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CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL
Automne 2007
Plan du coursI. Les caractéristiques du mouvement
1. Trajectoire et position2. Vitesse moyenne et vitesse instantanée
II. Base de Frénet 1. Vitesse et vecteur tangent2. Accélérations normale et tangentielle
III. Vitesse et accélération en coordonnées curvilignes
1. Coordonnées polaires2. Coordonnées cylindriques3. Coordonnées sphériques
IV. Loi de composition des vitesses
TRAJECTOIRED’UN POINT MATERIEL
M3
M1
M2
M4
1
2
3
e3
e2e1
O
R
TRAJECTOIRE
COORDONNEES CARTESIENNES
1
2
3
ey
ez
ex
O
M
z
m
y
x
Base : {ex ey ez} directe
Coordonnées du point matériel M :
M(x,y,z)
Vecteur position :
OM = x ex + y ey + z ez
Position et Vitesse d’un point materiel
1
2
3
e3
e2e1
O
R
M1(t)
M2(t+Δt)
r r (t)
r r (t +Δt)
Δr r trv m Δ
Δ=
rr
dtrdvr
r=
Δt 0
M
ACCELERATION NORMALE:MOUVEMENT CIRCULAIRE
ex
ey
n
nextτ
M0
sφ
O
R
Rtst )()( =φ
Vecteur tangent
Dérivation du vecteur tangent
Accélération normale
Vecteur position
BASE DE FRENET
Accélération tangentielle:
Accélération normale:
Trajectoire
Centres de courbure de latrajectoirePoint matériel
R 1
R 2
R 3
R 4
R 5
Vitesse :
ττ rr&
r
dtdssv ==
Trajectoire plane quelconque
Trièdre de Frenet:
τ, nb
x
x
Trièdre de Frenet:
BASE DE FRENETTrajectoire 3D Exemple : Hélice
τ, nb Plan osculateur
EXEMPLES DE COURBES EN COORDONNEES POLAIRES
Bifolium régulierφφρ 2sincos4a=
Cardioide( )φρ cos1+= a
Spirale hyperboliqueφ
ρ a=
Coordonnées polaires
COORDONNEES CYLINDRIQUES
1
2
3
ey
ez
ex
O
M
z
m
y
xρφ
z
ez
eρ
eφ
1
2
3
O
Mz
mρ
φ
z
Base : {eρ eφ ez} directeCoordonnées du point matériel M : M(ρ,φ,z)
OM = ρ eρ + z ez
vitesse radiale vitesse orthoradiale ou transverse
vitesse axiale
Vecteur position :
Vecteur vitesse :
Coordonnées cylindriques
EXEMPLES DE COURBES EN COORDONNEES CYLINDRIQUES
Solénoide torique
⎩⎨⎧
=+=
φφρ
nrznrR
sincos
J. Robinson
Hélice
⎩⎨⎧
==φ
ρbza
Spirulline
COORDONNEES SPHERIQUES3
1
2ey
ez
ex
O
Mz
m
y
xφ
er
eθ
eφ
eφθ
r 2
1
3
O
Mz
mφ
θr
Base : {er eθ eφ} directeM(r,θ,φ)
OM = r erVecteur position :
méridien
parallèle
Projeté ⊥ de er : eρ
θ
Coordonnées sphériques
ρθθ eee zrrrr sincos += zeee rrr θθ ρθ sincos −=
COORDONNEES SPHERIQUES
Coordonnées sphériques
vitesse radiale vitesse orthoradialeou transverse
vitesse méridienne
EXEMPLES DE COURBES EN COORDONNEES SPHERIQUES
Clélie⎩⎨⎧
==
φθ nRr
Spirale conique de Pappus
⎩⎨⎧
==αθφar
CHANGEMENTS DE COORDONNEESCartésien Cylindrique
ρ = x2 + y2
φ = Arc tanyx
z = z
Cylindrique Cartésien
x = ρcosφy = ρsinφz = z
Cartésien Sphérique
r = x2 + y2 + z2
θ = Arctanx2 + y2
z
φ = Arc tan yx
Sphérique Cartésien
x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ
LOI DE COMPOSITIONDES VITESSES
r v abs =
r v rel +r v e
avec :
( )ℜℜ=
=
=
ℜ
ℜ
/'
''
vvdtrdv
dtrdv
e
rel
abs
rv
vr
rr
ve est le même pour tous les points du référentiel
Changement de référentiel : mouvement d'entraînement en translation
Changement de référentiel : mouvement d'entraînement en rotation
Composition de mouvements : rotation + translation
Exemples :