CreditMetrics

Hamdi BELTAIFANidhal BHOURIHatem ESSEFI

Introduction.

Choc de marché, défaut des intervenants les plus exposés, incapacités des autres à couvrir ou solder leurs positions dans un délai ou à un coût raisonnable : quel que soit l’enchaînement des causes et des faits, l’histoire économique récente ne manque pas d’exemples de ces situations de crise ou de tension extrême qui ont démontré le rôle néfaste que pouvait jouer un système bancaire archaïque en amplifiant le désordre financier. Ainsi, une gestion approximative des activités, un trop grand émiettement de l’offre, une collusion entre banques et monde politique sont les symptômes classiques des institutions bancaires et financières génératrices de difficulté.

Le cas russe de 1998 constitue probablement le cas le plus spectaculaire, qui a vu l’effondrement du rouble et de la dette souveraine provoquer la faillite du système bancaire national et l’accumulation inéluctable des pertes chez les grandes contreparties du marché au fur et à mesure qu’elles cherchaient en masse à se dégager de leurs positions sur un marché qui avait perdu toute liquidité.

L’analyse de ces crises récentes permet de dégager d’une part, que ces situations se développent à la faveur d’une intégration croissante du risque de marché et de contrepartie, elle-même liée à l’extension du champ des marchés financiers (pays émergents) et à l’apparition de nouveaux acteurs (institutions à fort effet de levier ou fonds spéculatifs). D’autre part, le développement de ces crises s’appuie également sur une volatilité croissante des situations de liquidité, elle-même liée à la « mondialisation » des marchés et, par voie de conséquence, à la très grande sensibilité des flux financiers aux phénomènes de confiance/défiance. Bien qu’imprévisibles dans leur développement, ces crises expriment néanmoins toujours à l’origine un déséquilibre fondamental de marché : sous-évaluation manifeste du risque dans le cas des actifs russes , présence d’acteurs dominants susceptibles d’introduire une forte volatilité des paramètres de marché dans le cas de la crise de l’or de septembre 1999 (née rappelons-le, de la décision des grandes banques centrales de limiter à l’avenir leurs ventes et prêts d’or) , formation de bulles spéculatives détachées des réalités économiques dans le cas des crises immobilières... à rapprocher de l’engouement récent pour les valeurs de la « nouvelle économie » !

La modélisation du risque de crédit prend donc aujourd’hui le relais de la modélisation du risque de marché et fait l’objet, depuis la fin des années 90, d’avancées spectaculaires au sein des établissements bancaires. La principale raison qui explique ce phénomène est le choc suscité dans les banques par la faillite virtuelle des fonds spéculatifs LTCM et la prise de conscience, à cette occasion, du risque systémique. L’ampleur des engagements de certains établissements bancaires vis-à-vis de ces fonds a révélé, d’une part, la sous évaluation générale du prix du

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risque de crédit, et d’autre part, les faiblesses du système de mesure et de suivi du risque de crédit sur les opérations de gré à gré.

Ce présent rapport se propose donc de donner un aperçu sur le risque de crédit et de présenter en détails un des principaux modèles d’évaluation de ce risque : CreditMetrics.

1.Présentation du risque de crédit.

Le risque de crédit peut être défini par la perte potentielle supportée par un agent économique suite à une modification de la qualité de crédit de l’une de ses contreparties, ou d’un portefeuille de contreparties, sur un horizon donné.

Le risque de crédit peut prendre en fait trois formes principales :

- le risque de défaut : Cette première forme de risque est associée à l’occurrence d’un défaut, caractérisé par l’incapacité de la contrepartie à assurer le paiement de ses échéances.

- le risque de dégradation de spread de signature : Depuis la crise asiatique de l’automne 1997 et la mise en place de l’Euro le 1er janvier 2000, le risque de crédit peut aussi prendre la forme d’une dégradation de spread de signature attaché aux obligations ou crédits en portefeuille. L’estimation du risque repose sur la modélisation du processus suivi par le spread.

- le risque de transition de rating : La dernière représentation du risque de crédit est la perte potentielle associée à une dégradation de la notation d’un émetteur ou d’un portefeuille de positions. Les matrices de transition publiées par les agences de notation sont ici l’instrument privilégié du calcul des pertes potentielles. Elles indiquent par classe de rating (AAA, AA, A, BBB,…) et sur un horizon donné, les probabilités de passage d’un état à un autre. En associant chaque état à un spread de signature, on peut directement construire la distribution potentielle des variations de market to market.

2. Le modèle CreditMetrics.

2.1. Présentation du modèle.

CreditMetrics a été développé par JP Morgan en 1997. CreditMetrics est un modèle de type valeur de marché qui vise à estimer la valeur du spread (un supplément de taux par rapport au taux sans risque que la valeur des actifs à l’échéance de la dette ne suffise pas à honorer cette dette) sur un horizon d’une année d’un émetteur d’une obligation en tenant compte des variations de la valeur de la dette provoquées par les changements de la notation de l’émetteur. Ces changements incluent non seulement la baisse ou la hausse de la notation mais aussi le défaut de la

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contrepartie. La VaR (value at risk) est ensuite estimée sur un portefeuille de risque crédit.

2.2. Principe du modèle : Portefeuille à une obligation.

La mise en œuvre de la méthode repose sur les étapes suivantes : Attribution de la notation. Calcul de la matrice de transition de notation. Calcul de la valeur actuelle de l’obligation émise. Calcul de la Value At Risk (VaR).

2.2.1. Attribution de la notation.

La notation est apparue aux USA au début du siècle par la publication du premier manuel de notation de John Moody en 1909. Son objectif était de fournir aux investisseurs une information objective sur les entreprises. Ce principe de notation était absent en Europe jusqu’aux années 80. La notation, contrairement au scoring, n’est pas une combinaison des différents ratios mais se base sur d’autres types de critères comme l’environnement de l’entreprise et les facteurs propres à chacune d’elle (endettement).Pour les entreprises importantes cette notation est publiée par des agences de notation spécialisées (standard&Poors, Moody’s…). Pour les centaines de milliers de petites et moyennes entreprises, il faut procéder à une notation interne.

Une entreprise peut être notée AA, BBB… comme l’indiquent les deux tableaux suivants :

S & P et autres Moody’s Interprétation

AAA Aaa

Highest quality ; extremly strongHigh quality

AA+ Aa1

AA Aa2

AA- Aa3

A+ A1

Strong payment capacityA A2

A- A3

BBB+ Baa1

Adequate payment capacityBBB Baa2

BBB- Baa3

BB+ Ba1 Likely to fullfill obligations ; Ongoing uncertaintyBB Ba2

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BB- Ba3

B+ B1

High risk obligationsB B2

B- B3

CCC+ Caa1

Current vulnerability to defaultCCC Caa2

CCC- Caa3

CC

CCa

In backruptcy or default, or other market shortcomingsD

2.2.2. Calcul de la matrice de transition de notation.

Les agences de notation publient régulièrement des informations relatives à l’évolution de la notation des émetteurs dans le temps. Ces informations sont regroupées dans des tableaux qui indiquent, soit directement le taux de défaut historique des émetteurs selon leur notation et sur un horizon donné, soit les changements de notation au cours du temps. Les tableaux décrivant l’évolution dans le temps de la notation d’un panel d’émetteurs sont appelés « matrices de transition» et constituent un outil privilégié d’estimation des probabilités conditionnelles de défaut.

La matrice annuelle de transition décrit le changement de notation, sur un horizon d’un an, d’un panel d’émetteurs.

Soit la matrice annuelle de transition suivante :

Rating AAA AA A BBB BB B CCC default

AAA 90 ,81 % 8,33 % 0,68 % 0,06 % 0,12 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %

AA 0,70 % 90,65 % 7,79 % 0,64 % 0,06 % 0,14 % 0,02 % 0,00 %

A 0,09 % 2,27 % 91,05 % 5,52 % 0,74 % 0,26 % 0,01 % 0,06 %

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BBB 0,02 % 0,33 % 5,95 % 86,93 % 5,30 % 1,17 % 0,12 % 0,18 %

BB 0,02 % 0,14 % 0,67 % 7,73 % 80,53 % 8,84 % 1,00 % 1,06 %

B 0,00 % 0,11 % 0,24 % 0,43 % 6,48 % 83,46 % 4,08 % 5,20 %

CCC 0,22 % 0,00 % 0,22 % 1,30 % 2,38 % 5,00 % 64,85 % 19,79 %

default 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % 100 %

Cette table s’analyse comme suit, en lisant par exemple la ligne BBB du tableau ci-dessus :

Notation initiale Notation potentielle dans un an Probabilité

AAA 0,02 %

AA 0,33 %

A 5,95 %

BBB BBB 86,93 %

BB 5,30 %

B 1,17 %

CCC 0,12 %

D 0,18 %

100,00 %

La probabilité pour notre actif de notation initiale BBB de rester BBB après une période d’un an est de 86,93 %, celle de devenir B est de 1,17%, celle de faire défaut est de 0,18%.

Remarque : on suppose que le nombre de transitions au cours de l’horizon temporel est au maximum de 1 transition (pas de transition multiple).

Hypothèses du modèle : La matrice est stable : Deux entreprises dans des secteurs différents ou des pays différents ont la même probabilité de migrer d’une notation à une autre ce qui est loin d’être vrai. Le processus est markovien : La probabilité de migrer d’une classe à une autre au cours d’une période est indépendante de ce qui s’est passé au cours des périodes passées.

2.2.3. Calcul de la valeur actuelle de l’obligation émise.Dans le cas où il n'y a pas faillite, il est possible de revendre le titre

avec un gain ou une perte. Pour cela, il est indispensable de connaître sa valeur actuelle (valeur actuelle des paiements restants). Pour calculer cette valeur actuelle on utilise les taux d'actualisation fournis par la courbe des taux zéro coupon correspondant à chaque notation. Ces taux

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dépendent du taux sans risque pour chaque maturité et de la prime de risque ou spread annuel qui dépend de la notation de l'obligation.

Exemple : Calcul de la valeur d’une obligation notée BBB.

CatégorieAAAAAABBBBBBCCC

Année 13.603.653.724.105.556.0515.5

Année 24.174.224.324.676.027.0215.02

Année 34.734.784.935.256.788.0314.03

Année 45 .125.175.325.637.278.5213.52

Tableau des taux forward (taux sans risque + prime de risque)

On considère un émetteur noté BBB qui émet une obligation de 100 euros sur 4 ans avec un taux annuel de 6%.

Dans ce cas la valeur actuelle de l’obligation est donnée par l’équation suivante :

On détermine ainsi, toute les valeurs possibles du titre en fonction des ses migrations possibles vers d’autres notations l’année suivante. Ce sont les valeurs de reventes théoriques dans le marché en cas de revente dans un an.

Il reste enfin, un dernier cas : celui de défaut. Dans ce cas l’entreprise tombe en faillite et ne peut plus payer ces dettes. Pour déterminer la valeur du titre, CreditMetrics utilise les taux de récupération moyens calculés sur des données historiques (moyenne sur ce que récupèrent les créanciers lorsque une entreprise d’une même notation tombe en faillite). Exemple 51,13% pour une obligation notée BBB.

Au total, on obtient les différentes valeurs possibles du titre (BBB par exemple) en fonction de leurs migrations possibles vers d’autres notations (ou défaut aussi) et les probabilités de migration.

Notation Probabilité ValeurAAA 0.02 109.37AA 0.33 109.19A 5.95 108.66BBB 86.93 107.55BB 5.3 102.02B 1.17 98.1CCC 0.12 83.64D 0.18 51.13

Valeur d’un titre BBB

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On obtient aussi la distribution de valeur du titre :

Distribution de la valeur à 1 an

-20

0

20

40

60

80

100

40 60 80 100 120

Valeur

Prob

abili

té

On vérifie bien que notre distribution n’est pas normale et non symétrique. Ceci est dû à la possibilité de défaillance.

Ainsi on peut comparer cette dernière courbe à la courbe normale du marché.

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2.2.4. Calcul de la VaR.A partir de la distribution précédente, il est possible de calculer la VaR 1% et la VaR 5% :VaR1% = E(V1an) – V1an,1% = 107.09 – 98.10 = 8.99de même la VaR 5% vaut 5,07.

Sous l’hypothèse que la distribution est normale N(, ) avec 107.09 et la VaR serait estimée par VaRN,1% = 2.33* = 6.97 ce qui est une approximation très éloignée pour la VaR 1% vu la forte dissymétrie de la distribution.

Quantile à 1% Quantile à 5%VaR distribution 8.99 5.07VaR normalité 6.97 4.93

VaR sur le risque crédit avec et sans l’hypothèse de normalité

2.3. Principe du modèle : portefeuille à deux obligations.

Ce que l'on a vu précédemment propose une méthode pour réduire le risque d'un portefeuille à une seule obligation. Dans la pratique, les portefeuilles contiennent plus d'une seule obligation (beaucoup plus). Nous allons traiter d'abord le cas d'un portefeuille à deux obligations pour expliquer comment transposer le travail déjà fait sur plusieurs titres à la fois.

Le modèle CreditMetrics propose dans les cas d'un portefeuille à deux obligations une distribution des titres avec les spread associés à chacun d'entre eux, visant ainsi à minimiser le risque du portefeuille en question. Cette distribution est le résultat d'un calcul qui se base essentiellement sur les matrices historiques de transition de notation et sur la corrélation entre les cours des différentes contreparties.Ce modèle reprend globalement les mêmes étapes décrites précédemment.

2.3.1. Attribution de la notation.

On attribue une notation à chacune des contreparties, de la même manière que l'on a procédé pour une seule contrepartie. On obtient ainsi les deux notations actuelles N1

t0 et N2t0.

2.3.2. Calcul de la matrice de transition de notation.

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On calcule la matrice de transition de notation des deux contreparties qui fournit les probabilités pour que la première contrepartie passe de N1

t0 à N1

t0+1an et que la deuxième contrepartie passe de N2t0 à N2

t0+1an.

Premier cas: La corrélation entre les deux contreparties est nulleDans ce cas la probabilité de la transition des notations est le produit des deux probabilités de transition de chacune d'entre elles.

Première contrepartie notée BB

Deuxième contrepartie notée AAAA AA A BBB BB B CCC Faillit

e0.09 2.27 91.05 5.52 0.74 0.26 0.01 0.06

AAA 0.03 0 0 0.03 0 0 0 0 0AA 0.14 0 0 0.13 0.01 0 0 0 0A 0.67 0 0.02 0.61 0.40 0 0 0 0BBB 7.73 0.01 0.28 7.04 0.43 0.06 0.02 0 0BB 80.53 0.07 1.83 73.32 4.45 0.60 0.20 0.01 0.05B 8.84 0.01 0.02 8.05 0.49 0.07 0.02 0 0CCC 1.00 0 0.02 0.91 0.06 0.01 0 0 0Faillite

1.06 0 0.02 0.97 0.06 0.01 0 0 0

On remarque encore une fois que les grandes probabilités correspondent à la prévision que les deux entreprises vont garder les mêmes notations.

Cette hypothèse peut être faite si les deux contreparties ne sont pas liées entre elles (Elles proviennent de deux pays différents et travaillent dans deux secteurs distincts...). Dans ce cas elle facilite beaucoup les calculs (surtout lorsque le portefeuille est assez gros). Sinon la supposition risque de conduire vers résultats complètement erronés.

Deuxième cas: Les deux contreparties sont corrélées entre ellesDans le cas où il y a une corrélation entre les cours des deux contreparties, CreditMetrics réalise une analyse multi-factorielle en groupant les entreprises par pays et secteurs. Il calcule ainsi la corrélation entre les deux contreparties. Par la suite, il utilise la formule suivante pour déterminer les éléments de la matrice de transition jointe.

Cette formule fournit la probabilité pour que la première entreprise passe de BB à BBB et pour que la deuxième passe de A à AA.Les Zx (où x est une notation) sont donnés par la figure suivante.

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On obtient ainsi une matrice de transition jointe qui tient compte de la corrélation des deux entreprises.

Première contrepartie notée BB

Deuxième contrepartie notée AAAA AA A BBB BB B CCC Faillit

e0.09 2.27 91.05 5.52 0.74 0.26 0.01 0

AAA 0.03 0 0 0.03 0 0 0 0 0AA 0.14 0 0.01 0.13 0 0 0 0 0A 0.67 0 0.04 0.61 0.01 0 0 0 0BBB 7.73 0.02 0.35 7.10 0.20 0.02 0.01 0 0BB 80.53 0.07 1.79 73.65 4.24 0.56 0.18 0.01 0.04B 8.84 0 0.08 7.80 0.79 0.13 0.05 0 0.01CCC 1.00 0 0.01 0.85 0.11 0.02 0.01 0 0Faillite

1.06 0 0.01 0.90 0.13 0.02 0.01 0 0

On ne remarque pas de grosses différences avec la matrice calculée sans tenir compte de la corrélation parce que les deux entreprises ne sont pas fortement corrélées.

2.3.3. Calcul de la valeur actuelle de l’obligation émise et de la VaR.

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Elles sont identiques à celles du modèle pour une seule obligation.

2.3.4. Conclusion

La méthode CreditMetrics reste donc assez efficace pour un portefeuille à deux obligations surtout si l'hypothèse de non corrélation entre les deux entreprises est bien fondée. Mais l'on se rend vite compte qu'avec l'augmentation du nombre de titres dans le portefeuille les calculs augmentent exponentiellement. C'est la raison pour laquelle au-delà de deux titres on privilégie d'autres méthodes comme le modèle de Monte-Carlo.

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