Table des matires

1) Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2a) Exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2b) Fonctions trigonomtriques rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2) Limite - Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4a) Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4b) Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4c) Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3) Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74) Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105) Intgration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

I) Intgration sur un intervalle quelconque 181) Intgrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

a) Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19b) Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22c) Critres de convergence pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . . . 22d) Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26e) Divergence Grossire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2) Techniques pour le calcul dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30a) Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30b) Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Rvisions danalyse

1) Fonctions usuellesa) Exponentielles et logarithmes

Pour > 0 et > 0 :

limx+

(ln x)x

= 0 ainsi que limx+

x

ex= 0

Le thorme des croissances compares.

Que signifie lexpression ax ?

b) Fonctions trigonomtriques rciproquesVoir fiche Formulaire danalyse

a) Quest-ce quune bijection ? Donner une dfinition et des exemples.

b) Quelles sont les dfinitions des fonctions arccos, arcsin et arctan?. Interprtations graphiques.

c) Retrouver les expressions des drives de ces fonctions.

d) Dmontrer que (prciser chaque fois le domaine de validit de ces formules) :

i) tan(arcsin x) = x1 x2 .

ii) tan(arccosx) =1 x2x

.

iii) cos(arctan x) = 11 + x2

.

iv) sin(arctan x) = x1 + x2

.

Fonctions trigonomtriques rciproques.

Exos B55 et B58.

2) Limite - Continuita) Limites

a) Que signifient (mathmatiquement et verbalement) les expressions suivantes :

f admet une limite l en x0. f admet une limite l droite en x0.

f tend vers + en x0. f admet une limite l en +.

b) Que signifie lexpression lordre est conserv par passage la limite ?

c) Enonc du thorme des gendarmes ?

Notion de limite

Exos A1, B1, B2.

a dsigne un rel ou , b dsigne un rel ou + et f une fonction valeurs dans R :

Si f est croissante et majore sur ]a, b[ alors f admet une limite finie gauche en b. Si f est croissante et minore sur ]a, b[ alors f admet une limite finie droite en a.

Thorme de la limite monotone

Que devient lnonc de ce thorme dans le cas dune fonction dcroissante ?

b) Comparaison de fonctions

Que signifient les notations suivantes, a tant un rel, + ou ; f et g des fonctions dfiniesau voisinage de a :

f =ao(g) et f

ag ?

ngligeabilit et quivalence

Quelles proprits ont ces relations de comparaison ?

Avec les mmes notations :

Si g ne sannule pas au voisinage de a, sauf ventuellement en a, alors :

f =ao(g) lim

xaf(x)g(x) = 0

Si f =ao(h) et g =

ao(h), alors f + g =

ao(h).

Si f =ao(g) et g =

ao(h), alors f =

ao(h).

Si f =ao(h) et g =

ao(k), alors fg =

ao(hk).

Ngligeabilit - proprits

Avec les mmes notations :

Si g ne sannule pas au voisinage de a, sauf ventuellement en a, alors :

f ag lim

xaf(x)g(x) = 1

aest une relation dquivalence.

Si f ah et g

ak, alors fg

ahk.

Si f ag et si f est de signe constant au voisinage de a, alors il en est de mme pour g qui

est de mme signe.

Si f ag alors |f |

a|g|.

Si f ag et si g > 0 au voisinage de a, alors pour tout p R, fp

agp

Si f ag et si g(x)

xa= l alors g(x)

xa= l.

Equivalence - proprits

Citer quelques quivalents classiques.

c) Continuit

Soit x0 un rel, que signifient les phrases :

f est continue en x0. f est continue gauche en x0. f admet un prolongement par continuit en x0. f est continue sur lintervalle I.

Continuit : dfinitions

Exo B18 (prolongement de classe C1).

Limage dun intervalle de R par une fonction continue est un intervalle de R. Limage dun segment par une fonction continue est un segment.

Intervalles et fonctions continues

Exos B9 et B12.

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f induit unebijection de I dans lintervalle f(I). De plus, sa bijection rciproque g = f1 est :

continue sur f(I). monotone sur f(I) et de mme sens de variation que f. si x0 I et si f (x0) 6= 0 alors g est drivable en f(x0) et :

g(f(x0)) =1

f (x0)

Si f est de classe Cn (ou C) sur I et si f ne sannule pas sur I alors g est de classe Cn (ouC) sur f(I).

Bijection rciproque

3) Drivation

a) Que signifie lexpression f est drivable en x0 ?

b) Quelles sont les drives des fonctions usuelles ?

c) Quelle est la drive dun produit ? dun quotient ? dune compose ?

La base

Exo A13, B14.

Soit f une fonction continue sur [a, b], drivable sur ]a, b[, avec f(a) = f(b). Il existe un relc ]a, b[ tel que f (c) = 0

Thorme de Rolle

Exo B31

Soit f une fonction continue sur [a, b], drivable sur ]a, b[. Il existe un rel c ]a, b[ tel quef (c) = f(b) f(a)

b a

Thorme des accroissements finis

Illustrer graphiquement les deux thormes prcdents.

Soit f une fonction drivable sur un intervalle I. Sil existe un rel M > 0 tel que pour tout t I,|f (t)| M alors :

(x, y) I2, |f(y) f(x)| M |y x|

Consquence : ingalit des accroissements finis

Soit I un intervalle de R et f une fonction drivable sur I. Dmontrer que si f est de signe constantsur I et ne sannule quen un nombre fini de points de I alors f est strictement monotone sur I

Exo drive et monotonie

Exo B26 , B37.

Que signifie la phrase f est de classe C1 sur lintervalle I ?, de classe Cn ? de classe C ?

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I de R, continue sur I, drivable sur I\{x0} (avecx0 I). Si la drive f admet une limite l en x0 alors f est drivable en x0 et f (x0) = l.

thorme du prolongement drivable

4) Dveloppements limits

f tant une fonction dfinie au voisinage de x0 R, que signifie la phrase f admet un dvelop-pement limit dordre n N en x0 ?

Dfinition

Soit f : I R une fonction n N fois drivable en t0 I. La fonction f admet alors undveloppement limit dordre n en t0 :

f(t) = f(t0) + (t t0)f (t0) + (t t0)2

2! f(2)(t0) + + (t t0)

n

n! f(n)(t0) + o ((t t0)n)

Remarque : pour n 2, une fonction f peut admettre un DLn(x0) sans que sa drive n-imef (n) existe.

formule de Taylor-Young

a) Montrer quune fonction dfinie sur un voisinage de x0 R admet un DL1(x0) ssi elle estdrivable en x0.

b) Montrer que la fonction x 7 x3 sin 1x2

admet un DL2(0) sans tre deux fois drivable.

Exo DL et drivabilit

a)

La fonction f est drivable en x0 ssi il existe l R tel que limxx0

f(x) f(x0)x x0 = l. Cest dire

ssi il existe une fonction , dfinie au voisinage de x0, vrifiant limxx0

(x) = 0 et telle que (pourx 6= x0) :

f(x) f(x0)x x0 = l + (x0) f(x) = f(x0) + l(x x0) + (x x0)(x)

b)

On remarque que la fonction f : x 7 x3 sin(

1x2

)peut tre prolonge par continuit en 0 en

posant f(0) = 0. De plus, pour x 6= 0 :f(x) f(0)

x= x2 sin

(1x2

)x0

0

f est donc drivable en 0 et f (0) = 0.

Pour x 6= 0, f est drivable et

f (x) = 2 cos(

1x2

)+ 3x2 sin

(1x2

)Ainsi,

f (x) f (0)x

= 2xcos(

1x2

)+ 3x sin

(1x2

)La fonction g : x 7 3x sin

(1x2

)tend vers 0 en 0 (3|x| g(x) 3|x| puis thorme des

gendarmes).

Par contre lapplication h : x 7 2xcos(

1x2

)nadmet pas de limite en 0 (par exemple, la suite

n 7 h(

12npi

)tend vers +).

On peut ainsi affirmer que la fonction f nadmet pas de drive seconde en 0 (et ceci bien quelleadmette un DL2(0)).

Si f admet un DLn(x0) alors celui-ci est unique.

Si f admet un DLn(x0) de partie rgulirenk=0

ak(x x0)k, alors pour tout entier m n, f

admet un DLm(x0) de partie rguliremk=0

ak(x x0)k.

Si une fonction f est paire ( respectivement impaire ) au voisinage de 0 , alors les partiesrgulires de ses D.L. sont des polynmes pairs ( respectivement impairs ).

Proprits des DL

Soit n N, et f une fonction de classe Cn au voisinage de x0. Sink=0

ak(xx0)k est la partie rgu-

lire duDLn(x0) de f alorsnk=1

kak(xx0)k1 est la partie rgulire duDLn1(x0) de la drive f.

Remarque : Sans lhypothse de classe Cn, une fonction f peut avoir un DLn(x0) et sa drivene pas avoir de DLn1(x0).

Thorme de drivation terme terme

Montrer que la fonction x 7 x + x3 sin 1x2

admet un DL2(0) mais que sa drive nadmet pasde DL1(0).

Exo : un exemple

Si f admet un DLn(x0) alors toute primitive de f admet un DLn+1(x0) qui sobtient (outre laconstante dintgration) en intgrant terme terme.

Lintgration terme terme est toujours valable

a) Pourquoi a-t-on 11 x =0 1 + x+ + xn + o(xn) ?

b) En dduire les DLn(0) des fonctions x 7 11 + x et x 71

1 + x2 .

c) Ainsi que le DLn(0) de la fonction arctan.

d) Ainsi que le DLn(0) des fonctions x 7 ln(1 + x) et x 7 ln(1 x).e) Retrouver le DLn(0) de la fonction exponentielle.

f) En dduire les DLn(0) des fonctions ch et sh.

g) Retrouver les DLn(0) des fonctions sin e cos.

h) Calculer le DL3(0) de la fonction tangente.

Exo A31.

Dveloppements limits usuels

5) Intgration sur un segment

Comment avez-vous dfini la notion dintgrale (sur un segment) lanne dernire ? Quelle(s) condition est suffisante pour quune fonction soit intgrable ?

Dfinition dune intgrale

Soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a, b] valeurs dans R.

(croissance) Si x [a, b], f(x) g(x) alors ba

f(x) dx ba

g(x) dx.

(linarit)

a) Pour tout c [a, b], ba

f(x) dx = ca

f(x) dx+ bc

f(x) dx.

b) Pour tout (, ) R2, ba

(f(x) + g(x)

)dx =

ba

f(x) dx+ ba

g(x) dx.

(ingalit triangulaire) ba

f(x) dx

ba

|f(x)| dx.

Si f est de signe constant sur [a, b] et si ba

f(x) dx = 0 alors f est nulle sur [a, b].

Proprits

Soit f : I R une fonction continue dfinie sur un intervalle I.

Si f est paire sur I = [c, c] alors ccf(x) dx = 2

c0f(x) dx.

Si f est impaire sur I = [c, c] alors ccf(x) dx = 0.

Si I = R et si f est priodique de priode T, alors : a R, a+Ta

f(x) dx = T0f(x) dx.

proprits de symtrie

Soit f une fonction continue sur un segment [a, b]. On peut crire ba

f(x) dx = limnSn, avec :

Sn =b an

nk=1

f

(a+ k b a

n

)

Sommes de Riemann

Comment peut-on interprter ce rsultat graphiquement ?

Exo C6.

Soit f : J R, une fonction continue sur un intervalle J. Pour tout a J , lapplication F dfiniesur J par F (x) =

xa

f(t) dt est lunique primitive de la fonction f sannulant en a.

Intgrales et primitives

(intgration par parties).Si u et v sont deux fonctions de classe C1 sur [a, b] alors :

ba

u(t)v(t) dt = [u(t)v(t)]ba ba

u(t)v(t) dt

(changement de variable) .

Soit f : J R, continue sur J et : I J une fonction de classe C1 sur un intervalle I et valeurs dans J. On peut crire :

(a, b) I I, (b)(a)

f(x) dx = ba

f((t)) (t) dt

On dit quon a effetu le changement de variable t 7 x = (t).

Techniques de recherche de primitive et de calcul dintgrales

Avec les mmes notations :

Si F est une primitive de f, on a : (b)(a)

f(x) dx = F ((b)) F ((a))

La fonction tant drivable sur I, la fonction G = Fo lest aussi etx I, G(x) = (x) f ((x)). Ainsi :

ba

f ((x)) (x) dx = ba

G(x) dx = G(b)G(a) = F ((b)) F ((a)) = (b)(a)

f(x) dx

Chapitre I)

Intgration sur un intervallequelconque

1) Intgrales impropresa) Gnralits

Soit f une fonction continue sur [a, b[ avec b R ou b = +.Si la fonction x 7

xa

f(t) dt admet une limite lorsque x tend vers b, on dit que lintgrale

impropre converge et on note ba

f(t) dt cette limite. Sinon, on dit quelle diverge.

intgrale gnralise ?

Cette dfinition stend aux fonctions continues dfinies sur les intervalles de la forme ]a, b] : ba

f(t) dt = limxa

bx

f(t).

Pour les intervalles de la forme ]a, b[, on pose ba

f(t) dt = ca

f(t) dt + bc

f(t) dt avecc ]a, b[. On vrifie aisment quen cas de convergence , la valeur de cette somme nest pasaffecte par le choix du rel c.

Si une fonction est continue sur un intervalle [a, b[ (resp. ]a, b]) avec a R et b R, sielle est de plus prolongeable par continuit en b (resp. en a) alors lintgrale (faussement

impropre) ba

f(t) dt converge et est gale ba

f(t) df . La fonction f tant le prolongementde f .

remarques

Montrer que 10

sin(t)t

dt converge.

exemple

+1

dt

tconverge ssi > 1.

10

dt

tconverge ssi < 1.

10ln(t) dt converge.

+0

et dt converge ssi > 0.

4 intgrales de rfrence

Lorsque 6= 1, x1

dt

t= t

+1

+ 1

x

1

admet une limite en + ssi + 1 < 0, cest diressi > 1.Dautre part,

x1

dt

t= ln(t)

x1diverge lorsque x tend vers +.

Par le changement de variable u = 1t, lintgrale

1x

dt

tscrit

1x

1

du

u2dont on sait

quelle converge ssi 2 > 1, cest dire ssi < 1. La fonction t 7 t ln(t) t tant une primitive de la fonction ln(t), on peut crire 1

x

ln(t) dt = t ln(t) t1x. Puisque cette expression converge lorsque x 0, il en est

de mme de lintgrale 10ln(t) dt.

x0et dt = e

t

x0converge ssi < 0 cest dire ssi > 0.

b) Proprits

Pour tout intervalle I de R et tout (a, b) R2, f et g tant deux fonctions continues sur I.SiI

f etI

g convergent, alors il en est de mme pourI

(af+bg) etI

(af+bg) = aI

f+bI

g

linarit

Soit I un intervalle de R et f : I C.I

f converge ssiI

Re(f) etI

Im(f) convergent. On a alorsI

f =I

Re(f) + iI

Im(f).

fonctions valeurs dans C

c) Critres de convergence pour les fonctions positives

Soit f : I R continue et positive.I

f converge ssi il existe un rel M > 0 tel que pour tout segment J I,J

f M .

condition de convergence pour f > 0

Considrons deux suites monotones (an) et (bn) telles que an inf(I) et bn sup I.Posons Fn =

bnan

f(t) dt. La suite (Fn) tant majore (par M) et croissante converge vers un

rel F , ncessairement F =I

f(t) dt.

Soient f et g deux fonctions relles dfinies sur un intervalle I et vrifiant 0 f g.La convergence de

I

g entrane celle deI

f ; on a alorsI

f I

g

critre de comparaison

Dterminer les natures des intgrales suivantes :

a) +0

sin2(t)1 + t2 b)

+1

t

2 + t3 dt

exo : exemples

Soit f, g : [a, b[ 7 R. On suppose que les fonctions f et g sont de signe constant au voisinage gauche de b et que g est intgrable sur [a, b[ alors :

Si f =bO(g) alors f est intgrable sur [a, b[.

Si f =bo(g) alors f est intgrable sur [a, b[.

critre de domination

Par exemple, pour f : [a,+[ 7 R, continue. Si f est ngligeable devant 1t

au voisinagede +, alors f est intgrable sur [a,+[. Ce rsultat reste valable pour les intervalles de la forme ]a, b], les comparaisons se faisantau voisinage de a.

remarques

Soient f et g deux fonctions relles dfinies sur un intervalle de la forme I = [a, b[ ou I =]b, c] etde signe constant au voisinage de b.Si f

bg alors les intgrales

I

f etI

g sont de mme nature.

critre dquivalence

Dterminer les natures des intgrales suivantes :

a) 10

sin(t)t

dt b) 10

sin(t)

tdt c)

10

sin(t2)t

dt

exo : exemples

Soit f une application continue, positive et dcroissante sur un intervalle [a,+[.

La srie

f(n) et lintgrale+a

f(t)dt sont de mme nature.

Comparaison srie intgrale

d) Convergence absolue

Soit f : I R continue.On dit que lintgrale

I

f est absolument convergente lorsqueI

|f | converge. On dit aussi dansce cas que f est intgrable sur I

convergence absolue

La convergence absolue dune intgrale gnralise entrane sa convergence. Dans ce cas : I

f(t) dt

I

|f |

convergence absolue = convergence

Soit f : I R continue et absolument convergente sur I. On remarque que la fonction f + |f |est positive, continue et majore par 2|f |. Le thorme de comparaison nous permet donc deconclure la convergence de lintgrale

I

f + |f | et donc, par linarit, celle deI

f .On remarque que pour tout t I, |f(t)| f(t) |f(t)|.Donc

I

|f(t)| dt I

f(t) dt I

|f(t)| dt ; cest dire, I

f(t) dt

I

|f |.

Comme pour les sries, il arrive que certaines fonctions soient convergentes sur un intervalle sansy tre absolument convergente. On dit dans ce cas quelles sont semi-convergentes.

remarque

Lobjectif de cet exercice est dtablir que lintgrale +1

sin(t)t

(I) est semi-convergente.

a) Montrer que (I) converge (indication : faire une intgration par parties).

b) En remarquant que pour t > 1, | sin(t)|t

sin2(t)t

, dduire que (I) nest pas absolumentconvergente.

exo : cas classique de semi-convergence

a) Pour tout x > 1 : x1

sin(t)t

dt = cos(t)t

1x

x1

cos(t)t2

. Le premier terme tend vers cos(1)

lorsque x tend vers +. La seconde intgrale est absolument convergente.

b) On remarque que pour t > 1, | sin(t)|t

sin2(t)t

. Nous allons tablir que +1

sin2(t)t

diverge, ce qui tablira (par comparaison) que I nest pas absolument convergente :

sin2(t)t

= 12t cos(2t)2t

En procdant nouveau avec une intgration par partie, on montre que +1

cos(2t)t

converge. Puisque +1

dt

tdiverge, on conclut.

Pour tout intervalle I de R, lensemble des fonctions continues et intgrables sur I est un espacevectoriel.

les fonctions intgrables sur I forment un e.v

e) Divergence GrossireNous avions tabli que pour quune srie

un converge, il est ncessaire que un 0. Par

contre il est possible quune intgrale +a

f(t) dt converge sans que f(t)t

0.

Construire une fonction f dfinie sur R+, continue, telle que +a

f(t) dt converge et qui netend pas vers 0 en +.

exo : +a

f(t) dt cv ; f(t) 0

Par contre :

Si f , continue, dfinie sur un intervalle de la forme [a,+[ admet une limite non nulle en +,alors lintgrale

+a

f(t)dt diverge.

exo : condition suffisante de divergence

2) Techniques pour le calcul dintgralesa) Intgration par parties

La gnralisation de lintgration par parties, se fait par passage la limite. Cest ce que nous

avions fait pour tablir la semi-convergence de +1

sin(t)t

. Voici dautres exemples :

Etablir la convergence et calculer les intgrales suivantes :

+0

t2et dt

+0

dt

(1 + t2)2

exo : quelques applications de lipp

Etablir la convergence et calculer les intgrales suivantes :

En +, t2et est ngligeable devant e t2 donc lintgrale +0

t2et dt converge.

Pour x > 0, par ipp : x0t2et dt = t2et

x0+ 2

x0tet dt. En faisant tendre x vers +,

on onbtient : +0

t2et dt = 2 +0

tet dt

En procdant nouveau par ipp , on obtient +0

tet dt = +0

et dt = et0+ = 1.

Finalement, +0

t2et dt = 2.

Lintgrale +0

dt

(1 + t2)2 est bien convergente puisque1

(1 + t2)2 +1t4.

Par ipp,

x0

dt

1 + t2 =t

1 + t2

x

0

+ x0

2t2 dt(1 + t2)2

= x1 + x2 + x0

2t2 dt(1 + t2)2

Lorsque x +, +0

dt

1 + t2 = +0

2t2 dt(1 + t2)2 .

Or +0

dt

1 + t2 = arctan(t)+0

= pi2 , donc +0

t2

(1 + t2)2 =pi

4 .

Mais (dcomposition en lments simples), t2

(1 + t2)2 =1

1 + t2 1

(1 + t2)2 . En intgrant

sur [0,+[ les deux membres de cette galit, on dduit : +0

dt

(1 + t2)2 =pi

2 pi

4 =pi

4

b) Changement de variableNous admettrons le thorme suivant :

Soient f une fonction continue sur ]a, b[ et :], [ 7]a, b[ une bijection strictement monotone declasse C1 (de sorte que, si est croissante lim

x(x) = a et que limx(x) = b ; le contraire si estdcroissante ).

Les intgrales ba

f(t) dt et

f ((u))(u)du sont de mme nature et sont gales en cas deconvergence.

changement de variable

Etablir la convergence et calculer les intgrales suivantes :

10

dtt(1 t)

+0

arctan(t)1 + t2 dt

exo : exemples

La fonction f(t) = 1t(1 t) est quivalente en 0

1t, en 1 elle est quivalente 1

1 t , 10f(t) dt est donc convergente.

Le changement de variable u(t) = 1+2t est de classe C1 et ralise une bijection croissantede ]0, 1[ vers ] 1, 1[. Ainsi : 1

0

dtt(1 t) =

11

du1 u2 = arcsin(u)

11

= pi

La fonction arctan(t)1 + t2 est domine en + par1t2

; Lintgrale +0

arctan(t)1 + t2 dt est donc

convergente.Le changement de variable u(t) = arctan(t) est de classe C1 et ralise une bijection crois-sante de [0,+[ sur [0, pi2 [. Ainsi :

De manire informelle du = dt1 + t2 et +0

arctan(t)1 + t2 dt =

pi2

0u du = pi

2

8 .

Fonctions usuellesExponentielles et logarithmesFonctions trigonomtriques rciproques

Limite - ContinuitLimitesComparaison de fonctionsContinuit

DrivationDveloppements limitsIntgration sur un segmentIntgration sur un intervalle quelconqueIntgrales impropresGnralitsPropritsCritres de convergence pour les fonctions positivesConvergence absolueDivergence Grossire

Techniques pour le calcul d'intgralesIntgration par partiesChangement de variable