Cours systèmes asservis [Mode de compatibilité]

1

Systèmes asservis

Philippe FEYEL

2

Plan du cours Systèmes asservis – Approche fréquentielle classique (continue)

Outils mathématiques et théorèmes TD1

Lien entre boucle ouverte et boucle fermée Précision de systèmes bouclés La correction série / la correction PID De l’influence du retard pur… Système à 2 intégrales TD2

Structure de commande Bouclages en cascade Correction par anticipation

TD3 (bilan du continu)

Commande numérique des systèmes à partir du continu TD4

Commande numérique des systèmes - Approche numérique polynomiale Structure R,S,T TD5

Bibliographie

Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

Macro planning de référence

Séance 1 - Outils mathématiques, boucle ouverte et précision + TD1 - S0 --> S35 Séance 2 - La correction série + TD2 - S36 --> 60 Séance 3 - TD2 Séance 4 - Structure de boucle + TD3 - s61 --> s84 Séance 5 - Commande numérique à partir du continu + TD4 - s85 --> s117 Séance 6 - Commande numérique polynomiale + TD5 - s118 --> s147 Séance 7 - marges

Sconce 8 – EXAMEN ECRIT

3Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

4

Introduction

Module Systèmes AsservisApproche fréquentielle

Module Commande des systèmesApproche dans l’espace d’état


5

Outils mathématiques et théorèmes


6

A quoi sert un bouclage ?

On emploie un bouclage pour : Stabiliser un système qu’on connaît potentiellement mal, Augmenter la précision d’un système, Augmenter la rapidité d’un système, Rejeter des perturbations.

Vocabulaire : Asservissement = suivi de trajectoire Régulation = maintien d’une grandeur constante

On ne peut être plus précis que le capteur de mesure !

CorrecteurSystème

incertain

Capteur

Perturbations

Consignes

Mesures

Régulateur

Commande Sortie

Actionneur

Ecart


7

Transformée de Laplace Définition mathématique simplifiée :

A quoi ça sert ? les opérations « temporelles » s’expriment très simplement en Laplace

Linéarité

Retard

Translation sur s

Dérivation par rapport à t

Intégration par rapport à t

Convolution temporelle

0( ) ( ) , , 2stX s x t e dt s s j j f

∞ −= ∈ = σ + ω = σ + π∫ ℂ

)()()()( sBYsAXtBytAx +→+

( ) sesXtx τ−→τ− )(

)()( asXtxe at +→−

( ) ( )+−→ 0xssXdt

dx

s

sXduux

t )()(

0→∫

( ) )()()()()()()(0

sUsHsYdtuhthtutyt

=→θθ−θ=∗= ∫Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

8

Exemples de signaux usuels

);1/(1

);'('tf

:

+==

sH

ss

Matlab

));1/(1,'('

);'',0(poly

:

+==

scsyslinH

ss

Scilab

Notations de la variable de Laplace : - p pour les francophones,- s pour les anglosaxons.


9

Représentation des systèmes linéaires et invariant (SLI)

Réponse impulsionnelle (convolution) :

Transmittance (ou fonction de transfert) :

Equations différentielles :

NB : La physique impose que m ≤ n

Réponse harmonique :

( ) ∫ θθ−θ=∗=t

dtuhthtuty0

)()()()(

( ) )()()()()( sUsHsYthtutyLaplace

=→∗=

)()(

)(

)(...)()(...)(......

0

0

0000

sH

sa

sb

sU

sY

sUsbsUbsYasYsadt

udbubya

dt

yda

n

j

jj

m

i

ii

mm

nn

Laplacem

m

mn

n

n

==

⇔

++=++→++=++

∑

∑

=

=

( ) ( )

( )ω=

ω=Φω=

Φ+ω=→ω=

js

jH

UjHY

tYtytUtusH

:TLlaetFTlaentrelien

)(arg

)(

sin)(sin)(

00

000

000)(

00

Zéros de H = racines du numérateur

Pôles de H = racines du dénominateur


10

Exemple inertie motorisée Composition des vitesses :

Equations de la mécanique :

Equations électromécanique :

Equations de couples :

Js

s

Js

sCsttCtJ mot

aLaplace

mota)()(

)()()()( secsec

Γ−=Ω⇒Γ−=Ω⋅

LsR

sKsUsItK

dt

diLtRitu re

Laplacere +

Ω−=⇒Ω++= )()()()()()(

)()()()( sIKsCtiKtC cmotLaplace

cmot =⇒=

)()()()()()( sssttt parLaplace

par Ω−Ω=Ω⇒Ω−Ω=Ω

LsR+1

cKJs

1

eK

U I motC

secΓ

pΩ

aΩ

rΩ

u


11

Outils graphiques – exemple ordre 1

43121

4321

10 ,

1111

1

)( ddndd

dddd

n

ssss

s

HsH ω<ω<ω<ω<ω

ω−

ω+

ω+

ω+

ω+

=

1dω 2dω 1nω3dω 4dω

)1(−

)2(−

)1(−

)2(−

)3(−

°−180

°− 90

°0

0H

H

HΦ

ωlog

1dω 2dω 1nω3dω 4dω

)1(−

)2(−

)1(−

)2(−

)3(−

°−180

°− 90

°0

0H

H

HΦ

ωlog

Im(H)

Re(H)0-1

1dω

2dω

HΦ

H

Im(H)

Re(H)0-1

1dω

2dω

HΦ

H

Bode Black-Nichols Nyquist

)(bode

:

H

Matlab

)(nichols

:

H

Matlab

)(nyquist

:

H

Matlab

+/- 180°par signe -1 sur gain statique

+/- 90°× n en fonction du signe du pôle/zéro et de sa multiplicité n

HΦ

H1dω

2dω

1nω

3dω

4dω

0H

HΦ

H1dω

2dω

1nω

3dω

4dω

0H

-180° -90°

dB

dB

( )

π

ω=

=

−

2

log20

1.

10

sradHz

dB

f

HH


12

Outils graphiques – exemple ordre 2

211

22

2

2

22

1

2

1

1

21

2

1

1

0 ,2

12

1

21

)( ddn

dd

d

dd

d

nn

n

ssss

ss

HsH ω<ω<ω

ω+

ωξ+

ω+

ωξ+

ω+

ωξ+

=

)(bode

:

H

Matlab

+/- 180°par signe -1 sur gain statique

+/- 180°× n en fonction du signe du pôle/zéro et de sa multiplicité n

2dω

)2(−

°−180

H

HΦ

ωlog

1dω 2dω

)(+

°−180

H

HΦ

ωlog

(0)

(-2)

ωn1

0°

180°

1<ξ1≥ξ

ω+

ω+=

ω+

ωξ+

212

211

21

ssssCf cas précédent

dBH0dB


TD1 - Exercice 1

13

Tracer (à la main) le diagramme de Bode des transferts suivants :

Indice : Commencer par le tracé asymptotique…

+

+

+

+−=

+

−=

++

=

+=

2001

5001

1001

101

)(

101

101

)(

1100

4.1

100

1)(

101

1)(

4

3

2

22

1

s

s

s

s

ssH

s

s

sH

ss

sH

ssH


TD1 - Exercice 2

14

On a mesuré la réponse fréquentielle d'un processus à différentes fréquences, etl’on a obtenu le diagramme de Bode représenté ci-dessous.1. Trouver une expression de la fonction de transfert du processus valabledans la gamme de fréquence considérée.2. Tracer le diagramme de Black-Nichols correspondant


15

Grands théorèmes


16

Grands théorèmes Théorème de la valeur finale Théorème de la valeur initiales

Théorème de stabilitéH(s) est stable ssi ses pôles sont toutes à partie réelles strictement négatives

Principe de superposition (pour les SL)

)(lim)(lim0

txssXts ∞→→

=

<⇔

<=⇒=

∑

∑

∑=

=

=

0 Re() àsont de pôles les

0Re()àtoutessont0deracinesles

)( 0

0

0

H

sa

sa

sb

sH

n

j

jj

n

j

jj

m

i

ii

e1

e2

s1

s2

λ1e1+ λ2e2 λ1s1+ λ2s2

H

H

H

)(lim)(lim0

ppXtxpt +∞→→

=+


17

Lien entre la boucle ouverte et la boucle fermée


18

Allure générale d’une BO

La boucle ouverte (BO) s’écrit :

La boucle fermée (BF) s’écrit :

β(s)

µ(s)E Yε

)()()(

)()( ss

s

sYsH m

BO βµ=ε

=

)(

)()(

)()(1

)()(

)(

)()(

sE

sYs

ss

ss

sE

sYsH m

BF β=βµ+

βµ==

Ym

)(1

)()(

sH

sHsH

BO

BOBF +

=

1)(si1)( >>≈ sHsH BOBF

1)(si)()( <<≈ sHsHsH BOBOBF

)(sHBO

)(sHBF


19

Etude la stabilité par examen de la BO

Stabilité de la BF⇔

L’équation caractéristique 1 + H BO(s) = 0 n’a pas de racine à Re() ≥ 0

)(1

)()(

sH

sHsH

BO

BOBF +

=

Il existe des critères algébriques comme le critère de Routh pour analyser la stabilité de la BF mais :

- Ils sont complexes à mettre en œuvre, - Ne permettent pas d’apprécier le degré de robustesse vis-à-vis de

l’instabilité.

Critère graphique

)(isstable

:

H

Matlab


20

Etude la stabilité par examen graphique de la BO

Issu du théorème de Cauchy :

Si un point M d’affixe s décrit dans le plan complexe un contour fermé C dans le sens des aiguilles d’une montre, entourant P pôles et Z zéros d’une fonction A(s) de la variable complexe s, alors l’image du point M par l’application A(s) entoure (Z – P) fois l’origine (contour orienté dans le même sens)

Application directe avec A(s) = 1 + H BO(s) et C = demi-plan droit

==

3

5

P

Z)(sA

Im

Re

C

Odeautour

tours2=− PZO


21

Critère de Nyquist

La BF est stable si 1+HBO n’a pas de zéros instables⇔

Le lieu de Nyquist de la boucle ouverte HBO : - ne passe pas par -1, - fasse autour de -1 un nombre de tours égal au nombre de pôles de HBO à Re() > 0

(car on ne veut pas que 1 + HBO(s) ait des Z instables, ie Z = 0)

==

3

5

P

Z

)(1)( sHsA BO+=

Im

Re

C

Odeautour

tours2=− PZ

O

)(1 sHdeNyquistdeLieu BO+

)(deinstables)(pôles)(1deinstables)(zéros

)(deinstables)(pôles)(1deinstables)(pôles

sHsH

sHsH

BFBO

BOBO

=+=+

1-deautour

tours2=− PZ

-1

)(sHdeNyquistdeLieu BO


22

Interprétation graphique Dans le cas où la boucle ouverte est stable ie P = 0, (hormis la présence

d’intégrateurs purs) le lieu de Nyquist laisse le point -1 à gauche quand les fréquences croissent.

Plan de Black-Nichols Plan de Bode

ImRe

-1

ImRe

-1

ω = 0

ω = ∞ ω = ∞

ω = 0

Instable en BFStable en BF

HBO HBO

| |dB

Φ

ω = 0

ω = ∞

(-180°, 0dB)

-180°

| |dB

Φ

ω

ω

HBO


23

Marge de sécurité ou de stabilité Pour évaluer la robustesse (en stabilité) d’un bouclage, on quantifie la distance ou

l’éloignement par rapport au point -1 par : La marge de gain ∆G exprimée en dB La marge de phase ∆Φ en °

Plan de Black-Nichols Plan de Bode Plan de Nyquist

| |dB

Φ

ω = 0

ω = ∞

(-180°, 0dB)

-180°

| |dB

Φ

log ωHBO

dBG 6

45

>∆°>∆Φ

dBG∆

∆Φ

∆Φ

dBG∆

( )GsHesHsH j ∆= ∆Φ∆ )(,)()(pourstabilité

( ) ( )( )( )

dBc

dBH

bodBbo

j

jHGjH

G

bo

0

0

18010180

BOenpassantebande

180

log201

ω==ω

°+ωΦ=∆Φ

ω−=∆⇒ω

=∆ °−°−

généralen

Im

Re

ω = 0HBO

G∆1

∆Φ01−

)(margin

:

H

Matlab

Bande passante ωc

Bande passante ωc

Bande passante ωc

log ω

)(p_margin

)(g_margin

:

H

H

Scilab


24

Spécification de réglage sur la BF Même pour les systèmes d’ordre élevé, on assimile souvent la BF à un deuxième

ordre de type :

Lien avec le temporel : relation temps de montée, amortissement, bande passante en BF, dépassement

Spécification temporelle en BF Spécification fréquentielle en BF Spécification fréquentielle en BO

2

200

1( )

21

BFH ss

s

=ξ+ +

ωω

21

20 ,1

ξ−

πξ−

=ξ−

π=×ω eDTm

0 à spécifieretξ ω


25

Critères de réglage simplifiés sur la BO On voit que :

Relation marge de phase / amortissement

Relation bande passante en BO / temps de réponse

( )ss

K

τ+1

ω=ξτ

=ω

τ++=

K

K

sKK

ssHBF

2,

1

1)(

020

2

3≈×ω mc T

4,045

7,060

=ξ⇒°=∆Φ=ξ⇒°=∆Φ

( )7,04,0pour <ξ<Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

26

Précision des systèmes bouclés


27

Suivi de consigne / rejet de perturbations

1µ 2µ

β

E Y

Γ

ε

)()()( sss E Γε+ε=ε

BO

E

HE +=

βµµ+=ε

1

1

1

1

consignedesuivi

21BOH+

βµ−=βµµ+

βµ−=ΓεΓ

11

nspertubatioderejet

2

21

2

Principe de superposition

Pb indépendants

Classe de problèmes :

échelon (n=1), rampe (n=2),…

ens

EsE 0)( →

bnss 0)(

Γ→Γ


28

Précision statique Le problème de précision statique consiste à s’assurer que :

01

lim1

0

0=

+

−

→ BO

n

s Hs

Ee

01

lim21

0

0=

+

βµΓ

−−

→ BO

n

s Hs b

0)(lim =ε∞→

tEt

0)(lim =ε Γ∞→t

t

Théorème de la valeur finale

0)(lim0

=ε Γ→ss

s0)(lim

0=ε

→ss E

s

Ne peut s’annuler que si… enBO

sH

1∝bb nBOn s

Hs

111 ∝⇒∝µ

C’est-à-dire que La BO doit disposer

d’un nombre d’intégrateurs au

moins égal à l’ordre de la consigne

La BO doit disposer d’un nombre d’intégrateurs au moins égal à l’ordre de la perturbation en amont de

celle-ci Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

29

Précision dynamique – sinusoïde équivalente Problème : limiter l’erreur dynamique de suivi à εmax pour une consigne e(t)

telle que :

Il suffit de choisir un signal équivalent

( )

max

max0

max

2max

0

00

,

sin)(

v

vE

tEte

γ=ωγ

=

ω=

max2

2

max, γ≤≤dt

edv

dt

de

εγ=

ε≥⇒ε≤ε ω=

>>ω<<ω maxmax

2max

max

0

1

max00

vEH

jsBO

HBO

c

µ

β

E Yε

( )

01

sin)(

00

000

ω=+=ε

Φ+ωε=ε

jsBO

e

H

E

tt

0ω

maxmax

2max

εγv


30

Problème : Quelle est l’interprétation fréquentielle de « borner en absolue un signal ε(t) à εmax » ?

∫∫∞+

ω−∞+

ω−

ω−ω−

ω−−

ε≤ε

⇒

ε≤ε

⇔

>ω≥ε≤ε⇒≥ε≤ε

0max

0

max

maxproblèmesous

max

)(

)(

petit0,0,)(0,)(

dtedtet

eet

tettt

ttj

ttj

t

ωε=εε≤ε=ε ∫∫∫

∞+ω−

∞+ω−

∞+ω−

ω=max

0max

00

,)()()(

:Et

dtedtetdtets ttjtjjs

ωε≤ε

ω=max)(

jss

.sommable.. pas

Attention : cela donne une condition nécessaire pour ε(s) mais ne constitue pas un démonstration rigoureuse…

...petit0pour >ω

stabilitéde

hypothèse


31

Précision dynamique – suivi de consigne : cas général

Problème : limiter l’erreur dynamique de suivi à εmax pour une consigne e(t) quelconque :

)(sE

)()( sEteLaplace⇒

µ

β

E Yε

)(1

)()(

sH

sEs

BOe +

=ε

ωε≤ωε⇒≥∀ε≤ε max

max )(0,)( jtt ee

)()()(1

)(

max1)(

max ωε

ω>>ω⇒ω

ε≤ω+

ω>>ω

jEjHjH

jEBO

jHBO BO

Rappel : il s’agit de l’erreur crête. Th de la valeur final pour annuler l’erreur statique


32

Exemple : estimation de la BP pour le suivie de consigne

( )

=ω

=ω ω

aT

jH

c

jBOc

/1

1)(

( )

=+

+°=∆Φ=

=a

Ts

aTs

poura

aTs /11

1

455,4

ω=++

ωε→ω=

jsBO Ts

aTsjH

1

12)(:BPladevoisinageau2,npour

2max

aTc1

=ω

max

4/1 2

ε=ω ac

1

!)(,...3,2,1,0,)( +=⇒=≥=

nLaplace

n

s

nsEnttte

µ

β

E Yε

nBOn

jHωε

>>ωmax

!)(

maxε

tte =)(


cω

Attention : Cela n’est qu’une conséquence de la gabarisation, pas un objectif !


33

La bande passante, un objectif de réglage ?

La bande passante atteinte n’est qu’une conséquence de la gabarisation de la BO en basse fréquence

Elle ne constitue donc pas à elle seule un objectif de réglage

Bandes passantes identiques mais performance et robustesse très différentes

Réglage très performant et peu robuste

Réglage peu performant et très robuste

|BO|

ω


34

Précision dynamique – rejet de perturbation : cas général

ωε≤ωε⇒≥∀ε≤ε ΓΓ

maxmax )(0,)( jtt

ω=>>ωΓ

εβωµ>>ω⇒

ωε≤Γ

+βµ

jsBO

jHBOjH

H BO max

2

1)(

max2 )(1

1µ 2µ

β

Y

Γ

ε

)(1

)( 2 sH

sBO

Γ+

βµ−=εΓ



35

Exemple : estimation de la BP pour le rejet de frottements

ω=Γ ε

Γ>>ω⇒≥∀ε≤εjs

BOJs

jHtt2

max

secmax )(0,)(

)(sK2

1

Js

Y

ssecΓ=Γ

ε

)(1

)( 2 sH

sBO

Γ+

βµ−=εΓ

( )

=ω

=ω ω

aT

jH

c

jBOc

/1

1)(

( )

=+

+°=∆Φ=

=a

Ts

aTs

poura

aTs /11

1

455,4

ω=+

+ε

Γ→ω

js

BO Ts

aTs

JsjH

1

1)(:BPladevoisinageau

2max

sec

aTc1

=ω

max

sec4/1

εΓ=ω

Jac



36

Un résumé en un graphique sur la BO…

ω

-1

-2

BP

ωc

∆Φ, ∆G

stabilité

rapidité

Gm

ω0

Erreur dynamique

Erreur statique

Compromis stabilité & robustesse versus rapidité & performance

filtrage des bruits


37

La correction série


38

Logique de correction série

Correcteur Système

Capteur

u yε

ym

e

But du correcteur : fournir un signal u de manière à préserver les exigences de performances et de stabilité sur la BO

( )[ ]tftu ε=)(

Pour f( ), on retiendra les 3 opérations de bases suivantes :

- L’action proportionnelle notée P :

- L’action intégrale notée I :

- L’action dérivée notée D :

)()( tktu ε=

( )∫ θθε=t

i

dT

tu0

1)(

dt

dTtu d

ε=)(Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

39

Actions combinéesTous les correcteurs peuvent être construits par combinaison (x ou +) des trois actions de bases.

sτ+1

1

aTs

Ts

aTsaTs

Ts

++

+=

++

11

1

1

1

Filtre passe-bas :

1−τs

1

Filtre avance/retard de phase :

Filtre passe-bas Dérivée x Filtre x Gain

Intégrateur x Gain

Action combinée …


40

Méthode générale de correction

ω+

ω+

ω+

ω+

ω+

ω+

=

'21

21

1...11

1...11

)(

dmdd

nmnn

sss

sss

KsK

Modelage de la boucle ouverte avec un réseau correcteur de type :

cω

1dω 2dω0ω

mG

1nω3dω 4dω

)1(−

)2(−

)1(−

)2(−

)3(−

°−180

°− 90

∆Φ

G∆

°0

0KH

Exemple pour H(s) = H0

BOH

BOHΦBOHΦ

ωlog

BOH

G∆

∆Φ

1dω

cω

2dω

1nω

3dω

4dω

Faire tendre la BO si possible vers un intégrateur au voisinage de la BP

43121 ddndd ω<ω<ω<ω<ω


41

Le régulateur Proportionnel Intégrale Dérivée

ε+ττε+ε= ∫ dt

dTd

TtKtu d

t

i 0

)(1

)()(

Annule l’erreur statique… mais

déstabilise

Stabilise le système… mais amplifie les bruits

Augmente la précision dynamique et la rapidité…

mais déstabilise et amplifie les bruits

Très utilisé car : - Seulement 3 paramètres,- Très bon compromis : facilité de réglage vs performances atteignables,- Les 3 actions P I D forment un « méta-modèle » du comportement humain donc intuitif,- Souvent couplé avec d’autres réseaux (rejecteurs, etc…).Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

42

Méthode de réglage temporelle


43

Méthode de réglage empirique en BF (Ziegler-Nichols)

P.I.D ?u yεe

But : piloter un système dont la fonction de transfert est inconnue

- Annuler les actions intégrale (Ti = ∞) et dérivée du correcteur (Td = 0)

- Augmenter K jusqu’à l’apparition d’oscillations limite de stabilité, c’est une image de ∆G

- Relever la période d’oscillations T0 en s et le gain limite KM

426,0 0 i

diMT

TT

TKK ===

Attention : nécessite de pouvoir faire osciller le système en BF Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

44

Méthode de réglage empirique en BO ( Ziegler-Nichols)

?u y

422,1 i

duiu

a TTTT

T

T

s

uK ==

∆∆=

∫∞

ε=0

)( dttJ

- Relever la réponse indicielle du processus :

P.I.D ?

u

yεe

Attention : nécessite que le système soit stable e n BOPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

45

Méthode de réglage fréquentielle


46

Aspects fréquentiels du PID ( )( )

)(11

)(1

)(1

1)( 212

ssT

sTsTKs

sT

sTTsTKssT

sTKsu

ii

idid

i

ε++=ε

++=ε

++=

)1(− )1(+

1

1

T 2

1

T

21

1

TT

dBK

ωlog

°− 90

°90

)(KΦ

°0

°45

°− 45

( )( )

( )( )

( )

sT

sTTsKsK

T

TTTTTT

sT

TsKsK

TTTTTT

sT

sTsTKsK

TTTTTT

sT

sTsTKsK

TTTTTTTT

i

d

ididi

i

idi

i

di

didi

i

didi

22

2

21

21

21

2121

21)(

4,:4

1)(

2:4

11)(

,:

11)(

111,:4

+ξ+=

=ξ=<

+=

====

++=

≈≈>>

++=

+=+=>

ωlog


47

Méthode de réglage fréquentielle – point de départ

)(1

)(1

1)(2

ssT

sTTsTKssT

sTKsu

i

idid

i

ε

++=ε

++=

Règles générales : 1) Action intégrale aux basses fréquences afin de compenser les

constante de temps du système 2) Action dérivée au voisinage de la bande passante escomptée3) Réglage de K afin d’avoir la bande passante souhaitée

Le réglage se fait par try and error dans le plan de Bode ou de Black et un bon point de départ consiste à « compenser » les constantes de temps du système ou à placer la dérivée sur la bande passante escomptée :

Mais cela ne constitue qu’un point de départ…

4i

dj

jiT

TT =τ=∑ dibp

d TTT 41 =

ω=


48

Exemple

ssssH

n−−− +++=

101

1...

101

1

101

1)(

21

4,10

1

id

n

j

ji

TTT ==∑

=

− Ajustement de la BP avec K


49

Réalisation de l’action dérivée

)(1

1)( ssTsT

Ksu di

ε

++=

Dérivée non réalisable physiquement (bruit)

sTsT

sTd

dd

α+

→1

)(1

11)( s

sTsT

sTKsu

d

d

i

ε

α+

++=

)1(− )1(+

1

1

T 2

1

T

21

1

TT

ωlog

dBK

ωlog

°− 90

°90

)(KΦ

°0

°45

°− 45

)0(

)0(

dT

α

10>α


50

Le PID comme combinaison de correcteurs élémentaires

)(1

11)( s

sTsT

sTKsu

d

d

i

ε

α+

++=

)1(− )1(+

1

1

T 2

1

T

21

1

TT

ωlog

dBK

ωlog

°− 90

°90

)(KΦ

°0

°45

°− 45

)0(

)0(

dT

α

1

( ) ( )1

dd

d

TT s

u s K sT

s

+ + α = ε + α

1( ) ( )i

i

T su s K s

T s

+= ε

Correcteur P.I Correcteur A.P

i jj

T ≈ τ∑ 1d bpT −≈ ω

4i dT T=

Si action intégrale non nécessaires (Ti ∞)

Si stabilisation supplémentaire non nécessaires (Td 0)


51

Le PI/PID est souvent couplé avec d’autres réseaux…

)()()( ssKsu ε=

[ ] )()(')()( ssKsKsu PID ε+= [ ] )()(')()( ssKsKsu PID ε×=

)(sKPID

)(' sK

)(sKPID )(' sK


52

La correction avance / retard de phase

aTs

TssK

++=

1

1)('

aTa

1surcentréphasedeavance1⇒<

aTa

1surcentréphasederetard1⇒>

aT

1

Maximum ou minimum de phase ϕm :

( ) 1sin

1ma

a

−ϕ =+

Permet de modifier la phase (au voisinage de la BP) … mais attention au gain qui amplifie les bruits et diminue la robustesse !

bpen générale

≈ ωPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

53

Mise en œuvre de rejecteurs

20

2

0

2

20

2

0

1

21

21

)('

ω+

ωξ+

ω+

ωξ+

=s

s

ss

sK021 en centrérejecteur ω⇒ξ<<ξ

021 ωen centré amortimalzéro⇒ξ>>ξ

0ω

Permet de rejeter une fréquence en particulier sur l’erreur sur la commande… mais attention à la stabilité de la boucle


54

De l’influence du retard pur…


55

Ennemi de l’automaticien…

Le retard pur est une opération déstabilisante

Il ne peut être compensé que partiellement par de l’avance de phase à cause de l’augmentation de gain engendrée par cette dernière.

Il faut donc bannir les retards purs au plus possible

τω−=Φ

=ωω

XY

jX

jY

/

1)(

)(

purlfréquentiedéphasage

purtemporelretard

⇔

BOH

G∆

∆Φ

1dω

cω

2dω

1nω

3dω

4dω

( )1ωjHBO

( )2ωjHBO

( )3ωjHBO

( )4ωjHBO

( )5ωjHBO

stableLimite de stabilité

dB0

( )

( ) ( )

)()(

)(

)(

),()(retard

0

sXesY

dexsY

dexsY

ttxty

s

s

s

Laplace

τ−

∞+τ−θ−

∞+

τ

θ−

=⇒

θθ=⇒

θτ−θ=⇒

τ>τ−=⇒τ

∫

∫


Evolution des marges de stabilité en présence de retard pur

56

min')()()'(

)()()(

∆Φ>ω−∆Φ=∆Φ⇒=

∆Φ⇒=

−c

TsBO

BO

TsHsKesH

sHsKsH

Relation entre la bande passante objectif et la marge de phase minimale


57

Approximation de PadéBien qu’impossible à compenser totalement, on peut prendre en compte un retard approché dans la boucle ouverte par son approximation de Padé :

( )( ) ( )

)()(

)(!!!2

!!2)(

)(

)(

0

xPxQ

xknkn

nknxP

sQ

sPe

nn

n

k

kn

n

n

nordre

s

−=

−−

−=

ττ≈

∑=

τ−

Tse−( )( )

( ) ( )( ) ( )⋮

32

32

2

2

1260120

1260120

612

6122

2

sTsTsT

sTsTsT

sTsT

sTsTsT

sT

+++−+−

+++−

+−

ordre)pade(T,

:Matlab


58

Compensation partiel du retard purIdée : le retard pur ne peut être compensé que partiellement par de l’avance de phase dans le correcteur à cause de l’amplification du gain

)(sK ses τ−µ )(

β

e

ym

y

s

ssK

sse

DLDL

s

'1

1)(

1

11

τ+τ+=⇒

τ+≈τ−≈τ−

Φ

ωlog

ωlog)(sK

se τ−Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

59

Régulation des systèmes à retard - Prédicteur de SmithIdée : Rejeter le retard pur en dehors de la boucle pour qu’il ne déstabilise plus

Le retard reste cependant toujours présent même hors de la boucle (traînage)

)(sK

)(' sK

ses τ−µ )(

β

)(sK )(sµ

β

se τ−

e

e

ym

ym

y

y

( )sesK τ−−µβ= 1)('


TD2 - Exercice 1

60

On a mesuré la réponse fréquentielle d'un processus à différentes fréquences, etl’on a obtenu le diagramme de Bode représenté ci-dessous.1. Donner la marge de gain, la marge de phase, la bande passante du processus

non corrigé.2. Trouver une expression de la fonction de transfert du processus valabledans la gamme de fréquence considérée.3. On fait un bouclage à retour unitaire (β = K = 1) sur ce processus. Évaluer l'erreurstatique en réponse à un échelon et estimer le dépassement en %.4. Calculer l’erreur statique en réponse à un échelon de perturbation en entrée demodèle


TD2 - Exercice 2

61

Soit le système :

1. Tracer le diagramme de Bode de H.2. Calculer un régulateur assurant un suivi de consigne (échelon) sans erreurstatique, un dépassement de 20%, un temps de réponse d’environ 6 s environ.3. Quelle est l’erreur statique en réponse à une perturbation en entrée de modèle detype échelon unitaire4. Calculer un régulateur assurant 2. et rejetant en plus asymptotiquement un échelonde perturbation en entrée.5. Quel est l’ordre de grandeur du retard de boucle maximum déstabilisant ?6. Sachant que pour un échantillonnage à Te, le retard induit vaut 3/2Te, proposer unchoix minimum de fréquence d’échantillonnage diminuant la marge de phase d’unmaximum de 10%.

( ) )2(1

1)(

++=

ssssH


62

Outils numériques


Matlab/Simulink

63

Logiciel de calcul numérique commercial Edité et vendu par Mathworks Nombreuses toolbox développées (payantes) dont certaines utiles à

l’automaticien, pour faciliter la réglage des correcteurs et la simulationnotamment : Control ToolBox Robust Control ToolBox Simulink


Scilab/Xcos

64

Logiciel de calcul numérique libre donc gratuit Edité par l’INRIA Ecrit par des automaticien « pour des automaticiens », interface et langage

très proche de Matlab alternative intéressante pour l’automaticien Solver graphique Xcos (anciennement Scicos) intégré avec de nombreuses

fonctionnalités et modèles Maintenu par un consortium d’industriels


Travaux pratiques 1

65

1. Vérifier le réglage de l’exercice 4 avec Maltab ou Scilab (définition du système, ducorrecteur, tracé des diagrammes de bode du système, du correcteur, de la boucleouverte, mesure des marges sur le tracé des black-nichols, tracé de la réponse àl’échelon, etc…) et si nécessaire affiner le réglage vis-à-vis du CdC.

2. Simuler le bouclage obtenu (suivi de consigne et rejet de perturbations) à l’aide deSimulink ou Scicos


TD2 - Exercice 3

66

Soit le système :

1. A correction unitaire, quelle est l’erreur statique de suivi de consigne lorsque celle-ciest un échelon ? une rampe ? une parabole ? Quelle est la particularité de cebouclage ?2. Déterminer un régulateur K(s) assurant un suivi de consigne (échelon) sans erreurstatique, un rejet de perturbation de type échelon en entrée de modèle, undépassement de 15%, un temps de réponse d’environ 10 ms environ. Evaluer le rejetde perturbation.3. En plus de 1. et 2., une perturbation de type sinusoïdale pure (amplitude de 100 etfréquence de 40 Hz) apparait en sortie de modèle : quel faut il faire pour insensibiliserla sortie régulée ?4. Même question que 3 mais cette fois ci on choisit d’insensibiliser la commande.

2

1)(

ssH =


67

Système à 2 intégrateurs


C’est un cas très fréquent…

68

....1×ss

1εe yu

0...

1.

11

1.

lim)(.lim)(lim)(

0

00

0 =×+

==⇒=→→∞→

ss

ss

E

ssustus

EsE

sst

Théorème de la valeur finale :

0)(lim0

=ττε∫∞→

t

td

E0

y

t

A1

A2

21 AireAire AA =

stabilité/rapiditéCompromis

bouclage de typece de exempleun donner :Exercice

liberté...dedegrés2àsolutionuneVers

!forcément dépasse indicielle réponse La

⇒

⇒


69

Structures de commande -Bouclages en cascade


70

Asservissements cascades

)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHyy2

u2u1e

vε ε2

On boucle en cascade pour : Accélérer le régime transitoire de la sortie y vis-à-vis de l’entrée e L’effet des perturbations v est d’autant plus réduit que la dynamique

de la boucle secondaire est rapide vis-à-vis de la bouclage primaire

Insensibiliser le bouclage primaire vis-à-vis des variations de H2(s)

)(2 sM

)(1 sM

dynamique

robustesse

)(1 sK )(2 sH )(1 sHy

ue

v

ε

)(1 sM

)(sH

∆

∆


71

Accélérer le régime transitoire de la sortie y vis-à-vis de l’entrée e

)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHyy2u2

u1e

ε ε2

)(2 sM

)(1 sM

eKHKMMKH

MKHe

HMK cascade 211222

222

11 1

1

1

1

+++−=ε→

+−=ε

( )e

KHKKsHs

KHsse

HKs

s

cascade 20102022

202

10 +++−=ε→

+−=ε

e

ε

)1(+

)0()2(+

)1(+

1,

1,

220

2

110

1

=→

=→

Ms

KK

Ms

KK


72

Améliorer le rejet de perturbations

)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHyy2

u2u1

v

ε ε2

)(2 sM

)(1 sM

vKHKMMKH

HMv

HMK

HM

cascade 211222

1

11

1

11 ++−=ε→

+−=ε

1,

1,

220

2

110

1

=→

=→

Ms

KK

Ms

KK

e

ε)0(

)2(+

)1(+

vKHKKsHs

Hsv

HKs

sH

cascade 20102022

2

10 ++−=ε→

+−=ε


73

Améliorer la robustesse

)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHy

y2

u2u1e

ε ε2

)(2 sM

)(1 sM

∆

∆+∆=

+=

→∆+∆=

222

222

1121

121

1121

121

1'

'1

'

1MHK

HKH

eMHHK

HHKy

eMHHK

HHKy

cascade

222

2222 1'

MHK

HKHH

cascade ∆+∆=→∆

Bouclage primaire plus robuste à ∆ Besoin en marge de phase et de gain moins contraignant sur bouclage

primaire

=∆=

→∆=11212

22211121 ' MHHKH

MHKHMHHKH

bo

bo

cascadebo


74

Méthodologie

11

'222

222 →

+=

MKH

HKH

)(2 sK )(2 sHu2ε2

)(2 sM

7,0secondaire

primairesecondaire

≈ξ

ω>>ω cc

)(1 sK )(1 sHu1ε1

)(1 sM

ye

PID

PID

)(1 sK )(2 sK )(2 sH )(1 sHyy2

u2u1

ε ε2

)(2 sM

)(1 sM

Post-examen de la boucle « ouverte vraie »

Ret

ouch

e si

néc

essa

ire


75

Exemple inertie motorisée – Dimensionnement simplifié

LsR+1

cKJs

1

eK

U I motC

secΓ

pΩ

aΩ

rΩ

( ) ecKKLsRJs

Js

++ cK s

1I motC

secΓ

aθ

'extΓ

( ))()(' secext sJssK pe Ω+Γ=Γ

u)(sK I)(sKθ

)(sH gyro

)(sHcapt

s

1 aθ

Js

1aΩ

u


76

Simplification

( ) ecKKLsRJs

Js

++ cK2

1

Js

I motC

secΓ

aθ

( ))()(sec sJssK pe Ω+Γ

u)(sK I)(sKθ

)(sH gyro

)(sHcapt

petitquand par Ω−Ω=Ω

LsR+1

cKI motC

secΓ

aθu)(sK I)(sKθ

)(sH gyro

)(sHcapt

sec 1eet K Γ <<

2

1

Js


77

Dimensionnement boucle interne

LsR+1 Iu

)(sK I

PI

( )seli

ipIbo sT

sTKRsH

τ++

= −

1

11)( 1

_

( )sT

sTKsK

i

ipI

+=

1)(

IcIcipIcIbo

i

pIboeli

LRTKjH

sT

KRsH

R

LT

____

1_

1)(

)(

ω=ω=⇒=ω

=⇒=τ=τ= −∑

Ic

Ic

Ic

Ibf s

s

ssH

_

_

_

_1

1

1

)(

ω+

=ω+

ω

=

1


78

Dimensionnement boucle externe

cK2

1

Js

motC

secΓ

aθ)(sKθ

PID

( )sT

sTTsTKsK

i

didp21

)(++

=θ

°>∆ΦεΓ=ω θ 60,

max

sec4/1_ J

ac

121

2

2

+ωξ

+ω

ss

g

g

g

aTa

aTs

Ts

JsjH

c

js

bo

θ

ω=θ

ω==

++

εΓ

>ω

_

2max

sec_

1,5.4

1

1)(

)2(−

)4(−J

Kc

gω

°− 90

°0

°−180

°− 270

°− 360

θω _c

)2(− )3(−

( )

+

ωξ

+ω

++=θ

12

1)(

2

23

2

_

g

g

gi

didpbo

ssJT

sTTsTKsH

)3(−

)1(−

∆Φ4i

d

i

TT

TT

=

=


79

Structures de commande -Correction par anticipation (feedfoward)


80

Principe

2K HE

Y

ε

M'1K1K

Γ

2K HE

Y

ε

M

ΓCompenser ou anticiper des perturbations mesurables

( ) ( )2

1

2

1

1

'

1

1

HK

HKM

HK

HKE

++Γ−

+−=ε

HKHK

101 11 =⇔=−

H

MKHKM −=⇔=+ '0' 11

Intérêt : relaxer la contrainte de robustesse (marges de stabilité) sur la BO en cas de bande passante interne trop grande.Inconvénient : H-1 n’est pas physiquement réalisable (zéro instable pôle instable, passe-bas pas haut,…) si bien qu’une approximation doit être réalisée


81

Exemple : balayage

cK2

1

Js

motC

secΓ

aθ)(sKθ

)(sHg

)(sA

Dédié au balayage

Dédié au rejet de frottements et à la stabilité

c

gc

gc

ca

KsK

sHKsKJssA

sHKsKJs

KsKsA

e )(

)()()(

)()(

)()(2

2θ

θ

θ

θ +→⇒

+=θ

e

)()(

12

sec sHKsKJs gc

a

θ+−=

Γθ


TD 3 (bilan de la partie continue)

82

Un système de transport utilisé pour décharger les navires est représenté ci-dessous

Il est constitué d’un portique comprenant :- Un chariot mobile de masse M repéré par son abscisse x et se déplaçant sous l’action d’une

force F(t) développée par un moteur électrique. Le chariot est de plus soumis à des forces defrottement visqueux dont le coefficient α est proportionnel à la vitesse du chariot

- Une charge de masse m suspendue à l’extrémité d’un câble de longueur l. La position de lacharge est repérée par l'angle θ d’inclinaison du câble par rapport à la verticale

- Le but est de travailler sur l’asservissement de la position x du chariot permettant ladéplacement de la charge vers une consigne xc, en minimisant les mouvements pendulaires

x

FM

θ

l

m


I/ Etude du système

83

La mise en équation de ce processus complexe conduit au système d’équation différentiellesuivant :

I.1/ Linéariser le système précédent au premier ordre en considérant des petites variations desdifférents grandeurs autour du point d’équilibre θ0 = 0.

I.2/ A partir du système linéarisé obtenu, déterminer la fonction de transfert H2(p) = θ(p)/F(p) etH1(p) = X(p)/θ(p). On supposera toutes les conditions initiales nulles et on exprimera H1 et H2 enfonction des données M, m, g, l et α.

I.3/ A.N : g = 10, l = 35, α = 0.04, M = 1.05, m = 10.15

Montrer que :

( ) ( ) ( )( ) ( )

2cos sin ( )

cos sin

M m x ml ml x F t

l x g

+ − θ θ + θ θ + α =

− θ + θ = θ

ɺɺ ɺɺɺ ɺ

ɺɺ ɺɺ

2

1 22 2

( ) 35 10 ( ) 2.5( ) , ( )

( ) ( )(1 280 ) 1

85 3

X p p p pH p H p

p F pp p pp

+ θ= = = =θ

+ + +


84

On utilise dans un premier temps la structure de commande suivante à une seule boucle sur laposition x du charriot.

II.1/ Pour une correction unitaire, tracer la boucle ouverte dans le plan de bode (asymptotiquepuis réel) et préciser la valeur des résonances.

II.2/ Déterminer un correcteur C(p) assurant au système un temps de réponse de 15 s et undépassement de 20 % en régime indicielle. Justifier de la structure de C(p). Tracer dans le plande bode la boucle ouverte corrigée. Relever les marges.

II.3/ Compléter la correction précédente afin d’assurer en plus un rejet de perturbation en entréede H2 le plus rapide possible. Tracer dans le plan de bode la boucle ouverte corrigée. Relever lesmarges. Tracer la réponse temporelle indicielle et le rejet d’un perturbation unitaire.

II.4/ Vérifier avec Matlab tous ces réglages notamment les tracés temporels

C(p) H2(p) H1(p)F(p) Θ(p) X(p)Xc(p)

II/ Structure de commande à une boucle


85

On utilise maintenant une structure de commande à 2 boucles sur la position du charriot et l’angle.

Justifier de l’intérêt de la structure ?III.1/ Boucle (interne) sur l’angleOn suppose que la mesure angulaire est effectuée par un capteur de fonction de transfert égale à20.a) Pour une correction angulaire unitaire, tracer dans la plan de bode la boucle ouverte (tracé

asymptotique puis réel). Relevé des marges de stabilitéb) Déterminer un correcteur C2(p) assurant au système un temps de réponse de 150 ms (justifier

?) et un dépassement de 20% en régime indicielle. Tracé de la BO et relevé des marges.c) Modifier C2(p) afin d’assurer le rejet de perturbation (en entrée de H2) le plus rapide possible.

Justifier de la structure de C2(p).III.2/ Boucle (externe) sur la positiona) Donner une expression approchée de la fonction de transfert Θ/U valable dans la zone de

fréquences (ie bande passante et en dessous) correspondant au cahier des charges du I.2/.b) Déterminer C1(p) suivant le cahier des charges du I.2/. Tracé des BO et des marges. Conclure

de l’intérêt de l’approche cascade.

III/ Structure de commande à deux boucles

C1(p) H2(p) H1(p)F(p) Θ(p)

X(p)Xc(p)C2(p)

20

U(p)


86

Commande numérique des systèmes à partir du continu


87

Implémentation numérique du correcteur continu

Correcteur

Capteur

Processuse(t) ε(t) y(t)

ym(t)

Algorithme de calcul

Bloqueur

Te

Te

Capteur

FLS(s)

Actionneur +

Processus

CN/A

CA/N

Correcteur numérique

e(t) ε(t) ε(k) u(k) u(t) y(t)

ym(t)FAR(s)

Actionneur

A prendre en compte à priori (si possible) lors du réglage du correcteur continu !


88

L’échantillonnage

L’échantillonnage doit être précédé d’un filtre anti-repliement à Fe/2 (Shannon) d’ordre 2 pour éviter tout risque de repliement de spectre.

A prendre en compte à priori dans le réglage du correcteur car déphasant (sauf si Te suffisamment petit au regard de la BP objectif)

( )1

4.1

1)(

2

2

+π

+π

=s

FF

ssF

ee

AR

( ) ∑∑∞+

−∞= ν=ν=

∞+

−∞=

−=ν→−δ=→→

n fT

feeke

T ee

e T

nfX

TXkTttxkxtxfX

1)()(][)()(

f

|X(ν)|

ν12

12

-

e

1

|X(f)| 1

f f

max f 2 e -f max f

2 e -

repliement


89

Le blocage

Le bloqueur doit être suivi d’un filtre lisseur à Fe/2 pour éviter la distorsion de commande due aux « marche d’escalier » du bloqueur.

A prendre en compte à priori dans le réglage du correcteur car déphasant (sauf si Te suffisamment petit au regard de la BP objectif)

22

22sin

)(2

21

e

ejf

Tj

e Tf

Tf

eTfBe

π

π=

π−

Te

u(t)u[n]

( ) ( ) )()(')(*][)(][)( 111 fBf

fXfXtbkTtxkTtbkxtxkxX

ee

ne

Tblocage e

=υ=→==−=→→υ ∑

+∞

−∞=

f

|X(ν)|

ν12

12

-

e

1

|X(f)|

f

fe2

fe2

- fe

2Te

Distorsion due aux lobs secondaires

1

1)(

+π

=

e

LIS

F

ssF


90

Impact de l’échantillonnage sur la stabilité

Le choix de la fréquence d’échantillonnage n’est pas anodin à cause :

- De l’impact du retard engendré par l’opération de blocage (CN/A) :

- De l’impact du retard dû au temps de calcul (majoré par Te)

sT

CNA

e

esH 23

)(−

≈

enT ( ) eTn 1+ ( ) eTn 2+

)(nε )1( +ε n )2( +ε n

cT cT cT

)(nu )1( +nu )2( +nu

t

2

Tmoyenretard e

ec TT ≤

s

se

r

r

sr

21

21

τ+

τ−≈τ−

Approximations

de Padé :


91

• Méthode conservative pour le choix de la période d’échantillonnage

- Régler la boucle ouverte continue K(s)H(s),- Choisir une fréquence d’échantillonnage à postériori suffisamment grande au

regard de la bande passante (ou du paysage modale de H ou du spectre des perturbations),

- ∆Φ et ∆G peu modifiés avec ceF ω≈100

)()()( sHsFsF CNALIAR

• Méthode « plus exacte » pour le choix de la période d’échantillonnage

Régler directement la boucle ouverte continue suivante :

Fe devient un paramètre de réglage comme le correcteur

[ ] )()()()()()( sHsHsFsKsFsH CNALSARBO =

• Méthode numérique directe (voir plus loin)Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

92

La quantificationLa discrétisation n’est pas seulement que temporelle, elle l’est aussi en amplitude.

)(nx

)(nxq

q

q2

q

q2

bitsenrésolution,2

minmax =−= nxx

qn

Bruit de quantification : -q/2 < εq(n)=xq(n)-x(n) < q/2

Modélisé par une variable aléatoire de densité de probabilité constante égale à 1/q entre –q/2 et q/2 )(p qε

2/q2/q−

q/1

qε1)dεp(ε

2/

2/ qq =∫−q

q

!bouclagele

pourrequiseprécisionla

decompatibleêtredoitq


93

De l’influence du bruit de quantification dans la boucle

DSP du bruit de quantification (supposé blanc) :

Impact sur la précision et le bruit consommant pour le dimensionnement :

qx

qε

∫−εε =εε=ε=σ=Γ2/

2/

2222

12

1)(

q

q qqqq

dq

Eqq

)(1

)(),(1

1)( s

HK

Ksus

HKs qq ε

+=ε

+=ε

12)()()(,

12)()()(

22 qsHsHs

qsHsHs uuu qqqq

−=Γ−=Γ →ε→εε→εε→εε

∫∫∞

∞−

∞

∞− εε Γ=σΓ=σj

j uuj

jdssdss )(,)( 22

)(sK )(sH

x

uε

)(tx

CAN tt

][ kxq

][ kxq)(tx

eT

eT

)(][ eTkxkx ⋅=

[ ]kxq

[ ]kxCapteur

eT

Codage Système

)(ty )(tx

][)(][ kkxkx qq ε+=


94

Transformation en z

94

Définition mathématique simplifiée :

Opérations usuelles :

Linéarité :

Décalage :

Convolution temporelle :

Connaissant H(z), on peut donc en déduire l’équation de récurrence du filtre numérique

∑∞

=

−=0

][)(k

kzkxzX

)()(][][ zBYzAXkBykAx +→+

nzzXnkx −→− )(][

)()()(][][][][][0

zUzHzYnkunhkhkukyk

n

=→−=∗= ∑=

0 0 0 0

0

0

[ ] ... [ ] [ ] ... [ ] ( ) ... ( ) ( ) ... ( )

( )( )

( )

n mn m n m

TZ

mi

iin

jj

j

a y k n a y k b u k b u k m a z Y z a Y z b U z b z U z

b zY z

H zU y

a z

− −

−

=

−

=

− + + = + + − → + + = + +

⇔

= =∑

∑Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

95

Système continu piloté par calculateur

1( ) ( )( ) (1 ) Z

( )

Y z H sG z z

U z s− = = −

• Modèle discret de l’ensemble CNA + Processus continu + CAN

abus d’écriture

Processus

continu H(s)

[ ]ku [ ]ky)(tu )(ty eT

C.N.A.

eT

C.A.N.

Modèle

discret H(z) ?

[ ]ku [ ]ky

( )U z ( )Y z

Démo

Z ( H(s) / s) = TZ ( Laplace-1 ( H(s) / s) )


96

Système continu piloté par calculateur - démonstration

[ ]

( )

1

1 1 1

( )( ) (1 ) ( )

( )

( )(1 ) ( ) (1 )Z

t kT

Y zH z z TZ g k

U z

H sz TZ L G s z

s

−

− − −

=

= = −

= − = −

u(k)=δ(k)

CNA

Tu(t)

1

0

1

0

t

T

k

Impulsion discrète u(t) = γ(t) - γ(t - T)γ(t) : échelon unitaire

u(t)

1

0

t

Tu(t) = γ(t) - γ(t - T)γ(t) : échelon unitaire

G(s)

y(t)

0

t

y(t) = g(t) - g(t - T)g(t) : réponse indicielle

y(t)

0

t

y(t) = g(t) - g(t – T)

CAN

T

y(k)

0

k

y(k) = g(kT) - g((k-1)T)

Réponse impulsionnelle H(z)

δ yPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

97

TZ usuelles et correspondance avec Laplace

97

Correspondance pôles/zéros en s pôles/zéros en z

00 0

eT pp z e→ =Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

98

TZ de signaux usuels


99

Application à une structure bouclée

99

C(z) CNA H(p)

CNA M(p)

y(t) y(k)

TT

T

u(k) u(t)

ym(k)

ε(k)e(k)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( )m mY z TZ y k Y z TZ y k U z TZ u k E z TZ e k= = = =

( ) ( ) ( )1 1( ) ( ) ( )( ) 1 Z ( ), ( ) 1 Z ( ), ( ) ( ) ( ) ( )m m

H s H s M sY z z U z Y z z U z U z C z E z Y z

s s− − = − = − = −

( )( )

1

1

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

( )( ) 1

( ) ( )( ) 1

m

m

Y z C z H z

E z C z H z

H sH z z Z

s

H s M sH z z Z

s

−

−

=+

= −

= −

Boucle fermée Numérique :

Boucle ouverte Numérique :

( ) ( ) ( )BO mH z C z H z=


100

Grand théorèmes – versions numériques

100

Stabilité

Théorème de la valeur finale :

Principe de superposition (inchangé) Précision des systèmes bouclés : résultats similaire en discret Examen de la stabilité de la BF à partir de la BO :

méthode identique dans le plan de Nyquist en prenant pour contour le cercle unité résultat similaire cette fois-ci sur la présence ou non de pôle dans le cercle unité.

On remplace pôle/zéro dans le demi-plan droit par pôle/zéro en dehors du cercle unité.

0

0

( )( ), stablesi les pôles sont 1

( )

mi

iin

jj

j

b zY z

H z zU y

a z

−

=

−

=

= = <∑

∑

( ) ( )1

1 1lim ( ) lim 1 ( ) lim 1 ( )k z z

x k z X z z X z−→∞ → →

= − = −


101

• Principe

• But : calculer un correcteur numérique ayant une réponse

fréquentielle « proche » de celle du correcteur analogique :

• Méthodes de discrétisation

a. Invariance impulsionnelle

b. « Matched Transform » ou adaptation des pôles et des zéros

c. Méthode d’Euler ou des rectangles

d. Transformée bilinéaire ou homographique (anglais: Tustin’s approximation)

)(tu)(sCa

)(tε ][ku)(zCn

][kεdiscrétisation

ωω jsaezn sCzC eTj ==≈ )()(

équations

intégro-

différentielles

équations aux

différences

Transposition continu discret des correcteurs


102

On approxime numériquement la dérivée ou l’intégrale d’une fonction continue

par la méthode des rectangles

Dérivation :

soit :

Intégration :

soit :

[ ] [ ] )(1)()(0 eet

kTsTkykydsty +−≈→= ∫ ττ

t

)(ts

ekT eTk )1( −

t

)(ty

[ ] ( )e

ee

T

TkykTyks

dt

tydts

)1()()()(

−−≈→=

eTk )1( + ekT eTk )1( − eT

zs

11 −−→

11

1−−

→z

T

se

Transformation d’Euler


103

On approxime numériquement l’intégrale par la méthode des trapèzes

soit :

Calcul du correcteur :

∫=t

dsty0

)()( ττ

t

)(ts

eTk )1( + ekT eTk )1( −

[ ] [ ] ( ))( )1()(2

1 eee TkskTs

Tkyky −++−=

1

1

1

1

2

1−

−

−+→

z

zT

se

1

1

1

12)()(−

−

+−=

=z

z

Tsan

e

sCzC

Transformation bilinéaire (ou Tustin)


104

Transformation d'Euler Transformation Homographique

11(1 )s z

T−→ −

1

1

2 (1 )

(1 )

zs

T z

−

−

−→ ⋅+

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Transformation

homographique

Transformation

d’Euler

Dérivation

idéale

Tπ ω (rad/s)

Module

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Transformation

homographique

Transformation

d'Euler

Dérivation

idéale

ω (rad/s)

Phase

(degré

Tπ

Distorsion fréquentielle induite par Euler/Tustin


105

Transformation d'Euler Transformation Homographique

11(1 )s z

T−→ −

1

1

2 (1 )

(1 )

zs

T z

−

−

−→ ⋅+

Non conservation des pôles par ces approximations :

Transformation

d'Euler

Transformation

Homographique

Par rapport à la relation exacte

approximation

d’ordre 1

approximation

d’ordre 2

Non conservation de la position des pôles et des zéros induite par Euler/Tustin

Attention aux rejecteurs réglés en continu !! Notion de préwarping avec Tustin Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

106

Principe : Décomposition de C(s) sous la forme de produits de pôles et de zéros

( )( )

( )j

j

s rC s

s

−=

−∏∏ ρ

Transformation : Association à chaque terme élémentaire dans le plan s d'un

terme élémentaire dans le plan z

11( ) (1 )ks T

ks s e zT

−− → −

Transformation par conservation des pôles et des zéros (Matched Transform)


107

Continu Euler Homographique « Matched »

1 2,45( )

1 0,408

sC s

s

+=+

1

1

3,8821 3,4585

1 0,5764

z

z

−

−−

−

1

1

4,6565 4,1191

1 0,4626

z

z

−

−−

−

1

1

4,5147 3,9943

1 0,4796

z

z

−

−−

−

10 −1

10 0

10 1

10 2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Euler

« Matched »

continu

(rad/s)ω

homographique

Mod

ule

(dB

)

10 −1

10 0

10 1

10 2 0

10

20

30

40

50

Euler

« Matched »

continu

homographique

(rad/s)ω

Pha

se (

degr

és)

Exemple 1. Correcteur à avance de phase

)'',,(c2d

:

methodTeH

Matlab

),(cls2dls

:)(

TeH

tustinScilabPhilippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

108

Exemple 2. Oscillateur

2( ) 0,6 s

1

sC s T

s= =

+

0

10

20

30

40

50

60

70

80

10 0

−10

Euler

Matched

continu

homographique

(rad/s)ω 2x10 0

Module (dB)

10 −1

10 0

10 1

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Euler

Matched

continu

homographique

homographique

(rad/s)ω

)'',,(c2d

:

methodTeH

Matlab

),(cls2dls

:)(

TeH


109

Exemple 3. PID

)'',,(c2d

:

methodTeH

Matlab

),(cls2dls

:)(

TeH


110

Exemple - Implémentation numérique du PID

Algorithme de calcul

Bloqueur

Te

Te

Capteur

FLS(s)

Actionneur +

Processus

CN/A

CA/N

Correcteur numérique

e(t) ε(t) ε(k) u(k) u(t) y(t)

ym(t)

)()1()( kT

TKkuku

i

eii ε+−=

K

[ ])1()()( −ε−ε= kkT

TKku

e

dd

)(ku)(kε

FAR(s)

)(kup

)(kui

)(kud

enTt T

nyny

dt

dy

e

)1()( −−≈=

( )

)()1()(

)(0

neTnsns

dets

e

t

+−≈⇒

ττ= ∫


111

Conditionnement par gel de l’intégrale

)()()( nynen m−=ε

)()( nKnup ε=

[ ])1()()( −ε−ε= nnT

TKnu

i

dd

)1()()()( −++= nunununu idpc max

?)( unu =

)1()( −= nunu ii)()1()( nT

TKnunu

i

eii ε+−=

[ ][ ]minmax ,),(maxmin)( uununu c −−= Conditionnement par gel de l’action intégrale


112

Conditionnement par anti-windup

K

iT

K

s

1

tT

1

e(t)

ym(t)

ε(t)

ui(t)

u(t)uc(t)

up(t)

Rétroaction pour annuler ∆u(t) lorsque u(t) ≠ uc(t) et éviter ainsi les charges intempestive de l’intégrateur en cas de saturation pour ε(t) grand

∆u(t)

sT

sKT

d

d

α+1 ud(t)

Dérivée sur la mesure en cas de variation brutale de consigne

ε++=

++

+=

ipdPID

tt

tPIDc

T

Kuuu

sT

u

sT

sTuu

11

it Tz

T

1correcteurdudominantéro

1 ≈≈Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

113

Conditionnement par rétroaction positive

K

sTi+1

1

e(t) u(t)uc(t)

sT

sT

sK

Ti

i

i

+=

+−

= 1

1

11

1

s

sTd

τ+1

Régime linéaire


TD4 Exercice 1

114

Exercice 2


TD4Exercice 3

115

Exercice 4

CNA s+1

1

Te=0,4 s u[k] y[k]

G(z)


116

( )twT

+ −C.N.A.

( )kε ( )u k ( )u t +

+

T

C.A.N.

TD4 – Exercice 5


117

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Magnitude (

dB

)

100 101 102 103

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


118

( )twT

+( )cy k

−C.N.A. 1( )G s

y t( )2( )G s( )C z

( )kε ( )u k ( )u t +

+

T

TD4 - Exercice 6


119

Commande numérique des systèmes – Approche polynomiale


120

Généralités

120

Au niveau de la correction numérique, 2 grandes méthodes :

Transposition continue discret à partir de la synthèse d’un correcteur à temps continu (cf partie précédente)

Inc : - Ne tient pas compte de la période d’échantillonnage lors de la synthèse,- N’exploite pas les potentiels des méthodes numériquesAv : - Conserve un sens physique aux paramètres du correcteurs

Méthode polynomialeInc : - interprétation physique des paramètres du correcteur difficileAv : - Exploitation des méthodes numériques- Synthèse algébrique facile à implémenter- Couplage facile avec les méthode d’identification expérimentales- Intègre explicitement la période d’échantillonnage (pas de pertes de

performance)


121

Structure R,S,T – cas du PID

121

( )U z( )cY z ( )Y z

( )V z ( )W z

+

−

+

+

+

+

1( )R z−

1

1

( )S z−

1

1

( )

( )

B z

A z

−

−1( )T z−

Système

échantillonnéCorrecteur

Une mise en forme particulière du régulateur

Exemple du PID (Euler) :


122

Système

échantillonnéCorrecteur

( )U z( )cY z ( )Y z

( )V z ( )W z

+

−

+

+

+

+1( )T z−

1( )R z−

1

1

( )S z−

1

1

( )

( )

B z

A z

−

−

Correcteur à deux

« degrés de liberté »

Permet de dissocier les performances de

régulation (ie de stabilisation) des performances de

poursuite

Structure R,S,T – cas général

( ) 10 1

10 1

...

( ) ...

mm

nn

B z b b z b z

A z a a z a z

− −

− −

= + + +

= + + +

10 1

10 1

10 1

( ) ...

( ) ...

( ) ...

qq

pp

ll

R z R R z R z

S z S S z S z

T z T T z T z

− −

− −

− −

= + + +

= + + +

= + + +Philippe FEYEL | 2018 | Systèmes Asservis

123

Structure R,S,T – équations du système bouclé

• Commande :

• Sortie :

• Ecriture allégée :

• Par élimination :

1 1

1 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )c

T z R zU z Y z Y z

S z S z

− −

− −= −

1 1

1 1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

B z B zY z U z V z W z

A z A z

− −

− −= + +

cSU T Y RY= −AY BU BV AW= + +

cAT BR AR

U Y V WAS BR AS BR AS BR

= − −+ + +

cBT BS AS

Y Y V WAS BR AS BR AS BR

= + ++ + +


124

Structure R,S,T – synthèse de lois de commande R,S,T

1

1

( )( )( )

( ) ( )m

mc m

B zY zF z

Y z A z

−

−= =

( )( )

( )c

Y z BTY z

Y z AS BR= =

+

( 0)v w= =

m

m

BBT

AS BR A=

+Souvent, ordre du système > ordre de la fonction de transfert objectifSoit augmentation « artificielle » de l’ordre de la FT objectif (par des pôles très

rapides)Soit compensation de pôles/zéros (stables) dans la FT du premier membre


125

Synthèse d’une loi de commande R,S,T – approche sans compensation de pôles/zéros

m

m

AS BR A

BT B

+ = =

m

m

BBT

AS BR A=

+Il faut donc réaliser :

Remarque 1 –

Remarque 2 – équation à résoudre = équation diophantienne :

A, B, C = polynômes donnés ; X, Y = polynômes inconnus

A X B Y C+ =


'm mB BB=Bm

sera forcément de la forme , Bm’ à spécifier T = Bm

’

: volet dynamique de boucle

: volet anticipation

(1)(1)

(1)mA

TB

=

126

Equation Diophantine


127

• Résolution de l’équation diophantienne

– Algorithme de résolution matricielle

1 10 1 0 1

1 1 10 1 0 1 0 1

( )( )

( )( ) ( )

n pn p

m qm q l

a a z a z x x z x z

b b z b z y y z y z c c z c z

− − − −

− − − − − −

+ + + + + + +

+ + + + + + + = + + + ℓ

⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

1 1 1

1 1

deg ( ) ; deg ( ) ; deg ( )

deg ( ) ; deg ( )

A z n B z m C z

X z p Y z q

− − −

− −

= = =

= =

ℓ

A X B Y C+ =

Equation Diophantine - résolution


128

0 0

1 0 1 00

2 1 2 1

2 2

0

10

2 0

1

2

0 0 0 0

0

0 0

0 0

0

0

0 0 0 0

mp

n m

n

qn

m

a b

a a b bx

a a b b

a b

a bx

a a by

a a b

b

by

a

b

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮⋮

⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱

⋮ ⋱ ⋱ ⋱⋮

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱

⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

0

1 1

l

c

c

p q

=

+ +

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

max ,

1

n p

m q

+

+ +

( )( )

0 0

0

... | ...

... | 0...0

Tp q

Tl

x x y y

c c

Φ =ΑΦ = Ε Ε =

( ) 1T T T T−ΑΦ = Ε⇒ Α ΑΦ = Α Ε⇒ Φ = Α Α Α Ε

Equation Diophantine - résolution


129

Eléments de réglages vis-à-vis des perturbations (1/3)

0

0

0

,'m m m m

m

'm m

B BB A A A

AS BR A A

BT BB T A B

= = + = ′= ⇒ =

m

m

BBT

AS BR A=

+On rappelle qu’il faut réaliser :

Rajout d’un filtrage A0(z) avec Am(z) et pris en compte dans T(z) de sorte que :

Mais :

A0(z) pourra permettre de rejeter des perturbations sur la sortie sans modifier Y/Yc

grâce à T(z) découplage des fonctions rejet de perturbations / suivi de consigne.

0

0

m m m

c m m m

BA B BB BY BT

Y AS BR A A A A

′ ′= = = =

+


0 00

cY mV

Y AS AS

W AS BR A A==

= =+

130


• Choix du polynôme

• Peut servir à modifier la réponse du système bouclé aux perturbations,

sans influencer son comportement vis-à-vis de la consigne

• Exemple : filtrage par une fonction du premier ordre

• Cas général : si effet précédent non recherché, prendre simplement

10( ) 1A z− =

10( )A z−


131


11(1 )S z S−= −

11

0(1 ) mA S Rz B A A−− + =


132

11

1

( )( )

( )m

mm

B zF z

A z

−−

−=

1 1 11 2( ) ( ) ( )mA z P z P z− − −=Cas général où l’ordre du système est > à 1 ou 2 :

En effet : AS + BR = Am deg(A) = n deg(A

m) = m

Comportement dominant

Eléments de réglages vis-à-vis de la boucle fermée (1/3)


Bm et Am à spécifier

133


1 1 11 2( ) ( ) ( )mA z P z P z− − −=

1 1 21 1 2( ) 1P z p z p z− − −= + +

0

0

21 0

22

2 cos 1e

e

Te

T

p e T

p e

ζω

ζω

ω ζ−

−

= − − =

0 2 21 1 0 0, (cos 1 sin 1 )eT

e ez z e T j Tζω ω ζ ω ζ−= − ± −

0,1kz ≤ 3 0nz z= = =⋯ou


134


1 1 1( ) ( ) '( )m mB z B z B z− − −=


m

m

AS BR A

BT B

+ = =

• Choix du numérateur Bm(z)

ne peux être choisi quelconque ; en effet :

Comme B, T et Bm sont 3 polynômes, on retrouvera nécessairement B dans Bm.

Bm aura donc la forme suivante :

Bm(z)’ doit alors être spécifié, par défaut Bm(z)’ Bm’

Et (pour une boucle fermée de gain statique 1) :

(1) '(1) (1)1 '(1) (1)

(1) (1)m m

mm

B B AB T

A B= ⇒ = =

135

( ) ( ) ( )ck y k y kε = −

Annulation de l’erreur statique vis-à-vis de la consigne (1/3)

( )( )1(1) (1)

1 (1) '(1)1 (1)

mm

c m

AY BT B TT B

Y AS BR A B= ⇒ = ⇒ = =

+


136

( ) ( )ncy k k k= ϒ

[ ]( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )mc m c c

m

Bz Y z Y z F z Y z Y z

Aε

= − = − = −

11 1

( )(1 )

cc n

YY z

z− +=−

11 1

( )(1 )

m m cn

m

A B Yz

A zε − +

−= ⋅−

1 111 1

lim ( ) lim (1 ) ( ) lim(1 )

m m cnk z z m

A B Yk z z

A zε ε−

−→ ∞ → →

− = − = ⋅ − 1 1 1(1 ) ( )n

m mA B z L z− + −− = −lim ( ) 0k

kε→ ∞

=

1( )L L z−=où1 1(1 )n m mz L B A− +− + =



137

1 1(1 )n m mz L B A− +− + = 1 1(1 )n m mz L BB A− + ′− + =

10( ) mT z A B− ′=

1 1

1(1) (1) (1 ) 0n

m mz

A B z L− +=

− = − =



138

( ) ( )ncy k k k= ϒ

0

( ) ( ) k

k

z k zεε∞

−

== ∑

1 111

11

( ) ( )( ) ( )

( )c m m

cmm

L z Y z A Bz Y z

AA z

− −−

− −= =

ε

( ) ( ) ( )ck y k y kε = −

Annulation de l’erreur en un temps fini (1/2)


139

Annulation de l’erreur en un temps fini (2/2)

1mA =

mA

( )m m mF z B BB′= =

11 0 1

0 1

r rr r

m r r

f z f z fF f f z f z

z

−− − + + += + + + = ⋯⋯

1z−mF


140

• Correcteur série (ZDAN)

• Dans la structure RST, fixons :

• On retrouve la structure « classique » du correcteur série :

• Fonction de transfert du correcteur :

1 1( ) ( )T z R z− −=

1

1

( )( )

( )

R zC z

S z

−

−=

cY +−

R

S

U+

+

+

WV

B

A

Y+

Correction série


141

Synthèse d’une loi de commande R,S,T – approche avec compensation de pôles/zéros

• Objectif (rappel) : calculer une loi de commande de type RST qui confère

au système bouclé une fonction de transfert « modèle » :

• Hypothèse :

réaliser :

Ordre du système > ordre du modèle (habituellement)

compensation de pôles / zéros dans fonction de transfert du premier

membre pour simplifier la résolution

1

1

( )( )

( )m

mm

B zF z

A z

−

−=

( ) ( )cBT

Y z Y zAS BR

=+

0v w= =

m

m

BBT

AS BR A=

+


142

• Factorisation de la fonction de transfert du procédé

où :

contient tous les pôles de que l’on ne veut pas compenser

contient tous les zéros de que l’on ne veut pas compenser

… à savoir :

• obligatoirement, les pôles et les zéros extérieurs au (ou sur le) cercle unité ie

instables ;

• facultativement, certains autres termes (cf. plus loin) ;

et contiennent tous les autres termes ; ces termes seront

compensés par le régulateur RST

N.B.: coefficient constant et retard éventuel inclus dans

tous les polynômes sont moniques, sauf

1( )B z+ −

1( )B z− −

1( )A z+ −

1( )A z− − ( )G z( )G z

zK dz− 1( )B z− −

1( )B z− −

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

B z B z B zG z

A z A z A z

− + − − −

− + − − −= =

Analyse en cas de compensations


143

• Compensation des pôles et/ou des zéros « stables » du procédé

pourra être un facteur de

pourra être un facteur de

B+ AS BR+ S B S+ ′=

0

0

m

m

A S B R A A

T A A B

− −

+

′ ′+ =

′=

A+AS BR+ R A R+ ′=

boB R

HA S

=


( )' '' 'm

m

BBT B B T B B T B T

AS BR AA A S B B R A A B S B B A R A A S B R

+ − + − −

+ − + − + − + + − + + − −= = = =

+ + + +


Bm(z) sera forcément de la forme : , Bm’(z) à spécifier( ) ( ) ( ) 'm mB z B z B z−=

(1) '(1) (1)1 '

(1) (1)m m

mm

B B AB

A B

−

−= ⇒ =

144


1 1

1 1 1 1 1 1c

B B A R A A A RA A TU Y V W

A A B S B B A R A A B S B B A R A A B S B B A R

+ − + + − ++ −

+ − + + − + + − + + − + + − + + − += − −+ + +

1 1

1 1 1 1 1 1c

B B B S A A B SB B TY Y V W

A A B S B B A R A A B S B B A R A A B S B B A R

+ − + + − ++ −

+ − + + − + + − + + − + + − + + − += + ++ + +

( ) ( )1 1

1 11 1 1 1c

B R A A RA TU Y V W

A S B RB A S B R B A S B R

− + −−

− −+ − − + − −= − −

++ +

( ) ( )1 1

1 11 1 1 1c

B B S A SB TY Y V W

A S B RA A S B R A A S B R

− + −−

− −+ − − + − −= + +

++ +

Tout zéro de B compensé devient pôle de U/Yc et U/W

Tout pôle de A compensé devient pôle de Y/Yc et Y/V Interdiction de compenser des pôles/zéros instables


145

Importance du signe des pôles/zéros compensés

1

( ) 1( ) ( ) ( 1)

( ) 1i

i

S zs n e n z s n

E z z z−= ⇒ = ± −±

( ) ( ) ( 1)

(0) 1

(1) (0) (0)

(2) (1) (1)

...

i

i

i

s n e n z s n

s

s z s s

s z s s

= + −== <= <

Impulsion discrète e(0) = 1, e(n) = 0, n > 0

s

n0

( ) ( ) ( 1)

(0) 1

(1) (0) 0

(2) (1) 0

...

i

i

i

s n e n z s n

s

s z s

s z s

= − −== − <= − >

s

n00

Re(z)

Im(z)1

Lorsque le pôle/zéro compensé est négatif, il peut se produi re une réponsepseudo-oscillante pas forcément compatible du cahier des c harges et du système. Même stables, les pôles/zéros négatifs ne sont pas systémat iquement compensables


Pôle négatif

Pôle positif

146

TD5Exercice 1

( )U z( )cY z ( )Y z+

−1( )T z−

1( )R z−

1

1

( )S z−


147

TD5Exercice 2

Régulation de puissance fournie par une éolienne


Te = 50 ms

148

Cahier des charges

1) Etablir le modèle discret et le simplifier au vue du cahier des charges2) Donner la méthode permettant l’obtention d’un régulateur R,S,T correspondant en justifiant de la

structure des polynômes3) Evaluer l’erreur statique pour une phase de montée en puissance en rampe en prenant :

4) Comment modifier le régulateur précédent afin d’annuler l’erreur statique en réponse à une consigne en rampe

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

1 1

1 4 1 2 1

1 5 1 1

1

8,415.10 1 2,0876 1,103 1 0.9048

7.239.10 1 0.9048 1 0.8187

S z z

R z z z z

T z z z

− −

− − − − −

− − − −

= −

= − + −

= − −


149

Bibliographie


Ouvrages de référence

150

E. Godoy et al. – Régulation industrielle – Dunod – 2007

J. Gille, P. Decaulne, M. Pélegrin – Théorie et calcul des asservissements linéaires – Dunod - 1993


Documents

Cours systèmes asservis [Mode de compatibilité]