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Apprendre le nombreCycle 1 Partie 2
Michel FayolUniversité de Clermont Blaise Pascal & CNRS
Dakar Fev 2017
Des références
• http://www.cnesco.fr/fr/numeration/ressources-de-formation/
• Conférence de consensus : recommandations du jury ;
• Conférence de consensus : synthèses et documents d’accompagnement ;
• Nouveaux programmes ;• Michel Fayol: L’acquisition du nombre.
Nouvelle édition ; QSJDakar Fev 2017
CF 2017 3
Logique numériqueLe nombre : ensemble de classes emboîtées et ordonnées ;Le nombre : ensemble de classes emboîtées et ordonnées ;
Classification : notion de cardinal (3, 4, etc.) ;Comparaisons, sériation et inclusion : 3 > 2 ; 2 est inclus dans 3 ; 3 inclus dans 4 ;Itération de l’unité : on passe de n au suivant en ajoutant un (une unité) ;
CF 2017 4
Logique numériqueLe nombre : ensemble de classes emboîtées et ordonnées ;Le nombre : ensemble de classes emboîtées et ordonnées ;
Compositions et décompositions : 3 et 2 -> 5 ; 7 -> 2 et 5 ;Commutativité : 3 + 2 = 2 + 3 ;Inversion : 3 + 2 = 5 -> 5 – 2 = 3 ; 5 – 3 = 2 ;
Des savoirs et des savoir faire en actes puis réfléchis
• Ces propriétés sont enseignées et appliquées explicitement par les adultes ;
• MAIS, elles sont élaborées progressivement , par le biais de manipulations en actes ou mentales, et en fonction des quantités manipulées ;
• En maternelle : élaboration progressive par des activités ;
Dakar Fev 2017
CF 2017 6
Subitizing et comptage
Deux types de quantification
CF 2017 7
Combien y en a-t-il?
CF 2017 8
Combien y en a-t-il?
CF 2017 9
Combien y en a-t-il?
CF 2017 10
Combien y en a-t-il?
CF 2017 11
Subitizing et comptage
Subitizing
Comptage
Subitizing et comptage
• Subitizing : capacité à dire combien en un coup d’œil ; exact et rapide ; vrai pour un, deux, presque toujours trois, quelquefois quatre, voire cinq ;
• Comptage : lent et sensible à l’attention (interférences, fatigue, etc. ; mobilise la motricité (gestes) et le langage (noms de nombres) ;
• Coordination ; Dakar Fev 2017
Discriminer les petites quantités
Dakar Fev 2017
Sans doute associée aux capacités de mémoire à court terme visuelle ;Ne signifie pas qu’ils comprennent la quantité de référence ; ni qu’ils l’associent aux symboles verbaux ou indo-arabes ; À TRAVAILLER ;Peut s’étendre à des quantités plus grandes si configurations particulières (domino, dés) ;Peut être sélectivement affectée ;
Subitizing
Exemple de présentation
Analogique
Chiffres Chiffres arabes
Noms de NombresNoms de Nombres
Un, deux, trois 1, 2, 3
Analogique
Chiffres Chiffres arabes
Noms de NombresNoms de Nombres
Un, deux, trois 1, 2, 3
3 ans
Analogique
Chiffres Chiffres arabes
Noms de NombresNoms de Nombres
Un, deux, trois, …six 1, 2, 3, …6
4 ans
Des activités avec des quantités de 1 à 3
• Jeux de dés, dominos, jeux de plateaux, jeux de plein air ; cardinal <-> action ;
• Reconnaître, sélectionner, associer à un autre type d’entités (doigts, billes) ; cardinal, vers abstraction ;
• Dénombrer à partir du dé, ajouter la valeur d’un dé (jeu à un versus deux dé) ;
• Passage d’une représentation (dé, domino, etc. à une action, et inverse ;
Dakar Fev 2017
19
Premières étapes : 1, 2 et 3
• Reconnaître les petites quantités (1, 2 et 3, voire) par appréhension globale (sans compter : subitizing ) et par CTT ; plus tard, les dénommer ; les associer aux chiffres arabes ;
• Faire varier les entités, les formes, les couleurs, les dispositions ; prévenir la connaissances trop « locale » ;
• On cherche à installer la notion de cardinal , indépendante des propriétés des entités et des dispositions ; association aux collections de doigts ;
• On cherche à mettre en relation la quantité évaluée par subitizing et par comptage ;
20
Premières étapes : 1, 2 et 3
• Comparer les quantités (1, 2, 3), quelles que soient les entités, les formes, etc. ; plus, moins, autant ; petit, moyen, grand ;
• Ordonner par paires puis de la plus petite à la plus grande, et inversement ;
• On cherche à associer l’évaluation par subitizing et par comptage ; et inversement ;
21
Associer à des collections témoins
Associer les collections à d’autres collections (notamment doigts) (3 fourmis -> 3 doigts ; 3 doigts -> 3 fourmis);
• Avantages des doigts : représenter des quantités (avant ou sans le langage) de manière précise, à la fois analogique et symbolique ;
• Codage multi-sensoriel : visuel, kinesthésique et oral ;
• Compter (mettre en relation quantité totale et dénombrement) ; donner x objets ;
Configurations canoniques ou non
Nov 2016 22Di Luca & Pesenti, 2008
Collections témoins? Utilisation transitoire?
Différents codes analogiques
Dakar Fev 2017
24
Différents codes à afficher et utiliser
25
Composer et décomposer • Deux : un et puis encore un ; doigts, objets, puis
symboles ;• Trois : un, encore un, c’est deux ; encore un, c’est
trois ; trois c’est plus que deux ; doigts, objets, symboles ;
• Résolution en action des transformations (ajouter, enlever, comparer) avec les doigts et d’autres collections d’objets ;
• Résolution en mettant en relation avec les symboles ; d’abord les doigts, puis les symboles abstraits (noms de nombres, chiffres arabes);
• Ordonner les collections et les symboles ;
La ligne numérique
Cardinal, ordinal…et itération de un
ESEN nov 2014 26
La ligne numérique
ESEN nov 2014 27
Au total
• Des notions : cardinal ; ordre ; unité ; itération de l’unité ; commutativité ; inversion ; correspondance terme à terme ;
• Des savoir-faire : comparer ; mettre en ordre ; chaîne verbale (noms de nombres, chiffres arabes dans l’ordre) et comptage ; dénombrer ;
• Passages du nombre à l’action (donner, avancer, etc.) ; de l’action au nombre (comptage, etc.) ; relations avec l’espace ; des situations aux traitements ;
• Des leurres : espace occupé, longueur, etc.Dakar Fev 2017
Que savent-il à l’entrée en maternelle et que faire?
Trois types de savoirsLes petites quantités; les grandes quantités; des noms de nombres
Dakar Fev 2017
30
Plusieurs activités
• Reconnaître et dénommer les quantités ;• Comparer et ordonner les quantités ;
petit, moyen, grand ; cubes ; réglettes ; • Associer des collections-témoin aux
quantités et aux symboles ;• Dénombrer: dire combien il y a ; donner x
;• Composer et décomposer ;• Résoudre des problèmes ;
Exploiter les (petites) quantités
De 1 à 3 ou 4 puis à 5 et 6 jusqu’à 10
Dakar Fev 2017
Plusieurs activités• Chercher des entités dissimulées dans des
boîtes opaques (non verbal) ; comparer des ensembles hétérogènes (non verbal) ;
• Trouver le résultat d’ajouts ou de retraits (non verbal) ; puis verbal ;
• Déterminer si la CTàT permet de savoir combien sans compter (il y a autant de n que de m et il y a n, combien de m?), verbal ;
• Passage du non verbal au verbal: grand problème ;
Dakar Fev 2017
Matériel
Résultats
Résultats
Dakar Fev 2017
Mémoire et transformations (non verbales)
Mettre ensuite ou non en relation avec les symboles (1 + 4 = 5); étudier les stratégies;
On place 1 jeton (ou plus) dans une boîte opaque. On ajoute (ou on retire) 2, 3, 4 jetons sans que l’enfant puisse voir le résultat . On demande à l’enfant de produire lui-même le résultat avec ses propres jetons.
Les tout-débuts
Boîte réelle
fermée
Boîte évoquée
Présentation formelle
Petits nombres < 3 83% 56% 15%
Grands nombres > 3 28% 20% 6%
Dakar Fev 2017
Jusque vers 5 ans 1/2, réussite lorsque les quantités sont petites et associables à des représentations spatio-temporelles (évocation en mémoire). Aller progressivement de quantités manipulées à des quantités évoquées puis à des symboles ; des petites aux plus grandes quantités ;
Ajouter ou retirer (max de 2 à 5)Présentation verbale
numérosité
Âge Tâche 2 3 4 5
36 Addition .86 .54 .33 .07
Soustraction 1.00 .71 .38 .07
42 Addition .88 .66 .25 .19
Soustraction 1.00 .72 .40 .06
48 Addition .81 .66 .19 .19
Soustraction 1.00 .78 .42 .19
Dakar Fev 2017
Très faibles performances au-delà de trois: résolution par évocation. Peu d’utilisation des doigts ou autres dispositifs.
Difficultés• Percevoir les actions est plus facile que les
évoquer à partir du langage ; risques d’échecs ;
• Les noms de nombres sont des abstractions : beaucoup de temps avant de conduire à l’évocation des quantités précises ;
• Passer du comptage au cardinal ; et réciproquement ;
• Comptage et correspondance terme à terme ;
Dakar Fev 2017
Problèmes verbaux• Petites histoires illustrées : problèmes du
type état initial (EI) puis transformation (T) puis état final (EF) ;
• Trois cas : EI et T connus : trouver EF ; EI et EF connus : trouver T ; T et EF connus : trouver EI ;
• On illustre le connu (2 images) et on illustre partiellement ce qui est cherché ;
• Peu à peu : nombres croissants ; images enlevées ; CP? Dakar Fev 2017
De la PS à la GS
• Passer à 4-5-6 en MS puis 7-8-9-10 en GS ;
• Les activités restent les mêmes : TOUTES ;
• Les nombres sont de plus en plus grands ; les présentations de moins en moins illustrées (selon les élèves) ; les présentations sont de plus en plus verbales (selon les élèves) ;
Dakar Fev 2017
Attention
• L’école n’est pas là pour constater les performances, mais…
• Pour les faire évoluer dans le sens d’une pratique plus exacte, plus rapide, plus agréable ;
• Les objectifs du cycle 1 sont impératifs ;
Dakar Fev 2017
Objectifs du cycle 1
Vers la symbolisation et la manipulation des symboles
Dakar Fev 2017
Cycle 1
• Assurer le passage d’un traitement intuitif
et approximatif des grandeurs et quantités,
disponible dès la naissance mais qui s’affine
au fil du temps, à un traitement précis (et
conforme aux contraintes culturelles) de
ces mêmes grandeurs et quantités dont on
attend qu’il soit en place à l’entrée à l’école
élémentaire ou en fin de CP ;
Dakar Fev 2017
Ce qu’ils ne savent pas
• À quoi servent les nombres et noms de nombres ; relation entre subitizing et comptage ;
• Dénombrer de manière précise ;• Relier les noms de nombres (ou les chiffres
arabes) aux quantités ;• Comment fonctionne le système numérique ;
compositions et décompositions ;• Évoquer les quantités à partir du verbal ou
des noms de nombres ;Dakar Fev 2017
Les « grandes » quantités
Des évaluations approximatives au dénombrement
Dakar Fev 2017
Panamath.org
Dakar Fev 2017
Comparaisons de grandeurs et quantités
Dakar Fev 2017
Acuité de la discrimination s’améliore
CF 2016 49
Deux capacités de base• Traitement précis des petites quantités :
non numérique ;• Traitement approximatif des grandes
quantités :– Imprécision diminue avec l’âge ;– Imprécision diminue avec l’éducation ;– Prédirait partiellement les performances
ultérieures en arithmétique élémentaire ; importance des interventions ;
– Est améliorable par exercice ; si progressif ; Dakar Fev 2017
CF 2016 51
Associer les symboles aux quantités et utiliser les deux
5151
SEA: Représentationanalogique
des grandeurs (et quantités)
Représentation symbolique= CODE
Langage
Chiffres arabes
Doigts
Encoches
Bouliers
ApproximativeÉvaluations, comparaisons
CF 2016 52
L’importance des codes
• Essayez de résoudre:• XXXIV x XXIII• CXXIX - XXXVIII• Ce ne sont pas les quantités qui posent
problème, mais leur codage et la manipulation des codes;
• Source principale de difficulté: le code ; sa signification ; sa vitesse d’accès (dans les 2 sens); sa manipulation ;
5252
Les connaissances symboliques
Noms de nombres et chiffres arabes ; autres codes ;
Dakar Fev 2017
Représentation verbale Comparaison anglais, chinois, français
Français Anglais Chinois
1 2 3
10 11 12 13
20 21 22 23
un, une deux trois
dix
onze douze treize
vingt
vingt et un vingt-deux vingt-trois
one two three
ten
eleven twelve thirteen
twenty
twenty-one twenty-two twenty-three
yi er
san
shi shi yi shi er shi san
er shi
er shi yi er shi er
er shi san
Dakar Fev 2017
Impact des caractéristiques verbalessur l ’acquisition de la numération verbale
Comparaison anglais chinois
0102030405060708090
100
3 ans 4 ans 5 ans
USAChine
Dakar Fev 2017
56
Évolution de la chaîne verbaleFuson et al., 1983; Fuson, 1988
Stable et conventionnelle
Stable mais non conventionnelle
Ni stable ni conventionnelle
1 Un deux trois Quatre six huit neuf
Quatorze treize cinq
2 Un deux trois Quatre six huit neuf
Douze quinze treize
3 Un deux trois Quatre six huit neuf
Quatorze
4 Un deux trois Quatre six huit neuf
Neuf
CF 2016
57
Chaîne verbale et structuration
• omissions, arrêts, répétitions; indices de l’organisation;
• Fuson et al. (1982) quatre niveaux d’organisation:– Chapelet (string level) ;– Chaîne insécable: mots enchaînés dans le même ordre
(amorçage nécessaire) ;– Chaîne sécable : compter à partir de; compter jusqu’à ;
comptage à rebours difficile mais possible; avant/après ;– Chaîne terminale : compter n à partir de x; compter de x
à y pour déterminer combien ; flexibilité qui permet les calculs des opérations ;
CF 2016
58
Chaîne verbale et structuration
• Apprentissage lent : par cœur puis découverte des principes de formation des noms de nombres (combinaisons additives puis multiplicatives) ;
• Le niveau de structuration de la chaîne verbale conditionne les utilisations de celle-ci ; il n’est pas exclu que ces utilisations structurent en retour la chaîne verbale ;
• Effet de l’environnement familial et scolaire: fréquence des noms de nombres ;CF 2016
La chaîne verbale• Les enfants apprennent très tôt et sans grand effort apparent,
la suite des noms de nombres(la chaîne verbale: un, deux, trois, etc..) ; la vitesse d’apprentissage dépend de la régularité du code verbal ;
• La connaissance de la chaîne ne garantit pas que les enfants sachent s’en servir pour, par exemple, déterminer le successeur d’un nombre ou la plus grande de deux quantités ;
• Les enfants ne généralisent pasà l’ensemble des nombres les savoirs et savoir-faire qu’ils sont en mesure de mobiliser sur les petites quantités qu’ils maîtrisent: une fois parvenus à 4, ils ne sont pas capables de dire si 14 est plus grand que 13 alors même qu’ils réussissent pour 5 et 4 ;
Dakar Fev 2017 59
Évolution de la partie conventionnelle
• Dernier item atteint au comptage sans dénombrement
Dakar Fev 2017
61
Évolution de la partie conventionnelle
Classe moyenne Classe défavorisée
4 ans 19,9 15,5
5 ans 36 37,8
Les différences verbales associées aux niveau socio-culturel sont facilement éliminées par l’école
CF 2016
En résumé
• Dès l’entrée à l’EM, des différences importantes entre enfants concernant :– La discrimination des petits ensembles ;– La discrimination des « grandes »
quantités ;– La connaissance des noms de nombres et
des chiffres arabes ;– L’attitude et les émotions en relation avec
les nombres ; Dakar Fev 2017
Des propriétés• La quantification est précise ; • Cardinal peut s’obtenir par correspondance
terme à terme , sans dénombrer ; indépendance par rapport aux caractéristiques perceptives ; compositions et décompositions ;
• Cardinal peut s’obtenir par dénombrement : correspondance entre noms de nombres (symboles) et entités ; itération de l’unité (4 c’est 3 et encore 1) ; égalité des distances entre successeurs (entre 7 et 8 et 2 et 3) ;Dakar Fev 2017
Résolution de problèmes
Verbal et non verbal
Dakar Fev 2017
65
Deux types de problèmes
• Chercher l’état final : – Un enfant reçoit 3 bonbons puis encore 2 bonbons.
Combien a-t-il de bonbons en tout? – Un enfant a 5 bonbons. Il donne 2 bonbons à son frère.
Combien a-t-il de bonbons maintenant?
• Chercher la transformation : – Un enfant avait d’abord 3 bonbons. Son frère lui en a donné
plusieurs. Il a maintenant 5 bonbons. Combien son frère lui en a-t-il donné?
– Un enfant avait d’abord 6 bonbons. Il en a donné plusieurs à son frère. Il lui reste maintenant 2 bonbons. Combien a-t-il donné de bonbons à son frère?
66
Problèmes de comparaison• X a 3 billes. Il a 5 billes de moins que Y. Combien Y a-t-il
de billes ?• X a 3 billes. Y a 5 billes de plus que X. Combien Y a-t-il
de billes ?• X a 8 billes. Y a 5 billes de moins. Combien Y a-t-il de
billes ?• X a 8 billes. Il a 5 billes de plus que Y. Combien Y a-t-il
de billes ?
• Problèmes de combinaison• X a 3 billes. Y a 5 billes. Combien X et Y ont-ils de billes
ensemble ?• X et Y ont ensemble 8 billes. X a 3 billes. Combien Y a-t-
il de billes ?
67
Expliciter les formulations
Jean a gagné 3 billes.Maintenant il a 8 billes.Combien Jean avait-il de billes au début?
Tom et Anne ont 9 noisettes à eux deux.Tom a 3 noisettes.Combien Anne a-t-elle de noisettes?
Jean avait quelques billes. Il a gagné 3 billes de plus.Maintenant il a 8 billes.Combien Jean avait-il de billes au début?
Tom et Anne ont 9 noisettes à eux deux. Trois de ces noisettes appartiennent à Tom. Le reste appartient à Anne.Combien Anne a-t-elle de noisettes?
�Ils laissent une part importante de l’information implicite;
�On peutles rendre plus explicites
686868
Exemple verbal : Un enfant reçoit 3 bonbons puis encore 2 bonbons. Combien a-t-il de bonbons en tout?Exemple abstrait : Combien font 3 et 2?
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
5
Non-verbal Histoires Abstrait
Milieu favoriséMilieu défavorisé
Brésil 2012
Quelles sont les difficultés?
Comment s’établit la notion de cardinal? Comment les systèmes symboliques vont-
ils rendre précis le dénombrement? Importance de l’ordre?
Dakar Fev 2017
Cycle 1
• Assurer le passage d’un traitement intuitif
et approximatif des grandeurs et quantités,
disponible dès la naissance mais qui s’affine
au fil du temps, à un traitement précis (et
conforme aux contraintes culturelles) de
ces mêmes grandeurs et quantités dont on
attend qu’il soit en place à l’entrée à l’école
élémentaire ou en fin de CP ;
Dakar Fev 2017
Des propriétés• La quantification est précise ; • Cardinal peut s’obtenir par correspondance
terme à terme , sans dénombrer ; indépendance par rapport aux caractéristiques perceptives ; compositions et décompositions ;
• Cardinal peut s’obtenir par dénombrement : correspondance entre noms de nombres (symboles) et entités ; itération de l’unité (4 c’est 3 et encore 1) ; égalité des distances entre successeurs (entre 7 et 8 et 2 et 3) ;Dakar Fev 2017
Bilan
• Pour les jeunes enfants, le « nombre » n’est pas :– Indépendant des caractéristiques
perceptives ;– Indépendant des situations de mise en
œuvre ;
• Il doit le devenir : c’est le rôle de l’école ;
Dakar Fev 2017
7373
Les enfants voient des paires de quantités (1 et 2, 2 et 3 ou 3 et 4); on leur demande de trouver 1 ou 2 ou 3 ou 4.
Les enfants de 2 1/2 réussissent le choix de « un » contre une autre quantité. Il leur faut un an de plus pour réussir deux contre trois ou quatre
Brésil 2012
Comptage chez les 2 -3 ans
• Imiter l’alimentation d ’animaux (oiseaux, requins) auxquels l’E donne des entités diverses en quantité variant de 1 à 6 ; sans jamais évoquer de nombre ni de quantité ;
• 44 enfants de 2 à 3 ans, aucun ne compte au-delà de un; deux sous-groupes: ceux qui se focalisent (F) sur la quantité et les autres (A) ;
• Les enfants vont-ils utiliser le STO (exact jusqu’à 3) ou le SAN (diminution des réussites en fonction de la quantité) ;
Dakar Fev 2017
Nombre d ’entités inséréesSella DevSc 2015ip N25
CF 2016 75
Dakar Fev 2017 7676
TYPES DE TACHES
2 1/2
3
3 1/2
4
4 1/2
5
5 1/2
6
-Reproduire un no mbre
donné d'objets
-Montrer autant de
doigts que d'objets
-Montrer autant d'objets
que de doigts
-Imiter un nomb re de
coups frappés
-Dire combien on a
entendu de coups
-Dire com bien d'objets
sans com pter
-Donner un certain nombre
d'objets à 1, 2 ,3 personnes
-Répéter la suite des
nom bres
-Dénombrem ent avec
les doigts
1
-
-
-
-
1
1
1 à 4
-
-
1-2
1-2
-
-
2
2
1 à 5
-
3
-
-
1
-
-
-
1 à 6
-
-
3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
3
2
1-2
3
3
1à 7-8
2 à 6
4
4
4
-
3
-
-
1 à 10
7 à 10
-
-
-
3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4
4
4 à 10
-
-
Un constat
La réussite à traiter 3 dépend des tâches à réaliser et de l’âge. Acquisitions limitées à des situations précises.Modularité des savoirs et savoir-faire.
Descœudres, 1921
Des apprentissages fondamentaux
• Apprendre à associer de manière précise les symboles (noms, chiffres, autres) et les quantités précises ; notion de cardinal ;
• Apprendre que ajouter un à une quantité et avancer de un dans la suite verbale ou dans la suite des chiffres conduit au nombre suivant ;
• Apprendre que le nombre suivant (et ceux qui suivent) est plus grand que le précédent , de un ; Dakar Fev 2017
Les difficultés relatives au cardinal
L’indépendance des caractéristiques non numériques
Dakar Fev 2017
79
De la représentation analogique à la représentation verbale
•Deux problèmes:–Catégorisation : la cardinalité devrait être indépendante par rapport aux caractéristiques perceptives des collections (3 étoiles, 3 fourmis, 3 voitures) ;–Le langage code la quantité par l’ordre : 6 est plus grand que 5 puisque 6 vient après 5 ; les enfants doivent apprendre à évoquer la quantité à partir de la succession des mots de nombres ; Dakar Fev 2017
8080
Trouver les m êmes cardinalités
Brésil 2012
Les enfants mettent longtemps à isoler la cardinalité des configurations perceptives (densité, longueur, entités..). Varier les tailles, etc.
Cardinal et correspondance terme à terme
Acquisition lente associée à des expériences nombreuses et diverses
Dakar Fev 2017
82
La notion de cardinal: abstraite
La reconnaissance de l’équivalence numérique (= le cardinal ) de petites quantités (2, 3 et 4) est d’autant plus facile chez les plus jeunes (jusque vers 4 ans) que:
• Les entités se ressemblent ;• La disposition spatiale est proche ;• Les enfants connaissent la suite conventionnelle
des noms de nombres ;• À travailler souvent avec des entités variées ;
Dakar Fev 2017
Une situation difficile
Dakar Fev 2017
La correspondance Terme à Terme (CTT)Inférer le nombre Inférer la
correspondance
Pour n = 3 ou 4
3 ans .74 .71
4 ans .93 .88
Total .82 .84
Pour n = 6 ou 7
3 ans .66 .59
4 ans .79 .88
Total .72 .72
Dakar Fev 2017
Dès 3 ans peuvent inférer la numérosité de 2 collections mises en CTT, et raisonner sur l’appariement de deux collections dénombrées. Vrai avec petits nombres. Au delà de 4, labilité et inconsistances.
Que faire?• Nombreuses activités de mise en
correspondance avec des entités différentes en tailles, couleurs, fonctions, etc. ;
• Variations des dispositions , des regroupements ;
• Collections témoins de doigts (contribution à l’abstraction du cardinal) ; (4 fourmis -> 4 doigts ; 5 doigts -> 5 fourmis) ;
Dakar Fev 2017
Plusieurs apprentissages• Les enfants apprennent les noms des nombres un,
deux et trois en les associant à des quantités ; • Cette acquisition, lente , suit un ordre :
– en premier « un » (vers 21/2 : sachant un) ; – puis 2 (vers 3 ou 31/2 : sachant deux) ; – puis 3 (vers 31/2 ou 4 : sachant trois) ;
• Cette acquisition est mise en évidence par, d’une part « Donne N », d’autre part «Combien y a-t-il sur une carte? » ;
• Peu de temps après être devenus « sachant trois ou quatre », ils découvrent le principe cardinal et la fonction de successeur (N, N+1, (N+1)+1…) ; rôle des interventions? Dakar Fev 2017
Que faire?
• Le problème est triple:
– Raffiner les capacités de comparaisons des
grandeurs et quantités ; établir l’équivalence des
quantités ; correspondances terme à terme ;
– Acquérir un (ou des) système(s) symbolique(s)
(noms de nombres, chiffres arabes, ou autre) ;
– Associer les symboles aux quantités dans les
deux sens : cardinal (notion très abstraite) ;
évocation et production automatiques ; Dakar Fev 2017
Différents codes analogiques et symboliques
Dakar Fev 2017
Plusieurs activités
• Reconnaître et dénommer les quantités ;• Passer de n à n + 1 (et à n – 1) ;• Comparer et ordonner les quantités ;• Associer des collections-témoins (dominos,
doigts) aux quantités et aux symboles ;• Dénombrer: dire combien il y a ; donner x ;• Distinguer le comptage du dénombrement ;• Composer et décomposer ;• Résoudre des problèmes ;
Dakar Fev 2017
Le dénombrement
Suite verbale, pointage moteur et coordination
Dakar Fev 2017
Le dénombrement
• Coordination de la mise en œuvre de deux composantes, sources potentielles de difficultés :– Composante motrice (pointage,
mouvements des yeux, etc) ;– Composante symbolique (noms de
nombres, chiffres arabes, formes signées) ;
– Possible coût de cette coordination , qui s’ajouterait aux coûts de chacune des deux composantes ;
– Quel impact chez les enfants TSL ou dyspraxiques? Trois sources de difficultés ;Dakar Fev 2017
Dénombrer : procédure canonique
Dakar Fev 2017
1
6
52
34
–Stricte correspondance terme à terme entre désignation des éléments et items servant à les désigner ;–Ordre stable des éléments servant à désigner ;–Le dernier élément énoncé fournit la cardinalité ;–Abstraction : aucun impact de l’homogénéité ou de l’hétérogénéité ;–Non pertinence de l ’ordre du traitement ;
Landerl et al., 2004
Dénombrer: cardinal
Dakar Fev 2017
Éviter le comptage numérotage
Performances en fin de GSM (70 mois) vers le CP
Dakar Fev 2017
Principes Pourcentages
Ordre stable (OS) 62.4
Correspondance T à T (CTT) 95.3
Cardinalité C 65.7
OS+CTT 59.1
OS+C 43.3
CTT+C 65.7
Les trois 44.2
Des transformations aux opérations
Actions, évocations, opérations
Dakar Fev 2017
96
Le tout-début : compter toutCompter tout (2 puis 4) : agir (réunir) puis dénombrer le total (6).
1
2
1
3
2
4
1
2
3 4
5 6
97
Puis : compter à partir du premier fourni
1
2
3
1
4
2
5
2
64
Avec objets présents: action dépendante de la présentation
98
Puis : compter à partir du plus grand
5
1
6
24!
Début des opérations : l’ordre de traitement s’autonomise par rapport à l’ordre de présentation : a + b = b + a
1
2
1
3
2
4
Activités avec nombres de plus en plus grands
• Reconnaître, dénommer, comparer et ordonner des collections ; puis les symboles correspondants ;
• Associer différentes représentations (livres à compter) ; utiliser des collections-témoins (doigts) ; puis des symboles ;
• Dénombrer (dire combien il y a) et donner x ; collections -> symboles ET symboles -> collections ;
• Composer et décomposer (un et encore un et encore un et encore un c’est quatre; deux et encore deux c’est quatre) ;
• Résoudre des problèmes : en actions ; à partir de petites histoires ; à partir de situations ; sous format abstrait ; passage progressif au verbal ;
Dakar Fev 2017
Pour conclure
• Trois années de travail ; tous les jours un peu ; des objectifs et du temps ;
• Progression à établir : très lente mais volontariste ; faire réussir et progresser ;
• Ludique pour l’enfant, pas pour les enseignant(e)s ;
• Compter ; dénombrer ; apparier ; composer/décomposer ; représenter (ligne numérique) ; Dakar Fev 2017
Dakar Fev 2017
Merci pour votre attentionPour en savoir plus
Michel Fayol (2015 rééd). L’acquisition du nombre. Paris: Presses Universitaires de France, QSJ
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Cardinal
• Non verbal : correspondance terme à terme ; constater, construire ; comparer (plus, moins, autant) ; spatial et séquentiel ;
• Intermédiaire : conventionnel (doigts, dés, dominos, abaques, réglettes cuisenaire) ; codes analogiques ;
• Verbal et arabe : codes abstraits ; Dakar Fev 2017
Ordinal
• Non verbal : comparer les longueurs ; plus grand, plus petit, aussi long ;
• Intermédiaires : réglettes cuisenaire ; réglettes, surfaces, volumes, etc.
• Symboles : ordonner noms de nombres, chiffres arabes ; aller de n à m ;
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Transformer
• Ajouter ; commutativité en actes puis évoquée puis symbolisée ;
• Enlever ; • Égaliser ; • Composer, décomposer ; inversion ;
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Des apprentissages
• Le cardinal est une propriété des collections ;
• Il ne dépend pas de la nature des entités (étoiles, éléphants, billes…) ;
• Il ne dépend pas de la disposition spatiale, de la surface, de la densité, etc. ;
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Mises en correspondance progressives
• Configurations aléatoires ou conventionnelles (collections témoins ; doigts) ;
• Mots de nombres; chiffres arabes ; ne pas les confondre (transcodage) ;
• Quantités et symboles (dans les deux sens: précision, rapidité) ;
• Élaboration progressive par n, n+1, n+1+1, etc.
Dakar Fev 2017
