CyclePréparatoireSemestreS2Module OptiquePr.AAMOUCHEAhmedUniversitéCadiAyyadENSAMarrakech2018-2019
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I.L’approximationdel’optiquegéométrique
II.Rayonslumineux, CheminoptiqueetPrincipe deFermatPrincipe de FermatLimite devalidation del’optique géométriqueProduction d’unpinceau de lumière
III.Loisderéflexion etderéfractionAffirmation d’Ibn AlhaythamConstruction géométriqueMilieux inhomogènes etphénomènes naturellesLafibre optique
IV:SystèmeOptique,Stigmatisme, Approximation deGauss:
Objet-Image, Foyers etStigmatisme1ereExemple: Miroir plan2emeExemple:Dioptre plan
Condition deGauss etStigmatisme approché3emeExemple: 2Dioptres plans (Lameàfacesparallèles LFP)4emeExemple: 2Dioptres obliques (Prisme)5emeExemple:Miroir sphérique
Approximation deGauss pour toutsystème optique6emeExemple:Dioptre sphérique
Lestigmatismerigoureux dudioptre sphérique
Types d’aberrations optiquesV.Autres systèmescentrésdansl'approximation deGaussVI.Lentilles dansl'approximation deGauss
VII.InstrumentsOptiques
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ChapitreII Optiquegéométrique
I.L’approximationdel’optiquegéométrique
Ils'agitd'uneapproximationdelanatureondulatoiredelalumièrelorsquelescaractéristiquesdesmilieuxtraversésvarientpeuàl'échelledelalongueurd'onde,c'estàdiresilaconditiona>>λ estréalisée,oùa estladistancecaractéristiquedesvariationsspatialesdel'indicen.Cetteconditionn'estpasdifficileàsatisfaireenoptiquepuisqueλ estdel'ordred'unefractiondemicromètre.
Onétudieradanscechapitrelesphénomènesderéflexionetderéfractiondelalumièreàtraversl’interfaceséparantdeuxmilieuxdifférents.OnutiliseradesméthodessimplessansseréféreràlanaturedelumièreouauxéquationsdeMaxwell.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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Exempled’effetsoptiquesnégligésenoptiquegéométrique:Imaged’unelamederasoiréclairéeparunelumièremonochromatiquefaitapparaitredesfrangesdediffractioninexplicabledanslecadredel’optiquegéométrique
Chapitre2:Optiquegéométrique
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II.Rayonslumineux,CheminoptiqueetPrincipedeFermat
L'ombreportéesurl'écranparledisqueopaqueesthomothétiquedel'objetquellequesoitladistanceàlaquelleilsetrouvedel'écran.Celasuggèrequelefaisceaulumineuxsoitcomposéderayonslumineuxrectilignes.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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Soit un rayon R lumineux se propageant d’un point M à un point M’ et soit ds un élément de ce rayon. Σ1 et Σ2 sont les surfaces d’ondes orthogonales au rayon passant par M et M’.La différence de phases entre M et M’ est :
sontcolinéaires
Laquantité estappeléeCheminOptiqueentreMetM’
Chapitre2:Optiquegéométrique
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M
M’
ds
Σ1
Σ2
ϕ ϕ’
Rϕ − ϕ' = dϕ
R∫ =
k. ds
= k. ds R∫
R∫
sdetk !!
2 . ' dsdskRR∫∫ ==−
λπ
ϕϕ
= 2 πλ0
R∫ nds = 2 π
λ0
ndsR∫ )(
∫= RndsL
Silemilieuesthomogène n estuneconstanteet(L)=nMM’=(MM’)
MM’ représentelalongueurgéométriquedurayonlumineuxentrelespointsMetM’.
Onmontrequedϕ =k0(dL)Soitdt letempsmisparlalumièrepourparcourirladistanceds :ds =Vdt
CecimontrequelecheminoptiquereprésenteladistancequeparcouraitlalumièredanslevidependantletempstMM’
Chapitre2:Optiquegéométrique
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(L) = nds R∫ =
cV R∫ Vdt = cdt
M
M '∫ = ct MM '
Sériedemilieuxhomogènesd’indices n1,n2 etn3 :Trajet(chemin)optique:LAB =(AB)=n1AI+n2 IJ+n3 JB
Chapitre2:Optiquegéométrique
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CalculdelavariationdL du trajetoptique:
Soientdeuxpoints A etA’situésdansdeuxmilieuxdifférents
isotropes,d’indicesn etn’,séparésparunesurfaceS etIun
pointdecontactsurS.LadifférencedL entreleschemins
optiquesvoisins(AIA’)et(AI’A’) vaut,si et sontles
vecteursunitairesdeet.
L = (AIA’) = nAI + n’IA’dL= nd(AI) + n’d(IA’)
Chapitre2:Optiquegéométrique
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u u 'AI
IA '
d(AI ) = d((AI
.AI
)1/2 )
= 12
2 AI
AI. dAI
= u. dAI
Demême
DonclecalculdelavariationdL donnelerésultatsuivant
Chapitre2:Optiquegéométrique
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u. dAI
= u. (AI '
− AI
) = u. II '
d(IA ') = u '.dIA '
=u '.I ' I
' ) ' ' ( IIunundL !!−=
AI
AI’
dAI
Principedetempsminimal(oudeFermat,1657):
C’estlepostulatmathématiquequiapugénérerlespremièresloisd’optiquegéométriquegouvernantlapropagationdelalumière.
Ilstipulequepourallerd’unpointA àunpoint B lerayonlumineuxsuitletrajetpourlequellecheminoptiqueL=eststationnaire(correspondantàuncheminoptique extrémalparrapportaux
cheminsvoisins).
DanscesconditionsletrajetsuivicorrespondàdL=0etleprincipedeFermatsetraduitpar:
Chapitre2:Optiquegéométrique
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ndsA
B
∫
dL = (nu − n ' u ') II ' = 0
ils’agitdedeuxmilieuxsuccessifs
1ere Conséquence:Propagationrectiligne
Silalumièresepropagedansunmilieutransparent,isotropeethomogène,alorsl'indiceestconstantetletempsdeparcoursestminimal.Ilcorrespondalorsàune trajectoirerectiligne.
LeprincipedeFermatpermetdoncdemontrerquelapropagationrectiligneestvalabletantquelephénomènedediffractionestnégligeable.
2eme Conséquence:Principeduretourinverse
Touttrajetsuiviparlalumièredansunsenspeutl'êtreensensopposé.Onpeutdoncchangerlesensdesrayonslumineuxpourreprésenterlapropagationdelalumièreensensinversedanstoutsystèmeoptique.Lapropagationdelumièrenedépendpasdusensdelatrajectoire.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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3eme Conséquence:Principed’indépendanceUnfaisceaulumineuxestconstituéd'unensemblederayonsquel'onpeutsupposerindépendantslesunsdesautres.Lesrayonsnesesuperposentpas,secoupentetcontinuentleurcheminens'ignorantmutuellement.
Endiminuantl'ouverturedudiaphragme,onpeutsupprimerlerayonSM1.Engénéral,onneconstateaucunemodificationenM0 cequimontreque,danscecas,SM0 estindépendantdeSM1.
Chapitre2:Optiquegéométrique
13écrandiaphragme
SSource
ponctuelle
M0
M1
Productiond’unpinceaudelumière
Unpinceaudelumièrepeutêtreproduitdetroisfaçonsdifférentes.
• Méthode1:
Unpinceaudelumièreestproduit
lorsquel'onplacedevantunesource
deuxobstaclesopaquesayant
chacununpetittrou.Lestrous
doiventpourtantêtrebienalignés.
Lepremierobstacleproduitunfaisceau,simulantunesourceponctuelle.Lesecondnelaissepasserquelalumièreparallèle,produisantainsilepinceau.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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• Méthode2:
Uneautreméthodeutiliséepourproduire
unpinceaudelumièreestdeplacerune
lentilleconvergenteentrelasourceetun
obstacletroué(Lapositiondelalentilleparrapportàlasourceesticidéterminante).
• Méthode3:Enfin,commeappareilplussophistiqué,ilexistelelaser.Celui-ciproduitunpinceaupresqueparfait,ilpeutdoncsepropagersurdegrandedistance.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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Limitedevalidationdel’optiquegéométrique
• Limitedelanotiondurayonlumineux(Diffraction)
Endiaphragmantunfaisceaudelumière cylindriqueàtraversplusieursécranssuccessifs,
onobtientunfinpinceau
Lumineux.
Quandletrouesttroppetit.Lataches'élargitaufuretàmesurequel'on
diminuel'ouverturedudiaphragme:
c’estlephénomènedediffraction.Onnepeutdoncpasisolerausens
strictunrayonlumineux.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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pinceaulumineux
faisceaudelumière
PartieàtraiterenOptiqueOndulatoire
Lephénomènedediffractionlimitelapetitessedespinceauxquel'onpeutobtenirlorsquelesdimensionsd'undiaphragmedeviennentcomparablesàlalongueurd'onde:l'approximationdel'optiquegéométriquepeutêtremiseendéfautsilesvariationsspatialesdesmilieuxtraversésontdeslongueurscaractéristiquescomparablesàlalongueurd'ondeλ.
Ilestalorsdanscecas,nécessairedetenircompteducaractèreondulatoire delalumièrepourdécrirecorrectementlephénomène.
L'angle d'ouvertureducône delumièrediffractéeestdel'ordredegrandeurdeθ = λ/a
Chapitre2:Optiquegéométrique
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L'angle d'ouvertureθ = λ/a oùa estunelongueurcaractéristiquedudiaphragme(commelediamètre d'untroucirculaire)etλ lalongueurd'onde.Celaconfirmequel'optiquegéométriquen'estvalablequesi a>>λ .Unrayonlumineux estuncasidéal,nonréellementphysiquemaisquiestadoptécommemodèle (Onnepeutainsiconsidérerqueseulementunlaserpeutémettreunrayonlumineux).
• Limitedel’indépendancedesrayonslumineux(lesinterférences)
Enpratique,desrayonslumineuxprovenantdesourcescohérentespeuventsesuperposer.C’estlephénomèned'interférences
Chapitre2:Optiquegéométrique
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Enéclairantunensembledepetitstrousprochesl'undel'autre(trousd'Young)parunfaisceaulumineux,onobservesurunécranéloignédesfrangesd'interférencesquicorrespondentàunesuperpositionconstructivedescônesdediffractiondechacundestrous.
Les rayonsne peuvent donc plus être
considérés comme indépendants les uns
des autres. Le phénomène d'interférence
ne peut pas s'expliquer par l’optique
géométrique et relève donc de la
deuxième partie de cemodule l'optique
physique.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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Trou
Source
Ecran
III.Loisderéflexionetderéfraction
Soituneondeplanequiarriveàl’interfaceS (surfacedeséparation)séparantdeuxmilieuxhomogènesd’indicederéfractionn1 etn2.D’unefaçongénéraleunepartie
delumièreincidenteestréfléchie
etrestedanslemilieuincidentet
portelenomd’onderéfléchie,tandisqueleresteestréfractéet
sepropagedanslemilieude
transmissionetportelenom
d’onderéfractée outransmise.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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Lepland'incidenceestleplan
forméparlerayonincident
etlanormaleNaupoint
d’incidenceIàlasurfaceS
deséparationdesdeux
milieux(dioptre).
Laloidelaréfractiontraduit
lechangementdelavitesse
delalumièrelorsquelerayon
changedemilieudepropagation.
Chapitre2:Optiquegéométrique
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Normale
Dioptre
n1 n2
ApplicationduprincipedeFermat :Enoncé :« Pourallerd’unpointàunautre,lalumièreparcourtlechemindemoindretemps. »Loideréflexion :QuelestlepluscourtcheminpourallerdeAàBaprèsréflexion ?B’estlepointsymétriquedeBparrapportàlasurface.DoncCommentallerdeAàB’enprenantlechemindemoindredistance ?C’estladroiteAB’
D’oùlesanglesietrsontégaux(envaleurabsolue) :r=-i1
EnaccordaveclesobservationsdeHérond’Alexandrie(150av-250ap JC)etlesaffirmationsd’IbnAlHaytham (965)
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Chapitre2:Optiquegéométrique
i1
Affirmationd’IbnAlhaytham (Alhazen):IbnAl-haytham estnéen965àBassoraenIrakmaisviva àAlexandrieenEgypte.Al-Haytham clôtledébatentreatomistesetpythagoriciens enapportantdespreuvesexpérimentalesenfaveurdel'émissiondelalumièreparlesobjets.Voiciquelquesunesdesesdéductionsoriginales,personneavantluinelesavaientformulées.Ilaffirmaquelalumièreest:
• unechoseémiseparlessourceslumineuses;• qu'ellesepropageàpartirdepointsdanstouteslesdirections;• etqu'ellevoyageenlignedroite.Lorsquelalumièrefrappeunobjet,celui-cidevientunesourceaccidentellequirenvoieplusfaiblementlalumièredelasourceprimaire.Nousluidevonségalementnotrefaçonderésoudregraphiquementdesproblèmesd'optiqueentraçantdeslignesdroitespourillustrerlatrajectoiredelalumière.
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Chapitre2:Optiquegéométrique
Conclusion:loideréflexion
Lerayonréfléchiestlesymétrique
durayonincidentparrapportàla
normaleàl'interfaceenI :• Lerayonréfléchiappartientaupland'incidence
• L'anglederéflexionestégalàl'angle
d'incidence :i1 = r (envaleuralgébriquei1 = -r )
Lesprincipalesapplicationsdelaréflexion serontrencontréesenparticulierdansl'étudedesmiroirs etdesfibresoptiquesàsautd'indice.
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Chapitre2:Optiquegéométrique
Loideréfraction :
Cheminoptique :« C’estlalongueurL=(AB)queparcourtlalumièredanslevidependantletempst »
lecheminoptiqueest
LePrincipedeFermatsetraduit
pardL=0avecAetBfixes ;
x1+x2=cte,y1=cte et y2=cte Soitdx1+dx2=0, dy1=0et dy2=0L=(AB)=n1l1+n2l2 ;dL=0 è n1dl1+n2dl2=0
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Chapitre2:Optiquegéométrique
n1dl1+n2dl2=0
l12=x12+y12,l22=x22+y22
donc 2l1dl1=2x1dx1et2l2dl2=2x2dx2
D’où
n1.(x1/l1).dx1+n2.(x2/l2).dx2=0
è [n1(x1/l1)- n2(x2/l2)].dx1=0
Sachantquedx1≠0,sini1=x1/l1 etsini2=x2/l2è n1 sini1=n2 sini2
C’estlaloideréfraction
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Chapitre2:Optiquegéométrique
LoisderéflexionetderéfractionditedeSnell-Descartes :
• Lerayonréfléchiestdanslepland’incidenceetlesanglesd’incidencei1 etderéflexionr sonttelsque :
r=-i1
• Lerayonréfractéestdanslepland’incidence
etlesanglesd’incidence
i1 etderéfractioni2 sonttelsque :
n1 sini1=n2 sini227
Chapitre2:Optiquegéométrique
Pourunfaisceaulumineux:
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Chapitre2:Optiquegéométrique
Constructiongéométrique:
Milieu2(verre/eau)plusréfringentquele
milieu1(air/vide),donclerayonréfracté
plusprochedelanormale.
i1àIàKàK’ài2
Milieu2moinsréfringentquelemilieu1,
donc:lerayonréfractéplusécartédela
normale.29
Chapitre2:Optiquegéométrique
i1
Dioptre
i2
IH
K
K’
n1
n2
i1
Dioptre
i2
IH
K’
K
n2
n1
12 nn 〉
12 nn 〈
Réflexiontotale :
En augmentant progressivement l’angle d’incidence, dans le casoù , le rayon réfracté s’écarte de plus en plus de la normalejusqu’à atteindre la valeur maximale de 90° après laquelle il n’ya plus de réfraction : on parle de réflexion totale. La valeur de i1correspondant à i2,max=90° est donnée par : sin i1,lim= n2/n1.
Réfractionlimite :
Inversement, dans le cas où , la valeur de l’angle de réfractioncorrespondant à la valeur maximale de i1,max=90° (incidencerasante) est telle que : sin i2,max= n1/n2. Le rayon réfracté estdonc contenu dans un cône, appelé cône de réfraction, desommet I et de demi- angle i2,max correspondant à une limite audelà du quelle il n’y a pas de réfraction.
12 nn 〉
12 nn 〈
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Chapitre2:Optiquegéométrique
Sionchangel’angled’incidence….
Appletjava:http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=49.0
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• Exemplesd’incidence
• Dioptreentren1=4/3(eau) etn2=3/2(verre)
n1sini1=n2sini2 à sini2=(n1/n2) sini1àsini2=(8/9) sini1
àAN:
àLavaleurmaximalequepeutatteindrel’anglederéfractionest62,7°:c’estlavaleurdelalimitederéfractionau-delàduquelleiln’yaplusderéfraction.
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i1 10° 30° 45° 60° 75° 90°
i2 8,9° 26,4° 38,9° 50,3° 59,2° 62,7°
Chapitre2:Optiquegéométrique