This article was downloaded by: [New Mexico State University]On: 23 September 2013, At: 05:27Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Détermination de La ConductivitéOptique de Couches Minces Semi-transparentesP. Gravier a , M. Sigrist a & G. Chassaing aa Laboratoire de Physique MoléculairePublished online: 16 Nov 2010.

To cite this article: P. Gravier , M. Sigrist & G. Chassaing (1977) Détermination de La ConductivitéOptique de Couches Minces Semi-transparentes, Optica Acta: International Journal of Optics, 24:7,733-741, DOI: 10.1080/713819628

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OPTICA ACTA, 1977, VOL . 24, NO . 7, 733-741

Determination de la conductivite optiquede couches minces semi-transparentes

P. GRAVIER, M. SIGRIST et G . CHASSAING

Laboratoire de Physique Moleculairet, Universite de Provence, 3, PlaceVictor-Hugo, 13003 Marseille

(Manuscrit recu le 8 novembre 1976)

Resume. On decrit une methode permettant de determiner la conductiviteoptique de couches minces semi-transparentes . Pour cela, a partir de troismesures photometriques, on determine l'indice complexe et I'epaisseur descouches . On discute du choix des parametres optiques a utiliser, de la precisionobtenue et des domaines d'application . Dans le cas de couches tres minces,on montre les erreurs que l'on peut commettre lorsqu'on utilise certainesformules approchees .

IntroductionIl est interessant de connaitre la conductivite optique complexe a(w) d'un

metal car on peut en tirer des renseignements precieux notamment sur sa structureelectronique .

La conductivite a(w) est reliee a dindice complexe N(co) =n(w)+ik(w) par :

a(w) = al(w) + ia 2(w),al (w) = 2nk(w/4rr),

(1)

a2(w) _ [1 - (n2-k2)](w/4ir) .

Le but de cet article est de presenter une methode permettant de determinerN(w) et donc a(w) a partir de mesures photometriques effectuees sur des couchesminces semi-transparentes .

Les couches metalliques qui sont deposees sur des substrats transparentsseront supposees, dans tout ce qui suit, homogenes, isotropes, continues,d'indice complexe n + ik et limitees par des faces planes et paralleles distantes de d.

Pour determiner dindice complexe it faut en general connaitre 1'epaisseur ddes couches . La methode preconisee permet de calculer simultanement n,k et d a partir de trois mesures photometriques judicieusement choisies . Elledonne de bons resultats si on choisit le facteur de transmission TV, un facteurde reflexion RN (cote vide) ou RN ' ( cote support) en incidence normale et lefacteur de transmission Tp i en lumiere polarisee rectilignement dans le pland'incidence pour un angle d'incidence i eleve .

La methode de calcul utilise les formules exactes des couches minces [1] ;elle decoule de celle de Newton-Raphson [2] et a deja ete developpee par Abeleset Theye [3] a partir de RN et TN dans le cas ou 1'epaisseur des couches est connue .

fi Laboratoire associe au C .N.R.S .

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Comme la precedente, elle a 1'avantage d'etre autoconvergente et programmablesur un calculateur. Elle permet de s'affranchir de mesures d'epaisseurs toujoursdelicates et demandant des techniques particulieres . D'autre part, elle permetde verifier la validite du modele de couche utilise, ainsi que la qualite des diffe-rentes mesures optiques par simple observation de la constance de la valeur de1'epaisseur trouvee en fonction de la longueur d'onde .

Dans le cas de couches tres minces, a l'aide de formules d'approximationtres simples, it est possible de calculer directement, a partir de mesures photo-metriques, 1'absorption optique vl sans passer par n et k [4] . Nous discuteronsde la validite et des limites d'application de ces formules approchees .

2. Principe de la methodePour determiner simultanement les indices n et k et 1'epaisseur d d'une

couche mince par la methode decrite ici, it est necessaire de connaitre trois para-metres optiques . Solent, par exemple, pour la longeur d'onde A, les valeursexperimentales (TN)ex' (RN)ex et (Ti)ex des trois parametres choisis et, TN(n, k, d),R.v(n, k, d) et Tpi(n, k, d), les expressions de ces memes grandeurs obtenues enappliquant les equations de Maxwell a une couche semi-transparente, homogene,isotrope, a faces planes et paralleles, deposee sur un support d'indice ns [1] .

II faut resoudre le systeme

(TI,) ex -TN(n, k, d)=0,

(RN)ex - RN(n , k, d)= 0 ,

(2)

(TT¢)0 -Ti(n, k, d)=0.

Pour cela, on etend au systeme des trois equations (2) la methode de resolutionnumerique decrite par Abeles et Theye [3] . On se donne un triplet de departt o = (n o, ko, do ) judicieusement choisi, on calcule les valeurs T_vo , R,vo et Toicorrespondantes et on ecrit qu'au second ordre pres

(T.v)ex - T, O = (aTv/an)oAno + (aTv/ak) oAko + (a TN/ad) oAdo ,

(RN)ex-RNO =(aRN/an)oAno +(aRti,/ak) oAko +(aRN/ad) oAdo,

(3)

(Tpi ) ex - (TTi)o = (a Ti/an) oAno + (a Ti/ak) 0Ako + (a Ti/ad)oAdo .

Dans ces relations apparaissent les derivees partielles par rapport a n, k et d desfonction TN (n, k, d), RN(n, k, d) et Tpi(n, k, d), calculees numeriquement aupoint to . On est ainsi ramene a un systeme de trois equations lineaires a troisinconnues Ono , Ako , Ado dont la resolution est aisee . Avec le triplet t 1= (no + Ono ,k0 + k0, d0 + d0) ainsi trouve, on calcule les valeurs theoriques de Tv , RN etTi et on les compare aux valeurs experimentales . On obtient

(TN)e.-T-I'(tl)=Eq',

(RN)ex - RN(ti) =ER,

(4)i

i(Tr, )ex

- Tp (tl) = ETP .

Si ET, ER, ETP sont superieurs a des valeurs fixees par avarice on recommencela resolution du systeme (3) avec t 1 comme nouveau triplet de depart . Onarrete le calcul lorsque les valeurs calculees sont aussi voisines qu'on le desire

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des valeurs experimentales (par exemple quand 'ET, 'ER' eTP sont inferieurs a0,0001). Quand le probleme admet une solution, la convergence s'effectuerapidement meme si on part d'une valeur do de 1'epaisseur assez eloignee de`1'epaisseur vraie' de la couche . Pratiquement, on resoud le systeme pour lalongueur d'onde a l a partir de (n o, k o, do ) ce qui donne la solution (n 1, k 1, d1 ) .Puis, on le resoud pour la longueur d'onde X1 2 = .11 +AA avec comme valeur dedepart (n1, k 1, d1 ) et ainsi de suite. Si pour la longueur d'onde Ai le problemene comporte pas de solution on effectue les calculs pour la longueur d'ondeAi+1 avec comme triplet de depart (n a_1 , ki_1, di-1) .

En general, ce procede donne de bons resultats dans le visible et le procheultraviolet . Nous I'avons utilise avec succes pour For et les metaux de transitiona symetrie cubique centree entre 2,5 et 5,5 eV . En realite, les valeurs de 1'epais-seur trouvees pour les differentes longueurs d'ondes sont reparties dans uncertain domaine et on prend la valeur moyenne d. Nous verrons que I'ecartde la courbe d=d(A) a la droite d=d permet de donner des renseignementsprecieux sur la validite du modele de couche choisi et sur la qualite des mesureseffectuees . Une fois 1'epaisseur de la couche ainsi determinee, on calcule lesvaleurs definitives de n et k sur tout le domaine spectral etudie en ramenantle probleme precedent a un probleme a deux inconnues n et k . On resoud alors ceprobleme en utilisant deux equations du systeme (2) par exemple celles con-cernant Tlv et RN . On determine ensuite, en appliquant les relations (1) lapartie reelle et la partie imaginaire de la conductivite .

3 . ApplicationsEn principe, pour determiner, par la methode precedente, l'indice complexe

et 1'epaisseur d'une couche it suffit de connaitre trois parametres optiques quel-conques F, G, H. Ces derniers designant des facteurs de reflexion ou de trans-mission mesures en incidence normale ou oblique, en lumiere polarisee (s ou p)ou non, soit pour une meme incidence soit pour des incidences differentes . Enrealite, tous les triplets (F, G, H) ne sont pas equivalents . On a utilise ceuxpour lesquels l'intersection des surfaces F(n, k, d) = cte, G(n, k, d) = cte etH(n, k, d) = cte est la plus franche . Ceci nous a conduit a choisir T-, R_,v ouRN ' et T, 7o

Nous avons teste cette methode sur des couches d'or non recuites, d'epaisseurscomprises entre 150 et 500 A, preparees sous ultravide .

3 .1 . Determination de l'epaisseur d

La recherche de 1'epaisseur des couches a ete effectuee en utilisant les triplets(TN, RN', TT70 ) et (TN, RN , Tp'o) . Sur la figure 1, nous montrons les resultatsrelatifs a deux couches d'epaisseurs differentes preparees avec une vitesse de depotde 30 A/s . Les cercles representent les valeurs de 1'epaisseur en fonction de1'energie, calculees a partir de (TN , RN ', T 70 ) . Its se repartissent, avec une dis-persion ne depassant pas 5 A, autour de deux droites paralleles a I'axe de 1'energieet correspondant aux epaisseurs moyennes 408 et 190 A. Les croix represententles valeurs de 1'epaisseur calculees a partir de (Tv , RN, Tp70 ) . Nous constatonsque les resultats obtenus a partir des deux triplets sont compatibles dans le visiblemais divergent dans l'ultraviolet . En effet, les croix se repartissent autourde deux courbes qui s'ecartent des droites precedentes lorsque 1'energie croft .

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+

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'

3

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fi.(eV)'

Figure 1 . Epaisseurs de deux couches d'or, obtenues respectivement a partir des triplets(TN, RN, TD 70 ) et (TN,, RN', Tp 70) .

L'ecart est maximum a 5,5 eV ; it atteint 7 A pour la couche la plus epaisse et5 A pour dautre . Cette difference, qui s'accentue quand 1'energie croft, meten evidence le fait que le facteur de reflexion (RN) ex est plus faible dans1'ultraviolet que celui auquel on pourrait s'attendre . Ceci est probablementdu a un phenomene de diffusion de la lumiere par les defauts de surface cotevide [5] . De plus, RN ' est moins sensible que RN aux conditions experimentales.Par exemple, pour une couche d'or, preparee dans les memes conditions devide mais avec une vitesse de 1 A/s, nous avons pu, en utilisant RN', determinercomme precedemment une epaisseur moyenne de 420 A alors que les epaisseurscalculees avec RN s'ecartent de cette epaisseur moyenne de 2 A a 2,5 eV jusqu'a20 A pour 4 eV. Ceci est en accord avec le fait que les couches metalliquesobtenues avec une faible vitesse d'evaporation presentent, en general, une plusgrande rugosite de surface que celles preparees a plus grande vitesse [6] . 11semble done qu'il soit preferable d'utiliser le facteur de reflexion RN' plutot queRN . Cette etude comparative est interessante car elle permet, d'une part, deverifier la validite du modele utilise (couches continues, epaisseur uniforme) etd'autre part, de donner une idee des phenomenes de diffusion de la lumiere quipourraient se produire aux deux interfaces couche-vide et couche-support .

Pour la couche de 190 A, la plus grande dispersion des resultats a lieu entre3,3 et 3,7 eV . Ceci provient de cc que, dans ce domaine de d/A, les indices n et ksont tels que les surfaces T\-(n, k, d) = cte, R\,-'(n, k, d) = cte et Tp 70 (n, k, d) = ctesont presque tangentes .

Sur la figure 1, nous n'avons pas porte les resultats pour les energies inferieuresa 2,5 eV car, dans cc domaine, la determination de d est mauvaise . Ceci neprovient pas du fait que les mesures sont moins bonnes dans ce domaine maisque les constantes optiques deviennent telles qu'une tres faible erreur sur ladetermination des parametres optiques prend une importance considerable .

Nous avons recherche, pour les differents metaux que nous avons etudies,le domaine spectral le plus favorable pour determiner 1'epaisseur. Dans lecas de l'or, entre 1,4 et 5,5 eV, nous avons calcule, pour les deux couches pre-cedentes, l'erreur maximale commise sur la determination de 1'epaisseur enadmettant une erreur relative de 0,5 pour cent sur les trois mesures experimentalesTN .RN ' et Tp70. La figure 2 illustre les resultats obtenus . Pour les deux couches,entre 5,5 et 2,5 eV, 1'erreur maximale ne depasse pas 4A . Autour de 3,6 eV,

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pour la couche de 190 A, on constate un leger accident . Par contre, l'erreuraugmente tres rapidement lorsqu'on passe dans l'infrarouge . Ceci expliquebien la tres mauvaise determination de 1'epaisseur dans cette region et le faitque nous avons restreint la recherche des epaisseurs au domaine 2,5-5,5 eV .

Figure 2 . Variations, en fonction de hw, de 1'erreur absolue que 1'on peut commettresur 1'epaisseur calculee de deux couches d'or d'epaisseurs moyennes 190 et 408 A .On a suppose des erreurs relatives de 0,5 pour cent sur les valeurs de TN, RN ' et Tp70 .

Nous avons pu confirmer la validite de notre determination de 1'epaisseurgrace a L . Nevot qui a mesure, a l'Institut d'Optique, 1'epaisseur de quelques-unes de nos couches de niobium par la methode des franges de Kiessig. Lesepaisseurs ainsi determinees sont en excellent accord avec celles que nous avonsobtenues par notre methode .

3.2 . Determination de la conductivite a(w)Comme nous l'avons dit precedemment, la determination de la conductivite

optique est effectuee a partir d'un couple de mesures photometriques et de lavaleur moyenne de 1'epaisseur. En supposant des erreurs relatives de 0,5pour cent sur les mesures photometriques, nous avons calcule, respectivement,pour les couples (Tv , R,v'), (TN , Tp70 ) et (Tp70, RN') les erreurs relatives Aalla,que l'on pouvait commettre sur la determination de a l . Pour la couche d'ord'epaisseur 408 A, les resultats montrent qu'il y a interet a utiliser le couple(TN, RN') . La figure 3 illustre les resultats obtenus. Avec le couple (TN ,Tp70 ) on peut ne pas obtenir de solution entre 2,4 et 2,6 eV . Bien qu'en generalit soit preferable d'utiliser Tv et RN', dans certains domaines energetiques et pourcertaines epaisseurs, it peut se faire que d'autres couples donnent de meilleursresultats . C'est ce qui se passe pour la couche d'or d'epaisseur 190 A entre3,5 et 3,7 eV, comme le montre la figure 4. La figure 5 montre, pour la couched'epaisseur moyenne 408 A, la conductivite a 1 en fonction de 1'energie des photonsincidents . Comme on pouvait s'y attendre, la courbe a 1 calculee a partir de(TV, RN) s'ecarte de celle calculee avec (TN, RN') quand on va dans l'ultraviolet ;1'ecart croft regulierement de 0 a 7 pour cent quand 1'energie des photons incidentspasse de 1,5 a 5,5 eV. Ceci est du au fait, deja signale, que les valeurs de RN sontplus faibles que celles auxquelles on pourrait s'attendre par suite des phenomenesde diffusion de la lumiere a 1'interface vide-metal .

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Figure 4 . Variations, en fonction de hw, des erreurs relatives commises sur la conductiviteoptique d'une couche d'or de 190 A suivant le couple de grandeurs photometriqueschoisi . On a suppose des erreurs relatives de 0,5 pour cent sur les valeurs deTy,RN' et T 70 .

3

2

1

01

1

2

3

4

5

'h-(eV)

Figure 3. Variations, en fonction de hw, des erreurs relatives commises sur la conductiviteoptique d'une couche d'or de 408 A suivant le couple de grandeurs photometriqueschoisi . On a suppose des erreurs relatives de 0,5 pour cent sur les valeurs deTv, RN ' et T." .

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0 .1

T"x10 -15 (5 -1 )

2 3

3

Au

d=406 A

Au

4

4

(TN,R")

(RN ,TP ° )

-(TN ,TP ')

5

5 'h-(eV)

fi~ ( V)

Figure 5 . Courbes de conductivite optique, en fonction de hw, d'une couche d'or de408 A, obtenues respectivement a partir des couples (Ty , RN) et (TA,, RN') .

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Sur la figure 6, nous comparons nos resultats, deduits des trois mesures photo-metriques TN, RN', Tp70 , avec ceux de Theye [7] et ceux de Johnson et Christy[8] . Toutes les courbes presentent la meme structure et du point de vue ampli-tude, nos resultats sont en tres bon accord avec ceux de Theye .

Figure 6 . Comparaison de nos resultats relatifs a la conductivite optique de l'or (G .S.C .)avec ceux de Theye (T) et ceux de Johnson et Christy (J.C .) .

3 .3 . Formules approchees

Dans certains domaines du rapport d/It, dependant du materiau considers,it arrive qu'on ne puisse pas determiner la conductivite optique par cette methode[9, 10] car les erreurs experimentales sur les mesures photometriques, memetres faibles, prennent une importance telle que le systeme permettant de calculern et k n'admet plus de solution .

Dans ce cas, on peut tout de meme calculer la quantite aid en utilisant une desrelations approchees suivantes [4]

aid-' (cl47r) [ns/(ns - l)](RN - RN')/TN ^_ (c/4rr)(1- RN' _ TN)/TN

(nscl47)(1 - RN - TN)I TN .

(5)

Ces relations donnent de bons resultats tant que le rapport d/A ne depasse pasune certaine limite, c'est-a-dire pour des couches tres minces . On peut etretents, lorsqu'on utilise ces relations approchees, de depasser cette limite . Onrisque alors d'observer des deplacements de la position des extremums de ai,lorsque 1'epaisseur des couches augmente, qui n'ont aucune realite physiquemais sont simplement dus au fait que l'approximation utilisee devient de plus enplus mauvaise .

Pour illustrer ceci, nous avons suppose une couche ideale dont les indicesne varient pas avec 1'epaisseur et nous avons calcule, pour differentes epaisseurs,la quantite aid au moyen des relations (5) a partir des valeurs theoriques deRN, RN' et TN . Par exemple, les constantes optiques du niobium conduisent a

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un maximum de o f situe a 4,40 eV . La premiere des formules approchees, quifait intervenir T,v , RN et RA,' situe bien cc maximum a 4,40 eV pour une couchede 50 A mais a 4,48 eV pour une couche de 100 A et a 4,60 eV pour une couchede 200 A . Ceci conduit dons, pour la couche la plus epaisse, a une erreur de0,2 eV dans la position du maximum de o, . La figure 7 illustre ces resultats .Elle met en evidence, en plus des deplacements de la position du maximum,l'erreur importante que 1'on peut commettre sur la valeur de old .

Figure 7 . Replacement du maximum principal d'absorption du niobium par suite de1'emploi de formules approchees . Les courbes en pointilles sont deduites de laformule approchee a1d=(c/4Tr)[n,l(n,-1)](RN-Rh,')/T,v et les courbes en traitspleins sont obtenues a partir des formules exactes . Les fleches indiquent, dans lesdeux cas, la position du maximum .

Si on utilise Tune des deux autre relations (5) les ecarts sont encore plusimportants . Par exemple, pour la couche de 200 A le deplacement atteint0,3 eV .

4 . ConclusionLa methode que nous venons de decrire est valable pour les couches semi-trans-

parentes continues, homogenes et isotropes . Elle permet de determiner 1'indicecomplexe, la conductivite optique et 1'epaisseur des couches uniquement apartir de mesures photometriques . Elle donne de tres bons resultats tant que lescouches possedent un facteur de transmission non negligeable .

Par observation de la constance, en fonction de 1'energie, de 1'epaisseurcalculee, cette methode donne des renseignements utiles sur la qualite des coucheset sur la validite du modele utilise . De plus, l'accord entre les resultats obtenus

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pour la conductivite optique calculee a partir de differents couples de mesuresphotometriques permet d'avoir une idee de la qualite de ces mesures et de donnerune grande credibilite aux resultats .

REMERCIEMENTS

Les auteurs remercient M . L. Th6ye pour les suggestions qu'elle leur afaites lors de frequentes discussions, ainsi que L . Nevot qui a eu l'amabilitede mesurer 1'epaisseur de quelques unes de leurs couches de niobium .

A method of determining the optical conductivity of semi-transparent thin films isdescribed. For this, from three photometric measurements, one can determine the complexindex and the thickness of the films . The choice of optical parameters to be used, theprecision obtained and the regions of application are discussed . In the case of very thinfilms, the errors, that one makes when certain approximate formulae are used, are shown .

BIBLIOGRAPHIE

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