COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES Partie 1

COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 1 1998-2011

Cours Exercice Auteur de la Ressource Pédagogique PICQ Martine

2 PC Premier semestre

Version 2011

MATHEMATIQUES

Cours et exercices de MathématiquesDeuxième année - premier semestre

1998-2011

[email protected]

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© [M. PICQ], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Ce document est contitué de diverses notes, des exercices et dequelques sujets d’examens qui accompagnent un cours de mathé-matiques donné depuis 1998 en seconde année de premier cycle àl’INSA de Lyon. Toutes les remarques permettant d’améliorer cedocument seront bienvenues.

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Table des matières

1 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES 11.1 COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Equations linéaires scalaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . 41.1.3 Equations linéaires vectorielles d’ordre 1 . . . . . . . . 91.1.4 Equations linéaires scalaire d’ordre 2 . . . . . . . . . . 21

1.2 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.1 Révisions - réduction des matrices diagonalisables . . . 261.2.2 Equation différentielle linéaire scalaire d’ordre1 . . . . 281.2.3 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.4 Equations scalaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . 411.2.5 Problème de physique : un montage électrique . . . . . 45

2 SERIES NUMERIQUES 472.1 COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.2 Prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.3 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.1.4 Séries à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.5 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.6 Opérations sur les termes d’une serie . . . . . . . . . . 68

2.2 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.1 Révisions suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2.3 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.2.4 Termes positifs, ordre-équivalence-domination . . . . . 772.2.5 Termes positifs : Riemann, géométriques ou intégrale . 792.2.6 Des séries aux suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2.7 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2.8 Opérations sur les termes d’une série . . . . . . . . . . 842.2.9 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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3 SUITES ET SERIES D’APPLICATIONS 883.1 COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.2 Suites d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.3 Séries d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.1.4 Annexe 1 : limite et somme d’une série d’applications . 1113.1.5 Annexe 2 : convergence uniforme et théorème d’Abel . 1123.1.6 Annexe 3 : convergence uniforme sur tout segment. . . 115

3.2 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2.1 Tracés avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2.2 Suites de fonctions et convergence simple . . . . . . . . 1203.2.3 Suites de fonctions-convergence uniforme . . . . . . . . 1223.2.4 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.2.5 Un problème : La fonction zêta de Riemann . . . . . . 127

4 SERIES ENTIERES 1284.1 COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.1.3 Domaine de convergence simple . . . . . . . . . . . . . 1324.1.4 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . 1354.1.5 Propriétés de la somme d’une série entière . . . . . . . 1384.1.6 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . 1414.1.7 Exponentielle de la variable complexe . . . . . . . . . . 146

4.2 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.2.1 Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.2.2 Convergence simple et Rayon de convergence . . . . . . 1484.2.3 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . 1494.2.4 Convergence uniforme et Propriétés de la somme . . . 1504.2.5 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . 1514.2.6 Exponentielle de la variable complexe . . . . . . . . . . 155

5 ESPACES VECTORIELS NORMES 1565.1 COURS PARTIE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.1.2 Normes et distances sur un espace vectoriel . . . . . . . 1605.1.3 Suites et séries convergentes dans un espace vectoriel

normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.1.4 Complétude d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . 1665.1.5 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.1.6 Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

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5.2 COURS PARTIE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2.3 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.3 ANNEXE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.4 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4.1 Espace vectoriel normé- Définitions - Suites conver-

gentes dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . 1965.4.2 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.4.3 Equivalence de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.4.4 Ouverts, fermés, fermés bornés . . . . . . . . . . . . . . 2115.4.5 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

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Chapitre 1

EQUATIONSDIFFERENTIELLESLINEAIRES

Sommaire

1.1 COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Equations linéaires scalaires d’ordre 1 . . . . . . . 41.1.3 Equations linéaires vectorielles d’ordre 1 . . . . . . 91.1.4 Equations linéaires scalaire d’ordre 2 . . . . . . . . 21

1.2 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.1 Révisions - réduction des matrices diagonalisables 261.2.2 Equation différentielle linéaire scalaire d’ordre1 . . 281.2.3 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.4 Equations scalaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . 411.2.5 Problème de physique : un montage électrique . . . 45

1.1 COURS

1.1.1 Introduction

1.1.1.1 Résumé

Ce cours propose l’étude d’une forme particulière d’équations différentiellesque sont les équations différentielles linéaires et ceci en trois temps.

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1. Tout d’abord en commençant par l’étude des équations différentielleslinéaires scalaires d’ordre 1 : théorème de Cauchy-Lipschitz, structuresalgèbriques de l’ensemble des solutions, boîte à outils techniques desméthode de variation de la constante et des coefficients indéterminés..

2. Puis en abordant l’étude plus générale des systèmes différentiels li-néaires - c’est à dire des équations différentielles linéaires où l’inconnueest une fonction vectorielle : examen du problème de Cauchy, struc-ture algébrique de l’ensemble des solutions. Formule de représentationdans le cas particulier des systèmes différentiels linéaires à coefficientsconstants.

3. En appliquant enfin ces résultats à l’étude des équations différentielleslinéaires scalaires d’ordre n, puis en donnant quelques techniques derésolution applicables à certaines équations à coefficients constants etdont la connaissance est indispensable en physique.

1.1.1.2 Positionnement mathématique

Cette écologie restreinte ne doit pas faire oublier que, la plupart du temps,le processus de variation d’un phénomène, est « modélisé »par une équationdifférentielle non linéaire. Ainsi l’équation de Newton exprimant la positiond’un corps Pi de masse mi soumis à la force d’attraction de (n-1) autres corpsP1..Pi−1. . . Pn représentée à l’instant t par un vecteur yi(t) est une équationdifférentielle non linéaire qui s’écrit :

miy”i(t) = G∑

j 6=i

mimjyj(t)− yi(t)

‖ yi(t)− yi(t) ‖3

On ne sait toujours pas maîtriser ce type de conditions écrite pourtant dès1687 dans les Principia : personne n’avait imaginé les solutions correspon-dant aux entrelacements dans les anneaux de Saturne avant leur découverteexpérimentale, et personne ne sait si ces solutions sont génériques ou excep-tionnelles.L’approche développée dans ce cours ne pourra pas être directement exportéedans le vaste monde des équations différentielles même dans les cas favorablesoù l’existence, voire l’unicité de solutions, peut être établie. Les mathéma-ticiens ont actuellement développé des méthodes qualitatives d’étude dessolutions qui consistent à décrire, sans chercher de formule explicite, les pro-priétés d’éventuelles solutions directement à partir de la forme de l’équation

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différentielle et des méthodes quantitatives qui consistent à chercher desalgorithmes pour approximer les solutions.

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1.1.2 Equations linéaires scalaires d’ordre 1

Etant donnés un intervalle I de R, a et b deux applications supposées conti-nues sur I à valeurs dans K = R ou K = C, on note A une primitive de a surI et y0 un élément de K.

On note (C1(I,K) , +·) l’espace vectoriel des fonctions continûment dérivablesde I dans K.

1.1.2.1 Définitions

Exemple 1.1.1.

Definition 1.1.Soit y une application de I dans K. Nous dirons que y est solution sur I del’équation différentielle (E) y′ = ay + b si elle est dérivable sur I et si :

∀t ∈ I y′(t) = a(t)y(t) + b(t)

La recherche d’une solution sur I de l’équation différentielle (E) qui prenne enun point t0 de I la valeur initiale y0 constitue le problème de Cauchy relatifà la condition initiale y(t0) = y0. Il est défini par :

t ∈ I

{y′(t) = a(t)y(t) + b(t)

y(t0) = y0

Definition 1.2.Une telle équation différentielle est dite :

- ordinaire car la fonction inconnue est une fonction d’une seule variable

- du premier ordre car elle exprime une relation entre y’(t), valeur de ladérivée première de y en t, y(t)et t.

- linéaire car elle a pu être explicitée sous la forme canonique y’(t)=f(y(t),t)où f vérifie f(y(t),t)= a(t)y(t)+ b(t), où les coefficients a(t) et b(t) ne dépendentque de la variable t et pas de y.

- à coefficients constants lorsque de plus le coefficient a est constant, indé-pendant de t.

- homogène lorsque b est l’application nulle sur I.

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1.1.2.2 Etude théorique

1.1.2.3 Cauchy Lipschitz linéaire - facteur intégrant

Théorème 1.1. théorème de Cauchy Lipschitz dans le cas linéaire scalaireSi les applications a et b sont continues sur l’intervalle I alors le problème deCauchy {

y′ = ay + b

y(t0) = y0

admet une et une seule solution sur I donnée par la formule de représentationsuivante :

∀t ∈ I y(t) = eA(t)−A(t0)y0︸︷︷︸solution de y′=ay valeur y0 en t0

+eA(t) (

t∫

t0

e−A(s)b(s)ds)

︸︷︷︸solution de y′=ay+b valeur 0 en t0

(1.1)

Remarque 1.1.1. on peut écrire :

y(t) = e

t∫t0

a(s)ds

y0 +

t∫

t0

e

t∫s

a(u)dub(s) ds = eA(t)−A(t0) y0 +

t∫

t0

e(A(t)−A(s))b(s)ds

démonstration. Méthode du facteur intégrantRemarquons que :

∀t ∈ I y′(t) = a(t)y(t) + b(t) ⇔ e−A(t)(

y′(t)−a(t)y(t))

= e−A(t)b(t)

Cette écriture est motivée par la remarque que si y est dérivable sur I, alorsye−A est dérivable sur I et a pour dérivée (y′− ay)e−A. En multipliant par leterme e−A(t), appelé facteur intégrant, l’équation différentielle se réduit àune quadrature, en effet l’égalité précédente s’écrit :

∀t ∈ I (e−Ay︸︷︷︸)′(t) = e−A(t)b(t) (1.2)

(e−Ay) est donc la primitive de (e−Ab) qui prend en t0 la valeur e−A(t0)y0 :

∀t ∈ I, (e−Ay)(t) = e−A(t)y(t) = e−A(t0)y0 +

t∫

t0

e−A(u)b(u)du

¤

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Exemple 1.1.2. : On suppose que I = R. Ecrire l’équation différentiellelinéaire du premier ordre obtenue pour a(t) = 2t et b(t) = 1. Résoudresur R le problème de Cauchy défini par la condition initiale y(0)=0. Vousremarquerez que la solution ne peut pas être exprimée à l’aide de fonctionsélémentaires, elle s’écrit très simplement à l’aide d’une "fonction spéciale", la

fonction d’erreur définie par t 7→ erf(t) =2√π

∫ t

0e−s2

ds, dont on ne connaît

que quelques valeurs exactes.1

1.1.2.4 Conséquences

La formule de représentation (1.1) donne une méthode de calcul exact ouapproché mais permet aussi de bien voir la structure de l’ensemble des solu-tions, comment elles dépendent de la condition initiale, du second membreb.

Proposition 1. structure vectorielle des solutions dans le cas homogèneToute solution de l’équation différentielle y′(t) = a(t)y(t) vérifiant une condi-tion initiale en t0 s’écrit : t 7→ C eA(t) C ∈ K, et décrit la droite vectorielleengendrée par l’application (t ∈ I 7→ eA(t)) lorsque la valeur initiale décrit K.On dit que t 7→ eA(t)C C ∈ K est la solution générale de l’équation homogèney′ = a(t)y.

démonstration. : Cela résulte du théorème (1.1) et de la formule (1.1) avecC = e−A(t0)y(t0). ¤

1.1.2.4.1 Méthode de variation de la constanteCet oxymore met en valeur une technique de calcul qui permet de retrouver lesdeux primitivations de la formule de représentation, tout en évitant de retenircette formule. Elle se déroule de la manière suivante :

1Nous verrons que erf(t) peut être évaluée à l’aide de son développement en série

erf(t) = t− t3

3 · 3!+

t5

5 · 5!+ · · · ainsi erf(1.0) ' 0.8427007794.

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Pour résoudre le problème de Cauchy y′ = a(t)y + b(t) y(t0) = y0 :

1. On calcule une primitive A de a sur I et on écrit la solution générale del’équation homogène y′ = a(t)y :

t 7→ eA(t)C C ∈ K.

2. On met en oeuvre la variation de la constantea, en cherchant y sous laforme

y(t) = eA(t)C(t).

On retrouve, en calculant la dérivée du produit eA(t)C(t), le résultatdonné par (1.2) et C est déterminée par eA(t)C ′(t) = b(t) et C(t0), d’où :

C ′(t) = e−A(t)b(t) et C(t0) = e−A(t0)y0.

aIci interprètée comme un changement de fonction inconnue, la nouvelle fonction incon-nue étant t 7→ C(t)

démonstration. : en cours ¤

Proposition 2. structure affine des solutions de l’équation complète (E)Soit ϕ0 une solution sur I de l’équation différentielle linéaire y′(t) = a(t)y(t)+b(t), alors toute solution sur I de cette équation, s’écrit sous la forme y(t) =ϕ0 + C eA(t) où C est un élément de K.On dit que ϕ0 est une solution particulière de y′ = ay + b et que la solutiongénérale de y′ = ay + b est la somme de la solution particulière et de lasolution générale de l’équation homogène associée, y′ = ay.

démonstration. : Si ϕ0(t) = C0eA(t) + (

t∫t0

b(s)e(A(t)−A(s)))ds), alors

C = y(t0)e−A(t0) − C0

¤

1.1.2.4.2 Cas x′(t) = ax(t) + P (t)ert.

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Théorème 1.2. Méthode de coefficients indéterminésSi a est contstant et si b(t) est de la forme P (t)ert où P est un polynôme àcoefficients dans K, on peut chercher une solution particulière de l’équation

t ∈ R{

y′(t) = ay(t) + P (t)ert

y(t0) = y0

sous la forme

si r 6= a Q(t) · ert si r = a t ·Q(t) · ert

où Q est un polynôme à coefficients dans K de même degré que P

démonstration. C’est une méthode de coefficients indéterminée dont la dé-monstration s’appuie sur cette règle du calcul des primitives : Si m 6= 0 P (t)emt

a une primitive de la forme Q(t)emt où Q est un polynôme de même degréque P. Si m = 0 la primitive de P nulle en 0 est un polynôme de la forme tQoù Q est un polynôme de degré p. ¤En conséquence, la solution cherchée, selon ( 2) est de la forme

si r 6= a kea t + Q(t) · ert si r = a kea t + t ·Q(t) · ert

où k est une constante que l’on calcule en prenant en compte la conditioninitiale.Principe de superposition lorsque b s’écrit comme somme de termesbi tels que l’on connaît ϕi solution sur I de y′ = ay + bi(t) :Supposons b = b1 + b2 où b1 et b2 sont continues sur l’intervalle I. Si ϕ1 et ϕ2

sont respectivement solutions sur I de y′ = ay + b1(t) et y′ = ay + b2(t) alors(ϕ1 + ϕ2) est solution sur I de y′ = ay + b(t).

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1.1.3 Equations linéaires vectorielles d’ordre 1

Soit I un intervalle de R, b une application vectorielle de I dans Kn où Kdésigne le corps R ou C et où n est un entier naturel non nul. Soit t ∈ I 7→ a(t)une application de I dans L(Kn), a(t) est donc un endomorphisme de Kn. Onnote C1(I,Kn), l’espace vectoriel des applications continûment dérivables deI dans Kn, on se donné enfin un élément t0 ∈ I et y0 ∈ Kn.rappel :Dire que y = (y1, y2.., yn) est dérivable sur I, c’est dire que chacune desapplications coordonnées yi 1 ≤ i ≤ n est dérivable sur I. La dérivée de yest alors l’application vectorielle, notée y′, définie par y′ = (y′1, y

′2.., y

′n).

Exemple 1.1.3. :Sur I = R, avec K = C, n = 4 vérifier que l’application inconnue t 7→y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t), y4(t)) à valeurs dans C4 vérifie l’égalité vectorielle∀t ∈ I y′(t) = a(t) y(t) + b(t) où a(t) est l’endomorphisme de C4 de matriceM(t) dans la base canonique de C4 et b(t) le vecteur de matrice coordonnéeB(t) dans la base canonique de C4

M(t) =

1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4t

B(t) =

t + 1200

si et seulement si ses coordonnées satisfont l’ensemble des quatre égalités, quiforme ce qu’on appelle le système différentiel :

y′1(t) = y1(t) +1 + ty′2(t) = 2y2(t) +2y′3(t) = 3y3(t)y′4(t) = 4ty4(t)

(1.3)

Vérifier que toute solution sur R à valeurs dans C4 de ce système peut s’écriresous la forme :

{αet

1000

+ βe2 t

0100

+ γe3 t

0010

+ δe2 t2

0001

+

−t− 2−100

où (α, β, γ, δ) ∈ C4}Déterminer la solution qui prend en t0 = 0 la valeur y0 = (1, 0, 0, 0).

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On généralise les définitions données dans le cas scalaire1

Definition 1.3.Soit y une application de I dans Kn. Nous dirons que y est solution sur I del’équation différentielle (E) y′ = a(t) · y + b si y est dérivable sur I et si :

∀t ∈ I y′(t) = a(t) · y(t) + b(t) (1.4)

La recherche de la solution sur I de (1.4) qui prenne en t0 la valeur y0 constituele problème de Cauchy défini sur I par (1.4) pour la condition initialey(t0) = y0. {

∀t ∈ I y′(t) = a(t) · y(t) + b(t)

y(t0) = y0.(1.5)

L’égalité vectorielle qui caractérise l’équation différentielle (1.4) peut êtreécrite matriciellement avec la matrice colonne Y (t) du vecteur y(t) et celleY ′(t) du vecteur y′(t) dans la base canonique de Kn sous la forme :

∀t ∈ I Y ′(t) = M(t)Y (t) + B(t) (1.6)

avec

Y (t) =

y1(t)y2(t)...

yn(t)

M =

a1,1(t) a1,2(t) . . . a1,n(t)a2,1(t) a2,2(t) . . . a2,n(t)

......

...an,1(t) an,2(t) . . . an,n(t)

B(t) =

b1(t)b2(t)...

bn(t)

Elle peut aussi être écrite en fonction des applications coordonnées yi sousforme du système différentiel :

∀t ∈ I

y′1(t) = a1,1(t)y1(t) + a1,2(t)y2(t) + . . . + a1,n(t)yn(t) + b1(t)

y′2(t) = a2,1(t)y1(t) + a2,2(t)y2(t) + . . . + a2,n(t)yn(t) + b2(t)... +

... + +...

y′n(t) = an,1(t)y1(t) + +an,2(t)y2(t) + . . . + an,n(t)yn(t) + bn(t)

(1.7)

On généralise immédiatement les définitions données dans le cas scalaire1Soit v un vecteur de Kn, on note a · v, pour a(v)

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Definition 1.4.Une telle équation différentielle est dite :

- ordinaire car la fonction vectorielle inconnue dépend d’une seule variable

- du premier ordre car elle exprime une relation entre y’(t), valeur de ladérivée première de y en t, y(t)et t.

- linéaire car elle a pu être explicitée sous la forme canonique y’(t)=f(y(t),t)où y 7→ f(y(t), t) est une application linéaire de y.

- à coefficients constants lorsque de plus l’endomorphisme a est constant,indépendant de t.

- homogène lorsque de plus b est l’application nulle.

1.1.3.2 Preuves constructives dans le cas à coefficients contants

Il s’agit d’apprendre à calculer la solution d’un système différentiel à coef-ficients constants vérifiant une condition initiale donnée. On verra ultérieu-rement dans ce cours que tout système différentiel, linéaire ou non, peutêtre localement approché par un système différentiel linéaire à coefficientsconstants, ces résultats ont donc une grande importance.

1.1.3.2.1 Matrice diagonalisable dans Kn La méthode algèbrique don-née dans ce paragraphe est applicable dès que a est un endomorphisme deCn diagonalisable.Nous supposons donc donnée une base (v1, v2, · · · , vn) de Kn formée de vec-teurs propres de a et notons (λ1, λ2, · · · , λn) les valeurs propres associées,distinctes ou confondues.

Proposition 3.Si v est vecteur propre sur K de l’endomorphisme a alors t 7→ eλt · v estsolution de l’équation différentielle y′ = ay.

Théorème 1.3. systèmes à coefficients constants diagonalisables

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Supposons a diagonalisable dans Kn et b continue sur I, alors le problème deCauchy (1.5) : {

∀t ∈ I y′(t) = a · y(t) + b(t)

y(t0) = y0.

admet une et une seule solution définie sur I à valeurs dans Kn.1. On obtient cette solution dans la base de vecteurs propres (v1, v2, · · · , vn) enécrivant y, y0 et b dans cette base :

y(t) =i=n∑i=1

zi(t)vi y0 =i=n∑i=1

αivi b(t) =i=n∑i=1

βi(t)vi (1.8)

2. y est solution du problème de Cauchy (1.5)si et seulement si chacune descordonnées zi est solution du problème de Cauchy linéaire d’ordre 1 scalaire.

{z′i(t) = λizi(t) + βi(t)

zi(t0) = αi

(1.9)

La solution est :

t ∈ I 7→i=n∑i=1

(αi · eλi(t−t0) +

t∫

t0

βi(s)e−λisds · eλit) vi (1.10)

Exemple 1.1.4.

y′1(t) = y1(t) −y2(t) + 2y′2(t) = 2y1(t) −y2(t)(y1(0) , y2(0)) = (2, 2)

(1.11)

Prenons K = C, les valeurs propres de a sont λ1 = i et λ2 = −i.

l’endomorphisme a de C2 est diagonalisable. Les vecteurs propres sont

v1 =

(1

1− i

)et v2 =

(1

1 + i

)

b(t) s’écrit dans la base (v1, v2) :

b(t) = (1− i)v1 + (1 + i)v2 soit β1(t) = 1− i β2(t) = 1 + i

y(0) s’écrit dans la base (v1, v2) :

(y01, y

02) = v1 + v2 soit α1 = 1 α2 = 1

12


Recherchons y(t), écrit dans la base (v1, v2), sous la forme y(t) = z1(t)v1 +z2(t)v2. L’égalité y′(t) = ay(t) + b(t) s’écrit

z′1(t)v1 + z′2(t)v2 = z1(t)iv1 + z2(t)(−i)v2 + (1− i)v1 + (1 + i)v2

Nous avons ainsi substitué au système formé de deux équations couplées eny1, y2, le système en z1, z2 formé de deux équations linéaires du premier ordre"découplées" :

z′1(t) = iz1(t) +1− iz′2(t) = −iz2(t) +1 + i(z1(0), z2(0)) = (1, 1)

(1.12)

Nous résolvons la première équation, par exemple avec la formule de repré-sentation1 :

∀t ∈ I z1(t) = eit +

t∫

0

(1− i)ei(t−s)ds

D’où :

z1(t) = eit + (1 + i)(1− eit) = −ieit + 1 + i = 1 + sin t + i(1− cos t)

Or z2 = z1 car z2 est solution de l’équation conjuguée avec une conditioninitiale conjuguée.2Il vient :

y(t) = z1(t) ·(

11− i

)+ z1(t) ·

(1

1 + i

)

y(t) = 2Re

(1 + sin t + i(1− cos t)(

1 + sin t + i(1− cos t))(1− i)

)=

(2(1 + sin t)

2(2 + sin t− cos t)

).

démonstration.Lorsque la matrice est diagonalisable dans K où K = C ou K = R, la dé-monstration résulte immédiatement de la formule (1.1) du théorème (1.1).Lorsque a est un endomorphisme de Rn3 et que la valeur y0 est dans Rn,

1La méthode du facteur intégrant ou celle des équations scalaires à coefficientsconstants dont le second membre est de la forme P (t) exp rt sont applicables

2Ce qui se constate immédiatement en écrivant

z2(t) = e−it +

t∫

0

(1 + i)e−i(t−s)ds.

3cas d’un système différentiel à coefficients réels

13


l’exemple précédent montre que si a n’est pas diagonalisable dans Cn sansl’être dans Rn, on travaille dans C, mais la solution obtenue à la fin des cal-culs est réelle.En effet, les valeurs propres et les vecteurs propres sont deux à deux conju-gués. Les coordonnées des vecteurs réels b et y0 relatives à des vecteurs conju-guées sont conjuguées, ce qui conduit à des équations deux à deux conjuguées


zi(t0) = αi

et


zi(t0) = αi

dont les solutions sont conjuguées et la somme est réelle. ¤Le théorème suivant concerne le cas particulier des systèmes différentielshomogènes à coefficients constants de matrice diagonalisable. Lorsque b estnul, (1.10) donne l’expression de la solution sur R de y′ = a y qui prend ent0 la valeur y0 =

∑i=ni=1 αivi. Lorsque y0 décrit Kn, on obtient l’ensemble des

solutions.

Théorème 1.4. systèmes homogènes à coefficients constants diagonalisablesSupposons que l’endomorphisme a de Kn soit diagonalisable, et que(v1, v2, · · · , vn) soit une base de vecteurs propres de a, respectivement asso-ciés aux valeurs propres (λ1, λ2, · · · , λn), alors la solution sur R de y′ = a yqui prend en t0 la valeur y0 =

∑i=ni=1 αivi devient :

t ∈ R 7→i=n∑i=1

αieλi(t−t0)vi. (1.13)

L’ensemble des solutionsa sur R à valeurs dans Kn du système homogèney′(t) = ay(t) est un espace vectoriel sur K de dimension n. Une base de cetespace vectoriel est donc :

(eλ1tv1 , eλ2tv2 , · · · , eλntvn)

aOn dit encore que la solution générale à valeurs dans Kn de ce système homogène est :

i=n∑

i=1

αieλit · vi où αi ∈ K.

démonstration.(1.13) se déduit immédiatement de (1.10). Il suffit d’utiliser l’égalité (1.13)pour t0 = 0. Lorsque la condition initiale décrit Kn, le n-uplet (α1, · · · , αn)

14


décrit Kn et la solution décrit

{i=n∑i=1

αieλit · vi / αi ∈ K.}

Cet ensemble de solution coïncide avec l’espace vectoriel de dimension n en-gendré par les applications vectorielles t ∈ R 7→ eλitvi. Toute solution (ou lasolution générale) s’écrit comme combinaison linéaire sur K des applicationsvectorielles t ∈ R 7→ eλitvi. ¤

Voici un cas où l’endomorphisme a n’est pas nécessairement diagonalisableet où il est cependant possible de calculer les solutions.

1.1.3.2.2 Matrice triangulaire Cette technique de calcul est généralecar un endomorphisme de Cn peut toujours être représenté dans une baseconvenablement choisie par une matrice triangulaire. Lorsque a est triangu-laire, elle ne suppose pas de connaissances particulières. Il suffit de remarquerque l’on peut résoudre successivement chacune des équations.Technique de résolution en cascade d’un système différentiel trian-gulaire.

Supposons b continue sur I, si l’endomorphisme a de Kn est constant et définipar une matrice triangulaire alors le problème de Cauchy (1.5) :

{∀t ∈ I y′(t) = a · y(t) + b(t)

y(t0) = y0.

admet une et une seule solution définie sur I à valeurs dans Kn.On obtient cette solution en résolvant "en cascade" le système différentielobtenu.

Montrons cette technique sur un exemple, soit à résoudre sur C2, λ étant unréel donné non nul, le système différentiel :

z′1(t) = λz1(t) +z2(t) +1z′2(t) = λz2(t)(z1(0), z2(0)) = (1, 1)

(1.14)

équivaut à : {z′2(t) = λz2(t)z2(0) = 1

⇔ z2(t) = eλt

15


et{

z′1(t) = λz1(t) +eλt +1z1(0) = 1

⇔ z1(t) = (1 +1

λeλt + teλt − 1

λ)

1.1.3.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas général

Dans le cas où a n’est pas constant1 il n’y a pas de technique générale decalcul des solutions, par contre il existe un théorème, le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui assure l’existence et l’unicité de la solution, il sera établi ulté-rieurement dans ce cours.

Théorème 1.5. théorème de Cauchy-Lipschitz existence et unicitéSupposons a et b continues sur I, alors le problème de Cauchy (1.5) :

{∀t ∈ I y′(t) = a · y(t) + b(t)

y(t0) = y0.

admet une et une seule solution définie sur I à valeurs dans Kn.

Conséquence :En conséquence si le système à différentiel est à coefficients réels et si lacondition initiale est à valeurs dans Rn il y a une solution dans Rn qui estaussi solution dans Cn, c’est donc la solution dans Cn. Nous avions obtenuce résultat par le calcul algébrique dans le cas des coefficients constants, onpeut le retenir sous la forme : La solution (réelle) d’un système différentieldonnée par le théorème de Cauchy-Lipschitz peut-être cherchée dans R oudans C.

Lorsque la condition initiale y0 décrit Kn, la solution du problème de Cauchydécrit l’ensemble des solutions à valeurs dans Kn de l’équation différentiellelinéaire. Cet ensemble lorsque l’équation est homogène a une structure d’es-pace vectoriel.

Théorème 1.6. structure vectorielle des solutions de l’équation y′ = a ( t ) y

1c’est à dire où a dépend de la variable t

16


L’ensemble des solutions à valeurs dans Kn de l’équation différentielle linéairehomogène y′ = a y est un sous-espace vectoriel de dimension n de C1(I,Kn).Pour tout t0 dans R, l’application

y 7→ y(t0)

définit un isomorphisme de l’espace vectoriel SH sur Kn.

démonstration.

1. t0 étant un élément donné de I, l’application δ0 de C1(I,Kn) dans Kn

qui à φ associe φ(t0) est linéaire par définition des opérations sur lesapplications.De plus cette application définit une bijection de l’espace vectoriel SH

des solutions à valeurs dans Kn de y′ = ay sur Kn car, selon le théorèmede Cauchy-Lipschitz (1.5), un élément quelconque y0 de Kn admet unantécédent et un seul par δ0.

¤On remarque pour un système différentiel à coefficients constants et de ma-trice diagonalisable, on dispose non seulement de ce résultat théorique concer-nant la forme de la solution mais aussi de l’expression de la solution qui en t0prend une valeur donnée, c’est à dire de l’isomorphisme inverse de y 7→ y(t0) :C’est l’égalité (1.10).Conséquence :Si on connaît n solutions (φ1, φ2, . . . φn) de l’équation homogène à valeursdans Kn. Elles forment une base de l’espace vectoriel des solutions à valeursdans Kn de l’équation homogène si et seulement si leurs images par l’isomor-phisme δ0, c’est à dire leurs valeurs en t0 forment une base de Kn, c’est àdire si et seulement si dét[φ1(t0), φ

2(t0), . . . φn(t0)] est non nul en un point t0

de I. Ce résultat ne dépend pas du choix de t0. En particulier le déterminantdét[φ1(t), φ2(t), . . . φn(t)] est alors non nul en tout point de I.1

En reprenant l’exemple (1.1.4) déjà étudié, le système différentiel homogèneassocié s’écrit :Exemple 1.1.5.

y′1(t) = y1(t) −y2(t)y′2(t) = 2y1(t) −y2(t)

(y1(0), y2(0)) = (2, 2)(1.15)

1L’image réciproque d’une base de Kn par l’application δ0 introduite dans la démons-tration du théorème (1.6) est une base de l’espace vectoriel des solutions de l’équationhomogène.

17


Une base de l’espace vectoriel sur C des solutions à valeurs dans C2 de cesystème est :

(ϕ1, ϕ2) où ϕ1(t) = eit

(1

1− i

), ϕ2(t) = e−it

(1

1 + i

)

Nous avons répondu à la question concernant l’ensemble des solutions à va-leurs dans C2, mais qu’en est-il pour l’espace vectoriel des solutions à valeursdans R2 dont nous savons d’après le théorème (1.6) que c’est aussi un espacevectoriel sur R de dimension 2 ?

Remarquant que C1ϕ1+C2ϕ2 est à valeurs dans R2 si et seulement si C2 = C1.Une telle solution s’écrit comme combinaison linéaire à coefficients réels deRe(ϕ1) et de Im(ϕ1). On écrit

ϕ1(t) =

(cos t + i sin t

cos t + sin t + i(sin t− cos t)

)

Une base de l’espace vectoriel des solutions à valeurs dans R2 de ce systèmeest :

(φ1, φ2) où φ1(t) =

(cos t

cos t + sin t

), φ2(t) = e−it

(sin t

sin t− cos t

)

Remarque 1.1.2.Si a est un endomorphisme de Rn dont les valeurs propres ne sont pastoutes réelles, on pourra, comme dans l’exemple précédent, déduire de la base(eλ1tv1..e

λktvk, eµ1tw1, e

µ1tw1, · · · , eµptwp, eµptwp) de l’espace vectoriel des so-

lutions à valeurs dans Cn la base

(eλ1tv1..eλktvk, 2Re(eµ1tw1), 2Im(eµ1tw1), · · · , 2Re(eµptwp), 2Im(eµptwp))

de l’espace vectoriel des solutions à valeurs dans Rn.

Et que devient le refrain bien connu "on obtient la solution générale de l’équa-tion complète en ajoutant à la solution particulière la solution générale del’équation homogène associée". Il reste vrai dans le cas vectoriel, c’est ce quesignifie le théorème suivant :

Théorème 1.7. structure affine des solutions de l’équation complèteSoient SH l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène y′ = ay et ψune solution de l’équation "complète" y′ = ay + b(t). L’ensemble des solutionsde l’équation complète s’écrit {φ + ψ/φ ∈ SH}.

18


démonstration. en cours¤

Théorème 1.8. principe de superposition

Si ψk est solution de l’équation y′ = ay + bk(t) alors∑

ψk est solution del’équation y′ = ay +

∑bk(t).

1.1.3.4 Compléments : Méthode de variation des constantes

Il existe une écriture vectorielle qui généralise la méthode de variations desconstantes appliquée à chacune des équations du système (1.10) lorsquel’on cherche zi(t) sous la forme pi(t) exp λit en appliquant ce qui suit avecφi(t) = exp λitvi.

Méthode de variation des constantes

Soit (φ1, φ2, . . . , φn) une base de l’espace vectoriel sur K des solutions à valeursdans Kn de l’équation homogène associée. On peut chercher les solutions de(E) sous la forme

(t 7→ φ(t) = p1(t)φ1(t) + p2(t)φ2(t) + . . . + pnφn(t))

φ est solution de (E) si et seulement on a :

∀t ∈ I ∀i ∈ [1, n] p′i(t) = qi(t)

où qi(t) est la composante sur φi(t) de b(t) écrit dans la base(φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t)) de Kn.

Exemple 1.1.6. Soit à résoudre sur l’intervalle I =]− π

4,π

4[,

y′1(t) = y2(t)

y′2(t) = −y1(t) +1

cos 2t(y1(0) , y2(0)) = (1, 1)

(1.16)

en remarquant que φ1(t) =

(cos t− sin t

)et φ2(t) =

(sin tcos t

)forment une

base de l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène. Nous verronsen exercice (TD 1.26) que l’on peut, bien entendu, résoudre cet exercice parla méthode du théorème (1.3), les calculs sont identiques.

19


Eléments de réponse : en effet on vérifie immédiatement que ces applicationsà valeurs dans R2 sont solutions du système homogène de plus les vecteurs

φ1(0) =

(10

)et φ2(0) =

(01

)sont indépendants donc (φ1, φ2) est une

base de solutions comme image réciproque par l’application y 7→ y(0) d’unebase de R2.On cherche y(t) sous la forme

∣∣∣∣∣∣

y(t) = p1(t)φ1(t) +p2(t)φ2(t)y′(t) = p1(t)aφ1(t) +p2(t)aφ2(t) +p′1(t)φ1(t) + p′2(t)φ2(t)

ay(t) + b(t) = p1(t)aφ1(t) +p2(t)aφ2(t) +b(t)

Pour toute valeur de t, (φ1(t), φ2(t)) est une base de R2, on peut donc écrireb(t) dans cette base :

b(t) =

(01

cos 2t

)= α

(cos t− sin t

)+β

(sin tcos t

)⇒ α = − sin t

cos 2t, β =

cos t

cos 2t

Il vient :p′1(t) = − sin t

2 cos2 t− 1et p′2(t) =

cos t

1− 2 sin2 t

D’où :

p1(t) = p1(0) +

∫ cos t

0

du

2u2 − 1p2(t) = p2(0) +

∫ sin t

0

du

1− 2u2

Remarquant que p1(0) = 1 et p2(0) = 1, il vient :

p1(t) = 1− 1

2√

2ln

1 +√

2 cos t

1−√2 cos tp2(t) = 1 +

1

2√

2ln

1 +√

2 sin t

1−√2 sin t

y(t) = (1− 1

2√

2ln

1 +√

2 cos t

1−√2 cos t)

(cos t− sin t

)+(1+

1

2√

2ln

1 +√

2 sin t

1−√2 sin t)

(sin tcos t

)

20


1.1.4 Equations linéaires scalaire d’ordre 2

On se donne un intervalle, I de R et trois applications de I dans K, notéesai(t 7→ ai(t)1 ≤ i ≤ 2) et b.


Definition 1.5.Une équation différentielle (L) de la forme :

y” + a1(t)y′ + a2(t)y = b(t) (L)

est appelée équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 2.Une application ϕ est solution de (L) sur I si elle est définie deux fois dérivablesur I et si :

∀t ∈ I ϕ”(t) + a1(t)ϕ′(t) + a2(t)ϕ(t) = b(t)

Si a1 et a2 sont indépendants de t, on dit que L est à coefficients constants.Si b est nulle on dit que L est homogène.

1.1.4.2 Théorème de Cauchy-Lipschitz

Une équation linéaire d’ordre 2 sur K équivaut à un système d’ordre1 sur K2. Soit y une application n fois dérivable sur I, à tout réel t dans I,on associe le vecteur z(t) de coordonnées (y(t), y′(t)) dans la base canoniquede K2.

y ∈ (C2(I,K), +, .) 7→ z ∈ ((C1(I,K))2, +, .) / Z =

(yy′

)

L’application Ψ qui à y ∈ (C2(I,K), +, .) associe z ∈ ((C1(I,K))2, +, .) estlinéaire injective De plus y est solution de l’équation différentielle linéairescalaire d’ordre 2 (L), si et seulement si v est solution du système différentiellinéaire d’ordre 1, (E) qui s’écrit matriciellement sous la forme :

V ′ = AV + B(t)

où

V =

(yy′

)A(t) =

(0 1−a2 −a1

)B(t) =

(0

b(t)

)

21


y solution de (L) ⇐⇒ Ψ(y) = z solution de (E).

En conséquence la condition initiale v(t0) = v0 s’écrit sous la forme y(t0) =v0

1, et y′(t0) = v02.

Definition 1.6.On associe à l’équation (L), le problème :

{y” + a1(t)y

′ + a2(t)y = b(t)

y(t0) = v01 et y′(t0) = v0

2

appelé problème de Cauchy associé à l’équation (L) en t0 pour la valeurinitiale (v0

1, v02).

Nous déduisons du théorème de Cauchy-Lipschitz relatif aux systèmes diffé-rentiels un théorème théorique d’existence et d’unicité sans qu’il soit possiblede donner une méthode générale de calcul des solutions.

Théorème 1.9. théorème de Cauchy-LipschitzSi les applications a1, a2 et b sont continues sur I à valeurs dans K alors leproblème de Cauchy

{y” + a1(t)y

′ + a2(t)y = b(t)

y(t0) = v01 et y′(t0) = v0

2

admet une solution et une seule de classe C2 sur I à valeurs dans K.

Théorème 1.10. C espace vectoriel des solutionsL’ensemble des solutions à valeurs dans K de l’équation homogène

y” + a1(t)y′ + a2(t)y = 0

est un espace vectoriel sur K de dimension 2.

Remarque 1.1.3.Dans le cas d’une équation linéaire d’ordre 2 homogène si connaît une solu-tion ϕ, on pourra déterminer l’espace vectoriel des solutions par la méthoded’abaissement du degré en effectuant le changement de fonction inconnuey = ϕz, on constera que z′ est solution d’une équation linéaire du premierordre. Voir TD.

22


Théorème 1.11. : structure affine de l’ensemble des solutionsSoit ϕ0 est une solution particulière de l’équation complète (L), l’ensemble dessolutions de cette équation est ϕ + ϕ0 où ϕ est solution de l’équation homogèneassociée.

Théorème 1.12. : Principe de superpositionSi on note (L1) et(L2) et (L) respectivement les équations :

y(2) + a1(t)y′ + a2(t)y = b1(t)

y(2) + a1(t)y′ + a2(t)y = b2(t)

y(2) + a1(t)y′ + a2(t)y = b1(t) + b2(t)

et si ϕ1 et ϕ2 sont solutions de (L1) et (L2) alors ϕ1 + ϕ2 est solution de (L)

1.1.4.3 Résolution dans le cas de coefficients constants

Definition 1.7.On appelle polynôme caractéristique associé à l’équation y”+a1y

′+a2y = 0,le polynôme P défini par P (r) = r2 + a1r + a2.

1.1.4.3.1 Résolution d’une équation homogène à coefficients constants

Théorème 1.13. C espace vectoriel des solutionsL’ensemble des solutions de y” + a1y

′ + a2y = 0 est un espace vectoriel sur Cde dimension 2 engendré par,

1. si P admet deux racines distinctes λ1 et λ2 :

t 7→ exp (λ1t) et t 7→ exp (λ2t)

2. si P admet une racine double λ :

t 7→ exp (λt) et t 7→ t exp (λt)

.

démonstration. démonstration en cours. ¤

Théorème 1.14. R espace vectoriel des solutions

23


Si les coefficients a1 et a2 sont réels, l’ensemble des solutions réelles de (LH)est un espace vectoriel sur R de dimension 2 engendré par,

1. si P admet deux racines réelles distinctes λ1 et λ2 :

t 7→ exp (λ1t) et t 7→ exp (λ2t).

2. si P admet deux racines complexes conjugées λ1 = α1 + iβ1 et λ1 :

t 7→ exp (α1t) cos (β1t) et t 7→ exp (α1t) sin (β1t).

3. si P admet une racine double λ :

t 7→ exp (λt) et t 7→ t exp (λt).

1.1.4.3.2 Résolution pratique d’une équation à coefficients constantsavec un second membre de la forme P (t)ert

Théorème 1.15. Equation complète, méthode des coefficients indéterminés,lorsque b(t) est de la forme P (t)ert

Si b(t) = P (t)ert où r ∈ C et où P est un polynôme de degré k on pourrachercher une solution particulière de la forme.

(t 7→ Q(t)ert) si r n’est pas solution de l’équation caractéristique.

(t 7→ tQ(t)ert) si r est racine simple de l’équation caractéristique.

(t 7→ t2Q(t)ert) si r est racine double de l’équation caractéristique.

où Q est un polynôme de C[X] de degré k.

1

Exemple 1.1.7. Déterminer une solution de l’équation différentielle

y” = −2y′ − 10y + e−t cos3 t

en écrivant e−t cos3 t comme la somme d’expressions de la forme P (t)erit eten appliquant le principe de superposition.réponse :

e−t sin 3t

24+

3e−t cos t

32.

1Si r est réel et si les coefficients de (L) sont réels, Q est un polynôme de R[X]. Si rest complexe et si les coefficients de (L) sont réels, Q est un polynôme de R[X]

24


1.1.4.4 Complément variation des constantes

Etant données deux solutions y1, y2 de (LH) à valeurs dans K, on note

∀t ∈ I w(y1, y2)(t) = det

(y1(t) y2(t)y′1(t) y′2(t)

)

Proposition 4.w(y1, y2) s’annule en tout point de I, si et seulement si il s’annule en aumoins un point de I.(y1, y2) est une base de l’espace vectoriel des solutions (LH) à valeurs dansK si et seulement w(y1, y2) est non nul en au moins un point de I.

L’application w définie sur R est appelé le wronskien de (y1, y2)

25


1.2 EXERCICES

1.2.1 Révisions - réduction des matrices diagonalisables

Exercice 1.1. Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de lamatrice

M =

0 1 00 0 11 −1 1

M est-elle diagonalisable sur R, sur C ?Voilà ce que vous pouvez-vous obtenir comme réduction avec Maple :

> with(linalg): M :=> matrix(3,3,[0,1,0,0,0,1,1,-1,1]);

M :=

0 1 0

0 0 1

1 −1 1

> J := jordan(M, ’P’);

J :=

1 0 0

0 i 0

0 0 −i

> print(P);

1/2 1/4 + 1/4 i 1/4− 1/4 i

1/2 −1/4 + 1/4 i −1/4− 1/4 i

1/2 −1/4− 1/4 i −1/4 + 1/4 i

Pensez-vous que la matrice de passage P , dont vous donnerez la définition,soit définie de manière unique ?

Eléments de réponseMaple vous permet de vérifier vos résultats. Non diagonalisable sur R, ellel’est sur C.

Exercice 1.2. Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de lamatrice

M =

0 −1 20 1 01 1 −1

26


Montrer que M est diagonalisable sur R. Déterminer une base de vecteurspropres de cette matrice et l’écrire sous la forme PDP−1 ?Eléments de réponseUtilisez la procédure précédente, que vous permet de vérifier Maple sur cetexemple ? D est définie de manière unique à une permutation des colonnesprès et P ?

D =

1 0 00 1 00 0 −2

, P =

2 0 10 2 01 1 −1

Exercice 1.3. 1. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice

M =

2 −3 −11 −2 −1−2 6 3

.(a) Vérifier que M admet une unique valeur propre λ1 = 1.(b) Pourquoi peut-on dire immédiatement que la matrice M n’est pas

diagonalisable sur R, ni sur C.(c) Montrer que le sous-espace propre associé, E1, est de dimension

2. Soit (e1, e2) une base de E1.

(a) Quelle est la forme de la matrice T de l’endomorphisme f de R3

canoniquement associé à cette matrice dans une base de R3 de laforme (e1, e2, e3).

(b) Ecrire M sous la forme P−1TP .

(a) Montrer que la matrice (I −M)2 est nulle.(b) Ce résultat contient-il celui donné par le théorème de Cayley-

Hamilton, théorème qui énonce que la matrice (I −M)3 est nulle,ou bien en est-il une conséquence ?.

Eléments de réponseE1 est le plan vectoriel d’équation x−3y−z = 0. On peut choisir e1 = (1, 0, 1)et e2 = (0, 1,−3). On peut choisir e3 = (0, 0, 1).La dernière colonne de lamatrice T est alors tf(e3) où f(e3) = (−1,−1, 1).Exercice 1.4. 1. Montrer que la matrice

M =

−1 0 −20 1 02 3 3

admet une valeur propre réelle λ1 = 1

27


2. Vérifier que le sous-espace propre associé E1 = vecte′1 où e′1 = (−1, 0, 1).3. La matrice M est-elle diagonalisable sur R ?.4. vérifier que R3 = E1

⊕F1 où F1 = vect(e2, e3)

5. Soit f , l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à cette ma-trice et p la projection sur F1 parallélement de direction E1 et f1

l’endomorphisme du plan vectoriel F1 qui à un vecteur u u associef1(u) = p(f(u)). Ecrire la matrice de f dans la base (e′1, e2, e3) de R3

puis celle de l’endomorphisme f1 dans la base (e2, e3) du plan vectorielF1 .

6. Vérifier que 1 est valeur propre de f1 et montrer que le sous-espacepropre associé est. vecte3

7. Vérifier que la matrice T de f dans la base (e′1, e3, e2) est triangulaire.

1.2.2 Equation différentielle linéaire scalaire d’ordre1

1.2.2.1 apprentissage du cours

Exercice 1.5.1. Résoudre le problème de Cauchy 1 t ∈ R y′(t) = y(t) + t et y(1) = −1

1. en appliquant la formule de représentation.2. avec la méthode du facteur intégrant.3. par la méthode de variation de la constante.4. en appliquant la régle relative aux équations linéaires à coefficient

constant dont le second membre est de la forme P (t)ert.

2. Inéquation : trouver une fonction f qui majore y sur [1, +∞[ sachant que :

∀t ∈ R y′(t) ≤ y(t) + t et y(1) = −1

avec Maple ce problème de Cauchy peut s’écrire :> dsolve(D(y)(t)=y(t)+t,y(1)=-1,y(t)) ;ou> Eq := (diff(y(x),x)+y(x)=x) ;> dsolve(Eq,y(1)=-1,y(x)) ;

question supplémentaire : Observez le graphique suivant qui représente quelquessolutions de l’équations différentielle étudiée. Quelles remarques faites-vous ?(asymptote..)

1toutes les méthodes du cours peuvent lui être appliquées

28


-5

-4

-10

t

42

y(t)

0

10

5

-20

Fig. 1.1 – courbes représentatives de l’équation y’=y+t

Exercice 1.6.La hauteur, h(t), de l’eau contenue à l’instant t dans un seau percé de hauteur1 vérifie l’équation différentielle h′ = −K

√h où K est un réel positif donné.

1. Trouver, en vous inspirant de la solution au problème physique que cetteéquation modélise, une solution de cette équation définie sur I = R+

et qui vérifie h(0) = 1.2. Montrer qu’il existe une infinité de solutions vérifiant h(1) = 0.

Eléments de réponse

Cette solution vérifie 2√

h(t) = 2−Kt, pour t <2

Kelle s’annule pour t =

2

K.

Vérifier que on peut la prolonger par 0 pour t >2

K. Dessiner les solutions et

voir qu’il y a une infinité de solutions si la valeur initiale est nulle

Exercice 1.7. intensité du courant dans un circuit en sérieL’intensité du courant d’un circuit en série est une fonctions I du temps quivérifie l’équation différentielle E :

RI ′ +1

CI = V sinωt

où R, C, ω sont des constantes positives.1. Montrer que E admet une seule solution ϕ0 périodique2. Justifier le terme "régime stationnaire" attribué à cette solution.

Eléments de réponseLes solutions de E s’écrivent comme somme d’une fonction périodique et

29


d’une solution de l’équation homogène associée qui est non périodique et quidiminue rapidement au bout de quelques périodes.

1.2.2.2 pour aller plus loin

Exercice 1.8. :

1. Montrer qu’une primitive sur [2, +∞[ de (x2 − 4)−3

2 est − x

4√

x2 − 4

2. Déterminer la solution sur ]2, +∞[ du problème de Cauchy y′ = +x

x2 − 4·

y +2

x2 − 4et y(2

√2) =0 en 2 ?

3. Déterminer la solution sur ]− 2, 2[ du problème de Cauchy y(0) = 0 et

y′ = +x

x2 − 4· y +

2

x2 − 4

4. prolongement : Etudier le problème de Cauchy défini sursur R avec la condition initiale en 0, y(0) = y0 relatif à l’équationdifférentielle

(x2 − 4) · y′ = x · y + 2

Exercice 1.9.Résoudre chacun des problèmes de Cauchy :

1.x ∈ R y′ − 2xy = shx− 2xchx y(0) = 0

2.x ∈]− π

2,π

2[ y′ + y tan x = sin 2x y(0) = y0

3.x ∈]− π

2,π

2[ y′ + y tan x =

1

cos xy(0) = y0

30


4.x ∈ R xy′ + y = arctan 2x y(1) = π/4

5. Désintégration radio-active généralisée.

x ∈ R y′ = −2|y| y(1) = y0

6.x ∈ R y′ = −2|y| y(0) = y0

où y0 est un paramètre réel donné.

Exercice 1.10. coefficients constantsRésoudre chacun des problèmes de Cauchy :

1.x ∈ R y′ = y + 2tch(t) y(0) = 0

2.x ∈ R y′ = y + t cos t y(0) = 0

Eléments de réponseCes méthodes de calcul de solutions d’une équation différentielle à coeffi-cients constants par la méthode des coefficients indéterminés étaienttrès utiles, il y a quelques années, avant la prolifération des logiciels de calculformel... Pour le moment vous devez encore connaître ces méthodes et vousdevez en particulier vérifier que la forme des solutions que vous proposezsatisfait ces règles. Ici on détermine successivement les solutions de :

x ∈ R y′ = y + tet et x ∈ R y′ = y + te−t

L’équation homogène y′ = ay avec a = 1 a comme ensemble solution Cet C ∈R.Dans chacun des deux cas le second membre est de la forme P (t)ert.Pour la première équation r = a = 1. On cherche donc une solution de laforme ϕ(t) = tQ(t)et = t(αt+β)et = (αt2 +βt)et. Alors ϕ′(t) = (αt2 +(2α+β)t + β)et. Il vient :

(αt2 + (2α + β)t + β)et = (αt2 + βt)et + tet

31


α =1

2β = 0

Pour la seconde équation r 6= a. On cherche donc une solution de la formeϕ(t) = P (t)e−t = (αt + β)e−t. Alors ϕ′(t) = (−αt + (α− β))e−t. Il vient :

(−αt + (α− β))e−t = (αt + β)e−t + te−t

α = −1

2β = −1

4

Une solution particulière de l’équation proposée est donc :

1

2t2 exp t− 1

2te−t − 1

4e−t

L’ensemble solution de l’équation proposée est donc :

{1

2t2 exp t− 1

2te−t − 1

4e−t + Cet}

La solution qui vaut 0 en 0 est :

1

2t2et − 1

2te−t − 1

4e−t +

1

4et

Pour la seconde équation, on remarque qu’il suffit de trouver une solutionparticulière de l’équation :

x ∈ R y′ = y + teit

Alors, sa partie réelle est solution de :

x ∈ R y′ = y + t cos t

r 6= a. On cherche donc une solution de la forme ϕ(t) = Q(t)eit = (αt+β)eit.Alors ϕ′(t) = (iαt + (α + iβ))eit. Il vient :

(iαt + (α + iβ))eit = (αt + β)eit + teit

(i− 1)α = 1 (i− 1)β = −α ⇒ α = −1 + i

2β = − i

2

Une solution particulière de l’équation donnée est :

Re(−1 + i

2t(cos t + i sin t) +

i

2(cos t + i sin t)) =

1

2(−t cos t + t sin t + sin t)

Cette solution vaut 0 en 0. C’est la solution cherchée.

32


1.2.3 Systèmes différentiels


Exercice 1.11. Appliquer le théorème (1.3)1Résoudre le système différentiel :

{y′1 = y1 − y2

y′2 = y1+ y2 − 1

La réponse donnée par Maple :> restart: with(DEtools):> SH:=D(y1)(t)=y1(t)-y2(t),D(y2)(t)=y1(t)+y2(t)> ;

SH := D (y1) (t) = y1 (t)− y2 (t) , D (y2) (t) = y1 (t) + y2 (t)

> dsolve({SH},{y1(t),y2(t)});{y2 (t) = et (

_C1 sin (t) + _C2 cos (t))

, y1 (t) = et (_C1 cos (t)− _C2 sin (t)

)}

> S:=D(y1)(t)=y1(t)-y2(t),D(y2)(t)=y1(t)+y2(t)-1;

S := D (y1) (t) = y1 (t)− y2 (t) , D (y2) (t) = y1 (t) + y2 (t)− 1

> dsolve({S},{y1(t),y2(t)});{y2 (t) = 1/2 + et (

_C2 sin (t) + _C1 cos (t))

, y1 (t) = 1/2− et (−_C2 cos (t) + _C1 sin (t))}

> ics := y1(0)=2, y2(0)=2;

ics := y1 (0) = 2, y2 (0) = 2

Solve the system subject to the initial condition.> dsolve([S, ics]);

{y1 (t) = 1/2− et (−3/2 cos (t) + 3/2 sin (t)) , y2 (t) = 1/2 + et (3/2 sin (t) + 3/2 cos (t))

}

Exercice 1.12. Appliquer le théorème (1.4) :

On se propose de résoudre dans C2 puis dans R2, le problème de Cauchypour le système différentiel écrit matriciellement sous la forme :

(y′1y′2

)=

(3 −24 −1

) (y1

y2

)

avec la condition initiale(

y1(0)y2(0)

)=

(01

)

1. Ecrire ce système.2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice M

de ce système dans C.1ou méthode de variation des constantes

33


3. Déterminer la solution de ce système en effectuant les calculs dans Cet en vérifiant que la solution obtenue est réelle en utilisant l’exempledonné en cours pour illustrer le théorème d’existence et de calcul deCauchy Lipschitz (Cauchyvectorielconstanthomogène).

4. Donner une base de l’espace vectoriel des solutions à valeurs dans C2 dece système homogène, puis une base de l’espace vectoriel des solutionsà valeurs dans R2.

5. Voici une autre manière d’écrire les calculs précédents. Ecrire la matricede passage P qui permet de diagonaliser M "dans la base de vecteurspropres obtenue" en écrivant M = PDP−1 et retrouver le résultat pré-cédent en effectuant le changement de fonction inconnue z avec Y = PZet en vérifiant que z est solution du système différentiel précédemmentévrit et dont les équations sont découplées(la matrice du système estdiagonale).

Exercice 1.13.

Déterminez une solution du système différentiel :

Y ′ =(

3 −14 1

)Y +

(cos tsin t

)

de la forme de la forme (a cos t + b sin tc cos t + d sin t

)

Résoudre sur R, le problème de Cauchy obtenu pour ce système et la condi-tion initiale :

Y (0) =

(1−2

)

34


Exercice 1.14.

A =

0 2 −2−2 0 12 −1 0

1. Montrer que la matrice A est diagonalisable .2. Résoudre le système différentiel Y’=AY .3. Résoudre le système différentiel Y’=AY + B(t) où

B(t) =

900


Exercice 1.15. matrice non diagonalisable

A =

0 1 −11 1 01 0 1

1. Montrer que la matrice A n’est pas diagonalisable2.Déterminer un vecteur w2 de R3 qui appartient à Ker(A− I) puis un vec-teur w3 de R3 qui appartient à Ker(A− I)2 sans appartenir à Ker(A− I)3. Vérifier que dans une base B formée de deux vecteurs propres w1 et w2

de A et de w3, l’endomorphisme représenté par la matrice A dans la basecanonique de R3 est représenté par une matrice triangulaire4. Résoudre le système différentiel Y’=AY en utilisant un changement d’ap-plication inconnue Y=PZ où P est convenablement choisie.

1.2.3.2.1 système non homogène à coefficients non constants

Exercice 1.16. **

35


1. Diagonaliser la matrice

A(t) =

t

1 + t21

1 + t2

− 1

1 + t2t

1 + t2

2. Résoudre le système différentiel Y’=A(t)Y3. Résoudre le système différentiel Y’=A(t)Y+B(t) où

B(t) =

2t2 − 1

1 + t23t

1 + t2

Eléments de réponseCe n’est pas un système à coefficients constants, mais la matrice de ce systèmeest diagonalisable avec une matrice de passage P, indépendante de t

P =

(1 1i −i

)

Matrice qui permet de réduire A = PDP−1 à la matrice diagonale

D =

t + i

1 + t20

0t− i

1 + t2

1.2.3.2.2 systèmes d’ordre supérieur à 1

Exercice 1.17.

On considère le système différentiel du second ordre{

x” + 3y′ − 4x + 6y = 0x′ + y” − 2x + 4y = 0

)

1. Montrer que ce système différentiel du second ordre peut être remplacépar un système différentiel du premier ordre.

2. Montrer que l’ensemble solution de ce système forme un sous-espacevectoriel de dimension 4

3. Donner une base de ce sous-espace vectoriel.

36


Exercice 1.18.On considère un système masses-ressorts représenté sur le schéma ci-après.Deux masses m1 = 2kg et m2 = 1kg, sont reliées par un ressort de raideurk2 = 2Nm−1 et sont attachées à un support fixe par un ressort de raideur k1 =4Nm−1. On note à chaque instant t les déplacements x(t) et y(t) des deuxmasses à partir de la position d’équilibre , après avoir, à l’instant t=0, déplacé

ces masses vers le bas de 1 mètre.

On admettra que la loi de Newton permet d’établir que les applications x ety vérifient :

2x” = −4x + 2(y − x)

y” = −2(y − x)

1. Montrer que l’application vectorielle X(t 7→ (x(t), x′(t), y(t), y′(t)) estsolution d’un système différentiel (S) d’ordre 1 que l’on écrira.

2. Vérifier que i et 2i sont valeurs propres de la matrice du système dif-férentiel (S) précédemment défini. Déterminer des vecteurs propres as-sociés. En déduire l’espace vectoriel des solutions à valeurs dans C de(S).

3. Sachant que les conditions initiales permettent d’écrire :

x(0) = 1 x′(0) = 0 y(0) = 1 y′(0) = 0

déterminer l’expression de x et de y en fonction du temps t.

Exercice 1.19. d’après un sujet de partielOn se propose d’étudier l’équation différentielle linéaire d’ordre 4 à coeffi-cients constants, notée (L) où l’inconnue y désigne une application de Rdans R, quatre fois dérivable sur R, de dérivée quatrième y(4) :

y(4) + 4y = 0 (L)

37


en revenant à un système différentiel d’ordre 1.Montrer qu’une application y définie sur R à valeurs dans C est solution decette équation différentielle avec la condition initiale

f(0) = 1, f ′(0) = 0, f”(0) = 0, f (3)(0) = 0 (I)

si et seulement si l’application vectorielle Y définie sur R à valeurs dans C4

par Y =

yy′

y”y(3)

est solution d’un système différentiel d’ordre 1 (E) :

Y ′ = AY (E)

où A est une matrice carrée d’ordre 4 que l’on explicitera et avec une conditioninitiale que l’on explicitera. On note Y = Ψ(y) l’application linéaire de C4(R)

dans C1(R)4 définie par y 7→ (y, y′, y”, y(3)) .

1. Quel est la dimension de l’espace vectoriel (SE) des solutions de (E) àvaleurs dans C4. ?

2. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A. Montrer quela matrice A est diagonalisable dans C, choisir une base de vecteurspropres de A,(V1, V2, V3, V4), et exprimer à l’aide de (V1, V2, V3, V4) unebase de (SE)

3. Définir un isomorphisme de l’espace vectoriel (SL, +, .) sur l’espace vec-toriel (SE), +, .)

4. Donner la dimension de l’espace vectoriel (SL) et une base de (SL)5. Montrer que l’équation (L) admet une solution et une seule vérifiant la

condition initiale (I).6. Donner une base B de l’espace vectoriel des solutions de (L) à valeurs

dans R.

Exercice 1.20. d’après un sujet de partielSoient a,b deux réels non nuls donnés et le système différentiel

(y′1(t)y′2(t)

)=

(a bεb a

)(y1(t)y2(t)

)(1.17)

où ε ∈ {−1, 1} et où la variable t désigne le temps et décrit R.

38


1. On suppose ε = 1. Déterminer la solution du système différentiel (1.17),notée yα

1 , qui vérifie la condition initiale

yα 1(0) = α1 et yα 2(0) = α2 (1.18)

2. Pourquoi une solution du système (1.17) qui s’annule à un instant t0est-elle nulle 2 ?On suppose ε = 1, 0 < −b < a, pour quelles valeurs de la condi-tion initiale α = (α1, α2) la solution yα vérifie-t-elle lim

t−→+∞yα 1(t) =

0 et limt−→+∞

yα 2(t) = 0? Représenter, dans le plan rapporté à un re-

père (O(−→i ,−→j )), les points de coordonnées (α1, α2) correspondants.

3. On suppose ε = −1, déterminer la solution yα3 du système différentiel

(1.17) qui vérifie la condition initiale (1.18).4. Soit h une constante et y une solution du système (1.17). Montrer que

l’application z (t 7→ z(t) = y(t − h)) est aussi solution du système(1.17). En déduire, en prenant h = t0− t1, que si y vérifie y(t0) = y(t1)avec t0 < t1 alors y est périodique de période (t1 − t0). Pour quellesvaleurs des paramètres ε, a et b le système (1.17) admet-il une solutionpériodique ?

Exercice 1.21. sujet Dans toute la suite, a désigne un réel non nul ; vousnoterez t la variable.

1. On veut déterminer la solution z = (z1, z2, z3) du problème de Cau-chy défini par le système différentiel linéaire homogène à coefficientsconstants

z′1 = −a z1 + z2

z′2 = z3

z′3 = −a2z2

(1.19)

pour la condition initiale

z1(0) = 0z2(0) = 3z3(0) = 0

(1.20)

(a) Ecrire la matrice associée à ce système1yα = (yα1, yα2)2∀t ∈ R y(t) = (0, 0))3yα = (yα1, yα2)

39


(b) Vérifier qu’elle est diagonalisable et déterminer une base de vec-teurs propres

(c) Donner une base de l’espace vectoriel des solutions du système(1.19) en énonçant avec soin le théorème du cours utilisé.

(d) Déterminer la solution du problème de Cauchy obtenu pour lacondition initiale (1.20).

2. On se propose d’aborder différemment le système différentiel (1.19). 1.

(a) Montrer, en énonçant les théorèmes du cours utilisés, que le sys-tème différentiel (4.5)

{x′ = −a x + yy” = −a2 y

(1.21)

admet une solution et une seule u=(x,y) qui vérifie la conditioninitiale :

x(0) = 0y(0) = 3y′(0) = 0

(1.22)

(b) Calculer la solution du système différentiel (4.5) qui vérifie lacondition initiale (1.22) .

(c) Montrer que si u = (x, y) est solution du système différentiel (4.5)alors ϕ = (x, y, y′) est solution d’un système différentiel du premierordre.

(d) Vérifier la cohérence des résultats obtenus dans la première et dansla seconde question.

1y" représente la dérivée seconde de y

40


1.2.4 Equations scalaires d’ordre 2

1.2.4.1 exercices d’apprentissage du cours

Exercice 1.22. équations à coefficients constants, second membre P (t)ert

Soit n un entier positif ou nul. On considère l’équation différentielle

y”n(t) + yn(t) = cos(nt) ∀t ∈ R (1.23)

1. Donner l’ensemble des solutions réelles de cette équation en fonctiondes valeurs de l’entier n.

2. En déduire pour p entier non nul donné l’ensemble des solutions réellesde l’équation différentielle

y”(t) + y(t) =

n=p∑n=1

ancos(nt) ∀t ∈ R (1.24)

où les an est une constante réelle.Exercice 1.23. abaissement du degré

1. Vérifier que ϕ1 : (t 7→ sin t) est solution sur I =]0,π

2[ de l’équation

différentielley”− tan t · y′ + 2y = 0

2. Résoudre sur I =]0,π

2[ l’équation différentielle en effectuant le change-

ment de fonction inconnue y(t) = sin (t)z(t).

y”− tan t · y′ + 2y = 0

3. méthode utilisant le wronskien(a) Vérifier si ϕ2 est solution de cette équation le wronskien w =

ϕ1ϕ′2 − ϕ2ϕ

′1 est solution d’une équation différentielle linéaire du

premier ordre

(b) Vérifier w(t) =k

cos t

(c) En remarquant que w(t) = (ϕ2

ϕ1

)′(t), retrouver l’ensemble solution

de l’équation différentielle y”− tan t · y′ + 2y = 0.

indications pour (3) :Le wronskien w(y1, y2) est solution de l’ équation diffé-rentielle du premier ordre w′ = −a1w donc w = w(t0)exp− ∫ t

t0a1(s)ds

Remarquant que (y2

y1

)′ =w(y1, y2)

y21

, on calcule (y2

y1

)′ puis (y2

y1

) et enfin y2.

41


Exercice 1.24.Résoudre le problème de Cauchy sur l’intervalle I= ]0, +∞[

y” + 4y′ + 4y =e2x

x2, y(1) = 0 y′(1) = 0

en faisant le changement de fonction inconnue y = e2xz

Exercice 1.25.Résoudre le problème de Cauchy sur l’intervalle I= ]0, +∞[

x2y”− xy′ − 3y = x3, y(1) = 0 y′(1) = 0

en faisant le changement de variable x = et, ce qui revient à déterminerl’application z définie par z(t) = y(et)

Exercice 1.26.Une équation de Bernouilli est de la forme y′ = a(x)yα + b(x)y, elle estnon linéaire lorsque le réel α est différent de 1, on la résoud en effectuant lechangement de fonction inconnue z = y1−α. Appliquer cette méthode pourrésoudre l’équation

x2y′ + y + y2 = 0, y(1) = 1

en précisant sur quel ensemble la solution donnée peut être définie.


Exercice 1.27.Résoudre1 par la méthode du théorème (1.3) le problème de Cauchy sur

l’intervalle I= ]−π

4,π

4[

y” + y =1

cos 2t, y(0) = 1 y′(0) = 1

Solution : C’est une équation à coefficients constants mais le second membreb(t) continue sur I, ne peut être exprimé sous forme du produit d’un polynômeet d’une exponentielle. On revient donc à un système d’ordre 1 à coefficientsconstants en introduisant y1 = y et y2 = y′, même si nous cherchons seule-ment y1. Ce système s’écrit :

y′1 = y2

y′2 = −y1 +1

cos 2t

(1.25)

1Cet exercice est résolu en cours par la méthode de variation des deux constantes. vousconstaterez que les calculs sont identiques

42


Selon le théorème (1.3), il suffit de chercher les vecteurs propres de l’endo-morphisme a défini dans la base canonique par sa matrice :

M =

(0 1−1 0

)

Ce sont les vecteurs v1 = (1, i) et v2 = (1,−i). Nous cherchons (y1, y2) dansla base (v1, v2) en écrivant :

(y1, y2) = z1 v1 +z2 v2

(y′1, y′2) = z′1 v1 +z′2 v2

a(y1, y2) = z1i v1 +z2(−i) v2

(0,1

cos 2t) = − i

2 cos 2tv1 +

i

2 cos 2tv2

(1, 1) =1− i

2v1 +

1 + i

2v2

Nou calculons z1 et z2, nous en déduirons y = z1 +z2. L’égalité (1.25) s’écrit :

z′1 = iz1 − i

2 cos 2t

z′2 = −iz2 +i

2 cos 2t

z1(0) =1− i

2z2(0) =

1 + i

2

(1.26)

Les équations qui forment le système (1.26) ont des solutions qui sont conju-guées. D’où y = z1 + z2 = 2Re(z1). Selon la formule de représentation(1.1)donnée au début de ce cours (ou par la méthode de variation de laconstante) on sait :

z1(t) =1− i

2eit + eit

∫ t

0

− ie−is

2 cos 2sds

Il reste à calculer :∫ t

0

− ie−is

2 cos 2sds =

∫ t

0

sin s− i cos s

2 cos 2sds

∫ t

0

sin s− i cos s

2 cos 2sds =

∫ t

0

sin s

2 cos 2s+ i

∫ t

0

− cos s

2 cos 2sds

Avec le changement de variable u = cos s puis v =√

2u :

∫ t

0

sin s

2 cos 2sds =

∫ cos t

0

1

2u2 − 1du = − 1√

2

∫ √2 cos t

0

1

1− v2dv = − arg tanh (

√2 cos t)

43


Avec le changement de variable u = sin s puis v =√

2u :

∫ t

0

− cos s

2 cos 2sds =

∫ sin t

0

1

1− 2u2du =

1√2

∫ √2 sin t

0

1

1− v2dv = arg tanh (

√2 sin t)

D’où :

Re(eit

∫ t

0

− ie−is

2 cos 2sds = − cos t arg tanh (

√2 cos t)− sin t arg tanh (

√2 sin t)

y(t) = 2Re(z1) = cos t + sin t + arg tanh (√

2 sin t) + arg tanh (√

2 sin t)

où arg tanh x =1

2ln

1 + x

1− x

44


1.2.5 Problème de physique : un montage électrique

sujet rédigé avec Daniel BabotDans le montage présenté ci-dessous R, C, L, M sont des constantes :

Fig. 1.2 – représentation du circuit

– la constante R égale à 100 est la mesure en ohm de la résistance– la constante C égale à 12×10−6 est la mesure en farad de la capacité

du condensateur– la constante L égale à 0,37 est la mesure en henry des selfs des deux

bobines identiques– la constante M égale à 0,35 est la mesure en henry du coefficient d’in-

ductance mutuelle entre ces deux bobines– la constante U égale à 100 est une mesure en volt

A l’instant t=0 on ferme le contacteur (K), le problème est de chercher s’il estpossible de donner l’expression de la charge q du condensateur en fonction dutemps sachant que l’application t −→ q(t) est supposée de classe C3. D’unepart, on établit en appliquant les lois de la physique, que q vérifie l’équationdifférentielle :

(L2 −M2)q(3) + RLq(2) +L

Cq(1) +

R

Cq = RU (L)

où q(n) désigne l’application dérivée nieme de l’application q.

D’autre part les propriétés des éléments de ce circuit permettent d’affirmerque

– la tension aux bornes du condensateur est nulle à l’instant t=0 et doncla charge q(0) est nulle à l’instant t=0.

– l’intensité est nulle à l’instant t=0 et donc la dérivée de la charge q′(0)est nulle à l’instant t=0.

45


– De plus on sait que

q(2)(0) =LU

L2 −M2= 0.25104

1. Montrer que la résolution de cette équation différentielle scalaire d’ordre3 1 peut se ramener à celle d’un système différentiel d’ordre 1 en intro-duisant comme nouvelle inconnue une application vectorielle Y conve-nablement définie en fonction de q.Dans toute la suite de cet exercice vous noterez, (S), le système diffé-rentiel d’ordre 1 ainsi introduit.

2. Le cours permet-il d’affirmer l’existence ou l’unicité d’une solution del’équation (L) vérifiant les conditions initiales définies par l’énoncé ?

3. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel des solutions de l’équationhomogène (LH) associée à (L)

(L2 −M2)q(3) + RLq(2) +L

Cq(1) +

R

Cq = 0 (LH)

4. Ecrire la matrice du système différentiel homogène (SH) associé au sys-

tème différentiel (S), précédemment écrit. Vérifier que −104

12et −104

9sont racines de son polynôme caractéristique, puis résoudre le systèmehomogène (SH).

5. Déterminer l’ensemble solution de l’équation (LH).6. Répondre au problème initialement posé, en utilisant les résultats de

la question précédente.

1type d’équation pour lequel nous n’avons pas donné en cours de mathématiques d’al-gorithme de résolution ,nous vous proposons ici de généraliser des méthodes vues en cours

46


Chapitre 2

SERIES NUMERIQUES

Sommaire

2.1 COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.2 Prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.3 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.1.4 Séries à termes réels positifs . . . . . . . . . . . . . 572.1.5 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.6 Opérations sur les termes d’une serie . . . . . . . . 68

2.2 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.1 Révisions suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2.3 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.2.4 Termes positifs, ordre-équivalence-domination . . 772.2.5 Termes positifs : Riemann, géométriques ou intégrale 792.2.6 Des séries aux suites . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2.7 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2.8 Opérations sur les termes d’une série . . . . . . . . 842.2.9 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

47


2.1 COURS

2.1.1 Introduction

2.1.1.1 Résumé

Dans ce chapitre, on définit, à travers un procédé de passage à la limite, unconcept nouveau qui généralise la notion de somme pour un nombre infini determes.

– Par exemple on sait que :

1 +1

2+

1

22+

1

23=

1− 1

24

1

2

1 +1

2+

1

22+ ... +

1

2n=

1− 1

2n+1

1

2

= 2− 1

2n

– Intuitivement plus on somme un grand nombre de termes1

2ken les

prenant tous à partir de 1, plus la somme obtenue se rapproche de 2,ce que l’on a longtemps écrit sous la forme :

1 +1

2+

1

22+ ... +

1

2k+ ... = 2

On distinguera donc les objets mathématiques suivants :

uk =1

2kSn =

k=n∑

k=0

uk = 2− 1

2nlim

n→+∞Sn =

k=+∞∑

k=0

uk = 2

On dit que la série de terme général1

2nconverge, et a pour somme 2.

On donne quelques exemples de référence, étudiés à partir de la seule défini-tion, pour lesquels on calcule la somme. Mais la théorie des séries numériquesconsiste à poser la question de l’existence de cette somme :

1. D’abord pour les séries à termes réels positifs.2. Puis pour les séries dont les termes sont quelconques.3. On étudie enfin si les propriétés de commutativité et d’associativité de

l’addition sont ou non conservées.

48



Ce cours a 189 ans, feuilletez le cours d’ana-lyse de l’Ecole Polytechnique dispensé en1821 par le savant Cauchy et sachez que cemathématicien prestigieux a introduit une ri-gueur toute nouvelle alors en mathématiquesen proposant une étude systématique de laconvergence d’une série.

Le baron de Cauchy,fondateur de l’analysemoderne.

Vous constaterez que l’ordre d’exposition estcelui que nous adoptons ici.

49


2.1.2 Prérequis

1.Convergence d’une suite de nombres complexes

Définition identique à celle de la limite d’une suite réelle : il suffit de substituerle module à la valeur absolue.

Definition 2.1.La suite de nombres complexes (zn) converge vers z si et seulement sila suite (| zn − z |) converge vers 0, ce qui s’écrit :

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N�∀n ∈ N n0 < n =⇒| zn − z |< ε

Théorème 2.1.1. La suite (zn) converge vers z si et seulement si (Rezn) tend vers Rez etsi (Imzn) tend vers Imz.2. Si la suite (zn) converge vers le nombre complexe z, alors la suite (| zn |)converge vers | z |. La réciproque est fausse excepté dans le cas z = 0.3. Si z est différent de 1, la suite (zn) converge si et seulement si | z |< 1. Lalimite est alors respectivement 0.

démonstration. démonstration en cours¤

2. On suppose connue la formule de Taylor Lagrange

Soit I un intervalle ouvert de R qui contient 0 et f une fonction de C∞(I,R),la formule de Taylor-Lagrange s’écrit :

∀x ∈ I ∀n ∈ N ∃θ ∈]0, 1[ f(x) =k=n∑

k=0

xk

k!f (k)(0) +

xn+1

(n + 1)!fn+1(θx)

oùk=n∑

k=0

xk

k!f (k)(0) = f(0) + xf ′(0) +

x2

2!f ′′(0) +

x3

3!f (3)(0) + ... +

xn

n!f (n)(0)

Ceci permet d’écrire, lorque I contient 1, en choisissant x = 1 :

|k=n∑

k=0

f (k)(0)

k!− f(1) |≤ 1

(n + 1)!sup

θ∈[0,1]

| fn+1(θ) |

50


2.1.3 Définitions

Nous supposons donc acquis la notion de suite avec la notation (uk)k∈N pourdésigner la suite de terme général uk.

2.1.3.1 Notions fondamentales

Definition 2.2.Soit (uk)k∈N une suite à termes réels ou complexes. On définit à partir de cettesuite une nouvelle suite (Sn)n∈N, de terme général Sn définie para :

Sn =k=n∑

k=0

uk. (2.1)

Etudier la série de terme général uk, c’est étudier, non pas la suite (uk)n∈N,mais la suite (Sn)n∈N, définie par 2.1. On note la série de terme général uk :

∑uk.

Par définition la nature de la série∑

uk, est celle de la suite (Sn)n∈N.Autrement dit la série

∑uk diverge ou converge selon que la suite (Sn)n∈N

diverge ou converge.aL’étude de cette suite (Sn) fabriquée à l’aide de la suite (uk) peut-être faite directement

à partir d’une théorie qui va être développée dans ce cours et qui permet de raisonner surle terme général uk sans avoir à expliciter l’expression de la somme Sn, en effet (Sn) n’estpas une donnée initiale, la suite (uk) est seul donnée

u0 S0 = u0

u1 S1 = u0 + u1

u2 S2 = u0 + u1 + u2

u3 S3 = u0 + u1 + u2 + u3

. . . . . .

suite (un) suite (Sn)

51


Le terme d’indice n de la suite (Sn) est appelé la somme partielle d’ordren de la série

∑uk, notée

u0 + u1 + ...un ouk=n∑

k=0

uk

Lorsque la série∑

uk converge, la limite S de la suite (Sn), n ∈ N, est appeléela somme S de la série

∑uk, notée

u0 + u1 + ...un + ... ouk=+∞∑

k=0

uk

Lorsque la série∑

uk converge, la différence Rn = S −Sn est appelée le rested’ordre n, Rn, de la série

∑uk, notée

un+1 + ...un+k + ... ouk=+∞∑

k=n+1

uk

2.1.3.2 Exemples de référence

Exemple de référence 2.1. :série exponentielle

La série exponentielle est la série de terme général1

n!défini pour n ∈ N a.

Cette série converge et a pour somme e :

1 + 1 +1

2!+

1

3!+ ...

1

n!+ ... = e s’écrit

k=+∞∑

k=0

1

k!= e (2.2)

aEn particulier u0 = u1 = 1

Exemple de référence 2.2. : série harmonique alternée

La série harmonique alternée est la série de terme général un =(−1)n−1

nsi

1 ≤ n et u0 = 0.Cette série converge et a pour somme ln 2.

1− 1

2+

1

3− ... +

(−1)n−1

n+ ... = ln(2) s’écrit

k=+∞∑

k=1

(−1)k−1

k= ln(2)

52


Exemple de référence 2.3. : série géométriqueLa série géométrique est la série de terme général un = zn défini pour n ∈ N.Cette série converge si le module de z est strictement inférieur à 1 et a pour

somme1

1− z. Elle diverge dans tous les autres cas.

| z |< 1 1 + z + z2 − ... + zn + ... =1

1− zs’écrit

k=+∞∑

k=0

zk =1

1− z

démonstration.

z 6= 1 Sn = 1 + z + z2 + z3 + ... + zn =1− zn+1

1− z

| Rn |= | z |n+1

| 1− z |¤

Exemple de référence 2.4. : série harmonique

La série harmonique est la série de terme général u0 = 0, et n ≥ 1 un =1

n.

Cette série diverge.

démonstration.¤

Exemple de référence 2.5. : série de Riemann d’exposant 2La série de Riemann d’exposant 2 est la série de terme général u0 = 0, et

n ≥ 1 un =1

n2. Cette série converge.

démonstration.¤

53


2.1.3.3 Premières propriétés

2.1.3.4 Séries à termes complexes

Théorème 2.2. partie réelle et partie imaginaireUne série

∑uk où uk = ak+ibk (ak, bk) ∈ R2 converge si et seulement la série

des parties réelles,∑

ak, et celle des parties imaginaires,∑

bk, convergent.Alors

k=∞∑

k=0

(ak + ibk) =k=∞∑

k=0

ak + i

k=∞∑

k=0

bk

démonstration. Cela résulte de la définition et de la propriété des suites denombres complexes rappelée en 2.1. ¤

2.1.3.5 Espace vectoriel des séries convergentes

Definition 2.3.Soit

∑uk, k ∈ N et

∑vk, k ∈ N deux séries à termes réels ou complexes et λ

un scalaire réel ou complexe, on sait définir (étude des suites) :– la série produit de la série

∑un et du scalaire λ de terme général

wk = λuk

– la série somme des séries∑

uk et∑

vk, de terme général wk = uk + vk,k ∈ N.

Théorème 2.3. sous-espace vectoriel des séries convergentesSi les séries

∑uk et

∑vk convergent alors, pour tout scalaire λ, chacune des

séries∑

(λuk) et∑

(uk + vk) converge et :

k=+∞∑

k=0

λuk = λ

k=+∞∑

k=0

uk

k=+∞∑

k=0

(uk + vk) =k=+∞∑

k=0

uk +k=+∞∑

k=0

vk (2.3)

démonstration. En cours ¤

Application 1.La somme d’une série convergente et d’une série divergente diverge.

54


Supposons que wn = un + vn, si∑

un et∑

vn sont deux séries divergenteson ne peut rien dire de la nature de

∑wn. En particulier la série

∑wn peut

très bien converger sans que∑

un et∑

vn convergent et dans ce cas on nepeut pas écrire (2.3).

2.1.3.6 Divergence grossière

Proposition 5. Le terme général d’une série convergente tend vers 0Si la série

∑un converge alors la suite (un) tend vers 0. La réciproque est

évidemment fausse.

démonstration. un = Sn − Sn−1 ¤XCette condition nécessaire de convergence n’est pas suffisante : le termegénéral de la série harmonique tend vers 0 mais cette série diverge.

Definition 2.4.Une série grossièrement divergente est une série dont le terme général netend pas vers 0.

Exemple 2.1.1.Il en est ainsi de la série

∑(−1)n.

2.1.3.7 Séries et suites

Cette démonstration établit une correspondance biunivoque entre série etsuite des sommes partielles. Dans un premier temps nous définissons les sériesà partir des suites. Nous allons dans la suite de ce cours introduire des outilspermettant d’étudier directement les séries.

Definition 2.5.Etant donnée une suite (Sn)0≤n, on appelle série des différences associée à(Sn), la série qui a pour suite des sommes partielles (Sn). Son terme généralest en effet :

u0 = S0 uk = Sk − Sk−1 1 ≤ k.

Théorème 2.4. série des différencesUne suite est de même nature que la série des différences associée.

Théorème 2.5. suppression d’un nombre fini de termesOn ne change pas la nature d’une série en supprimant un nombre fini determes. De manière plus précise, s’il existe un entier n0 tel que : n0 ≤ n un =vn alors les séries

∑un et

∑vn sont de même nature. .

55


démonstration.

n0 < n

k=n∑

k=0

uk =k=n∑

k=0

vk + C où C =

k=n0∑

k=0

uk −k=n0∑

k=0

vk

¤

Application 2.Cette propriété permet de passer d’une hypothèse réalisée pour chaque termeau cas où elle est vérifiée seulement à partir d’un certain rang.

56


2.1.4 Séries à termes réels positifs

La suite des sommes partielles est alors une suite croissante, qui convergesi et seulement si elle est majorée. Cette propriété permet d’établir de nom-breux théorèmes de comparaison spécifiques des séries à termes réels de signeconstant.

Remarque 2.1.1. D’après la propriété 2.5, tous les théorèmes énoncés pourles séries numériques à termes réels positifs sont en réalité vrais pour lesséries à termes positifs à partir d’un certain rang. Nous ne mention-nerons plus dans la suite cette propriété.

2.1.4.1 Monotonie de la suite des sommes partielles

Théorème 2.6. majoration des sommes partiellesUne série à coefficients réels positifs est convergente si et seulement si la suitede ses sommes partielles est majorée.

démonstration.Soit (Sn) la suite des sommes partielles d’une telle série

∑uk. La suite (Sn)

est une suite croissante puisque :

∀n ∈ N Sn+1 − Sn = un+1 et un+1 ≥ 0

– soit cette suite est majorée et elle converge et alors

limn→+∞

Sn = sup Sn/n ∈ N

– soit cette suite n’est pas majorée et elle diverge et alors

limn→+∞

Sn = +∞

¤

57


2.1.4.2 Critères de comparaison des séries à termes positifs

Théorème 2.7. comparaison en terme d’ ordreSoient

∑uk et

∑vk deux séries à termes réels. Si

∑uk est à termes positifs

et si pour tout entier k on a :uk ≤ vk

Si la série∑

vk converge, alors la série∑

uk converge et

k=+∞∑

k=0

uk ≤k=+∞∑

k=0

vk

démonstration. en cours ¤

Application 3.Si la série

∑uk diverge, alors la série

∑vk diverge.

Exemple 2.1.2.

Nature de la série∑ 1

1 + k2?,

∑ 1

k − 1,∑ 1

k − cos k?

Rappelons les relations de comparaison définies en première année

Definition 2.6.Soient (uk) et (vk) deux suites réelles telles qu’il existe un entier K et une suite(ϕk) vérifiant

∀k ∈ N K ≤ k uk = ϕk · vk 1 ≤ k

Si (ϕk) est bornée, (uk) est dominée par (vk) noté uk = O(vk)Si (ϕk) tend vers 1, (uk) est équivalente à (vk) noté uk ∼ (vk)Si (ϕk) tend vers 0, (uk) est négligeable devant (vk) noté uk = o(vk)

Remarque 2.1.2.Dans la plupart des cas (vk) est non nul à partir d’un certain rang et vouspourrez écrire :

Si la suite (uk

vk

) est bornée alors uk = O(vk)

Si la suite (uk

vk

) tend vers 1 alors uk ∼ vk

Si la suite (uk

vk

) tend vers 0 alors uk = o(vk)

58


Remarque 2.1.3.Une écriture quantifiée de cette définition sera utile pour établir certainsrésultats théoriques. Vérifier ainsi que uk = O(vk) est équivalent à écrire :

∃M ∈ R, ∀k ∈ N, |uk| 6 M |vk| .

Théorème 2.8. comparaison en terme de dominationSoient

∑uk et

∑vk des séries à termes réels positifs telles que (uk) soit do-

minée par (vk), la convergence de∑

vk entraîne celle de∑

uk.

démonstration. En cours ¤

Corollaire 1.A fortiori si

∑uk et

∑vk sont des séries à termes réels positifs telles que

(uk) est négligeable devant (vk), la convergence de∑

vk entraîne celle de∑uk.

Exemple 2.1.3.

Nature de la série∑ sin2 k

k(k + 1), de la série

∑ ln k

k!?

Théorème 2.9. comparaison en terme d’équivalentsSoient

∑uk et

∑vk deux séries à termes réels, si

∑vk est à termes positifs

et si (uk) est équivalente à (vk), alors la série∑

uk est de même nature que lasérie

∑vk.

démonstration. : uk ∼ vk entraîne uk = O(vk) et vk = O(uk)¤

Exemple 2.1.4.

Nature de la série∑ k2 − ln k

k3 − 2k + cos k + 1après avoir déterminé un équivalent

simple de son terme général ?

2.1.4.3 Par comparaison avec des séries de Riemann

Exemple de référence 2.6. : série de Riemann

La série de Riemanna d’exposant α est la série de terme général u0 = 0, et

1 ≤ k uk =1

kα. Cette série converge si et seulement si 1 < α.

a Parfois la série de Riemann est "cachée" uk = xln k

59


démonstration. En cours¤

Application 4. utilisation de développements limitésSi (n 7→ un) a un développement limité en +∞, la partie principale de ce

développement limité donne un équivalent de un proportionnel à1

nα.

Exemple 2.1.5.Nature de la série

∑un où un = (e

1n2 − 1)

√n

Théorème 2.10. règle nαun

Soit∑

uk une série à termes positifs

1. S’il existe α > 1 tel que uk = O(1

kα) ou uk = o(

1

kα) alors

∑uk converge.

2. S’il existe α ≤ 1 tel que (1

k)α = O(uk) ou (

1

k)α = o(uk) alors

∑uk diverge.


Exemple 2.1.6.

Nature des séries de termes généraux uk =ln k

k2, vk = e−k.

Réponse : uk = αk1

k32

où αk =ln k√

k, (αk) tend vers 0. On peut aussi calculer

k2uk =1√ket vérifier : lim

k→+∞k2uk = 0. Cette pratique justifie la dénomination

de la propriété énoncée ci-dessus.

La série de Riemann∑ 1

k32

d’exposant 32

> 1 est convergente et donc∑

uk

converge.

2.1.4.4 Par comparaison avec des séries géométriques

Si k√

uk ou siuk+1

uk

est constant égal à λ > 0, alors∑

uk est une série géo-

métrique dont la nature dépend de la position de λ par rapport à 1. Lesrègles qui suivent permettent de déterminer la nature de séries à termes réelspositifs

∑uk, comparables à des séries géométriques au sens où, les suites

( k√

uk) ou (uk+1

uk

) convergent vers une constante λ.

60


Théorème 2.11. règle de CauchySi

∑uk est une série numérique à termes réels positifs telle que la suite ( k

√uk)

converge vers une limite λ alors :Si λ < 1 alors la série

∑uk converge.

Si λ > 1 ou λ = 1+ alors la série∑

uk diverge grossièrement.

démonstration. :1 < λ ⇒ ∃K/K ≤ ∀k ∈ N 1 < k ⇒ 1 < k

√uk et 1 < uk

λ < 1 ⇒ ∃K/K ≤ ∀k ∈ N 1 < k ⇒ k√

uk ≤ λ1 =1 + λ

2< 1 et uk

k ≤ λk1.

Or∑

λk1 converge. ¤

Exemple 2.1.7. Nature de la série∑

(k

1 + ak)k où a est un réel positif

donné.Remarque 2.1.4. Si λ = 1+, la série diverge mais si λ = 1 (ou 1−) il n’existepas de résultat général comme le montrent les exemples de l’exercice 2.22.

Théorème 2.12. règle d’AlembertSi

∑uk est une série numérique à termes réels strictement positifs telle que

la suite (uk+1

uk

) ait une limite λ quand k tend vers +∞ :

Si λ < 1 alors la série∑

uk converge.Si λ > 1 ou λ = 1+ alors la série

∑uk diverge grossièrement.

démonstration. En cours ¤Remarque 2.1.5. Si λ = 1+, la série diverge, mais si λ = 1 (ou si λ = 1−)il n’existe pas de résultat général.

Exemple 2.1.8. Déterminer en fonction du réel strictement positif r, la

nature de la série∑

un où un =rn

n2.

2.1.4.5 Comparaison avec une intégrale

Théorème 2.13. nature de∑

f(n)

Si f est une fonction numérique continue par morceaux positive et décroissantesur l’intervalle [n0, +∞[, où n0 est un entier donné, l’intégrale

∫ +∞n0

f(t)dt etla série

∑f(n), n ≥ n0 sont de même nature.

61


démonstration.Observer sur le dessin ci-dessous :

uk = f(k) =

∫ k

k−1

f(k)dt et uk = f(k) =

∫ k+1

k

f(k)dt.

Montrer successivement :

x1 2 3 4 5 6

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

kK 1

kf x dx

k

kC 1f x dx

f(k) f(k)

∫ k

k−1

f(k)dt ≤∫ k

k−1

f(t)dt et∫ k+1

k

f(t)dt ≤∫ k+1

k1

f(k)dt

∫ n+1

n0

f(t)dt ≤k=n∑

k=n0

uk ≤∫ n

n0−1

f(t)dt

Vous savez que l’intégrale impropre∫ +∞

n0f(t)dt converge si et seulement si

la suite (In =∫ n

n0f(t)dt) converge, c’est à dire si et seulement si cette suite

croissante est majorée.∫ +∞

n0f(t)dt est alors la limite de (In). Conclure en

utilisant le théorème 2.6.Sn désigne la somme partielle d’ordre n ¤

Exemple 2.1.9.

Nature de la série de Bertrand∑ 1

n(ln(n))β

2.1.4.6 Séries absolument convergentes

2.1.4.7 Suites de Cauchy

Definition 2.7.Une suite (an) est une suite de Cauchy si :

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N � ∀(n,m) ∈ N2 n > n0 et m > m0 ⇒ |an − am| < ε

62


Proposition 6.Toute suite convergente est une suite de Cauchy.

démonstration.La condition est nécessaire. Si la suite (an) converge, soit ε un réel stricte-ment positif quelconque donné. Appliquons la définition de la limite, on peuttrouver n0 tel que :

∀n ∈ N n > n0 ⇒ |an − λ| < ε

2

On a alors∀m ∈ N m > n0 ⇒ |am − λ| < ε

2

L’inégalité triangulaire permet d’écrire :

|am − an| ≤ |(am − λ) + (λ− an)| ≤ |am − λ|+ |λ− an| ≤ ε

¤

Proposition 7. critère de Cauchy de convergence d’une suiteUne suite numérique à coefficients réels ou complexes est une suite conver-gente si et seulement si cette suite est une suite de Cauchy1.


Conséquence :Ce critère permet d’étudier la convergence d’une suite dont on ne connaîtpas a priori la somme.

Théorème 2.14. critère de Cauchy de convergence d’une sérieUne série numérique à coefficients réels ou complexes,

∑uk, est une série

convergente si et seulement si :

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N � ∀(n,m) ∈ N2 n0 < m < n

⇒ |um+1 + um+2 + ... + un| < ε

0Ceci est faux pour une suite à coefficients rationnels (il suffit de considérer la suitedes valeurs décimales approchées de

√2). Reprenant l’exemple 2 déjà étudié la suite des

sommes partielles de la série de terme générale un = 1n! constitue une suite de rationnels

puisque sn = 1 + 11! + 1

2! + ... + 1n! qui converge vers e

63



Exemple de référence 2.7. : La série harmonique, ne vérifie pas le critèrede CauchySoit p un entier naturel non nul quelconque, on a :

Sp+12 − Sp

2 =1

2p + 1+ ... +

1

2p+1=

1

2p + 1+

1

2p + 2+ ... +

1

2p + 2p. . .

2.1.4.8 Absolue convergence

Definition 2.8. Absolue convergenceUne série à termes réels ou complexes

∑un est dite absolument convergente,

si la série∑ |un| est convergente.

Théorème 2.15. convergence d’une série absolument convergenteSi une série numérique à coefficients réels ou complexes est absolument conver-gente alors cette série est convergente.


Exemple 2.1.10.

Montrer que pour tout nombre complexe z, la série de terme général uk =zk

k!converge.

Montrer que la série de terme général uk =sin k + (−1)k cos 2k

k2converge.

64


2.1.5 Semi-convergence

On commence toujours par étudier si une série est absolument convergenteen s’appuyant sur les règles de comparaison des séries à termes réels positifs.Par contre nous avons vu que la série harmonique alternée converge sansêtre absolument convergente. On développe ici des méthodes plus côuteusesqui seront utilisées pour étudier la convergence de séries qui ne sont pasabsolument convergentes.

Definition 2.9. Semi-convergenceUne série à termes réels ou complexes

∑un qui converge sans être absolument

convergente, est dite semi-convergente.

2.1.5.1 Critère des séries alternées

Definition 2.10.Une série numérique à termes réels

∑un est alternée si pour tout entier n,

un et un+1 sont de signes contraires

Conséquence :– ou bien u0 > 0 et ∀n ∈ N, un = (−1)n|un|– ou bien u0 < 0 et ∀n ∈ N, un = (−1)n+1|un|

Théorème 2.16. critère des séries alternéesSi une série alternée vérifie les deux conditions :(1) La suite (un) tend vers 0,(2) La suite (|un|) est décroissanteAlors cette série converge et de plus son reste d’ordre n a le signe du premierterme négligé et est majoré en valeur absolue par ce terme.

|Rn| ≤ |un+1|

démonstration.Les suites (Vn = S2n) et (Wn = S2n+1) sont adjacentes ...

Si un = (−1)n|un|, pour n = 2p : u2p+1 ≤ Rn ≤ 0, et pour n = 2p − 1 :0 < Rn < u2p.

...¤

65


Exemple de référence 2.8.On appelle série de Riemann alternée d’exposant α la série de terme général :

un =(−1)n−1

nα, 1 ≤ n. Cette série converge si et seulement si 0 < α.a.

aSi α < 0 il y a divergence grossière, si 1 < α convergence absolue

Definition 2.11.La série numérique

∑un est semi-convergente si cette série est convergente

sans être absolument convergente.

Exemple 2.1.11.

La série de Riemann alternée de terme général un =(−1)n−1

nα, 1 ≤ n est

semi-convergente si 0 < α ≤ 1.

2.1.5.2 Méthode d’éclatement

Une erreur à ne pas faire :Les termes généraux de deux séries semi-convergentes peuvent être des infi-niments petits équivalents en +∞ sans que ces séries soient de même nature,on retiendra des exemples comme :

un =(−1)n

√n

et vn =(−1)n

√n

+1

n

On a un ∼+∞ vn, la série∑

un converge (d’après le critère des séries alter-nées), or la série

∑vn comme somme de la série

∑un qui converge et de la

série harmonique qui diverge.Lorsque le terme général un d’une série numérique n’est pas de signe constant,on ne peut déterminer la nature de la série en remplaçant un par un équi-valent, il suffit par contre d’écrire un comme somme de séries de nature

connues et d’un reste de la forme rp = o(1

kp) avec p > 1, en effet dans ce cas

la série∑ |rp| converge selon le théorème (2.10).

Illustration de la méthode d’éclatement sur un exemple

Etude de la série∑

un où un = ln (1 +(−1)n

nα) 2 ≤ n en fonction du para-

mètre réel α

66


2.1.5.3 Complément : Théorème d’Abel

Le théorème d’Abel permet d’étudier en un certain nombre de séries et enparticulier de séries de nombres complexes, de séries trigonométriques quiconvergent sans être absolument convergentes. Ce théorème généralise lethéorème des séries alternées mais s’appuie sur une sommation par partiesqui peut être effectuée dans C :

Lemme 2.1 (transformation d’Abel).Soit (λn) et (vn) deux suites de nombres réels ou complexes et Vn la sommepartielle d’ordre n de la série de terme général vn. On a la formule de "som-mation par parties" :

λm+1vm+1 + λm+2vm+2 + . . . + λnvn = λnVn − λmVm −i=n−1∑i=m

(λi+1 − λi)Vi

démonstration. : On peut écrire cette formule sous la forme :i=n∑i=m

Λivi = [ΛiVi]i=mi=n −

i=n−1∑i=m

λiVi

où Λi, défini par Λi = λi−λi−1, est le terme général de la série des différencesde la série

∑λi et où vi, avec vi = Vi − Vi−1, est le terme général de la série

des différences de la série∑

Vi. en cours ¤

Proposition 8.Soit (λn) une suite de nombres réels décroissante positive, si M majore enmodule les sommes partielles de la série

∑vn, alors :

λm+1vm+1 + λm+2vm+2 + ... + λnvn ≤ 2λmM

démonstration.Selon le lemme

|i=n∑

i=m+1

λivi |≤ λmM + M

i=n−1∑i=m

(λi − λi+1) + λnM

λmM + M

i=n−1∑i=m

(λi − λi+1) + λnM = λmM + M(λm − λn) + λnM = 2λmM

¤

67


Théorème 2.17. Critère d’AbelSoit (λn) une suite de nombres réels décroissante qui tend vers 0 et

∑vn une

série de nombres réels ou complexes dont les sommes partielles sont bornéesalors la série

∑λnvn converge.

De plus on peut majorer le module du reste d’ordre n : ∀n ∈ N, |Rm| ≤ 2λmM .


Remarque 2.1.6. la suite (Λn) est nécessairement une suite de nombresréels positifs.

2.1.6 Opérations sur les termes d’une serie

2.1.6.1 Associativité restreinte : Formalisation du procédé de som-mation par paquets

2.1.6.2 idée intuitive : un = ln (1 +(−1)n

nα) 2 ≤ n

– Une idée naturelle : Vérifiez que u2k et u2k+1 sont des réels opposés pourtout entier k. Quelle propriété de l’addition vous permet d’en déduireque les sommes partielles d’ordre impair de

∑un sont nulles ? Montrer

que∑

un converge et a pour somme 0.– Mais cette idée est non sans danger ! : Que se passe-t-il dans le cas de

la série de terme général vn = (−1)n .

2.1.6.3 Sommation par paquets de p termes

Definition 2.12.Soit p un entier donné, on dit que la série

∑vk est une série de paquets de

p termes de la série∑

uka si on a :

v0 = u0 + u1 + u2 + · · ·+ up−1

v1 = up + up+1 + up+2 + · · ·+ u2p−1

...

vk = ukp + ukp+1 + ukp+2 + · · ·+ uk(p+1)−1

aou obtenue par l’opération de groupement de p termes consécutifs

68


Théorème 2.18. Associativité restreinte

1. Toute série de paquets de p termes∑

vn d’une série convergente∑

un

converge et a même somme que la série∑

un.2. La convergence d’une série de paquets de p termes

∑vk entraîne celle

de∑

uk si la suite (uk) tend vers 0.

démonstration. idée de la démonstration :

u0 + u1 + · · ·+ up−1︸︷︷︸v0

+ up + · · ·+ u2p−1︸︷︷︸v1

+ · · ·+ ukp + · · ·+ u(k+1)p−1︸︷︷︸vk

+ ...+

Vk = U(k+1)p−1

¤

2.1.6.4 Permutation des termes - Commutativité

L’exemple ci-après vous montre que la commutativité de la somme (d’unenombre fini de termes) ne se généralise à une série. Pour cela nous nous don-nons ϕ une application bijective de N sur N.

Exemple 2.1.12. :La bijection ϕ de N sur N définie par :

ϕ(3n) = 4n ϕ(3n + 1) = 2n + 1 ϕ(3n + 2) = 4n + 2

On construit une série∑

vk en permutant les termes de la série harmoniquealternée,

∑uk :

vk = uϕ(k)

v3n = u4n =1

4nv3n+1 = u2n+1 =

−1

2n + 1v3n+2 = u4n+2 =

1

4n + 2

Vérifiez que la série∑

vk est convergente mais n’a pas même somme que lasérie

∑uk.

On pourrait choisir une bijection ϕ telle que∑

uϕ(k) diverge.

Remarque 2.1.7.La raison de la convergence d’une série semi-convergente n’est pas dans lefait que le terme général tende vite vers 0.

69


Definition 2.13.La série

∑uk est commutativement convergente si elle est de même nature

et a même somme que toute série∑

vk obtenue par changement de l’ordre destermes c’est à dire de la forme

∀k ∈ N vk = uϕ(k)

où ϕ est une bijection de N sur N .

Théorème 2.19. absolue convergence et commutative convergenceUne série absolument convergente est commutativement convergente

démonstration. Cas d’une série à termes positifs,∑

vk converge et a unesomme inférieure ou égale à

∑p=∞p=0 up car :

n∑

k=0

vk =

p=ϕ(n)∑p=0

up ≤p=∞∑p=0

up

En cours : cas d’une série à termes réels.1 ¤

2.1.6.5 Produit de convolution de deux séries

Definition 2.14.On appelle produit de convolution des séries

∑uk et

∑vk la série de terme

général wk où

wp =

k=p∑

k=0

ukvp−k =∑

k+l=p

ukvl

Théorème 2.20. produit de convolution de séries absolument convergentesLe produit de convolution

∑wn de deux séries

∑un et

∑vn absolument

convergentes est une série absolument convergente et de plus

p=+∞∑p=0

wp =k=+∞∑

k=0

uk ·l=+∞∑

l=0

vl.

1On peut montrer qu’une série est absolument convergente si et seulement si elle estcommutativement convergente

70


démonstration. Montrons tout d’abord que la série∑

wp est absolumentconvergente. Sn =

∑p=np=0 |wp|, où |wp| ≤

∑k+l=p |ukvl| d’où :

Sn ≤∑

k+l≤n

|uk||vl| ≤∑

k≤n et p≤n

|uk||vl| ≤k=n∑

k=0

|uk| ·l=n∑

l=0

|vl| ≤k=∞∑

k=0

|uk| ·l=∞∑

l=0

|vp|

Vérifions enfin l’égalité du produit des sommes et de la somme de∑

wp, enmontrant : |∑k=n

k=0 uk ·∑l=n

l=0 vl −∑p=n

p=0 wp| ≤ S2n − Sn :

|u0v0| |u0v1| |u0v2| |u0v3| |u0v4||u1v0| |u1v1| |u1v2| |u1v3| |u1v4||u2v0| |u2v1| |u2v2| |u2v3| |u2v4||u3v0| |u3v1| |u3v2| |u3v3| |u3v4||u4v0| |u4v1| |u4v2| |u4v3| |u4v4|S2 en jaune S4 en orangé

¤La formule de Taylor permet de montrer que pour tout nombre réel x :

ex =k=+∞∑

k=0

xk

k!.

Nous avons montré que pour tout nombre complexe z la série∑

zn

n!est norma-

lement convergente. Ce qui permet de prolonger l’application exponentiellede R à C.

Definition 2.15.Pour tout nombre complexe z, on définit ez comme la somme de la série

∑zn

n!:

ez =n=+∞∑

n=0

zn

n!.

Théorème 2.21. absolue convergence et commutative convergencePour tous nombres complexes z et z′ :

ezez′ = ez+z′ .

71


2.2 EXERCICES

2.2.1 Révisions suites

2.2.1.1 pour commencer

Exercice 2.1. Révisions sur les suites adjacentes1. Montrer que les suites (an) et (bn) définies par

1 ≤ n an =k=n∑

k=1

1

k− ln n

et

b1 = 0 2 ≤ n bn =k=n−1∑

k=1

1

k− ln n

sont adjacentes.2. La limite de ces suites est la constante d’Euler notée γ. Exprimer la

somme partielle d’ordre n, Sn, de la série harmonique de terme général uk =1

ken fonction de an. Que pouvez-vous dire de la suite (Sn) ?

indication : (an) décroissante en utilisant le théorème des accroissements finis

Exercice 2.2. Séries télescopiques et révision sur les suites monotonesOn se propose d’étudier à partir de la définition, c’est à dire directement àpartir des propriétés des suites, les séries de terme général

u0 = 0 1 ≤ k uk =1

k.(k + 1)1 ≤ n

v0 = 0 1 ≤ k vk =1

k21 ≤ n

On note respectivement Sn et Tn les sommes partielles d’ordre n de ces séries.

1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle1

X(X + 1).

2. Rappeler la définition de Sn. En utilisant le résultat de la première ques-tion, vérifier que la somme de deux termes consécutifs "se simplifie" : ondécrit ce processus en parlant de série télescopique. En déduire une ex-pression simple de Sn comme fonction de n.3. Montrer que la série de terme général uk converge. Il y a cinquante ans,on aurait écrit que de plus :

1

1.2+

1

2.3+

1

3.4+

1

4.5+ ...

1

n.(n + 1)+ ... = 1

72


Justifiez ce résultat et donnez-en l’écriture, "plus abstraite" (celle aujourd’huienseignée), avec le symbole

∑.

4. Montrer que la suite (Tn) des sommes partielles de la série de terme généralvk est une suite croissante.5. Comparer vk et uk−1, en déduire que la suite (Tn) est majorée.6. Que pouvez-vous dire de la série

∑vk ? Ce type de raisonnement par

comparaison en terme d’ordre (qui est à la base de l’étude des séries à termespositifs du cours à venir) ne permet pas de trouver la somme de la série

∑vk

mais seulement de déterminer sa nature.

2.2.1.2 Vous pouvez déjà aller plus loin

Exercice 2.3.

Après avoir traité les exercices précédents, déterminer la nature et calculer

la somme de la série de terme général u0 = 0 1 ≤ k uk = ln(k + 1

k) .

2.2.2 Séries de référence


Exercice 2.4.

Montrer que si t est un réel quelconque donné, la série∑ eikt

3kconverge.

Exercice 2.5.

1. Montrer que les séries∑ cos kθ

2ket

∑ sin kθ

2kconvergent.

2. Calculer la somme de ces séries et écrire les égalités obtenues pourθ = 0, θ = π,θ =

π

2

Exercice 2.6. "Géométrique" et RestesOn considère les séries de termes généraux

0 ≤ k uk =1

2k

0 ≤ k vk =1

1 + 2k

73


1. Calculer la somme de la série de terme général uk, exprimer en fonctionde n le reste d’ordre n Rn de cette série et montrer que si 10 < n alors| Rn |≤ 10−3.

2. Montrer, en reprenant exactement le raisonnement par comparaisonen terme d’ordre de l’exercice (2.2), que la série de terme général vk

converge.

3. Comme dans la plupart des cas bien que l’on sache que la série converge,il n’est pas possible de donner (en tous les cas pas facilement) la valeurde la somme V de cette série, on se propose de trouver une valeurapprochée V de V à 2 · 10−3 près. Les sommes partielles Vn constituentune approximation de V mais on n’a pas une expression simple enfonction de n de la différence, c’est à dire du reste d’ordre n, Tn decette série. Montrer que Tn est majoré par Rn et en déduire que

k=10∑

k=0

vk

est une valeur approchée de V à 10−3 près puis donner une valeurdécimale approchée V de V à 2 · 10−3 près.

Exercice 2.7. Taylor et indices

1. Nous avons montré en cours que la série exponentielle de terme général

uk =∑ 1

k!0 ≤ k converge et a pour somme e. Retrouver la démons-

tration en utilisant la formule de Taylor Lagrange.2. Ecrire le polynôme X3 dans la base (1,X,X(X-1),X(X-1)(X-2)) de R3[X].

3. Montrer que la série de terme général vk =k3

k!converge et montrer que

sa somme est 5e : vous utiliserez le résultat de la question précédentepour écrire cette série comme combinaison linéaire de séries extraitesde la série exponentielle.

Exercice 2.8. Taylor et Restes

1. Calculer la somme partielle Sn de la série de terme général un =1

n!et Rn le reste d’ordre n de cette série pour n = 2, 3, 4, 5, 10, 50, 100 enutilisant Maple :

> restart:> S:=n->sum(1/k!,k=1..n);

74


S := n 7→ e1Γ(n+1,1)−Γ(n+1)Γ(n+1)

> evalf(S(3));

1.666666667

> R:=n->sum(1/k!,k=n+1..infinity);

R := n 7→ e1Γ(n+2)+(−1−n)e1Γ(n+1,1)(n+1)!

> evalf(R(3));

0.051615161

et compléter le tableau suivant

S2 =5

2= 2.5 S10 =

9864101

3628800∼=?

R2∼=? R10

∼= 310−8

S3 =8

3S20

∼=?

R3∼=? R20

∼=?

S4 =65

24∼=?

S50∼=?

R4∼=? R50

∼=?

S100∼=? = R100

∼= 10−160

2. Remarquer que les sommes partielles de cette série semblent convergerrapidement vers e. Préciser ce résultat en montrant :

∀n ∈ N 0 < Rn <e

(n + 1)!

3. Quelle majoration obtenez vous pour le reste d’ordre n de la série har-monique alternée ? Que pouvez-vous dire comparativement de la vitessede convergence de cette série.


Exercice 2.9. Fabriquer du géométriqueSoit z un nombre complexe non nul de module strictement inférieur à 1. Onse propose d’étudier la série de terme général uk = kzk−1

1. Calculer (1-z)Sn

2. Montrer que cette série converge et calculer sa somme

75


Exercice 2.10. Plus difficile !Nous avons vu en cours que la série harmonique diverge, on "enlève" quelques

termes à cette série, ceux qui correspondent à des entiers k qui s’écrivent avecau moins un chiffre 0.

1. Est-ce qu’on "enlève" beaucoup de termes ?2. Quelle est la nature de la série de terme général uk ainsi définie : uk = 0

si le chiffre 0 intervient dans l’écriture du nombre entier k et uk =1

ksinon.

2.2.3 Premières propriétés


Exercice 2.11.

Quelle est la nature des séries de terme général uk =1

k!− 1

k1 ≤ k, vk =

1

2k + 10 ≤ k ?

Exercice 2.12.

Soient∑

un et∑

vn des séries convergentes telles que ∀n ∈ N un ≤ vn

Montrer que les restes d’ordre n vérifient :

k=+∞∑

k=n+1

uk ≤k=+∞∑

k=n+1

vk

Répondre à la question (1)3. du QCM1 .

Exercice 2.13.Soit

∑uk une série convergente, peut-on écrire

k=+∞∑

k=0

uk =k=+∞∑

k=0

u2k +k=+∞∑

k=0

u2k+1?

76


2.2.4 Termes positifs, ordre-équivalence-domination


Exercice 2.14.Dans chacun des cas suivants, comparer uk à

1

k2. En déduire la nature de la

série∑

uk :

uk =1 + k

k3 ln k1 ≤ k

uk =ln k

k31 ≤ k

uk =| sin k|

k21 ≤ k

uk =k + ln (k + k2)

k31 ≤ k

uk = lnk2 + k3

1 + k31 ≤ k

uk = exp (−k) 0 ≤ k

uk = e−√

k

Exercice 2.15. Dans chacun des cas suivants, comparer uk à une série deréférence et en déduire la nature de la série

∑uk :

uk =1

k! +√

k

uk =1

k!− cos2 k

uk =ln k

k1 ≤ k

uk =ln k + k

k2 + 11 ≤ k

uk =ln (k3 + 1) + 1√

k(k2 + 1)1 ≤ k

77


Exercice 2.16. comparaison en terme d’équivalenceDéterminer en fonction des valeurs de x et de y, réels strictement positifs, un

équivalent simple de uk =xk + yk

yk + 1et

vk = x exp1 + k2

k2− e · y 1 ≤ k

En déduire la nature des séries∑

uk et∑

vk.

Exercice 2.17. comparaison et rapportSoient

∑uk une série à termes positifs et

∑vk une série à termes strictement

positifs telles que la suite (uk

vk

) converge et a pour limite λ. Que pouvez-vous

dire de λ ? Les séries uk et vk sont-elles nécessairement de même nature ?


Exercice 2.18. sommation des relations de comparaisonSoient

∑uk et

∑vk deux séries à termes réels positifs telles que uk = O(vk).

1. Que pouvez vous dire de la suite des sommes d’ordre n de chacune deces séries lorsque

∑uk est une série divergente ? Montrer qu’alors

k=n∑

k=0

uk = O(k=n∑

k=0

vk)

2. Que pouvez vous dire de la suite des restes d’ordre n de chacune de cesséries lorsque

∑vk est une série convergente ? Montrer qu’alors

k=∞∑

k=n+1

uk = O(k=∞∑

k=n+1

vk)

3. On suppose que de plus uk ∼ vk montrer que si ces séries divergent

k=n∑

k=0

uk ∼k=n∑

k=0

vk.

Enoncer une règle de sommation des équivalents.En déduire un équivalent simple de

∑k=nk=1

k√

k puis montrer que la série

de terme général un =1∑k=n

k=1k√

kdiverge.

78


4. On suppose que de plus uk ∼ vk, montrer que si ces séries convergent

k=∞∑

k=n+1

uk ∼k=∞∑

k=n+1

vk

Exercice 2.19. Séries de Riemann1.Etablir que

1

(k − 1)α−1− 1

kα−1∼∞

α− 1

kα

2.En déduire que la série∑ 1

kα. converge si et seulement si 1 < α.

3.Montrer que le reste d’ordre n de la série de Riemann∑ 1

kαest équivalent

à1

(α− 1)nα−1.

4. Calculer avec Maple une valeur approchée du reste d’ordre 100 des sé-ries de Riemann d’exposants 2,3,4,5. Le résultat numérique, vous semble-t-ilcompatible avec le résultat théorique obtenu.

2.2.5 Termes positifs : Riemann, géométriques ou inté-grale


Nous introduisons désormais différentes notations pour l’indice du terme gé-néral d’une série.

Exercice 2.20. Pourquoi on démontre la règle de Cauchy en (2.11) avec ladéfinition quantifiée de la limite1. Soit r un réel positif, déterminer la limite de la suite (vk) de terme général

vk = (1 +1

kr)k.

2. A-t-onk√

uk ∼ λ ⇒ uk ∼ λk?

Exercice 2.21.

1. Déterminer de plusieurs manières la nature de la série∑ 1

(1 +√

n)n.

79


2. Montrer que la série∑ n!

nn1 ≤ n converge et en déduire n! = 0(nn)1

Exercice 2.22. Si (n√un) tend vers 1, Cauchy ne permet pas de conclureMontrer que la série harmonique et la série de terme général

un =1

n− 1

n + 1=

1

n(n + 1)vérifient toutes deux l’égalité limn→+∞(n√un) =

1 mais que ces séries sont de nature différentes.

Exercice 2.23.Nature des séries de terme général (

n

n + 1)n2

0 ≤ n,n

2n,∑

nαan 1 ≤ n,

(a− 1

n)2n, (1+

1

n2)2,

na

2n, exp−√n où a est un réel strictement positif donné.

Exercice 2.24. Pourquoi la règle de Cauchy n’est pas énoncée en terme delimite dans certains manuels ?1. Le but de cet exercice est de vérifier que l’énoncé de la règle de Cauchydonnée en cours décrit une situation simple mais peut être prolongé danscertains cas alors que la suite (k√uk) n’a pas de limite. Etant donnée unesérie numérique à termes réels positifs,

∑uk, montrer que si à partir d’un

certain rang la suite (k√uk) est majorée par un réel λ strictement inférieurà 1 alors la série

∑un converge.

2. Montrer de même que si pour une infinité de termes la suite (k√uk) estminorée par 1 alors la série

∑uk diverge.

3. Trouver un cas où le résultat obtenu dans la première question permet demontrer la convergence de la série alors que (k√uk) n’a pas de limite. Trouverun cas où le résultat obtenu dans la deuxième question permet de montrerla convergence de la série alors que (k√uk) n’a pas de limite.

4. Ecrire un résultat analogue qui généralise la règle d’Alembert.

Exercice 2.25.

1. Montrer que si β est négatif ou nul, la série∑ 1

n(ln n)βdiverge.

2. Etudier lorsque le réel β est strictement positif la nature de la série∑ 1

n(ln n)βen fonction du réel β.

3. Montrer par comparaison à des séries de Riemann que la série de Ber-

trand∑ 1√

n(ln n)βdiverge quelle que soit le réel β.

1La formule de Stirling précise ce résultat : n! ∼ nn

en

√2πn.

80



trand∑ 1

n2(ln n)βconverge quelle que soit le réel β.


trand∑ 1

nα(ln n)βconverge lorsque 1 < α et diverge si α < 1.

Exercice 2.26.Trouver des séries numériques dont vous pouvez facilement déterminer lanature en utilisant la comparaison à une intégraleTrouver plusieurs séries numériques à termes positifs telles que la série

∑f(n)

et l’intégrale∫ n

n0f(t)dt sont de "natures différentes".


Exercice 2.27. calcul de πEn 1910, le mathématicien Indien Ramanujan découvre une formule permet-tant de calculer π ; elle s’écrit :

1

π=

n=+∞∑n=0

un un =

√8

9801

(4n)!

(n!)4· 1103 + n26390

3964n

Cette formule est utilisée dans de nombreux programmes informatiques pourcalculer les décimales de π. Publiée en 1914, sa démonstration ne paraît queen 1985, date à laquelle elle permit de calculer 17 millions de décimalesde π.

1. Montrer que la série de Ramanujan converge.2. Qu’observe-t-on en utilisant la commande "evalf( , 100)" de Maple

appliquée à l’inverse de la somme partielle d’ordre 15 de cette série età la valeur approchée de π avec 100 décimales ?

3. Montrer que lorsqu’une série à termes strictement positifs∑

vn convergepar le critère d’Alembert avec ∀n ∈ N vn+1

vn

≤ r < 1 alors le reste

d’ordre Rn vérifie :Rn ≤ r

1− rvn.

4. Vérifier que la somme partielle d’ordre (n+1) de la série de Ramanujandonne huit décimales exactes de plus que la somme partielle d’ordre n.

Exercice 2.28.

81


1. On considère la série numérique

∑

n∈Nun un =

n!

(n

e)n

(a) Montrer que :lim

n→∞un+1

un

= 1+

(b) Donnez la nature de la série∑

n∈Nun

2. On considère la série numérique

∑

n∈Nvn vn =

1

n(Ln(n))k

où k est un nombre réel strictement positif donné.

(a) Montrer que :lim

n→∞vn+1

vn

= 1−

(b) Donnez, en fonction de k, la nature de la série∑

n∈Nvn

Exercice 2.29.Soit f une application décroissante sur [n0, +∞[, telle que la série à termes

positifs∑

f(n) converge. Montrer que, pour n supérieur à n0, le reste d’ordre,Rn, vérifie : ∫ +∞

n+1

f(t)dt ≤ Rn ≤∫ +∞

n

f(t)dt

puis vérifier que si un =1

nα, α > 1, on obtient :

1

(α− 1)(n + 1)α−1≤ Rn ≤ 1

(α− 1)nα−1

Comparer au résultat obtenu en 2.19

82


2.2.6 Des séries aux suites

Exercice 2.30. Comparer au premier exerciceMontrer que pour tout entier n,

ln(n + 1) ≤k=n∑

k=1

1

k

On se propose d’étudier directement la suite (an) où

an = (k=n∑

k=1

1

k)− ln (n)

1 Etudier la nature de la série de terme général un = an − an−1 aprèsavoir exprimé un en fonction de n.

2 En déduire la nature de la suite (an) ?

2.2.7 Semi-convergence


Exercice 2.31. séries alternées

1. Vérifier que la série de terme général un =(−1)n ln n

nconverge n ≥ 2.

2. Pour quelles valeurs de n a-t-on |Rn| ≤ 10−3 ?

Exercice 2.32.Nature des séries

∑un,

∑vn et

∑wn où un =

(−1)n

√n + (−1)n

, vn =(−1)n

√n + (−1)n

et wn = ln (1 +(−1)n

√n

).


Exercice 2.33.Quelle est, en fonction de α, la nature de la suite de terme général

an =

p=n∏p=1

(1 +(−1)p+1

pα)

83


2.2.8 Opérations sur les termes d’une série

Exercice 2.34. opérations sur les termes d’une série

Soit la série∑

un où un =(−1)n

n + (−1)n. Vérifier que la série

∑vn obtenue

par groupements de deux termes consécutifs est absolument convergente.∑un est-elle absolument convergente ?

Exercice 2.35. opérations sur les termes d’une sérieNature du produit de convolution des séries

∑un et

∑vn où

un = vn =(−1)n

√n

Exercice 2.36. opérations sur les termes d’une sérieRappeler la définition vue en cours de ez où z est un nombre complexe donnéet montrer ez+z′ = ezez′

2.2.9 Synthèse

Exercice 2.37.1 Nature de la suite

bn =k=n∏

k=1

(2− e

1

k )

2 Nature des séries

un = e−nr ln (cos

1

n)

r réel donné

Exercice 2.38.1. Donner un développement limité à l’ordre 3 de uk

uk = k ln k − 1− (k − 1) ln (k − 1)− 1

2(ln k + ln (k − 1))

2. Montrer que uk ∼ vk où vk =1

12k2.

3. On se propose d’évaluer le reste d’ordre n, Rn de la série∑

uk. Utiliser lesrésultats sur les restes des séries, établis dans les exercices (4.14) et (2.19),

pour montrer que le reste d’ordre n de la série∑

vk est équivalent à rn =1

12n.

4 Montrer que si on introduit la série télescopique∑

wk de terme général

84


wk = rk−1 − rk, alors on a dk = uk − wk = 0(1

n3).

5 En déduire que Rn = rn + 0(1

n2).

Exercice 2.39.Nous reprenons l’exercice 4.19 dans le but de trouver une valeur approchéede la constante d’Euler γ définie par :

γ = limn→+∞

an où an =k=n∑

k=1

1

k− ln n

1. Nous savons que la limite de la suite (an), γ, est la somme de la série desdifférences

∑un définie par la suite (an). Chaque somme partielle d’ordre

n de la série∑

un approche la somme γ de cette série avec une "erreur deméthode" égale au reste d’ordre n. Evaluer le reste d’ordre n permet d’estimercette erreur inhérente au procédé d’approximation et à laquelle s’ajoutent leserreurs de calcul. Donner un équivalent de un et en déduire en utilisant lesrésultats sur les restes des séries, établis dans les exercices (4.14) et (2.19),

que le reste d’ordre n de la série∑

un est équivalent à rn =−1

2n.

2. Introduisons comme dans l’exercice précédent la série télescopique wn =rn−1−rn. Montrer que la suite de terme général dn = un−wn est équivalente

à la suite1

6n3. Comparer, en utilisant Maple, la somme partielle U50 d’ordre

50 de la série∑

un avec U50 + r50 et la valeur approchée de γ à 10−8 prèsγ = 0.57721566. Conclure ?3. Pouvez-vous réitérer ce procédé et obtenir une expression de la formeUn + rn + δn qui converge plus vite vers γ ?

Exercice 2.40.

Nature de la série numérique de terme général uk = (−1)k

√k + 1−√k − 1

kα

en fonction de α réel donné.

85


Q.C.M 1groupes 49 et 51

Le 22 octobre 2008

Indiquer dans la colonne de droite si l’énoncé est Vrai ou Faux.1.

ak =sin 2k

(√

3)kRéponse

1.∑

ak diverge

2. Nous pouvons affirmer sans vérification que le reste d’ordre n

de cette série est majoré parsin 2(n + 1)

(√

3)n+1


de cette série est majoré par√

3

(√

3)n+1(√

3− 1)

2.bk =

sin 2k

k√

3et ck =

ln k

k√

3Réponse

1. bk ∼ 2

k(√

3−1)

2.∑

bk diverge3. bk = 0(ck)4. Si une série

∑ck converge et si bk = o(ck) alors

∑bk converge

5.∑

ck diverge

3.

86


uk = (−1)k

√k + 1−√k − 1

kαoù 0 < α Réponse

1.∑

uk est une série alternée2.

∑uk est une série convergente


est majoré par√

n + 2−√n

(n + 1)α


est majoré par√

n + 1−√n− 1

nα

4.vk = (−1)k sin k

k2Réponse

1.∑

vk est une série alternée2.

∑vk est une série convergente.

5.Sn =

∑k=nk=2 (ln k))2

Réponse

1.∫ n

1(ln x)2dx ≤ Sn ≤

∫ n+1

2(ln x)2dx

2.∫ n+1

2(ln x)2dx ≤ Sn ≤

∫ n

1(ln x)2dx

6.un =

(ln(n))n

n!vn = (

ln(n)

n!)n

Réponse

La série∑

un convergeLa série

∑vn converge

87


Chapitre 3

SUITES ET SERIESD’APPLICATIONS

Sommaire3.1 COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.1.2 Suites d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.3 Séries d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.1.4 Annexe 1 : limite et somme d’une série d’applications1113.1.5 Annexe 2 : convergence uniforme et théorème d’Abel1123.1.6 Annexe 3 : convergence uniforme sur tout segment. 115

3.2 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2.1 Tracés avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2.2 Suites de fonctions et convergence simple . . . . . 1203.2.3 Suites de fonctions-convergence uniforme . . . . . . 1223.2.4 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.2.5 Un problème : La fonction zêta de Riemann . . . . 127

3.1 COURS

3.1.1 Introduction

3.1.1.1 Résumé

Le passage à la limite est un procédé mathématique permettant à la foisde créer de nouveaux objets mathématiques et d’étudier des objets mathé-matiques difficiles à appréhender en les considérant comme limites d’objets

88


mathématiques simples. Ce chapitre définit d’abord pour les suites puis pourles séries :

Une notion première de limite d’une suite (fn)n∈N d’applications défi-nies sur un ensemble A appelée limite simple de (fn)n∈N sur A lorsqueen chaque point x de A la suite numérique (fn(x))n∈N a une limite notéeλx = f(x).Puis, celle plus restrictive de limite uniforme de la suite (fn)n∈N surA, lorsque la suite numérique sup

x∈A|fn(x)− f(x)| tend vers 0. L’étude

est fondée autant que possible sur les propriétés de la borne supérieureétudiées en première année.Enfin est posée la question des propriétés de la limite. Ainsi le passageà la limite simple ne conserve pas la continuité des applications, au sensoù, les applications fn peuvent être continues sur A sans que l’appli-cation limite f ne le soit, ni leur Riemann-intégrabilité. Ces propriétéssont en revanche conservées par passage à la limite uniforme 1.


Cauchy lui-même, alors qu’il contribua de manière essentielle à la mise enplace des notions de convergence d’une série et de continuité d’une fonction,ne vit pas tout de suite que la limite au sens de la limite simple de fonctionscontinues n’est pas nécessairement continue, et c’est seulement au milieu duXIXe siècle que Stokes et Seidel dégagent la notion de limite plus restrictivequ’est la limite uniforme.

1tout ne marche pas ! ainsi la dérivabilité n’est pas conservée par passage à la limiteuniforme

89


3.1.2 Suites d’applications


On se donne un sous-ensemble B de R ou C, A, un sous-ensemble de B.K = R ou K = C et une suite (fn)n∈N d’applications de B dans K que nousnoterons dans la suite (fn).

3.1.2.2 Exemples

Etude de la suite (fn) définie par fn :[0, 1] −→ R

x 7→ xn(1− x)

x(1-x) x^2(1-x)x

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

x(1-x) x^2(1-x) x^3(1-x) x^4(1-x)x^5(1-x) x^6(1-x) x^7(1-x) x^8(1-x)x^9(1-x) x^10(1-x)

x0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

Etude de la suite (gn) définie par gn :R −→ Rx 7→ arctan nx

xarctanx xarctan2x xarctan4x

xK2 K1 0 1 2

K1,0

K0,5

0,5

1,0

xarctanx xarctan4x xarctan7xxarctan10x

xK4 K2 0 2 4

K1,5

K1,0

K0,5

0,5

1,0

1,5

90


Etude de la suite (hn) définie par hn :R −→ Rx 7→ x arctan(nx)

arctanx arctan2x

xK2 K1 0 1 2

K1,0

K0,5

0,5

1,0

arctanx arctan4x arctan7x arctan10x

xK4 K2 0 2 4

K1,5

K1,0

K0,5

0,5

1,0

1,5

3.1.2.3 Définition de la convergence simple

Definition 3.1.Une application de N (resp. de {n ∈ N/n ≥ n0}) dans l’ensemble des applicationsde A dans K (n → fn) définit une suite d’applications de A dans K que nousnoterons (fn). (resp. (fn)n≥n0 )

Definition 3.2.La suite d’applications (fn) converge simplement sur A si pour tout élémentz de A, la suite numérique (fn(z)) converge.

Théorème 3.1. unicité de la limiteSi la suite d’applications (fn) est simplement convergente sur A, il existe alors uneunique application f définie sur A par

∀z ∈ A, f(z) = limn→+∞

fn(z) (3.1)

Definition 3.3.Si la suite d’applications (fn) est convergente l’application f qui à chaque point z deA associe la limite de la suite numérique (fn(z)) est appelée la limite simple dela suite d’applications (fn) sur A . On note

f = limn→+∞

fn

91


Régle pratique 3.1.X On fixe z un élément arbitraire dans A et on étudie la nature de la suitenumérique (fn(z))n∈N en fonction de z, qui intervient comme paramètre1Exemples1A = [0, 1] fn(x) = xn(1− x)xfixé étude de la suite numérique (fn(x))x = 1 fn(1) = 0 lim

n→+∞fn(0) = 0

0 ≤ x < 1 limn→+∞

xn = 0 ⇒ limn→+∞

fn(x) = 0

La suite d’applications (fn) converge simplement sur [0, 1] vers l’applicationnulle.

2A = R fn(x) = arctan (nx)x fixé étude de la suite numérique (fn(x))x = 0 lim

n→+∞n0 = 0 lim

n→+∞fn(0) = 0

0 < x limn→+∞

nx = +∞⇒ limn→+∞

fn(x) =π

20 < x lim

n→+∞nx = +∞⇒ lim

n→−∞fn(x) = −π

2

La suite d’applications (fn) converge simplement sur R vers l’application quivaut 0 en 0,

π

2sur R∗+ et −π

2sur R∗−.

3A = R fn(x) = x arctan (nx)Vérifier que la suite d’applications (fn) converge simplement sur R vers l’ap-plication qui vaut

π

2|x|.

Ecriture quantifiée :Pour des études théoriques il faut parfois écrire la définition de la limite∀x ∈ A ∀ε ∈ R∗+ ∃Nε,x / ∀n ∈ N (

Nε,x < n =⇒ |fn(x)− f(x)| < ε)

3.1.2.4 Définition de la convergence uniforme

données :(fn) suite d’applications de A dans K

1S’il existe un élément z de A tel que la suite numérique (fn(z)) ne converge pas alorsla suite d’applications (fn) ne converge pas simplement sur A

92


cn = sup{|fn(z)|/z ∈ A} ∈ R ∪ {+∞}.Definition 3.4. norme uniforme sur A

Si fn est une application bornée de A dans K, cn = sup{|fn(z)|/z ∈ A} est un réelpositif ou nul, appelé norme uniforme de fn sur A.On note cn = ‖fn‖A

∞ ou cn = ‖fn‖∞rappel :fn est bornée de A dans K et a pour norme uniforme cn sur A s’écrit donc :cn est un majorant et cn − ε n’est pas un majorant de {|fn(z)| / z ∈ A}, soit

∀z ∈ A |fn(z)| ≤ cn

et∀ε ∈ R+∗ ∃z ∈ A / cn − ε ≤ |fn(z)|

(3.2)

ExempleLa suite (fn) où fn(z) = zn converge uniformément vers l’application nullesur A = {z ∈ C / |z| ≤ R} lorsque 0 < R < 1 car ‖fn‖A

∞ ≤ Rn etlim

n→+∞Rn = 0.

Montrer que fn(z) = zn ne converge pas uniformément vers l’applicationnulle sur A = {z ∈ C / |z| < 1} car ‖fn‖A

∞ = 1.Régle pratique 3.2.Dans le cas où A est une réunion d’intervalles de R sur lesquels fn est déri-vable, le tableau de variation de fn permet de vérifier que fn est bornée etde donner la norme uniforme de fn.

Exemples1A = [0, 1] fn(x) = xn(1− x)n fixéf ′n(x) = xn−1(n− (n + 1)x) = (n + 1)xn−1

( n

n + 1− x

)

x | 0 n

n + 11

signe de f ′n(x) | + 0 −

variations de fn | 0 ↗ cn ↘ 0

D’où ‖fn‖A∞ = cn =

nn

(n + 1)(n+1)

93


Definition 3.5.

1. La suite d’applications (fn) converge uniformément vers l’applicationnulle sur A si à partir d’un certain rang les applications fn sont bornées etsi la suite numérique (cn = ‖fn‖A

∞) converge vers 0.2. La suite (fn) converge uniformément vers f sur A si la suite (fn − f)

converge uniformément vers l’application nulle sur A.3. La suite (fn) converge uniformément sur A, s’il existe une application f

telle que la suite (fn) converge uniformément vers f sur A.

Théorème 3.2. convergence uniforme entraîne convergence simpleSi une suite d’applications converge uniformémentavers f sur A alors elle convergesimplement vers f sur A

démonstration. : en cours ¤Exemples1A = [0, 1] fn(x) = xn(1− x)

•n fixé ‖fn‖A∞ =

1

n + 1(

n

n + 1)n

• étude de la suite numérique (‖fn‖A∞)

1

n + 1

( n

n + 1

)n=

1

n + 1exp

(− nln(n + 1

n))

limn→+∞

(−n ln (n + 1

n)) = −1 ⇒ lim

n→+∞( n

n + 1

)n=

1

e⇒ lim

n→+∞‖fn‖A

∞ = 0

La suite (fn) converge uniformément vers la fonction nulle.

2A = R fn(x) = arctan (nx)n fixéx | −∞ 0 +∞

expression def(x) | −π

20

π

2

expression de(fn(x)− f(x)

) | arctan (nx) +π

20 arctan (nx)− π

2

variations de fn − f | 0 ↗ π

2|0| − π

2↗ 0

2on dit alors que f est la limite de la suite (fn) sur A et on précise que la suite convergesimplement ou uniformément

94


‖fn‖R∞ =π

2La suite numérique (‖fn‖R∞) ne tend pas vers 0. La suite d’applications (fn)ne converge pas uniformément vers f .

Seconde méthode : pour tout entier n non nul fixé

(fn − f)( 1

n

)=

π

4⇒ π

4< ‖fn − f‖R∞.

Ce qui montre que la suite numérique (‖fn‖R∞) ne tend pas vers 0.

3A = R fn(x) = x arctan (nx)Une troisième méthode : Montrer que :

∀x ∈ R+ | fn(x)− xπ

2|< 1

n.

En déduire en utilisant 3.2 que ‖fn‖R∞ ≤ 1

n, puis que la suite numérique

(‖fn‖R∞) tend vers 0 et donc que (fn) converge uniformément sur R+.

Ecriture quantifiée(fn) converge uniformément vers l’application f sur A s’écrit :

∀ε > 0, ∃Nε,Aa ∈ N, ∀n ∈ N,

(Nε,A < n ⇒ ‖ fn − f ‖∞<

ε)

1

0,5

08

-0,5

-1

640 2

Fig. 3.1 – ‖ fn − f ‖∞< ε

Remarque3Nε,Ane dépend que de A

95


Les fonctions telles que ‖f − f‖∞ < ε sont les fonctions dont le graphe estdans le « tube »de rayon ε centré sur le graphe de f .Nous utiliserons ces propriétés de l’application qui à f associe ‖f‖∞ et quicaractérisent la notion générale de norme que nous définirons dans le chapitre« espaces vectoriels normés ».

Théorème 3.3.Soient f et g des applications bornées de A dans K et λ un élément de K.

‖f‖∞ = 0 ⇔ f = 0 ‖λf‖∞ =| λ | ‖f‖∞ ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞

3.1.2.5 Propriétés

3.1.2.6 Propriétés algébriques

Théorème 3.4.L’ensemble des suites d’applications simplement convergentes sur A forment unsous-anneau de l’anneau des suites d’applications de A dans K : si les suites (fn) et(gn) convergent simplement sur A, il en est de même de λfn + gn et de fngn, et :

limn→+∞

(fn + gn) = limn→+∞

fn + limn→+∞

gn limn→+∞

(fngn) = limn→+∞

fn limn→+∞

gn

L’ensemble des suites d’applications uniformément convergentes sur A forme unsous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites d’applications de A dans K : siles suites (fn) et (gn) convergent uniformément alors la suite (λfn + gn) convergeuniformément sur A vers (λf + g).

Exemple 3.1.1. :Vérifier que la suite d’applications (fn) définie par

fn(x) =1

nsi 2n− 1 ≤ x ≤ 2n + 1

fn(x) = 0 si x < 2n− 1 ou 2n + 1 < x

converge uniformément vers l’application nulle sur R.Vérifier que la suite (xfn(x)) ne converge pas uniformément sur R.

3.1.2.7 Propriétés de la limite d’une suite d’applications conver-gente

3.1.2.8 Limite d’une suite d’applications bornées

Théorème 3.5. Limite uniforme d’applications bornées.La limite uniforme sur A d’une suite d’applications bornées sur A est une applicationbornée sur A.

96


Exemple 3.1.2. :La limite simple d’applications bornées sur A n’est pas nécessairement bornéesur A :A =]0, +∞[ 0 < x < n, fn(x) = x et pour n ≤ x, fn(x) = n2x−1

3.1.2.9 Limite d’une suite d’applications continues

Théorème 3.6. limite uniforme d’une suite d’applications continues

1. Soit A un sous-ensemble A de R, la limite uniforme sur A d’une suite d’ap-plications continues au point x0 de A est une application continue au point x0

de A.2. La limite uniforme sur A d’une suite d’applications continues sur A est une

application continue sur A.

démonstration. : Soit x0 un élément quelconque de A fixé, montrons que f est

continue au point x0... ¤Critère de non convergence uniforme :Si une suite (fn) d’applications continues en un point x0 de A converge versune application f qui n’est pas continue en x0, alors la suite (fn) ne convergepas uniformément vers f sur A.

Exemple 3.1.3. Montrer que la suite (fn) définie par fn(x) = arctan (nx)ne converge pas uniformément sur R. Ce critère permet-il de montrer la nonconvergence uniforme de (fn) sur ]0, +∞[?

3.1.2.10 Intégrale de la limite d’une suite d’applications

A ⊂ R

97


Théorème 3.7. intégrale de la limite et limite des intégrales 1

Soit [a, b]a un segment de R d’extrémités a et b et c un point de ce segment. Si unesuite (fn) d’applications, continues sur [a, b], converge uniformément sur [a, b], alorsla suite des primitivés (Fn) définies par Fn(x) =

∫ x

cfn(t)dt converge uniformément

sur [a, b] vers l’application F qui à x ∈ [a, b], associe F (x) =∫ x

alim

n→+∞fn(t)dt

anous ne supposons pas nécessairement a < b


Conséquence.A fortiori la suite (x → ∫ x

afn(t)dt) converge simplement ce qui signifie :

∀x ∈ [a, b]

∫ x

a

limn→+∞

fn(t)dt = limn→+∞

∫ x

a

fn(t)dt

En particulier si x = b, nous obtenons la règle d’interversion

Théorème 3.8. règle d’interversion des signes∫ b

aet lim

n→+∞

Si les applications fn sont continues sur [a, b] et si la suite (fn) converge uniformé-ment sur [a, b], la suite numérique (

∫ b

afn(t)dt) converge et

limn→+∞

∫ b

a

fn(t)dt =

∫ b

a

limn→+∞

fn(t)dt

faux avec la convergence simple !En voici un exemple avec [a, b] = [0, 1] et la suite d’applications (fn) définiepour 1 < n par fn(x) = (n + 1)2xn(1− x).Vérifier que la suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle.

Montrer que∫ 1

0fn(x)dx =

n + 1

n + 2⇒ lim

n→+∞∫ 1

0fn(x)dx = 1

faux pour des intégrales impropres !En voici un exemple avec [a, b] = [0, +∞[ et fn continue, nulle en dehors de

]n, 3n[, affine sur [n, 2n] et sur [2n, 3n] et qui vaut1√n

en 2n

Vérifier que la suite (fn) converge uniformément sur [0, +∞[ vers la fonction1Vous aborderez plus tard d’autres théorèmes de passage à la limite : les théorèmes de

convergence monotone et de convergence dominée, comme points de départ de l’approchethéorique de l’intégration choisie

98


nulle.Vérifier que la suite numérique

∫ +∞1

fn(t)dt vaut√

n et conclure.

3.1.2.11 Dérivabilité de la limite d’une suite d’applications déri-vables

Exemple 3.1.4. : La limite uniforme d’applications dérivables n’est pas né-cessairement dérivable comme le montre l’étude de la suite (fn) définie sur Rpar fn(x) = x arctan (nx) qui converge uniformément sur R vers l’applicationnon dérivable f(x) = π

2|x| 1

Théorème 3.9. convergence uniforme des applications dérivéesSi une suite (fn) d’applications définies sur un intervalle I de R à valeurs dans Rvérifie

1. La suite numérique (fn(x)) converge en au moins un point x0 de I.2. Ces applications sont de classe C1.3. La suite des applications dérivées (f ′n) converge uniformément sur I.

Alors la suite d’application (fn) converge simplement vers une limite f dérivable surI et f ′ = lim f ′n.De plus cette limite est uniforme sur tout segment inclus dans I.

démonstration. en cours ¤règle d’interversion des signes

d

dxou ′ et lim

n→+∞La conclusion entraîne en particulier :

(lim

n→+∞fn

)′= lim

n→+∞(f ′n)

faux si la suite (fn) converge uniformément sur II = R et fn(x) = xarctan(nx). Nous avons montré que la suite (fn) convergeuniformément sur R vers f avec f(x) =

π

2|x|. Vérifier que les applications fn

sont de classe C1 et que f n’est pas dérivable en 0.

1La théorie des distributions propose un cadre théorique où si une suite (Tn) de dis-tributions converge vers T alors la suite DTn des dérivées converge vers DT .

99


3.1.3 Séries d’applications

On se donne (fn), une suite d’applications d’un sous-ensemble B de R àvaleurs dans K égal à R ou C, et B un sous-ensemble de A.

3.1.3.1 Définition de la convergence simple

Definition 3.6. série d’applicationsLa suite d’applications (fn) de A dans K permet de définir une nouvelle suite d’ap-plications (Sn) de A dans K, appelée la suite des sommes partielles, de la manièresuivante :

∀n ∈ N, Sn =

p=n∑p=0

fp

Par définition,a la nature de la série d’applications de terme général fn, notée∑fn ou

∑n≥0

fn, est celle de la suite (Sn). En particulier si la suite d’applications (Sn)

converge simplement sur A vers l’application S, on dit que la série d’applications∑fn converge simplement vers S sur A. L’application S est appelée la somme

de la série∑

fn et notéen=+∞∑

n=0

fn.

.aOn adoptera les mêmes définitions pour une série d’applications définie à partir d’un certain

rang n0

Conséquence :En pratique la série d’applications

∑fn converge simplement sur A si, pour

tout z élément de A, la série numérique∑

fn(z), qui dépend du paramètrez, converge.

Dans ce cas la valeur en z den=+∞∑

n=0

fn est la somme de la série numérique∑

fn(z)

n=+∞∑n=0

fn(z) =n=+∞∑

n=0

fn(z)

L’ensemble de tous les points z de B tels que la série numérique∑

fn(z)converge est parfois appelé le domaine de convergence simple de la séried’applications

∑fn.

100


Exemple de référence 3.1.fn(z) = zn. Déterminer le domaine de convergence simple, D1, de la série d’appli-cations

∑fn et calculer sa somme sur D1.

La série numérique∑

fn(z) =∑

zn, où z est un nombre complexe fixé, est une sériegéométrique de raison z qui converge si et seulement si |z| est strictement inférieurà 1. D’où D1 = {z ∈ C/|z| < 1}.La somme

z ∈ D1,

n=+∞∑n=0

fn(z) =1

1− z

Exemple 3.1.5. :Déterminer le domaine de convergence simple de la série d’applications

∑fn

où :1 ≤ n fn(x) =

1

|x|+ n2.

x étant un réel fixé,∑ 1

|x|+ n2est une série numérique à termes réels po-

sitifs. Nous pouvons utiliser les règles de comparaison en termes d’ordre

|fn(x)| ≤ 1

n2. La série de Riemann d’exposant 2,

∑ 1

n2converge, donc la

série∑

fn(x) converge.Le domaine de convergence simple D de cette série d’applications est R.


∑fn, 1 ≤

n où :fn(x) =

1

|x|+ n.

x étant un réel fixé,∑ 1

|x|+ n2est une série numérique à termes réels posi-

tifs. Nous pouvons utiliser les règles de comparaison en termes d’équivalents

|fn(x)| ∼ 1

nn→+∞

. La série harmonique,∑ 1

ndiverge, donc la série

∑fn(x) di-

verge.Le domaine de convergence simple D de cette série d’applications est ∅.


∑fn

101


où :1 ≤ n fn(x) =

(−1)n

x2 + n.

x étant un réel fixé,∑ (−1)n

x2 + nest une série numérique qui vérifie le critère

des séries alternées puisque |fn(x)| = λn(x)(−1)n où λn(x) =1

x2 + n, la suite

(λn(x))n∈N tend vers 0 en décroissant, donc la série∑

fn(x) converge.Le domaine de convergence simple D de cette série d’applications est R.

Definition 3.7.Si la série d’applications

∑fn converge simplement sur A, on peuta définir sur A

pour tout entier n l’application de A dans K, notée Rn, appelée, reste d’ordre nde la série et définie par :

Rn =

p=+∞∑p=n+1

fp = limm→+∞

p=m∑p=n+1

fp = limm→+∞

(Sm − Sn) = S − Sn

apuisque pour tout entier n la série d’applications∑

p≥n fp converge

Remarque 3.1.1.Pour z élément fixé quelconque dans A, la convergence absolue3 de la sérienumérique

∑fn(z) entraîne sa convergence. Or la série numérique

∑ |fn(z)|est associée à la série d’applications

∑ |fn| .

Definition 3.8.On dit que la série d’applications converge absolument sur A si la séried’applications

∑ |fn| converge simplement sur A.

Théorème 3.10. convergence absolue entraîne convergence simpleLa convergence simple sur A de la série d’applications

∑ |fn| entraîne celle de lasérie d’applications

∑fn.

3Rappel : la convergence absolue d’une série numérique est plus simple à étudier que saconvergence simple puisqu’on dispose alors des outils propres à l’étude des séries à termespositifs

102


Exemple 3.1.8. :

Montrer que la série d’applications∑

fn où fn(x) =einx

x2 + n2converge sim-

plement sur R.

3.1.3.2 Définition de la convergence uniforme

3.1.3.3 Définition

Definition 3.9.La série d’applications

∑fn converge uniformément sur A si la suite (Sn)

des applications sommes partielles de la série∑

fn converge uniformément sur A.En conséquence, si

∑fn converge simplement sur A,

∑fn converge uniformément

sur A signifie que la suite des restes d’ordre n, (Rn), est bornée et converge unifor-mément vers l’application nulle sur A.

Exemple de référence 3.2. cas des séries géométriques :A =]− 1, 1[, fn(x) = xn, étude de

∑fn 1 ≤ n

n entier fixé, on connaît l’expression du reste d’ordre n : Rn(x) =xn+1

1− x. Lorsque

x tend vers 1 par valeurs inférieures, Rn(x) tend vers +∞, d’où Rn n’est pas bornésur ]− 1, 1[. Donc

∑fn ne converge pas uniformément sur A.

Théorème 3.11.La convergence uniforme sur A de la série d’applications

∑fn entraîne la conver-

gence uniforme sur A de la suite (fn) vers l’application nulle.

démonstration. en cours ¤Remarquer que, la réciproque de cette implication est fausse comme pour lesséries numériques : (an) converge vers 0 n’entraîne pas que la série

∑an

converge.Exemple 3.1.9. :Vérifier que série d’applications

∑fn où 1 ≤ n , fn(x) = x

nne converge pas

simplement sur [0, 1] alors que la suite (fn) converge uniformément sur [0, 1].Exemple 3.1.10. :Vérifier, en utilisant un raisonnement par contraposée, que la série géomé-trique

∑fn de l’exemple de référence (3.1), où fn(z) = zn, ne converge pas

uniformément sur D1 = {z ∈ C/|z| < 1}

103


Exemple 3.1.11. On a donc un critère de non convergence uniforme :

A = R fn(x) =x2

n2 + x2Converge uniforme de

∑fn ?

Soit n un entier fixé quelconque limx→+∞

fn(x) = 1 donc 1 ≤ ‖fn‖R∞.

3.1.3.4 Convergence uniforme des séries alternées

Retenez le théorème suivant mais cultivez sa démontration. Ce théorème nedoit pas être une "boîte noire".

Théorème 3.12. convergence uniforme des séries alternéesSi la convergence simple sur A de la série d’applications

∑fn est obtenue par le

critère des séries alternées a alors |Rn| ≤ |fn+1| et la série d’applications∑

fn

converge uniformément sur A dès que la suite (fn) converge uniformément sur Avers l’application nulle.

apour tout x de A, la série numérique∑

fn(x) est une série alternée qui converge par lethéorème des séries alternées, c’est à dire si (|fn(x)|) est une suite qui tend vers 0 et qui estdécroissante.

démonstration. Le reste d’ordre n, Rn, vérifie : ‖Rn‖∞ ≤ ‖fn+1‖∞ ¤

Exemple 3.1.12.

Vérifier que la série∑

fn, de l’exemple (3.1.7) où fn(x) =(−1)n

x2 + n, converge

uniformément sur R.type de rédaction conseillé :Convergence simple sur R

Soit x un réel quelconque fixé, la série de terme général∑ (−1)n

x2 + nest alternée.

De plus :

(1) limn→+∞

1

x2 + n= 0 et (2)

1

x2 + n + 1≤ 1

x2 + n

Cette série numérique converge d’après le théorème des séries numériquesalternées (2.16). Nous savons que de plus le reste d’ordre n vérifie :

|Rn(x)| ≤ |fn+1(x)|. (3.3)

En conclusion la série d’applications∑

fn converge simplement vers 0 sur R.Convergence uniforme sur R

104


Soit n un entier quelconque fixé, selon (3.3), |Rn(x)| ≤ |fn+1(x)|, or l’appli-cation fn+1 : x 7→ 1

x2 + n + 1prend sa valeur maximale en valeur absolue en

0, et ‖fn+1‖∞ = fn+1(0) =1

n + 1, en conséquence :

‖Rn‖∞ ≤ 1

n + 1

La suite numérique (‖Rn‖∞) converge vers 0, la suite d’applications (Rn)converge uniformément vers l’application nulle sur R. Il en est donc de mêmede la série d’applications

∑fn.

3.1.3.5 Convergence normale d’une série d’applications

Definition 3.10.La série d’applications

∑fn converge normalement sur A si les applications

(fn) sont bornéesa sur A et si la série numérique∑ ‖ fn ‖A

∞ converge.aIl suffit de supposer les applications (fn) bornées à partir d’un certain rang

Théorème 3.13. la convergence normale entraîne la convergence uniformeLa convergence normale sur A d’une série d’applications

∑fn entraîne la conver-

gence uniforme et la convergence absolue de∑

fn sur A.

démonstration. Le reste d’ordre n, Rn, vérifie :

‖ Rn(x) ‖A∞≤ rn

où rn est le reste d’ordre n de la série numérique de terme général ck =‖ fk ‖A∞

¤

105


convergence normale

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡µ

convergence simple

convergence uniforme@

@@

@@

@@

@@R

convergence absolue

@@

@@

@@

@@R ¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡µ

Exemple 3.1.13.A = [−R, R] où R est un réel donné 0 < R < 1 et fn(x) = xn. Vérifier que∑

fn converge normalement sur A

solution :n fixé ‖fn‖A

∞ = Rn∑ ‖fn‖A∞ est une série géométrique convergente ce qui signifie que

∑fn

converge normalement sur A.On en déduit que

∑fn converge uniformément sur A.

Exemple 3.1.14.

A = {z ∈ C / |z| ≤ R} où R est un réel quelconque donné et où fn(z) =zn

n!.

Vérifier que∑

fn converge normalement sur A

solution :n fixé ‖fn‖A

∞ =Rn

n!∑ ‖fn‖A∞ est une série numérique convergente ce qui signifie que

∑fn converge

normalement sur A.On en déduit que

∑fn converge uniformément sur A, de plus selon (2.15)

n=+∞∑n=0

fn(z) = ez ∀z ∈ A

.

106


Exemple 3.1.15.La convergence uniforme n’entraîne pas la convergence normale

L’exemple étudié en (3.1.12) où fn(x) =(−1)n

x2 + n, est un cas où la série d’appli-

cations converge uniformément sur R, sans converger normalement puisque

‖fn‖∞ =1

n, donc la série

∑ ‖fn‖R∞ diverge.

Exemple 3.1.16.

A = R et 1 ≤ n fn(x) =1

(x sin x)2 + n2

• Soit n un entier fixé ‖fn‖R∞ ≤ 1

n2.

• ∑ 1

n2est une série de Riemann convergente, par comparaison en terme

d’ordre∑ ‖fn‖R∞ converge, et la série d’applications

∑fn converge norma-

lement sur R.

Exemple 3.1.17.

A = [0, +∞[ et gn(x) =xe−nx

n + x.

• Etant donné un entier n : ∀x ∈ R nx ≤ enx ⇒ e−nx ≤ 1

nx

e−nx ≤ 1

nx⇒ xe−nx ≤ 1

net gn(x) ≤ 1

n2.

En conséquence ‖gn‖R∞ ≤ 1

n2.

• La série numérique à termes réels positifs∑ ‖gn‖R∞ converge d’après le

théorème de comparaison en termes d’ordre, et la série d’applications∑

gn

converge normalement sur R.Retenez l’idée du théorème suivant car c’est une idée importante. Cepen-dant n’oubliez pas sa démontration. Ce théorème ne doit pas être une "boîtenoire".

Théorème 3.14. majoration uniforme par une série numérique convergenteS’il existe une série numérique convergente

∑an telle que :

∀n ∈ N ∀x ∈ A |fn(x)| ≤ an

alors la série∑

fn converge normalement sur A.

Les théorèmes qui suivent sont les analogues des théorèmes établies précé-demment pour les suites de fonctions.

107



Théorème 3.15. conservation de la continuité par convergence uniformeSi chacune des applications fn est continue sur A et si la série d’applications

∑fn

converge uniformément sur A alors la somme∑n=+∞

n=0 fn est une application continuesur A.


Exemple 3.1.18. :fn(x) = x(1−x)n, la série

∑fn d’applications ne converge pas uniformément

sur A = [0, 1]En effet vérifier que la somme de cette série vaut 0 en 0 et 1 sur ]0, 1[.Remarquer que cependant la suite (fn) converge uniformément vers 0 sur A.

Théorème 3.16. interversion des signes∑

et∫.

Si chacune des applications fn est continue sur le segment d’extrémités a et b, noté[a, b] et si la série d’applications

∑fn converge uniformément sur [a, b], alors la

série numérique∑ ∫ b

afn(t)dt converge et a :

n=+∞∑n=0

∫ b

a

fn(t)dt =

∫ b

a

( n=+∞∑n=0

fn

)(t)dt

aa pour somme ce que l’on attend

démonstration. Ce théorème se déduit du théorème qui suit ¤

Théorème 3.17. intégration terme à termeSi chacune des applications fn est continue sur le segment [a, b] et si la série d’appli-cations

∑fn converge uniformément sur [a, b] alors la série d’applications

∑Fn, où

c est un point du segment [a, b] et où Fn(x) =∫ x

cfn(t)dt), converge uniformément

sur [a, b] et :n=+∞∑

n=0

∫ x

c

fn(t)dt =

∫ x

c

( n=+∞∑n=0

fn

)(t)dt)


Remarque 3.1.2.La convergence uniforme est une condition suffisante mais non nécessairepour que l’on puisse intégrer terme à terme.

108


Exemple 3.1.19.

Etude de la série numérique de terme général un =1

n!

∫ A

1(ln t)ndt où n ≥ 0.

Théorème 3.18. interversion des signesd

dxet

∑:

Si chacune des applications fn est de classe C1 et si les deux conditions de conver-gence suivantes sont réalisées :1 La série

∑fn converge simplement sur I

2 La série des applications dérivées (f ′n) converge uniformément sur I.Alors la somme de la série

∑fn est dérivable et :

d

dx

( n=+∞∑n=0

fn

)=

n=+∞∑n=0

d

dxfn

Ce théorème se déduit immédiatement du résultat plus précis suivant :

Théorème 3.19. dérivation terme à termeSi A est un intervalle I de R et

∑fn une suite d’applications de classe C1 sur I à

valeurs dans R vérifiant les deux conditions de convergence suivantes :1 La série numérique

∑fn(x) converge en au moins un point x0 de I.

3 La série des applications dérivées (f ′n) converge uniformément sur I.alors la somme de la série

∑fn est dérivable sur I et

( n=+∞∑n=0

fn

)′=

n=+∞∑n=0

f ′n

de plus la série∑

fn converge uniformément sur tout segment de I.


AttentionLa convergence uniforme de la série

∑fn ne permet pas de déduire la conver-

gence de la série∑

f ′n.

Exemple 3.1.20.Montrer que la série de terme général fn(x) = 2−n sin(3nx) converge norma-lement donc uniformément sur R et que cependant la série des dérivées neconverge pas simplement sur R. On pourra montrer qu’elle ne converge pas

en 0. En effet f ′n(0) =3n

2n.

109


3.1.3.7 Critères de Cauchy

Le critère de Cauchy est un outil théorique essentiel utilisé pour étudier laconvergence simple d’une suite d’applications lorsque on ne connaît pas àpriori la limite. Il est nécessaire pour établir le précédent théorème d’inter-version de limites.

Proposition 9 (critère de Cauchy de la convergence simple).

La suite d’applications (fn) converge simplement vers une application fsi pour tout élément x de A la suite numérique (fn(x)) est une suite deCauchy, ce qui s’écrit :

∀x ∈ A, ∀ε > 0, ∃Nε,x / ∀(n,m) ∈ N2(Nε,x < n et Nε,x < m

⇒ | fn(x)− fm(x) | < ε)

Remarque 3.1.3.Les objets que l’on veut rendre proches sont des nombres réels ou complexesfn(x) et fm(x). La condition est exprimée à l’aide de la distance usuelle entreces nombres |fn(x)− fm(x)|

Théorème 3.20. critère de Cauchy de la convergence uniforme

La suite d’applications (fn) converge uniformément sur A s’écrit :

∀ε > 0, ∃Nε / ∀(n,m) ∈ N2,(Nε < n et Nε < m

⇒ fn − fm ∈ B(A,K) et ‖ fn − fm ‖∞ < ε)

Remarque 3.1.4.Les objets que l’on veut rendre proches sont des applications g et f . La condi-tion est exprimée avec une distance entre les applications g et f donnée icipar la norme infinie de ‖g − f‖∞.

110


3.1.4 Annexe 1 : limite et somme d’une série d’applica-tions

Ce théorème généralise le théorème sur la continuité.

Théorème 3.21. interversion des limitesSoit x0 un point de l’adhérence de Aa tel que chaque application fn a unelimite (ln) en x0.Si la suite (fn) converge uniformément sur A, alors :

limx→

Ax0

limn=+∞

fn(x) = limn=+∞

( limx→

Ax0

fn(x))

Ce qui signifie que la suite numérique (ln) converge et que l’application limn=+∞ fn a une limite en x0 égale

à limn=+∞ ln.

Si la série d’applications∑

fn converge uniformément sur A alors :

limx→

Ax0

(n=+∞∑

n=0

fn(x)) =n=+∞∑

n=0

( limx→

Ax0

fn(x))

Ce qui signifie que la série numérique (∑

ln) converge et que l’application∑n=+∞

n=0 fn a une limite en x0

égale à∑n=+∞

n=0 ln.

aimaginer que x0 est fini ou non et est l’extrémité d’un intervalle ouvert inclusdans A

111


3.1.5 Annexe 2 : convergence uniforme et théorème d’Abel

Ce théorème généralise le théorème de convergence uniforme des séries alter-nées.

Théorème 3.22. convergence uniforme des "séries d’Abel"Si pour tout x de A la série numérique

∑fn(x) converge par le critère

d’Abel, c’est à dire si pour tout x élément fixé de A

fn(x) = λn(x)vn(x) avec

1. (λn)(x) ∈ R+ est une suite décroissante à valeurs positives qui tendvers 0 et2. ∃Mx / ∀n ∈ N, | ∑p=n

p=0 vp(x) |≤ Mx.et si de plus :1’. la suite d’applications (λn) converge uniformément sur A vers 0.2’. il existe un réel M ne dépendant que de A tel que, pour tout élémentx de Aa, on ait :

∀n ∈ N | Mx |≤ M

alors le reste d’ordre n, Rn, vérifie :

∀x ∈ A | Rn(x) | ≤ 2M | λn(x) |≤ 2M‖λn‖∞et

0 ≤ ‖Rn‖∞ ≤ 2M‖λn‖∞.

En particulier la série∑

fn converge uniformément sur A.

ales sommes partielles de la série d’applications∑

vn sont uniformément bornèes

Corollaire 2. série de terme général fn(x) = λneinx

Si (λn) est une suite numérique décroissante qui tend vers 0, la série d’ap-plications

∑fn définie par fn(x) = λneinx est uniformément convergente sur

tout intervalle Iα de la forme Iα = [2α, 2π − 2α] avec α ∈]0,π

2[

Exemple 3.1.21. :

λn(x) =1

n + 1, vn(x) = einx

démonstration.1 Pour x fixé dans Iα nous pouvons appliquer le théorème d’Abel :

112


• (λn) est une suite décroissante qui tend vers 0.

• Montrer ∀n ∈ N Vn(x) ≤ Mx où Mx =1

sin (x

2)∑

fn(x) converge et le reste d’ordre n vérifie |Rn(x)| ≤ 2λnMx

1 Si x ∈ Iα alors• λn =

1

n + 1est indépendant de x

• α ≤ x

2≤ π − α et

1

sin (x

2)≤ M où M =

1

sin (α

2)

0 ≤ ‖Rn‖Iα∞ ≤ 2

n + 1M

Donc la suite numérique (‖Rn‖Iα∞) tend vers 0, la série∑

fn converge unifor-mément sur Iα ¤Noter que (λn) est nécessairement une suite d’applications à valeurs réellespositives et en particulier que le théorème d’Abel uniforme permet de mon-trer la convergence uniforme des séries alternées avec M = 1. Cependantla majoration donnée par le théorème des séries numériques alternées donnedirectement une meilleure majoration.

Exercice 3.1. 1. Déterminer le domaine de convergence puis le domainede continuité de la somme pour la série d’applications

fp(x) =∑

p∈N∗2sin (pωx)

p

–0.4

–0.2

0.2

0.4

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–3

–2

–1

0

1

2

3

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

113


représentation des applicationsf1 f2 f2

a

anoter les relations entre les périodes etles fréquences des applications fp

représentation des sommes partiellesd’ordre 2, 5, 10

2. Etudier la convergence et la continuité de la somme de la série d’appli-cations de terme général :

fp(x) = 2(−1)p

psin(px)

114


3.1.6 Annexe 3 : convergence uniforme sur tout seg-ment.

Le raisonnement qui suit apparaît dans de nombreux exercices même si lanotion de convergence sur tout compact n’est pas au programme.

Proposition 10.1. Si une suite d’applications (fn) converge simplement (resp. unifor-

mément) sur A1 et sur A2 alors elle converge simplement (resp.uniformément) sur A1

⋃A2.

2. Si une suite d’applications (fn) converge simplement sur les sous-ensembles Ap, p ∈ N alors elle converge simplement sur

⋃p∈N

Ap Cette

propriété est fausse pour la convergence uniforme

démonstration. en cours ¤Exemple 3.1.22. La suite (fn) où fn(x) = xn converge uniformément sur

Ap = [0, 1− 1

p] si p ∈ N∗ sans converger uniformément sur

⋃p∈N

Ap = [0, 1[

Exemple 3.1.23. : I =]0, +∞[, fn(x) = arctan(nx)(fn) ne converge pas uniformément sur I mais (fn) converge uniformémentsur Ap = [p−1, +∞[ où p ∈ N∗ et en particulier sur tout segment [α, β] inclusdans I.On veut montrer que la limite f de (fn) est continue sur I.

démonstration. Soit x0 un élément de ]0, +∞[ il existe α =x0

2et β = 2x0

tels que 0 < α < x0 < β donc le segment [α, β] contient x0 et est inclus dans]0, +∞[. Par hypothèse la suite (fn) converge uniformément sur le segment[α, β] de ]0, +∞[ vers f , les applications fn étant continues sur ]0, +∞[, ellessont continues en x0 donc la restriction de f à [α, β] est continue en x0 et fest continue en x0. Ceci est vrai pour x0 élément quelconque de ]0, +∞[ doncf est continue sur ]0, +∞[ ¤Exercice 3.2.(**) Si (fn) est une suite d’applications croissantes et continues définies sur[0, 1] à valeurs dans R qui converge simplement sur [0, 1] vers une applicationf continue, montrera que :

∀ε > 0, ∃Nεb/ ∀n ∈ N / Nε < n, ∀x ∈ [0, 1] | fn(x)− f(x) |< ε

aCe n’est pas le théorème de Dinibindépendant de x

115


Exercice 3.3.Montrer que si une suite d’applications (fn) continues sur A, converge unifor-mément sur A alors la suite (fn) converge uniformément sur A.

116


3.2 EXERCICES

3.2.1 Tracés avec Maple

Tracés de suites d’applications

> restart :with(plots) : gn :=x->x*arctan(n*x) :

> plot([seq(evalf(gn(x)),n=1..2)],x=-2..2, \color=[red,green,blue,black],legend=["xarctanx","xarctan2x"]) ;

xarctanx xarctan2xx

K2 K1 0 1 2

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

> S :=seq(gn(x),n=1..10,3) :

117


xarctanx xarctan4x xarctan7xxarctan10x

xK4 K2 0 2 4

1

2

3

4

5

6

7

Tracé de la limite g de g2 et des asymptotes relatives à g2

> g :=x->Pi*abs(x/2) :

> a2 :=x->piecewise(x<0,-x*Pi/2-1/2,x=0,0,x*Pi/2-1/2) :

> plot([x*arctan(2*x),g(x),a2(x)],x=-5..5, \colour=[red,black,blue]) ;

118


xK4 K2 0 2 4

1

2

3

4

5

6

7

119


3.2.2 Suites de fonctions et convergence simple


Exercice 3.4.A = R, fn(x) = arctan(nx). Donner une construction géométrique simple

permettant de déduire la courbe représentative de x → arctan(nx) de cellede x → arctan(x)

Exercice 3.5.A = R, gn(x) = x arctan(nx). Donner la position relative des courbes repré-

sentatives que l’on notera (Ln) . Etude des droites asymptotes aux courbes(Ln).

Indications :Utiliser l’égalité 0 < u arctan(u)+arctan(1

u) =

π

2, pour obtenir

un développement limité en +∞ de arctan(nx).Exercice 3.6.Soit (fn) est une suite d’applications définies sur R à valeurs dans R et crois-santes (resp. strictement croissantes, positives, convexes) sur R qui convergesimplement sur R vers f , que peut-on dire de la limite f de (fn) ?Exercice 3.7.Montrer que chacune des suites d’applications (fn) et (gn) respectivement

définies sur R par fn(x) = arctan(nx) et gn(x) = x arctan(nx) convergesimplement sur R et déterminer la limite de chacune de ces suites.Exercice 3.8.Les suites d’applications (fn) et (gn) définies sur R par fn(x) = xn et gn(x) =

xn(1− x) convergent-elles sur R ? sur [0, 1] ?Exercice 3.9.On se propose d’étudier les suites d’applications (hn), (gn) et (fn) définies

par :

hn(x) =n−

12

1 + (x− n)2

gn(x) =n

1 + (x− n)2

fn(x) =1

1 + (x− n)2

1. Reconnaître parmi les familles de courbes représentées ci-dessous lesquellesreprésentent les applications (hn), n ∈ {1, 2, 4, 8}, les applications (gn), n ∈

120


{1, 2, 4, 8}, les applications (fn), n ∈ {1, 2, 4, 8}.2. Graphiquement pouvez-vous dire si les suites d’applications (hn), (gn) et(fn) convergent ou non ?3. Etudiez en utilisant la définition donnée la convergence au sens de laconvergence simple des suites d’applications (hn), (gn) et (fn).

h1 h5 h9 h13 h17h21 h25 h29 h33 h37h41

x0 10 20 30 40 50

0

0,2

0,4

0,6

0,8

f1 f5 f9 f13 f17 f21f25 f29 f33 f37 f41

x0 10 20 30 40 50

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

g1 g5 g9 g13 g17g21 g25 g29 g33 g37g41

x0 10 20 30 40 50

0

10

20

30

40


Exercice 3.10. des bosses et des chapeaux1. Soit α un paramètre réel pour tout entier naturel n on considère l’appli-

cation (kn) de [0, +∞[ dans R définie par : kn(x) = nαxe−nx

Montrez que la suite d’applications (kn) converge simplement vers l’applica-tion nulle sur [0, +∞[.Etudiez en fonction du paramètre réel α les variations sur [0, +∞[ de l’ap-plication (kn) .Donnez l’allure de la courbe représentative de l’application (kn).Comparez le phénomène observé à ceux décrits dans l’exercice précédent.2.Etudiez sur R la convergence simple de la suite d’applications (δn) de R

121


dans R où δn est l’application continue, paire et affine par morceaux quiprend la valeur 1 en 0 et qui s’annule exactement pour l’ensemble des valeursde x telles que n−1 ≤| x |.Imaginez des chapeaux qui glissent.Exercice 3.11.Que peut-on dire de la limite simple d’applications (fn) qui sont positives,

qui sont monotones1, · · · ?

Exercice 3.12.1. Montrez que la suite (kn) d’applications définies sur R par : kn(x) =

sin(x) cosn(x) converge simplement sur A = R.

3.2.3 Suites de fonctions-convergence uniforme


Exercice 3.13.Avec A = R, vérifier que pour tout entier n, {| hn(x) | /x ∈ A} defini dans

l’exercice (3.9) a un maximum. Que valent ‖ hn ‖A∞, ‖ gn ‖A

∞, ‖ fn ‖A∞ ?

Exercice 3.14.

1. Si les suites d’applications (fn) et (gn) convergent simplement sur A, ilen de même de (λfn + gn), pour tout élément λ de K, et lim

n→+∞(λfn +

gn) = λ limn→+∞

fn + limn→+∞

gn ? .

2. Si les suites d’applications (fn) et (gn) convergent uniformément sur A,la suite d’applications (λfn + gn) converge uniformément ?

Exercice 3.15.A = R. Reprenez l’exercice (3.12) et montrez ‖ kn ‖A

∞∼n→+∞ (ne)12 . La suite

(kn) converge-elle uniformément vers l’application nulle sur R ?

Exercice 3.16.Montrez la convergence uniforme de la suite d’applications (gn) de l’exercice

3.5 vers la fonction x →| πx

2|. Etudiez la convergence uniforme de la suite

d’applications (fn) de l’exercice 3.4.1Penser à utiliser "le prolongement des inégalités" par passage à la limite, pour vérifier

que ces propriétés sont conservées dès la notion de limite simple.

122


Exercice 3.17.Les suites (hn), (fn) , (gn) des exercices 3.9 et 3.13convergent-elles unifor-

mément vers l’application nulle sur R ?

Exercice 3.18.Etudier la convergence uniforme des suites d’applications (kn) et (δn) de

l’exercice 3.10

Exercice 3.19.Soit la suite (fn) d’applications de R dans R définie par :

fn(0) = 0

fn(x) = n(1− n|x|) sur [− 1

n;1

n]\{0}

fn(x) = 0 sur R\[− 1

n;1

n]

Vérifier que cette suite converge simplement vers l’application nulle sur R.Calculer pour x réel quelconque donné et pour ε réel donné strictement positifune valeur de Nε,x en fonction de ε et de x telle que :

∀n ∈ N Nε,x < n ⇒ | fn(x)− f(x) |< ε

Cette suite converge-t-elle uniformément ?

Exercice 3.20.Montrer que indépendamment de la valeur du paramètre entier k la suite

d’applications (fn) où fn(x) =sin(nx)

1 + nkxkne converge pas uniformément sur

R.


Exercice 3.21. produit et suites convergentes1. Montrer que si les suites d’applications (fn) et (gn) convergent sim-

plement sur A, il en est de même de la suite (fngn) et limn→+∞

(fn +

gn) = limn→+∞

fn · limn→+∞

gn .

2. Le produit de suites uniformément convergentes converge-t-il uni-formément ?

123


Exercice 3.22.Soit la suite (fn) d’applications définies sur [0, +∞[ par :

fn(x) =k=n∑

k=1

(−1)k

k(1 + kx)

Montrer que la suite (fn) converge simplement sur [0, +∞[ vers une applica-tion f .Calculer f(0).Montrer que f est continue sur [0, +∞[.Calculer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞.(Vous pourrez à ce sujetlire dans la dernière partie de ce cours le théorème 3.21)Exercice 3.23.Calculer en effectuant un changement de variable convenable.

∫ 1

0

n2x(1− x)n dx

On considère la suite d’applications de R dans R définie par :

fn(x) = n2x(1− x)n

– Étudier le domaine de convergence simple de la suite de fonctions (fn)– Justifier l’existence de

∫ 1

0

limn→+∞

n2x(1− x)n dx

– Comparer

limn→+∞

∫ 1

0

n2x(1− x)n dx et∫ 1

0

limn→+∞

n2x(1− x)n dx

Exercice 3.24.Etudier le domaine de convergence uniforme de la suite d’applications (fn)

définies sur R par fn(x) =∏p=n

p=1 cosx

2p

3.2.4 Séries de fonctions


Exercice 3.25.Etudier les différents types de convergence (simple, absolue,uniforme, nor-

male) de chacune des séries d’applications suivantes :

124


1 A = R n ∈ N∗ et fn(x) =sin nx

n2

2 A = R fn(x) =e−nx2

n2, n ≥ 1

Exercice 3.26.

A = [0, 1], n ∈ N∗ et fn(x) = (−1)n x2 + n

n2

A = [0, +∞[, n ∈ N et fn(x) = xne−n2x

Exercice 3.27.

A = [0, 1], n ∈ N et fn(x) =(−1)n−1e−nx

√n

a Montrer la convergence simple de∑

fn sur [0, +∞[b Montrer la convergence normale de

∑fn sur [α, +∞[ si 0 < α

c Etudier la convergence normale de∑

fn sur R.d Etudier la convergence uniforme de

∑fn sur R.

e Etudier la continuité sur [0, +∞[ de la somme de cette série.Exercice 3.28.

A = R, n ∈ N∗ et fn(x) =nx2

n3 + x2

a Montrer la convergence absolue de∑

fn sur Rb Etudier la convergence uniforme de fn sur Rc Etudier la convergence uniforme sur [−a, a] a réel quelconque positif

Exercice 3.29.On considère la suite (fn)n≥1 d’applications définie sur ]1, +∞[ par :

fn(x) =x

1 + n2x2

.– Montrer que cette série d’applications converge simplement sur R.– Montrer que cette série d’applications ne converge pas normalement

sur R.– Minorer

∑k=2(n+1)k=n+1 fk(

1

n + 1) et achever l’étude de la convergence de

cette série d’applicationsExercice 3.30.On considère la suite (fn)n≥1 d’applications définie sur R par :

fn(x) =e−nx

1 + (−1)nn

125


.– Montrer que cette série d’applications converge simplement sur R+.– Montrer que cette série d’applications converge normalement sur [a, +∞[

pour tout réel a strictement positif.– Etudier la convergence uniforme de cette série sur R+

126


3.2.5 Un problème : La fonction zêta de Riemann

Nous verrons à la fin du cours sur les séries entières comment on peut prolon-

ger la fonction exponentielle de R à C. Ici de même la fonction x 7→ ∑k=∞k=0

1

nx

peut être prolongée par (x + iy) 7→ ∑k=∞k=0

1

nx+iy.

Riemann fait en 1859 la conjecture que tous les zéros de cette fonction autresque -2, -4, -6... ont une partie réelle égale à 1/2. Cette conjecture a été vérifiéeen 1986 pour les 1 500 000 001 premiers zéros de zêta. Personne n’a encoreencore démontré que cela est vrai pour tous les zéros. La connaissance deszéros de cette fonction intervient dans la détermination du nombre θ(x) denombres premiers inférieurs à x.

On considère les série d’applications (fn)n≥1 et (gn)n≥1 définie par :

fn(x) =1

nxgn(x) =

(−1)n−1

nx

1. Déterminer le domaine de convergence simple de chacune de ces sériesd’applications.Sur ces domaines respectifs, on définit la fonction zêta de Riemann, notéex ∈]1, +∞[→ ζ(x) comme la somme de la série

∑fn et la fonction G, notée

x ∈]0, +∞[→ G(x), comme la somme de la série∑

gn.

2. Trouver une relation entre zêta et G

A l’aide des restes déterminer la limite de G en +∞ puis celle de la fonctionzêta.

3. Que vaut G en +1 déterminer la limite de la fonction zêta à droite de 1.

Donner un développement asymptotique de la fonction zêta en 1 à droite de 1.

4. Montrer que l’application ζ est dérivable sur ]1, +∞[.

5. Montrer que l’application ζ est de classe C∞ sur ]1, +∞[

6. Montrer que la convergence vers l’application ζ n’est pas uniforme sur]1, +∞[.

127


Chapitre 4

SERIES ENTIERES

Sommaire

4.1 COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.1.3 Domaine de convergence simple . . . . . . . . . . . 1324.1.4 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . 1354.1.5 Propriétés de la somme d’une série entière . . . . . 1384.1.6 Développement en série entière . . . . . . . . . . . 1414.1.7 Exponentielle de la variable complexe . . . . . . . 146

4.2 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.2.1 Avec Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.2.2 Convergence simple et Rayon de convergence . . . 1484.2.3 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . 1494.2.4 Convergence uniforme et Propriétés de la somme . 1504.2.5 Développement en série entière . . . . . . . . . . . 1514.2.6 Exponentielle de la variable complexe . . . . . . . 155

4.1 COURS

4.1.1 Introduction

4.1.1.1 Résumé

Nous étudions des séries d’applications particulières que sont les applicationsmônomes.

128


1. Le domaine de convergence simple a la forme d’un disque caractérisépar le rayon de convergence

2. La somme est de classe C∞ sur le disque ouvert et peut être dérivée ouintégrée terme à terme.


Archimède (-287-242) somme déjà une série géométrique infinie pour ré-soudre le problème de la quadrature de la parabole. De même les séries en-tières sont manipulées bien avant que ne soit posé le problème de la conver-gence des séries, telles des polynômes continués.Au XV IIe siècle, on manipule les séries entières : on les intègre terme àterme et on les différentie terme à terme. Ainsi l’allemand Nicolas Merca-tor (1619-1687)donne le développement en série entière de log(1+x), Newton(1642-1727) donne en 1665 le développement de (1 + x)α avec des notationsmodernes :

(1 + x)α = 1 +

p=+∞∑p=1

α(α− 1) · · · (α− p + 1)

p!xp

Une application polynôme est la somme d’un nombre fini d’applications mo-nômes, déterminée par ses coefficients, en nombre fini, (ap)0≤p≤n :

Pn(z) =

p=n∑p=0

apzp

La somme d’une série d’applications monômes, appelée série entière, a doncété naturellement considérée comme une application qui généralise la notiond’application polynôme, tout en étant déterminée par une suite infinie decoefficients, (ap)0≤p :

p=+∞∑p=0

apzp 1 ≤ p ≤ n,

ceci sans tenir compte des difficultés liées au passage à la limite et qui ontfait l’objet des précédents cours. En effet, la somme d’une série entière vérifieseulement :

p=+∞∑p=0

apzp = lim

n→+∞Pn(z) avec Pn(z) =

p=n∑p=0

apzp.

129


Si on a pu obtenir autant de résultats justes sans se soucier de convergenceuniforme, c’est que nombre des résultats utilisés intuitivement en générali-sant les propriétés des polynômes sont effectivement vrais pour ce type trèsparticulier de séries d’applications que sont les séries entières.

130


4.1.2 Définitions

Definition 4.1.1. Une série entière de la variable réelle est une série d’applications mo-nômes définies sur R. Elle s’écrit donc sous la forme :

∑apx

p.

2. La suite numérique a (ap)p∈N est appelée la suite des coefficients de lasérie entière

∑apx

p.3. On peut étendre l’ensemble de définition de la série entière

∑apx

p à C.On l’appelle alors série entière de la variable complexe et la variable estgénéralement notée z. On la note :

∑apz

p.

aSuite numérique réelle ou complexe

Nous avons déjà rencontré de telles séries d’applications, la série géomé-trique

∑zn et la série exponentielle

∑zn

n!.

Etudions tout d’abord le domaine de convergence simple de ce type de sé-rie d’applications. Observons que celui de la série géométrique est le disqueouvert de rayon 1, celui de la série exponentielle est C.

131


4.1.3 Domaine de convergence simple

RappelRappelons que l’ensemble des valeurs de z telles que la série numérique∑

apzp converge est le domaine de convergence simple de cette série entière.

Le domaine de convergence simple d’une série entière a une forme très simple,c’est un disque au bord près, ce qui nous amène à introduire des notions spé-cifiques : celles de disque de convergence et de rayon de convergence.

Remarque 4.1.1.Toute série entière converge pour la valeur 0 de la variable.

4.1.3.1 Détermination pratique du domaine de convergence simple

On étudie d’abord l’absolue convergence d’une série entière ce qui permetd’utiliser les théorèmes de comparaison aux séries géométriques.

Exemple 4.1.1.

Déterminer le domaine de convergence simple de la série entière∑ 2n

4n2 − 5zn :

z étant fixé, non nul, on étudie la nature de la série numérique à termes réelsstrictement positifs un =| anz

n | avec le critère d’Alembert.

un+1

un

= 2(4(n + 1)2 − 5)

| 4n2 − 5 | | z | etun+1

unn→+∞

= 2 | z | .

Selon le critère d’Alembert- si | z |< 1

2,∑

un converge et∑

anzn converge absolument.

- si1

2<| z |, ∑

un diverge grossièrement et il en est de même de∑

anzn.

Nous montrons ainsi tout d’abord une règle simple qui permet de décrirerapidement le domaine de convergence simple de la série entière sous la seulehypothèse que les coefficients de la série entière ne s’annulent pas et que la

suite( |an+1||an|

)n∈N ait une limite.1

1Si (n√|an|) tend vers λ, on pourra utiliser la comparaison aux séries géométriques

par le critère de Cauchy.

132


Théorème 4.1.

Si les coefficients an sont non nuls et si limn→+∞

|an+1||an| = λ alors :

1 . Soit λ = 0, et∀z ∈ C,∑

anzn converge absolument.

2 . Soit λ = +∞, et ∀z ∈ C ∑anz

n diverge grossièrement.3 . Soit λ ∈ R+∗ et il existe un réel strictement positif Ra tel que

{∀z ∈ C, |z| < Ra la série

∑anznconverge absolument.

∀z ∈ C, Ra < |z| la série∑

anzndiverge grossièrement.

Conséquence :Dans tous les cas le domaine de convergence de la série entière

∑anz

n estun disque de centre 0

1 . Dans le premier cas, il a pour rayon Ra = +∞2 . Dans le deuxième cas, Ra = 0

3 . Dans le troisième cas, Ra =1

λ

4.1.3.2 Définition générale du rayon de convergence

Lemme 4.1. lemme d’AbelS’il existe une valeur réelle r strictement positive telle que la suite (anrn) soitbornée, alors la série

∑anz

n converge absolument pour tout nombre complexez de module strictement inférieur à r.

démonstration. en cours¤

Théorème 4.2. caractérisation du rayon de convergence.Etant donné une série entière de la variable complexe,

∑anz

n, il existe unnombre Ra ∈ [0, +∞], tel que

1. Si |z| < Ra, la série numérique∑

anzn converge absolument2. Si Ra < |z|, la suite (anz

n) est non bornée et la série numérique∑

anzn

diverge grossièrement.

démonstration.Soit Ia = {r ∈ R+/ la suite (anr

n) est bornée.}. Ia est un intervalle de R+

qui contient 0. On montre que Ra = sup(Ia) vérifie les conditions du lemmed’Abel.

133


¤

Definition 4.2.- Le nombre Ra ∈ [0, +∞] défini par le théorème (4.2)est appelé le rayon deconvergencea de la série entière de coefficients (an).- Le disque ouvert de centre 0 et de rayon Ra , {z ∈ C/|z| < Ra}, est appeléle disque ouvert de convergence de la série entière

∑anzn

- Le disque fermé de centre 0 et de rayon r ,c’est à dire {z ∈ C/|z| ≤ Ra} estappelé le disque fermé de convergence de la série entière

∑anz

n

- Le cercle {z ∈ C/|z| = Ra} est appelé le cercle d’incertitude de la sérieentière.

aNous ne donnons pas ici de méthode générale de calcul du rayon de convergence telle

que la formule de Hadamard : Ra =1

lim sup (p√|ap|)

.

Exemple de référence 4.1.La série géométrique

∑zn a pour rayon de convergence 1.

La série exponentielle∑ 1

n!zn a pour rayon de convergence +∞.

ConséquenceLe domaine de convergence simple d’une série entière de la variable complexecontient son disque ouvert de convergence et est inclus dans son disque ferméde convergence. Il n’existe pas de résultat général en les points du cercle d’in-certitude :

Le domaine de convergence simple d’une série entière de la variable réellecontient l’intervalle ouvert de convergence ]−Ra, Ra[ et est inclus dans l’in-tervalle fermé de convergence [−Ra, Ra]. Il n’existe pas de résultat général2en les points Ra et −Ra.

2c’est à dire valable pour toute série entière

134


4.1.4 Opérations sur les séries entières

On se donne deux séries entières∑

anzn et

∑bnzn de rayons de convergence

respectifs Ra et Rb et un scalaire λ dans C non nul.Introduction

∀z ∈ C/ | z |< Ra λ

n=+∞∑n=0

anzn =n=+∞∑

n=0

(λan)zn

Cette opération sur les séries de fonctions 1 s’exprime donc directement surles coefficients de la série entière, prolongeant ainsi le calcul sur les polynômesque l’on définit à partir de leur coefficients.

4.1.4.1 Structure vectorielle

Definition 4.3. produit par un nombre complexe, sommeLe produit du scalaire λ et de la série

∑anz

n est la série entière∑

(λan)zn.La somme des séries

∑anzn et

∑bnz

n, est la série entière∑

(an + bn)zn.

Proposition 11. Rayon de convergence et produit avec un scalaire non nulLe rayon de convergence de la série entière

∑(λan)zn est égal à Ra et :

∀z ∈ C/ |z| < Ra

n=+∞∑n=0

(λan)zn = λ(n=+∞∑

n=0

anzn)

Théorème 4.3. Rayon de convergence de la sommeLe rayon de convergence R de la série entière

∑(an + bn)zn est supérieur ou égal à

min(Ra, Rb), et on a :

∀z ∈ C/ |z| < R ⇒n=+∞∑

n=0

(an + bn)zn =n=+∞∑

n=0

anzn +

n=+∞∑n=0

bnzn

Si Ra 6= Rb alors on a précisément R = min(Ra, Rb).

Théorème 4.4. cas de deux séries entières disjointesLes séries

∑anz

n et∑

bnzn sont disjointes si ∀n ∈ N, anbn = 0.

Alors le rayon de convergence de∑

(an + bn)zn est min(Ra, Rb).

1établie pour chaque élément du domaine de convergence à partir des propriétés desopérations sur les séries numériques étudiées au premier chapitre

135


Exemple 4.1.2.∑

z2n : a2n = 1, a2n+1 = 0 Ra = 1

∑ z2n+1

2n + 1: b2n = 0, b2n+1 =

1

n + 1Rb = 1

cn = an + bn R = 1 et | z |< 1n=+∞∑

n=0

cnzn =n=+∞∑

n=0

z2n +n=+∞∑

n=0

1

n + 1z2n+1

4.1.4.2 Produit de deux séries entières

Definition 4.4.On appelle produit des séries

∑anz

n et∑

bnzn la série entière de coefficients (cn)où

cn =k=n∑

k=0

akbn−k

Théorème 4.5. rayon de convergence du produitLe rayon de convergence R de la série entière

∑cnz

n, produit des séries∑

anzn et∑bnzn, est supérieur ou égal à min(Ra, Rb) et :

∀z ∈ C/ |z| < R ⇒n=+∞∑

n=0

cnzn = (

n=+∞∑n=0

anzn)(

n=+∞∑n=0

bnzn)


Remarque 4.1.2. : Cas particulier du produit par un monôme zk

Pour tout k ∈ N, la série entière∑

anzk+n a pour rayon de convergence Ra :

et ∀z ∈ C/ |z| < Ra

n=+∞∑n=0

anzn+k = zk

n=+∞∑n=0

anzn

4.1.4.3 Substitution d’un monôme

Nous n’étudions pas la substitution d’une série entière dans une autre, parcontre la substitution de monômes est une propriété simple que nous utilise-rons constamment sans toujours l’expliciter.

136


Proposition 12. substitution de monômes1. Le rayon de convergence de la série entière

∑(anλ

n)zn est Ra|λ|−1 et :

∀z ∈ C/ |z| < Ra

|λ|n=+∞∑

n=0

(anλn)zn =n=+∞∑

n=0

an(λz)n.

2. Pour p ∈ N∗, le rayon de convergence de la série entière∑

anzpn est p√

Ra

et :

∀z ∈ C/ |z| < p√

Ra

n=+∞∑n=0

anzpn =

n=+∞∑n=0

an(zp)n.

Exemple 4.1.3.Rayon de convergence et somme des séries

∑2nzn,

∑z2n,

∑(−1)nz2n.

∀z ∈ C | z |≤ 1

2

n=+∞∑n=0

2nzn =n=+∞∑

n=0

(2z)n =1

1− 2z

∀z ∈ C | z |≤ 1n=+∞∑

n=0

z2n =n=+∞∑

n=0

(z2)n =1

1− z2

∀z ∈ C | z |≤ 1n=+∞∑

n=0

(−1)nz2n =n=+∞∑

n=0

(−z2)n =1

1 + z2

137


4.1.5 Propriétés de la somme d’une série entière

Etant donnée une série entière∑

anzn de coefficients (an). Ra son rayon deconvergence.On se limite ici à l’étude de la série entière d’une variable réelle

∑anx

n.

4.1.5.1 Domaine de convergence uniforme

Théorème 4.6. convergence normale

La série entière de la variable réelle∑

anxn converge normalement et donc unifor-

mément sur tout segment [−α, α] inclus dans ]−Ra, Ra[.


Conséquence :La somme de la série entière d’une variable réelle

∑anxn est une application

continue sur l’intervalle ouvert de convergence ]−Ra, Ra[. 1

4.1.5.2 Dérivées de la somme d’une série entière

Théorème 4.7. dérivation terme à terme et rayon de convergence

Deux séries entières obtenues l’une à partir de l’autre par dérivation terme à termeou par intégration terme à terme ont même rayon de convergence.

démonstration. en cours ¤Remarque 4.1.3.Toutes les séries entières obtenues par dérivations successives terme à termeont même rayon de convergence R que la série initiale.

Théorème 4.8. dérivations terme à terme successives1On peut prolonger la notion de normale et d’uniforme convergence sur un disque

fermé inclus dans le disque ouvert de convergence à la somme d’une série entière d’unevariable complexe

∑anzn.

138


La somme d’une série entière est une application de classe C∞ sur l’intervalleouvert de convergence ]−Ra, Ra[.

1. Calcul de la dérivée par dérivation terme à terme :

∀x ∈]−Ra, Ra[,( n=+∞∑

n=0

anxn)′

=n=+∞∑

n=1

nanxn−1

2. Calcul de la dérivée kime par dérivations terme à terme successives.

∀x ∈]−Ra, Ra[,( n=+∞∑

n=0

anxn)(k)

=n=+∞∑

n=k

n(n− 1)...(n− (k − 1))anxn−k

démonstration. en cours ¤Remarque 4.1.4. Autres écritures pour |x| < Ra

( p=+∞∑p=0

anxn)′

=n=+∞∑

n=1

nanxn−1 =

p=+∞∑p=0

(p + 1)ap+1xp

( p=+∞∑p=0

anxn)(k)

=

p=+∞∑p=0

(p + k)(p + k − 1)...(p + 1)ap+kxp

Exemple 4.1.4.Rayon de convergence et somme de

∑1≤n nxn−1

1 ≤ n nxn−1 = (xn)′ ∀x ∈]1, 1[n=+∞∑

n=0

xn =1

1− x

R = 1 ∀x ∈]1, 1[n=+∞∑

n=1

nxn−1 = ((1− x)−1)′ =1

(1− x)2

139


4.1.5.3 Primitive de la somme d’une série entière

Théorème 4.9. intégration terme à terme

1. Intégration terme à terme :

∀α, β ∈]−Ra, Ra[

∫ β

α

( n=+∞∑n=0

antn)dt =

n=+∞∑n=0

(

∫ β

α

antn dt)

2. Sur ]−Ra, Ra[, une primitive F de la somme s’écrit :

∀x ∈]−Ra, Ra[ F (x) = F (0) +n=+∞∑

n=0

anxn+1

n + 1

Exemple 4.1.5.

Rayon de convergence et somme de∑

0≤n

1

n + 1xn+1

0 ≤ n1

n + 1xn+1 =

∫ x

0

tndt ∀x ∈]1, 1[n=+∞∑

n=0

xn =1

1− x

R = 1 ∀x ∈]1, 1[n=+∞∑

n=0

1

n + 1xn+1 = 0 +

∫ x

0

1

1− tdt = − ln(1− x)

4.1.5.4 Expression des coefficients d’une série entière en fonctionde sa somme

Théorème 4.10.Les coefficients ap d’une série entière

∑apx

p, de rayon de convergence non nul etde somme S vérifient :

∀p ∈ N, ap =S(p)(0)

p!

140


4.1.6 Développement en série entière

On se donne une application f de D, sous-ensemble de R dans R et ]− r, r[un sous-ensemble non vide de D (0<r).On cherche s’il existe une série entière dont f soit la somme sur ] − r, r[,combien il en existe et à quelles conditions sur f .La réponse est qu’il y a au plus une telle série, c’est la série de Taylor de f en0 et dans ce cas f est nécessairement de classe C∞. Cette condition nécessairen’est pas suffisante.

4.1.6.1 Développement et Polynôme de Taylor de f en 0

Definition 4.5.f est développable en série entière à l’origine s’il existe une série entière

∑anx

n derayon de convergence R, r < R dont f soit la somme sur ]− r, r[, c’est à dire telleque :

∀x ∈]− r, r[, f(x) =n=+∞∑

n=0

anxn

On dit alors que la série∑

anxn est un développement en série entière de f sur

]− r, r[.

Exemple de référence 4.2.

L’application (x ∈]−∞, 1] 7→ 1

1− x) est développable en série entière

∀x ∈ R, −1 < x < 11

1− x=

n=+∞∑n=0

xn.

Théorème 4.11. développable entraîne C∞Si f est développable en série entière sur ]−r, r[ alors f est de classe C∞ sur ]−r, r[,et la série entière obtenue coïncide nécessairement avec sa série de Taylor de f en 0

i.e.∑ f (k)(0)

k!xk.

Remarque 4.1.5.Si f admet un développement en série entière, il est défini de manière unique,nous parlerons du développement en série entière de f en 0.

141


Théorème 4.12. C∞ et restes tendent vers 0Soit f une application de classe C∞ sur ] − r, r[, f est développable en série entièresur ]− r, r[ si et seulement si la suite (Rn+1) des restes de Taylor d’ordre n de f en0 converge simplement vers l’application nulle sur ]− r, r[.

On sait évaluer Rn+1

soit avec la formule de Taylor et reste intégral : Rn+1(x) =∫ x

0

(x− t)n

n!f (n+1)(t) dt

soit avec la formule de Taylor Lagrange : Rn+1(x) =xn+1

(n + 1)!f (n+1)(θx) où 0 < θ < 1

démonstration. en cours¤Remarque 4.1.6.Si f a un développement en série entière dans ]− r, r[ alors f a un dévelop-pement limité à tout ordre en 0. Mais ces notions sont très différentes :

D. L. f(x) = Pn(x)+xnε(x) signifie ∀n ∈ N limx→0

ε(x) = 0

D. S. E. : f(x) = Pn(x)+Rn+1(x) signifie ∀x ∈]−r, r[ limn→∞

Rn+1(x) = 0

Exemple de référence 4.3.L’application x ∈ R 7→ exp x est développable en série entière

∀x ∈ R, exp x =n=+∞∑

n=0

xn

n!.

Exemple de référence 4.4.Les applications cosinus et sinus sont développables en série entière sur R et :

∀x ∈ R, cos x =

p=+∞∑p=0

(−1)p x2p

(2p)!= 1− x2

2!+ ... + (−1)n x2n

(2n)!+ ...

∀x ∈ R, sin x =

p=+∞∑p=0

(−1)p x2p+1

(2p + 1)!= x− x3

3!+ ... + (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ ...

Théorème 4.13.

142


Toute combinaison linéaire, tout produit d’applications développables en séries en-tière sur l’intervalle ]−r, r[ est développable en série entière sur l’intervalle ]−r, r[.Toute primitive, tout dérivée d’une application développable en série entière sur l’in-tervalle ]− r, r[ est développable en série entière sur l’intervalle ]− r, r[.Si une application développable en série entière sur l’intervalle ] − r, r[ est paire(resp. impaire) alors son développement en série entière est pair .

Les applications cosinus et sinus hyperboliques, sont développables en sérieentière sur R et :

∀x ∈ R, chx =

p=+∞∑p=0

x2p

(2p)!= 1 +

x2

2!+

x4

4!+ ... +

x2n

(2n)!+ ...

∀x ∈ R, shx =

p=+∞∑p=0

x2p+1

(2p + 1)!= x +

x3

3!+

x5

5!+ ... +

x2n+1

(2n + 1)!+ ...

Exemple de référence 4.5.Voici comment développer en série entière une fraction rationnelle, n’admet-tant pas le pôle 0, et qui a été décomposée en somme d’éléments simples depremière espèce dans R(X) ou C(X).

| z |<| a |, 1

a− z=

1

a(1− za)

=1

a

p=+∞∑p=0

zp

ap=

1

a+

z

a2+ · · ·+ zn

an+1+ ...

| x |<| a |, 1

(a− x)2=

1

a

p=+∞∑p=1

n

anxn−1 =

1

a2+ 2

x

a3+ · · ·+ n

xn−1

an+1+ ...

Le premier développement est obtenu directement à partir de l’exemple de ré-férence 4.2. Pour le second, on utilise le théorème de dérivation terme à termed’une série entière (4.8). Toutefois lorsque k est suffisamment grand il est pré-

férable de chercher le développement en série entière de (x → 1

(a− x)k) en

utilisant le développement en série entière, de rayon de convergence 1, dex 7→ (1 + x)α avec α = −k.Les applications ln (1 + x), arctan x et arg tanh x sont développables en sérieentière sur ]− 1, 1[ et :

ln(1 + x) =

p=+∞∑p=1

(−1)p+1

pxp = x− x2

2+ ... + (−1)n+1xn

n+ ... (4.1)

143


Cette égalité se prolonge en 1.

ln(1− x) = −p=+∞∑

p=1

xp

p= −x− x2

2− x3

3− ...− xn

n− ...

Cette égalité se prolonge en −1.

1

1 + x2=

p=+∞∑p=0

(−1)px2p = 1− x2 + x4 − ... + (−1)2nx2n + ...

arctan x =

p=+∞∑p=0

(−1)p

2p + 1x2p+1 = x− x3

3+ ... + (−1)p x2n+1

2n + 1

Cette application n’est pas développable en série entière sur R, bien qu’ellesoit de classe C∞.

1

1− x2=

p=+∞∑p=0

x2p = 1 + x2 + x4 + ... + x2p + ...

arg tanh x =

p=+∞∑p=0

x2p+1

2p + 1= x +

x3

3+ ... +

x2n+1

2n + 1+ ...

Exemple de référence 4.6.Pour tout réel α l’application (x ∈ R 7→ (1 + x)α) est développable en série entière

∀x ∈ R, −1 < x < 1 (1 + x)α = 1 +

p=+∞∑p=1

α(α− 1)...(α− p + 1)

p!xp.

Méthode de l’équation différentielleIl faut connaître cette méthode permettant de résoudre une équation différen-tielle ou une équation fonctionnelle en cherchant une solution développableen série entière.

1. fα est la solution sur ]− 1,∞[ du problème de Cauchy :{

(1 + x)y′ − αy = 0

y(0) = 1

144


2. Si f est développable en série entière sur ]− r, r[ où 0 < r :

−r < x < r ⇒ f(x) =

p=+∞∑p=0

apxp

D’après le théorème (4.8) :

| x |< r f ′(x) =

p=+∞∑p=1

papxp−1 =

p=+∞∑p=0

(p + 1)ap+1xp

et | x |< r xf ′(x) =

p=+∞∑p=0

papxp

Le coefficient de xp dans le développement de (f ′ + xf ′ − αf)1 est :((p + 1)ap+1 + (p− α)ap

)

Or cette application est nulle sur ]− 1, +∞[, donc :

∀p ∈ N (p + 1)ap+1 + (p− α)ap = 0 ⇒ ap+1 =α− p

p + 1ap

D’où, éventuellement en écrivant les premiers termes de la série :

(a1 − αa0) + (2a2 + a1 − αa1)x + ...

a0 = 1 a1 = α a2 = αα− 1

2a3 = α

α− 1

2

α− 2

3Par récurrence

ap =α(α− 1)...(α− p + 1)

p!

3. Rayon de convergence de la série entière∑

anzn ? si z n’est pas nul, la

série numérique à termes∑

up où up = |ap||zp| vérifie :

0 < upup+1

up

=|ap+1z

p+1||apzp| =

p− α

p + 1|z| et lim

p→+∞up+1

up

= |z|

Le critère d’Alembert montre que∑

up converge si |z| < 1 et divergegrossièrement si 1 < |z|, le rayon de convergence de

∑anzn est 1, fα

coïncide sur ] − 1, 1[ avec la somme de cette série entière. La fonctionf est développable en série entière sur ]− 1, 1[.

∀x ∈]− 1, 1[, f(x) =n=+∞∑

n=0

anxn

1remarquer qu’il est facile de développer (1 + x)f ′ sous la forme f ′ + xf ′

145


4.1.7 Exponentielle de la variable complexe

Definition 4.6.On prolonge l’application exponentielle définie sur R et à valeurs dans C par uneapplication définie sur C, et à valeurs dans C, appelée exponentielle complexe, enécrivant :

∀z ∈ C, exp(z) =n=+∞∑

n=0

zn

n!

Théorème 4.14. homomorphisme du groupe additif sur le multiplicatif.

∀(z, z′) ∈ C2, exp(z + z′) = exp(z) exp(z′)

Corollaire 3.

∀n ∈ N, ∀z ∈ C, exp(nz) = (exp z)n

Théorème 4.15.

∀z ∈ C, exp z = exp z

Théorème 4.16. forme algébrique de z et trigonométrique de exp(z)

Si z = x+iy, avec (x, y) ∈ R× R alors

exp z = exp(x + iy) = exp x exp iy = exp x(cos y + i sin y)

exp z a pour module exp x et pour argument y. On en déduit la formule de Moivre :

∀y ∈ R, ∀n ∈ Z, cos ny + i sin ny = (cos y + i sin y)n

L’exponentielle complexe a pour période 2iπ

∀k ∈ Z, ∀z ∈ C, exp(z + i2kπ) = exp z

146


A savoir :

exp z = 1 ⇔ ∃k ∈ Z/z = i2kπ

exp(2iπ) = 1 exp(iπ) = −1 exp(iπ

2) = i

∀k ∈ Z, exp(2ikπ) = 1 exp(ikπ) = (−1)k exp(ik

π

2

)= ik

Attention : L’équation (1) exp z = z0 a une infinité de solutions.

147


4.2 EXERCICES

4.2.1 Avec Maple

On peut utiliser le package « powseries »avec les commandes« powsin », « powexp », « powslog »pour développer en série entière les ap-plications « sinus », « exponentielle », « logarithme ».

« evalpow » : pour créer une série entière pour n’importe quelle fonction« powsolve « : pour chercher la solution d’une équation différentielle linéairedéveloppable en série entière. Maple donne les premiers termes mais pastoujours le terme général...

4.2.2 Convergence simple et Rayon de convergence


Déterminer le domaine de convergence simple des séries entières, c’est entrouver le rayon de convergence.

Exercice 4.1.Déterminer le rayon de convergence des séries entières

∑n!zn,

∑ 1

1 + 4n2zn,

∑ 1

n!zn,

∑ 1.3.5...(2n− 1)

2.4.6...(2n)zn

∑nnzn,

∑(sin(π(2−

√3)n))nzn

Exercice 4.2.Etudier la convergence simple sur le cercle d’incertitude des séries entières∑

zn, et∑ 1

n2zn. Etudier la convergence simple de

∑ 1

nxn sur {−1, 1}.


Exercice 4.3.1. Que valent les coefficients a3n+1 et a3n+2 de la série entière

∑ (2n)!

(n!)2z3n

Déterminer le rayon de convergence de cette série entière en écrivant, pourz fixé non nul, les termes non nuls de cette série numérique sous la formeup = |aϕ(p)z

ϕ(p)| où l’application ϕ définit une suite extraite (aϕ(p)) forméedes termes non nuls de la suite (an).2. De même, déterminer le rayon de convergence de la série entière

∑nnzn2 .

148


Exercice 4.4. un sujet d’examenOn considère la série entière de la variable réelle x dépendant du paramètreréel t : ∑ (−1)n+1

nexp(−n2t)xn2

Déterminer le rayon de convergence R(t) de cette série entière ?Que se passe-t-il si x = R(t), si x = −R(t) ?

4.2.2.3 pour en savoir plus

Exercice 4.5.Vérifier que si |an| ∼

+∞|bn|, les séries entières

∑anzn et

∑bnz

n ont mêmerayon de convergence.

Exercice 4.6.Comparer les rayons de convergence Rb et Ra des séries entières

∑anz

n et∑bnz

n sachant que :∀n ∈ N |an| ≤ |bn|

Encadrer an et donner le rayon de convergence de la série entière∑

anzn si

an =

∫ 1

0

(1 + t2

2)ndt

4.2.3 Opérations sur les séries entières


Exercice 4.7.A la suite numérique (an), définie par : an = 0 si n est pair an = 1 si n estimpair, on associe les deux séries entières suivantes :

1.n=+∞∑

n=0

anxn et 2.n=+∞∑

n=0

an

n!xn

Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de chacune de cesséries entières.


149


Exercice 4.8.Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières :

∑ n2 + 1

n!xn

∑2n n2 + 1

n!xn

∑2n n2 + 1

n!x2n

4.2.4 Convergence uniforme et Propriétés de la somme


Exercice 4.9.Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes, puis expri-mer la somme de ces séries entières sur le disque ouvert de convergence àl’aide de fonctions classiques.

1.∑n≥1

1

4n + 1x4n+1 2.

∑n≥0

n

n + 1xn

3.∑

nxn−1 4.∑n≥0

nxn 5.∑

nx2n−2

6.∑n≥0

n2xn 7.∑n≥1

1

n(n + 1)(2n + 1)xn

Exercice 4.10.Montrer que la série

∑zn ne converge pas uniformément sur le disque unité

ouvert Da.

Exercice 4.11.Soit Ra le rayon de convergence d’une série entière de la variable réelle∑

anxn. On suppose que la série

∑ |an|Rna est convergente1 Montrer que

la somme de la série entière∑

anxn est continue sur [−Ra, Ra].


Exercice 4.12.Nous avons vu en cours que les séries numériques

∑anzn et

∑nanzn−1∑

anzn et

∑nanz

n−1 ont même rayon de convergence. Trouver une sérieentière

∑anzn telle que en chaque point du cercle d’incertitude les séries

numériques∑

anzn et∑

nanzn−1 sont de natures différentes.

1Ce résultat est maintenu, si on suppose seulement∑

anRna convergente, mais plus

difficile à établir.

150


Exercice 4.13.Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière :

n=+∞∑n=0

(n2 + n + 1)xn

Exercice 4.14. 1 coefficients définis par récurrence et équation différentielle.

On considère la suite (an) définie par

a0 = a1 = 1 et an+1 = an +2

n + 1an−1

1. Montrer que ∀n ∈ N∗ 1 ≤ an ≤ n2

2. Quel est le rayon de convergence de la série entière∑

n≥0 anxn

3. Montrer que la somme f de cette série entière est solution d’une équa-tion différentielle d’ordre 1 et déterminer f .

4. Montrer2 que :

an =n∑

p=0

(−2)p(n− p + 1)(n− p + 2)

2p!

4.2.5 Développement en série entière


Exercice 4.15.Justifier l’existence du développement en série entière à l’origine, donner ledéveloppement et le rayon de convergence pour chacune des applicationssuivantes :

1.f(x) = ln (1 + 2x + x2) 2.f(x) = ln (2 + 5x) 3.f(x) = (1+x) ln (1 + x)

4.f(x) = sin2 x 5.f(x) = 2 ln (1− x

1 + x) +

2x

1− x2

Exercice 4.16. résolution d’une équation différentielleOn considère l’équation différentielle (1) : (x2 + 1)y′′ − 2y = 0

1sujet d’examen2Cette dernière question ne sera traitée qu’après avoir vu les développements en série

entière.

151


1. Cette équation différentielle est une équation différentielle linéaire dusecond ordre. Savez-vous la résoudre par les méthodes données au débutdu cours de seconde année ?

2. Déterminer les solutions de (1) qui sont développables en série entière.Donner le rayon de convergence des séries obtenues.

3. Soit f(x) la somme de la série solution telle que f(0) = 0 et f ′(0) = 1.

Exprimerf ′(x)− 1

xà l’aide de fonctions élémentaires.

4. Déterminer la solution f de cette équation qui satifait la conditioninitiale f(0) = 0 et f ′(0) = 1.

Exercice 4.17. développement en série entière des fractions rationnelles1. Déterminer le développement en série entière des applications fractionsrationnelles F , G et H définies par1

F (x) =1

ax + bG(x) =

2 + x + x2

(2 + x)(1 + x)(1− 2x)H(x) =

1 + 2x

1 + x + x2

2. Préciser leur rayon de convergence.

Exercice 4.18. les coefficients définis par une relation de récurrence1. Déterminer la somme f d’une série entière de rayon de convergence nonnul dont les coefficients sont définis par la relation de récurrence :

a0 = a1 = 1 an+2 = an+1 + an.

2. Vérifier que le rayon de convergence de cette série entière est√

5

2.


Exercice 4.19. équation fonctionnelleOn se propose de trouver une solution développable en série entière de (1)où

f(x) + f(−x) = f(x2) (1)

1. En écrivant que

f(x) =n=+∞∑

n=0

anxn

1a ∈ R∗, b ∈ R

152


est solution de (1), déduire une relation de récurrence entre a2p et ap, pourp ∈ N∗.

Calculer a0 puis an pour n = 2p en fonction de a1.2. Les coefficients a2k+1 étant indéterminés, on étudie une solution par-

ticulière obtenue en choisissant a2k+1 =1

2k + 1. Montrer qu’alors les coeffi-

cients an sont déterminés de manière unique.Trouver le rayon de convergence et la somme de la série entière de coeffi-

cients (an).

Exercice 4.20. On considère l’équation différentielle

(1) : (1− x2)y′(x)− xy(x) = 2.

1. Chercher la solution développable en série entière de (1) qui s’annuleen 0.

2. Montrer que l’application f : x 7→ (arcsin x)2 est deux fois dérivablesur ]− 1, 1[ et que

∀x ∈]− 1, 1[, (1− x2)f ′′(x)− xf ′(x) = 2,

en déduire que le développement en série entière de f sur ]− 1, 1[ est

f(x) =n=+∞∑

n=1

22n−1(n− 1)!2

(2n)!x2n.

Exercice 4.21. intégrale et série entière1. Soit t un réel donné, décomposer en éléments simples la fraction ration-nelle :

x 7→ F (t, x) =x sin t

1− 2x cos t + x2

2. Développer en série entière de x sur ] − 1, 1[ la fraction rationnelle x 7→F (t, x), sous la forme :

∀ | x |< 1, F (t, x) =n=+∞∑

n=0

fn(t, x) où fn(t, x) = an(t)xn

3. Vérifier que pour tout x élément de ] − 1, 1[, la série des applicationst 7→ fn(t, x) converge normalement sur [0, π] et vérifier en utilisant le déve-loppement de arg tanh donné ci-après :

∫ π

0

(sin t) x

1− 2(cos t) x + x2dt = 2 arg tanh(x)

153


4.2.5.3 pour aller beaucoup plus loin

Exercice 4.22. la série de Taylor de f converge vers une somme autre que f1. Montrer que la fonction

x 6= 0 f(x) = exp(− 1

x2

)et f(0) = 0

est de classe C∞ sur R. et que la dérivée d’ordre n est de la forme :

x 6= 0 f (n)(x) =Pn(x)

xαnexp

(− 1

x2

)et f (n)(0) = 0

où Pn est un polynôme et αn un entier.2. En déduire que f n’est développable en série entière dans aucun voisinagede 0.

Exercice 4.23. cas où la série de Taylor de f a un rayon de convergence nul.

1. Montrer que la formule f(x) =∑p=+∞

p=0

sin(2px)

p!définit une application de

classe C∞ sur R et que

f (n)(0) = sin(nπ

2

) p=+∞∑p=0

2np

p!= sin

(nπ

2

)exp 2n

2. Montrer que la série de Taylor de f a un rayon de convergence nul.

Exercice 4.24.On considère une application f de classe C∞, on se propose de montrer quesi toutes les dérivées successives de f sont positives sur [−R,R] où R est unréel strictement positif donné alors f est développable en série entière sur levoisinage ]−R,R[ de 0.

1. Donner un exemple de telle application.2. Soit r ∈]0, R[ et x ∈]−r, r[. En utilisant une formule de Taylor montrer

que

|Rn(x) ≤ |x|n+1

rn+1Rn(r)

où Rn est le reste de la série de Taylor.3. Montrer que Rn(r) ≤ f(r) et en déduire que f est développable en série

entière.

154


4.2.6 Exponentielle de la variable complexe


Exercice 4.25.Soit r un réel strictement positif, et θ un réel donné. Résoudre l’équation

exp z = r(cos (θ) + i sin (θ))


Exercice 4.26.Soit θ un réel donné. Préciser le rayon de convergence des deux séries entières :

1.n=+∞∑

n=0

cos (nθ)xn et 2.n=+∞∑

n=0

cos (nθ)

n!xn

et calculer la somme de ces séries entières.

Exercice 4.27.Soit f la somme d’une série entière de la variable complexe z de rayon deconvergence R, f(z) =

∑+∞0 anz

n. Montrer que pour tout entier n, an vérifie:

∀r ∈]0, R[ an =1

2πrn

∫ 2π

0

f(reiθ)e−niθdθ


Exercice 4.28. On prolonge les applications trigonométriques et hyperbo-liques définies sur R à valeurs dans R par des applications définies sur Cvaleurs dans C en définissant pour tout nombre complexe z :

cosh z =1

2(exp z + exp (−z)) sinh z =

1

2(exp z − exp (−z))

cos z =1

2(exp (iz) + exp (−iz)) sin z =

1

2i(exp (iz)− exp (−iz))

1. Vérifier que les formules usuelles de trigonométrie valables pour les fonc-tions d’une variable réelle sont encore valables pour leur prolongement dansC, montrer :

∀z ∈ C cos2 z + sin2 z = 1

2. Observer que les applications sinus et cosinus sont non bornées dans C envérifiant que si z = x + iy, pour x ∈ R et y ∈ R, alors

| cos z|2 = cos2 x + sh2y = ch2y − sin2 x.

155


Chapitre 5

ESPACES VECTORIELSNORMES

Sommaire

5.1 COURS PARTIE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.1.2 Normes et distances sur un espace vectoriel . . . . 1605.1.3 Suites et séries convergentes dans un espace vecto-

riel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.1.4 Complétude d’un espace vectoriel normé . . . . . . 1665.1.5 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . 1705.1.6 Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.2 COURS PARTIE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2.3 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.3 ANNEXE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.4 EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4.1 Espace vectoriel normé- Définitions - Suites conver-

gentes dans un espace vectoriel normé . . . . . . . 1965.4.2 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . 2015.4.3 Equivalence de normes . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.4.4 Ouverts, fermés, fermés bornés . . . . . . . . . . . 2115.4.5 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

156


5.1 COURS PARTIE 1

5.1.1 Introduction

5.1.1.1 Résumé

Nous avons défini, au cours de l’étude des suites de fonctions, la norme ‖ ‖∞ou norme de la convergence uniforme. Nous introduisons ici la notion généralede norme sur un espace vectoriel quelconque E. Nous pourrons alors définirla notion de suite et de série convergente d’éléments de E pour chaque normedéfinie sur E puis la notion d’espace vectoriel normé complet et de partiefermée d’un espace vectoriel normé avec le théorème du point fixe. Avecaussi peu de matériel nous atteignons un théorème essentiel, le théorème dupoint fixe, qui généralise un procédé de résolution d’équation que vous avezétudié en première année lors de l’étude des suites récurrentes de nombresréels ou complexes. Avec peu de concepts et des méthodes déjà connues,nous révélons alors un joyeux trésor mathématique, qui permet à la fois demontrer l’existence et l’unicité de la solution d’une équation différentielle nonlinéaire aussi générale que y′ = f(t, y) avec la condition initiale y(0) = y0 surun intervalle convenable qui contient 0 que d’obtenir une solution approchéeavec une erreur majorée d’un système linéaire de 10 000 équations et à 10000 inconnues.


Les Grecs avaient élaboré des modèles mathématiques de choses qui noussemblent aujourd’hui immédiatement accessibles aux sens : les concepts denombre et de figure géométrique élémentaire. Ces modèles, décrits dans lesEléments d’Euclide, ont fondé le travail mathématique jusqu’au XVIIIe siècle,même si celui-ci semble avoir évolué considérablement en particulier avecl’invention de l’écriture algébrique et de la géométrie des coordonnées. Ainsi,jusqu’au XVIIIe siècle, la conception de l’intégrale était fondée sur la no-tion intuitive d’aire. Cependant cette description atomistique d’objets commesous-ensembles d’ensembles de points qu’un mouvement permet éventuelle-ment de déplacer, est insuffisante. Nous avons ainsi vu lors de l’étude dessuites et séries de fonctions pourquoi on a été amené à introduire une notionde convergence moins intuitive que la notion de convergence ponctuelle ap-pelée convergence simple.

0Comme par exemple l’espace vectoriel sur R des applications continues de [0,1] dansR.

157


Cet extraordinaire procédé de généralisation qui permet de travailler avecn’importe quel ensemble d’objets muni d’une structure d’espace vectorieln’est pas trivial. Cette difficulté apparaît dans le soin avec lequel, en 1920,S. Banach 1 l’introduit : "afin de ne pas être obligé à démontrer isolémentpour chaque champ particulier, ce qui serait bien pénible, j’ai choisi une voiedifférente que voici : je considère d’une façon générale les ensembles d’élé-ments dont je postule certaines propriétés, j’en déduis des théorèmes et jedémontre ensuite de chaque champ fonctionnel particulier que les postulatsadoptés sont vrais pour lui".

Nous considérerons des espaces vectoriels de dimensions finie ou infinie formésde familles particulières d’applications. Vous manipulez aisément la notionde fonction F d’une variable z réelle ou complexe à valeurs dans R ou Cen un sens qui est proche de celui formulé au XVIIIe siècle par Euler lors-qu’il expose la méthode de décomposition en éléments simples sur l’exemple

de la fraction rationnelle F (z → 1 + zz

z − z3) 2 mais, dans ce chapitre, vous de-

vrez rapidement apprendre à maîtriser une notion beaucoup plus générale defonction, qui à une application f associe une autre application F (f). Celava vous sembler difficile et c’est légitime : il a fallu deux siècles de travailpour qu’en 1903 Hadamard introduise cette notion de C([0,1]) dans C([0,1])en livrant ce formidable outil de pensée qu’est la notation f → F (f) 3. Etl’abstraction 4 ne se réduit pas à une notation, ce n’est pas un outil que l’onpeut magistralement exhiber et qui se transmet dans l’immédiateté. AndrewWiles, ce professeur de Princeton mondialement connu pour avoir résolu en1993 le théorème de Fermat 5, décrit avec beaucoup d’authenticité la lenteurnécessaire du travail mathématique, loin du stéréotype des traits de génie 6

1Thèse de Stefan Banach (Cracovie 1842 - Lvov 1945) publiée en 1920.2Dans son Introduction à l’analyse infinitésimale Léonard Euler (Bâle 1707-St Péters-

bourg 1783) fait de la notion de fonction le concept fondamental du travail mathématique.Nous citons ici le tome premier, Chap. II De la transformation des fonctions dans la tra-duction en français qu’en donne J.B. Labey. Parisen en l’An Quatrième de la République

Française (1796) où est utilisée la notation fonction fractionnaire1 + zz

z − z3.

3Toutefois J. Hadamard (Versailles 1865 - Paris 1963) ne désigne alors pas F par leterme fonction mais par celui de fonctionnelle.

4L’abstraction en mathématiques ... le peintre abstrait Zao Wou Ki décrit de mêmel’abstraction en arts plastiques comme un besoin qui ne peut être décidé, mais qui émerged’une personnalité artistique accomplie à travers un long travail authentique.

5Un rêve d’enfant agé de dix ans puisé dans une bibliothéque municipale : résoudre ceténigme mathématique vieille de 350 ans qu’était alors le théorème de Fermat : il n’existepas d’entiers x, y, z et n tels que 2 < n et xn + yn = zn ?

6Des idées imbéciles et dangereuses qui hantent encore la culture comme en atteste le

158


fulgurants. Wiles décrit comment il a exploré de manière quasi obsessionnelledurant plus de sept ans un domaine inconnu.

On entre dans lapremière chambreet elle est obscure.Complètement obs-cure. On se heurteaux meubles, on finitpar connaître leuremplacement. Aprèssix mois, on finit partrouver le commu-tateur et soudain lapièce est éclairée. Onpeut voir exactementoù l’on se trouve.

Puis on passe à lapièce suivante, et l’onaffronte à nouveausix mois d’obscurité.Donc, chacune despercées qui ont étéfaites et qui sontparfois brèves, nedurant qu’un jour oudeux, sont l’accom-plissement des moisde tâtonnements dansle noir, sans lesquelsil n’y aurait jamais eude lumièrea.

aLe dernier théorèmede Fermat. Simon Singh.1998.

Andrew Wiles

film Will Hunting.

159


5.1.2 Normes et distances sur un espace vectoriel

5.1.2.1 Espace vectoriel normé

Nous nous donnons un espace vectoriel E sur K = R ou C.

Definition 5.1.On appelle norme sur l’espace vectoriel E, toute application N(x 7→ N(x)),noté N(x) =‖ x ‖ définie sur E à valeurs dans [0, +∞[ vérifiant les propriétéssuivantes :

1. ∀x ∈ E, ‖ x ‖= 0 ⇐⇒ x = 0 axiome de séparation2. ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, ‖ λx ‖=| λ |‖ x ‖ axiome d’homogénéité3. ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ‖ x + y ‖≤‖ x ‖ + ‖ y ‖ inégalité du triangle.

Definition 5.2.Lorsqu’on considère l’espace vectoriel E muni de la norme notée ‖ ‖, le couple(E, ‖ ‖) est appelé un espace vectoriel normé.

Proposition 13. Deux inégalités

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,50

1

2

3

4

5

x

y

x-y

Toute norme vérifie les deux inégalités suivantes

∀x ∈ E, ∀y ∈ E, | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ≤‖ x− y ‖

C’est la seconde inégalité du triangle

∀xi ∈ En ∀λi ∈ Kn, ‖i=n∑i=1

λixi ‖≤i=n∑i=1

|λi| ‖ xi ‖

C’est la propriété de sous- linéarité

Exemple de référence 5.1. Cas de l’espace vectoriel Kn1

Dans (Kn, +, .) si x = (x1, x2, ..., xn) on définit les normes notées ‖ ‖2 ,‖ ‖1 et ‖ ‖∞ par :

‖ x ‖2=

(i=n∑i=1

|xi|2) 1

2

‖ x ‖1=i=n∑i=1

|xi| ‖ x ‖∞= sup1≤i≤n

|xi|

1ou d’un espace vectoriel E de dimension n rapporté à une base (e1, · · · , en)

160


démonstration en cours

Prolongement :La norme ‖ ‖2 est une norme associée à un produit scalaire, notion définie auchapitre IV. 1

Exemple de référence 5.2. Cas de l’espace vectoriel C([a, b],K) où a < b 2

Sur l’espace vectoriel C([a, b],K), nous connaissons déjà les normes dela convergence uniforme, ‖ ‖∞, de la convergence quadratique, ‖ ‖2, etdéfinissons la norme de la convergence en moyenne, ‖ ‖1, :

‖ f ‖∞= supt∈[a,b]

|f(t)| ‖ f ‖2=2

√∫ b

a

|f(t)|2 dt ‖ f ‖1=

∫ b

a

|f(t)| dt


5.1.2.2 Distance associée à une norme

Proposition 14.L’application d définie sur E× E par

∀(x, y) ∈ E× E d(x, y) =‖ x− y ‖

vérifie : ∀x ∈ E,∀y ∈ E,∀z ∈ E

1. d(x, y) = 0 ⇔ x = y séparation2. d(x, y) = d(y, x) symétrie3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) inégalité triangulaire 3


Remarque 5.1.1.L’application d qui à (x, y) fait correspondre d(x, y) =‖ x− y ‖ définit doncune distance sur E associée à la norme ‖ ‖.

1Elle vérifie des propriétés particulières comme l’identité du parallélogramme

‖ x + y ‖2 + ‖ x− y ‖2= 2(‖ x ‖2 + ‖ y ‖2)

2C([a, b],K) désigne l’ensemble des applications continues définies sur [a,b] à valeursdans K.

3Cette inégalité constitue un outil pour majorer

161


Definition 5.3.L’application d de E× E dans R+ définie par :

∀x ∈ E,∀y ∈ E d(x, y) =‖ x− y ‖= N(x)

est appelée la distance associée à la norme N.

162


5.1.3 Suites et séries convergentes dans un espace vec-toriel normé

Nous nous donnons (E, ‖ ‖), un espace vectoriel normé et une application deN dans E : (n 7→ xn) définissant une suite.

notations :La suite est notée (xn), la série

∑xn ou

∑n∈N

xn lorsque (E, ‖ ‖) est un espace

vectoriel normé quelconque.La suite est notée (x[n]) = (x

[n]1 , x

[n]2 , ..., x

[n]p ), la série

∑x[n] lorsque E = Kp.

La suite est notée (fn), la série∑

fn dans le cas E = C([a, b],K).

Pour l’étude des séries, on introduit les sommes partielles Sn =k=n∑

k=0

xk

5.1.3.1 Définition

Definition 5.4.La suite (xn) converge a vers un élément a de E, si la suite numérique(‖ xn − a ‖) converge vers 0.

aon précisera dans (E, ‖ ‖), s’il peut y avoir ambiguïté sur le choix de la norme,par exemple si plusieurs normes ont été définies sur E

RappelCette condition s’écrit sous forme quantifiée :

∀ε > 0 ∃Nε ∈ N / ∀n ∈ N n > Nε =⇒‖ xn − a ‖< ε.

Proposition 15. unicité de la limite

Si la suite (xn) converge vers un élément a de E, cet élément est défini demanière unique et est appelé la limite de la suite (xn).

Notation : limn→+∞

xn = a démonstration en cours

Exemple 5.1.1.(E, ‖ ‖) = (C([0, 1],R), ‖ ‖1). 1 ≤ n fn définie par x 7→ fn(x) = 1 + xn.Montrons que (fn) converge vers la fonction constante 1.En effet, ‖ fn − 1 ‖1=

1n+1

et la suite numérique ( 1n+1

) converge vers 0.

163


Exemple 5.1.2.

V [n] = (v[n]1 , v

[n]2 , v

[n]3 ) = (

1

n,3(n + 2)

n + 5, (

1 + n

n)n)

(V [n]) converge vers (0,3,e) dans (R3,‖‖1) car |v[n]

1 |+ |v[n]2 − 3|+ |v[n]

3 − e| tendvers 0.- Nous verrons que cette propriété nedépend pas du choix de la norme surR3

- Nous verrons, dans la proposition(21), que pour obtenir ce résultat il suf-fit d’étudier chacune des suites de cor-données séparément.

Proposition 16.Si la suite (xn) converge vers a dans (E, ‖ ‖), alors la suite (‖xn‖) convergevers ‖a‖ dans (R, | |).Definition 5.5.La série

∑xn convergea si la suite des sommes partielles (Sn) converge.

La limite S de la suite (Sn) est alors appelée la somme de la série et

notéek=+∞∑

k=0

xk.


Proposition 17.

Une suite (xn) indexée sur N converge si et seulement si la série des diffé-rences associée,

∑yn, indexée sur N∗ et définie par yn = xn−xn−1, converge.

(xn) a alors pour limitek=+∞∑

k=0

yk + x0.


données(E, ‖ ‖) espace vectoriel normé.Des suites (xn) et (yn) de vecteurs de E, un scalaire λ ∈ K.

164


Proposition 18. Combinaison linéaire de suites vectorielles convergentesSi les suites (xn) et (yn) convergent respectivement vers a et b alors :

1. la suite (xn + yn) converge vers le vecteur a + b.2. Pour tout scalaire λ, la suite (λxn) converge vers le vecteur λa.

Proposition 19. Combinaison linéaire de séries vectorielles convergentesSi les séries

∑xn et

∑yn convergent alors :

1. la série∑

xn + yn converge etk=+∞∑

k=0

(xk + yk) =k=+∞∑

k=0

xk +k=+∞∑

k=0

yk.

2. La série∑

λxn converge etk=+∞∑

k=0

(λxk) = λ

k=+∞∑

k=0

(xk).


165


5.1.4 Complétude d’un espace vectoriel normé

données(E, ‖ ‖) espace vectoriel normé,(xn) une suite d’éléments de E

Definition 5.6.La suite (xn) est une suite de Cauchya si

∀ε > 0 ∃N ′ε ∈ N/∀(p, q) ∈ N2 (q > p > N ′

ε) ⇒ ‖ xq − xp ‖< ε


Théorème 5.1.Toute suite convergente est de Cauchy.


Definition 5.7.Un espace vectoriel normé (E, ‖ ‖) est complet si toute suite de Cau-chy converge.a

aDans un evn complet la réciproque du théorème (5.1) est vraie.

Remarque 5.1.2. Ce théorème permet de prouver l’existence d’une limitesans en connaître la valeur à l’avance.

Exemple 5.1.3. La suite (fn) définie par x ∈ [−1, 1] 7→ fn(x) = 2n+1√

xest une suite de Cauchy dans C[−1, 1] muni de la norme ‖ ‖1. Cette suite neconverge pas dans C[−1, 1] muni de la norme ‖ ‖1. C[−1, 1], ‖ ‖1 n’est pas unespace complet.

Definition 5.8.La série

∑xn converge absolument si la série numérique

∑ ‖xn‖converge.

Théorème 5.2. absolue convergence et complétudeUn espace vectoriel normé (E, ‖ ‖) est complet si et seulement si toutesérie absolument convergente est convergente. On a alors

‖n=+∞∑

n=0

xn‖ ≤n=+∞∑

n=0

‖xn‖

166


Exemple de référence 5.3.1. (R, | |), (C, | |) sont des espaces vectoriels normés complets.2. (C([a, b],R), ‖ ‖∞) est completa3. Tout espace vectoriel normé (E, ‖ ‖) de dimension finie est completindépendamment du choix de ‖ ‖b4. En particulier (Kn, ‖ ‖2), (Kn, ‖ ‖1), (Kn, ‖ ‖∞) sont des espaces vec-toriels normés complets.

aVoir le cours du premier semestre "suites de fonctions".b Nous serions en mesure de prouver ce résultat qui fera l’objet d’un théorème à

la fin de ce cours.

AttentionNous verrons en exercice que (C([a, b],R), ‖ ‖1) et (C([a, b],R), ‖ ‖2) ne sontpas complets.

Definition 5.9.Un sous-ensemble A de E est un fermé de (E, ‖ ‖) si la limite de toutesuite d’éléments de A qui converge dans (E, ‖ ‖) appartient à A .

Remarque 5.1.3.Un sous-ensemble fermé d’un espace complet vérifie donc la propriété decomplétude au sens où toute suite de Cauchy de cet ensemble converge danscet ensemble.

Definition 5.10.On appelle boule fermée de centre c et de rayon r, le sous-ensemble deE noté Bc,r défini par Bc,r = {u ∈ E/ ‖ c− u ‖≤ r}.

Exemple de référence 5.4.E et ∅ sont des fermés de (E, ‖ ‖).Tout singleton {a} où a ∈ E est un fermé de (E, ‖ ‖).Toute boule fermée de (E, ‖ ‖) est un fermé de (E, ‖ ‖).Tout segment [a, b] de R est un fermé de (R, | |).[a, +∞[ où a est un réel quelconque est un fermé de (R, | |).

démonstration. Tout singleton {a} est fermé car toute suite constante égaleà a converge vers a.Toute suite (xn) de (E, ‖ ‖) qui appartient à la boule fermée Bc,r vérifie selonla définition précédente ‖ xn − c ‖≤ r, si elle converge vers a :

‖ a− c ‖≤‖ a− xn ‖ + ‖ xn − c ‖≤‖ a− xn ‖ +r,

lorsque n tend vers +∞, limn→+∞

‖ a − xn ‖= 0, le principe de prolongement

des inégalités par passage à la limite donne ‖ a− c ‖≤ r. ¤

167


Exemple 5.1.4.Montrer que la suite récurrente (xn) définie par x0 = 1 et xn+1 = f(xn) =xn

2+

1

xn

converge vers√

2

On vérifie que cette suite est à valeurs dans [1, 2] :

1 ≤ x ≤ 2 ⇒ 1

2≤ 1

x≤ 1 et 1 ≤ x

2+

1

x≤ 2.

La série des différences∑

yn où yn = xn − xn−1 converge absolument. Eneffet, selon le théorème des accroissements finis :

∀n ∈ N∗ ∃c ∈ [1, 2] / yn = f(xn−1)− f(xn−2) = f ′(c)yn−1

f ′(c) =1

2− 1

c2et c ∈ [1, 2] ⇒ |f ′(c)| ≤ 1

2d’où |yn| ≤ 1

2|yn−1|

et par récurrence il vient |yn| ≤ 2

2n|y1|. La suite (xn) converge donc vers

une limite a qui appartient nécessairement au fermé [0, 1].f étant continue la suite de réels (f(xn)) converge vers f(a), a vérifie donc

f(a) = a soit icix

2=

1

xet x2 = 2.

Avec Maple, on obtient les 7 premiers termes de cette suite à valeur dansQ. Au passage vous connaissez tous le raisonnement par l’absurde quipermet d’établir que

√2 n’est pas rationnel.Vous devez savoir que (Q, | |)

n’est pas complet. :

> x[0]:=1; for n from 0 to 10 do x[n+1]> :=f(x[n]) od;

x0 := 1

x1 := 3/2

x2 := 1712

x3 := 577408

x4 := 665857470832

x5 := 886731088897627013566048

x6 := 15725840480329186333532171111984844349868137938112

Avec Maple on obtient les six premiers termes de la série des différences,écrits sous forme décimale :

> for n from 0 to 10 do y[n+1]> :=evalf((x[n+1]-x[n]))od;

168


a0 = 1

y1 := 0.5000000000

y2 := −0.08333333333

y3 := −0.002450980392

y4 := −0.000002123899820

y5 := −1.594861825× 10−12

y6 := −8.992928322× 10−25

Cette méthode où l’on majore les normes des termes de la série des différencespar une série géométrique de raison inférieur à 1, est celle de la démonstrationdu théorème du point fixe que nous allons aborder. Nous reprendrons enexercice (5.16) l’étude de la suite (xn) afin de comprendre pourquoi cettesuite converge aussi rapidement vers

√2.

169


5.1.5 Théorème du point fixe

données(E, ‖ ‖E), (F, ‖ ‖F ) espaces vectoriels normésA sous-ensemble de E.ϕ application de A dans F.


Definition 5.11.L’application ϕ est lipschitzienne de rapport k sur A de (E, ‖ ‖E) dans(F, ‖ ‖F ) s’il existe un réel k strictement positif tel que :

∀x ∈ A ∀y ∈ A ‖ ϕ(x)− ϕ(y) ‖F≤ k ‖ x− y ‖E

Si ϕ est lipschitzienne de rapport k sur A et si k est strictement inférieurà 1, nous dirons que ϕ est une application contractante de rapportk sur A de (E, ‖ ‖E) dans (F, ‖ ‖F ).

Exemple 5.1.5.De (R, | |) dans (R, | |) ,(x 7→ sin x) est lipschitzienne de rapport 1 puisquepar application du théorème des accroissements finis appliqué sur le segmentI d’extrémités x et y à la fonction sinus de classe C1 sur I.

∀(x, y) ∈ R2 ∃c ∈ I | sin x− sin y| = |(x−y) cos c| ⇒ | sin x− sin y| ≤ |x−y|

mais sinus n’est pas contractante. Par contre (x 7→ 12sin x) est contractante

de rapport 12.

Exemple de référence 5.5.L’application (x 7→‖ x ‖)E de (E, ‖ ‖E) dans (R, | |) est 1-lipschitzienne.

démonstration seconde inégalité du triangle

Definition 5.12.Si E = F, un élément a de E est point fixe de ϕ si ϕ(a) = a

5.1.5.2 Application contractante sur E

données(E, ‖ ‖E) espace vectoriel norméϕ application de E dans E..

170


5.1.5.3 Théorème

Théorème 5.3. théorème du point fixe : forme globaleSoit ϕ une application de E dans E, si ϕ est contractante de l’espacevectoriel normé (E, ‖ ‖E) dans lui-même et si (E, ‖ ‖E) est complet.

1. Alors ϕ admet un point fixe unique a ∈ E.2. Toute suite itérée (xp) définie par xp+1 = ϕ(xp) converge vers a

indépendamment du choix de l’élément initial x0.

démonstration

– Unicité du point fixe en cas d’existence- Si ϕ avait deux points fixes a et b alors :

ϕ(a) = a et ϕ(b) = b ⇒‖ ϕ(a)− ϕ(b) ‖=‖ a− b ‖- ϕ étant contractante de rapport k

‖ ϕ(a)− ϕ(b) ‖≤ k ‖ a− b ‖ avec k < 1

- a et b étant distincts :

0 <‖ a− b ‖ et k < 1 ⇒ k ‖ a− b ‖<‖ a− b ‖- d’où la contradiction

‖ ϕ(a)− ϕ(b) ‖=‖ a− b ‖≤ k ‖ a− b ‖<‖ a− b ‖– Existence du point fixe par la méthode des approximations successives

- Prenons un élément quelconque de E, x0, et définissons la suite itérée(xp) à partir de x0 comme élément initial.

x1 = ϕ(x0) . . . ∀n ≥ 0 xn+1 = ϕ(xn)

Montrons que cette suite converge, en introduisant la série des diffé-rences associée :

y1 = x1 − x0 . . . ∀n ≥ 1 yn = xn − xn−1

ϕ étant contractante de rapport k

‖ xn − xn−1 ‖≤ k ‖ xn−1 − xn−2 ‖⇒‖ yn ‖≤ k ‖ yn−1 ‖≤ kn−1 ‖ y1 ‖La série

∑yn converge absolument et l’espace vectoriel normé (E, ‖ ‖)

étant complet, cette série converge, il en est de. même de la suite (xn)qui converge vers un élément a

171


– Nous montrons que la limite a est point fixe de ϕ en majorant :

‖ a− ϕ(a) ‖≤ · · ·1 ...

AttentionL’hypothèse f 1-lipschitzienne2 ne suffit pas puisque :

– L’identité est une application 1-lipschitzienne et admet tout point pourpoint fixe.

– Une translation (x 7→ x + x0) est une application 1-lipschitzienne etn’admet aucun point fixe.

5.1.5.4 Majoration de l’erreur

Théorème 6.3. théorème du point fixe : majoration de l’erreur1. xp est une valeur approchée de a, on sait majorer l’erreur c’est à

dire la distance de xp au point fixe a.

∀p ∈ N, ‖ xp − a ‖≤ kp

1− k‖ x1 − x0 ‖ .

2. Si on connaît le point fixe a, l’erreur entre le pième terme de la suiteitérée (xp) et le point fixe a est majorée par :

∀p ∈ N ‖ xp − a ‖≤ kp ‖ x0 − a ‖ .

démonstration.

1. ‖+∞∑

n=p+1

yn‖ ≤+∞∑

n=p+1

‖yn‖ ≤ kp

1− k‖ x1 − x0 ‖ .

2. La propriété est vraie si p=0 , montrons qu’elle est vérifiée par récur-rence supposons établi :

‖ xp − a ‖≤ kp ‖ x0 − a ‖alors xp+1 = ϕ(xp) et a = ϕ(a), ϕ étant contractante :

‖ xp+1 − a ‖≤ k ‖ xp − a ‖1Nous pourrions montrer que a = ϕ(a) en utilisant la continuité de f. Mais nous avons

choisi dans cette première partie de travailler uniquement avec la notion d’applicationcontractante et la notion de suite.

2C’est à dire : ∀(x, y) ∈ E2, ‖ f(x)− f(y) ‖E ≤ ‖ x− y ‖E

172


et :

‖ xp − a ‖≤ kp ‖ x0 − a ‖⇒‖ xp+1 − a ‖≤ kp+1 ‖ x0 − a ‖

¤

5.1.5.5 Contraction sur une partie fermée et stable de E

Nous nous donnons un espace vectoriel normé (E, ‖ ‖E) et A un sous-ensemblede E. ϕ application de A dans E.Si ϕ n’est pas définie et contractante sur (E, ‖ ‖E), mais seulement sur unsous-ensemble A de E.

Definition 5.13.Le sous-ensemble A de E stable par ϕ si ϕ(A) ⊂ A

Théorème 6.3. théorème du point fixe : sur une partie de E

Si (E, ‖ ‖E) est un espace vectoriel normé complet, si A est un sous-ensemble fermé de (E, ‖ ‖E) stable par ϕ et si ϕ est contractante surA de (E, ‖ ‖E) dans (E, ‖ ‖E) alors :

1. ϕ admet un point fixe unique a ∈ A.2. Toute suite itérée (xp) définie par xp+1 = ϕ(xp) converge vers a indé-

pendamment du choix de l’élément initial x0 dans A.démonstration en cours

AttentionA fermé est nécessaire ainsi dans l’espace vectoriel normé complet (R, | |)l’application ϕ(x 7→ x

2) est contractante sur (R, | |) et envoie A =]0, 1] dans

A. Cependant ϕ n’admet pas de point fixe dans A.

173


5.1.6 Normes équivalentes

Nous nous donnons un espace vectoriel E et deux normes sur E, (x 7→‖ x ‖)et (x 7→ N(x)) .

Nous avons supposé l’espace vectoriel E muni d’une norme donnée, lors-qu’nous introduisons une autre norme sur E que se passe-t-il ? une suiteconvergente pour une norme, l’est-elle pour une autre ? une série convergentepour une norme, l’est-elle pour une autre ?Nous commençons par caractériser une relation entre deux normes qui laissentces propriétés invariantes. Nous verrons ensuite que cette relation est toujoursvérifiée en dimension finie, elle ne l’est pas nécessairement en dimension in-finie.

Definition 5.14.Les normes ‖ ‖ et N définies sur E sont équivalentes s’il existe desréels strictement positifs α et β tels que :

∀x ∈ E αN(x) ≤‖ x ‖≤ βN(x).

Remarque 5.1.4. Cette relation est bien une relation d’équivalence, en effet,elle est réflexive, symétrique et transitive.

Proposition 20. équivalence des normes usuelles sur Rn

Les normes ‖ ‖1, ‖ ‖2 et ‖ ‖∞ définies sur Kn vérifient les relations :{∀x ∈ Rn ‖ x ‖∞≤‖ x ‖2≤

√n ‖ x ‖∞ .

∀x ∈ Rn ‖ x ‖∞≤‖ x ‖1≤ n ‖ x ‖∞ .

Nous admettons ce théorème qui pourrait être établi à l’aide du théorème(5.10).

Théorème 5.4. équivalence en dimension finieDeux normes quelconques définies sur un espace de dimension finie sontéquivalentes.

Théorème 5.5. changement de norme équivalente

174


1. La convergence et la limite d’une suite ainsi que la notion de suite deCauchy sont conservées par changement de norme équivalente.2. La convergence et l’absolue convergence d’une série sont conservéespar changement de norme équivalente.3. La complétude est conservée par changement de norme équivalente.4. La lipschitzité d’une application est conservée par changement denorme équivalente.

démonstration en coursDans Kp comme dans tout espace vectoriel de dimension finie, nous parle-rons de suite convergente, de série convergente, d’application lipschitziennesans préciser de norme. Vous pouvez par contre choisir la norme la mieuxadaptée au problème étudiée ou utiliser les coordonnées comme le montre laproposition très importante qui suit1.

Proposition 21. convergence et coordonnées

Une suite (x[n]) d’éléments de Kp 2 converge vers a si et seulement si chacunedes suites coordonnées (x

[n]i ) 1 ≤ i ≤ p converge vers ai.

démonstration.

∀n ∈ N ‖x[n] − a‖1 ≤∑

1≤i≤p

| x[n]i − ai |

et chacune des suites (| x[n]i − ai |) tend vers 0.¤

Remarque 5.1.5. Changement de normes et point fixe.Bien entendu, l’existence d’une solution de l’équation f(x) = x est indé-pendante du choix d’une norme sur E. Par contre la possibilité d’appliquerle théorème du point fixe pour établir ce résultat peut dépendre du choixd’une norme. Si E n’est pas de dimension finie, il faut choisir une normequi rende l’espace complet et l’application contractante. Attention car la no-tion d’application contractante n’est pas conservée par changement de normeéquivalente.

1Nous ne lui donnons pas le nom de théorème car vous la retiendrez naturellement etl’utiliserez constamment

2ou d’un espace vectoriel E rapporté à une base (e1, e2, · · · , ep)

175


5.2 COURS PARTIE 2

5.2.1 Introduction

Les notions d’espaces complets et d’applications contractantes ont permisd’introduire le théorème du point fixe. La notion de boule de centre a et derayon r permet de généraliser la définition de la continuité vue en premièreannée au cas d’applications définies sur un espace vectoriel normé à valeursdans un espace vectoriel normé. Nous donnons donc conformément au pro-gramme la définition abstraite, en termes de quantificateurs, de la continuitédans un espace vectoriel normé, écriture qui généralise la définition, déjàconnue, pour les applications numériques d’une variable réelle.

Cependant nous privilégions une approche la caractérisation séquentielle dela continuité.Nous abordons les notions topologiques, issues de "l’analysis situs", de "sous-ensemble fermé", déjà caractérisée séquentiellement dans la première partiede ce cours, et, celle de "sous-ensemble ouvert" utilisée en calcul différentieldes fonctions de plusieurs variables. Tout en sachant que la plupart des ferméset des ouverts utilisés dans ce cours sont définis comme images réciproquesd’intervalles fermés (resp. ouverts) par une application continue.Nous ne définissons pas la notion de compacité mais nous admettons quel’image, par une application continue, d’un sous-ensemble fermé borné d’unespace vectoriel normé de dimension finie est un fermé borné, résultat quipermettrait de montrer un des théorèmes fondamentaux de ce cours : l’équi-valence des normes sur un espace vectoriel de dimension finie.1

Nous abordons enfin les normes matricielles.

5.2.2 Continuité

données(E, ‖ ‖E) , (F, ‖ ‖F ) et (G, ‖ ‖G). espaces vectoriels normés.A une partie de E.f application de A dans F.a ∈ A

1Nous avons introduit ce théorème sans le démontrer dès le début du cours afin dedonner d’emblée les résultats et les notations simples qui en découlent en dimension finie.

176



Definition 5.15. Ecriture séquentielle.f est continue, de (E, ‖ ‖E) dans (F, ‖ ‖F ) en un point a de son en-semble de définition, A, si l’image de toute suite (xn) d’éléments de Aqui converge vers a dans (E, ‖ ‖E), est une suite (f(xn)) qui converge versf(a) dans (F, ‖ ‖F ).

Remarque 5.2.1.Remarquer enfin que dans le continuité de f en a dépend de chacune desnormes ‖ ‖E, ‖ ‖F , et de l’ensemble de définition A1.

Cependant la propriété suivante explique pourquoi vous n’avez jamais parléde continuité pour une norme donnée.

Proposition 22.1. La continuité de f en a est indépendante du choix d’une norme équivalenteà la norme donnée sur E ou sur F.2. En particulier si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie, lanotion de continuité de f en a est intrinséque2.

L’étude des applications vectorielles, c’est à dire de R dans un espace vectorielde dimension finie, ne soulèvent pas de grandes difficultés puisqu’il suffitd’étudier les applications coordonnées. C’est ce que montre l’énoncé suivantconcernant la continuité.

Proposition 23.Si F est de dimension finie rapporté à une base (e1, · · · , ep), la continuité ena de f , définie par f(x) =

∑i=pi=1 fi(x)ei, équivaut à la continuité de chacune

des applications coordonnées fi où 1 ≤ i ≤ p.

Definition 5.16.On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r, le sous-ensemble deE noté Ba,r défini par :

Ba,r = {u ∈ E/ ‖ a− u ‖E< r}.Definition 5.17. Ecriture quantifiée de la continuité.Cette définition équivaut à :

∀ε > 0 ∃αε,a > 0 / ∀x ∈ A ‖ x− a ‖E< αε,a ⇒‖ f(x)− f(a) ‖F < ε.(5.1)

1C’est une notion que nous laissons volontairement de côté dans cette première ap-proche

2au sens où elle ne dépend pas des normes choisies

177


La définition quantifiée de la continuité traduit le fait que, pour toute valeurde ε, on peut trouver un réel positif α tel que l’image d’un élément x de Aqui appartient à la boule ouverte de centre a et de rayon α est dans la bouleouverte de centre f(a) et de rayon ε.Si l’étude des applications à valeurs dans un espace de dimension finie seramène à l’étude des coordonnées, ce n’est pas le cas des applications définiessur un espace de dimension finie, même s’il s’agit tout simplement de R2. Voiciquelques techniques d’étude.

Exemple 5.2.1.f est définie sur R2 à valeurs dans (R, | |) par :

x = (x1, x2) 7→ f(x) =

x1x2

x21 + x2

2

si (x1, x2) 6= (0, 0)

0 si (x1, x2) = (0, 0)

Montrer que f n’est pas continue en a = (0, 0).

On peut choisir de travailler avec ‖ ‖∞ sur R2 et la valeur absolue sur R.Démonstration utilisant la définition séquentielle

1

Notons (xn) la suite de R2 définie par xn = (n−1, n−1). Selon la propriété(21), elle tend vers a = (0, 0) puisque les suites coordonnées, chacune égalesà (n−1), tendent vers 0. Or la suite (f(xn)) est une suite de nombres réels

constante égale à1

2. La suite (f(xn)) ne converge pas vers f(a) = 0.

Exemple 5.2.2.f est définie sur R2 à valeurs dans R par :

x = (x1, x2) 7→ f(x1, x2) =

x21x2

x21 + x2

2

si (x1, x2) 6= (0, 0)

0 si (x1, x2) = (0, 0)

Montrer que f est continue en a = (0, 0).On va choisir ici de travailler sur R2 avec la norme ‖ ‖∞2. Nous reprendronscet exemple avec la norme ‖ ‖2 dans un exemple d’étude de limite (5.2.6).Montrons tout d’abord que |f(x1, x2)| ≤ |x2| :

1deuxième solution En utilisant la définition (5.2). choisissant ε =14, nous avons

∃ε > 0, pour tout α > 0 x = (α

2,α

2) vérifie

‖x− a‖∞ =

α

2⇒ ‖x− a‖∞ < α

f(x) =12⇒ |f(x)− f(a)| > ε.

2on travaille toujours avec la valeur absolue sur R

178


x 6= a =⇒ x21

x21 + x2

2

≤ 1 et |f(x)| ≤ |x2|x = a =⇒ |f(x)| = 0 et |f(x)| ≤ |x2|

Soit (x[n]) une suite qui converge vers a, avec x[n] = (x[n]1 , x

[n]2 ), on a :

|f(x[n])− f(a)| ≤ |x[n]2 | ≤ ‖x[n] − a‖∞

(‖x[n] − a‖∞) converge vers 0, donc (|f(x[n])− f(a)|) converge vers 0.Nous avons montré que (f(x[n])) tend vers f(a) dès que (x[n]) tend vers a.

Definition 5.18.f est continuea si f est continue en tout point a de son ensemble de définitionA.

a pour le choix de E, de ‖ ‖E de F et de ‖ ‖F fixées dans les données initiales

5.2.2.2 Exemples de référence

Théorème 5.6. lipschitzité et continuité en dimension finieTout application k-lipschitzienne de (E, ‖ ‖E) dans (F, ‖ ‖F ), est continue de(E, ‖ ‖E) dans (F, ‖ ‖F ).

Exemple de référence 5.6.En conséquence x 7→‖ x ‖E est continue de (E, ‖ ‖E) dans Ra.Lorsque E est de dimension finie, toute norme est continue sur E.Toute application constante est continue (k = 0), toute application contrac-tante est continue.Toute isométrie (k = 1) et en particulier l’application identique de (E, ‖ ‖E)dans (E, ‖ ‖E) est continue.

aexemple connu d’application lipschitzienne voir l’exemple de référence(5.5)

Théorème 6.6 linéarité et continuité en dimension finieSi E est de dimension finie toute application linéaire de E dans F est lipschit-zienne donc continue de (E, ‖ ‖E) dans (F, ‖ ‖F )

démonstration.Nous montrons qu’une telle application est lipschitzienne en utilisant succes-sivement la linéarité de f et la sous-linéarité de ‖ ‖F . Si (e1, e2, ..., ep) est une

179


base de E et si x =∑i=p

i=1 xiei et y =∑i=p

i=1 yiei :

f(x)− f(y) =

i=p∑i=1

(xi − yi)f(ei) ⇒ ‖f(x)− f(y)‖F ≤i=p∑i=1

|xi − yi|‖f(ei)‖F .

Nous obtenons :

‖f(x)− f(y)‖F ≤ ‖x− y‖∞i=p∑i=1

‖f(ei)‖F ≤ C‖x− y‖∞.

Soit C =∑i=p

i=1 ‖f(ei)‖F , f est C-lipchitzienne de (E, ‖ ‖∞) dans (F, ‖ ‖F )donc continue. ¤Exemple 5.2.3.Vérifier que l’application ϕ de C([0, 1]) dans R définie par ϕ(f) = f(0) estlinéaire.Montrer que de (C([0, 1]), ‖ ‖1) dans (R,| |), ϕ n’est pas continue en l’applica-tion nulle en étudiant l’image par ϕ de la suite (fn) définie par :

fn(x) = 1− nx 0 ≤ x ≤ 1

nfn(x) = 0

1

n≤ x ≤ 1.

Réponse :

‖fn‖1 =1

2n, la suite (‖fn‖1) tend vers 0E, donc la suite (fn) tend vers

l’application nulle dans (E = C([0, 1]), ‖ ‖1).Or ϕ(0E) = 0 alors que ∀n ∈ N∗ ϕ(fn) = 1. La suite (ϕ(fn)) ne converge pasvers ϕ(0E).

5.2.2.3 Opérations sur les applications et continuité

données(E, ‖ ‖E) , (F, ‖ ‖F ) et (G, ‖ ‖G). espaces vectoriels normés.a ∈ A sous-ensemble de E.f et g applications de A dans F.λ application de A dans R.h application de f(A) dans G.

Voici les propriétés qui lient les opérations sur les applications et la conti-nuité en un point. Elles prolongent celles des fonctions numériques d’unevariable réelle et permettront à partir de l’étude de quelques applications deréférence de conclure à la continuité de la plupart des applications que vousmanipulerez cette année.

180


Proposition 24. Combinaison linéaire d’applications1. Si f et λ sont continues en a, alors λf est continue en a.2. Si f et g sont continues en a alors toute combinaison linéaire kf + g estcontinue en a.

Proposition 25. Produit d’applications numériques (F = R)Si f et g sont continues en a alors fg est continue en a.

Proposition 26. Composition d’applications continuesSi f est continue en a et si h est définie continue en f(a) alors la composéehof est continue en a1

Definition 5.19.L’application x = (x1, ...xi..., xn) ∈ Kn 7→ xi ∈ K est appelée la iième projec-tion.Une application x = (x1, ...xi..., xn) ∈ Kn 7→ E(x) ∈ K est un monômede plusieurs variables s’il existe des entiers naturels α1,...,αn tels queE(x) = xα1

1 · · · xαnn

Une application P de Kn dans K est un polynôme de plusieurs variablessi P s’écrit comme combinaison linéaire de tels monômes.Une fonction F de Kn dans K est une fraction rationnelle de plusieursvariables si F s’écrit comme quotient de deux polynômes.

Exemple de référence 5.7.Les projections pi de Kn dans K sont continuesLes polynômes de plusieurs variables de Kn dans K sont continues.Les fonctions fractions rationnelles de Kn dans K sont continuesa.

a en tout point leur ensemble de définition

démonstration. Les projections pi sont linéaires donc continues de Kn dansK. On applique ensuite les théorèmes sur les opérations sur les applicationscontinues. ¤Exemple 5.2.4.Les applications f et g de R2 dans R définies par f(x1, x2) = x3

1 + 3x2 etg(x1, x2) = x4

1 · x52 sont continues car ce sont des applications polynômes des

variables x1 et x2.1respectivement de (E, ‖ ‖E) dans (F, ‖ ‖F ), de (F, ‖ ‖F ) dans (G, ‖ ‖G), de (E, ‖ ‖E)

dans (G, ‖ ‖G).

181


5.2.2.4 Limite en un point adhérent à A

données(E, ‖ ‖E) , (F, ‖ ‖F ) et (G, ‖ ‖G). espaces vectoriels normés.A une partie de E.f application de A dans F.

Nous devons d’abord définir en quels points a de E, la question "x élémentde l’ensemble de définition A de f tend vers a" a un sens. Cette question aun sens dès qu’il existe une suite d’éléments de A qui converge vers a, c’estce qu’on appelle un point adhérent à A. Dans le cas d’un intervalle borné deR les seuls point adhérents sont les bornes de l’intervalle ce qui fait que cetype de question n’était pas indispensable jusqu’à présent.

Definition 5.20.Un point a de E, est dit adhérent à A dans (E, ‖ ‖)E, s’il existe une suited’éléments de A qui converge vers a dans (E, ‖ ‖E).

ConséquenceTout point a de A est adhérent à A, en effet la suite constante de termegénéral xn = a converge vers a dans (E, ‖ ‖).Exemple 5.2.5.a = (α, 0) est adhérent à R×R+∗ dans (R2, ‖ ‖1) car la suite de terme généralxn = (α, 1

n), selon la propriété (21), converge vers a dans (R2, ‖ ‖1).

ConséquenceUn sous-ensemble A de E est fermé (définition 5.9) si et seulement si ilcontient chacun de ses points adhérents.

Definition 5.21. caractérisation séquentielle de la limitef a pour limite ` en un point a adhérent à A si et seulement si pour toute suite(xn) d’éléments de A qui converge vers a, la suite (f(xn)) converge vers `.

Proposition 27. unicité de la limiteSi f a une limite en a, cette limite est unique. Elle est notée lim

x→af(x)

Exemple 5.2.6.a = (0, 0) et f est définie sur R2 \ {a} à valeurs dans R par :

x = (x1, x2) 6= a 7→ f(x) =x2

1x2

x21 + x2

2

182


Montrer que f a une limite en a égale à 0. solution :On va choisir de travailler sur R2 avec la norme ‖ ‖2

Si x est différent de a, notons r = ‖(x1, x2)‖2, alors nous savons qu’il existeun réel θ tel que x1 = r cos θ et x2 = r sin θ ainsi :

x 6= a f(x) =r3 cos2 θ sin θ

r2= r cos2 θ sin θ

Dire qu’une suite (x[n]) tend vers a en étant différente de a signifie que lasuite (‖x[n] − a‖2) = rn tend vers 0 or :

| f(x[n] − f(a) |= rn cos2 θ sin θ ⇒| f(x[n])− f(a) |≤ rn

La suite de réels positifs (| f(x[n]) − f(a) |), majorée par une suite qui tendvers 0, tend elle aussi vers 0 ce qui montre que (f(x[n])) tend vers 0 dès que(x[n]) tend vers a. Soit lim

x→af(x) = 0.

Comparez l’exemple ci-dessus à l’étude de continuité menée dans l’exemple(5.2.2). Dans l’étude de limite nous envisageons une suite qui tend vers aen ne prenant pas la valeur a. Dans l’étude de continuité les termes de lasuite (x[n]) peuvent prendre la valeur a. Nous avons commencé par l’étudede continuité car alors on se donne a priori la valeur de la limite (c’est f(a))et on évite la difficulté supplémentaire des points adhérents. Bien souvent lefait que les termes de la suite (x[n]) peuvent prendre la valeur a ne changepas beaucoup les majorations.Théorème 5.7. Limite et prolongement par continuité]Si a ∈ A, f admet une limite en a, si et seulement si f est continue en a carla limite est nécessairement égale à f(a).

Si a est adhérent à A, sans appartenir à A alors f admet pour limite ` en asi l’application f définie sur A ∪ {a} par :

{x 6= a f(x) = f(x)

x = a f(a) = `.

est continue en a. On note alors la limite limx→ax6=a

f(x)

et f est appelée le prolongement par continuité de f en a.

Definition 5.22. Ecriture quantifiée de la limite de f en a :f a pour limite ` en un point a adhérent à A signifie :

∀ε > 0 ∃αε,a > 0 / ∀x ∈ A ‖ x− a ‖E< αε,a ⇒ ‖ f(x)− ` ‖F < ε.(5.2)

183


Exemple 5.2.7.(E, ‖ ‖) = (R2, ‖ ‖∞), (F, ‖ ‖) = (R, | |), A = R2 − {(0, 0)}x = (x1, x2) 7→ f(x1, x2) =

x2x1

x21 + x2

2

.

Vérifier que f n’a pas de limite en a.

solutionSelon la propriété (21), la suite de terme général un = (n−1, 0) converge versa dans (R2, ‖ ‖∞) et la suite (f(un)), constante égale à 0, converge vers 0 dans(R, | |).Toujours selon la propriété (21), la suite de terme général vn = (n−1, n−1)converge vers a dans (R2, ‖ ‖∞) et la suite constante (f(vn)) converge vers1

2dans (R, | |).

Donc f n’admet pas de limite en a.

5.2.2.5 Sous-ensembles fermés ouverts et continuité

On se donne un sous-ensemble A de l’espace vectoriel E qui est muni d’unenorme (‖ ‖E).(F, ‖ ‖F ) et B un sous-ensemble de F.f une application de E dans F.L’image directe de A par f : f(A) = {y ∈ F/∃x ∈ A/y = f(x)}L’image réciproque de B par f :

−1

f (B) = {x ∈ E/f(x) ∈ B}Definition 5.23.Un sous-ensemble A est ouvert dans (E, ‖ ‖E) si son complémentaire est fermédans (E, ‖ ‖E)

Proposition 28.La notion d’ouvert ne dépend pas du choix d’une norme équivalente à unenorme donnée


Théorème 5.8.L’image réciproque d’un fermé par une application continue est un fermé : si

B est un fermé de (F, ‖ ‖F ),−1

f (B) est un fermé de (E, ‖ ‖E).L’image réciproque d’un ouvert par une application continue est un ouvert : si

B est un ouvert de (F, ‖ ‖F ),−1

f (B) est un ouvert de (E, ‖ ‖E).

184


Exemple 5.2.8.Montrer que A1 = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x} et A2 = {(x, y) ∈ R2/xy = 1} sontdes fermés de (R2, ‖ ‖∞)

Réponse :En effet A1 =

−1p1([0, +∞[), où la projection p1 est continue donné dans

l’exemple de référence(5.7) de R2 dans R et où [0, +∞[ est un fermé deR donné dans l’exemple de référence(5.4).

A2 =−1

f ({1}), où l’application f est une application polynôme des variables xet y donc est continue de R2 dans R, donné dans l’exemple de référence (5.7),et où le singleton {1} est un fermé de R donné dans l’exemple de référence(5.4).Nous nous proposons dans le chapitre suivant d’étudier le comportementd’une application définie au "voisinage" d’un point. Cette notion apparaîtdans la caractérisation d’un ouvert qui suit :

Théorème 5.9. 1

A est un sous-ensemble ouvert s’il est vide ou si pour tout élément a de A, ilexiste une boule ouverte de centre a contenue dans A :

∀a ∈ A ∃r > 0 B(a, r) ⊂ A.

Exemple de référence 5.8. :Dans R tout intervalle ouvert ]a, b[, ]a,∞[, ]−∞, b[ est un ouvert.E et ∅ sont des ouverts de (E, ‖ ‖E).Toute boule ouverte de (E, ‖ ‖E) est un sous-ensemble ouvert de (E, ‖ ‖E).

démonstration. Deux méthodes soit en utilisant le théorème de l’image réci-proque appliqué à x ∈ E 7→ ‖x‖E ∈ R et à l’ouvert ]−∞, R[. Soit en utilisantle théorème (5.9) un élément de B(x0, R), nécessairement |x0 − a| < R

1Cette notion peut avoir un rôle pratique important, par exemple, en optimisationdynamique : compte tenu des imprécisions, si l’ensemble C des états initiaux commandablesd’un système dynamique n’est pas ouvert, ceux qui sont "à la frontière" de C sont irréalistes.(Faurre p. 110). De même si a ∈ A où A est ouvert, alors f est continue au point a si sarestriction à A est continue en a.

185


Montrons que la boule de centre a et de rayon r = R − |x0 − a| est inclusedans B(x0, R). Il faut établir que si x est un élément quelconque de B(a, r)...¤

5.2.2.6 Fermés bornés en dimension finie

On se donne deux espaces vectoriels normés (E, ‖ ‖E) et (F, ‖ ‖F ) et A unsous-ensemble de E. f application de A dans F.

Definition 5.24.A est un sous-ensemble borné de (E, ‖ ‖), si

∃M ∈ R+/ ∀x ∈ A ‖ x ‖≤ M.

La notion de borné ne dépend pas du choix d’une norme lorsque E est dedimension finie. Dans les autres cas, il faut là aussi préciser la norme choisiesur E.

Exemple 5.2.9.La suite (fn)n∈N∗ où fn(x) = xn, est-elle bornée dans (C([0, 1],R), ‖ ‖2) ?

solution : 0 < n ‖ xn ‖2=√∫ 1

0x2ndx =

√1

2n + 1et ‖ xn ‖2≤ 1

Remarque 5.2.2.

De R dans R, (x ∈ R 7→ f(x) =1

1 + x2) est continue.

A = [1, +∞[ est un fermé de R. f(A) =]0, 1] n’est pas un fermé de R.

Par contre vous savez que l’image d’un segment fermé borné par une appli-cation numérique continue est un fermé borné de R. Ce résultat se généralisedans les espaces vectoriels de dimension finie. Nous admettons ce résultat,énoncé ci-après.

Théorème 5.10. Image continue d’un "compact"

186


Si f est une application continue a d’un espace vectoriel de dimension finieE dans (F, ‖ ‖F ) l’image, f(A), d’un sous-ensemble fermé borné A par f estun fermé borné de (F, ‖ ‖F )Lorsque F = R, l’image, f(A), d’un fermé borné A a donc un minimumm = f(a) et un maximum M = f(b), ce qui s’écrit :

∃(a, b) ∈ A× A/∀x ∈ A f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)

aE étant de dimension finie, il n’est pas nécessaire de préciser pour quelle norme sur Ecette propriété est réalisée

Exemple 5.2.10. Montrer que la norme ‖ ‖1 admet un maximum M et unminimum m sur la couronne A = {x = (x1, x2) ∈ R2 / 1 ≤ ‖x‖2 ≤ 2}.Déterminer les valeurs de M et de m. Vérifier que chacun de ces nombres estatteint en plusieurs points de la couronne ?

K1,0 K0,5 0 0,5 1,0

K1,0

K0,5

0,5

1,0

solution :Lorsque E est de dimension finie, nous savons2 que toute norme est continuesur E. Ainsi les normes ‖ ‖1 et ‖ ‖2 sont continues de R2 dans R.

A est un fermé de R2 comme image réciproque du segment [1, 2], fermé de Rpar l’application continue ‖ ‖2. A est un borné de R2 car tout élément x decette couronne vérifie ‖x‖2 ≤ 2.Remarquons que ce théorème d’existence, contrairement au théorème dupoint fixe ne donne pas de moyen de déterminer le maximum, ni une suiteapproximante. On note dans la suite f(x) = ‖x‖1

On montre que 1 est le minimum de f sur A en montrant que :

1. 1 est un minorant de f sur A, en effet :∀x ∈ A 1 ≤ ‖x‖2

2 ⇒ 1 ≤ x21 + x2

2 ≤ (|x1|+ |x2|)2 ⇒ 1 ≤ f(x).2. 1 est une valeur atteinte par f , puisque :

f(1, 0) = f(0, 1) = f(−1, 0) = 1.2selon l’exemple de référence (5.6)

187


De même on détermine le maximum de f sur A.

Nous admettons ici ce théorème, qui nécessite de préciser une notion decompacité et de montrer ainsi ce en quoi un sous-ensemble fermé borné d’unespace vectoriel de dimension finie prolonge la notion de segment d’extrémitésa et b, noté [a, b], étudié dans R. Nous développons cette étude en annexe.

188


5.2.3 Normes matricielles

5.2.3.1 Norme induite d’une application linéaire

Nous nous donnons deux espaces vectoriels sur K de dimension finie :E = Kn, F = Kp et notons L(E, F), le K-espace vectoriel des applicationslinéaires de E dans F, une norme ‖ ‖E sur E et une norme ‖ ‖F sur F.Nous savons déja, selon le théorème (5.2.2.2), que toute application linéairef de E dans F est lipschitzienne. De plus écrivant :

f(x)− f(y) = f(x− y) = ‖x− y‖Ef(u) où u =x− y

‖x− y‖nous vérifions qu’un réel k est une constante de lipschitz de f si et seulementsi k majore {|f(u)| /‖u‖E = 1}. Appliquons le théorème (5.10) :

Proposition 29.L’application (x ∈ E 7→ ‖f(x)‖F ∈ R+) est continue et a donc un maximumsur le fermé borné S = {x ∈ E / ‖x‖E = 1} de Rn.

Definition 5.25.Si E est de dimension finie et f est une application linéaire de (E, ‖E) dans(F, ‖F ), on appelle norme induite de f par le choix des normes ‖ ‖E et ‖ ‖F

le réel positif max‖x‖E=1

‖f(x)‖F , noté ‖| f ‖|.

Conséquence : ‖| f ‖| est la plus petite constante de Lipschitz de f .‖| f ‖|= max

x∈S‖f(u)‖F

x 6= 0E u =x

‖x‖E

⇒‖| f ‖|= maxx∈E\{0E}

‖f(x)‖F

‖x‖E

x 6= y u =x− y

‖x− y‖E

⇒‖| f ‖|= max(x,y)∈E2 x6=y

‖f(x− y)‖F

‖x− y‖E

.K1,0 K0,5 0 0,5 1,0

K0,5

0,5

1,0

1,5

2,0

x

u

Théorème 5.11.

∀x ∈ E, ‖f(x)‖F ≤‖| f ‖| ·‖x‖E.

∀(x, y) ∈ E2, ‖f(x)− f(y)‖F ≤‖| f ‖| ·‖x− y‖E.

Remarque 5.2.3.Si E = F , f est contractante si et seulement si ‖| f |‖< 1.

Proposition 30.L’application (f 7→ max

‖x‖E=1‖f(x)‖F ) définit une norme sur L(E, F).

189


Proposition 31. norme d’algèbreSi f appartient à L(E,F ) et si g appartient à L(F,G) et si l’on note de ma-nière identique les normes sur L(E, F ), L(F, G) et L(E, G) respectivementinduites par la norme ‖ ‖E sur E et la norme ‖ ‖F sur F , la norme ‖ ‖F surF et la norme ‖ ‖G sur G, la norme ‖ ‖E sur E et la norme ‖ ‖G sur G alors

‖| gof ‖|≤‖| g ‖| ‖| f ‖|

Une telle norme est appelée norme d’algèbre .

5.2.3.2 Norme induite d’une matrice

Nous considérons l’espace vectoriel, noté Mp,n(K), constitué par l’ensembledes matrices à coefficients dans K qui ont p lignes et n colonnes.

notations :On note x, le vecteur de Kn de coordonnées (x1, x2, ..., xn), dans la basecanonique de Kn.et X, la matrice colonne des coordonnées de x dans la base canonique aini,tX = (x1, x2, ..., xn). .

Definition 5.26.Toute matrice M de Mp,n(K) représente dans les bases canoniques de Kn etde Kp une application linéaire f . La norme de f induite par les normes ‖ ‖Kn

et ‖ ‖Kp est appelée la norme de la matrice M induite par les normes ‖ ‖Kn

et ‖ ‖Kp.

notation ‖| A ‖|.Definition 5.27.Si M est la matrice de Mp,n(K), les normes respectivement induites par lesnormes ‖ ‖1 sur Kp et sur Kn, ‖ ‖2 sur Kp et sur Kn et ‖ ‖∞ sur Kp et sur Kn

sont les normes notées ‖| |‖1 ‖| ‖|2 et ‖| ‖|∞

Nous examinons d’abord le cas de la norme ‖| |‖1 qui s’obtient en faisantla somme des modules (si K = C) ou des valeurs absolues (si K = R) descoefficients de chaque colonne et en prenant la plus grande de ces sommes.Puis celui de la norme ‖| ‖|∞ qui s’obtient de la même façon en partant deslignes. C’est ce qu’énonce cette propriété :

190


Proposition 32.Si M a pour coefficients (aij), i ∈ [1, p] et j ∈ [1, n], les normes1 ‖| |‖1 et‖| ‖|∞ sont définies par :

‖| M |‖1 = maxj∈[1,n]

Cj2 où Cj =

∑

i∈[1,p]

| aij |

‖| M |‖∞ = maxi∈[1,p]

Li où Li =∑

j∈[1,n]

| aij | .

démonstration.

M =

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a1j · · · a2n

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·ai1 ai2 · · · aij · · · ain

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·ap1 ap2 · · · apj · · · apn

et X =

x1

x2...xj...

xn

et Y =

y1...yi...yp

L’image de x par f est un vecteur y de Kp qui a pour ime coordonnée dans labase canonique de Rp : yi =

∑j=nj=1 aijxj.

On cherche le maximum de B = {‖y‖1 / y = f(x) où ‖x‖1 = 1}Montrons que maxj∈[1,n] Cj majore B :Si

∑j∈[1,n] | xj |= 1 alors compte tenu de :

yi =∑

j∈[1,n]

aijxj.

Il vient :

‖y‖1 =∑

i∈[1,p]

| yi |=∑

i∈[1,p]

|∑

j∈[1,n]

aijxj |≤∑

i∈[1,p]

∑

j∈[1,n]

| aij || xj |

∑

i∈[1,p]

∑

j∈[1,n]

| aij || xj |=∑

j∈[1,n]

| xj |∑

i∈[1,p]

| aij | .

∑

j∈[1,n]

| xj |∑

i∈[1,p]

| aij |≤=∑

j∈[1,n]

| xj | Cj ≤ maxj∈[1,n]

Cj

∑

j∈[1,n]

| xj |≤ maxj∈[1,n]

Cj.

Montrons que maxj∈[1,n] Cj ∈ B : Soit j0 tel que maxj∈[1,n] Cj = Cj0 , onchoisit aj = 0 si j 6= j0 et aj = 1 si j = j0. On vérifie ‖a‖1 = 1 et

1Une matrice de Mp,n(R) peut représenter une application linéaire de Rp sur Rn oude Cp sur Cn. Les normes induites, ‖| |‖1 et ‖| ‖|∞ dans l’un ou l’autre de ces cascoïncident.

191


b = f(a) = (a1j0 , a1j0 , · · · , apj0) d’où ‖b‖1 = Cj0 .

Definition 5.28. :On appelle spectre d’une matrice carrée M d’ordre n et on note Sp(M) lesous-ensemble {λi, 1 ≤ i ≤ n} des valeurs propres réelles ou complexes de lamatrice M .On appelle rayon spectral de M le nombre noté ρ(M) égal à max

1≤i≤n| λi |

Proposition 33.

ρ(M) ≤‖| M ‖|Proposition 34.La norme ‖| ‖|2 est définie par :

‖| M |‖2 =√

ρ(tMM) si K = R

Montrons‖| M |‖22= ρ(tMM)

On suppose que M est une matrice à coefficients réels, qui définit un endo-morphisme f de Rn dans dans Rp rapportés à la base canonique.

‖f(x)‖22

‖x‖22

=t(MX)(MX)

tXX=

tX tMMXtXX

.

tMM est une matrice symétrique qui est donc diagonalisable dans une baseorthonormée de vecteurs propres de Rn et de plus les valeurs propres detMM sont positives.1. Si X est la matrice colonne des cordonnées de x dansla base canonique et X’ celle des coordonnées de x dans la nouvelle base,X = PX ′ avec tPP = In, on a :

tX tMMX =t X ′DX ′ et tXX =t X ′X ′

D’où si x est non nul :

tX tMMXtXX

=tX ′DX ′

tX ′X ′ =

∑i=ni=1 λix

2i∑i=n

i=1 x2i

=

∑i=ni=1 | λi | x2

i∑i=ni=1 x2

i

≤ maxi=ni=1 | λi | .

On obtient l’égalité en prenant le vecteur propre de tMM de norme 1 qui apour valeur propre ρ(tMM). ¤

1tMMX = λX =⇒ ‖MX‖22 = λ‖X‖2.

192


5.3 ANNEXE

5.3.1 Introduction

5.3.1.1 Résumé

Nous proposons ici, pour les très curieux, une définition1 de la compacité2,plus concrète que celle usuellement donnée, centrée autour de l’étude del’image continue d’un compact, et finement liée au théorème d’optimisation5.10. Cette étude permet de plus de démontrer le théorème d’équivalence desnormes en dimension finie.

5.3.1.2 Définition

Dans tout ce paragraphe nous supposerons que E est un espace vectorielde dimension finie sur R. Cette étude permet de démontrer le théorèmed’équivalence des normes en dimension finie.

Definition 5.29 (sous-ensemble compact).Un sous-ensemble A non vide d’un espace vectoriel normé (E, ‖ ‖) de dimensionfinie est dit compact si l’image de A par n’importe quelle application continuede A dans (R, | |) est un sous-ensemble borné de (R, | |))3.

On aurait pu prendre la condition f(A) compact de R, c’est à dire fermé borné de R,si on suppose la compacité déjà étudiée sur R.

Proposition 35.Tout sous-ensemble compact de (E, ‖ ‖) est un sous-ensemble fermé et bornéde (E, ‖ ‖). En particulier, toute partie compacte de (E, ‖ ‖) est complète.

Théorème 5.12.Toute application continue définie sur un compact A de (E, ‖ ‖) à valeursdans R possède un maximum et un minimum.

Proposition 36.Si f est continue de (E, ‖ ‖) dans (F, ‖ ‖). L’image f(A) d’un sous-ensemblecompact A de (E, ‖ ‖) est un sous-ensemble compact de (F, ‖ ‖)

1empruntée à Monsieur Warusfel2que l’on peut voir comme une généralisation de la notion d’ensemble fini

193


Conséquence :En particulier, si A est une partie compacte de (E, ‖ ‖E) , et si f est continuede (E, ‖ ‖E) dans (F, ‖ ‖F ), f(A) est une partie fermée de (F, ‖ ‖F ).Théorème 5.13.Les compacts de (Rn,‖ ‖∞) sont les sous-ensembles fermés bornés de (Rn,‖ ‖∞).

démonstration : Nous voulons montrer que si A est une partie fermée et bor-née de (Rn,‖ ‖∞) alors A est compacte. Nous raisonnons par l’absurde ensupposant qu’il existe une application continue f de (Rn, ‖ ‖∞) dans R telleque f(A) soit non borné.

Première étape : Nous construisons une suite (Ap) de sous-ensembles em-boîtés telle que A1 = A, Ap est inclus dans un pavé et sur chacun desquels fest non bornée.Deuxième étape :Nous montrons que la suite décroissante des (Ap) convergevers un singleton {α} où α est un élément de A.

Troisième étape : La continuité de f en α implique que f est bornée sur unpavé T de centre α de rayon ε, ce qui contredit f(Ap) non borné pour tout p.

En conséquence :f(AP ) ⊂ [f(α)− 1, f(α) + 1]

ce qui contredit f(T) borné.Pour conclure : L’hypothèse f(A) non borné aboutit à une contradiction,en conséquence cette hypothèse ne peut être réalisée. Ce raisonnement parl’absurde montre que nécessairement f(A) est borné pour n’importe quelleapplication réelle continue de (Rn, ‖ ‖∞) dans R.A est donc une partie compacte de (Rn, ‖ ‖∞).

194


5.3.1.3 Equivalence des normes en dimension finie

Théorème 5.14.Deux normes quelconques sur un espace vectoriel E de dimension finiesont équivalentes.

Théorème 5.15.

Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie, les compacts del’espace vectoriel normé de (E, ‖ ‖) sont les sous-ensembles fermés et bor-nés de (E, ‖ ‖).

Théorème 5.16.Sur un espace vectoriel E de dimension finie.

1. Les notions de borné et de suites de Cauchy sont indépendantes duchoix d’une norme sur E.

2. La notion d’application continue de E dans (F, ‖ ‖F ) est indépen-dante du choix d’une norme sur E et de celui de la norme sur F siF est de dimension finie.

3. Les notions topologiques d’ouvert, de fermé, de suites convergentes,de point adhérent, de compact sont indépendantes du choix d’unenorme sur E.

En conséquence, en dimension finie nous parlerons donc sans préciserle choix de la norme effectué de borné, de suite de Cauchy, de suiteconvergente, d’ouvert, de fermé, de point adhérent, de compact.

195


5.4 EXERCICES

5.4.1 Espace vectoriel normé- Définitions - Suites conver-gentes dans un espace vectoriel normé


Exercice 5.1. :1. La suite d’applications (fn) où

fn(x) = xn converge-elle sim-plement sur [0, 1] ? On se placedésormais dans l’espace vectorielE = C([0, 1],R) muni des diffé-rentes normes définies en cours.

2. Calculer ‖ fn ‖∞ et ‖ fn ‖1.3. Que pouvez-vous dire de la suite

(fn) dans (E, ‖ ‖∞) puis dans(E, ‖ ‖1) ?

Exercice 5.2.Dessiner les boules unités, c’est à dire {x = (x1, x2) ∈ R2 / ‖ x ‖≤ 1} pourchacune des normes ‖ ‖2, ‖ ‖1 et ‖ ‖∞.

Exercice 5.3.

1. Est-ce que que f 7→‖ f ′ ‖∞ définit une norme sur C1([0, 1],R) ?2. Est-ce que que f 7→‖ f ′ ‖∞ +| ∫ 1

0f(t)dt| définit une norme sur C1([0, 1],R) ?

3. Montrer que chacune des applications f 7−→‖ f ‖ωi 1 ≤ i ≤ 3 définiesci-après est une norme sur Ci([0, 1],R)

‖ f ‖ω1= |f(0)|+ sup[0,1]

|f ′(x)|

‖ f ‖ω2= |f(0)|+ |f ′(0)|+ sup[0,1]

|f ′′(x)|

‖ f ‖ω3= |f(0)|+ |f ′(0)|+ |f ′′(0)|+ sup[0,1]

|f (3)(x)|

Montrer que pour toute application f dans C2([0, 1],R

‖ f ‖ω1≤‖ f ‖ω2≤‖ f ‖ω3

196


Exercice 5.4.1. Soient (F, ‖ ‖) un espace vectoriel normé, montrer que si E est un espacevectoriel et f une application linéaire injective de E dans F alors on peutdéfinir une norme N sur E par :

N(x) =‖ f(x) ‖2. Soit Rn[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n,on associe à tout polynôme P de coefficients ap où 0 ≤ p ≤ n les réels ν1(P ),ν2(P ), ν3(P ), ν4(P ), ν5(P ), ν6(P ) :

ν1(P ) = sup0≤p≤n

|ap| ν2(P ) =

p=n∑p=0

|ap| ν1(P ) = sup0≤t≤1

|P (t)|

ν4(P ) =

∫ 1

0

|P (t)|dt ν5(P ) = (

∫ 1

0

|P 2(t)|dt)

1

2 ν6(P ) = |P (0)|+ sup0≤t≤1

|P ′(t)|

Montrer en utilisant la première question, les exemples de référence du courset l’exercice précédent que chacune des applications ν1, ν2, ν3, ν4, ν5, ν6 dé-finit une norme sur R[X].

Exercice 5.5.Soient fn, n ∈ N et f des applications continues de [0,+2] dans RMontrer que si la suite (fn) converge dans (C([0, 2],R), ‖ ‖1) vers f , alors1 lasuite (fn) converge dans (C([0, 1],R), ‖ ‖2) vers f .Montrer que si la suite (fn) converge dans (C([0, 2],R), ‖ ‖∞) vers applicationf , alors la suite (fn) converge dans (C([0, 2],R), ‖ ‖1) vers f .Montrer que si la suite (fn) converge dans (C([0, 2],R), ‖ ‖2) vers applicationf , alors la suite (fn) converge dans (C([0, 2],R), ‖ ‖1) vers f .


Exercice 5.6. :1.Montrer que l’application ϕ de R2 dans R qui au vecteur de coordonnées(x, y) associe ϕ(x, y) = sup

t∈[0,1]

|x + ty| définit une norme sur R2.

2. Notons ‖ ‖ϕ cette norme. Représenter l’ensemble des vecteurs de norme‖ ‖ϕ inférieure ou égale à 1 ?

1f est définie de [0, 2] dans R mais on note encore f la "restriction" de f à [0,1], c’està dire l’application de [0, 1] dans R, x ∈ [0, 1] 7→ f(x)

197


Exercice 5.7.Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que f 7−→ N(f) définie par :

N(f) = |f(0)|+ sup{t1,...,tn}⊂[0,1]

i=n−1∑i=1

|f(ti+1)− f(ti)|

est une norme sur C([0, 1],R).

Exercice 5.8. droite la plus proche d’une parabole donnéeDans l’espace vectoriel C([0, 1],R), on considère les applications h et gα ,oùα désigne un paramètre réel compris entre 0 et 1, définie par :

h(t) = t2, gα(t) = αt α ∈ R1. Calculer ‖ h− gα ‖1, ‖ h− gα ‖∞, ‖ h− gα ‖2 en fonction de α.2. Montrer qu’il existe une valeur de α1 (resp α∞, α2 ) qui réalise le

minimum de (α 7−→‖ h− gα ‖1) sur R (resp. de α 7−→‖ h− gα ‖∞, deα 7−→‖ h− gα ‖2)

Exercice 5.9.

Soit pour tout entier non nul n, l’application fn de [0, +∞[ dans R définiepar :

fn(x) =

n si 0 ≤ x < n−3

13√

xsi n−3 ≤ x

198


0,1 0,2 0,3 0,4 0,50,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1. Vérifier que les applications fn sont continues.

2. Montrer que la suite (fn) converge simplement sur ]0,1]

3. Montrer que la série des différences∑

fn − fn−1 converge absolumentdans (C([0, 1],R), ‖ ‖1).

4. Vous pourrez admettre que la suite (fn) ne converge pas dans l’es-pace vectoriel normé (C([0, 1],R), ‖ ‖1). La démonstration se fait parl’absurde en supposant que la suite converge vers une fonction conti-nue donc bornée sur [0, 1]. Quelle propriété de (C([0, 1],R), ‖ ‖1) endéduisez-vous ?

5.4.1.3 vers un problème

Exercice 5.10.On considère les suites d’applications (fn) et (gn) de [0,+2] dans R définiespour n ≥ 1 par :

fn(x) =

1

−n(x− 1)

−1

gn(x) =

1− 1

n(1− n)(x− 1)

−1 +1

n

si

0 ≤ x < 1

1− 1

n≤ x ≤ 1 +

1

n

1 +1

n< x ≤ 2

199


1. Montrer que la suite (fn) converge simplement vers une application fque l’on définira et dont on tracera la courbe représentative.

2. Etude dans (C([0, 2],R), ‖‖∞).(a) Tracer les courbes représentatives de f2 et f4.

(b) Que vaut fn(1− 1

2n) ?

(c) Vérifier ∀n ∈ N 1

2≤‖ fn − f2n ‖∞

(d) En déduire que la suite (fn) n’est pas de Cauchy dans (C([0, 2],R), ‖‖∞).

(e) Montrer de deux manières que la suite (fn) ne converge pas uni-formément vers f ?

3. Etude de la série des différences dans (C([0, 2],R), ‖ ‖1)

(a) Vérifier que pour tout entier n non nul ‖ fn − fn−1 ‖1 est égal audouble de l’aire d’un triangle que l’on calculera.

(b) Vérifier que la série∑1≤n

(fn − fn−1) converge normalement dans

(C([0, 2],R), ‖ ‖1)

4. Etude de la suite dans (C([0, 2],R), ‖ ‖1)

(a) Calculer pour p et q entiers non nuls p < q ‖ fp − fq ‖1.(b) Vérifier que la suite (fn) est de Cauchy dans (C([0, 2],R), ‖ ‖1)

5. On se propose de montrer que la suite (fn) ne converge pas dans(C([0, 2],R), ‖ ‖1). Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposantque la suite (fn) converge dans (C([0, 2],R), ‖ ‖1) vers une applicationcontinue h.(a) On montre d’une part que la suite (fn) restreinte à [0, 1] converge

dans (C([0, 1],R), ‖ ‖1) vers l’application continue h restreinte à[0, 1[.

200


(b) On montre de plus que la suite (fn) restreinte à [1, 2] convergedans (C([1, 2],R), ‖ ‖1) vers l’application continue h restreinte à[1, 2[.

(c) On montre que (fn) restreinte à [0, 1] converge dans (C([0, 1],R), ‖‖1) vers 1.

(d) On montre que (fn) restreinte à [1, 2] converge dans (C([1, 2],R), ‖‖1) vers -1

(e) On établit alors une contradiction en considérant h(1). On en dé-duit que la suite (fn) ne converge pas dans l’espace vectoriel normé(C([0, 2],R), ‖ ‖1) qui n’est donc pas complet.

6. Les mêmes résultats peuvent être établis pour la suite (gn).

5.4.2 Théorème du point fixe


Exercice 5.11. 1 L’utilisation de ce théorème dans une situation que vousconnaissez bien :

1. Montrer que l’équation

ϕ(x) = x3 − 4x + 1 = 0 (5.3)

admet trois racines réelles α1,α2,α3 comprises entre -2,5 et -2, entre 0et 0,5 et entre 1,5 et 2.

2. Première tentative pour poser le problème de la détermination de cesracines en terme de recherche de point fixeOn écrit l’équation sous la forme

ϕ1(x) = x3 − 3x + 1 = x (5.4)

Le théorème du point fixe s’applique-t-il sur les intervalles [-2.5,-2], [0,0.5] et [1.5,2] ?

1Emprunté à J.P. Demailly Analyse numérique et équations différentielles . GrenobleSciences.

201


3. Poser le problème de point fixe pour α2

On introduit ϕ2 définie par ϕ2(x) =x3 + 1

4= x.

(a) Vérifier que le théorème du point fixe s’applique à ϕ2 sur [0, 0,5].(b) La suite des itérés est un+1=ϕ2 un et u1=0,25 u2=0,25390625

u3=0,2540922314 u4=0,254310123404 u5=0,2541016662 u6=0,2541016873.Déterminer un majorant de |u6-α2|.

4. Poser le problème de point fixe pour α1 et α3

Vérifier que α1 et α3 sont solutions de l’équation ϕ3(x) = 3√

4x− 1 = x.Montrer que le théorème du point fixe s’applique à ϕ3 sur les intervalles[-2,5,-2] et [1,5, 2].

5. Prolongements : Montrer que si λ est un réel distinct de -1 l’équation

(1) a même point fixe que l’équation ϕ4(x) = x où ϕ4(x) =ϕ1(x) + λx

1 + λ.

Le théorème du point fixe s’applique-t-il à ϕ4 sur l’intervalle [-2,5 ,-2]pour une valeur de λ bien choisie ?

Exercice 5.12.

On se donne une application f définie sur [0, 1] strictement 1-lipschitzienne,c’est à dire telle que ∀(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] |f(x) − f(y)| < |x − y| et àvaleurs dans [0, 1]

1. Montrer que l’application sinus vérifie toutes ces hypothèses sans êtrecontractante sur [0, 1].

2. Montrer que f admet au plus un point fixe dans [0, 1] et sachant que lethéorème de point fixe de Brouwer1 permet d’affirmer que f admet aumoins un point fixe, en déduire que f a un et un seul point fixe. Quelest celui de l’application sinus ?

1Ce théorème, dû à Brouwer (1881-1966), est hors de votre programme. Il existe dif-

202


Exercice 5.13. Résolution d’équations différentielles ramenées à la formed’équations intégrales :

E = C([0, 1]) et l’application ϕ de E dans E.

f −→ ϕ(f)/∀x ∈ [0, 1] ϕ(f)(x) =1

2

∫ x

0

cos f(t) dt

– Montrer que ϕ est contractante de rapport1

2de (E, ‖ ‖∞) dans (E, ‖

‖∞) en utilisant deux méthodes différentes. 1

– Montrer qu’il existe une unique application f vérifiant ϕ(f) = f– Quel est le problème d’évolution (équation différentielle et condition

initiale) vérifié par f ?

Exercice 5.14. Vous pourrez utiliser le calcul de primitive et la valeur ap-prochée suivante donnés par Maple :

x < 1 int(t2 − 2t

1− t, t = 0..x);

∫ x

0

t2 − 2t

1− tdt

=x− 1/2 x2 + ln (1− x)

evalf(ln(2)− 3

8); ln(2)− 3

8≈ 0.3181471806 <

1

3

On considère l’espace vectoriel E des applications continues de [0,1

2] dans R,

muni de la norme ‖ ‖∞ définie par :

‖f‖∞ = sup

t∈[0,1

2]

| f(t) | .

1. Soit ϕ l’application de E dans E qui à une application f associe l’ap-plication ϕ(f) définie par :

∀x ∈ [0,1

2] ϕ(f)(x) = 1 +

∫ x

0

t2 − 2t

1− tf(t)dt.

(a) Montrer que ϕ est contractante de rapport k <1

3de (E, ‖ ‖∞)

dans (E, ‖ ‖∞).

férents théorèmes de points fixes, c’est à dire qui exprime que l’équation f(x) = x a unesolution sous-réserve que f ait de bonnes propriétés. Le théorème de point fixe traité encours est parfois appelé le théorème de point fixe de Picard(1856-1941)

1On pourra écrire : cos(f(t))− cos(g(t)) = 2 sin(12(f(t) + g(t))

)sin

(12(f(t)− g(t))

).

203


(b) Montrer que la suite itérée (fn) définie par f0 est la fonction nullesur [0, 1

2] et fn+1 = ϕ(fn) converge dans (E, ‖ ‖∞) vers une appli-

cation f .

(c) Montrer que f est la solution de l’équation différentielle (E)

∀x ∈ [0,1

2] y′(x) =

x2 − 2x

1− xy(x)

qui satisfait la condition initiale y(0) = 1.

(d) Résoudre cette équation différentielle et déterminer f .

(e) Sachant que ‖f‖∞ = 1, montrer ‖fn − f‖∞ ≤ 1

3n.

2. On considère une nouvelle application ψ de E dans E qui à toute ap-plication f associe l’application ψ(f) définie par :

∀x ∈ [0,1

2] ψ(f)(x) = 1− x + (1− x)

∫ x

0

f(t)dt.

(a) Montrer que ψ est contractante de (E, ‖ ‖∞) dans (E, ‖ ‖∞).

(b) Montrer que le point fixe, g, de ψ est solution de l’équation diffé-rentielle (E) et en déduire que f = g.

Exercice 5.15. Equations fonctionnelles :E = (C([0, 1],R).

1. En appliquant le théorème du point fixe dans (E, ‖ ‖∞) à une fonctionϕ bien choisie de E dans E, montrer qu’il existe une unique applicationy élément de E telle que :

∀x ∈ [0, 1] : y(x) =1

2y(x2) + x

2. Calculer ϕ(Id),ϕ ◦ ϕ(Id).

3. Montrer que la série∑ x2k

2kconverge uniformément sur [0, 1].

4. Vérifier que

y(x) =∞∑

k=0

x2k

2k

204



Exercice 5.16. approximations de√

2 :Nous avons introduit en cours la démonstration du théorème du point fixe àpartir de l’étude de l’algorithme de calcul suivant :

1 ≤ x0 ≤ 2 et xn+1 =xn

2+

1

xn

.

Voici ce calcul dans Matlabvaleurs affichées pour a=2 valeurs affichées pour a=4résolution de x/2 + 1/x = x 2.00000000000000 4.00000000000000format long 1.50000000000000 2.25000000000000N = 20 ; nombre d’itérations 1.41666666666667 1.56944444444444a=2 ;boucle sur les itérations 1.41421568627451 1.42189036381514x(1)=[a] ; 1.41421356237469 1.41423428594007for n = 1 :(N) 1.41421356237309 1.41421356252493x(n+1)=x(n)/2+1/x(n) end 1.41421356237309 1.41421356237309

Cependant nous avons remarqué en (5.1.4)que la série des différences tendvers 0 beaucoup plus rapidement que le résultat qui sous-tend la démonstra-

tion du théorème du point fixe pour un rapport de contraction1

2, à savoir

par la série1

2n|y1|. Nous tentons ici d’obtenir une majoration plus fine qui

explique la rapidité de convergence de la suite récurrente (xn) vers√

2.

1. Soit f l’application définie de [1, 2] dans [1, 2] par f(x) =x

2+

1

x. Vérifier

que f ′(√

2) = 0 et montrer que f′′ est majorée par 2 sur [1, 2].

2. Majorer |f(x)−√2| par |x−√

2|22

et en déduire une majoration de |xn−√2| par |x−√2|2p . Conclure.

205


Exercice 5.17. équations différentielles- équations intégrales :

1. (E = C([0, 1],R), en appliquant le théorème du point fixe dans (E, ‖‖

infty) à une fonction ϕ bien choisie de E dans E, montrer qu’il existeune unique application y élément de E telle que :

∀x ∈ [0, 1] : y(x) = 1 + 2

∫ x

0

ty(t)

1 + t2dt

2. Montrer que y est solution d’une équation différentielle du premierordre que l’on résoudra.

3. On pose

∀x ∈ [0, 1] : u0(x) = 1 et un+1(x) = 1 + 2

∫ x

0

tun(t)

1 + t2dt

Calculer un(x) pour x ∈ [0,1].4. Montrer que la suite de fonctions (fn), n ∈ N définie par

fn(x) =k=n∑

k=0

1

k!(ln(1 + x2))k

converge uniformément vers f(x) = 1+x2 sur [0,1] et majorer supx∈[0,1] |fn(x)−1− x2|.

Exercice 5.18.Dans tout cet exercice r désigne un entier supérieur ou égal à 1.

1. préliminaire :Montrer que l’application de R+ dans R+ qui à u associe ln(1+u) estlipschitzienne de rapport 1.

2. E1 désigne l’espace vectoriel des applications définies continues de [0,1]dans R.On suppose dans toute cette question que E1 est muni de la norme‖ ‖∞.

(a) Montrer que l’application φ qui à tout élément f de E1 associel’élément φ(f) de E1

1 défini par :

∀x ∈ [0, 1] φ(f)(x) =

∫ x

0

sr ln(1 + |f(s)|) ds

est contractante.1on ne demande pas d’établir ce résultat

206


(b) En déduire que φ admet un unique point fixe h.(c) Vérifier que h est solution sur [0,1] de l’équation différentielle (E)

que l’on peut écrire h′(x) = xrln(1 + h(x))

3. E2 désigne l’espace vectoriel des applications définies continues de [0,2]dans R. On note désormais dans toute la suite φ l’application qui àtout élément f de E2 associe l’élément φ(f) de E2

1 défini par :

∀x ∈ [0, 2] φ(f)(x) =

∫ x

0

sr ln(1 + |f(s)|) ds

(a) Montrer que l’application N de E2 dans R+ qui à f élément de E2

associe N(f) = ‖F‖[0,2]∞ où F (x) = f(x)e−2(r+1)x définit une norme

sur E2.(b) On se propose de montrer que φ est contractante de l’espace vec-

toriel E2 muni de la norme N dans lui-même.i. Calculer

∫ x

02re2(r+1)(s−x)ds

ii. Vérifier que si f et g dont des éléments de E2, N(φ(f)−φ(g))est égale à la norme infinie de l’application

x 7−→∫ x

0

sre2(r+1)(s−x) (ln(1+|f(s)|)−ln(1+|g(s)|))e2(r+1)(−s)ds

iii. En déduite que N(φ(f)− φ(g)) ≤ 1

2N(f − g).

(c) Vérifier que l’on peut appliquer le théorème du point fixe à φ dansl’espace vectoriel normé (E2,N)

(d) En déduire que l’application h définie dans la question précédentepeut être prolongée en une application solution de (E) sur [0,2].

5.4.3 Equivalence de normes


Exercice 5.19.On a défini en cours les normes ‖ ‖1 et ‖ ‖∞ sur l’espace vectoriel C([0, 1],R)

1. Montrer que

∀f ∈ C([0, 1],R) ‖ f ‖1≤‖ f ‖∞ .

1on ne demande pas d’établir ce résultat

207


2. Si fn est définie par fn(x) = xn, que vaut ‖ fn ‖1 ? En déduire qu’iln’existe pas de constante β telle que

∀f ∈ C([0, 1],R) ‖ f ‖∞≤ β ‖ f ‖1

3. Montrer directement en étudiant la suite (fn) que les normes ‖ ‖1 et‖ ‖∞ de C([0, 1],R) ne sont pas équivalentes.

4. Etudier la suite (fn) dans (C([0, 1],K), ‖ ‖2).


Exercice 5.20.Nous avons défini dans l’exercice 5.4 les normes ν1, ν2, ν3, ν4, ν5 et ν6, surl’espace vectoriel Rn[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n, :

ν1(P ) = sup0≤p≤n

| ap | ν2(P ) =

p=n∑p=0

| ap | ν3(P ) sup0≤t≤1

| P (t) |=

ν4(P ) =

∫ 1

0

| P (t) | dt ν5(P ) = (

∫ 1

0

| P 2(t) | dt)

1

2 ν6(P ) =| P (0) | + sup0≤t≤1

| P ′(t) |

a Montrer que ces normes sont équivalentes sur Rn[X].b Montrer ∀P ∈ R[X] :

ν1(P ) ≤ ν2(P )ν4(P ) ≤ ν5(P ) ≤ ν3(P ) ≤ ν2(P ) ≤ etν3(P ) ≤ ν6(P )

c Montrer que les normes ν1 et ν2, ν1 et ν3, ν5 et ν6, ν4 et ν5 ne sont paséquivalentes sur R[X]

d Trouver la plus petite valeur de β telle que ∀P ∈ Rn[X] :ν1(P ) ≤ ν2(P ) ≤ βν1(P )

208


5.4.3.3 Continuité-limite


Exercice 5.21.Soit k un réel positif, et a = (0, 0).1. Etudier la continuité en a de fk de R2 dans R définie par :

f(a) = 0

fk(x) =xk

1x2

x21 + x2

2

x = (x1, x2) 6= a

2. Etudier la limite en a de gk définie de R2 \ {a} dans R par :

gk(x) =xk

1x2 exp (x1 + x2)

x21 + x2

2

x = (x1, x2) 6= a

Indication : Utiliser la norme ‖ ‖2 en notant r = ‖x − a‖2 et en écrivantx = (x1, x2) = (rcost, rsint).

Exercice 5.22.2. Etudier si l’application f définie de R3 dans R par :

f(x, y, z) =x + y + z

|x|+ |y|+ |z| (x, y, z) 6= a

admet une limite en a = (0, 0, 0). 1. Montrer en utilisant l’inégalité deCauchy-Schwarz que :

|xy + yz + zx| ≤√

(x2 + y2 + z2)√

(y2 + z2 + x2)

2. Etudier si l’application g définie de R3 dans R par :

g(x, y, z) =xy + xz + yz

|x|+ |y|+ |z| (x, y, z) 6= a

admet une limite en a = (0, 0, 0).


Exercice 5.23.Soit f l’application définie sur R2 par :

f(x, y) =

{x2 sin

y

xsi x 6= 0

0 si x = 0

Etudier la continuité de f en un point de la forme (0, y).

209


Exercice 5.24.Soit f une application de R2 dans R. On suppose qu’il existe deux applica-tions u et v de R dans R, continues en 0 et telles que u(0) = 0 et v(0) = 0.

1. Montrer, en raisonnant par contraposée, que si l’application de R dansR, (t 7→ f(u(t), v(t)) est discontinue au point 0 alors f est discontinueau point a = (0, 0).

2. Montrer que l’application f2 de l’exercice (5.21) n’est pas continue ena = (0, 0) en choisissant convenablement les applications u et v.

5.4.3.6 pour aller beaucoup plus loin

Exercice 5.25.

1. Montrer que si f est une application lipschitzienne de rapport k de[0, 1] dans R, on sait définir :

F (x) =

∫ 1

0

f(xt)dt pour 0 ≤ x ≤ 1

2. Montrer que l’application F ainsi définie sur [0,1] prend la valeur f(0)en 0 et est continue en 0.

3. Vérifier que

x 6= 0 =⇒ F (x) =1

x

∫ x

0

f(t)dt

4. En déduire que F est continue sur [0,1]

5. L’application ϕ qui à f associe F est-elle linéaire ?6. ϕ est-elle continue de (C([0, 1]), ‖ ‖∞) dans (C([0, 1]), ‖ ‖∞) ?7. ϕ est-elle continue de (C([0, 1]), ‖ ‖1) dans (C([0, 1]), ‖ ‖∞) ?

Indications Pour 2. Majorer F (x)− ∫ 1

0f(0)dt.

Pour 7. Utiliser F (0) = f(0) et une suite (fn) qui tend vers l’application

nulle dans (C([0, 1]), ‖ ‖1).Exercice 5.26.Dans R[X] muni de la norme ‖ ‖2 définie par :

P =n∑

p=0

apXp 7−→‖ P ‖2=

√√√√n∑

p=0

a2p

210


On considère l’application ϕ de R[X] dans R définie par ϕ(P ) = P (1). Etu-dier la continuité de ϕ de (R[X], ‖ ‖2) dans (R, | |) en 0R[X].


Exercice 5.27.Soient f et g des applications de (E, ‖ ‖) dans (R, | |), montrer que si f et gsont continues alors il en est de même de sup(f, g).Exercice 5.28.Soient f une application de (E, ‖ ‖) dans (R, | |), montrer que si f est continueen a alors il existe un entier n tel que f soit bornée sur la boule de centre a

et de rayon1

n.

5.4.4 Ouverts, fermés, fermés bornés


Exercice 5.29.Précisez parmi les sous-ensembles suivants de R2 ceux qui sont fermés, ceuxqui sont ouverts.

1. le demi-plan {(x, y) ∈ R2/0 < y}.2. le demi-plan {(x, y) ∈ R2/0 ≤ y}.3. {(x, y) ∈ R2/y = mx} m réel donné.4. {(x, y) ∈ R2/xy = 1}.5. {(x, y) ∈ R2/x < 0 et − 1 ≤ xy}.6. {(x, y) ∈ R2/x < 0 et xy ≤ −1}.7. {(x, y) ∈ R2/x ≤ 0 et xy ≤ −1}.8. {(x, y) ∈ R2/ | 2x + 3y |≤ 1}.9. {(x, y) ∈ R2/2x2 + 3y2 ≤ 1}.

10. {(x, y) ∈ R2/(x = n−1, y = n−1) : n ∈ Z}.

Exercice 5.30. Montrer que :1. Toute partie de E incluse dans une partie bornée de (E, ‖ ‖) est une

partie bornée de (E, ‖ ‖).2. L’intersection de deux fermés A et B de (E, ‖ ‖) est un fermé de (E, ‖ ‖).3. En déduire que l’intersection d’un fermé A (E, ‖ ‖) et d’une boule fer-

mée B de (E, ‖ ‖) est un fermé borné de (E, ‖ ‖).

211



Exercice 5.31. distances à un fermé, à une droiteSoit A un fermé de R2 muni d’une norme ‖ ‖, a = (a1, a2) un élément de Aet y = (y1, y2) un élément de R2. On note B la boule fermée de centre y etde rayon ‖ y − a ‖.

1. Faire un dessin représentant A, a, y et B lorsque A est la droite vec-torielle {(x1, x2)/x2 = mx1}, a = (1,m) et y = (1, 0) et que la normechoisie est ‖ ‖2, puis lorsque la norme choisie est ‖ ‖∞.

2. Faire de même un dessin lorsque A = A1

⋃A2 où A1 = {(x1, x2)/ |x1| ≤

1} et A2 = {(x1, x2)/ |x2 − 2| ≤ 1}, a = (1, 2) et y = (2, 0).3. Montrer que l’application x 7→‖ x−y ‖ a un minimum sur A∩B atteint

en au moins un point z de A. La norme ‖ z − y ‖ est alors appelée ladistance de y à A notée d(y, A).Vérifier que ∀x ∈ A d(y, A) ≤‖ x− y ‖ et en déduire que

d(y, A) = minx∈A

{‖ x− y ‖ /x ∈ A}

4. Vérifier que d(y, A) est nul si et seulement si y ∈ A.5. Déterminer d(y, A) lorsque A est la droite vectorielle {(x1, x2)/x2 =

mx1}, a = (1, m) et y = (1, 0) et que la norme choisie est ‖ ‖2. Vérifierque, dans ce cas, z est défini de manière unique et est la projectionorthogonale de y sur le sous-espace vectoriel A.

6. Déterminer d(y, A) lorsque A est la droite vectorielle {(x1, x2)/x2 =mx1, a = (1,m) et y = (1, 0) et que la norme choisie est ‖ ‖∞.

7. Reprendre le second dessin et trouver une valeur de y pour lequel leminimum {‖ x − y ‖ /x ∈ A} est atteint en plusieurs points pour lanorme ‖ ‖2.


Exercice 5.32.En considérant les fermés In = [

1

n, +∞[, de R vérifier que la réunion d’un

nombre infini de fermés n’est pas nécessairement un fermé.

Exercice 5.33.Montrer que l’intersection d’une famille quelconque de fermés {Fi i ∈ J}de (E, ‖ ‖E) est un fermé de (E, ‖ ‖E).

212


Exercice 5.34.Soit (E, ‖ ‖) en espace vectoriel normé.

1. Montrer que toute partie finie de (E, ‖ ‖) est bornée.2. Montrer que toute partie A de (E, ‖ ‖) incluse dans une boule de centre

a et de rayon r > 0 est bornée.3. Montrer que si (xn) est une suite convergente de (E, ‖ ‖E) de limite a

alors {xn / n ∈ N} est un sous-ensemble borné de (E, ‖ ‖E). normé.

Exercice 5.35.Soit fn l’application de [0, 1] dans R définie par

fn(x) =

{n si x < n−3

x−13 si n−3 < x

Montrer que {fn/n ∈ N} est une partie non bornée de (C([0, 1],R), ‖‖∞), unepartie bornée de (C([0, 1],R), ‖‖1) et de (C([0, 1],R), ‖‖2).

5.4.5 Normes matricielles


Exercice 5.36.Sachant que ‖| |‖ est une norme matricielle induite par une norme de Rn,montrer que pour toute matrice A le rayon spectral ρ(A) de cette matricevérifie :

ρ(A) ≤‖| A |‖.

Exercice 5.37.Soit g et h les applications linéaires définies respectivement dans la base

canonique de R2 par les matrices1

2

[1 10 1

]et

[a ba b

]

1. Déterminer ‖| g |‖∞, ‖| g |‖2 et ‖| g |‖1

2. Déterminer ‖| h |‖∞, ‖| h |‖2 et ‖| h |‖1

Exercice 5.38.Soit f l’application linéaire de (R2,‖ ‖) dans (R2,‖ ‖) qui a pour matrice dans

la base canonique de R2, A =

[0 a0 1

].

213


1. Rappeler la définition de ‖| f |‖∞, ‖| f |‖2 et ‖| f |‖1.2. Calculer chacune des normes ‖| f |‖∞, ‖| f |‖2 et ‖| f |‖1 en fonction

de a et préciser si f est ou non contractante dans chacun de ces cas.3. Quelle est la limite de ‖| f |‖∞, ‖| f |‖2 et ‖| f |‖1 lorsque a tend vers

+∞ ?


Exercice 5.39. Conditionnement d’une matriceSoit f une application linéaire de R2 dans R2 de matrice carrée A dans labase canonique de R2. On adopte dans cet exercice les notations usuelles

f(x) = AX avec X =

(x1

x2

).

On rappelle l’expression de la norme de la matrice A notée ‖| A ‖|1 :

‖| A |‖1= max1≤j≤n

∑1≤i≤p

| aij |

qui est induite par la norme de vecteurs notée ‖ X ‖1= |x1|+ |x2|.1. Dans cette première question nous étudions le cas particulier où A =(

1 10000 1

)

(a) Calculer ‖| A ‖|1 ?(b) Montrer que A est inversible.(c) Calculer l’inverse A−1 de la matrice A et donner ‖| A−1 ‖|1 ?(d) On se donne B =

(1000

1

)et B′ =

(1000

0

). Résoudre les

systèmes AX = B et AX ′ = B′ .

Que valent δX =‖ X −X ′ ‖1

‖ X ‖1

et δB =‖ B −B′ ‖1

‖ B ‖1

?

2. On revient au cas général où A est une matrice quelconque inversible,B est non nul et où ‖ ‖ définit une norme sur R2. Etant données lessolutions X et X ′ de AX = B et AX ′ = B′, on se propose de comparer

l’accroissement relatif δX =‖X ′ −X‖‖X‖ de la solution en fonction de

celui δB =‖B′ −B‖‖B‖ du second membre de l’équation.

(a) Soit ‖| A ‖| la norme de la matrice A induite par la norme ‖ ‖,pourquoi a-t-on :

‖ B ‖≤‖| A ‖| · ‖ X ‖ ?

214


(b) Soit ‖| A−1 ‖| la norme de la matrice A−1 induite par la norme‖ ‖, pourquoi a-t-on :

‖ X ′ −X ‖≤‖| A−1 ‖| · ‖ B′ −B ‖?

(c) En déduire :δX ≤‖| A ‖| · ‖| A−1 ‖| δB.

(d) Que doivent vérifier ‖| A ‖| et ‖| A−1 ‖| pour que δX et δB aientle même ordre de grandeur ? Est-ce le cas de la matrice A étudiéedans la première question ?

Exercice 5.40. Méthode de JacobiEtant données une matrice carrée A de M,n(R) et une matrice colonne B deM1,n(R) , on se propose de résoudre l’équation AX=B par une méthode depoint fixe.On suppose écrit A=M+N où M est une matrice inversible dont l’inverse estfacile à calculer :

AX = B ⇔ (M + N)X = B ⇔ MX = −NX + B

MX = −NX + B ⇔ X = −M−1NX + M−1B

Dans la méthode de Jacobi, on suppose les coefficients diagonaux de A nonnuls et on choisit M=D où D est la matrice diagonale formée des termesdiagonaux de A :

AX = B ⇔ X = f(X) avec f(X) = JX + D−1B où J = D−1(A−D)

1. On prend

A =

[10 12 10

]et B =

[1112

]

2. On prend

A =

[1 1010 2

]et B =

[1112

]

– Dans lequel de ces deux cas peut-on appliquer la méthode de Jacobipour résoudre le système AX=B?

– Donner dans ce cas la solution exacte du sytème (1) puis détermi-ner les quatre premiers termes de la suite itérative obtenue par le

théorème du point fixe à partir de X0 =

[00

].

215


Indications Dans le premier cas

N =

[0 12 0

]et M−1 =

[10−1 0

0 10−1

]

J =

01

10

02

10

et ‖| J ‖|1= 2

10< 1

Exercice 5.41.

1. On dit que la matrice carrée A de coefficients (aij ) est à diagonalestrictement dominante si

∀i ∈ [1, n] | ai,i |<∑

1≤j≤n j 6=i

| ai,j |

– On rappelle que la matrice A est inversible, montrer en utilisantune norme induite convenablement choisie que dans ce cas on peutappliquer la méthode de Jacobi décrite ci-dessus.

– Appliquer cette méthode en partant du vecteur nul dans le cas

A =

−3 1 0 0−1 3 −1 00 −1 6 −10 0 −1 3

et B =

1919−3−12

Déterminer la solution exacte de ce système.Ecrire l’algorithme de Jacobi pour résoudre ce système avec Maple.La méthode de Jacobi converge-t-elle rapidement dans ce cas ?

2. On suppose A =

1 2 −21 1 12 2 1

. Déterminer le polynôme caractéristique

de A.Ecrire l’algorithme de Jacobi et vérifier qu’il donne dans ce cas la so-lution exacte en trois itérations.

Réponse :algorithme

with(LinearAlgebra) ;

216


V := Vector([0, 0, 0, 0]) ;E := Vector([-19/3, 19/3, -1/2, -12*1/3])

V :=

0

0

0

0

E :=

−193

193

−1/2

−4

M :=

0 1/3 0 0

1/3 0 1/3 0

0 1/6 0 1/6

0 0 1/3 0

for i from 1 by 1 while i< 10do V := MatrixVectorMultiply(M, V)+Eend do ;V

−37824578732

∼ −4.804

9039519683

∼ −4.592

−2235752488

∼ −.425

−5433713122

∼ −4.140

solution exactesolve(-3*x+y = 19, -x+3*y-z = 19, -y+6*z-t = -3, -z+3*t = -12,[x, y, z, t]) ;

[[x = −610127

, y = 583127

, z = − 54127

, t = −526127

]

[[x ∼ −4.803, y ∼ −4.590, z ∼ −0.425, t ∼ −4.142]]

217


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COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES Partie 1