Upload
sadok-kzadri
View
113
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Cours Hydraulique Generale_chap 1 Et Chap 2
Citation preview
Chapitre 1 : Introduction
Chapitre 1 : INTRODUCTION
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 1 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
Chapitre 2 : Hydrostatique
Nous nous proposons dans ce chapitre d’étudier l’équilibre des fluides dans un champ de force
par rapport à un référentiel donné. Dans cette situation, le cisaillement est nul en tout point
du fluide et le tenseur des contraintes se réduit au tenseur des contraintes de pression.
)(ℜ
____________________________________________________________________________________________________________________
2.1 Equation de l’hydrostatique
L’équation de l’hydrostatique peut être déduite de l’équation générale de conservation de la
quantité de mouvement écrite sous sa forme locale, en considérant le fluide au repos. Ceci revient
à imposer . Cette équation s’écrit : 0=V
0p =ρ+− f∇ (2-1)
Où f est la densité massique de la force à distance exercée dans le référentiel . L’état
hydrostatique est dit absolu ou relatif selon que le référentiel
)(ℜ
)(ℜ soit galiléen ou non.
2.1.1 Etat hydrostatique absolu : Loi de l’hydrostatique dans un
référentiel galiléen
Ce cas est rencontré dans la majorité des situations pratiques où on investigue des systèmes
hydrauliques liés à la terre. On se réfère dans ce cas à un repère lié à la terre supposé Galiléen.
Les seules forces à distance exercées sur le fluide sont l’attraction gravitationnelle et donc f
s’identifie à g. l’équation de l’hydrostatique (2-1) s’écrit :
gρ=p∇ (2-2)
Cette équation montre un équilibre entre gradient de pression et poids : Dans un fluide au repos
absolu, le gradient de pression contrebalance l’effet de la pesanteur (la loi de Pascal). Si on
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 1 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
choisit un repère orthonormé directe tel que l’axe (O ; e);;;O(R zyx eee z) soit dirigé selon la
verticale ascendante. Le champ d’attraction universelle g s’écrit :
zgeg −= ( g > 0 ) (2-3)
En système de coordonnées cartésiennes, l’équation (2-2) se réduit à :
0xp=
∂∂ (2-4)
0yp=
∂∂ (2-5)
gzp
ρ−=∂∂ (2-6)
Les deux équations (2-4) et (2-5) montrent que les plans horizontaux constituent des surfaces
isobares. Tandis que l’équation (2-6) montre que le profil vertical de la pression dépend de la
variation de la masse volumique : le profil vertical de la pression diffère selon que le fluide soit
incompressible (cas des liquides tels que l’eau par exemple) ou compressible (cas des gaz,
l’atmosphère à titre d’exemple).
2.1.2 Etat hydrostatique relatif : Loi de l’hydrostatique dans un
référentiel non galiléen
2.1.2.1 Exemple 1 : Equilibre d’un liquide dans un réservoir en accélération
uniforme
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 2 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
2.1.2.2 Exemple 2 : Equilibre d’un liquide dans un réservoir cylindrique en
rotation autour de son axe
____________________________________________________________________________________________________________________
2.2 Distribution hydrostatique de la pression dans
un fluide incompressible
Pour un fluide incompressible la masse volumique reste constante, l’intégration de l’équation
(2-6) permet d’écrire :
CtezgP +ρ−= (2-7)
L’équation (2-7) montre que le taux de variation de la pression avec la profondeur est le même
quelque soit le point de départ. Ce taux est de 1 bar tout les 10 mètres dans le cas de l’eau.
D’autre part, la pression est définie à une constante près. Le choix de la constante définit la
pression absolue ou relative.
2.2.1 Pression absolue – pression relative
La pression absolue est définie telle que la pression nulle correspond à celle dans le vide. La
pression absolue est alors toujours positive. Par rapport à l’atmosphère, c’est dans la zone située
hors de la couche atmosphérique où la pression absolue est nulle. Dès qu’on commence à pénétrer
dans l’atmosphère la pression absolue commence à croître jusqu’à atteindre la pression
atmosphérique au niveau de la surface de la mer ( ). atmP Pa10bar1P 5atm =≈
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 3 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
La pression relative est définie par rapport à une origine correspondant à la surface libre de la
mer. La pression relative atmosphérique est alors nulle. Elle peut être négative (situation de
dépression) et la valeur limite minimale atteinte par la pression relative est égale à . atmP−
2.2.2 Exemple 1 : Baromètre à mercure
2.2.3 Exemple 2 : Manomètre
____________________________________________________________________________________________________________________
2.3 Distribution hydrostatique de la pression dans
un fluide compressible : cas des gaz
Contrairement aux liquides, les gaz sont caractérisés par des coefficients de compressibilité
isothermes relativement importants. La masse volumique dépend des deux variables d’état : la
pression et la température et elle doit être exprimée dans l’équation (2-6) à l’aide d’une équation
d’état. A titre d’exemple, si on adopte l’équation d’état des gaz parfaits, la masse volumique
s’écrit comme suit :
Tp)
RM(=ρ (2-8)
où R est la constante des gaz parfaits et M est la masse molaire de l’air (voir cours hassen saidi).
2.3.1 Exemple : Profil vertical de la pression atmosphérique
En adoptant l’équation d’état des gaz parfaits pour l’air, l’équation (2-6) s’écrit :
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 4 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
p)RTMg(
dzdp
−= (2-9)
Ce qui revient à écrire :
dz)RTMg(
pdp
−= (2-10)
En intégrant cette équation entre deux points 1 et 2 :
∫ −=2
1
2
1 Tdz)
RMg(
pdp
∫ (2-11)
Si l’atmosphère est supposée isotherme maintenue à une température , l’équation (2-11)
permet de déduire une variation exponentielle de la pression entre les points 1 et 2 donnée par
l’expression :
0T
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−= )zz)(
RTMg(exp
pp
1202
1 (2-12)
Cependant, la température dans la troposphère (la première couche de l’atmosphère d’une
épaisseur de 11 km) n’est pas constante. Elle varie linéairement selon la relation :
BzTT 0 −= (2-13)
Où est une température mesurée au niveau de la mer et B est un coefficient égal au gradient
vertical de la température dans la troposphère. Ces deux grandeurs ont les valeurs suivantes :
0T
C15K16.288T0 °=°= (2-14)
m/K00650.0B °= (2-15)
En choisissant le point 1 au niveau de la surface de la mer ( atm1 PP = et ), l’intégration
de l’équation (2-11) s’écrit :
m0z1 =
∫ ∫ −−=
2
1
2
1 0 BzTdz)
RMg(
pdp (2-16)
Ce qui nous donne :
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 5 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= )z
TB1(Log
RBMg)
pp
(Log 20atm
2 (2-17)
Et par conséquent, le profil vertical de la pression dans la troposphère est donné par la loi
suivante :
)RBMg(
20atm
2 zTB1
pp
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (2-18)
2.4 Forces hydrostatiques exercées sur une paroi
Un problème largement rencontré dans le dimensionnement des ouvrages hydrauliques dont la
structure interagit avec l’écoulement, consiste à la force hydrostatique exercée par la retenue
d’eau sur les parois de l’ouvrage.
2.4.1 Cas d’une surface plane inclinée
Considérons une paroi plane de surface S contenue dans le plan (O ; ; ), inclinée d’un
angle θ par rapport à la surface libre de l’eau comme le montre la figure suivante.
xe ye
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 6 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
Figure :
La force hydrostatique exercée par l’eau (sur la face supérieure) est donnée par la forme intégrale
suivante :
zS
ds)M(pf e⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫ (2-19)
Où p est la pression hydrostatique distribuée linéairement sur la surface S. compte tenu du profil
de la pression hydrostatique, cette force s’écrit :
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 7 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
zS
M dsgh eF ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ= ∫ (2-19)
En introduisant la coordonnée spatiale longitudinale selon , cette force s’écrit : xe
z
xS
Sz
S
G
dsxsingdsxsing eeF
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
θρ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡θρ= ∫∫
321
(2-20)
Où G est le centre de gravité de la paroi plane. Cette relation fait apparaître l’intégrale de
surface : que l’on peut identifier comme suit : ∫S
dsx
GS
xSdsx =∫ (2-21)
D’où on déduit l’expression suivante de la résultante de la force hydrostatique exercée sur la
paroi :
[ ] [ ] zGzG ShgS)x(sing eeF ρ=θρ= (2-22)
L’expression (2-22) permet d’interpréter la résultante de la poussée de pression sur la paroi plane
comme étant la force qui s’exerce perpendiculairement à la paroi et dont la norme est égale au
poids de la colonne d’eau de section S et de hauteur la profondeur au niveau du centre de
masse G.
Gh
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 8 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
2.4.2 Cas d’une surface plane horizontale
2.4.3 Retour sur le cas d’une surface à forme quelconque
;;;;;;;
;;;;;;;
♦ Exemple 1: Force hydrostatique exercée sur le parement amont d’un barrage
poids triangulaire
,,,,,,,,
♦ Exemple 2 : Fonctionnement d’une vanne à régulation de niveaux dans deux
réservoirs
;;;;;;
____________________________________________________________________________________________________________________
2.5 Force hydrostatique exercée sur un corps
immergé : flottabilité
Beam
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 9 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
Chapitre 3 : Equations générales de
l’hydraulique
____________________________________________________________________________________________________________________
3.1 Introduction
Nous avons vu dans le premier chapitre que depuis l’apparition de l’hydraulique, en tant qu’un
savoir faire, elle consistait essentiellement aux connaissances techniques acquises au cours du
temps dans les pratiques sur terrain. Ce n’est que depuis le 19ème siècle qu’elle s’est basée sur les
développements connus en mécanique des fluides pour se fonder des bases scientifiques.
Dans ce chapitre, nous nous proposons d’introduire les principales équations de l’hydraulique
largement utilisées dans les applications pratiques des ingénieurs. Nous préciserons que ces
équations traduisent en effet les principes de conservation fondamentaux. Elles ne seront qu’une
reformulation des équations de bilans de la mécanique des fluides en termes de grandeurs
physiques ayant un intérêt dans les applications pratiques.
Dans le premier paragraphe, nous revenons sur les principales équations de la mécanique des
fluides. Dans le second paragraphe, nous introduirons des classifications des écoulements ainsi
que les critères choisis pour ces classifications. De telles classifications seront utiles du point de
vue des applications dans la mesure où elles permettent, pour un cas d’application réelle, de
l’identifier à l’une des classes des écoulements et par suite d’utiliser les équations
correspondantes dans l’étude du cas envisagé. Dans les troisième et quatrième paragraphes, nous
établirons les équations générales de l’hydraulique respectivement pour les écoulements en
charge et les écoulements à surface libre. Nous illustrerons dans les deux cas quelques exemples
d’application.
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 10 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
____________________________________________________________________________________________________________________
3.2 Ecoulements à surfaces libres
Les écoulements à surfaces libres sont caractérisés par une surface de séparation du liquide (de
l’eau en général) et de l’air où la pression est égale à la pression atmosphérique. Ils se produisent
dans des canaux et on distingue deux catégories de canaux : (gravitaire)
- Les cours d’eau naturels : se sont des ouvrages hydrauliques naturels qui transportent l’eau à
surface libre sur (ou sous) terre tels que les rivières, les fleuves ou les oueds. Les propriétés
géométriques de ces cours d’eau sont généralement assez irrégulières.
- Les canaux artificiels : se sont des ouvrages hydrauliques construits par l’homme. Leurs
propriétés géométriques sont assez régulières. Ils comprennent les canaux découverts
construits au ras du sol tels que les canaux de navigation ou d’adduction d’eau, et les canaux
couverts qui sont partiellement remplis tels que les tunnels hydrauliques, les aqueducs ou les
conduites d’assainissement.
Un canal dont la section reste constante et dont la pente longitudinale du fond ainsi que la
rugosité des parois restent invariables est appelé un canal prismatique. Sinon il est appelé non
prismatique.
Figure : cours d’eau naturel
Figure : Canal couvert
Figure : Canal découvert
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 11 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
A la différence des écoulements en charge, la section des écoulements à surface libre en un
point donné est caractérisée par une surface mouillée S qui correspond à la surface occupée par le
liquide.
Les éléments géométriques caractéristiques d’une section mouillée S d’un écoulement à surface
libre sont les suivants :
- Le périmètre mouillé P : est égal à la longueur de la ligne de contact entre la section mouillée
et le canal mais ne comprend pas la surface libre.
- Le rayon hydraulique : est le rapport de la section mouillée et du périmètre mouillé hR
PSR h = . Il est souvent choisi comme une échelle de longueur de référence.
- La largeur spécifique du canal B : est égale à la largeur de la section mouillée au niveau de la
surface libre.
- La profondeur hydraulique : est définie par le rapport hDBSDh =
- La profondeur h : elle correspond à la profondeur maximale au niveau de la section mouillée.
Figure : Eléments géométriques de la section mouillée
Introduire un tableau récapitulatif des éléments géométriques des principales formes des sections
des caneaux.
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 12 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
Tableau :,,,,,
Rectangle Trapèze
Surface
S bh h)mhb( +
Périmètre mouillé
P
h2b + 2m1h2b ++
Rayon hydraulique
hR h2b
bh+
2m1h2b
h)mhb(++
+
Largeur
B B mh2b +
Profondeur hydraulique
hD
H mh2b
h)mhb(++
Comme la surface libre est le siège de mouvements transversaux et longitudinaux, les variables
caractéristiques des écoulements à surfaces libres consistent à la profondeur hydraulique et la
vitesse moyenne sur la section :
)t,x(DD hh = et )t,x(VvdsS1V
S
== ∫ (3-1)
La répartition de la pression pour ces écoulements est hydrostatique : la charge piézométrique
zgph +ρ
= est alors constante sur la section mouillée.
3.2.1 Classification des écoulements à surface libre
3.2.1.1 Critère de dépendance temporelle
On distingue selon ce critère les classes d’écoulements suivantes :
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 13 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
- Ecoulements permanents : ( 0t≡
∂∂ ) La vitesse V ainsi que la profondeur restent
invariables dans le temps.
hD
- Ecoulements transitoires : ( 0t≠
∂∂ ) La vitesse V ainsi que la profondeur varient avec le
temps.
hD
- Ecoulements quasistationnaires : ( 0t≅
∂∂ ) En effet, en pratique la majorité des écoulements à
surfaces libres ne sont pas permanents, mais la variation des grandeurs au cours du temps
reste assez lente pour que les écoulements puissent être considérés comme permanents au
cours d’un intervalle de temps relativement court.
3.2.1.2 Critère de dépendance spatiale
On distingue selon ce critère les classes d’écoulements suivantes :
- Ecoulement uniforme : ( 0x≡
∂∂ ) La vitesse V ainsi que la profondeur restent invariables à
travers les diverses sections de l’écoulement. La ligne de la surface libre est alors parallèle à
la ligne de la pente de fond
hD
- Ecoulement non uniforme : ( 0x≠
∂∂ ) La vitesse V et la profondeur change d’une section à
une autre. Les deux lignes de la surface libre et de la pente de fond ne sont pas parallèles.
hD
- Ecoulement graduellement varié : ( 0x≅
∂∂ ) Si les grandeurs de l’écoulement varient
lentement d’une section à une autre.
3.3 Ecoulements en charge
Les écoulements en charge correspondent aux écoulements en conduites qui ne présentent pas
une surface libre soumise à la pression atmosphérique. Ce type d’écoulement est rencontré à titre
d’exemple dans le réseau d’alimentation en eau potable. Pour cette classe d’écoulements, la ____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 14 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
section est une contrainte imposée par la géométrie des parois rigides de la conduite. C’est
l’écoulement qui s’adapte à la géométrie de la conduite.
Figure :
Les échelles de longueur caractéristiques de ces écoulements dans le cas des conduites
circulaires correspondent au diamètre de la conduite D et à la hauteur de rugosité équivalente de
la paroi . Cette hauteur dépend de la nature des parois, de leur évolution dans le temps et des
caractéristiques physico-chimiques du fluide qui y coule.
Sk
Les échelles des grandeurs hydrauliques caractéristiques de ces écoulements et ayant un intérêt
dans les applications pratiques correspondent à la vitesse et à la pression moyennes sur la
section données par les relations suivantes :
SQ
dsS1 V
S
== ∫ vV et ∫=S
pdsS1P (3-41)
VQ étant le débit volumique de l’écoulement.
3.3.1.1 Régimes d’écoulements en charge
Les écoulements en charge sont assurés par le gradient longitudinal de la charge. Les forces
mises en jeu dans ces écoulements sont :
- Les forces d’inertie
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 15 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
- Les forces de frottement visqueux et dues à la paroi
Le nombre adimensionnel de Reynolds, égal au rapport entre les forces d’inertie et les forces de
frottement visqueux, est un paramètre caractéristique des régimes d’écoulements en charge. Ce
nombre s’écrit :
ν==
DUvisqueusesforces
inertie'dforcesR e (3-1)
Remarque : la section non circulaire
Selon les valeurs de ce nombre on distingue les régimes suivants :
- Régime laminaire : 2000R e <
- Régime turbulent : 2300R e >
- Régime transitoire : 2300R2000 e <<
La manifestation de la transition vers le régime turbulent dans les applications pratiques se traduit
par une croissance considérable des pertes de charge dans l’écoulement.
3.4 Equations générales des écoulements en
charge
Les équations générales régissant les écoulements en charge sont déduites à partir des
équations de conservation de la mécanique des fluides développées ci-dessus. Cette démarche
peut être interprétée comme un changement d’échelles.
On considérera dans cette démarche un volume de contrôle délimité par la surface
constituée par une surface latérale définie par la paroi de la conduite et
deux surfaces de base et perpendiculaires à l’axe comme le montre la figure,,.
CD
L21C SSS ++=Σ LS
1S 2S
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 16 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
3.4.1 Equation de conservation de la masse : conservation du
débit
L’intégration de l’équation locale de conservation de la masse (3-6) pour un fluide
incompressible sur le volume de contrôle s’écrit : CD
0dsC
=∫Σ
nv ⋅ (3-42)
Or le flux de vitesse à travers la surface latérale est nul, ce qui revient à écrire :
(3-43) 021
=+ ∫∫−
4342143421VV Q
S
Q
S
dsds nvnv ⋅⋅
On déduit ainsi une forme assez simple et pratique de l’équation de conservation de la masse pour
les écoulements en charge qui s’écrit :
V2211 QSVSV == (3-44)
Le débit se conserve en écoulement en charge à travers les sections.
3.4.2 Equation de conservation de quantité de mouvement :
Théorème d’Euler
Considérons le cas d’un écoulement permanent de fluide, l’équation globale de conservation
de quantité de mouvement sur un volume de contrôle (3-13) s’écrit :
∫∫∫∫ΣΣΣ
+−τρ==ρCCCC
dsdspdFds)(D
ext nnfnvv ⋅τ⋅ (3-51)
Si le volume de contrôle est un tube de courant coiffé par deux sections de base et :
où est la surface latérale. Le flux à travers est nul et l’équation (4-21)
s’écrit alors :
1S 2S
L21C SSS ∪∪=Σ LS LS
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 17 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
extSS
ds)(ds)(21
Fvnvvnv =ρ+ρ ∫∫ ⋅⋅ (3-52)
Cette écriture correspond au « théorème d’Euler ».
;;;;
3.4.3 Equation de conservation de l’énergie : théorème de
Bernouilli généralisé
Si on revient sur l’équation locale de Bernouilli sous sa forme générale (3-38). Son intégration
sur le volume de contrôle s’écrit à l’aide du théorème de la divergence sous la forme
suivante :
CD
]d)([ds)ds)(d)e(t
CC CC DDC ∫∫ ∫∫ τ−+(=Φ+τ
∂∂
Σ Σ
v:nvnv ∇τ⋅⋅τ⋅ (3-45)
Essayons d’interpréter les termes de cette équation :
- Les deux termes du premier membre représentent la variation au cours du temps de l’énergie
totale stockée dans le volume de contrôle localement et par échange avec l’extérieur à
travers la surface .
CD
CΣ
- Le premier terme du second membre (une intégrale de surface) représente la puissance des
efforts de cisaillement au niveau des parois solides de la conduite. Ce terme peut être positif ou
négatif selon la présence de pompes ou de turbines : Il est compté positivement dans le cas où
il représente la puissance reçue par l’écoulement à partir d’une pompe, comme il est compté
négativement lorsqu’il représente la puissance fournie par l’écoulement pour faire tourner une
turbine.
- Le deuxième terme du second membre (intégrale de volume) peut être interprété comme la
puissance mise en jeu par les efforts intérieurs dans la déformation du fluide. Ce terme est
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 18 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
toujours négatif, il représente le taux de pertes d’énergie de l’écoulement par les efforts de
frottement sous forme de chaleur dissipée par effet joule.
Si on divise l’équation (3-45) par le poids volumique gρ et on considère le cas de l’écoulement
permanent ( 0t≡
∂∂ ). On obtient une équation de conservation de charge qui s’écrit :
∫∫ ∫ τρ
−(ρ
=+ρ
+Σ Σ CC C D
2
d)(g
1ds)g
1ds)](zg
pg2
v[ v:nvnv ∇τ⋅⋅τ⋅ (3-46)
Or l’intégrale qui figure au premier membre est nulle sur la surface latérale. Elle se réduit alors à
la somme suivante :
∫∫ ∫ +ρ
+++ρ
+=+ρ
+Σ 2C 1 S
2
S
22
ds)](zgp
g2v[ds)](z
gp
g2v[ds)](z
gp
g2v[ nvnvnv ⋅⋅⋅ (3-47)
C’est la somme de deux intégrales similaires mais de signes opposés. Analysons d’une manière
générale l’intégrale suivante I sur une section de l’écoulement :
∫ +ρ
+=S
2
ds)](zg
pg2
v[I nv ⋅ (3-48)
On a :
∫∫ +ρ
+=SS
2
ds)](zg
p[ds)(g2
vI nvnv ⋅⋅ (3-49)
La vitesse de l’écoulement v est normale à la surface S (figure :;;). D’autre part, la charge
piézométrique ( zgp+
ρ) qui varie peu sur la surface peut être approximée par ( GZ
gP+
ρ) où
est la cote du centre de masse de la section S donné par :
GZ
∫=S
G dszS1Z (3-50)
On déduit alors que l’intégrale I peut se mettre sous la forme :
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 19 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
VG
2
VGV
2
VGS
33
SG
S
3
QZg
Pg2
V
Q]Zg
P[Qg2
V
Q]Zg
P[ds)Vv(
S1S
g2V
ds)(]Zg
P[dsg2
vI
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ρ+α=
+ρ
+α=
+ρ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+ρ
+=
∫
∫∫ nv ⋅
(3-51)
Où α est un coefficient adimensionnel donnée par :
∫=αS
3 ds)Vv(
S1 (3-52)
Ce coefficient est appelé « le coefficient de correction de l’énergie cinétique ». Il tient compte du
non uniformité de la distribution de la vitesse sur la section S.
On introduit alors la charge totale définie sur la section d’un écoulement en charge par la
relation suivante :
G
2
Zg
Pg2
VH +ρ
+α= (3-53)
Cette relation montre les trois contributions suivantes dans la charge hydraulique :
- La charge cinétique : g2
V2
α
- La charge de pression : g
Pρ
- La charge de pesanteur : GZ
La somme des deux derniers termes représente la charge piézométrique. L’équation de
conservation de la charge (3-46) se réécrit compte tenu du développement de son premier
membre comme suit :
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 20 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
444 3444 21444 3444 21i
C
e
C
H
DV
H
V21 d)()
gQ1(ds))
gQ1(HH
ΔΔ
Σ∫∫ τ
ρ−(
ρ=+− v:nv ∇τ⋅⋅τ (3-54)
Cette équation se met sous la forme schématique suivante représentant l’évolution de la charge
hydraulique entre deux sections transversales de l’écoulement :
ie12 HHHH Δ−Δ+= (3-55)
où représente l’échange d’énergie avec l’extérieur entre les deux sections au cas de présence
d’une pompe ( : charge fournie par la pompe) ou d’une turbine (
eHΔ
0He >Δ 0He <Δ : charge consommée
par la turbine). représente les pertes de charge internes qui se produisent le long de conduites (pertes
de charge linéaires) et au niveau des singularités rencontrées par l’écoulement (pertes de charge
singulières).
iHΔ
3.4.4 Interprétation géométrique de l’équation de conservation
de l’énergie
Une illustration graphique de l’équation de conservation de la charge peut être effectuée. Pour
cela on définit :
- La Ligne de Charge Totale (LCT) : c’est une courbe dans l’espace reliant les points de côtes
égales à la charge totale de l’écoulement. Cette ligne est alors une droite horizontale en cas de
conservation de la charge. Elle sera une courbe constamment descendante dans le sens de
l’écoulement en présence de pertes de charge sauf en présence de pompe au niveau de laquelle
elle subit un refoulement.
- La Ligne de Charge Piézométrique (LCP) : c’est une courbe de l’espace reliant les points de
côte égale à la charge piézométrique. Cette courbe est coiffée par la LCT et est distante de
cette dernière d’une distance égale à la charge cinétique. Elle peut subir aussi bien des
descentes que des ascensions dans le sens de l’écoulement selon l’échange d’énergie entre la
charge cinétique et piézométrique.
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 21 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
POMPE
Figure :
3.4.5 Puissance hydraulique
On considère un écoulement en charge de débit Q caractérisé par une charge hydraulique totale H
en une section A.
Figure : ____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 22 -
Chapitre 2 : Hydrostatique
Le volume d’eau traversant la section A pendant un intervalle de temps dt s’écrit sous la forme
suivante :
Qdtd =τ (3-56)
Le flux de l’énergie totale induit par l’écoulement à travers cette section peut être interprété alors
comme suit :
gHQdtgHddE ρ=τρ= (3-57)
La puissance hydraulique de l’écoulement peut être exprimée sous la suivante :
gQHdtdEP ρ== (3-58)
3.4.6 Exemples d’applications
3.4.6.1 Application 1 : Tube de Venturi
;;;;;;;
3.4.6.2 Application 2 : Tube de Pitot
____________________________________________________________________________________________________________________
ENIT : Département de Génie Civil – Laboratoire de Modélisation en Hydraulique et Environnement - 23 -