TRAVAUX DIRIGES DE TRANSFERT THERMIQUE (Module En311)

Institut Polytechnique des Sciences Avancées63, Bvd de Brandebourg94200 Ivry Sur Seine

DÉPARTEMENT VÉHICULES AÉROSPATIAUX

TRAVAUX DIRIGES

DE TRANSFERT THERMIQUE

(Module En311)

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classe.Classe : Aéro-3 Chef du département : Bertossi

Responsable du cours : Bouguechal Enseignants : Bouguechal, Gomit, Kasraoui

(Edition 2019-2020)

Institut Polytechnique des Sciences AvancéesIPSA Paris 63, boulevard de Brandebourg-94200 Ivry-sur-Seine

Etablissement Privé d'Enseignement Supérieur-SIRET 433 695632 00011-APE 803Z

Table des matières

1 Séance 1 : TP1 : DIMENSIONS, ANALYSE DIMENSIONNELLE, CALORIMÉ-TRIE 1

1.1 Force, énergie, puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Conversion d'unités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Analyse dimensionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Calorimétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Séance 2 : TD1 : CONVECTION FORCÉE 6

2.1 Nombre de Prandlt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Formule de Colburn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Nombre de Margoulis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Séance 3 : TP2 : CONDUCTION EN RÉGIME PERMANENT 9

3.1 ETUDE THERMIQUE D'UNE CONDUITE D'EAU CHAUDE. . . . . . . . 9

4 Séance 4 : TD2 : CONDUCTION EN RÉGIME PERMANENT 12

4.1 ÉTUDE D'UNE PAROI COMPOSITE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Séance 5 : TD3 : CONDUCTION EN RÉGIME VARIABLE. 14

5.1 THERMOCOUPLE DANS UN COURANT GAZEUX. . . . . . . . . . . . . 14

5.2 CYLINDRE D'ALUMINIUM DANS UN BAIN DE GLACE. . . . . . . . . 15

6 Séance 6 : TP3 : CONDUCTION EN RÉGIME VARIABLE. 18

6.1 DÉTERMINATION DES CONSTANTES THERMIQUES D'UN MATÉ-RIAU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.2 DIFFUSIVITÉ THERMIQUE D'UN SOLIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.3 TROTTOIR EN ÉTÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Séance 7 : TD4 : RAYONNEMENT THERMIQUE. 22

7.1 SURFACE PLANE RAYONNANTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2 RADIATEUR CYLINDRIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3 COURBE REDUITE DE PLANCK ET APPLICATION. . . . . . . . . . . . 22

8 Séance 8 : TP4 : RAYONNEMENT THERMIQUE. 28

8.1 CAPTAGE DE L'ÉNERGIE SOLAIRE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9 Séance 9 : TP5 : TRANSFERT THERMIQUE GLOBAL. 31

9.1 ÉTUDE D'UN TOIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9.2 ÉCHAUFFEMENT D'UN AVION GARÉ AU SOL. . . . . . . . . . . . . . . 31

10 ALPHABET GREC 33

11 OPERATEUR VECTORIEL 34

12 GRANDEURS THERMIQUES 35

En311 TD Transfert thermique page 2/36

13 FORMULES ET NOMBRES SANS DIMENSION 35

Table des �gures

1 Viscosimètre à bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Calorimètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Blocs calorimètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Propriétés thermodynamiques de l'eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Propriétés de l'air à di�érentes températures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

6 convection forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7 Tuyau de cuivre sans isolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8 Tuyau de cuivre avec isolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

9 Exemple de paroi composite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

10 Paroi composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11 Papier millimétré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12 Dé�nition de la fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

13 Courbe de la fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

14 Valeurs de la fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

15 Capteur solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

16 Échau�ement d'un avion garé au sol. Arizona, USA. Wikipédia . . . . . . . . . . . . . 32

17 Alphabet grec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

18 Opérateurs vectoriels ( source wikipedia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Liste des tableaux

1 Grandeurs fondamentales et unités S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Formules de cinématique et mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Formules d'électromagnétisme et de thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Tableau sous-multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5 Tableau multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Formules de résistances thermiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7 Formules de dimensions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8 Tableau des valeurs de la fonction F0−λ.T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 Caractéristiques optiques de la vitre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

10 Répartition du �ux dans les 3 bandes spectrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

11 Grandeurs thermiques et unités S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

12 Formules et nombres sans dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


1 Séance 1 : TP1 : DIMENSIONS, ANALYSEDIMENSIONNELLE, CALORIMÉTRIE

1.1 Force, énergie, puissance.

Exercice 1. Force, énergie, puissance.

1. Généralités.a) Donner les dimensions des grandeurs fondamentales.

b) Déterminer la dimension d'une vitesse, d'une accélération, d'une quantité de mouvement,d'une force. Donner les unités S.I de chaque grandeur.

c) En déduire la dimension de la constante universelle de la gravitation, de la permittivitéε0 et de la perméabilité µ0 du vide et du produit ε0 · µ0. Donner l'unité S.I.

2. Energies.

a) Déterminer la dimension d'une énergie cinétique, d'une énergie potentielle de pesanteur.Donner l'unité S.I.

b) En déduire la dimension de la chaleur massique (capacité thermique massique).

c) Donner l'unité S.I.

3. Puissances.

a) Déterminer la dimension d'une puissance. Donner l'unité S.I.

b) En déduire la dimension d'une tension électrique. Donner l'unité S.I.

c) En déduire la dimension d'une résistance électrique. Donner l'unité S.I.

1.2 Conversion d'unités.

Exercice 2. Conversion d'unités.

1. Convertira) 1 cm en m, dm, en mm.

b) 1 cm2 en m2, dm2, en mm2.

c) 1 cm3 en m3, dm3, en mm3 et en L.

d) 27 ◦C en K et 3K en ◦C .

e) Une di�érence de température de 27◦C en K.

f) 1.0 cal en J .

g) La capacité calori�que massique ou chaleur massique de l'eau ceau = 1.0 cal · g−1 ·◦ C enkJ · kg−1 ·K−1.

h) La capacité calori�que massique ou chaleur massique du cuivre ccu = 384 J · kg−1 ·◦ C−1

en J · kg−1 ·K−1.2. Écrire correctement

a) 0, 0023 ; 0, 001 ; 0, 059 ; 0, 00008.

b) ln(12) ; ln(e2) ; log(0, 1).


1.3 Analyse dimensionnelle.

Exercice 3. Analyse dimensionnelle.

1. Force de Stokes

Un viscosimètre à bille est composé d'une éprouvette thermostatée contenant un liquide donton veut mesurer la viscosité. Une bille sphérique en acier, de rayon r, est lâchée sans vitesseinitiale dans cette éprouvette. L'expérience montre que la force de frottement subie par unesphère immergée dans un �uide en mouvement dépend :

� du coe�cient de viscosité η du �uide,

� du rayon r de la sphère,

� de la vitesse de la sphère par rapport au �uide.

Le coe�cient de viscosité ou viscosité dynamique d'un �uide, noté η ( ou µ), mesure la résistanced'un �uide au mouvement sous l'e�et d'une contrainte τ le long d'un axe x. Une contrainte estune force par unité de surface (pression).

τ = ηdv

dx

a) Déterminer la dimension de la viscosité dynamique η et donner son unité dans le systèmeinternational.

b) Établir l'expression de la force subie par la sphère.

c) Sachant que la constante sans dimension dans l'expression de la force est égale 6π, donnerl'expression de cette force appelée force de Stokes.

2. Viscosimètre à bille

a) Montrer que lorsque la bille atteint sa vitesse limite vlim la viscosité dynamique η estdonnée par :

η =2r2

9vlim(µB − µL)g

g est l'intensité de la pesanteur.µL représente la masse volumique du liquide.µB représente la masse volumique de la bille.

b) Application numérique :g = 9.81 m · s−2

hauteur de chute h = 0.80 mBille en acier : r = 2.5 mm µB = 7.85 g · cm−3

Liquide : glycérine µL = 1.29 g · cm−3

Mesures :

� θ1 = 15.0◦C ∆t1 = 20.9s

� θ2 = 20.0◦C ∆t2 = 13.3sRép : η1 = 2.33 Pa · s et η2 = 1.49 Pa · s


Figure 1 � Viscosimètre à bille

1.4 Calorimétrie.

Exercice 4. Calorimétrie.

1. Capacité thermique ou chaleur massique

a) Quelle quantité de chaleur faut-il fournir à un bloc de cuivre de masse 1.25 kg pour éleversa température de 20 ◦C à 80 ◦C ?

b) Quelle serait la température �nale d'une masse de 1.25 kg d'eau prise à 20◦C si on four-nissait la même quantité de chaleur ? Conclusion.Données :ccu = 384 J · kg−1 ·K−1

ceau = 4.18 kJ · kg−1 ·K−1 = 1.0 cal · g−1 ·K−1

2. Méthode des mélangesUn calorimètre à l'équilibre thermique contient 95 g d'eau à 20 ◦C. On ajoute 71 g d'eau à50◦C.

a) Quel serait la température d'équilibre si on néglige la capacité thermique du calorimètre ?

b) La température d'équilibre observée est de 31.3◦C. Calculer la capacité calori�que ducalorimètre et en déduire sa valeur en eau.

c) Dans ce calorimètre contenant 100 g d'eau à 15◦C, on plonge un échantillon métallique demasse 25g sortant d'une étuve à 95◦C. La température d'équilibre est de 16.7◦C. Calculerla capacité thermique du métal.

Données :ceau = 4.18 kJ · kg−1 ·K−1 = 1.0 cal · g−1 ·K−1


Figure 2 � Calorimètre Figure 3 � Blocs calorimètriques

FORMULAIRE

Grandeurs fondamentales Dimension Unités S.ILa longueur L mètre ( m )La masse M kilogramme (kg)Le temps T seconde (s)

L'intensité du courant I ampère (A)La température thermodynamique θ kelvin (K)

La quantité de matière N la mole ( mol.)L'intensité lumineuse J la candela ( cd)

Table 1 � Grandeurs fondamentales et unités S.I.

CINEMATIQUE MECANIQUE

Vitesse : −→v =~dl

dtForce : ~F = m~a

Accélération : −→a =~dv

dtForce de Newton :

−→F A/B =G

mAmB

r2~uA→B

... Energie cinétique Ec =1

2mv2

... Puissance P =Energie

Temps

Table 2 � Formules de cinématique et mécanique.


ELECTROMAGNETISME THERMODYNAMIQUE

Force de Coulomb :−→F A/B =

1

4πε0

qAqBr2

~uA→B Chaleur :Q = m c ∆θ

Force :−→F =q ~E Entropie : ds =

δQ

T

Force de Laplace : ~dF =I · ~dl ∧ ~B Énergie interne : dU = δW + δQ

Table 3 � Formules d'électromagnétisme et de thermodynamique.

Pré�xe symbole Facteurdéci d 10−1

centi c 10−2

milli m 10−3

micro µ 10−6

nano n 10−9

pico p 10−12

femto f 10−15

atto a 10−18

zepto z 10−21

yocto y 10−24

Table 4 � Tableau sous-multiples

Pré�xe symbole Facteuriota Y 1024

zéta Z 1021

exa E 1018

péta P 1015

téra T 1012

giga G 109

méga M 106

kilo k 103

hecto h 102

déca da 10

Table 5 � Tableau multiples


2 Séance 2 : TD1 : CONVECTION FORCÉE

2.1 Nombre de Prandlt.

Exercice 1. Nombre de Prandlt.Un �uide est caractérisé par :� Sa viscosité dynamique η en :Pa · s� Son coe�cient de conductivité λ en : W ·m−1 ·◦ C−1

� Sa chaleur ou capacité thermique massique c en : J · kg−1 ·◦ C−1

� Sa masse volumique ρ en : kg ·m−3

Le nombre de Prandtl compare l'aptitude du �uide à di�user la quantité de mouvement par le biaisde sa viscosité à son aptitude à di�user la chaleur par le biais de sa di�usivité thermique.La viscosité cinématique d'un �uide donne des informations sur le taux auquel la quantité de mou-vement peut être di�usée par le �uide en raison du mouvement moléculaire.La di�usivité thermique, notée a, donne des informations sur la di�usion de la chaleur dans le �uide.Ainsi, le ratio de ces deux quantités exprime les ampleurs relatives de di�usion de quantité de mou-vement et de chaleur dans le �uide.a) Montrer que le groupement suivant appelé nombre de Prandtl, noté Pr, ne comportant que des

grandeurs caractéristiques du �uide, est adimensionnel.

Pr =ηc

λ

b) Montrer que le nombre de Prandtl peut se mettre sous la forme :

Pr =ηc

λ=ν

a

où a est la di�usivité :

a =λ

ρ · cEn déduire l'expression de ν et déterminer son unité dans le S.I.ν est appelée viscosité cinématique.

c) Donner les symboles de la conductivité thermique utilisés dans les deux tableaux.(Voir annexes).

d) Même question pour la viscosité dynamique.(Voir annexes).

e) Déterminer l'unité S.I de la di�usivité thermique a. Calculer sa valeur pour l'eau à 0◦C, 20◦C,50◦C et 95 ◦C et pour l'air à 0◦C.(Voir annexes).

f) Déterminer le nombre de Prandtl de l'eau à 0◦C, 20◦C, 50◦C et 95◦C et celui de l'air à 0◦C.Conclusion.

2.2 Formule de Colburn.

Exercice 2. Formule de Colburn.On considère un tuyau cylindrique de diamètre D = 20 mm dans lequel circule de l'eau chaude avecun débit Q = 0.5 L/s. La température du �uide est de T∞ = 50◦C et la température de la paroi deTp = 15◦C. L'objectif est de déterminer le �ux de chaleur échangé par convection entre le �uide etla paroi interne du tuyau.

1. Quelles sont les étapes qui permettent la résolution de ce problème de convection sachant quela corrélation dans le cas de l'exercice est donnée par la formule de Colburn :

Nu = 0, 023 Re0,8 Pr0,33

2. Déterminer le �ux de chaleur échangé par unité de longueur du tuyau.


Figure 4 � Propriétés thermodynamiques de l'eau

Figure 5 � Propriétés de l'air à di�érentes températures


2.3 Nombre de Margoulis.

Exercice 3. Nombre de Margoulis.

Le nombre de Margoulis et le nombre de Reynolds sont des nombres sans dimension, ils sont dé�nisrespectivement par :

Ma =h

ρvmcpRe =

ρvmD

η

h est le coe�cient de convection en : W ·m−2 · ◦C−1

ρ est la masse volumique du �uide en : kg ·m−3

vm est la vitesse moyenne du �uide en : m · s−1

cp est la chaleur massique du �uide en : J · kg−1 · ◦C−1

η est la viscosité dynamique du �uide en : Pa · set D est une longueur caractéristique en : m

1. Montrer que la dimension du nombre de Margoulis et de Reynolds est égale à 1.

2. La corrélation entre le nombre de Margoulis et le nombre de Reynolds est donnée par la loi :

Ma = aReb

� Déterminer les coe�cients a et b de la corrélation.

� Déterminer la valeur du coe�cient de convection si la vitesse de l'air est de 7 m/s.

Données :h1 = 18, 5 W · m−2 · ◦C−1 pour une vitesse de l'air de vm1 = 3 m · s−1

h2 = 45, 4 W · m−2 · ◦C−1 pour une vitesse de l'air de vm2 = 10 m · s−1

Données :Diamètre du tube D = 4 cmMasse volumique de l'air ρ = 1, 2 kg · m−3

Viscosité dynamique de l'air η = 1, 7 10−5 Pa · sChaleur massique de l'air cp = 0, 24 kcal · kg−1 · ◦C−1

Rappel : 1 cal = 4,18 J.

Figure 6 � convection forcée


3 Séance 3 : TP2 : CONDUCTION EN RÉGIMEPERMANENT

3.1 ETUDE THERMIQUE D'UNE CONDUITE D'EAU CHAUDE.

Exercice 1. ETUDE THERMIQUE D'UNE CONDUITE D'EAU CHAUDE.

La section droite d'une conduite d'eau chaude est constituée par un tube de cuivre de :

� longueur L = 1 m,

� conductivité thermique λ1 = 380 W · m−1 · ◦C−1,

� rayon intérieur R1 = 6 mm,

� rayon extérieur R2 = 7 mm.

La température T1 de la paroi intérieure du tube en cuivre sera prise égale à celle de l'eau chaudequi circule en régime permanent, loin de la paroi soit T1 = 80◦C. On note Ta = 20◦C la températurede l'air ambiant loin du tube et h = 10 W ·m−2 · ◦C−1, le coe�cient d'échange par convection à lasurface extérieure du tube.

1. Conduite non isolée

(a) Faire un schéma et indiquer les transferts thermiques mis en jeu.

(b) Faire le schéma électrique équivalent et calculer les di�érentes résistances thermiques etla résistance thermique totale. Conclusion.

(c) En déduire le �ux thermique perdu par mètre de conduite.

(d) Déterminer la température sur la paroi extérieure du tube. Conclusion.

2. Conduite isoléeOn réalise à l'aide d'un matériau isolant de conductivité λ2 = 0.10 W · m−1 · ◦C−1 une gainecoaxiale de rayon intérieur R2 et de rayon extérieur R3 = r. On appellera T3 la température enr = R3.L'objectif est d'étudier l'in�uence du rayon extérieur de la gaine sur l'isolation du tube encuivre.

(a) Faire un schéma et indiquer les transferts thermiques mis en jeu.

(b) Faire le schéma électrique équivalent et calculer les di�érentes résistances thermiques enfonction de r.

(c) En déduire la résistance thermique totale en fonction de r.

(d) Déterminer l'expression du rayon extérieur de l'isolant r = R0 pour lequel le �ux thermiqueperdu est maximal.

(e) Calculer numériquement ce rayon ainsi que le �ux thermique perdu par unité de longueur.

(f) Donner l'allure de la résistance thermique totale en fonction de r.

(g) Donner l'allure du �ux thermique perdu en fonction de r.

(h) Conclusion générale.


Figure 7 � Tuyau de cuivre sans isolant

Figure 8 � Tuyau de cuivre avec isolant


Résistance thermique Résistance thermique

Resistance thermique : Rth =T1 − T2

ΦUnites : K/W ou ◦C/W T1 ≥ T2 .

Surface planeResistance de conduction : Rth =

e

λSλ conductivité du matériau d'épaisseur e.

Tube cylindrique

Resistance de conduction : Rth =ln(R2

R1)

2πλLλ conductivité du matériau entre R1 et R2.

Sphère creuse

Resistance de conduction : Rth =1

4πλ

R2 −R1

R1.R2λ conductivité du matériau entre R1 et R2.

Convection

Resistance de convection : Rth =1

hSh coe�cient de convection entre la surface et lemilieu.

Table 6 � Formules de résistances thermiques.


4 Séance 4 : TD2 : CONDUCTION EN RÉGIMEPERMANENT

4.1 ÉTUDE D'UNE PAROI COMPOSITE.

Exercice 1. ÉTUDE D'UNE PAROI COMPOSITE.1. Étude d'une paroi composite sans source.

Une paroi est composée de deux milieux homogènes notés 1 et 2, de conductivités λ1 et λ2 etd'épaisseurs L1 et L2 respectivement. Les conditions aux limites sont les suivantes :� A gauche : la température est imposée T = T0 ( Condition de Dirichlet ),

� A droite : le �ux de conduction sortant du milieu 2 = �ux de convection dans le �uide

entourant la paroi. −λS(dT

dx) = hS(T − Tf ) (Condition de Fourier).

Tf : température du �uide loin de la paroi.h : coe�cient de convection entre la paroi du milieu 2 et le �uide en contact.

On suppose que le contact est parfait entre les deux milieux.On appellera Ti la température de contact entre les deux milieux et Tp la température de laparoi externe du milieu 2.(a) Déterminer :

� les di�érentes résistances thermiques ainsi que la résistance thermique totale en utili-sant le schéma électrique équivalent,

� le �ux traversant la paroi composite ainsi que la densité de �ux,

� les températures Ti et Tp.(b) Déterminer la distribution de température dans chacun des milieux.

2. Étude d'une paroi composite avec source.Dans cette partie, on considère que le milieu 1 est le siège d'une distribution de sources volumiquesQv = 50 W cm−3 et on supposera que les conditions aux limites de Dirichlet et Fourier sont véri�ées.

1. Déterminer la distribution de température dans chacun des milieux.

2. En déduire la densité de �ux thermique dans chaque milieu. Conclusion.

3. Déterminer l'abscisse xm de la position du maximum de température dans le milieu 1 et lavaleur de la température Tm associé.

Données :λ1 = 0.8 W · cm−1 · ◦C−1 λ2 = 0.2 W · cm−1 · ◦C−1

T0 = 600 ◦C Tf = 200 ◦CL1 = 4 cm L2 = 3 cmh = 0.5 W · cm−2 · ◦C−1

S = 1 cm2 surface transversale.

Rappel : Équation de la chaleur en régime stationnaire avec source.

∆T +QV

λ= 0

En coordonnées cartésiennes à une dimension : ∆T =∂2T

∂x2

En coordonnées cylindriques à une dimension : ∆T =1

r

∂

∂r(r∂T

∂r)

En coordonnées sphériques à une dimension : ∆T =1

r2

∂

∂r(r2∂T

∂r)


Figure 9 � Exemple de paroi composite réelle

Figure 10 � Paroi composite


5 Séance 5 : TD3 : CONDUCTION EN RÉGIMEVARIABLE.

SYSTÈMES A RÉSISTANCE INTERNE NÉGLIGEABLE (MINCES)

5.1 THERMOCOUPLE DANS UN COURANT GAZEUX.

Exercice 1. THERMOCOUPLE DANS UN COURANT GAZEUX.

1. Cas d'un échau�ementUn thermocouple de masse m = 5g, considéré comme un système mince, préalablement à latempérature uniforme Ti = 18◦C est soudainement placé dans un courant gazeux chaud à latempérature constante T0 = TG = 100◦C. Le coe�cient de convection h du courant gazeux parrapport à la surface du thermocouple est égal à 30 W · m−2 ·◦ C−1. Le thermocouple est enchrome-alumel de chaleur massique c = 0.480 J · g−1 ·◦ C−1 Sa surface d'échange est de 4 cm2.On rappelle les formules suivantes :

θ(t) =T (t)− T0

Ti − T0

= e−t/τ et τ =mc

hS

(a) Montrer que τ est une constante de temps et déterminer sa valeur.

(b) Montrer que la formule précédente peut s'écrire :T (t)− TiT0 − Ti

= 1− e−t/τ

(c) Quelle est l'évolution de la température T1(t) du thermocouple en fonction du temps ?

(d) Combien de minutes s'écoulera-t-il avant que l'excès de température du thermocouple parrapport à la température initiale T1(t)− Ti ait atteint :� 50% de TG − Ti ?� 90% de TG − Ti ?� 99% de TG − Ti ?

2. Cas d'un refroidissementLe thermocouple, préalablement à la température uniforme chaude Ti = 18◦C est placé sou-dainement dans un courant gazeux froid à la température T0 = TG = −64◦C.

(a) Quelle est l'évolution de la température en fonction du temps : T2(t) ? Conclure.

(b) Répondre à la même question que 1.(d).

3. Analyse graphiqueL'objectif de cette partie est de représenter les évolutions T1(t) et T2(t) en fonction du tempssur le papier millimétré (voir annexe).

(a) Avec les données disponibles, graduer l'axe des abscisses et celui des ordonnées et posi-tionner les grandeurs calculées.

(b) Représenter T1(t) et T2(t).

(c) Donner l'interprétation graphique des deux phrases suivantes :

� Dans le cas d'un échau�ement, après une période de temps écoulée égale à tc, la di�érencede température (T1 − Ti) atteint 63.2% de sa valeur �nale (TG − Ti)

� Dans le cas d'un refroidissement, après une période de temps écoulée égale à tc, la di�érencede température (T2 − TG) atteint 36.8% de sa valeur �nale (TG − Ti)


5.2 CYLINDRE D'ALUMINIUM DANS UN BAIN DE GLACE.

Exercice 2. CYLINDRE D'ALUMINIUM DANS UN BAIN DE GLACE.On plonge dans un bain de glace un cylindre de 2,5 cm de diamètre préalablement chau�é à latempérature uniforme de 40◦C. Après 5 minutes, on mesure la température du cylindre et on obtient5◦C.

1. Calculer les dimensions caractéristiques L des 5 formes géométriques du tableau 7.

2. Calculer le nombre de Biot du système et la valeur du coe�cient de convection h, supposéconstant dans le temps, entre le cylindre et le bain de glace.Données : Aluminiumλ = 230 W ·m−1 ·◦ C−1 ρ = 2700 kg ·m−3 c = 900 J · kg−1 ·◦ C−1

3. Quelle est la constante de temps tc du système ?

4. Quel est le temps de réponse t1/2 ?

5. Quelle est l'énergie thermique par unité de volume échangée entre le cylindre et le bain de glaceentre t = 0 et t = 5 min ?

6. Dans le cas d'un cylindre de hauteur H = 5 cm, tracer les courbes suivantes :

� L'évolution T(t).

� L'évolution du �ux thermique instantané Φ(t).

� L'évolution de l'énergie thermique échangée Q(t).

� La fonction e−ζ·t.

Rappel : Nombre de Biot et de Nusselt.

Bi =hL

λ

Le nombre de Biot est un nombre adimensionnel, il mesure le rapport entre la résistance thermiquede conduction du solide et la résistance thermique de convection entre le �uide et le solide. Si lenombre de Biot est inférieur à 0,1, la variation de la température dans le solide est négligeable et onconsidère dans ce cas que la température est uniforme dans le solide.λ conductivité du solide, L longueur caractéristique.Attention : Ne pas confondre avec le nombre de Nusselt

Nu =hd

λ

Le nombre de Nusselt est un nombre adimensionnel, il caractérise le transfert de chaleur par convec-tion entre la surface du solide et le �uide. Lλ conductivité du solide, d longueur caractéristique.


Figure 11 � Papier millimétré


Forme géométrique Dimension caractéristique L =V

Sechange

Sphère de rayon R V= S = L =

Cube d'arête a V= S = L =

Plaque immergée dans un �uide

(Épaisseur e, longueur L, hauteur h.

V= S = L =

Plaque isolée sur un côté


V= S = L =

Cylindre de rayon R et de hauteur h


V= S = L =

Table 7 � Formules de dimensions caractéristiques


6 Séance 6 : TP3 : CONDUCTION EN RÉGIMEVARIABLE.

6.1 DÉTERMINATIONDES CONSTANTES THERMIQUES D'UNMA-TÉRIAU.

Exercice 1. DÉTERMINATION DES CONSTANTES THERMIQUES D'UN MATÉ-RIAU.

Une plaque épaisse 2© d'un matériau dont on cherche à déterminer les constantes thermiques : la dif-fusivité a, l'e�usivité b et la conductivité λ , est maintenue à une température uniforme T2i = 20◦C.On applique brusquement sur cette plaque, une plaque de cuivre épaisse 1©, à la température uni-forme T1i = 150◦C. On place dans chacune des plaques, des thermocouples à 1 mm de profondeur dela surface de contact. Au bout d'une seconde, on enregistre une température de 131◦C dans le cuivreet de 105◦C dans le matériau étudié.ρ et c représentent respectivement la masse volumique et la capacité thermique massique d'un milieu.

1. Faire un schéma du problème, on notera 1© la plaque de cuivre et 2© la plaque du matériauétudié. On représentera toutes les données.

2. Montrer que :

T1(x, t)− T1i

Tc − T1i

= erfc(u1) avec u1 =|x|

2√a1t

T2(x, t)− T2i

Tc − T2i

= erfc(u2) avec u2 =x

2√a2t

où TC représente la température du plan de contact. Voir rappel.

3. Déterminer la température du plan de contact TC .

4. Déterminer l'e�usivité thermique du matériau étudié b2.

5. Déterminer la di�usivité du matériau étudié a2.

6. Déterminer la conductivité thermique du matériau étudié λ2.

7. Exprimer les températures T1(x, t) et T2(x, t) en fonction des données.

� Donner l'allure des fonctions T1(x, t) et T2(x, t) en fonction de x pour t= 1 s, 2 s, 3 s et 10 s.

� Tracer les fonctions T1(x, t) et T2(x, t) en fonction de x pour t= 1 s, 2 s, 3 s et 10 s avec Excelou Python.

Données :

Cuivre a1 = 1.71 10−4 m2 · s−1

b1 = 8.75 103 cal ·m−2 ·◦ C−1 · s−1/2

erfcu petit ; erfc(u) = 1− 1.1u


Rappel : Contact brusque entre deux milieux semi-in�nis.

a =λ

ρcb =

√λρc

T1(x, t)− T1i

T2i − T1i

=b2

b1 + b2

erfc(u1) u1 =|x|

2√a1t

x < 0

T2(x, t)− T2i

T1i − T2i

=b1

b1 + b2

erfc(u2) u2 =x

2√a2t

x > 0

Tc =b1T1i + b2T2i

b1 + b2

où TC représente la température du plan de contact.

6.2 DIFFUSIVITÉ THERMIQUE D'UN SOLIDE

Exercice 2. DIFFUSIVITÉ THERMIQUE D'UN SOLIDEUn solide semi-in�ni initialement à la température uniforme de Ti(x, t = 0) = 18 ◦C est chau�ébrutalement en surface, ce qui porte et maintient sa température de surface à T0 = 100◦C. Après20 min, un thermocouple mesure la température à une profondeur de 10 cm, elle est de 25 ◦C.

1. Faire un schéma du problème. On représentera toutes les données.

2. Montrer que la solution de l'équation de l'équation aux dérivées partielles :

T (x, t)− TiT0 − Ti

= erfc(u) u =x

2√at

peut s'écrire :T (x, t)− T0

Ti − T0

= erf(u) u =x

2√at

3. Quelle est la di�usivité thermique a du solide semi-in�ni ?

4. Tracer les pro�ls de température T(x,t) en fonction de x pour t = 10 min, 20 min et 30 min.

5. Tracer les pro�ls de température T(x,t) en fonction de t pour x = 5 cm, 10 cm et 15 cm.

Rappel : Milieu semi-in�ni avec température imposée sur une face.Condition de Dirichlet.Équation de la chaleur :

∂2T

∂x2=

1

a

∂T

∂t

Condition de Dirichlet : {t = 0 x > 0 T (x, 0) = Tit > 0 x = 0 T (0, t) = T0

Solution :T (x, t)− TiT0 − Ti

= erfc(u) u =x

2√at

Formule de la dérivée :d[erf(x)]

dx=

2√πe−x

2


6.3 TROTTOIR EN ÉTÉ.

Exercice 3. TROTTOIR EN ÉTÉ.Un trottoir épais en béton de di�usivité a = 7 10−7m2 · s−1 atteint la température uniforme deTi = 55◦C par une chaude journée d'été. En l'arrosant avec un jet d'eau, on refroidit soudainementsa surface à une température constante T0 = 15◦C. La conductivité du béton est λ = 0, 8 W.m−1.◦C−1

1. Faire un schéma du problème. On représentera toutes les données.

2. Ecrire les conditions aux limites et donner la solution de l'équation de la chaleur.

3. Combien de temps faudra-t-il pour le refroidir à 25◦C à une profondeur de 5 cm?

4. A ce moment, quelle quantité de chaleur aura été retirée du trottoir depuis l'instant initial ?

5. Analyse graphique

(a) Tracer le pro�l de température T(x,t) en fonction de x pour t = 3 h, 4.8 h et 6 h pour xvariant de 0 à 30 cm.

(b) Examiner les courbes dans l'intervalle [0,10] cm.

(c) Dans l'intervalle [0,10] cm et pour t = 4.8h, tracer les fonctions T(x,t) obtenue avec lafonction erfc et Tapp(x, t) obtenue avec l'approximation erfc(u) = 1-1.1u.

(d) Tracer les pro�ls de température T(x,t) en fonction du temps aux profondeurs x = 5 cm,10 cm et 15 cm.

(e) Tracer l'évolution de la quantité de chaleur retirée du trottoir en fonction du temps.


Figure 12 � Dé�nition de la fonction erreur

Figure 13 � Courbe de la fonction erreur

Figure 14 � Valeurs de la fonction erreur


7 Séance 7 : TD4 : RAYONNEMENT THERMIQUE.

7.1 SURFACE PLANE RAYONNANTE.

Exercice 1. SURFACE PLANE RAYONNANTE.Une surface de 2 cm2 rayonne comme un corps noir à la température de 1500◦C.Déterminer :

1. la puissance totale rayonnée dans tout l'espace.Application de la loi de Stefan-Boltzmann.

2. la longueur d'onde pour laquelle le rayonnement est maximal.Application de la 1re loi de Wien.

3. l'exitance spectrique associée.Application de la 2e loi de Wien.

4. l'exitance spectrique pour la longueur d'onde de 2,3µm.Application de la loi de Planck.

7.2 RADIATEUR CYLINDRIQUE.

Exercice 2. RADIATEUR CYLINDRIQUE.Un radiateur cylindrique de 2 cm de diamètre et de 50 cm de longueur rayonne comme un corps noiret émet une puissance de 1 kW :

1. Calculer sa température. Application de la loi de Stefan-Boltzmann.

2. Calculer la longueur d'onde pour laquelle son exitance est maximale. Application de la 1re

loi de Wien.

3. Calculer l'exitance spectrique associée. Application de la 2e loi de Wien.

4. Quelle devrait être sa température pour que cette longueur d'onde soit 2 µm? Applicationde la 1re loi de Wien.

5. Quelle serait alors la puissance dégagée ? Application de la loi de Stefan-Boltzmann.

7.3 COURBE REDUITE DE PLANCK ET APPLICATION.

Exercice 3. COURBE REDUITE DE PLANCK ET APPLICATIONL'exitance spectrique (ou emittance monochromatique) M0

λ(T ) du corps noir dans le vide à la tem-pérature T est donnée par la formule de Planck :

M0λ(T ) =

C1λ−5

eC2λT − 1

Soit le rapport :

y =M0

λ(T )

M0λm


λm longueur d'onde associée à l'exitance spectrique maximale.y est l'exitance spectrique réduite.x = λ

λmest appelé longueur d'onde réduite.

1. Montrer que le rapport y ne dépend que de la quantité x et qu'il s'écrit :

y =Ax−5

eδx − 1

� Déterminer les expressions littérales de A et de δ.

� Déterminer l'expression littérale du coe�cient B de la seconde loi de Wien.

2. Calculer les valeurs des coe�cients C1, C2, δ, B et A ?Données :h = 6, 626 10−34 J · s : constante de Planckk = 1, 38065 10−23 J ·K−1 : constante de Boltzmannc = 2, 998 108 m · s−1 : vitesse de la lumière dans le vide

3. A partir de la courbe y = f(x), indiquer la démarche pour calculer l'exitance spectrique ducorps noir M0

λ(T ) à la température T pour une longueur d'onde λ.

4. Calcul du �ux énergétique rayonné dans un intervalle spectral :

Méthode 1 : Utilisation de la fonction F0−λ.TLa fraction de l'exitance totale émise dans un intervalle de longueur d'onde I = [λ1, λ2] s'écritsous la forme :

ΦI

Φ=

∫ λ2λ1M0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ=

∫ λ20M0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ−∫ λ1

0M0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ

En utilisant la fonction :

F0−λ·T =

∫ λ·T0

M0λ(T ) dλ∫∞

0M0

λ(T ) dλ

On trouve alors :

ΦI

Φ= F0−λ2·T − F0−λ1·T

On obtient alors l'exitance totale émise dans l'intervalle de longueur d'onde I.Application 1 :Calculer l'exitance émise dans l'intervalle I = [0, 4 ; 0, 8] µm pour un corps noir d'une surfacede 2 cm2, porté aux températures de 1500◦C et de 2000◦C.En annexe, valeurs tabulées de la fonction F0−λT

Méthode 2 : Utilisation de la courbe de Planck réduite intégréeOn appellera z(x), courbe réduite de Planck intégrée, la fonction :

z(x) =

∫ x0y(x) · dx∫∞

0y(x).dx

On montre que la fraction de l'exitance totale émise dans un intervalle de longueur d'ondeI = [λ1, λ2] est donnée par :


ΦI

Φ= z(x2)− z(x1)

où x1 et x2 sont respectivement les coordonnées réduites de Planck associées à λ1 et λ2.Donner la démarche à suivre pour calculer l'exitance totale émise dans l'intervalle de longueurd'onde I = [λ1, λ2].Application 2 :On considère le soleil comme un corps noir à la température de 5790 K. Quelle est la fractionde l'exitance totale émise dans les intervalles suivants :

� I1 = [0, 02 ; 0, 4] µm ( ulta-violet).

� I2 = [0, 4 ; 0, 8] µm ( visible).

� I1 = [0, 8 ; 314] µm ( infrarouge).

(rép : 0,124 ; 0,4613 ; 0,4147)


Les lois du rayonnement

1. Loi de Stefan-Boltzmann

M0 = σT 4

σ =2π5k4

15c2h3

M0 Emittance totale du corps noir. (W ·m−2)σ = 5, 669 10−8 W ·m−2 ·K−4, constante de Stefan-Boltzman.

2. Première loi de Wien.

λm · T = 2898 µm ·K

λm longueur d'onde pour laquelle le rayonnement est maximal.

3. Deuxième loi de Wien.

M0λm = B T 5

B = 1, 287 10−11 W ·m−2 · µm−1 ·K−5

4. Loi de Planck.

M0λ(T ) =

2πhc2λ−5

ehcλkT − 1

=C1λ

−5

eC2λT − 1

M0λ(T ) Emittance monochromatique d'un corps noir à la température T et pour une longueur

d'onde λ.avec :h = 6, 626 10−34 J · s : constante de Planck.C1 = 2π hc2 = 3, 7413 10−16 W ·m−2.

C2 =hc

k= 1, 438777 10−2 m ·K.


x = λ/λm λ.T (µm ·K) F0−λ.T (%)

0,10 289,8 00,000,20 579,6 00,000,30 869,4 00,010,40 1159,2 00,150,49 1420,0 00,870,50 1449,0 01,010,60 1738,8 03,250,63 1825,7 04,240,70 2028,6 07,120,80 2318,4 12,370,90 2608,2 18,491,00 2898,0 25,011,10 3187,8 31,541,20 3477,6 37,821,30 3767,4 43,701,40 4057,2 49,121,50 4347,0 54,031,60 4636,8 58,461,70 4926,6 62,441,80 5216,4 65,991,90 5506,2 69,152,00 5796,0 71,982,10 6085,8 74,492,20 6375,6 76,742,30 6665,4 78,752,40 6955,2 80,552,50 7245,0 82,162,60 7534,8 83,602,70 7824,6 84,902,80 8114,4 86,072,90 8404,2 87,133,00 8694,0 88,094,00 11592,0 94,015,00 14490,0 96,606,00 17388,0 97,906,30 18257,4 98,15

Table 8 � Tableau des valeurs de la fonction F0−λ.T


"""Programme et bibliothèque Python pour constantes physiques"""from math import *import numpy as npfrom scipy import integrate # Calcul d'integralefrom scipy import infimport scipy.constants as const # bibliothèque des cstes physiques

c=const.ccusi=const.unit(u'speed of light in vacuum')print("vitesse de la lumière c = ",c,cusi) # imprime célérité + USIVitesse de la lumière c = 299792458.0 m.s−1

h=const.hhusi=const.unit(u'Planck constant')print("constante de Planck h = ",h,husi)# imprime cste de Planck + USIConstante de Planck h = 6.62607004 10−34 J.s

k=const.kkusi=const.unit(u'Boltzmann constant')print("constante de Boltzmann k = ",k,kusi) # imprime cste de Boltzmann+ USIConstante de Boltzmann k = 1.38064852 10−23J.K−1

pi=const.piprint('Pi=',pi)Pi= 3.141592653589793

sigma=const.sigmasigma2= 2*pi**5*k**4/(15*c**2*h**3)sigmausi=const.unit(u'Stefan-Boltzmann constant')print("constante de Stephan-Boltzmann sigma =" ,sigma2, sigma,sigmausi)Constante de Stephan-Boltzmann σ = 5.670366816083269 10−8 Wm−2K−4

C1= 2*pi*h*c**2C2=h*c/kdelta = C2/(2898*10**(-6))

print("C1 =",C1,"C2 =",C2,"delta=",delta,"B1=",B1,"B=",B,"A=",A)

C1 = 3.741771790075259 10−16 Wm−2

C2 = 0.014387773538277204 m.Kδ = C2/(2898 ∗ 10 ∗ ∗(−6)) = 4.964725168487648

B=5*C1*x0**4/(C2**5*exp(x0))A=(C1/B)*(delta/C2)**(5)B1=C1*delta**5/((C2**5)*(exp(delta)-1))B= 1.2866919965118618 10−5 W.m−3.K−5

A= 142.26916782340652


8 Séance 8 : TP4 : RAYONNEMENT THERMIQUE.

8.1 CAPTAGE DE L'ÉNERGIE SOLAIRE.

Exercice 1. CAPTAGE DE L'ÉNERGIE SOLAIRE.L'étude du captage de l'énergie solaire grâce à un panneau absorbant permet :

� d'illustrer le comportement des corps réels en présence de rayonnement électromagnétique ;

� de donner un exemple d'application de la loi de Kirchho�.

Le capteur solaire est constitué :

� d'un panneau solaire, appelé absorbeur dont la température est T à l'équilibre.

� d'une vitre à la température TV pour limiter les pertes thermiques vers l'avant de l'absorbeur.

Figure 15 � Capteur solaire

Hypothèses

� Il y a du vide entre la surface noire de l'absorbeur et la vitre.

� L'équilibre thermique est atteint.

� Le soleil émet comme un corps noir à TS = 5800K. Le �ux solaire arrivant sur le capteur estégal à : ϕ = 1000 W ·m−2.

� Les caractéristiques du vitrage sont les suivantes :

Bandes spectrales absorption Ré�exion Transmission1© 0 < λ < 0, 4 µm α1 = 0 ρ1 = 1, 00 τ1 = 02© 0, 4 < λ < 2, 5 µm α2 = 0 ρ2 = 0, 05 τ2 = 0, 953© λ > 2, 5 µm α3 = 0, 65 ρ3 = 0, 30 τ3 = 0, 05

Table 9 � Caractéristiques optiques de la vitre.

A) ABSENCE DE VITRAGE

1. Donner une représentation schématique du problème en l'absence de vitrage.

2. En supposant l'équilibre thermique atteint, déterminer la température T de l'absorbeur.Données : σ = 5, 67 10−8 W ·m−2 ·K−4 constante de Stefan-Boltzman.


B) PRÉSENCE DE VITRAGE

Le �ux solaire incident sur la vitre est réparti dans les 3 bandes spectrales 1©, 2© et 3© · Les quantitésϕ1 , ϕ2 et ϕ3 sont respectivement la partie du �ux incident dans chacune des 3 bandes spectrales.

Bandes spectrales �ux1© 0 < λ < 0, 4 µm ϕ1 = 124 W ·m−2

2© 0, 4 < λ < 2, 5 µm ϕ2 = 842, 5 W ·m−2

3© λ > 2, 5 µm ϕ3 = 33, 5 W ·m−2

Table 10 � Répartition du �ux dans les 3 bandes spectrales.

HYPOTHÈSES :Toute la puissance du rayonnement émis par l'absorbeur se trouve dans la bande spectrale 3© .Le rayonnement de l'absorbeur se situe donc dans l'infra-rouge et au-delà pour une températureinférieure à 560 K (à valider a posteriori).L'absorbeur n'émet que du côté de la vitre, l'autre côté étant isolé.Rappel :On appellera ε3 , l'émissivité de la vitre. L'application de la loi de Kirchho� conduit donc à α3 = ε3.Pour un corps noir ε = α = 1.

1. Donner une représentation schématique du �ux solaire dans le capteur en présence de vitrage.

2. Écrire les bilans des �ux thermiques pour la vitre et pour l'absorbeur.

3. En déduire les températures de la vitre TV et de l'absorbeur T . Les calculer.

4. Conclusion.

Exercice 2. Courbe de Planck réduite .Le �ux solaire incident sur la vitre de l'exercice précédent est réparti dans les 3 bandes spectrales 1© ,2© et 3© · Les quantités ϕ1, ϕ2 et ϕ3 sont respectivement la partie du �ux incident dans chacune des3 bandes spectrales. En utilisant le courbe de Planck réduite intégrée on peut alors calculer chacunede ces densités �ux.

� ϕ1 partie de la densité de �ux incident dans la bande spectrale 1© 0 < λ < 0, 4 µm

ϕ1

ϕ=

∫ 0,4µm

0M0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ

On pose :

z(x) =

∫ x0y(x) dx∫∞

0y(x) dx

On obtient alors :

ϕ1

ϕ= z(x) avec x = λ

λm

λm est donnée par la première loi de Wien. En utilisant le courbe de Planck réduite intégréeon peut alors calculer ϕ1.

� ϕ2 partie de la densité de �ux incident dans la bande spectrale 2© 0, 4 < λ < 2, 5 µm


ϕ2

ϕ=

∫ 2,5µm

0,4µmM0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ=

∫ 2,5µm

0M0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ−∫ 0,4µm

0M0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ

On obtient alors :

ϕ2

ϕ= z(x2)− z(x1)·

avec

x1 = λ1λm

et x2 = λ2λm


� ϕ3 partie de la densité de �ux incident dans la bande spectrale 3© λ > 2, 5 µm

ϕ3

ϕ=

∫∞2,5µm

M0λ(T ) dλ∫∞

0M0

λ(T ) dλ=

∫∞0M0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ−∫ 2,5µm

0M0

λ(T ) dλ∫∞0M0

λ(T ) dλ

On obtient alors :

ϕ3

ϕ= z(x2)− z(x1)·

avec

x1 = λ1λm

et x2 = λ2λm


En utilisant le tableau des valeurs de la courbe réduite de Planck intégrée, sachant que le soleilémet comme un corps noir à TS = 5800K et que le �ux solaire arrivant sur le capteur est égal à :ϕ = 1000 W ·m−2

1. Déterminer la longueur d'onde λm correspondant au maximum de l'émittance pour la tempé-rature donnée.

2. Déterminer la densité de �ux ϕ1 partie de la densité de �ux incident dans la bande spectrale1© 0 < λ < 0, 4 µm .

3. Déterminer la densité de �ux ϕ2 partie de la densité de �ux incident dans la bande spectrale2© 0, 4 < λ < 2, 5 µm .

4. Déterminer la densité de �ux ϕ3 partie de la densité de �ux incident dans la bande spectrale3© λ > 2, 5 µm .


9 Séance 9 : TP5 : TRANSFERT THERMIQUE GLOBAL.

9.1 ÉTUDE D'UN TOIT.

Exercice 1. ÉTUDE D'UN TOIT.Un toit plan et horizontal est constitué :

p d'une couche d'asphalte

� d'épaisseur eas = 9 mm,

� de conductivité thermique λas = 0, 17 W ·m−1 ·K−1.

p d'une couche d'isolation

� d'épaisseur eis = 38 mm,

� de conductivité thermique λis = 0, 035 W ·m−1 ·K−1.

p d'une couche en acier

� d'épaisseur eac = 3 mm,

� de conductivité thermique λac = 52 W ·m−1 ·K−1.

Le toit a pour dimension : L x l = 32 m x 12,5 m.

A l'intérieur, l'air a une température Ti = 294 K (21◦C), le coe�cient de transfert par convec-tion étant hi = 11 W ·m−2 ·K−1

A l'extérieur, l'air a une température Te = 272 K (−1◦C), le coe�cient de transfert parconvection étant he = 34 W ·m−2 ·K−1

Le toit se comporte comme un corps noir et reçoit une densité de �ux rayonnant solaire incidentϕsol = 785 W · m−2. De plus, on suppose que la température de l'espace environnant estTesp = 253K.

1. Faire une schématisation du toit en y portant l'ensemble des �ux thermiques sur la face exté-rieure.

2. Après avoir écrit le bilan énergétique sur la face extérieure du toit, déterminer :

(a) la température sur la face extérieure du toit TS ;

(b) Le �ux de chaleur qui traverse le toit.

Données : σ = 5, 67 10−8 W ·m−2 ·K−4 constante de Stefan-Boltzman

9.2 ÉCHAUFFEMENT D'UN AVION GARÉ AU SOL.

Exercice 2. ÉCHAUFFEMENT D'UN AVION GARÉ AU SOL.Un avion, de couleur blanche, garé au sol est modélisé par un long cylindre métallique de longueurL et de rayon r.On étudie son équilibre thermique un jour d'été. L'air extérieur et la piste en ciment sont en équilibrethermique à la température de 27◦C. Le rayonnement solaire direct au niveau du sol correspond àune puissance thermique par unité de surface égale à ϕ = 700 W.m−2.

1. Identi�er les di�érentes entités thermiques en interaction. Chacune sera caractérisée par unetempérature qui lui est propre.


2. Préciser les échanges thermiques entre ces entités.

3. Calculer successivement :

(a) les apports thermiques reçus par l'avion.

(b) Les déperditions thermiques qu'il subit.

L'avion est assimilé à un corps gris ayant une émissivité ε = 0, 25.Le coe�cient d'échange par convection entre l'avion et l'air environnant est h = 4 W.m−2K−1.

4. Écrire le bilan thermique de l'avion.

5. En déduire la température à l'équilibre de l'avion.

6. Que deviendrait cette température pour un avion sombre d'émissivité ε = 0, 9 ?

Figure 16 � Échau�ement d'un avion garé au sol. Arizona, USA. Wikipédia


10 ALPHABET GREC

Figure 17 � Alphabet grec


11 OPERATEUR VECTORIEL

Figure 18 � Opérateurs vectoriels ( source wikipedia)


12 GRANDEURS THERMIQUES

Grandeurs thermiques Signi�cation physique Unités S.ILa masse volumique (ρ) ou (µ) kg ·m−3

La conductivité thermique (λ) Capacité à conduire la chaleur W ·m−1 ·K−1

La capacité thermique massique (c) Capacité à stocker de la chaleur J · kg−1 ·K−1

La capacité thermique (C) Capacité à stocker de l'énergie J ·K−1

La viscosité dynamique (η) Caractérise la capacité à l'écoulement Pa · sLa viscosité cinématique (ν) ν =

η

ρm2 · s−1

La capacité thermique massique (c) Capacité à stocker par kg J · kg−1 ·K−1

Le coe�cient de dilatation thermique (β) Capacité à se dilater K−1

La di�usivité thermique (a) Capacité à di�user la chaleur a =λ

ρ · cm2 · s−1

L'e�usivité thermique (b) Capacité à retenir la chaleurLa quantité de chaleur (Q) Énergie JLe �ux thermique (Φ) Puissance WLa densité de �ux thermique(ϕ) Puissance/surface W ·m−2

Le coe�cient de convection (h) Puissance/surface.température W ·m−2 · ◦C−1

Table 11 � Grandeurs thermiques et unités S.I.

13 FORMULES ET NOMBRES SANS DIMENSION

Nombres sans dimension Formules caractérise

Nombre de Reynolds Re =ρvd

ηun écoulement

Nombre de Prandtl Pr =ηc

λun �uide

Nombre de Nusselt Nu =hd

λun transfert par convection forcée

Nombre de Grasho� Gr =gβ∆TL3ρ2

η2un transfert par convection naturelle

Nombre de Biot Bi =hL

λrésistance conduction/convection

Table 12 � Formules et nombres sans dimension.


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DÉPARTEMENT VÉHICULES AÉROSPATIAUX

TRAVAUX DIRIGESDE TRANSFERT THERMIQUE

Échangeurs et ailettes

(Module En322)


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TRAVAUX DIRIGES DE TRANSFERT THERMIQUE (Module En311)