Dans un mouvement harmonique simple l’énergie est conservée soit:

Prenons l’exemple d’un système m-k (en position horizontale)

E K U constante

Énergie totale dans un système m-kÉnergie cinétique et énergie potentielle;

Représentation graphique;

Exercices

La fonction position:

La fonction vitesse:

Rappel

D’où:

Énergie cinétique:

Énergie potentielle:

Soit:

( car 2 = k/m )

x Asin (t )

v A cos (t )

K 1

2 m v2

U 1

2 kx 2

E 1

2kA2

E K U 1

2 kA2 sin2 t cos2 t

1

2kA2

E K U 1

2m 2 A2cos2 t 1

2kA2 sin2 t

Soit un système m-k en position horizontal.

m = 3 kg A = 4 cm

T = 2 s

a) Calculez l’énergie totale

et

on trouve

E 1

2kA2 k

4 2m

T 2

E 1

2 kA2 2,37 10-2J

Soit un système m-k en position horizontal.

m = 3 kg A = 4 cm

T = 2 s

b) Calculez la vitesse maximale

on trouve vmax

0,126 m/s

Soit la fonction position suivante:

La constante d’élasticité k = 12 N/m

a) Calculez la masse du bloc

d’où:

b) Calculez l’énergie mécanique

Alors:

m = 0,750 kg

x 0,2cos 4t 0,8 mx 0,2 sin 4t 0,771 m

k

m

12 N/m

m4 s-1

E 12

kA2 12×12 N/m × 0,2 m 2

E 0,24 Joule

c) Calculez le premier instant (t > 0 s) auquel K = ½ U

Calcul de la position

Ainsi:

et l’on trouve: x = ± 0,163 m

E K U 1

2 U U

3

2 U

3

2U

3

2

1

2kx2

1

2 kA2 0,24 Joule

Première possibilité: x = + 0,163 m

on trouve 4 t1 +0,771 = 0,953 alors t1 = 0,0454 s

Autre « temps » pour cette position:

on utilise: sin = sin – )

soit 4 t2 +0,771 = - 0,953 alors t2 = 0,354 s

x 0,2 sin 4t 0,771 m 0,163 m

Deuxième possibilité: x = - 0,163 m

on trouve 4 t3 +0,771 = - 0,953

alors t3 = 1,14 s

Autre « temps » pour cette position:

soit 4 t4 +0,771 = – (-0,953) alors t4 = 0,831 s

(ce qui donne un temps négatif)

On ajoute 2

on trouve 4 t3 +0,771 = - 0,953 + 2

x 0,2sin 4t 0,771 m 0,163 m

Alors la bonne réponse est: t = 0,0454 s

Pour mieux comprendre, on peut utiliser la représentation graphique

x = 0,2 cos(4t -0,8)

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80

t (en seconde)

x (

en

mè

tre

)

x 0,2sin 4t 0,771 m

d) Calculez l’accélération à t = 0,1 s

On sait que

On trouve : a 2,95 m/s2

a 2x 0,2 - 4 s-1 2 cos( 4 0,1-0,8) m/s2

Faire les exemples: 1.6, et 1.8.

Les questions: 2 et 7.

Les exercices: 14, 15, 17 et 19.