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8/8/2019 cours-signaux

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Traitement du signalpartie II :

energie, puissance et corrlation

Prlude

Livres conseillsJ. Max & J.-L. Lacoume, Mthodes et techniques de traitement dusignal et applications aux mesures physiques (Masson, 1999)

F. Cottet, Aide-mmoire de traitement du signal (Dunod, 2000)

H. Press et al., Numerical recipes in C (Cambridge Univ. Press, 2007)

Pour me contacterThierry Dudok de Wit

[email protected]

Site web :

2

https://sites.google.com/site/telecombba/


2/34

Puissance, Energie

Lnergie (puissance) est une quantit importante dans le

traitement du signalToute transmission dinformation saccompagne de transfertsdnergie

Beaucoup de capteurs physiques mesurent une nergie ou unequantit quadratique

Exempleles capteurs optiques! mesure dune intensit

les bolomtres! mesure dune nergie

compteurs dlectricit! mesure dune nergie

3

W = u(t) i(t) dt = R i2(t) dt

Puissance, Energie

Dfinition : on appelle nergie dinteraction la quantit

et nergie (ou nergie propre) la quantit

Propritslnergie propre est toujours relle et ! 0

lnergie dinteraction peut tre complexe et < 0

ces quantits ne sont pas linaires, en gnral

4

Euv = u(t) v(t) dt

Eu+v = Eu +Ev

Eu = u(t) u(t) dt = |u(t)|2dt


3/34

Identit de Parseval

Une des relations fondamentales en traitement du signal estlidentit de Parseval (ou thorme de Parseval)

Si

Alors

5

x(t) X(f)

Ex =

+

|x(t)|2 dt =

+

|X(f)|2 df

Exy =+

x(t) y

(t) dt =+

X(f) Y

(f) df

Identit de Parseval

Interprtation : Lnergie est un invariant de la transformede Fourier ou encore Lnergie totale sobtient en sommant la

contribution de toutes les harmoniques

6


4/34

Exercice

Que vaut lintgrale

7

+

sinc2(u) du

Identit de Parseval

En raison de lidentit de Parseval, on sintresse souventdavantage la densit spectrale de puissance

quaux transformes de Fourier (X(f), Y(f)) elles-mmes

8

Sx(f) = |X(f)|2

R

Sxy(f) = X(f) Y(f) C


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Exemple

Les 4 satellites CLUSTER de lAgence Spatiale Europenne sontchacune quipes de capteurs magntiques qui mesurent les 3

composantes du champ magntique

Le dbit de transmission vers la Terre est limit ! on ne peutpas tout transmettre. Que choisir ?

9

Bx(t)

By(t)

Exemple

10

Spectrogramme du champ lectrique

enregistr par un des satellites Cluster dans la

magntosphre terrestre

Sxx(f,t)

time [hh:mm:ss]


6/34

Exemple

au lieu de transmettre les mesures brutes (Bx(t), By(t), Bz(t)),on effectue la transforme de Fourier

et on ne transmet que la matrice spectrale

qui est estime toutes les 0.1 sec

11

Sxx Sxy Sxz

Syx Syy Syz

Szx Szy Szz

Sxx(f )


7/34

Dphasage

La densit spectrale de puissance (ou spectre dinteraction)est utile pour calculer le dphasage entre 2 signaux

Exemple : si

alors

13

Sxy = X(f) Y(f) = |Sxy|e

jxy(f)

dphasage

x(t) = A cos(2f0t + 1)

y(t) = B cos(2f0t + 2)

xy(f0) = 1 2

Exercice

La mesure dun dphasage entre deux signaux u(t) et v(t) adonn un dphasage qui vaut

Quel dcalage temporel ya-t-il entre u et v ?

u(t) est-il en avance ou en retard sur v(t) ?

14

f [Hz] " [rad]

0.2 0.804

0.4 1.608


8/34

Exemple

15

! "! #!! #"! $!! $"! %!! %"! &!! &"! "!!!%

!$

!#

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#

$

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./012'34+

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(35'6

75'6

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!

$

%

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&

()*+,-

./012)

*304-

Encore faut-il savoir si, pour une frquencedonne, il existe un lien causal entre u(t) et v(t)! corrlation

16


9/34

Corrlation

Lautocorrlation= comparaison entre un signal et ses copies retardes

= indicateur de la dformation dun signal au cours du temps

Lautocorrlation possde la dimension dune puissance et

17

Cx() =

+

x(t) x(t ) dt

Cx(0) =

+

|x(t)|2

dt = nergie totale

Corrlation

Lautocorrlation satisfait toujours

pour un signal alatoire, elle tend vers 0 pour # grand

et cest une fonction paire

18

Cx(0) |Cx()|

Cx() = Cx()


10/34

Energie infinie

Que faire avec un signal dont lnergie diverge (par exemplesignal pridique) ?

Dans ce cas, lautocorrlation ne peut plus tre estime pourtoute valeur de # car

diverge

19

|x(t)|2 dt =

Cx() = +

x(t) x(t ) dt

Energie infinie

Dornavant, et sauf mention particulire, nous utiliseronslautocorrlation moyenne

elle possde la dimension dune puissance

20

Cx() = limT

1

T

+T2

T

2

x(t) x(t ) dt


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Exercice

calculez lautocorrlation des signaux suivants

21

x(t) = A sin(2f0t)

y(t) = B cos(2f0t)

Exemple : sinus

22

! " # $ % & '!"

!!(&

!

!(&

"

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01)2

!# !"(& !" !!(& ! !(& " "(& #!"

!!(&

!

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"

!*+,-./

301!

21456789:,-2


12/34

Exercice

calculez lautocorrlation du bruit blanc (processus alatoireavec valeurs successives indpendantes)

23

x(t) = (t) avec N(0,2)

Exemple : bruit blanc

24

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!#

!

#

%

()*+,-.

/0(1

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"

!)*+,-.

3/

0!10456789:+,1


13/34

Exercice

calculez lautocorrlation de

25

x(t) = A sin(2f0t) + (t) avec N(0,2)

Exemple : sinus + bruit blanc

26

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!#

!

#

%

()*+,-.

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!

!2&

"

!)*+,-.

3/0

!10456789:+,1


14/34

Exemple : signal carr

27

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!"

!

"

#

()*+,-.

/0(1

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!!2&

!

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"

!)*+,-.

3/

0!10456789:+,1

Priodicit

Bilan : La priodicit de la fonction dautocorrlationest gale celle du signal de dpart

28


15/34

Exemple : ECG

29

! !"# $ $"# % %"# & &"# ' '"# #!$!!

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2.

!!"3 !!"4 !!"' !!"% ! !"% !"' !"4 !"3!!"#

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05

6!789:;+,

Exemple : un autre signal ECG

30

! !"# $ $"# % %"# & &"# ' '"# #!(!

!'!

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0

12*+

34/

!$"# !$ !!"# ! !"# $ $"#!!"#

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15

6!7

89:3;


16/34

Exemple : oscillateur amorti

31

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3/

0!10456789:+,1

Exemple : milieu turbulent

32

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#

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3/0!10456789:+,1


17/34

Exercice

Quelle est la fonction dautocorrlation du signal priodiquesuivant ?

33

x(t) =

5 (t) si t = kT, k Z0 sinon

Exemple : milieu turbulent

34

! " # $ % & '!%

!#

!

#

%

()*+,-.

/0(1

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!

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"

!)*+,-.

3/0!10456789:+,1


18/34

Dure de corrlation

Le temps ncessaire pour que lautocorrlation tende vers 0est appel temps de dcorrlation

Ce temps de dcorrlation illustre la dure au-del de laquellele processus physique na plus de mmoire

35

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#

%

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3/

0!10456789:+,1

Processus mmoire

Beaucoup de processus physiques sapparentent des chanesmarkoviennes (ou processus de Markov)

Prenons un signal discrtis qui est constitu dune suite de

valeurs

Ces valeurs constituent une chane de Markov si

Chaque valeur est donc uniquement dtermine par celle quila prcde

36

{x(0), x(1), x(2), . . . , x(t)

P

x(t + 1) = a | x(0), x(1), x(2), . . . , x(t)

= P

x(t + 1) = a | x(t)


19/34

Processus mmoire

Parmi les processus mmoire les plus simples il y a lesprocessus dits autorgressifs

37

x(t + 1) = x(t) + (t) avec N(0,2)

t 0 1 2 3 4 5

$(t) -0.43 -1.66 0.12 0.29 -1.14 ...

x(t) 0 -0.43 -2.09 -1.97 -1.68

x(t+1) -0.43 -2.09 -1.97 -1.68 -2.82

Exemple : processus Markov(1)

38

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3/0

!10456789:+,1

a=0.9


20/34

Exemple

39

! "!! #!! $!! %!! &!!

!"!

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!

&

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"&

#!

#&

'()*+,-

./'0

(

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12!344

12!34&

12!3412!35

12!3#

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"

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$

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/01

!

2

)

)34$

34"%55

34"%56

34"%5

34"%7

34"%#

Exercice

Calculez la fonction dautocorrlation associe au processus deMarkov dcrit par

Dterminez successivement Cx(0), Cx(1), Cx(2), .... et trouvez partir de cela lexpression de Cx(#)

40

x(t + 1) = a x(t) + (t) N(0, 2)


21/34

Exemple

Fluctuations de temprature dans une soufflerie

41

!!"!#$ !!"!# !!"!!$ ! !"!!$ !"!# !"!#$!

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#

!)*+,-.

/0

1!2

!!"!#$ !!"!# !!"!!$ ! !"!!$ !"!# !"!#$#!

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#!!#

#!!

!&'()*+

,-

.!/

Exemple

Oscillateur harmonique amorti excit des intervalles detemps irrguliers (cloche frappe alatoirement)

avec comme excitation f(t)

Comment peut-on remonter aux valeurs de % et de &02 ?

42

x(t) + x(t) + 20x(t) = f(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [sec]

f(t)


22/34

Exemple

Le signal observ a lallure suivante :

Comment dterminer la priode et lamortissement si on neconnat pas lexcitation f(t) ?

43

! "! #! $! %! &!!%

!#

!

#

%

'()*+,-

./'0

Exemple

Nous avons

La solution de lquation homogne scrit

On sattend ds lors ce que lautocorrlation dcroisse (pour# petit) comme

44

x(t) + x(t) + 20x(t) = f(t)

x(

t) =

A et/2

cos(0t

+ )

Cx() et/2 cos(0t)


23/34

Exemple

45

!!" !#$ !#" !$ " $ #" #$ !"!#

!"%$

"

"%$

#

!&'()*+

,-

.!/.0123456()/

&

&3)(72)

318)5)

Conclusion : lautocorrlation permet de remonter auxparamtres du systme sans mme connatre en dtaillexcitation

Application

Lautocorrlation est utile pour dtecter un signalpriodique noy dans du bruit

Si

Alors

o est nul sauf pour de petits #

Donc pour |#| > #0, on peur poser

46

y(t) = x(t) + (t) N(0,2)

Cy() Cx() + C()

C()

Cy() Cx()


24/34

Application

47

! "!! #!!! #"!! $!!!$!

!#!

!

#!

$!

%&'()*%

)+,-./0

1%2

!$!! ! $!!!#

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!

!3"

#

4&%.45*!

60

1!2

*

signal priodique + bruit

Application

48

! "!! #!!! #"!! $!!!!$!

!

#!

!

#!

$!

%&'()*%

)+,-./01%2

!$!! ! $!!!#

!!3"

!

!3"

#

4&%.45*!

60

1!2

!$!! ! $!!!!3#

!!3!"

!

!3!"

!3#

4&%.45*!

60

1!2


25/34

Intercorrlation

la notion dautocorrlation se laisse aisment gnraliser 2variables

Lintercorrlation (cross-correlation) se dfinit comme

Pour un signal dnergie infinie, on prendra

49

Cxy() =

+

x(t) y(t ) dt

Cxy() = limT

1

T

+T2

T

2

x(t) y(t ) dt

Intercorrlation

Interprtation : Lintercorrlation entre x(t) et y(t) atteint unmaximum pour un retard # si x(t)'y(t-#)

Exemple : deux signaux diffrents, qui se ressemblentnanmoins

50

! "!! #!! $!! %!! &!!!'

!%

!#

!

#

%

()*+,-.

/0(12

30(1

)

)/0(1

30(1


26/34

Intercorrlation

Les signaux se ressemblent le plus quand y(t) est dcal de 12secondes

51

!!"" !#$" !#"" !$" " $" #"" #$" !""!"%!

"

"%!

"%&

"%'

"%(

#

!)*+,-.

/0

1!2

!=12 [sec]

Intercorrlation

Confirmation

52

!"" #"" $"" %"" &"" '""!%

!#

"

#

%

()*+,-.

/0(12

30(1

)

)/0(1

30(1

!"" #"" $"" %"" &"" '""!%

!#

"

#

%

()*+,-.

/0

(12

30(1

)

)/0(1

30(1)4,-56,

Signaux initiaux

Idem, avec y(t)

dcal de 12 sec.


27/34

Intercorrlation

Exemple : deux composantes du champ magntique dans lamagntosphre terrestre (donnes du satellite AMPTE)

53

! "! #!! #"! $!! $"!!#!

!"

!

"

#!

%&'()*+

,

'-.+

&

&,

/

,0

!1! !2! !$! ! $! 2! 1!!!32

!!3$

!

!3$

!32

!&'()*+

4,,

5!6'-.$+

Intercorrlation

Question importante : partir de combien la valeur

de lintercorrlation (ou autocorrlation) peut-elletre considre comme significative ?

Ou encore : peut-on normaliser ces quantits ?

54


28/34

Exercice

On considre les paires de signaux (x,y) et (x,y) avec

Comparez les fonctions dintercorrlation

55

x

(t) = x(t) + a x = 0

y(t) = y(t) + a y = 0

Cxy() Cxy()

Effet de la moyenne

Si on calcule la corrlation de signaux de moyenne non-nulle,alors une constante vient sajouter aux rsultats

Si

Alors

56

x(t) = x(t) + a x = 0

y(t) = y(t) + a y = 0

Cx() = Cx() + a

Cxy() = Cxy() + ab


29/34

Effet de la moyenne

Dans la pratique, avant de calculer la fonction dauto/intercorrlation, on recentre toujours le signal en soustrayant

sa moyenne

Dans ce cas, on peut montrer que linter/autocorrlation

(normalise par la dure) au retard nul est gale la co/variance

57

Cx() Cx() ou x = x x

Cxy() Cxy() ou x = x x, y = y y

Cx(0) = limT

1

T

+T/2T/2

|x(t)|2 dt = 2x

Cxy(0) = limT

1

T

+T/2T/2

x(t)y(t) dt = xy

Normalisation

Dans la pratique, on normalise toujours les auto/intercorrlations pour avoir des valeurs bornes.

Pour lautocorrlation, comme nous avons

on posera

Pour un signal x(t) de moyenne nulle, ceci quivaut

et on a58

|Cx()| Cx(0)

Cx() Cx()

Cx(0)

Cx()

Cx()

2x

0 |Cx()| 1


30/34

Normalisation

Pour lintercorrlation, lingalit de Schwartz implique

et on posera alors

Pour un signal x(t) de moyenne nulle, ceci quivaut

et on a59

|Cxy()|2

Cx(0)Cy(0)

Cxy() Cxy()

Cx(0)Cy(0)

Cxy() Cxy()

xy

0 |Cxy()| 1

Ne les confondez pas !

Corrlation

Convolution

60

Cxy() =

+

x(t) y(t ) dt

(x y)() =

+

x( t) y(t) dt

= +

x(t) y( t) dt


31/34

Application : identification de la rponse impulsionnelle

61


Considrons un systme linaire rgi par lquation

62

x(t)

y(t) = h(t) x(t)

Cxy() =?


32/34


Nous avons

63

Cyx() =

+

y(t) x(t ) dt

=

+

[h(t) x(t)](t) x(t ) dt

= h() +

x(t) x(t ) dt

= h() Cx()


Si le signal dentre est un bruit blanc, alors

64

Cx() = () Cyx() = h()

x(t) = bruit blanc

Cxy() = h()


33/34

Un thorme important

65

Thorme de Wiener-Khintchine

Selon le thorme de Wiener-Khintchine, la transforme deFourier de la fonction dautocorrlation dun processusalatoire est gale sa densit de puissance spectrale

Si

et

alors

66

x(t) X(f)

Cxx() =

x(t)x(t ) dt

Cxx() |X(f)|2


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Exercice

Calculez la fonction dautocorrlation dune suite de variablesalatoires indpendantes (moyenne) nulle

Dterminez ensuite sa densit de puissance spectrale

67

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