Cours Statique

8/18/2019 Cours Statique

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EMSI -Rabat

Notes de cours

Mécanique des fluides 1Statique - cinématique

Mourad TAHA-JANAN

Férier - !"1#


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!

I-1- Notion de fluide :

La matière, comme on le sait, est constituée de particules en grand nombre, ce qui lui confère unestructure discontinue (discrète); mais en mécanique des milieu continus, dont la mécanique desfluides fait partie, on considère que la matière a une structure continue! "onc un fluide est unmilieu, ou corps matériel, continu, qui peut s#écouler et se déformer! Nous dirons qu#un fluide estun milieu continu, déformable et sans rigidité, c#est $ dire que sa déformation ne nécessite pas degrands efforts!

Fluide est solide

%luide et solide sont des milieu continus, mais dont les structures, et par conséquence lescomportements, ne sont pas identiques! &ne première approc'e pour différencier entre fluide et

solide est de dire qu#un fluide n#a pas de forme propre et peut ainsi s#écouler et prendre la formede l#espace qui le contient alors qu#un solide, par contre possède une forme propre et ne peut pass#écouler! &ne approc'e plus fine, au nieau des particules constituant ces deu états de lamatière consiste $ faire la différence suiante :

- dans un solide, les particules sont solidement attac'ées entre elles et le mouementrelatif de ces particules nécessite de grands efforts!

- dans un fluide, les particules ont la liberté de mouements relatifs; ce qui implique leursdéformation sous les moindres efforts et leur coulabilité!

$iquides et %a&

Les fluides renferment deu grades classes : les ga et les liquides

Les fluides prennent la forme de l#espace qui les contient, mais une différence peut *tre notéeentre ga et liquides : les premiers occupent tout le olume qui leur est offert alors que lesliquides ont, en première approimation un olume propre! +utrement dit les ga sontsusceptibles de compression et d#epansion alors que pour les liquides, tant qu#ils ne subissent pasde grandes ariations de pression ou de température, leur olume ne arie pas!

"ans ce qui suit, on n#aura pas $ considérer des conditions dans les lesquelles il auraitcompressibilité des liquides! our tout fluide considéré, que ce soit un liquide ou un ga, nousadopterons quelques 'pot'èses qu#on déeloppe ci-après!

I!.! /pot'èses générales

a. Continuité : 0omme on l#a u auparaant, nous considérons un fluide comme étant un milieu continu, ce quinous permet de considérer et définir en tout point du fluide, et $ c'aque instant t, unegrandeur ou propriété de celui-ci (pression, température,!!!!!!); et sauf dans le cas de singularités,ces propriétés qu#on peut écrire en fonction de l#espace et du temps f(,t) ou si l#on considèreune repère (2,,,), f(,,,t) sont continues ! 3out au moins, l#'pot'èse de continuité ne nousemp*c'e pas de considérer, en cinématique, que le fluide est formé par un ensemble de points

matériels, ou particules fluides, animés c'acun d#un mouement de itesse V

r

!

'( ) I -*ENERA$ITES


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#

Remarque :

Il eiste des situations o4 il a des discontinuités (éolution d#interfaces entre deu fluides nonmiscibles, c'ocs5)! 0es situations supposent tou6ours la continuité des milieu fluides, lesdiscontinuités sont obserées au nieau des propriétés et grandeurs de ce tpe d#écoulements!

b. Isotropie : 2n dit qu#un milieu est isotrope si aucune direction dans ce milieu n#est priilégiée; c#est $ direque si l#on considère une propriété quelconque du milieu en un point donné, sa aleur ne dépendd#aucune orientation! 0omme 'pot'èse générale; on admettra l#isotropie des fluides que l#onétudiera!

c. Homogénéité : 7n général, on aura affaire $ des fluides 'omogène, c#est $ dire dont la constitution est la m*me

en tout point dans un domaine fini déterminé+

I!8! ropriétés des fluides

a. Masse volumique :

La masse olumique d#une substance, généralement notée ρ, est définie comme étant le rapportde la masse d#une quantité de cette substance au olume de cette m*me quantité !

ρ = m

V ,nité ) lunité SI et le .%/m#+

La masse olumique dépend de plusieurs facteurs tels que la température et la pression! our lesliquides, la masse olumique arie très peu sur de larges interalles de ariations de températureet de pression et nous pouons la considérer comme constante dans la plupart des cas que l#ontraitera! ar contre, la masse olumique d#un ga est très sensible au ariations de température etde pression! Le tableau de l#annee +1 donne des eemples de aleurs de la masse olumique dequelques substances et milieu!

b. Volume massique :

Le olume massique, inerse de la masse olumique, est le rapport du olume d#une quantitédonnée $ sa masse :

v V

m= =

1

ρ ,nité ) m # / 0%

c. Poids volumique :

Le poids olumique d#une substance, noté est le rapport du poids d#une quantité de cettesubstance $ son olume, c#est $ dire son poids par unité de olume!

ϖ ρ = = = P

V

M

V

g g. ,nité ) N / m #


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d. Densité :

La densité d#une substance, par rapport $ l#eau, est le rapport de la masse d#une quantité de cettesubstance $ la masse du m*me olume d#eau :

d mm

mV

V m

f

eau

f

eau

f

eau

= = × = ρ ρ

9emarques :

1! "ans la définition ci-dessus, nous aons défini la densité par rapport $ l#eau! 2n peutdéfinir la densité par rapport $ n#importe quelle autre substance! /abituellement, lesdensités des solides et des liquides sont définies par rapport $ l#eau tandis que les densitésdes ga sont définies par rapport $ l#air!

.! La densité d#une substance par rapport $ l#air peut *tre eprimée par la formule

.

d =

étant la masse molaire de la substance considérée, eprimée en grammes! 0ette formuleapproc'e la densité étant donné que l#on suppose qu#une mole de ga, quelque en soit lanature occupe le m*me olume (..! litres)! 2n a alors :

airairairair

cetansubs


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2

+nnee 1 : Exemples de masses volumiques )

Substances Masse olumique en 0%/m # Es3ace inter3lanétaire 1"-14 5 1"-!1

H6dro%7ne 5 89' et 1 atm :;" < 1"-! Air 5 89' et 1 atm 1;#

1""9' 1 atm ";:289' 2" atm =;2

Acétone >:"*a&oil 5 129' 4!"-42

Eau ) "9' et 1 atm 1"""1""9' 1 atm :24"9' 2" atm 1""!

Fréon 1#>" ? 1:"

@' 114" $aiton 4>" Mercure 1#=""- No6au duranium 1"B1>


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=

I. Introduction : Objet de la statique des fluides

La statique des fluides a pour but d#étudier les fluides au repos ou en équilibre! 0ette étudedébouc'e sur l#action de fluides sur des parois solides, ce qui a d#innombrables applications,notamment dans le calcul de mécanismes 'drauliques, de réseroirs, de barrages, de corpsflottants!!!!etc!

La statique des fluides peut *tre abordée de deu fa?ons différentes :

- en considérant l#équilibre d#un élément de olume!- en considérant, dans les équations générales de la mécanique des fluides, que la itesse

du fluide est nulle partout dans le domaine occupé par le fluide!

Nous allons adopter la première approc'e, et nous reiendrons, après aoir établi les équationsgénérales de la mécanique des fluides pour montrer, $ titre indicatif, comment retrouer leséquations de la statique des fluides!

II. Classification des forces agissant sur un fluide : Forces de surface, forces de volume.

0omme en mécanique générale, on classifie lesforces agissant sur un sstème en parlant deforces $ distance et forces de contact, ici, en

mécanique des fluides on fait de m*me! Lesstème considéré est un élément de olumedélimité par une surface @; que l#on isole, par lapensée, du reste du domaine fluide étudié!

Les forces agissant sur le fluide sont :

- des forces eercées par les particules fluides entre elles, mais parmi ces forces, celles quisont intérieures $ (@) s#annulent entre elles d#après le principe de l#action et de la réaction! Il nereste donc de ces forces que celles qui sont transmises par la surface (@) délimitant l#élément de

olume : ces forces sont appelées forces de surface et elles sont proportionnelles $ l#élément de

surface sur lequel elles s#eercent;- des forces eercées par des c'amps de forces etérieures au domaine τ (forces $

distances) et qui sont eercés sur toutes les particules contenues dans l#élément de olume τ : cesont des forces de olume proportionnelles $ celui-ci!

III. Pression en un point d'un fluide

Il eiste une différence fondamentale dans la fa?on dont une force de surface agit sur un fluide etsur un solide en équilibre! our un solide, il n#a a pas de restrictions sur la direction d#une telleforce, tandis que pour un fluide, la force de surface doit tou6ours aoir une direction normale $

l#élément de surface sur lequel elle s#eerce! 0eci parce qu#un fluide au repos ne peut supporter

@

ττττ

'( )II ?STATIC,E DES F$,IDES


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>

une force tangentielle, autrement les surfaces fluides glisseraient les unes par rapport au autresdu fait de l#absence de rigidité dans un fluide, et l#équilibre ne pourrait donc aoir lieu!

Il conient alors de décrire la force agissant sur un fluide en parlant de pression p qui est définiecomme étant le rapport de la force normale eercée sur un élément de surface par unité d#aire! La

pression est transmise au parois solides ou $ traers des sections quelconques de fluidesnormalement $ celles-ci en tout point!

&n fluide eerce une force sur toute surface aec laquelle il est en contact! 0onsidérons unesurface fermée @ entourant un olume de fluide!

@oit un élément de surface entourant un point de (@)! @i le ecteur normal $ cet élément desurface est n

r

, la force eercée par le fluide sur

∆@ aut :

SnpF ∆=∆ r

r

Fr

∆ et nr

∆r

F aant la m*me direction p est une grandeur scolaire qui s#écrit :

p F

S =

∆

∆

La pression ainsi définie pourrait dépendre de la forme de l#élément de surface c'oisi! our éitertoute confusion, considérons un élément infinitésimal contenant et considérons que cetélément tend ers le point ; ainsi la pression en est donnée par :

p

F

S S = → lim∆

∆

∆0 ou encore :

p dF

dS =

La pression peut arier d#un point $ l#autre sur la surface!

7n conclusion, nous pouons donc définir la pression en un point d#un fluide comme étant unegrandeur scalaire qui ne dépend que de la position du point !

&nité de la pression0omme la pression est définie comme étant une force par unité de surface (ou contrainte), l#unité@I est le N=mA ou le ascal : 1N=mA > 1 a!

+utres unités :

B @stème 0C@ la bare 1 bare > 1 dne = cm. B La bar 1 bar > 1D bares > 1DE a!B mm d#eau 1mm d#eau > ,F1 a!B L#atmosp'ère 1 atm > 1,D18 1DE a

1 atm > 1,D18 barB mm de mercure 1 atm > GHD mm /g!

∆@nr


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4

9emarque :Le ascal est une unité très petite par rapport au aleurs usuelles de la pression, on utilisesouent d#autres unités, notamment le bar o4 l#atmosp'ère, mais on retiendra que ce ne sont pasdes unités eprimés dans le sstème @I!

I! "#drostatique : statique d'un fluide incompressible dans le c$amps de la pesanteur :

"ans tout ce qui suit nous placerons dans le cas ou le fluide étudié est incompressible, etnous considérons qu#il est soumis $ la seule action du c'amp de pesanteur! Il s#en suit que :

• ρ > cte!

• Le c'amps de forces (forces de olume) se réduit en tout point au ecteuraccélération de la pesanteur; on a alors pour tout point du domaine fluide :

g M F r

r

=)(

2n notera ' la cte d#un point quelconque $ partir d#un plan 'oriontal de référence('>o)!

La distribution de la pression, dans un fluide incompressible, en équilibre dans le c'amps de

pesanteur s#écrit : conste p =+= Up* ρ

La quantité pB est appelée 3ression motrice! Les isobares qui sont aussi des surfaceséquipotentielles sont, dans le cas de l#'drostatique, définis par p> 0te et sont donc données par'>cte!

Les isobares sont des plans 'oriontau qui sont les équipotentielles du c'amp de la pesanteur!

"ifférence de pression entre deu points d#un m*me fluide en équilibre statique : rincipede ascal :

@oient deu points et N dans un fluide au repos, situés sur deu plans 'oriontau de ctesrespecties ' et 'N! 7crions l#équation fondamentale de lJ'drostatique; si et N sont lespressions respecties en et N :

lan de référence : ' > D

'

lan de référence : ' > D

N'

'N

'N


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:

N N M M gh pgh p ρ ρ +=+

équation que l#on peut écrire aussi :

MN N M M N ghhhg p p ρ ρ =−=− )(

0ette équation donne la différence de pression entre deu points et N $ . ctesdifférentes de 'N!

0ette différence de pression ne dépend, pour . points donnés, que de la nature du fluidepar le biais de son poids olumique ; elle est égale au poids d#une colonne de fluide de sectionunitaire séparant les deu points, ce qui nous amène $ la conclusion suiante :

&ne ariation de pression ∆p en produit m*me ariation de pression ∆p en N;autrement dit; Kdans un fluide incompressible, toute ariation de pression est transmise

intégralement $ toute portion de fluide et au parois aec lesquelles il est en contactK! 0etteconclusion est appelée communément principe de ascal!

3outefois, nous supposons souent que les liquides sont incompressibles alors qu#en faitils sont sensiblement compressibles! 0eci implique que toute ariation de pression subie par uneportion de fluide se propage dans le liquide comme une onde $ la itesse du son dans ce liquide!&ne fois que la perturbation est amortie et l#équilibre rétabli, le principal de ascal est alors

alable!

@urface libre d#un liquide au repos :

La surface libre d#un liquide est 'oriontale, en fait comme cette surface est en contactaec une pression uniforme (en général la pression atmosp'érique), elle constitue une isobare etpar conséquent elle est 'oriontale!

9emarque :7n fait, cela dépend de l#étendue de cette surface! @i l#on tient compte du p'énomène de tensionsuperficielle, un ménisque se forme (figures ci-dessous) et tout près des parois, la surface libreprésente une courbure due $ la formation du ménisque!

@urface de séparation entre deu fluides non miscibles et de densités différentes :


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1"

@oient deu fluides non miscibles de densités différentes contenues dans un m*me ase etconsidérons leur surface de séparation comme une surface quelconque :

@oient deu points et N de cette surface! 7n considérant ces points comme étant dansle liquide 1, on peut écrire :

hg p p N N ∆=− 1 ρ

7n considérant ensuite que ces deu m*mes points appartiennent au liquide . (ce qui est logiquepuisqu#ils appartiennent $ la surface de séparation, commune entre les deu liquides), on a :

hg p p N N ∆=− 2 ρ

Les deu epressions ci-dessus permettent d#écrire :

hghg ∆=∆ 21 ρ ρ

ou encore :

0)( 21 =∆− hg ρ ρ

or, on a supposé que 21 ρ ρ ≠ , et don nous aons forcément ∆' > D, quels que soient et N dela surface de séparation! 3ous les points de cette surface sont donc situés $ la m*me altitude etforment donc une surface plane 'oriontale!

. Forces de pression sur une paroi :

@oit une surface @, en contact aec un fluide! Nous saons que ce fluide eerce des forces depression sur cette surface; un élément de surface d@ est soumis $ une force élémentaire de

pression F d r

qui lui est normale et qui aut dS n pF d r

r

= , nr

étant le ecteur normal unitaire $ la

paroi au point entouré par l#élément de surface d@ orienté ers l#etérieur par rapport au fluide!

"ans le cas général, la résultante des forces de pression sur @ est donnée par l#intégration desforces élémentaires, soit :

∫∫= S dS n pF r

r

0ette résultante aut, si l#on considéré que la surface non mouillée de celle-ci est $ une pressionpe, et si l#on tient compte de l#action de cette pression :

∫∫ −= S ex dS n p pF r

r

)(

7n général pe > patm l#on peut écrire :

∫∫=S

e dS n pF r

r

Liquide 1

Liquide .

N

∆'


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11

o4 pe est la pression effectie sur la paroi!

@i de plus de fluide possède une surface libre $ la pression pe et que l#élément d@ est $ uneprofondeur de cette surface libre :

gz pe ρ =

"ans ce dernier cas, la résultante des forces de pression effecties aut alors :

∫∫= S dS ngzF r

r

ρ

a= %orces de pression qui une paroi plane - centre de poussée

"ans le cas d#une surface plane toutes les forces élémentaires ont la m*me direction, enl#occurrence celle de la normale $ la paroi et par conséquent, la résultante F

r

des forces depression aura pour module la somme algébrique des forces élémentaires :

∫∫= S gzdS F ρ 2n se place dans le cas d#un liquide, et ρ est donc constant! L#epression de % peut alors s#écrire :

∫∫= S zdS gF ρ

La quantité ∫∫S zdS représente le moment statique de @ par rapport au plan de la surface libre(>D) que l#on peut écrire C@, o4 C est la profondeur $ laquelle se troue le barcentre de @; d#o4

S gzF G . ρ =

% est appelée poussée du fluide sur la paroi! @on point d#application est appelé centre de poussée!@oit son abscisse sur l#ae 2! 0ette abscisse peut *tre obtenue en calculant le moment de % etcelui de toutes les forces élémentaires, et en considérant que le moment de la résultante est égalau moment résultant!

Le moment de la résultante % par rapport $ l#ae 2 est donné par P xF . ! La somme des

moments des forces élémentaires est déterminé par :

C

C

2

2

C

F r

@

F d r

d@


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1!

∫∫S dF x. , soit ∫∫S gzdS x ρ .

@i α est l#angle entre le plan de la surface libre et celui de la surface considérée @, et sont liéspar la relation :

α sin

z

x =

7n rempla?ant dans la formule de la somme des moments élémentaires, nous obtenons :

∫∫S dS xg

.sin

2

α

ρ

2r l#intégrale ∫∫= S xx dS x I .2 n#est autre que le moment quadratique de @ par rapport $ 2, que

l#on peut eprimer, en ertu du t'éorème de /ug'ens :

S x I I GGy xx .2

+=

2n a alors :

).(sinsin

. 2 S x I g I gF x GGy xx p +α

ρ=α

ρ=

soit, en rempla?ant % par son epression : ).(sin

. 2

S x I g

gSz x GGyG p +α

ρ=ρ

aantα

=sin

G

G

x z

d#o4 l#epression de pS x

I x x

G

Gy

G p.

+=

9emarques :B Le centre de poussée est tou6ours située $ un nieau plus bas que celui du centre de graité!

B La position du centre de poussée se troue sur l#ae de smétrie parallèle $ 2 s#il eiste, sinonil faudra calculer sa distance $ l#ae 2 (on suppose que 2 est une ligne de plus grande pente);pour cela, il faut refaire le calcul des moments par rapport $ 2, ce qui donne :

∫= S G

p xydS S x

y.

1

b= aroi gauc'e0onsidérons maintenant une paroi gauc'e, il est alors éident que les forces élémentaires n#ontpas toutes la m*me direction! our calculer leur résultante, on procédera par l#intégration des

composantes des forces élément sur @!

2

F d

r


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1#

0omme on a ue précédemment, F d r

est normale $ la paroi, soit ),,( z y x dF dF dF F d r

, 2n peut

écrire ndF F d r

r

.=

7t on a, pour d% par eemple :

),cos(...222

nndF nnn

ndF ndF dF x

z y x

x

x x

rr

=++

==

comme d% est donnée par : dS gzdS pdF .. ρ== , on peut alors calculer sa composante suiant

2 par :

x x x dS gznn zdS dF .),cos(. ρ=ρ=

rr

d@ est alors la pro6ection de d@ sur un plan normal $ 2; et % aut alors :

∫∫ ρ=ρ= xS

x

S

x x dS gzdS gzF ..

2n peut établir une formule similaire pour la direction 2"onc % (respectiement % ) est la résultante des forces qui serait appliquée $ la pro6ection @(resp! @ ) de la surface @ considérée sur un plan normal $ 2 (respectiement 2), le pointd#application est aussi le m*me!

+nalsons maintenant % :

∫∫ ρ=ρ= z z S

z

S

z z dS zgdS gzF ..

Le terme sous l#intégrale représente le olume situé entre le plan de la surface libre et la surface @!

"onc % est égale au poids du liquide qui serait situé au dessus de la surface considérée;néanmoins, lors que la surface est telle qu#une erticale la coupe en plus d#un point, ce résultatn#est plus applicable (on a considéré l#intégrale d#une fonction et ici ce n#est plus le cas)! Il faudradonc subdiiser @ en plusieurs parties de fa?on $ pouoir appliquer le résultat ci-dessus $ c'acunede ces parties et faire la somme des actions!

c= @urface fermé : 3'éorème d#+rc'imède :@oit une surface @ fermée, entourée par un fluide au repos enfermant un olume

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