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1 – DL2 Sciences Physiques MP 2017-2018
Devoir libre de Sciences Physiques n◦2 du 02-10-2017
Probleme no 1 – Clarinette et saxophone soprano CCP PSI 2010
Dans tout le probleme, on prendra R = 8, 31 J ·K−1·mol−1 pour la constante des gaz parfaits.
La clarinette a ete creee vers par Johann Christophe Denner a Nuremberg. La clarinette en Si bemolen est le modele le plus commun, voir la figure 1. Le tube de la clarinette est modelise par un cylindre delongueur Lcla, ferme du cote de l’embouchure (a gauche) et ouvert du cote du pavillon (a droite). Il s’agit d’uneapproximation grossiere qui a le merite de preserver les caracteristiques physiques les plus importantes. Enrealite, le tube de la clarinette n’est pas a section constante et le traitement mathematique est alors beaucoupplus complique. . .
b b
0 xLcla
Figure 1 – La clarinette et son modele
Le saxophone a ete brevete en par Adolphe Sax en Belgique. Parmi les modeles utilises aujourd’hui,on trouve le saxophone soprano en Si bemol, voir la figure 2. Le saxophone est ouvert du cote du pavillon (adroite), mais il est quasiment ferme de l’autre cote (a gauche). Le tube du saxophone est approximativementconique. Nous allons modeliser le tube du saxophone soprano par un simple tuyau conique de longueur un peuplus grande que celle de la clarinette (soit Lsax) et d’angle au sommet α.
b b
0 xLsax
α
Figure 2 – Le saxophone soprano et son modele
A. Equation de propagation d’une onde sonore dans un tube
On considere un tube indeformable de longueur L, d’axe de revolution Ox rempli d’air, suppose etre un gazparfait a la temperature moyenne ambiante T0 et a la pression P0. Soit ρ0 la masse volumique moyenne de cetair. La section transverse du tube est une fonction de l’abscisse x, soit S(x) cette section. Voir la figure 3.En presence de l’onde sonore, le champ de vitesse de l’air est le suivant : ~u(x, t) = u(x, t)~ex ou u(x, t) est faible.On note ρ(x, t) la masse volumique de l’air a l’instant t et a l’abscisse x. On supposera qu’en presence de l’ondesonore, la masse volumique de l’air s’ecrit ρ(x, t) = ρ0 +µ(x, t) ou µ(x, t) ≪ ρ0 et que la pression de l’air s’ecritP (x, t) = P0 + p(x, t) avec p(x, t) ≪ P0.
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b
0 x
dx
Figure 3 – Petite tranche d’air dans un tube acoustique de section variable
Bilan de masse sur un systeme ouvert
On s’interesse a l’air compris entre les sections d’abscisses x et x+ dx. Ce systeme est ouvert.
1. Exprimer la masse dm(t) de ce systeme a l’instant t en fonction de S(x) notamment. Meme question pourl’instant t+ dt.
2. Exprimer la masse δme de fluide entrant dans le systeme pendant la duree dt en fonction de ρ(x, t), S(x)et u(x, t). Exprimer aussi la masse δms de fluide sortant du systeme pendant la meme duree.
3. En se limitant a des termes du premier ordre, montrer que l’on obtient l’equation de conservation de lamasse suivante :
S(x)∂ρ
∂t+ ρ0
∂(Su)
∂x= 0
Equation du mouvement
On rappelle l’equation d’Euler regissant la dynamique des fluides parfaits :
ρ
(
∂~u
∂t+ (~u ·
−−→grad )~u
)
= −−−→gradP
Cette equation est l’equivalent en mecanique des fluides de la relation de la dynamique pour l’etude de lamecanique du point.
4. On appelle τ la duree caracteristique de variation temporelle de la vitesse, L la distance caracteristiquede variation spatiale de la vitesse et U l’ordre de grandeur caracteristique de la vitesse particulaire. A quelle
condition sur U peut-on negliger le terme (~u ·−−→grad )~u devant le terme
∂~u
∂t?
5. Cette condition etant realisee et en travaillant a l’ordre 1, exprimer ρ0∂u
∂ten fonction de
∂p
∂x.
6. On rappelle que le coefficient de compressibilite isentropique χs est egal a1
ρ
(
∂ρ
∂P
)
s
. En travaillant a l’ordre
1, etablir une relation entre µ(x, t), χs, ρ0 et p(x, t).
Equations de propagation
7. En combinant les resultats des questions precedentes, montrer que :
∂2p(x, t)
∂t2= c2
(
∂2p(x, t)
∂x2+
(
1
S(x)
dS
dx
)
∂p(x, t)
∂x
)
equation E1
∂2u(x, t)
∂t2= c2
(
∂2u(x, t)
∂x2+
(
1
S(x)
dS
dx
)
∂u(x, t)
∂x+
d
dx
(
1
S(x)
dS
dx
)
u(x, t)
)
equation E2
Preciser l’expression de la constante c en fonction de ρ0 et de χs.
8. En supposant que l’air est un gaz parfait, exprimer ρ0 en fonction de la masse molaire de l’air notee M , dela pression P0, de la temperature T0 et de la constante des gaz parfaits R.
9. En supposant que l’air subit une transformation isentropique, la loi de Laplace est verifiee. Rappeler cetteloi reliant les grandeurs pression P (x, t) et ρ(x, t). On introduira le coefficient d’atomicite γ = Cp/CV ou Cp et
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CV sont les capacites thermiques molaires de l’air respectivement a pression constante et a volume constant.Exprimer alors χs en fonction de γ et P0.
10. Donner alors l’expression de la constante c en fonction de la temperature T0, de la masse molaire de l’airM , de la constante des gaz parfaits R et du coefficient γ. Faire l’application numerique avec M = 29 g ·mol−1,γ = 1, 4 et T0 correspondant a une temperature de 20 ◦C.
B. Ondes stationnaires dans une clarinette
Tous les trous de la clarinette sont bouches. La clarinette est alors modelisee par un tube cylindrique de sectionconstante S.
11. Que deviennent les equations E1 et E2 dans le cas de la clarinette ? Que represente alors la constante c ?
12. Que valent la vitesse u(x = 0, t) et la surpression p(x = Lcla, t) ?
13. On recherche des solutions stationnaires pour la surpression et la vitesse qui sont donc de la formep(x, t) = f(x) cosωt et u(x, t) = g(x) sinωt. Montrer que les fonctions f(x) et g(x) doivent etre solutions d’uneequation differentielle a preciser.
14. On montre alors que la vitesse u(x, t) est une fonction du type u(x, t) = u1 sinkx sinωt ou u1 est l’ampli-tude. Preciser l’expression de k. Verifier que la condition aux limites en x = 0 est satisfaite.
15. Determiner completement la fonction p(x, t) = f(x) cosωt a l’aide des grandeurs ρ0, u1 et c. En deduireaussi que seules des ondes stationnaires de pulsations bien particulieres peuvent exister dans la clarinette.
16. Donner l’expression de la frequence f1 du mode fondamental existant dans la clarinette en fonction de cet Lcla. Donner aussi l’expression de la frequence du premier harmonique.
17. La musique occidentale est basee sur la gamme temperee chromatique suivante :
Do Do ♯ Re Re ♯ Mi Fa Fa ♯ Sol Sol ♯ La La ♯ Si Do
Quand on passe du premier Do au deuxieme Do, on dit qu’on est passe a l’octave, la frequence de la note emiseest multipliee par 2. En admettant qu’entre deux notes consecutives la frequence est toujours multipliee par lememe facteur a, evaluer ce facteur en l’ecrivant sous la forme d’une puissance de 2.
18. Sur la clarinette, il existe une cle au niveau du pouce appelee cle de douzieme qui permet d’enleverl’emission du mode fondamental, mais qui ne compromet pas l’emission du premier harmonique. Quand tousles trous de la clarinette sont bouches et que l’on n’active pas la cle au niveau du pouce, on emet un son gravequi correspond a Re (son reel entendu par une oreille). On active la cle, on emet alors un son plus aigu : parcombien est multipliee la frequence ? En deduire la note reelle entendue par une oreille.
C. Ondes stationnaires dans un saxophone soprano
Tous les trous du saxophone sont bouches. Le saxophone soprano est forme par un tube conique de hauteurLsax, d’origine O et d’angle au sommet α.
19. Calculer S(x) en fonction de x et de α.
20. Montrer que l’equation E1 s’ecrit aussi :
∂2p(x, t)
∂t2= c2
1
x
(
∂2(xp(x, t))
∂x2
)
21. On effectue le changement de variable suivant Π(x, t) = xp(x, t). Preciser l’equation verifiee par Π(x, t).Quelles sont les conditions aux limites (en x = 0 puis en x = Lsax) pour Π(x, t) ?
22. On recherche une solution stationnaire pour π(x, t) sous la forme h(x) cosωt. Preciser l’equation verifiee
par h(x). A partir des conditions aux limites, montrer que h(x) est de la forme h(x) = E sin kx. En deduireque seules des ondes stationnaires de pulsations particulieres a determiner peuvent etre engendrees dans lesaxophone.
23. Tous les trous du saxophone sont bouches : tout le tube est alors le siege d’une onde stationnaire. Donnerl’expression de la frequence f ′
1 du mode fondamental existant dans le saxophone soprano en fonction de c etLsax. Donner aussi l’expression de la frequence du premier harmonique. Comparer au cas de la clarinette.
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Probleme no 2 – Systeme de mise au point ✭✭ autofocus ✮✮ en photo-graphie EIA TSI2003
Ce sujet est centre sur l’etude d’un systeme de mise au point ✭✭ autofocus ✮✮ en photographie.La premiere partie etudie le principe de la mise au point dans la formation d’une image photographique.La seconde partie detaille le role du module autofocus dans la detection optique de l’erreur de mise au point.La troisieme partie s’interesse au convertisseur de contraste de phase produisant le signal d’erreur.
(L)
oculaire
b
capteurd’image
(LC)
(C2)
(C1)
CCP
(LS1)
(LS2)
miroirde visee
Figure 4 – Appareil photographique reflex
Le systeme de mise au point automatique d’un objectif photographique sur l’objet photographie est un dispositifcomplexe present dans la plupart des appareils photographiques modernes. Il permet d’obtenir une image nettesur le capteur d’image (pellicule photographique ou capteurs CCD) quelle que soit la distance de l’objet, enrealisant un deplacement precis de la lentille de mise au point dans l’objectif par un servomoteur.
L’appareil etudie comporte un objectif que l’on assimilera optiquement a une lentille mince convergente (L) decentre optique O, de foyers objet F et image F ′, et de distance focale f ′ = OF ′.
Un petit miroir a −45◦ fixe a l’arriere du miroir de visee reflex semi-transparent a 45◦ renvoie l’image versle module autofocus sur une petite lentille de champ (LC) de distance focale f ′
c = 12mm, symetrique dudetecteur d’image par rapport au miroir de renvoi, de sorte que l’image A′B′ de l’objet AB photographie seforme simultanement sur le detecteur et sur (LC) si la mise au point est correcte. Un dernier miroir a 45◦ renvoiela lumiere de cette image sur deux microlentilles secondaires (LS1) et (LS2) de distances focales f ′
s = 3mmplacees dans un meme plan a la distance f ′
c de (LC) et dont les centres optiques Os1 et Os2 sont separes de2a = 2mm. Deux capteurs optoelectroniques (C1) et (C2), formes chacun de 48 photodiodes en barrettes de1mm de long, recoivent la lumiere issue des microlentilles dans le plan conjugue de (LC) par (LS1) et (LS2).
Le convertisseur de contraste de phase (CCP) produit un signal electrique d’erreur de mise au point envoyedans le microprocesseur situe dans l’objectif pour piloter directement le petit servomoteur (M), fixe sur le blocoptique de la lentille de mise au point. Par le biais d’un reducteur a pignons, le moteur met en rotation la baguede mise au point situee sur la partie fixe de l’objectif, entraınant la translation du bloc optique de mise au pointdans l’objectif grace a un pas de vis helicoıdal amenage dans le bloc de mise au point.
A. Principe de la mise au point photographique
1. On suppose que la lentille (L) est utilis6e dans les conditions de Gauss. Expliquer ce que cela signifie.
On represente l’objet photographie par un segment AB perpendiculaire a l’axe optique de (L), et son imageformee par (L) par un segment A′B′. On designe par C le point d’intersection du capteur d’image avec l’axeoptique. Les positions des points A et A′ conjugues par (L) sur son axe optique sont reperes par les distancesalgebriques p = OA et p′ = OA′ et x = CA et x′ = CA′, comptees positivement de gauche a droite dans le
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A
B
x
(L)
OxO
b b bbF F ′
C
D
+
++
Figure 5 – Principe de la mise au point photographique
sens de la lumiere. De meme, tous les segments transversaux sont comptes positivement vers le haut, et tous lesangles dans le sens trigonometrique (figure 5).
2. Rappeler la relation de conjugaison de Descartes entre p, p′ et f ′, puis la relation de grandissement entreAB, A′B′, p et p′. Rappeler de meme la relation de conjugaison de Newton entre FA, F ′A′ et f ′.
3. Placer le segment image A′B′ sur la figure 5 (qui sera reproduite a l’echelle sur la copie) a partir de l’objetAB en tracant a la regle les rayons lumineux necessaires (l’unite des graduations de l’axe optique est arbitraire).Verifier la position de A′ par la relation de Newton. La photographie est-elle nette ?
Soit D = AC la distance frontale entre l’objet photographie et le capteur d’image.
4. De la relation de conjugaison de Descartes, deduire la distance (tirage) T = OC a laquelle il faut placer lalentille (L) pour obtenir l’image A′B′ nette en fonction de D et f ′. Que vaut le tirage T , si l’objet est infinimenteloigne ?
5. L’objectif a une focale f ′ de 50mm et peut mettre au point sur un objet a une distance D comprise entrel’infini et Dmin = 40 cm. Calculer le deplacement δ (ou la course) de l’objectif entre ces deux extremes. Enconclusion, dans quel sens faut-il deplacer la lentille (L) quand l’objet se rapproche ?
B. Etude optique du module autofocus
On peut representer le module autofocus forme de (LC), (LS1), (LS2), (C1) et (C2) sur le meme axe optiqueque celui de l’objectif grace aux deux miroirs de renvoi (figure 6). La mise au point correcte est faite sur unobjet AB situe a une distance D de C. La lentille de champ (LC) de centre optique O, etant fixee exactementdans le plan equivalent a celui du capteur d’image grace au premier miroir de renvoi (revoir la figure 4), l’imageA′B′ de l’objet AB se forme exactement sur (LC), avec un tirage T = OC = OOc, figure 6).
x
y
(L)
O
(LC)
OcA′
B′
T f ′
c SP
b C1
b C2
β1
β2
(LS1)
Os1
(LS2)
Os2
a
a
Figure 6 – Etude optique du module autofocus
6. Les photocapteurs (C1) et (C2) sont places dans le plan conjugue de la lentille de champ (LC) par lesmicrolentilles paralleles (LS1) et (LS2), de distances focales identiques f ′
s = 3mm. Les microlentilles etantelles-memes dans le plan focal de la lentille de champ (LC), de distance focale f ′
c = 12mm, en deduire la valeurde la distance SP entre le plan des microlentilles et celui des photocapteurs.
7. Reproduire la figure 6 sur la copie ; y placer les images secondaires A′′
1B′′
1 , et A′′
2B′′
2 qui se forment alorssur chaque photocapteur (C1) et (C2), les points secondaires A′′
1 et A′′
2 conjugues de A′ etant exactement auxcentres respectifs C1 et C2 des photocapteurs. Quelle remarque peut-on faire sur leur sens ?
8. Quel est l’interet de la lentille de champ ? La position des images secondaires depend-elle de D ?
9. Exprimer l’angle β1 tres petit que fait le rayon avec l’axe optique en fonction de a et f ′
c.
On suppose maintenant que l’objet AB s’est deplace d’une distance elementaire dx > 0 vers l’appareil photo,de sorte que l’image A′ de A s’est deplacee de dx′, les images secondaires A′′
1 et A′′
2 de dx′′
1 et dx′′
2 le long de
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l’axe et de dy′′1 et dy′′2 perpendiculairement a l’axe, et les angles β1 et β2 ont varie de dβ1 et dβ2.
10. En differenciant la relation de conjugaison reliant OA et OA′, exprimer dx′ en fonction de dx, T et D.Simplifier l’expression en remarquant que D ≫ T et T ≃ f ′ quelle que soit la position de A.Application numerique : D = 1m ; dx = 1 cm.
11. Montrer que l’image A′
c de A′ par (LC) est pratiquement confondue avec A′.
12. Exprimer dβ1 et dβ2 en fonction de dx′, a et f ′
c puis dy′′1 et dy′′2 en fonction de dx′, a, f ′
c et f ′
s.Application numerique (memes donnees).
13. En conclusion, comment se sont deplacees les images secondaires A′′B′′
1 et A′′B′′
2 par rapport aux pho-tocapteurs lorsque l’objet AB s’est deplace de dx vers l’appareil alors que la mise au point de l’objectif etaitcorrectement reglee sur AB ?
La lentille de l’objectif situee en xO, doit donc etre deplacee d’une distance de consigne dxO = dxc pour queA′B′ se reforme sur le capteur d’image (et donc sur la lentille de champ).
14. Preciser le sens du deplacement dxc, si dx > 0.
15. En differenciant la relation de conjugaison reliant OA et OA′, montrer que dxc = K0dx, ou K0 est fonctionde T et D. Simplifier l’expression en remarquant que D ≫ T et T ≃ f ′.Application : calculer K0 et dxc si D = 1m et dx = 1 cm.
C. Conversion electronique du contraste de phase
Le convertisseur de contraste de phase (CCP) transforme les signaux electriques issus des deux barrettes dephotodiodes (C1) et (C2) en une tension Ua fonction lineaire de l’erreur de mise au point. Les circuits electro-niques et le moteur etant alimentes par une batterie au lithium de force electromotrice Eb = 6V, le potentielelectrique de reference est Vref = 3V par rapport a la masse de 0V.
Chaque photodiode peut (figure 7, a gauche) etre modelisee comme une diode ordinaire a jonction PN , traverseepar un courant d’intensite id branchee en parallele sur une source de courant inverse ip fonction directe du flux
d’energie lumineuse φ que la photodiode recoit, avec id = Is
[
exp
(
eU
kT
)
− 1
]
. On notera U la tension appliquee,
Is = 0, 1 nA le courant constant inverse d’obscurite, T = 300K la temperature absolue, k = 1, 4× 10−23 J ·K−1
la constante de Boltzmann, e = 1, 6× 10−19C le quantum de charge, c = 3× 108m · s−1 la celerite de la lumieredans le vide et h = 6, 6× 10−34 J · s la constante de Planck.
b b
bb
b b
Uid
ip
i
b bVref
b
b
b
+
-
b b
R
bb
upip
Figure 7 – Photodiode (a gauche). Montage amplificateur (a droite)
16. Quelle est l’energie Ep d’un photon de longueur d’onde λ dans le vide ?
17. Le flux lumineux φ etant la puissance (en watt) incidente sur la surface de la jonction PN , quel est ledebit de photons Np Correspondant ?
18. Le photocourant ip est produit par l’arrachement d’un electron de la zone P vers la zone N par un photonlumineux de longueur d’onde λ avec une efficacite η (rendement quantique), a condition que λ soit inferieure aune longueur d’onde seuil λs, caracteristique du materiau semiconducteur. Montrer qu’alors ip = Aφ ou A estune constante que l’on exprimera en fonction de η, λ, e, h et c.
19. Le rendement quantique est η = 0, 66 a la longueur d’onde λ = 0, 5µm. Le calcul du flux arrivant parbeau temps sur la surface s = 20µm × 20µm d’une photodiode a travers l’objectif ouvert donne φ = 1mW.Calculer le photocourant ip correspondant.
20. Dans la penombre, le flux lumineux peut etre 100 000 fois plus faible. Montrer que les capteurs peuventencore faire fonctionner l’autofocus si chaque photodiode est connectee aux entrees d’un amplificateur opera-tionnel de tension et courant d’offset negligeables selon la figure 7, a droite. En deduire la tension de sortie up
en fonction de φ et de la resistance R.
Les sorties des amplificateurs de chaque paire de photodiodes identiques des deux barrettes (C1) et (C2) sontreliees aux entrees d’un amplificateur operationnel ideal selon le montage de la figure 8 (etage A). Les sortiessymetriques de ces 48 circuits identiques sont ensuite reliees deux a deux a 24 autres amplificateurs operationnels
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ideaux suivant le meme montage que precedemment (etage B). Les 24 sorties de l’etage B sont connectees a ununique amplificateur operationnel ideal (etage C) delivrant une tension uC par rapport Vref.
−24
24
−1
1(C1)
−24
24
−1
1(C2)
bVref
up2j
up1j
b Vref
R R
R
R
−
+
b Vref
R R
R
R
−
+
etage A
uAj
24
−24
b Vref
R R
R
R
−
+
etage B
uBk
24
k
1
R/24 R/48
R/k
R
b
b
Vref
uC−
+
etage C
Figure 8 – Conversion electronique du contraste de phase
21. Quelle est la fonction des circuits des etages A et B ?
22. On repere le rang de chaque photodiode des barrettes par un indice j a partir de leurs centres (j = 1 a 24
suivant le sens y > 0 ; j = −1 a −24 suivant le sens y < 0). Etablir l’expression de la tension uAj de la je sortiede l’etage A par rapport a Vref, en fonction des flux lumineux φ1j et φ2j recus par les photodiodes de rang jidentique des barrettes (C1) et (C2), ainsi que de A et R.
23. Etablir de meme l’expression de la tension uBk par rapport a Vref de la ke sortie de l’etage B (k = 1 a 24)en fonction des tensions uAk et uA(−k) presentes aux sorties symetriques de l’etage A.
24. Les resistances Rk etant egales a R/k, exprimer la tension de sortie uC de l’etage C en fonction des tensionsuBk. Quelle operation mathematique realise l’etage C ?
25. Montrer que la tension uC est nulle lorsque la mise au point de l’objectif sur l’objet photographie estexacte, et qu’elle est essentiellement fonction (quasi-lineaire) de l’erreur de mise au point de l’objectif, quelleque soit la forme de l’objet. On pourra faire l’etude selon la position des points de l’image secondaire A′′B′′
1
pour un decalage de n photodiodes de (C1).
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