1

I.P.S.A.

5 / 9 rue Maurice Grandcoing 94200 Ivry Sur Seine

Date de l'Epreuve : 30 octobre 2010

Tél. : 01.56.20.60.71

Classe : AERO.2 A, B

DEVOIR SURVEILLE

THERMODYNAMIQUE Professeur : Monsieur BOUGUECHAL

Durée : 1h30 2 h 00 3 h 00

Notes de Cours

Avec (1) Calculatrice

Sans (1) sans (1)

(1) Rayer la mention inutile NOM : Prénom : N° de

Table :

DEVOIR SURVEILLE DE THERMODYNAMIQUE :

Répondez directement sur la copie.

Inscrivez vos nom, prénom et classe.

Justifiez vos affirmations si nécessaire.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans

l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en

proposant une solution.

NOM : NUMERO : ::

PRENOM : :

CLASSE :

T.S.V.P.

Corrigé

2

Exercice 1 : Transformation et systèmes thermodynamiques ( 2,5 points )

A. Une transformation isochore est une transformation qui se fait ( à ) :

1.□ pression constante 2.□ intervalle de temps régulier 3.□ sans échange

d’énergie 4.□ volume constant 5.□ autre

B. Une transformation adiabatique est une transformation qui se fait ( à ) :

1.□ température constante 2.□ intervalle de temps régulier 3.□ sans

échange de chaleur 4.□ volume constant 5.□ autre

C. Un système fermé échange :

1.□ du travail uniquement 2.□ de la chaleur uniquement 3.□ de la matière

4.□ du travail et de la chaleur 5.□ autre

D. Un système isolé échange :

1.□ du travail uniquement 2.□ de la chaleur uniquement 3.□ de la matière

4.□ du travail et de la chaleur 5.□ aucun échange possible.

E. Une fonction d’état est une fonction caractérisé par :

1.□ son intégration dépend du chemin 2.□ son intégration ne dépend pas du chemin

3.□ c’est une différentielle exacte 4.□ ce n’est pas une différentielle exacte

5.□ aucun réponse valable.

Cochez la ou les bonne(s) cases.

EXERCICE 1 1 2 3 4 5

A X

B X

C X

D X

E X X

point par X , sauf question E point par X

0.5

0.25

5

3

Exercice 2 : Variables extensives, intensives ( 2,5 points )

A. Les variables extensives sont :

1.□ La masse 2.□ Le volume 3.□ La masse volumique 4.□ Le volume

massique 5.□ La température.

B. Les variables intensives sont :

1.□ La température 2.□ La pression 3.□ La masse 4.□ Le volume

5.□ La masse volumique.

C. La température d’un système est liée à :

1.□ au choc des molécules 2.□ l’agitation des molécules 3.□ l’énergie cinétique

des molécules 4.□ au travail et à la chaleur 5.□ aucune réponse ne convient.

D. La pression d’un système est liée à :

1.□ au choc des molécules 2.□ l’agitation des molécules 3.□ l’énergie cinétique

des molécules 4.□ au travail et à la chaleur 5.□ aucune réponse ne convient.

E. Un gaz est dit parfait si :

1.□ c’est un gaz rare 2.□ les molécules sont ponctuelles 3.□ les molécules sont

monoatomiques 4.□ il n’ y a pas d’interaction entre les molécules 5.□ aucune

réponse ne convient.

Cochez la ou les bonne(s) cases.

EXERCICE 2 1 2 3 4 5

A X X

B X X X

C X X

D X

E X X

point par ligne

0.5

4

Exercice 3: Différentielles totales exactes et inexactes ( 5 points )

1. Déterminer si les différentielles suivantes sont exactes:

2. Soient les deux différentielles totales suivantes:

a. Ces différentielles sont-elles exactes ou inexactes? Justifier.

b. Déterminer la fonction F, quand cela est possible.

c. Calculer la variation de F entre (0 ;0) et ( 1 ;1) :

pour chaque différentielle dF1 et dF2 et selon chacun des trois chemins suivants:

i. le long de la droite y = x

ii. le long de la courbe y = x2

iii. le long de la courbe y =

d. Les résultats de (a) et (b) concordent-ils ?

Solution :

1)

a)

dte : différentielle totale exacte

b)

c)

0.25

0.25

0.25

5

d)

2)

a)

Théorème de Schwartz ( d’Euler )

b) Seule la fonction F1 existe,

En intégrant , on obtient , plus une cste.

c)

i. le long de la droite y = x et donc dy = dx , on remplace dans la formule :

ii. le long de la courbe y = x2 et donc dy = 2xdx, on remplace dans la formule

e.

iii. le long de la courbe y = et donc , on remplace

0.25

0.5

0.5

0.5

0.25

0.25

0.25

6

i. le long de la droite y = x et donc dy = dx , on remplace dans la formule :

ii. le long de la courbe y = x2 et donc dy = 2xdx, on remplace dans la formule

f.

iii. le long de la courbe y = et donc , on remplace

d) Dans le premier cas dF1 est une dte, son intégration ne dépend pas du chemin, on

obtient alors le même résultat quelque soit le chemin ;

Dans le second cas dF2 n’est pas une dte, sont intégration dépend du chemin, on obtient

alors des résultats différents lors de l’intégration en suivant des chemins différents.

0.5

0.25

0.5

0.5

7

Exercice 4 : Coefficients thermoélastiques d’un fluide( 10 points )

Partie A :

On rappelle la définition des différents coefficients thermoélastiques α β et χT.

PT

V

V

1

VT

P

P

1

T

TP

V

V

1

où α est le coefficient de dilatation volumique isobare, β le coefficient de compressibilité

isochore et χT le coefficient de compressibilité isothermique.

1. Etablir la relation suivante :

P

T

T TP

2. Montrer que α = PβχT

Partie B :

L’équation d’état d’un fluide de Van Der Waals est donnée par :

RTbVV

aP ))((

2

a et b étant des constantes positives.

1. Déterminer la différentielle des deux membres de l’équation de Van Der Waals et

la présenter sous la forme A dP + B dV +C dT = 0.

On donnera l’expression de A, B et C.

2. En déduire les dérivées partielles suivantes : PT

V ;

VT

P ;

TP

V

3. Exprimer α, β et χT pour un tel fluide en fonction des paramètres d’état.

4. Retrouver le cas du gaz parfait à partir du fluide de Van Der Waals.

5. En déduire une relation entre ces trois coefficients.

Partie C :

On considère maintenant un liquide dont ignore l’équation d’état. Les mesures

expérimentales ont montré que pour une température T0, un volume V0 et une pression

P0, le liquide a un coefficient de dilatation isobare α = α0 constant et un coefficient de

compressibilité isotherme χT = χ0 constant.

1. On demande de déterminer l’équation d’état du liquide.

8

Solution :

PT

V

V

1

VT

P

P

1

T

TP

V

V

1

Partie A :

1. On doit établir la relation : :

P

T

T TP

On a utilisé :

Autre formule mathématique : (1/u)’ = -u’/u2

On procède de la même manière :

On compare les deux égalités et on en déduit que :

P

T

T TP

2. Montrons que α = PβχT

On sait que :

On écrit pour faire apparaitre les coefficients thermoélastiques :

1.0

9

On obtient alors :

Partie B :

1)

RTbVV

aP ))((

2

( eq. 1 )

2)

0.5

1.0

1.0

1.0

10

1. On peut alors obtenir les dérivées partielles suivantes : PT

V ;

VT

P ;

TP

V

On met dT = 0 dans éq.1, on obtient :

D’où :

On met dV = 0 dans éq.1, on obtient :

( eq. 1 )

On met dP = 0 dans éq.1, on obtient :

1. Expression de α, β et χT pour un fluide de Van der Waals.

PT

V

V

1

VT

P

P

1

0.5

0.5

0.5

0.5

11

T

TP

V

V

1

2. Cas du gaz parfait à partir du fluide de Van Der Waals. a= 0 et b =0 et PV = RT

1. Relation entre ces trois coefficients.

Partie C :

Liquide : on cherche l’équation d’état. On sait que pour une température T0, un volume

V0 on a une pression P0, et α = α0 constant et χT = χ0 constant.

Equation d’état du liquide.

On peut écrire : car V est fonction de P et T.

car

PT

V

V

1

VT

P

P

1

T

TP

V

V

1

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

12

On intègre :

D’où :

0.5

13

Exercice 5: Capacité calorifique à volume constant d’un système ( 2 points ) Bonus

On considère l’énergie interne d’un système donnée par U(T ;V) = a T Vb où T et V sont

la température et le volume du système, a et b sont des constantes positives non nulles.

1. Est-ce l’énergie interne d’un gaz parfait ? Justifiez.

2. Déterminer l’expression de la capacité calorifique à volume constant du système.

3. Donner l’expression de dU pour ce système.

Solution :

1. Ce n’est pas l’énergie interne d’un gaz parfait, car l’énergie interne U d’un gaz parfait

ne dépend que de la température, dans l’énoncé U dépend de T et V.

2.

3.

D’où :

0.5

0.5

1.0