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Developpements limites, developpements

asymptotiques, comparaison au voisinage dun

point, etude locale des fonctions dune variable

reelle

PC*2

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Preface

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Table des matieres

1 Developpements limites 5

1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Developpements limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Troncature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Combinaisons lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Mise en uvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Generalisation : Les developpements asymptotiques 172.1 Developpements limites generalises . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Au voisinage dun point a R. . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Au voisinage de linfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Exemples de developpements asymptotiques . . . . . . . . . . 192.2.1 Utilite des developpements limites generalises . . . . . 192.2.2 Insuffisance de lechelle des puissances . . . . . . . . . 20

2.3 Exemples simples de developpement de fonctions reciproques . 23

3 Comparaison des fonctions au voisinage dun point 253.1 Preponderance des fonctions au voisinage dun point . . . . . 26

3.1.1 Fonction negligeable devant une autre. . . . . . . . . . 263.1.2 Les preponderances classiques . . . . . . . . . . . . . . 263.1.3 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Fonctions equivalentes au voisinage dun point . . . . . . . . . 273.2.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Proprietes operatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

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3.2.3 Les equivalences classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Considerations pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1 Les logarithmes et les puissances . . . . . . . . . . . . 303.3.2 Les exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Comment en trouver un equivalent . . . . . . . . . . . 31Les expressions du type eu ev . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.3 Les regles dor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Exercices 354.1 Developpements limites, etude locale des fonctions. . . . . . . 35

4.1.1 Developpements limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Limites et developpements asymptotiques . . . . . . . 364.1.3 Equivalents simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.4 Etudes locales et globales de fonctions . . . . . . . . . 39

4.2 Etude de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Lobjet de cette note est de decrire des methodes efficaces pour obtenirdes developpements limites et asymptotiques dans les situations courantes etdetudier quelques applications : etude locale de courbes, etc.

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Chapitre 1

Developpements limites

1.1 Notations

1. La lettre Idesignera toujours un intervalle non reduit a un point.

2. On etudie une fonction f au voisinage dun reel a. La partie A surlaquelle est definie fest supposee contenir un ensemble de la forme :

]b, a[ avec b < a resp ]a, b[ avec a < b +On dira quon travaille au voisinage de a+ resp a si on considere la

restriction de lapplication f a A [a, +[resp ] , a] A.3. On noteraDA lensemble des fonctions definies sur Aa valeurs reelles,

admettant, pour tout entier naturel n, un developpement limite auvoisinage de adordre n (DLn) :

f(x) =P(x a) + (x a)n(x) avec limx0

(x) = 0

Ou Pest un polynome a coefficients reels de degre inferieur ou egal an. On appelle : Partie reguliere du developpement limite, la fonction polynomex

P(x a). Terme complementaire, le terme (xa)n(x) encore noteo((xa)n).

4. On supposera, le plus souvent, que fnest pas plate au voisinage de acest a dire quil existe un entier naturel pet un coefficient ap= 0 telsque :

f(x) ap(x a)p au voisinage de a

5

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La fonctionx

ap(x

a)p sappelle partie principale defau voisinage

de a.5. On dira que le developpement limite de f est normal si on se trouve

dans la situation ci-dessus avec p= 0 cest-a dire quil commencepar une constante non nulle.

6. En pratique, on ecrira le developpement ci-dessus sous la forme :

f(a+h) =n

k=0

akhk +o(hn) quand h 0

1.2 Developpements limites classiques

Se reporter a son cours de premiere annee. Ces developpements sont don-nes au voisinage de 0. On les obtientvia :

le theoreme dintegration des developpements limites :Theoreme 1. Soitf C1(I, C), a I, sif admet au voisinage deale developpement limite dordren :

f(a+h) =

nk=0

akhk +o(hn) quandh 0

alorsfadmet au voisinage deale developpement limite dordren + 1 :

f(a+h) =f(a) +n

k=0

akhk+1

k+ 1+o(hn+1) quandh 0

La formule de Taylor-Young :Theoreme 2. Soitf

Cn(I, C),a

I, alorsfadmet au voisinage de

a le developpement limite :

f(a+h) =n

k=0

f(k)(a)

k! hk +o(hn) quandh 0

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Exemple 1. Les hypotheses du theoreme dintegration ne sont pas difficiles

mais exigent que lon fasse preuve dun minimum de soin. Voici un exempleutile : Trouver un developpement limite a lordre 5 de la fonction :

x Arcsin(1 x2)au voisinage de 0.

Demonstration. La fonction en question est definie et continue sur [2, 2].En fait, elle nest pas forcement derivable en 0 car larc sinus nest pas deri-vable au point 1. Comme elle est paire, on va travailler sur [0 , 1].fest de classeC1 sur ]0, 1]. Sa derivee vaut :

f(x) = 2xx2(2 x2) =

22 x2

Donc limx0

f(x) =2. On utilise alors un resultat important du cours depremiere annee : le theoreme de la limite de la derivee qui est uneconsequence du theoreme des accroissements finis.

On en verifie soigneusement les hypotheses : fest continue sur [0, 1]. fest de classeC1 sur ]0, 1]. lim

x

0

f(x) = 2.alors, fest de classeC1 sur [0, 1] et f(0) = 2.On peut maintenant utiliser le theoreme dintegration des developpementslimites sous reserve quefait un developpement limite a lordre 2 au voisinagede 0 ce qui est le cas :

f(x) =

2 1/4

2x2 332

2x4 +o

x4

Le theoreme dintegration des developpements limites, cite plus haut, fournitalors, compte tenu de ce que f(0) =/2 :

f(x) = 1/2

2x 1/12

2x

3

3

160

2x

5

+o x5Comme f est paire, elle admet, non pas un developpement limite or-dinaire mais un developpement limite generalise au voisinage de0 :

f(x) = 1/2

2|x| 1/12

2|x|3 3160

2|x|5 +o |x|5

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On obtient egalement le developpement asymptotique de larc sinus au

voisinage de 1. quand h 0+ :

Arcsin(1 h) = 1/2

2

h 1/12

2h3/2 3160

2h5/2 +o(h5/2)

Utile dans certaines questions sur les series et quil importe donc de savoirretrouver (mais surtout pas de connaitre par cur)

1.3 Operations

1.3.1 Troncature

Si On connait un developpement limite de fdordren au voisinage de a,on en obtient un developpement limite dordre m n en ne gardant dans lapartie reguliere que les termes de degre m.

1.3.2 Combinaisons lineaires

Sif etg appartiennent aDA, il en est de meme de = f+g ou etsont reels. Pour obtenir un developpement de a lordren au voisinage dea il suffit davoir un tel developpement pour f etg :

f(a+h) =P(h) +o(hn) g(a+h) =Q(h) +o(hn)

(a+h) =R(h) +o(hn) avec R= P+Q

R est bien un polynome de degre n.Application : Developpements limites des fonctions paires et impaires auvoisinage de 0.

1.3.3 Produit

Cas de deux developpements normaux Sif etg appartiennent aDA,admettant chacune un developpement limite normal au voisinage de a:

f(a+h) =P(h) +o(hn) g(a+h) =Q(h) +o(hn)

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avec a0 = P(0)

= 0 et b0 = Q(0)

= 0. il en est de meme de = f g. Pour

obtenir un developpement de a lordre n au voisinage de a il suffit davoirun developpement dordre n pourf etg. Il vient alors :

(a+h) =R(h) +o(hn)

Ou R est le polynome obtenu en tronquantP Q a lordre n.

Demonstration. Si lon ecrit :

f(a+h) =P(h) +hn1(h) g(a+h) =Q(h) +hn2(h)

avec i(h)

0 quand h

0 :

(a+h) =P(h)Q(h) +hn3(h)

et :3(h) =1(h)Q(h) +2(h)P(h) +h

n1(h)2(h)

On voit que 3(h) 0 quand h 0. Il vient alors :

P(h)Q(h) =2nk=0

ckhk =R(h) +

2nk=n+1

ckhk =R(h) +hn4(h)

avec deg R n et4(h) 0 quand h 0. En posant :

(h) =3(h) +4(h)

Il vient(h) 0 quand h 0 et :

(h) =R(h) +hn(h)

Remarque1. Ce qui precede nutilise pas le caractere normal des deve-loppements limite, les lecteurs se convaincront cependant que ce calculest optimal dans le cas ou les deux developpements limites sont nor-mauxcest a dire que pour connaitre un developpement limitedordren de f g, il est necessaire et suffisant de connaitref etg au meme ordre n, ni plus, ni moins

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Exemple 2. Trouver un developpement limite a lordre 6 de la fonction y :

x cos x1 x

au voisinage de 0. On presente les calculs de la maniere suivante :

Recherche des parties principales : Quand x 0 :

cos x 1 11 x 1

Ces deux fonctions admettant des developpements limites normaux a

tout ordre, on obtient un developpement limite a lordre 6 de leur pro-duit en developpant chacune delle au meme ordre 6 :

Calcul :

cos x= 1 12

x2 + 1

24x4 1

720x6 +o

x6

(1.1)

1

1 x = 1 +x+x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +o

x6

(1.2)

On calcule alors le coefficient de chaque puissance de x:

1 1, x x, x2 1 1/2 = 1/2, x3 1 1/2 = 1/2x4 1 1/2 + 1/24 = 13/24, x5 1 1/2 + 1/24 = 13/2

x6 1 1/2 + 1/24 1/720 = 389/720On voit bien que tous les coefficients calcules sont utilises dou :

y(x) = 1 +x+1

2x2 +

1

2x3 +

13

24x4 +

13

24x5 +

389

720x6 +o

x6

Cas de deux developpements quelconques En pratique, si on veutun developpement limite dordre n de f g, on optimise les ordres auxquelson developpe f et g en mettant leurs parties principales en facteur.Plus ces parties principales sont de degres eleves, plus le calcul estsimple

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Exemple 3. Developper la fonction :

y(x) =

ex2 1

sin

x3

alordre 7 au voisinage de 0.

Recherche des parties principales :

ex2 1 x2 sin x3 x3

On met ces parties principales en facteurs.On prepare le calcul sousla forme:

ex2

1 =x2u (1 +. . . ) sin x3 =x3

v (1 +. . . )dou :

y(x) =x5uv

(1 +. . . )

Commeu et v admettent des developpements limites normaux, le pro-duit uv sera developpe a lordre n quand u et v seront developpesa ce meme ordre n.Ici on veut, a cause du x5 en facteur : n+ 5 = 7 ien= 2. Il faut doncdevelopper exp(x2) 1 a lordre 4 et sin(x3) a lordre 5.

Calcul effectif :

ex2 1 =x2 +1

2x4 +o

x4

=x2

1 +1

2x2 +o

x2

sin

x3

=x3

1 +o

x2

Dou :

y(x) =x5

1 +x2

2 +o

x2

1.3.4 CompositionLemme 1. Soit u DA. On suppose que u admet au voisinage de a lapartie principaleap(x a)p avecp 1 (ce qui implique queu(x) 0 quandxa). Soientm >0 etnp deux entiers. Pour savoir developper toutesles puissancesuk (km) deu a lordren, il suffit de savoir developperuma lordre n.


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Demonstration. Supposons quon ait developpe ua lordre q.

u(a+h) =aphp +ap+1h

p+1 + +o(hq) quand h 0

u(a+h) =hp(ap+ap+1h+ +o(hqp)) =hpv(h)Ouv possede un developpement limite dordre qpnormalise. On sait alorscalculer un developpement limite de la fonction h uk(a+ h) a lordrekp + (qp) = (k1)p+ q qui est une fonction croissante de k dou leresultat.

Mise en uvre

On va travailler sur des exemples en degageant les principes importants.Lexemple qui nous guidera est le suivant :

Exemple 4. Developper y= ln(sin x) a lordre 6 au voisinage de /2.

User de changements de variables et de fonctions pour se ra-mener au voisinage de 0. Cela impose de calculer les limitesde certaines expressions intermediaires :On pose ici : x= /2 +h, ce qui donne :

y= ln(cos h) avec h 0

La fonction intermediaire cos h tend vers 1 quand h0, on fait doncle changement de fonction :

cos h= 1 +u avec u 0 quandh 0

On est donc ramene a developper :

y = ln(1 +u) avec u 0

Calculer les parties principales des fonctions intermediaires:

Ici : u h2/2 quandh 0 et ln(1 +u) u Calculer les ordres :

ln(1 +u) =u +. . . . Comme la plus petite puissance de u qui inter-vient dans le developpement du logarithme est u, on devra, dapresle lemme ci-dessus, developper ua lordre 6 en h.


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Pour savoir a quel ordre developper le logarithme en u, on fait le

petit calcul suivant :

u h2/2, u2 h4/4, u3 h6/8, u4 =o(h6)

Donc on naura besoin que de u, u2,u3. Calcul effectif: en noubliant pas de mettre les parties principales en

facteur pour calculer les developpements limites des puissances de u :

ln(1 +u) =u u2/2 +u3/3 +o(u3)

1 u= h2

2 + h4

24 h6

720 + o (h6

) = h2

2 1 h212 + h4360 + o (h4)1/2 u2 = h4

4

1 h2

6 +o (h2)

1/3 u3 = h6

8 (1 +o(1))

y = h22 h4

12 h6

45+o (h6)

Remarque 2 (Au sujet des changements de fonction). : On a interet autiliser au maximum les proprietes algebriques des fonctions etudiees :

Exponentielles : Si y = exp(z) avec z a, poser z= a+u et travailleravec exp(u) puisque u 0.

Fonctions trigonometriques : Meme chose, y compris pour les fonctionstrigonometriques hyperboliques.

Logarithmes : Si y = ln(z) avec z a > 0, poser z = a(1 + u). Ce quiramene a ln(1 +u) avec u 0.

Puissances : Meme chose. En anticipant les developpements asymptotiques,on peut aussi remarquer que siz 0+avecz vouvest un equivalentsimple, on a interet a poser :z=v(1 +u).

Exemple 5. Developper y =

ch x cos x a lordre 5 au voisinage de 0. Vula parite de la fonction (qui est definie car cos x 1 ch x), il suffit de seplacer au voisinage de 0+.


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Posons z= ch x

cos x. Il vient z

0 quand x

0, ce qui amene a

chercher sa partie principale viade petits developpements limites :

ch x = 1 +x2

2 +o(x2) (1.3)

cos x = 1 x2

2 +o(x2) (1.4)

z = x2 +o(x2) (1.5)

On pose donc z= x2(1 + u) avec u 0 quand x 0. On doit doncdevelopper :

y = x1 +u a lordre 5et donc

1 +u a lordre 4.

Comme u 0, il vient :

(1 +u)1/2 = 1 +u/2 +. . .

On doit donc developper u a lordre 4 en x. Pour savoir a quelordre developper le radical, il est essentiel de connaitre la partie prin-cipale de u, ce qui se fait en poussant les developpements limites (1.3)et (1.4) :

ch x = 1 +x2

2 +

x4

24+o(x4) (1.6)

cos x = 1 x2

2 +

x4

24+o(x4) (1.7)

z = x2 +o(x4) (1.8)

Cest insuffisant, on pousse encore dun cran :

ch x = 1 +x2

2 +

x4

24+

x6

720+o(x6) (1.9)

cos x = 1 x2

2 +

x4

24 x

6

720+o(x6) (1.10)

z = x2 + x6

360+o(x6) (1.11)

donc u x4/360. Comme u2 =o(x4), le terme en usuffit.


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Il vient donc :

(1 +u)1/2 = 1 +u/2 +o(u) = 1 + x4

720+o(x4)

y = x+ x5

720+ o(x5) au voisinage de 0+

Compte tenu de la parite de y, on a au voisinage de 0 le developpementlimite generalise:

y= |x| +|x|5

720+o(|x|5)

Quotient

Pour developper un quotientN/D onmet les parties principales de Net D en facteurpuis on traite le quotient des deux developpements limitesnormaux obtenus comme un produit via(1 + u)1. La regle essentielle est lasuivante :Pour developper a un ordrenun quotient de deux developpementslimites normaux, on developpe le numerateur et le denominateura lordre n.

Exemple 6. Developper :

y=

Arctg x2

cos x

a lordre 5 au voisinage de 0+.

y = x+x3

4 3x

5

32 +o

x5

Exemple 7. Developper :

y=ln(sin x)

cos xa lordre 3 au voisinage de /2.

Exercice 1 (Mines 2008). Soit ]0, 1[ et :

a(x) =2 cos x i sin x+ 1 2


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1. Montrer que

|a(x)

|2 = 1

4(2

4)sin4

x

2.2. Donner un developpement limite a lordre 4 au voisinage de 0 de cha-cune des fonctions :

x ln(|a(x)|2) et arctan (a(x))(a(x))


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Chapitre 2

Generalisation : Les

developpements asymptotiques

Aucune theorie nest au programme (au demeurant une telle theorie nestpas tres utile).

2.1 Developpements limites generalises

2.1.1 Au voisinage dun point a

R

Il sagit de developpements limites suivant les puissances entieres positivesou negatives de (xa). On les obtient suivant les memes regles que lesdeveloppements limites usuels.On prendra bien garde dordonner lespuissances(x a)k suivant les valeurs croissantes de lentier k Z .Exemple 8 (La cotangente au voisinage de 0). Au voisinage de 0, on peutecrire, en normalisant le numerateur et le denominateur et en developpantau meme ordre (ici 2), les developpements normaux :

cotg x=cos x

sin x

= 1 x2/2 +o(x3)

x (1 x2

/6 +o(x3

))

=1

x 1 x2

3

+o(x3)cotg x=

1

xx

3+o(x2)

Le developpement obtenu est appele developpement a lordre 2 ou encoremieuxdeveloppement a la precisionx2.

17

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Exemple 9. Donner un developpement limite generalise a lordre 1, au voisi-

nage de 1, de la fonction fdefinie par :

y= f(x) = 3x2 4x+ 2

(x 1)3(x2 x+ 1)Comme on travaille au voisinage de 1, on considere :

y = f(1 +h) = 1 + 2h+ 3h2

h3(1 +h+h2)

On fait un developpement limite a lordre 4 du quotient des developpementnormaux, il sensuit :

y= 1

h3(1 +h+h2 2h3 +h4 +o(h4)) quand h 0

Soit encore :

y = 1

h3+

1

h2+

1

h 2 +h+o(h)

2.1.2 Au voisinage de linfini

La partie A sur laquelle est definie la fonction f etudiee est supposee

contenir un intervalle non borne a droite (resp a gauche) si a = + (respa =). Les developpements consideres se font suivant les puissancesdecroissantes de x.

Exemple 10. Developper

y = f(x) = x5 + 1

2 +x+x3

au voisinage de a lordre2.On ordonne le numerateur et le de-nominateur suivant les puissances decroissantes de x de sorte queles infiniments grands preponderants soient en tete des expressions

obtenues :y=

x5 + 1

x3 +x+ 2=

x5 (1 + 1/x5)

x3 (1 + 1/x2 + 2/x3)

En posant h= 1/xqui tend vers 0 quand x :

y = 1 +h5

h2(1 +h2 + 2h3)


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Compte tenu de lordre voulu (h2), on recrit cette expression sous la forme :

y= 1 +o(h4)

h2(1 +h2 + 2h3 +o(h4))

Dou :

y= 1

h2 1 2h+h2 +o(h2)

y= x2 1 2x

+ 1

x2+o

1

x2

Exemple11. Developper f(x) = x3 sh1

xavec deux termes au voisinagede +.

Exemple12. Developperf(x) =

1

cos

1

x

respf(x) =

ch1x

1

a lordre 4 au voisinage de +.

2.2 Exemples de developpements asymptotiques

2.2.1 Utilite des developpements limites generalises

On a vu en premiere annee lutilisation des developpements limites dansla determination de limites et dequivalents simples.

Exemple 13. Etudier au voisinage de 0 :

y=f(x) = sin

x2 + 1

3

ch x+

cos x 2Lexpression se presente sous la forme u/v. Il suffit donc de trouver un equi-valent simple, quand x 0 de chacun des termes uet v avec :

u= sin

x

2

+ 1 v=

3

ch x+

cos x 2

Cherchons si ces fonctions admettent des parties principales generalisees quandx 0 :limx0

x2 + 1 =. On pose donc :

z=

x2 + 1 0


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de sorte que :

u= sin(+z) = sin z zet :

z=

x2 + 1 1

x2

2donc :

u x2

2 quand x 0

Il vient alors :

3

ch x = 1 + x2

6 +o (x2)

cos x = 1 x2

4 +o (x2) donc v

x2

12

Il en resulte, quand x 0 :limx0

y= 6

2.2.2 Insuffisance de lechelle des puissances

Lorsquex est au voisinage de 0,la fonction lnet la fonction x e1/x,par exemple, nadmettent pas de partie principale de la forme x.

Lors de letude de limites faisant intervenir de telles expressions celles ci nepeuvent etre remplacees par des fonctions equivalentes plus simples. On essaiealors de trouver des equivalents simples en effectuant des developpements dememe nature que les developpements limites mais plus generaux. On lesappelle developpementsasymptotiques.

Exemple 14. Etudier, lorsque x 0+, le comportement de :

y=(sh x)ln(sin x) x ln x

x3 ln x

Lexpression se presente sous la forme dun quotient ; on etudie donc sepa-

rement le numerateur et le denominateur dont on cherche des equivalents.Posons :u= (sh x)ln(sin x) x ln x, v=x ln x

Quandx 0+, (sh x)ln(sin x) x ln x.Ce terme x ln xdont on ne peuttrouver dequivalent sous une forme plus simple peut etre consi-dere comme la partie principale de (sh x)ln(sin x). Il faut donc essayer


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de developper (sh x)ln(sin x) avec un terme de plus.

On utilise les memes methodes de calculs que pour les developpe-ments limites. Ici cest un produit donc on met en facteur les partiesprincipales de chacun des deux termes :

sh x = x

1 +

x2

6 +o

x2

(2.1)

ln(sin x) = ln x1 x2

6

+o x2 = ln x+ ln1 x2

6

+o x2or :

ln

1 x

2

6 +o

x2

= x2

6 +o

x2

dou :

ln(sin x) = ln x x2

6 +o

x2 ln x

donc, en mettant la partie principale en facteur :

ln(sin x) = ln x 1 x26 ln x

+o x2ln x

(2.2)On voit que les developpements (2.1) et (2.2) sont normaux mais pas aumeme ordre1. Or, au voisinage de 0+ :

x2

ln x=o

x2

On developpe donc chacun des facteurs normaux a la plus "mauvaise" des

deux precision a savoir :x x2. Le facteur (2.2) se recrit donc sous la forme :

ln(sin x) = ln x

1 +o

x2

(2.3)

1Pour les developpements asymptotiques on prefere parler de precision plutot que

dordre


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dou :

sh x ln(sin x) =x ln x

1 +x2

6 +o

x2

1 +o

x2

=x ln x

1 +x2

6 +o

x2

finalement :

u=x3

6 ln x+o

x3 ln x

x36

ln x

et v= x3 ln xdonc :

limx0+

y=1

6

Voici un autre exemple avec des exponentielles au voisinage de +

.

Exemple 15. Etudier le comportement, au voisinage de + de :

y=

th(

x2 x+ 1)e2x

Expression de la forme ze2x

. Il faut dabord etudier zpour savoir si ln z estdefini au voisinage de + et trouver le comportement de e2x ln z.Etude de z : zse presente sous la forme th v ou v + donc z 1 et

donc z >0 au voisinage de +. La limite de zautorise a poser :z= 1 +u lim

x+u= 0 et donc ln(z) u

Etude de u : Il vient :

u= th v 1 =2 e2v

1 + e2v 2 e2v

reste a avoir un developpement significatif de e2v :

Etude de v : Il faut le developper en o(1) pour pouvoir passer a lexpo-nentielle :

v=

x2 x+ 1 =x

1 1x

+ 1

x2 =x 1

2+o(1)

dou :

e2v = e e2x +o e2xet, finalement :

e2x ln z 2 elim

x+y = e2 e


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2.3 Exemples simples de developpement de

fonctions reciproques

Rappelons dabord letheoreme des fonctions reciproques :

Theoreme 3. Soit f une application de classeCn (0 n +) dunintervalleI dansR. AlorsJ=f(I) est un intervalle et :

Sifest strictement monotone surI, elle induit une bijection deI surJ dont la reciproquef1 : J Iest continue surJet de meme sensde variation quef.

Si n 1 et si f ne sannule pas sur I, f induit une bijection de IsurJ dont la reciproquef1 : J I est de classeCn surJ, en outreles derivees successives def1 surJsobtiennent en derivant lune desdeux relations :

y J, ff1(y) =y ou x I, f1 (f(x)) =xautant de fois que necessaire.

Dans la plupart des cas la deuxieme partie de ce theoreme assure quela fonction reciproque etudiee est justiciable de la formule de Taylor-Younglaquelle assure lexistence dun developpement limite quon peut obtenir parune methode de coefficients indetermines 2. Traitons un exemple ou la fonc-tion reciproque nest meme pas derivable au point etudie.

Exemple 16 (Retour sur le developpement deArccos au voisinage de1). Onsait que la fonction Arccos est continue sur [1, 1] dapres le theoreme decontinuite des applications reciproques des applications continues strictementmonotones sur un intervalle. Pour h [0, 1], considerons la fonction y :h Arccos(1 h) et la relation :

cos(y(h)) = 1 h (2.4)

Comme limh0

y(h) = 0, il vient :

1 y(h)2

2 +o

y(h)2

= 1 h

2cf le TD Maple


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qui se recrit :

y(h)2

2 +o

y(h)2

=h

en mettant la partie principale du premier membre en facteur, il vient :

y(h)2

2 (1 +o(1)) =h

Dou, en prenant les racines carrees des deux membres, compte tenu de lapositivite de y(h) :

y(h)2

1 +o(1) =

h

Or le symbole

1 +o(1) represente une fonction de h qui tend vers 1 quandh 0 dou :

y(h)

2h quand h 0En developpant le premier membre de la relation2.4avec un terme de pluset en y reportant le developpement de y trouve ci-dessus on obtient le termesuivant quon pourra retrouver par la methode de lexemple 1 page 7. Leslecteurs sont invites a le faire a titre dexercice.


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Chapitre 3

Comparaison des fonctions au

voisinage dun point

Dans ce qui suit a est un point de R = R {, +}. On noteraFa lensemble des fonctionsf a valeurs reelles definies sur une partie Aqui contient un intervalle de la forme :

]a , a[ o u ]a, a+[ si a R]b, +

[ sia= +

] , b[ sia=

Une telle fonction sera dite definie au voisinage dea. Par abus de langage, une partie U de R est sera appelee un voisinage

dea si

Ucontient un intervalle de la forme ]a , a+[ sia RUcontient un intervalle de la forme ]b, +[ sia= +Ucontient un intervalle de la forme ] , b[ sia=

Lensemble des voisinages de a est noteV(a) Enfin, on dira quune propriete concernantf Fa estverifiee au voisi-

nage deasil existe un voisinage U dea tel que cette propriete ait lieupour toutx U Aouf sera supposee definie. Par exemplef est> 0au voisinage de asil existe U V(a) tel que f(x)> 0 x U A.

25

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3.1 Preponderance des fonctions au voisinage

dun point

3.1.1 Fonction negligeable devant une autre

Definition 1. Soientf etg deux elements deFa definies surA. On dit quef est negligeable devant g au voisinage de a, si elle verifie lune des deuxproprietes equivalentes suivantes.

i) >0 , U V(a) / x U A ,|f(x)| |g(x)|ii) V V(a) et : V A R tels que :

limxa

(x) = 0

x V A , f(x) =(x)g(x)Si tel est le cas, on note f=o(g) ouf g (au voisinage de a).Proposition 1. Sil existe un voisinageV dea tel queg ne sannule pas surV A, f=o(g) au voisinage dea si et seulement si :

limxa

xVA

f(x)

g(x) = 0

Remarque3. f(x) =o(1) au voisinage de a signifie donc quef(x) tendvers 0 quand xtend vers a.

3.1.2 Les preponderances classiques

Si >0 :x =o(ex) au V(+)ex =o(x) au V(+)ln x= o(x) au V(+)ln x= o(x) au V(0+)

Exercice 2. Soientaetbdeux reels tels que 1< a < b. Comparer au V(+)les infiniments grands :

a(bx) et b(a

x)

a(blogax) et b(a

logbx )


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3.1.3 Quelques proprietes

Proposition 2. Sif1, f2, . . . , f n sont des elements deFa tous negligeablesdevantfau voisinage dea alors :

ni=1

fi = o(f) au V(a)

Proposition 3. Soientf , g , h des elements deFa :f=o(g)auV(a) hf=o(hg)auV(a)

Definition 2. Une somme f1 +f2 + + fn delements deFa sera diteregulierement ordonnee si :

f2 = o(f1), f3=o(f2), . . . , f n=o(fn1)

Exercice 3. Soient a0, a1, . . . , an des reels tous non nuls. La somme a0 +a1x+ +anxn est elle regulierement ordonnee auV(+), auV(), auV(0) ? Dans le cas ou la reponse est negative, ecrire cette expression sous laforme dune somme regulierement ordonnee.

3.2 Fonctions equivalentes au voisinage dun

point

Definition 3. Soientfetg deux elements de Fadefinies surA. On dit quefest equivalente ag au voisinage dea, si elle verifie lune des deux proprietesequivalentes suivantes.

i) f g= o(g)ii) V V(a) et : V A R tels que :

limxa

(x) = 0

x V A , f(x) =g(x)(1 +(x))g(x)Si tel est le cas, on note f g (au voisinage de a).Proposition 4. Lequivalence au voisinage dea est une relation dequiva-lence surFa.


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Proposition 5. Sil existe un voisinageV dea tel queg ne sannule pas sur

V A, f g au voisinage dea si et seulement si :

limxa

xVA

f(x)

g(x) = 1

3.2.1 Proprietes

Proposition 6. Soient f et g deux elements deFa equivalentes auV(a),l

R, alors :limxa

f(x) =llimxa

g(x) =l

Remarque importante 1. Dire que f 0 au voisinage de a signifiequil existe V V(a) tel que f est nulle surV A et non pas queftend vers0 quandxtend versa. 0 etont un statut tres particulierdans cette theorie.

Proposition 7. Soitfun element deFa, l R non nul :

limxa f(x) =l f(x) l au V(a)

Proposition 8. Sif etg sont deux elements deFa equivalentes au voisinagedea alors il existe un voisinageV dea tel quef etg aient meme signe etmemes zeros surV A.

3.2.2 Proprietes operatoires

Proposition 9. Sif1, f2, . . . , f n sont des elements deFa tous negligeablesdevantfau voisinage dea alors :

f+ni=1

fi f au V(a)

Pour trouver une fonction simple equivalente a une somme de fonctions, ona donc interet a ordonner regulierement celle ci.


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Proposition 10. Soientf, f, g , g des elements de

Fa :

f f et g g au V(a) f g fg au V(a)Proposition 11. Soientf, f, g , g des elements deFa. On suppose queg etg sont equivalentes au voisinage dea et queg ne sannule pas au voisinagedea, alorsg non plus et :

f f au V(a) fg f

g au V(a)

Remarque importante 2. De maniere generale, on retiendra quelequivalence des fonctions se comporte bien vis a vis des produits et

des quotients et mal vis a vis des sommes et differencessauf si lunedes fonctions est preponderante sur les autres ; cest pourquoi il est leplus souvent utile de mettre la fonction la plus preponderante, ou lapartie principale en facteur.

Exemple 17. y = ln(u),u = x+

x2 + 1. AuV(+), on peut ecrire u = xvavec :

v=

1 +

1 +

1

x2

lim

x+v= 2, donc :

y = ln x+ ln 2 +o(1) ln x au V(+)Exercice 4 (Simplification des equivalents). Donner une fonction simpleequivalente a chacune des fonctions suivantes auV(+)

f(x) =

1 x+x2 f(x) =

2 x2 +x3

x+

2x

x+ ln x

f(x) = ex2

+ ex +xlnx f(x) = (ln x)x +xlnx

Meme question auV(0+) avec

f(x) =

x+ 3

x2 +x3 + 4

x2 +x52 f(x) = x2 +x3 + 3x4 + 8x3

f(x) = 3

ln x+ 2x| ln(x)| ( R+, R)

f(x) = ex lnx +x ( R+)


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3.2.3 Les equivalences classiques

Ce sont celles qui decoulent des developpement limites au voisinage de 0.Dans ce tableau, u est un element deFa qui tend vers 0 quand x tend versa, de sorte que les fonctions ecrites sont definies au voisinage de a. est unreel.

sin u u 1 cos u u22

sh u u ch u 1 u22

(1 +u) 1 u ln(1 +u) utg u u Arctg u uarcsin u

u eu

1

u

1 eu u

3.3 Considerations pratiques

La manipulation des equivalents est souvent deroutante si lon veut sas-treindre a memoriser un trop grand nombre de regles quon finit par confondre.Par exemple on sait "quil faut faire attention avant de passer un equivalent alexponentielle"mais on ne sait plus tres bien quoi faire devant un logarithme.Ce qui suit a pour ambition de clarifier un peu la situation.

3.3.1 Les logarithmes et les puissances

Dans les cas courants, on a affaire a des fonctionsy qui se presentent sousla forme ln zou lim

xaz=l [0, +] et dont on desire trouver un equivalent.

Deux cas se presentent :

l]0, +[. Dans ce cas, on a interet a poser z= l(1 +u) avec limxa

u=

0, il vient alors :

y = ln l+ ln(1 +u) = ln l+u+o(u)

donc, si l= 1,y ln l et si l= 1,y u. Si l= 0 ou +. On recherche alors un equivalent simple (partie prin-

cipale) de z, soitt et lon pose z= t(1 +u) avec limxa

u= 0, dou :

y = ln t+ ln(1 +u) = ln t+u+o(u) ln t


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Exercice 5. Trouver un equivalent simple des fonctions suivantes :

ln(sin x) au V(2

)ln(ch x) au V(+)ln(tg x) au V(

4)

ln(x e1x ) au V(0)

ln

ln(x(x+

x2 + 1)

au V(+)

La meme technique sapplique lorsque y= z ( R) et z >0 au voisinagedea. Siy = zv ouv Fa, il est conseille detudier dabord = ln y=v ln zpuisy = ez, ce qui amene a :

3.3.2 Les exponentielles

Comment en trouver un equivalent

Siy= ez dont on veut trouver un equivalent, on recherche un equivalentsimple de z, soit u, et lon pose z u= v. Il vient alors y = eu . ev. On nadonc y eu que si lim

xaev = 1 ie lim

xav= 0 .

Exemple 18. y= ex2+x+1 auV(+). Posons :

z= x2 +x+ 1 =x1 +u avec u= 1x

+ 1x2

Donc

z=x

1 +u

2+o(u)

avec u=

1

x+o

1

x

Il vient :

z=x

1 +

1

2x+o

1

x

=x+

1

2+ o(1)

et

y= ex e 12 eo(1)

comme eo(1) 1, il vient :y e 12 ex

et non ex comme on eut pu le penser a tort.


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Les expressions du type eu

ev

Pour trouver un equivalent de y = eu ev, lorsque u v (Si lune desdeux est preponderante, cest evident), il est souvent utile de mettre lunedes deux en facteurs y= eu(1 evu)Exemple 19. y = x

x2+2x (x+ 1)x auV(+) Posons z=

x2 + 2x ln x

et t= x ln(x+ 1) , de sorte que y= ez et . On a interet a preparer lesexpressions dezet t pour le calcul. Cest tres utile si lon a besoinensuite de pousser les developpements asymptotiques:

z= x ln x1 +2x t= x ln x1 +1xTransformons encore tde maniere a mettre sa partie principale en facteur :

t= x ln x+x ln

1 +

1

x

=x ln x

1 +

ln

1 + 1x

ln x

donc z t x ln x. Mettons y sous la forme :

y = et(ezt 1)

z t= (x ln x)w ou lon a pose :

w=

1 +

2

x 1 ln

1 + 1

x

ln x

Pour pouvoir obtenir un equivalent de ezt, il est necessaire de developperz t jusqua obtenir un terme qui tend vers 0 ;donc de developper w a laprecision 1

x lnx.

1 +

2

x 1 = 1

x+ o

1

x ln xln

1 + 1x

ln x

= 1

x ln x+o

1

x ln x

dou

w= 1

x 1

x ln x+ o

1

x ln x


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etz

t= ln x

1 +o(1) donc

ezt =x e1 eo(1) x e1

Comme 1 =o(x) auV(+), il en resulte :

ezt 1 x e1

Reste a trouver un equivalent de et. Ici encore, il faut developper t jusquaobtenir un terme qui tend vers 0 :

t= x ln x+ 1 + o(1)

doncet = ex ln x e eo(1) ex lnx e

finalementy x ex lnx au V(+)

Exercice 6. Trouver un equivalent simple auV(+) de :

y= 3

x+

x+ 1 3

x+

x 1

Exercice 7. Trouver un equivalent simple auV(2 ) de :

y= etg2 x

Exercice 8. Trouver un equivalent simple auV(+) de :

y= x 2

Argch x

3.3.3 Les regles dor

User de changements de variables et de fonctions pour manipuler desexpressions plus simples.

Mettre les parties principales en facteur. Se ramener toujours a desproduits ou quotients de developpements asymptotiques normaux, cesta dire qui commencent par des termes constants non nuls. Mieux uneexpression est preparee, plus le traitement en est aise.


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Pour avoir le produit ou le quotient de deux developpements normaux a

une precision donnee, il est necessaire et suffisant de developper chacundeux a cette precision. Si les deux precisions ne sont pas identiques,tronquer lun des deux developpements.

Ordonner toujours les expressions par ordre de preponderance decrois-sante cest a dire les ecrire sous la forme de sommes regulierementordonnees.

Sil se trouve a droite du symbole une somme de deux termes, re-garder si lun deux est negligeable devant lautre ; si tel est le cas, lesupprimer. Exemple ln 2x= ln x+ ln 2 ln xauV(+).

Pour obtenir un equivalent de eu, developper ujusqua obtenir un terme

qui tend vers 0 ie de la forme o(1). En cas dhesitation sur la manipulation des equivalents, se ramener ades egalites par exemple, au lieu de u v, ecrire u= v(1 +) .

Ne jamais ecrire u 0 pouru 0. Meme chose si u .


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Chapitre 4

Exercices

4.1 Developpements limites, etude locale des

fonctions

Le but de ces exercices est de consolider ses reflexes sur le com-portement asymptotique des fonctions classiques au voisinage dunpoint.

4.1.1 Developpements limites

On sefforcera, pour chaque exercice, de preciser, avant tout calcul, lesordres auxquels on souhaite developper les fonctions.

1. Developpement limite a lordre 4 au voisinage de 0 de :

arctan

x+

3

1 +x

3

?

2. Developpement limite a lordre 5 en 0 de :

3Arcsin x x ?


(cos x)sinx ?

35

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x

ex 1?


1

x2 1

(Arcsin x)2?

4.1.2 Limites et developpements asymptotiques

Limite en + de : e

1 +

1

x

xx2+1x21?

Developpement a trois termes en + ?6. Limite en + de :

xx

xx?

7. Limite en +

de :

cos

n

3n+ 1

+ sin

n

6n+ 1

n(nentier).

8. Limite en + de : ni=1

piaix

1/xou les ai et les pi sont dans R

+.

9. Limite en + de : 2 Arctanx

x

?

Developpement a deux termes en + ?10. Limite en 0 de :

(cos x)cotan2 x ?

Puis developpement a deux termes.


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11. Limite en /2 de : 2 xsinx/ ln(cosx) ?

Puis developpement asymptotique a deux termes.

12. Limite en/4 de :(tan x)tan2x ?

Puis developpement asymptotique a deux termes.

13. Limite en 0 de :Argshx sin x3

th2x sin x x?

14. Equivalent en 0 de :

Argch

1

cos x

?.

15. Limite, quand x 0+ de :(sin x)x xsinxxshx (sh x)x ?

16. Limite en 0 de :

ni=1

piaix1/x

ou les ai et les pi sont dans R+.

17. (Maple) Limite, quand x + de :3

x3 +ax2 + 2 3

x3 + 1x

en fonction de a R. On commencera a sassurer que la fonction estbien definie au voisinage de +.

18. (Maple avec nradicaux) Limite en 0+ de :1x

+

1x

+

1

x+

1

x

1

x.


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4.1.3 Equivalents simples

19. Equivalent en + de :

e1/x x(x+ 1)1 +x2

.

20. (Maple) Equivalent en + de :3

ch x 3

sh x.

21. Equivalent en /2 de :

(tan x)cosx 1.

22. (Maple) Equivalent en + et en 0+ de :3

lnsh x 3x.

23. Equivalent en + de :

ln xln(x 1)

x2

.

24. (Maple) Equivalent en + de :2 arctan

x+2x+1

arctan(x+ 1)

xArgshx

?

25. Equivalent en 0 de :

1x 1

tan x?

26. Equivalent en 0 de :1

1 xx 1

x ln x?


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27. Equivalent en 0 de

xx (sin x)x x36

?

28. (Maple) Equivalent en 0 de :

Arccos(1 x) ?

Comment faire faire par Maple un developpement asymptotique a plu-sieurs termes ?

29. (Maple) Equivalent en + de :

(ch x)shx (sh x)chx .

30. Determiner, quand x +, la limite l de :

f(x) =

ln(1 +x)

ln x

x 1

ln x

et trouver un equivalent simple de f(x) l.

4.1.4

Etudes locales et globales de fonctions31. (Maple) Etude locale au voisinage de 0 et branches infinies de la fonc-

tionfdefinie par :

f(x) =x e1

ln(ch x)x .

32. Etudier et representer graphiquement la fonction fdefinie par :

f(x) =x e2x

x21 .

On precisera particulierement les branches infinies et les etudes locales

au voisinage des points dabscisses1.

4.2 Etude de courbes

Le plan affine euclidien est rapporte a un repere orthonorme (O,i ,

j).


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33. Representer la courbe dequations parametriques :

x = cos2 t

cos t sin t=

y = sin t cos t

cos t sin t

34. Representer la courbe dequations parametriques :

x = 1

et 1 t

y = 1

t ln(1 +t)

35. Representer la courbe dequations parametriques : x = cos2 t+ ln |sin t|y = sin t cos t

et calculer son rayon de courbure au point M de parametre t supposebiregulier .

36. Representer la courbe dequation polaire :

= sin

1 + cos cos2

37. Representer la courbe dequation polaire :

= 1

1 + sin 3

La question suivante est facultative : preciser, a laide de Maple, une

parabole asymptote et la position de la courbe relativement a icelle.


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