Loi de Fourier [modifier]Ce transfert de chaleur spontan d'une rgion de temprature leve vers une rgion de temprature plus basse obit la loi dite de Fourier (tablie mathmatiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis exprimentalement par Fourier en 1822).

La densit de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de temprature.

dans la direction (0,x) nous pouvons exprimer le transfert thermique selon x pendant un temps dt:

Le flux thermique ( travers une surface lmentaire) est alors:

Nous pouvons en dduire la densit de flux:

La constante de proportionnalit est nomme conductivit thermique du matriau. Elle est toujours positive. Avec les units du systme international, la conductivit thermique s'exprime en J.m-1.K-1.s-1 ou, ce qui revient au mme, en W.m-1.K-1.

Pour les dfinitions prcises de flux et densit de flux voir l'article transfert de chaleurConductivit thermique [modifier]

Voir larticle Conductivit thermique.

quation de la chaleur [modifier]Un bilan d'nergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit l'quation gnrale de conduction de la chaleur. Elle est ici donne sous sa forme unidimensionnelle:

,

o:

P est l'nergie produite au sein mme du matriau en W.m-3. Elle est souvent nulle (cas des dpts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas o elle ne l'est pas; citons parmi d'autres l'tude du transfert de chaleur par conduction au sein du combustible nuclaire, ou l'absorption de la lumire ou des micro-ondes au sein des matriaux semi-transparents ...,

est la masse volumique du matriau en kg.m-3,

et c est la chaleur massique du matriau en J.kg-1.K-1.

(tablissement de l'quation de conduction de la chaleur)

Au cas o P est nulle et o l'on fait de plus l'approximation que la conductivit thermique ne dpend pas de la position:

.

Soit, en rgime permanent (lorsque la temprature n'volue plus avec le temps):

.

La solution de cette quation est alors:

T = Ax + B,

o A et B sont des constantes fixer selon les conditions aux limites.

tude de la conduction stationnaire [modifier]Le cas du mur [modifier]Mur simple [modifier]Dfinition [modifier]Dans le cas de cet article, un mur est milieu conducteur thermiquement limit par deux plans parallles. Chaque plan une temprature T homogne sur toute sa surface. On considre que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En consquence le flux entrant est gal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Consquence sur la loi de Fourier [modifier]Compte tenu de la dfinition:

.

L'quation de Fourier devient

.

Profil de temprature dans un mur

Par intgration, il est possible de dterminer le profil de temprature dans l'paisseur du mur,

,

.

La variation de temprature dans un mur est donc linaire.

Calcul du flux thermique.,

,

.

Calcul de la densit de flux thermique.,

.

Analogie lectrique [modifier]

Par analogie avec l'lectricit et en particulier la loi d'Ohm nous pouvons mettre en parallle les deux expressions:

Nous pouvons mettre en parralle la tension et l'intensit

Avec

Mur compos srie [modifier]Dfinition [modifier]Le mur compos srie est empilement de couches. Chaque matriau est homogne et limit par deux plans parallle.

Les hypothses sont identiques celles du mur simple. En supplment, on considre que le contact entre chaque couche est parfait. La temprature en surface d'un matriau est identique sur la surface en contact du matriau suivant.

Consquence sur la loi de Fourier [modifier]Globalement, nous avons

Si l'on dcompose

Pour la couche A: pour la couche B: pour la couche C: Nota: Compte tenu des hypothses, le flux (ou la densit de flux reste constant).

Avec:

Donc

les rsistances thermiques s'additionnent.

Le profil des tempratures [modifier]Pour chaque matriau la variation de temprature suit une loi du type:

La variation de temprature est donc linaire dans l'paisseur du matriau considr. La pente dpend de (conductivit thermique) caractristique de chaque matriau. Plus la conductivit thermique sera faible (donc plus le matriau sera isolant) plus la pente sera forte.

Analogie lectrique [modifier]De la mme manire que les rsistances lectriques en srie s'additionnent, les rsistances thermiques en srie s'additionnent.

Mur compos parallle [modifier]Dfinition [modifier]

Le mur compos parallle est un empilement de couches les unes sur les autres. Chaque matriau est homogne et limit par deux plans parallles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fentre. Les hypothses sont identiques celles du mur simple. En supplment, on considre que la temprature est uniforme en surface de chaque lment (T1 et T2). Soit SA, SB et SC les surfaces respectives des lments A, B et C.

Par la suite, on fait l'hypothse que le flux est toujours perpendiculaire la paroi compose; ceci n'est pas raliste puisque la temprature de surface de chaque lment qui la composent est diffrente et qu'il existe par consquent un gradient de temprature latral ( l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est ncessaire de corriger le flux de chaleur calcul dans la paroi compose l'aide de coefficients de dperdition liniques, spcifiques chaque jonction de paroi (et pouvant tre ngligeables, cf. rglementation thermique TH 2000)

Consquence sur la loi de Fourier [modifier]Pour chaque lment, le flux s'exprime suivant la relation

Avec en prenant l'analogie lectrique

Nous avons donc

Le flux total est gale au flux de chaque lment

Soit S la surface totale

Toujours par analogie avec les lois lectriques, l'inverse de la rsistance thermique est parfois appel conductance thermique.

Analogie lectrique [modifier]Il est donc galement possible de faire une analogie entre un montage lectrique de rsistances en parallle.

Tube cylindrique [modifier]Tube simple [modifier]Dfinition [modifier]Dans le cas de cet article, un mur est milieu conducteur thermiquement limit par deux plans parallles. Chaque plan une temprature T homogne sur toute sa surface. On considre que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En consquence le flux entrant est gale au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Le tube simple est constitu d'un seul matriau homogne. La temprature est homogne sur chaque surface du tube. On considre que le tube une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

Si l'on considre une variation dR l'intrieur du matriau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors:

Variation de la temprature dans l'paisseur du tube [modifier]

volution de la temprature dans l'paisseur d'un tube simple avec Tintrieure