Cours St Etienne 2008 Partie 1

Choix individuel dans lincertain

Cours 3 et 4 Avril 2008

Plan

1. Introduction2. Risque3. Choix dans lincertain

Valeur de linformation4. Valeur de linformation

Rfrences

Notes de cours de I Gilboa :

http://www.tau.ac.il/~igilboa/pdf/Gilboa_Lecture_Notes.pdf

The History of Thought Website

http://cepa.newschool.edu/het/

Dcision dans le risque et l'incertain: l'apport des modles non-Dcision dans le risque et l'incertain: l'apport des modles non-

additifs, M. Cohen & J.M. Tallon, Revue d'Economie Politique,

N110(5), 2000, pp.631-681.

http://eurequa.univ-paris1.fr/membres/tallon/tallon.htm

1 Introduction

La porte de ce domaine de recherche

Prcurseurs (Daniel Bernoulli (1738), Knight (Risk, Uncertainty

and Profit 1921), Keynes (A Treatise on

Probability, 1921), Ramsey (1926),

Les fondateurs de Finetti (1937), von Neumann Les fondateurs de Finetti (1937), von Neumann

Morgenstern (1944), Savage (1954)

Les paradoxes et les modles alternatifs Allais (1953), Ellsberg

(1961), Kahneman Tversky (1979) Gilboa Schmeidler

(1989)

Enjeux

Quest ce que lincertain?

Comment reprsenter un problme de dcision dans lincertain?

Quel comportement? Quel comportement?

Quelles croyances?

2 . Risque

Le paradoxe de St Ptersbourg

Modle desprance dutilit

Caractrisation des comportements (Aversion au risque...)

Applications

Paradoxes et modles alternatifs Paradoxes et modles alternatifs

Question sur la rationalit

Le paradoxe de St Ptersbourg

Lesprance de gain (Pascal)

Le paradoxe : on lance une pice jusqu obtenir pile. Si besoin

de n tirages, alors le gain est de Euros. Combien doit-on payer

pour jouer ce jeu?

Solution de D Bernoulli : Solution de D Bernoulli :

Esprance dutilit avec utilit marginale dcroissante

Consentement payer fini

Modle desprance dutilit (1)

Dfinition des loteries

Ensemble fini de consquences

Distribution de probabilits avec

Mixage des loteries

Modle desprance dutilit (2)

Axiomatique de von Neumann Morgenstern

Relation de prfrence

Axiomes

A1 : Prordre partiel

A1 : Prordre partiel

A2 : Continuit

A3 : Indpendance

Thorme de reprsentation

Unicit

Exemple

Caractrisation des comportements

Pour des gains montaires

Prfre plus : utilit croissante dans les gains

Prfre la certitude de lesprance de gain dune loterie la loterie Prfre la certitude de lesprance de gain dune loterie la loterie

Prime de risque

Caractrisation Aversion au risque

Aversion au risque quivalent u concave

Dominance stochastique au 2nd ordre

Comparaison de deux loteries de mme esprance de gain

Probabilit

0-50 50 100

0,25

0,5

Gain


Etalement de probabilits moyenne constante

(Mean Preserving Spread)

0-50 50 100

0,25

0,5 0,25 0,25


En termes de fonction cumulative

1

0,75

0-50 50 100

0,25

0,5


Dfinition : la fonction cumulative F domine G au sens de la

dominance stochastique seconde si pour

tout


Prfrence pour la dominance stochastique seconde quivalent

la concavit de la fonction dutilit

Mesure de laversion au risque (Arrow-Pratt)

Comparaison entre agents : quivalence entre

1) Lagent A paye des primes de risque plus leves que lagent B

2) La fonction dutilit de lagent A est une transformation

concave de la fonction dutilit de lagent B

A a un coefficient daversion absolu au risque suprieur celui 3) A a un coefficient daversion absolu au risque suprieur celui

de lagent B

4) A a un coefficient daversion relatif au risque suprieur celui

de lagent B

Fonctions CARA :

Fonctions CRRA :

Applications

Choix dassurance

Optimalit du contrat avec franchise

Prime dassurance

Franchise

Applications

Barsky et alii (1997)

Paradoxes

Paradoxe de Allais (1953)

Common ratio effect : choix entre A et B et entre C et D

4000 E 4000 E0,8 0,2

A

0 E

3000 E3000 E

0 E

0 E

0,25

0,75

0,8

1

0,2

A

B

C

D

Modles alternatifs

Introduction dune fonction de distorsion de probabilits

Modle dutilit dpendant du rang (RDU ou RDEU)

Condition

Voir galement Cumultative Prospect Theory (Kahneman -

Tversky)

Fonction de distorsion de probabilits

Violation du modle EU et rationalit

Quel choix dans le problme squentiel suivant 4000 E

3000 E

0,2

1

0,2 0 E

0,8

0 E

3000 E

3999 E

0 E0,8

0,8

0,2

2 . Choix dans lincertain

Formalisation

Modle de desprance dutilit avec probabilits subjectives

Paradoxes et modles alternatifs Paradoxes et modles alternatifs

Applications (sminaire)

Question sur la rationalit

Formalisation

Comment reprsenter un problme de choix dans

lincertain?

Jouer au d

Faire une omelette

Prendre son parapluie

Partir en vacances

Dfinir les choix possibles, les vnements possibles et

les consquences

Mettre des probabilits sur les

vnements?

Equiprobabilit selon un principe dindiffrence?

Approche de Finetti Approche de Finetti

Le problme de Linda

Dfinition des actes

Actes comme fonction de lensemble des tats du

monde dans lespace des consquences

Sparation tats du monde consquences Sparation tats du monde consquences

Indpendance des tats du monde par rapport aux actes

Paradoxe de Newcomb

La situation comporte un joueur et un devin capable de prvoir le choix du

joueur. Deux botes A et B sont prsentes au joueur. Ce dernier a le choix entre

prendre le contenu de la bote A et prendre le contenu des botes A et B. Au

pralable, le devin a rempli les botes ainsi : la bote B contient toujours 100 , et

le contenu de la bote A est dtermin ainsi : si le devin a prdit que le joueur

prendrait seulement la bote A, elle contient 1000 , mais elle ne contient rien si

le devin a prdit que le joueur prendrait les deux botes. Le joueur garde le

contenu des botes la fin du jeu.

Lorsque le joueur choisit, il est conscient des rgles du jeu, notamment des deux

contenus possibles de la bote A, le fait que ce contenu dpend de la prdiction

du devin, et que le devin est infaillible. La seule information inconnue du joueur

est la prdiction du devin et donc le contenu de la bote A.

Paradoxe de Newcomb

1000 E Rien

A et B 1100 E 100 E

A 1000 E 0 E

Modle de Savage

Paradoxe dEllsberg

Dans une urne, on place 90 boules, dont 30 sont rouges. Les boules

restantes sont jaunes ou noires, leur distribution est inconnue.

Les personnes soumises au test parient :

Pari A : Qui tire une boule rouge gagne (par exemple 10 ), les

boules jaunes et noires tant perdantes.

Pari B : Qui tire une boule jaune gagne, les boules rouges et noiresPari B : Qui tire une boule jaune gagne, les boules rouges et noires

tant perdantes.

Et puis on change les paris de telle manire que dans les deux cas,

les boules noires soient dsormais gagnantes :

Pari C : Qui tire une boule rouge ou noire gagne , les boules jaunes

tant perdantes.

Pari D : Qui tire une boule jaune ou noire gagne , les boules rouges

tant perdantes.

Paradoxe dEllsberg

Paris sur A et D reprsentent une violation de P2

Expriences rpts

Interprter comme une aversion lambigut

Modles alternatifs

Introduction de mesures de croyance non probabiliste

Esprance dutilit la Choquet (Schmeidler 1989)

Modle Maxmin EU (Multi Prior) par rapport une

famille de probabilits (Gilboa - Schmeidler 1989)

Modle Maxmin EU

Caractrisation de laversion

lambigut Article Attitude toward imprecise

information (Hayashi, Gajdos, Tallon, Vergnaud) JET

forthcoming

Pour autres approches, voir rfrences et discussion

dans lintroduction

Information imprcise

Prfrences exprimes sur des actes associs une

famille de probabilits : (P,f)

Ellsberg : urne deux couleurs Ellsberg : urne deux couleurs

Parier sur Noir dans urne connue :

({(.5,.5)};f) avec f donne 1 dans ltat 1 et rien sinon

Parier sur Noir dans lurne inconnue :

((1,2);f)


Prfrences pour lurne connue

({(.5,.5)};f) ((1,2);f)


Question ouverte : do viennent ces familles de

probabilits

Incertitude scientifique : experts en

dsaccord, hypothses et modles alternatifsdsaccord, hypothses et modles alternatifs

Base de donnes incomplte

Reprsentation des prfrences

Un axiome (parmi dautres)

Comparaison daversion

limprcision

Caractrisation

Violation du principe de la chose sure et

rationalit

Rappel du paradoxe: une urne avec 3 boules, 1 Rouge, les deux autres Noire ou Jaune

Prfre parier sur Rouge plutt que sur Jaune et Non Rouge plutt que Non Jaune

Choix squentiel

Parier sur RR

J

Gain

0n1

Avant de parier, on propose de tirer la boule et de donner une

indication sur la couleur de la boule tire Elle est noire ou

Elle nest pas noire

Non noire

Noire

Parier sur J

Parier sur R

Parier sur J

J

R

JN

N

Gain

0

0

0

0

n1

n2

Choix squentiel

Quel choix en n1? Parier sur R?

Linformation napporte rien par rapport parier sur rouge tout

de suite

Parier sur RR

J

Gain0n1

Non noire

Noire

Parier sur J

Parier sur R

Parier sur J

JR

J N

N

Gain

00

0

0

n1

n2

Choix squentiel

Quel choix en n1?

Parier sur Non JauneR

J

Gain

0n1

Non noire

Noire

Parier sur Non Rouge

Parier sur NJ

Parier sur NR

J

R

JN

N

Gain

0

0

Gain

Gain

n1

n2

Choix squentiel

Quel choix en n1? Consquentialisme revient considrer

que cest le mme problme que prcedemment


J

Gain

0n1

Non noire

Noire


Parier sur NJ

Parier sur NR

J

R

JN

N

Gain

0

0

Gain

Gain

n1

n2

Choix squentiel

Dans ce cas, avec info, cela revient Parier sur Non Jaune alors

que lon prfrait Parier sur Non Rouge : refuse linformation?


J

Gain

0n1

Non noire

Noire


Parier sur NJ

Parier sur NR

J

R

JN

N

Gain

0

0

Gain

Gain

n1

n2

Recueil dexercices sur la

dcision dans lincertain

Documents

Cours St Etienne 2008 Partie 1