Descente étale en théorie de Bruhat-Tits ∗

Introduction et notations

Le but de cet exposé est d’expliquer la construction de l’immeuble (affine) de Bruhat-Tits d’ungroupe réductif défini sur un corps local à partir du cas quasi-déployé.

Soient– K un corps de valuation discrète, à corps résiduel k = k algébriquement clos ; et– G un groupe réductif (donc connexe) sur K.

Proposition 0.1 (Steinberg, Borel-Springer). Le groupe G est quasi-déployé sur K. C’est-à-dire,G possède un sous-groupe de Borel défini sur K.

Idée de la preuve. 1. Premièrement, comme K est un corps de valuation discrète strictementhensélien à corps résiduel k = k, on a H1(K,G) = 1 : ce résultat est due à Steinberglorsque K est parfait (cf. [6] Chap. 3, § 2.2), et est complété par Borel-Springer ([1, 8.6])dans le cas imparfait. Ainsi tout espace principal homogène de G surK possède unK-pointrational.

2. Deuxièment, il existe un schéma projectif lisse B sur K tel que pour toute extensionséparable K ⊂ K ′, B(K ′) s’identifie naturallement à l’ensemble des K ′-sous-groupes deBorel de GK′ = G⊗K K ′ ([1, 8.4]). De plus, G agit par conjugaison sur B, de sorte que Best un espace homogène de G sur K.

3. Enfin, il existe un espace principal homogène P de G sur K et un morphisme G-équivariantP → B sur K. 1 Ainsi, la première assertion implique P (K) donc B(K) est non vide, cequi achève la preuve

Remarque 0.2. En effet, dans la suite, on utilise seulement le fait que K est un corps devaluation discrète strictement hensélien et que G/K est quasi-déployé.

Dans cet exposé, on fixe K\ ⊂ K un sous-corps hensélien tel que K = (K\)sh. PosonsΣ = Gal(K/K\). Supposons de plus que G se descend en un schéma en groupes G\ sur K\.Nous souhaitons construire l’immeuble X(G\) de Bruhat-Tits de G\ à partir de l’immeuble deBruhat-Tits X(G) de G. On verra plus loin que X(G) est muni naturellement d’une action deΣ. Ainsi une première tentative pour X(G\) serait de poser

X(G\) := X(G)Σ.

∗Exposé le 24/04 à l’École Polytechnique. Les remarques/corrections sont les bienvenues.1. lorsque K est parfait, ceci résulte d’un théorème général de Springer : voir [6, Chap. 3, § 2.4, Théorème 3].

Pour Proposition 0.1, comme G est rédutif, le stabilisateur d’un élément de B(Ks) est un sous-groupe de BorelB de GKs , en particulier il est Ks-résoluble. Avec cette observation, on peut vérifier que la preuve de loc. cit.s’applique aussi dans la situation particulière ici.

1

Mais ce n’est pas facile de travailler directement avec cette définition naïve. La méthode dedescente étale de Bruhat-Tits nous donne une construction alternée de X(G\), qui nous permetde vérifier que X(G\) satisfait à des bonnes propriétés. On verra aussi que l’immeuble de Bruhat-Tits de G\ construit par descente coïncide avec celui donné par la définition naïve ci-dessus (cf.Proposition 4.18).

1 L’immeuble de Bruhat-Tits de G(K) : rappels

Nous utiliserons les notations suivantes :– soient S ⊂ G un K-tore déployé maximal, ZG(S) (resp. NG(S)) le centralisateur (resp. le

normalisateur) de S dans G. Comme G est supposé quasi-déployé, ZG(S) est est un torede G : c’est le K-tore maximal contenant S. Pour cette raison, ZG(S) sera parfois noté parT dans la suite ;

– Φ = Φ(G,S) le système de racines de G suivant S ; pour a ∈ Φ, on note a∨ ∈ X∗(S) saduale.

– Pour a ∈ Φ, notons Ua ⊂ G le groupe radiciel associé à a. Pour u ∈ Ua(K) \ 1, on notema(u) l’unique élément appartenant à l’intersection U−a(K)uU−a(K)

⋂N(K).

1.1 L’appartement A = A(G,S) ([5, § 1])

On rappelle dans ce numéro la définition de l’appartement vide de G suivant leK-tore déployémaximal S. On remarque que cette définition n’utilise pas le fait que G est quasi-déployé sur K.Posons

– V1 = V1(G,S) := X∗(S)⊗ R ;– V0 = V0(G,S) ⊂ V1 le sous-espace⋂

a∈Φ

ker(< ·, a >) = X∗(CG ∩ S)⊗ R,

où CG désigne le centre connexe de G ;– ν1 : ZG(S)(K)→ V1 l’unique morphisme tel que pour tout z ∈ ZG(S)(K),

< ν1(z), χ >= −ω(χ(z)), ∀ χ ∈ HomK(ZG(S),Gm) ⊂ X∗(S).

Posons Zb(K) := ker(ν1).– V = V (G,S) := V1/V0, et ν : ZG(S)(K)→ V le morphisme induit.

L’appartement vide A(G,S) de G suivant S (sur K) est, à isomorphisme unique près, l’uniqueespace affine sous l’espace vectoriel V , muni d’une action de NG(S)(K) :

ν : NG(S)(K)→ Aff(A(G,S)),

prolongeant le morphisme ν : ZG(S)(K) → V ⊂ Aff(A) ci-dessus. Dans la suite, pour n ∈NG(S)(K) et tout x ∈ A, on désigne ν(n)(x) simplement par n · x.

1.2 Valuation sur la donnée radicielle de G ([5, Chapter II] ou [3, §4.2])

Rappelons que, comme G est quasi-déployé, on peut munir G d’un système de Chevalley-Steinberg, et associé à un tel système, on sait définir une famille d’applications ϕ = (ϕa)a∈Φ :

ϕa : Ua(K) −→ R ∪ ∞, a ∈ Φ = Φ(G,S)

satisfaisant aux propriétés suivantes (selon la terminologie de [3], cette famille est une valuationde Chevalley-Steinberg de la donnée radicielle (T (K), (Ua(K))a∈Φ) de G) :

2

(V0) pour tout a ∈ Φ, l’image de ϕa contient au moins trois éléments ;(V1) pour tout a ∈ Φ et r ∈ R

⋃∞, l’ensemble

Ua,r := ϕ−1a ([r,∞])

est un sous-groupe de Ua(K), et on a Ua,∞ = 1 ;(V2) pour tout a ∈ Φ et tout m ∈ (U−a(K) · (Ua(K) \ 1) · U−a(K))

⋂N(K), la fonction

u 7→ ϕ−a(u)− ϕa(mum−1)

est constante sur U−a(K) \ 1 ;(V3) soient a, b ∈ Φ, et r, s ∈ R

⋃∞ ; si b /∈ −R+a, le groupe de commutateurs (Ua,r, Ub,s) est

contenu dans le groupe engendré par les Upa+qb,pr+qs pour p, q ∈ N∗ et pa+ qb ∈ Φ ;(V4) si a et 2a appartiennent à Φ, alors ϕ2a est la restriction de 2ϕa à U2a ;(V5) soient a ∈ Φ, u ∈ Ua(K) \ 1 et u′, u′′ ∈ U−a(K) ; si u′uu′′ ∈ N(K), on a ϕ−a(u′) =

−ϕa(u).De plus, il existe un (unique) point o ∈ A tel que pour tout a ∈ Φ, u ∈ Ua(K) \ 1, et x ∈ A,on ait ([2, 6.2.7])

ma(u) · x = o+ ra(x− o)− ϕa(u)a∨, 2 (1)

où ra désigne la réflexion associée à a, et a∨ la co-racine de a (ou plus précisément l’image de laco-racine de a dans V ).

1.3 L’immeuble de Bruhat-Tits de G ([5, Chapter III] ou [2, §6])

Pour tout x ∈ A = A(G,S), posons

Ux := 〈Ua,−a(x−o) : a ∈ Φ〉 ⊂ G(K).

L’immeuble de Bruhat-Tits X(G,S) de G(K) est par définition le quotient

X(G,S) := G(K)×A(G,S)/ ∼,

où (g, x) ∼ (h, y) s’il existe n ∈ NG(S)(K) tel que n · x = y et que g−1hn ∈ Ux. Les propriétéssuivantes de X(G,S) seront utilisées dans la suite :

1. Le morphisme canonique

A(G,S) −→ X(G,S), x 7→ class de (1, x)

est injectif (ce qui nous permet d’identifier A(G,S) à un sous-ensemble de X(G,S)) ;2. X(G,S) est un espace métrique complet, muni d’une action de G(K) et de la structure

polysimpliciale (appartements, murs, facettes, chambres etc.).3. L’immeuble X(G,S) ne dépend pas, à isomorphisme unique près, du choix de S. Donc,

dans la suite, on va le noter simplement par X(G).4. (Lemme de points fixes de Bruhat-Tits) Soit M ⊂ X(G) une partie bornée non

vide. Alors le stabilisateur de M dans Isom(X(G)) (=l’ensemble des isométries de X(G))possède un point fixe appartenant à l’adhérence de l’enveloppe convexe de M .

5. Soient A = A(G,S), et g ∈ G(K). Il existe alors n ∈ NG(S)(K) tel que g · x = n · x pourtout x ∈ A

⋂g−1A.

2. il y a une erreur de signe dans [5, Corollary 7.8 (i)].

3

1.4 Formes entières de G ([5, §6] ou [3, §4.6])

Posons O = OK l’anneau des entiers de K. Soit Ω ⊂ A une partie non vide et bornée. Posons– fΩ : Φ −→ R la fonction telle que fΩ(a) = − infa(x− o) : x ∈ Ω pour tout a ∈ Φ ;– Ua,Ω := Ua,fΩ(a), UΩ := 〈Ua,Ω : a ∈ Φ〉 ;– NΩ := n ∈ N(K) : n · x = x, ∀x ∈ Ω ;– PΩ = 〈NΩ, UΩ〉 ⊂ G(K).

Remarque 1.1. PΩ est le fixateur dans G(K) de Ω ⊂ X(G), et PΩ =⋂x∈Ω Px, où on pose

Px := Px.

Remarque 1.2. (1) Le sous-groupe Ua,Ω ⊂ Ua(K) est le groupe des points entiers d’unO-schémaen groupes Ua,Ω de fibre générique Ua ([3, 4.3.8]).

(2) Si l’on fixe un ordre sur Φ (de sorte qu’on peut parler des racines positives etc.), les sous-groupes U±Ω := 〈Ua,Ω : a ∈ Φ±〉 sont les groupes des pointes entieres de O-schémas en groupesU±Ω de fibres génériques U± := 〈Ua : a ∈ Φ±〉 → G.

Soit T la composante neutre du modèle de Néron de T sur O, appelé dans la suite le modèlecanonique de T sur O.

Théorème 1.3 ([5] Theorem 6.1). Soit Ω ⊂ A une partie bornée non vide. Alors il existe ununique O-schéma en groupes affine lisse à fibres connexes, noté par GΩ, vérifiant les propriétéssuivantes :

(i) GΩ ⊗O K ' G (donc GΩ est une O-forme entière de G) ;

(ii) les inclusions T → G et Ua → G se prolongent en immersions fermées de T et de Ua,Ωdans GΩ ;

(iii) soit Ψ ⊂ Φ une partie positivement close. Alors la multiplication induit une immersionfermée de

∏a∈Ψnd

Ua,Ω sur un sous-schéma en groupes fermé UΨ,Ω de GΩ, qui ne dépendpas du choix de l’ordre sur les facteurs dans le produit précédent.

(iv) fixons un ordre sur Φ, alors le morphisme produit induit un isomorphisme de schémasU−Ω × T × U

+Ω sur un sous-schéma ouvert de GΩ.

Remarque 1.4. Comme O est strictement hensélien, on déduit de Théorème 1.3 (iv) l’égalitéG(O) = UΩ · T (O) ([3, 4.6.7 (i)]). Dans la suite, on appelle P 0

Ω := GΩ(O) le fixateur connexede Ω ([3, Proposition 4.6.28 (i)]).

Remarque 1.5. Plus généralement, soit Ω ⊂ X(G) une partie non vide bornée contenue dansun appartement de X(G). On peut également lui associer une O-forme entières à fibres connexesGΩ de G, qui ne dépend que de Ω vue comme une partie de X(G), i.e., elle ne dépend pas duchoix d’un appartement contenant Ω ([3, 4.6.30]).

2 L’action de galois sur X(G)

2.1 Σ agit sur X(G)

Le point de départ de la descente étale est que le groupe de galois Σ = Gal(K/K\) agitnaturellement sur X(G).

Proposition 2.1. Pour tout σ ∈ Σ, il existe une unique isométrie X(G)→ X(G), encore notépar σ, tel que σ(g · x) = σ(g) · σ(x). Du coup on obtient une action de Σ sur X(G). De plus,X(G)Σ 6= ∅.

4

Démonstration. Par fonctorialité, l’élément σ définit une bijection

ι : X(G) = X(G,S) −→ X(G, σ(S)).

L’application σ : X(G) → X(G) cherchée est alors la composée de ι avec l’isométrie G(K)-équivariante associée aux tores déployés maximaux σ(S), S de G (cf. § 1.3) :

X(G, σ(S)) −→ X(G,S) = X(G).

On peut vérifier que ceci définit une action de Σ sur X(G), et que l’action de σ sur X(G) estune isométrie.

Pour prouver la dernière assertion, soit A = A(G,S) l’appartement associé à S. Soit Lune sous-extension galoisienne de K/K\ telle que S soit défini et déployé sur L, et posonsΣL = Gal(K/L). Comme S est déployé sur L, ΣL agit trivialement sur le groupe des cocaratèresX∗(S) de S et son appartement A, de sorte que l’orbite M = Ox d’un point x ∈ A sous l’actionde Σ est finie et donc bornée. Du coup, le lemme de points fixes de Bruhat-Tits (§ 1.3 (4))implique X(G)Σ 6= ∅.

Remarque 2.2. Pour tout x ∈ X(G), la preuve ci-dessus montre que l’orbite de Ox = Σ · x esttoujours finie.

2.2 L’action de Z(K\) sur AΣ

Dans ce numéro, nous utiliserons les notations suivantes :– soit S\ un tore K\-déployé maximal de G, et soit S ⊂ G un tore K-déployé maximal deG contenant S\ et défini sur K\ (on verra dans § 3 qu’on peut toujours trouver un telcouple (S\, S)).

– Z := ZG(S\) et N := NG(S\).On se propose de démontrer que l’ensemble des points fixes A\ := A

⋂X(G)Σ de A = A(S,G) est

invariant sous l’action deN(K\) ⊂ G(K), et que A\ muni de cette action deN(K\), est isomorpheà l’appartement de G suivant S\ sur K\ (cette notion est rappelée dans § 1.1). Remarquonsd’abord que, comme S est défini sur K\, Σ agit sur A et sur V = V (G,S).

Lemma 2.3. A\ ⊂ A est un sous-espace affine non vide sous V\ := V Σ. De plus Z(K\) · A\ ⊂X(G)\

⋂(Z(K) ·A).

Démonstration. La première assertion résulte du lemme de points fixes de Bruhat-Tits (§ 1.3(4)), et la seconde est immédiate.

Rappelons que Z := ZG(S\) est un K-groupe réductif connexe (quasi-déployé). Ainsi, onpeut considérer l’immeuble de Bruhat-Tits X(Z) associé à Z. Soit AZ := A(Z, S) l’appartementassocié au tore déployé maximal S de Z.

Remarque 2.4. L’appartement AZ s’identifie naturellement à un quotient de A := A(G,S).En effet, le système de racines de Z suivant le K-tore déployé maximal S ⊂ Z est Φ0 :=a ∈ Φ : a|S\ = 0. Alors AZ est le quotient de A(G,S) sous l’action du sous-espace vectoriel〈Φ0〉 := u ∈ V (G,S) : a(u) = 0, ∀a ∈ Φ0 de V (G,S).

Notonsπ : A→ AZ

la projection canonique. Considérons Z(K) · A ⊂ X(G) : c’est la réunion des appartements deX(G) associés aux K-tores déployés maximaux contenant S\ de G.

5

Proposition 2.5. (1) L’application π ci-dessus se prolonge de manière unique en une applicationZ(K) ·A→ X(Z), notée encore par π dans la suite, telle que π(zx) = zπ(x) pour tout z ∈ Z(K),et x ∈ Z1(K) ·A.

(2) π−1(AZ) = A, et l’image réciproque par π de tout appartement de X(Z) est un apparte-ment de X(G).

(3) Σ admet un point fixe dans Z(K) ·A.

Démonstration. (1) Cf. [2, 7.6.4].(2) Soient x ∈ A, g ∈ Z1(K) tels que π(g · x) = g · π(x) ∈ AZ . Ainsi π(x) ∈ AZ

⋂g−1AZ .

Soit n ∈ NZ(S)(K) tel que g · y = n · y pour tout y ∈ AZ⋂g−1AZ (cf. § 1.3). En particulier,

n−1g appartient au stabilisateur Pπ(x) de π(x) ∈ X(Z). Par suite, g ∈ nPπ(x) ⊂ NG(S)(K) · Px,et g · x ∈ NG(S)(K) · x ⊂ A. Ainsi π−1(AZ) = A et le deuxième énoncé de (2) s’en résulte.

(3) On a vu que X(Z)Σ 6= ∅. Soit x ∈ X(Z) un point fixé par Σ. Alors, par (1), π−1(x) estun sous-espace affine d’un appartement, qui est invariant par Σ. Soit y ∈ π−1(x). On sait quel’orbite Oy de y sous l’action de Σ est finie. Donc le lemme de point fixe de Bruhat-Tits (§ 1.3(4)) implique que Σ possède un point fixe appartenant à l’adhérence F de l’enveloppe convexede Oy. Or π−1(x) est un sous-espace affine d’un appartement, nécessairement F ⊂ π−1(x), d’oùl’assertion.

Remarque 2.6. Soit S1 un tore K\-déployé de G, et posons Z1 = ZG(S1). Alors les énoncésde Remarque 2.4 et de Proposition 2.5 restent valables en remplaçant S\ (resp. Z) par S1 (resp.Z1).

Proposition 2.7. Soit S′ un tore K-déployé maximal de G, défini sur K\ et soit S1 le sous-toreK\-déployé maximal. Soit F une facette de l’appartement A′ associé à S′, rencontrant A′\ :=

A′⋂X(G)Σ. On suppose que l’image de la fibre spéciale S1 du modèle canonique S1 de S1 dans

GF est un tore k\-déployé maximal, et qu’il n’existe pas de facette F ′ 6= F rencontrant A′\ telleque F ⊂ F ′ (par exemple, on peut prendre F telle que dimF soit la plus grande possible). Alorspour tout appartement A′′ contenant A′\, on a A′′

⋂X(G)Σ = A′\.

Démonstration. Cf. [5, Proposition 10.15] ou [3, 5.1.14].

Remarque 2.8. Si l’on suppose dans Proposition 2.7 que le sous-tore S1 de S′ est un tore K\-déployé maximal de G, alors pour toute facette F ⊂ A, en utilisant [4, Exposé XI, Théorème4.1], on vérifie aisément que la fibre spéciale S1 est un tore k\-déployé maximal de GF .

Corollaire 2.9. On a (Z(K) ·A)⋂X(G)Σ = A\. En particulier, Z(K\) ·A\ ⊂ A\.

Démonstration. Considérons l’application Σ-équivariante naturelle π : Z(K) · A → X(Z), pro-longeant le quotient canonique A = A(G,S) → AZ := A(Z, S). Ainsi, π(A\) ⊂ AΣ

Z . Or AΣZ est

un espace affine sous l’espace vectoriel (où Z0 ⊂ Z désigne le centre de Z)

V ΣZ = (X∗(S)⊗ R/X∗(Z0 ∩ S)⊗ R)Σ = 0.

Ainsi il n’y qu’un seul point appartenant à AΣZ , noté par y0. Donc π(A\) = y0. D’autre part,

soient z ∈ Z(K) et x ∈ A tels que z · x ∈ X(G)Σ. Il existe alors un appartement A ⊂ X(Z) telque π(zx), y0 ∈ A. Ainsi, π−1(A) ⊂ X(G) est un appartement contenant A\ (Corollaire 2.5 (1))et z · x. D’où z · x ∈ π−1(A)

⋂X(G)Σ = A\ par Proposition 2.7 (en tenant compte Remarque

2.8).

6

Posons V1,\ = X∗(S\)⊗R, et ν1,\ : Z(K\)→ V1,\ l’application telle que pour tout z ∈ Z(K\),

< ν1,\(z), χ >= −ω(χ(z)), ∀ χ ∈ HomK\(Z,Gm) ⊂ X∗(S\).

Posons V\ le quotient de V1,\ par le sous-espace vectoriel⋂b∈Φ\ ker(< ·, b >) ⊂ V1,\, et ν\ : Z(K\)→

V\ le morphisme induit. Posons Zb(K\) := ker(ν1,\). Comme S est défini sur K\, Σ agit natu-rellement sur V1 = X∗(S) ⊗ R et sur V := V1/

⋂a∈Φ ker(< ·, a >), de sorte que V\ (resp. V1,\)

s’identifie naturellement à V Σ (resp. à V Σ1,\). Comme S\ ⊂ ZG(S), pour tout s ∈ S\(K\), le carré

suivant est commutatif :S\(K\)

ν\ // _

V\ _

ZG(S)(K)

ν // V

. (2)

Enfin, on sait que, pour tout x ∈ A et tout z ∈ ZG(S)(K), z · x = x + ν(z). La propositionsuivante nous dit que, lorsque x ∈ A\, on a la même chose en remplaçant ZG(S)(K) par Z(K\) =ZG(S\)(K\) et ν par ν\ (à noter que, en général, ZG(S) ( ZG(S\)).

Proposition 2.10. Pour tout x ∈ A\ ⊂ X(G) et z ∈ Z(K\), on a z · x = x+ ν\(z).

Démonstration. Soient z ∈ Z(K\) et x ∈ A\ ⊂ X(G). Alors z · x est fixe par Σ. Donc z · x ∈(Z(K) · A)

⋂X(G)Σ = A\, de sorte que z · x − x ∈ V\ = V Σ. On obtient ainsi l’application

suivanteθ : Z(K\)×A\ −→ V\, (z, x) 7→ z · x− x.

On vérifie aisément que

θ(zz′, x) = θ(z, z′ · x) + θ(z′, x), ∀ z, z′ ∈ Z(K\), x ∈ A\.

Comme θ(zs, x) = θ(sz, x) pour tout s ∈ S\(K\), on déduit de l’égalité ci-dessus que

θ(z, s · x) + θ(s, x) = θ(s, z · x) + θ(z, x), ∀ z ∈ Z(K\), s ∈ S\(K\), x ∈ A\.

Or, S\(K\) ⊂ ZG(S)(K\), on a θ(s, x) = θ(s, z · x) = ν(s) ∈ V , d’où θ(z, s · x) = θ(z, x) pourtout z ∈ Z(K\), s ∈ S\(K\).

D’autre part, pour z ∈ Z(K\), A\ ⊂ A⋂z−1 · A. Ainsi, par § 1.3 (5), l’élément z agit sur

A\ ⊂ A par une application affine x 7→ xo + `(x − xo) + v, où v ∈ V\, xo ∈ A\ est un point quel’on fixe une fois pour toutes, et ` ∈ End(V\). Donc, pour tout s ∈ S\(K\), on trouve

xo − x+ `(x− xo) = xo − s · x+ `(s · x− xo).

Or par la commutativité du carré (2), s·x = x+ν(s) = x+ν\(s). Il en résulte que `(ν\(s)) = ν\(s)pour tout s ∈ S\(K\). Par suite, ` = idV\ car ν\(S

\(K\)) contient un réseau de V\. 3 Donc z agitsur A\ par la translation par l’élément α(z) := v ∈ V\. On vérifie aisément que l’application

α : Z(K\) −→ V\, z 7→ α(z)

est un morphisme de groupes tel que α|S\(K\) = ν|S\(K\) = ν\|S\(K\). Pour finir la démonstration,il nous reste à vérifier α = ν\.

Lemma 2.11. On conserve les notations précédentes dans la preuve de Proposition 2.10. AlorsZb(K

\) ⊂ ker(α), où Zb(K\) := ker(ν1,\ : Z(K\)→ V1,\ = X∗(S\)⊗ R).

3. c’est déjà le cas pour ν1,\(S\(K\)) ⊂ V1,\.

7

Démonstration. Dans la preuve de ce lemme, on pose, en suivant [3],

G1 := g ∈ G(K) : ω(χ(g)) = 0, ∀χ ∈ X∗K(G),

où X∗K(G) = HomK(G,Gm,K) et,

Z1 := z ∈ Z(K) : ω(χ(z)) = 0, ∀χ ∈ X∗K(Z).

Notons CG (resp. CZ) le centre connexe de G (resp. de Z). Remarquons que, comme α est unmorphisme et que V\ est un espace vectoriel, afin de démontrer le lemme, il suffit de montrer queker(α) contient un sous-groupeH de Zb(K\) tel que le quotient Zb(K\)/H soit de torsion. De plus,comme z ∈ Z(K\) agit sur A\ par la translation par α(z) ∈ V\, on trouve ker(α) = Z(K\)

⋂Px

pour tout x ∈ A\. Fixons un tel x dans la suite.Montrons d’abord que Zb(K\)

⋂G1 ⊂ ker(α). Pour ceci, en appliquant la construction de [3,

4.6.26] à Z, on obtient une O-forme entière de type fini Z = Zπ(x) de Z associée à π(x) ∈A(Z, S) ⊂ X(Z) : sa composante neutre est Z := Zπ(x), et on a Z(O) = Pπ(x)

⋂Z1 par

[3, 4.6.28]. Comme O est strictement hensélien, par Remarque 1.4, Z(O) = Uπ(x) · T (O) ⊂Ux · T (O) ⊂ Px. 4 Ainsi Z(O\) ⊂ Z(K\)

⋂Px = ker(α). Puisque Z est la composante neutre

de Z, Z(O\) est d’indice fini dans Z(O\) et il en résulte que Z(O\) ⊂ ker(α). D’autre part,comme Z(O) = Pπ(x)

⋂Z1, on trouve Z(O\) = Pπ(x)

⋂Z1⋂Z(K\). Or Z(K\) · A\ = A\ par

Corollaire 2.9, il s’ensuit que Z(K\) · A(Z, S)Σ = A(Z, S)Σ. Mais on sait que A(Z, S)Σ est lesingleton π(x) (cf. la preuve de Corollaire 2.9), d’où z · π(x) = π(x) pour tout z ∈ Z(K\).Ainsi, Z(K\) ⊂ Pπ(x), et on obtient finalement ker(α) ⊃ Z(O\) = Z1 ∩ Z(K\) = Zb(K

\) ∩G1. 5

Ensuite, considérons l’isogénie centrale CG × DG → G, où DG est le groupe dérivé de G.Posons Z ′ := DG

⋂Z et C := CG ⊂ Z. On obtient donc une isogénie centrale de Z sur K\ :

C × Z ′ −→ Z. (3)

En particulier, le quotient Z(K\)/C(K\) ·Z ′(K\) est un groupe de torsion, parce que ce derniers’injecte dans le H1

fppf du noyau de l’isogénie centrale (3). Ainsi pour prouver Zb(K\) ⊂ ker(α),on se ramène à vérifier l’inclusion

(C(K\) · Z ′(K\)

)⋂Zb(K

\) ⊂ ker(α). Or l’isogénie centrale(3) nous permet d’identifier X∗

K\(Z) à un sous-groupe d’indice fini de X∗K\(C) ×X∗

K\(Z′). Par

suite, on trouve(C(K\) · Z ′(K\)

)∩ Zb(K\) =

(C(K\) ∩ Zb(K\)

)·(Z ′(K\) ∩ Zb(K\)

). (4)

Or Z ′(K\)⋂Zb(K

\) ⊂ Zb(K\)⋂DG(K) ⊂ Zb(K\)∩G1, donc Z ′(K\)

⋂Zb(K

\) ⊂ ker(α) d’aprèsce qui précède. De plus, comme C(K\) est contenu dans le centre de G, il agit trivialement surX(G), et donc C(K\)

⋂Zb(K

\) ⊂ ker(α) = Z(K\)⋂Px. Par suite, en vertu de l’égalité (4), on

trouve(C(K\) · Z ′(K\)

)∩ Zb(K\) ⊂ ker(α), d’où le lemme.

Revenons à la preuve de Proposition 2.10. Posons H := Zb(K\) · S\(K\) : c’est un sous-

groupe d’indice fini de Z(K\). De plus, par Lemme 2.11, α|H = ν\|H . Ainsi α = ν\, d’où laproposition.

4. on rappelle que Φ0 est le système de racines de Z suivant S. Donc Uπ(x) := 〈Ua,π(x) = Ua,x : a ∈ Φ0〉.5. Indiquons brièvement d’où vient la dernière égalité. L’inclusion Z(K\)

⋂Z1 ⊂ Zb(K

\)⋂G1 est claire car

un K-caractère de G (resp. un K\-caractère de Z) induit naturellement un K-caractère de Z. Réciproquement,soit x ∈ Zb(K

\)⋂G1. Comme S\ est K\-déployé, il se décompose sur K\ : S\ = (CG ∩ S\)0

red × T \, avec T \un sous-K\-tore de S\. On obtient ainsi une isogénie CG × T \ −→ CZ. Donc X∗K(Z) ⊗ Q = X∗K(CZ) ⊗ Q =(X∗K(CG)⊗Q)× (X∗K(T \)⊗Q) = (X∗K(G)⊗Q)× (X∗K(T \)⊗Q). Ainsi, pour prouver x ∈ Z1, il suffit de montrerω(χ(x)) = 0 pour χ ∈ X∗K(Z) provenant de X∗K(G) ou de X∗K(T \) = X∗K\(T \). Le premier cas est clair car x ∈ G1 ;dans le deuxième cas, χ provient en particulier un K\-caractère de Z, par suite, ω(χ(x)) = 0 car x ∈ Zb(K\).D’où x ∈ Z1 et donc Zb(K\)

⋂G1 ⊂ Z(K\)

⋂Z1.

8

Proposition 2.12. Soit N = NG(S\). Alors n ·A\ = A\ pour tout n ∈ N(K\).

Démonstration. Pour n ∈ N(K\) ⊂ G(K\), nSn−1 ⊂ G est un tore défini sur K\, déployémaximal sur K, et contenant S\. Ainsi il existe z ∈ Z(K) tel que z−1nSn−1z = S. Ainsiz−1n ∈ NG(S)(K), et z−1n · A = A donc n · A = z · A. Ainsi n · A\ ⊂ nA

⋂X(G)Σ = z ·

A⋂X(G)Σ ⊂ (Z(K) ·A)

⋂X(G)Σ = A\.

Corollaire 2.13. Le sous-espace affine A\ ⊂ X(G), muni de l’action de N(K\) ⊂ G(K) estisomorphe à l’appartement vide de G\ suivant S\ sur K\.

Démonstration. Rappelons que l’appartement vide de G\ suivant S\ sur K\ est l’unique es-pace affine A1 sous V\, muni d’un morphisme ν1 : N(K\) → Aff(A1) prolongeant le morphismeν\ : Z(K\)→ V\ ⊂ Aff(A1). Par la proposition précédente, n ·A\ = A\, ainsi A\ ⊂ A

⋂n−1A. Or,

par § 1.3 (5), on sait que n agit sur A⋂n−1A par une application affine. D’où un morphisme

α : N(K\) → Aff(A\) qui prolonge le morphism ν\ : Z(K\) → V\ ⊂ Aff(A\) (Proposition 2.10).Ceci achève la preuve.

3 Existence de tores déployés maximaux de G définis sur K\

Le but de cette section est de prouver qu’il existe un tore K-déployé maximal S de G,défini sur K\ et contenant S\. Il en résulte alors que la partie fixe A(G,S)Σ, munie de l’action deNG(S\)(K\), est isomorphe à l’appartement de G\ suivant S\ (Corollaire 2.13). Cette observationest importante dans la construction de § 4. Dans la suite, posons O = OK et O\ := OK\ . Notonsaussi k (resp. k\) le corps résiduel de K (resp. de K\).

Lemma 3.1. Soient A1 ⊂ X(G) l’appartement associé à un K-tore déployé maximal S1, Ω ⊂ A1

une partie bornée non vide. Supposons que Ω est Σ-invariante. Alors le O-schéma GΩ se descendnaturellement en un O\-schéma en groupes, noté par G\Ω dans la suite.

Démonstration. Soit σ ∈ Σ. Posons Ω′ := σ(Ω) ⊂ A′1 := A(G, σ(S1)), et G′ le O-schéma engroupes obtenu par changement de base via σ. Par transport de structure, G′(O) = σ(GΩ(O)) fixeles points de Ω′. Ainsi G′(O) ⊂ PΩ′ . D’autre part, par Remarque 1.4, GΩ(O) = UΩT1(O), où T1

est le modèle canonique du tore T1 := ZG(S1). Par suite, G′(O) = σ(G(O)) = σ(UΩ) ·σ(T1(O)) =σ(UΩ) · T ′1 (O) avec T ′1 est le modèle canonique de σ(T1) = ZG(σ(S1)), ou encore, le changementde base de T1 via σ. Si l’on munit Φ(G,S1) d’un ordre, et Φ(G, σ(S1)) de l’ordre induit, ona σ(U±Ω ) ⊂ PΩ′

⋂σ(U±(K)) = U±Ω′ (cf. [5, Corollary 8.10]). Par suite, G′(O) ⊂ GΩ′(O). En

appliquant ce qui précède à σ−1, on trouve G′(O) ⊃ GΩ′(O). Donc G′(O) = GΩ′(O). Par suite, onobtient un isomorphisme G′ ∼→ GΩ′ prolongeant l’identité sur les fibres génériques. Or Ω ⊂ X(G)est Σ-invariante, Ω′ = σ(Ω) = Ω. Donc GΩ = GΩ′ (Remark 1.5), et on obtient un isomorphismenaturel GΩ

∼→ GΩ sur σ : Spec(O)→ Spec(O). On peut vérifier que ceci nous donne une donnéede descente sur GΩ, prolongeant la donnée de descente naturelle sur G. Comme le schéma sous-jacent à GΩ est affine sur Spec(O), il s’ensuit que GΩ se descend en une O\-forme entière deG\.

Proposition 3.2. Soient F une facette de X(G) invariante par Σ, A′ un appartement contenantF et S′ le tore K-déployé maximal de G associé à A′. On se donne de plus

a) un sous-tore S1 de S′, défini sur K\ et K\-déployé ;b) un sous-tore S1 ⊂ GF , défini et déployé sur k\.

Alors, il existe un tore K-déployé maximal S′′ de G, défini sur K\, tel que F soit contenue dansl’appartement A′′ associé à S′′ et que

9

– dans le cas a), S′′ contienne S1 ;– dans le cas b), le O-modèle canonique S ′′ de fibre générique S′′ possède un sous-tore définisur O\, dont l’image canonique dans GF est S1.

Démonstration. On va seulement traiter le cas a). Le cas b) peut être prouvé d’une manièresimilaire (cf. [3, 5.1.10]). Soit S1 (resp. S ′) le O-modèle canonique associé à S1 (resp. à S′). On aS1 ⊂ S ′, et ils sont tous les deux sous-schémas en groupes de GF . Comme S′ est déployé maximalsur K et O est strictement hensélien, par [4, Exposé XI, théorème 4.1], la réduction S ′ de S ′ estun tore maximal de GF . De plus, comme S1 est défini sur K\, S1 se descend en un sous-schémaen groupes S\1 de G\F sur O\. En particulier, S1 est un tore défini sur k\ de GF ,

Soit S ′′ un tore maximal de GF défini sur k\ et contenant S1. Par [4, Exposé XI, théorème4.1], S ′′ se relève en un tore S ′′ défini sur O\ de GF . Comme K\ est hensélien, par [4, Exposé XI,5.2], l’application suivante est surjective :

TranspGF (S1,S ′′) −→ TranspGF (S1,S ′′).

Donc, il existe g0 ∈ GF (OK\), relevant l’élément neutre de GF (k\), tel que S1 ⊂ g0S ′′g−10 . Ainsi,

quitte à remplacer S ′′ par g0S ′′g−10 , on peut supposer S1 ⊂ S ′′.

D’autre part, S ′′ et S ′ sont tous les deux tores maximaux de GF contenant S1, il existe doncg ∈ ZGF (S1)(k) tel que S ′′ = gS ′g−1. Comme GF est lisse sur O et S1 est un tore, le centralisateurZGF (S1) est representable par un sous-schéma en groupes lisse à fibres connexes de GF . Ainsipar [4, Exposé XI, 5.2] (appliqué à S ′,S ′′ ⊂ ZGF (S1)), on peut relever g en g ∈ ZGF (S1)(OK)tel que S ′′ = gS ′g−1. En particulier, la fibre générique S′′ de S ′′ est déployé maximal sur K etdéfini sur K\. De plus, comme g ∈ ZGF (S1)(OK) ⊂ GF (OF ) ⊂ PF , l’appartement gA′ associé àS′′ contient gF = F . Ceci achève la preuve dans le cas a).

Corollaire 3.3. Soit S1 ⊂ G un K-tore déployé défini sur K\. Il existe alors un K-tore S2

déployé maximal contenant S1, qui est aussi défini sur K\.

Démonstration. En vertu de la proposition suivante, il suffit de trouver un tore K-déployé maxi-mal contenant S1 tel que son appartement associé contienne une facette Σ-invariante. Pour ceci,on considère la réunion X(G)S1 ⊂ X(G) des appartements de X(G) associés aux tores déployésmaximaux contenant S1 de G. Par Proposition 2.5 (plus Remarque 2.6), Σ possède un point fixex dans X(G)S1 . Soit A′ ⊂ X(G)S1 un appartement de X(G) contenant x avec S′ son tore déployémaximal associé. Alors S′ contient S1, et la facette F de A′ contenant x est Σ-invariante.

4 L’immeuble de G\

Nous utiliserons les notations suivantes dans cette section.– S\ ⊂ G un tore défini et déployé maximal sur K\ ;– S ⊂ G un K-tore déployé maximal contenant S\ : nous supposons, ce qui est loisible vu

Corollaire 3.3, que le tore K-déployé maximal S est défini sur K\ ; T = ZG(S) : c’est letore maximal de G contenant S.

– Z := ZG(S\) le centralisateur de S\ dans G : c’est un groupe réductif (connexe).– Φ = Φ(G,S) le système de racines de G suivant S, Φ0 := a ∈ Φ : a\ = 0 (ici, pour a ∈ Φ,a\ := a|S\), Φ\ := a\ : a ∈ Φ \ Φ0.

– Pour b ∈ Φ\, notons Φb := a ∈ Φ : a\ = b ou 2b, qui est une partie positivement close deΦ. Soit

Ub :=∏a∈Φbnd

Ua ⊂ G,

10

où Φbnd := a ∈ Φb : a/2 /∈ Φb : c’est le sous-groupe unipotent associé à Φb ⊂ Φ, qui

ne dépend pas du choix de l’ordre des facteurs dans le produit. En effet, Ub provient parchangement de base du groupe radiciel U \b de G\ associé à la racine b.

– Enfin, posons O = OK et O\ := OK\ .

Remarque 4.1. Comme S est défini sur K\, le système de racines Φ de G suivant S est munid’une action de Σ.

Rappelons qu’à partir d’un système de Chevalley-Steinberg sur G, on a définit une valuationde Chevalley-Steinberg sur la donnée radicielle (T (K), (Ua(K))a∈Φ) de G : c’est-à-dire, on a unefamille d’applications ϕ = (ϕa)a∈Φ

ϕa : Ua(K) −→ R ∪ ∞, a ∈ Φ = Φ(G,S)

vérifiant les conditions (V0)-(V5) de § 1.2. On sait qu’il existe un point o ∈ A tel que pour touta ∈ Φ, u ∈ Ua(K) \ 1, et x ∈ A, on ait ([5, Corollary 7.8])

ma(u) · x = o+ ra(x− o)− ϕa(u)a∨, (5)

où ma(u) est l’unique élément de U−a(K)uU−a(K)⋂NG(S)(K), ra désigne la réflexion associée

à a, et a∨ est la co-racine de a.Maintenant, comme S est défini sur K\, l’appartement A = A(G,S) est Σ-invariant. Ainsi

A\ := AΣ ⊂ A est un sous-espace affine non vide de A (Lemme 2.3). Soit o′ ∈ A\. On peutréécrire la formule (5) de la manière suivante :

ma(u) · x = o′ + ra(x− o′)− (ϕa(u) + a(o′ − o))a∨.

On vérifie aisément que la famille ϕ′ = (ϕ′a)a∈Φ des applications

ϕ′a : Ua(K) −→ R ∪ ∞, u 7→= ϕa(u) + a(o′ − o)

vérifie encore les axioms (V0)-(V5) de § 1.2.

Remarque 4.2. Suivant les terminologies de [2], la famille ϕ′ définit une valuation de la donnéeradicielle (T (K), (Ua(K))a∈Φ) qui est équipollente à ϕ. De plus, les valuations équipollentesdéfinissent les mêmes sous-groupes Ux, UΩ etc. de G(K), et donc le même immeuble de G.

Ainsi, quitte à remplacer ϕ par ϕ′, on peut supposer dans la formule (5) que o ∈ A\. Dans lasuite, on fixe un tel o ∈ A\.

Lemma 4.3. Pour tout a ∈ Φ, posons Γa := ϕa(Ua(K) \ 1), et

Γ′a := ϕa(u) : u ∈ Ua(K) \ 1 et ϕa(u) = sup ϕa(uU2a(K)). 6

Alors pour tout σ ∈ Σ et a ∈ Φ, on a Γa = Γσ(a) et Γ′a = Γ′σ(a). De plus, σ(Ua,r) = Uσ(a),r.

Démonstration. Soit u ∈ Ua(K) \ 1. Par la formule (5) (appliquée à x = o), on trouve

ma(u) · o = o− ϕa(u)a∨,

d’où (on rappelle que σ(o) = o)

mσ(a)(σ(u)) · o = o− ϕa(u)σ(a)∨.

Par conséquent, ϕσ(a)(σ(u)) = ϕa(u) pour tout u ∈ Ua(K) \ 1.

6. Par convention, U2a = 1 si 2a /∈ Φ.

11

Pour tout r ∈ R, posons

Ub,r :=∏

a∈Φb,a\=b

Ua,r ·∏

a∈Φbnd,a\=2b

Ua,2r ⊂ G(K). (6)

C’est un sous-groupe (ceci résulte par exemple de la propriété (V3) de § 1.2), qui ne dépend pasdu choix de l’ordre des facteurs dans le produit. Ainsi, en vertu du lemma précédent, Ub,r estΣ-invariant (on remarque que Σ agit sur Φb). On pose

– ϕ\a(u) = sup r ∈ R ∪ ∞ : u ∈ Ub,r pour tout u ∈ Ub(K\) ⊂ Ub(K) ;– U \b,r = Ub,r

⋂Ub(K

\) = (ϕ\b)−1([r,∞]) ⊂ Ub(K\) ;

– Γ\b = ϕ\b(Ub(K\) \ 1) ;

– Γ\b′=ϕ\b(u) : u ∈ Ub(K\) \ 1 et ϕ\b(u) = sup ϕ\b

(uU2b(K

\))

.

Dans la suite, on se propose de démontrer que la famille ϕ\ := (ϕ\b)b∈Φ\ vérifie encore les pro-priétés analogues (V0)-(V5) de § 1.2. Elle définit donc une valuation de la donnée radicielle(Z(K\), (Ub(K

\))b∈Φ\) de G\. Remarquons d’abord que les propriétés (V1), (V4) sont immé-diates de la construction de ϕ\.

Lemma 4.4. Gardons les notations ci-dessus.(a) Pour tout b ∈ Φ\ et tout r ∈ R, U \b,r ⊂ Ub(K

\) est un sous-groupe indépendant du choixde l’ordre des facteurs dans le produit (6).

(b) (Propriété (V3) pour ϕ\) Pour tout b, b′ ∈ Φ\ et tout r, r′ ∈ R ∪ ∞ tels que b′ /∈ −R+b.Alors le groupe de commutateurs (U \b,r, U

\b′,r′) est contenu dans le sous-groupe engendré par les

U \pb+qb′,pr+qr′ avec p, q ∈ N\ et pb+ qb′ ∈ Φ\.

Démonstration. (a) résulte du fait que Ub,r ⊂ G(K) est un sous-groupe qui ne dépend pas duchoix de l’ordre des facteurs dans le produit (6).

(b) Il suffit de vérifier l’assertion analogue pour les Ub,r’s. Posons N le sous-groupe de G(K)engendré par Upb+qb′,pr+qr′ avec p, q ∈ N∗ et pb + qb′ ∈ Φ\. Soient a ∈ Φb

nd et a′ ∈ Φb′nd. On va

distingué les trois cas différents suivants :– si a\ = b et a′\ = b′, donc a /∈ −R+a

′ et (Ua,r, Ua′,r′) est engendré par les sous-groupesUpa+qa′,pr+qr′ avec p, q ∈ N∗ et pa+qa′ ∈ Φ. De plus, comme b /∈ −R+b

′, (pa+qa′)\ = pb+qb′ 6= 0. Par suite, pb+ qb′ ∈ Φ\ et Upa+qa′,pr+qr′ ⊂ Upb+pb′,pr+qr ⊂ N . Donc (Ua,r, Ua′,r′) ⊂N .

– si a\ = b et a′\ = 2b′, alors a /∈ −R+a′ et (Ua,r, Ua′,2r′) est engendré par les sous-groupes

Upa+qa′,pr+2qr′ avec p, q ∈ N∗ et pa + qa′ ∈ Φ. De plus, comme b /∈ −R+b′, on en déduit

(pa+ qa′)\ = pb+ 2qb′ ∈ Φ\. Par suite, Upa+qa′,pr+2qr′ ⊂ Upb+2qb′,pr+2qr′ ⊂ N .– si a\ = 2b et a′\ = 2b′, alors a /∈ −R+a

′ et (Ua,2r, Ua′,2r′) est engendré par les sous-groupesUpa+qa′,2pr+2qr′ avec p, q ∈ N∗ et pa + qa′ ∈ Φ. De plus, comme b /∈ −R+b

′, on en déduit(pa+ qa′)\ = 2pb+ 2qb′ ∈ Φ\. Par suite, Upa+qa′,2pr+2qr′ ⊂ U2pb+2qb′,2pr+2qr′ ⊂ N .

De plus, on vérifie aisément que N normalise les Ua1,r, Ua′1,r′ (si a\1 = b, a′1\ = b′), et les

Ua2,2r, Ua′2,2r′ (si a\2 = 2b, a′2

\ = 2b′). Ainsi par un lemma élémentaire ([5, Lemma 10.21]), ondéduit (b).

Lemma 4.5. Soit L une extension galoisienne finie de K\, contenue dans K, d’anneau devaluation OL, de groupe de Galois ΣL = Gal(L/K\), et soit M un OL-module libre de type fini,muni d’une action semi-linéaire de ΣL. Alors

1. Hq(ΣL,M) = 0 pour tout q ≥ 1, et H1(ΣL,GL(M)) = 1 ;

12

2. Soit X le OL-schéma en groupes associé à M . Alors X , muni de l’action canonique de Gm,se descend en le OK-schéma en groupes associé à un module libre de rang fini sur OK\,muni de l’action canonique de Gm.

Démonstration. Notons d le rang de M sur OK . Comme K est l’hensélisé strict de K\, L/K\

est une extension non ramifiée. Par descente galoisienne, il existe ainsi un OK\-module M \,nécessairement libre de type fini, et un isomorphisme ΣL-equivariantM

∼→M \⊗OK\OL. Comme

L/K\ est non ramifiée, OL admet une base normale sur OK\ . En particulier, le ΣL-module Mest un module induit. Par suite, Hq(ΣL,M) = 0 pour tout q ≥ 1. D’autre part, l’ensemble pointéH1(ΣL,GL(M)) classifie les L/K\-formes deM \, i.e., les OK\-modules N tels que N⊗O

K\OL

∼→M . Or un tel OK\-module N est nécessairement libre de rang d. Par suite, N ' Od

K\ ' M \ etH1(ΣL,M) = 1. La dernière assertion s’en résulte aussitôt.

Proposition 4.6. Soit a ∈ Φ. Notons Σa le stabilisateur de a dans Σ, Ka = KΣa , et Oa l’anneaude valuation de Ka. Soit r ∈ Γ′a.(i) Les OK-schémas en groupes Ua,r,U2a,2r et Ua,r/U2a,2r proviennent par changement de base

de Oa-schémas en groupes dont le schéma sous-jascent est associé à un Oa-module libre detype fini.

(ii) L’application canonique Ua,r(Oa)→ (Ua,r/U2a,2r)(ka) est surjective, où ka désigne le corpsrésiduel de Ka.

Démonstration. Cf. [3, 5.1.18].

Proposition 4.7. Soient b ∈ Φ\, et r ∈ R. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) r ∈ Γ\′

b ;(ii) Il existe a ∈ Φ telle que a\ = b et r ∈ Γ′a.

En particulier, la condition (V0) de § 1.2 est satisfaite pour la valuation ϕ\.

Démonstration. Dire que r ∈ Γ\′a signifie qu’il existe u ∈ U \b,r tel que

u /∈∏

a∈Φb,a\=b

(Ua,r+ · U2a,2r) ·∏

a∈Φb,a\=2b

Ua,2r, avec Ua,r+ :=⋃r′>r

Ua,r′ .

D’autre part, pour tout a ∈ Φb tel que a\ = b et que r /∈ Γ′a, on a Ua,r+ · U2a,2r = Ua,r. Donc (i)implique (ii).

Réciproquement, soit a ∈ Φ tel que a\ = b et r ∈ Γ′a. En particulier, Ua,r+ · U2a,2r ( Ua,r.On va prouver qu’il existe v ∈ UΣa

a,r tel que v /∈ Ua,r+ · U2a,2r (où Σa désigne le stabilisateurde a ∈ Φb dans Σ). Par les constructions des exposés précédents, Ua,r (resp. Ua,r+, resp. U2a,2r

sont les points à valeurs dans OK du OK-schéma en groupes unipotent lisse Ua,r (resp. Ua,r+,resp. U2a,2r). En plus, ces schémas en groupes Ua,r,Ua,r+,U2a,2r se descendent à Oa := OΣa

K . Lequotient Ua,r/U2a,2r est un schéma en groupe unipotent lisse commutative (voir la condition (V3)pour la commutativité), et on peut l’identifier au schéma en groupes assocé à un Oa-moduleM libre de rang fini. Comme Ua,r+ · U2a,2r 6= Ua,r, il en résulte que l’image I de Ua,r+ dans(Ua,r/U2a,2r)(k) = M ⊗ k est un sous k-espace propre, invariant sous l’action de Σa. Il en résuiteque IΣa ( M . Ainsi, Ua,r+(Oa) · U2a,2r(Oa) ( Ua,r(Oa). Ainsi, il existe v ∈ UΣa

a,r = Ua,r(Oa) telque a /∈ Ua,r+ · U2a,2r.

Posons x =∏σ∈Σ/Σa

σ(v). Considérons l’ensemble Ψ des éléments de Φ de la forme σ(a) +

σ′(a) avec σ, σ′ ∈ Σ. C’est une partie positivement close de Φ. 7 Ainsi on peut considérer le groupe

7. car (σ(a) + σ′(a))\ = 2a\ = 2b, ainsi, pour tout α, α′ ∈ Ψ et p, q ∈ N∗, pα + qα′ /∈ Φ : sinon, on aurait(2p+ 2q)b ∈ Φ\ !

13

unipotent lisse UΨ,2r, dont le schéma sous-jascent est∏α∈Ψ Uα,2r, tel que UΨ,2r(OK) soit le sous-

groupe UΨ,2r de G(K) engendré par les Uα,2r (α ∈ Ψ) : c’est un schéma en groupes commutativecompte tenu de la propriété (V3), donc il est associé un OK-module libre de rang fini. Le toreS\ agit sur UΨ,2r par la racine 2b. Ainsi, H1(Σ,UΨ,2r(O)) = 0. Or le groupe de commutateurs dusous-groupe engendré par les Uσ(a),r pour σ ∈ Σ est contenu dans UΨ,2r(OK) = UΨ,2r par (V3),il en résulte que l’association σ 7→ x−1σ(x) est un 1-cocycle à valeurs dans UΨ,2r(OK). Donc ilexiste y ∈ UΨ(OK) tel que x−1σ(x) = y−1σ(y). D’où u = xy−1 ∈ G(K\). On peut vérifier queϕ\b(u) = r, et que ϕ\b(b) = Sup ϕ\b(uU2b(K

\)). Ceci termine la démonstration.

Corollaire 4.8. Identifions A\ à l’appartement A\ := A(G\, S\) (Corollaire 2.13). Alors lesfacettes de l’appartement A\ sont les intersections non vides de A\ = A\ avec les facettes de A,ou encore les intersections avec A\ des facettes de A invariantes par Σ.

Démonstration. Identifions V\ à V \ := V (G\, S\), on voit que, pour tout b ∈ Φ\ applicationb : V \ → R est juste la restriction à V\ ⊂ V de a : V → R pour tout a ∈ Φ avec a\ = b. Ainsi, parProposition 4.7, les racines affines de A\ sont les intersections avec A\ = A\ des racines affinesde A associées à des racines a ∈ Φ \ Φ0 (ici on identifie une racine affine à son demi-plan positifassocié).

Soient x ∈ A\, F ⊂ A (resp. F \ ⊂ A\ = A\) la facette de A (resp. de A\) contenant x, etF\ := F

⋂A\. Il suffit de montrer F \ = F\. D’abord, F \ ⊃ F\ : en effet, pour αb,r une racine

affine de A\ = A\, soit a ∈ Φ avec a\ = b et r ∈ Γ′a (Proposition 4.7), alors pour tout y ∈ F\, lesréels

b(x− o) + r = a(x− o) + r, b(x− o) + r = a(x− o) + r

sont ou bien tous nuls, ou bien de même signe (car x, y ∈ F\ ⊂ F ). Donc, x, y sont contenus dansla même facette F \ de A\ = A\, d’où F \ ⊃ F\. Réciproquement, soit y ∈ F \, pour tout racineaffine αa,r de A, les réels a(x−o)+ r, a(y−o)+ r sont ou bien tous nuls, ou bien de même signe :si a ∈ Φ0, ceci est automatique car a\ = 0 ; si a ∈ Φ \ Φ0, ceci résulte du fait que αa\,r est uneracine affine de A\ = A\ et que x, y sont contenus dans la même facette F \ de A\.

Lemma 4.9. Soient A ⊂ X(G) l’appartement associé au K-tore déployé maximal S (qui estdéfini sur K\) et A\ = AΣ. Soient b ∈ Φ\ et u ∈ Ub(K\) \ 1 ⊂ G(K). Posons r = ϕ\b(u). AlorsA\⋂X(G)u = αb,r := x ∈ A\ : b(x− o) + r ≥ 0.

Démonstration. Rappelons que, pour tout x ∈ A ⊂ X(G), on a

Ub(K) ∩ Px = UΦb(K) ∩ Px = UΦb,x.

Écrivons u = (ua) ∈ Ub(K\) ⊂

∏a∈Φb:a\=b Ua(K) ·

∏a∈Φ\nd:a\=2b

Ua(K). Ainsi u · x = x siet seulement si u ∈ UΦb,x =

∏a∈Φb,a\=b Ua,−a(x−o) ·

∏a∈Φbnd:a\=2b Ua,−a(x−o), ou encore, si et

seulement si ϕa(ua) + a(x − o) ≥ 0 pour tout a ∈ Φbnd. Si maintenant x ∈ A\ := AΣ, on a

a(x − o) = b(x − o) si a\ = b, et a(x − o) = 2b(x − o) si a ∈ Φbnd et a\ = 2b. Par suite,

Ub(K) ∩ Px = Ub,−b(x−o)

Montrons d’abord αb,r ⊂ A\⋂X(G)u : soit x ∈ αb,r, on a ϕ\b(u) = r ≥ 0 ≥ −b(x− o), ainsi

u ∈ Ub,−b(x−o) et x ∈ X(G)u, d’où αb,r ⊂ A\⋂X(G)u. Réciproquement, si u ·x = x pour x ∈ A\,

on a u ∈ Ub,−b(x−o). Or ϕ\b(u) = r, on trouve r ≥ −b(x−o). Donc b(x−o)+r ≥ 0 et x ∈ αb,r.

Proposition 4.10 (Propriété (V2) pour ϕ\). Soient b ∈ Φ, u′ ∈ Ub(K) \ 1 et m = mb(u′).

Alors il existe t ∈ V\ tel que pour tout u ∈ Ub(K\) \ 1, on ait ϕ\−b(mum−1) = ϕ\b(u)− b(t).

14

Démonstration. Écrivons r = ϕ\b(u) et r′ = ϕ\−b(mum−1). Evidemment,X(G)mum

−1= m(X(G)u).

Comme m ∈ NG(S\)(K\) envoie A\ à A\, on en déduit A⋂X(G)mum

−1= m(A

⋂X(G)u). Par

suite, en vertu du lemme précédent, on obtient m(αb,r) = α−b,r′ . Or, par Corollaire 2.13, m agitsur A\ via un isomorphisme affine : il existe t ∈ V\ tel quem·x = o+rb(x−o)+t pour x ∈ A\. Parconséquent, m(αb,r) = x ∈ A\ : −b(x− o) + r − b(t) ≥ 0 = α−b,r−b(t). Ainsi r′ = r − b(t).

Proposition 4.11 (Propriété (V5) pour ϕ\). Soit b ∈ Φ\. Soient u ∈ Ub(K\) \ 1, u′, u′′ ∈

U−b(K\) \ 1 tels que u = u′mb(u)u′′. Alors ϕ\b(u) = −ϕ\−b(u

′) = −ϕ\b(u′′).

Démonstration. La preuve de cette condition est plus technique, on renvoie à [5, Proposition10.28] ou à [2, 9.1.13] pour les détails.

On peut ainsi appliquer la machinerie de [2, § 7] ou celle de [5, Chapiter III] pour construirel’immeuble de Bruhat-Tits de G\. Plus précisément, pour Ω ⊂ A\ un sous-ensemble, posons

f \Ω(b) := inf` ∈ R : b(x− o) + ` ≥ 0 ∀x ∈ Ω = − infb(x− o) : x ∈ Ω.

Pour a ∈ Φ tel que a\ = b, et si l’on voit Ω comme un sous-ensemble de A (ainsi la fonctionfΩ : Φ→ R

⋃∞ est définie), on a fΩ(a) = f \Ω(b). Posons

– NΩ := n ∈ N(K\) : n · x = x pour tout x ∈ Ω ;– U \b,Ω := U \

b,f\Ω(b)pour tout b ∈ Φ\ ; U \Ω = 〈Ub,Ω : b ∈ Φ\〉 ⊂ G(K\) ;

– fixons un ordre sur Φb (de sorte qu’on peut parler des racines positives/négatives), posonsU \,± := 〈U \b : b ∈ Φ\,±〉, et U \,±Ω := U \,±

⋂U \Ω.

– P \Ω := 〈UΩ, NΩ〉 ⊂ G(K\).Lorsque Ω = x avec x ∈ A\, on utilisera aussi les notations N \

x, U\x, et P \x.

Remarque 4.12. Comme dans le cas quasi-déployé, les groupes U \b,Ω, U\Ω etc. ne dépendent que

la classe équipollente de ϕ\. En particulier, ces groupes ne dépendent pas du choix de o ∈ A\.

Remarque 4.13. Comme dans le cas quasi-déployé, les groupes U \b,Ω, U\x etc. vérifient des

propriétés similaires. Par exemple, on a ([5, §12]) :* Ub(K

\)⋂U \Ω = U \b,Ω pour tout b ∈ Φ\ ;

* P \Ω = U \Ω · N\Ω = N \

Ω · U\Ω ;

* P \Ω⋂N(K\) = N \

Ω ;* Pour ∅ 6= Ω ⊂ A\, on a P \Ω =

⋂x∈Ω P

\x ;

* (Décomposition d’Iwasawa) G(K\) = U \,+ ·N(K\) · P \x ;* (Décomposition de Bruhat) pour x, y ∈ A, on a G(K\) = P \x ·N(K\) · P \y .

Définition 4.14. Notons A\ = A\ l’appartement de G suivant S\ sur K\. L’immeuble de Bruhat-Tits X(G\) de G(K\) est le quotient

X(G\) := G(K\)×A\/ ∼

où (g, x) ∼ (h, y) s’il existe n ∈ N(K\) tel que n · x = y et que g−1hn ∈ U \x. Puis on définit,comme dans le cas quasi-déployé, les appartements/murs/facettes de X(G\) etc..

Remarque 4.15. La valuation ϕ\ est compatible avec la valuation ω de K\, i.e., pour toutz ∈ Z(K\), b ∈ Φ\ et u ∈ U \b \ 1, on a

ϕ\b(zuz−1) = ϕ\b(u) + (ω b)(z).

15

En effet, posons r = ϕ\b(u) et r′ = ϕ\b(zuz−1). On sait, grâce à Lemme 4.9 que la racine affine αb,r

(resp. la racine affine αb,r′) est l’ensemble des points fixes de u (resp. de zuz−1) dans A\. D’oùtrivialement z · αb,r = ν\(z)(αb,r) = αb,r′ . Or z agit sur A\ par la translation par α\(z) ∈ V\, ontrouve r′+ b(α\(z)) = r, ou encore, r′ = r+(ω b)(z), ce qui démontre la formue voulue. Commecorollaire, on sait que, l’ensemble des valuations équipollentes à ϕ\ sur (Z(K\), (U \b )b∈Φ\), munide l’action de N(K\), est isomorphe à l’appartement vide de G suivant S\ sur K\.

Remarque 4.16. (1) Comme dans le cas quasi-déployé, l’immeuble X(G\) ne dépend que laclasse équipollente de ϕ\. En particulier, il ne dépend pas du choix de o ∈ A\.

(2) Lorsque G est déjà quasi-déployé sur K\. Comme dans § 1, on peut trouver donc unevaluation ψ sur la donnée radicielle (Z(K\), (U \b )b∈Φ\)) à partir d’un système de Chevalley-Steinberg. D’autre part, par [3, 5.1.23] (ou son analogue dans le cas quasi-déployé [3, 4.2.9]), onsait que les deux valuations ψ et φ\ sont équipollentes (car elles sont tous les deux compatiblesavec la valuation ω surK\ : cf. Remark 4.15 pour l’assertion concernant ϕ\, l’assertion concernantψ est évidente de la définition de la valuation Chevalley-Steinberg). En particulier, l’immeubleX(G\) obtenu par descente étale de X(G) est le même que celui construit dans § 1 à partir d’unevaluation de Chevalley-Steinberg (on renvoie à [3, 5.1.20 Remarque (2)] pour plus de détails).

Ensuite, on se propose de vérifier que X(G\) peut être s’identifier à la partie fixe X(G)Σ deX(G).

Lemma 4.17. Soit S′ un tore K-déployé maximal de G, défini sur K\, d’appartement associéA′, et soit S1 le sous-tore K\-déployé maximal de S′.(i) L’ensemble A′\ est un sous-espace affine non vide.

(ii) Soit C le centre connexe de G. Alors A′\ est l’enveloppe convexe de S1(K\) · x pour toutx ∈ A′\, et dimA′\ = dimS1/S1 ∩ C.

Démonstration. (i) se découle du lemme de points fixes de Bruhat-Tits. Quand à (ii), quitte àremplacer G par G/C, on peut supposer que C = 1. On sait que A′ est un espace affine sousl’espace vectoriel V ′ := X∗(S

′)⊗R. Par suite, A′\ est un espace affine sous V ′\ := V ′Σ. Or, commeS1 est le sous-tore K\-déployé maximal de S′, on a

X∗(S′)Σ = HomK\(Gm, S

′) = HomK\(Gm, S1),

d’où dimA′\ = dimV ′\ = dim(S1). Il reste à voir la première assertion de (ii). Comme G est semi-simple, le centre connexe de Z ′ := ZG(S′) est S′. De plus, comme S1 est le sous-tore K\-déployémaximal de S′, il existe une isogénie S1 × T1 −→ S′ sur K\. On en déduit les identificationsX∗K(Z ′) ⊗ Q ' X∗K(S′) ⊗ Q ' (X∗K(S1)⊗Q) × (X∗K(T1)⊗Q). Par suite, l’image de S1(K\)par ν : Z ′(K) → V ′ ⊂ Aff(A′) contient un sous-groupe de rang dimS1, donc un réseau deV ′\ ⊂ V ′ ⊂ Aff(A′). Ainsi A′\ est l’enveloppe connvexe de S1(K\) · x.

Pour x ∈ A\ ⊂ A, et b ∈ Φ\, on a

U \b,x = U \b,−b(x−o) ⊂∏

a∈Φb:a\=b

Ua,−a(x−o) ·∏

a∈Φbnd:a\=2b

Ua,−a(x−o) ⊂ Ux.

Ainsi U \x ⊂ Ux. On en déduit que l’application canonique G(K\)×A\ → G(G)×A est compatibleaux relations d’équivalence de deux côtés. Par passage aux quotients, on obtient une applicationnaturelle prolongeant l’inclusion A\ ⊂ A :

j : X(G\) −→ X(G),

telle que j(g · x) = g · j(x) pour tout g ∈ G(K\) et tout x ∈ X(G\).

16

Proposition 4.18. L’application canonique j ci-dessus est une bijection de X(G\) sur l’ensembledes points de X(G) invariants par Σ : autrement dit, on a j(X(K\)) = X(G)Σ.

Démonstration. Soient x, y ∈ X(G\) tel que j(x) = j(y). Soit g ∈ G(K\) tel que g · x et g · ysoient contenus dans A\. Par suite, j(g · x) = g · j(x) = g · j(y) = j(g · y). Or j|A\ : A\ → A estinjective, on a donc g · x = g · y. D’où x = y, et l’injectivité de j s’en résulte aussitôt.

D’autre part, on a j(X(K\)) ⊂ X(G)Σ. Il reste à vérifier que cette dernière inclusion estune égalité. Soit x ∈ X(G)Σ. Il s’agit de montrer que x ∈ G(K\) · A\ ⊂ X(G). Soit o ∈ A\ unpoint quelconque. Soit F une facette de X(G) telle que x ∈ F , que F

⋂X(G)Σ 6= ∅ (donc F

est Σ-invariante), et que la dimension F soit la plus grande possible. En appliquant Proposition3.2 (b), à partir d’un tore k\-déployé maximal de GF , on construit un tore K\-déployé S\1 deG, contenu dans un tore K-déployé maximal S′′ défini sur K\, tels que F soit contenue dansl’appartement A′′ associé à S′′ et que la fibre spéciale S\1 du modèle canonique S\1 de S\1 soitcontenu dans S ′′ ⊂ GF , 8 déployé maximal sur k\. En particulier, x ∈ A′′\ et S\1 est le sous-toreK\-déployé maximal de S′′. 9

Comme S\1 est K\-déployé et comme S\ est K\-déployé maximal, il existe g ∈ G(K\) telque gS\1g

−1 ⊂ S\. Quitte à remplacer x par g · x, on peut donc supposer que S\1 ⊂ S\. Lesappartements A et A′′ étant tous deux associés à des tores K-déployés maximaux contenant S\1,ils sont contenus dans ZG(S\1)(K) ·A. Considérons l’application canonique :

π : ZG(S\1)(K) ·A −→ X(ZG(S\1)).

Puisque S\1 ⊂ ZG(S\1) est contenu dans le centre, π(S1(K\) · x) = π(x). Comme l’image réci-proque d’un appartement de X(ZG(S\)) par π est un appartement, il existe donc un appartementA′ de X(G) contenant o et S1(K\) ·x, donc o et A′′\ car A′′\ est l’enveloppe convexe de S1(K\) ·x(Lemme 4.17 (ii)). Mais ceci entraîne o ∈ A′

⋂X(G)Σ = A′′\ (Proposition 2.7), d’où S\1(K\) · o ⊂

A′′\ , et même que A′′\ est l’enveloppe convexe de S\1(K\) ·o car dim(A′′\ ) = dimS\1/S

\1∩C (où C est

le centre de G). Or le sous-espace affine (donc convexe) A\ de A contient S\(K\) · o ⊃ S\1(K\) · o,par suite, A′′\ ⊂ A\ et x ∈ A\.

Corollaire 4.19. Soit Z = ZG(S\). Le groupe de galois Σ a un unique point fixe dans l’immeubleX(Z).

Démonstration. Le groupe réductif Z se descend en un K\-groupe réductif Z\. Par la propositionprécédente, on se ramème à prouver que X(Z\) est un singleton. En effet, ceci résulte du fait quele tore K\-déployé maximal S\ est central dans Z\.

Corollaire 4.20. Nous identifions X(G\) avec l’ensemble X(G)Σ des points fixes de Σ grâce àl’injection canonique j. Alors les facettes de X(G\) sont les intersections avec X(G\) = X(G)Σ

des facettes invariantes par Σ ( i.e., rencontrant X(G\) = X(G)Σ).

Démonstration. Ce corollaire se découle directement de Corollaire 4.8.

8. Rappelons que, comme F est une facette contenue dans l’appartement associé à S′′, par la construction, lemodèle canonique S ′′ de S′′ est un sous-schéma en groupes fermé de GF .

9. On prend en garde que S\1 n’est pas forcément un K\-tore déployé maximal de G, car à priori, ce n’est pasclair si S′′ contient un sous-tore K\-déployé maximal de G !

17

5 O\-formes entières de G

Nous conserverons les notations de § 4. En particulier, Z = ZG(S\). Soit Ω ⊂ A\ une partiebornée non vide : c’est une partie de A invariante par Σ. On lui a associé une O-forme entière GΩ

(§ 1.4). Comme Ω est invariante par Σ, GΩ provient par changement de base d’un O\-schéma engroupes G\Ω lisse à fibres connexes (Lemme 3.1). La plupart des résultats pour la O-forme entièreGΩ se descendent sur O\ ou sur k\. Dans cette section, on se propose de prouver que, si l’on s’estdonné un système de racines positives Φ\+, la grosse cellule

U−\ × Z × U+\ −→ G

s’entend en une immersion ouverte sur O\, où U±\ := 〈Ub : b ∈ Φ\±〉.

Le modèle canonique de Z sur O\

Comme le groupe Z est un groupe réductif connexe quasi-déployé, et défini sur K\. On peutdonc lui appliquer tout ce qui précède. De plus, on a vu que le groupe de galois Σ a un uniquepoint fixe x dans l’immeuble X(Z) (Corollaire 4.19). On trouve donc un O\-schéma en groupeslisse Zx, que nous qualifierons de canonique et que nous noterons plus simplement Z. 10.

Formes entières de U±\ sur O\

Soit b ∈ Φ\ et posons Φb = a ∈ Φ, a\ = b ou 2b. Par les résultats rappelés dans § 1.4, ilexiste un schéma en groupes Ub,Ω := UΦb,Ω sur O dont le groupe des points entiers s’identifie àUb,Ω. De plus, Ub,Ω est muni d’une action de Σ, donc il provient par changement de base d’unO\-schéma en groupes lisse encore noté Ub,Ω. On a Ub,Ω(O\) = U \b,Ω.

Plus généralement, soit Ψ ⊂ Φ\ une partie positivement close. Soit Ψ l’ensemble des a ∈ Φtelles que a\ ∈ Ψ. De § 1.4, on déduit unO-schéma en groupes affine et lisse U

Ψ,Ω, qui est invariant

par Σ et provient donc d’un O\-schéma en groupes que nous noterons UΨ,Ω. L’application produit∏b∈Ψnd

Ub,Ω −→ UΨ,Ω

est un isomorphisme de O-schémas. Si l’on s’est donné un système de racines positives Φ\+ (resp.négatives Φ\−) dans Φ\, on pose U+\

Ω = UΦ\+,Ω (resp. U−\Ω = UΦ\−,Ω). On a U±\Ω (O\) = U±\Ω , i.e.,le sous-groupe de G(K\) engendré par les U \b,Ω pour b ∈ Φ\±.

Proposition 5.1. Soit Ω une partie bornée non vide de A\. Fixons un ordre sur Φ\.(1) L’inclusion Z → G (resp. Ub → G) se prolonge en une O\-immersion fermée Z → G\Ω

(resp. une O\-immersion fermée Ub,Ω → G\Ω).(2) Le morphisme de produit

U−\Ω ×Z × U+\Ω −→ G\Ω

est un isomorphisme de O\-schéma sur un ouvert de G\Ω.

Démonstration. Par descente galoisienne, il suffit d’établir ce lemme sur O. Notons A (resp. AZ)l’appartement de X(G) (resp. de X(Z)) associé à S, et π : A → AZ la projection canonique.Comme Ω ⊂ A\, π(Ω) = x. D’autre part, le système de racines de Z suivant S est Φ0 = a ∈

10. Notre Z ici est la composante neutre du schéma canonique de Z de [3, 5.2.1]

18

Φ : a\ = 0, et la valuation sur la donnée radicielle T (K), (Ua(K))a∈Φ associée à G induitune valuation sur la donnée radicielle T (K), (Ua(K))a∈Φ0 de Z. De plus, pour tout a ∈ Φ0, onvérifie aisément que a fΩ(a) = fx(a). Donc on trouve

Ua,Ω = Ua,x ⊂ Ua(K), et Ua,Ω = Ua,x ∀a ∈ Φ0.

Or, si l’on choisit un ordre sur Φ induisant l’ordre qu’on a fixé sur Φ\, les morphismes produitsuivants ∏

a∈Φ−0,nd

Ua,x × T ×∏

a∈Φ+0,nd

Ua,x −→ Z,∏a∈Φ−nd

Ua,Ω × T ×∏a∈Φ+

nd

Ua,Ω −→ GΩ

sont des immersions ouvertes. En vertu de l’égalité Ua,x = Ua,Ω pour tout a ∈ Φ0, on déduitZ(O) ⊂ GΩ(O). L’inclusion Z ⊂ G se prolonge donc en un morphisme de O-schémas en groupesι : Z → GΩ. On vérifie aisément que ι est une immersion définie sur O\.

Posons Z ′ ⊂ GΩ l’adhérence schématique de Z. Alors Z ′ contient Z comme un sous-groupeouvert. De plus, par [3, Théorème 2.2.3], le morphisme produit suivant

U \−Ω ×Z′ × U \+Ω −→ GΩ (7)

est une immersion ouverte. Plus précisément, soit GΩ → GL(M) une représentation fidèle de GΩ,avec M un O-module libre de rang fini. On sait que le tore S\ se prolonge en un sous-schémaen groupes fermé S\ → GΩ. Comme S\ est un tore, M = ⊕diMi avec Mi des sous-modules de Msur lesquels S\ agit par des caractères deux à deux différents. Le sous-schéma en groupes ferméZ ′ → GL(M) est contenu dans le produit GL(M1)× · · · ×GL(Md) → GL(M). Comme Lie(G)est une sous-algèbre de Lie de Lie(GL(M ⊗K)), les racines de G suivant S\ sont des racines deGL(M ⊗K) suivant S\. On en déduit que le morphisme (7) est une immersion car le morphismeanalogue pour GL(M) l’est ([3, Proposition 2.1.5]). Notons C l’image du morphisme (7), et C sonadhérence schématique dans GL(M). Comme C est un sous-schéma de GL(M), C est un ouvertde C. En plus, comme CK ⊂ G est un ouvert dense et comme GΩ est l’adhérence schématiquede G dans GL(M), on trouve C = GΩ. Ainsi, C ⊂ GΩ est un ouvert et le morphisme (7) est uneimmersion ouverte (on renvoie à la preuve de [3, 2.2.3] pour les détails). Par conséquent, commeGΩ est à fibres connexes, Z ′ l’est aussi. Par suite, Z = Z ′ est l’adhérence schématique de Z dansGΩ.

6 Sous-groupes parahoriques

Soit Ω ⊂ A une partie bornée non vide. Rappelons que le fixateur connexe de Ω est P 0Ω :=

GΩ(O) ⊂ PΩ. Les sous-groupes parahoriques (resp. sous-groupes d’Iwahori) sont les analoguesaffines des sous-groupes paraboliques (resp. sous-groupes de Borel).

Définition 6.1. Les sous-groupes parahoriques (resp. les sous-groupes d’Iwahori) de G sont lesfixateurs connexes dans G(K) des facettes (resp. des chambres) de l’immeuble X(G). 11 Un K\-sous-groupe parahorique de G est un sous-groupe parahorique invariant par le groupe de galoisΣ, ou, ce qui est équivalent, le fixateur connexe dans G(K) d’une facette de X(G) invariante parΣ, ou encore, d’une facette de X(G\).

Autrement dit, les sous-groupes parahoriques de G sont les groupes P 0F := GF (O), et les

sous-groupe d’Iwahorie sont simplement les sous-groupes parahoriques minimaux. Rappelonsque l’application F 7→ P 0

F est injective parce que F = cl(F ) est exactement l’ensemble des pointsfixes dans un appartement contenant F de P 0

F = GF (O) (§ 1.4 (viii)), et que deux facettes deX(G) sont contenues dans un même appartement [5, Proposition 9.12 (i)]).

11. ou simplement les fixateurs connexes de points de X(G)

19

Proposition 6.2. Si G est anisotrope sur K\, i.e., le tore K\-déployé maximal de G est trivial,alors G possède un unique K\-sous-module parahorique.

Démonstration. En effet, comme G est anisotrope, S\ = 1. Il en résulte Z := ZG(S\) est égal àG. Par suite, X(G) = X(Z) possède un unique point fixe de Σ (Corollaire 4.19). Donc, X(G) necontient qu’une seule facette invariante par Σ. Autrement dit, G contient un seul K\-sous-groupeparahorique.

Proposition 6.3. Deux K\-sous-groupes parahoriques de G sont égaux si et seulement si leursintersections avec G(K\) sont égaux.

Démonstration. Soient F, F ′ deux facettes de X(G\). Supposons que

P 0F ∩G(K\) = P 0

F ′ ∩G(K\).

Comme F, F ′ sont contenus dans un même appartement ([5, Proposition 9.12 (i)]), quitte àconjuguer par un éléments de G(K\), on peut supposer que F, F ′ sont contenus dans A\ = A\.Si F ′ 6⊂ F = cl(F ) (ici cl(F ) désigne l’enclos de F dans A\), il existe, par définition de cl(F ),une racine b ∈ Φ\ et un réel r ∈ Γ\b, tels que F ′ 6⊂ αb,r := x ∈ A\ : b(x − o) + r ≥ 0 et queαb,r ⊃ cl(F ). Soit u ∈ U \b \ 1 avec r = ϕ\b(u). Par Lemme 4.9, A\

⋂X(G)u = αb,r. Ainsi u ne

fixe pas F ′, et il fixe cl(F ). Par suite, u ∈ P 0F

⋂G(K\), et donc u ∈ P 0

F

⋂G(K\) = P 0

F ′⋂G(K\).

D’où une contradiction. Par suite, F = F ′, et donc F = F ′.

Proposition 6.4. Supposons G simplement connexe. Soient P1, P2 deux K\-sous-groupes para-horiques de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1. P1, P2 sont conjugués dans G(K) ;

2. P1, P2 sont conjugés dans G(K) par un élément de G(K\) ;

3. P1⋂G(K\) et P2

⋂G(K\) sont conjugués dans G(K\).

Démonstration. En vertu de la proposition précédente, pour g ∈ G(K\), P1 = gP2g−1 si

et seulement si P1⋂G(K\) = gP2g

−1⋂G(K\), ou encore si et seulement si P1

⋂G(K\) =

g(P2⋂G(K\))g−1. Cela dit les deux dernières conditions sont équivalentes. Il reste à montrer

que la première condition implique la deuxième. Soient F1, F2 deux facettes de X(G\) telles quePi soit le K\-sous-groupe parahorique associé à Fi. Soit g ∈ G(K) tel que P2 = gP1g

−1. On doitmontrer que P1, P2 sont conjugés par un élément de G(K\). Montrons d’abord que N(K\) agittransitivement sur les chambres de A : en effet, pour b ∈ Φ\ et u ∈ Ub \ 1 avec ϕ\b(u) = r.Alors ν\(mb(u)) ∈ Aff(A\) est la réflexion orthogonale rb,r par rapport à l’hyperplan ∂αb,r. Pourle voir, on écrit mb(u) = u′uu′′ avec u′, u′′ ∈ U \−b. D’une manière générale, on sait que ν\(mb(u))est une réflexion orthogonale. 12 Il suffit donc de calculer ses points fixes. Par la propriété (V5)pour ϕ\, on a ϕ−b(u

′) = ϕ−b(u′′) = −r, et par Lemme 4.9 on déduit que l’hyperplan ∂αb,r

est fixe par u, u′, u′′, donc par ν\(mb(u)), d’où ν\(mb(u)) = rb,r. Donc, notre assertion vientdu fait que le groupe W de Aff(A) engendré par les réflexions rb,r : b ∈ Φ\, r ∈ Γ\

′

b agittransitivement sur l’ensemble des chambres de A. 13 En particulier, quitte à conjuguer P1, P2

par des éléments convenables de G(K\), on peut supposer que elle adhérent tous les deux àune chambre C ⊂ A\. Soient F , F ′ (resp. C) les facettes (resp. la chambre) de A telles queF⋂A\ = F, F ′

⋂A\ = F ′ (resp. C

⋂A\ = C). On a alors F , F ′ ⊂ C. Or G est simplement

connexe, on sait Im(ν : N(K\) → Aff(A)) = W ([3, 4.2.22]). Par suite, en vertu de [2, 2.1.6], C

12. La partie linéaire de ν(mb(u)) est la réflexion rb ∈ Aut(V\), et de plus ν(mb(u)) conserve la métrique.13. c’est le groupe de Weyl affine..

20

est un domaine fondamental pour l’action de NG(S)(K) sur A. Soit g ∈ G(K) tel que g · F = F ′.Alors F ⊂ A

⋂g−1A. Or la restriction de l’action de g à FA

⋂g−1A est donnée par l’action d’un

n ∈ NG(K)(K). On a donc on a nécessairement F = F ′, d’où F ′ = g · F = n · F . Pour la raisonexpliquée ci-dessus, on a ν(n) = id et donc F = F ′, d’où F = F ′, ce qui achève la preuve.

Remarque 6.5. Lorsque G est simplement connexe. Soit C une chambre de A\ = A\, B lefixateur de C dans G(K\), S l’ensemble des réflexions par rapport aux murs de C dans l’appar-tement A\. Alors le quadruplet (G(K\), B,N \,S) est un double système de Tits, dont le groupede Weyl est le groupe de Weyl affine du système de racines affines de A\ et dont les sous-groupesparahoriques sont les groupes de points rationnels sur K\ des K\-sous-groupes parahoriques deG. On renvoie à [3, 5.2.10] pour la démonstration de ce résultat.

Remarque 6.6. Si G n’est pas simplement connexe, l’equivalence de les deux premières condi-tions de la proposition précédente est en général inexacte. On renvoie à [3, 5.2.13] pour un contreexemple.

Proposition 6.7. Suppsons G semi-simple et déployé sur K, et soient x, y deux points de X(G\)qui sont des points spéciaux de X(G). Alors les K\-sous-groupes parahoriques P 0

x , P0y sont conju-

gués par un éléments de G(K) si ils le sont par un élément de G(K\).

Références

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