Définition et caractéristiques de circuits superposés

Dt FINITION ET CARACTI RISTIQUES DE CIRCUITS SUPERPOSI S *

par Louis COLLET Inspecteur G6n~ral adjoint des P. T. 3'. **

SOMMAIRE. - - La d~composition d'un rdseau de Kirchhoff en parcours continus superposes conduit ~ deux syst~mes de relations concernant l'un les courants, l'autre les di[- [$rences de potentlel ices relations [ant intervenir, deux matrices transposdes l'une de l'autre. Cette proprigtd subsiste lorsqu'au lieu de parcours continus on cohsi- ddre des parcours discontinus susceptibles d'~tres rac- cordds les uns aux autres. Les trans[ormations algg briques coi'respondant au raccordement de rdseaux partiels, au passage d'un mode de d~composition dun a utre, do i~,ent, de ce [ait, remplir une certaine condition s'exprimant dle-m~me par une cor/dlation de matrices, lnversement, on peut com, enir de d$ finir des parcours qui soient le~s ~lg- ments de ddcomposition d'un rgseau aa moyen de tout changement de variables remplissant la dire condition.

Dans le cas des rdseaux d caract~ristiques lin~aires, un mode analogue de ddfinitinn des circuits peut ~tre adoptd, ll conserve les propri~tds les plus intdres~antes des circuits ddfinis au sens habituel, notamment l'existence d" impddances propres et mutuelles bien ddtermin~es. En outre, rassimilation d'un r~seau ouvert d l'ensemble d'un hombre convenabIe de circuits superpos6s permet ais~ment d'obtenir la g~n~ralisation de dic, ers th~orkmes tels que celui de Th~c, enin, celui de Breisig, rdati[s aux quadrip61es.

Au titre d'application est trait6e la mise en 6quation de certains probl~mes relati/s d I'utilisation des lignes, la d~finition et la d~termination des caract(ristiques des circuits appropri~s, des circuits combin(s, et autres types de circuits superposd~. Enfin est indiqu(e la dil~rence existant entre l'emploi des coordonn(es sym~triques et la d~composition en circuits superposes, pour l't!tude des syst~mes polyphasds.

INTRODUCTION

Une m6thode classique d '6tude des r6seaux de Kirchhoff consiste h consid6rer ces r6seaux comme r6sultant de la superposit ion d 'un nombre convenable de mailles ou parcours [erm~s. Cependant, cette m6thode n 'est d 'emploi commode que lorsqu 'on consid6re des syst6mes autonomes.

D'autre part , "~ lorsqu 'on 6tudie le cas d 'appareils t e rminaux reli6s deux h deux par des r6seaux ou lignes form6s au moyen de conducteurs distincts, il s 'est r6v616 f6cond d ' introduire la n o t i o n de circuit qui condui t h d6gager, pour les diff6- rents 616ments de la liaison, des caract6ristiques propres, c'est-h-dire ind6pendantes du mode d'asso- clarion de ces 616ments entre eux.

Dans la pr6sente 6rude, nous allons essayer

* Communication pr6sent6e ~ la 5 e section de la Soci6t6 Frant;aise des l~leetriciens, le mardi 19 octobre 1948.

*~ Au Centre National d'i:'.tudes des T616communications, puis au Service des Recherches et du Contr61e techniques des P. T. T.

d '6tendre cette notion de circuit darts le cas g6n6- ral de plusieurs couples d 'appareils reli6s entre eux par des r6seaux complexes ne compor tan t pas la dist inction des eonducteurs reli6s h chaque couple d'appareils. Cette extension est bas6e sur l '6tude des conditions dans lesquelles on peut consid6rer un r6seau comme r6sultant de la superposition d 'un nombre convenable de parcours, ouverts ou form,s, susceptibles m~me d 'e t re discontinus ou d 'a t re d$finis d 'une mani~re abstrai te comme correspondant h des opSrations a l g 6 b r i q u e s - changements de variables - - d 'un type d6termin6. Nous constaterons que cette notion ~tendue de circuit conserve ou gSnSralise l'6nonc6 de diverses propriSt6s se rencont rant duns le cas simple.

i. D~costposvrlON D'uN R~SEAU DE KIRCitHOFF EN PAI~COURS SUPEnPOS~S.

I. Consid6rons un r6seau de K~Rcnuorr ~, R, compor tan t n branches, affect6es chacune d 'un num6ro compris entre I et n, et d 'un sens positif de parcours.

Soient alors, d6finies en tenant compte de l'orien- ration des branches :

I i l ' intensit6 du courant darts la branche i ; V i la variat ion de tension le long de cette branche. D6signons par parcours X une courbe quelconque,

ferm6e ou non, compor tan t ou non des boucles simples ou r6p6t6es, mais longeant d 'une manibre continue un certain nombre de branches du r6seau.

Soit Bl )" le hombre alg6brique 6gal au hombre de lois que le parcours X longe la branche i suivant le sens positif, diminu6 du hombre de fois qu'il la longe suivant le sens n6gatif.

On salt que si on a d6fini un nombre suffisant de parcours convenables, cr ~ ..... ),, ... v, on peut consi- d6rer les courants I i darts les diff6rentes branches, comme r6suhant de la superposition de courants Jx qui circuleraient chacun le long d 'un parcours d6ter- rain6. Cela veut dire que :

1 ~ t~tant donn6 un 6tat 61ectrique du r6seau, caract6ris6 par les valeurs des courants Ii, on peut d6terminer des valeurs des diff6rents Jx telles que, quel que soit i,

(1) It = ZX Bt x JX.

L'ensemble de ees n relations peut s'6crire simplement en utilisant la notat ion matricielle :

(B) I = ItBl[ J.

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t. 4, n o 2, 1949]

2 ~ Inversement, lorsqu'on at tr ibue aux diff6rents Jx des valeurs quelconques, astreintes toutefois ta condition que la somme des courants amen6s par les diff6rents parcours ~ tout sommet autre qu 'une borne, suit nulle, la distribution des courants darts les branches, d6finie par le syst~me (B), correspond

un 6tat 61ectrique possible du r6seau moyennant une d6termination convenable des forces 61ectro- motriees ins6r6es dans les branches.

Lorsque le nombre et la consti tut ion des parcours sont tels que la condition impos6e aux Jx se t rouve satisfaite, quelles que soient les valeurs des Jx, on dit que les parcours sont distincts et ind6pendants. Nous ne voulons pas nous restreindre, pour le mo- ment, h l 'examen de cc seul cas et, en particulier, nous voulons pouvoir consid6rer le cas de parcours constitu6s chacun par une seule branche.

Cela 6tant, envisageons la valeur de la variat ion totale de la tension le long d 'un parcours ),, c'est-i~- dire la di.ff6rence de potentiel entre ses extr6mit6s :

Cette valeur est 6videmment 6gale h :

(2) UX = Zl Bi )' Vi.

Convenons de poser :

. l ) i = Bi~..

La relation pr6c6dente s'6crlt :

(3) UX = Zi AX i Vi

et, en utilisant la notat ion matricielle, on peut 6erire I 'ensemble de ees v relations :

(A) U = IIAII l .

I.a matrice [IAll est al0rs la matrice transpos6e tie [[BI[. Nous eonviendrons d 'expr imer eette eorres- pondance pas la notat ion :

!!AH +--+ {tBIi.

I[. - - Les coefficients des matrices [tAil et IlBll que nous venons de consid6rer, ne sont pas queleonques : d 'une part , ee sont des nombres entiers ; d 'autre part , la configuration du r6seau d6termine certaines conditions que doivent remplir ees coefficients, pour que leur ensemble caraet6rise des pareours continus.

On peut cependant 61argir la notion de parconrs pour se lib6rer, en pattie, de ees restrictions.

En particulier, consid6rons encore le r6seau R, mais convenons que les branches l ' , 2'.... n' appar- t iennent i~ un sous-r6seau R', les branches 1", 2",...u" �9 a u n sous-r6seau R", ces diff6rents sous-r6seaux 6rant d'ailleurs connexes ou non.

II pourra arriver que certains des parcours X primi t ivement envisag6s soient tout entiers compris dans Fun ou l 'autre des sous-r6seaux, mais certains autres p o u r r o n t eOl l ipor te r , dans un des sous- r6seaux, un ou plusieurs tronqons.

Consld6rons alors celles des 6quations du syst~me (B) qui se rappor ten t aux branches du sous-r6seau R':

Nous pouvons convenir de dire encore qu'elles expriment que les courants I' dans ces branches.

D s ET CARACTt~II ISTIQUES DE CIRCUITS SUPERPOSIs 9 / 1 5

r6sultent de la superposition de eourants J~,, J~,, .... Jx',..- J r respect ivement 6gaux h Ja, JD "'" Jx, ...Ji~ qui circuleraient le lono de parcours discontinus ~', ~3', ... X', ...V, appar tenant chacun au sous-r6seau R' et form6s respectivement par chacun des 616ments des parcours ~., ~, ... ~.,... v compris darts IV.

L'ensemble de ces 6quations forme alors un sys- t~me :

(4) J ' = ! IB ' i l J'

dont on obtient la matriee en amputan t la matrice t]B[[ des lignes dont l 'indiee est diff6rent de 1 ', 2 ' , . . n', ou, ce qui revient au m~me, en rempla~ant ees lignes par des lignes de z6ros.

Consid6rons alors la matrice HA'l], transpos6e de IIB'IJ- Le syst~me :

(5) U' = I IA ' [ [ V'

eomporte au tan t d'6quations que le syst~me primitif (A). Chacune d'elles repr6sente encore la valeur totale de la tension le long des diverses brauches du sous-r6seau R', qui consti tuent un des parcours discontinus pr6c6demment d6finis.

1II. - - Nous pouvons remarquer qu 'en t i rant du r6seau R le sous-r6seau R', on n'a alt6r6 enr ien celles des conditions aux summers, relatives h des summers appar tenant h R', que doivent remplir les courants J ' .

Les conditions relatives aux smnmets de R deve- nus des bornes communes & des sous-r6seaux adja- cents disparaissent ou sont modifi6es lorsqu'on consid~re en sol tin de ces sous-r6seaux : elles doivent 6tre 'a nouveau prises en consid6ration lorsqn'on v,,ut reconsthuer tin r6seau en raccordant divers sous-r6seaux par ces bornes.

Voyons dans queiles conditions peut s 'effectuer unc telte soudure de sous-r~seaux. Supposons que pour chacun de ces sous-r6seaux (consid6rons simplement le cas de deux), on ait 6tabli les relat ions :

U' = ilA'l[ V' i U" =-flail V" I' = {[B'[I d' i I" = liB"Jr J"

correspondant ~ leur d6composition en paveours partiels ~', [3', .... v' pour R' et ~", [3", .... v" pour R ' .

Admettons que les conditions aux sommets et aux bornes de raccordemcnt des sous-r6seaux permet- tent de rendre 6gaux eertains des courants J 'x ' & d 'autres eourants J"x". On pourra les consid6rer comme cireulant le long d 'un m6me pareours X, form6 par l 'ensemble de X' et de X". Cela reviendra �9 ~ confondre, dans les matrices IIA'II et ]IA'I[, les indices ~.' et X", en leur a l t r ibuant une d6signation commune X, et & faire :

,7) Jx = J'),' = J"x ~.

Que l'on use ou nun de la facult6 de faire cette ,,p6ratiou, l 'ensemble des syst~mes (B) de (6) sera repr6sent6 par un svst~me unique :

~1~i) / = t iB l l J

3 / t5

dans lequel

(8) IlBII = tIB'I[ + liB%

Le long d 'un mgme parcours r6sultant ?,, on aura 6videmment :

(9) Ux = U'x, + U")...

Ainsi, l 'ensemble de ces relations pour tous lespar- tours subsistants (pareours r6sultant de la soudure de pareours partiels, ou parc0urs primitifs compris dana chacun des sous-r6seaux et demeur6s tels qucls), sera repr6sent6 par le systbme unique :

U = IIAII V, (A)

dans lequel

(10) II.lll = IIA'It + IIA"II IIAt[ +---~ IIBI!.

On peut noter que si on use de la facult6 de souder des parcours partiels, on r6duit le nombre des conditions aux sommets auxquellcs sont astreints les courants J : sinon, ainsi qu'il a 6t6 ant6rieurement indiqu6, des conditions nouvelles doivent gtre satis- faites h chacune des bornes de raccordement.

IV. - - l~:tant donn6e uric premiere d6composition du r6seau R en parcours superp0s6s, continus ou discontinus, caract6ris6e par les syst~mes :

(A) U --IIA[I V

(B) / = IIBII J L411 +---~ IIBII

auxquels il faut 6ventuellement associer ] 'expression des conditions aux sommets, consid6rons une transformation alg6brique, du type de :

(1t) J = tl)VII ~),

qui soit compatible avec les conditions aux sommets. Ce sera g6n6ralement le cas quand le nombre des variables ~ sera 6gal ou sup6rieur h 6elui des parcours, mais compte tenu des conditions aux sommets, et lorsque le nombre des parcours est surabondant, il est possible d'effectuer une transformation du type de ( t l ) qui r6duise le nombre des variables.

Quoi qu'il en soit, on tire de (B) et (11) :

(12) 1 = IIB!I IlNtl ;] = iloBtl s

Si done les coefficients de la matrice r6su]tante 1[03[I sont des nombres entiers, le syst6me (12) expriine que les courants dans les branches du r6seau R r6sultent de la superposition de courants ~ le long de parcours continus ou discontinus d6finis par la matriee IlC~ll.

Les variations totales de la tension le long de ces pareours seronl done d6finies par :

(13) 'tt = II&II I"

tlall ~---~ II~ll.

La matrice I[~I] a encore pour expression :

(t4) Ilalt = IIMll [[AIb

L O U I S C O L L E T [ANNALES DES TE-Llgt;OMMtJNIGATIONS

IIMI[ repr6sentant la matrlce transpos6e de ]iN]]. Ainsi, la relation (t3) r&ulte de la t ransformat ion

(l 5) 'It = IlmlI U

IIMI[ ~---~ ItNN

corr61ative de la transformation (11).

V. - - D'une mani~re g6n6rale, si on part des sys- t&nes (A) et (B), et qu 'on effectue successivement des transformations alg6briques compatibles avec le respect des conditions aux sommets :

UI = !lMi!l U : J - [[NII] JI : U I I : tIMIIll UI : JI -~ [INII[I dn :

(16) U K = l[]~/KI[ U K - - t ; JK- -1 = I[/VK[I J K ;

I[MII[ ~ - -~ ItNxt[ !!MIIII +---~ lIA'IXII

IIMKil ~----~ [!NKH

on obt ient en d6tinitive des syst~mes joulssant des m&nes propri6t6s que l 'ensemble des syst~mes (12) et (13), c'est-h-dire e x p r i m a n t - - si leurs coefficients sont entiers - - que les courants du r6seau r6sultent de la superposltion des courants J x et que le long des parcours correspondants, les variations totales de la tension sont 6gales a U x.

V I . - Les r6sultats pr6c6dents subsistent aussi bien quand les t ransformations interm6diaires conduisent h des d6compositions successives en parcours continus ou discontinus superpos6s, au sens que jusqu'~ pr6sent nous avons donn6 ~ c e terme, que quand les coefficients des matrices interm6- diaires ne sont pas des nolnbres entiers, ni meme des nombres r6els. Ces cas ne doivent done pas gtre con- sid6r6s comme essentiellement distincts.

En particulier, il peut gtre int6ressant d'61argir la notion de parcours en introduisant celle de parcours compos&

Un ensemble de coefficients r6els ou imaginaires AXl, A).2,. .... Ax n sera consid6r6 comme caract6ris- t ique d 'un parcours ),, compos6 h part i r de pareours k', X", .... caract6ris6s eux-m~mes par l 'ensemble des coefficients A)), A;~-i,... lorsqu'on aura, quel que soit i :

(17) .'1;~ i = p' A;~ 'i + p" A;~ "i @ ......

les coefficients p', p",... &ant ind6pendants de i. Si tous ]es coefficients Ax, i, Ax- i .... ainsi que les

coefficients p' et p" sont des hombres entiers, le pareours k sera de mgme espbee que ceux qui ont 6t6 envisag6s ant6rieurement ; cependant la d6finition nouvelle ne comporte aucune restriction de ce genre.

Elle fait donc pcrdre h la fonction

(18) (;), = Z~ AX i I,'~

son caract~re de grandeur d i rectement mesurable sur le r6seau (lorsqu'il s 'agit d 'un parcours continu) ou de somme de grandeurs di rectement mesurables, sauf cependant dans certains cas tels que les sui- v a n t s :

- - 4 4

t. 4, it ~ 9 i~tCal

a) Le parcours X peut gtre consid6r6 comme com- pos6 h partir de parcours continus ;k', ;C', .... ayanl mgme originc et mgme extr6mit6. Alors. il est 6vi- ( l en t q u e :

(19) UZ = p' Uz ' - k - l " Ux" -J . ....

U x repr~sente done le produit par une quantit/, connue, de la difference de potentiel entre l'origine el. l 'extr6mit6 commune des pareours >,', X", ....

b) Le pareours k peut gtre consid6r6 eomme com- pos6 h part i r d 'un parcours ordinaire, ct de parcours ferm6s. Dans ce cas U~, repr6sente ~videmment la variat ion totale de la tension le long du parcours ordinaire.

e) Afor t ior i , quand le parcours k peut 6tre con- sid6r6 eomme eompos6 h par t i r de pareours continus ferm6s, il est lui-m~me eontinu et ferm6, et ainsi U), cst nu I .

DI~FINITION ET C~.RACTI~RISTIQUES DE Cl/dCt.II 'I 'S St jPItRP.OSI~S / l / ' t 5

VII. - - Les d6veloppements pr6c6dents sont bas6s sur une analyse purement topologique des r6seaux : ils sont valables sans restrictions, pour les r6seaux actifs ou passifs, constitu6s h par t i r d'616ments ayan t ou non des caract6ristiques lin6aires, et donl les branches sont astreintes ~ la seule condition de ne pouvoir 6changer de courants entre dies que par les sommets auxquels elles aboutissent. Ces branches peuvent donc ~tre de consti tut ion simple ou au contraire tr~s complexe. Un cas particulier d 'application est, ainsi, le suivant :

Consid6rons un r6seau R' ~ v + I bornes accessibles, ~', ~',... K,... v', o'. Lorsque ce r6seau est connexe, ou mgme simplement si ses diff6rentes bornes sont attach6es h une partie connexe du r6seau, on peut effectuer sa d6composi'tion en parcours super- pos6s en s 'arrrangeant de mani~re que v de ces parcours aient respect ivement pour extr6mit6 les bornes ~', [3',... ~' et pour origine, la borne commune o'. A condit ion que les autres parcours ne s 'arr6tent h aucune des bornes, les valeurs U' des tensions des diff6rentes bornes par r a p p o r t / i la borne o' e t l e s valeurs J ' des courants sor tant du r6seau par ces bornes repr6sentent respect ivement la variat ion totale de la tension le long d 'un des parcours consi- d6r6s et la valeur du courant attach6 h 'un de ces parcours.

On peut toujours s 'arranger pour que les autres parcours in te rvenant dans la d6composition soient des pareours ferm6s.

Ainsi, en d6finitive, on peut poser :

i ~:' = t lA ' l l (20) 0 = lia'l[ J"

1' til?'[] d' + [lb'[l

i ' 6rant les valeurs des courants attach6s aux parcours ferm6s. Les diff6rentes matrice~ figurant dans la relation (20) sont telles que :

!1.'1'[I +--+ ',tB"~! lla'tl +--~ tlb'iI.

I I e n est de mgme, d'ailleurs, dans le cas d 'un r6seau R' dont les bornes accessibles, au nombre de

+- k, formeraient k groupes tels que les bornes d 'un mgme groupe puissent ~tre rattach6es entre dies par des parcours continus, sans que cela fflt possible pour les bornes de groupes diff6rents.

Comme la somme des courants sortant du r6seau par l 'ensemble des bornes d 'un m6me groupe est nulle, on peut choisir dans chaque groupe une borne de r6f6rence, et ne faire intervenir dans les calculs que les courants sortant du r6seau par les autres bornes. On peut de mgme convenir de mesurer les tensions des hornes d 'un m6me groupe par rappor t h sa borne de r6f6rence, et de d6signer cette tension par U'. Dans ces conditions, le syst~me (20) s 'applique encore sans ehangements.

Cependant, quand le r6seau R' consid6r6 est rattach6, borne h borne, h d 'autres r6seaux, il peut gtre assimil6 "h un ensemble de v branches comprises, suivant le cas, soit entre la borne o' et chacune des autres hornes, soit entre les diverses bornes de r6f6- fence et les autres bornes du m~.me groupe. Les quan- tit6s U' et J ' repr6sentent alors les variations de la tension le long de ces branches et les valeurs des courants qui les parcourent. Ces quantit6s peuvent donc intervenir darts la d6finition de parcours plus ou moins complexes form6s au moyen des 616ments de l 'ensemble du r6seau R' et des r6seaux auxquels il est raccord6.

Si, par exemple, le r6seau R' est raccord6 h un r6seau R", que V" et I" repr6sentent respect ivement les variations de la tension Ie long des branches de R" et la valeur des courants dans ces branches, et que la d6composition de l 'ensemble en parcours superpos6s, caract6ris6s chacun par la valeur du cou- ,'ant ,'j qui le longe, soit d6finie par :

l l" = t!B"I[ i) (2:1) ,) ' = [I~'[l (~

la valeur de la variation de la tension le long de ees parcours est repr6sent6e par :

(29.) "tt = t!A"II V" 4-ltc~'II U',

les diff6rentes matrices in tervenant dans ces relations 6rant telles que :

~23 HA"ll <---~ IIB"tl ]ia'll +--+ IIO3'11.

De m6me, si le r6seau 13' estins6r6 entre deuxr6- seaux R" et R" n ' ayan t aucun point commun, et ainsi ne pouvant 6changer di rectement entre eux aucun courant, on peut d6composer en un certain hombre de parcours superpos6s, d 'une par t le r6seau R" compl6t6 par le r6seau R', d 'aut re par t le r6seau R" compl6t6 par-le r6seau R" : on peut d'ailleurs d6terlniner ces parcours de sorte qu 'aucun d 'eux ne comporte simultan6ment des 616ments appar tenant aux r6seaux extrgmes R" et R ' .

Dans ces conditions, il est possible d'6tabtir deux ensembles de relations, de forme identique h celle de ~21), (22) et (23), dans lesquelles les U e t l e s J ne se rapporteraient qu 'aux bornes communes, d 'une par t '~ R' et R", d 'autre part ~ R' et R ' .

Ainsi, en d~finitive, lorsqu'on consid~re en sol le

4 5 - -

reseau R', on volt que les ehangements de variables corr61atifs :

J' =- [lo3'll i "~ = Ila'[{ U'

a v e c

Ila'It < > lloYlI

o5 n' interviendraient d'ailleurs que les J ' et ies U' relatifs ~ certaines bornes, correspondent h une d6- composition 6ventuelle en parcours superpos6s, de l'ensemble form6 par des r6seaux raccord6s par des bornes au r6seau R' , et la partie connexe de celui-ci. Les ,~ seraient alors les valeurs des" courants a t ta- ch6s ~ ces parcours et les q? repr6senteraient les valeuts des variations de la tension le long de ces pareours, h l 'int6rieur de R'.

Lorsqu'on veut effectuer le changement de variables (24), le nombre des parcours h prendre en consid6ration dolt gtre au moins 6gal au nombre des U et J envisag6s, pour qu'il soit possible, en routes circonstances, de d6terminer des valeurs de ~ en fonetion des courants J ; autrement dit, ce nombre dolt gtre au moins 6gal h celui des bornes autres que les bornes de r6f6rence, que l'on fait intervenir. I1 peut prendre n' importe quelle valeur sup6rieure h ce minimum impos6.

Nous pouvons observer, enfin, que les remarques pr6c6dentes sont encore valables quand le r6seau R', au lieu d 'e tre un r6seau de Kirchhoff, est con.stitu~ par une ligne le long de laquelle se manifestent des effets de propagation.

2. l~ESEAUX A CARACTERISTIQUES LINi~-AIBES.

G~n&alisation de la notion de circuit.

VIII. - - La d6composition d 'un r6seau en parcours, telle que nous l 'avons envisag6e jusqu'h pr6- sent , permet d'exprimer assez simplement les conditions aux sommets ; cependant, en routes circonstances, .les syst~mes (A) et (B)

(A) U = HAll V

(B) I = [IB[[ J

doivent gtre compl6t6s soit par les relations exis- t an t entre les eourants I passant par les diff6rentes branehes et les variat ions V de la tension, le long de celles-ei, soit par des relations 6quivalentes.

Pour continuer l '6tude, nous allons consid6rer le cas particulier de r6seaux ~ earact6ristiques lin6aires.

Dans de tels r6seaux, la variation de tension V ite tong de la branche i s 'exprime en fonetion des courants I, par une relation de la forme :

(25) lq = Ei- Zj ZiJ I~,

dans laquelle E i repr6sente la force 61ectromotrice 6ventuelle-

ment ins6r6e dans la branehe i, Z l I l ' imp6danee propre de cette branche, Zi j son imp6dance mutuelte avec la branche j.

LOUIS COLLET [ANNALES DES TI~LI~COMMCNICATIONS

L'ensemble des relations (25) peut s'6crire d 'une mani~re compacte :

(Z) I'----- E - ItZll/,

[]Ztl 6tant une matrice carr6e, sym6trique par rapport h sa diagona[e' principale, donc transpos6e elle-mgme :

[IZIi + - -+ IIZII.

Cela 6rant, le syst6me (Z) permet d'616miner les quantit6s V e t I entre les 6quations des syst~mes (A) et (B). Cette op6ration peut s 'exprimer syn~bolique- ment de la mani~re suivante :

(2(;) U = tIAI! V = I[At[ E --]fAil IlZII 1 = flAil E - - liAtl t[ZI[ tlB[t g = [JAIl E - llWlt J.

La matrice tIw[I, d6finie par : ,)r- (-,) !34111 = HAll IlZt[ tIB!!

est une matriee carr6e, sym6trique, done transpos6e h elle-mgme :

(28) [IWII ~---+ IlW]I.

L'examen de ces relations nous conduit h adopter ]a convention de langage suivante : A chaeun des par- tours consid6r~s, oll peut faire correspondre un circuit qui serait constitu6 par le groupement en s6rie d'616ments identiques ~ ceux qui sont long6s par le parcours envisag6, chaque 6t6ment 6rant reproduit au tan t de fois qu'il est long6. Les coefficients de la matriee [[W[[ sont alors d6finis comme les imp6- dances de ces circuits.

A.ux circuits ainsi d6finis, on peut at tacher un certain nombre de propri6t6s tr~s g6n6rales, vraies que les circuits ou parcours soient continus ou discontinus, ouverts ou ferm6s, comportant ou non des r6p6titions d'616ments : ces propri6t6s subsistent encore dans le cas de circuits compos6s, au sens attribu6 pr6c6demment h ce terme. D'ailleurs, et c'est ce qui justifie notre convention de langage, ces propri6t6s sont celles que poss~dent les circuits cons- titu6s au m0Yen d'616ments distincts qu'on a l'habi- tude de prendre en consid6ration lots des 6tudes 616mentaires.

IX. - - Remarquons tout d 'abord que, d'apr~s !a relation (28), deux circuits d6termin6s ont une imp6- dance mutuelle de valeur unique. D'autre part, si pour des valeurs d6termin6es de i e t de X, AX i = Bi x = 0, on peut changer la valeur de Zl t sans modifier celle de Wx x', quel que soit X'.

Dans les mgmes conditions, on peut encore changer les valeurs des ZiJ , ] 6tant quelconque, sans mo- differ celles de Wx x.

Ces remarques sont h peu pros 6videntes, car elles expriment, l 'une que l 'ah6ration de l'imp6d~nce propre d'une branche n'affecte pas les diverses imp6- dances, propres et mutuelles, d 'un circuit qui ne la comprend pas, l 'autre que l 'alt6ration des imp& dances propres et mutuelles d 'une branche n'affecte

4 6

t. 4, n "o 2, 19491

pas l'imp~dance propre d 'un circuit qui ne la comprend pas.

Leur d6monstration r6sulte de l 'examen du d6ve- loppement des imp6dances W), )" et W~. )''. Elle demeu- rerait done encore valable si les syst~mes (A), (B) et (Z) 6talent 6tablis ind6pendamment de la consid6- ration de parcours superpos6s.

I1 r6sulte de ces remarques que l'imp6dance propre d'un circuit a sa valeur ind6pendante des caraet6ristiques de toutes les branches n 'ent rant pas dans sa constitution, et qu'on peut mgme la calculer en faisant abstraction de leur existence. - - De mgme, l'imp6dance mutuelle de deux circuits a sa valeur ind~pendante des caract6ristiques et de l'existence mgme des branches n 'entrant pas dans la constitu- lion de l 'un ou l 'autre circuit.

D I ~ F I N 1 T I O N E T C A R A C T I : : R I S T I Q U E S I )E

OU :

(37)

a v e c :

X. - - D'un autre c5t6, l 'examen du d6veloppement de W). )" fair ressortir que les seuls coefficients des matrices ItAI[ ou ItBII qui y figurent sont ceux d'indice ~..

De mgme, dans le d6veloppement de Wx x' ne tigurent que les seuls coefficients des matrices HAll ou IIBII qui sont affect6s des indices ). ou Y.

Ainsi, l 'imp6dance propre d 'un circuit est ind6- pendante de la constitution des circuits coexistants et on peut la calculer en faisant abstraction m~me de leur existence. I1 enest de m~me quant h l 'imp6dance mutuellc des deux circuits.

Superposition d'dtats dlectriques.

XI. - - Alors que la d6composition d 'un r6seau en parcours superpos6s, telle que nous l'avions con- sid6r6e jusqu'h pr6sent, ne fait intervenir que les caract~res topologiques de ce r6seau, nous allons rencontrer dans le cas de r6seaux h caract6ristiques lin6aires, un type plus g6n6ral de superposition, tenant compte des relations exprimant ces carac- t6ristiques 61ectriques, et ayant d'ailleurs, avec It premier type consid6r6, des propri6t6s communes.

Consid6rons d'abord le cas d 'un r6seau passif qui ait 6t6 d6compos6 en v -4- 4' parcours, a, [3 .... 9, .... 4; s ~',... Y,... v ' ; dont au moins les v' derniers (parcours d'indice accentu6) sont ferm6s.

Les 6quations repr6sentatives de cette d6compo- sition peuvent s'6crire :

i U = JlAII V (35) 0 = ItA'II V

1 = IIBll d + IIB'II J

IIAIt ~----~ ilBll IIA'tl "<----~ IIB'II

les matrices HAll et [[BI! ne comportant que les coefficients d'indice non aceentu6 (a, [3... k .... v) et les matrices llA'[I et IIB'I], les coefficients d'indice accentu~.

De la relation g6n6rale :

(36) V =- --IIZI[ /

on tire :

0 = IIA'll IIZII IIBII J § IIA'Ii IIZtl IIB'tl .I

C I R C U I T ~ S U P E R P O S F,S 6/15

0 = llA'II IlZll IIBtl J + IIW'II J

I[W'l[ ----- ItA'II IIZ[I IIB'[I.

La matrice [[W' H ne comprend que les imp6danees propres et mutuelles des circuits d'indiee aceeutu6.

Si le d6terrninant ]W'[, de m~me structure que la matrice [[W'[[, est diff6rent de z6ro, le syst6me (37) permet d'exprimer les valcurs des courants d relatifs aux parcours d'indiees aceentu6s, en fonction des valeurs des autres. Cela peut se repr6senter symboliquement de la mani6re suivante : on peut d6finir une matrice IIY'II par la condition :

(38) !IY'! I IIIV']I -~ i .

D ~ s l o r s :

0 = IIY'II IIA'II IlZll IIBII J + J.

Posons done :

(39) IIQII = --IIY'II [1A'II [[Zll [IBII.

I1 vient alors :

(40) J = [IQII J.

En fait, IIQ![ est une matrice dont tousles indices inf6rieurs sb.nt accentu6s alors que tous ses indices sup6rieuvs ne le sont pas : ainsi, il ne figure dans le ]er membre de (40) que le.~ J relatifs aux parcours ~', ~', .... 4', et dans le 2 e membre, le~ ,1 relatifs aux parcours ~, ~,.... v.

Pour plus de clart6, d6signons donc par [l les valeurs des courants le long de ces derniers parcours.

Posons d 'autre part :

(41) 110311 : IIBII-k liB'[I IIQII.

Le dernier des syst~mes (35) se ram~ne ainsi h :

(42) 1 = !i~!l ~.

Cela 6tant, d6signons par IIPl] la matrice transpos~e de I]Q[I et par []cqL[I la matrice transpos6e de [k6H:

"43) [leVI[ = I[A[[ + rlPll I[A'{].

Posons d 'autre part :

(44) "l,t = IIO,-II V

11 est ais6 de voir que les quantit6s "~ d6finies par cette relation ne different pas des variations de tension l / l e long des seuls pareours el'indite non aecen- tu6, car, du fait que [tA'II V : 0, les termes de l'ex - pression de q.[ repr6sent6s par liPll IIA'tl V s'annulent entre eux.

L'ensembte des syst~mes (42) et (44) pr&sente une analogie 6vidente avec celui des syst&mes (A) et (B) qui expriment la d6composition d 'un r6seau en par- tours superpos6s : en particulier, le syst~me (42) indiquc que l '6tat 61ectrique du r6seau r6sulte de la superposition des 6tats 61ectriques correspondant au passage des courants ~, le long de certains circuits

Les propri6t6s ~tablies aux paragraphes VIi i ,

- - 4 7 - -

/15 ~.ou~s

IX et X, r6suitant du fait que les matrices IIAfl et IIBII sont des matrices transpos6es, sont encore v6rifi6es dans le eas actuel.

La diff6rence essentielle existant entre les deux types de superposition envisages est la suivante : rexistence des relations !IA{{ et IlB(t repose sur une simple analyse topologique du r~seau. Ces relations demeurent done lorsqu'on change la constitution des branches sans modifier la structure g6n6rale du r6~eau. Au contraire, les relations (42) et (44) sup- p0sent que les parcours 61imin6s out une structure et une constitution parfaitement d6finies, et mgme que le couplage de leurs 616merits avee les 616ments des parcours conserv6s demeure immuable. Moyennant ces conditions, qui fixent les valeurs h attribuer aux termes repr~sent6s par llB']l II01i et jlP!l IIA'II, les sys- t~mes (42) et (44) ne d6pendent pas de la nature des 616ments constitutifs des seuls parcours conserv6s.

Un eas particulier d'application des remarques pr6c6dentes est celui d 'un r~seau ayant , -;- k bornes accessibles, formant k groupes connexes.

Darts le paragraphe VII, nous avons indiqu6 comment il est possible de relier, par l'ensemble des relations (20), les valeurs des tensions aux bornes et celles des courants sortant du rSseau par ces bornes, aux variations int6rieures de tension et aux eourants int6rieurs.

Quand les 61~ments dn r6seau o ~ des earact~ristiques lin6aires on peut, d'apr~s ce qui pr~c6de, simplifier le syst~me (20) et tui substituer un sys- t~mc :

U = IJall l (45) ~ / = ',i,~, ,1

off figurent seulement les valeurs des courants ,1 sortant par les bornes. Cela peut pr6senter de l'int6- rgt, surtout quand le r6seau consid6r6 est de cons- t i tut ion invariable, mais est susceptible d'~tre rat- tach6, par ses bornes, h des montages tr~s divers. Bien entendu, h ce syst~me lui-mgme, on peut subs- t i tuer un autre syst~me, par un changement de variables du type :

l q.t = Hetl U

! lleii 4 - + lla~ti.

Les d6veloppements pr6c6dents ont 6t6 fairs darts l 'hypoth~se que le d6terminant [W'[ de m~me structure que la matriee [W'[ est different de z6ro.

Ce d6terminant est 6gal au produit des trois d6ter- minants [A'], IZJ et IB'[, ayan t respectivement mgme structure que les matrices tlA'{1, IIZII et tIB'II Le d6terminant tZI est essentieBement diff6rent de z6ro. Ainsi, ]W' 1 ne peut gtre nul que si ]A'I, lequel est d'ailleurs ~gal ~ IB'l, est nul lui-mgme.

Lorsqu'il enes t ainsi, ]es pareours ~', [3%.. X',... ~' ne sont pas ind6pendants. Un certain nombre des relations du syst/~me (37) d~eoulent des autres et, ainsi, peuvent gtre laiss6es de c6t$ pour la d6finition des J d'indice aceentu6 en fonction des autres ; en revanche, des relations arbitraires en nombre 6gal

COI, f .ET [ fl~qNA~.~ DES ' I '~ I~MMtl Nt~;ATION.~

peuvent gtre 6tablies entre les valeurs des J d'indice accentu6. Quoi qu'il en soit, en pardi cas, la matrice [IY'II n'a plus une d6finition unique, mais on peut toujours d6terminer une telle matrice rSpondant h r6quation (38). La suite des d6veloppements est encore valable.

XII. - - Consid6rons encore le m~me r6seau que pr6c6demment, mais supposons qu'il soit actif, c'est- h-dire qu'il comporte, dans diver.~es branches, des forces 61ectromotrices.

Au lieu de la relation (36), on a :

(46) 1 = E-- ' rZ ' ! l,

d'ofl on tire, au lieu de (37) :

(47) 0 = IIA'II [IZil IPBt] J + IIW'll J - - J]A'rl E.

Si aucun des parcours d'indice accentu6 ne comporte de force 61ectromotrice, I[A'{I E est nul. D~s lors, rien n'est chang6 h la suite des d6veloppements pr6- c6dents.

Quand il enes t autrement, il y a lieu de remplacer les relations (40) et (42) par :

(48) J = llQ{! J + IIY'[I !{:t'![ E.

(49) l = Ilo~ll ~ + ilB'il Jl Y'II tlA'll E,

dans lesquelles les diverses quantitSs ou matrices 11031!, 3 , IIY'II, flQII ont la mgme signification que lorsque le r6seau est passif.

On dolt observer que ta composante des eourants t repr6sent6e par IrB'll IIY'lt IIA'll E, d6pend uniquement des parcours ferm6s 61imin6s : ainsi, tan t que ceux- ci demeurent invariables, cette composante demeure inchang6e. Elle est ind6pendante des modifications que l'on peut apporter aux autres parcours.

Posons alors :

(50) :~ -= i - - IiB'll ![Y~il I!A'Ii E.

3 repr6sente alors la pattie variable du courant dans les diff6rentes branches. On a :

(5l) 3 = 11~6!': [~.

Consid6rons d 'autre part les quantit6s :

t52) 6 = E --HZtT {]B'lJ I!Y'll ~lA'il E.

Ce sont des forces 61ectromotrices apparentes, diff6- rant des forces 61ectromotrices r6ellement appliqu6es aux diverses branches, de quantit6s fixes lorsque les parcours 61imin6s demeurent inalt6r~s. On a :

(53) V = 6 - - ',/gll o.

Ainsi, en r6sum6, dans le cas des r6seaux aetifs, i] vient au lieu des relation.~ (44), (42) eompl6t6es par (36), les re]atlons

(44) "It = i!cx;I I

(51) :~ = ilo~l 9

(53) V = 6 --!!ZIL o,

dont la forme est analogue h eelle des relations qui ont servi h les 6tablir.

De lh r6sulte d'ailleurs, que ces syst~mes peuvent

4 8 - -

t. 4, no.2. 1~49]

sttbir des t ransformations analogues et conduire d 'autres syst~mes ayant mgme aspect, et poss6dant les mgmes propri6tbs.

D E F I N I T I O N leT LA.R.ACTI~IRISTIQUE$ DE CIRCUITS SUI~I~RlaOSF.S ~ / 1 5

X l l l . - - Appliquons les for,nules pr6e6dentes au cas d 'un r6seau ayant (,~ 4- k) bornes aceessibles, formant k groupes connexes.

Supposons d 'abord que par d6composition en parcours superpos6s ouverts et ferm6s, puts par 61imi- nation des parcours ferm6s, on soit parvenu h 6ta- blir les relations (44), (51) et (53), darts lesquelles 'It repr6senterait .I les tensions entre les bornes des groupes et leurs bornes de r6f6rence, et ~ les courants sor tant du r6seau. Par ~limination des relations (53), on obt ient :

at = ilcV e: - - [ c l l i iIZ{i !i~ :'l

(,54) "It = ;atl e: -~i*~';l ~}.

Si la consti tut ion du r6seau est bien d6termin6e et st, en partieulier, les valeurs des forces 61ectro- motriees qu'il comporte sont bien fix6es, les tensions repr6sent6es par []C5,[1 ~a ne d6pendent que de eette const i tut ion el, notamment , ne varient pas quand le r6seau est associ6 'a d 'autres r6seaux.

D'autre part , quand le r6seau n'est pas raceord6 h d 'autres r6seaux, les courants ~') sont seals. Ainsi. les valeurs des termes HC1-[4r sont mesur6espar celles des tensions "It.

Les imp6dances "~r son, aussi d6finies par la seule consti tution du r6seau.

Cela 6tant, examinons ce qui se passe lorsqu'on raccorde borne h borne ce r6seau h u n ou ph, sieurs autres r6seaux.

Consid6rons, en premier lieu, le cas ~uiv~,t : dans ce ou ces r6seaux, les bornes se r6partissent en groupes connexes qui sont les mgmes que dans le premier r6seau. On peut alors adopter les m6mes bornes de r6f6rence e t a t t r ibuer aux tensions 'll. et eourants ~] les m~mes d6signations, h cela prb.s que les courants sor tant du premier r6seau entreront dans le r6seau qui lui sera rattach6.

L '6tude de ce ou ces r6seaux conduit, en d6fini- rive, h u n systb.me de ,.elations :

(;~5) q-[ .= +[+~'e{[ ,~'{

les "~<)e pouvant t~tre d6sign6s comme des imp6danees ext6rieures au r6seau primitif.

En rapprochant (54~ de (553, on tire :

(56) I{c~]'. 6 = (l?~":i q-I!'~%!!)~,

ce qui est l 'expression d 'une premiere g6n6ralisation du th6or~me de Th6venin.

A condition de ne faire intervenir dans (56) que les quantit6s attach6es aux bornes raccord6es, les r6sultats pr6c6derrts son, encore valables si certaines bornes du r6seau primitif demeurent en circuit ouvert .

Au lieu de faire intervenir directement les tensions q.t aux bornes, et les eourants ~'~ passant par

les bornes, on peut consid6rer des grandeurs 'I t I e t ~ I reli6es aux pr6c6dentes par les s y s t ~ m e s :

i ~tti = ~,ICil 'It

! ile.!l + - - + !16oJl.

On tire alors, de (54), par une simple t ransformation alg6brique,

'l.tr = Elell [[ali ~. - - qell It~,~~ II~ll ~i (SS~ "th --= :!ell I!a'~i 8 --- ll~Oi!t ~t

relation enti6rement analogue h (54), et o6 [[C[[, Itetll, ~.; ainsi que [i~<hll son, ind6pendants des eondition~ dans lesquelles le r6seau peut gtre a~soei$ h d 'autres r6seaux.

Dans le cas envisag6, on tire de (55), en eonsid6- rant le ou les r6seaux raccord6s au premier :

(59) 'lh = lle!l tl",s,%!i ilo~ik 31 = !!~

eL en d6finitive :

;co) !c',l liall 8, = (11~r § i/'~oll) ~ .

Interpr6tons ce r6sultat : Quand les coefficients de 11r ou IIo~ll sont quelconques, les relations (57) d6fi- nissent des parcours plus or moths simples, compos6s au moyen de parcours continus qui, h l ' int6rieur de chacun des r6seaux en pr6sence, von t d 'une borne d 'un groupe h une autre borne du mgme groupe. Quand tous les r6seaux sont associ6s, tous ees parcours composants sont ferm6s.

Cependant, certaines d6terminations des coefficients de [IC[i on tlogtl correspondent h la d6finition de parcours compos6s connexes. Les quantit6s ~ I repr6sentent alors les variations to,ales de la tension le long de ces parcours, et les courants ~]I, les valeurs des courants attach6s.

IleH[lalle,; repr&ente les valeurs de ees tensions quand le circuit est ouvert, I1~,11 les valeurs des imp6dances des parties de circuits int6rieures au r6seau primitif et It'~r les valeurs des parties com- pl6mentaires dans les autres circuits. La formule (60) est donc une nouvelle expression, tr~s g6n6ralis6e, du th6or~me de Th6venin.

Mats, la d6monstrat ion faite montre que le r6sul- tat subsiste mgme quand la r6parti t ion des bornes en groupes connexes n 'est pas la mgme dans le r6seau primitif et les r6seaux raccord6s, si la t ransformation (57) conduit h consid6rer des quanti t6s q.ti et ~]I qui, dans les r6seaux raccord6s, puissent gtre reli6es entre elles par un syst~me de la forme de (58). II faut, pour cela, que les circuits raccord6s soient des circuits ferm6s.

G6n&atisation des/ormules relatives aua~ quadri pSles passi ]s.

XIV. - - ]Etant donn6 un r6seau R h (n q- Ir bornes, appar tenant h k groupes distincts, nous avons ~tabli l 'existence d 'un syst~me de n relations

(6t) U = ~!Wil J

dans ]eque] les U et les J se rappor ten t aux bornes

- - 4 9 - - T~L]~COMMUNICATIONS.

9 / 1 5

autres q u e celles de r6f6rence des diff6rents groupes, et que nous appellerons dans la suite, bornes h indice, les U repr6sentant les tensions des bornes par rapport h la borne de r6f6rence de leur groupe.

Envisageons le cas oft n est pair (n = 2m). Supposons qu'on rat tache le r6seau R h u n r6seau

Ro par m des bornes h indice, et h u n r~seau R e par les m autres bornes h indice, les bornes de r6f6rence pouvant ~tre, soit rattach6es h Ro ou Re, soiLrat- taeh6es simultan6ment h Ro et Re, soit laiss6es isol6es.

D~signons alors par Uo les tensions des bornes h indice, rattach6es h Ro, par Jo les courants entrant dans R par ces bornes, par U e ]es tensions des bornes h indice, rattach6es h Re, et par Je ]es courants sortant de R par ces bornes.

Le syst~me (61) peut alors s'~crire :

i Uo = ilWoOll go --.IlWo~ll J~ (6~)

) Ue = IlWe~ J o - [IWeell Je,

les matrices de ces syst6mes 6tant telles que :

llWoOli +-- - , itWool[

I[Woe[[ ~.-----~ IIW~~

II se pr6sente ainsi sous une forme analogue h celle d 'un des syst6mes elassiques relatifs au quadripble.

Supposons alors que le d6terminant ]Woe[ ayant m~me structure que les matrices tlwoe[[ et [[We~ soit diff6rent de z6ro. On peut dans ces conditions r6soudre le I er syst~me de (62) par rapport aux Je, ou le 2 e syst~me de (62) par rapport aux Jo.

Symboliquement, on peut effectuer ees op6rations en multipliant les syst~mes par les matrices inverses de Woell ou de [IWe~ Posons done :

(63) I IIY~ ItWe~ = l IIYooll I[Woeil 1.

On peut obtenir h part ir du 2 e syst~me :

(64) do = llYo'li Ue "~- I/Yoell IIW~% Je

et, en introduisant eette expression dans le ler sys- t6me :

(65) Uo = I!We~ I]Yoel[ Ue + (![Wo~ liW.~II- ItW,,ell) J,.

On reconnait que l 'ensemble des relations (64) et (65) est de la fovme :

Uo = lit'ill Ue + 110311Je, (66) Jo = Ilell U~ + tlcoll &.

D'autre part, on peut obtenir h partir du ler sys- t~me :

(67) Jo ~ --IIY~~ Uo + IlYo~ IIWo% Jo,

(68) Ue ---~ iiV)ZeeN t[Ye"[] Uo + (IIW~~ tlWe~[I IlYe~ Jo.

Ces relations sont de la forme :

U~ = IlW'[I Uo --I103'11 Jo (69)

J~ ----- [gUll Uo --I1~'11 Jo

LOUIS COLLET [ANN--S DES TtL~COII~ttlNI~tTION$

D'autre part, l 'examen de l 'expression de ces diff6- rentes matrices montre q u e , eompte tenu de (63),

lictII ~ I[~'11 tl0311 ~ It03'11

(70) Hell < =~ 11r

Enfin, un caleul simple permet de v6rifier que :

IIc~ll [la~'l[- 110311 Ile'[I = t, (75) 11o911/Ic~t'll- Ilell 1103'11 = 1,

ees deux relations 6tant d'ailleurs 6quivalentes, et qu'en outre :

(71 bis) lla'll !tr =-Ile'll ltall.

On remarquera l 'analogie exis~ant entre Ies relations (66), (69) (71) et (71 bis), et les formules elassiques de Breisig coneernant le quadripMe : le eas de celui- ei rentre d'ailleurs dans eelui qui vient d'gtre 6tudi6 chaque lois que ses bornes forment deux groupes eonnexes distincts, ou un groupe connexe unique de 3 bornes seulement dont une sert de borne de r6f6- fence rant du c6t6 de l 'entr6e que de celui de la sortie. Alors, les matrices figurant dans les syst~mes 6quivalents h (66) et (69) comportent un coefficient unique et sont ainsi leurs propres transpos6es.

II convient d 'observer que, dans ce qui pr6c6de, il n'a 6t6 fait aucune restriction au sujet de la r6par- tition des bornes des diff6rents groupes en bornes d'entr6e et bornes de sortie, et qu'il n'a 6t6 utile d ' imposer aucune condition aux r6seaux Ro et R e, lesquels peuvent donc avoir des points communs.

I I v a de soi que par un mode de calcul analogue h celui qui vient d'gtre utilis6, on peut obtenir la g6n6ralisation de tout autre th6or~me relatif aux quadrip61es, susceptible d'gtre exprim6 sous la forme d'une 6galit6 de produits.

X V . - - Au lieu des tensions aux bornes U, et des eoura'nts passant par les bornes J, on peut consid6rer des fonctions lin6aires de ces grandeurs :

r NAil U (72)

J = [[B[I

telles que :

(73) IIa[I ~ NBII.

En raison de la condition (73), la subst i tut ion (72) permettra d'6crire un syst~me de mgme forme que (62), dont les matrices satisferont h des conditions semblables. On pourra done 6tablir entre les q.to, 50, ~te et ~ e des relations analogues h celles des syst~mes (68) et (69), dont les coefficients rempliront des conditions analogues h (70) et (71).

XVI. - - Les r6sultats pr6c6dents peuvent gtre 6tendus au cas d 'un r6seau R ayant (n + k + 2 p) bornes, appar tenant h (k + p) groupes eonnexes distincts, lorsque p groupes connexes de bornes peuvent gtre partag6s chacun en deux sous-groupes, et qu 'on s 'astreint i~ ne jamais rat tacher les bornesd 'un

t. 4, rLr 2, 19491

sous-groupe qu'h un r6seau ou sous-r6seau sans connexion ext6rieure avec le r6seau ou sous-r6seau rat- tach6 ~ l 'autre.

Dans ees conditions, en effet, le courant total entrant dans h r6seau R ou en sortant, par les bornes d 'un mgme sous-groupe, est nul.

On peut donc choisir, dans chaque sous-groupe, une borne particuli~re de r6f6rence : l 'une d'elles pourra d'ailleurs gtre celle qui a 6t6 consid6r6e lors de l '~tablissement du syst~me (61). Cela 6tant, d6si- gnons, par exemple, par 1, 2, 3 .... les indices des bornes appar tenant ~ un premier sous-groupe con- tenant la borne de r6f6rence primitive du groupe, et par O', t:', 2' .... les indices des bornes appartenant au sous-groupe compl6mentaire. Soit alors O' la nouvelle borne de r6f6rence de ce sous-groupe.

Effectuons le changement de variab]es suivant : Pour toute borne 6trang~re au groffpe consid6r6,

et pour toute borne du t er sous-groupe, autre que la borne de rSf6rence :

(74) ~ t = U; J = ~ ) .

Pour toutes les bornes du 2 e sous-groupe, autre que 0 ' :

(75) 'u = U - - Uo, ; J = ~:.

Enfin, pour la borne O' :

(76) ~tto, = Uo ..... Uo, = 0 ; Jo . . . . . . ([~-~' + ~2' + ...... )-

On se rend ais6ment eompte que ce ehangement de variables est du type de (72), la condition (73) 6tant satisfaite. I1 conduit done h un syst~me de la forme :

(77) "lt = !I'~r 3

eomportant une 6quation de moins que celui dont on est parti, et tel que, eomme le syst~me primitif, sa matrice lio~Y[l soit sym~trique par rapport ~i la diagonale prineipale.

Des op6rations semblables permet tent de ramener ainsi le systgme primitif de (n -t- k q- p) 6quations,

un syst~me n'en comportant plus que n. Si done n e s t pair, et si on r6partit les bornes

indice en bornes o et e, en quantit6s 6gales, on peut reproduire sans aucune modification les d6veloppe- ments ayant conduit aux relations (62), (66), (69), (70) et (71).

On peut noter que si toutes les bornes a indice d 'un m~me sous-groupe doivent ~tre rattaeh6es soit au r6seau Ro, soit au r6seau Re, la borne de r6f6- rence d 'un sous-groupe peut gtre rattach6e au mgme r6seau ou bien rester isol6e. Les bornes des groupes, non partag~s en sous-groupes, peuvent ~tre indiff6- remment rattach6es au r6seau Ro ou au r6seau Re et leurs bornes de r6f6rence peuvent de mgme gtre rattach6es ~ Fun ou ~ l 'autre de ces r6seaux, ou aux deux simultan6ment, ou rester isol6es.

Un cas partieulier d'application des r6sultats pr6- c6dents est eelui d 'un quadrip61e dont les quatre bornes appart iennent h un mgme groupe connexe, mais d6nt les bornes d'entr6e sont rattach6es ~ un r6seau sans connexion ext6rieure avec le r6seau rat- tach6 aux bornes de sortie. Alors :

p ~ t ; 4 - ~ n + 2 p = 2 + 2 ; n = 2 .

DEFINITIO~N ET CARACTfiRIST-IQUES DE CIRCUITS SUPERPOSI~.S l O / i 5

Le syst~me h deux 6quations ainsi obtenu est le sys- t~me classique.

La remarque du paragraphe XV demeure encore valable dans te eas 6tudi6, quand tes fonctions q),o et ~o sont d6finies h par t i r des seules quantit6s Uo et Jo, et que les fonctions q~e et ~J~e sont d6finies h partir des seules quantit6s U e et Je"

Superpos i t ion dans le cas des l ignes dlectriques.

XVlI, - - Consid6rons le cas d 'une ligne form6e au moyen de n + I conducteurs, dont l 'un soit consi- d6r6 comme conducteur de r6f6renee 6quipotentiel pour la d6finition des tensions : ce sera natureile- ment la terre dans le cas de lignes a6riennes, et l 'enveloppe m6tallique dans le cas des lignes en chble. Choisissons sur le pareours de la ligne une origine et d6signons par x l'abscisse mesur6e i~ partir de cette origine.

On salt que si on d6signe par VI, V~, .... V n les fonctions de x repr6sentant les tensions des conducteurs, 11, 12, .... : I n celles qui repr6sentent les courants pareourant ces conducteurs, ces grandeurs sont reli6es entre elles pat deux syst~mes de relations, qui peuvent s'6crire sous forme matricielle de la mani~re suivante :

~V - - ~x m = IIZII I [IZtl < ~ llZfl

(TS) bl

- - V = IIEII ~ . IlEal +---~ IIEll.

Les coefficients de la matrice Ilgtl repr6sentent les imp6dances lin6iques, propres et mutuelles, des circuits constitu6s respectivement par chacun des conducteurs et le eonducteur de r6f6rence.

Lorsqu'on envisage le cas d 'une transmission de courants continus, les coefficients de la matrice tlEIl sont de la nature de l'inverse de conductances lin6iques d'isolement.

Dans le cas d 'une transmission de courants alter- natifs de fr6quence donn6e, correspondant ~ la pul- sation co, et s'il n'existe aucnne conductance de perte, les coefficients E repr6sentent le quotient par jo~ des coefficients lin6iques de potentiel.

L'usage le plus courant est d 'exprimer le second systbme en faisant intervenir les grandeurs appel6es

conductances et capacit6s lin6iques, ce qui place ~x

dans le premier membre et V dans le second : il convient toutefois de remarquer que ces quantit6s ne peuvent gtre calcul6es qu'h partir des coefficients E. Ainsi, bien que ces coefficients n 'aient pus re~u de nora g6n6ralement utilis6, il est raisonnable de les prendre en consid6ration de pr6f6rence aux autres. Nous allons reconnaltre que cette mani~re de faire pr6sente quelque int6rgt.

L'6tude du syst~me (78) peut 6videmment se faire sur ce syst~me lui-mgme : il permet no tamment d'6tablir un certain nombre de relations 'entre les valeurs des tensions aux extr6mit6s des ills et celles des courants entrant dans les conducteurs ou en sortant .

5 1 - -

1 t / 1 5 LOCIS

Cependant, une solution du systbme (78) a 'est pr6- cis6e que lorsqu'il est tenu eompte des conditions aux limites. Dans bien des cas, la ligne est raecord6e

des r6seaux terminaux comportant des sources ou des r6cepteurs dispos6s de sorte qu 'on puisse les rat tacher aux homes de raccordement h la ligne par des parcours distincts plus ou moins ind6pendants au point de rue 61ectrique (le sens de cette expression sera pr6cis6 duns la suite).

Bref, l 'analyse des r6seaux terminaux conduit '~ consid6rer l '6tat 61ectrique de ceux-ci comme r6sul- tant de la superposition de r6 ta t 61eetrique de circuits int6rieurs se fermant par la ligne.

Cela conduit h faire-intervenir des quantit6s U et J reli6es aux tensions aux bornes Ve t aux courants I passant du r6seau h la ligne, par des systb.mes :

I U = [tAll v (79) 1 = [IBII J

[IAli +----+ llBIl.

Si, d'une mani6re g6n6rale, on ad0pte ce changement de variables pour toutes les d6termlnations des fonctions V e t I le long de la ligne, on peut dlre que le syst~me pr6c6dent repr6sente l '6tat 61ectrique de circuits compos& superposes, cet 6tat de chacnn d'eux 6taut caract6ris6 en tout point par la valeur tie la tension U et celle du courant J correspondant.

XVII I . ~ Admettons que la ligne ait des carac- t6ristiques fin6aires, c'est-h-dire que, m6me si les imp6dances lin6iques Z et les coefficients E varient d 'un emplacement h un autre, leurs valeurs sont ind6pendantes du temps et de l '6tat 61ectrigue de la ligne. Admettons en particulier qu'on envisage seulement le cas d 'une transmission de fr~quence unique. Effeetuons sur (78) le changement de variables (79). Les syst6mes (78) pr6sentent le mgme caract~re que le syst~me (Z) consid6r6 dans le paragraphe VIII , relatif aux r6seaux de Kirchhoff lin6aires, lorsque ceux-ci sont passifs : les matrices IlZll et IIEI! sont form6es au moyen de coefficients invariables et sont sym6triques par rapport h leur diagonale principale. Comme le changement de variables ( 79 )e s t formellement le mgme que celui qui a 6t6 alors envisag6, les r6sultats de la substitu- tion se pr6sentent donc de la m6me mani~re et out en commun diverses propr~6t~s. On trouve, en patti- culler :

---~'x = [tWii J (so)

i - u = I!K!I b J

a v e c :

(s, l) W I = !fAIl IlZll iIBI! t

I!K[! il+tll NEll I[B'![.

Le syst~me (80) relatif aux circuits compos6s au moyen des ills de ligne est de forme analogue au syst6me (78) dont il est issu. Le eouplage des circuits compos6s est earact6ris6 par des valeurs de

COLLET [A~.wALrs DE~ TI~LI~COMMUNICATIONS

leur imp6dance mutueUe et de leur coefficient K mutuel, telles que :

W ~ ~- W ~ : K, ~, ~ K f f :

ce que l'on peut 6crire :

(82) !iWlt ~. > 1114;]I : !?Kli +----+ !IKI!.

L' imp6dance propre d'un circuit compos6, la valeur de son K propre, l ' imp6dance mutuelle de deux circuits, la valeur de leur K mutuel sont :ind6, pendantes des caract6ristiques et de l 'existenee mgme des conducteurs n 'entrant pas dans teur composition. Ils sont 6galement ind$pendants de ia consti- tut ion et de t 'exislence mgme des circuits coexistants.

Ces circuits compos6s peuvent donc gtre eonsid~- r6s comme d6finis pa r les seules lignes de la matrice IIAIt qui les concernent : m a i s l '6tude de leur 6tat 61ectrique implique la consid6ration de tous tes circuits simples :ou compos6s en pr6sence; et le hombre ainsi que la d6finitlon de ceux-ei doivent 6tre tels que t ous l e s courants I dans les:branches puissent gtre exprim6s en toutes circonstances en fonction des courants J dans les circuits superpos6s , Ce hombre dolt doric ~tre au moins 6gal ~ celui des conducteurs de la ligne autres que le conducteur de r6f6rence.

XIX. - - On peut 6videmment tirer du syst~me (80) des relations g6n6rales analogues h celles que l 'on peu t d6duire du syst~me (79). Ainsi, par exem- pie, si nous d6signons par Uo les valeurs h l'origine, par U e les valeurs h l 'extr6mit6, des tensions des circuits compos6s, par Jo les valeurs des courants entrant h l'origine et par J e celles des courants sot- rant ~ l 'extr6mit6 de la ligne, nous pourrons 6tablir un syst~me de relations de la forme :

Uo ---- IlWo~ ~o --tlWoell Je (62) Ue = IbW~~ Jo --IlWe~!t Je

dans lequel les matrices IIWII sont des matrices ear- r6es, satisfaisant naturellement aux conditions indi- qu6es dans le paragraphe XIV.

Lorsque le nombre des circuits consld$r6s es t 6gai au nombre de conducteurs de la llgne, autres que le condueteur de r6f6rence, !es d6terminants correspondant aux matrices Ilwoei[ et ilWe~ sont naturellement diff6rents de z6ro. I1 s'ensuit que l'on peut tirer encore de (62) des syst~mes tels que (66) et (69) dont les coefficients remplissent les conditions (70) et (71) et qui, ainsi qu 'on l'a remarqu6, sont une extension de la formule classique des quadrip61es. Cctte extension possbdc done la mgme g6n6ralit6 que la formule elle-mgme.

En outre, si la ligne est homog6nc, ou mgme plus g6n6ralement est sym6trique par rapport au milieu de sa longueur, on a :

(83) i!Wo~ = iiW~ll ; lIB@It = ltWe~

Alors :

l ll~tl : ilc~']I = I1~[1 = IIO~'ll. It-ll = 1lo5'11

,8~) I l!ell = [le'il

- - 5 2 m

t. 4, n ~ 2, 1849]

Comme dans le cas d 'une ligne simple, on peut 6ta- blir des 6quations du type de (66) et (69) en d6si- gnant par U e et Je les valeurs des fonctions U et J en un point d'abscisse x.

Ces relations matricielles repr6sentent un syst~me de 2n 6quations entre 4n fonctions, n ~tant le nombre des conducteurs de la ligne, autres que le conducteur de r6f6rence. Elles pr6sentent ie plus d'int6r~t quand, dans les matrices qu'elles corn- portent, il existe le plus grand nombre de termes ext6rieurs aux diagonales principales, qui soient u u l s .

En particulier, quand tous |es tunnes de ees dif- t'6rentes matrices, autres que ceux des diagonales principales, sont nuls, les syst6mes (66) et (69)se r6duisent h u n ensemble de syst~mes relatifs h des quadrip61es 61eetriquement ind6pendants.

D I ~ F I N r r l o . N ET C A R A C ' I ' / ~ R I S ' I ' I Q U E S DE C I R C U I T S SUPEI IPOSF, ,S '12!15

On peut encore consid6rer le circuit ho.mopolaire form6 par l'ensemble des quatre conducteurs et ls terre, et qui pourra ~tre d6fini par :

V , + V ~ + V 3 + V , . (89> Uf = 4

D'apr~s ce que nous avons dit ant6rieurement, l'expression des courants dans ces diff6rents circuits en fonction des courants dans les conducteurs 1, 2, 3 et 14, d6pendra du nombre et de la nature des circuits consid6r6s comme coexistants.

Si, par exemple, nous consid6rons simultan6mcnt les six circuits qui viennent d'etre d6finis, les coefficients de la matrice ttA!! telle que

(A) t ' = 1,1!! V,

s e r o l l l :

~. EXEMPLES D A P P I . I C A T I ( ~ N .

Mise en dqttation de ('ertabts problbme,s relati/s 5 l 'utilisation des Iignes.

('ircttits appropri& et circuits corn b i ,&.

XX. - - Consid6rons, par exemple, une lignc a6rienne comportant 4 conducteurs l, 2, 3 et 4. Sup- posons qu'en vue d'6tablir deux liaisons, on dispose des apl~areils terminaux, d'une part entre les extr6- mit6s des conducteurs I e t 2, d 'autre part entre les extr6mit6s des conducteurs 3 et 5.

I1 est naturel de consid6rer que, de cette ,nani~re, on r6alise d6jh deux circuits, que nous appellerons a et b, et qui seront d6tinis par l'expression de leurs tensions U a e t (J h en fonction des tensions des ills servant h les constituer. On posera donc :

(85) t U~, = V l - g., ' { Ub V s - - V4.

Ces seules conditious permetteut de d6tinir l'imp6- dance propre et l 'imp6dance mutuelle de ces deux circuits. Cependant, pour 6tudie," l '6tat 61ectrique complet de la ligne, et corr61ativement pour d6finir les relations entre les courants en jeu dans les appareils terminaux, il faut consid6rer un syst~me d'6qua- tions relatif h quatre circuits, au moins.

On peut convenir de consid6rer, 'a c6t6 des circuits a et b, les circuits appropri6s form6s au moyen de leurs eonducteurs et la terre.

A moins que certaines particularit6s du montage terminal ne conduisent h adopter une d6finition dif- f6reffte, on pourra convenir de d6finir ces appropri6s c et d, par les relations :

(86) Uo = - - V ' + V~ 2

V3 Ji-- 17,1 \87) a d =:

'2

On peut de m~ine consid6rer le circuit, combin6 qui, h d6faut de motifs justifiant unc autre d6finition, sera d6fini par :

171 4- V2-- Vs-- V4 (88') L:. -= ,)

. 1

b 0

,, I /2

d 0

e l / 2

i

I

0

0

1/2

q)

t

f~

] / 2

1/').

0

- - I

()

t /2

i./2

On devra alors poser :

J~ 11 = ,& 4-

(90) ]3 ~ J})

[4 ~ - - Jb

jf + + ~

+ # + J J . 4

2 = + T

la J~ Jf +=2 --7+'4

Si, au contraire, on ne consid6rait comme coexistants que les quatre circuits a, b, e, f, il y aurai t lieu de retrancher, dans les 6quations pr6c6dentes, les termes en Jr et J~.

Quoi qu'il en soit, quel que soit le nombre des circuits retenus, pourvu que ce nombre soit au moins 6gal h 4, et que ces circuits soient alg6briquemen't ind6pendants, les changements de variables corr6- latifs dont il vient d'6tre question conduisent h u n syst~me r6gissant l '6tat 61ectrique de la ligne.

En d6pit de leur diff6rence d'aspect et de comple- xit6, ces syst6mes conduiront aux mgmes r6suhats lors de l'6tude d 'un probl~me d6termin6, car, par exemple, les fonctions interm6diaires surabondantes s'61imineront d'elles-m~mes lorsqu'on exprimera les conditions terminales.

L'int6rgt que peut pr6senter la consid6ration d 'un ensemble donn6 de circuits de pr~f6rence h u n autre est justement de se mieux prgter h l'expression de ces conditions terminales, ou.encore de conduire h un syst~me d'6quations en U et J comportant moins de termes de couplagc mutuel, donc plus facile h int6grer et h interpr6ter.

5 3 - -

i3 / i5

A cet 6gard, il n 'y a aucun inconv6nient ~ consi- d6rer Un plus grand nombre de circuits en pr6sence pour calculer les imp6dances et autres coefficients mutuels figurant dans ce syst6me diff6rentiel, quitte justement h ne retenirapr6s coup que la pr6- sence des circuits offrant les moindres couplages avec ceux que l'on envisage plus sp6cialement.

LO U~[S C O L L E T

i ~ Circuits a, b, c en pr6sence :

J b de z , = J ' + T + '~

[95) I, = ~ J~ + Jb~+~Jr

XXI. - - Le cas pr6c6demment 6tudi6 est classique et en raison de la sym6trie des donn6es il efit pu parMtre 6tonnant d'adopter, pour la d6finition des circuits en pr6sence, d'autres relations que celles que nous avons pos6es. Consid6rons done un cas Un peu diff6rent.

Une ligne (fig. l) comporte trois conducteurs t , 2 et 3. On envisage de disposer, par l 'interm6diaire d 'un translateur, un poste terminal entre les extr6- mit6s des conducteurs I et 2, et un autre poste

,#

FIG. J .

entre le point milieu du translateur et l 'extr6mit6 du fil 3. La question se pose alors de savoir comment, et dans quelles conditions, on pourrait exprimer les caract6ristiques de transmission do la ligne, ind6pendamment, si possible, des caract6- ristiques des appareils qui doivent lui gtre reli6s.

I1 est assez naturel de d6tlnir un circuit a e t on circuit b par les conditions :

(,ql) I (''~ = lz~ - - I~ , 1'1 + V~

t I , 'b- 2 Va.

Par analogie avec les cas pr$c6dents, on peut d6tinir un 3 e circuit c, par la condit ion :

V~+ V, ,+ V3. (92) uc = :j

On peut encore raison ner ainsi : si le milieu du translateur 6tail tell6 h la terre, de manigre ~ cons- t i tuer un circuit appropri6, on consid6rerait comme tension aux extr6mit6s de ce circuit la quantit6

V, + I'~ (93) Ud -- 2

Enfin, si on envisageait la raise ~ la terre 6ven- tuelle du milieu de l ' impfdance sur laquelIe dolt 6tre ferm6 le circuit b, on serait amen6 h poser :

(94) ~ _ V,____X___ + ~ " + V~ V.,

Voyons quelles sont alors les relations entre les courants en ligne et les courants dans les circuits lorsqu'on consid6re la coexistence, avee a e t b, d 'un seul des circuits c, d ou e.

[ANNALES DES T~LI~COMMUNICATION$

11 - - 1~ J~ = 2

Jb = 3

Jc = 11 + I~ + 18

20 Circuits a, b, d en.pr6sence :

(96)

I1 -= j~ _~. Jb..~. + ..~Jd

la ~--- - - Jb

J~----- 2

J b = - - 18

Jd --~- It + I~ + I8

3 ~ Circuits a, b, e ei~ pr6sence :

(97)

,Ib Je 1~= J , ,+ ~ w T

I~ = --g,, +Jb + ~ Y s

J~ I ~ = - - J b + - ~

11 ~ ]$ J~----" 2

Ix + I 2 ~ 13 Jb = 2

Je = 1 , + 1 ~ + I 3

Cela 6tant, supposons que la ligne et les instal- lations qui lui sont raccord6es soient dans un 6tat 61ectrique bien d6termin6, correspondant h des conditions terminales pr6cises.

Bien que les circuits c, d et e soient d6finis de mani~re diff6rente, Ie courant dans Fun de ces trois circuits, si on le prend en consid6ration, a la mgme valeur .qu'il aurait dans un des deux autres.

Au contraire, dans les trois cas envisag6s, les cxtr6mit6s du circuit b sont les mgmes : cependant, les expressigns du courant parcourant ce circuit sont diff6rentes et n6anmoins, ainsi qu'il r6sulte des d6veloppements ant6rieurs et comme le montrerait le calcul de ces coefficients, l 'imp6dance propre du circuit b, son imp6dance mutuelle avec le circuit a, son coefficient K propre et le coefficient Ka b sont ind6pendants du choix du 3 e circuit consid6r6 pour pouvoir d6crire l '6tat 61ectrique de la ligne.

Cela tient 6videmment au fait que les circuits ell pr6sence sont des circuits compos6s h partir des mgmes conducteurs, et que ces circuits ont entre eux des couplages mutuels. On ne peut done 6tudier l '6tat 61ectrique d'dn de ces circuits en faisant abstraction de l'existence des autres.

En introduisant les valeurs des U des circuits que l'on prend en consid6ration et celles des J Corres- pondants, dans les 6quations du syst~me relatif aux ills :

l ~V IJZI~ I (78) ax ~I

- - Y = [IEI/~x

on obtient le syst~me :

t bu IIWll J bx (80)

U = IIKII ~J

54 - -

t, 4, n ~ 2, 19491 DI~, FI N r r I o N

dont les variables ne se s6parent pas. On peut en tirer, par exemple, des syst~mes de la forme de (66) et (69), qui font intervenir simultan6ment les carac- t6ristiques de transmission des 3 circuits. On congoit, d~s lors, qu 'une alt6ration d 'un des circuits ne soit pas indiff6rente sur les caract6ristiques altribu6es aux autres.

B~alisation de circuits superposes.

ET C A R A C T E R I S T I Q U E S DE CIRCUITS SUPRRPOSI~S 14/15

une valeur bien d6finie, en d6pit de la diversit6 de ses expressions :

(102) db I t + l ~ - - 2 J a = 3

FIG. 2.

= - -18 =

XXII . - - On ne saurait toutcfois en conclure que la notion de circuits compos6s, par exemple de circuits combin6s, soit purement artificielle et ne repr6- sente qu 'un interm6diaire de calcul plus ou moins commode.

Dams les limites off il est possible d'assimiler des t ransformateurs r6els h des t ransformateurs par- faits, on peut mat6rialiser tous circuits d6tinis par un syst6me :

(A) L : = '.IAI[ V

dans lequel les coefficients de A sont des nombres r6els.

Si on dispose, entre l'origine de chacun des conducteurs 1, 2, 3... et le conducteur de r6f6rence (par exemple la terre), un t ransformateur dont le rapport de transformation soit respectivement A~X pour le premier, A~ 2 pour le second.., et aims[de suite, et qu'on met te en s6rie tous les secondaires, on r6alise un montage aux bornes duquel la tension est, eu routes circonstances :

(98) U~ = A~ 1 V1 + A~ 2 V o + .........

Un montage analogue peut ~,tre effectu6 pour r6all- ser tous les circuits qu 'on d6sire.

Si on ferme les circuits secondaires sur des sources et imp6dances convenables, ces circuits seront par- courus respeet ivement par des courants Ja, */[3 .....

II est alors 6vident que lc courant total d6bit6 dams les diff6rents primaires, cn parall~le entre le eonducteur i et la terre, sera :

(99) Ii = Aa i J~ + Afs i J[~ + ..........

soit, si on pose AX i == Bi ;~ :

(100) ] i = Bi ~t J~ + Bi~ J[~ ........

done, g6n6ralement :

(B) 1 -= IIB[] J, avec IIA[]< w IIBII.

Dans bien des cas, d'ailleurs, ce montage th6o- rique pourra gtre remplac6 par un montage 6quiva- lent beaueoup plus simple. C'est ainsi, par exemple, que dans le cas de la ligne h 3 ills, il suflit d 'un translateur pour r6aliser simultan6ment les circuits a et b, conform6ment '~ la figure 2.

Ce montage ne r6alise pas un troisi&ne circuit. Remarquons qu'on peut, h volont6, admet t re que ce troisibme circuit est le circuit c, le circuit d ou le circuit e : comme ce 3 e circuit est ouvert , on aura :

(t01) I, + 1~ + Ia = O.

Si donconferme le circuit b e n disposant une imp6- dance entre les bornes b e t b', le courant d~ aura

I1 + 12 - - 13 3

. 4

_3

o s

ltemarque au surer de l'dtude des systbmes polyphasds au moyen des coordonndes symdtriques.

X X II I . - - Consid6rons un syst~me polyphas6 h p phases. Soient V1, Vz,.. . Vp les tensions, en un lieu donn6, des diff6rentes phases, par rappor t au point neutre.

On appelle composantes sym6triques de la tension, les quantit6s Uo, U~, U[3,... U~_:r d6finies en fonction des tensions V par le syst~me de relations :

(103) U -= 1 Itr V, P

dams lequel II~ll repr6sente la matrice, sym6trique par rappor t h la diagonale principale :

ii1 1 1 t ...... 1

II t r r ...... II (1o4) . . . . . .

z d6signant la quantit6 complexe :

(105) ~ = el2~,'p.

Uo s'appelle la composante homol)olaire de la tension. Les autres composantes ont 6galemcnt re~u des noms, mais dams ce qui suit nous les distinguerons simplement par ieur indice ~t, ~ .... (r~ - - cr

On peut inverser le syst&ne des relations existant errtre les U et les V. On trouve alors :

(106) V = ll~q[] U,

ll~l] d6signant alors la matrice :

1 1 1o 1 . . . . . . 1

I t r ~- $3 ...... Cp--~

11 t r r g3(p--l) . . . . . . gB(p--l) 'z

Cette matrice est reli6e h la matrice (r par la formule :

(108) liell tl~ll ---- I1~11 I1r = p.

Si on voulai t consid6rer le syst~me polyphas6 comme r6sultant de la superposition de circuits 0, ~, ~ ..... (= - - cr au sens que nous avons attr ibu6 h ce terme, on at tacherai t ~ chacun des circuits un courant Jo, Ja, J~ .... , d6fini, ~ part ir de I1, 12 .... lp, par le syst~me :

t (109) 1 ------ II~H J

P

- - 55

15/15

puisqu'en effet~ la matriee He[t est transpos6e h elle- mgme. On peut tirer de lh :

(t10) J = I1~1[ 1.

Dans la th6orie des cuordonn6es sym6triques on adopte une convention diff6rente. A chaque indice X, qui alors ne repr6sente plus un circuit, on at tache un courant "[~x dont l 'ensemble est d6fini par :

1 (1tl) ,~ = ~ li~li I, ou : t = il'~!t O.

On peut ais6ment passer des courants d aux eourants ~.'~. On a, en effet :

(112) 9 -= 71fr = I1r J,

, J = ll~ll I = !?~ll ~ 3"

On v6rifie facilement que ces relations matricielles expriment que :

t ~'1o ----- - J o

P 1

9~ - ~ J ~ - ~ ( t13 )

:'t~ = :l_j=_~ P

, . ~ 1 7 6 . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . .

1

En d6finitive, h u n terme constant pros, lath6orie des coordonn6es sym6triques fait intervenir les mgmes grandeurs que eelle qui serait bas6e sur la d6composition en circuits supcrpos6s, mais avec une terminologie diff6rente. Ainsi, dans l '6tude d 'un probl~me d6termin6, elle dolt eonduire aux mgmes conclusions par des interm6diaires de ca leu l analogues. Tout6fois, pour l '6tablissement de proposi- tions g6n6rales, elle impose de refaire, en tenant compte de ses conventions particuli~res de notation,

les d6veloppements ayan t conduit h des r6sultats classiques, h moins qu'on ne parte simplement de ces r6sultats et qu'on ne les traduise in fine darts le langage propre ~ cette th6orie, en utilisant le tableau de eorrespondanee que nous venons d'indiquer entre les eourants J et les courants ~ (formules 1t3), ou 6ventuellement, les relations matricielles (l J2) eorrespondantes.

Ainsi, par exemple, eonsid6rons le ~[er syst~me des 6quations des t616graphistes, relatif h une ligne tri- phas6e h 3 eondueteurs en pr6senee de la terre.

La th6orie elassique bas6e sur la notion de circuits superpos6s indique qu'on peut mettre ce syst~me sous la forme :

~ u bx - - Z ~ 1 7 6 1 7 6 + Z o ~ J ~ + Z o ~ J ~

(1t4) ~U= bx = Z=~ Jo + Z:t r162 J~ + Z~r~ J[~

~U~ _ Z~ ~ do + Z~ ~ d~x + Z~b d~ ~x

LOUIS COLLET [ A N N A L E S D ~ S T f ~ L I g C O M I d U N I C A T I O I q S

les inductances mutuelles satisfaisant aux conditions :

(tt5) Zo ~ = Z a ~ Z o ~ = Z ~ ~ Z : t~=Z$~ .

Transcrivons ces r6sultats en empruntant les nota- tions de |a th6orie des eoordonn6es sym6triques -

(116)

i bU,, bx bU~

~U~ ~x

. . . . ?;~~ ;'~o + , ~ ~ , + 5,~ ~ ;'t,~

les coefficients "~, qu'on ne saurait alors, sans abus, appeler des imp6dances mutuelles, satisfaisant aux conditions :

(11/ ) 5o~ = 5~ ~ 5o ~ = ~I~ ~ : ~-3,~ = 5t~ ~'.

Consid6rons de mgme le syst~me g6n6ralisant ]es formules classiques du quadrip61e :

Uo = ltA Ii U~ + IIBI[ J~ Jo --!ICI[ Uo + !ID!I J~

avec :

(7t)

On ~n tire :

IllS)

]iAII IID'II- itBll flC'II = 1.

en posant :

?,ctfl = IIA[~ [1r = ItBII lID]?

(tt9) Ileil = .,,~., 2 rfCq

( } ; t ~" !ir ItD!! li~}~,l ' l l (0!b = ,

et la relation existant entre ces matrices est :

(120) tlc~ll IIr ~ IlWll' I1~I1" - - ' l ~ J , llr Ile'll I I~ l l = p~.

Elle est done de forme bien plus compliqu6e que la relation correspondante 6tablie lorsqu'on consi- d~re les quantit6s U et J . I1 s'explique ainsi qu'elle n 'ai t point 6t6, apparemment, signal6e jusqu'h pr6- sent.

D'une mani~re g6n6rale, la m6thode des coor- donn6es sym6triques conduit h des relations dont l 'aspect 'diff~re de celui auquel accoutume l '6tude classique des circuits : elle demande done une sp6- ciale at tent ion pour pouvoir 6tre appliqu6e correc- tement, et risque de laisser inapereues des propri6t6s int6ressantes.

Manuscrit recu le 21 no~,embre ]945.

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Définition et caractéristiques de circuits superposés