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É C O LE P O L Y T E C H N I Q U EF É DÉ R A L E D E L A U S AN N E

Christophe Ancey

Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)

Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne

Ecublens

CH-1015 Lausanne

Notes de cours

Hydraulique

version 2.4 du 27 mars 2006



2

Mécanique des fluides – année académique 2005–2006



TABLE DES MATIÈRES 3

Table des matières

1 Séance no 1 : Écoulements laminaires en charge 7

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Écoulement permanent uniforme laminaire de Couette ou dePoiseuille laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Écoulement de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.3 Écoulement de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Séance no 2 : Écoulements turbulents en charge 13

2.1 Écoulement permanent uniforme de Couette ou de Poiseuilleturbulent lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Phénoménologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3 Zone logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.4 Zone centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.5 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Écoulement permanent uniforme de Couette ou de Poiseuille

turbulent rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Équations du mouvement ; effet de la rugosité . . . . 18

2.2.2 Calcul du débit pour des canalisations rugueuses . . . 18

3 Séance no 3 : calcul pratique des pertes de charge 19

3.1 Dissipation d’énergie dans les conduites en régime établi . . 19

3.1.1 Bilan d’énergie en régime laminaire . . . . . . . . . . 19




4 TABLE DES MATIÈRES

3.1.2 Bilan d’énergie en régime turbulent . . . . . . . . . . 23

3.2 Pertes de charge singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Principales formules de perte de charge singulière . . 26

3.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.1 Vidange d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Séance no 4 : écoulement à surface libre 31

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations . . . . . . . . 31

4.2 Les équations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Dérivation des équations . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.2 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Séance no 5 : régime permanent uniforme 41

5.1 Relation d’équilibre pour un régime permanent uniforme . . 41

5.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1 Loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.2 Loi de Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.3 Loi de Chézy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.4 Loi de Keulegan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.5 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Justification physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Séance no 6 : hauteur normale selon la section d’écoulement 49

6.1 Hauteur normale et courbe de tarage . . . . . . . . . . . . . 49

6.2 Granulométrie et résistance à l’écoulement . . . . . . . . . . 50

6.3 Limites des relations u(h, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4 Structure morphologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Séance no 7 : régime permanent non-uniforme 55

7.1 Courbes de remous obtenues par les équations de Saint Venant 55

7.2 Résolution de l’équation de remous . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2.1 Canaux à faible pente: courbes M1–M3 . . . . . . . . 57

7.2.2 Canaux à forte pente : courbes S1–S3 . . . . . . . . . 58

7.2.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59




TABLE DES MATIÈRES 5

8 Séance no 8 : Courbes de remous et écoulement critique 63

8.1 Hauteur critique et régimes associés . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.3 Conjugaison d’une courbe de remous . . . . . . . . . . . . . 66

8.3.1 Données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3.2 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.3.3 Résolution assistée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9 Séance no 9 : équation de Bernoulli et ses applications 73

9.1 Charge totale et charge spécifique . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.1.1 Débit à charge spécifique constante . . . . . . . . . . 73

9.1.2 Hauteur à charge spécifique constante . . . . . . . . . 74

9.2 Courbes de remous obtenues par l’équation de Bernoulli . . . 76

9.3 Effet d’un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.3.1 Écoulement sur une topographie . . . . . . . . . . . . 77

9.3.2 Dune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10 Séance no 10 : rupture de barrage écoulements rapidementvariés 81

10.1 Rupture de barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.1.1 Solution de Ritter : recherche des solutions auto-similaires 81

10.1.2 Solution de Whitham : prise en compte de la rugositédu fond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

10.2 Écoulements rapidement variés . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11 Séance no 11 : Propagation d’ondes 89

11.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.1.1 Onde dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

11.1.2 Onde cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11.1.3 Déformation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11.2 Ondes dynamiques : ondes de surface . . . . . . . . . . . . . 92

11.2.1 Calcul approximatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

11.2.2 Calcul plus complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

11.3 Ondes cinématiques : ondes de crue . . . . . . . . . . . . . . 95

11.4 Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96




6 TABLE DES MATIÈRES




Chapitre 1. Séance no 1 : Écoulements laminaires en charge 7

Chapitre

1Séance no 1 : Écoulements laminairesen charge

1.1 Introduction

Il faut bien différencier :

– les écoulements en charge: le fluide est mouvement parce qu’on ap-plique un gradient de pression ;

– les écoulements à surface libre : le fluide est mouvement sous l’effet del’action de la gravité (en général).

Dans une conduite il existe une relation entre la vitesse et la pression,

relation qui peut être décrite à l’aide de l’équation de Bernoulli. On introduitla charge :

H = z +p

g+

u2

2g,

avec z la hauteur (énergie potentielle) à l’endroit considéré, p/(g) la hau-teur piézométrique, et u2/(2g) la hauteur cinétique. Pour un fluide parfait,la charge reste constante. Pour un fluide réel, elle diminue dans la directionde l’écoulement

dH

dx< 0.

Cela traduit la dissipation d’énergie par frottement visqueux. Cette dissipa-tion traduite en termes de charge hydraulique s’appelle la perte de charge .

1.2 Équations du mouvement

1.2.1 Coordonnées cartésiennes

On va s’intéresser à des écoulements dans des sections rectangulaires.L’axe des abscisses x est pris selon la direction de l’écoulement alors que




8 Chapitre 1. Séance no 1 : Écoulements laminaires en charge

l’axe des ordonnées y est perpendiculaire à la surface d’écoulement. Leséquations du mouvement sont les équations de Navier-Stokes sont composéesd’une équation de continuité

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0, (1.1)

et des équations de quantité de mouvement :

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

= g sin θ − ∂p

∂x+

∂T xx∂x

+∂T xy

∂y, (1.2)

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

= −g cos θ − ∂p

∂y+

∂T yy∂y

+∂T xy

∂x, (1.3)

avec:

T xx = 2µ∂u

∂x, T yy = 2µ

∂v

∂y, et T xy = τ = µ

∂u

∂y+

∂v

∂x .

En se servant de l’équation de continuité, on peut aussi écrire les équationsde Navier-Stokes sous la forme d’une équation souvent plus simple à mémo-riser (et parfois à résoudre) puis que dans le membre de droite on reconnaîtle laplacien de la composante u ou v :

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y

= g sin θ − ∂p

∂x+

∂ 2u

∂x2+

∂ 2u

∂y2, (1.4)

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

= −g cos θ − ∂p

∂y+

∂ 2v

∂x2+

∂ 2v

∂y2. (1.5)

Ces équations ne sont valables qu’en coordonnées cartésiennes ; le re-père est incliné d’un angle θ par rapport à l’horizontale. Souvent ici θ = 0(mais pas forcément) ; afin de s’abstraire de ces problèmes, on introduira lapression généralisée : p∗ = p + gy (pour θ = 0).

Les conditions aux limites sont les conditions habituelles d’adhérence etnon-pénétration pour les composantes de la vitesse ; à cela s’ajoutent desconditions sur la pression du fluide à l’entrée et à la sortie de la conduite.

1.2.2 Coordonnées cylindriques

On va s’intéresser à des écoulements dans des canalisations à base cir-culaire ; l’axe z correspond à l’axe de la canalisation. En coordonnées cylin-driques, le jeu d’équations du mouvement prend une forme plus complexe :

∂u

∂t+ u

∂u

∂r+ v

1

r

∂u

∂θ− v

r

+ w

∂u

∂z

= −∂p∗

∂r+µ

∂

∂r

1

r

∂ru

∂r

+

1

r2∂ 2u

∂θ2+

∂ 2u

∂z2− 2

r2∂v

∂θ

∂v

∂t+ u

∂v

∂r+ v

1

r

∂v

∂θ+

u

r + w∂v

∂z = −1

r

∂p∗

∂θ+µ

∂

∂r 1

r

∂rv

∂r +1

r2∂ 2v

∂θ2+

∂ 2v

∂z2+

2

r2∂

∂





∂w

∂t+ u

∂w

∂r+

v

r

∂w

∂θ+ w

∂w

∂z

= −∂p∗

∂z+µ

1

r

∂

∂r

r

∂w

∂r

+

1

r2∂ 2w

∂θ2+

∂ 2w

∂z2

,

1

r

∂ru

∂r

+1

r

∂v

∂θ

+∂w

∂z

= 0.

1.3 Écoulement permanent uniforme laminairede Couette ou de Poiseuille laminaire

1.3.1 Définitions

On introduit les notions suivantes

– écoulement de Couette : écoulement entre deux plans horizontaux pa-rallèles. Ici on considère qu’ils sont séparés d’une distance e = 2b etde largeur ;

– écoulement de Poiseuille : écoulement dans un cylindre à base circu-laire. Ici on considère que le rayon est R.

y

x2b

2S

1S

L

Figure 1.1 : écoulement de Couette dans une canalisation rectangulaire.

z

r

2S

1S

2 R

L

Figure 1.2 : écoulement de Couette dans une canalisation circulaire.

– on dit qu’un écoulement est permanent si les dérivées locales par rap-port au temps sont nulles. Par exemple pour la vitesse :

∂ u

∂t= 0.

on dit que l’écoulement est uniforme dans la direction d’écoulementx s’il n’y a pas de variation de la vitesse de l’écoulement dans cette





direction. Par exemple pour la vitesse, cela entraîne :

∂ u

∂x= 0.

Un écoulement permanent uniforme est parfois aussi écoulement plei-

nement développé ou établi .

1.3.2 Écoulement de Couette

Les équations du mouvement se réduisent à :

µ∂ 2u

∂y2=

1

∂p

∂x, (1.6)

0 =1

∂p

∂y, (1.7)

On a placé le terme de gravité avec le terme de pression. Ici p désigne lapression généralisée .

y

x

=e=2b

y=b

Figure 1.3 : écoulement laminaire de Couette.

On déduit par intégration le profil de vitesse (parabolique) :

u =1

2µ

∂p

∂x

y(y − 2b),

et le débit:

q = −2

3

b3

µ∂p

∂x . (1.8)

La vitesse moyenne appelée encore vitesse débitante est:

u =q

2b= − b2

3µ

∂p

∂x

,

Le profil de contrainte de cisaillement est linéaire puisque

τ = µγ = ∂p

∂x (y − 2b).





Si l’on introduit la la contrainte pariétale

τ p = µ

∂u

∂y

y=0

= −b

∂p

∂x

,

on peut également écrire :

τ = τ p 1 − y2b .

La puissance dissipée s’écrit

Φ =

2b0

τ γ dy,

avec γ = du/dy le taux de cisaillement; or par intégration par partie ontire:

Φ = [τ u]e0 − 2b0

dτ

dyudy,

où l’on voit que le premier terme du membre de droite est nul (conditiond’adhérence) et le second peut s’écrire : 2b0

dτ

dyudy = −τ p

2b0

udy = −τ pu.

On en conclut que la dissipation d’énergie s’écrit

Φ = τ pu,

soit encore

Φ =b3

3µ ∂p

∂x2

,

ce qui peut encore se changer en

Φ =3µ

bu2,

en remplaçant le gradient de pression par la vitesse moyenne. On note doncque la dissipation est linéairement dépendante de la viscosité, mais dépenddu carré de la vitesse moyenne.

1.3.3 Écoulement de Poiseuille

Les équations sont un peu plus compliquées, mais la méthode identique.On trouve

q = − π

128

D4

µ

∂p

∂z

. (1.9)

La contrainte pariétale est :

τ p = −R

2

∂p

∂z

.

Démonstration à faire en exercices.








Chapitre 2. Séance no 2 : Écoulements turbulents en charge 13

Chapitre

2Séance no 2 : Écoulements turbulentsen charge

2.1 Écoulement permanent uniforme de Couetteou de Poiseuille turbulent lisse

2.1.1 Équations du mouvement

On rappelle qu’en turbulence, on peut obtenir un jeu d’équations ditesmoyennées en faisant la décomposition de Reynolds : u = u + u, avec u

la fluctuation de vitesse et u la vitesse moyennée (dans le temps).

Le jeu d’équations (outre l’équation de continuité) à résoudre est :

∂ u

∂t+ uu

= −¯ p∗ + · T − · uu.

Simplifications pour la suite du calcul :

– Notation: on omet le symbole ∗ de la pression et les crochets pourles grandeurs moyennées.

– Le tenseur de Reynolds − · uu est remplacé par une équationde fermeture algébrique avec

− · uu = µt ·D,

avec µt la viscosité turbulente (ce n’est pas une constante, mais une fonction de du/dy ou de u) et D le tenseur des taux moyens de dé-formation. Ce modèle est dit pseudo-laminaire car il est très prochestructurellement du modèle newtonien.

– Le tenseur des contraintes visqueuses est toujours :

T = 2µD.




14 Chapitre 2. Séance no 2 : Écoulements turbulents en charge

2.1.2 Phénoménologie

Il faut distinguer les parois lisses et les parois rugueuses . En effet, laprésence de rugosité :

– modifie fortement la turbulence près de la paroi ;

– pose le problème de la définition de la localisation du point originey = 0.

On montre que la solution comporte trois parties différentes traduisant uneffet spécifique de la turbulence :

– Très près de la paroi, la vitesse est très faible, donc Re → 0, l’écoule-ment est localement laminaire. On parle de sous-couche visqueuse . Le jeu d’équations à résoudre est le même que précédemment. Au pre-mier ordre, on peut mettre la solution sous forme : u = u∗ξ, avec u∗

la vitesse de frottement :

u∗ = τ p ,

(traduction de la contrainte pariétale en termes de vitesse) et uneordonnée « sans dimension » :

ξ = yu∗

ν .

Expérimentalement on observe que la sous-couche visqueuse s’étendsur 0 < ξ < 3.Preuve . On a vu que la vitesse s’écrit:

u = 12µ

∂p∂x

y(y − 2b),

donc au premier ordre en y, on a :

u ≈ 1

2µ

∂p

∂x

y(−2b) =

1

µτ py.

On pose u2∗

= τ p/ et y = µξ/(u∗) et on retrouve la formulationprécédente.

– Au fur et à mesure qu’on s’éloigne, Re croît, l’écoulement devientturbulent. La turbulence est influencée fortement par la paroi (fortcisaillement de vitesse). On va montrer que le profil de vitesse estlogarithmique. On parle de zone logarithmique . Cette loi est valablepour 25 < ξ < 500 avec la contrainte supplémentaire y/b < 0,2 (iln’y a pas un strict recouvrement avec la zone visqueuse). Note: Pour3 < ξ < 25, il s’agit d’une zone de transition, la vitesse se calcule defaçon numérique (pas d’approximation analytique).

– Loin des parois, l’influence des parois est moindre. La turbulence està peu près homogène. On parle de zone centrale . Cette zone s’étend àpartir de y/b > 0,2.





Les deux premières sous-couches forment la couche interne , entièrementdominée par la paroi, de la couche-limite . Le reste s’appelle la couche ex-

terne ; cette notion n’ a ici pas beaucoup de sens car la zone centrale cor-respond à la rencontre des deux couches limites.

y

x

=b

entrée

sous-couche visqueuse zone logarithmique

zone transitoire

Figure 2.1 : structuration de l’écoulement en sous-couches.

Figure 2.2 : profil de vitesse à la paroi. Données expérimentales.

2.1.3 Zone logarithmique

On intègre l’équation (1.6), où µ est remplacée par µt, (projection deNavier-Stokes sur x) une fois. On part de :

µ∂ 2u

∂y2=

∂p

∂x,





on tire

µt∂u

∂y=

∂p

∂xy + c,

où c est une constante. On sait que quand y = 0, µt∂u∂y

= τ p/. On déduit:

µt

∂u

∂y =

1

∂p

∂x y +

τ p ,

Très près de la paroi, on peut négliger le terme linéaire 1∂p∂x

y devant le termede frottement qui est très grand, soit au premier ordre :

µt∂u

∂y≈ τ p

.

La loi de fermeture est ici : ν t = (κy)2du/dy, soit

du

dy

= τ p

1

κy

.

Soit

u =

τ p

1

κln y + c =

u∗

κln y + c.

c est calculée pour qu’il y ait accord avec la couche laminaire.

u

u∗

= 2,5 ln ξ + 5,5,

car 1/κ ≈ 2,5.

2.1.4 Zone centrale

Dans la zone centrale, il y a moins de cisaillement. La loi ad hoc defermeture employée pour la paroi n’est plus valable, on emploie :

ν t = 0,080bu∗

(saturation de la viscosité turbulente). Il faut intégrer les équations deNavier-Stokes turbulentes (en remplaçant ν par ν t) pour la zone centraleet ajuster la constante d’intégration pour qu’il y ait continuité avec la zone

logarithmique. On note um la vitesse maximale atteinte en y = b (symétriedu problème). On montre que :

umu∗

= 2,5 ln ξr + 5,5,

avec ξr l’ordonnée de la transition zone centrale/logarithmique. Le profil devitesse s’écrit finalement dans la zone centrale

um − u(y)

u∗

= 6,3

1 − y

b

2,

pour 0,2 < y < 1,8b.





2.1.5 Synthèse

On peut sommer les différentes contributions. La contribution de la sous-couche visqueuse est négligeable. Finalement le débit s’écrit :

q = 2bu∗2,5 lnbu∗

ν + 3,21 ,

et la vitesse de frottement

u∗ =

τ p

=

− b

∂p

∂x

1/2

.

Comme pour l’écoulement laminaire, la contrainte pariétale s’écrit :

τ p = −b∂p

∂x .

Cette propriété importante interviendra dans le calcul des pertes de charge.En effet, la dissipation s’écrit :

Φ = τ pu = b∂p

∂xu∗

2,5 ln

bu∗

ν + 3,21

soit encore en remplaçant le gradient de pression

Φ = u3∗2,5 lnbu∗

ν + 3,21 .

Si l’on compare au régime laminaire, la dissipation d’énergie ne dépendplus de la viscosité et devient une fonction assez complexe de la vitessede cisaillement u∗ (ou bien de la vitesse moyenne u, calcul que nous nereportons pas ici).

Remarque : écoulement de Poiseuille

Pour un écoulement de Poiseuille, le raisonnement est identique et onaboutit à la formule du débit :

q = πR2u∗

2,5 ln

Ru∗

ν + 2,04

,

et à la vitesse de frottement

u∗ =

τ p

=

− R

2

∂p

∂z

−1/2

.





2.2 Écoulement permanent uniforme de Couetteou de Poiseuille turbulent rugueux

2.2.1 Équations du mouvement ; effet de la rugosité

Les équations sont les mêmes que précédemment, mais il se pose le pro-blème de définir où se situe y = 0. Expérimentalement cela correspond àl’ordonnée où u = 0. Il existe une relation empirique entre la taille caracté-ristique des rugosités ks et l’incrément δ de la longueur de mélange dans laloi de fermeture : m = κ(y + δ) (rappelons ν t = 2mdu/dy) :

δ =

0,036ks pour ks > 3,1ν/u∗ → rugueux0 pour ks < 3,1ν/u∗ → lisse

=0

u

y=0 s

k

Figure 2.3 : micro-rugosité des parois.

2.2.2 Calcul du débit pour des canalisations rugueuses

La présence d’une rugosité a pour effet d’augmenter la turbulence deparoi (d’où l’effet sur la longueur de mélange). La conséquence directe estune modification de la vitesse dans la zone logarithmique :

u

u∗

= 2,5 lny

ks+ 8,34.

En revanche, il n’y a pas de modification du profil de vitesse dans la zonecentrale. Le débit s’écrit alors pour une canalisation plane rectangulaire(Couette) :

q = 2bu∗

2,5 ln

b

ks+ 6,04

,

et pour un écoulement dans un conduit circulaire (Poiseuille) :

q = πR2u∗

2,5 ln

R

ks+ 4,87

.




Chapitre 3. Séance no 3 : calcul pratique des pertes de charge 19

Chapitre

3Séance no 3 : calcul pratique des pertesde charge

3.1 Dissipation d’énergie dans les conduites enrégime établi

Jusqu’à présent, on a supposé qu’on appliquait un gradient de pression eton calculait le débit résultant à travers une section de géométrie connue. Enpratique, on a rarement besoin d’un tel niveau de calcul et on se contente deformules approchées. Ces formules sont fondées sur l’utilisation du théorèmede Bernoulli et la notion de coefficient de frottement.

3.1.1 Bilan d’énergie en régime laminaire

Bilan d’énergie dans une conduite longue

On a vu que l’équation de Bernoulli généralisée en régime permanent etappliquée sur un volume de contrôle V (de frontière C

S ) s’écrit :

S

u · n

|u|22

+ p

dS

flux d’énergie

=

S

n · (uT)dS

puissance dissipée à la frontière

− V

T : DdV,

Φ, puissance dissipée dans le volume

où nous rappelons que p est ici la pression généralisée. La condition d’adhé-rence à la paroi fait que le membre de gauche et le premier terme du membrede droite sont nul le long de la surface C composant la conduite.

On s’intéresse à des écoulements établis dans des conduits assez longs,ce qui implique:

– la longueur de la canalisation L est bien plus grande que la longueurd’établissement

Le

D=

0,06Re pour un régime laminaire,0,63Re1/4 pour un régime turbulent ;




20 Chapitre 3. Séance no 3 : calcul pratique des pertes de charge

V

S

C

L

n

Figure 3.1 : volume de contrôle pour une conduite.

– la section ne change pas avec x ;

– l’écoulement est établi: ∂ u/∂x = 0 ;

– la composante selon y (r en coordonnées cylindriques) de la vitesseest nulle: u = (u, 0, 0). La pression généralisée est considérée commeconstante dans une section droite.

Si S 1 et S 2 sont l’entrée et la sortie de la conduite, alors on peut simplifierl’équation

− S 1

u2

2+ p

udS +

S 2

u2

2+ p

udS = −

V

ΦdV,

avec Φ = T : D la fonction de dissipation interne . En effet, la puissance

dissipée S n · (uT)dS aux frontières S est globalement nulle si le débitest constant. La constance de la pression sur une section et l’invariance dudébit q (volumique) amènent – après avoir divisé par q – à l’équation deconservation de la charge :

p1 − p2 =

2q

S 2

u3dS − S 1

u3dS

0

+1

q

V

ΦdV.

Dans une conduite en régime établi, la différence de pressionmotrice équivaut à la dissipation d’énergie (aux pertes de charge).

Les pertes de charge

Les termes sont homogènes à des pressions. On peut les rendre aussihomogènes à des hauteurs en divisant par g : c’est la pratique courante enhydraulique. On introduit quelques grandeurs :

– puissance totale dissipée par frottement (visqueux) : P µ =

V

ΦdV [W](Watt) ;





– charge hydraulique en [Pa] (1 Pa=1 N/m2 = 1 J/m3) :

X = p +

2q

S

u3dS,

ou bien en [m] (usage en hydraulique)

H =p

g+

1

2qg

S

u3dS,

L’équation de conservation de la charge s’écrit (alors avec ces notations)sous la forme abrégée:

H 1 = H 2 +1

g

P µq

.

La quantité

∆H =1

g

P µq

s’appelle la perte de charge . Elle est exprimée ici en [m] ou parfois en [mCE]« mètres de colonne d’eau ». Pour retrouver l’énergie totale dissipée, ilsuffit de calculer: P µ = g∆H/q. On introduit aussi la perte de charge

unitaire [m/ml], c’est-à-dire la variation de perte de charge par longueur decanalisation L. On écrit ainsi :

dH

dx=

∆H

L=

p1 − p2L

= −∂p

∂x. (3.1)

Pertes de charge et coefficient de frottement

Il faut maintenant relier la pression aux frottements aux parois. Si le ré-gime est établi, on montre simplement à partir de l’équation de conservationde la quantité de mouvement :

S

(u · nudS = − S

pndS +

A

T · ndS,

que l’on a:

−∂p

∂x= − p2 − p1

L=

1

V

A

τ p dS =A

V τ p =

1

L τ p, (3.2)

avec V = S ×L le volume de fluide compris entre les sections S 1 et S 2 (entréeet sortie de la conduite) ; A est la surface du tube C entre les sections S 1 etS 2. τ p est la valeur moyenne de la pression sur cette surface. La longueur Lvérifie

L =V

A=

section × L

périmètre × L=

Dh

4

et sera le plus souvent introduite sous la forme d’un diamètre hydrauliqueDh. Il s’agit de la dimension caractéristique de la canalisation. Pour :

– une conduite circulaire :Dh = 2R,





– une conduite rectangulaire :

Dh = 4b

+ 2b.

À noter quand b

, Dh

≈b.

Attention le nombre de Reynolds est défini avec le diamètre hydrau-lique:

Re =uDh

ν ,

avec u la vitesse débitante.

Enfin, il reste à relier la contrainte à la paroi à une vitesse ; par conven-tion et usage, c’est la vitesse débitante u qui sert de vitesse caractéristique.Pour cela on introduit un coefficient de frottement C f sous la forme:

τ = 12

C f u2.

♣ Exemple. – Par exemple en combinant l’équation du débit pour uneconduite rectangulaire

q = −2

3

b3

µ

∂p

∂x

,

avec la relation donnant la contrainte pariétale :

τ = −b

∂p

∂x ,

on tire : τ p = 3µu/b, soit :

C f =24

Re.

Pour une conduite circulaire, on a :

C f =16

Re.

Calcul en pratique des pertes en ligne

Un problème courant est : connaissant les caractéristiques de la canali-sation et le débit, quelle est la perte de charge en ligne (ou unitaire)?

Dans le cas général, pour une canalisation de longueur L, on obtient encombinant les équations (3.1–3.2) :

−dH

dx=

τ pg

L=

4C f Dh

u2

2g[Pa/m],





soit

∆H = f L

Dh

u2

2g[Pa],

avec f = 4C f le coefficient de perte de charge en ligne 1. Ainsi on pose pourune conduite circulaire :

f =

64

Re ,qui donne la droite à gauche dans le diagramme de Moody (voir figure 3.2).

3.1.2 Bilan d’énergie en régime turbulent

On peut établir une équation de Bernoulli valable pour le régime turbu-lent. En multipliant par la vitesse moyenne u l’équation de conservationde la quantité de mouvement

∂

u

∂t + uu = −¯ p∗ + · T − · u

u

,

avec p est ici la pression généralisée, on tire l’équation généralisée de Ber-noulli. En régime permanent, cette équation s’écrit :

S

u · n

|u|22

+ ¯ p∗

dS =

S

u · ([2µD − uu]n)dS − V

ΦdV,

avec Φ = [2µD − uu] : D la fonction de dissipation interne. Il ya peu de différences, du point de vue de la structure de l’équation, avecl’équation de Bernoulli pour le cas laminaire. Comme précédemment, on

utilise les mêmes hypothèses et on introduit :– la charge hydraulique :

H =1

gq

S

u · n

|u|22

+ ¯ p∗

dS =

1

gq

S

u

|u|2

2+ ¯ p∗

dS

– la puissance dissipée:

P µ =

S

u · ([2µD − uu]n)dS − V

ΦdV.

L’équation de Bernoulli s’écrit alors sous la forme simple :

∆H = H 1 − H 2 =1

gqP µ ∝ qn,

avec n ≈ 1,75 pour une conduite lisse et n = 2 pour une conduite rugueuse(corrélation expérimentale). La relation de conservation de la quantité demouvement donne :

−dH

dx= − 1

g

∂p∗

∂x= cte =

1

gq

dP µdx

.

1. On trouve aussi la notation Λ = 4C f = f dans certains ouvrages.





Comme pour le cas laminaire, on introduit une contrainte pariétale sous laforme:

τ p = −L∂p∗

∂x= −gLdH

dx,

avec L = Dh/R la longueur caractéristique de la conduite (introduite pourle cas laminaire).

La relation entre perte de charge et coefficient de frottement s’écrit :

∆H = 4C f L

Dh

u2

2g= f

L

Dh

u2

2g,

avec u la vitesse débitante et 4C f = f le coefficient de frottement. Notonsqu’en régime turbulent, on préfère relier le débit à la vitesse de frottementu∗ (plutôt qu’au gradient de vitesse comme en laminaire). Notons qu’on a :

1

2C f

=τ p

u2= u∗

u 2

,

ou souvent (par usage)1

C f /2=

u

u∗

.

On en déduit les formules suivantes

rectangulaire circulaire

lisse1

C f

/2= 2,5 lnRe C f /2− 0,25

1

C f

/2= 2,5 lnRe C f /2 + 0,31

rugueux1

C f /2= 2,5 ln

b

ks+ 6,04

1 C f /2

= 2,5 lnR

ks+ 4,87

Pour les conduites circulaires, on peut utiliser la formule de Colebrook

valable quelle que soit la rugosité :

1 C f /2

= −2,56ln

0,27

ks2R

+0,887

Re

C f /2

,

ou encore

1√f

= −0,91ln

0,27 ks2R

+ 2,51√f Re

.

On peut également utiliser les données expérimentales synthétisées dansle diagramme de Moody-Stanton (1944) valable pour les conduites indus-trielles.





F i g u r e

3 .

2

:

d i a g r a m m e d e M o o d y .





3.2 Pertes de charge singulières

3.2.1 Problématique

Les pertes de charge singulières traduisent les pertes d’énergie au niveau

d’un changement rapide dans une conduite (changement de section, arrivéedans un réservoir, etc.). Une singularité induit à la fois une dissipation localed’énergie, mais également une modification de l’écoulement à l’amont et àl’aval de la singularité (modification des lignes de courant). Les résultatssuivant ne sont pertinents que pour des singularités suivies et/ou précédéesde canalisations suffisamment longues (40–50 diamètres de conduite) ou biend’un réservoir de grandes dimensions.

Les pertes de charge singulières sont introduites sous la forme :

∆H s = ζ u2

2g

[m],

avec ζ le coefficient de perte de charge singulière. Le problème est de savoirdans quelle section il faut prendre la vitesse débitante. On se souviendraqu’une perte de charge est une perte d’énergie.

y

x

Figure 3.3 : exemple de perte de charge singulière: élargissement brusque.

3.2.2 Principales formules de perte de charge singulière

On ne donne ici que les formules pour des tubes cylindriques:

– élargissement brutal :

∆H s = ζ u2

12g

[m],

avec ζ = 2 − 83S 1S 2

+ 23

S 21

S 22

si l’écoulement est laminaire et ζ =

1 − S 1S 2

2pour un écoulement turbulent (profil de vitesse uniforme). On emploieS 1 pour la section amont et S 2 pour l’aval. L’entrée d’un réservoir sedéduit en prenant S 2 → ∞.

– rétrécissement brutal :

∆H s = ζ u22

2g[m],





avec

ζ =

1 − 1

0,59 + 0,41(S 2/S 1)3

2

pour un écoulement turbulent. Pour l’entrée dans une canalisation onprendra ζ = 0,5 (formule de Borda : canalisation à bord vif).

– Changement de direction : au niveau du coude (changement de direc-tion θ exprimé en degrés, avec un rayon de courbure Rc), il y a uneperte de charge donnée par (formule de Weissbach)

ζ =θ

90

0,13 + 1,85

R

Rc

7/2

.

Pour un coude sans rayon de courbure, on peut employer la variantesuivante:

ζ = sin2 θ

2+ 2 sin4 θ

2.

Pour un coude à angle vif (Rc → 0) d’angle 90°, on peut prendreζ = 1,3.





3.3 Application

3.3.1 Vidange d’un barrage

On considère une conduite de vidange d’un barrage de hauteur (d’eau)

h0. La conduite est lisse et de diamètre D. Sa longueur totale est L. Lachute de dénivellation est notée h1. On cherche à calculer le débit à la sortiede la conduite.

0h

1h

L

O

A B

Figure 3.4 : écoulement en charge dans un conduit de vidange d’une retenue.

Pour cela on applique le théorème de Bernoulli entre O et B :

H 0 = H B + ∆H,

où la perte de charge ∆H comprend à la fois:

– les pertes de charge réparties

∆H r =u2

2g

f

DL,

– les pertes de charge singulières dues à l’entrée dans la canalisation enO et le coude en A:

∆H s = (ζ A + ζ 0)u2

2g.

En détaillant, on a en O :

H O = zO +u2

2g+

p0ρg

= h1 +u2

2g+ h0,

tandis qu’en B on a :

H B = zB +u2

2g+

pBρg

=u2

2g.

On en déduit que la vitesse moyenne est solution de l’équation :

h1 +u2

2g+ h0 =

u2

2g+

u2

2g f

DL + ζ A + ζ 0 .





On déduit facilement que :

u =

2g(h0 + h1)f D

L + ζ A + ζ 0

1/2

.

Le débit est simplement Q = S u, avec S = πD2

/4. Si les coefficients de pertede charge sont des constantes, cette équation se calcule très simplement. Sile coefficient de frottement f est fonction du nombre de Reynolds, il fautrésoudre une équation non linéaire ou bien procéder par tâtonnement.

Application numérique

On prend D = 1 m, L = 1000 m, ks/D = 10−5, h0 = 10 m, et h1 = 10m. On emploie la formule de Colebrook

1√f = −0,91ln0,27

ks2R +

2,51√f Re

.

On a vu par ailleurs: ζ 0 = 0,5 et ζ A = 1,3. En programmant avec Mathe-matica, on trouve que la vitesse vaut 6,1 m, soit un débit de 4,8 m 3/s.

d = 1;

L = 1000;

ν = 10^(-6);

ks= d/10^5;

g = 9.81;

h0 = h1= 10;

vit = Sqrt[(h0+ h1)*2*g]

FindRoot[

{u== ((2 g (h0 + h1))/((f/d) L + 0.5 + 1.3))^(1/2),

1/Sqrt[f] == -0.91 Log[0.27 (ks/d) + 2.51/(Sqrt[f]*Rey)],

Rey == u (d/ν)},

{{u, vit}, {f, 0.01}, {Rey, vit (d/ν)}}]

Out[72]= 19.8091

Out[73]= 8u → 6.14456, f → 0.00859314, Rey → 6.14456×106<

In[1]:= ? FindRoot

FindRoot@lhs==rhs, 8x, x0<D searches for a numerical solution to the equation lhs==

rhs, starting with x=x0. FindRoot@8eqn1, eqn2, ... <, 88x, x0<, 8y, y0<, ... <D

searches for a numerical solution to the simultaneous equations eqni.Plus…

Colebrook.nb 1

Figure 3.5 : exemple de résolution de calcul de f et de u avec un logiciel de calcul.








Chapitre 4. Séance no 4 : écoulement à surface libre 31

Chapitre

4Séance no 4 : écoulement à surface libre

4.1 Introduction

4.1.1 Généralités

L’hydraulique à surface libre se distingue de l’hydraulique en charge parl’existence d’une surface libre , c’est-à-dire d’une surface où l’écoulement esten contact direct avec l’atmosphère 1 : le gradient de pression ne peut plusêtre le moteur de l’écoulement, c’est la gravité qui devient l’agent moteur.Le domaine d’application est large :

– cours d’eau: rivières, fleuves, etc. ;

– canaux de navigation, d’irrigation, etc. ;– systèmes d’évacuation: réseaux d’assainissement pluvial ;

– aménagements : retenues d’eau, usines de production d’électricité, ports,etc.

Une caractéristique de la plupart de ces écoulements : une hauteur d’écoule-ment petite par rapport à la longueur d’écoulement. On parle d’écoulementfilaire.

4.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations

– bief : tronçon homogène en termes de pente moyenne et de sectiond’écoulement;

– type de cours d’eau : une distinction des cours d’eau en fonction de lapente i :

– i < 3 % on parle de rivière ,

– 3 < i < 6 %, on parle de rivière torrentielle ,

– i > 6 %, on parle de torrent .

1. La pression du fluide à cette interface est égale à celle de l’atmosphère.




32 Chapitre 4. Séance no 4 : écoulement à surface libre

– périmètre mouillé χ : longueur de la surface d’écoulement en contactavec le lit (fond + berges), c’est-à-dire le périmètre de la sectiond’écoulement – la largeur au miroir.

– section d’écoulement (ou section mouillée) S : partie de la section ducanal limitée par les parois et la surface libre ;

– hauteur d’écoulement : hauteur moyenne d’eau, par définition: h =S/B ;– hauteur normale hn : c’est la hauteur d’un écoulement permanent uni-

forme dans un bief. La hauteur normale est fonction du débit Q, dela rugosité K , et de la pente moyenne i ;

– tirant d’eau : profondeur maximale d’une section d’écoulement ;– largeur au miroir B : largeur de la section d’écoulement au niveau de

la surface libre ;– régime uniforme : régime d’écoulement le long d’un bief où les carac-

téristiques d’écoulement (hauteur et vitesse) sont constantes quelle

que soit la position le long de la direction d’écoulement. On a ainsi∂h/∂x = 0 ;– régime permanent : régime où l’écoulement ne dépend pas du temps.

On a ainsi ∂h/∂t = 0 ;– régime graduellement varié : régime d’écoulement où la variation de

hauteur dans la direction d’écoulement est très faible, typiquement siL désigne une longueur d’écoulement et ∆h une variation de hauteur,on a ∆h/L 1. Les équations de Saint-Venant ou le calculdifférentiel des courbes de remous ne sont valables que pource régime ;

– régime rapidement varié : régime d’écoulement où la variation de hau-teur dans la direction d’écoulement est très importante, typiquementsi L désigne une longueur d’écoulement et ∆h une variation de hau-teur, on a ∆h/L = O(1). À l’approche d’une singularité ou bien encas de ressaut hydraulique, l’écoulement peut entrer dans un régimerapidement varié ;

– ressaut hydraulique : variation brutale de hauteur d’eau (passage d’unrégime torrentiel à un régime fluviam) ;

– pente moyenne : pente moyenne longitudinale i = tan θ d’un bief ex-primé en % ou en ‰;

– rayon hydraulique : c’est la longueur caractéristique RH = S/χ ;– régime torrentiel : régime supercritique (Fr > 1), forte vitesse, faible

hauteur ;– régime fluvial : régime subcritique (Fr < 1), faible vitesse, hauteur

élevée ;– débit Q : flux d’eau par unité de temps à travers la surface d’écoule-

ment;– vitesse moyenne u : vitesse u = Q/S ;– coefficient de rugosité : coefficient traduisant la rugosité des parois

(coefficient de Chézy noté C ou de Manning-Strickler noté K ) ;





– lit mineur : lit occupé ordinairement par un cours d’eau par oppositionau lit majeur qui correspond à l’emprise maximale historique d’uncours d’eau ou à la plaine inondable. On parle aussi de niveau desplus hautes eaux (PHE) pour désigner la cote maximale atteinte parla surface libre d’un cours d’eau ;

– la berge ou rive est le talus qui sépare le lit mineur du lit majeur.Lorsque la berge est couverte par la végétation, on parle de ripisylve ;– l’étiage correspond aux plus basses eaux d’un cours d’eau (générale-

ment durant l’été). Le débit d’étiage est donc le débit minimal d’uncours d’eau. Le débit de plein bord (bankfull discharge en anglais) estle débit atteint lorsque la rivière sort de son lit mineur. Durant unecrue, on parle de débit de pointe (peak discharge en anglais) pour dé-signer le débit maximal atteint. Pour les crues, on peut relier le débitde pointe à la période de retour T 2. On parle de débit dominant estle débit de la crue ordinaire qui permet de façonner un cours d’eau.Pour les rivières à sable, le débit dominant correspond au débit depointe d’une crue de période 1–2 ans alors que pour un lit à gravier, ilcorrespond à crue de période de retour de quelques dizaines d’années.

B

lit majeur

tirant d'eau

lit mineur

périmètre mouillé

y

Figure 4.1 : coupe d’une rivière.

Pour un cours d’eau naturel, la géométrie du lit n’est pas quelconque,mais obéit à certaines règles. Un cours d’eau doit laisser transiter un débit,qui varie en fonction du temps. En général, il existe des cycles annuels,mais au gré de précipitations et de la fonte des neiges, le débit peut varierd’une année sur l’autre d’une façon extrêmement variable (voir Fig. 4.2).Ces débits ordinairement rencontrés façonnent le cours d’eau, c’est-à-dire lagéométrie du lit (section en travers, granulométrie, etc.) est compatible avecle débit moyen transitant par ce cours d’eau. On parle de débit dominantpour désigner un débit (suffisamment élevé) qui est capable de modifier lagéométrie du lit. En fonction du terrain (pente, nature géologique du terrain,etc.), le cours d’eau a plusieurs possibilités pour optimiser le transit d’eauen ajustant la largeur, la profondeur, la sinuosité, etc.

2. La période de retour T est définie par rapport à la probabilité d’observer la crue(ou une crue supérieure) P : T = 1/P ; c’est aussi l’intervalle de temps moyen entre deuxcrues ayant dépassant un certain seuil.





1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

an

5

10

15

20

25

30

Q 1

m 3 / 3

1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

Figure 4.2 : variation du débit de pointe journalier sur la rivière Lonza (Valais) sur lapériode 1974–1999.

Une difficulté supplémentaire est qu’outre le débit liquide à faire transi-ter, il y a également un transport de sédiment. Les sédiments sont apportésau cours d’eau par les montagnes sous forme de blocs grossiers et d’élémentsplus ou moins fins. Ces éléments sont transportés et subissent une dégra-dation progressive et un tri granulométrique d’autant plus marqué que lapente du lit devient faible ; pour ces raisons, on observe que la granulomé-trie moyenne du lit diminue régulièrement entre la source et le débouché ducours d’eau.

Pour un même cours d’eau, selon la section considérée, il existe des in-terrelations étroites entres capacité de transport solide, débit liquide, etcaractéristiques géométriques. Comme le montre la figure 4.3, on trouve descorrélations entre paramètres d’écoulements et les variables caractérisant lagéométrie du lit. Ces interrelations sont généralement stables et laissent pen-ser qu’il existe un état de pseudo-équilibre du cours d’eau où les variationslocales et temporelles des débits solide et liquide sont contrebalancées sansproblème particulier par différents mécanismes. On parle souvent d’équilibre

dynamiqu e du lit pour désigner cet ajustement continuel du cours d’eau au-tour d’un état d’équilibre. Il existe cependant des circonstances pendantlesquelles cet équilibre peut être compromis: typiquement lors d’une cruede période de retour élevée (de quelques années à centaines d’années) oubien à cause de l’action de l’homme (construction d’un barrage, prise d’eau,etc.), l’équilibre d’un cours peut être rompu, causant des désordres graves,brutaux, et rapides.

Compte tenu de la variation de la pente du cours d’eau et de la tailledes sédiments, la géométrie du cours d’eau varie de façon très significativeentre la source et le débouché. Dans la partie amont, où le sédiment estfourni à la rivière, la pente est généralement forte et le lit est droit (quandil est vu en plan); le lit peut être incisé dans un matériau différent dessédiments qu’il transporte ou bien prendre place dans ses dépôts alluviaires.Au contraire, dans les zones de plaine, le cours d’eau coule exclusivementsur son propre alluvion généralement composé de matériaux fins (limons,sables, matériaux organiques). La sinuosité du lit croît le plus souvent defaçon inverse à la pente du lit ; inversement, plus la pente est faible, plusle cours d’eau a tendance une section d’écoulement unique et bien calibrée





1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+00 1.E+02 1.E+04 1.E+06 1.E+08 1.E+10 1.E+12 1.E+14

Grav Brit

Grav Alta

Sand Mult

Sand Sing

Grav Ida

Q

B

Figure 4.3 : relation entre largeur miroir et débit de plein bord pour des rivières de larégion Alberta (Canada). D’après des données de données collectées par Gary Parker. La

largeur au miroir a été écrite sous forme adimensionnelle : B = B/d50 et Q = Q/(d5/250

√g),

avec d50 le diamètre médian des grains composant le lit.

(section homogène).





pente

Profil en long

lit rectiligne lit en tresses lit divaguant lit à méandres

torrent

rivière torrentielle

rivière

2-3 %5-6 %

Figure 4.4 : vue en plan du lit d’une rivière.





4.2 Les équations de Saint Venant

Les équations de Saint-Venant sont une forme intégrée (intégration selonla hauteur) des équations de Navier-Stokes. Elles permettent de calculer leshauteurs d’eau et vitesses moyennes le long de la direction d’écoulement

en fonction du temps. Elles ne sont applicables qu’en régime graduellementvarié.

4.2.1 Dérivation des équations

Nous allons utiliser ici les hypothèses simplificatrices suivantes :

(A1) On s’intéresse à un écoulement d’eau le long d’un profil bidimensionnelcurviligne, dont les variations sont faibles (rayon de courbure infini),c’est-à-dire la surface d’écoulement est à peu près plane, d’inclinaisonθ par rapport à l’horizontale. On rattache un système de coordonnéescartésiennes (x, y, z) à ce repère (x est orienté selon la ligne de plusgrande pente, y est normale au plan de glissement, z représente unedirection latérale).

(A2) On considère un mouvement essentiellement bidimensionnel (z n’in-tervient pas dans les calculs). Les calculs peuvent être généralisés à ladimension 3.

(A3) Il n’y a pas de variation significative de la section d’écoulement sur decourtes distances (les variations sont toujours progressives). Il en estde même pour les hauteurs d’écoulement, qui varient doucement d’unpoint à l’autre de l’écoulement sur un même bief. On parle de régime

graduellement varié ou bien d’approximation des grandes longueursd’onde pour désigner ce régime ou cette approximation. Il s’agit doncd’un régime peu éloigné du régime permanent uniforme. Les lignes decourant sont donc parallèles à la surface libre, elle-même à peu prèsparallèle à la ligne de fond.

(A4) Les lignes de courant au sein de l’écoulement ne subissent pas debifurcation brutale.

(A5) La surface d’écoulement exerce une contrainte de frottement τ p surl’écoulement.

(A6) La masse volumique de l’eau est constante: ≈ .(A7) Il n’y a pas de variation de masse durant l’écoulement (apport ouperte d’eau).

(A8) Le lit est fixe (pas de transport solide, pas d’érosion, pas de dépôt) etde rugosité uniforme tout le long du bief considéré.

(A9) La pente locale n’est pas trop forte (tan θ doit être inférieur à 10–20%) sinon il y a un risque d’instabilité de la surface libre (« roll waves »ou train d’onde ).

Le principe de base dans les modèles de type Saint-Venant est de partirdes équations locales de conservation de la masse et de la quantité de mou-





vement, de les intégrer suivant la verticale pour les moyenner, puis de lessimplifier en supprimant les termes de faible influence.

Considérons l’équation de conservation de la masse ∂/∂t + .(u) = 0,où u désigne la vitesse locale de l’écoulement. L’intégration de cette équationselon la hauteur d’écoulement, c’est-à-dire le long de la direction y, donne:

h(x,t) 0

∂u

∂x+

∂v

∂y

dy =

∂

∂x

h 0

u(x,y,t)dy − u(h)∂h

∂x− v(x,h,t) − v(x,0,t),

(4.1)où u et v sont les composantes de la vitesse selon les directions x et y. À lasurface libre et au fond, la composante normale de la vitesse v doit satisfairerespectivement

v(x,h,t) =dh

dt=

∂h

∂t+ u(x,h,t)

∂h

∂xet v(x,0,t) = 0. (4.2)

D’où l’on déduit l’équation moyennée de conservation de la masse :

∂h

∂t+

∂hu

∂x= 0, (4.3)

où l’on a défini les valeurs moyennes de la façon suivante :

f (x,t) =1

h(x,t)

h(x,t) 0

f (x,y,t)dy.

La même procédure peut être appliquée à l’équation locale de conservationde la quantité de mouvement : du/dt = g − p1 + · σ, où σ représentele tenseur des contraintes et p la pression. Sans difficulté nous obtenonsl’équation moyennée de conservation de la quantité de mouvement:

∂hu

∂t+

∂hu2

∂x

= gh sin θ − ∂h ¯ p

∂x+

∂hσxx∂x

− τ p, (4.4)

où la contrainte de frottement (appelée aussi contrainte pariétale) est τ p =σxy(x,0,t), la pression moyenne est ¯ p, la contrainte normale moyenne dans

le sens de l’écoulement est σxx. Dans le cas d’un écoulement, cette équationse simplifie puisque = et σxx = 0.

Le système d’équations (4.3–4.4) n’est pas fermé car le nombre d’in-connues dépasse le nombre d’équations. Une approximation courante estd’introduire un paramètre, appelé parfois le paramètre de quantité de mou-vement de Boussinesq, qui relie le carré de la vitesse moyenne à la moyennedu carré de la vitesse

u2 =1

h

h 0

u2(y) dy = αu2.





Une approximation courante est d’écrire α = 1.

Une autre approximation, que nous avons implicitement utilisée ci-dessus,est relative au calcul des contraintes. Puisque nous avons supposé que lesvariations de hauteur le long de l’axe x sont faibles (approximation d’ondelongue), cela implique que, pour toute quantité m relative au mouvement de

l’avalanche, nous avons : ∂m/∂y ∂m/∂x. Cela implique que toute tranched’écoulement peut être traitée comme localement uniforme. Avec une tellehypothèse, il est possible de calculer la contrainte à la paroi en considérantque son expression en fonction de u et h est identique à celle du régimepermanent; la pression est supposée de distribution hydrostatique de tellesorte que ¯ p = 1

2gh cos θ. Naturellement une telle approximation n’est pas

valable quand la hauteur d’écoulement varie significativement sur de petitspas d’espace (typiquement ce qui se passe près d’un ressaut).

4.2.2 Synthèse

Les équations de Saint-Venant sont composées :

– d’une équation de conservation de la masse

∂h

∂t+

∂hu

∂x= 0, (4.5)

– d’une équation de conservation de la quantité de mouvement :

∂ u

∂t+ u

∂ u

∂x= g sin θ − g cos θ

∂h

∂x− τ p

h. (4.6)

Pour boucler ces équations, il faut connaître la loi de frottement τ p(u, h). Ceséquations ont été écrites pour un canal infiniment larges et hu représentele débit par unité de largeur. On pourrait les écrire de façon plus généralepour une section S (x, t) par laquelle transite un débit Q(x, t). On a alors:

∂S

∂t+

∂Q

∂x= 0, (4.7)

∂Q

∂t+

∂Q2S −1

∂x= gS sin θ − gS cos θ

∂h

∂x− χ

τ p

. (4.8)

Rappelons que h = S/B et u = Q/S . Dans cette forme générale, la loi defrottement s’exprime comme une fonction τ p(u, RH ).

En présence de transport solide, il faut compléter ces équations parl’équation d’Exner qui décrit l’érosion ou l’engravement du lit :

∂y∂t

= D − E = −∂qs∂x

,

avec y la cote du lit (par rapport à un niveau de référence), E le tauxd’érosion du lit (nombre de particules par unité de surface et par unité detemps qui sont entraînées par l’écoulement), D le taux de dépôt, et qs ledébit solide (résultat net entre érosion et sédimentation du lit).








Chapitre 5. Séance no 5 : régime permanent uniforme 41

Chapitre

5Séance no 5 : régime permanentuniforme

5.1 Relation d’équilibre pour un régime per-manent uniforme

Considérons un bief uniforme (section en travers uniforme, rugosité uni-forme) de pente i = tan θ > 0 et un débit constant. Dans ces conditions,on peut observer un régime permanent uniforme où il y a équilibre par-fait entre frottement aux parois et force motrice (gravité). La hauteur estappelée hauteur normale .

i

h

A

B

Figure 5.1 : équilibre d’une tranche de fluide.

La condition d’équilibre s’écrit :

τ p = gh sin θ,

(canal infiniment large) ou de façon plus générale : χτ p = Sg sin θ, avec χle périmètre mouillé, ce qui donne :

τ p = g sin θRH ≈ giRH , (5.1)

(canal de section quelconque). Pour des pentes faibles, on a sin θ

≈tan θ = i.




42 Chapitre 5. Séance no 5 : régime permanent uniforme

Relation avec les équations de Saint Venant : en régime permanentuniforme, les termes avec des différentielles disparaissent dans les équations(10.1–10.2). On a donc :

g sin θ =τ ph

,

soit encore: τ p = gh sin θ, qui équivaut bien à la relation (5.1) dans le casoù RH = h (canal infiniment large).

Relation avec le théorème de Bernoulli :

Le théorème de Bernoulli s’écrit sur une petite tranche du bief de lon-gueur δL = dx

y(A) + h(A) +u2(A)

2g= y(B) + h(B) +

u2(B)

2g+ ∆H,

avec y la côte du fond. Comme le régime est supposé permanent et uniforme(u(A) = u(B) et h(A) = h(B)), on déduit que

y(A) = y(B) + ∆H.

En introduit la pente y(A) − y(B) = idx et la perte de charge ∆H ≈ dH ,on tire idx = dH . On introduit la pente de la perte de charge appeléepente de frottement (voir ci-dessous l’utilisation du théorème de Bernoulli) : jf = dH/dx, avec H la charge hydraulique. La condition d’écoulementpermanent uniforme s’écrit alors :

i = jf .

5.2 Loi de frottement

Plusieurs lois empiriques ont été proposées pour établir la relation entreτ p et les variables d’écoulement u et h. Ces lois sont les équivalents desformules de pertes de charge régulières vues dans les séances précédentes.

5.2.1 Loi de Manning-Strickler

La loi la plus employée car valable pour une large gamme de débits etde rugosité est la loi de Manning-Strickler ; la contrainte pariétale s’écrit

τ p =g

K 2u2

R1/3H

, (5.2)

avec K le coefficient de Manning-Strikler souvent relié à la rugosité du lit,par exemple :

K =26

d1/6

90

,





où d90 est diamètre des gros blocs (90 % des blocs ont un diamètre pluspetit que d90). Les valeurs de K sont tabulées en fonction du type de coursd’eau:

– canal en béton lisse: K = 65 − 90 m1/3s−1,– canal en terre: K = 40 − 60 m1/3s−1,

– rivière à galet, rectiligne, section uniforme : K = 30 − 40 m1/3s−

1,– rivière avec méandre, sinuosité, etc. : K = 20 − 30 m1/3s−1,– rivière végétalisée ou torrent : K = 10 m1/3s−1.

Principalement dans les pays anglo-saxons, on écrit aussi K en fonction ducoefficient de Manning n

K =1

n.

Notons que la formule de Manning-Strickler ne s’applique pas sur des fonds très lisses (béton lissé par exemple). On pose parfois la relation suivante

K < 78u

1/6

,qui fournit la borne supérieure du coefficient K en fonction de la vitessemoyenne u. En pratique, cette borne supérieure se situe entre 80 et 100m1/3s−1.

5.2.2 Loi de Darcy-Weisbach

Pour les écoulements en charge, on a employé la formule de Darcy-Weisbacj. Cette formule et ses variantes peuvent également s’appliquer àl’hydraulique à surface libre, surtout dans le cas de fond relativement lisse

τ p = f

8u2, (5.3)

avec:1√f

= −2log10

ks

14,8RH +

2,51ν

4Reu√

f

,

(formule de Colebrook-White où l’on remplace le diamètre hydraulique par4RH ). Cette équation non linéaire est complexe à résoudre et on lui préfèreune forme approchée :

8f = 3,38 + 5,75log10

RH

d84.

5.2.3 Loi de Chézy

C’est la formule historique, peu utilisée aujourd’hui si ce n’est pour ob-tenir des ordres de grandeur

τ p =g

C 2u2, (5.4)

avec C le coefficient de Chézy variant dans la fourchette 30–90 m1/2s−1 (duplus rugueux au plus lisse).





5.2.4 Loi de Keulegan

C’est une formule bien adaptée pour les écoulements sur des lits à gravier

τ p =κ2

ln2 (11h/ks)u2, (5.5)

avec κ la constance de van Kármán et ks une taille caractéristique desrugosités du lit (ks ≈ 2d90).

5.2.5 Synthèse

On en déduit facilement les différentes formules du régime permanentuniforme ; elle sont recensées dans le tableau 5.1. La relation q = f (h) (oubien u = f (h)) est appelée courbe de tarage ou bien loi d’écoulement oubien encore débitance du canal.

Tableau 5.1 : Vitesse moyenne, hauteur normale, et pente de frottement selon la loi defrottement utilisée.

loi de frottement u hna jf

Manning-Strikler u = K √

iR2/3H hn =

q

K √

i

3/5

jf =u2

K 2R4/3H

Darcy-Weisbach u =

8g

f

√iR1/2

H hn =

q

f

8gi

2/3

jf =u2

2g

f (RH )

4RH

Chézy u = C

√iR

1/2

H hn = q

1

C √i2/3

jf =

u2

C 2RH

a uniquement pour un canal infiniment large





5.3 Justification physique

Dans la majorité des cas, le régime d’écoulement de la phase fluide estturbulent. Une loi de comportement prenant en compte la turbulence peuts’écrire sous la forme suivante:

Σ = − p1+ 2µD+ f u ⊗ u

où u la fluctuation de vitesse, <> désigne un opérateur moyenne. Dans cetteexpression, le premier terme représente les effets de pression du fluide (àcause de l’incompressibilité c’est un terme indéterminé qui doit être trouvéen résolvant les équations du mouvement). Le second terme (loi de Newton)représente les termes de viscosité. Le troisième terme, appelé tenseur deReynolds, représente les effets des fluctuations de vitesse liées à la turbu-lence. Une pratique courante consiste à négliger la contribution visqueuse(compte tenu du nombre de Reynolds) et à supposer que les fluctuations de

vitesse sont du même ordre de grandeur et peuvent être liées à la vitessemoyenne du fluide de la manière suivante :

u

x ≈ u

y ≈ mduydy

Cette hypothèse, due à Prandtl, tire son origine d’une analogie avec le libreparcours moyen d’une particule dans la théorie cinétique des gaz de Boltz-mann. Le coefficient de proportionnalité m introduit dans l’équation estappelé longueur de mélange . La valeur de la longueur de mélange a été

déduite expérimentalement. Une difficulté dans la détermination de m estqu’elle n’a pas en général de caractère intrinsèque excepté dans des régionssous influence de parois (écoulements dits pariétaux).

Figure 5.2 : délimitation et typologie des zones turbulentes dans un écoulement àsurface libre.

Ainsi, pour des écoulement à surface libre dans des canaux droits incli-nés, il est possible de distinguer grosso modo trois zones turbulentes :

– près de la paroi, la turbulence est générée par la rugosité et des pro-cessus internes liés à la sous-couche visqueuse (à proximité immédiatede la paroi). Une hypothèse usuelle tirée d’arguments dimensionnels





est de relier la longueur de mélange à la profondeur de la manièresuivante :

m = κy

avec κ la constante de von Kármán (κ ≈ 0,4). Cette zone s’étendantsur environ 20 % de la hauteur d’écoulement est appelée zone loga-

rithmique pour des raisons indiquées ci-après ;– près de la surface libre, la turbulence est fortement influencée par la

surface libre;– entre les deux interfaces, se trouve une région dite intermédiaire où la

turbulence résulte d’échanges entre les deux zones productrices pré-cédentes. La valeur de la longueur de mélange dans les deux régionssupérieures peut être estimée de la manière suivante :

m ≈ βh

avec β un paramètre empirique de valeur proche de 0,12.

Examinons ce qui se passe pour l’écoulement près de la paroi. En régimepermanent uniforme, l’équation du mouvement s’écrit :

τ = f g sin θ(h − y) = f

κy

du

dy

2

,

où f g sin θ(h − y) est la contrainte de cisaillement déduite de l’équation deconservation de mouvement en régime permanent uniforme. En introduisantla vitesse de frottement à la paroi

u∗ = τ p/f = gh sin θ,

on obtient:du

dy=

1

κ

u∗

y

1 − y

h.

En se limitant aux termes du premier ordre en y/h, puis par intégration,on obtient le profil de vitesse à proximité de la paroi :

u

u∗

=1

κln

y

y0

où y0 est une profondeur à laquelle on admet que la vitesse s’annule. Ontrouve donc que le profil des vitesses moyennes est logarithmique. Naturelle-ment, cette expression, valable pour des parois lisses, doit être corrigée si l’onveut prendre en compte une rugosité du fond. Pour des surfaces rugueuses,deux types de condition aux limites sont mis en évidence en fonction de lataille typique des grains composant la rugosité (ds) et de l’épaisseur de lasous-couche visqueuse (δ) :

– les surfaces dites lisses (ds δ) ;– celles dites rugueuses (ds

δ).





Pour une surface rugueuse, les expériences en conduite indiquent que ladistance y0 vérifie: y0 = ds/30. Dans ce cas, par intégration du profil desvitesses moyenne, on déduit que la vitesse moyenne de l’écoulement est :

u

u∗

=1

κln

30h

eds≈ 2,5 ln

11h

ds

En pratique, il est souvent commode d’exprimer la vitesse moyenne à lahauteur d’écoulement par l’intermédiaire du coefficient de Chézy C :

u = C √

sin θ√

h,

On obtient par simple comparaison:

C =

√g

κln

30h

eds≈ 7,83ln

11h

ds

Pour une surface plane (en pratique pour des rugosités de surface in-férieures à 250 mm), les expériences montrent que la distance y0 vérifie:y0 ≈ ν/9u∗. On en déduit que le profil de vitesse près d’une paroi lisse :

u

u∗

=1

κln

9u∗y

eν

Jusqu’à une époque récente, une pratique courante consistait à extra-poler à tout l’écoulement l’expression de la longueur de mélange valable àla paroi. À partir des années 1960, des termes de correction ont été rajou-

tés pour tenir compte de la modification de la turbulence loin des parois.Parmi les plus connus, la loi (empirique) de sillage de Coles donne de bonsrésultats pour de nombreuses classes d’écoulement. La méthode consiste àajouter à la loi logarithmique un terme correctif de la forme suivante :

u

u∗

=1

κln

y

y0+

Π

κsin

πz

2h,

avec Π un paramètre d’intensité, valant approximativement 0,2 lorsque lenombre de Reynolds R e = uh/ν est supérieur à 2000 et proche de zérolorsque le nombre de Reynolds est inférieur à 500 (pour un canal à surface

libre). Une autre méthode de correction consiste à considérer la variationde la longueur de mélange en fonction de la profondeur comme cela a étévu plus haut.








Chapitre 6. Séance no 6 : hauteur normale selon la section d’écoulement49

Chapitre

6Séance no 6 : hauteur normale selon lasection d’écoulement

6.1 Hauteur normale et courbe de tarage

La hauteur normale est la profondeur moyenne d’eau en régimepermanent uniforme. Elle se calcule en égalant contrainte pariétale etcontrainte motrice. Par exemple, si l’on applique une loi de type Manning-Strickler, on obtient une équation implicite pour h

Q = hnBu = KR2/3H

√iS,

(avec S = hnB la section d’écoulement, B la largeur au miroir, Q le débittotal) qui peut se résoudre explicitement dans le cas d’un canal infinimentlarge (B h, soit RH ≈ h) :

hn =

q

K √

i

3/5

,

avec q le débit par unité de largeur. La hauteur normale est une fonctiondu débit et de la pente. Elle correspond au tirant d’eau pour un canal rec-tangulaire ou un canal infiniment large, mais s’en distingue dans les autrescas. À pente constante, la relation h = f (q) est appelée courbe de tarage oude débitance . Sa représentation graphique se présente sous la forme d’unecourbe avec deux branches :

– pour les petits débits, une relation rapide de la hauteur avec le débit ;– quand le débit dépasse le débit de plein bord, le cours d’eau quitte son

lit mineur, ce qui se traduit par une faible augmentation de la hauteurquand le débit croît.

Les géométries de canaux les plus courantes sont la section trapézoïdale(en terre pour la navigation et l’irrigation), rectangulaire (béton ou maçon-nerie pour les aménagements hydrauliques), ou circulaire (en béton pourl’assainissement pluvial).




50Chapitre 6. Séance no 6 : hauteur normale selon la section d’écoulement

h

qq pb

i=cte

Figure 6.1 : courbe de tarage.

Tableau 6.1 : hauteur, périmètre mouillé, section pour trois géométries usuelles.

type circulaire rectangulaire trapézoidal

h R(1 − cos δ) h hS R2(δ − sin δ cos δ) Bh (B + b)h/2χ 2Rδ B + 2h 2h cos φ + b

ϕ h

b

h

δ R

Figure 6.2 : sections usuelles pour des canaux.

6.2 Granulométrie et résistance à l’écoulement

La résistance à l’écoulement est en grande partie liée à la taille desgrains. Par exemple, il existe des formules empiriques donnant le coefficientde Manning-Strickler en fonction de la granulométrie telle que la formulede Meyer-Peter et Müller

K =26

d1/690

,

ou cell de Raudkivi

K =24

d1/6

65

,





avec d65 le diamètre des particules tel que 65 % (en poids) des grains du litaient un diamètre inférieur inférieur.

La morphologie d’un chenal varie en fonction de la pente de telle sortequ’il y ait un certain équilibre entre la pente (terme gravitaire moteur dansles équations du mouvement), le débit liquide, et le débit solide :

– Pour les rivières (naturelles) de plaine, la sinuosité du lit, la possibilitéde migration des méandres, et le développement de structures mor-phologiques (dunes, bancs de sable) permettent d’obtenir cet équilibremoyen.

– Pour les rivières torrentielles et les torrents, cet équilibre se manifesteprincipalement à travers un équilibre de la section en travers et ilexiste une relation entre granulométrie du lit, capacité de transport,et débit dominant ; la dissipation d’énergie est variable en fonction dela composition granulométrique du lit (plus le lit est grossier, plus ladissipation d’énergie est importante) et des structures morphologiques

(distribution régulière de seuils et de mouilles, antidune). En général,les lits composés d’éléments granulométriques variés sont pavés (ar-

moring en anglais), c’est-à-dire il se forme une couche à la surfacedu lit, composée d’éléments grossiers, offrant une bonne résistance àl’érosion et permettant de dissiper suffisamment d’énergie. Le pavageest généralement stable (c’est-à-dire il n’est pas « affouillé » par lespetites crues), mais il peut être détruit lors de grosses crues. Pavageet structures morphologiques évoluent sans cesse soit par ajustementlocal (petite crue), soit par déstabilisation massive, puis restructura-tion ; les échelles de temps associées varient fortement:

Tableau 6.2 : durée moyenne de vie T (en années) du pavage et des structures mor-phologiques.

type T pavage 1–2

seuil 20–50alternance seuil/mouille 100-1000

6.3 Limites des relations u(h, θ)La principale difficulté dans l’application des formules de régime per-

manent où l’on suppose que u = u(h, θ) est que pour un certain nombrede rivières, la pente est loin d’être uniforme même sur de petits espaces delongueur. Un exemple typique est donné par les rivières torrentielles avec unlit irrégulier fait de seuils et mouilles (« step and pool rivers » en anglais)qui

– aux basses eaux montrent une courbe de remous très irrégulière sui-vant le relief du lit (importante dissipation d’énergie). Dans ce cas, le





mouvement moyen n’est pas dicté par une relation de la forme u(h, θ)(succession de régimes graduellement et rapidement variés) ;

– aux hautes eaux montrent une courbe de remous uniforme qui est plusou moins parallèle à la ligne moyenne du lit. Dans ce cas, il est possibled’aboutir à une relation u(h, θ).

Pour ce type de rivière, il n’est pas possible de trouver une relation univoqueu = u(h, θ) pour toutes les hauteurs d’écoulement. Cette indéterminationest aggravée lorsqu’il y a transport solide car les formes du fond peuventchanger au cours d’une même crue, ce qui amène à un changement de larelation u = u(h, θ) pour un bief donné.

(a)

(b)

niveau

moyendu lit

Figure 6.3 : forme de la courbe de remous en (a) basses eaux, (b) hautes eaux.

De même, le coefficient de rugosité du lit peut varier de façon significativeavec le tirant d’eau pour les raisons suivantes :

– la rugosité du fond et des berges ne sont pas identiques (par exempleà cause de la végétation). Il faut alors employer des méthodes spéci-fiques pour calculer une rugosité équivalente. Il existe plusieurs de cesméthodes : méthode d’Einstein, des parallèles confondues, etc.

– si le cours d’eau déborde de son lit mineur, il va rencontrer une rugositétrès différentes (terrains agricoles, routes, obstacles, etc.).

6.4 Structure morphologique

Toutes les relations vues précédemment ne sont valables que pour des

cours d’eau à fond fixe et droit. Lorsque le lit présente des structures mor-phologiques (comme des dunes), une sinuosité (méandres), et un fond mo-bile, la résistance à l’écoulement peut croître de façon notable.

Ainsi lorsqu’il y a des structures morphologiques de type dune, il faut te-nir compte des dissipations supplémentaires induites. La dissipation d’éner-gie due à la présence de ces structures peut être importante. Elle est due :

– à la création de tourbillons à grande échelle au sein du fluide (processusprédominant pour les dunes) ;

– au remous de la surface libre, avec parfois apparition de ressauts hy-drauliques (processus prédominant pour les anti-dunes).





Figure 6.4 : géométrie simplifiée d’une dune.

Pour quantifier ces effets, considérons une alternance de dunes le longdu lit, de hauteur caractéristique a et de longueur L. En première approxi-mation, on peut admettre que l’on peut assimiler la dissipation d’énergieinduite par les dunes à une perte de charge singulière : la dune se comportecomme un rétrécissement de la section d’écoulement, suivi d’un élargisse-ment brusque. À l’aide d’une formule de perte de charge pour écoulements

divergents de type Borda, appliquée entre les points 1 et 2, on trouve :

∆H 1 = α(u1 − u2)2

2g≈ α

u2

2g

a

h

2,

où α est un coefficient de perte de charge. La profondeur d’eau h est calculéepar rapport à une ligne fictive, qui représente l’altitude moyenne du fond(représentée par une ligne fine à la figure 6.4). La vitesse au point 1 estdonc: u1 = q/(h − a/2) tandis qu’en 2, on a u2 = q/(h + a/2).

Cette perte de charge singulière s’ajoute à la dissipation d’énergie parfrottement sur le fond

∆H 2 = LC f RH

u2

2g≈ C f

h

u2

2g,

avec C f = f /4 le coefficient de frottement qui peut être relié, par exemple,au coefficient de Strickler

τ p =1

2C f ρu2 =

ρg

K 2u2

R1/3H

⇒ C f =2g

K 2R1/3H

,

ou bien au coefficient de Chézy

τ p =1

2C f ρu2 =ρg

C 2 u2 ⇒ C f =2g

C 2 .

La perte de charge totale est donc

∆H = ∆H 1 + ∆H 2 = αu2

2g

a

h

2+ L

C f RH

u2

2g,

On peut calculer un coefficient de frottement équivalent C ∗f comme étant lasomme des pertes de charge locale dues à la dune :

∆H = C ∗f L

h

u2

2g,





soit encore

C ∗f = C f + αa2

Lh.

On peut également en déduire un coefficient de Chézy equivalent : C eq. =

2g/C ∗f . On en déduit une nouvelle loi d’écoulement similaire à l’équation

(voir tableau 5.1) obtenue pour un régime uniforme sur fond plat :

u = C

Lh

Lh + αa2C 2/(2g)

√sin θ

√h.

Ce petit calcul simple permet de montrer que, plus la taille de la duneaugmente, plus la vitesse moyenne d’écoulement diminue.

Il existe des formules empiriques comme celle de Sugio pour des coursd’eau naturels (0,1 < d50 < 130 mm) et des canaux (0,2 < ks < 7 mm):

u = KR0,54H i0,27,

avec K = 54 − 80 pour des dunes, K = 43 pour une rivière à méandre.D’autres formules ont été développées, mais elles présentent à peu prèstoutes l’inconvénient de ne fournir que des tendances car les données expé-rimentales sont très dispersées.




Chapitre 7. Séance no 7 : régime permanent non-uniforme 55

Chapitre

7Séance no 7 : régime permanentnon-uniforme

7.1 Courbes de remous obtenues par les équa-tions de Saint Venant

En régime permanent, le système d’équations (10.1–10.2) se simplifie.La conservation de la masse devient :

∂hu

∂x= 0,

d’où l’on tire que le débit par unité de largeur q = hu est constant, tandisque l’équation de quantité de mouvement se simplifie en :

u∂ u

∂x= g sin θ − g cos θ

∂h

∂x− τ p

h. (7.1)

En se servant de u = q/h et ∂h/∂x = dh/dx, on tire :g cos θ − u2

h

dh

dx= g sin θ − τ p

h.

On obtient une équation différentielle du premier ordre dite équation dela courbe de remous ou de la ligne d’eau. Cette équation étant du premierordre, il faudra une condition aux limites, à l’amont ou à l’aval, sur lahauteur d’écoulement pour pouvoir la résoudre. Pour simplifier les notationson introduit le nombre de Froude qui s’écrit pour des canaux infinimentlarges:

Fr =u√

gh cos θ.

on aboutit alors :dh

dx=

1

gh cos θ

τ p − gh sin θ

Fr2

−1

, (7.2)




56 Chapitre 7. Séance no 7 : régime permanent non-uniforme

avec ici τ p = τ p(u, h) et Fr des fonctions implicites de h(x). Il existe d’autresexpressions de cette équation, toutes équivalentes mais faisant appel à desquantités différentes (voir § 7.2).

Pour des canaux quelconques, on peut montrer que la définition dunombre de Froude est identique (puisque h = S/B). En revanche l’équa-

tion de remous est plus complexe car il faut tenir compte des éventuellesvariations de la largeur au miroir B dans la direction d’écoulement; onmontre qu’on aboutit à :

dh

dx=

1

gB cos θ

χτ p − gS sin θ − hu2B(x)

Fr2 − 1.

Notons que la formule du régime permanent se déduit de ces équations enprenant h(x) = 0.

7.2 Résolution de l’équation de remousL’équation de remous peut se mettre sous la forme usuelle :

dh

dx=

jf − i

Fr2 − 1, (7.3)

où l’on a introduit i = tan θ et la pente de frottement

jf =τ p

gh cos θ.

Dans le cas d’un canal infiniment large et d’une rugosité de type Chézy, onpeut également la mettre sous la forme suivante (forme appelée équation de

Bresse ) :

dh

dx= i

1 − (hn/h)3

1 − (hc/h)3, (7.4)

où l’on a posé:

– la hauteur normale hn, qui est solution de l’équation τ p = ghn sin θ(solution : hn = (q2/(C 2i))1/3 pour un canal infiniment large) ;

– la hauteur critique hc = (q2/g)1/3.

Auparavant on opérait une classification des courbes de remous en fonctiondes valeurs respectives de h, hn, et hc. Quand la pente est positive (i > 0),on a :

– profil de type M (« mild ») pour pente douce quand hn > hc ;– profil de type S (« steep ») pour pente forte quand hn < hc.

Il faut ajouter les profils critiques C quand h = hc. Lorsque la pente est nulle,la hauteur normale devient infinie, la courbe de remous devient horizontale ;on parle de profil H. Lorsque la pente est négative, on parle de profil adverseA. Notons qu’il n’y a pas de hauteur normale dans ce cas-là.





7.2.1 Canaux à faible pente : courbes M1–M3

Ce sont les courbes observées pour un canal descendant (i > 0) à pentefaible (hn > hc). On distingue trois branches :

– h > hn > hc : la courbe est tangente à hn à l’amont et sa tangente

devient horizontale à l’aval. On rencontre ce type de courbe à l’amontd’un barrage, d’un lac, ou d’un obstacle. Le profil est croissant (h >0).

– hn > h > hc : la courbe est tangente à hn à l’amont. Le profil estdécroissant (h < 0). Sa tangente aurait tendance à devenir verticale àl’aval car la courbe de remous croise la hauteur critique. On rencontrece type de courbe à l’amont d’une chute ou de toute variation brutalede la pente, où il y a passage d’un écoulement fluvial à torrentiel.

– hn > h > hc : la courbe est tangente à hn à l’amont. Le profil estcroissant (h > 0). À l’aval il se forme un ressaut. On rencontre ce

type de profil à la sortie d’une vanne lorsque la pente du radier àl’aval est faible.

hc

hn

M1

hc

hn

M2

hc

hn

M3

Figure 7.1 : allure des courbes.





7.2.2 Canaux à forte pente : courbes S1–S3

Ce sont les courbes observées pour un canal descendant (i > 0) à penteforte (hn < hc). On distingue là encore trois branches:

– h > hn > hc : la courbe est tangente à hn à l’aval et sa tangente

tendrait à devenir verticale à l’amont car la courbe de remous croise lahauteur critique. On rencontre ce type de courbe à l’aval d’un barrageou d’un changement. Le profil est croissant (h > 0).

– hn > h > hc : la courbe est tangente à hn à l’aval. Le profil est dé-croissant (h < 0). Sa tangente aurait tendance à devenir verticale àl’amont. On rencontre ce type de courbe à l’aval d’une augmentionbrutale de la pente, où il y a passage d’un écoulement fluvial à torren-tiel, ou bien lors d’un élargissement brutal de la section d’écoulement.

– hn > h > hc : la courbe est tangente à hn à l’aval. Le profil est croissant(h > 0). À l’aval il se forme un ressaut. On rencontre ce type de profil

à la sortie d’une vanne dénoyée lorsque la pente du radier à l’aval estforte.

hc

hn

S1

S 2

S3

hc

hn

hc

hn

Figure 7.2 : allure des courbes.





7.2.3 Résolution

De nos jours, on résout numériquement l’équation de remous. Comme ils’agit d’une équation différentielle du premier ordre, il suffit de connaître uneseule condition aux limites. En pratique, on ne peut pas choisir n’importecomment la position amont/aval de cette condition (pour des problèmes de

propagation d’onde que l’on n’abordera pas ici). En effet :

– pour un régime fluvial, la condition aux limites peut être choisi àl’amont ou à l’aval ;

– pour un régime torrentiel, il faut placer la condition aux limites àl’amont.

L’imposition d’une condition aux limites dans un cours d’eau peut se faireà l’aide de singularités où le débit et/ou la hauteur sont imposés (vanne,seuil, chute).

En pratique, les écoulements fluviaux sont calculés dans la directioninverse de celle de l’écoulement (condition à la limite à l’aval) tandis qu’enrégime fluvial, la condition à la limite est placée à l’amont.





Figure 7.3 : tableau récapitulatif des courbes.





Figure 7.4 : quelques exemples des courbes de remous en fonction des aménagements.








Chapitre 8. Séance no 8 : Courbes de remous et écoulement critique 63

Chapitre

8Séance no 8: Courbes de remous etécoulement critique

8.1 Hauteur critique et régimes associés

La hauteur croît ou décroît selon le signe respectif du numérateur et dudénominateur dans l’équation différentielle (7.2), ce qui donne différentesformes de courbes de remous (voir figure 7.3). Notons ce point important :lorsque le nombre de Froude prend la valeur 1, le dénominateur est nul eten ce point la dérivée devient infinie, ce qui est physiquement impossible.En fait au voisinage de ce point, il se forme

– soit une discontinuité de la surface libre appelée ressaut qu’il faut étu-dier avec des outils spécifiques (cf. § 8.2) lorsqu’on passe d’un régimesuper- à subcritique ;

– soit une « chute » d’eau, c’est-à-dire une accélération brutale et unraidissement de la surface libre (passage d’un seuil par exemple, avectransition d’un régime sub- à supercritique).

La pente du canal et/ou la hauteur pour lesquelles on a Fr = 1 s’appellela pente critique et la hauteur critique hc. On distingue deux régimes selonla valeur du nombre de Froude :

– Fr < 1, régime sub-critique plus couramment appelé régime fluvial

pour lequel on a h > hc ;– Fr > 1, régime super-critique plus couramment appelé régime torren-

tiel pour lequel on a h < hc.

La hauteur critique étant définie comme étant Fr(hc) = 1, on tire que:

hc =

1

g

Q2

B2

1/3

,

avec Q le débit total et B la largeur au miroir. Dans le cas d’un canalrectangulaire, en introduisant le débit par unité de largeur q = Q/B, on




64 Chapitre 8. Séance no 8 : Courbes de remous et écoulement critique

tire:

hc =

q2

g

1/3

.

Le débit critique ne dépend pas (directement) de la pente, mais uniquementdu débit liquide.

8.2 Ressaut hydraulique

Au niveau d’un ressaut, la courbure de la ligne d’eau est trop importanteet les équations de Saint Venant cessent d’être valables. On utilise alors lethéorème de quantité de mouvement pour déduire les caractéristiques duressaut. Pour cela on considère un volume de contrôle (par unité de largeur)de part et d’autre du ressaut. Notons que l’écoulement va de la gauche versla droite et il faut se souvenir que dans ce sens d’écoulement, un ressaut

provoque une augmentation de hauteur, jamais une diminution (en effet leressaut est associé à une dissipation d’énergie, donc à un ralentissement del’écoulement). La tranche amont (resp. aval) est référencée par l’indice 1(resp. 2). La longueur du volume de contrôle est L.

(a)

(b)

L

u2

1

h

1h

2

u

∂V

Figure 8.1 : simulation d’un ressaut au laboratoire (a) et schématisation d’un ressaut(b).





On fait les hypothèses suivantes

1. l’écoulement est permanent et le débit par unité de largeur vaut q ;2. l’écoulement est unidirectionnel ;3. le ressaut est immobile (sa vitesse de déplacement est nulle) ;4. la pression est hydrostatique loin du ressaut ;5. le profil de vitesse est uniforme;6. le fond est peu rugueux.

On considère un volume de contrôle dont les frontières englobent le res-saut.

– L’équation de continuité donne : u1h1 = u2h2 = q.– L’équation de quantité de mouvement

∂V ρu(u

·n)dS = V ρgdV

− ∂V pndS + ∂V σ ·ndS

projetée le long de la direction d’écoulement donne :

q(u2 − u1) = −Lτ p +1

2g(h2

1 − h22).

On suppose que l’on connaît les conditions à l’amont et on veut déduire cequi se passe à l’aval. Quand on peut négliger le frottement τ p, on tire :

h2

h1

=1

2 1 + 8Fr21

−1 . (8.1)

1 2 3 4 5

Fr 1

0

1

2

3

4

5

6

h 2

/ h 1

Figure 8.2 : variation du rapport h2/h1 en fonction du nombre de Froude.

La figure 8.2 montre que le rapport h2/h1 varie de façon à peu prèslinéaire avec le nombre de Froude amont F r1.





L’équation (8.1) s’appelle équation de conjugaison et les hauteurs h1 eth2 sont dites conjuguées . La perte de charge associée s’écrit :

∆H = H 2 − H 1 = h2 − h1 +u22 − u2

1

2g=

(h2 − h1)3

4h1h2

= h1

1 + 8Fr21 − 33

16 1 + 8Fr2

1 − 1.

La longueur du ressaut n’est en général pas très élevée, ce qui permet de justifier notre approximation. Expérimentalement on trouve que :

L

h1= 160 tanh

Fr

20− 12,

pour 2 < Fr < 16.

8.3 Conjugaison d’une courbe de remous

8.3.1 Données du problème

♣ Exemple. – On considère un aménagement composé :

– d’un réservoir avec une vanne de 2 mètre de hauteur laissant passerun débit q = 10 m/s2 en O ;

– d’un coursier en pente raide (i1

= 5 %) et moyennement rugueux(coefficient de Chézy C = 50 m1/2.s−1), d’une longueur de 10 m entreO et A ;

– d’un canal de pente douce (i1 = 0,2 %) et de même rugosité rugueuxque le coursier C = 50 m1/2.s−1, d’une longueur de 1000 m entre A etB ;

– d’un seuil d’une pelle p = 1 m en B.

Le coursier et le canal sont très larges.

O AB

p

5 % 0,2 %

D

Figure 8.3 : aménagement étudié (échelle de longueur non respectée).





8.3.2 Résolution du problème

On souhaite calculer la courbe de remous et notamment la position etles caractéristiques du ressaut. Pour cela on calcule les caractéristiques del’écoulement:

– pour le coursier, on est en régime supercritique (torrentiel) : hn = 0,92m, Fr0 = 1,12, Frn = 3,6 ;– pour le canal, on est en régime subcritique (fluvial): hn = 2,71 m,

Frn = 0,71.

Pour l’ensemble de l’aménagement, la hauteur critique est la même et vaut :

hc = 3

q2

g= 2,17 [m],

Connaissant la hauteur d’écoulement à l’amont du coursier (h = 2 m),

on peut calculer la courbe de remous en résolvant l’équation (7.4) numé-riquement. On trouve qu’en A, la hauteur vaut hA = 1,54 m. On peutensuite commencer à intégrer l’équation (7.4) pour le canal. Sans surprise,on trouve qu’il y a une transition critique au point C . On trouve numéri-quement xC = 90 m. Pour calculer la position du ressaut, on commence parcalculer l’autre branche reliant le point C à l’exutoire B. Au niveau du seuille débit est « contrôlé » par la hauteur de p (voir § 10.2) :

q =√

g

2

3(H − p)

3/2

[m2/s],

ce qui implique que la charge totale H doit s’adapter à l’amont du seuilpour laisser transiter le débit q. On trouve qu’au voisinage de B, la chargeH doit valoir H = 3,73 m, d’où l’on déduit que la hauteur avant le seuildoit être de hB = 3,25 m. On calcule alors la courbe de remous entre A etB en résolvant l’équation (7.4) avec la condition à l’aval h = hB en B.

La position du front est trouvée en recherchant l’intersection de la courbeconjuguée (tracée en tireté sur la figure) de la courbe de remous AC avec lacourbe de remous émanant de D. On trouve que l’intersection se fait en D’de coordonnée: xD = 24 m. On relie les deux courbes de remous émanant

de A et celle venant de B en considérant qu’elle se rejoignent au point D etqu’en ce point elles subissent un saut représenté par le segment DD’ sur lafigure 8.4.





0 50 100 150 200

x

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

3.25

h

O

A

D’

D

C

Figure 8.4 : courbes de remous : solution donnée par l’équation (7.4) (courbe continue),courbe conjuguée (trait discontinue), et position du ressaut (courbe en gras).





8.3.3 Résolution assistée

1. On commence par calculer les caractéristiques hydrauliques dans lesdeux biefs.

In[9]:= q = 10;

Ch = 50;

i1 = 0.05;

hn1 = Hqê ChêSqrt@i1DL^H2ê3L

Frn = q êhn1^1.5ê[email protected]

hc = Hq^2ê9.81L^H1ê 3L

Fr1 = q ê2^1.5ê [email protected]

Out[12]= 0.928318

Out[13]= 3.56961

Out[14]= 2.16825

Out[15]= 1.12881

In[17]:= i2 = 0.002;

hn2 = Hq êChêSqrt@i2DL^H2ê 3L

Fr2 = q êhn2^1.5ê[email protected]

Out[18]= 2.71442

Out[19]= 0.713922

exemple.nb 1

2. On calcule la ligne d’eau dans le bief OA. On note que la hauteur enA vaut 1,54 m, donc elle est supérieure à la hauteur normale, maisinférieure à la hauteur critique, ce qui veut qu’en A l’écoulement est

toujours supercritique.

In[14]:= eqn1 = NDSolve@

8h '@xD i1 H1 − Hhn1 ê h@xDL ^ 3L ê H1 − Hhc ê h@xDL ^ 3L, h@0D 2<, h@xD, 8x, 0, 100<D

des0 = Plot@Evaluate@h@xD ê. eqn1D, 8x, 0, 10<D;

hs = Evaluate@h@xD ê. eqn1D@@1DD ê. x → 10

Out[14]= 88h@xD → InterpolatingFunction@880., 100.<<, <>D@xD<<

2 4 6 8 10

1.6

1.7

1.8

1.9

Out[16]= 1.53911

exemple.nb 1

3. On calcule la ligne d’eau dans le bief AB. Au point C, la routine decalcul s’arrête car une singularité est détectée (dénominateur tendantvers l’infini dans l’équation 7.4).





In[20]:= eqn2 = NDSolve@

8h '@xD i2 H1 − Hhn2 ê h@xDL ^ 3L ê H1 − Hhc ê h@xDL ^ 3L, h@10D hs<, h, 8x, 10, 600<D

xl = Flatten@h ê. eqn2 ê.

HoldPattern@InterpolatingFunction@x__, y___DD → xD@@2DD

des1 = Plot@Evaluate@h@xD ê. eqn2D, 8x, 10, xl<, PlotRange → 80, 3<D;

NDSolve::ndsz :

At x == 90.30048673927307`, step size is effectively zero; singularity or stiff system suspected. Plus…

Out[20]= 88h → InterpolatingFunction@8810., 90.3005<<, <>D<<

Out[21]= 90.3005

20 40 60 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

exemple.nb 1

4. On calcule la courbe conjuguée de la ligne d’eau dans le bief AB.

In[26]:= conj@h_D := 1 ê 2∗ h∗HSqrt@8 ∗Hq ê h^1.5 ê [email protected] ^ 2 + 1D − 1L

des2 = Plot@conj@HEvaluate@h@xD ê. eqn2D@@1DDL,

8x, 10, xl<, PlotRange → All, PlotStyle → [email protected], 0.01<DD;Show@des0, des1, des2D;

40 60 80

2.4

2.6

2.8

20 40 60 80

1.6

1.8

2.2

2.4

2.6

2.8

exemple.nb 1

5. On calcule les caractéristiques hydrauliques au niveau du seuil.





In[38]:= p = 0.5;

g = 9.81;

Hf = HqL^H2ê 3L ∗3ê2ê q ^H1ê 3L + p êê N

sol = h ê. Solve@h + Hq êhL^ 2ê2êg Hf, hD

q êsol@@3DD^1.5êSqrt@gD

Out[40]= 3.73165

Out[41]= 8−1.03415, 1.51706, 3.24874<

Out[42]= 0.545248

exemple.nb 1

6. On calcule la courbe de remous dans le bief AB.

In[38]:= eqn3 = NDSolve@8h '@xD i2 H1 − Hh@xD ê hn2L ^ 3L ê H1 − Hh@xD ê hcL ^ 3L, h@1000D sol@@3DD<,

h, 8x, 1000, 10<D

xl2 = Flatten@h ê. eqn3 ê.

HoldPattern@InterpolatingFunction@x__, y___DD → xD@@1DD

des3 = Plot@Evaluate@h@xD ê. eqn3D, 8x, 1000, xl2<, PlotRange → AllD;

des4 = Plot@conj@HEvaluate@h@xD ê. eqn3D@@1DDL,

8x, 1000, xl2<, PlotRange → 80, 3<, PlotStyle → [email protected], 0.01<DD;

Out[38]= 88h → InterpolatingFunction@8810., 1000.<<, <>D<<

Out[39]= 10.

200 400 600 800 1000

2.9

3.1

3.2

200 400 600 800 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

exemple.nb 1

7. On peut tracer les courbes de remous et leur conjuguée. On note lasymétrie de la représentation graphique.





In[43]:= des = Show@des0, des1, des2, des3, des4, Frame → True, Axes → False, FrameLabel →

8StyleForm @" x " , F on tS iz e→ 18, FontSlant −> "Italic", FontFamily → "Times",

PrivateFontOptions→ 8"OperatorSubstitution"→ False<D,

StyleForm @" h ", FontSize → 18, FontFamily → "Times", FontSlant −> "Italic",

PrivateFontOptions→ 8"OperatorSubstitution"→ False<D<,

DefaultFont → 8"Times", 14<, ImageSize → 500D;

0 200 400 600 800 1000

x

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

3.25

h

exemple.nb 1

8. On calcule le point d’intersection entre la courbe de remous (l’une desdeux) et la conjuguée de l’autre courbe.

In[50]:= xr = x ê. FindRoot@

conj@HEvaluate@h@xD ê. eqn3D@@1DDL == Evaluate@h@xD ê. eqn2D, 8x, 10, 90<D@@1DD

FindRoot@conj@HEvaluate@h@xD ê. eqn2D@@1DDL == Evaluate@h@xD ê. eqn3D, 8x, 10, 90<D

Out[50]= 24.4385

Out[51]= 8x → 24.4385<

exemple.nb 1




Chapitre 9. Séance no 9 : équation de Bernoulli et ses applications 73

Chapitre

9Séance no 9 : équation de Bernoulli etses applications

9.1 Charge totale et charge spécifique

La charge totale hydraulique s’écrit :

H = y + h +u2

2g,

avec y la cote du fond. La charge totale représente l’énergie totale (énergiepotentielle + énergie piézométrique + énergie cinétique) traduite en termes

de hauteur (c’est-à-dire en divisant l’énergie par /g)Pour simplifier, on a négligé le terme cos θ devant h. La quantité

H s = h +u2

2g

s’appelle l’énergie spécifique et représente l’énergie du fluide à une cotedonnée (pression + énergie cinétique) ; la charge totale est donc la sommede la charge spécifique H s et de l’énergie potentielle y. Pour une pentedonnée, l’énergie spécifique est une fonction de la hauteur ou bien du débit.

9.1.1 Débit à charge spécifique constante

Si on écrit la charge spécifique comme une fonction du hauteur, on a :

H s(h) = h +q2

2gh2,

d’où l’on tire que le débit par unité de largeur q = uh vaut

q(h) = 2gh2(H s−

h).




74 Chapitre 9. Séance no 9 : équation de Bernoulli et ses applications

ou sous forme adimensionnelle

q∗ =q(h)

gH 3s=

2ξ2(1 − ξ), (9.1)

avec ξ = h/H s. Il s’agit d’une courbe en cloche asymétrique prenant savaleur maximale en ξ = 2/3 (h = 2H s/3) puisque

dq∗dξ

=2 − 3ξ√

2 − 2ξ= 0 pour ξ =

2

3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ξ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

q *

Fr 1 Fr 1

Figure 9.1 :

variation de l’énergie spécifique avec la hauteur d’écoulement.

Il s’ensuit que le débit ne peut pas prendre n’importe quelle valeur,mais varie entre 0 et qmax =

gh3 =

8gH 3s/27. On note que pour ce

débit maximal, on Fr = 1. Le débit maximal dans une section correspondau débit critique. On note également que pour un même débit, il existedeux hauteurs possibles, l’une en régime supercritique, l’autre en régimesubcritique.

9.1.2 Hauteur à charge spécifique constante

Si l’on se place à un débit donné 0 < q < qmax, l’énergie spécifique estune fonction de la hauteur :

H s(h) = h +q2

2gh2,

que l’on peut écrire également sous forme adimensionnelle en divisant parhc = 3

q2/g

H ∗ =H shc

= ξ +1

2

1

ξ2,





avec ξ = h/hc. La courbe correspondante est reportée à la figure 9.2; lecomportement de cette courbe est le suivant :

– quand h → 0, H s ∝ q2h−2 → ∞ : la charge diverge aux faibles pro-fondeurs ;

– quand h

→ ∞, H s

∝h : la charge spécifique tend asymptotique vers

la droite H s = h.

0 2 4 6 8

Ξ

0

2

4

6

8

H *

Fr 1 Fr 1

Figure 9.2 : variation de l’énergie spécifique avec la hauteur d’écoulement.

Le minimum de H s est atteint pour la hauteur critique puisque

dH ∗dξ

= 1 − 2

2

1

ξ3= 0 pour ξ = 1.

Le diagramme H s = H s(h) permet de raisonner qualitativement sur la formedes courbes de remous. Il faut pour cela bien distinguer le cas supercritiquedu cas subcritique. Considérons un régime subcritique sur une marche d’es-calier de hauteur p = zb − za.

marche

A

B

ah

bh

a z

b z

Figure 9.3 : courbe de remous sur une marche d’escalier en régime subcritique.





La charge totale se conservant, doit avoir une diminution de la chargespécifique de p

H A = H B = z + h +u2

2g⇒ H s(B) = H s(A) − p.

0 2 4 6 8

Ξ

2

3

4

5

6

7

8

H *

A

B

A’

B’

Figure 9.4 : variation de l’énergie spécifique avec la hauteur d’écoulement.

Sur la figure 9.4, on a représenté les états (xi = h/hc, H ∗) correspondantsaux points A et B. Le point B est obtenu en opérant une translation verticale

− p. On note que la hauteur hb en B est nécessairement plus faible qu’en A.

On peut reproduire le raisonnement dans le cas d’un régime supercritiqueet on trouve un résultat opposé: au passage d’une marche ascendante, lacourbe de remous est croissante (augmentation de la hauteur entre les pointsA’ et B’ sur la figure 9.4).

9.2 Courbes de remous obtenues par l’équa-tion de Bernoulli

L’équation de Bernoulli permet également de retrouver l’équation de re-mous. En différentiant la charge totale H par rapport à x et en introduisantla pente de frottement : jf = −dH/dx, on a :

− jf = i +dh

dx+

d

dx

q2

2gh2,

soit encore:dh

dx=

jf − i

Fr2 − 1,

comme précédemment avec les équations de Saint-Venant.





9.3 Effet d’un obstacle

9.3.1 Écoulement sur une topographie

Considérons un écoulement permanent de profondeur h0 et de vitesse u0

à la cote de référence z0 = 0. Le nombre de Froude associé à cet écoulementest F 0 = u0/√gh0. Sur le fond, il existe une protubérance de hauteur zm ;la cote du fond est donnée par une équation de la forme y = z(x).

h0

m z

Figure 9.5 : variation d’une ligne d’eau le long d’une protubérance.

La conservation de la charge implique d’après le théorème de Bernoulli

d

dx

u2

2g+ h + z

= 0,

tandis que la conservation du débit entraîne

d

dx(hu) = 0.

En tout point x, on a donc :

u2

2g+ h + z =

u20

2g+ h0 + z0,

qui peut se transformer en divisant par h0

1

2

F 0

h0

h

2

+h

h0

+z

h0

=1

2F 20 + 1. (9.2)

Il existe certaines contraintes quant à l’utilisation de cette équation pour

déterminer la ligne d’eau dans des cas concrets. En effet si on différentie(9.2) par x, on obtient

u2

gh− 1

dh

dx=

dz

dx,

ce qui montre que sur la crête de l’obstacle (z = zm, z = 0) on doit avoirF r = 1 (écoulement critique) ou bien h = 0. Notons aussi que si localementle nombre de Froude vaut 1, alors z = 0, ce qui veut dire que le nombre deFroude ne peut pas dépasser la valeur critique 1 (ou bien passer au-dessousde 1 si F 0 > 1) quand F 0 < 1. Un écoulement subcritique reste subcritique(et inversement pour un écoulement supercritique). Cela implique également





qu’il existe une hauteur maximale d’obstacle associée à un nombre de FroudeF r = 1 ; de l’équation (9.2), on tire en posant F r = 1 que

zmax

h0= 1 − 3

2F

2/30 +

1

2F 20 .

Lorsque zm > zmax, on ne peut appliquer aussi simplement le théorème deBernoulli et l’écoulement prend une forme beaucoup plus complexe, notam-ment avec la formation de ressaut et d’onde de part et d’autre de l’obstacle.

9.3.2 Dune

À partir de l’équation de conservation de la quantité de mouvement

∂ u

∂t+ u · u =

∂ u

∂t+

1

2 |u|2 + ( × u) × u = g− p + · σ,

on déduit qu’en régime permanent (∂ tu = 0) et pour un écoulement irrota-tionnel (( × u) × u = 0), la contrainte de cisaillement au fond (en y = 0)vérifie l’équation de bilan suivante

g sin θ +1

∂τ

∂y= g

∂H s∂x

, (9.3)

où on a introduit l’énergie spécifique :

H s = h cos θ +u2

2g,

et on a supposé que la pression était hydrostatique (ce qui se montre enconsidérant la projection selon y de la quantité de mouvement et en suppo-sant que les variations de hauteur sont faibles) : p = gh cos θ.

En régime permanent et uniforme, l’énergie spécifique est constante eton retrouve que la contrainte de cisaillement varie selon l’expression déjàvue dans le chapitre consacré au régime permanent uniforme

τ = τ p

1 − y

h

,

avec la contrainte au fond τ p = gh sin θ. On a reporté sur la figure 9.7 lavariation de l’énergie spécifique en fonction de la hauteur d’écoulement àdébit constant. L’effet d’une protubérance sur la contrainte de cisaillementdépend du régime d’écoulement. La présence d’une protubérance de hauteura modifie la surface libre de l’eau (voir Fig. 9.6). Elle induit donc le passageà un régime non uniforme. Recherchons comment varie la contrainte decisaillement de part et d’autre de la protubérance. On se placera dans le casd’un régime fluvial (le traitement du régime torrentiel est similaire).

En régime fluvial, en admettant que l’énergie totale (H s + y, avec y lacote du fond) se conserve, l’énergie spécifique au droit de la protubérance





Figure 9.6 : variation d’une ligne d’eau le long d’une protubérance. On a égalementreporté les variations de la contrainte de cisaillement selon que l’on est à l’amont ou àl’aval de la protubérance. La variation de la contrainte de cisaillement en régime nonuniforme est calculée à partir de l’équation (9.3).

H s= H

h

b r a n c h

e s u b

c r i t i q

u e

b r a n c h e

s u p e r c r i t i q u e

1

2

3

h2

h3

h1

hc

H 3

H s= H

1

Figure 9.7 : variation de l’énergie spécifique en fonction de la hauteur à débit constantpour le régime permanent uniforme établi loin de la protubérance. La courbe en pointillécorrespond à l’énergie spécifique au droit de la protubérance (déduite d’une translationverticale de a de la précédente). Les points 1, 2, 3 renvoient aux indices des hauteursd’écoulement. Dans le diagramme h − H , les courbes d’énergie spécifiques sont toutesparallèles et la distance entre deux courbes correspond à la différence d’énergie potentielle.

(point 3) doit être plus faible que l’énergie spécifique du régime uniforme(point 1). La différence entre les deux énergies vaut a. Comme l’indique lafigure 9.7, cela conduit à :

– sur la face amont de la protubérance, la contrainte de cisaillement prèsdu fond est plus forte qu’en régime uniforme;

– sur la face aval, la contrainte de cisaillement est plus faible près dufond que celle déterminée en régime uniforme.

Lorsqu’on est près des conditions critiques d’érosion pour le régime uni-forme, on en déduit que la face amont sera le lieu d’une érosion plus impor-tante et qu’inversement, la face aval sera le siège d’un dépôt (si la contraintepariétale est suffisamment faible). Lorsque le processus d’érosion et dépôt





de part et d’autre de la protubérance est opérant, on assiste au déplacementde la structure ainsi créée. On désigne en général par dune le nom de tellesstructures morphologiques, qui se déplace de l’amont vers l’aval.




Chapitre 10. Séance no 10 : rupture de barrage écoulements rapidementvariés 81

Chapitre

10Séance no 10 : rupture de barrageécoulements rapidement variés

10.1 Rupture de barrage

10.1.1 Solution de Ritter : recherche des solutions auto-similaires

Lorsqu’on néglige le frottement sur le fond et qu’on considère un fondhorizontal, les équations de Saint Venant s’écrivent

∂h

∂t+

∂hu

∂x= 0, (10.1)

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ g

∂h

∂x= 0. (10.2)

Dans le cas d’une rupture de barrage, les conditions initiales et aux limitessont les suivantes

−∞ < x < ∞, u(x,0) = 0,

x < 0, h(x,0) = hi,

x > 0, h(x,0) = 0.

(10.3)

On recherche une solution sous la forme d’une solution auto-similaire

u = tβ/αU (ζ ) and h = tγ/αH (ζ ),

avec ζ = x/tα la variable de similarité, H et U deux fonctions à déterminer.En replaçant u et h par leur forme auto-similaire dans les équations (10.1–10.2), on trouve : β +α = 1 and γ +2α = 2. Pour que cette solution satisfasseles conditions initiales et aux limites, on doit poser β = γ = 0, d’où α = 1.On aboutit alors à un système d’équation, qui mis sous forme différentielles’écrit

H U − ζ

U −

ζ g ·U

H = 0,




82Chapitre 10. Séance no 10 : rupture de barrage écoulements rapidement

variés

où le prime symbolise la dérivée selon ζ . Pour que ce système admette unesolution non triviale, il faut que son déterminant s’annule, ce qui conduità gH = (U − ζ )2. On substitute cette relation dans le système d’équationsci-dessus et on tire U = 2ζ/3, d’où U = 2(ζ + c)/3, où c est une constanted’integration, H = 4(c

−12

ζ )2/(9g). La constante c est trouvée en se servantdes conditions aux limites : c = √ghi. Retournant aux variables originales,on déduit finalement la solution dite de Ritter des équations de Saint-Venant

u(x, t) = u =2

3

x

t+ c

, (10.4)

h(x, t) =1

9g

−x

t+ 2c

2. (10.5)

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

Ζ

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

h

Figure 10.1 : profil de hauteur. Calcul réalisé avec c = 1 m/s. La variable de similaritéζ est ζ = x/t.

10.1.2 Solution de Whitham : prise en compte de larugosité du fond

En 1954, Whitham a proposé une méthode approchée pour calculer l’ef-fet du frottement sur le front. Loin du front, la solution de Ritter est valable.Les champs de vitesse et de hauteur donnés par

u =2

3

x

t+

gh0

et h =

1

9g

−x

t+ 2

gh0

2sont donc valables jusqu’au point B, d’abscisse x = xb(t). Pour la régionfrontale située entre xb et xa (position du front), Whitham suggère de nepas résoudre les équations mais d’intégrer les équations pour obtenir deséquations globales du front (méthode de Pohlhausen). Il considère notam-ment que dans la région frontale, la variation de vitesse est faible de telle

sorte que l’on peut écrite u(x, t) = u(t).





f 0 x

a x

AB

b x

Figure 10.2 : modification de la forme du front.

Notons que cette méthode intégrale ne permet pas de déterminer exac-tement la forme de la surface libre, mais il est possible d’en avoir une idéeen faisant un simple bilan de quantité mouvement près du front. En effet,en négligeant l’inertie du fluide au niveau du front, on tire que le gradientde pression doit contrebalancer le frottement

gh∂h

∂x= −cdu2(t),

or u(t) ≈ dxa/dt. D’où l’on déduit l’approximation :

h(x) =dxadt

2cd

g

xa(t) − x.

Pour obtenir les équations globales du fluide au niveau du front, on noteque:

– la vitesse au point de transition xb est ub − dxb/dt, où (ub, hb) sontles solutions de Ritter à gauche du point de transition B ;– le flux de masse M s’écrit ρhb(ub − dxb/dt) ;– le flux de quantité de mouvement est ρhbub(ub − dxb/dt).

L’équation globale du mouvement s’écrit donc

dP

dt= ρhbub

ub − dxb

dt

+ F +

1

2ρgh2

b ,

où P est la quantité de mouvement et F la force de frottement :

F = xax0

ρcdu2dx ≈ ρcdu2(xa − xb).

Par ailleurs, puisque la vitesse est supposée constante dans la zone frontale,on a P = Mub, or

dM

dt= ρhb

ub − dxb

dt

,

avec xb = c0(3ub/(2c0) − 1)t et hb = h0(1 − ub/(2c0))2 d’après la solution deRitter. L’intégration donne

M = ρh0c01 −ub

2c03

t.





variés

Notons que l’on peut trouver ce résultat directement en faisant remarquerque, dans la solution de Ritter M =

xf xb

ρhdx (il n’y a pas de variation demasse, juste un changement de la surface libre et une vitesse front moinsgrande). On déduit la vitesse :

M dubdt

=12

ρgh2b − ρcdu2

b(xa − xb).

Introduisant les variables sans dimension η = cd/h0(xf −xa) et τ =

g/c0cdt,on tire :

4τ ηη + η4 = 16(2 − η)2(3ητ − 2η).

On s’est servi du fait que dans le front la vitesse est constante et égale àxa : ub = xa ; de plus on peut aussi interpréter la vitesse du front en termesde vitesse relative η en posant: xa = c0(2

−η). On ne peut pas résoudre

directement cette équation numériquement car en τ = 0 le terme η tendvers une limite impropre. Il faut déterminer cette limite. Pour cela on vaconsidérer ce qui se passe au premier ordre en τ = 0. On pose η = K (τ ) =Aτ n et on cherche n et A. En reportant cela dans l’équation on trouve aupremier ordre n = 4/3 et A = 3×32/3/141/3 ≈ 2.58916. On trouve donc queη → ∞ quand τ → 0. On peut de là résoudre numériquement l’équationavec comme condition initiale η(ε) = K (ε) et η(ε) = K (ε) où l’on choisit εtrès proche de 0 (typiquement ε = 10−6). On obtient la courbe reportée surla figure 10.3.

On pourrait chercher le développement asymptotique plus loin en écri-

vant η = Aτ n + Bxm + · · · , mais cela ne marche pas. On ne peut pas fairede développement de Taylor en 0 car les dérivées d’ordre 2 ou supérieuresdivergent. En fait, comme le montre la solution numérique, très rapidementη devient linéaire; il ne sert donc à rien de chercher un développementpolynômial vu que l’ordre 1 (x4/3) a une pente plus forte que 1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Η

Figure 10.3 : comparaison de la solution numérique (courbe continue) et de l’approxi-

mation asymptotique en τ = 0.





Il faut plutôt rechercher la solution sous la forme d’une fonction ra-tionnelle (approximation de Padé). Recherchons donc une solution sous laforme:

η =Ax4/3

1 + Bxn.

B = 4×422/3/59 ≈ 0.81917 et n = 1/3. On obtient la courbe à tiret mi-longde la figure 10.4. Si on pousse à un ordre supérieur, on obtient :

η =Ax4/3

1 + Bx1/3 + Cx2/3,

avec C ≈ 0.204158. On obtient la courbe à tiret long de la figure 10.4,donnant un accord encore meilleur avec la courbe numérique.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Η

Figure 10.4 : approximations successives de la solution.

On obtient ainsi l’approximation au premier ordre quand t est petit:

ua =dxadt

=

gh0

2 − 3.452 3

cd t

g

h0

.

Aux temps très longs, on peut recherche un nouveau développement asymp-totique. La solution numérique nous pousse à rechercher une solution sousla forme η = ατ + β . Injectant cette forme dans l’équation différentielle,puis prenant τ → ∞, on trouve que β = 2. Donc, on aboutit à l’expressionasymptotique :

ua =dxadt

=

gh0

h0

2cdt.

10.2 Écoulements rapidement variés

On parle de régime rapidement varié lorsque les caractéristiques de

l’écoulement varient sur de courtes distances. Typiquement cela se produit





variés

lorsque:

– les conditions hydrologiques changent rapidement: l’arrivée soudained’eau provoque une augmentation très rapide de la hauteur et du débitd’eau et cette augmentation est d’autant plus rapide que les pentes

sont fortes ;– un obstacle (déversoir, barrage, seuil, dérivation, etc.) ou une singula-

rité (variation brutale de section, etc.) provoque une variation brutalede la courbe de remous, souvent accompagnée d’une forte dissipation(création de ressaut, zone de recirculation, zone morte, etc.).

Les écoulements rapidement variés sont souvent associés

– à des changements de régime super-critique → sub-critique (torren-tiel/fluvial), donc à des ressauts,

– à des changements de régime sub-critique → super-critique (fluvial/torrentiel),donc à des chutes,

ce qui permet de dissiper l’excédent d’énergie.

En pratique, on force le développement d’un régime graduellement variépour:

– augmenter la dissipation d’énergie (bassin de dissipation d’un bar-rage);

– mesurer le débit dans une section donnée (canal jaugeur de type Par-

shall, Venturi) ;– maîtriser/assurer/contrôler un débit (déversoir, seuil, vanne).

Il n’est en général pas possible de traiter un écoulement rapidementvarié autour de singularités (élargissement brutal par exemple) à l’aide deséquations de Saint Venant. Pour traiter un écoulement rapidement varié, ilfaut:

– pour des transitions super-critique → sub-critique, passer par des mé-thodes globales sur des volumes de contrôle (voir § 8.2 sur le ressaut) ;

– pour des transitions sub-critique → super-critique, utiliser l’approcheénergétique (calcul des courbes de remous par le théorème de Ber-noulli). Cela permet d’aboutir à des solutions en utilisant des formulesempiriques pour décrire les pertes de charge locales induites dans lesécoulements rapidement variés. Par exemple, un élargissement brutalpeut être traité avec la formule de Borda.

Le couplage des méthodes (Saint Venant + Bernoulli) est possible selonles cas de figure.

♣ Exemple. – Débit d’un déversoir à seuil épais

Un seuil permet de « contrôler » un débit (voir figure 10.5).





p

ch

h

Figure 10.5 : Passage d’un seuil.

Si le seuil est suffisamment épais, la hauteur d’écoulement au niveau dela crête du seuil est nécessairement égale à la hauteur critique, c’est-à-dire

hc =

q2

g 1/3

,

avec q le débit par unité de largeur à l’amont du seuil. La charge totale auniveau du seuil vaut donc :

H = hc +q2

2gh2c

+ p,

avec p la « pelle » (hauteur de seuil). Dans le cas d’un fluide parfait, la chargeau niveau du seuil est égale à la charge calculée à l’amont H = u2/(2g) + h,avec u = q/h la vitesse moyenne. En égalant les deux charges totales, ondéduit:

q = √g2

3(H − p)

3/2.

En pratique, l’approximation de fluide parfait n’est pas très bonne et onemploie à la place la formule empirique :

q = C D√

g

2

3(H − p)

3/2

,

avec C D le coefficient de débit. Ce coefficient dépend de la géométrie duseuil (épais, à paroi mince) et de la géométrie d’écoulement (seuil dénoyé,

noyé).





variés




Chapitre 11. Séance no 11 : Propagation d’ondes 89

Chapitre11Séance no 11 : Propagation d’ondes

11.1 RappelsOn distingue:

– les ondes dynamiques , dont la dynamique est gouvernée par l’équationde conservation de la quantité de mouvement ;

– les ondes cinématiques , dont la dynamique est régie par l’équation deconservation de la masse.

11.1.1 Onde dynamique

Les ondes dynamiques se présentent souvent sous la forme d’une solutionà une équation différentielle de la forme :

∂ 2f

∂t2= c2

∂ 2f

∂x2, (11.1)

avec c la vitesse phase. Cette forme n’est pas exhaustive ; par exemple, onva voir plus loin que l’équation des ondes de surface s’écrit :

∂ 2f

∂t2 = −g

∂f

∂y .

On recherche souvent les solutions sous la forme d’harmoniques :

f (t) = A exp[ı(kx − ωt)],

où A est l’amplitude , k le nombre d’onde (λ = 2π/k est la longueur d’onde ),ω la fréquence angulaire . L’équation différentielle est linéaire, ce qui impliqueque toute combinaison de solutions est également solution (principe de su-perposition). Il existe deux sens de propagation :

– onde progressive f = f (x − ct) : l’onde va dans le sens x > 0 ;




90 Chapitre 11. Séance no 11 : Propagation d’ondes

– onde régressive f = f (x + ct) : l’onde va dans le sens x < 0.

Une onde stationnaire résulte de la superposition d’une onde régressive etd’une onde progressive de même amplitude. Dans ce cas, la dépendance entemps disparaît. Le plus souvent, la fréquence angulaire est trouvée être

une fonction du nombre d’onde: ω = ω(k). La relation correspondanteest appelée « relation de dispersion » car elle traduit commet un paquetd’ondes de longueur d’onde différente se disperse. En effet, pour bien desphénomènes physiques, plus la longueur d’onde est petite (donc le nombred’onde k grand), plus la vitesse de phase est grande; la fonction ω(k) estalors croissante.

On introduit également la vitesse de groupe cg = ω(k) : lorsqu’un grouped’ondes de même amplitude, mais de fréquence angulaire différente (maisvariant dans une plage étroite de valeurs) se déplace, la vitesse moyenne depropagation de l’énergie est appelée « vitesse de groupe ».

11.1.2 Onde cinématique

Considérons le cas d’un écoulement permanent dans une rivière. Il existedonc une relation u(h) en toute section de cette rivière; par exemple u =k√

h si une formule à la Chézy est employée. Supposons que l’écoulementsoit capable de s’adapter rapidement face à de petites perturbations. Celasignifie que, malgré la perturbation (par exemple, la hauteur a cru légère-ment), la relation u(h) est toujours valable. La perturbation va se propager.D’après l’équation de continuité (10.1), on a :

∂h

∂t= −∂hu

∂x= −∂h

∂x(u + hu) ,

d’où si l’on note c(h) = u + hu la célérité de l’onde cinématique, on tire :

∂h

∂t+ c(h)

∂h

∂x= 0.

De même, si l’on multiplie cette équation par ∂u/∂h, on tire :

∂u

∂t

+ c(h)∂u

∂x

= 0.

Vitesse et hauteur sont donc toutes deux solutions de la même équationdifférentielle :

∂f

∂t+ c

∂f

∂x= 0,

La solution générale est de forme f (x − ct) : il s’agit d’une onde progressive(« travelling wave » en anglais) qui ne se propage que dans un seul senscontrairement aux équations dynamiques.

Les ondes cinématiques ne sont en fait que des approximations des ondesdynamiques lorsque les propriétés dynamiques de la transmission d’onde

sont négligeables. Leur avantage par rapport aux ondes dynamiques réside





principalement dans un traitement mathématique allégé. Les ondes de cruedans les gros cours d’eau peuvent souvent être traitées dans le cadre desondes cinématiques.

11.1.3 Déformation des ondesUne des principales difficultés du calcul des ondes réside dans la diversité

du comportement en temps et en espace. Une onde peut garder ou ne pasgarder la même forme, elle peut avoir une vitesse constante ou variable, ellepeut coalescer avec d’autres ondes qu’elle rencontre ou bien au contrairegarder son individualité propre (soliton), elle peut être stable ou bien deve-nir instable, elle peut parcourir de grandes distances ou bien être amortierapidement sur de courtes distances, elle peut se présenter sous la forme deplusieurs harmoniques ou bien être une intumescence de forme quelconque,etc.

Sur le plan du calcul théorique, il est commode de distinguer deux formesparticulières d’onde :

– les forme auto-similaires [voir figure 11.1 (a)]: l’onde ou l’intumescencese propage en gardant une similitude géométrique au cours du temps.On recherche des solutions auto-similaires de la forme :

h(x, t) = tαH (ξ),

avec ξ = x/tβ , α et β sont deux constantes.– les ondes simples de translation [voir figure 11.1 (b)] : il s’agit de la

translation d’une onde sans déformation. Les solutions sont recher-chées sont la forme :

h(x, t) = H (x − ct),

avec c la vitesse de l’onde. Une onde simple est une forme particulièrede solution auto-similaire pour laquelle α = 0 et β = 1.

h

x

1t

2t

3t

1t

2t

(a) (b)

Figure 11.1 : Onde auto-similaire.

Dans les autres cas (voir figure 11.2), la forme de l’onde ne se conserve

pas au cours du temps et il faut recourir à des outils mathématiques ou





numériques plus complexes pour déterminer la vitesse de l’onde et ses ca-ractéristiques.

1t

2t

Figure 11.2 : Onde non linéaire.

11.2 Ondes dynamiques : ondes de surface

Les ondes dues à la gravité (gradient de pression) provoque des ondes dy-namiques à la surface des écoulements. On parle d’onde de gravité ou onde

de surface . Leurs caractéristiques générales peuvent se déduire en consi-dérant en première approximation que les effets visqueux sont d’influencenégligeable sur la propagation de ces ondes.

11.2.1 Calcul approximatif

Une des caractéristiques souvent rencontrées pour les ondes est qu’ellestransmettent une information, une énergie, etc., mais ne sont pas associées

à un mouvement des particules. Ce phénomène est bien visible à la surfaced’un lac ou d’une mer: les vagues ne sont pas associées à un transport departicule. Ainsi, une bouée à la surface de l’eau est soulevée, puis rabaissée,mais reste grosso modo à la même place.

Considérons donc une intumescence d’épaisseur η se déplaçant à la sur-face d’une nappe d’eau peu épaisse (profondeur h0) et au repos. Si on sup-pose que cette onde n’induit pas de transport de fluide durant son mouve-ment, alors le débit doit être nul d(ηu) = 0. Considérons l’équation (10.1)de continuité des équations de Saint Venant

∂h∂t

+ ∂hu∂x

= 0,

avec h = h0 + η, soit encore

∂η

∂t+ h0

∂ u

∂x= 0,

(compte tenu de d(ηu) = 0). L’équation de conservation de la quantité demouvement (10.2) s’écrit :

∂ u

∂t + u

∂ u

∂x = −g

∂h

∂x −τ ph.





En linéarisant l’équation (c’est-à-dire en supprimant le terme convectif u∂u/∂xen supposant que la vitesse induite par la vague est faible) et en considérantun fluide parfait (τ p = 0), on tire:

∂ u

∂t=

−g

∂η

∂x.

En combinant équation de la masse et équation linéarisée de quantité demouvement, on tire que :

∂ 2u

∂t2= gh0

∂ 2η

∂x2,

ce qui montre que la vitesse de l’intumescence satisfait l’équation typiquedes ondes dynamiques vue (11.1) avec c =

√gh0.

On peut aboutir au même résultat sans passer par l’approximation deSaint Venant, ce qui permet de calculer la vitesse des ondes lorsque la profon-deur d’eau est quelconque. C’est ce que l’on va voir maintenant en considé-rant les équations locales du fluide parfait au lieu des équations moyennées.

η

0h

Figure 11.3 : Déplacement d’une intumescence à la surface de l’eau (au repos).

11.2.2 Calcul plus complet

Si l’on considère un mouvement d’une onde provoquant une variationde la surface libre d’un fluide parfait initialement au repos (pas de mouve-ment hormis celui induit par l’onde), les équations du mouvement sont leséquations d’Euler :

· u = 0,

du

dt= g − 1

p.

On introduit le potentiel des vitesses φ : u = φ. L’équation de conservationde la masse devient alors :2φ = 0,

(appelée équation de Laplace) tandis que l’équation de quantité de mouve-ment 1

∂ φ

∂t+

1

2 (φ · φ) = g− 1

p,

soit encore:∂φ

∂t+

1

2φ · φ = −ψ − 1

p,

1. On s’est servi de u× ( × u) = ( 12u · u) − u · u.





avec ψ le potentiel gravitaire (g = −ψ); on reconnaît une variante del’équation de Bernoulli. Recherchons des solutions sous forme d’onde pro-gressive :

φ(x, y, t) = F (x − ct)G(Y ).

Le report dans l’équation 2

φ = 0 donne:F

F = −G

G= −k2,

dont la solution générale est :

F = A cos(x − ct) + B sin(x − ct) et G = Ceky + De−ky.

Pour déterminer la relation de dispersion, il faut prendre en compte l’équa-tion de Bernoulli, qui va considérée à la surface libre y = h(x, t) de tellesorte que le terme de pression ( p = 0) puisse être omis. De plus, si on neretient que les termes de premier ordre (c’est-à-dire on néglige φ ·φ), ontire:

∂φ

∂t= −gh. (11.2)

De plus, à la surface libre, on a la condition :

v =dy

dt=

dh

dt

or v = ∂φ/∂y et u = ∂φ/∂x, d’où l’on tire:

∂φ∂y

= ∂h∂t

+ ∂φ∂x

∂h∂x

≈ ∂h∂t

.

En différentiant (11.2) par rapport à t, puis en reportant l’expression de∂h/∂t déterminée dans la condition sur v à la surface libre, on tire:

∂ 2φ

∂t2= −g

∂φ

∂y.

C’est l’équation des ondes de surface d’un courant d’eau. La relation dedispersion est obtenue en reportant l’expression de F et G. Après calcul, onobtient :

c2 =ω

k

2=

g

ktanh kh.

On peut faire les remarques suivantes :

– la vitesse apparaît au carré, donc on peut déterminer deux vitesses(une négative, l’autre positive) avec des sens de propagation opposés ;

– en eau peu profonde (c’est-à-dire h λ), on tanh kh ≈ kh, d’où l’ontire: c = ±√

gh. C’est la vitesse critique (correspondant à Fr = 1).Toutes les ondes de surface ont la même vitesse de propagation quelle

que soit leur longueur d’onde λ ;





– en eau profonde (c’est-à-dire h λ), on tanh kh ≈ 1, d’où l’on tire:c = ±

gλ/(2π). La vitesse des ondes de surface dépend de la longueur

d’onde λ. Ces ondes sont désignées sous le terme général de houle .

Dans le cas des cours d’eau, on est dans le premier cas de figure (eaux

peu profondes). Si on réitère le raisonnement précédent pour un fluide enécoulement à la vitesse moyenne u, la célérité des ondes est calculée parrapport à la vitesse moyenne u : les ondes de gravité se propagent donc à lavitesse c = u ± √

gh, soit encore:

c =

gh(Fr ± 1),

avec Fr = u/√

gh le nombre de Froude. On tire le résultat important:

– en régime fluvial Fr < 1, les ondes se propagent d’amont vers l’avalet d’aval vers l’amont. L’information se propage dans les deux sens.

Une modification de l’écoulement se produit à l’amont est répercu-tée à l’aval et, de même, la modification des conditions d’écoulemententraîne une modification de ce qui se passe à l’amont une fois quel’onde a remonté l’information ;

– en régime torrentiel Fr > 1, les ondes se propagent d’amont vers l’avaluniquement. L’information ne se propage que dans le sens de l’écou-lement. Il n’y pas de « contrôle » aval, c’est l’amont qui dicte ce quise passe dans le bief.

11.3 Ondes cinématiques : ondes de crueDans le cas d’une crue lente (typiquement ce qui se passe pour de grands

bassins-versants), les termes inertiels jouent un rôle faible dans la propaga-tion des ondes. On peut, en première approximation, considérer qu’en toutesection la vitesse d’écoulement s’adapte immédiatement à tout changementde profondeur. Autrement dit, la relation u = u(h) obtenue en régime per-manent reste valable.

Dans ce cas-là, dit « approximation d’onde cinématique », on peut calcu-ler les caractéristiques de l’onde de crue à l’aide de l’équation de continuité.

Prenant l’exemple d’une courbe de tarage fondée sur le nombre de Chézy,c’est-à-dire u(h) = C

√h, avec C le nombre de Chézy, on tire de :

∂h

∂t+

∂hu

∂x= 0,

la relation∂h

∂t+ c(h)

∂h

∂x= 0,

avec c = u + hu = 32

C √

h la vitesse de propagation de l’onde : on note quel’onde de crue se déplace plus rapidement que l’écoulement moyen (50 %

plus vite si une loi de Chézy est employée) et elle se déplace d’autant plus





vite que la hauteur est grande. Pour un canal de section quelconque, onpeut montrer que la célérité des ondes est donnée par :

c =∂Q

∂S ,

avec Q le débit total et S la section mouillée (formule de Seddon).

11.4 Résolution numérique

La plupart du temps, les équations du mouvement doivent être résoluesavec un ordinateur à l’aide de schémas numériques spécifiques. La princi-pale difficulté à résoudre est la gestion des discontinuités éventuelles de lasolution. Plusieurs stratégies de calcul ont été proposées :

– Méthode de discrétisation des équations : méthode des éléments finis,méthode des volumes finis, etc. ?

– Méthode de maillage du domaine : résolution lagrangienne2 ou eulé-rienne 3.

– Méthode de gestion des discontinuités : différentes méthodes ( front

tracking , shock-capturing , etc.) ont été développées pour détecter et/ousuivre une discontinuité de la solution.

La plupart des méthodes modernes se fondent sur l’utilisation de la méthodedes caractéristiques, que nous allons exposer ici brièvement. Son expositioncomplète nécessiterait de traiter de façon plus complète les invariants de

Riemann, les ondes de choc et de détente, etc., ce qui est bien au-delà del’objectif du présent ouvrage; on se contentera d’un exposé général. Leséquations de Saint-Venant peuvent se mettre sous la forme :

∂ u

∂t+ A

∂ u

∂x= B, (11.3)

où l’on a introduit le vecteur U = (h, u), la matrice A, et le vecteur B :

A =∂ F

∂ U=

u h

g cos θ u

et B =

0

− τ p

+ gh sin θ

.

La matriceA possède deux valeurs propres λi(U) = u±c, avec c = √gh cos θ(c représente la vitesse caractéristique de propagation des ondes à la surfacelibre), associées aux vecteurs propres à gauche vi = (±c/h, 1) : viA = λivi.Si on multiple l’équation (11.3) par vi, on tire :

vi ·

∂ U

∂t+ λi

∂ U

∂x

= vi ·B.

2. On a un maillage fixe (éventuellement en translation pour suivre le mouvementmoyen) et, pour une cellule donnée, on examine les bilans de masse et de quantité demouvement.

3. La cellule de calcul est similaire à un volume élémentaire transporté par l’écoule-

ment.





t

x

t t + ∆

t

1λ 2

λ

M

PQ

2Γ 1

Γ

P'

Figure 11.4 : Principe de résolution numérique par la méthode des caractéristiques.

Soit Γi la courbe dite caractéristique dont l’équation dans un plan x − tvérifie dxi(t)/dt = λi ; pour toute fonction f prenant ses valeurs sur cettecourbe, on a

df (xi(t), t)

dt=

∂f

∂x

dxidt

+∂f

∂t=

∂f

∂t+ λi

∂f

∂x.

On déduit que l’équation précédente peut se mettre sous la forme simplifiée :

vi · dU

dt

x=xi(t)

= vi ·B.

Ce qui nous intéresserait à ce niveau, c’est de pouvoir faire entrer le vecteurvi dans le terme différentiel ; il faut pour cela que le produit scalaire vi

·dU

forme une différentielle totale. Autrement dit, on cherche s’il existe unefonction ϕi telle que dϕi = vi · dU = c/hdh ± du. On voit facilementqu’effectivement une telle fonction existe ; elle vaut: ϕi = u±2c. On aboutitalors à la forme simplifiée :

dϕi

dt

x=xi(t)

= vi ·B.

L’interprétation en est simple : le long des courbes caractéristiques Γi, lavariation de ϕi = u

±2c est vi

·B ; si cette dernière quantité est nulle

(pas de frottement et fond horizontal), alors ϕi se conserve le long descourbes caractéristiques. Le principe de résolution numérique s’en déduitaisément. Admettons qu’au temps t on connaisse la solutionU(x, t) ; on veutmaintenant la calculer à l’instant t + ∆t (point M sur la figure 11.4). Plutôtque de travailler avec les variables u et h, on travaille avec les variablesϕi. On peut tracer deux caractéristiques Γ1 et Γ2 issues du point M; cescaractéristiques coupent l’axe x au temps t aux points P et Q.

Au premier ordre (les sections de courbes PM et PQ sont alors dessegments de droite), on ∆ϕi = (vi · B)∆t. La valeur de ϕi en M est alorsincrémentée ϕi(P ou Q) + ∆ϕi. Connaissant ϕi en M, on fait le changement

de variable inverse pour retrouver u et h.





(a) (b) (c)

Figure 11.5 : Déformation d’une onde non linéaire jusqu’à la formation d’une disconti-nuité (choc). (a) État initial. (b) Déformation de l’onde (trait continu) par rapport àl’état initial (trait discontinu). (c) Déformation non admissible (tiret large) conduisant àla formation d’un choc (trait continu).

C’est le principe général pour résoudre des équations différentielles dela forme (11.3). En pratique, il faut tenir compte de problèmes de stabiliténumérique pour discrétiser correctement les équations et de la possibilitéd’apparition de chocs. En effet, si deux caractéristiques de la même famille

(Γ1 partant de P et P’ par exemple, voir figure 11.4) se croisent au pointM, alors on a affaire à un système qui aurait plusieurs valeurs possibles deu et h, ce qui n’est pas admissible pour une solution continue d’un point devue physique. La seule autre possibilité est que la solution soit localementdiscontinue : on dit qu’une onde de choc se forme. Cette formation d’un chocpeut se comprendre à l’aide de la figure 11.5: quand une onde se déplaceet se déforme non linéairement, il peut arriver qu’une partie de l’onde aittendance à vouloir aller plus vite que l’autre partie. Sur la figure 11.5(c),on note que plusieurs valeurs de hauteur seraient possibles, mais une tellesolution n’est pas possible car elle correspondrait à une vague déferlante ; onremplace alors la solution continue par une solution discontinue (ressaut).

Dans la plupart des algorithmes modernes de résolution des équationsdu mouvement (11.3), le traitement de ces discontinuités est prise en compteà l’aide de techniques spécifiques (solveurs de Riemann, de Roe, etc.).


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