1

I Etude Statistique

Une enquête a été réalisée auprès des 450 élèves d’un collège. Voici les questions posées :

Comment viens-tu au collège ? A pied, en bus, en voiture ou à vélo ? Combien as-tu de frères et sœurs ? Quelle est la durée de ton trajet maison-collège ?

On a recueilli les données correspondant aux réponses des élèves : on obtient des séries statistiques

Les 450 élèves interrogés forment la population étudiée.

II Organisation des données : effectifs et représentations graphiques

On va étudier les différents caractères de cette population.

1) Moyen de transport

C’est un caractère qualitatif.

L’effectif total de cette population est 450

Représentations graphiques :

a) Diagramme circulaire

A pied A vélo En voiture En bus TOTAL

effectif 85 120 55 190 450

Angle au centre 360°

b) Diagramme demi-circulaire

A pied A vélo En voiture En bus TOTAL

effectif 85 120 55 190 450

Angle au centre 180°

Moyens de transport Effectifs

A pied 85

A vélo 120

En voiture 55

En bus 190

TOTAL 450

2

2) Nombre de frères et sœurs

C’est un caractère quantitatif

0, 1, 2,…, 6 sont les valeurs de ce caractère.

Représentation graphique : Diagrammes en bâtons.

2) Durée du trajet collège – maison

C’est un caractère quantitatif

On a regroupé les valeurs de ce caractère en classes

d ‘amplitude 5 minutes.

Remarque : lors d’un regroupement en classe,

on perd une partie de l’information

Représentation graphique : Histogramme

Nombre de frères ou sœurs effectifs

0 72

1 108

2 95

3 110

4 39

5 19

6 7

TOTAL 450

Durée du trajet

maison-collège

(en minutes)

Effectifs

0 t<5 25

5t<10 111

10t<15 92

15t<20 85

20t<25 105

25t<30 32

TOTAL 450

3

III Fréquences

1) Fréquence d’une valeur

La fréquence d’une valeur est le quotient (ou rapport ) de l’effectif de cette valeur sur l’effectif total de la

population.

Fréquence = effectif

effectif total

Exemple : Fréquence des élèves ayant 3 frères ou sœurs.

Effectif des élèves ayant 3 frères ou sœurs

effectif total =

110

450 0, 244

2) Fréquence en pourcentage

Fréquence en pourcentage = fréquence 100 = effectif

effectif total 100

Exemple : Fréquence en pourcentage des élèves ayant 3 frères ou sœurs.

Effectif des élèves ayant 3 frères ou sœurs

effectif total 100 24,4

24,4% des élèves ont 3 frères ou sœurs

Nombre de frères et sœurs Effectifs Fréquences Fréquences en %

0 72

1 108

2 95

3 110 0,244 24,4

4 39

5 19

6 7

TOTAL 450

Remarques :

La somme des fréquences vaut toujours 1

La somme des fréquences en pourcentages vaut toujours 100

On travaille essentiellement avec les fréquences en pourcentage car elles permettent de comparer plusieurs

populations différentes.

4

IV Moyennes

1) Calculer une moyenne

a) Méthode

Pour calculer la moyenne d’une série de valeurs, il faut :

Calculer la somme de toutes les valeurs

Puis diviser par le nombre total de ces valeurs.

b) Exemple

Pierre a parcouru 54 km lundi, 37 km mardi, 63 km mercredi et 45 km jeudi.

Combien de kilomètres a-t-il parcouru en moyenne par jour ?

54 + …………. + …………….

…………….. = …

2) Calculer une moyenne pondérée

a) Méthode

Pour calculer la moyenne pondérée d’une série de valeurs, il faut :

Calculer les produits de chaque valeur par leur coefficient (ou effectif),

Calculer la somme des produits

Puis diviser le résultat par la somme des coefficients (ou l’effectif total)

b) Exemples

A un concours scientifique, les mathématiques ont un coefficient 5, la physique un coefficient 3 et la

géologie un coefficient 2. Carine a eu 11 en mathématiques, 9 en physique et 12 en géologie.

Quelle est sa moyenne pondérée ?

Notes (N) 11 9 12 Total

Coefficient (c) 5 3 2

N c

11 5 + …….. ……… + …….. ………

……… =

Nombre moyen de frères et sœurs

Nombre de

frères et sœurs

0 1 2 3 4 5 6 Total

Effectif 72 108 95 110 39 19 7 450

0 72 + …….. ………+ …….. ………+…….. ………+…….. ………+ …….. ……… + …….. ………

…………. =

3) Calculer une valeur approchée de la moyenne d’une série regroupée en classe

a) Méthode

Pour calculer une valeur approchée de la moyenne d’une série de valeurs regroupée en classe, il faut :

Prendre le centre de chaque classe (moyenne des valeurs extrêmes )

Calculer le produit de ce centre par l’effectif correspondant

Faire la somme de ces produits

Puis diviser cette somme par l’effectif total.

5

b) Exemple : Durée moyenne du trajet maison collège

Durée du trajet

maison-collège

(en minutes)

Centre de classe

Effectifs

0 t<5 0 + 5

2 = 2,5 25

5t<10 111

10t<15 92

15t<20 85

20t<25 105

25t<30 32

TOTAL 450

2,5 25 + …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… ……

450 =

IV Tableur,étendue, médiane, 1er et 3ème quartiles

1. Médiane :

Monsieur Misant, fabricant de boîtes de chaussures, doit renouveler son stock. Il veut pour cela concilier différentes

contraintes :

éviter le gaspillage (pas de grandes boîtes pour de petites chaussures) ;

ne faire que quatre formats de boîtes au maximum car il dispose de quatre chaînes de fabrication ;

produire la même quantité de boîtes sur chaque chaîne de fabrication.

Le syndicat de la chaussure a réalisé une étude auprès d'un échantillon représentatif de 1 012 adultes pour connaître

la répartition des pointures. Les résultats sont indiqués dans le tableau ci-dessous.

Pointure 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Fréquence (en %) 2,3 4,3 7,6 10,8 11,4 13,6 13,7 11,3 9,4 8,1 5,3 2,2

a. Quels sont la population et le caractère étudiés dans cette enquête ?

b. Reproduis le tableau dans un tableur.

c. M. Misant veut fabriquer 10 000 boîtes. Ajoute au tableau une ligne contenant le nombre de boîtes à

fabriquer par pointure. (La répartition observée lors de l'enquête est respectée.)

d. Le fils de M. Misant, grand spécialiste du calcul de moyennes, mais pas de la réflexion, propose à son père de

calculer la pointure moyenne.

Fais à ton tour ce calcul. Ce résultat présente-t-il un intérêt pour M. Misant ? Donne au moins deux

arguments.

6

e. Après cette expérience malencontreuse, M. Misant décide de demander de l'aide à sa fille, élève de 4e. Elle

propose de rajouter deux lignes au tableau, celle des fréquences cumulées croissantes et celle des effectifs

cumulés croissants. Ajoute ces deux lignes.

f. M. Misant pense alors faire deux formats de boîtes de chaussures.

Quelles pointures devra contenir la première taille de boîtes pour respecter la troisième contrainte ?

Justifie ta réponse.

Cette valeur du caractère qui sépare la population en deux parties de même effectif s'appelle la médiane de la

série statistique.

g. Après réflexion, il décide d'économiser encore du carton en faisant quatre formats de boîtes.

Explique pourquoi le premier format de boîtes doit contenir les pointures 35 à 38 (38 est appelé le premier

quartile de la série statistique). Répartis les pointures restantes de façon à ce que chaque intervalle

contienne 25 % des chaussures.

h. Réalise deux diagrammes en bâtons avec en abscisse les pointures et en ordonnée, les fréquences en

pourcentage pour le premier diagramme et les effectifs pour le second.

i. Peux-tu retrouver facilement les résultats de la question 1. g. sur ces diagrammes ?

j. Place, dans un repère, les points ayant pour abscisses les pointures de chaussures et pour ordonnées les

fréquences cumulées croissantes correspondantes. En reliant ces points par des segments tu obtiens le

polygone des fréquences cumulées croissantes. Fais apparaître les réponses de la question 1. g. sur ce

graphique.

7

2. Médiane :

Florence, Olivier et Laure comparent leurs notes obtenues en mathématiques lors d'un trimestre.

Florence 5 20 16 11 12 16 14 7 8 1

Olivier 11 8 8 12 10 13 12 11 12 13

Laure 12 0 13 13 9 9 11 13 19 11

1. Calcule la moyenne obtenue en mathématiques lors de ce trimestre par Florence puis par Olivier et

enfin par Laure. Que remarques-tu ?

2. Après avoir rangé les notes par ordre croissant, détermine une note médiane pour chacune de ces trois

séries. Que remarques-tu ?

3. Les trois élèves te semblent-ils avoir le même profil ? Explique pourquoi.

4. Que peux-tu dire des notes de chacun d'entre eux par rapport à la moyenne et à la note médiane ?

Propose une caractéristique simple permettant de différencier les profils de ces trois élèves.

5. À l'aide du rangement donné à la question 2. , détermine des valeurs pour les premier et troisième

quartiles ainsi que l'écart entre ces deux valeurs pour chacune des trois séries.

Cela confirme-t-il ta réponse donnée à la question 3. ?