cours-hydraulique

C O L E P O L Y T E C H N I Q U E F DR A L E D E L A U S A N N E

Christophe Ancey

Laboratoire hydraulique environnementale (LHE) cole Polytechnique Fdrale de Lausanne cublens CH-1015 Lausanne

Notes de cours

Hydraulique surface libre crues, vagues, et ruptures de barragePhnomnes de propagation, outils de simulations, applicationsversion 4.1 du 2 fvrier 2012

TABLE DES MATIRES

1

Table des matires1 quations de base en hydraulique 1.1 quations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Obtention des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme conservative et non conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . coulement sur lit mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rsistance lcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites dutilisation des quations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . Hauteur critique et rgimes associs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ressaut hydraulique stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjugaison dune courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ressaut hydraulique mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation de convection (ou dadvection) . . . . . . . . . . . . . . . . . quation de diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation de convection-diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Processus lquilibre : quation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 12 13 15 15 17 25 26 26 28 30 32 32 33 35 36 38 39 39 39 42 42 44 49 49 49 52 52 54

Courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Autres quations utiles en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ondes de crue et inondations 2.1 Phnomnes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.3 Inondation et crue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dommages causs par les inondations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Crues torrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Origine des crues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimation du dbit par corrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 Mthode Crupdix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courbe enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthode du gradex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthode QdF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Estimation du dbit par la mthode du gradex . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 2.4.2

2 2.5

TABLE DES MATIRES Estimation du dbit par des mthodes de transformation pluie-dbit . . . . . 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.6 2.6.1 2.6.2 Mthode rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthode SCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthode Socose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle rservoir GR4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde diusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 60 60 63 66 72 73 75 77 77 82 84 89 89 91 92 92 93 96 96 97 100 101 102 102 105 106 106 108 110 114 114 115 117 117 117 122

Calcul de la propagation dune onde de crue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Vagues 3.1 3.2 3.3 3.4 Phnomnes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations de Saint-Venant et ondes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . Modle dAiry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vague . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 3.7 3.7.1 3.7.2 3.8 3.9 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes cnodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes solitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle approximatif de tsunami arrivant de haute mer . . . . . . . . Similitude du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rsultat des expriences pour des blocs solides . . . . . . . . . . . . . Rsultat des expriences pour des coulements granulaires . . . . . . . Remonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phnomne physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ressaut mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vague dimpulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mascaret

Houle et vagues dues au vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trains donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 3.9.2 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilit linaire des quations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . .

4 Rupture de barrage 4.1 Rupture de barrage et phnomnes similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 4.1.2 Rupture de grand barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rupture de petit barrage daccumulation . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATIRES 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.2.1 Rupture de lac morainique et glaciaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rupture de digue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rupture de terrils et bassins de dcantation . . . . . . . . . . . . . . . Plan des tudes en ingnierie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 122 126 126 131 133 136 138 139 139 144 147 147 151 151 151 151 152

Rupture de barrage en ingnierie des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rupture instantane ou graduelle dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . Rupture de barrage en rgime laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rupture de barrage dun uide non visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Rupture de barrage dun volume inni (solution de Ritter) . . . . . . Rupture de barrage dans un lit mouill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eet du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 4.8.1 4.8.2 4.8.3 Mthode de Whitham : rupture de barrage sur fond plat . . . . . . . . vacuateur de crue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Protection contre les vagues et surverses . . . . . . . . . . . . . . . . . Protection contre les avalanches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scurit des barrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie

TABLE DES MATIRES

5

Avant-propose recueil de notes contient les principales notions du cours dhydraulique avanc. Lobjet est ici de fournir les bases mathmatiques et le concepts physiques permettant de faire des calculs dcoulements fortement instationnaires dans les rivires. Les notions essentielles des mthodes numriques sont galement vues.

C

Jemploie les notations usuelles modernes : les exemples sont le plus souvent introduits laide de Exemple. et on indique la n dun exemple par le symbole qed ; les problmes dinterprtation sont indiqus par le symbole dans la marge ; les notions qui ncessitent des complments mathmatiques sont annonces laide de la tte de Homer , un hommage aux Simpson ; les notions qui dpassent le cadre de ce cours et qui ne sont donnes qu titre dexemple sont signales par le symbole dans le titre ; les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ; les variables sont en italique ; les fonctions, oprateurs, et nombres sans dimension sont en roman ; le symbole O (O majuscule) signie gnralement est de lordre de . En fait, la dnition est plus prcise et dans certains cas peut ne signier pas lquivalence des ordres de grandeurs. Lorsque par exemple on a u = O(v) avec u(x) et v(x) deux fonctions continues dans le voisinage dun point M, alors cela veut dire que la limite limxM u/v est nie (elle nest ni nulle ni innie) ; le symbole o (o minuscule) signie est ngligeable devant ; je nemploie pas la notation D/Dt pour dsigner la drive particulaire, mais d/dt (quil ne faudra donc pas confondre avec la direntielle ordinaire selon t). Je considre que le contexte est susant pour renseigner sur le sens de la direntielle et prfre garder le symbole D/Dt pour dautres oprations direntielles plus complexes ; le symbole veut dire proportionnel ; le symbole ou veut dire peu prs gal ; les units employes sont celles du systme international : mtre [m] pour les longueurs, seconde [s] pour le temps, et kilogramme [kg] pour la masse. Les units sont prcises entre crochets ; pour la transpose dune matrice ou dun vecteur, jemploie le symbole en exposant : A veut dire transpose de A .

Ce travail est soumis aux droits dauteurs. Tous les droits sont rservs ; toute copie, partielle ou complte, doit faire lobjet dune autorisation de lauteur.A La gestion typographique du franais a t ralise avec L TEX laide du package french.sty de Bernard Gaulle.

6

TABLE DES MATIRES

NomenclatureSymboles romansVariable a B C Cf c D f g h hc hn k ks K L n p P Q q R RH Re S T t u u u u u u U v v v V Signication rayon dune particule largeur au miroir coecient de Chzy coecient de frottement clrit des ondes tenseur des taux de dformation coecient de frottement (Darcy-Weisbach) acclration de la gravit hauteur dcoulement hauteur critique hauteur normale vecteur normal unitaire rugosit coecient de Manning-Strickler chelle de longueur largeur longueur caractristique vecteur normal unitaire pression chelle de pression dbit dbit par unit de largeur rayon de courbure rayon hydraulique nombre de Reynolds section dcoulement tenseur des extra-contraintes (appel encore partie dviatorique) temps vitesse, composante de la vitesse dans la direction x vitesse de glissement, vitesse de cisaillement vitesse moyenne selon la hauteur dcoulement vitesse moyenne dans le temps vitesse uctuation de vitesse chelle de vitesse vitesse, composante de la vitesse dans la direction y vitesse quadratique moyenne vitesse volume de contrle

TABLE DES MATIRES

7

Symboles grecsVariable p Signication primtre mouill fonction de Dirac petite variation taux de cisaillement rapport daspect constante de von Krmn viscosit dynamique masse volumique contrainte contrainte normale angle de pente contrainte de cisaillement contrainte de cisaillement la paroi variable de similitude

9

quations de base en hydraulique1.1 quations de Saint Venant

1

L

es quations de Saint-Venant 1 sont une forme intgre (intgration selon la hauteur) des quations de Navier-Stokes. Elles permettent de calculer les hauteurs deau et vitesses moyennes le long de la direction dcoulement en fonction du temps. Elles ne sont applicables quen rgime graduellement vari.

1.1.1

Obtention des quations

Hypothses Nous allons utiliser ici les hypothses simplicatrices suivantes : (H1) On sintresse un coulement deau le long dun prol bidimensionnel curviligne (voir g. 1.1), dont les variations sont faibles (rayon de courbure inni), cest--dire la surface dcoulement est peu prs plane, dinclinaison par rapport lhorizontale. On rattache un systme de coordonnes cartsiennes (x, y, z) ce repre (x est orient selon la ligne de plus grande pente, y est normale au plan de glissement, z reprsente une direction latrale). (H2) On considre un mouvement essentiellement bidimensionnel (z nintervient pas dans les calculs). Les calculs peuvent tre gnraliss la dimension 3. (H3) Il ny a pas de variation signicative de la section dcoulement sur de courtes distances (les variations sont toujours progressives). Il en est de mme pour les hauteurs dcoulement, qui varient doucement dun point lautre de lcoulement sur un mme bief. On parle de rgime graduellement vari ou bien dapproximation des grandes longueurs donde pour dsigner ce rgime ou cette approximation. Il sagit donc dun rgime peu loign du rgime permanent uniforme. Les lignes de courant sont donc parallles la surface libre, elle-mme peu prs parallle la ligne de fond. Le rapport caractristique = H /L appel rapport daspect est petit devant 1 (avec H : chelle de hauteur et L chelle de longueur) ; typiquement pour une rivire de 10 km et profonde de 10 m, on a = 103 1.1. Adhmar Barr de Saint-Venant (17971886) tait un mcanicien franais. Polytechnicien de formation, il tudia aussi lcole Nationale des Ponts et Chausse, o il t lessentiel de sa carrire. Ses travaux de recherche ont couvert un champ considrable de domaines scientiques et dapplication : hydraulique maritime, navigation le long des canaux et sur route, lasticit, thorie des uides visqueux, turbulence et perte de charge dans les conduites. Avant Reynolds, il avait pressenti limportance de la turbulence dans le calcul des pertes de charge. En 1871, il proposa un jeu dquations aux drives partielles dcrivant le mouvement unidimensionnel dune onde de crue.

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1. quations de base en hydraulique

(H4) Les lignes de courant au sein de lcoulement ne subissent pas de bifurcation brutale. (H5) La surface dcoulement exerce une contrainte de frottement p sur lcoulement. (H6) La masse volumique de leau est constante (pas deet du transport solide en suspension). (H7) Il ny a pas de variation de masse durant lcoulement (apport ou perte deau). (H8) Le lit est xe (pas de transport solide, pas drosion, pas de dpt) et de rugosit uniforme tout le long du bief considr. On va donc essentiellement ici considrer le cas b(x,t) = 0. Le cas dun lit mobile peut galement tre trait dans le prsent cadre thorique (mais on ne fournira ici aucune dmonstration, voir (Gray, 2001)). (H9) La pente locale nest pas trop forte (tan doit tre infrieur 1020 %) sinon il y a un risque dinstabilit de la surface libre ( roll waves ou train donde, voir 3.9.2).surface libre s(h,t) h(x,t)

y

lit b(x,t)

x

Figure 1.1 : notation employe dans la description des prols en long.

Le principe de base dans les modles de type Saint-Venant est de partir des quations locales de conservation de la masse et de la quantit de mouvement, de les intgrer suivant la verticale pour les moyenner, puis de les simplier en supprimant les termes de faible inuence.

Conservation de la masse Considrons lquation de conservation de la masse /t + (u) = 0, o u dsigne la vitesse locale de lcoulement. Lintgration de cette quation selon la hauteur dcoulement, cest--dire le long de la direction y, donne :h(x,t)( 0

u v + dy = x y x

)

h0

u(x,y,t)dy u(h)

h v(x,h,t) + v(x,0,t), x

(1.1)

o u et v sont les composantes de la vitesse selon les directions x et y. la surface libre et au fond, la composante normale de la vitesse v doit satisfaire respectivement v(x,h,t) = dh h h = + u(x,h,t) et v(x,0,t) = 0 dt t x (1.2)

compte tenu de la dnition de la surface libre (voir le livret complment de cours pour plus de dtails). Do lon dduit lquation moyenne de conservation de la masse : h hu + = 0, t x (1.3)

1.1 quations de Saint Venant o lon a dni les valeurs moyennes de la faon suivante : f (x,t) = 1 h(x,t)h(x,t)

11

f (x,y,t)dy.0

Conservation de la quantit de mouvement La mme procdure peut tre applique lquation locale de conservation de la quantit de mouvement : du/dt = g p1 + T, o T reprsente le tenseur des extra-contraintes et p la pression. Toutefois, comme il y a plus de termes que dans lquation de conservation de la masse et comme certains ont un eet mineur sur la dynamique de lcoulement, on va se servir de lanalyse dimensionnelle pour simplier lquation de conservation de la quantit de mouvement. Outre les chelles de longueur et de hauteur (L et H ) introduites prcdemment, on dnit galement une chelle de vitesse U = gH cos (de telle sorte que Fr = O(1)) dans la direction de lcoulement, V = U lchelle de vitesse dans la direction normale au lit (y), une chelle de temps T = U /L , une chelle de pression P = gH cos (coulement surface libre, donc lordre de grandeur de la pression est la pression hydrostatique), et les nombres sans dimension de Reynolds et de Froude Re = U U H et Fr = . gH cos

On suppose quon est en rgime turbulent : Re 1. On suppose que le nombre de Froude nest ni trs grand, ni trs petit : Fr = O(1) (il peut tre plus petit ou plus grand que 1). On peut alors adimensionnaliser toutes les variables u= v x y t u ,v= ,x= ,y= , et t = , U V L H T

tandis que les contraintes sont transformes de la faon suivante U U U p Txx = Txx , Txy = Txy , Tyy = Tyy , et p = . L H L P Lquation locale de quantit de mouvement scrit donc d u Re = 2 Re Fr dt3

(

) 1 p Txx Txy tan + 2 + , x x y

(1.4)

( ) p d v Re Txy Tyy Re = 2 1 + 2 + 2 . y x y Fr dt

(1.5)

On va maintenant utiliser le fait que 1 et que le nombre de Reynolds Re 1 (coulement turbulent). On note que dans les quations apparat parfois le produit Re, dont la valeur est indnie ; on va ici supposer que Re = O(1) (ce qui implique donc 2 Re 1). Lquation (1.5) se simplie considrablement puisque la plupart des termes sont ngligeables sauf la pression et le terme de gravit p 1 = 0, y

12


qui une fois remise sous forme dimensionnelle et aprs intgration, nous montre que la distribution de pression est hydrostatique p = g(h y) cos . Dans lquation (1.4) seule la composante avec Txx disparat ; les autres termes sont a priori du mme ordre de grandeur d u p Txy = tan + , x y dt qui remise sous forme dimensionnelle donne p Txy du = g sin + . dt x y

Sans dicult nous obtenons lquation moyenne de conservation de la quantit de mouvement aprs avoir intgr lquation prcdente selon y entre 0 et h : hu hu2 + t x( )

= gh sin

h p p , x

(1.6)

o la contrainte de frottement (appele aussi contrainte paritale) est p = Txy (x,0,t), la pression moyenne est p. Le systme dquations (1.31.6) nest pas ferm car le nombre dinconnues dpasse le nombre dquations. Une approximation courante est dintroduire un paramtre, appel parfois le paramtre de quantit de mouvement de Boussinesq, qui relie le carr de la vitesse moyenne la moyenne du carr de la vitesse u2 1 = hh

u u2 (y) dy = 2 .0

Gnralement on a 1 5/4. Une approximation courante est dcrire = 1. On peut ainsi transformer le terme hu2 /x dans lquation (1.6) hu2 h2 u h2 u = . x x x Une autre approximation, que nous avons implicitement utilise ci-dessus, est relative au calcul des contraintes. Puisque nous avons suppos que les variations de hauteur le long de laxe x sont faibles (approximation donde longue), cela implique que, pour toute quantit m relative au mouvement de lcoulement, nous avons : m/y m/x. Cela implique que toute tranche dcoulement peut tre traite comme localement uniforme. Avec une telle hypothse, il est possible de calculer la contrainte la paroi en considrant que son expression en fonction de u et h est identique celle du rgime permanent ; on utilise alors les formules classiques telles que celles de Manning-Strickler ou Chzy pour calculer p .

1.1.2

Forme conservative et non conservative

Le jeu dquations du mouvement moyen compos de la conservation de la masse (1.3) et de la quantit de mouvement (1.6) est appel la forme conservative des quations de SaintVenant car leur obtention et leur forme nale retent directement le principe gnral de conservation de la masse et de la quantit de mouvement sur un volume de contrle ; elles

1.1 quations de Saint Venant

13

peuvent dailleurs tre obtenues de cette faon sans passer par une intgration de la forme locale des quations du mouvement. On utilise souvent en pratique une forme dite non conservative de lquation de la quantit de mouvement, qui consiste se servir de lquation (1.3) pour transformer les termes h u en u. On obtient facilement en faisant ainsi ( ) u u h h +u = gh sin gh cos p . t x x Formes conservative et non conservative sont strictement quivalentes sur le plan mathmatique tant que les solutions u et h sont continues. En revanche, dans le cas de solutions discontinues (formation dun ressaut hydraulique par exemple), la forme non conservative fournit une solution fausse au niveau de la discontinuit. Pour la rsolution numrique des quations, il est prfrable demployer la forme conservative lorsque des solutions discontinues sont possibles.

1.1.3

Synthse

coulement unidirectionnel Dans le cas dun coulement unidirectionnel sur fond xe et sans transport solide, les quations de Saint-Venant sont composes : dune quation de conservation de la masse h h u + = 0, t x dune quation de conservation de la quantit de mouvement : u u h p +u = g sin g cos . t x x h (1.8) (1.7)

Pour boucler ces quations, il faut connatre la loi de frottement p (, h). Il faut aussi prciser u des conditions aux limites, qui dpendent principalement du type de rgime (super- ou subcritique) : pour un rgime supercritique, linformation se propage uniquement de lamont vers laval (il ny a pas de remonte dinformations). La condition la limite doit tre pose lamont. Dans un problme dvolution, il est ncessaire de spcier la fois les conditions initiales et les conditions aux limites ; pour un rgime subcritique, linformation se propage non seulement de lamont vers laval, mais galement de laval vers lamont (il y a une remonte dinformations). La condition la limite doit tre pose laval pour un simple problme de type cours de remous. Dans un problme dvolution, il faut prciser principalement les conditions initiales. Selon le problme, les conditions aux limites peuvent tre superues ou bien non compatibles avec les conditions initiales. Les quations de Saint-Venant permettent de rsoudre un grand nombre de problmes hydrauliques ds lors que la courbure de la surface libre nest pas trop forte, en particulier lorsquil ny a pas de ressaut hydraulique sparant un rgime supercritique dun rgime subcritique ou bien lorsquil y a une chute deau au niveau dun seuil. En pratique, les types de problme que lon peut rsoudre sont trs divers, par exemple : propagation dune crue dans une rivire ;

14 rupture de barrage dans une rivire ;


volution dune ligne deau en fonction du dbit fourni. Cest ce que lon va voir dans le reste de ce cours.

Formulation conservative Sur le plan physique, ce nest pas la vitesse et la hauteur qui se conservent quand on crit les principes de conservation de la masse et de la quantit de mouvement, mais le dbit et la hauteur. Il peut alors tre ncessaire de formuler les quations de Saint-Venant non pas en termes de hauteur et de vitesse, mais en termes de hauteur et dbit. Cette formulation est dite conservative. Dans le cas dun coulement unidirectionnel sur fond xe, inniment large, et sans transport solide, les quations de Saint-Venant sous forme conservative sont : h h u + = 0, t x h h2 u u h p + = gh sin gh cos . t x x (1.9)

(1.10)

Formulations conservatives (1.9)(1.10) et non conservatives (1.7)(1.8) sont quivalentes tant que les solutions sont continues. Si des discontinuits apparaissent (ressaut hydraulique), il est impratif de travailler avec la formulation conservative (1.9)(1.10) sous peine de trouver de mauvaises solutions.

coulement travers des sections quelconques Les quations (1.7)(1.8) ont t crites pour un canal inniment larges et h reprsente u le dbit par unit de largeur. On pourrait les crire de faon plus gnrale pour une section S(x, t) par laquelle transite un dbit Q(x, t). On a alors : S Q + = 0, t x Q Q2 S 1 h p + = gS sin gS cos . t x x (1.11)

(1.12)

Rappelons que h = S/B et u = Q/S. Dans cette forme gnrale, la loi de frottement sexprime comme une fonction p (, RH ). Pour un coulement travers une section quelconque, la u clrit des ondes est

c=

gS , B

avec B la largeur au miroir. De l, on dduit que le nombre de Froude est dni comme u Q B Fr = = . c gS 3/2


15

1.1.4

coulement sur lit mobile

En prsence de transport solide, il faut complter ces quations par lquation dExner qui dcrit lrosion ou lengravement du lit : b qs =DE = , t x (1.13)

avec b(x,t) la cote du lit (par rapport un niveau de rfrence), E le taux drosion du lit (nombre de particules par unit de surface et par unit de temps qui sont entranes par lcoulement), D le taux de dpt, et qs le dbit solide (rsultat net entre rosion et sdimentation du lit). La pente locale peut varier doucement autour de selon quil y a aggradation (rosion du lit, t b < 0) ou dposition (engravement du lit, t b > 0). Lquation de conservation de la quantit de mouvement doit tre modie en consquence u s p u +u = g sin g cos . t x x h avec s = b + h la cote de la surface libre (Gray, 2001).

1.1.5

Rsistance lcoulement

La rsistance lcoulement traduit la rsistance quexerce le fond (lit xe ou mobile) sur lcoulement deau. On considre quil existe deux processus de rsistance : une rsistance lchelle des particules, dite rsistance de peau , cest--dire le frottement exerc par les grains composant le lit, ce qui explique pourquoi beaucoup de formules empiriques font appel au diamtre des grains comme paramtre dinuence ; une rsistance plus grande chelle, dite rsistance de forme , lie aux structures morphologiques (dunes, alternance de seuils et mouilles) qui accroissent la dissipation dnergie au sein de lcoulement. Comme trs souvent en pratique, on utilise des modles laires (unidimensionnels) pour reprsenter des coulements tridimensionnels, il faudrait aussi tenir compte dune rsistance lie la sinuosit du lit (mandrement, lit en tresses, etc.). Notons aussi que pour la plupart des applications, on ne cherche pas calculer individuellement les contributions la rsistance totale du lit sur lcoulement, mais on gnralise les formules de rsistance de peau ou ajuste ses paramtres pour tenir compte des autres processus. La loi la plus employe car valable pour une large gamme de dbits et de rugosit est la loi de Manning ; la contrainte paritale scrit p = g u2 , 2 1/3 K RH

(1.14)

avec K le coecient de Manning-Strikler. Pour les applications en ingnierie, il est frquent demployer des valeurs de K tabules en fonction du type de cours deau : canal en bton lisse : K = 65 90 m1/3 s1 ; canal en terre : K = 40 60 m1/3 s1 ; rivire galet, rectiligne, section uniforme : K = 30 40 m1/3 s1 ; rivire avec mandre, sinuosit, etc. : K = 20 30 m1/3 s1 ; rivire vgtalise ou torrent : K = 10 m1/3 s1 .

16


Une approche moins grossire consiste relier la rugosit du lit, par exemple la loi historique de Meyer-Peter & Mller (1948) pour les rivires pente douce : K= 26 d901/6

,

ou bien sa variante actuelle (formule de Jggi, 1984) (Smart & Jaeggi, 1983) : K= 261/6 ks

=

23,2 d901/6

,

o d90 est diamtre des gros blocs (90 % des blocs ont un diamtre plus petit que d90 ) ; ce diamtre caractristique sert aussi dnir une chelle caractristique ks = 2d90 , qui est utilise notamment dans la formule de Keulegan (voir infra). Pour les torrents, il est assez frquent de considrer que le coecient K est une fonction de la pente et la submersion relative h/d90 . Il existe plusieurs approches pour quantier de faon plus prciser la dpendance de K vis--vis de et h/d90 : lapproche empirique consiste corrler partir dexpriences sur des canaux en laboratoire ou des donnes de terrain le coecient K et les paramtres caractrisant le lit. Les quations obtenues par Rickenmann (1990) en sont un exemple ; une approche thorique dite de rpartition des contraintes permet de rendre compte des eets lis la distribution granulomtrique dans le calcul de la rsistance (Ackers & White, 1973; Wiberg & Smith, 1991; Yager et al., 2007). Lide est quun lit torrentiel peut tre scind en une partition de grains immobiles (blocs de taille suprieure au d90 ) et de grains mobiles ; de faon plus anecdotique, des chercheurs ont propos des ides fonde sur la thorie de la couche limite, sinspirant de la pratique en turbulence atmosphrique avec la prise en compte de la canope (Katul et al., 2002). Pendant longtemps, on a utilis le prol de vitesse logarithmique (en principe valable uniquement prs du fond) pour dcrire tout le prol de vitesse dun coulement hydrauliquement turbulent dans un canal. Fonde sur cette approximation, la loi de Keulegan est une formule bien adapte pour les coulements sur des lits gravier. Elle revient supposer que la contrainte la paroi serait similaire celle donne par la formule de Chzy, mais avec un coecient C = g1 ln(11h/ks ) fonction de la hauteur deau et de la rugosit, soit encore : p = 2 2 , u ln (11h/ks )2

(1.15)

avec la constance de von Krmn et ks une taille caractristique des rugosits du lit (ks 2d90 ). La formule est valable tant que le fond est susamment rugueux, cest--dire h/ks < 10. Cette formule peut se gnraliser des gomtries plus complexes en substituant la hauteur h par le rayon hydraulique RH . Notons que de nos jours, on prfre employer une loi puissance de type Manning-Strickler plutt quune loi logarithmique pour relier le coecient de Chzy aux paramtres hydrauliques. Par exemple, pour des lits gravier (fond mobile), la formule de Parker donne C = 8,10 g(

h ks

)1/6

,

qui fournit des rsultats bien meilleurs que la formule de Keulegan pour des lits trs rugueux (h/ks < 5).


17

On se reportera la publication Rauheiten in ausgesuchten schweizerischen Fliessgewssern (en allemand) du Bundesamt fr Wasser und Geologie (maintenant rattach lOce fdral de lnergie) pour une analyse de 12 cours deau en Suisse pour dirents dbits. Cet ouvrage fournit une estimation du paramtre de Manning-Strickler K en fonction des conditions hydrologiques, morphologiques, granulomtriques, et hydrauliques.

1.1.6

Limites dutilisation des quations de Saint-Venant

Les quations de Saint-Venant (1.7)(1.8) sont particulirement adaptes aux canaux faible pente et aux rivires avec un lit bien dni. La gure 1.2 montre un exemple de rivire amnag en Suisse centrale. En gnral, le lit dun cours deau ne reste que rarement plan (lisse), mais au contraire dveloppe des structures morphologiques de taille trs variable allant de petits monticules de quelques grains jusqu des dunes. Ces structures se forment spontanment ds lors quun transport solide mme faible et intermittent se produit. Une consquence sur le plan hydraulique est en gnral un accroissement de la dissipation turbulente. Cela peut se traiter dans le cadre des quations de Saint-Venant : soit en tenant compte de lquation dExner (1.13) et en la couplant avec les quations de Saint-Venant (1.7)(1.8) soit en considrant lisse, mais en majorant la perte de charge hydraulique (cest--dire en augmentant p pour tenir compte de la dissipation dnergie supplmentaire). La gure 1.3(a) montre le lit dun canal en sable lors dexpriences en laboratoire. La gure 1.3(b) montre la bathymtrie du Rhin prs de son dbouch dans la Mer du Nord.

Figure 1.2 : la rivire Thur (Suisse) rectie [Martin Jaeggi].

Dautres formes de structures morphologiques peuvent apparatre, en particulier pour les lits gravier : ce sont les bancs alterns, cest--dire des dpts assez rgulirement disposs le long du cours deau, travers lesquels sinue le cours deau lorsque le niveau de leau est bas. En cas de crue, les bancs sont gnralement recouverts deau. Ces bancs jouent un grand rle sur le plan hydraulique la fois comme dissipateurs dnergie et comme zones tampon pour le bilan sdimentaire ; sur le plan cologique, ils peuvent galement revtir un rle important. De telles structures existent dans les cours deau amnags et les rivires naturelles. Un cas apparent est la formation de lits en tresse, o il ny a pas un seul chenal dcoulement, mais une multitude de bras. La gure 1.5 montre des sries de bancs alterns sur un canal en Suisse

18


coulement

(a)

(b)Figure 1.3 : expriences de laboratoire avec dveloppement de dunes [Gary Parker]. (b) bathymtrie du Rhin aux Pays-Bas : dveloppement de dunes [Wibers & Blom]

et au Japon tandis que la gure 1.6 ore un exemple spectaculaire de lits en tresse dans une rivire gravier de Nouvelle-Zlande. Les quations de Saint-Venant ne sont pas adaptes lorsquil existe des singularits, cest-dire des sections o le comportement de lcoulement change fortement. Ces singularits peuvent tre naturelles (comme une cascade ou bien un largissement brutal du lit) ou articielles. Parmi ces dernires, il faut mentionner les ouvrages hydrauliques (tels que les seuils,


19

Figure 1.4 : ondulation ( ripple en anglais) du lit (lac Tahoe, Nevada, tats-Unis) [C. Ancey].

les prises deau, les drivations), les ponts et passages buss. Les ponts et buses peuvent obstruer lcoulement (dpt de ottants ou de sdiment), se mettre en charge, ou bien encore tre dun gabarit insusant pour la section mouille de lcoulement, tous ces phnomnes pouvant gnralement causer le dbordement de la rivire, voire forcer la rivire changer de lit.

20


(a)

(b)Figure 1.5 : (a) formation de bancs alterns dans le Rhin en Suisse [Martin Jaeggi]. (b) formation de bancs alterns sur la rivire Naka (rectie) [S. Ikeda].


21

Figure 1.6 : lit tresses (rivire torrentielle Rakaia, Nouvelle Zlande) [DR].

22


(a)

(b)

(c)Figure 1.7 : (a) seuil avec prise deau pour la production lectrique. (b) Passage bus sous une chausse [C. Ancey]. (c) Crue du Domnon (Isre, France) en aot 2005 [DR].


23

(a)

(b)Figure 1.8 : (a) lIsre en crue lamont de Grenoble en juin 2008. (b) plaine agricole inonde par lIsre en crue [C. Ancey].

24


(a)

(b)Figure 1.9 : Vue du mme bief du Rote Bach (BE) le 28 juillet 2003 et 4 aot 2004. Source : Eva Gertsch (Gertsch, 2009).

1.2 Courbe de remous

25

1.2

Courbe de remous

La premire application des quations de Saint-Venant concerne la courbe de remous, cest--dire le calcul de la ligne deau dun coulement en rgime permanent (la variation de la cote de la surface libre z = h(x) le long dun bief ou dun tronon quelconque de rivire). Examinons ce qui passe pour un canal inniment large. Puisque le rgime est permanent (t h = 0), la conservation de la masse (1.7) implique que le dbit (par unit de largeur) est galement constant : h u = 0 q = h = cste. u x Le long du bief, h(x) et u(x) peuvent donc varier, mais ils sont toujours lis par la condition h = cste. La conservation de la quantit de mouvement (1.8) fournit u u dh p d u = g sin g cos , dx dx h

o lon a remplac les drives partielles par des drives selon x car il ny a plus quune seule variable. En se servant de la relation h = q, on a u d u d 1 q dh =q = 2 . dx dx h h dx En substituant dans lquation de conservation de la quantit de mouvement, on tire dh p q 2 dh = g sin g cos , 3 dx h dx h( )

et aprs arrangement des termes dh q2 g cos 3 dx h = g sin p , h

ce qui donne nalement lquation direntielle du premier ordre : p g sin dh h = . dx q2 g cos 3 h On emploie souvent aussi une forme condense dh = dx tan p gh cos , 1 Fr2

(1.16)

(1.17)

o lon prendra garde que, contrairement ce quon a fait pour ladimensionnalisation des quations de Navier-Stokes, le nombre de Froude u q Fr = = 3 gh cos gh cos nest pas constant, mais varie avec x. Cela implique notamment que sous certaines conditions, on puisse rencontrer Fr = 1, donc un dnominateur nul dans lquation direntielle (1.17), ce qui mathmatiquement impliquent que h est inni, donc h(x) admet une tangente verticale (un mur deau vertical). Dans de telles conditions, les quations de Saint-Venant cessent toutefois dtre valables (violation de lhypothse H3). Physiquement, cette discontinuit (la variation brutale de hauteur) se traduit par lexistence dun ressaut hydraulique (voir 1.2.2).

26


1.2.1

Hauteur critique et rgimes associs

La hauteur crot ou dcrot selon le signe respectif du numrateur et du dnominateur dans lquation direntielle : jf i dh = 2 , (1.18) dx Fr 1 ce qui donne direntes formes de courbes de remous. Notons ce point important : lorsque le nombre de Froude prend la valeur 1, le dnominateur est nul et en ce point la drive devient innie, ce qui est physiquement impossible. En fait au voisinage de ce point, il se forme soit une discontinuit de la surface libre appele ressaut quil faut tudier avec des outils spciques (cf. 1.2.2) lorsquon passe dun rgime super- subcritique ; soit une chute deau, cest--dire une acclration brutale et un raidissement de la surface libre (passage dun seuil par exemple, avec transition dun rgime sub- supercritique). La pente du canal et/ou la hauteur pour lesquelles on a Fr = 1 sappelle la pente critique et la hauteur critique hc . On distingue deux rgimes selon la valeur du nombre de Froude : Fr < 1, rgime sub-critique plus couramment appel rgime uvial pour lequel on a h > hc ; Fr > 1, rgime super-critique plus couramment appel rgime torrentiel pour lequel on a h < hc . La hauteur critique tant dnie comme tant Fr(hc ) = 1, on tire que :( )1/3

hc =

1 Q2 g cos B 2

,

avec Q le dbit total et B la largeur au miroir. Dans le cas dun canal rectangulaire, en introduisant le dbit par unit de largeur q = Q/B, on tire :(

hc =

q2 g cos

)1/3

.

Le dbit critique ne dpend pas (directement) de la pente, mais uniquement du dbit liquide.

1.2.2

Ressaut hydraulique stationnaire

Au niveau dun ressaut, la courbure de la ligne deau est trop importante et les quations de Saint Venant cessent dtre valables. On utilise alors le thorme de quantit de mouvement de part et dautre du ressaut (sur un volume de contrle) pour simplier le problme et dduire les caractristiques du ressaut. Pour cela on considre un volume de contrle (par unit de largeur) de part et dautre du ressaut. Notons que lcoulement va de la gauche vers la droite et il faut se souvenir que dans ce sens dcoulement, un ressaut provoque une augmentation de hauteur, jamais une diminution (en eet le ressaut est associ une dissipation dnergie, donc un ralentissement de lcoulement). La tranche amont (resp. aval) est rfrence par lindice 1 (resp. 2). La longueur du volume de contrle est L. On fait les hypothses suivantes lcoulement est permanent et le dbit par unit de largeur vaut q ;


27

(a)

L

Vh2 h1

u2

u1

(b)Figure 1.10 : simulation dun ressaut au laboratoire (a) et schmatisation dun ressaut (b).

lcoulement est unidirectionnel ; le ressaut est immobile (sa vitesse de dplacement est nulle) ; la pression est hydrostatique loin du ressaut ; le prol de vitesse est uniforme ; le fond est peu rugueux.

On considre un volume de contrle dont les frontires englobent le ressaut. Lquation de continuit donne : u1 h1 = u2 h2 = q. Lquation de quantit de mouvementV

u(u n)dS =

V

gdV

pndS +V V

T ndS

projete le long de la direction dcoulement donne : 1 q(u2 u1 ) = Lp + g(h2 h2 ). 1 2 2 On suppose que lon connat les conditions lamont et on veut dduire ce qui se passe laval. Quand on peut ngliger le frottement p , on tire : h2 1 = h1 2( )

1 + 8Fr2 1 . 1

(1.19)

28


6 5

h2 /h1

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

Fr1Figure 1.11 : variation du rapport h2 /h1 en fonction du nombre de Froude.

La gure 1.11 montre que le rapport h2 /h1 varie de faon peu prs linaire avec le nombre de Froude amont F r1 . Lquation (1.19) sappelle quation de conjugaison et les hauteurs h1 et h2 sont dites conjugues. La perte de charge associe scrit :(

H = H2 H1 = h2 h1 +

(h2 h1 )3 u2 u2 2 1 = = h1 2g 4h1 h2

1+(

8Fr2 1

3

)3 ).

16

1+

8Fr2 1

1

La longueur du ressaut nest en gnral pas trs leve, ce qui permet de justier notre approximation. Exprimentalement on trouve que : L Fr = 160 tanh 12, h1 20 pour 2 < Fr < 16.

1.2.3

Conjugaison dune courbe de remous

Les ressauts hydrauliques stationnaires sont souvent observs au pied damnagements hydrauliques tels que les vacuateurs de crue des barrages ou les seuils. La gure 1.12 montre un ressaut au pied du seuil, qui sert alimenter le laboratoire dhydraulique Saint-Falls (SAFL) Minneapolis. En modlisation hydraulique, il est souvent considr que de tels amnagements sont des points singuliers ou singularit : la longueur de lamnagement est trs petite par rapport la longueur caractristique du bief tudi que lon peut la considrer nulle ; la courbe de remous nest alors pas calcule car cest juste un point, dont la position concide avec la position de lamnagement. Dans un tel cas, la position du ressaut hydraulique est donc trs simples tablir. Cela nest toutefois pas toujours le cas. En eet, lorsque les conditions hydrauliques varient doucement et se caractrisent par le passage dun rgime supercritique un rgime subcritique, il se forme un ressaut, dont la position nest pas a priori xe par une singularit. Pour dterminer la position du ressaut,


29

Figure 1.12 : ressaut hydraulique stationnaire sur le Mississippi au pied du seuil du Saint-Falls Laboratory de Minneapolis (tats-Unis). Source : www.thefullwiki.org/Hydraulic_jump.

il faut appliquer la mthode dite de conjugaison . Cette mthode repose en eet sur lquation de conjugaison (1.19). Cette quation fournit les hauteurs de part et dautre du ressaut, h2 (hauteur aval) et h1 (hauteur amont). Chacune de ces hauteurs doit galement se trouver sur la courbe de remous : comme le montre la gure 1.13(a), les points B (hauteur h1 ) et C (hauteur h2 ) localisent le ressaut hydraulique, qui apparat comme discontinuit. La branche AB est la courbe de remous du rgime supercritique (elle se calcule en rsolvant (1.18) avec une condition la limite en A) ; la branche CD est la courbe de remous du rgime subcritique (elle se calcule en rsolvant (1.18), qui se rsout avec une condition la limite en D). Positionner le ressaut cest donc positionner le segment vertical BC de telle sorte que la hauteur hD vrie la courbe de remous de la branche subcritique et que la hauteur hC fasse de mme pour la branche supercritique.h(x) courbe de remous amont, q. (5.10) avec Fr > 1 D A C B rgime supercritique ressaut rgime subcritique xh(x) intersection de la conjugue et de h1 (x) h2 (x)

courbe de remous aval, q. (5.10) avec Fr < 1

(a)

D A E

h1 (x)

B

(b)

h conjugue de h2 (x) 1 par lq. (5.13)

D x

Figure 1.13 : (a) ressaut stationnaire entre deux courbes de remous, lune en rgime subcritique laval, lautre en rgime supercritique lamont. (b) Principe de calcul de la position du ressaut laide de la courbe conjugue.

Ce problme peut se rsoudre simplement en traant la conjugue dune des branches et en cherchant son intersection avec lautre branche. Par exemple, comme le montre la gure 1.13(b), admettons que lon ait calcul la courbe de remous subcritique h = h2 (x) partant

30


du point D en rsolvant (1.18) ; on peut calculer la courbe conjugue DE h = h (x) (le prime 1 dsignant la hauteur conjugue) en se servant de (1.19) : h2 1 = h 2 1

(

)

1 + 8Fr2 1 1

(1.20)

avec Fr1 = q/ gh13 . Lintersection de la courbe conjugue h = h (x) avec la branche su1 percritique h = h1 (x) se fait au point B. Comme ce point appartient la courbe de remous supercritique et quil vrie la relation de conjugaison (1.19), il nous fournit la position du ressaut. On aurait pu procder avec lautre branche, ce qui conduit strictement au mme rsultat. Il faut noter au passage que cest mme une stratgie plus ecace car on note que dans la prcdente mthode, linconnue h (x) apparat la fois dans le dnominateur du membre de 1 gauche et dans la dnition du nombre de Froude, ce qui demande un peu plus de travail numrique pour trouver la solution.

1.2.4

Ressaut hydraulique mobile

Toutes quations (ou systmes dquations) qui se mettent sous la forme dune quation dvolution u u + A(u) = 0, (1.21) t x ou bien sous la forme dite conservative u + F(u) = 0, t x (1.22)

o lon a la relation : A(u) = u F(u), peuvent admettre des solutions discontinues. Pour les quations, ces discontinuits sont les ondes de choc lors du passage du mur du son. En hydraulique, ces discontinuits sont les ressauts hydrauliques mobiles, dont le mascaret (voir 3.7) est un exemple. Toute discontinuit situe en x = s(t) se propage la vitesse s donne par la condition de Rankine-Hugoniot s u = F(u) , o les doubles crochets reprsentent la variation brutale de u au passage du choc u = u+ u =xs,x>s

(1.23)

lim

u

xs,x 0 ; onde rgressive f = f (x + ct) : londe va dans le sens x < 0. Notons par ailleurs que que lquation (1.30) peut se factoriser ainsi 2f 2f c2 2 = t2 x( )( )

c t x

+c f = 0, t x

ce qui permet galement de transformer une quation aux drives partielles du second ordre en un systme dquations du premier ordre{

ft cfx = v, vt + cvx = 0.

Cela permet notamment de montrer que la solution gnrale de lquation des ondes (1.30) scrit f = a(x ct) + b(x + ct), avec a et b deux fonctions quelconques (solution dite dAlembert). Remarquons que dans bien des cas dintrt pratique, les quations sont linaires ; la linarit permet dappliquer le principe de superposition. Une onde stationnaire rsulte de la superposition dune onde rgressive et dune onde progressive de mme amplitude. Dans ce cas, la dpendance en temps disparat. Dans les problmes dintrt pratique, les ondes ne sont des formes rgulires et priodiques, mais ont un comportement alatoire. Une fonction alatoire f (x,t) peut se caractriser laide de sa densit de probabilit. Lorsquelle est stationnaire (cest--dire lorsque ses moments tels que la valeur moyenne ne dpendent pas du temps) alors lautovariance R(s) sert caractriser la fonction : R(s) =< f (t)f (t + s) > o f (t) = f (t) < f (t) > dsigne la uctuation par rapport la valeur moyenne < f (t) >. Le plus souvent, on se sert de cette fonction sous une autre forme, qui permet de dterminer les composantes qui ont le plus de poids : le spectre de frquence. On introduit aussi le spectre de frquence en prenant la transforme de Fourier de lautocovariance (cela est aussi le rsultat du thorme de Wiener-Khinchin) : E() = 1

R(s)eis ds =

2

0

R(s) cos(s)ds

38


qui est une fonction relle paire. Une proprit fondamentale du spectre de frquence est que lintgrale : 2

E()d1

reprsente la contribution la variance < f 2 (t) > de tous les modes dans la gamme de frquence 1 2 .

1.3.5

Processus lquilibre : quation de Laplace Quest-ce quune quation aux drives partielles elliptique? Voir la dnition au 1.5 du complment de cours Quest ce que loprateur ? Voir la dnition au 1.3.1 du complment de cours

Les quations elliptiques traduisent en gnral comment un processus lquilibre est organis spatialement. Le prototype de lquation elliptique est lquation de Laplace : uxx + uyy = 0. (1.32)

Par exemple, lquation de la chaleur (1.25) en rgime permanent (t T = 0) devient elliptique. Lquation de Laplace sert dcrire un grand nombre dcoulements stationnaires dans les problmes environnementaux. Ainsi, lcoulement lent deau dans un milieu poreux est galement une quation de Laplace. En eet, si la vitesse u suit la loi de Darcy, alors elle est relie au gradient de pression p par : u = kp/, avec la viscosit et k la permabilit du milieu. On peut reformuler cette quation de la faon suivante u = avec = kp/ ; on dit que u drive du potentiel . Lquation de continuit (incompressibilit du uide) impose que div u = 0, soit encore = 0 = 0.

39

Ondes de crue et inondations

C

e chapitre traite des crues lentes ou rapides. On va sintresser une multitude de phnomnes tels que : crues lentes des grands euves conduisant souvent des inondations ; crues torrentielles sous forme de crues liquides (avec transport solide) ;

2

Tous ces phnomnes peuvent tre calculs, des degrs divers de prcision, par les quations de Saint-Venant ou des quations approches tires des quations de Saint-Venant. Nous commenons par dcrire les phnomnes physiques de faon qualitative avant daborder chacun deux travers des quations.

2.12.1.1

Phnomnes physiquesInondation et crue

Une inondation peut tre dnie selon les auteurs comme une irruption deau sur un terrain normalement sec comme une submersion par leau dbordant du lit normal dun cours deau , ou comme une accumulation deau provenant de drainages, sur des zones qui ne sont pas normalement submerges . Il sagit dune situation temporaire qui peut tre dommageable (destruction dhabitations, par exemple) ou bnque (apport dalluvions fertilisants, par exemple). Les causes des inondations sont multiples et peuvent tre classies comme on le montre ci-aprs. Inondations uviales et crues On fait la distinction entre crue et inondation : les inondations uviales sont les plus frquentes et galement les plus dommageables. Elles surviennent la suite de longues priodes de pluie ou de la combinaison de pluies avec la fonte des neiges et glaces. Elles peuvent concerner des surfaces trs importantes (plusieurs centaines milliers de km2 ). La crue de lElbe en Tchquie et en Allemagne en aot 2002 est un exemple rcent dinondation sur une vaste chelle ; les crues sont des phnomnes brutaux qui surviennent la suite de violentes prcipitations sur un primtre limit et souvent dans un contexte montagneux, de pimont, ou de collines. Elles sont soudaines, de courte dure et ont un dbit de pointe relativement lev. Pour souligner leur caractre brutal, on parle souvent de crue clair (ash ood en anglais). En zone de montagne, elles peuvent tre extrmement dvastatrices, dautant plus quelles ont une capacit de charriage trs importante, pouvant conduire aux laves torrentielles. Les crues de lautomne 2000 sur le Val dAoste, la haute Maurienne,

40

2. Ondes de crue et inondations et le Valais (Gondo, Fully pour le Valais) sont des exemples de crues quasi concomitantes sur une priode de temps courte. Les crues du sud-est de la France orent des exemples dramatiques de crues clair sur de grands bassins-versants dans un contexte de colline : pour la crue historique du Tarn de mars 1930, on estima le dbit 6000 m3 /s contre 160 m3 /s pour le dbit de pointe annual. Ces crues font souvent des victimes compte tenu de leur soudainet et de la force du courant (la crue doctobre 1988 Nmes t 10 morts Nmes, la crue de lOuvze Vaison-la-Romaine t 41 morts en 1992, la crue de lAude t 35 victimes en 1999) (Gaume et al., 2009).

Figure 2.1 : crue du Rhne (rgion dArles, France) en dcembre 2003. Pour en savoir plus http://geoconuences.ens-lsh.fr/doc/transv/Risque/RisqueDoc.htm. Source : http://euspaceimaging.com.

On peut relier les inondations des scnarios mtorologiques, qui sur lEurope sont bien tablis : les inondations hivernales, causes par des dpressions douest associes un front chaud, qui apportent des prcipitations pouvant tre longues, continues et intenses. Le sol se sature et de grands volumes deau ruissellent ; les inondations dues la fonte des neiges se produisent lorsque le stock neigeux est encore important au printemps et lorsque du vent chaud provenant du sud traverse les Alpes. Si des prcipitations accompagnent ce vent, les volumes deau ruissele sont galement importants ; les inondations dues aux prcipitations convectives dt peuvent avoir des eets catastrophiques sur des rgions fortement urbanises. Elles sont de type crue clair (Nimes, octobre 1988) ; les inondations dues aux grandes mares, qui aectent principalement les Pays-Bas (tempte de janvier 1953).

2.1 Phnomnes physiques Remontes de nappe

41

Les remontes de nappe surviennent la suite de la saturation du sol en eau et, par consquent, lorsquil nest plus en mesure dabsorber de nouvelles quantits deau, soit par un apport direct (pluie), soit par un apport indirect (coulement souterrain, ruissellement partir des versants). Dans les zones urbanises (lOise en France) ou certaines rgions gologiquement favorables (avec des terrains aquifres calcaires ou crayeux comme dans la Somme), ces remontes de nappe causent des inondations assez frquentes. Au printemps 2001, aprs un hiver trs humide, plus de 3000 personnes sont sinistres dans la rgion dAbbeville (Somme), leur maison restant inonde pendant deux trois mois. Dbordement de lac Les lacs, lorsque leur exutoire a une capacit dvacuation (naturelle ou articielle) limite, peuvent voir leur niveau deau augmenter de plusieurs mtres, comme ce fut le cas au Tessin en 1993 avec le lac Majeur. Rupture de barrage On se reportera au chapitre 4 pour plus de renseignements. Ruissellement Dans les zones urbanises, le ruissellement sur les chausses lors de violents orages peut provoquer des inondations dans les maisons attenantes. Ces problmes sont souvent associs un dysfonctionnement du rseau dvacuation des eaux pluviales, des obstructions de cours deau ou de drain, ou des orages particulirement intenses. Les photographies de la gure 2.2 montrent un exemple dinondations provoques le ruissellement des eaux sur les chausses goudronnes de Chtel la suite dun violent orage sur le Morclan en juin 2000.

Figure 2.2 : inondations lors de lorage du 5 juin 2000 Chtel (Haute-Savoie). Source : Thierry Hauteville.

Autres phnomnes Dautres types dinondations, plus anecdotiques pour nos contres, sont galement possibles. Parmi ceux-ci, mentionnons le phnomne de seiche, due des phnomnes oscillatoires

42

2. Ondes de crue et inondations

Tableau 2.1 : statistiques des inondations catastrophiques par continent sur la priode 19851999 daprs les donnes de MnchenRe. Inondation nombre (part en %) 430 (18 %) 900 (37 %) 420 (17 %) 210 (9 %) 330 (14 %) 130 (5 %) 2410 (100 %) Pertes conomiques millions US$ (part en %) 41 230 (15 %) 192 690 (69 %) 37 540 (13 %) 4 130 (1 %) 1 950 (1 %) 2 280 (1 %) 279 810 (100 %) Pertes en vie humaine nombre (part en %) 1 800 (1 %) 222 780 (88 %) 3 670 (2 %) 4 480 (2 %) 15 810 (6 %) 3 290 (1%) 251 820 (100 %)

Europe Asie Amrique du Nord Amrique du Sud Afrique Ocanie Totaux

dans les grandes tendues deau fermes (par exemple les grands lacs aux tats-Unis), les tsunamis aectant principalement les ctes japonaises, les mares de temptes associes aux cyclones tropicaux, les mouvements daaissement du terrain ou encore lcroulement dun barrage naturel. Les inondations des cotes de lOcan Indien en Asie du Sud-Est Nol 2004 ou les inondations la Nouvelle-Orlans aprs le passage de louragan Katrina sont des exemples dinondations dues des tsunamis ou des cyclones.

2.1.2

Dommages causs par les inondations

Les inondations reprsentent chaque anne un pourcentage important des pertes conomiques dues aux catastrophes naturelles (49 % du total mondial en 1999). Pour la priode 19851999, le nombre dvnements ayant provoqu des dommages slevait 2410 pour lensemble de la plante (430 pour lEurope), reprsentant 30 % (respectivement 25 %) de lensemble des catastrophes naturelles. Durant la mme priode, elles ont provoqu la mort de plus de 250 000 personnes (1 800 pour lEurope), soit environ la moiti du nombre total de victimes imputes aux catastrophes naturelles (MunichRe, 1999). Parmi lensemble des continents, lAsie est celui qui paie le plus lourd tribut aux inondations : le pourcentage dvnements dommageables est de 37 %, celui des pertes en vies humaines est de 88 %, et celui des pertes conomiques est de 68 % des totaux respectifs mondiaux. Cette situation est videmment mettre en relation avec les grands euves chinois et la situation particulire du Bengladesh. Dans ce dernier pays, 85 % du territoire national est expos dimportants risques dinondations. La situation chinoise nest pas en reste, bien que les plaines inondables ne reprsentent quune partie inme du territoire. Par exemple, pour le Yangtse, elle reprsente 1,5 % de la surface du pays, mais elle concentre 250 millions dhabitants et 45 % de la production du riz et des autres crales y est produite.

2.1.3

Crues torrentielles

Les crues torrentielles sont des coulements deau avec un fort transport solide, qui se produisent dans les torrents et les rivires de montagne ou de pimont. On distingue : les crues avec charriage : le cours deau transporte du sdiment grossier par roulement, glissement, saltation le long du lit (processus appel charriage). Ce type de crue se produit dans les cours deau ds que le dbit est susamment fort pour mettre en mouvement les matriaux composant le lit de la rivire. Contrairement aux rivires de plaine, o le sdiment est relativement n et transport en suspension dans leau, les rivires torrentielles et les torrents peuvent transporter des volumes importants de matriaux, avec une chelle granulomtrique tendue (du micromtre plusieurs dci-

2.1 Phnomnes physiques

43

Figure 2.3 : lElbe en crue le 19 aot 2002 : situation en temps normal ( gauche) et situation le 19 aot 2002. Source : Agence Spatiale Europenne.

mtres). Des crues comme celle de Brigue en septembre 1993 (Valais) peuvent provoquer des dommages importants en provoquant lobstruction des ponts, lexhaussement du lit, linondation des berges, et un important dpt solide ; les laves torrentielles : lorsque la pente est forte, le transport par charriage est instable. La gravit est en eet susante maintenir les particules en mouvement une fois quelles ont t rodes. Une lave torrentielle est donc un transport en masse dun mlange de blocs, de terre, et deau ; la concentration solide est trs importante (de lordre de 70 80 %). Le mlange prend alors souvent lapparence dune boue ou dun bton. Les laves torrentielles ont donc un comportement mcanique trs dirent des crues liquides et, dune certaine faon, elles sont plus proches dune avalanche que dune crue. La plupart des torrents peuvent produire avec une frquence plus ou moins importante des laves torrentielles. Certains torrents comme le Nant du Pissot au-dessus de Villeneuve (Vaud) ne fournissent des laves quen moyenne une fois par sicle ; ce sont souvent des torrents clappiers : le matriau mobilis par les laves torrentielles provient de lboulement de falaises (les boulis sont les clappiers ou clappes) et il faut plusieurs annes dcennies pour former un stock susant de matriau mobilisable. Dautres torrents sont plus actifs car le terrain prsente souvent une instabilit un niveau local (berges) ou tendu (mouvement de terrain aectant une grande partie du bassin-versant). Cest le cas par exemple de lIllgraben, qui peut produire plusieurs laves torrentielles chaque anne. Signalons que certains coulements naturels sont trs proches des laves torrentielles que nous rencontrons dans les Alpes : les lahars sont des coulements dun mlange deau et de cendres, que lon rencontre dans les rgions volcaniques. Les ruptions volcaniques peuvent en eet dposer des quantits colossales de cendres, qui sont ensuite trs facilement rodables. Des catastrophes rcentes en Indonsie, Philippines (volcan Pinatubo en octobre 1991) sont conscutives de fortes pluies. En Europe, la catastrophe de Sarno et Quindici (Italie) en mai 1998

44

2. Ondes de crue et inondations est due un mouvement de terrain aectant des sols volcaniques (dpt de cendres du Vsuve) ; elle t 137 morts et environ 300 Me de dommages ; au cours des ruptions volcaniques, le mlange de cendres et deau (par exemple rsultant de la fusion dun manteau neigeux ou dun glacier) peut provoquer des coules froides de cendres, semblables aux lahars. En novembre 1985, le volcan Nevado del Ruiz en Colombie entra en ruption ; la fusion de la glace forma une coule de cendres, qui engloutit la ville dArmero et dautres villages (23 000 morts environ). En mai 1980, lruption du volcan Mount Saint Helens aux tats-Unis provoqua un aaissement complet du versant nord du volcan et causa la formation de lahars dvastateurs ; la valle de la rivire North Fork Toutle fut comble de sdiments sur une longueur denviron 22 km et sur une paisseur moyenne de 45 m (paisseur pouvant localement atteindre les 200 m) ; certains mouvements de terrain ou croulements peuvent se mettre acclrer brutalement et causer des coulements proches des laves torrentielles lorsque la teneur en eau est susante. En juillet 1965, le glissement de terrain de la Ravoire de Pontamafrey (France) acclra soudainement aprs un printemps humide et forma une lave torrentielle de plusieurs centaines de milliers de m3 , qui coupa la route nationale et la ligne de chemin de fer, isolant toute la valle de Maurienne.

2.2

Origine des crues

Dans les Alpes, on observe trois scnarios majeurs dans la formation des crues : les pluies brves et intenses : typiquement des orages de n daprs-midi lt quand il faut chaud et humide. La saison risque est lt (juin septembre). Les dbits spciques de pointe se situent dans une fourchette large 110 m3 /s/km2 pour une priode de retour T = 10 ans. Le coecient dcoulement est souvent moyen (0,3 0,8). Les crues sont rapides et ne durent en gnral que quelques heures. Le plus souvent, seul un bassin-versant est touch de faon isole. En conditions exceptionnelles, des valeurs dpassant 20 m3 /s/km2 ont t observes (crue de lOrba dans les Alpes italiennes en aot 1935 ou bien du Tech en octobre 1940 dans les Pyrnes) lors dpisodes de pluie diluviens et hors normes (pour lEurope) sur des massifs montagnes proches de la Mditerrane ; les pluies soutenues sur de longues priodes (plusieurs jours, parfois plusieurs semaines) lies au passage dun ou plusieurs systmes dpressionnaires bien organiss sur les Alpes. La saison risque est en gnral lautomne et le dbut du printemps, trs exceptionnellement en hiver. Les crues sont lentes, durent plusieurs jours, et concernent une valle entire, voire tout un massif ou une rgion. Les dbits spciques de pointe dpassent exceptionnellement 12 m3 /s/km2 pour T = 10 ans. Le coecient dcoulement est lev (de 0,6 1) ; la fonte des neiges au printemps ou bien un important redoux accompagn de pluie durant lhiver ou le printemps. Les crues sont lentes et tales sur plusieurs jours semaines. La saison risque est la n du printemps (mai et juin). Les dbits spciques de pointe dpassent exceptionnellement 1 m3 /s/km2 pour T = 10 ans. Un exemple est fourni par la crue de lArc (Haute Maurienne) et celle du Guil en juin 1957 et de nombreux autres rivires de la chane frontalire : le mois de mai 1957 avait t plus froid que la normale et un important stock de neige subsistait en altitude, au-dessus de 2000 m. Au dbut de juin, les tempratures se sont mises slever trs brutalement (plus de 20C) sous leet de larrive dair chaud et humide de Mditerrane. Les

2.2 Origine des crues

45

prcipitations faibles du mois de juin se sont intensies avec larrive dair froid de Scandinavie. ces chutes de pluie sest ajoute la fonte rapide du manteau neigeux, ce qui a conduit des crues extrmes. Ainsi Saint-Michel-de-Maurienne, alors que le dbit moyen interannuel pour le mois de juin est Q = 84 m3 /s, un dbit moyen journalier de 3 /s a t enregistr le 14 juin 1957 (voir gure 2.5). 500 m La rponse dun bassin-versant une pluie est varie. Certains bassins-versants sont sensibles tous les scnarios dcrits ci-dessus tandis que dautres ne ragissent qu un scnario prcis. La rponse dun bassin-versant une pluie dpend : de la forme gnrale du bassin-versant : selon que le bassin-versant est de forme oblongue ou ramasse, le temps mis par leau pour atteindre lexutoire peut direr notablement ; la densit du rseau hydrographique drainant le bassin-versant ; le couvert vgtal : densit, nature, rseau racinaire, etc. linclinaison moyenne des pentes ; la nature des sols, la gologie du sous-sol, la capacit dinltration et de rsurgence, lexistence de surfaces impermables (glacier, route, etc.) ; laltitude et ses eets sur la limite des neiges, nature pdologique du sol, pergisol/permafrost, vgtation, etc. ; la possibilit de blocage de cellules orageuses ou un eet de barrire sur le passage dune perturbation. On peut distinguer trois classes de rponses : rponse rapide (groupe 1) : le bassin-versant rpond peu prs systmatiquement et de la mme faon aux pluies brves et intenses. Aucune crue ne survient aprs des prcipitations longues, mais peu soutenues. Le dbit de crue dpend foncirement de lintensit des pluies : plus lintensit est forte, plus le dbit de pointe est lev. Le temps de monte et la dure spcique de la crue sont courts. Les petits bassins-versants de montagne, raides et peu vgtaliss, entrent le plus souvent dans cette catgorie. Le torrent de lAlptal (SZ) en est un exemple ; rponse moyenne (groupe 2) : le bassin-versant rpond de faon attnue aux pluies mmes intenses ou soutenues sur plusieurs jours. En gnral, la capacit dinltration est bonne, le ruissellement est faible (forte rsistance, vgtation dense, pente modre). Toutefois, des concours de circonstances font quexceptionnellement des crues peuvent se produire avec des dbits importants ; rponse lente (groupe 3) : le bassin-versant ne rpond pas ou faiblement aux pluies. Le dbit de pointe est gnralement faible et londe de crue est assez tale.

46


(a)

(b)

(c)Figure 2.4 : (a) Brigue en septembre 1993 (clich J.-P. Jordan, OFEG) ; (b) la plaine autour du Nevado del Ruiz couverte par les dpts de lahars (source : J. Marso) ; (c) la valle creuse par la rivire North Fork Toutle aprs le passage des lahars de mai 1980 causs par lirruption du Mount Saint Helens (source : USGS).

2.2 Origine des crues

47

500 400 300 200 100 0 0 5 10 15 jour 20 25 30

(a)

(b)Figure 2.5 : dbit journalier de lArc Saint-Michel-de-Maurienne (Savoie) en juin 1957. (a) variation du dbit moyen journalier en juin 1957, (b) variation du dbit de lArc en 1957 et comparaison avec les moyennes mensuelles.

Q m3 s

48

Tableau 2.2 : nom de la rivire, surface S du bassin-versant (km2 ), rgion et localit o le dbit est estim, dbit spcique de pointe en conditions dcennales Qs,10 (m3 /s/km2 ), surface occupe par la vgtation selon son type, pente moyenne (%) du bassin-versant, pluie dcennale horaire P10 (1) et journalire P10 (24), nature gologique du terrain. Daprs (Gra, 2004).

S Draix Alptal, Schwyz Toulon Mont Lozre Mont Lozre Mosnang Alptal, Schwyz Alptal, Schwyz Draix 13 2,1 4,1 3,1 1,3 76 55 10 5,2 3,5 2,7 35 14,3 7 68 0 10 60 22 40 58 20 32 35

Rgion

Localit

Qs,10

% nu

% pturage

% bois

Pente

P10 (1)

P10 (24) 100 120 160

Gologie marnes ysh gneiss granit granit

0,86 0,64

Alpes-du-Sud Suisse Centrale

Nom Groupe 1 Laval Erlenbach Groupe 2 Rimbaud Latte Sapine Groupe 3 Rietholzbach Lumpenenbach Vogelbach Brusquet 20 65 87 20 15 15 53 40 40 44

1,5 0,19 0,54

Alpes-du-Sud Massif Central Massif Central

3,31 0,93 1,55 1,08

Suisse Centrale Suisse Centrale Suisse Centrale Alpes-du-Sud

140 110 92

molasse ysh ysh marnes


2.3 Estimation du dbit par corrlation

49

2.32.3.1

Estimation du dbit par corrlationMthode Crupdix

La mthode Crupdix est une formule qui permet dvaluer le dbit de pointe de priode de retour T = 10 ans. La formule a t obtenue partir dune analyse statistique sur 630 bassins-versants documents franais dont la taille variait entre 1,4 et 52 000 km2 : Qcrup. Pj,10 = Qp,10 = RS 0,8 80( )2

[m3 /s],

avec S la surface du bassin-versant en km2 , Pj,10 la pluie journalire dcennale (en mm), et R un coecient rgional qui vaut R = 1 partout en France sauf sur le Massif Central, les Pyrnes, le Languedoc-Roussillon, le bassin de la Seine et de la Meuse, la Vende et une partie de lAquitaine. Selon Gala & Ramez (1995), il y a seulement une probabilit de 70 % que le vrai dbit se situe entre 1 Qcrup. et 2Qcrup. 2

Figure 2.6 : valeur du paramtre R dans la mthode Crupdix.

2.3.2

Courbe enveloppe

Plusieurs formules empiriques ont t cales en corrlant (par rgression linaire) le dbit de pointe mesur/estim et la supercie dun bassin versant sous la forme dune loi puissance Qp = aS b (2.1)

50


avec Qp le dbit de pointe (en m/cube/s), S la supercie (en km2 ), a et b sont deux paramtres qui dpendent du contexte hydrologique. On parle de courbe enveloppe car en gnral, ces courbes cherchent fournir une borne maximale des dbits de pointe. La gure 2.7 montre des courbes enveloppes de crues clair pour direntes rgions en Europe. Le tableau 2.3 fournit les valeurs de a et b de lquation (2.1) pour des crues clair en Europe, en France, dans le monde, et en Suisse. Le tableau 2.4 donnent ces valeurs pour des crues sur dirents bassinsversant suisses. Une courbe enveloppe dquation un peu plus complexe que la loi puissance (2.1) a t ajuste sur des donnes de crue issues de plusieurs bassins-versants dans le monde : Qp = 3009,2 S, (S + 41,31)0,78

avec Qp le dbit de pointe (en m/cube/s), S la supercie (en km2 ) (Hingray et al., 2009).

Figure 2.7 : variation du dbit spcique (de pointe) en fonction de la supercie du bassin versant, avec (a) selon la localisation du bassin versant et (b) la nature de la mesure. Daprs (Marchi et al., 2010).

Tableau 2.3 : valeurs des coecients a et b selon le contexte mtorologique. Zone gographique Gard Monde Mditerrane Europe Monde Zone ocanique c Zone de piedmont d Zone mditerranenne e Suisse Suissea b

a 30 350 97 230 850 4,05 7,4 16,4 cf 7,2

b 0,75 0,6 0,6 0,43 0,357 0,72 0,72 0,72 0,66 0,566

S 20 400 km2 S 104 km2 1 104 km2 1 104 km2 S 100 km2 1 104 km2 1 104 km2 1 104 km2 10 500 km2 1 104 km2

T T = 100 rare a rare rare extrme b T 1000 ans T 1000 ans T 1000 ans T = 100 ans T = 100 ans

Source (Lang & Lavabre, 2007) (Gaume et al., 2009) (Gaume et al., 2009) (Marchi et al., 2010) (Marchi et al., 2010) (Lang & Lavabre, 2007) (Lang & Lavabre, 2007) (Lang & Lavabre, 2007) (Spreaco et al., 2003) (Spreaco et al., 2003)

Rare ici veut dire que la priode de retour est dans une fourchette T = 100 1000 ans. Extrme ici veut dire que la crue tait exceptionnelle et correspondait la plus grosse crue connue. c Bassin de la Loire, Bretagne, Sane, Moselle. d Pyrnes, Pralpes, Dordogne, Pyrnes centrales et occidentales, Aude, Arige, Drme. e Alpes maritimes, Corse, Cvennes, Tarn, Ardche, Haute-Loire, Pyrnes orientales. f Pour des terrains relativement plats, bords de collines peu leves, on a c = 2,5 4. Pour des terrains vallonns, on a c = 4 6. Pour des terrains vallonns des Pralpes, on a c = 6 9. Pour des bassins-versants forte pente, on a c = 9 12 sauf en zone glaciaire (c = 3 5)

2.3 Estimation du dbit par corrlation

51

Tableau 2.4 : valeurs des coecients a et b pour calculer le dbit de pointe centennal selon les rgions en Suisse. Adapt de (Spreaco et al., 2003). Rgion Jura, Neuchtel Jura bernois Saint Gall, Thurgovie Zrich Argovie, Ble Alpes vaudoises Berne Mont-Blanc, Valais oriental Valais central Oberland oriental Tessin oriental Tessin occidental Grisons orientales Grisons occidentales a 1,44 5,98 2,65 7,86 0,68 7,18 17,66 4,36 1,3 1,4 0,83 12,41 0,9 4,41 b 0,73 0,59 0,61 0,58 0,79 0,60 0,54 0,64 0,74 0,78 0,58 0,69 0,83 0,74

52


2.42.4.1

Estimation du dbit par la mthode du gradexMthode du gradex

La mthode du gradex a t propose la n des annes 1960 par Pierre Guillot et Daniel Duband (EDF) (Guillot & Duband, 1967). Le principe de la mthode est trs simple, ce qui explique son large succs et sa popularit. Cette mthode se fonde sur les observations suivantes : la plupart des pluies maximales annuelles sont distribues selon une loi exponentielle ou une loi de Gumbel. Ainsi deux pluies extrmes P1 et P2 de priode de retour respective T1 et T2 vrient la relation T2 P2 P1 = G ln , (2.2) T1 avec G > 0 un coecient exprim en mm (si les pluies en mm) et appel le gradex des pluies ; linltration dans le sol diminue au cours du temps du fait de la saturation progressive du sol. Lorsque le sol est satur, toute leau qui continue de prcipiter ruisselle au sol. Cette eau ruissele participe directement au volume de crue ; lorsque le sol est satur, tout surcrot de pluie pendant une dure gale au temps de concentration tc se transforme intgralement en un surcrot de dbit sur une dure peu prs gale tc ( 1020 % prs). De ces observations, on admet lhypothse du gradex : la courbe intensit-frquence des pluies de dure tc est parallle la courbe intensit-frquence du dbit. En consquence, lorsque sur un bassin-versant on dispose de donnes de pluie sur une priode susamment longue (quelques dizaines dannes), on peut estimer les dbits extrmes en considrant que le gradex des dbits Gq (en m3 /s) quivaut celui des pluies Gp (en mm) lorsquon les exprime dans la mme unit, cest--dire S Gp , (2.3) Gq = 3,6tc avec S la supercie du bassin-versant en km2 , tc le temps de concentration en h, 3,6 un facteur de conversion des units. On se sert du temps de concentration tc comme dure caractristique car cest la dure optimale de pluie : en eet, une pluie de dure d < tc , lintensit de pluie (rappelons la loi de Montana Im = adb ) est suprieure lintensit Ic associe au temps tc (Ic = atb ), mais seule une partie du bassin-versant contribue la crue (puisque toutes c les gouttes deau nont pas pu atteindre lexutoire) et donc le dbut rsultant est plus que le dbit Qc gnr par une pluie de dure tc . Lorsque d > tc , tout le bassin-versant contribue, mais lintensit moyenne associe est plus faible, donc le dbit rsultant est aussi plus faible. En se servant de la relation (2.2) et en considrant que la priode de retour pour laquelle on observe la saturation du sol est T = 10 ans, on aboutit une approximation dite du gradex de la loi intensit-frquence pour les dbits T Q = Q10 + Gq ln , (2.4) 10 avec Q10 le dbit de pointe dcennal. Dans cette mthode, le dbit dcennal Q10 et le temps de concentration doivent tre estims indpendamment. Des variations de cette mthode ont t proposes. En particulier, la formulation esthtique lisse la transition entre les rgimes des crues ordinaires et des crues extrmes. Plus rcemment, la prise en compte du type de conditions mtorologiques a permis damliorer la performance de cette mthode (Paquet et al., 2006).

2.4 Estimation du dbit par la mthode du gradex

53

Figure 2.8 : extrapolation de la distribution des dbits moyens journaliers max. annuels par la distribution des pluies journalires maximales annuelles. Daprs (Djerboua et al., 2004).

54


2.4.2

Mthode QdF

La mthode QdF est une mthode dveloppe par Prudhomme, Gala, et Javelle au Cemagref de Lyon (France), qui permet de donner une relation intensit-frquence pour le dbit en fonction du dbit dcennal (qui doit tre connu ou bien valu par ailleurs), de la supercie du bassin-versant, du gradex des pluies, et du type de rponse du bassin-versant. Principe Il y a trois ides de base : 1. Lide fondamentale de la mthode QdF est quon peut tudier les hydrogrammes de crue en les caractrisant par des dbits Q moyens ou bien systmatiquement dpasss sur des dures d variables ; chaque hydrogramme est valable pour une priode de retour ou frquence F donne. Do le nom QdF. 2. Lextrapolation des quantiles de dbit se fait selon une approche de type gradex : on suppose que la courbe Q(T ) varie paralllement la courbe des pluies P (T ) pour les priodes de retour T susamment grandes. 3. Pour une mme rgion, le comportement des bassins-versants est peu prs identique. Il existe une loi-matresse valable rgionalement qui permet de reprsenter la rponse hydrologique des bassins-versants laide dune seule courbe adimensionnelle. Il existe donc galement des marqueurs qui permettent dadimensionnaliser les variables hydrologiques. Ici, on va considrer deux marqueurs ou chelles (dure et dbit) D et Q , qui sont propres chaque bassin-versant ; le principe de rgionalisation arme que les dbits et dures sur un bassin-versant (BV) sans observation peuvent tre estims partir des dbits et dures observes sur un bassin-versant de rfrence par une simple loi dhomothtie(

Q(T, d) Q(T, d) = , Q Q BV de rf. BV non obs. ( ) ( ) d d = . D BV de rf. D BV non obs.

)

(

)

Variables hydrologiques employes Pour faire les calculs dhydrogramme, on ne sert pas du dbit instantan Q(t) car il y a trop dinformations. la place, on suppose que tout hydrogramme peut se prsenter sous la forme dun hydrogramme synthtique de crue, avec une courbe montante et une courbe descendante (dcrue), appel encore hydrogramme mono-frquence car il ny a quun seul pic de crue. On introduit deux variables qui permettent de rduire linformation ncessaire (voir gure 2.9) : le dbit seuil Qs (d) de dure d est la plus grande valeur de dbit qui est systmatiquement dpasse au cours dune dure d de la crue. La forme suppose de lhydrogramme fait que la relation Qs (d) est unique et continue ; le dbit moyen Qm (d) de dure d est la valeur moyenne du dbit sur une dure d. Pour un pays au climat tempr comme la France, on considre deux chelles de dbit et de temps, qui sont appeles marqueurs : Q = Q10 le dbit de pointe instantan de la crue dcennale. Ce dbit sert spa-

2.4 Estimation du dbit par la mthode du gradexQ

55

Qm

Qs

d t Figure 2.9 : dnition du dbit seuil Qs (dbit systmatiquement dpass pendant une dure) et du dbit moyen Qm .

rer les dbits ordinaires correspondant aux petites crues frquentes et les dbits plus importants ; lchelle de temps (dure) D peut tre dnie comme le temps de concentration tc ou bien la dure spcique ds . Lavantage de ds est que cest une donne mesurable alors que tc reste une quantit plus conceptuelle. Les autres donnes du problme peuvent sexprimer en units de temps ou de dbit. Par exemple, quand on utilise le gradex des pluies pour direntes dures d, on peut le transformer en gradex adimensionnel de la faon suivante : tout dabord, on transforme les units de mm en m3 /s laide de la relation S Gp [mm], Gp [m3 /s] = 3,6d avec S la surface du bassin-versant exprime en km2 et d la dure de la pluie en h. Slection dun modle Pour la France mtropolitaine, il existe trois rponses types de bassin-versant : type Soyans : le bassin-versant typique est celui du Roubion (Drme provenale). Il est caractristique des bassins-versants avec des coulements rapides et un faible stockage (climat dominante continentale). Les crues ne durent gnralement pas trs longtemps ; lhydrogramme est pointu. Les crues extrmes ne sont pas en continuit avec les crues ordinaires ; type Florac : le bassin-versant typique est celui de la Mimente Florac, dans la partie mridionale des Cvennes (Lozre), donc sous inuence climatique mditerranenne. Ce bassin sert de rfrence pour des crues rapides, mais avec un stockage ; une partie de leau stocke est restitue durant la crue, ce qui allonge la dure de la crue et augmente son volume, sans toutefois accrotre le dbit de pointe ; type Vandenesse : le bassin-versant typique est celui de la Dragne (Nivre, Bourgogne). Les crues sont volumineuses et stalent sur des dures longues comme cest souvent le cas pour rgions dominante ocanique. (2.5)

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Pour les rgions tempres hors de France mtropolitaine, il est possible dappliquer la mthode QdF, mais il est vraisemblable quil faille choisir dautres sites de rfrence. Selon sa situation et sa taille, les caractristiques dun bassin-versant varient damont en aval, avec une modication du rgime des crues : plus la taille augmente, plus le volume de crue tend tre important et moins lhydrogramme est pointu. Une mme rivire peut gnrer des crues de type Soyans dans la partie suprieure et des crues Vandenesse sa conuence. La question qui se pose est : parmi ces modles de rfrence, quel est le modle le plus appropri pour dcrire un bassin-versant quelconque pour lequel on na pas ou peu de donnes hydrologiques? La rponse apporte par la mthode QdF est la suivante : on trace la variation du gradex adimensionnel = Gp /Q10 des pluies en fonction de la dure (adimensionnelle) de la pluie et on compare cette courbe avec les courbes limites sparant les domaines Soyans, Florac, et Vandenesse. Ces courbes limites sont au nombre de deux 1 , 0,768 + 2,332 1 L2 () = , 0,419 + 1,580 L1 () = (2.6) (2.7)

avec = d/D En pratique, on considre des dures de pluie allant de 1 D 5D ; on calcule 2 le gradex Gp des pluies associes ces dures et laide de lquation (2.5), on exprime ces gradex de pluie en gradex de dbit et on les norme en les divisant par Q10 pour obtenir = Gp /Q10 . On reporte ensuite les couples (, ). Exemple. Sur un petit bassin-versant du Chablais, dune supercie de 2 km2 , ltude des pluies a donn les estimations suivantes du gradex des pluies : Gp = 3,7 mm pour d = 1 h, 4,8 mm pour d = 2 h, 5,5 mm pour d = 3 h, 7,0 mm pour d = 6 h, 8,9 mm pour d = 12 h, 11,4 mm pour d = 24 h. Une estimation empirique du dbit dcennal donne Q10 = 3 m3 /s et une dure spcique ds = 1 h. On pose D = ds ; le gradex des pluies est transform en gradex de dbit laide de la relation (2.5). Cela fournit Gp (d = 1) = 2,05 m3 /s, Gp (d = 2) = 1,33 m3 /s, Gp (d = 3) = 1,02 m3 /s, Gp (d = 6) = 0,65 m3 /s, Gp (d = 12) = 0,41 m3 /s, et p (d = 24) = 0,26 m3 /s. On forme ensuite la suite (i , i ), avec i = di /D et i = Gp /Q10 , G o di = 1, 2, 3, 6, 12, et 24 h. On reporte sur la gure 2.10 la courbe empirique = () et les limites entre les comportements de type Soyans, Vandenesse, et Florac. On note quaux temps courts ( < 2), le comportement est de type Soyans, mais quaux temps longs ( > 2) le comportement se rapproche de celui de Florac, voire Vandenesse. Comme on se situe dans un contexte de petit bassin-versant de montagne, caractris par des crues rapides et brves, le comportement retenu est de type Soyans. Loi dbit-frquence La loi dbit-frquence est fonde sur la mthode du gradex dans sa version dite formulation esthtique . Le quantile de dbit suit une loi de Gumbel pour les petites priodes de retour (T 20 ans), puis la formation esthtique (pour 20 T 1000) : Q(T, d) = A() ln T + B() pour 0,5 T 20 ans, Q ) ( Q(T, d) Q(10, d) A() T 10 = C() ln 1 + pour 20 T 1000 ans, Q C() 10 (2.8) (2.9)

2.4 Estimation du dbit par la mthode du gradex

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0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 Vandenesse Florac Soyans

Figure 2.10 : variation de en fonction de pour le Chablais. La courbe continue reprsente la courbe empirique = () pour un poste du Chablais simple interpolation linaire des points (i , i ) et les courbes tiret reprsentent les courbes L1 et L2 .

o Q(10, d) est le dbit dcennal obtenu laide de lquation (2.8). Les fonctions A, B, et C sont de la forme f () avec f () = 1 + 3 . 1 + 2

Les lois (2.82.9) sont valables aussi bien pour des dbits moyens Qm (d) ou des dbits seuils Qs (d). Les paramtres des lois changent selon le type de variable employe. Les tableaux et fournissent les valeurs des paramtres selon que, respectivement, lon opte pour un dbit moyen Qm ou un dbit seuil Qs .Tableau 2.5 : valeurs des coecients i pour les fonctions A, B, et C lorsquon cherche calculer le dbit moyenn sur une priode d. Modle Soyans Florac Vandenesse 1 0,87 1,12 2,635 A 2 4,60 3,56 6,19 3 0 0 0,016 1 1,07 0,95 1,045 B 2 2,50 3,18 2,385 3 0,099 0,039 0,172 1 0,569 1,56 1,083 C 2 0,690 1,91 1,75 3 0,046 0,085 0

Tableau 2.6 : valeurs des coecients i pour les fonctions A, B, et C lorsquon cherche calculer le dbit seuil sur une priode d. Modle Soyans Florac Vandenesse 1 2,57 3,05 3,970 A 2 4,86 3,53 6,48 3 0 0 0,010 1 2,10 2,13 1,910 B 2 2,10 2,96 1,910 3 0,050 0,010 0,097 1 1,49 2,78 3,674 C 2 0,660 1,77 1,774 3 0,017 0,040 0,013

58 Hydrogramme synthtique


La formulation QdF en termes de dbit seuil permet dobtenir un hydrogramme de crue synthtique. Cet hydrogramme est par ailleurs consistant avec les quantiles de dbit moyen Qm . Lhydrogramme pour une crue de priode de retour T est dni par : t < ds , une courbe (droite) de monte : Q = Qm t/ds . Il y a une augmentation linaire du dbit Q jusquau temps t = ds o le dbit atteint le dbit de pointe Qp ; t = ds , un dbit de pointe : Qp = Qm (T, dp ). Cest le dbit moyen instantan, donc un dbit observ sur une dure dp = 1 s = 0,0003 h ; t > ds , une courbe de dcrue : Q = Qs (T, d). Le dbit linstant t se calcule partir du dbit seuil dpass sur une dure d = t ds Q/dm .8 Qp 6

Q m3 s

4

2

d

0

0

1

2

3

4

5

t hFigure 2.11 : principe de formation de lhydrogramme.

2.5 Estimation du dbit par des mthodes de transformation pluie-dbit

59

2.5

Estimation du dbit par des mthodes de transformation pluie-dbit

Les dbits dans les rivires sont souvent des donnes peu disponibles : hormis pour certaines grandes villes ou bien pour des sites avec un intrt hydrolectrique, il y a peu de postes de mesures installs. Comme par ailleurs les dbits peuvent varier de faon substantielle le long des cours deau en fonction des apports par les auents et que les sries de donnes sont souvent courtes, il reste dicile destimer les quantiles de dbit en un point donn dun cours deau. Il est ds lors trs tentant de contourner cette dicult en cherchant relier les dbits aux pluies qui sont censes les gnrer. En eet, les pluies sont mieux connues, plus faciles mesurer ; leur distribution spatiale est un peu mieux apprhende que les dbits et leur distribution temporelle se prte bien une analyse statistique de type thorie des valeurs extrmes. Trs tt les hydrologues ont donc cherch dvelopper des modles de transformation pluie-dbit qui visent reproduire la gnration dune crue partir de la pluie. Nous allons passer en revue quelques-uns des modles les plus connus Comme toute simplication de la ralit, ce type de modlisation est limit par la complexit des interactions entre le sol, latmosphre, et leau ; le nombre de paramtres conceptuels qui sont introduits et qui rendent dicile les procdures de calage. Il y a en gnral deux sous-modles dans un modle de transformation pluie-dbit : un module de passage de la pluie brute (pluie prcipite) la pluie ecace (pluie participant la crue). Cette transformation ncessite de connatre les pertes dues linterception par les vgtaux, la rtention dans le sol, le ruissellement direct, etc. ; un module de transformation de la pluie ecace en volume de crue. Cette transformation ncessite de modliser les dirents processus de ruissellement, drainage, et coulement dans le cours deau jusqu lexutoire. Les direntes transformations sont bases sur des reprsentations le plus souvent conceptuelles du fonctionnement du bassin-versant, avec parfois une approximation physique du comportement rel. Nous commenons par dcrire une mthode trs simple dite mthode rationnelle , qui a t utilise ds la moiti du xixe sicle. Ce modle calcule le dbit de pointe partir du volume deau prcipit et dun temps caractristique (temps de concentration). Nous voyons ensuite deux mthodes un peu plus labores : le modle SCS et sa variante franaise SoCoSe. Ces mthodes calculent le dbit partir du volume deau ruissel, cest--dire le volume deau prcipit auquel on a retranch leau intercepte par la vgtation et leau inltre dans le sol. Nous dcrivons ensuite un modle conceptuel un peu plus complexe, o le sol est modlis comme un rservoir. Avec ce type de modles, on entre vritablement dans le domaine des outils utilisables aussi bien pour la prvision

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