Cours Traitement d'antennes Chonavel

Traitement d’antennesENST de Bretagne

Thierry Chonavel

Laboratoire CNRS TAMCIC (UMR 2872),[email protected]

24 octobre 2007

Thierry Chonavel Traitement d’antennes 1/38

Plan

1 Position du probleme

2 Localisation de sourcesLocalisation en presence de bruit correleProbleme large bandeEstimation des covariances

3 Formation de voiesGeneralitesFV independante des donneesApproche statistique de la FVFormation de voies adaptative


Plan





Systemes mono-capteurs et multi-capteurs

• Traitement d’antennes (array processing)

traitement

traitement global

systeme mono−capteur

systeme multi−capteurs


Observation et problemes envisages

• Nature de l’observation• champ spatio-temporel stationnaire, regulierement echantillonne en

temps et en espace au moyen d’un reseau de capteur• signaux emis par p sources decorrelees• bruit additif decorrele avec les sources

• Problemes envisages• localisation de sources (⇔ estimation de temps de retard)• formation de voies ( formation de diagramme de rayonnement)

• Solution : prise en compte de l’information temporelle et spatiale.


Hypotheses generales

• Reseau d’antennes (array antenna)

θ

1 2 N

s(t)

Figure: Source s(t) de frequence f dans la direction θ.

• Reseau lineaire de capteurs equidistants; Ondes planes.


Sectre spatio-temporel du champ observe

2π θfo d sin

f

φ

fo

c

Fmax−Fmax

maxφ

φ − max

Figure: Support spectral des ondes planes


Espacement entre capteurs

• φ(1, n) = 2π fdc sin θ;

Pour eviter l’ambiguite de position des sources, il faut que

∀f ∈ [−fmax, fmax],∀θ ∈ [−π

2,π

2], |2π

fdc

sin θ| < π, (1)

soit d < c2fmax

(d < λmin2 ).

• On prend generallement d = c2fmax

. On a alors φmax = π.


Probleme a bande etroite et a large bande

∆ff

φ

Fmax−Fmax

maxφ

φ − max

c2π θf2 d sin

c2π θf1 d sin

f1 f2

∆φ

• Bande etroite si ∆f << c(N−1)d . Sinon, large bande →

defocalisation.• Pour f fixe la contribution de la source de direction θ est une

sinusoıde de pulsation 2π fdc sin θ

• Donc, en bande etroite, la source peut etre vue comme unesinusoıde.


L’hypothese bande etroite (I)

• Reseau lineaire de capteurs equidistants. Signal emis: st = ξe2iπft .Signal recu sur le capteur n:st(n) = st+τ(1,n)(1) = (t + τ) = s1(t)e2iπfτ(1,n) = s1(t)eiφ(1,n)

• Retard et dephasage:

τ(1, n) = d(1,n)c sin θ = (n−1)d

c sin θ

φ(1, n) = 2π (n−1)fdc sin θ.

(2)

• La contribution vectorielle de la source a l’observation sur le reseauest une sinusoıde spatiale de pulsation φ = 2π fd

c sin θ:

s(t) = s(t)[1, eiφ, . . . , ei(N−1)φ]T . (3)

• Le probl eme de localisation de sources peut etre vu comme unprobl eme de d etection de sinusoıdes .


L’hypothese bande etroite (II)

c2π f d sin θ 1

2π θ2f d sin c

π(f/Fmax)

π(f/Fmax)−

f

φ

Fmax−Fmax

maxφ

φ − max

f

=π

= −π

• Classiquement: TF par rapport a la variable temporelle• Souvent: trop peu de capteurs pour effectuer la TF spatiale !• Solution : employer des methodes a haute resolution.


Plan





Modele des observations

• Hypothese bande etroite. Frequence f fixee. p sources (p connu !)

• Observation

y t =∑

k=1,p

sk ,td(φk ) + bt = As t + bt (4)

avec d(φ) = [1, eiφ, . . . , ei(N−1)φ]T , A = [d(φ1), . . . , d(φp)], ets = [s1,t , . . . , sp,t ]

T .

• On observe T realisations {y t}t=1,T


Connaissance statistique accessible

• A defaut du spectre, on a un acces direct aux premieres covariancesspatiales estimees par Ry = T−1 ∑

t=1,T y tyHt .

• Modele parametrique correspondant:

Ry = E[y tyHt ] = Rs + Rb = ACsAH + Rb, (5)

avec [Cs]ij = δijσ2si

.


Principe de la goniometrie

• On suppose le bruit spatialement blanc : Rb = σ2bI

• On exploite la structure hermitienne de Rs:Rs = Udiag{λ1, . . . , λp, 0, . . . , 0}UH , avec λ1 > . . . > λp > 0. Donc

Ry = Udiag{λ1 + σ2b, . . . , λp + σ2

b, σ2b , . . . , σ2

b}UH . (6)

et

vect{d(φ1), . . . , d(φp)} = vect{U1, . . . , Up} = [vect{Up+1, . . . , UN}]H .

(7)• Spectre MUSIC:

g(φ) =1

|∑

k=p+1,n UHk d(φ)H |2

. (8)


Cas du bruit correle

• On peut chercher a estimer un modele pour le bruit.

• Plus direct : estimer un modele global signal+bruit pour le spectrespatial.

• Peu de covariances disponibles → regularisation ARMA.• description par equation aux differences• description par modeles d’etat


Justification du modele ARMA• Modelisation realiste de la source k sur le capteur n:

sk ,t(n) = eiφk sk ,t(n − 1) + vk ,t(n), (φk = 2πfdc

sin θk ). (9)

• Le bruit peut etre decrit par un modele ARMA:

bt(n) =∑

k=1,q1

αk bt(n − k) +∑

k=0,q2

βk wt(n − k). (10)

Spectre spatial de yt(n) =∑

k=1,p sk ,t(n) + bt(n):

Sy (φ) =∑

k=1,p

σ2vk

|1 − eiφk e−iφ|2+ σ2

w

|∑

k=0,q2βk e−ikφ|2

|1 +∑

k=1,q1αke−ikφ|2

. (11)

• Estimation Sy (φ) a partir de [Ry ]11, . . . , [Ry ]N1.


Estimation ARMA par modele d’etat (I)

• Modele des sources (theorique),du bruit et global:{

xs(n) = diag{eiφ1, . . . , eiφp}xs(n − 1)s(n) = [1, . . . , 1]xs(n)

(12)

{

xb(n) = Fbxb(n − 1) + w(n)b(n) = Gbxb(n)

(13)

x(n) =

[

diag{eiφ1, . . . , eiφp} 00 Fb

]

x(n − 1) +

[

0w(n)

]

= Fx(n − 1)

y(n) = [1, . . . , 1, Gb]x(n) = Gx(n).(14)


Estimation ARMA par modele d’etat (II)• La technique utilise la matrice de Hankel des covariances

Ry (0) Ry (1) . . . Ry (N/2)Ry (1) Ry (2) . . . Ry (N/2 + 1)

. ..

Ry(N/2) Ry (N/2 + 1) . . . Ry (N)

=

GGF...

GFN/2

.[

PH FPH . . . FN/2PH]

= 0C, P = cov(x(n)).

(15)

• On note que O↑ = O↓F, soit F = (O↓HO↓)−1O↓HO↑ = O↓#O↑.• Les {φk}k=1,p sont fournis par les arguments des valeurs propres de

F proches du cercle unite.


Probleme large bande

• Methode: synthetiser les resultats obtenus dans les sous-bandesetroites.

• On exploite le fait que pour une source φ varie lineairement avec f .

• Une technique possible; Moyenner les spectres MUSIC:

g(φ) =1

∑

k=1,K gk (fk , φ), avecgk(φ) =

1∑

k=p+1,N Uk(fk )d(fk , φ),

(16)

et d(fk , φ) = [1, ei fmax

fkφ, . . . , e

i(N−1) fmaxfk

φ]T , car a la frequence f et

pour la direction θ, φ = 2π fdc sin θ.

• Perte de resolution.


Focalisation

• Deux approches• transformation lineaire : T(fk )d(fk , φ) = d(fmax, φ)• transformation non lineaire : Sk (fk , φ) → Sk (fmax, φ).


Focalisation lineaire

1 Estimation bande etroite des pulsations (φu,k )u=1,p;k=1,K auxfrequences f1, . . . , fmax

2 Construire {T(fk )}k=1,K telles que T(fk )Ak (fk ) = Ak(fmax), avecAk (fk ) = [d(fk , φ1,k ), . . . , d(fk , φp,k )]. On peut prendre

T(fk ) = [Ak (f0), A(f0)][Ak (fk ), A(fk )]−1. (17)

3 Construire la matrice de covriance focalisee

Ry =∑

k=1,K

T(fk )Ry (fk )T(fk )H (18)


Focalisation lineaire approchee

• On voudrait que T(fk )d(fk , φ) ≈ d(fmax, φ), ∀φ

• On peut prendre

T(fk ) = arg minT(fk )

∫ π

−π

‖ T(fk )d(fk , φ) − d(fmax, φ) ‖ dφ,

ou un critere contraint si on veut priviliegier certaines directions:

minT(fk )

∫ π

−π‖ T(fk )d(fk , φ) − d(fmax, φ) ‖ dφ

T(fk )d(fk , φi) ≈ d(fmax, φi ), i = 1, . . . , p.

(19)


Focalisation non lineaire

1 Estimer le spectre Sk (φ) aux frequences f1, . . . , fmax.

2 Focaliser les spectres

Sk(φ) → Sk(fmax

fkφ). (20)

3 Extraire conjointement les pulsations {φk}k=1,p


Parametrisation des covariances

• Parametrisation de la matrice des covariances R (structure Toeplitz)• Approximation conique:

K+M =

S =∑

m=1,M

αmd(φm)d(φm)H ; αm ≥ 0, φm = (2m − M − 1)π/M

(21)

• Estimation par optimisation :

{

minα ‖ (R−1 ∑

m=1,M αmd(φm)d(φm)H − R−1)R−1 ‖

αm ≥ 0, m = 1, . . . , M.(22)


Estimation des covariances

• Hypothese gaussienne. Log-vraisemblance:

L(S) = − log |S| − Tr [S−1R].

• Proleme des optima locaux.

• Estimateur asymptotiquement equivalent:

minS

‖ (S − R)R−1 ‖2 .


Conclusions sur la localisation de sources

• Localisation en presence de bruit blanc : algorithme MUSIC ouvariantes

• En presence de bruit correle : estimation ARMA du spectre spatial

• Localisation de sources a large bande : focalisation lineaire ou nonlineaire des solutions a bande etroite.

• Estimation de la matrice de covariance des observations

• Remarque: le diagramme de rayonnemment global sera le produitdu diagramme d’un capteur (capteurs identiques) par la fonction dereseau.


Plan





Formation de voies (beamforming)

• Objectif: formation electronique d’un diagramme de rayonnement• Methode: combinaison des sorties d’un reseau de capteurs

• par ponderation scalaire des sorties de capteurs• par filtrage des sorties de capteurs

• Traitement large bande et bande etroite• Differentes approches possibles

• prise en compte des sorties de capteurs• traitements par blocs ou adaptatif


Approche elementaire

• On observe y t = d(f , φ)st + bt (d(f , φ) = [, . . . , e2iπ fdc sin θ]T )

• Formation de voies par remise en phase de l’information utile

zt = d(f , φ)Hy t = Ns(t) +∑

n=1,N

b(n)e−2iπ(n−1) fdc sin θ.

• Fonction de reseau: g(φ) = |d(φ)H

1.1

|2 = (sin(Nφ)sin(φ) )2.

• Pour une source large bande, il faudrait appliquer d(f , φ)H pourchaque frequence f , c.a.d. un filtre de reponse frequentielleh(n, f ) = e−2iπ(n−1) fd

c sin θ sur le capteur n.• Dans le cas large bande, deux approches sont possibles:

• filtrage derriere chaque capteur• realiser des traitements bande etroite dans le domaine temporel.


Traitements large bande


FV independante des donnees

• Frequence f fixee. Formation de voie simple:

zt = d(f , φ)Hy t = Ns(t) +∑

n=1,N

b(n)e−2iπ(n−1) fdc sin θ.

• Gain de formation de voies

GFV =SNRFV

SNR0=

Tr(Rb)

Tr(ΠRb),

avec Π = d(f ,φ)d(f ,φ)H

‖d(f ,φ)‖2 .

• Estimateur spectral du periodogramme

S(φ) = E[|z|2] = d(f , φ)HRyd(f , φ).


Generalisation

• On chercheh = arg min

h‖ AHh − rd ‖2,

avec A = [d(f , φ1), . . . , d(f , φp)] et, en general, [rd ]k ∈ {0, 1}.

• Solution unique pour p ≥ N:

h = (AAH)−1Ard .

• Cas large bande: A = [d(f1, φ1), . . . , d(fp, φp)].

• Pour p < N, la solution de norme minimale s’ecrit

h = A(AHA)−1rd .


Approche statistique de la FV

• On exploite la connaissance de Ry

• Approche generale. Pour Ry = Rs + Rb le critere de maximum deSNR s’ecrit:

h = arg maxh

hHRshhHRbh

• Caractere general et limitation de cette approche.

• Solution: h est le vecteur propre associe a la plus grande valeurpropre de R−1

b Rs.


Filtre adapte spatial

• Encore appele estimateur a variance minimale• On cherche h solution de

{

minh E[|hHy|2]hHd(fp, φp) = 1

qui est donnee par le filtre adpt e spatial (FAS)

h =R−1

y d(fp, φp)

d(fp, φp)HR−1y d(fp, φp)

• Gain par rapport a la formation de voies classique:GFAS = SNRFAS

SNRFV= Tr(ΠRb)Tr(ΠR−1

b ).

• Estimateur spectral de Capon: S(φ) = 1d(fp ,φp)HR−1

y d(fp ,φp).


Generalisation: GSC{

minh hHA(y)hCHh = c.

• Optimum h = A−1C(CA−1CC)−1c.• Methode GSC (Generalized Sidelobe Canceler): prend en compte

l’evolution temporelle de A(y) (par ex. A(y) = Ry ) avec un cout decalcul limite

• h = h0 + Ch• avec CHh0 = c et Im{C} = Ker{C}.• Solution: h0 = C(CHC)−1c et (par ex.) h = (CA(y)C)−1CHA(y)h0.

• Proprietes• L’information statistique n’est contenue que dans h• h est de dimension inferieure a N• Possibilite d’implementation adaptative.


Formation de voies adaptative

• Presentation unifiee des criteres

h = arg minh

|yd − hHx|2 = R−1x rxyd

• Pour le GSC: x = Cy et yd = hH0 y.

• On peut estimer h de facon recursive par les algorithmes LMS ouRLS (voir cours de traitement du signal adaptatif).

• Formation de voies partiellement adaptative.


Conclusion

• Possibilite de former le diagramme de rayonnement d’une antenne.

• Prise en compte de contraintes (directions de gain fort ou de gainfaible, ...)

• Prise en compte des statistiques de l’observation

• Techniques a cout de calcul limite (GSC, traitement adaptatif)

• Lien avec le probleme de la localisation de sources.


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