This article was downloaded by: [Linköping University Library]On: 18 December 2014, At: 22:47Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Journal of Decision SystemsPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tjds20

Des indices de robustesse pour la méthode prudenteet pour la fonction de choix de BordaSylvain Durand a & Damien Trentesaux ba Équipe Théorie de la décision, Laboratoire LEIBNIZ , Institut IMAG , 46 avenue FélixViallet, F-38031 , Grenoble cedexb Équipe génie logiciel, Laboratoire LAMIH , Université de Valenciennes , Le mont Houy,BP 311, F-59304 , Valenciennes cedexPublished online: 18 Apr 2012.

To cite this article: Sylvain Durand & Damien Trentesaux (2000) Des indices de robustesse pour la méthode prudente etpour la fonction de choix de Borda, Journal of Decision Systems, 9:2, 269-288, DOI: 10.1080/12460125.2000.9736713

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/12460125.2000.9736713

PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE

Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the “Content”) containedin the publications on our platform. However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make norepresentations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, or suitability for any purpose ofthe Content. Any opinions and views expressed in this publication are the opinions and views of the authors,and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Content should not be reliedupon and should be independently verified with primary sources of information. Taylor and Francis shallnot be liable for any losses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages, and otherliabilities whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to orarising out of the use of the Content.

This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematicreproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in anyform to anyone is expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

Journal of Decision Systems. Volume 9/2000, pages 269 to 288

Des indices de robustesse pour la méthodeprudente et pour la fonction de choix deBorda

Sylvain Durand* — Damien Trentesaux**

*Équipe Théorie de la décision, Laboratoire LEIBNIZ, Institut IMAG46 avenue Félix Viallet, F-38031 Grenoble cedexSylvain.Durand@imag.fr

** Équipe génie logiciel, Laboratoire LAMIH, Université de ValenciennesLe mont Houy, BP 311, F-59304 Valenciennes cedexDamien.Trentesaux@univ-valenciennes.fr

ABSTRACT. This paper proposes a common indicator of robustness for two classical choicefunctions (Maximin and Borda) regarding a variation of the weights of the criteria. After afew recalls, we shall present simple similar indicators (one for each function) that allow themeasurement of the “local” robustness of the functions, i.e. for one given function, thecomparison of the robustness in two different points. These local indicators induce theprinciple of a global indicator, the value of which can be evaluated through a class ofrandom profiles. We discuss the relevance of the proposed indicators. We also validate anhypothesis according to which Maximin would be more robust than Borda regarding avariation of the weights of the criteria.

RÉSUMÉ. Cet article propose, pour deux fonctions de choix (fonction de choix prudente,encore dite du maximin, et fonction de choix de Borda), un indice de robustesse commun parrapport à une variation des poids des critères. Après avoir rapidement effectué quelquesrappels, nous verrons comment une analyse de robustesse « locale » peut être réaliséesimplement pour les deux méthodes. Des indices de robustesse locale, proposés pour chacunede ces deux fonctions, permettent de comparer, pour une méthode donnée, les robustesses endeux points différents. Ces indices locaux conduisent à la construction d’un indice globaldont l’évaluation peut être faite sur une classe de profils aléatoires. L’intérêt des différentsindices proposés est discuté. Nous en profitons pour valider l’hypothèse selon laquelle lafonction de choix prudente s’avère plus robuste que la fonction de choix de Borda parrapport à une variation des poids des critères.

KEY WORDS: robustness, stability, weights, prudence, maximin, Borda ranking rule.

MOTS-CLÉS : robustesse, stabilité, poids, prudence, maximin, Borda.

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

270 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

1. Introduction

1.1. Généralités

Un des souhaits souvent formulés par les décideurs vis-à-vis de la méthodemulticritère qu’ils utilisent est d’avoir une idée de la robustesse du résultat. C’est laraison pour laquelle l’étude de la sensibilité des méthodes multicritères fait partiedes grands axes de recherche du domaine [DYE 92], [ROY 96], [ROY 97]. Cettedemande traduit la volonté de savoir dans quelle mesure une petite variation desdonnées (due par exemple à une erreur de mesure ou d’estimation) risque d’affecterle résultat donné par la méthode.

Parmi les variations possibles des données, notons entre autres l’ajout ou leretrait d’une alternative ou d’un critère, les changements sur les préférences descritères sur les alternatives, l’intensité de ces préférences, ou encore les poidsattribués aux critères. C’est sur ce dernier type de variation que nous avons choisi defocaliser notre attention. Plusieurs auteurs [ARR 86] ont en effet remarqué que lesévaluations des poids faites par les décideurs sont souvent très fluctuantes etcontiennent une large part d’arbitraire.

De nombreux auteurs ont étudié l’impact de la variation d’un profil surl’ensemble de choix associé. Le lecteur peut se référer par exemple à [STE 96](variations sur les intensités de préférences, omission de critères dans le cas deméthodes additives), [BAN 88] (variations des poids dans le cas de trois critères),[MAR 88] (sensibilité par rapport au poids d’un critère où d’un ensemble de critèresdans le cas de méthodes additives) ou encore [GAL 86] (revue de la littératureconcernant les différentes variations possibles dans le cas de maximisation devecteur).

L’objectif de cet article est double. Il s’agit tout d’abord de fournir au décideurune mesure de la robustesse locale relative à une méthode et un profil donné. Nousproposerons d’autre part une évaluation de la robustesse globale qui pourra servir deréférence. Cette robustesse globale permettra en outre la comparaison des fonctionsdes choix (dans l’esprit de l’article [PÉR 95]). Nous distinguerons la stabilitépartielle (variation du poids d’un seul critère), la robustesse locale (variation dupoids d’un ensemble de critères) et la robustesse globale (mesure de robustesseindépendante des profils).

Nous avons choisi de comparer la fonction de choix de Borda et la fonction dechoix du Maximin. Cette dernière est peut-être le prolongement le plus utilisé ([BLA58], [YOU 77], [KÖH 78]) de la méthode de Condorcet que l’on oppose depuis plusde deux siècles à la méthode de Borda. Il est donc instructif de proposer un nouveaucritère de comparaison : leur robustesse par rapport au poids des critères.

Pour la fonction de choix prudente, puis pour la fonction de choix de Borda, nousdécrirons les modifications possibles de leurs ensembles de choix à la suite de lavariation du poids d’un seul critère. Nous calculerons les bornes de l’intervalle à

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 271

l’intérieur duquel une telle variation laisse l’ensemble de choix inchangé. Nousproposerons des indices de robustesse locale inspirés par ces considérations. Ilspermettront la comparaison de la robustesse, pour chaque fonction de choix, entredeux profils différents.

Nous nous attaquerons ensuite au problème plus difficile de la robustesseglobale. Nous utiliserons les valeurs des indices pour des classes de profilsaléatoires. Nous discuterons alors des utilisations possibles de ces indices. Nousconfirmerons par exemple l’intuition selon laquelle la fonction de choix prudente estplus robuste que la fonction choix de Borda par rapport aux variations de poids.

1.2. Notation

Soit m le nombre d’alternatives notées x1, x2,…, xm. Les n critères seront notésC1, C2,…, Cn. À chaque critère Ck est associé un poids wk appartenant à l’ensembleIR+ des réels positifs. Les bornes inférieures et supérieures pour ce poids sont notéesWkinf et Wksup. Ces critères exprimeront les préférences sur les alternatives sousforme d’ordres totaux. Ces ordres totaux peuvent, par exemple, être induits par lesévaluations des différentes alternatives pour chacun des critères.

Un profil P sera supposé composé de n ordres totaux sur l’ensemble desalternatives et de l’ensemble des poids associés à chaque critère, les bornes sur cespoids étant connues. La matrice de surclassement (nous utiliserons ce terme issu de[ARR 86] qui nous semble moins restrictif que celui de matrice électorale) associéeà un profil P est notée A = (aij ), où aij est la somme des poids des critères quipréférèrent l’alternative xi à l’alternative xj. Les coefficients aii ne sont pas définis.

2. Stabilité partielle de la fonction de choix prudente

L’ensemble de choix prudent est composé des alternatives xi pour lesquelles leplus petit coefficient de surclassement aij de la ligne i est le plus grand possible. Cecoefficient sera appelé le maximin de la matrice et sa valeur sera notée Mm. Dans lecas où la matrice de surclassement est à somme constante (" i ¹ j, aij + aji = S wk),l’ensemble de choix peut aussi être défini comme l’ensemble des alternatives xi pourlesquelles le plus grand coefficient de surclassement aji de la colonne i est le pluspetit possible. C’est pour cette raison que cette fonction de choix est souvent appeléerègle du minimax. Le lecteur trouvera dans [ARR 86] et [KÖH 78] de nombreusespropriétés de la fonction de choix prudente. La fonction de choix prudente associe àtout profil P un ensemble non vide d’alternatives dites prudentes.

L’analyse de stabilité que nous allons faire maintenant détermine l’influenced’une variation du poids d’un critère sur le résultat. Nous calculerons donc dans quelintervalle de stabilité le poids d’un critère peut varier sans que le résultat de lafonction de choix prudente change. Ceci revient, à partir d’un profil donné, à

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

272 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

augmenter ou diminuer le poids d’un critère tant que le(s) maximin(s) ne change(nt)pas de ligne.

Le but des démonstrations qui suivent est d’aboutir à des formules faciles àprogrammer. Il est sans doute possible de trouver des démonstrations plus élégantesd’un point de vue mathématique, mais la mise en œuvre informatique est alors plusdélicate. C’est donc dans l’optique de faciliter la tâche aux personnes désirantprogrammer les indices de robustesse que les démonstrations suivantes ont étérédigées.

2.1. Évolution des maximins quand le poids d’un critère varie

Nous avons défini la règle de prudence à partir des positions des maximins de lamatrice de surclassement. Il est donc naturel d’étudier comment ces positionsévoluent lorsque le poids d’un critère varie.

Supposons que l’on fasse varier le poids du critère Ck. Soit C = (cij ) la matrice desurclassement associée au seul critère Ck affecté d’un poids unitaire (cij = 1 si Ckrange l’alternative xi avant xj et 0 sinon).

Supposons que, pour le profil de départ P dans lequel le poids du critère Ck estwk, le maximin de la matrice de surclassement se trouve atteint sur les lignes del’ensemble I = { i1, i2,…, ih}. Les alternatives xi1, xi2,…, xih sont donc dansl’ensemble de choix prudent. Pour i Î I, MM(i) désigne l’ensemble des colonnes jtelles que aij = Mm.

Remarquons tout d’abord que nous pouvons classer les éventuels changements deplace des maximins dans la matrice de surclassement en cinq catégories :

- Cas 0 : les maximins ne changent pas de place. Dans ce cas, c’est la borne surle poids qui limitera la variation.

- Cas 1 : un nouveau maximin apparaît sur une ligne j Ï I. Alors, l’ensemble dechoix prudent change.

- Cas 1' : tous les maximins d’une ligne i Î I disparaissent. Ici encore,l’ensemble de choix prudent change.

- Cas 2 : un ou plusieurs maximins apparaissent sur des lignes de I et nous nesommes pas dans le Cas 1 (l’ensemble de choix prudent ne change pas).

- Cas 2' : un ou plusieurs maximins disparaissent sur des lignes de I et nous nesommes pas dans le Cas 1' (l’ensemble de choix prudent ne change pas).

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 273

La plus grande variation de wk telle que l’ensemble de choix ne change pas estdonc le minimum de :

- La plus grande variation (0) telle que le poids soit encore admissible.

- La plus grande variation (1) telle qu’il n’y ait pas eu de changement de typeCas 1 ou Cas 1' et sans qu’il y ait eu d’autre changement de maximins (de types Cas2 ou Cas 2').

- La plus grande variation (2) telle qu’il n’y ait pas eu de changement de typeCas 1 ou Cas 1' après un ou plusieurs changements (Cas 2 ou Cas 2') de maximinssans modification de l’ensemble de choix.

2.2. Borne supérieure (wk augmente)

La valeur de la variation (0) est bien sûr Wksup - wk.

Calcul de la valeur de la variation (1)

Si aucun des maximins de départ ne correspond à un coefficient d’indice ij telque cij = 0, tous les maximins augmentent en même temps que wk et restent les plusgrands des minima. Dans ce cas, il n’y a pas de changement de l’ensemble de choixsans changement préalable des maximins.

Sinon, il y a deux possibilités : soit une alternative sort de l’ensemble de choix,soit une nouvelle alternative entre dans l’ensemble de choix.

Pour la première possibilité, il y a plusieurs maximins au départ et une alternativesort de l’ensemble de choix (Cas 1'). Le maximin qui va disparaître doitcorrespondre à un coefficient d’indice i1j tel que ci1j = 0 (sinon, nous pouvonsconsidérer que nous sommes dans le cas 2). Pour que ai1j devienne plus petit quel’un des coefficients ai2k correspondant à un autre maximin, nous devons avoirci2k = 1 pour toutes les colonnes k correspondant aux maximins d’une alternative i2.Alors, le poids ne peut pas augmenter sans qu’il y ait de changement de l’ensemblede choix. La variation maximum de poids sans changement de l’ensemble de choixest donc 0.

Pour la deuxième possibilité, tous les coefficients apq qui sont sur la ligne ducoefficient apr qui va devenir un maximin et qui sont strictement inférieurs à Mmdoivent correspondre à un coefficient d’indice pq tel que cpq = 1. En effet, dans lecas contraire, un des coefficients de la ligne restera inférieur au maximin. Pourdevenir un maximin, le coefficient apr doit devenir le minimum sur sa ligne. Commesa valeur augmente en même temps que wk, et que les autres coefficients de la ligneinférieurs à Mm dans la matrice de surclassement de P augmentent à la mêmevitesse, apr doit être le minimum sur sa ligne au départ. Pour que l’alternative xpentre dans l’ensemble de choix, il faut donc que le plus petit des coefficients apq

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

274 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

inférieurs à Mm dans la matrice de surclassement de P devienne aussi grand que cemaximin. Cette égalité est réalisée pour une variation de poids égale à Mm - min apq.

Nous obtenons une formule regroupant les différents cas. Il suffit en effet de fairele calcul pour chacun des maximins et de prendre la plus petite valeur obtenue. Poursimplifier les formules qui suivent, e désignera un réel positif arbitrairement petit,+¥ un réel arbitrairement grand et nous poserons min{Æ} = +¥. En pratique, il estpossible de considérer que e est inférieur à la précision machine. La variation (1)maximum de poids d1

+(P, k) sans qu’il y ait eu d’autre changement de maximin estdonc de :

( )

( )

( )

( )

( ){ } { }{ }

d

e

1

1 1 2

1

01

0

+

Ï " < = Î

=

+ ¥ " Î " Î =

$ Î

" Î =

$ Î =

-æ

èç

ö

ø÷

æ

è

çç

ö

ø

÷÷-

ì

í

ïïïïïï

î

ïïïïïï

P k

i I j MM i c

i i Ij MM i c

j MM i c

Mm a

ij

ij

i j

p I q a Mm c q mpq

pq pq

,

si , ,

si , ',

' '

min min sinon

' '

, , ,...,

[1]

Calcul de la valeur de la variation (2)

Pour calculer la valeur de la variation (2), il est nécessaire de savoir commentvont évoluer les maximins avant qu’il y n’y ait de changement de l’ensemble dechoix. Cette évolution est en fait assez simple. Elle est présentée dans le schémagénéral de la Figure 1.

Nous ne justifierons que certains points de ce schéma. Le lecteur pourrafacilement démontrer les autres en utilisant les mêmes principes.

Le point le plus important est le fait que les Cas 2 et Cas 2' se produisent au plusune fois lorsque wk augmente et qu’il n’y a pas de changement de l’ensemble dechoix.

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 275

Cas 1

Cas 0

Profil initial

Variationde wk

Cas 2'

Cas 0

Cas 1

0

Wkmax-wk

Cas 1'

Cas 2

Cas 2'

Cas 1

Cas 0

Cas 1'

d1+(P, k)

d1+(P', k)

d2+(P, k)

Figure 1. Évolutions possibles du maximin

Propriété 1 : Le Cas 2 se produit au plus une fois lorsque le poids d’un critèrevarie dans un sens donné et que l’ensemble de choix ne change pas.

Preuve :Pour qu’un maximin apparaisse sur une ligne i1 Î I, il faut que :- tous les maximins initiaux correspondent à des coefficients d’indice ikj de la

matrice de surclassement de P, tels que cikj = 1 ;- le nouveau maximin corresponde à un coefficient d’indice i1l de la matrice de

surclassement de P, tel que ci1l = 0.En effet, si ces conditions ne sont pas vérifiées, ai1l ne peut pas devenir égal à

aikj lorsque wk augmente. Ainsi, comme le nouveau maximin correspond à uncoefficient d’indice i1l tel que ci1l = 0, il est impossible d’après la remarqueprécédente que ce type de changement se produise à nouveau pour cette alternativesans que ce nouveau maximin ne disparaisse. Or ce nouveau maximin ne peut pasdisparaître sans que l’alternative xi1 ne sorte de l’ensemble de choix (ce maximinreste le minimum de la ligne i1 puisque ci1l = 0, s’il disparaît, c’est donc qu’il n’estplus maximin). Donc le Cas 2 se produit une fois au plus.

Propriété 2 : Le Cas 2' se produit soit au départ, soit juste après le Cas 2.

Preuve :Supposons qu’un maximin disparaisse d’une cellule d’indice il sans que

l’alternative xi sorte de l’ensemble de choix. Après cette disparition, la ligne i

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

276 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

contient encore des maximins correspondant à des cellules d’indice ij . Pour que ailne reste pas le minimum de la ligne i, il faut que cil soit égal à 1 et que les cij soientégaux à 0. Si le profil n’est pas le profil de départ, pour une variation arbitrairementpetite, ai n’est pas le minimum de la ligne i. Ce maximin vient donc d’apparaître cequi correspond au Cas 2. En effet, si l’alternative xi n’était pas dans l’ensemble dechoix de départ et qu’un nouveau maximin apparaît sur la ligne i (Cas 1), nousarrêtons la variation de wk.

Calculons la variation nécessaire pour qu’un ou plusieurs maximins apparaissentsur une ligne sans qu’il y ait de changement de l’ensemble de choix.

Comme nous l’avons vu dans la justification de la Figure 1, les maximins dedépart doivent correspondre à des coefficients d’indice ij tel que cij = 1 (pour tout idans I). De plus, le coefficient qui va devenir le nouveau maximin doit correspondreà un coefficient d’indice iq tel que ciq = 0. La cellule (i, q) qui va contenir lenouveau maximin est donc celle qui contient le plus petit aiq parmi toutes cellestelles que ciq = 0. Nous en déduisons la valeur maximum de la variation de poidsd2

+(P, k) sans qu’il y ait de changement de position des maximin :

( )( ){ } { }

( )d21 0

+

Î $ Î = =

= -

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

P k a Mmi I j MM i c q c

iqij iq

, min min [2]

En raison des évolutions présentées sur la Figure 1, nous savons que si lemaximin change à nouveau de position, c’est dans le cas 1. Il suffit donc dans ce casd’ajouter la variation d1

+(P', k) autorisée à partir du profil P' où P' est obtenu à partirde P en augmentant wk de d2

+(P, k). Si d2+(P, k) = +¥, seules les variations (0) et

(1) nous intéressent.

Théorème 1 : La valeur maximale wk-P-max du poids du critère Ck telle que lavaleur de la fonction de choix prudente ne change pas est donnée par la formulesuivante :

wk-P-max = wk + min(d1+(P, k), d2

+(P, k) + d1+(P', k), Wksup-wk)

où d1+(P, k) et d2

+(P, k) sont calculés à partir des expressions [1] et [2] et où P'est obtenu à partir du profil P en augmentant le poids du critère Ck de d2

+(P, k) sid2

+(P, k) ¹ +¥ et de 0 sinon.Un exemple de calcul est donné au paragraphe 0.Nous utiliserons la propriété suivante dans les calculs de robustesse, mais elle est

énoncée ici en raison de son rapport direct avec le calcul précédent.

Propriété 3 : Si wk-P-max ¹ Wksup, lorsque le poids wk continue à augmenteraprès avoir dépassé wk-P-max, l(es) alternative(s) qui est (sont) sortie(s) del’ensemble de choix ne peu(ven)t plus y entrer à nouveau.

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 277

Nous avons vu en effet que si une alternative xi sort de l’ensemble de choix, c’estque le coefficient cimin qui correspondait au minimax est égal à 0 et qu’il existe unealternative xj dont tous les coefficients de surclassement sont plus grands. Lescoefficients ne pouvant qu’augmenter, aimin ne peut plus devenir supérieur ou égalaux coefficients correspondant à l’alternative xj, et xi ne peut plus appartenir àl’ensemble de choix prudent.

2.3. Borne inférieure (wk diminue)

La valeur minimale de wk telle que l’ensemble de choix prudent ne change pas sedémontre en utilisant le même type de raisonnement. Nous obtenons ainsi :

Théorème 2 : La valeur minimale wk-P-min du poids du critère Ck telle que lavaleur de la fonction de choix prudente ne change pas est donnée par la formulesuivante :

wk-P-min = wk - min(d1-(P, k), d2

-(P, k) + d1-(P', k), wk-Wkinf)

où d1-(P, k) et d2

-(P, k) sont calculés à partir des expressions [3] et [4] et où P'est obtenu à partir du profil P en diminuant le poids du critère Ck de d2

-(P, k) si d2-

(P, k) ¹ +¥ et de 0 sinon.

( )

( )

( )

( )

( ){ } { }{ }

d e

e

1

0 1 2

0

00

1

-

Ï " < = Î

=

+ ¥ " Î " Î =

> $

" Î =

$ Î =

-æ

èç

ö

ø÷

æ

è

çç

ö

ø

÷÷-

ì

í

ïïïïïï

î

ïïïïïï

P k

i I j MM i c

i ij MM i c

j MM i c

Mm a

ij

ij

ij

p I q a Mm c q mpq

pq pq

,

si , ,

si , ',

' '

min min sinon, , ,...,

[3]

( )( ){ } { }

( )d20 1

-

Î $ Î = =

= -

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

P k a Mmi I j MM i c q c

iqij iq

, min min [4]

La propriété concernant la possibilité d’entrer à nouveau dans l’ensemble dechoix prudent reste valable.

3. Stabilité partielle de la fonction de choix de Borda

La fonction de choix de Borda dans sa version originale sélectionnait lesalternatives dont la somme des rangs était minimale. Nous utiliserons une version

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

278 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

équivalente qui permet sa généralisation aux relations valuées : nous appelleronsfonction de choix de Borda, notée B, la fonction qui sélectionne les alternatives quimaximisent la somme des coefficients de surclassement de leur ligne (une autreversion équivalente consiste à sélectionner les alternatives qui maximisent la sommedes coefficients de surclassement de leur ligne moins la somme des coefficients desurclassement de leur colonne). Plus formellement :

( )B P x j a ai jll

ill

= " £ì

íï

îï

ü

ýï

þïå å,

Notons Bp le score de Borda de l’alternative xp dans le profil de départ P, et bpkle score de Borda de l’alternative xp dans le profil constitué du seul critère Ck affectéd’un poids unitaire. Remarquons tout d’abord que le score de Borda de chaquealternative augmente linéairement en fonction du poids du critère Ck. Si d est lavariation de poids du critère Ck, le score de Borda de l’alternative xp après cettevariation est Bp + d bpk. L’étude faite ici est très proche de celle réalisée dans [MAR88].

3.1. Borne supérieure

Soit xi une des alternatives qui est dans l’ensemble de choix de départ. Il y a deuxpossibilités pour que l’ensemble de choix change :

- Soit une alternative xp qui n’était pas vainqueur de Borda le devient. Dans cecas, bpk doit être strictement supérieur à bik. Les scores de xp et xi sont alors égauxpour d = (Bp - Bi) / (bik - bpk). Il suffit donc de calculer pour quelle alternative xpcette valeur positive de d est minimale et de vérifier que le poids de Ck reste bieninférieur à Wksup.

- Soit il y avait plusieurs alternatives dans l’ensemble de choix de départ et uned’entre elles en sort. Il existe alors une alternative xi ' telle que Bi = Bi ' et bi 'k ¹ bik.Alors, dès que le poids de Ck augmente, une des deux alternatives sort de l’ensemblede choix.

Théorème 3 : La valeur maximale wk-B-max du poids du critère Ck telle que lavaleur de la fonction de choix de Borda ne change pas est donnée par la formulesuivante :

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 279

{ }

{ }w

w W wB B

b b

p b b B B

w p B B b b

W

k B max

k ksup kp b b B B

p i

ik pk

pk ik p i

k p i pk ik

ksup

pk ik p i

- -

> <

=

+ --

-

æ

è

çç

ö

ø

÷÷-

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

> < ¹ Æ

$ = ¹

ì

í

ïïïïï

î

ïïïïï

min , min

si et

si et

sinon

ete

3.2. Borne inférieure

Nous obtenons la borne inférieure de façon analogue :

Théorème 4 : La valeur minimale wk-B-min du poids du critère Ck telle que lavaleur de la fonction de choix de Borda ne change pas est donnée par la formulesuivante :

{ }

{ }w

w W wB B

b b

p b b B B

w p B B b b

W

k B min

k kinf kp b b B B

p i

ik pk

pk ik p i

k p i pk ik

kinf

pk ik p i

- -

< <

=

+ --

-

æ

è

çç

ö

ø

÷÷+

æ

è

çç

ö

ø

÷÷

< < ¹ Æ

$ = ¹

ì

í

ïïïïï

î

ïïïïï

max , max

si et

si et

sinon

ete

4. Un indice de robustesse locale

Dans cette partie, nous définissons un indice de robustesse locale qui sera lemême quelle que soit la méthode utilisée. Soit W = (w1, w2 … wn) le pointcorrespondant au profil de départ dans l’espace des poids. Pour alléger la rédaction,nous assimilerons un profil au point qui lui correspond dans l’espace des poids.Nous parlerons donc de l’ensemble de choix du point W pour l’ensemble de choix duprofil auquel correspond le point W. Nous supposerons aussi que les poids des ncritères sont susceptibles de varier (si certains poids sont fixés, il suffit de ne pas lesprendre en compte). Notons Si l’ensemble des points de l’espace des poids tels quexi soit dans l’ensemble de choix du profil correspondant.

Nous illustrerons nos propos sur l’exemple suivant dans lequel seuls deux poidsvarient (l’espace des poids est donc de dimension 2). Le profil P est composé des

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

280 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

sept critères : C1 : x3 > x1 > x2 > x4 ; C2 : x3 > x2 > x4> x1 ; C3 : x1 > x3 > x4> x2 ;C4 : x1 > x2 > x3> x4 ; C5 : x2 > x1 > x3> x4 ; C6 : x4 > x2 > x1> x3 ; C7 : x4 > x2 >x3> x1. Les poids des critères C3, C4, C5, C6 et C7 sont fixés à 20, 10, 10, 10 et 10.Nous faisons varier les poids de C1 et C2 entre W1inf = W2inf = 0 etW1sup = W2sup = 40 autour du point W = (11, 9).

4.1. Pour la méthode de Borda

Pour définir un indice de robustesse locale, nous utilisons le rayon rB(W) de laplus grande boule pour la distance L1 (d(x, y) = S|xi - yi|) centrée en W telle que tousles points de cette boule ont le même ensemble de choix de Borda que W.

Ce type d’indice est étudié dans [RIO 91] ainsi que les possibilités liées àl’utilisation de différentes distances. Deux raisons principales nous ont conduits àutiliser la distance L1 plutôt que la distance euclidienne L2 (d(x, y) = S(xi - yi)

2) oula distance L

¥ (d(x, y) = max(|xi - yi|)) .

Les ensembles Si peuvent être interprétés comme des polyèdres dans l’espace despoids :

Si = {W Î IRn | " j ¹ i, { }{ }

w b w bk ik j jk

k nk n

³

ÎÎ

åå11 ,...,,...,

et " k, Wkinf £ wk £ Wksup}.

Ces ensembles sont donc convexes. Il suffit alors de savoir que tous les sommetsd’une boule (quelle que soit la distance utilisée) sont inclus dans un ensemble Sipour que la boule entière le soit aussi. Lorsque plusieurs alternatives sont dansl’ensemble de choix de départ, l’ensemble des points tels que les vainqueurs deBorda ne changent pas est encore convexe. Il s’agit en effet d’une intersectiond’ensembles convexes (les Si, xi = B(P)). Une boule pour la distance L1 a 2nsommets (où n est le nombre de critères dont le poids varie) alors qu’une boule pourla distance L

¥ en a 2n et qu’une boule pour la distance euclidienne en a une infinité.

Pour la distance L1, les calculs sont ceux que nous avons faits dans le chapitreprécédent. En effet, rB(W) est égal à la plus petite variation de poids sur un descritères telle que l’ensemble de choix change. Pour les sommets de la boule obtenueavec la distance L

¥, les calculs correspondraient à des analyses de stabilité selon

tous les vecteurs V = (vi) avec vi = ±1 pour tout i dans [1..n] et ces calculs sont pluscompliqués.

Nous pouvons normaliser le rayon trouvé en le divisant par le rayon de la plusgrande boule incluse dans l’espace des poids admissibles (mink(Wksup-Wkinf)/2).L’indice de robustesse locale proposé est le suivant :

( )( )

[ ]( )

I Wr W

W WB

B

k nksup kinf

=×

-Î

2

1min

..

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 281

La Figure 2 donne pour l’exemple proposé les différents ensembles Si (à gauche)et les valeurs de l’indice de robustesse (en hauteur) en fonction de w1 et w2 (àdroite). Il est facile de se rendre compte que plus le point correspondant au poids dedépart est proche d’une frontière, plus la valeur de l’indice est petite.

S1

w1

w2

Intervallepour w2

10

10

S3

200

20

W

30 40

30

40

Intervallepour w1

S2

Figure 2. À gauche, les choix de Borda dans l’espace des poids ; à droite valeurs del’indicateur (en hauteur)

Le nombre de poids variables n’a été restreint que pour pouvoir visualiser lesensembles Si.

Remarquons que dans le cas d’un problème à trois critères, il est possible dereprésenter la robustesse d’une méthode homogène de façon élégante dans le plan[BAN 88]. Cette représentation n’est cependant plus possible même lorsque ce sontles poids de seulement trois critères parmi les n (n > 3) qui varient.

L’indice que nous avons proposé est bien sûr à interpréter avec précaution. Pourl’exemple que nous avons proposé (Figure 2), si le point W se situe juste à cotéd’une frontière, par exemple si W = (21, 10), l’indice est alors petit. Cependant, sipour des raisons inhérentes au problème, les poids de ces critères ne peuventqu’augmenter, la robustesse du résultat est en fait très grande.

4.2. Pour la prudence

Pour la prudence, les ensembles Si ne sont malheureusement pas toujoursconvexes. L’indice de robustesse ne peut plus être calculé de manière aussi simpleque pour la fonction de choix de Borda. Il suffit pour s’en convaincre d’étudier lesensembles Si de l’exemple que nous avons utilisé. Le maximin dans la matrice de

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

282 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

surclassement de P est 41 obtenu pour le coefficient a12. Le calcul de la bornesupérieure pour w1 donne les résultats suivants : d1

+(P, 1) = +¥ ; d2+(P, 1) = a13 -

Mm = 50 - 41 = 9 ; d1+(P', 1) = Mm - min(a'31, a'32) = 50 - 39 = 11 d’où w1-P-

max = 11 + min(+¥, 9 + 11, 29) = 31 ; et pour la borne inférieure : d1-(P, 1) = Mm -

min(a41, a42, a43) = 41 - 20 = 21 ; d2-(P, 1) = +¥ d’où w1-P-min = 11 - min(21,

+¥, 11) = 0. Pour w2 nous obtenons : d1+(P, 2) = Mm - min(a31, a32) = 41 -

30 = 11 ; d2+(P, 2) = +¥ ; d’où w2-P-max = 9 + 11 = 20 ; et pour la borne

inférieure : d1-(P, 2) = +¥ ; d2

-(P, 2) = min(min(Æ)) = +¥ ; d’où w2-P-min = 0. Lelecteur trouvera sur la Figure 3, à gauche, les différents ensembles de choix.

S2

S1

w1

w2

Intervallepour w1

Intervallepour w2

10

10

S3

Régioncritique

20

20

W

30 40

30

40

Figure 3. À gauche, les choix prudents dans l’espace des poids ; à droite valeurs del’indicateur (en hauteur)

Soit W un point de l’espace des poids. Supposons que les variations des poids nese fassent que sur un critère à la fois, le profil de départ correspondant au point W.Calculons pour chacun de ces poids la plus grande variation (positive ou négative)telle que l’ensemble de choix prudent ne change pas. Notons Vp(W) la plus petite desvaleur obtenues (en valeur absolue). Soit d un pas de discrétisation fixé. Notons W+

ijle point de coordonnées (w1, w2, …, wj-1, wj + iVp(W)/d, wj+1,…, wn) et W-

ij lepoint de coordonnées (w1, w2, …, wj-1, wj - iVp(W)/d, wj+1, …, wn) pour tout iappartenant à [1..d-1] et tout j appartenant à [1..n].

Si

[ ] [ ] { } ( ) ( )" Î - " Î " Î + - ³-

i d j n V Wd i

dV Wp ij p1 1 1.. , .. , * , , * [5]

alors, nous sommes dans le cas de la Figure 4.

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 283

S1

S3

S2

W+

32

WW-

21

Figure 4. Toutes les inégalités de type [5] sont valides

Nous savons d’après la Propriété 3 que tous les points qui sont dans la régionplus foncée sont dans S1. En effet, soit B* un point de coordonnées (w1, w2, …, wi-1, wi*( i/d)Vp(W), wi+1, …, wj-1, wj*((d-i)/d)Vp(W), wj+1, …, wn), où * Î {+, -}, quiappartient à S1. D’après l’analyse de stabilité partielle, le point W*

ij appartient aussià S1, et donc tous les points du segment [B*, W*

ij ]. De même le point W*(d-i)i

appartient à S1, et tous les points du segment [B*, W*(d-i)i] aussi. Alors tous les

points du rectangle (B*, W*ij , W, W*

(d-i)i) appartiennent à S1 et par suite tous lespoints de la zone plus foncée. Nous pouvons donc affirmer que rp(W) est comprisentre Vp(W) (losange en pointillé) et (d-1/d)Vp(W) (losange en traits pleins).

Si une ou plusieurs des inégalités de type [5] n’est pas vérifiée, nous sommesdans le cas de la Figure 5.

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

284 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

S1

S3

S2

W* ij

Figure 5. Certaines inégalités de type [5] ne sont pas valides

Soit W* ij le point tel que ((d-i)/d)Vp(W) - Vp(W* ij ) est maximum. Alors, rp(W)est inférieur à Vp(W* ij ) + (i/d)Vp(W) (losange intérieur pointillé). D’autre part, iciencore, d’après la Propriété 3, tous les points qui sont dans la région plus foncée sontdans S1. Ainsi, si

( )( )

kV W

V W

d

p ij

p=

ê

ë

êêêê

ú

û

úúúú

*

[6]

(ë.û désigne la partie entière inférieure), tous les points qui appartiennent à laboule de rayon ((k+i-1)/d)Vp(W) (losange en traits pleins) sont dans S1. L’indice derobustesse locale de la méthode prudente est donc

( )( )

[ ]( )

I W

k i

dV W

W Wp

p

k nksup kinf

=

×+ -

-Î

21

1min

..

où k est déterminé par la relation [6] et W* ij est le point qui maximise((d-i)/d)Vp(W) - Vp(W* ij ).

Le lecteur trouvera sur la Figure 3, à droite, les valeurs de l’indice de robustesse(en hauteur) en fonction de w1 et w2 pour l’exemple proposé.

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 285

Remarquons que, contrairement à l’indice proposé pour la méthode de Borda,nous n’avons ici qu’une borne inférieure de rp(W). Cependant, l’erreur commise estinférieure à ((2/d)Vp(W))/min(Wksup-Wkinf) où d est le pas de discrétisation choisi.

5. Résultats concernant la robustesse globale

Les résultats présentés ci-dessous concernent des tirages aléatoires de profils.Pour chaque couple (m, n) (m Î {10, 20, 30}, n Î {10, 20, 30} où m désigne lenombre d’alternatives et n le nombre de critères), nous avons tiré au hasard uniformeles préférences de chaque critère parmi les m! ordres stricts possibles. Nous faisonsvarier le poids de 2 critères ou de 5 critères entre 0 et 4. Les autres poids sont tirésau hasard uniforme entre 0 et 4 et gardés fixes pendant la simulation. Nous avonseffectué 1000 tirages lorsque les poids de 2 critères varient et 500 tirages lorsque lespoids de 5 critères varient. Pour l’indice de robustesse de la prudence, la valeur dupas de discrétisation est fixée de manière à ce que l’erreur portant sur la précisionsoit inférieure à 0.01. Le Tableau 1 synthétise les résultats obtenus.

Moyennes pour Borda Moyennes pour la prudenceNb alternatives 2 poids

variables5 poids

variables2 poids

variables5 poids

variables10 critères

10 0.25 0.14 0.26 0.1420 0.21 0.12 0.26 0.1430 0.17 0.10 0.23 0.13

20 critères10 0.28 0.15 0.28 0.1520 0.24 0.14 0.27 0.1530 0.20 0.11 0.26 0.14

30 critères10 0.29 0.15 0.28 0.1520 0.25 0.13 0.28 0.1430 0.20 0.11 0.26 0.13

Moyenne 0.232 0.127 0.264 0.140

Tableau 1. Résultats sur des profils aléatoires

Comme nous pouvions nous y attendre, pour chacune des deux méthodes, lavaleur moyenne de l’indice diminue lorsque le nombre d’alternatives augmente (il ya alors plus de choix possibles, donc plus d’alternatives susceptibles d’entrer dansl’ensemble de choix). De même, conformément à notre intuition, la valeur moyenne

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

286 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

de l’indice augmente lorsque le nombre de critères augmente (les variations de deuxcritères parmi les n sont de moins en moins significatives). Cependant, pour laprudence, l’influence du nombre d’alternatives comme de critères est assez faible.

Nous avons constaté un écart type « important » sur les 9 moyennes obtenuespour chacune des deux fonctions de choix. Cet écart type est toujours situé autour de0.2 lorsque les poids de deux critères varient et autour de 0.12 lorsque les poids decinq critères varient. Ceci peut s’expliquer par le tirage aléatoire des vecteurs poids.

Le problème lié à la non-convexité des ensembles dans le cas de la prudencecomplique quelque peu les calculs. Cependant, il n’est apparu que dans moins de 1%des tirages.

6. Discussion

Les moyennes obtenues au paragraphe 5 fournissent un indice global derobustesse.

Cet indice global doit bien sûr être interprété avec précaution. Considérons, parexemple, la fonction de choix qui sélectionne toutes les alternatives quelles quesoient les préférences des critères. L’indice global de robustesse de cette fonction estmaximal. Cette robustesse est cependant acquise au détriment du pouvoir derésolution. Ainsi, une fonction dotée d’une grande robustesse globale n’estintéressante que si elle jouit, par ailleurs, d’autres « bonnes » propriétés.

De plus, la signification du poids des critères dépend fortement de la méthoded’agrégation utilisée (voir par exemple à ce sujet [MOU 93]). Il n’est doncgénéralement pas pertinent de comparer les indices de robustesse pour différentesméthodes. Cependant, dans un contexte où les poids sont les mêmes pour lesdifférentes méthodes étudiées, cette comparaison peut être faite. Ainsi, à l’origine, laméthode de Borda et la méthode majoritaire étaient utilisées dans le même contexte.Le poids d’un critère correspond alors au nombre de personnes ayant la préférencecorrespondante. Ces poids ont donc la même signification quelle que soit la méthodeutilisée. Nous pouvons alors comparer les indices obtenus pour la méthode prudente(généralisation de la méthode majoritaire) et pour la méthode de Borda. Pour laplupart des couples (m, n), la moyenne des valeurs obtenues pour la prudence estplus grande que celle obtenue pour Borda. Si l’on néglige le risque d’erreur sur lavaleur de l’indice de la prudence (ce qui revient à ajouter le pas de discrétisation auxvaleurs obtenues pour la prudence), le ratio indice prudent / indice de Borda est lemême lorsque deux poids varient et lorsque cinq poids varient (environ 1.181).Ainsi, nous pouvons dire qu’au sens des indices de robustesse proposés, la fonctionde choix prudente est globalement plus robuste que la fonction de choix de Bordapar rapport à une variation du poids des critères.

Curieusement, lorsque tous les poids peuvent varier, les deux indices ont enmoyenne des valeurs quasiment égales (à peu près 0.14 pour des tirages sur 5

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

Robustesse des choix avec Borda 287

alternatives et où les poids des 5 critères en présence varient et 0.08 pour 10alternatives et 10 critères).

L’étude de la robustesse globale peut permettre à un décideur, dans une situationconcrète de décision, de savoir s’il est dans un contexte où la méthode qu’il souhaiteutiliser est plutôt robuste ou pas. Il nous semble en effet plus pertinent de dire audécideur « Vous êtes dans une situation où la robustesse locale est de 0.1 alorsqu’elle est de 0.2 en moyenne pour des instances de même taille » plutôt que de luidire seulement qu’il est dans une situation ou la robustesse est de 0.1. Le décideurpossède ainsi une référence par rapport à laquelle il peut évaluer la robustesse dedécisions prises avec différents paramètres.

L’extension à des techniques plus « opérationnelles » est très facile pour lafonction de choix de Borda. Les résultats obtenus sont directement utilisables avecProméthée [BRA 85] dont T. Marchant [MAR 96] a montré qu’elle généralise laméthode de Borda aux relations valuées (les intensités de préférences entre pairesd’alternatives ne sont plus 0 ou 1 mais comprises entre 0 et 1).

L’utilisation de la règle du minimax dans le cas de relations valuées ou flouess’appelle la règle du « min in favour » largement étudiée dans [BOU 96]. Dans cecas, l’étude de la stabilité partielle est plus délicate car certaines propriétés utiliséesne sont plus vérifiées. Il semble cependant intéressant d’étendre notre étude à cetterègle pour la comparer à Prométhée.

L’indice proposé est de plus utilisable avec beaucoup d’autres méthodesmulticritères, mais son calcul risque d’être plus compliqué que pour les méthodescitées précédemment.

Remerciements

Les auteurs tiennent à remercier le professeur Hervé Raynaud pour ses précieuxcommentaires ainsi que deux arbitres anonymes pour leurs remarques constructivessur le fond et la forme de cet article.

7. Bibliographie

[ARR 86] ARROW K., RAYNAUD H., Social choice and multicriterion decision-making, MITPress, Cambridge, 1986.

[BAN 88] BANA E COSTA C., « A methodology for sensitivity analysis in three-criteriaproblems: A case study in municipal management », European Journal of OperationalResearch, vol. 33, 1988, p. 159-173.

[BLA 58] BLACK D., The Theory of committees and elections, Cambridge University Press,1958.

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014

288 Journal of Decision Systems. Volume 9/2000

[BOU 96] BOUYSSOU D., PIRLOT M., « Choosing and ranking on the basis of fuzzy preferencerelations with the "min in favor'' », rapport de recherche, 1996, ESSEC.

[BRA 85] BRANS J.P., VINKE P., « A preference ranking organization method: thePROMETHEE method », Management Science, vol. 31, 1985, p. 647-656.

[DYE 92] DYER J., FISHBURN P., STEUER R., WALLENIUS J., ZIONTS S., « Multiple CriteriaDecision Making, Multiattribute Utility Theory: The next ten years », ManagementScience, vol. 38, 1992, p. 645-654.

[FRE 92] FRENCH S., « Mathematical Programming Approaches to Sensitivity Calculations inDecision Analysis », Journal of Operational Research Society, vol. 43, no 8, 1992, p.813-819.

[GAL 86] GAL T., WOLF K., « Stability in vector maximization–A survey », EuropeanJournal of Operational Research, vol. 25, 1986, p. 169-182.

[KÖH 78] : KÖHLER G., « Choix multicritère et analyse algébrique des données ordinales »,Thèse de troisième cycle, Université Scientifique et Médicale de Grenoble, 1978.

[MAR 96] MARCHANT T., « Valued Relations Aggregation with the Borda Method », Journalof Multi-Criteria Decision Analysis, vol 5, 1996, p. 127-132.

[MAR 88] MARESCHAL B., « Weight stability intervals in multicriteria decision aid »,European Journal of Operational Research, vol. 33, 1988, pp 54-64.

[MOU 93] MOUSSEAU V., « Problèmes liés à l’évaluation de l’importance relative des critèresen aide multicritère à la décision : Réflexions théoriques, expérimentations etimplémentation informatique », Thèse de troisième cycle, Université de Paris-Dauphine,1993.

[PÉR 95] PEREZ J., BARBA-ROMERO S., « Three practical criteria of comparison amongordinal preference aggregating rules », European Journal of Operational Research, vol.85, 1995, p. 473-487.

[RIO 91] RIOS INSUA D., FRENCH S., « A framework for sensitivity analysis in discrete multi-objective decision-making », European Journal of Operational Research, vol. 54, 1991,p. 176-190.

[ROY 96] ROY B., VANDERPOOTEN D., « The European School of MCDA: Emergence, BasicFeature and Current Work », Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, vol 5, 1996, p.22-38.

[ROY 97] ROY B., « Un chaînon manquant en RO-AD : Les conclusions robustes », Cahiersdu LAMSADE, vol 144, 1997.

[STE 96] STEWART T., « Robustness of Additive Value Function Methods in MCDM »,Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, vol 5, 1996, p. 301-309.

[YOU 77] YOUNG H. P., « Extending Condorcet’s rule », Journal of Economic Theory, vol.16, 1977, p. 335-353.

Dow

nloa

ded

by [

Lin

köpi

ng U

nive

rsity

Lib

rary

] at

22:

47 1

8 D

ecem

ber

2014