1

Notion de loi à densité ............................................................................................................................................ 1

1 ) Loi de probabilite a densite sur un intervalle et loi uniforme ................................................................ 2

A ) Variable aléatoire a densité ..................................................................................................................... 2

B ) Loi de probabilité a densité ..................................................................................................................... 2

C ) Un exemple simple : La loi uniforme sur .................................................................................. 3

2 ) Les lois exponentielles .................................................................................................................................... 4

3 ) Lois normales .................................................................................................................................................... 5

A ) Loi normale standard (centrée reduite) ................................................................................. 5

B) Loi normale : ........................................................................................................................ 12

C ) Rappel sur la loi binomiale ................................................................................................................... 14

D) Approximation normale d’une loi binomiale ....................................................................................... 16

2

1 ) Loi de probabilite a densite sur un intervalle et loi uniforme

On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une probabilité.

A ) VARIABL E AL EATOIRE A DENSITE

Définition : Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de Ω associe

un nombre réel d’un intervalle I de ℝ.

Exemple de variable aléatoire continue: La durée de vie d’un équipement produit en grande

série

B ) LOI DE PROBABIL ITE A DENSITE

Définition :

est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle et est une fonction

continue, positive sur I telle que :

∫

∫

Dire que est la loi de probabilité de densité de signifie que pour tout intervalle inclus

dans , la probabilité est égale à l’aide du domaine et

3

Conséquences :

(1) Pour tout nombre réel de , car ∫

(2) On déduit de (1) que :

(3) Si (noté parfois aussi ) alors ∫

(4) Si et si est un nombre réel tel que :

∫

Définition de l’espérance d’une variable aléatoire continue :

L’espérance d’une variable aléatoire de densité sur est le nombre réel :

∫

L’espérance d’une variable aléatoire de densité sur est le nombre réel :

∫

Cette définition prolonge celle de l’espérance d’une variable aléatoire discrète :

∑

C ) UN EXEMPL E SIMPL E : LA LOI UNIFORME SUR

Définition:

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi uniforme sur signifie que la densité de

probabilité est une fonction constante sur

4

Conséquences directes de la définition et propriétés :

La densité de probabilité de la loi uniforme sur est la fonction définie sur

par :

est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur :

Pour tout intervalle inclus dans :

DEMONSTRATION

Espérance :

est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur :

Son espérance est :

.

DEMONSTRATION

2 ) Les lois exponentielles

Définition :

λ est un réel strictement positif.

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ sur [0 ;+∞[ signifie que sa

densité de probabilité est définie sur [0 ;+∞ [ par

DEMONSTRATION

Conséquences de la définition et propriétés :

et sont deux réels tels que [ ]

(1)

(2)

(3)

DEMONSTRATION

5

Durée de vie sans vieillissement :

Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tous réels positifs et

:

DEMONSTRATION

Espérance :

est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre sur [0 ;+∞ [.

Son espérance est

.

DEMONSTRATION EXIGIBLE

3 ) Lois normales

A ) LOI NORMAL E STANDARD (C ENTREE REDUITE)

Définition : On appelle fonction de Laplace-Gauss la fonction ϕ définie sur ℝ par

√

La fonction est continue, dérivable, strictement positive sur ℝ . Elle admet un maximum en

qui vaut

√ . Elle a pour limite 0 en +∞ et -∞.

Sa représentation graphique ci-contre s’appelle une courbe en cloche ou courbe de Gauss.

6

Sa courbe admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Théorème admis : L’aire totale du domaine sous la courbe en cloche est égale à 1.

La loi de probabilité associée à cette courbe a été définie au XIXème siècle par le mathématicien

allemand Gauss lorsqu’il étudia la distribution des erreurs d’observation de l’astéroïde Cérés. A

la même époque, elle fut aussi décrite par le mathématicien Laplace qui reprit et compléta les

travaux de Moivre en calcul des probabilités.

7

Définition : Dire qu’une variable aléatoire Z suit la loi normale standard signifie qu’elle admet

pour densité de probabilité la fonction .

Pour tous nombres et tels que ,

∫

Définition : On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire , la fonction définie

par :

8

On peut écrire que :

∫

Cette fonction ne peut pas s’exprimer à l’aide de fonctions élémentaires. C’est la primitive de

qui vaut

en 0. Φ est une fonction strictement croissante sur ℝ puisque ϕ est strictement

positive sur ℝ.

Représentation de Φ :

9

Compte tenu de la symétrie de la courbe de Gauss, on a :

Théorème : Pour tout nombre réel x, Φ(-x)=1- Φ(x)

DEMONSTRATION

10

Quelques valeurs à mémoriser :

Φ(1.96)≃0,975 et donc Φ(-1.96)≃0,025

P(Z>1.96)= P(Z<-1.96)≃0,025

P(-1.96≤Z≤1.96)= Φ(1.96)-Φ(-1.96)≃0.95

P(-1≤Z≤1)≃ 0.6827

P(-2≤Z≤2)≃ 0.9554

P(-3≤Z≤3)≃ 0.997

11

Synthèse des propriétés

(1) ϕ est continue sur ℝ

(2) Pour tous nombres et tels que , ∫

(3) L’aire totale sous la courbe est égale à 1 ; elle représente

(4) La fonction est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des

ordonnées et donc :

(5) Pour tout nombre réel , et pour des raisons de

symétries :

donc :

Théorème : Si une variable aléatoire suit la loi normale standard, alors son espérance et 0 et sa

variance est 1.

Démonstration ex 82 et 83 p 432 Transmaths

C’est pour cette raison que la loi normale standard est aussi nommée loi normale centrée

et réduite car . On dit que suit la loi .

Théorème : Si Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale , alors pour tout

nombre réel , il existe un unique nombre réel tel que

Démonstration exigible

Ce théorème justifie l’existence et l’unicité d’un intervalle centré en 0 de probabilité donné. Par

exemple :

P(-1≤Z≤1)≃ 0.68

P(-1.96≤Z≤1.96)≃ 0.95

P(-2.58≤Z≤2.58)≃ 0.99

12

B) LOI NORMAL E :

Définition : Soit μ un nombre réel et σ un nombre réel strictement positif. La variable aléatoire

X suit la loi normale si et seulement si la variable aléatoire

suit la loi

normale centrée réduite .

13

Propriété (admise) : Si suit la loi normale alors son espérance mathématique est

et son écart-type est .

14

Les intervalles 1, 2 et 3 sigma !

Propriété : P(μ -σ ≤X≤ μ +σ)≃ 0.6827

P(μ -2σ ≤X≤ μ +2σ)≃ 0.9554

P(μ -3σ ≤X≤ μ +3σ)≃ 0.997

Démonstration

C ) RAPPEL SUR L A L OI BINOMIAL E

Définition :

On répète fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli (expérience ayant deux

issues, l’une appelée succès de probabilité et l’autre appelée échec de probabilité

.

On note la variable aléatoire qui indique le nombre de succès.

X suit la loi binomiale de paramètres et notée :

(

)

où l’entier naturel varie de 0 à n et ( ) est un coefficient binomial .

15

L’espérance de est

L’écart-type de est √

16

D) APPROXIMATION NORMAL E D ’UNE L OI BINOMIAL E

Théorème de Moivre-Laplace (admis) : est une variable aléatoire qui suit une loi

binomiale . On pose

√ .

Pour tous nombres réels et tels que ,

∫

Règle d’approximation : Quand on a :

L’erreur sur les probabilités calculées est très faible. On ne fera l’approximation d’une loi

binomiale par une loi normale que lorsque ces trois conditions sont réunies.