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Loïc Villain 22 fiches Résumés de cours 107 exercices corrigés Méthodologie et conseils

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Loïc Villainest enseignant-chercheur en physique à l’Université François-Rabelais de Tours où il effectue son activité de recherche en astrophysique relativiste au Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique. Il est impliqué dans de nombreuses activités de diffusion de la connaissance, au niveau universitaire et vers le grand public. Il a publié plusieurs ouvrages en physique chez De Boeck Supérieur.

www.deboecksuperieur.com

Cet ouvrage propose une synthèse de l’apprentissage de la mécanique newtonienne du point grâce à des fiches de cours suivies d’exercices corrigés en détail. Toutes les étapes des calculs et des raisonnements sont explicitées, plusieurs exercices étant illustrés et faisant référence les uns aux autres de manière à donner une cohérence globale à la présentation. Divers outils méthodologiques sont également exposés et mis en œuvre pour aider à la résolution des exercices.

Chaque fiche contient :

> des rappels de cours : définitions,

propriétés, formules importantes.

> des points de méthodologie et des

conseils.

> des exemples détaillés pour illustrer

les notions ou apprendre à résoudre

les questions.

> des exercices et leurs corrigés détaillés.

Mécanique du point

PH

YSI

QU

E

PH

YSI

QU

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Mécaniquedu point

ISBN : 978-2-8073-0766-7

Prix TTC : 16 €

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Mécanique du point

9782807307667_Physique.indb 1 20/07/2017 08:23:55

DANS LA MÊME COLLECTION

Sup en poche est une collection destinée aux étudiants du 1er cycle, essentiellement en Licence 1 et 2. Son objectif est de permettre à l’étudiant de réviser et s’entraîner en vue de réussir ses examens. Chaque ouvrage est composé de fiches proposant des cours résumés suivis d’exercices corrigés pas à pas.

Optique géométriqueR. Taillet

Toutes les maths pour bien commencer sa licenceF. Cottet-Émard

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Loïc Villain

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Mécanique du point

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Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com

© De Boeck Supérieur s.a., 2017 Rue du Bosquet, 7 – B-1348 Louvain-la-Neuve

Tous droits réservés pour tous pays.Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partielle-ment ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé aux Pays-Bas

Dépôt légal :Bibliothèque Nationale, Paris : septembre 2017 ISSN 2566-2724 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2017/13647/141 ISBN 978-2-8073-0766-7

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VSommaire

Sommaire

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI

Partie Cinématique11 Référentiel, repère et coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Principaux systèmes de coordonnées curvilignes tridimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Vecteur position et base cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Base polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7 Bases cylindrique et sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Déplacement élémentaire, vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . . 58

9 Vitesse et accélération dans les systèmes de coordonnées et bases curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10 Abscisse curviligne et base de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11 Propriétés générales des mouvements et cas particuliers . . . . . . . 93

12 Composition des vitesses et accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Partie Dynamique, énergétique et applications213 Forces, lois de Newton et référentiels inertiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

14 Principaux exemples de forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

15 Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

16 Travail et énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

17 Forces conservatives, énergie potentielle et énergie mécanique . 166

18 Mécanique du point en référentiel non-inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

19 Frottements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

20 Forces centrales et newtoniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

21 Oscillateur harmonique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

22 Oscillateur harmonique forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

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VI Introduction

Introduction

Ce livre expose une synthèse des notions de base de la mécanique du point dans son formalisme newtonien, c’est-à-dire à l’aide du concept de force. Il est composé de courtes fiches de rappels de cours, suivies d’exercices corrigés qui les mettent en œuvre et représentent le cœur de cet ouvrage.

La mécanique repose notamment sur la cinématique, domaine qui s’oc-cupe de la description des mouvements, indépendamment de leur contexte physique. Pour cette raison, l’ouvrage a été construit en deux parties. La première, qui peut sembler plus formelle, reprend la cinéma-tique depuis les notions fondamentales (référentiel, repère, etc.) et re-vient sur certains « outils mathématiques », introduits peu à peu. Tous les exercices de la partie cinématique ont une motivation physique, même si elle n’a pas toujours été explicitement mentionnée. Il est notamment fait référence à plusieurs d’entre eux dans la seconde partie qui traite de la dynamique du point proprement dite et de ses principales applications. Quiconque souhaiterait se concentrer sur les principes physiques peut donc, dans un premier temps, parfaitememnt ignorer la partie cinéma-tique et n’y revenir qu’en cas de besoin.

D’une manière générale, les fiches ont été conçues pour être auto-suf-fisantes, ou, quand tel n’est pas le cas, pour ne jamais faire appel à des notions qui n’ont pas déjà été abordées dans une fiche antérieure. Il en est en particulier ainsi pour les exercices qui représentent la majeure par-tie de l’ouvrage et sont considérés ici comme des outils pédagogiques, et non seulement comme des tests pour voir si le cours a été compris. Certains d’entre eux sont des applications très directes du cours, d’autres sont des grands classiques, d’autres encore servent de prétexte pour in-troduire une technique mathématique ou un concept intéressants.

Chaque exercice est accompagné d’un corrigé détaillé, parfois de re-marques méthodologiques, et toujours d’une indication de niveau (★★★, ★★★, ★★★). Celle-ci se réfère non pas à la difficulté conceptuelle, mais au temps nécessaire pour faire l’exercice. Un niveau ★★★ peut ne pas être difficile, tout en requérant de s’y plonger pendant plusieurs dizaines de minutes. Dans tous les cas, la présence d’un corrigé détaillé ne doit pas être une tentation pour ne pas chercher à résoudre soi-même l’exer-cice. Le lire n’a d’intérêt pédagogique qu’après avoir effectivement pris le temps de réfléchir activement.

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Partie 1

Cinématique

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COURS

Cours2

[ MOTS-CLÉS : référentiel, repère, système de coordonnées, trajectoire, équations horaires ]

Référentiel, repère et coordonnées1

Résumé de cours1uu Définition : Un référentiel est un ensemble de points, fictifs ou maté-riels, immobiles les uns par rapport aux autres et qui servent à repérer le système dont on étudie le mouvement. On peut en quelque sorte se représenter un référentiel comme un solide rigide, idéalisé ou réel.

uu Propriété : À tout observateur, on peut associer un unique référentiel dans lequel il est immobile à chaque instant. On assimile en général l’observateur et le référentiel qui lui correspond.

uu Définition : On nomme référentiel absolu, le référentiel associé à l’es-pace, lequel est supposé être, en physique newtonienne, une scène immuable dans laquelle se déroulent les phénomènes.

uu Définition : À un référentiel, on joint implicitement un repère temporel, ou un temps, défini par une origine temporelle et une unité de temps. Il permet de doter chaque phénomène d’une date, voire d’une durée.

uu Définition : Un événement est un phénomène qui a lieu en un endroit ponctuel donné à un instant précis.

uu Propriété : En mécanique classique, on considère qu’il existe un temps universel et absolu, c’est-à-dire qu’il est possible d’utiliser le même repère temporel pour tous les référentiels, sans que n’appa-raissent de désaccords sur la date des événements ou la durée des phénomènes.

uu Propriété : Dans le Système international, les dates et les durées s’ex-priment en secondes (symbole s).

AttentionEn raison du caractère relatif du mouvement (voir la notion de relativité dans la fiche 13), il est nécessaire de préciser dans quel référentiel est observée l’évolution d’un système pour pouvoir la décrire. En effet, un objet n’est pas en soi immobile ou mobile. Il ne l’est que par rapport à quelque chose d’autre.

9782807307667_Physique.indb 2 20/07/2017 08:24:26

Fiche 1 : Référentiel, repère et coordonnées 3

1. C

iném

atiq

ue

uu Définition : Un repère (spatial) est l’ensemble formé d’un point géo-métrique, nommé origine et souvent noté O, et de trois axes orthogo-naux.

uu Propriété : Il existe un unique référentiel par rapport auquel l’origine et les axes d’un repère particulier sont immobiles à chaque instant. En revanche, à un référentiel donné peuvent naturellement être associés une infinité de repères distincts qui diffèrent par la position de leur origine ou l’orientation de leurs axes.

Figure 1.1. Deux repères de l’espace, d’origine et d’axes distincts. Si, à chaque instant, les deux repères gardent la même position

l’un par rapport à l’autre, ils peuvent correspondre au même référentiel. En revanche, si la distance OO′ ou l’orientation relative

des axes varient, ils sont associés à des référentiels différents.

uu Définition : Dans un référentiel, et étant donné un repère, la position d’un point peut être repérée à l’aide de 3 nombres, dits coordonnées, qui l’identifient de manière unique. Les coordonnées correspondent par exemple à des distances – et ont alors la dimension physique de longueurs – ou à des angles, et sont dans ce cas sans dimension phy-sique.

uu Propriété : Dans le Système international, les distances s’expriment en mètres (symbole m) et les angles en radians (symbole rad, unité sans dimension).

uu Définition : Une convention qui attribue à chaque point de l’espace ou d’un référentiel un et un seul triplet de coordonnées est un système de coordonnées. On construit d’ordinaire tout système de manière à

AttentionPar abus de langage, on désigne fréquemment un référentiel par un repère qui le définit.

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Cours4

ce que l’origine du repère associé au référentiel y ait des coordon-nées simples (valant 0 par exemple).

uu Définition : Dans un système de coordonnées, une ligne de coordon-nées est une courbe le long de laquelle une seule coordonnée varie.

uu Définition : Un point matériel est la modélisation idéalisée d’un sys-tème physique considéré comme un point géométrique doté de cer-taines propriétés physiques (une masse, une charge électrique, etc.), mais sans volume ni superficie. Dans un système de coordonnées donné et à une date fixée, il est repéré de manière unique par 3 coor-données spatiales.

uu Définition : Dans un référentiel, la trajectoire d’un point matériel est l’ensemble des positions qu’il occupe au cours du temps.

uu Définition : Dans un système de coordonnées, une trajectoire peut être caractérisée par des équations horaires, qui décrivent les coor-données en fonction du temps, ou, pour certains mouvements simples, par une (ou plusieurs) équation(s) qui relie(nt) ou détermine(nt) explici-tement les coordonnées du point. Cependant, certaines informations cinématiques, comme la vitesse, ne sont incluses que dans les équa-tions horaires.

AttentionDans certains système de coordonnées, l’origine est un point particulier auquel on ne peut pas associer trois coordonnées. C’est par exemple le cas dans le système de coordonnées polaire, défini dans la fiche 3, où l’on ne peut pas lui attribuer de coordonnée angulaire unique.

AttentionS’il existe des restrictions sur les déplacements possibles d’un point matériel, le nombre de coordonnées utiles pour décrire sa position et sa trajectoire peut être inférieur à 3. Par exemple, si le système ponctuel étudié est assujetti à se déplacer dans un plan, il suffit de deux coordonnées pour le répérer.

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6 EXERCICES

Exercices42

1Exercice Coordonnées et composantes polaires ★★★

Un point M a pour coordonnées cartésiennes (5, -2).

Déterminer : 1. ses coordonnées polaires ; 2. les composantes polaires de son vecteur position.

2Exercice Composantes des vecteurs de base ★★★

Soit un point de coordonnées polaires (½, µ) et de coordonnées carté-siennes (x, y).

1. Déterminer, en fonction de ½ et µ, les composantes des vecteurs ( , )½ µe er r

qui lui correspondent dans la base cartésienne, ainsi que celles

des vecteurs de la base cartésienne dans la base polaire.

2. Montrer qu’il existe des matrices R(µ) et R′(µ) telles que

x x½ ½

y yµ µ

e ee e

e ee e

= × = ′ ×

R Ret

r rr r

r rr r

où × désigne le produit matriciel, puis calculer leur produit R(µ) × R′(µ) et commenter le résultat.

3Exercice Dérivées de vecteurs mobiles ★★★

1. À partir des composantes cartésiennes, exprimées en fonction de µ, des vecteurs  ( , )½ µe e

r r

déterminer les expressions de /½de dµr

et /µde dµr

rappelées dans le résumé de cours.

2. Soit une fonction vectorielle ( )e ®r

qui associe à chaque valeur du réel

® un vecteur de l’espace. Montrer que si ( )e ®r

a une norme indépendante

de ®, alors, pour une même valeur de ce paramètre, er

et /de d®r

sont

orthogonaux, puis vérifier cette propriété avec les vecteurs r

½e et r

µe .

4Exercice Spirale ★★★

On considère un point M dont les équations horaires cartésiennes, pour t ≥ 0, sont

=

=

2

2

( ) cos2

( ) sin2

¼tx t t

¼ty t t

où les distances sont en centimètres et le temps en secondes.

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Fiche 6 : Base polaire 43

1. C

iném

atiq

ue

1. Déterminer les équations horaires polaires du point.

2. À l’aide des équations polaires, faire une figure sur laquelle sont repré-

sentées les positions occupées à =1 2 / 2t , t2 = 1, =3 2t , =4 7 / 2t

et t5 = 2, ainsi que les vecteurs de la base polaire en chacune de ces po-

sitions.

3. Exprimer le vecteur r

ye dans chacune des bases polaires obtenues.

5Exercice Ellipse ★★★

On considère une courbe dont l’équation polaire est

=-

20( )

10 7 cos( )½ µ

µ

1. Justifier que la courbe est symétrique par rapport à l’axe Ox et en déduire qu’il suffit d’étudier son comportement pour µ ∈ [0, ¼[ afin d’avoir une idée de son allure.

2. Sur une figure, placer les points correspondants à µ = 0, µ = ¼/6, µ = ¼/4, µ = ¼/2 et µ = ¼ (ainsi que toutes les valeurs opposées) puis, en chacun de ces points, représenter la base polaire.

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Corrigés152

15 CORRIGÉS

1Exercice Expression en coordonnées polaires ★★★

1. Par définition, on a

OL OM p= ∧uuuurr

r

avec, ici, la restriction que le mouvement est contenu dans le plan z = 0.

On a donc (voir fiche 9) ½OM ½e=uuuur

r

et ½ µv ½ e ½µ e= +r r r

&

& . Puisque 0½ ½e e∧ =r

r r

et que ½ µ ze e e∧ =r r r

, on en déduit

2O zL m½ µ e=

r

r

&

où m est la masse de la particule.

2. Pour obtenir LOx

, il faut calculer le produit scalaire entre le moment cinétique en un point de cet axe et son vecteur directeur unitaire. Or, par

construction, le point O appartient à Ox et r

xe en est le vecteur directeur

unitaire. Ainsi,

0Ox O xL L e= ⋅ =r

r

3. De manière analogue, on a2

Oz O zL L e m½ µ= ⋅ =r

r

&

2Exercice Équations du pendule ★★★

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le moment cinétique du

point matériel de masse m par rapport au point O est OM p∧uuuur

r

, où p mv=r r

est sa quantité de mouvement. Puisque, dans le système de coordon-

nées polaire d’origine O, ½OM ` e=uuuur

r

et µv `µ e=r r

& , on a

2O zL m` µ e=

r

r

&

MéthodologieDe manière générale, le moment cinétique par rapport à un axe contenu dans le plan du mouvement est toujours nul.

MéthodologieLorsqu’un mouvement est plan, le moment cinétique par rapport à un axe orthogonal au plan est la composante du moment cinétique par rapport au point d’intersection de l’axe et du plan.

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Fiche 15 : Moment cinétique 153

2. D

ynam

ique

où r

ze est le vecteur unitaire qui complète la base cylindrique et est ortho-

gonal au plan du mouvement.

Les deux forces qui agissent sur le point matériel sont la tension du fil r

T

et son poids r

P . Le point O étant fixe, on peut y appliquer le théorème du moment cinétique pour écrire

( ) ( )OO O

dLT P

dt= +M M

r

uuuur uuuurr r

Cependant, par définition, ( )O T OM T= ∧Muuuur uuuurr r

, avec OMuuuur

et r

T qui sont

tous deux colinéaires à r

½e . Ainsi, le moment de la tension est nul et seul

celui du poids importe. Puisque ( )cos sin½ µP mg µ e µ e= -r

r r

, on a

2 ( ) sinz O zm` µ e P `mg µ e= = -Muuuur r

r r

&&

soit ( / )sin 0µ g ` µ+ =&& , qui était l’équation obtenue en projetant le prin-

cipe fondamental de la dynamique selon µer

.

3Exercice Force centrale et lois de Kepler ★★★

1. Le moment cinétique de la masse par rapport à O s’écrit

OL mOM v= ∧uuuurr

r

, où r

v est la vitesse du point. En dérivant cette expres-

sion par rapport au temps, on obtient

( )OdLm v v OM a

dt= ∧ + ∧

r

uuuur

r r r

puisque O est fixe. Le premier terme est nul par définition du produit vec-toriel, et, à l’aide de la deuxième loi de Newton, on peut écrire

OdLOM F

dt= ∧

r

uuuur r

si r

F est la force qui agit sur le point matériel. Or, dans la situation consi-

dérée, r

F est à chaque instant colinéaire à OMuuuur

. Ainsi, le moment ciné-

tique OLr

est une constante du mouvement, c’est-à-dire une grandeur

dont la valeur reste constante au cours de l’évolution du système.Remarque  : Le résultat obtenu est l’une des particularités des « forces centrales » qui sont abordées dans la fiche 20.

2. De la conservation du moment cinétique par rapport à O, on déduit le

caractère plan du mouvement de la façon suivante : par construction, OLr

est orthogonal à OMuuuur

et à la vitesse. Il a donc une direction fixée par les conditions initiales, qu’il garde par la suite. Si l’on définit un repère cylin-

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Corrigés154

drique dont l’axe Oz est parallèle à OLr

, il n’y a ni force ni vitesse initiale

selon Oz. Le mouvement reste par conséquent confiné dans le plan or-thogonal.En ce qui concerne le fait que pendant des intervalles de temps égaux, le rayon vecteur balaie des surfaces égales, on le comprend en se rappe-lant que le produit vectoriel entre deux vecteurs a pour valeur absolue la surface du parallélogramme qu’ils définissent. Or, en regardant la figure

ci-dessous, on constate que l’aire balayée par r OM=uuuur

r

pendant une du-rée infinitésimale dt est

2 2

r dr r vdtd

∧ ∧= =A

r r r r

où ( ) ( )dr r t dt r t= + -r r r

. Puisque /Or v L m∧ =r

r r

, la constance de OLr

est

équivalente à celle de l’aire balayée par r

r pendant des temps égaux.

4Exercice Équilibre d’un ensemble masses + fils + poulie ★★★

On s’intéresse au système « anneau » dans le référentiel terrestre suppo-sé galiléen. Puisque l’ensemble est au repos, le théorème du moment cinétique indique que la somme des moments, par rapport à un point donné, des forces qui agissent sur l’anneau doit être nulle. Celui-ci est

soumis à 3 forces : les tensions des fils, notées r

T , mTr

et MTr

, dont il nous

faut a priori connaître à la fois la norme et l’orientation pour calculer leurs

moments. Néanmoins, le moment par rapport à O de r

T , de norme incon-

nue, est nul, étant donné que cette force est colinéaire à OAuuur

, où O est le point par rapport auquel on calcule les moments et A le point d’action. La condition d’équilibre se réduit par conséquent à

( ) ( ) 0O M O mT T+ =M Muuuur uuuurr r r

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Fiche 15 : Moment cinétique 155

2. D

ynam

iquePar ailleurs, les fils étant sans masse et la poulie parfaite, la norme de la

tension  mTr

est mg, c’est-à-dire le poids de la masse que soutient le fil. Par

le même raisonnement, on conclut que celle de MTr

est Mg. D’autre part,

le produit vectoriel de deux vecteurs Ar

et Br

est sin( )ABA B AB ® u∧ =r

r

r

,

où A et B sont les normes des vecteurs, où ®AB

est l’angle entre eux, et où u

r

est un vecteur unitaire orthogonal au plan qu’ils définissent et tel

que le trièdre (Ar

, Br

, ur

) soit direct. Les trois vecteurs OAuuur

, MTr

et mTr

appartenant au plan de la figure ci-dessous, les deux moments seront orthogonaux à ce plan et l’on peut donc les projeter selon la normale pour ne garder que des grandeurs algébriques, autrement dit des mo-ments par rapport à l’axe D passant par O et orthogonal au plan de la fi-gure. Si l’on note L la distance OA, la condition d’équilibre projetée selon D prend la forme

sin( ) sin( ) 0m MLmg ® LMg ®+ =où les deux ® sont des angles algébriques à exprimer en fonction des données du problème et de l’inconnue µ.L’énoncé indiquant que les distances OA et AB sont égales, le triangle OAB est isocèle en A et l’angle µ, celui qu’il est demandé de déterminer, est présent à deux endroits (voir la figure). On en déduit que l’angle Á, qui complète le triangle, vérifie 2µ + Á = ¼, soit Á = ¼ - 2µ, avec 2µ , le complé-

mentaire de Á, qui est également l’angle ®M

entre OAuuur

et MTr

. D’autre

part, puisque la tension  mTr

est verticale, l’angle qu’elle fait avec OAuuur

,

noté ci-dessus ®m, est tel que  µ + ®

m = ¼/2. Il convient cependant de

prendre en compte l’orientation de cet angle : les deux tensions  mTr

et

MTr

ont des orientations opposées par rapport à OAuuur

, car l’une va dans

le sens direct, et l’autre dans le sens indirect. Leurs moments sont donc eux aussi de signe opposé et l’on a finalement

sin( / 2 ) sin(2 ) 0Lmg ¼ µ LMg µ- - + =ce qui, en utilisant les relations sin(¼/2 - µ) = cos µ et sin(2µ) = 2 sin(µ) cos(µ), se simplifie en sin µ = m / (2M).

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Corrigés156

Vérification : On constate que lorsque M → 1, l’équilibre correspond à µ = 0, c’est-à-dire à une configuration dans laquelle les deux fils su-périeurs sont collés contre le plafond.

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Loïc Villainest enseignant-chercheur en physique à l’Université François-Rabelais de Tours où il effectue son activité de recherche en astrophysique relativiste au Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique. Il est impliqué dans de nombreuses activités de diffusion de la connaissance, au niveau universitaire et vers le grand public. Il a publié plusieurs ouvrages en physique chez De Boeck Supérieur.

www.deboecksuperieur.com

Cet ouvrage propose une synthèse de l’apprentissage de la mécanique newtonienne du point grâce à des fiches de cours suivies d’exercices corrigés en détail. Toutes les étapes des calculs et des raisonnements sont explicitées, plusieurs exercices étant illustrés et faisant référence les uns aux autres de manière à donner une cohérence globale à la présentation. Divers outils méthodologiques sont également exposés et mis en œuvre pour aider à la résolution des exercices.

Chaque fiche contient :

> des rappels de cours : définitions,

propriétés, formules importantes.

> des points de méthodologie et des

conseils.

> des exemples détaillés pour illustrer

les notions ou apprendre à résoudre

les questions.

> des exercices et leurs corrigés détaillés.

Mécanique du point

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Mécaniquedu point

ISBN : 978-2-8073-0766-7

Prix TTC : 16 €

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