Cours - Geometrie Elementaire de l'Espace 7

c Christophe Bertault - MPSI

Gomtrie lmentaire de lespace

Nous irons plus vite dans ce chapitre que dans le prcdent tant ils se ressemblent. Peu de preuves, donc, mais nous auronsde toute faon loccasion de refonder la gomtrie proprement plus tard dans lanne quand nous tudierons lalgbre linaire.

1 Modes de reprage dans lespace

1.1 Coordonnes cartsiennes

Dfinition (Coplanarit) Soient u , v et w trois vecteurs.On dit que u , v et w sont coplanaires sil existe , R tels que u = v + w ou v = w + u ou w = u + v .

Dfinition (Base, repre)

On appelle base (de lespace) tout triplet ( , ,k ) o , et k sont trois vecteurs non coplanaires. On appelle repre (de lespace) tout quadruplet (O, , ,k ) o O est un point et o ( , ,k ) est une base de

lespace.

Dfinition (Coordonnes cartsiennes) Soit(O, , ,k ) un repre.

Soit u un vecteur. Il existe un unique triplet (x, y, z) R3 tel queu = x + y + z k . On lappelle le triplet des coordonnes (cartsiennes)de u .

Soit M un point. Les coordonnes (x, y, z) du vecteur OM sont appelesles coordonnes (cartsiennes) de M , de sorte que :

OM = x +y + z k . O

k

b

b

b

x

y

z

b

u = x + y + z k

Thorme (Rgles de calcul sur les coordonnes cartsiennes) Soit(O, , ,k ) un repre.

(i) Soient u et u deux vecteurs de coordonnes respectives (x, y, z) et (x, y, z) dans (O, , ,k ) et et deuxrels. Le vecteur u + u a pour coordonnes (x+ x, y + y, z + z) dans (O, , ,k ).

(ii) Soient A et B deux points de coordonnes respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB , zB) dans(O, , ,k ). Le vecteur

AB a pour coordonnes (xB xA, yB yA, zB zA) dans(O, , ,k ).

(iii) Soient A1, A2, . . . , An des points de coordonnes respectives (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), . . . , (xn, yn, zn) dans(O, , ,k ) et 1, 2, . . . , n des rels. On pose = n

k=1

k et on suppose 6= 0. Le barycentre des points pondrs

(A1, 1), (A2, 2), . . . , (An, n) a pour coordonnes

(1

nk=1

kxk ,1

nk=1

kyk ,1

nk=1

kzk

)dans

(O, , ,k ).

Explication Rappelons quelle convention est adopte classiquement en matire dorientation.

b

k

La base( , ,k )

est directe.b

k

La base( , ,k )

est indirecte.

1


Dfinition (Base orthonormale directe, repre orthonormal direct)

Soit ( , ,k ) une base. On dit que ( , ,k ) est orthonormale si , et k sont deux deux orthogonaux etsi = = k = 1.

Soit (O, , ,k ) un repre. On dit que (O, , ,k ) est orthonormal si la base ( , ,k ) lest.

Comme en gomtrie plane, la donne dun repre orthonormal direct permet lidentification des notions de point, vecteuret coordonnes. Dans la suite de ce chapitre :

on fixe une fois pour toutes un repre orthonormal direct(O, , ,k ).

Lespace tant ainsi identifi R3, on a O = (0, 0, 0), = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) et k = (0, 0, 1).

Thorme (Distance, norme et coordonnes)

Pour tous points A et B de coordonnes respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB , zB) :

AB =(xB xA)2 + (yB yA)2 + (zB zA)2.

Pour tout vecteur u de coordonnes (x, y, z) :u =x2 + y2 + z2.

1.2 Coordonnes cylindriques

Comme en gomtrie plane, on introduit pour tout rel les vecteursu etv dfinis par :u = cos + sin v = sin + cos .

La famille(u ,v ,k ) est alors une base orthonormale directe et :

O

k

u

v

b

cos sin

sin

cos

= cos u sin v = sin u + cos v .

O

k

b

M

b

P

z

u

v

b

r

Dfinition (Coordonnes cylindriques) Soit M un point de coordonnes cartsiennes (x, y, z). Notons P son projetorthogonal sur le plan (xOy) et (r, ) un couple de coordonnes polaires de P dans le plan dfini par le repre

(O, , ).

AlorsOM =

OP + z

k = r u + z k = r cos + r sin + z k .

Le triplet (r, , z) est appel un triplet de coordonnes cylindriques de M (relativement au repre orthonormal direct(O, , ,k )). Le rel z est appel la cote de M .On dispose des relations suivantes :

{x = r cos y = r sin

et OM =x2 + y2 + z2 =

r2 + z2.

Explication On parle de coordonnes cylindriques car, lorsquon fixe r et quon fait varier et z, on dcrit lintgralitdun cylindre daxe vertical (Oz). Ces coordonnes permettent donc un reprage facile des points dun cylindre.

2


1.3 Coordonnes sphriques

Dfinition (Coordonnes sphriques) Soit M un point de coordonnes cylindriques (, , z). Notons (r, ) un couple

de coordonnes polaires de M dans le plan dfini par le repre(O,k ,u

).

AlorsOM = r cos

k + r sin u = r sin cos + r sin sin + r cos k .

Le triplet (r, , ) est appel un triplet de coordonnes sphriques de M (relativement au repre orthonormal direct(O, , ,k )). Le rel r est appel le rayon de M ; est appel sa colatitude ; est appel sa longitude.On dispose des relations suivantes :

x = r sin cosy = r sin sinz = r cos

et = r sin .

Explication

On parle de coordonnes sphriques car, lorsquon fixe r et quon fait varier et , on dcrit lintgralitdune sphre. Ces coordonnes permettent donc un reprage facile des points dune sphre.

O

k

b

M

r

b

P

u

v

b

En pratiqueLes relations de passage des coordonnes-ceci aux coordonnes-cela ne sapprennent pas parcur, mais vous devez savoir les retrouver vite en faisant un dessin.

2 Produit scalaire

Dfinition (Produit scalaire) Soient u et v deux vecteurs. On appelle produit scalaire de u et v , not u v , le rel :

u v = 12

(u +v 2 u 2 v 2).En particulier : u v = v u (symtrie). Egalement : u u = u 2.

Thorme (Produit scalaire et orthogonalit) Soient u et v deux vecteurs.u v = 0 u et v sont orthogonaux.

Thorme (Produit scalaire et coordonnes dans une base orthonormale)Pour tous vecteurs u et u de coordonnes respectives (x, y, z) et (x, y, z) : u u = xx + yy + zz.

Explication Il est essentiel que la base( , ,k ) soit orthonormale, mais elle na pas besoin dtre directe.

Thorme (Bilinarit du produit scalaire) Pour tous vecteurs u , u et v et , R :

Linarit gauche :( u + u ) v = u v + u v

Linarit droite : v ( u + u ) = v u + v u .

Thorme (Expression cosinus du produit scalaire)

Pour tous vecteurs u et v non nuls de lespace : u v = u .v cos (u ,v ), o (u ,v ) dsigne langle nonorient form par u et v dont la mesure est comprise entre 0 et .

$ $ $ Attention ! Dans lespace, un plan nest muni daucune orientation naturelle car on ne voit pas les choses de lamme manire selon quon situ dun ct ou de lautre de ce plan. Il na donc aucun sens de parler de langle orient

(u ,v )dans lespace. Du coup, dans le thorme ci-dessus, on est bien oblig dutiliser des angles non orients. Langle

(u ,v ) est choiside mesure comprise entre 0 et pour que son cosinus soit positif lorsque langle est aigu, ngatif lorsquil est obtus.

3


Thorme (Produit scalaire et coordonnes dans une base orthonormale) Soit u un vecteur. Les coordonnesde u dans la base orthonormale ( , ,k ) sont (u , u , u k ).

3 Produit vectorielb

u v

u v

b

v u

u v

Dfinition (Produit vectoriel) Soient u et v deux vecteurs. On appelle produit vectoriel de u et v , not u v , levecteur dfini de la faon suivante :

si u et v sont colinaires : u v = 0 ;

sinon, u v est lunique vecteur de normeu .v sin (u ,v ) orthogonal u et v pour lequel la famille(u ,v ,u v ) est une base directe, o (u ,v ) dsigne langle non orient form par u et v dont la mesure est

comprise entre 0 et .

Thorme (Produit vectoriel, colinarit et alignement)

Colinarit : Pour tous vecteurs u et v : u v = 0 u et v sont colinaires. Alignement : Pour tous points A, B et C : AB AC = 0 A,B et C sont aligns.

Thorme (Norme du produit vectoriel et aire dun parallogramme) Pour tous vecteurs u et v ,u v est

laire du paralllogramme engendr par u et v .

Dmonstration Dans le cas o u et v ne sont pas colinaires, u v = u .v . sin (u ,v ). On estdonc ramen linterprtation de la valeur absolue du dterminant en gomtrie plane.

Thorme (Produit vectoriel et coordonnes dans une base orthonormale directe) Pour tous vecteurs u et u de coordonnes respectives (x, y, z) et (x, y, z), les coordonnes de u u sont (yz zy , zx xz , xy yx).

En pratique Napprenez pas par cur lexpression des coordonnes de u u en base orthonormale directe.Retrouvez-la rapidement de la faon suivante :

1

x x

y y

z z

Premire coordonne :yz zy.

2

x x

y y

z z

Deuxime coordonne :

zx xz.La flche est oriente

dans lautre sens.

3

x x

y y

z z

Troisime coordonne :xy yx.

Exemple Les galits suivantes sont fondamentales :

= k , k = , k = ainsi que = k , k = , k = .b

k

Thorme (Antisymtrie et bilinarit du produit vectoriel) Pour tous vecteurs u , u et v et , R : Antisymtrie : u v = (v u ). Bilinarit :

Linarit gauche :( u + u ) v = (u v )+ (u v )

Linarit droite : v ( u + u ) = (v u )+ (v u ).

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4 Dterminant

Dfinition (Dterminant) Soient u , v et w trois vecteurs. On appelle dterminant de u , v et w , not det (u ,v ,w ),le volume algbrique du paralllpipde engendr par u , v et w . Le terme algbrique veut dire que ce volume estcompt positivement si

(u ,v ,w ) est une base directe, ngativement si (u ,v ,w ) est une base indirecte, et nul si u , v etw sont coplanaires.

Thorme (Dterminant, coplanarit et orientation) Soient u , v et w trois vecteurs. Coplanarit : det (u ,v ,w ) = 0 u ,v et w sont coplanaires. Orientation : det (u ,v ,w ) > 0 (u ,v ,w ) est une base directe de lespace.

Dfinition (Expression du dterminant en fonction du produit vectoriel et du produit scalaire)Pour tous vecteurs u , v et w : det (u ,v ,w ) = (u v ) w .

Dmonstration Daprs le principe base hauteur , le volume du paralllpipre engendr par u , v et west gal au produit de laire du paralllogramme engendr par u et v qui vaut

u v et de la hauteurh associe. Bref :

det (u ,v ,w ) = u v .h. Pour ter la valeur absolue, il suffit alors de distinguer lescas : u , v et w sont coplanaires ; (u ,v ,w ) est une base directe ; (u ,v ,w ) est une base indirecte.Par ailleurs, le produit scalaire

(u v ) w a une interprtation en termes deprojection. Si nous notons wuv le projet orthogonal de w selon u v ,ce produit scalaire vaut :

u v .h si u v et wuv sont de mme sens, en particulier si(u ,v ,w ) est une base directe ;

loppos u v .h si u v et wuv sont de sens contraires,

en particulier si(u ,v ,w ) est une base indirecte.

Dans les deux cas, on obtient bien lgalit : det(u ,v ,w ) = (u v ) w . u

v

w

u v

h

b

Thorme (Dterminant et coordonnes dans une base orthonormale directe) Pour tous vecteurs u , u et u de coordonnes respectives (x, y, z), (x, y, z) et (x, y, z) :

det(u ,u ,u ) = xyz + xyz + xyz xyz xyz xyz.

Ce dterminant se note trs souvent

x x x

y y y

z z z

. Lexpression prcdente est alors gale la somme des produits des lmentsdes trois diagonales descendantes laquelle on retranche ensuite la somme des produits des lments des trois diagonalesmontantes cest la rgle de Sarrus.

Dmonstration Les coordonnes de u u sont (yz zy, zx xz, xy yx). Du coup :det

(u ,u ,u ) = (u u ) u = (yz zy)x + (zx xz)y + (xy yx)z= xyz + xyz + xyz xyz xyz xyz comme voulu.

Thorme (Antisymtrie et trilinarit du dterminant)

Antisymtrie : Quand on change la position de deux vecteurs dans un dterminant, seul un changement de signeest opr. Du coup, si on change deux fois la position de deux vecteurs, autrement dit si on effectue une permutationcirculaire des vecteurs, la valeur du dterminant est inchange. Par exemple, si u , v et w sont trois vecteurs de lespace :

det(v ,u ,w ) = det (u ,v ,w ) et det (v ,w ,u ) = det (u ,v ,w ).

Trilinarit : Le dterminant est linaire par rapport chacune de ses trois variables.

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5 Bilan comparatif des outils disponibles

dans le plan et dans lespace

Plan

Espace

Orthogonalit Colinarit CoplanaritBase

Orientation

Produit

scalaire

Dterminant

deux variables

Produit

vectoriel

Dterminant

trois variables

Dterminant

deux variables

Dterminant

trois variables

Le dterminant teste la colinarit dans le plan et la coplanarit dans lespace, mais en ralit il teste bien la mme chosedans les deux cas : le fait dune famille de vecteurs est une base ou non.

6 Plans, droites et sphres

6.1 Plans

Dfinition (Plan, dfinition par un point et deux vecteurs directeurs) Soient A un point et u et u deux vecteursnon colinaires. On appelle plan passant par A dirig par u et u lensemble des points M pour lesquels u , u etAM sont coplanaires.

Lappartenance dun point M ce plan peut donc tre caractrise par lune ou lautredes assertions suivantes :

(i) , R/ AM = u + u . (ii) det (u ,u ,AM) = 0.A u

u M

b

Thorme (Autres dfinitions possibles dun plan)

Dfinition par trois points distincts : Soient A, B et C trois points non aligns. On appelle plan passantpar A, B et C le plan passant par A dirig par

AB et

AC.

Tout plan peut tre dcrit ainsi par trois de ses points non aligns quelconques.

Dfinition par un point et un vecteur normal : Soient A un point et n un vecteur non nul.Lensemble des points M pour lesquels n et AM sont orthogonaux, i.e. n AM = 0, est unplan appel le plan passant par A orthogonal n .Tout plan peut tre dcrit ainsi par un point et un vecteur normal. P

bA

n

Dfinition par une quation cartsienne : Tout plan possde une quation cartsienne de la formeax + by + cz + d = 0 avec a, b, c, d R tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0), et rciproquement, toute quation cart-sienne de cette forme dcrit un plan.

De plus, avec ces notations, le plan admet (a, b, c) pour vecteur normal.

En pratique Comment dtermine-t-on lquation cartsienne dun plan dfini par un point et deux vecteursdirecteurs, ou par trois points non aligns, ou par un point et un vecteur normal ? Les techniques prsentes ci-dessous constituentle minimum de ce que vous devez savoir faire. Sur vos copies, vous soignerez particulirement lusage des quivalences .

Dfinition par un point et deux vecteurs directeurs : Soient A un point de coordonnes (xA, yA, zA), u et u deux vecteurs non colinaires de coordonnes respectives (a, b, c) et (a, b, c) et P le plan passant par A dirig paru et u . Pour tout point M de coordonnes (x, y, z) :

M P u ,u et AM sont coplanaires det (u ,u ,AM) = 0 a a x xAb b y yAc c z zA

= 0.Il suffit alors de calculer ce dterminant.

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Dfinition par trois points non aligns : Si un plan P est dfini par la donne de trois points non aligns A, Bet C, P est aussi le plan passant par A dirig par AB et AC. On est ainsi ramen au cas prcdent. Pour tout point M :

M P AB,AC et AM sont coplanaires det (AB,AC,AM) = 0 . . . Dfinition par un point et un vecteur normal : Soit A un point de coordonnes (xA, yA, zA), n un vecteur non

nul de coordonnes (a, b, c) et P le plan passant par A orthogonal n . Pour tout point M de coordonnes (x, y, z) :

M P AM et n sont orthogonaux AM n = 0 a(x xA) + b(y yA) + c(z zA) = 0 ax+ by + cz + d = 0 si lon pose d = axA byA czA.

On comprend ici mieux la raison pour laquelle lquation ax+ by+ cz+ d = 0 est le signe dun vecteur normal (a, b, c) :

le fait est simplement quon calcule un produit scalaire

abc

x . . .y . . .z . . .

= ax+ by + cz + . . .

Thorme (Distance dun point un plan) Soient M un point de lespace de coordonnes (xM , yM , zM ) et P unplan. La distance de M P est note d(M,P).

(i) Plan dfini par un point et un vecteur normal : Soient A un point de P et n un vecteur normal P .

d(M,P) =n AMn .

(ii) Plan dfini par une quation cartsienne : Si P a pour quation ax+ by + cz + d = 0 :

d(M,P) = |axM + byM + czM + d|a2 + b2 + c2

.

En pratique Quand un plan est dfini par un point A et deux vecteurs directeurs non colinaires u et u , il estfacile den trouver aussi un vecteur normal : tout simplement le vecteur u u .

6.2 Droites

Dfinition (Droite) Soient A un point et u un vecteur non nul. On appelle droite passant par A dirige par ulensemble des points M pour lesquels u et AM sont colinaires.Lappartenance dun point M cette droite peut donc tre caractrise par lune ou lautre des assertions suivantes :

(i) R/ AM = u . (ii) u AM = 0 .Vecteur !

Thorme (Reprsentation paramtrique dune droite dfinie par un point et un vecteur directeur) Soit Dune droite, A un point de D de coordonnes (xA, yA, zA) et u un vecteur directeur de D de coordonnes (xu , yu , zu ).

Pour tout point M de lespace de coordonnes (x, y, z) : M D t R/

x = xA + txuy = yA + tyuz = zA + tzu .

Thorme (Equation cartsienne dune droite) Toute droite possde une quation cartsienne de la forme{ax+ by + cz + d = 0ax+ by + cz + d = 0

o a, b, c, d, a, b, c, d R sont tels que les vecteurs de coordonnes (a, b, c) et (a, b, c) soientnon colinaires (et donc non nuls), et rciproquement, toute quation cartsienne de cette forme dcrit une droite.

Explication Bref, toute droite est lintersection de deux plans non parallles, et rciproquement lintersection dedeux tels plans est une droite. On demande que les vecteurs normaux (a, b, c) et (a, b, c) soient non colinaires pour que lesplans associs ne soient pas parallles.

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En pratique Comment dtermine-t-on une quation cartsienne de droite ? Soient A un point, u un vecteur nonnul. Notons D la droite passant par A dirige par u . Pour tout point M de coordonnes (x, y, z) :

M D u et AM sont colinaires u AM = 0 .Le calcul du produit vectoriel nous ramne alors la rsolution dun systme linaire de trois quations dont les trois inconnuessont x, y et z, et lon peut ici toujours liminer lune de ces quations partir des deux autres. On rcupre ainsi commevoulu un systme de deux quations de plan.

Thorme (Distance dun point une droite dfinie par un point et un vecteur directeur) Soient M un pointde coordonnes (x, y, z) et D une droite dfinie par un point A et un vecteur directeur u . La distance de M D est noted(M,D).

d(M,D) =u AMu .

Dmonstration Laire du paralllogramme engendr par u et AM vautu AM. Or elle vaut aussi

u .d(M,D) daprs le principe base hauteur , do le rsultat. Faire un dessin !

Thorme (Distance entre deux droites non parallles) Soient D et D deux droites non parallles dfiniespar un point et un vecteur directeur, A et u pour D, A et u pour D. La distance entre D et D est note d(D,D).

d(D,D) =

det (u ,u ,AA)u u .

Dmonstration Le volume du paralllpipde engendr par u , u et AA vautdet (u ,u ,AA). Or il vaut

aussiu u .d(D,D) daprs le principe base hauteur , do le rsultat. Faire un dessin !

6.3 Sphres

Dfinition (Sphre) Soient A un point et R R+. On appelle sphre de centre A et de rayon R lensemble des points Mpour lesquels AM = R.

Thorme (Equation cartsienne dune sphre)

(i) Soient A un point de coordonnes (xA, yA, zA) et R R+. La sphre de centre A et de rayon R a pour quationcartsienne :

(x xA)2 + (y yA)2 + (z zA)2 = R2.(ii) Toute sphre possde une quation cartsienne de la forme x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0 o a, b, c, d R

avec a2 + b2 + c2 d > 0, et rciproquement, toute quation cartsienne de cette forme dcrit une sphre.

Thorme (Intersection dune sphre et dun plan) Soient S une sphre de centre A et de rayon R > 0 et P unplan. On note H le projet orthogonal de A sur P .

Si d(A,P) < R, alors S P est le cercle de centre H et de rayon R2 d(A,P)2 inclus dans P . Si d(A,P) = R, alors S P = {H}. On dit alors que P est tangent S en H . Si d(A,P) > R, alors S P = .

Dmonstration Les points dintersection de S et P sont les points de P dont la distance A est gale R. Le thorme de Pythagore affirme que pour tout point M de P : AM2 = AH2 + HM2. Par ailleurs :AH = d(A,P). Du coup, pour tout point M de P :M S AM = R AM2 = R2 AH2 +HM2 = R2 HM2 = R2 d(A,P)2.

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S

b

b

A

HCP

Si d(A,P) < R, S P est donc le cercle de centre H et de rayonR2 d(A,P)2

inclus dans le plan P . Si d(A,P) = R, S P = {H}. Si d(A,P) > R, alors R2 d(A,P)2 < 0 donc S P = .

Thorme (Intersection dune sphre et dune droite) Soient S une sphre de centre A et de rayon R > 0 et D unedroite.

Si d(A,D) < R, alors S et D ont exactement deux points dintersection distincts. Si d(A,D) = R, alors S et D ont un unique point dintersection H gal au projet orthogonal de A sur D. On dit

alors que D est tangente S en H . Si d(A,D) > R, alors S D = .

S

b

b

D

d(A,D) < R

Sb

D

d(A,D) = R

S D

d(A,D) > R

Dmonstration Soit P un plan contenant A et D si A / D, ce plan est unique. Alors d(A,P) = 0 carA P . En vertu du thorme prcdent, lintersection de S avec P est donc le cercle C de centre A et de rayonR2 d(A,P)2 = R inclus dans P .

Dans ces conditions, puisque D P , on a S D = S D P = (S P) D = C D. On est ainsi ramen unproblme de gomtrie plane, celui de lintersection du cercle C et de la droite D dans le plan P .

Thorme (Intersection de deux sphres) Lintersection de deux sphres non concentriques est soit vide, soitrduite un point, soit un cercle.

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