Cycles de congruences stratifiables d,~ns un espace projecti i de dimension impaire.

Memoria di ]~AREL SVOBODA (Brno, Tchdcoslovaquie)

A. M. Enr ico B o m p i a n i p o u r son Jubild scientif iqu¢.

R~!sum~.. D u n s u n espace p ro j ec t i f S.zn_~(n :r~ 3) 4 2 n - 1 dimensions~ on dtudie u n syst~me composd de n congr~eences non -parabo l iques de droites L~, L.~ ,,, ~ 15 n qui j ou i s sen t de la propridtd que chaque couple de congruences L i, ~ i + t ( i ~ 1~ 2~ .,, ~ n; Ln.~t ~ Ll) est s t ra t i . f iable d u n s le sens de L i vers L~-b~.

1. Ce ~I~moire est consacrd h t '~tude des propri~t~s fondamentales des cycles de congruences strat if iables plong~s duns an espace project i f de dimen- sion impaire. I1 s ' appu ie sur les rdsultats de R. ~I. G]~aDEL'~A~ qni a ~tudi~, darts te )[(~moire [3], la quest ion de la stratif ication d ' u n couple de syst~mes de droites d~pendants de deux param~tres et appar tenan t s ~ un espace projectif de dimension quelconque.

La th~orie des cycles de congruences strat if iables est tout ~t fair analogue celle des couples conjugmis de congruences strat if iables dans un espace

project if 'h trois dimensions. Les cycles de congruences stratifiables, que nous allons ~tudier duns ce qui suit, apparaissent ainsi comme une g~n~ra- lisation immediate des couples conjugu~s de S. P. F ~ ] K o v . Le but principal de ce M6moire consiste h j e te r les bases de l'~itude plus dOtaillOe des que- stions relat ives i~, la stratif ication des congruences de droites duns des espaces project ifs de dimension impaire.

2. Duns un espace projectif S~ ,_ l (n >_ 3) h 2 n - - 1 dimensions consid~rons an syst~me (L) compos~ de n congruences de droites L1, L ~ ..., L , et suppo- sons qu ' i l existe une correspondance entre les droites Pl~ P~, . . . , P,~ des con- gruences en question. Nous nous bornons au cas des congruences non-para- boliques off il est possible de ddc()mposer chaque congruence L~(i - - 1, 2, ...~ n) de deux fa¢ons diff~rentes en surfaces d~e loppab le s .

Cela ~tant, supposons q u ' u n e droite p~ de la congruence L~ soit d~termi- n~e par deux points diff~rents A2~-~ A2~ et que ]a position mutuel le des droites p~, P.a, . . . , p~, qui se correspondent duns la correspondance mentionn~e, soit choisie de mani~re que les points A~, A2, ..., A2~ forment un syst~me de

240 K. Svo~ogA: Cycles de congruences strati]iables clans un espace, etc.

points liu~iairement ia4~penclants. Ces points const i tueut par cons6quant un rep~re mobile de l ' e space S:n-~ et on a lea 6quations fondamentales

(1) dAt = ~o~A~ (j, k = 1, 2, ..., 2n)

dont les coefficients satisfont aux ~quations de s t ructure d ' u n espace project i f

(2) k [d¢o~] - - [%to~] (j, k, l = 1, 2, .,,, 2n).

I1 est utile d ' introduire , duns les calculs suivants, les points A: .+i et les ]¢ 2~-l--k formes ¢%,~÷1, o) I en posant

(j, k - - 1, 2, ..., 2n).

ConsidOrons maintenant un couple arbi traire de congruences de droites Ls et Li+l (pour i = n nous posons L,4_1 = Ld. On dit que le couple formd pat" les congruences Li et Ls+~ est stratifiable duns le sens de L~ vers Ls+z, s'il existe une couche de surfaces (M ~) telles que, pour chaque point M,~ situ6 sur uue droite quelconque p~ de la congruence Ls, il en existe une qui passe par ce point et qui joui t de la propri6t6 que le plan tangent au point 3I,~ de la s u r f a c e (Md passe par la droite correspondanteps+~ de la congruence L~+,. On appelie les surfaces (Mi) en quest ion surfaces stratifiantes assocides 0 la congruence Lb.

I1 y a int6r6t, pour les considerations suivantes, i~ reproduire ici les calculs relatifs h un c0uple stratifiable de congruences de droites d 'apr~s le M~moire [3] de R. ~ . GE;IDEI?~AN.

Choisissons un entier i tel que 1 <:'i ~_ n et consid6rons le couple de congruences L~ et L~+~ form6es par les droites p~- - [A~_aA~] e t p ~ + ~ - [A,~+,A~+2]. Le point arbi traire de la droite Ps peut ~tre exprim6 sous

Ia forme

(3) Ms = A2~-1 + tiA2~

et il engendre, pour chaque valeur de h, une surface stratif iante (31~). Le couple en question est strat if iable duns le sens de Li vers L~+I si le plan tangent au point 21Ii de la surface (Md d~crite par ce point passe par ia droite correspondante pi+l. Ce cas se produit quand le point dMs se trouve situ~ dans le plan d~termin~ par les points Ms, A~+I, A~+2.

K. SVOBODA: Cycles de congrue~ces stratifiables da~s u~t espaee, etc 241

Or, on a d 'apr~s (1) et (3)

(~o~,_1 + ~ ,, , ~/-1 + (dt~ + ~o~_~ + t/o,~)A~ + (4) dM~ = ~/-1 t (o~/-~A

+ (~i-1 + 6to~+~)A=/+, + t,m=/-1 + / ~ ~ ~+~ +

+ (¢o{/_1 + t~to~)A~ ( / = 2i + 3, 2i + 4, ..., 2i + 2n - - 2)

et on en obtient, en vertu de la relation

[dM~M/A~i+~A2/+~] = O,

les dquations

(5) d 4 = ~=m 2{-* "- to=q 2~

(6) ~{ i - , = O, m ~ / = 0

L~6quation (5) doit ~tre

( j = 2 i + 3 , 2 i + 4 , . . . , 2 i + 2 n - - 2 ) .

eompl6tement int6grable et on en ddduit diff6rentiation extdrieure les relations suivantes

par la

(7) 2i÷1 2 i~1 2 i÷2 2i--1 r 2~+1 2$ 3 v 2~-1-2 2i 3

[~021_~%i+~] + [~0=/_~02i+2] - - - - 0, LO32/ (o2~+ lJ L¢o2i {D21.+-2]

2 i÷1 2i r 2~÷2 2i 3

2 / + 1 2i--13 QI) 2 i-'{~2(i) 2/--1] O2i (1)2i+lj "~- [ 2~ 2i+2J ~ O.

Par cons6quant, le couple stratifiable de congruences de droites L~, Li+l est donn6 par le systbme (6), (7) et par les 6quations qui r6sultent de (6)par la different iat ion ext6rieure.

D' aprbs (1) et (6) on a en part icul ier

(8) 2/--1 2{ 2 / ÷ l z 2i@2

2~--I " " 2i- [ -2- -

de sorte que l 'espace tangent /~ trois dimensions de la congruence L~ le long de la droite p~ est d6termin6 par les points Az/_l, A~_i, A2~+1, A2~+~. Cet espace contient donc la droite correspondante Pi+l de la congruence L/¢1 et il en r6sulte que les plans focaux de la congruence L~ coupent la droite P~+I.

Annali di Matematica 31

242 K. SVOBOgA: Cycles de congruences sfratifiables darts un espa.ce, etc.

Cela permet de choisir Ie repbre mobile attach6 au couple consid6r6 de telle fa~on que A~_~, A2~ soient les foyers de la droite pi et que le point A2~+~ (A2i+2) soit le point d ' intersect ion de la droite correspondantepi+~ avec le plan focal de la droite p~ au point A2~ ~(A~). Dans ce cas le point dA2~_~(dA2~) est situ6 dans le plan [A2~_~A=~A2~_~]([A2i_IA~A2~+=]) et eela entraine, d ' aprbs (8), les relations

(02i-~2 2i-{ --1 (9) ~_~ = O, (0~ = 0 .

Le repi~re mobile 6rant choisi de la mani6re indiqu6e, les surfaces d6ve- loppables de la congruence Li sont donn6es par F6quat ion diff6rentielle

2iT ' t 2i¢-2 O) 2~__1(02~ ~ O .

La congruence L~ du couple stratifiable consid6r6 se trouve d6finie, d ' aprbs ce qui pr6cbde, par le systbme d~6quatioas diff6rentielles (6)e t (9) qui entrainent, en ver tu des 6quations de s t ructure (2), les relations ext6- r ieures quadrat iques

( ] 0 ) r 2i 2~-~2n r 2i-~-1 2i~-23 r 2 i - - t 2t~-11 r 2i~ -2 2i-~11 [(0~,;-lm2, J -t" [(02i-1(02~+~J - - O, L(02~ t%¢_~j -J- Lt%i, mz~+2l - - O,

r 21-+ "2 ] L2*-~r~!+~(0~'2~+~Jl = 0, [~o2i (02~+2J = 0 (j -- 2i + 3, 2i + 4., ..., 2i + 2n - - 2).

2i+1 (0~+2 qui f igurent dans ces relations Remarquons que les formes (02~-1, doivent ~tre l in6airement ind6pendantes.

La supposit ion faite au sujet du repbre mobile a pour cons6quence que les relations (7) prennent d'apri~s (9) la forme suivante

(11) 2$-~-1(1)2i--ll r 2$4-2 2~ 1

~021--1 2i-~-1J - - [O)2g (02 i+2J ~ " O,

21-~-1 2i ~ (02i ~2 2i--11 (0=~-1(0-~+d -- 0, [ .~i (0~i+2j = 0.

En appl iquant l e lemme de E. CARTAI'q aux relations (1[) et aux 6qua- tions 5erites dans la deuxi~me ligne du syst~me (10) on peut poser

]3. 2~-~'2 O) 2~ -2~$-1 - - b {/)2~-~ -2 2/-~-2~ 2/-~1 2/~1-'2 ('I)~i-~'-2 "---- v./(l)2/ , 2i-]-2 - - 2i--~2n--1 2i , ( 0 2 i + 2 ~ C(0zi--1 -Ji- b2i-f-zn¢°2i

(j - - 2i -4- 3, 2i + 4 , . . . , 2i A- 2 n - - 2).

K. SVOBODi: Cycles dc eo~g,r~e~ces stratifiabtes darts ~n espace, etc. 243

Dans ces 6quations nous avons chang~ la notation des formes qui figu- rent darts le syst~me (ll) conform~ment h la convention introduite dans ce qui pr6c/~de.

Gela ~tant, on a

(12)

off

2i+~

_ - 0)2i+21t:2 0) 2 i + 1 ~

(mod A~+~, A~+~)

B~+~ -- b2,+~A2,+a + ... -I- b~i+e,A2~+~, •

L 'espace tangent de la congruence L~+~ le long de la droite p~+x 6rant ~t trois dimensions nous pouvons supposer, sans res t re indre la g6n6ralit~,, qu ' i l soit d6termin6 par les points l in6airement ind6pendants A~+x, A21+~, B2,÷x, B~+2. Cela nous conduit, d 'apr~s (12), "h poser c - - 0 et les ~quations (12) montrent que les surfaces d6veloppables de la congruence L~+~ sent donn6es par l '6quat ion diff6rentielle co~i+I~o~+~ = 0. La correspondance entre les congruences L~ et L~+x est done d6veloppable, ce que veut dire que les surfaces d6veloppables des deux congruences se correspondent les unes aux autres. En par tant des 6quations (12) on volt encore que A2~+~, A~+2 sent les foyers de la congruence L~+x.

Par contre, consid6rons les congruences L~ et L~+~ en correspondance d~veloppable et supposons que les plans focaux de la congruence L~ passent par les foyers correspondants de la congruence L~+x. Avant tout, choisissons le rep~re mobile attach6 ~t ces congruences de telle fa~on que A~_I, A2~ soient les foyers et [A~_IA~M2i+~], [A~_xA~.~A~i+~] les plans focaux de ]a congruence L~. On a alors

[A2~-IA~IA2~+ldA~_I] = O, [A~i-IA2iA2~+2dA~] = 0

et on en obtient d 'apr~s (1) les ~quations (6), (9) avec les conditions d'int~- grabilit~ (f0). Les surfaces d~veloppables de la congruence L~ sont ~o2i_1¢o2~ = 0 et cette 6quation expr ime 6galement les d6veloppables de la congruence L~4_~. Gela ~tant, prenons les points A2~+~, A~+2 pour les foyers de la congruence L~+I. Cette supposition s ~exprime par les ~quations

[A2i+lA2i+odA2i+l] = 0 tmoa c%~_1), [A2~+IA2~+~dA2~+~] 0 (rood ~o 2~+~ - = 21 1"

244 K. SV0BODa: Cycles de co~gruences strati]iables darts ~~ espaee~ etc.

On a d ' apr6s (10)

] 0 (mod " ~/+~' m ~ ~ + 2 . 3. u)2~+1 -- - - 0 (mod (j = ¢o2~ ) 2i + 2i + 4, 2i~+ 2 n - - 2) P3.i--~}~ 2 i + 2 , . . .

et l es relat ions pr6c6dentes donnent

2i--1 2i . 2 .~-{-:t ,, 2{ - - I 2i (D 2~.~-2 ,~ %i+~ ----- O, %i+1 = 0 (mod -- = 0 (rood co2~_z) ~ ¢ 0 2 i + ~ O~ ¢02i+~_ ~s ~.

Or, on v6rifie faci lement que Ies relations ext6rieures (7) s ' annul len t ident iquement en ver tu des 6quations qui pr6cbdent.

Nous avons obtenu le r6sultat suivan~:

Pour qu 'un couple de congruences L~ et L~+~ soit stratifiable darts le sens de L~ vers L~+,, il faut et il suffit que les ddveloppables des congruences en question se correspondent et que les plans focaux de la congruence L~ pas- sent par les foyers de la congruence L~+,.

3. Dans ce qui suit nous allons nous occuper des syst~mes (L) composds de n congruences non-paraboliques de droites LI, L~, . . . , . L,, qui ]ouissent de la propridtd que, pour chaque i - 1, 2, ..., n, le couple de congruences L/ , L~+I(L,,+~- L~) est stralifiable darts le sens de L~ vers L~+~. Nous appellerons un tel syst6me de congruences de l '~space project if $2,_~ cycle de congruen- ces stratifiables.

D'apr~s les consid6rations pr~c~dentes on pent ehoisir le repi}re mobile attach~ h u n cycle de congruences strat if iables de mani~re que A2,_~, A,i soient, pour chaque i = 1, 2, .... n, les foyers et [A2,_IA2~A2/+~], [A2/_,A2iA~,+,] les plans focaux de la congruence L/. Apr6s avoir fair ce choix du rep6re mobile on obtient le syst6me des 6quations (6), (9), (10), (11)qui s ' appl iquent , dans le cas considerS, pour ehaque i - - 1 , 2, ..., n et qui d~finissent, d ' u n e manibre analytique, le cycle de congruences stratif iables en question. On a done les ~quations

(13) 2.:+~

2,-1 : 0, (4~-1 : 0, ~o 2''+1 ~, = 0 , ~ o ~ = 0

( i = l , ,,,~ ..., n ; i - - 2 i + 3 , 2 i + 4 , . . . , 2 i + 2 n - - 2 )

et los relat ions ext6rieures qui prennent, par un caieul facile, la

K. SVOBODA: Cycles de co;~gruences s t ra t i f iab les d~r~s ~ espace, etc. 245

forme

(14) 0,12i 2/-4 - 2 , r 2 i - ~ 1 2 i + 2 3 r 2 i - - 1 " 2 1 - ~ - 1 ~ r 2 i - b 2 ~ 2 1 2 r - l ~

[032 i - I -1{ .021+a1 ___ " ~ . , . - . . . . ~,-, ~+lj o, [~4~+%~:++~] o (~ = 1, 2, , n).

D ' a p r ~ s le l emme de E. CaR~A~, les 6quat ions 6eri tes clans la deuxii~me l igne du sys t~me (14) p e r m e t t e n t de poser

(15) 2~+8 A to 2i+~ ~ + 4 ,~ 2~+~ (1)2i-~-:1- ~ i 2 i - - 1 ~ 0")-~-t-2 - - " 12510")2i ( i - - l , 2 , . . . , n)

off A~, B~ sont des fonet ions nouve l l e s qui ne s ' a n n u l l e n t pas iden t iquemen t . P a r la d i f f6 ren t i a t ion ex t6 r i eu re des re la t ions (15) on obt ient

(16) [(D2/-t-I(~A 2 i - - 1 O 2/--t-1 . 2 i + 8 x 3 2/ -1~ ,~ , i + A~ • (,z~_~ - - -to2~+1 + ~,~/+~jj --- 0 ,

2 i + 2 , ~ r ~ 2 i O , 2 i - t -2 • 2{-t-4\" I ~02i /a~i + Bi • ~02i - - ,,w2i+z + ,-2i+4)j = 0.

(i = 1, 2 , . . . , n)

Nous a l lons s impl i f ie r les re la t ions pr6e4dentes . P o u r eela posons

4 (17) 0)~ = ~o~, ~o~ = co~

et r emplagons les 6quat ions (15) par les re la t ions

(18) 0 3 2 i + 8 ~/+1-- A~A2 ,..

A1A~ ,..

2i.-{-4 Aim1, m2/+2 - - BtB= ... Bit%

(i - - 1, 2, . . . , n - - 1)

A . = I, B1B2 ... B,~-= I.

En tenan t eompte de (16), (17) et (18) on obt ient , fa i san t usage de la nota t ion habi tue l le ,

B ' e " 2eXl++~ + e~/+,)

( i = 1 , 2 , . . . , n - - l )

246 K. SVOBOl)A: Cycles de congrue~ces stratif iables darts un espace, etc.

de sorte q u ' i l est possible de poser

A ~ = I , B ~ = I ( i = l , 2, . . . , n).

P a r cons~quant , on peut s ' a r r ange r , apr~s avoir fair une pa r t i cu la r i sa t ion convenable du repute mobile, q u ' o n nit d ' ap r~s (18) les ~quat ions

(i9) +~+~ - - ¢ol, ~+~ - - +~ (i = 1, 2, . . . , n - - 1)

avec les condi t ions d ' in t6grab i l i t~

• 2 i + 8 ~ 1 [+1(03~ - +8~ - 03~+~ + w.~+.jj = o,

( i : l , 2 , . . . , n - - l ) [ 0 3 ~ ( + ~ _ _ ~ m~i+~ , ~i+~,1 034 - - 2i+e + uJ2i+4)j ~ " O.

Or, il est ais6 de voir q u ' o n peut met t re le syst~me precedent sous la forme plus s imple

(20) r . . ~+~ ~ . 2~+~ t ~ , ~ , ~ + ~ - - +~)] = 0 , L 0 3 ~ + ~ + ~ - - +'~)1 = 0 ( i = 1 , 2 . . . . , n - - 1).

En par t ieut ier , on en obt ient pour i - - i ]es re la t ions

(21) [4+1] = [+~(03~ - - ,o~)] = 0, [d~2] = [03~(03,' - - 03~)] = 0

qui mon t ren t que les formes (ol, +~ sent des d i f f6rent ie l les exactes. Nous en ferons usage dans les cons idera t ions ultOrieures.

E a ver tu de (t7) et (19), les dquat ions ~crites dans la premibre l igne de (14) p r e n n e n t la forme

r(o2i 03 ] r 2i-{-2] 2~--1 2~-~1. - - [m2~ ¢oi]+ [m2(%~+2] =- 0 = 1, . , (22) L 2~-~ 2j + [+xt%~+~J O, (i 2,. n)

et elles entra~nent, d ' a p r b s le l emme de E. CAn~I% les re la t ions

(23) o) 2! ~i--~

Dans ce qui snit nous ne considOrons que le eas ~i:~=0, ~=~:0 (i = 1, 2 , . . . , n) qui t r adu i t la suppos i t ion q u ' a u c u n e des sur faces locales des congruences en ques t ion ne d6g~n~re h une courbe.

K. SvosoD~: Cycles dc cot~grtte,ces stratifiables dans ~;~ espace~ etc. 247

Les ea lcu ls e f fec tu6s dans ee qui pr6cbde nous p e r m e t t e n t de r6soudre la ques t ion de l ' e x i s t e n c e et de la g6n6ral i t6 des cyc les de c o n g r u e n c e s s t ra t i f iab les . Un tel cyc le se t rouve d6fini pa r le sys tbme fe rm6 qui con t i en t les r e l a t i ons (13), (19) avec les condi t ions d ' i n t6g rab i l i t 6 (20), (22). On a, en se s e rvan t de la no ta t ion b ien c o n n u e de E. CARTAN p = 2, q = 2 ( 2 n - - 1), s ~ = 2 ( 2 n - - 1 ) , s 2 = 0 , Q - - 2 ( 2 n - - 1 ) et on volt f a e i l e m e n t q u e N - - 2 ( 2 n - - 1 ) .

I1 en r6sul te que les cycles de congruences stratifiables existent darts un espace projectif S~,_~ quelconque et qu'ils ddpendent de 2 ( 2 n - - 1 ) fonclions arbitraires d 'une variable.

I1 fau t d6du i re enco re les e o n s6 q u e n c e s d i f f6 ren t i e l l e s des 6qua t ions du sys tbme (23). On obt ien t les r e l a t ions e x t 6 r i e u r e s q u a d r a t i q u e s

• (i) 25:--1 2i 2 i - -1 2i [ ~ o ~ ( d a i ÷ ~ - - ~ + ~ ~,-~ - - ~o.~d] - - [ ~ % ( d ~ - - ~ • ~%i_~ - - ~%d] = O,

( i = 1, 2, . . . , n )

[ ~ o ~ ( d ~ + ~ ~o~! - ~ ~ ~ - 1 2~ • ~,_i -- c%)] -- [~o~(d~ i+~ + ~i+~ • ~o~i-~- ~i)] = 0

qui p e u v e n t ~tre remplae6es , en v e r t u de (20), pa r les 6qua t ions su ivan tes

(24) 2/.--:1 ( 2 i - -2 ,1 sid-1 0)2i51 [¢%(ds¢~ s¢~ ¢%1-~- %~-2)J 0, [t°l(d~i+t - - ~i+J- • (1)2,+1 -- 2~]] - - - - " ----

[~o~(d~i ~+ ~%+ ~o2i_8) j [ ~ o 2 ( d ~ i + l - - ~ i + ~ ----- 0 ' - - - - " ( 0 2 ~ - ~ - 2 - 2i--lYJ

0 2n - - 1 2 n - - 1 (i = 1, 2, ... , n ; O)o = ¢%n, ¢o_1 = c%~_~).

En a p p l i q u a n t le l e m m e de E. CARLA5 L on a ainsi

, 2{+1 -- ~)2i~ (25) d:q+~ --- sq+~L¢o2~+~ 2~j ~ ~+lto~ - - p~(%,

d~i_t_ 1 R [0) 2i '~2 _ _ t.02i--1~ -- lai4-1~ 2i-~2 2i--]] ~ ~i(1)1 - - ¢Ji.q-l(l)2

(i - - 1, 2, . . . , n ; p~+~ = ~ , ~+~ = ~).

4. Nous avons d6mont r6 dans les eons id6ra t ions p r6e6den tes que ehaque cycle de c o n g r u e n c e s s t r a t i f i ab les dans an espace p ro jec t i f $2,_1(n_>3) h 2 n - - 1 d imens ions se t rouve d6 te rmin6 p a r le sys t~me d ' ~ q u a t i o n s d i f f6ren- t.ielles (1), dont les coef f i c ien t s sa t i s font a u x 6qua t ions (13), (19). Done, les

248 K. SVOBOD&: Cycles. de congruences strat, lfiables duns un espace~ etc.

cyc les en ques t ion sont d6finis pa r le sys t6me su ivan t

= + +

( i = l , 2 , . . . , n)

les fo rmes ~o~_1 et ~o~ -~ 6tant donn6es pa r les exp re s s ions (23). Dans ces f o rm u le s les t%, c% sont des d i f f6 ren t i e l l e s exae te s et nous pouvons done pose r

(27) ~o~ = du, c% - - dr .

Cela 6rant, on volt i m m 6 d i a t e m e n t que c h a q u e su r f ace loca le d ' u n e con- g r u e n c e Li q u e l e o n q u e du icycle eonsid6r6 est dou6e d ' u n r6seau eon jugu6 exp r im6 pa r l ' ~ q u a t i o n d i f f6 ren t i e l l e dudv = 0. De plus, on t rouve f ae i l emen t

d:A~_l = (e~+2du ~ - - eidv~)A2i+~ -t- d~A2~+8

daA~_~ = (~+3d~ a - - ~d~?)A~+~ -{- du~A~i+~

(rood A2~_~, ..., A2~+~),

(mod A~_~, .. . , A~+~)

et en g6n6ral, en a p p l i q u a n t la m6thode de 1' i nduc t ion comple te ,

d(~-~)A~_~=(e~+~_ldu,-~--eidv~-~)A~i+2~_ 4-}-du'~-~A2i+2._3 (modA~i_~,...,A2i+2~_~)

( e i - - n = g / ; j = l , 2 , . . . , n).

F i n a l e m e n t , on ob t ien t

d"A~i_~ = :¢,(du ~ - - dvn)A~,+2~-2

de sor te que les q u a s i a s y m p t o t i q u e s

(rood A2i-1, . . . , A21+2n-a)

y . _ l , , de la su r face focale (A2~_~) sont

Les ca lcu ls ana logues 6rant 6ffectu6s dans le cas de la su r f ace focale (A2d on v~rif ie que les q u a s i a s y m p t o t i q u e s y , - l , , de ce t te su r face ont la

m~me ~qua t ion (28).

(28) du *' - - dv ~ = 0.

K. Sv0~oD.~: Cycles de congrue~wes stra¢ifiables guns u~ espace~ etc. 249

Duns le M6moire [4] A. SvEc a introduit la notion de surface R duns un espace projeet i f de dimension impaire et it a d6montr6 q u ' u n e surface dou6e d ' u n r6seau eonjugu6 est une surface R s ' i l est possible de choisir les para- mbtres u, v sur la surface en quest ion de tetle fagon que d u d v - - O soil l '6quat ion du r6seau conjugu6 et que les quas iasymptot iques ~'~_~,~ de cette surface et d ' u n e de sea t ransformat ions laplaciennes se correspondent et so- lent donn6es par l '6quat ion pr6c6dente (28).

I1 en r6sulte que routes les surfaces locales des congruences du cycle considdrd sent des surfaces R.

Suivant la d6finiti0n introduite par A. SvEc duns son travail [5] nous appel lerons congruence R u n e congruence dent une surface locale est R.

On obtient ainsi l e r6sultat que chaque congruence d ' u n cycle considdrd est une congruence R.

Nous nous sommes bas6s ici sur les r6sultats de A. SVEc contenus duns les t ravaux cit6s. Le second de ces t ravaux a 6t6 consacr6 ~ F6tude d ~une g6n6ralisation remarquable de la notion de congruence stratifiable de droites. II fa~t remarquer que les consid6rations relat ives aux cycles de congruences stratif iables sent en liaison 4troite avec les recherehes du ~'/f6moire [5]. Pour le voir il suffit de consid6rer une congruence Li(i ~ 1, 2, ...~ n) quelconque du cycle en quest ion et le systbme /~ deux parambtres de sous-espaees 2 n - - 3 dimensions, d6termin6s par les droites correspondantes, en hombre de n - - 1 , des congruences r6siduelles. On a u n e eorrespondance entre les droites Pt ~ [A2i_~A~t] de la congruence L~ et les s o u s - e s p a e e s P~+~ = [A~+~ ... Az~+zn_~] du systbme en question. Or, le calcul facile montre que P~+~ est l 'espace' escula teur d~ordre n - - 2 de la congruence L¢+~ le long de la droite p¢+~ attach6e h la droite p~ duns la correspondance entre les congruences L¢e t L~+~ et qu ' i l engendre, duns l ' espace dual h l ' e space Sz,_~, une congruence L~*+~ de droites. En partant de la d6finition g6n6ralis6e d ' u n couple strat if iable de congruences de dr~)ites L~ et Li*+~ on pent s 'assu- rer que le couple formd par les congruences L~ el L~+~ est fortement strati- fiable au sens des reeherehes de A. SvEc. Nous nous eontentons d ' i nd ique r les remarques pr6c6dentes sans nous oceuper de la d6monstrat ion d6taili6e des aff irmations correspondantes.

5. Consid6rons une surface stratif iante (Me) queleonque de la couche associ6e h la congruence L~. Cette surface est engendr6e par le point (3) et on a, d ' aprbs (4), (5), (6),

(29) +21--I

Annali di Matematica 32

250 K. Svo~oD~: Cycles de congruences stratl]iables darts un espace, etc.

On en obtient facilement, ayant 6gard aux relations (27),

d~lY/~ = du~A~,+~ + t,dv2A2i+~ (mod M~, A:,+~, A~i+~),

daM~ - - duaA~+~ + t~dvaA=¢+¢ (mod M~, A~++~, ..., A2¢+~)

et, par la voie de l ' induction complete,

d+-~)M~ - - du~-~Az~+~,~_~ -[- t~dv~-~A~+~_~ (rood M~, A~+~, ...2 A~+~,,_~).

On a done

d~Mi - . du~A~+~_~ + t~dv~A~+~, =

= (du'* - - dv**)A~¢+2._~ (rood M¢, A~+~,. . . , A~+2~_2)

de sorte que les quasiasymptotiques y,-1,+~ de la surface (Mi) sont exprim6es par I s6quation diff~rentielle (28). Cette ~quation ne d6pend ni du choix de la surface stratifiante duns la touche associ6e ~ la congruence L~, ni du ehoix de eette couche.

I1 en r6sulte que les quasiasymptotiques Y+~-l,+~ se correspondent les unes aux autres sur toutes les surfaces stralifiantes assocides ~ routes les congruences du cycle.

Remarquons qu'i l a 6t6 d6montr6, dans la M6moire [3], que chaque sur- face stratifiante (M~) est dou6e d 'un r6seau eonjugu6 t orm6 par les lignes d~intersection de la surface avec les surfaces d6veloppables de la con- gruence L~.

D~aprbs les consid6rations pr@6dentes, il existe une correspondance ponetuelle entre les surfaces stratifiantes (~1£) et (Mi+~) quelconques, les points correspondants 6tant situ6s sur les droites p et p~+~ qui se correspon- dent duns la correspondance entre les congruences L¢et L~+~. Le plan tangent aa point M~ de la surface (M~) passe par la droite Pi+~ et il contient ainsi tous les points correspondants Mt+~ des surfaces stratifiantes (Mi+l). Alors, la droite [M~Mi~_~] touche la surface (Mi) au point M~ et elle coupe la surface (M~+~) au point eorrespondant M~+~. Les surfaces (M~) et (M~+~)6rant ehoisies arbitrairement, la droite [McM~+~] qui passe par les points correspondants de ces surfaces engendre un systbme h deux parambtres de droites et on v6rifie facilement, en vertu de (29), que I sespace tangent du "syst~me en question le long d 'une droite quelconque est ~ quatre dimensions. D'apr~s la, d6finition introiduite dans le M6moire [~[] par E. C]~c~ on peat dire que les droites ddtermindes par les points correspondants des surfaces stratifiantes (Mt) et

K. SVOBODA: Cycles de congrue'~wes strati]iables dans un espace~ etc. 251

(Mid.l) quelconques engendrenl un syst~ne ~ deux param~tres de caract~re m ~--4. Remarquons que (Me) est la surface locale du syst~me de droites en question.

En choisissant une surface strat if iante quelconque de chaque couche assocWe aux congruences du cycle eonsid~r~ on obtient ainsi un ensemble de n syst~mes de droites jouissant des propri~t~s indiqu~es. Cela ~tant, on pent consid(irer les sous-espaces lin~aires Rn_~ h n - - 1 dimensions qui se t rouvent d~termin#s par les points correspondants M~, M~, ..., Mn des surfaces strat if iantes (M~), (M2) .... , (M~) et dont les droites d ' in tersect ion avec les plans tangents de" ces surfaces sont [M~M2] .... , [M~_~M~], [M,M~]. Les sous-espaces R~_~ forment un syst~me d~pendant de deux parami)tres et ils d~terminent urre correspondanee entre les surfaces strat if iantes dans laquelle les quasia- symptot iques T~-l . , se correspondent. Pour abr~ger, nous appellerons congruence W de sous-espaces Rn_~ le syst~me de sous-espaces h n - - 1 di- mensions jouissant des propri6t~s qui precedent et nous dirons que (M~), (M~), ..., (M~) sont les surfaces locales de la congruence W e n question.

Les considerations pr~e~dentes montrent que chaque cycle de congruences stratifiables ddtermine un ensemble, ddpendant de n param~lres, de congruen. ces W de sous-espaces R,_~, dont les surfaces locales se partagent en n couches de surfaces stratifiantes assocides au~ congruences du cycle.

Par contre, choisissons un ensemble h n param#tres de congruences W de sous-espaces lin~aires R._~ et un syst#me form~ par n couches de surfa- ces et supposons que ces surfaces se correspondent, les unes aux autres, darts une correspondance quasiasymptot iqne et qu ~ elles se pr~sentent comme sur- faces focales de 1 ~ensemble de congruences W e n question. Cela ~tant, d~si- gnons par (M~) (i-----1, 2, ..., n) les surfaces qui const i tuent la i ~ couche du syst~me consid~r~ et envisageons la eorrespondance ponctuel le qui se trouve d~termin~e entre les surfaces particuli~res de ce syst#me. Choisissons un entier i tel que 1 <:_ i _~. n et consid~rons une surface (Mi) queleonque, ainsi que la couehe de surfaces (M~+~). Une congruence W de sous-espaces R,_~. qui a (M~) pour une surface locale, ddtermine, dans le plan tangent de la surface (M~), la droite qui touche la surface (M~) ttu point M~ et passe par le point correspondant Mi+z de la surface (M~+~). Les points Mi+~ qui correspon- dent au point M~ quelconque se trouvent situ~s darts ]e plan tangent de la surface (M~) au point Mi. I1 en r~sulte que les plans tangents des surfaces (M~) aux points correspondants M~ passent par tous les points correspondants Mi+~. Cela entraine que les plans en quest ion forment un faisceau de ~lans dont l ' axe est le lieu de points eorrespondants Mi+~. En appl iquant la con- sid~ration pr#e#dente pour i-----1, 2, . . . , n on peut ~noncer le r~sultat suivant :

Chaque ensemble ~ n param~lres de congruences W de sous-espaces R , _ , dont les s~rfaces locales se parlagent en n couches de surfaces et se

252 K. SVOBODA: Cycles de congruences stratifiables dans un espace, etc.

correspondent les unes auw aulres darts une correspondance quasiasymptoti . que appartient d u n cycle de congruences stratifiables.

6. Haintenant , nous allons ~tudier les t ransformations laplaciennes des congruences d , un cycle donn~.

Choisissons une congruence L,(i----1, 2, ..., n) quelconque et d~isignons par L" sa t ransformation laplacienne dans le sens des courbes ¢%---0. La congruence L', se trouve engendr~e, d 'apr~s (23) et (26), par les droites p'~ = [A~,_x, :¢,+xA~, + A~,+~] qui sent tangentes aux coui~bes ¢o, = 0 de la surface foeale (A~,_x). D 'apr~s (25) et (26) on obtient pour un poin~ queleenque

(30) A'=,_~ = ~,A~,_~ + a~+xA2, + A~t+l (i = 1, 2, ..., n)

de la droite P'i

t . , , 2 i + x

+(¢o~i+X,~o~)A~,÷, + ¢ox(a,+~A2,+~+ Aa+s) (mod A 2,- ~) ( i = 1, 2 . . . n).

Pour que A'~,_x soil le second foyer de la congruence L',, il faut et il suffit que l 'on ait

[A~t-~, ~+~A2, + A2,+~, dA'~_~] - - 0 (mod ~o~) (i = 1, 2, ..., n).

En vertfi de (31) on en obtient pour le param~tre ~, la valeur

(32) X, - - ~* (i = 1, 2, ..., n)

de sorte que les foyers de la congruence L't sent A2~_1 et

Ceta ~tant, t '~quation (31) peut ~tre remplae~ie par la relation de

K. SVOBODA: Cycles de co~gruences strati]iables cla~s u n espace, etc. 253

la forme

d , \[ 2,+1 p,+~ p~ ) (*¢i÷~A~, + A~+~) +

+ ~o~( -~+~,+x A~+t + ~,+~A2~+~ + A~+8) (mod A~i-1) ( i = l , 2 , . . . , n)

qui montre que le plan tangent de la surface locale (A'~_l) de la congruence L'~ passe par le point

A t 2 i + i - - . _ _ _ _ ~+~ A2¢+t -{- ~i+~A2i+2 + A~+a

qui se pr~seate, d' apr~s (30) et (32), comme le second foyer de la congruen- t ce L~+l. I1 est eonnu que la congruence L', est en eor respondance d(iveloppable

a v e c l a congruence L,. I1 en r6sulte, en par tan t des congruences d ' u n cycle consid~ref, que les d~veloppables des congruences L'i et L'~+x se correspondent el, d ' ap rbs les recherches qui precedent , on voit que les foyers de la con- gruence L',÷x se t rouvent situ6s darts les plans focaux correspondants de la congruence L~.

Alors, nous avons d6montr~ le r~sultat su ivant :

Lee transformations laplaciennes des congruences d ' u n cycle (L) de congruences stratifiables constituent un autre cycle (L') de congruences stralifiables.

~ o u s allons envisager~ dans la suite, les t ransformat ions laplaciennes des surfaces s trat i f iantes (M) ( i - - 1 , 2, .... n) dans le sens des conrbes ¢ %=0 . L'eiquat ion (29) mont re que la tangente de la courbe cos--" 0 h u n point M~ quelconque passe par le point eor respondant A2i÷~. Les tangentes [M~A21+~] d ' u n e surface (Mi) que lconque engendren t une congruence de droites dent la seconde surface locale soil d~termin~e par le point

(33) N, --- a,+lM~ + u, A2,+~ --- a,+x(A2,_x + t, A2,) + u,A~,+~

u, 4tant le parambtre du point Ni sur la droite" en question. (33) par un calcul facile

(34)

(i -- 1, 2 , . . . , n),

On obtient de

d i s = (du~ + ~ 2~+1 + ~+1~ol)A2~+1 + (~i+~ui~ol + ~+~. t~ -- u~. ~o~)A~+2 +

+ u#IA~+8 (rood M~) (i = 1~ 2, ..., n).

254 K. Svono~)~: Cycles de congruences stratifiables dans u~ espaee, etc.

Pour que N~ soit le foyer de la congruence consid6r6e, il taut et il suffit que 1' on ait

[M~A~+~d/~] --- 0 (meal ~ ) (i = 1, 2, ..., n)

et cela donne direetement zil ~ ti. La t ranformat ion laplacienne de la surface strat if iante (Mt) quelconque

se trouve d6finie, d 'aprgs (33), par le point

N t - - e,+~(A~i_~ + hA~t) + QA~,+~ ~-- ai+~A~t-~ + ti(e~+~A~, + A~i+,) ( i = 1, 2; .... n).

La derni~re ~quation montre que le point Nl se trouve situ~ sar la droite p'~ et qu ' i l coincide avec le point d ' i n t e r sec t i en des droites [M~A~i+~I ei [A~-~A'~i-~I,

Si la surface (Mt)se d6place dans la couche associ~e ~ la congruence Li, alors sa t ransformation laplacienne dans le sens des courbes ~%--0 con- stitue une couche de surfaces (Nl), ddpendante d~un param~tre arbi traire ti, et on a, d' apr~s (34),

(i = 1, 2, ..., n),

la diff~rentielle dt~ ~tant donn4e par l 'express ion (5). On en ~oit que le plan tangent au point 5~ de la surface (1\~) contient les points A~+~ et ~t~-~A2¢4-~ A~i+a qui d~terminent la droite P'i+~ de la congruence L't~-~. Les surfaces (Ni) se prdsentent ainsi comme les surfaces stratifiantes associ~es h la congruence L'~.

Cela ~tant, nous pouvons 4noncer le rdsultat suivant:

Les surfaces stratifiantes assocides aux congruences du cycle (L') qui est formd par les transformations laplaciennes d'un cycle donnd (L) sent les transformations taplaciennes des surfaces stratifianles assocides aux congruences du cycle (L).

On en d~duit, par les considerations faciles, qne routes les surfaces stratifiantes d'un cycle de congruertces stratifiables sent des surfaces R. Cela entraine imm6diatement que ehaque congruence qui a pour surfaces focales une surface stralifiante ( M~) quelconque et sa lransformation laplacien- ne (Ni) est une congruence R.

K. SVOBODA: Cycles de congruences strat~flabtes dans un espace~ etc. 255

On en peut d6duire des p:ropri6t6s plus d6taill6es d 'un cycle de con- gruences stratifiables qui sont tout ~ fait analogues aux propri6t6s d 'un couple conjugu6 de congruences. Nous nous dispencerons d 'une description compl6te des propri6t6s ult6rieures d 'un cycle de congruences stratifiabtes en renvoyant, pour les d6tails analogues, au livre [2] de S. P. FInis:or.

LITt~RATURE

[1] :E. CEOH, D~formation ponctuelle des congruences de droites, ~ Czechoslovak Mathematical J o u r n a I ~ 5 (80), 1955~ 234:-273.

[2] S. P. :FINrKOV~ Teorija par kongruencij, Moskva, 1956. [3] •. M. GEJ-DEL'~AN, Rasslojenije dvuchparametri~skich semejstv prjamych v mnogomer.

nora projektivnom prostranstve~ ~ Doklady Akaderniji nauk SSSR ~ X C I I I , 1953, 957.960. [~] A. k~VEC, Les surfaces R dans les espaces projectif~ de dimension impaire, ,, Czechoslovak

~a themat ica l Journal~, 9 (8Q, 1959, 2t3-2(~. [5] A. SvBc, S~tr te probl~me de la stratification des congruences de droites~ ~: Czechoslovak

Mathematical Journal % 10 (85)7 1960~ 299-303