.1741 0.1048 0.9228
0.4292 0.9978 0.0295 0.261 0.1207 0.9453 0.4942 0.9984
-
67
Facteur de forme
r
d
dS1
dS2
n1
n2
1
2
S2
S1
Le facteur de forme 12Fest la part de flux rayonn par 1 qui va
tre intercept par 2.
-
68
Considrations intuitives
1
2
1
2
L1
L2
2
1
L1L2
L2
L1
d
A B C
-
69
Calcul exact (1/2)
1 2 1 1 1 21d d cos dL S = 2 2
21 2
d cosd Sr
=
1 1 2 21 2 1 2
d cos d cosd S SLr
=
1 2
1 21 2 1 1 22
cos cos d dS S
L S Sr
=
Flux -> Luminance Angle solide
Intgration sur les surfaces
-
70
Calcul exact 2/2
1 1 1J M E= +
1 1J L=
1 2 1 1 12J S F =
1 2
1 212 1 22
1
1 cos cos d dS S
F S SS r
=
Radiosit
Loi de Lambert
Donc :
-
71
Relation de rciprocit
2 1 2 2 2 21d d cos dL S =
2 1 2 2 21J S F =
1 2
1 221 1 22
2
1 cos cos d dS S
F S SS r
=
12 1 21 2F S F S=
-
72
Application au calcul du facteur de forme Terre Soleil
La Terre est distante du Soleil est denviron 150 000 000 de
kilomtres. La rayon de la Terre est de 6380 km environ et celui du
soleil est de de lordre de 695 500 km, soit donc 100 fois plus que
celui de la Terre. Calculer le facteur de forme Terre Soleil ?
tant donn les ordres de grandeur on peut donc adopter la
configuration gomtrique de la figure ci-dessous.
dr
st
At
As
l
s
soleil
Terre
La Terre apparat comme un disque daire trs petite devant celui
reprsentatif du Soleil. Il est inutile ici de considrer la sphricit
des deux astres tant donn que leurs diamtres sont trs petits devant
la distance les sparant, cest donc la projection qui nous intresse.
Par dfinition le facteur de forme est :
21 cos cos d d
t s
t sts t s
t A A
F A AA l
=
La surface tA tant trs petite, les valeur de t , s et l nen
dpendent pas et dautre part on peut admettre que t s = = et donc
:
2
2
cos ds
ts sA
F Al
=
On choisit d sA sous la forme dun anneau de largeur dr, ce qui
conduit : d 2 dsA r r= , cos d l = et
2 2 2l r d= + . Ceci conduit :
( )
2 2
2 2 22 20
2 dsR
sts
s
d r RF rR dr d
= =++
Lapplication numrique donne : 52,15 10tsF= . Donc daprs la
relation de
rciprocit : 2
92 1,8 10
ts t ts tst
s s
F A F RFA R
= = = .
NOUS NE VOYONS DONC QUA PEU PRES 72 10 % DU RAYONNEMENT EMIS PAR
LE SOLEIL !
-
73
Cas particulier de la cavit
T1
T2
T3
T4T5( )
1
1, 1, ,N
jii
F j N=
=
N surfaces grises forment une cavit
-
74
Surfaces courbes
1
2
Considrons lexemple de la figure o un cylindre 1 (ou une sphre)
est plac lintrieur dun autre cylindre 2 (ou dune autre sphre). La
surface 2 tant concave, une partie du flux mis par 2 est aussi
incident 2 et donc 22 0F . Par contre la convexit de 1 fait que le
flux mit par 1 nest jamais intercept par 1 ( 11 0F = ) mais que
tout le flux est intercept par 2 ( 12 1F = ). En utilisant
finalement la relation de rciprocit Erreur ! Source du renvoi
introuvable., on trouve le facteur de forme : 21 12 1 2F F S S=
.
-
75
Quelques valeurs analytiques (1/5) Gomtrie Facteur de forme
12F
1
2l2
l1
2 plaques perpendiculaires jointes 2
121 1
2F + +=
2
1
ll
=
1
2l
l
2 plaques de mme longueur, inclines et jointes
12 1 sin 2F =
-
76
Quelques valeurs analytiques (2/5)
2
l2
1
l1h
2 plaques parallles
( ) ( )2 21 2 2 112
1
4 42
L L L LF
L+ + +
=
11
lLh
= , 22lLh
=
1
2
l1
l2l3
3
Cavit 3 surfaces
1 2 312
12l l lF
l+
=
-
77
Quelques valeurs analytiques (3/5)
r1 r2
l
2 cylindres daxes parallles
( )
( )
( )
( )
22
22
12 1
1
1
11
11 cos2
11 cos
F
+ +
= + + +
2
1
rr
= , 1
1 lr
= + +
1l2
r
l1
h
2
Cylindre et plan, axe du cylindre parallle au plan
1 11 212
1 2
tan tanr l lFl l h h
=
-
78
Quelques valeurs analytiques (4/5)
1
r
l2
Range infinie de cylindre et plan 2 2 2
112 2
2 2 41 1 tan4
r r l rFl l r
= +
21h
lL
2 murs perpendiculaires
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
2
2
1 112
2 2 1
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 1tan tan
1tan
1 11
11 ln4 1 1
1
1 1
F
= +
++
+ + + + + + + + + + + + +
lL
= , hL
=
-
79
Quelques valeurs analytiques (5/5)
r2
r1 1
2
h
2 disques coaxiaux 2
2 212
1
1 42
rFr
=
22
22
11 +
= +
11
rh
= , 22rh
=
2
1h
lL
2 murs parallles
( )( )
2 112 2
2 1
2
2 21 1
2 2
1 tan2 1
1 tan1
1 1ln tan tan
1
F
= + ++
+ ++
+ +
+ +
lh
= , Lh
=
-
80
changes radiatifs entre corps noirs
T1, dS1
T2, dS2
S2
S1
01 1J M=
02 2J M=
CN
CN
-
81
Loi dchange
01 2 1 1 12M S F =
02 1 2 2 21M S F =
12 1 2 2 1 =
0 012 1 1 12 2 2 21M S F M S F =
( )0 012 1 12 1 2S F M M = 0 4sM T=
( )4 412 1 12 1 2sS F T T =
-
82
changes entre corps noirs dans une cavit
Si, i=i=1, Tisurface i
i
1i
2iij ( )1i N iN
1
2
j
N-1
N
1 2i i i iN = + + +
( )4 41
N
i i iJ s i jj
S F T T =
=
-
83
Notation sur les flux
i j dsigne le flux radiatif mis par la surface i et intercept
par la surface j.
ij i j j i = est le flux net chang entre les surfaces i et j et
est gal loppos du flux net chang entre j et i.
i est le flux net la surface i. Cest la somme des flux net
changs entre la surface i et toutes les autres surfaces, lensemble
des surfaces formant une cavit. En toute rigueur ce flux net
reprsente la puissance fournir la surface pour maintenir sa
temprature iT .
-
84
changes entre corps gris dans une cavit
Si, i=i, Ti
Ei Si
surface i
i Ei Si
i Ei SiMi Si
Ji Si
i
i i i iJ M E= +
0 0i i i i iM M M = =
1i i + =
0
1i i i
ii
J ME
=
( )i i i iS J E = 0
1i i
ii
i i
M J
S
=
-
85
changes entre corps gris dans une cavit
1
N
i i ji j jj
S E F S J=
= 1
N
i i ij i jj
S E F S J=
=
1
N
i i i ij jj
S J F J=
=
1 1
N N
i i ij i ij jj j
S F J F J= =
=
( )1
N
i i ij i jj
S F J J=
=
( )0
111
Ni ji i
ii j ij i
i i
J JM JF SS
=
= =
Rciprocit
Flux net chang
( )1
1, 1, ,N
jii
F j N=
= Or :
Finalement
-
86
Utilisation de lanalogie lectrique
0 4i s iM T=
1 ii iS
iJ
i
1
ij iF S
jJ
ij
iJ
( )0
111
Ni ji i
ii j ij i
i i
J JM JF SS
=
= =
-
87
Cavit forme de 2 surfaces
1
2S1, 1, T1S2, 2, T2
0
1M
1
1 1
1S
1J
112 1
1F S
2J0
2M
2
2 2
1S
2
( )4 41 21 2 12
1 2
1 1 12 1 2 2
1 1 1s T T
S F S S
= = =
+ +
-
88
Cavit forme par 3 surfaces
1
S1, 1, T1
S2, 2, T2
2
3S3, 3, T3
01M
1
1 1
1S
1J
112 1
1F S
2J0
2M
2
2 2
1S
2
13 1
1F S
3J
23 2
1F S
3
3 3
1S
03M
3
31 32
13
12 21
23
-
89
Rsolution numrique
( ) ( )0
1 11 1
1 11 1
N Nj i
ii ij jij i ij i
i i i i
J MJF S F SS S
= =
+ =
11 1 1 1
1
N
N NN N N
a a J b
a a J b
=
( ) 10
11
1
1
iii
i i
ij
ij i
ii
i
i i
aS
aF S
MbS
=
=
=
avec
1=J A B
-
90
Boucliers radiatifs
S1, 1, T1
1
2
S2, 2, T2
S3, 32, T3
S3, 31, T33
13
1
32
2
01M
1
1 1
1S
1J
113 1
1F S
31J 2J0
2M
2
2 2
1S
23131 3
1S
32
32 3
1S
03M 32J
32 3
1F S
( )4 41 21 2
1 31 32 2
1 1 13 1 31 3 32 3 32 3 2 2
1 1 1 1 1 1s T T
S F S S S F S S
= =
+ + + + +
( )4 41 21 2
31 32
1 31 32 2
1 1 1 1s S T T
= =
+ + +
-
91
Exercice 1 : Dterminer les facteurs de forme entre les
diffrentes surfaces dans les configurations gomtriques reprsentes
dans le tableau ci-dessous.
1
2
3
d
d
a/
3
21
d
d c/
2
1
d
b/
1
2
d d/
-
92
Solution a/ Il est tout dabord ncessaire dutiliser au maximum
les symtries du problme :
32 12F F=
23 21F F= Dautre part les surfaces sont telles que : 11 22 0F F=
= En utilisant la relation Erreur ! Source du renvoi introuvable.
pour les changes radiatifs dans un cavit, cela conduit :
12 13
21 22
13 23
12 1
1
F FF F
F F
+ = + = + =
Daprs le Erreur ! Source du renvoi introuvable. , la relation
pour le facteur de forme entre 2 disques coaxiaux est
22 2
131
1 42
rFr
=
avec 2
22
2
11 +
= + et 11rh
= , 22rh
= .
On trouve donc ici :
1 212
= = , 1 1 41 61 4
+= + = , ( )13 1 6 36 4 0,172F = = . Donc 12 131 0,83F F= = , 32
12 0,83F F= = . Nous pouvons maintenant utiliser la relation de
rciprocit : 12 1 21 2F S F S= ,
qui donne : 2
214 0,830,83 0,21
4dFd d
= = =
Et donc on en dduit finalement : 22 211 2 0,58F F= = .
-
93
Tout le flux mis par la sphre est vu par le cube, donc : 21 1F =
. En appliquant la relation de rciprocit : 12 1 21 2F S F S= , on
trouve :
2
12 21 0,526dFd
= = .
c/ En utilisant les symtries :
21 31F F=
12 13F F= Dautre part les surfaces sont telles que : 11 22 33 0F
F F= = = En utilisant la relation Erreur ! Source du renvoi
introuvable. pour les changes radiatifs dans un cavit, cela conduit
:
12 13
21 23
31 32
111
F FF FF F
+ = + = + =
On trouve donc : 12 13 0,5F F= = . En utilisant la relation de
rciprocit :
12 1 21 2F S F S= , on trouve :
21 3120,5 0,71dF F
d= = =
Donc : 23 211 0,29F F= = . d/ On a les relations suivantes :
22 0F =
12 11 1F F+ =
22 21 1F F+ = Ce qui conduit : 21 1F = et comme 12 1 21 2F S F
S= on trouve :
22
12 21
2 14 2
S dFS d
= = = et donc : 11 121 0,5F F= = .
-
94
Exercice 2 : On considre deux disques parallles dont les centres
sont distants de L. La surface 1S du disque 1 est trs petite devant
la surface 2S du disque 2 de diamtre D. Dterminer lexpression du
facteur de forme 12F .
dr
21
S1
S2
L
S2
-
95
Solution
1 2
1 212 1 22
1
1 cos cos d dA A
F A AA l
=
La surface 1A tant trs petite, les valeur de 1 , 2 et l nen
dpendent pas et dautre part on peut admettre que 1 2 = = et donc
:
2
2
12 22
cos dA
F Al
=
On choisit 2dA sous la forme dun anneau de largeur dr, ce qui
conduit :
2d 2 dA r r= , cos d l = et 2 2 2l r d= + . Ceci conduit :
( )
2 2 22
12 2 2 22 220
2 dR d r RF r
R dr d= =
++
-
96
Exercice 3 : On considre deux disques coaxiaux spars par une
hauteur de 20 cm. Les deux disques se comportent comme des corps
noirs. Le disque infrieur de rayon 20 cm est maintenu la temprature
de 450 K. Le disque suprieur, de rayon 10 cm est maintenu une
temprature constante grce un apport de puissance lectrique
(chauffage par effet Joule) gal 12,5 W. Quelle est la temprature du
disque suprieur ? (On notera que le milieu ambiant est la
temprature de 300 K).
S1, T1
1
2
S2, T2
h
-
97
Solution Nous indions 3, la surface qui ralise la cavit telle
que reprsent en traits pointills sur la figure ci-dessous. Cette
surface 3 est la temprature ambiante de 300 K.
S2, T2
2
1
S1, T1
h3
On a alors :
21 22 23 1F F F+ + = On voit des suite que 22 0F = et daprs la
relation du Erreur ! Source du renvoi introuvable., on a :
22 1
212
1 42
rFr
=
Avec : 2
12
2
11 +
= + , 11rh
= , 22rh
= .
-
98
Ceci conduit : 112
= , 2 1 = , 21 0,68F = .
On trouve donc : 23 1 0,68 0,32F = = . On sait que le flux mis
par 2 est : ( ) ( )4 4 4 42 2 21 2 1 2 23 2 3s sA F T T A F T T = +
Donc :
1/ 44 4
2 2 21 1 2 23 32
2 21 2 23
s s
s s
A F T A F TTA F A F
+ += +
A.N. :
12 8 4 2 8 4
2 2 8 2 8
12,5 0.1 0,68 5,67 10 450 0.1 0,32 5,67 10 3000.1 0,68 5,67 10
0.1 0,32 5,67 10
T
+ + = +
Soit : 2 440KT = .
-
99
Exercice 4 : Un four cylindrique est reprsent sur la figure
ci-dessous. Les dimensions sont : 0,4md = et 2h d= . Il est ouvert
vers lextrieur sur sa face suprieure et lair ambiant est la
temprature de 300KaT = . Les parois du four se comportent comme des
corps noirs. Les tempratures de parois sont maintenues temprature
constante par effet Joule (une rsistance lectrique est bobine
autour du four). La temprature de la base est 2 1900KT = et celle
de la paroi latrale est
1 1500KT = . Calculer la puissance lectrique fournir pour
maintenir ces niveaux de temprature dans le four.
S1, T1
S2, T2
h
d
rsistancelectrique
isolant
-
100
Solution La chaleur est perdue par rayonnement entre le four et
milieu ambiant au travers de la surface suprieure que nous indions
3. Comme lenvironnement extrieur au four est illimit on peut
considrer que la surface 3 se comporte comme un corps noir la
temprature 300KaT = . Le flux perdu est donc la somme des flux nets
changs entre les surfaces 1 et 3 ainsi quentre les surfaces 2 et 3,
soit :
13 23 = + La relation Erreur ! Source du renvoi introuvable.
exprimant le flux net chang entre deux corps noir nous permet alors
dexprimer la relation prcdente sous la forme :
( ) ( )4 4 4 413 1 1 3 23 2 2 3s sF S T T F S T T = + Pour
dterminer les facteurs de forme 13F et 23F nous utilisons la
solution a/ de lexercice 1. Daprs le Erreur ! Source du renvoi
introuvable. , la relation pour le facteur de forme entre 2 disques
coaxiaux est
22 2
231
1 42
rFr
=
avec 2
22
2
11 +
= + et 1 2dh
= , 2 2dh
= .
On trouve donc ici :
1 214
= = , 1 1 161 181 16
+= + = , ( )213 1 18 18 4 0,0552F = = . Donc 21 231 0,94F F= =
.
-
101
Nous pouvons maintenant utiliser la relation de rciprocit : 12 1
21 2F S F S= , qui donne :
2
124 0,940,94 0,118
8dFd h
= = =
Et donc on en dduit finalement : 13 12 0,118F F= = . Le flux
perdu est donc :
( )( ) ( )
8 4 5
2 8 4 5
0,118 0,2 0,4 5,67 10 1500 300
0,055 0,2 / 4 5,67 10 1900 300
= +
Soit : 8499 1275 9774W = + = . Cest la puissance fournir pour
maintenir les tempratures de paroi du four.
-
102
Exercice 5 : Un four est reprsent sur la figure ci-dessous. Il
est constitu dun metteur chauffant la temprature 1 1000KT = et dun
rflecteur dont la temprature est 2 500KT = et dont lmissivit totale
hmisphrique est 2 0,7 = . Le milieu ambiant est la temprature
300KaT = . Quel est le flux net la surface du rflecteur ?
S1, T1
S2, T2
h
d
rsistancelectrique
isolant
rflecteur
Les dimensions sont telles que : 10mL = , 1md = , 1mh = et 22
15mS = .
-
103
Solution Il faut tout dabord remarquer que le milieu environnant
peut tre simul par lajout de 2 surfaces noires dont la temprature
est gale la temprature ambiante
300KaT = . Le problme propos se ramne alors ltude dune cavit
forme de 3 surfaces.
S1, T1
S2, T2
S3, Ta
Nous dterminons dans un premier temps les facteurs de formes
entre les 3 surfaces. On remarque tout dabord que la configuration
gomtrique implique que
12 12 'F F= o la surface 2 est reprsente sur la figure
ci-dessous. Ceci traduit le fait que le flux mis par 1 et arrivant
sur 2 est le mme que celui arrivant sur 2. Ainsi 2 est vu comme la
surface efficace de 2 vue de 1.
-
104
S1
S2
S2'
En utilisant la relation du Erreur ! Source du renvoi
introuvable. pour 2 plans parallles on a :
( )( )
2 112 ' 2
2 1
2
2 21 1
2 2
1 tan2 1
1 tan1
1 1ln tan tan
1
F
= + ++
+ ++
+ +
+ +
Avec : dh
= , Lh
= .
-
105
Les applications numriques donnent : 1 = , 10 = et :
1 112 '
1 1
10 1 10101 tan 10 2 tan2 101 2
2 101ln tan 1 10 tan 10102
F
= + +
Soit : 12 ' 0,40F = . La relation de rciprocit conduit 12 ' 1 21
2F S F S= et donc :
21 0,4 10 /15 0,27F = = . Dautre part la rgle de sommation des
facteurs de forme dans une cavit donne :
11 12 13 1F F F+ + = . Comme 11 0F = , on trouve 13 121 0,6F F=
= . La relation de rciprocit entre 3 et 1 donne : 13 1 31 3F S F S=
, soit : 23 0,6 10 / 20 0,3F = = . La symtrie conduit : 31 32 32 '
0,3F F F= = = et donc en appliquent la rciprocit entre 1 et 3 on
obtient finalement : 23 2 32 ' 3F S F S= , soit : 23 0,3 20 /15
0,4.F = =
-
106
On peut maintenant utiliser la mthode des radiosits pour dcrire
les transferts de flux par rayonnement entre les 3 surfaces. En
utilisant la reprsentation de la Erreur ! Source du renvoi
introuvable. et en prenant en compte le fait que 3 est une surface
noir, nous obtenons le schma reprsentatif ci-dessous :
01M
1
1 1
1S
1J
112 1
1F S
2J0
2M
2
2 2
1S
2
13 1
1F S 23 2
1F S
03 3J M=
3
31 32
13
12 21
23
On peut alors tablir les relations suivantes :
( )0 02 2 2 1 2 3
22 2 2 21 2 23 21 1 1
M J J J J MS F S F S
= = +
Et :
( )0 01 1 1 2 1 3
11 1 1 12 1 13 11 1 1
M J J J J MS F S F S
= = +
-
107
Les valeurs des mittances corps noirs sont : 0 4 8 4 22 2 5,67
10 500 3544W msM T
= = = , 0 4 8 4 21 1 5,67 10 1000 56700W msM T
= = = , 0 4 8 4 23 3 5,67 10 300 459W msM T
= = = . On se retrouve donc avec un systmes de 2 quations 2
inconnues 1J et 2J :
( )2 2 1 23544 459
1 0,7 0,7 1 0,27 1 0,4J J J J
= +
( )1 1 2 157600 450
1 0,8 0,8 1 0,4 1 0,6J J J J
= +
Que lon peut crire sous la forme : ( ) 2 1 2 18441 2,33 0,27 0,4
0,27 3 0,27J J J J= + + =
( ) 1 2 1 2230670 4 0,4 0,6 0,4 5 0,4J J J J= + + = On trouve
alors :
21
3 84410,27
J J = , soit : 2 2 23 8441230670 5 0,4 55,15 156314
0,27J J J= = .
Ceci conduit finalement : 22 7017W mJ= et 21 46703W mJ
= . Nous pouvons alors calculer le flux net la surface du
rflecteur :
( ) ( )02 2
22 2 2
3544 7017 121,55kW1 1 0,7 0,7 15
M JS
= = =
-
108
Exercice 6 : De lazote liquide 77 K est contenu dans un long
rservoir cylindrique de rayon 15 cm. Lmissivit de la surface
extrieure est gale 0,04. Un deuxime tube, concentrique au premier,
de rayon 35 cm une missivit de 0,04 et sa temprature est constante
et gale 300 K. Le vide est ralis entre les deux cylindres.
1. Calculer le flux de chaleur reu par lazote par unit de
longueur de tube. 2. On suppose maintenant quun cylindre de rayon
25 mm est dispos entre
les deux prcdents, son missivit est gale 0,03 des deux cts.
Calculer nouveau le flux de chaleur reu par lazote.
3. Que peut-on conclure de lutilit dun tel dispositif ?
S1, 1, T1
S2, 2, T2
isolant
1
2
vide
azote liquide
S3, 3, T3
1
2
bouclier radiatif
-
109
Solution 1/ En utilisant les relations obtenues dans le Erreur !
Source du renvoi introuvable. pour les deux tubes coaxiaux (sans la
prsence du bouclier), on trouve :
( )
1 1
2 2
12
4 41 1 2
122 1
1 2 2
1
1 1s
S rS rF
S T T
rr
=
=
=
+
Soit : ( )8 4 4 1
12
5,67 10 0,15 77 3006,47W m
1 1 0,04 0,150,04 0,04 0,35
= =
+
-
110
Comme nous lavons vu sur la Erreur ! Source du renvoi
introuvable., le rseau quivalent la configuration avec bouclier est
le suivant :
01M
1
1 1
1S
1J
113 1
1F S
31J 2J0
2M
2
2 2
1S
23131 3
1S
32
32 3
1S
03M 32J
32 3
1F S
Ainsi, le flux net chang est cette fois-ci :
0 01 2
1 2M M
R = = =
Avec : 1 31 32 2
1 1 13 1 31 3 32 3 32 3 2 2
1 1 1 1 1 1RS F S S S F S S
= + + + + +
Soit :
2 1
1 0,04 1 1 0,030,04 0,15 0,15 0,03 0,25
1 0,03 1 1 0,04 188m m0,03 0,25 0,25 0,04 0,35
LRRL
= = + + +
+ + =
On en dduit le flux net chang par unit de longueur : ( )8 4 4
15,67 10 77 300 2,43W m
188L
= =
3/ En comparant les flux net changs avec et sans bouclier on
constante que les pertes ont t rduites de : ( )2,43 6,47 6,47 62,4%
= .
-
111
Exercice 7 : Un four de recuit de plaques dacier est du type de
celui reprsent sur la figure ci-dessous. La surface mettrice est
maintenue la temprature de 1100 K et son missivit est gale 0,7. La
deuxime surface est la plaque dacier dont la temprature est
maintenue 700 K et lmissivit est gale 0,3. La troisime surface est
isole lextrieure et son missivit est gale 0,7.
1. Quelle est la puissance fournir par unit de longueur du four
pour maintenir ces tempratures de fonctionnement ?
2. Quelle est la temprature de la surface isole.
l l
l
S3, 3, T3
rsistancelectrique
S2, 2, T2S1, 1, T1
-
112
Solution 1/ Le four forme une cavit dont la section est un
triangle quilatral. La symtrie est telle que :
12 13 23 0,5F F F= = = Le schma quivalent est reprsent sur la
figure ci-dessous :
01M
1
1 1
1S
1J
112 1
1F S
2J0
2M
2
2 2
1S
2
13 1
1F S 23 2
1F S
03 3J M=
3
31 32
13
12 21
23
Comme nous lavions montr dans le cours une surface isole de la
cavit se comporte comme un corps noir et cest donc la raison pour
laquelle on a : 3 0 = et donc : 03 3J M= . On doit donc retrouver
que :
1 2 = Le schma conduit exprimer ce flux sous la forme (le
symbole ++ traduit le fait que les rsistances sont en srie et //
traduit le fait quelles sont en parallles) :
( )
0 01 2
11 2
12 1 13 1 23 21 1 2 2
1 1// 1 1
M M
F S F S F SS S
=
+ + + + + +
Soit :
( )4 41 21
1 2
1 1 2 212 1
13 1 23 2
1 1 11
1 1
s T T
S SF SF S F S
=
+ +
++
Lapplication numrique donne :
( )8 4 4 111
5,67 10 1100 70016,946kW m1 0,7 1 1 0,3
10,7 0,30,51 0,5 1 0,5
L L
= = =
+ +
++
-
113
Pour calculer la temprature de surface du corps 3 il suffit de
connatre son mittance. Nous voyons partir du rseau que :
31 32 = Ce qui peut aussi scrire :
1 3 3 2
13 1 23 21 1J J J J
F S F S
=
Nous devons donc calculer 1J et 2J . Pour cela nous voyons que
:
0 11 1 1
1
1LJ M l
=
0 22 2 2
2
1LJ M l
=
Soit : 8 4 2
11 0,75,67 10 1100 16946 75751W m
0,7J = =
( )8 4 221 0,35,67 10 700 16946 53154W m
0,3J = =
On en dduit alors :
23 33
75751 53154 32226W m1 0,5 1 0,5
J J J = =
-
114
Donc finalement on trouve la temprature de surface de 3 partir
de : 1/ 4
0 4 33 3 3 3s
s
JJ M T T
= = =
Lapplication numrique est :
0,25
3 8
32226 868K5,67 10
T = =
-
115
Exercice 8 : De lair circule dans un four dont la configuration
gomtrique est reprsente sur la figure ci-dessous.
S1, 1, T1
d
rsistancelectrique
isolant
dbit d'air
S2, 2, T2 Une rsistance lectrique chauffe la plaque suprieure
une temprature de 1500 K et lmissivit de cette surface est gale
0,7. Cette surface est suppose parfaitement isole sur sa face
arrire. La deuxime surface est un demi cylindre dont lmissivit est
gale 0,8. Cette surface est elle aussi suppose parfaitement isole
sur sa face oppose. De lair circule dans la cavit forme par ces
deux surfaces avec un dbit de m =0,03 kg/s. La temprature moyenne
de lair est
500KaT = . 1. Calculer le coefficient dchange par convection
entre les parois internes et
lair. 2. Quelle est la temprature de surface du demi cylindre ?
3. Quelle doit tre la puissance lectrique fournir pour que la
temprature de
la surface 1 soit toujours gale 1500 K ? Les proprits de lair
sont : 1 10,034W m K = , 1 1p 1013J kg KC
= , Pr 0,69=
et 6 1 123 10 kgs m = .
-
116
Solution Ce problme met en jeu deux type de transferts de la
chaleur : par rayonnement et convection. En effet, lair est ici
suppos transparent pour le rayonnement thermique entre les 2
surfaces de la cavit et dautre part le mouvement de lair engendre
des changes par convection entre lair et les surfaces internes de
la cavit.
changes radiatifsentre surfaces
changes convectifsentre l'air et les
surfaces
1/ Le nombre de Reynolds associ cet coulement est :
Re h hDU D m D
A
= =
Soit :
( )( )
4 4 4Re2D
m A p m mA p d d
= = =+
-
117
Ceci donne :
( ) 64 30Re 6764000
0,3 0,3 2 23 10D
= =+
.
A partir de la relation liant les nombres de Pr, Re et Nu (voir
chapitre 3), on a : 4 5 1/ 3 4 5 1/ 3Nu 0,023Re Pr 0,023 6764000
0,7 5807D D= = =
Comme : NuD hh D k= , on trouve la valeur du coefficient dchange
sur les parois :
( ) 2 12 5807 0,0034Nu 108W m K0,3
D
h
khD
+ = = =
.
2/ Le rseau quivalent ce problme est prsent sur la figure
ci-dessous :
01M 1
1 1
1S
1J1,conv
12 1
1F S
2J
02M2
2 2
1S
2,conv
21
-
118
Comme les surfaces sont isoles sur leur face extrieure, il sen
suit que le flux net chang par rayonnement sur chaque surface est
gal au flux chang par convection entre cette surface et lair.
( ) ( )4 4
1 22,ray 2 2 2,conv
1 2
1 1 12 1 2 2
1 1 1s
a
T Th S T T
S F S S
= = =
+ +
Soit :
( ) ( )8 4 4
22
5,67 10 15003001 0,7 1 0,8 2 21
0,7 0,8
Th T
=
+ +
Ce qui permet de trouver la valeur de la temprature la surface 2
solution de lquation algbrique :
8 42 25,67 10 269 367743 0T T
+ =
On peut trouver la solution par essais successifs et on aboutit
: 2 1080KT
-
119
/ Comme on le voit sur le rseau, le bilan thermique sur la
surface 1 est :
1 1,conv 1,ray = +
Or nous avons vu que :
1,ray 2,ray 2,conv = =
Donc : ( ) ( )1 1,conv 2,conv 1 1 2 2a ah S T T h S T T = + =
+
On obtient finalement :
( ) ( ) 111 108 0,3 1500 300 108 0,3 1080 300 64,152kW mL L = =
+ =
Cours de Rayonnement ThermiqueLe processus physique de
rayonnement thermique Mise en vidence du transfert par
rayonnementNature physique duale onde - particule du rayonnementLe
spectre lectromagntique Explication physique simple de linteraction
photon - atome Absorption - missionabsorbtionNature des matriauxLes
corps noirs exemple de corps noirs Loi de Planck Diapositive numro
13Rayonnement des corps noirs Diapositive numro 15Lois de WienLoi
de Stefan - Boltzmannmission spectrale du corps noirGraphe de la
fonction FLes notions gomtriques essentielles Rayonnement isotrope
et homogneModlisation gomtriqueAngle solideGrandeurs lies lmission
EmittanceQuantit hmisphrique et totaleApplication lmittanceLoi de
LambertGrandeurs lies au rcepteur Lien avec la luminanceclairement
hmisphrique et totalLoi de Lambert pour lclairementmission
hmisphrique et totaleRayonnement des corps rels
ExempleAbsorptivitRflectivitTransmissivitgalit
fondamentaleRadiositRadiosit hmisphrique et totalLa loi de
Kirchhoff Application de la loi de Kirchhoff aux quantits
hmisphrique et totalLes corps grisDiapositive numro 45Diapositive
numro 46Diapositive numro 47Diapositive numro 48Diapositive numro
49Diapositive numro 50Diapositive numro 51Diapositive numro
52Diapositive numro 53Diapositive numro 54Diapositive numro
55Diapositive numro 56Diapositive numro 57Diapositive numro
58Diapositive numro 59Diapositive numro 60Diapositive numro
61Diapositive numro 62Diapositive numro 63Diapositive numro
64Diapositive numro 65Annexe fonction FFacteur de
formeConsidrations intuitivesCalcul exact (1/2)Calcul exact
2/2Relation de rciprocit Diapositive numro 72Cas particulier de la
cavit Surfaces courbesQuelques valeurs analytiques (1/5)Quelques
valeurs analytiques (2/5)Quelques valeurs analytiques (3/5)Quelques
valeurs analytiques (4/5)Quelques valeurs analytiques (5/5)changes
radiatifs entre corps noirs Loi dchangechanges entre corps noirs
dans une cavit Notation sur les fluxchanges entre corps gris dans
une cavit changes entre corps gris dans une cavitUtilisation de
lanalogie lectrique Cavit forme de 2 surfaces Cavit forme par 3
surfacesRsolution numrique Boucliers radiatifsDiapositive numro
91Diapositive numro 92Diapositive numro 93Diapositive numro
94Diapositive numro 95Diapositive numro 96Diapositive numro
97Diapositive numro 98Diapositive numro 99Diapositive numro
100Diapositive numro 101Diapositive numro 102Diapositive numro
103Diapositive numro 104Diapositive numro 105Diapositive numro
106Diapositive numro 107Diapositive numro 108Diapositive numro
109Diapositive numro 110Diapositive numro 111Diapositive numro
112Diapositive numro 113Diapositive numro 114Diapositive numro
115Diapositive numro 116Diapositive numro 117Diapositive numro
118Diapositive numro 119
