TP Info — Terminale S.

21 janvier 2008

Dichotomie et tableur – Recherche d’une solution approchée de l’équation 𝑓(𝑥) = 0

Présentation:

𝑓 es t une fonct ion déf in ie sur un interval le 𝐼.

I l arr ive parfo is que l 'on sache que l 'équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solut ion sur 𝐼 (un

résul tat qui peut être donné par le théorème des valeurs intermédia ires ) sans être capable de

calculer cette solut ion de façon exacte.

I l ex is te p lus ieurs a lgor i thmes permettant de donner des encadrements (de p lus en p lus préc is)

de cet te solut ion. L 'un de ces a lgor i thmes est celu i de la d ichotomie.

En grec, d ichotomie s ignif ie « couper en deux».

Etude d’ un cas particulier:

Considérons le cas de l'équation 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑥

1) Vérifiez que vous êtes en mesure d’afficher un graphique associé à l’équation

précédente sur un grapheur (Geogebra par exemple), un tableur ou votre

calculatrice. L’utiliser pour donner un encadrement de l’unique solution de

l’équation 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑥 entre deux entiers consécutifs.

On appellera 𝑎0 le plus petit et 𝑏0 le plus grand.

2) On pose 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥). Montrez que 𝑓 est continue et strictement croissante sur . En déduire que

l’équation que 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution sur appartenant à l’intervalle [𝑎0; 𝑏0]. On notera α cette

solution.

3) On note 𝑐0 =𝑎0+𝑏0

2. Calculer 𝑐0 et une valeur approchée de 𝑓(𝑐0). Déterminer si α∈ [𝑎0; 𝑐0] ou si α∈ [𝑐0; 𝑏0]

en indiquant la technique utilisée.

4) On prendra pour définir [𝑎1;𝑏1], les bornes de l’intervalle précédent dans lequel se trouve α. Calculez

𝑐1 =𝑎1+𝑏1

2 , 𝑓(𝑐1) , itérez le processus et définissez l’intervalle [𝑎2; 𝑏2].

5) Que pouvez-vous dire sur l’amplitude des intervalles successifs? Notons 𝐼0 l’amplitude de l’intervalle [𝑎0; 𝑏0]

et 𝐼𝑛 celle de l’intervalle [𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 ], Exprimer 𝐼𝑛 en fonction de n et 𝐼0. Pour quelle valeur de n obtiendra-t-on

une valeur approchée de α à 10-4

près ?

6) Afin d’approcher α au plus près, nous sommes amené à construire 3 suites définies sur : (𝑎𝑛),(𝑏𝑛) et (𝑐𝑛)

avec 𝑐𝑛 =𝑎𝑛+𝑏𝑛

2 . Nous allons automatiser le calcul en utilisant les fonctionnalités d’un tableur.

7) Préparez une feuille de calcul comme suit :

8) Entrez les valeurs numériques de 𝑎0 et 𝑏0, puis les formules de la ligne 4 permettant d’automatiser les

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calculs. Utilisez la poignée pour recopier ces formules jusqu’à la valeur de n trouvée en 5). Pensez à

utiliser un format approprié pour l’affichage des nombres.

9) Un élève propose de saisir les formules suivantes :

Dans la cellule B5 : =Si(E4*G4<=0 ;B4;D4)

Dans la cellule C5 : =Si(E4*G4<=0;D4;C4)

Expliquez clairement pourquoi (en lisant l’aide en fin de page) ces formules vont permettre de mettre en

oeuvre la méthode de dichotomie ?

Complétez la feuille de calcul et donnez une valeur approchée de α à 10-4

près puis à 10-6

près.

A B C D E F G1 olivier Leguay

2

3 n an bn cn f(an) f(bn) f(cn)

4 0 0 1 0,5 -1 0,459697694 -0,377582562

5 1 0,5 1 0,75 -0,377582562 0,459697694 0,018311131

6 2 0,5 0,75 0,625 -0,377582562 0,018311131 -0,18596312

7 3 0,625 0,75 0,6875 -0,18596312 0,018311131 -0,085334946

8 4 0,6875 0,75 0,71875 -0,085334946 0,018311131 -0,033879372

9 5 0,71875 0,75 0,734375 -0,033879372 0,018311131 -0,007874725

10 6 0,734375 0,75 0,7421875 -0,007874725 0,018311131 0,005195712

11 7 0,734375 0,7421875 0,73828125 -0,007874725 0,005195712 -0,00134515

12 8 0,73828125 0,7421875 0,740234375 -0,00134515 0,005195712 0,001923873

13 9 0,73828125 0,740234375 0,739257813 -0,00134515 0,001923873 0,000289009

14 10 0,73828125 0,739257813 0,738769531 -0,00134515 0,000289009 -0,000528158

15 11 0,738769531 0,739257813 0,739013672 -0,000528158 0,000289009 -0,000119597

16 12 0,739013672 0,739257813 0,739135742 -0,000119597 0,000289009 8,47007E-05

17 13 0,739013672 0,739135742 0,739074707 -0,000119597 8,47007E-05 -1,74493E-05

18 14 0,739074707 0,739135742 0,739105225 -1,74493E-05 8,47007E-05 3,36253E-05

19 15 0,739074707 0,739105225 0,739089966 -1,74493E-05 3,36253E-05 8,08791E-06

20 16 0,739074707 0,739089966 0,739082336 -1,74493E-05 8,08791E-06 -4,68074E-06

21 17 0,739082336 0,739089966 0,739086151 -4,68074E-06 8,08791E-06 1,70358E-06

22 18 0,739082336 0,739086151 0,739084244 -4,68074E-06 1,70358E-06 -1,48858E-06

23 19 0,739084244 0,739086151 0,739085197 -1,48858E-06 1,70358E-06 1,07502E-07

24 20 0,739084244 0,739085197 0,739084721 -1,48858E-06 1,07502E-07 -6,90538E-07

Aide sur le tableur :

Vous allez être amener à utiliser la fonction SI du tableur, dont voici la syntaxe :

=si(condition ; valeur à afficher si VRAI ; valeur afficher si FAUX)

.

Pour régler le format d'affichage d'un nombre :

Sélectionner le(s) nombre(s) concernés, cliquer sur Format, cellule, nombres.

Choisir alors le format qui convient.

Exemple : En saisissant , on obtient :