1

Décomposition d’une série chronologique dans SPSS version 11

Michel Tenenhaus

2

1. Les données

Année Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 46364656667686970...

82

68777681848995100

137

74797984857799104

136

6465677172788287

111

787983879099103110

140

Indice de la Production Industrielle de la France (1963 - 1982)

3

Visualisation de la série IPI

Date

IPI

160

140

120

100

80

60

40

Cette sérieprésente unetendance etune saisonnalité

4

Visualisation de la saisonnalité

Année

198519801975197019651960

IPI

160

140

120

100

80

60

Trimestre

4

3

2

1

5

Date

160

140

120

100

80

60

40

IPI

MA(IPI,4,4)

Visualisation de la tendance

Moyenne mobile centréed’ordre 4 :

4

X5.0XXXX5.0

Z

2t1tt1t2t

t

Tendance Zt

6

2. Le modèle multiplicatifDécomposition de la série observée Xt en trois composantes :

Xt = Tt St Rt

où

Tendance Tt = Courbe lisse passant au milieu des données, gommant aléas et saisonnalité

Saisonnalité St = Composante traduisant une périodicité annuelle

Résidu Rt = Composante aléatoire

7

Décomposition classique de IPI

SERIE D'ORIGINE Xt ET TENDANCE Tt

Date

160

140

120

100

80

60

40

IPI

Tendance

COMPOSANTE SAISONNIERE St

TRIMESTRE

T4T3T2T1

1.1

1.0

.9

.8

COMPOSANTE RESIDUELLE Rt

Date

1.1

1.0

.9

.8

MAI 68

SERIE CORRIGEE DES

VARIATIONS SAISONNIERES (Xt/St)

Date

160

140

120

100

80

60

8

Décomposition classique de IPI Results of SEASON procedure for variable IPI. Multiplicative Model. Centered MA method. Period = 4.

Zt SRt=IPI/Zt St Yt=IPI/St Tt Rt=IPI/(Tt*St)

Seasonal Seasonally Smoothed Case Moving Ratios factors adjusted trend- Irregular number IPI averages (* 100) (* 100) series cycle component 1 68.000 . . 103.602 65.636 67.633 .970 2 74.000 . . 103.351 71.601 70.436 1.017 3 64.000 72.125 88.735 86.404 74.070 72.406 1.023 4 78.000 73.875 105.584 106.642 73.142 73.806 .991 5 77.000 74.625 103.183 103.602 74.323 74.603 .996 6 79.000 74.875 105.509 103.351 76.438 75.071 1.018 7 65.000 74.875 86.811 86.404 75.228 74.933 1.004 8 79.000 74.750 105.686 106.642 74.079 74.698 .992

.

.

. 77 137.000 132.250 103.592 103.602 132.236 132.182 1.000 78 136.000 131.375 103.520 103.351 131.590 131.283 1.002 79 111.000 . . 86.404 128.466 130.445 .985 80 140.000 . . 106.642 131.280 129.454 1.014

9

3. Calcul de la composante saisonnière Si

Les composantes Si sontles moyennes des SRt par trimestre, aprèsexclusion des minimumset maximums etnormalisation(somme des Si = 4)

Composante saisonnière SRt = Xt/Zt

Année

19831978197319681963

SR

1.2

1.1

1.0

.9

.8

TRIM.

4

3

2

1

Résultat : S1 = 1.036 S2 = 1.034 S3 = 0.864 S4 = 1.066

10

4. Série corrigée des variations saisonnières Yt

SERIE CVS Yt = Xt/St

Date

160

140

120

100

80

60

11

Date

160

140

120

100

80

60

Série CVS Yt

Tendance Tt

5. Estimation finale Tt de la tendance

Moyenne mobile de la série corrigée des variations saisonnières Yt :

pour t = 3 à n-2

9

YY2Y3Y2Y

T

2t1tt1t2t

t

Sur les bords :T2 = (Y1+Y2+Y3)/3 ; T1 = T2 - [(T2+T3) - (Y1+Y2)]/2Tn-1 = (Yn-2+Yn-1+Yn)/3 ; Tn = Tn-1 + [(Yn-1+Yn) - (Tn-2+Tn-1)]/2

Tendance Tt

Évolution sur une période

12

COMPOSANTE RESIDUELLE Rt

Date

1.1

1.0

.9

.8

MAI 68

6. Calcul des résidus Rt

De Xt = Tt St Rt

on déduit :

tt

tt S T

XR

13

7. Prévision de IPI pour l’année 1983

Formule de prévision :

ttt ST̂X̂

où :

tT̂ = extrapolation de la tendance

St = Coefficient saisonnier

pour t = obs. 81 à obs. 84 ( T1 à T4 de 1983)

14

Tendance polynomiale

On approxime la tendance Tt par un polynôme en t de degré 3 :

T

100806040200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

Tendance

Cubique

15

Tendance polynomiale

On approxime la tendance Tt par un polynôme en t :

33

2210tt tttT̂T

On obtient 0, 1, 2, 3 par régression multiple de

la tendance Tt sur les variables t, t2 et t3.

16

Estimation de la tendance cubique

17

18

Prévision de IPI pour 1983

t32

t S]t0002426.t02192.t569.752.68[X̂

Application

Prév. de IPI1983.1 (t = 81) = 129.73381.03602 = 134.41

Prév. de IPI1983.2 (t = 82) = 129.04151.03351 = 133.37

Prév. de IPI1983.3 (t = 83) = 128.27370.86404 = 110.83

Prév. de IPI1983.4 (t = 84) = 127.42901.06642 = 135.89

Formule de prévision

tT̂

19

Ajustement et prévision de la série IPIpar le modèle

Date

160

140

120

100

80

60

40

IPI

PREVISION

68.2 82.4

20

Conclusion

• La décomposition classique suppose une saisonnalité stable au cours du temps.

• Les données atypiques sont conservées pour estimer la tendance.

• La méthode CENSUS-X11 corrige les données atypiques et permet une saisonnalité évolutive.

• L’ajustement de la tendance par un polynôme en t est trop rigide.

• Les méthodes de prévision par lissage donnent plus de poids aux données proches qu’aux données lointaines.