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1.2du 24/09/2021

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CPGE - Sciences Industrielles de l'Ingénieur - Chapitre Cycle 2 ATS

Cycle 2 Cours

CI3-A : Alimentation et courant continu - v1.2

Lycée Jules Ferry - 82 Bd de la République - 06400 CANNES

ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER

ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE AGIR

SYSTEME

CHAINE D'INFORMATION

CHAINE D'ENERGIE

Compétences visées :

Compétence Intitulé

B1-03Associer les grandeurs physiques aux échanges d'énergie et à la transmission

de puissance.

B1-07 Proposer des hypothèses simplicatrices en vue de la modélisation.

B2-01 Associer un modèle aux constituants d'une chaîne d'énergie.

B2-06 Paramétrer les mouvements d'un solide indéformable.

C1-03 Proposer une démarche permettant de déterminer une loi de mouvement.

C1-06Proposer une méthode de résolution permettant la détermination des

courants, des tensions, des puissances échangées, des énergies transmises oustockées.

C2-09 Déterminer la trajectoire d'un point d'un solide par rapport à un autre.

C2-10 Déterminer le vecteur vitesse d'un point d'un solide par rapport à un autre.

C2-11Déterminer le vecteur accélération d'un point d'un solide par rapport à un

autre.

C2-29 Déterminer les courants et les tensions dans les composants.

C2-30 Déterminer les puissances échangées.

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CPGE ATS - S2I Cours

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Table des matières

1 Sources d'énergie 7

1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Sources de tension sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Réseau monophasé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1.1 Paramètres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1.2 Représentation d'un signal sinusoïdal par diagramme de Fresnel . . . . . . . . . 11

1.2.1.3 Représentation d'un signal sinusoïdal par nombres complexes . . . . . . . . . . . 14

1.2.1.4 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 Réseau triphasé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2.2 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3 Transformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3.1 Relation entrée-sortie d'un transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3.2 Symbole d'un transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Source de tension continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1 Accumulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1.2 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1.3 Couples électrochimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Source de tension non sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2 Décomposition en série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.3 Valeurs ecaces en régime non sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.4 Puissances en régime non sinusoïdal monophasé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3




1.4.5 Qualité du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Transformation de Laplace 27

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2.2 Transformée de Laplace d'une dérivée et d'une primitive . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2.3 Théorème du retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2.4 Théorème de la valeur initiale (TVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2.5 Théorème de la valeur nale (TVF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2.6 Autres propriétés utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3 Signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3.1 Echelon unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3.2 Rampe (échelon de vitesse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3.3 Impulsion de Dirac (impulsion unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3.4 Signal sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3.5 Signal quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Fonction de transfert (introduction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2 Exemple d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2.1 Mise en situation et modèle de connaissance dans le domaine réel . . . . . . . . 34

2.2.2.2 Equations dans le domaine symbolique et fonction de transfert . . . . . . . . . . 35

2.2.2.3 Résolution de l'équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Table des transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Moteurs à courant continu 37

3.1 Principe du moteur à courant continu (MCC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.1 Constitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.2 Fonctionnement en moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3 Fonctionnement en génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.4 Schéma simplié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Modélisation électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Eléments constitutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2 Modèle de connaissance du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2.1 Comportement au niveau de l'induit et de l'inducteur . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2.2 Conversion électromécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2.3 Modèle de connaissance à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.3 Fonctionnement en régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.3.1 Equations du régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42




3.2.3.2 Quadrants de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Alimentation du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Variation de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2 Contrôle d'un moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2.1 Alimentation directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2.2 Contrôle de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.2.3 Contrôle de vitesse et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Modélisation en régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Hacheurs 49

4.1 Préambule : diodes et transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.1 Interrupteur idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.2 Diode réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.3 Thyristor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.4 Transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.4.1 Transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.4.2 Transistor MOS ou MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.4.3 Transistor bipolaire à grille isolée IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Cellule de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.2 Cellule de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Connexion à un moteur MCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Hacheurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.1 Composants constitutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.2 Hacheur série 1 quadrant (1Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4.3 Hacheur 2 quadrants (2Q) réversible en courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4.4 Hacheur 2 quadrants réversible en tension (Pont en H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4.4.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4.4.2 Remarque importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.5 Hacheur 4 quadrants (4Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.5.1 Fonctionnement dans le premier quadrant : moteur, sens positif . . . . . . . . . 65

4.4.5.2 Fonctionnement dans le second quadrant : génératrice, sens négatif . . . . . . . . 65

4.4.5.3 Fonctionnement dans le troisième quadrant : moteur, sens négatif . . . . . . . . 66

4.4.5.4 Fonctionnement dans le quatrième quadrant : génératrice, sens positif . . . . . . 66

4.4.6 Forme des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.6.1 Modèle d'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.6.2 Tension moyenne aux bornes du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.6.3 Evolution des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4.6.4 Formes des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69




4.4.7 Commande séquentielle, unipolaire, bipolaire d'un hacheur 4 quadrants . . . . . . . . . . 69

4.4.7.1 Commande séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.7.2 Commande continue bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.7.3 Commande continue unipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.7.4 Conséquence du type de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.7.5 Puissance transmise en commande bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 Puissances dans un hacheur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5.1 Cas du hacheur 1 quadrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5.1.1 Puissance transmise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5.1.2 Puissance dans les composants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5.2 Cas du hacheur 4 quadrants en commande bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Hacheur entrelacé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.7 Hacheur Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7.2 Principe de fonctionnement et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.7.3 Etude du fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.7.4 Phase de commutation du transistor : 0 ≤ t < αT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.7.5 Phase de commutation du transistor : αT ≤ t < T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.7.5.1 Bilan sur l'ensemble d'une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.5.2 Ondulation du courant dans l'inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7.5.3 Ondulation de la tension aux bornes de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78



CHAPITRE 1

Sources d'énergie

7







CPGE - Sciences Industrielles de l'Ingénieur - Chapitre Cycle 2 ATS

Sources d'énergie Cours

CI3 : Chaînes d'énergie > ALIMENTER24/09/2021 -

v5.2




SYSTEME


CHAINE D'ENERGIE




de puissance.








CPGE ATS - S2I Sources d'énergie Cours

1.1 Généralités

L'énergie électrique peut se présenter sous diérentes formes :• tension ou courant continu,• tension ou courant alternatif.

Figure 1.1 Sources d'énergie

Dans la gure précédente :• (1) est un signal continu• (2) est un signal sinusoïdal• (3) est un signal continu ondulé• (4) est un signal continu ondulé

Attention à ne pas confondre un régime sinusoïdal et un régime alternatif.

1.2 Sources de tension sinusoïdale

Cette source d'énergie est majoritaire, produite en grande partie par des alternateurs reliés à des machinestournantes.

Les sources monophasées sont exploitées dans le cas d`installations de faible ou moyenne puissance. Enrevanche, on privilégiera les sources triphasées dans le cas des fortes puissances.

1.2.1 Réseau monophasé

1.2.1.1 Paramètres caractéristiques

1.2.1.1.1 Forme d'onde

Un signal sinusoïdal est caractérisé par son amplitude VM , sa pulsation ω et sa phase ϕ.

On trouve également comme autre paramètre la fréquence f =ω

2π.




Figure 1.2 Signal sinusoïdal

1.2.1.1.2 Valeur moyenne - Valeur ecace

La valeur moyenne d'une variable x, aussi appelée composante continue, est dénie par :

Valeur moyenne d'une variable

< x >=1

T

∫ T

0

x(t)dt (1.1)

La valeur ecace d'une variable est dénie par :

Valeur ecace d'une variable

Xeff =

√1

T

∫ T

0

x2(t)dt =√< x2 > (1.2)

Dans le cas des signaux électriques, cette valeur ecace correspond au signal continu qui provoquerait lemême échauement dans une résistance.

Un signal sinusoïdal d'amplitude X a le même comportement qu'un signal continu d'amplitude Xeff =X√

2.

1.2.1.2 Représentation d'un signal sinusoïdal par diagramme de Fresnel

Représenter une grandeur sinusoïdale par ses variables temporelles n'est pas la solution la plus pratiquepour l'étude des réseaux électriques. En eet, additionner des tensions (par application des lois de mailles deKirchho par exemple) n'est dans ce cas pas simple.




1.2.1.2.1 Principe de la représentation vectorielle

Une première solution est la représentation vectorielle. Un signal sera représenté par les deux grandeurscaractéristiques d'amplitude et de phase :

Figure 1.3 Représentation vectorielle d'un signal sinusoïdal V = VM sin (ωt− ϕV )

Représentation temporelle Représentation vectorielle

V = VM sin (ωt− ϕV )

Somme de tensions

V1 + V2 = VM1sin (ωt+ ϕV1

) + VM2sin (ωt+ ϕV2

)

Dérivée d'un signal vectoriel(exemple d'un condensateur)

i = CdV

dt= CVMω cos (ωt+ ϕV )

= CVMω sin(ωt+ ϕV +

π

2

) Rotation +π

2

Hométhétie Cω

Déphasage −π

2

Le courant capacitif est avance sur la tension.




Représentation temporelle Représentation vectorielle

Intégration d'un signal vectoriel(exemple d'une inductance)

i =1

L

∫ t0u(t)dt = −VM

Lωcos (ωt+ ϕV )

=VMLω

sin(ωt+ ϕV −

π

2

) Rotation −π

2

Hométhétie1

Lω

Déphasage +π

2

Le courant inductif est retard sur la tension.

1.2.1.2.2 Exemples d'étude : circuit RLOn considère le circuit RL ci-dessous, dont la tension sinusoïdal d'entrée est prise comme référence :

Figure 1.4 Circuit RL

Déterminer le courant I dans le circuit se résout à l'aidedu diagramme de Fresnel en écrivant que :• −→e =

−→VL +

−→VR

• VL = Ldi

dt, donc

−→VL se déduit de

−→i par une rota-

tion de +π

2

Figure 1.5 Diagramme de Fresnel




1.2.1.2.3 Exemples d'étude : circuit RCOn considère cette fois le circuit RC ci-dessous, où la tension sinusoïdale E est prise comme référence de phase :

Figure 1.6 Circuit RL

Déterminer le courant I dans le circuit se résout à l'aidedu diagramme de Fresnel en écrivant que :•−→E =

−→UC +

−→UR

• I = CdUC

dt, donc

−→UC se déduit de

−→i par une ro-

tation de −π

2

Figure 1.7 Diagramme de Fresnel

1.2.1.3 Représentation d'un signal sinusoïdal par nombres complexes

1.2.1.3.1 GénéralitésLes diagrammes de Fresnel sont une façon ecace de visualiser le déphasage entre tension et courant, mais nesont pas adaptés aux calculs.

Une autre représentation possible est la modélisation par nombres complexes.

On associe à chaque grandeur sinusoïdale x = X√

2 sin (ωt+ ϕ) (où X représente la valeur ecace) unnombre complexe X tel que :

X = X√

2 [cos (ωt+ ϕ) + j sin (ωt+ ϕ)] = X√

2ej(ωt+ϕ) (1.3)

Représentation temporelle Représentation complexe

V = VM sin (ωt− ϕV ) V = VMej(ωt+ϕ)

Somme de tensions

V1 + V2 = VM1 sin (ωt+ ϕV1) + VM2 sin (ωt+ ϕV2)VM = V1 + V2

Dérivée d'un signal vectoriel(exemple d'un condensateur)

i = jCωVMej(ωt+ϕ) = jCωVM

i = jCωVMej(ωt+ϕ) =

1

jLωVM

Intégration d'un signal vectoriel(exemple d'une inductance)

i =1

L

∫ t0u(t)dt = −VM

Lωcos (ωt+ ϕV )

=VMLω

sin(ωt+ ϕV −

π

2

) i =1

jLωVMe

j(ωt+ϕ) =1

jLωVM




1.2.1.3.2 Notion d'impédance complexe

Pour tout dipôle d'un circuit, caractérisé par une tension complexe V à ses bornes, et un courant complexeI le traversant, on peut dénir une relation similaire à une loi d'Ohm :

V = Z.I où Z est appelée impédance complexe du dipôle. On dénit l'admittance complexe par Y =1

Z.

Ainsi :

Impédances complexes

• l'impédance complexe d'un condensateur est Z =1

jCω, et son admittance complexe est Y = jCω,

• l'impédance complexe d'une inductance est Z = jLω, et son admittance complexe est Y =1

jLω,

• l'impédance complexe d'une résistance est Z = R, et son admittance complexe est Y = G.




1.2.1.3.3 Exemple de calcul d'une impédance complexe équivalente

On considère le réseau ci-contre, représentant une lignede transmission haute fréquence (du type câble coaxialTV).

On cherche à déterminer le rapportV2

V1an d'estimer

l'atténuation de ligne.

On se retrouve avec un diviseur de tension, tel que :

V2

V1=

Z ′eq

Zeq + Z ′eq=

R2

R2 + (1 + jR2Cω) (R1 + jLω)

Figure 1.8 Transmission HF

1.2.1.4 Puissances

1.2.1.4.1 GénéralitésLa puissance instantanée à un instant t est dénie par p(t) = v(t).i(t).

Comme il s'agit de signaux sinusoïdaux, la puissance instantanée est uctuante et donc peu exploitable.Nous préférerons alors dénir la puissance moyenne :

P =< p >=1

T

∫ T

0

p(t)dt =1

T

∫ T

0

v(t)i(t)dt (1.4)

Or, en prenant la tension comme référence de phase, on a :

v(t) = V√

2 sin (ωt)

i(t) = I√

2 sin (ωt− ϕ)

Alors l'équation (1.4) devient :

P =1

T

∫ T0V√

2 sin (ωt) I√

2 sin (ωt− ϕ) dt =2V I

T

∫ T0

sin (ωt) sin (ωt− ϕ) dt

=2V I

2T

∫ T0

[cos (ϕ)− cos (2ωt− ϕ)] dt =V I

T

(cosϕ [t]

T0 −

[1

2ωsin (2ωt− ϕ)

]T0

)

Soit au nal :

Puissance active

P = V I cosϕ (1.5)

Cette puissance active, exprimée en Watt, correspond à la puissance réellement disponible pour uneconversion d'énergie (mécanique, thermique, ...).




1.2.1.4.2 Puissances réactive - apparente

Puissance réactive

On dénira également la puissance réactive Q = V I sinϕ (unité : volt-ampère-réactif VAR).

Cette puissance, qui circule entre générateur et récepteurs, n'est pas convertie.

Enn, on dénit la puissance apparente S = V I (unité : volt-ampère VA).

Figure 1.9 Triangle des puissances

La puissance apparente S a, dans le plan complexe, une composanteréelle P et une composante imaginaire Q : S = P + jQ.

On en déduit S2 = P 2 +Q2.

La puissance réactive est produite ou consommée par les dipôlescapacitifs ou inductifs :• un dipôle capacitif produit de la puissance réactive (ϕ < 0),• un dipôle inductif consomme de la puissance réactive (ϕ > 0).

On appelle facteur de puissance le rapportP

S. Il traduit la qualité d'utilisation de l'énergie électrique. En

pratique, on cherche à obtenir un FP au moins égal à 0,9 (faible consommation de puissance réactive).

Dans le cas particulier d'un régime sinusoïdal, FP = cosϕ et tanϕ =Q

P.

DipôlePuissanceactive P

Puissanceréactive Q

ϕ(i par rapport à u)

Résistance P = RI2 Q = 0 ϕ = 0

Inductance P = 0 Q = LωI2 ϕ = +π

2

Condensateur P = 0 Q = − 1

CωI2 ϕ = −

π

2

1.2.1.4.3 Théorème de BoucherotDans une installation comportant plusieurs circuits en parallèle, la puissance active totale est la somme despuissances actives de chacun de ce circuits. Il en est de même pour la puissance réactive.

Pt =∑i

Pi et Qt =∑i

Qi.

En revanche, cette égalité n'est pas applicable à la puissance apparente :

St =√

(P 2t +Q2

t )

Le courant ecace total se calcule en passant par la puissance apparente :

It =St

V




1.2.1.4.4 Exemple : compensation de puissance réactive

Les installations qui consomment de la puissance réactive (utilisation de machines à induction telles quemoteurs, alternateurs, ...) induisent une diminution du facteur de puissance. Or le fournisseur d'énergie électriquepénalise les clients qui ont un facteur de puissance trop faible, car pour une même puissance active consomméececi entraine un surdimensionnement des câbles et des transformateurs.

Il faut donc, pour ces clients, compenser la puissance réactive en en injectant dans le réseau. Pour cela, illeur faudra installer des batteries de condensateurs, qui produisent de la puissance réactive.

On considère un poste de travail sous une tension ecace de 230V 50 Hz, est constitué de 10 lampes àincandescence de 100W chacune, et d'un moteur de puissance utile Pu = 3680W . Le rendement de ce moteurest égal à η = 0, 75, et son facteur de puissance FP = 0, 707.

Le fournisseur d'énergie impose un facteur de puissance minimum cosϕ = 0, 88 pour ne pas appliquer depénalités.

L'installation nécessite-t-elle l'adjonction de condensateurs de compensation de puissance réactive ?

Calcul de la puissance absorbée par le moteur

Pa =Puη

= 4907W

Calcul du facteur de puissance de l'installation

Puissance active totale : P = 10.100 + 4907 = 5907W

Puissance réactive totale : Q = Pa tanϕ = 4908V AR

D'où le facteur de puissance global : Fp =P

S=

P√Q2 + P 2

= 0, 707

L'installation consomme alors : I =P

V cosϕ= 30.2A

Dimensionnement de la batterie de condensateurs

Il faut donc injecter de la puissance réactive, puisque FP < 0, 88.

Les condensateurs doivent injecter Qc tel queP√

(Q+QC)2

+ P 2

= 0, 88.

On en déduit Qc = −2259V AR.

Or la puissance d'un condensateur a pour expression QC =1

jCωI2 = jCωV 2, donc QC = −CωV 2.

Soit, pour nir, la capacité totale des condensateurs à installer :

C =QC

2πfV 2= 136 µF .

Conclusion

Après ajout de ces condensateurs, l'installation consommera I =P

V cosϕ= 24.2A.

Le courant de ligne consommé est plus faible, traduisant le fait que, pour la même puissance active, il y a




moins de puissance réactive à faire transiter dans l'alimentation.

1.2.2 Réseau triphasé

1.2.2.1 Généralités

L'alimentation triphasée sinusoïdale est très répandue dans le domaine industriel. Les alimentations mono-phasées sont en fait issues de ces réseaux triphasés.

Une alimentation triphasée est constituée de trois câbles dans lesquels transitent un signal sinusoïdal, chacun

de ces signaux étant déphasé de2π

3(1/3 de période).

Figure 1.10 Tensions triphasées

Un régime sera dit équilibré si la somme des trois tensions (ou des trois courants) est nulle. Seuls les régimeséquilibrés seront abordés dans ce cours.

Figure 1.11 Tensions simples et composées




Figure 1.12 Diagrammes de Fresnel des tensions tri-phasées

Le dessin ci-contre montre la construction par représen-tation de Fresnel des tensions composées.En valeur ecace, on vérie U =

√3V et I =

√3J .

1.2.2.2 Puissances

1.2.2.2.1 Théorème de Boucherot

Le théorème de Boucherot s'applique également pour les régimes triphasés sinusoïdaux.

1.2.2.2.2 Puissance active

Dans le cas d'une alimentation triphasée, la puissance instantanée est :

p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t) + v3(t)i3(t)

La puissance moyenne - dite active - est alors donnée par l'expression :

Puissance active en triphasé

P = 3V I cosϕ =√

3UI cosϕ (1.6)

1.2.2.2.3 Puissances réactive - apparente

Puissances réactive et apparente en triphasé

La puissance réactive, exprimée en VAR, a pour expression :

Q = 3V I sinϕ =√

3UI sinϕ (1.7)

La puissance apparente, exprimée en VA, a quant à elle pour expression :

S = 3V I =√

3UI (1.8)




1.2.3 Transformateurs

Le transport de l'énergie électrique nécessite, pour des raisons de coût, d'abaisser le courant car c'est lavaleur du courant qui dimensionne les câbles.

Pour transporter la même puissance en abaissant le courant, il est donc nécessaire d'élever la tension : c'estle rôle des transformateurs.

1.2.3.1 Relation entrée-sortie d'un transformateur

Figure 1.13 Structure d'un transformateur

Un transformateur est constitué de N1 spires sur l'en-roulement primaire (entrée), et de N2 spires sur l'enrou-lement secondaire (sortie).On retient la convention récepteur pour l'enroulementprimaire, et la convention générateur pour l'enroulementsecondaire.Dans le cas d'un transformateur parfait, la loi de Lentzénonce que le rapport des tensions suit la relation sui-vante :

V2V1

= −N2

N1= −m (1.9)

M est appelé rapport de transformation du trans-formateur.

La relation sur les courants d'un transformateur parfait est quant à elle :

I2I1

= −N1

N2= − 1

m(les courants sont donc en opposition de phase).

1.2.3.2 Symbole d'un transformateur

Figure 1.14 Symbole d'un transformateur

Le primaire (1) est en convention récepteur.Le secondaire (2) est en convention générateur.Les deux cercles représentent les bobinages.Les deux points désignent les bornes homoloques, quifournissent une indication sur le sens du courant. Lestensions sont en phase si elles pointent chacune vers lesbornes homologues.

1.3 Source de tension continue

Une source de tension sera dite continue si elle fournit une tension invariante dans le temps.




1.3.1 Accumulateurs

1.3.1.1 Généralités

Les piles ou les accumulateurs (qui sont des piles rechargeables) sont des systèmes basés sur le transfertd'électrons dans une réaction chimique.

Dotés d'une très faible résistance interne, les accumulateurs peuvent être assimilés à des sources de tension.

1.3.1.2 Caractéristiques

Un accumulateur peut être déni par :• sa tension à vide (fém),• sa capacité en Ah (Ampère.heure) : il s'agit de l'énergie disponible,• sa résistance interne.

1.3.1.3 Couples électrochimiques

1.3.1.3.1 Plomb-Acide

Il s'agit du couple le plus ancien. La tension nominale d'un élément est 2,1 V.

Une telle batterie a une faible énergie massique, mais une forte densité de courant, autorisant ainsi les picsde courant (démarrage moteur par exemple).




1.3.1.3.2 Nickel-Cadmium

Sa tension nominale vaut 1,2 V.

L'eet mémoire se manifeste sur ce couple électrochimique (une recharge avant d'avoir une batterie complé-tement déchargée diminue sa capacité)

1.3.1.3.3 Nickel-métal hydrure (NiMH)

Sa tension nominale vaut également 1,2 V.

Un tel accumulateur est doté d'une énergie massique 40

1.3.1.3.4 Lithium ion ou Lithium métal

Sa tension nominale vaut 3,7 V.

Technologie récente, elle dispose d'une forte densité énergétique.

Figure 1.15 Performances des couples électrochimiques

1.3.2 Puissance

En régime continu, la puissance transmise par un générateur est égale à :

P = U.I (1.10)




1.4 Source de tension non sinusoïdale

1.4.1 Introduction

Les sources d'énergie abordées précédemment étaient continues ou sinusoïdales. Mais les signaux électriquespeuvent présenter des caractéristiques qui, bien que périodiques, ne sont pas sinusoïdales.

C'est le cas par exemple avec l'utilisation de hacheursou de redresseurs.Par dénition, un récepteur sera dit "non linéaire"s'il prélève un signal courant de forme diérente que latension qui lui est appliquée.Malgré tout, les deux variables conservent leur périodi-cité.

Figure 1.16 Exemple de signaux d'un récepteurnon linéaire

1.4.2 Décomposition en série de Fourier

On montre que tout signal périodique f(t) peut se décomposer en une somme innie de signaux sinusoïdaux :il s'agit de la décomposition de Fourier.

f(t) = a0 +

+∞∑n=1

[an cos (nωt) + bn sin (nωt)] (1.11)

avec a0 =1

T

∫ T0f(t)dt : moyenne du signal (comopsante continue)

an =2

T

∫ T0f(t) cos (nωt) dt et bn =

2

T

∫ T0f(t) sin (nωt) dt

Les termes de rang n sont appelés harmoniques de rang n.

En outre, l'harmonique de rang 1 est appelé fondamental.

Si la fonction est symétrique sur une demi période, la décomposition de Fourier ne fait intervenir que desrangs impairs.

Prenons par exemple le signal ci-dessous :

Figure 1.17 Signal périodique non sinusoïdal




Il est en réalité la somme de trois sinusoïdespures, de fréquences 5 Hz, 20 Hz et 70 Hz etd'amplitudes respectives 1, 1 et 0.5.

Le spectre de Fourier, qui ache lesfréquences et amplitudes des dié-rentes sinusoïdes qui décomposentle signal, sera alors comme suit :

Figure 1.18 Spectre de Fourier

Figure 1.19 Décomposition du signal précédent

1.4.3 Valeurs ecaces en régime non sinusoïdal

La décomposition de Fourier ne fait intervenir que des grandeurs sinusoïdales, et rend ainsi aisé le calcul desvaleurs ecaces :

Valeur ecace du fondamental :

F1 =amplitude√

2=

√a21 + b21√

2

Valeur ecace du rang n :

Fn =

√a2n + b2n√

2

La valeur ecace de l'ensemble du signal a donc pour expression :

Fn =

√a20 +

+∞∑n=1

(a2n + b2n)

√2

1.4.4 Puissances en régime non sinusoïdal monophasé

La puissance instantanée a pour expression p(t) = u(t).i(t).

On se place dans l'hypothèse où u(t) est purement sinusoïdal, tandis que i(t) est non sinusoïdale, et doncdécomposable en série de Fourier.

Par dénition, les puissances active et réactive ne sont véhiculées que par les harmoniques deu(t) et de i(t) de même rang. Par conséquent, dans notre cas d'une tension purement sinusoïdale (donc avecuniquement un fondamental), la puissance active n'est véhiculée que par u(t) et le fondamental de i(t) :

P = V.I1 cosϕ1 (1.12)

où ϕ1 désigne le déphasage du fondamental du courant par rapport à la tension.

De même, la puissance réactive a pour expression :




Q = V.I1 sinϕ1 (1.13)

Les autres harmoniques génèrent une puissance qui circule, mais sans être échangée entre le générateuret le récepteur. Ils génèrent une puissance déformante D.

Le bilan des puissances s'écrit alors nalement :

Bilan des puissances en régime non sinusoïdal

P = V.I1 cosϕ1

Q = V.I1 sinϕ1

S = V.I

D =√S2 − P 2 −Q2

(1.14)

1.4.5 Qualité du signal

La qualité du signal peut être dénie avec le taux de distorsion harmonique, qui est le rapport entre lavaleur ecace de l'ensemble des courants harmoniques et la valeur ecace du fondamental :

THD =

√+∞∑n=2

I2n

I1(1.15)



CHAPITRE 2

Transformation de Laplace

27







CPGE - Sciences Industrielles de l'Ingénieur - Chapitre 2 ATS

Transformation de Laplace Cours

24/09/2021 -v5.2


Transformée de Laplace



SYSTEME


CHAINE D'ENERGIE



CPGE ATS - S2I Transformée de Laplace Cours

2.1 Introduction

La transformation de Laplace permet une très grande simplication des solutions mathématiques recherchées.

Les problèmes qui sont posés en Sciences Industrielles de l'Ingénieur sont caractérisés par des fonctions dutemps t.

La transformation de Laplace transposera ces problèmes du domaine réel fonction du temps en problèmesd'un domaine symbolique où la variable ne sera plus le temps t mais une variable symbolique p.

Ainsi, à toute fonction f(t) dans le monde temporel correspondra une fonction F (p) dans le monde symbo-lique. Ce passage du monde réel au monde symbolique est déni par la transformée de Laplace.

2.1.1 Dénition

On considère une fonction réelle s(t) telle que s(t) = 0 pour t < 0.

On appellera transformée de Laplace L[s(t)] de la fonction s(t) la fonction F (p) telle que :

S(p) =

∫ +∞

0

s(t)e−ptdt (2.1)

Cette fonction S(p) est une fonction complexe d'une variable complexe p = τ + jω.

2.1.2 Propriétés

2.1.2.1 Linéarité

La transformée de Laplace est une fonction linéaire :

L[αf + βg] = L[αf ] + L[βg]

2.1.2.2 Transformée de Laplace d'une dérivée et d'une primitive

2.1.2.2.1 Dérivée

On considère une fonction f(t) et sa transformée de Laplace L[f(t)] = F (p).

Alors la transformée de Laplace de sa dérivée a pour expression :

df

dt

L−→ pF (p)− f(0) (2.2)

On montre que la transformée de la dérivée seconde a pour expression :

d2fdt2 → p2F (p)− pf(0)− f ′(0)




Dans le cas particulier fréquent où les conditions initiales sont toutes nulles, on pourra alors retenir que :

Transformée d'une dérivée

df

dt

L−→ pF (p)

dnf

dtnL−→ pnF (p)

(2.3)

2.1.2.2.2 Primitive

On considère une fonction f(t) et sa transformée de Laplace L[f(t)] = F (p).

On note P (t) une primitive de f(t).

Alors la transformée de Laplace de la primitive de f(t) a pour expression :

Transformée d'une primitive

∫f(t)dt

L−→F (p)

p+P (0)

p(2.4)

Dans le cas particulier fréquent où la condition initiale de la primitive est nulle, on pourra alors retenir que :∫f(t)dt

L−→ F (p)

p(2.5)

2.1.2.2.3 Conditions de Heaviside

Lorsqu'il sera nécessaire de transformer une fonction f(t) dans le domaine symbolique, on évoquera souventles conditions de Heaviside. Les conditions de Heaviside seront dites réunies si les conditions initiales impliquéesdans la transforée de Laplace sont toutes nulles f(0) = 0, f ′(0) = 0, etc.

2.1.2.3 Théorème du retard

Introduisons un retard τ , c'est-à-dire un décalage de temps, à la fonction f(t) :

Figure 2.1 Retard d'une fonction

Alors la transformée de Laplace de cette fonction avec retard s'exprime par :

f(t− τ)L−→ F (p)e−pτ (2.6)




2.1.2.4 Théorème de la valeur initiale (TVI)

Le théorème de la valeur initiale permet de déterminer la limite limt→0+

f(t) :

limt→0+

f(t) = limp→+∞

[pF (p)] (2.7)

2.1.2.5 Théorème de la valeur nale (TVF)

Le théorème de la valeur nale permet de déterminer la limite limt→+∞

f(t) :

Théorème de la valeur nale

limt→+∞

f(t) = limp→0

[pF (p)] (2.8)

initiale

2.1.2.6 Autres propriétés utiles

e−atf(t)L−→ F (p+ a)

tf(t)L−→

dF

dp

f(t)

t

L−→∫ +∞0

F (p)dp

2.1.3 Signaux usuels

2.1.3.1 Echelon unité

Figure 2.2 Echelon unité

L'échelon unité est une fonction u(t) telle que :• u(t) = 0 pour t < 0• u(t) = 1 pour t ≥ 0

Alors

u(t)L−→ U(p) =

1

p(2.9)




2.1.3.2 Rampe (échelon de vitesse)

Figure 2.3 Rampe

La rampe u(t) est l'intégrale de l'échelon unité. Elle esttelle que :• u(t) = 0 pour t < 0• u(t) = t pour t ≥ 0

Alors

u(t)L−→ U(p) =

1

p2(2.10)

2.1.3.3 Impulsion de Dirac (impulsion unitaire

Figure 2.4 Impulsion de Dirac

L'impulsion de Dirac δ(t) est cette fois la dérivée del'échelon unité :• δ(t) = 0 pour t 6= 0• u(t) = 1 pour t = 0

Alors

δ(t)L−→ ∆(p) = 1 (2.11)

2.1.3.4 Signal sinusoïdal

On considère un signal sinusoïdal s(t) tel que :• s(t) = 0 pour t < 0• s(t) = sin(ω(t) + ϕ) pour t ≥ 0

Alors sa transformée de Laplace a pour expression :

S(p) =p sinϕ+ ω cosϕ

p2 + ω2

On retiendra essentiellement les cas particuliers suivants :

s(t) = sinωtL−→ S(p) =

p

p2 + ω2

s(t) = cosωt→ S(p) =ω

p2 + ω2




2.1.3.5 Signal quelconque

Plutôt que de revenir à la dénition de la transformation de Laplace, on utilisera les tables de transforméesde Laplace (voir en annexe de ce cours). Cette table permet de déterminer la transformée de Laplace d'un signaldans le domaine temporel, mais également la transformée inverse.

Cette table ne contient évidemment pas toutes les fonction, mais la décomposition en éléments simples defractions rationnelles permettra de se ramener à des compositions simples.

2.2 Fonction de transfert (introduction)

2.2.1 Dénition

On considère un système linéaire régi par une équation diérentielle mettant en relation l'entrée e(t) dusystème et sa sortie s(t) :

andns

dtn+ ...+ a1

ds

dt+ a0s(t) = bn

dne

dtn+ ...+ b1

de

dt+ b0e(t)

La transformée de Laplace de cette équation donne :

anpnS(p) + ...+ a1pS(p) + a0S(p) = bnp

nE(p) + ...+ b1pE(p) + b0E(p)

Les dérivées se sont transformées en puissance nièmes de la variable symbolique p, et on peut alors factoriserS(p) et E(p) :

[anpn + ...+ a1p+ a0]S(p) = [bnp

n + ...+ b1p+ b0]E(p)

Soit au nal :

H(p) =S(p)

E(p)=

[bnpn + ...+ b1p+ b0]

[anpn + ...+ a1p+ a0](2.12)

H(p) est appelée fonction de transfert du système. Il s'agit d'une fraction rationnelle de deux polynômesde la variable complexe p.

Les termes zi qui annulent le numérateur sont appelés zéros de la fonction de transfert.

Les termes pi qui annulent le dénominateur sont appelés pôles de la fonction de transfert.

2.2.2 Exemple d'application

2.2.2.1 Mise en situation et modèle de connaissance dans le domaine réel

Figure 2.5 Circuit RC

On considère le circuit électrique ci-contre. On applique en entrée unerampe e(t) = 3t, et on cherche à dé-terminer l'expression de la sortie s(t).

Ce système est régi par les équations suivantes : e(t) = Ri(t) + s(t)

i(t) = Cds

dt

Soit : RCds

dt+ s(t) = e(t)




2.2.2.2 Equations dans le domaine symbolique et fonction de transfert

Ecrivons cette équation dans le domaine symbolique, en notant S(p) et E(p)les transformées de Laplace des(t) et e(t) : RCpS(p) + S(p) = E(p)

D'où on tire la fonction de transfert :

H(p) =1

1 +RCp

2.2.2.3 Résolution de l'équation

L'entrée appliquée est une rampe de coecient 3, qui a pour transformée de Laplace E(p) =3

p2.

On en déduit alors l'expression de S(p) :

S(p) = H(p)E(p) =3

p2 (RCp+ 1).

Or la table des transformées de Laplace indique que la transformée inverse de U(p) =1

p2 (p+ a)est s(t) =

t−1

a+e−at

a.

D'où l'expression de s(t) recherchée :

s(t) = 3

t

RC− 1 + e

−t

RC




2.3 Table des transformées de Laplace

Fonction temporelle(Domaine réel)

Transformée de Laplace(Domaine symbolique)

u(t) = 1 U(p) =1

p

u(t) = kt U(p) =k

p2

u(t) = tn U(p) =n!

pn+1

u(t) = e−at U(p) =1

p+ a

u(t) = te−at U(p) =1

p+ a2

u(t) = 1− e−at U(p) =1

p(p+ a)

u(t) = e−at − e−bt U(p) =b− a

(p+ a)(p+ b)

u(t) = t−1

a+e−at

aU(p) =

1

p2(p+ a)

u(t) = 1− e−at − ate−at U(p) =a2

p(p+ a)2

u(t) = sinωt U(p) =ω

p2 + ω2

u(t) = cosωt U(p) =p

p2 + ω2

u(t) = e−at sinωt U(p) =ω

(p+ a)2 + ω2

u(t) = e−at cosωt U(p) =p+ a

p2 + ω2



CHAPITRE 3

Moteurs à courant continu

37








Moteurs à courant continuMoteurs à courant continu

Cours

CI3 : Chaînes d'énergie > CONVERTIR23/09/2021 -

v5.2




SYSTEME


CHAINE D'ENERGIE




B2-18 Établir le schéma bloc du système.

B2-19Déterminer les fonctions de transfert à partir d'équations physiques (modèle

de connaissance).

C2-32 Déterminer les caractéristiques mécaniques de l'actionneur.



CPGE ATS - S2I Moteurs à courant continu Cours

3.1 Principe du moteur à courant continu (MCC)

3.1.1 Constitution

Figure 3.1 Structure d'un moteur à courant continu

Le moteur à courant continu (MCC) est une machine dontles pièces maîtresses sont le rotor (partie mobile) et le stator(partie xe).Le stator, appelé inducteur, est magnétisé, soit par un bobi-nage alimenté par un courant continu, soit par des aimantspermanents.Le rotor, appelé induit, est constitué d'un bobinage dans le-quel on fait circuler un courant par l'intermédiaire d'un col-lecteur (balais).

Les courants dans l'induitchangent de sens de part etd'autre de la ligne neutre, et gé-nèrent ainsi une force de Laplace,à l'origine du couple appliqué surl'arbre moteur.Le collecteur a pour fonction d'in-verser le sens du courant dansles conducteurs qui franchissentla ligne neutre.

Figure 3.2 Principe du MCC

3.1.2 Fonctionnement en moteur

On fait circuler dans l'induit un courant I. Le principe le la force de Laplace−→F = I ·

−→dl ∧

−→B appliqué à la

périphérie du rotor génère alors un couple, à l'origine de la rotation de l'arbre moteur.

3.1.3 Fonctionnement en génératrice

On impose cette fois un mouvement de rotation à l'arbre moteur. Les conducteurs de l'induit, de longueurl, sont alors soumis à une translation de vitesse linéaire V.

Or la loi de Faraday énonce que ce déplacement relatif génère une force électromotrice e = B.l.V .

En fonctionnement génératrice, cette machine génère donc une force électromotrice proportionnelle à lavitesse de rotation de l'induit.




3.1.4 Schéma simplié

Figure 3.3 Schéma d'un moteur à courant continu

3.2 Modélisation électrique

3.2.1 Eléments constitutifs

Figure 3.4 Modèle électrique duMCC

Les bobinages de l'induit vont être caractérisés par :• leur résistance R,• leur inductance L,• la tension aux bornes du moteur,

• la fcém induite par la loi de Lenz e = −dΦ

dtoù Φ désigne le

ux magnétique.

L'inducteur est quant à lui modélisé par le cir-cuit ci-contre

Figure 3.5 Inducteur

3.2.2 Modèle de connaissance du moteur

3.2.2.1 Comportement au niveau de l'induit et de l'inducteur

La loi des mailles appliquée au modèle précédent implique :

U = E +R.I + LdI

dt




La loi de Lenz implique quant à elle :

E = kΦΩ = KEΩ si l'inducteur est à aimants permanents (ou à ux constant)

E = kϕ(Ie)Ω = K ′IeΩ si l'inducteur est à bobinages

Dans la suite, nous n'étudierons que les moteurs à ux constant.

KE est appelée constante électrique du moteur.

3.2.2.2 Conversion électromécanique

Il s'agit ici de la fonction utile du moteur, à savoir convertir l'énergie électrique en énergie mécanique derotation.

Cette conversion obéit à la loi suivante :

Cem = KCI

KC est appelée constante mécanique du moteur.

3.2.2.3 Modèle de connaissance à connaître

Modèle de connaissance du MCC

U = E +R.I + LdI

dt(3.1)

E = KEΩ (3.2)

Cem = KCI (3.3)

Remarque : on adoptera très fréquemment KE = KC

3.2.3 Fonctionnement en régime permanent

3.2.3.1 Equations du régime permanent

Les équations caractéristiques précédentes (3.1) à (3.3) deviennent, en régime permanent :U = E +RI

E = KΩ

Cem = KI

On en déduit la loi de comportement d'un tel moteur en régime permanent :

E = KΩ = U −RCem

K(3.4)




3.2.3.2 Quadrants de fonctionnement

Figure 3.6 Quadrants de fonctionnement d'un MCC

L'équation précédente se traduit gra-phiquement par les courbes ci-contre.On y distingue 4 quadrants de fonction-nement :• Cm > 0 et Ω > O (moteur)• Cm < 0 et Ω > O (génératrice)• Cm > 0 et Ω < O (génératrice)• Cm < 0 et Ω < O (moteur)

3.3 Alimentation du moteur

3.3.1 Variation de vitesse

La loi de Lenz E = KEΩ montre que pour faire varier la vitesse de rotation, il sut de faire varier la forceélectromotrice E, et par conséquence la tension aux bornes du moteur Um (puisque E = Um − RI en régimepermanent).

Il existe deux dispositifs pour faire varier la tension Um :

• les hacheurs, lorsque l'énergie d'entrée est de nature continue. Ces hacheurs feront l'objet d'un coursspécique.

• les montages redresseurs à thyristor, lorsque la source d'énergie d'entrée est de nature sinusoïdale

Figure 3.7 Redresseur triphasé

Ce montage à 1 pont de thyristor est irréversible en cou-rant : ce dernier ne peut circuler que dans un seul sens.Lorsque les thyristor ne sont pas commutés, l'énergieprésente dans le moteur se dissipe dans une diode deroue libre, ou dans un module de freinage résistif sil'inertie est trop importante.Sans ces dispositifs, les pics de surtension créés par larupture du courant endommageraient le moteur (u =

Ldi

dt)




Figure 3.8 Redresseur triphasé réversible en courant

Ce deuxième montage à 2 ponts de thy-ristors devient réversible en courant.Le freinage est possible par renvoid'énergie sur le réseau.

3.3.2 Contrôle d'un moteur à courant continu

3.3.2.1 Alimentation directe

En appliquant un échelon de tension direct aux bornes d'un moteur MCC, on observe les courbes suivantesde tension, intensité, vitesse :

Figure 3.9 Contrôle direct d'un MCC

L'établissement brutal de la tension induit un pic de courant au démarrage.

En cas de perturbation en terme de couple résistant, la vitesse change immédiatement, et sa valeur est subie.




3.3.2.2 Contrôle de vitesse

Ces inconvénients peuvent être résolus en eectuant un asservissement en vitesse, grâce à un variateur quiaura pour rôle de moduler la tension aux bornes du moteur :

Figure 3.10 Structure du contrôle de vitesse d'un MCC

L'apparition d'un couple résistant est cette fois nettement mieux absorbée :

Figure 3.11 Contrôle de vitesse d'un MCC

3.3.2.3 Contrôle de vitesse et de courant

L'asservissement précédent ne permet pas d'annuler le pic de courant au démarrage.

Par ailleurs, certaines applications nécessitent de maîtriser le couple fourni. Il est alors nécessaire d'ajouterau contrôle précédent un asservissement en courant :

Figure 3.12 Structure du contrôle de vitesse et de courant d'un MCC




Les signaux électriques asservis deviennent alors :

Figure 3.13 Contrôle de vitesse et de courant d'un MCC

3.4 Modélisation en régime transitoire

La tension aux bornes de l'inductance n'est plus nulle en régime transitoire.

Les équations de comportement d'un MCC couplé à une inertie J deviennent alors :

U = E +R.I + LdI

dt(3.5)

E = KE .Ω (3.6)

Cem = KC .I (3.7)

JdΩ

dt= Cem − Cr (3.8)

Dans la dernière relation, Cr désigne le couple résistant, somme d'un frottement sec Cr0 et d'un frottementvisqueux f :

Cr = Cr0 + f.Ω (3.9)

Transformons ces équations dans le domaine symbolique de Laplace :

U(p) = E(p) +R.I(p) + Lp.I(p) (3.10)

E(p) = KE .Ω(p) (3.11)

Cem(p) = KC .I(p) (3.12)

Jp.Omega(p) = Cem(p)− Cr0(p)− f ; Ω(p) (3.13)

Le schéma-bloc correspondant est alors :

Figure 3.14 Schéma-bloc d'un MCC




Ce schéma-bloc permet d'écrire, dans l'hypothèse d'un frottement sec nul :

Ω(p) =

(1

f + Jp

)(K

R+ Lp

)(U(p)−KΩ(p))

(1 +

K2

(f + Jp) (R+ Lp)

)Ω(p) =

(K

(f + Jp) (R+ Lp)

)U(p)

D'où la fonction de transfert du moteur :

H(p) =Ω(p)

U(p)=

K

K2 + (f + Jp) (R+ Lp)=

K/Rf

K2

Rf+

(1 +

J

fp

)(1 +

L

Rp

)

=K/Rf

K2

Rf+ 1 +

(J

f+L

R

)p+

J

f

L

Rp2

=K

K2 +Rf +Rf

(J

f+L

R

)p+ JLp2

=

K

K2 +Rf

1 +Rf

K2 +Rf

(J

f+L

R

)p+

JL

K2 +Rfp2

Après quelques hypothèses simplicatrices, cette fonction de transfert peut s'écrire :

H(p) =Ω(p)

U(p)=

K

K2 +Rf

(1 + τmp) (1 + τep)

avec :

• τe =L

R, constante de temps électrique ;

• τm =RJ

Rf +K2, constante de temps mécanique.

En remarquant que τe τm, on aboutit enn à :

H(p) =Ω(p)

U(p)=

H0

(1 + τmp)avec H0 =

K

K2 +Rf(3.14)







CHAPITRE 4

Hacheurs

49








HacheursCours

24/09/2021 -v6.2




SYSTEME


CHAINE D'ENERGIE




de puissance.

B1-07 Proposer des hypothèses simplicatrices en vue de la modélisation.








CPGE ATS - S2I Hacheurs Cours

4.1 Préambule : diodes et transistors

L'électronique de puissance, qui distribue l'énergie électrique aux convertisseurs électromécaniques, estconstituée de composants qui ont pour fonction de piloter le passage du courant : l'autoriser ou l'interdire.Ils agissent tels des interrupteurs.

4.1.1 Interrupteur idéal

Figure 4.1 Diode idéale

Sa relation caractéristique est la suivante :

Figure 4.2 Courbe caractéristique d'une diode idéale

4.1.2 Diode réelle

Figure 4.3 Diode réelle

Une diode, caractérisée par sa résistance interne et sa tension deseuil, autorise le passage du courant lorsque la tension à ses bornesdépasse la valeur de seuil :

Figure 4.4 Courbe caractéristique d'une diode réelle

4.1.3 Thyristor

Figure 4.5 Thyristor

Le thyristor est un interrupteur commandable à l'amorçage.Cet amorçage est commandé sur la gâchette par la présence d'uncourant de gâchette.Le thyristor reste alors fermé tant qu'une tension UK existe.Le désamorçage d'un thyristor a lieu :• soit par annulation du courant (extinction naturelle) ;• soit par application d'une tension négative (extinction forcée).




4.1.4 Transistors

4.1.4.1 Transistor bipolaire

Figure 4.6 Transistor bi-polaire

Le transistor bipolaire est quant à lui un interrupteur commandable à l'amor-çage et au blocage.L'amorçage est obtenu en appliquant un courant dans la base du transistor.En mode linéaire il agit comme un amplicateur de courant avec ik = ic = βib.En mode saturé, il agit comme un interrupteur commandé.

Figure 4.7 Courbes caractéristiques d'un transistor

Utilisation en commutation :

Figure 4.8 Commutation d'un tran-sistor

Lorsque VB = 0 alors VBE = 0 : iB = 0 et iC = βiB = 0.

Lorsque VB > Vseuil alors iB =VB − VBE

RB.

Si RB est susamment faible, alors iB sature le transistor et iC 'E

RC.




4.1.4.2 Transistor MOS ou MOSFET

Figure 4.9 TransistorMOSFET

Le transistor MOS est également commandé à l'amorçage et au blocage par latension VGS :• si VGS > VGsTh alors le transistor est passant (VGsTh désignant la tensionde seuil). Il se comporte comme une résistance RDSon ;

• si VGS = 0 alors le transistor est bloqué.Un transistor MOS permet des commutations plus rapides qu'un transistorbipolaire, et peuvent donc être utilisés à des fréquences élevées.En revanche, la résistance RDSon augmente fortement avec la tension maximaledu transistor ce qui limite son utilisation aux faibles tensions (400V maxi).

Les MOSFET se déclinent en Canal N (les plus courants) et les CanalP. L'amorçage d'un MOSFET-N est obtenu par application d'une ten-sion positive sur la grille, tandis l'amorçage d'un MOSFET-P demandeune tension négative.

Figure 4.10 MOSFET Canal Net Canal P

4.1.4.3 Transistor bipolaire à grille isolée IGBT

Figure 4.11 Transistor IGBT

Ce transistor combine les caractéristiquesd'un transistor bipolaire et d'un transistorMOS.Il est de ce fait de plus en plus utilisé enélectronique de puissance.




4.2 Cellule de commutation

4.2.1 Généralités

Un convertisseur statique a pour rôle d'adapter une source d'énergie à un récepteur. Son principe va être desuccessivement connecter et déconnecter par commutation contrôlée la charge à la source.

Il est alors possible de convertir :• une tension continue en : une tension continue : le hacheur une tension alternative : l'onduleur

• une tension alternative en : une tension continue : le redresseur une tension alternative : le gradateur

La charge de la sortie sera modélisée par une source de courant.

4.2.2 Cellule de commutation

Deux interrupteurs sont nécessaires pour assurer le transfert d'énergie entre une source et une charge :

• le premier pour connecter la source de tension et la source de courant qui modélise la charge,• le second pour assurer le raccordement de la charge de courant.

Ces deux interrupteurs sont nécessairement dans un état complémentaire : l'un est bloqué quand l'autre estpassant.

Figure 4.12 Cellule élémentaire de communtation

Cette structure, appelée cellule de commutation, est à la base de la construction de tout convertisseur sta-

tique.

Figure 4.13 Cellule de commutation

Connectons une source de tension au circuit RL ci-dessous,avec Valim = 200V , R = 2Ω et L = 20mH.

Une étude en régime transitoire montre rapidement que ce

système est caractérisé par une constante de temps τ =L

R.




Les interrupteurs K1 et K2 sont ouverts et fer-més de façon complémentaires, à une certaine fré-quence.

On dénit le rapport cyclique comme le rapportentre la durée d'ouverture de K1 et la durée de lapériode.

La fréquence de commutation est appelée fré-quence de découpage.

Dans la gure ci-contre, chaque interrupteur estouvert et fermé pendant la même durée : le rapportcyclique est égal à 50% (α = 0.5)

Figure 4.14 Rapport cyclique α = 0.5

4.2.2.0.1 Inuence du rapport cycliquePour une fréquence de 1 kHz, on observe alors les valeurs suivantes de courant et de tension moyenne aux bornesdu dipôle :

Figure 4.15 Tension et courant moyens pour f = 1kHz et α = 0.5

Le dipôle voit à des bornes une tension moyenne de 100 V, soit 50% de la tension d'alimentation.

Figure 4.16 Rapport cyclique α =0.25

Appliquons maintenant un rapport cyclique de 25On observe alorsle courant et la tension moyenne suivantes :

Le dipôle voit maintenant sa tension moyenne abaissée à 50 V, soit25% de la tension d'alimentation.




Figure 4.17 Tension et courant moyens pour α = 0.25

Le rapport cyclique a donc une inuence directe et, comme nous le verrons plus loin, proportionnellesur la tension moyenne.

On parlera de Modulation de Largeur d'Impulsion (MLI) ou de Pulse Width Modulation(PWM).

4.2.2.0.2 Inuence de la fréquence de découpageAvec ce même rapport cyclique de 25%, appliquons maintenant une fréquence de découpage f = 100Hz.

Figure 4.18 Tension et courant moyens pour f = 100Hz et α = 0.25

La tension moyenne reste identique, mais le signal est fortement dégradé.




En eet, la période de découpage est maintenant du même ordre de grandeur que la constante de temps dusystème, et le régime transitoire devient inuent.

La présence de l'inductance permet donc de lisser le signal, qui est en forme de créneau.

Ce lissage est d'autant plus ecace que la fréquence de découpage est élevée.

4.3 Connexion à un moteur MCC

Figure 4.19 Modèle électriquedu MCC

Le moteur à courant continu sera modélisé par une source de courantconstituée :• de sa résistance d'induit R,• de son inductance L,• de sa fcém e

Considérons par exemple un moteur caractérisé par :• sa résistance R = 1Ω• son inductance L = 20mH• sa constante électrique K = 0.15V.rad−1.s−1

• une inertie J = 1.10−5kg.m2

• frottement visqueux f = 1.10−3Nm.rad−1.s

Le modèle acausal de ce moteur est repris ci-contre.

Figure 4.20 Modèle acausal du MCC

A une fréquence de découpage de 100 Hz, avec un rapport cyclique de 50%, le comportement du moteur estdécrit par les courbes suivantes :




Figure 4.21 Tension et courant du MCC pour f = 100Hz et α = 0.5

Si la fréquence de découpage est maintenant portée à 10 kHz, les courbes deviennent :

Figure 4.22 Tension et courant du MCC pour f = 10kHz et α = 0.5




4.4 Hacheurs

4.4.1 Composants constitutifs

Dans les schémas électriques précédents, le pilotage du moteur était eectué par l'intermédiaire de l'inter-rupteur K1, tandis que l'interrupteur K2 permettait de faire circuler l'énergie accumulée par le moteur lors quece dernier n'est pas alimenté.

Le rôle de l'interrupteur commandé K1 sera rempli par un transistor. L'interrupteur K2 sera quant à luiréalisé par une diode.

Notion de quadrant de fonctionnement

En fonction des besoins de fonctionnement un moteur à courant devra pouvoir tourner dans un sens seule-ment, ou dans les deux sens.

De même, il devra fournir uniquement un couple moteur, ou devra pouvoir fournir un couple résistant pourfreiner la charge mécanique.

L'ensemble des 4 combinaisons possibles dénit les 4 quadrants de fonctionnement possible d'un moteur :

Figure 4.23 Quadrants de fonctionnement

Les premier et troisième quadrants correspondent au cas oùla puissance fournie est positive : couple et vitesse de rotationsont orientés dans le même sens. Le moteur entraîne la charge.

Les second et quatrième quadrants correspondent au cas où lapuissance fournie est négative : coupe et vitesse sont de sensdiérents. Le moteur freine la charge.

Figure 4.24 Quadrants de fonctionnement




4.4.2 Hacheur série 1 quadrant (1Q)

Figure 4.25 Schéma d'un hacheur 1 quadrant

Figure 4.26 Schéma acausal d'un hacheur 1 quadrant

Figure 4.27

Un seul fonctionnement est possible dans ce montage. Aucune inversion ni detension ni de courant n'est possible.

La vitesse est fonction du rapport cyclique α

Ce hacheur est appelé hacheur série car l'interrupteur K1 est placé en sérieavec le moteur.

Son schéma d'étude équivalent, avec des interrupteurs, est le suivant :

Figure 4.28 Principe du hacheur 1Q




4.4.2.0.1 Phase motrice (0 ≤ t < αT )

Figure 4.29

L'interrupteur K1 est fermé, K2 est ouvert.La tension est appliquée aux bornes du mo-teur et courant circule dans le moteur en régimetransitoire.

Il s'agit d'une phase de transfert d'énergie

Figure 4.30

4.4.2.0.2 Phase de roue libre (αT ≤ t < T )

Figure 4.31

K1 s'ouvre.La chute brutale de courant induit une inver-sion de polarité aux bornes de l'inductance, quise comporte alors en générateur de courant.La tension aux bornes de la diode devient posi-tive, et K2 se ferme, assurant ainsi la continuitédu courant dans le moteur, et ainsi éviter lespics de tension liés à la discontinuité de cou-rant.L'énergie accumulée dans le moteur se dissipeprogressivement Figure 4.32

4.4.3 Hacheur 2 quadrants (2Q) réversible en courant

Le hacheur précédent permet de faire fonctionner le convertisseur en mode moteur.

Mais lorsque le moteur à courant continu est entraîné par une charge mécanique, il fonctionne alors engénératrice. L'énergie mécanique qui l'entraîne est convertie en énergie électrique. Si on veut que cette énergieélectrique produite soit récupérée, il faut alors lui assurer un passage dans le montage du hacheur an detransférer le courant du moteur vers la batterie.

Figure 4.33

Ce transfert d'énergie est rendu possible parl'adjonction d'une diode en parallèle du tran-sistor MOSFET représenté par K1.Le hacheur devient alors un hacheur 2 qua-drants.

Figure 4.34

Dans chacune des trois phases (motrice, roue libre, génératrice), un seul des 3 interrupteurs est fermé à lafois :




Figure 4.35 Phases de fonctionnement du hacheur 2 quadrants réversible : moteur - roue libre - génératrice

Le hacheur ci-dessus est donc réversible en courant. Toutefois, la diode dite de récupération en parallèle dutransistor ne permet pas la variation de vitesse en mode génératrice.

Il est possible de remplacer cette diode par un second transistor qui sera piloté en commutation :

Figure 4.36 Phases de fonctionnement du hacheur 2 quadrants réversible : moteur - roue libre - génératrice

4.4.4 Hacheur 2 quadrants réversible en tension (Pont en H)

4.4.4.1 Principe de fonctionnement

Figure 4.37 Pont en H

Le hacheur 2 quadrants précédent était réversible en courant, maispas en tension.

Constitué de 4 transistors, le pont en H permet de rendre le fonc-tionnement réversible en tension. Il a pour principe d'inverser latension aux bornes du moteur, en commutant les transistors surune diagonale du pont.




Figure 4.38 Principe de fonctionnement du pont en H

4.4.4.2 Remarque importante

Dans le pont en H, le moteur est alimenté avec une tension qui peut être aussi bien positive que négative(en sens 2).

Par conséquent, il est impossible de placer une diode de roue libre permanente en dérivation dumoteur dans le cas du pont en H.

Le pont en H de base ne peut alors pas assurer la continuité du courant dans le moteur, ce qui implique àchaque commutation des pics de tension aux bornes du moteur.

4.4.5 Hacheur 4 quadrants (4Q)

Le hacheur 4 quadrants permet de faire fonctionner le moteur dans les 4 quadrants possibles : il est possiblede le faire fonctionner aussi bien en moteur qu'en génératrice, et ce dans les sens de rotation.

Figure 4.39 Structure d'un hacheur 4 quadrants

Le hacheur 4 quadrants est un pont en H auquel on arajouté en parallèle de chaque transistor une diode quipermet d'assurer la réversibilité en courant /

Il existe plusieurs stratégies de commande des transis-tors.




4.4.5.1 Fonctionnement dans le premier quadrant : moteur, sens positif

4.4.5.1.1 Première stratégie : K1 est toujours passantL'amorçage de K4 assure le transfert d'énergie, son blocage provoque la roue libre.

Figure 4.40 Stratégie de pilotage avec K1 toujours passant : phases de transfert d'énergie et de roue libre

4.4.5.1.2 Seconde stratégie : K4 est toujours passantL'amorçage de K1 assure le transfert d'énergie, son blocage provoque la roue libre.


4.4.5.2 Fonctionnement dans le second quadrant : génératrice, sens négatif

4.4.5.2.1 Première stratégie : K1 est piloté en MLIL'amorçage de K1 provoque la roue libre, son amorçage assure le transfert d'énergie.

Figure 4.42 Stratégie de pilotage avec K1 en MLI : phases de roue libre et de transfert d'énergie

4.4.5.2.2 Seconde stratégie : K4 est piloté en MLIL'amorçage de K4 provoque la roue libre, son amorçage assure le transfert d'énergie.





4.4.5.3 Fonctionnement dans le troisième quadrant : moteur, sens négatif

4.4.5.3.1 Première stratégie : K3 est toujours passantL'amorçage de K2 assure le transfert d'énergie, son blocage provoque la roue libre.


4.4.5.3.2 Seconde stratégie : K2 est toujours passantL'amorçage de K3 assure le transfert d'énergie, son blocage provoque la roue libre.

Figure 4.45 Stratégie de pilotage avec K2 toujours passant : hases de transfert d'énergie et de roue libre

4.4.5.4 Fonctionnement dans le quatrième quadrant : génératrice, sens positif

4.4.5.4.1 Première stratégie : K2 est piloté en MLIL'amorçage de K2 provoque la roue libre, son blocage assure le transfert d'énergie.





4.4.5.4.2 Seconde stratégie : K3 est piloté en MLIL'amorçage de K3 provoque la roue libre, son blocage assure le transfert d'énergie.


4.4.6 Forme des signaux

4.4.6.1 Modèle d'étude

Figure 4.48 Cellule de commutation

Nous allons dans la suite négliger la résistance d'induit dumoteur, an de simplier l'étude.Une inductance est parfois ajoutée en série au moteur an decontribuer au lissage des signaux. Dans untel cas, les valeursdes deux inductances (induit et lissage) s'ajoutent.

4.4.6.2 Tension moyenne aux bornes du moteur

La loi des mailles nous permet d'écrire :

VC = E + Ldi

dt(4.1)

On en déduit l'expression de la tension moyenne < VC > :




< VC >= E +1

T

∫ T0Ldi

dtdt

Or i(t) est périodique, en conséquence < i >= 0. D'où

VC = E (4.2)

La valeur de la fém est donc exactement égale à tension moyenne aux bornes moteur. Cette tension moyenneva donc directement pouvoir piloter la vitesse de rotation du moteur.

Le rapport cyclique impose donc directement la vitesse de rotation du moteur.

4.4.6.3 Evolution des signaux

Pour 0 ≤ t < αT :

Le courant à t=0 vaut i(0) = Imin.

K est fermé, et la diode D est bloquée car VD = −VE < 0.

De plus

VE = VC = Ldi

dt+ E (4.3)

On en déduit i(t) =VE − EL

t+ Imin.

Le courant est maximal pour t = αT , et a pour expression Imax =VE − EL

αT + Imin

Pour αT ≤ t < T :

K est ouvert, et la diode D devient passante, permettant ainsi de dissiper l'énergie accumulée dans l'induc-tance.

La loi des mailles permet d'écrire :

VC = 0 = Ldi

dt+ E (4.4)

On en déduit immédiatement i(t) =− EL

(t− αT ) + Imax




4.4.6.4 Formes des signaux

Figure 4.49 Forme des signaux

On montre aisément que la tension moyenne s'écrit :

< VC >=1

T(αTVE + 0) = αVE (4.5)

Or E =< VC >, d'où on tire E = αVE .

L'ondulation du courant est dénie par :

∆i = Imax − Imin =α (1− α)

LET (4.6)

Le courant moteur n'est donc pas lissé, et va être à l'ori-gine d'harmoniques de courant.Ces harmoniques de courant vont se retrouver dans lecircuit magnétique du moteur et provoquer des échaue-ments, qui peuvent entrainer une diminution de la duréede vie du moteur.

Il est donc important de réduire ∆I à des niveaux raisonnables. Les solutions envisageables sont :• l'augmentation de la fréquence de découpage (dépend du composant utilisé : quelques 100 kHz pour unMOS, 1kHz pour un thyristor) ;

• l'ajout d'une inductance de lissage en série avec le moteur.

4.4.7 Commande séquentielle, unipolaire, bipolaire d'un hacheur 4 quadrants

4.4.7.1 Commande séquentielle

Figure 4.50 Hacheur 4 quadrants

Les stratégies de pilotage des transistors vues dansles paragraphes précédents sont basées sur le main-tien permanent dans l'état passant d'un transistor.Ainsi, pour obtenir Um > 0, on peut choisir de :• maintenir K1 passant et de commuter K3 defaçon cyclique ;• ou maintenir K3 passant et de commuter K1de façon cyclique.

Inversement, pour obtenir Um < 0, on peut choisirde :• maintenir K4 passant et de commuter K2 defaçon cyclique ;• ou maintenir K2 passant et de commuter K4de façon cyclique.




Figure 4.51 Commande séquentielle des transistors

Cette stratégie de pilotage est dite séquentielle. Le couple de transistor mis en oeuvre dépend du signesouhaité aux bornes du moteur.

La tension moyenne aux bornes du moteur est égale à :• Um = αVe pour les transistors K1,K3• Um = −αVe pour les transistors K2,K4

4.4.7.2 Commande continue bipolaire

Une autre stratégie de pilotage des transistors consisteà commander alternativement les couples K1,K3 etK2,K4 du hacheur 4 quadrants :• pour 0 ≤ t < αT : commande des transistorsK1,K3

• pour αT ≤ t < T : commande des transistorsK2,K4

Figure 4.52 Signaux en commande bipolaire

On parlera ici de commande bipolaire.

4.4.7.3 Commande continue unipolaire

Dérivée de la commande bipolaire, la commande unipolaire com-mande les bras K1,K2 et K3,K4 alternativement, mais avec undécalage d'une demi-période :• pour 0 ≤ t < αT : commande complémentaire du brasK1,K2

• pour αT ≤ t < T : commande complémentaire du brasK2,K4

Figure 4.53 Signaux en commmandeunipolaire

4.4.7.4 Conséquence du type de commande

Selon la commande mise en place, l'allure de la tension aux bornes du moteur et du courant sont représentésci-dessous :




Figure 4.54 Inuence de la commande sur les signaux électriques

La commande bipolaire est la plus simple à mettre en oeuvre ; En eet, avec cette stratégie, il est possibled'obtenir −Ve ≤ Um ≤ +Ve pour 0 ≤ α ≤ 1 (Um = 0pourα = 0.5).

L'ondulation du courant sera réduite en adoptant une commande unipolaire ou séquentielle, ou en ajoutantune inductance de lissage.

La commande séquentielle génère un minimum de commutations de transistor.

4.4.7.5 Puissance transmise en commande bipolaire

Dans le cas d'un hacheur 4 quadrants dont la stratégie de pilotage est la commande bipolaire, les interrupteursK1,K3 commutent de façon complémentaire avec les interrupteurs K2,K3.

La tension aux bornes de la charge est alors :

< VC >= αVe − (1− α)Ve = (2α− 1)Ve (4.7)

L'ondulation du courant a pour expression :

∆IC =2α (1− α)

LET (4.8)

La puissance moyenne transférée à la charge est déterminée par :

< PC >=1

T

∫ T

0

u(t).i(t)dt =1

T

[∫ αT

0

Ve.i(t)dt−∫ T

αT

Ve.i(t)dt

]=E

T[αTImoy − (1− αT ) Imoy] (4.9)

< PC >= (2α− 1)EImoy (4.10)

On reconnaît dans cette expression qu'en fonction de la valeur du rapport cyclique, la puissance peut êtrepositive ou négative, traduisant l'inversion du sens de transfert de l'énergie.

4.5 Puissances dans un hacheur

Le hacheur est un composant qui permet d'eectuer un transfert d'énergie entre l'alimentation et un moteurà courant continu.

Une partie de cette puissance est eectivement délivrée au moteur, mais une autre partie est dissipée dansles composants constituants le hacheur.




4.5.1 Cas du hacheur 1 quadrant

On s'intéresse dans ce chapitre à un hacheur 1 quadrant alimentant une charge, en l'occurrence un moteurélectrique modélisé par sa fcém E, son inductance L et une résistance négligeable.

Le hacheur est caractérisé par son rapport cyclique α et sa fréquence de découpage f (période T ).

Figure 4.55 Hacheur 1Q

On rappelle les équations qui existent dans ce hacheur :0 ≤ t < αT :

Ve = E + LdIc

dt; Im = IK =

Ve − EL

t+ ICmin ; ID = 0 α ≤ t < T :

E + LdIc

dt= 0 ; Im = ID = −

E

L(t− αT ) + ICmax ; IK = 0

Les signaux ont alors la forme ci-contre.

D'où, en valeur moyenne :< E >= αVe

et l'amplitude de l'ondulation de courant :

∆IC = ICmax − ICmin =α (1− α)

LET

Figure 4.56

4.5.1.1 Puissance transmise

Le transfert de puissance ne peut se faire que dans le sens Alimentation ⇒ Moteur.

La puissance instantanée vaut :

p(t) = u(t).i(t)

La puissance moyenne transmise au moteur est donc :

< p >=1

T

∫ T0p(t)dt =

1

T

∫ T0u(t).i(t)dt =

1

T

∫ αT0

V e.i(t)dt =1

TV e∫ αT0

i(t)dt =1

TVe (αT.Imot)

Soit :< p >= αVeImoy (4.11)




4.5.1.2 Puissance dans les composants

4.5.1.2.1 Courant moyen dans le transistor

< IK >=1

T

∫ T0IK(t)dt =

1

T

∫ αT0

IK(t)dt =1

T(αT.Imoy)

< IK >= αImoy (4.12)

4.5.1.2.2 Courant ecace dans le transistor

< IKeff>2 =

1

T

∫ T0I2K(t)dt =

1

T

∫ αT0

I2K(t)dt

Or IK(t) =Ve − EL

t+ ICmin

Donc < IKeff>2 =

1

T

∫ αT0

(Ve − EL

t+ ICmin

)2

dt =1

T

∫ αT0

(Ve − EL

t+ ICmin

)2

dt

Posons u =Ve − EL

t+ ICmin

Alors < IKeff>2 =

1

T

∫ IC max

IC min

L

Ve − Eu2du =

L

Ve − E.1

T

[1

3u3

]IC max

IC min

Soit au nal :

< IKeff >=

√Lf

3 (1− α)Ve(I3Cmax − I3Cmin) (4.13)

4.5.1.2.3 Courant moyen dans la diode

< ID >=1

T

∫ T0ID(t)dt =

1

T

∫ TαT

ID(t)dt =1

T((1− α)T.Imoy)

< ID >= (1− α) Imoy (4.14)

4.5.1.2.4 Courant ecace dans la diode < IDeff>2 =

1

T

∫ T0I2D(t)dt =

1

T

∫ TαT

I2D(t)dt

Or ID(t) = −E

L(t− αT ) + ICmax

Donc < IDeff>2 =

1

T

∫ TαT

(E

L(t− αT )− ICmax

)2

dt

Posons à présent u =E

L(t− αT )− ICmax

Alors < IDeff>2 =

1

T

∫ IC max

IC min

L

Eu2du =

L

E.1

T

[1

3u3

]IC max

IC min

Soit au nal :

< IDeff >=

√Lf

3αVe(I3Cmax − I3Cmin) (4.15)




4.5.2 Cas du hacheur 4 quadrants en commande bipolaire

Figure 4.57 Hacheur 4 quadrants

Dans le cas d'un hacheur 4 quadrants dont la stratégie depilotage est la commande bipolaire, les interrupteurs K1,K4commutent de façon complémentaire avec les interrupteursK2,K3.

La tension aux bornes de la charge est alors :< VC >= αVe − (1− α)Ve = (2α− 1)Ve

L'ondulation du courant est donnée par :

∆IC =2α (1− α)E

Lf

La puissance moyenne transférée à la charge est déterminée par :

< pC >=1

T

∫ T0u(t).i(t)dt =

1

T

[∫ αT0

Ve.i(t)dt−∫ TαT

Ve.i(t)dt]

=E

T[αTImoy − (1− αT ) Imoy]

Doù :

< pC >= (2α− 1)EImoy (4.16)

4.6 Hacheur entrelacé

4.6.1 Problématique

Les puissances transitant dans les composants d'un hacheur peuvent amener à surdimensionner ces compo-sants.

Par ailleurs, l'ondulation de courant étant inversement proportionnelle à la fréquence de découpage, il seraitintéressant de multiplier cette fréquence.

Les hacheurs entrelacés permettent de résoudre cette double problématique.

4.6.2 Principe

Le principe des hacheurs entrelacés réside dans le fonctionnement parallèle de n hacheurs identiques, demême rapport cyclique, mais dont les commandes des interrupteurs seront décalés de T/n.




Figure 4.58 Hacheur entrelacé

Figure 4.59 Courants dans un hacheur entrelcé

Les courants dans chacun des hacheurs élémentairesont représentés ci-contre.

Le rapport cyclique est le même pour chaque ha-cheur, mais les déclenchements sont décalés de T/nentre chaque hacheur.

Le signal résultat vu par la charge est alors la somme de ces signaux élémentaires :

Figure 4.60 Courant dans la charge du hacheurs entrelacé

L'ensemble se comporte comme un hacheur série classique, mais dont la fréquence de découpage est multipliéepar n, le nombre de hacheurs entrelacés.

4.7 Hacheur Boost

4.7.1 Préambule

Certaines applications peuvent nécessiter une tension à délivrer à une charge supérieure à la tension d'ali-mentation du système.

Il est alors nécessaire d'élever la tension, contrairement au rôle classique des hacheurs série.

Le hacheur parallèle, ou hacheur boost, permet de réaliser cette fonction.

Le hacheur étant parallèle, il faudra veiller au respect des règles de connexion des sources.




4.7.2 Principe de fonctionnement et hypothèses

Figure 4.61 Structure d'un hacheur boost (hacheur parallèle)

Dans ce hacheur, Ve est la source idéale de tension.

La charge est alimentée par la tension de sortie Vs que nous cherchons à déterminer.

K est un transistor (MOSFET dans le cas présent) qui sera piloté à l'amorçage et au blocage, avec un rapportcyclique α, avec une fréquence de découpage f .

L'inductance L permet de lisser le courant. Le condensateur C permet quant à lui de lisser la tension.

Nous supposerons que le courant traversant l'inductance ne s'annule jamais : mode de conduction continue.

Enn, la diode sera supposée idéale.

4.7.3 Etude du fonctionnement

4.7.4 Phase de commutation du transistor : 0 ≤ t < αT

A t = 0, le transistor est amorcé et se comporte en interrupteur fermé. Ayant posé l'hypothèse de conductioncontinue, le courant dans l'inductance ne s'est pas annulé et vaut IL0.

VD = −Vs < 0 donc la diode est bloquée.

Le schéma équivalent est alors le suivant :

Figure 4.62 Phase d'accumulation inductive

On peut alors écrire :

Ve = VL = LdIL

dtDonc

IL(t) =Ve

Lt+ IL0

Figure 4.63

Le courant augmente, l'inductance accumule de l'énergie électromagnétique. On parle de phase d'accumulationinductive.




4.7.5 Phase de commutation du transistor : αT ≤ t < T

Figure 4.64 Blocage du transistor à t = αT

A t = αT , le transistor est bloqué et se comporte eninterrupteur ouvert.La rupture brutale du courant IL induit une surtensionet une inversion de la tension aux borne de la bobine.On vérie alors VD = VL + Ve − VS > 0, et la diodedevient passante.

Figure 4.65 Phase de transfert d'énergie

Le schéma équivalent est alors le suivant :

VL = LdIL

dt= Ve − VD − VS = Ve − VS

L'inductance libère l'énergie électromagnétique accumu-lée, et se comporte en générateur de courant.

La tension à ses bornes demeure négative.Par conséquent Ve − Vs < 0.

Vs > Ve : il s'agit bien d'un montage survolteur.

IL(t) = IS(t) =Ve − VS

Lt+ ILmax

Figure 4.66




4.7.5.1 Bilan sur l'ensemble d'une période

Figure 4.67 Courants et tensions sur unepériode

La valeur moyenne aux bornes de l'inductance est donnée par :< VL >= αVe + (1− α) (Ve − VS) = Ve − (1− α)VSOr la tension moyenne aux bornes de l'inductance est nulle,le courant étant périodique.On en déduit :

Ve − (1− α)VS = 0

Soit :

VS =Ve

(1− α)(4.17)

4.7.5.2 Ondulation du courant dans l'inductance

On a montré précédemment que le courant maximal, à la n de la phase de commutation du transistor, apour expression :

ILmax = IL0 +Ve

LαT (4.18)

On en déduit alors l'expression de l'ondulation de courant

∆IL =αVe

Lf(4.19)

Ainsi, plus l'inductance est grande (ou la fréquence de découpage élevée), et plus l'ondulation est faible.

4.7.5.3 Ondulation de la tension aux bornes de la charge

La tension aux bornes de la charge est celle aux bornes du condensateur :

VS = VC




Or IC = CdVC

dt

La tension VS étant un signal de nature périodique, alors il en est de même pour VC , et par conséquent< IC >= 0.

Par ailleurs, on a :

ID = IC + IS d'après la loi des noeuds, et < ID >= (1− α) < IL >.

On obtient ainsi rapidement la relation donnant l'ondulation de la tension :

∆VS = ∆VC =α < IS >

Cf(4.20)







Index

Accumulateurs, 22

Cellule de commutation, 55Complexes, 14

Diagramme de Fresnel, 11Diodes, 52Distorsion harmonique, 26

Fonction de transfertDénition, 34Pôles, 34Zéros, 34

Fondamental, 24Fourier, 24Fresnel, 11

Hacheurs, 601 quadrant, 612 quadrants, 62, 634 quadrants, 64boost, 75commandebipolaire, 70séquentielle, 69unipolaire, 70

entrelacé, 74ondulation de courant, 78ondulation du courant, 69parallèle, 75Pont en H, 63réversible en courant, 62réversible en tension, 63

Harmoniques, 24Heaviside (conditions), 31

Impédance complexe, 14

Modulation de largeur d'impulsion MLI, 57Moteur à courant continu

Alimentation, 43Modèle de connaissance, 41

Principe, 40Régime permanent, 42Régime transitoire, 46Schéma-blocs, 46

Ondulation de courant, 78Ondulation du courant, 69

Puissance, 16active, 16, 20apparente, 17, 20déformante, 26instantanée, 16moyenne, 16réactive, 17Compensation, 18

Puissance active, 20

Quadrants de fonctionnement, 43, 60

Rapport cyclique, 56Régime non sinusoïdal, 24

Puissance déformante, 26Puissances, 25Valeur ecace, 25

Taux de distorsion harmonique, 26THD, 26Théorème de Boucherot, 17Théorème de la valeur nale, 32Théorème de la valeur initiale, 32Théorème du retard, 31Transformateurs, 21Transformée de Laplace

Dénition, 30Echelon, 32Rampe, 33Table, 36

Transistors, 53IGBT, 54MOSFET, 54

Triphasé, 19

81




Puissance active, 20Puissance apparente, 20Tensions simples et composées, 19

Valeur ecace, 11, 25Valeur moyenne, 11


Documents

Cycle 2 Cours - tsi.ljf.free.fr