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142 pp. 142-153
Diff6rentes approches de I'analyse spectrale
Jean-Louis L A C O U M E *
Professeur ~ rLN.P.G.*
A n a l y s e
Depuis quelques ann~es, plusieurs approches du problbme de la recherche de la densitd spectrale de puissance d'une fonction aldatoire ~ partir d'une esti- mation de la fonction d'autocorrdlation ont dtd dtudides.
L'auteur prdsente une dtude comparative de diffd- rentes mdthodes, en mettant en dvidence les principes sur lesquels elles reposent et les hypothkses qu'elles impliquent.
Dans le cas de la m$thode du maximum d'entropie, ils prdsentent les rdsultats actuels sur la stabilitd sta- tistique de cet estimateur spectral.
S o m m a i r e
1. Position du problkme.
2. Recherche de la fonction spectrale d partir d'une sdrie de valeurs exactes de la fonction de corrdlation.
3. Stabilitd statistique de l'estimateur du maximum d'entropie.
Conclusion.
Annexes.
Bibliographie (7 rkf.).
1. P O S I T I O N D U P R O B L ~ M E
S O M E A P P R O A C H E S
OF SPECTRAL ANALYSIS
A b s t r a c t
Several approaches have been made during recent years to the problem of power spectral density esti- mation for a random function using the auto-correlation function.
A comparative study of these methods is presented with emphasis on the principles and hypotheses involved. Results on the statistical stability of the maximum entropy spectral estimator are presented .
L'analyse spectrale concerne la recherche de la r6partition de l'6nergie d 'un signal en fonction de la fr6quence.
Le signal analys6 est connu sur une dur6e T. Ce signal peut &re mod61is6 de deux faqons :
- - on peut le consid6rer comme un signal certain, int6ressant en lui-m~me ;
- - on peut aussi le consid6rer comme une r6ali- sation particuli6re d 'une fonction al6atoire : on s'int6ressera alors non aux propri6t6s particuli6res du signal connu, mais aux propri6t6s moyennes de la fonction al6atoire dont il est le repr6sentant. I1 faut noter que dans ce cas, la r6alisation particuli6re dont on dispose n'est repr6sentative de la fonction al6atoire que si celle-ci est ergodique.
Nous adopterons ce second point de vue, car il nous semble plus proche de la r6alit6 exp6rimentale et il permet de traiter le probl6me de la pr6cision des mesures.
Enfin, comme cela est fair de plus en plus couram- ment pour des raisons essentiellement pratiques de traitement, nous consid6rerons des signaux /l temps discrets.
* Au Centre d'Etude des PH6nom6nes Al6atoires et G6ophysiques 38402 Saint-Martin-d'Heres.
(CEPHA6) Equipe de Recherche Associ6e au C.N.R.S.B.P. 46,
ANN. T~L~COMMUNIC., 34, n ~ 3-4, 1979 1/12
J.-L. LACOUME. - DIFFERENTES APPROCHES DE L'ANALYSE SPECTRALE 143
L 'obse rva t ion est donc une r6alisation particuli6re d 'une suite aldatoire :
X( l ) . . . . . X(M) . . . . = {X(n)},
dont la fonct ion de corr61ation estim6e est :
Fx(k), ]k[ <~ N .
Nous envisagerons successivement les deux ques- t ions suivantes :
ProblOme 1 :
F(k), [k I N, 6tant suppos6e connue sans erreur, t rouver la fonct ion spectrale de {X} : P(X) telle que
1 e i Xk P(X)dX (1) r x ( k ) = ~ _
Problkme 2 :
Dans le cas de la m6thode du m a x i m u m d 'ent ropie , 6tudier la pr6cision de la mesure.
Ce choix pose un probl6me impor tan t , car la fonct ion spectrale ainsi obtenue :
+N PTF(X) = Y, Fx(k) e - ixk,
- N
n 'es t pas non n6gative dans t o u s l e s cas. Ce rdsultat est en contradict ion avec la signification physique de la fonct ion spectrale qui repr6sente une puissance.
On r6sout cette difficult6 en utilisant des fonct ions d ' apod isa t ion permet tan t de rendre h FTv(k) le caractSre d6fini posit if (Bartlett) mais alors on est amen6 /l modifier les valeurs connues de Px(k) .
2.2. M a x i m u m d'entropie ou m~thode autor~gressive .
On impose :
1) QMEr = Q~(z), (ME : m a x i m u m d 'entropie) . 2) L'entropie H du processus prolong6 est maximale.
2. R E C H E R C H E DE LA F O N C T I O N S P E C T R A L E
A P A R T I R D ' U N E SI~RIE DE V A L E U R S E X A C T E S DE LA F O N C T I O N DE C O R R I ~ L A T I O N
Px(k) est connue sur - - N ~< k ~< N.
Soit : z = e ik , - - ? r ~< Z ~< 7z,
Q(z) = P [ - - i log. z] : t ransform6e en z de {Fx(k)},
'S Px(k) = Q(z) z k 1 dz, ~ cercle unit~, 2ir~
Q(z) = Q~(z) + Q~nc(Z),
off Q~(z) est construit h par t i r des valeurs connues de F(k), et Q~,r d6pend de la pat t ie inconnue de F(k).
Les diff6rentes m6thodes consistent ~t choisir, selon certains eritOres, une valeur pour Qi,~(z). Le fait de fixer Qlnr revient /l prolonger F(k) au-del/t de k = N .
Nous allons prfsenter les m6thodes principales utilis6es qui se distinguent selon des choix diff6rents de Q~,~(z) et donc par des prolongements difffrents de Fx(k).
(Les caract6res gras d6signent les vecteurs ou matr ice colonne tandis que les barres soulignent les matrices.)
2.1. Trans form6e de Fourier (TV).
On choisit " Qine(z) = 0
i l o r s " FTr(k) = r x ( k ) , Ikt ~ N ,
= o , Ikl > N .
2.2.1. Remarques sur ie calcul de l'entropie.
Consid6rons une suite al6atoire de longueur P + 1 :
{X}p = {X(O) . . . . . X(P)} ,
{X}p est une variable al6atoire h P + 1 dimensions. Admet tons que :
E[X(i)] = 0, Vi ,
E[X(i) X(j)] = F~_j,
la suite {X} est gaussienne. L 'en t rop ie de {X}p est :
1 Hi = ~ logellrl] + (P + 1)logo , ; 2 ~
l P = ~ E loge ~ + (P q- 1) loge~/2-~e,
0
I F(o) . . . P ( - - P ) ]
r ( P ) . . , r(0)
Z~ valeurs propres de P(>1 0). Pour passer au cas P infini, on d6finit la densitd
d'entropie Hp = HJ(P + 1),
et la densitd d'entropie d 'une suite infinie en faisant tendre P vers l 'infini
H = lim Hp, p - - ~
P F~ loge X,
U = lim 0 ~ / ~ p_+~ 2 ( P + 1) -}- loge .
Un th6or6me de Szego (Annexe 1) nous indique que :
P Y, loge ?~i
lim 0 1 / ; ' r e-+o~ (P + 1) - - 2~: loge[P(X)] d?~,
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&off l 'entropie de la suite {X} :
H = ~ _ log,[P(X)] dX + log~ 2~/2~-.
2.2.2. Remarque sur le fondement du crit6re da maximum d'entropie.
La validitd de ce crit+re s'appuie sur le fait que le prolongement de la fonction de corr61ation ainsi obtenu correspond au processus le plus ddsordonnd possible compatible avec les donn6es et l 'on a appris en thermodynamique que les syst~mes tendent natu- rellement vers cet 6tat de d6sordre maximal.
On peut aussi, plus simplement, consid6rer la minimalisation de H comme une contrainte raison- nable (parmi d'autres) impos6e ~ la pattie inconnue de la fonction de corr61ation.
2.2.3. Remarque sur l'hypoth~se gaussienne.
Nous avons suppos6 la suite {X} gaussienne comme le font certains auteurs. On peut cependant se limiter aux hypotheses suivantes :
a) QMEc(Z) fix6 (ce qui revient h imposer les n premiers moments d 'ordre 2 de {X}) ;
b) entropie maximale.
En effet, comme l 'a montr6 (3), ces deux hypo- theses entrainent le caract~re gaussien. Consid6rant une suite {X} de longueur N e t de densit6 de proba- bilit6 Px(x),
a) entraine que
E[X~XJ = j j x~xj Px(x) dx = P ( i - J)
est fix6 pour tout i et j tels que [ i - - j ] ~< n ;
b) n6cessite que
H = / - Px(x) loge Px(X) dx , N
soit maximale. On est ramen6 /t un probl~me de maximalisation
sous contrainte dont la solution est, en appelant h j les multiplicateurs de Lagrange :
, ] P x ( x ) = ~ e x p ~Z ~Z Xijx~xj , I _ i = l / = 1
Px(x) est donc une loi gaussienne. La suite al6atoire {X} dont les moments d 'ordre 2
sont fix6s jusqu'~t l 'ordre n e t dont l 'entropie est maximale est une suite aHatoire gaussienne. Le r6sultat est ~ rapprocher du r6sultat bien connu pour les variables al6atoires /t 1 dimension fi variance fix6e : c'est la variable al6atoire de Gauss dont l 'entropie est maximale.
2.2.4. Mise en r da crit6re du maximum d'entropie.
H = ~ _ logcPME(X) dX + logo ~ / 2 ~
1 / dz + l o g e ~ / ~ e -- 4rr loge[QM~,(z)] z
on veut maximaliser H avec la condition :
Q ~ c(z) = Qc(z) ,
QM~.(z) = QMEc(z) q- ~] qkz - x , ]kl>N
on impose done
i~H
b qk
Soit :
- -0 , Ik[ > N .
fl• - o , Ikl > N . Z--k dz
QME(Z) z
On voit que la transform6e en z de 1/QME(z) est de degr6 N, soit
1 +N - - ' ~ t n qnz
QME(Z) -N
qui, combin6 avec Q ~ E 4 z ) = Q~(z), fixe QraE(z).
2.2.5. Liaison avee le filtrage. ModUle autor~ressif.
Cherchons le filtre autor6gressif (AR) FN d'ordre N tel que (Fig. 1) :
{Xnn} = F{B},
[ B} F N L
{ XAR}
FIG. 1. - - Filtre autor6gressif.
Autoregressive filter Fx .
avec
t {B} bruit blanc de puissance P~ ,
FXAR(k) = Vx(k), lk] < N .
L'inverse de la transform6e en z de la r6ponse impulsionnelle de FN est "
N g(z) = ]~ bT, z - n , b o = 1 ; b ~ = - - ~ i , i = I . . . . . N,
0
et en posant
b = bl , X~ = X l -1
N L X ~ - ~ J
(2) tbXi = B l .
Calculons E[X~_j X d pour j = 0, 1, 2, . . . , N.
I1 vient "
__Fb = avec P = [F(N) P ( 0 ) ] "
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La suite {XAu} est telle que :
a) Px~,(k) = F x ( k ) ,
P8 b) Q x ~ ( z ) - g(z) g*(l /z*)
soit - -
Donc :
1 N y, , n
- - qnz �9 Qx~,(z) n=-U
QXA.(Z) = QxM~(z).
La suite {XAR} a pour d.s.p. (densit6 spectrale de puissance) la d.s.p, d ' en t ropie maximale compat ib le avec les N premiers momen t s de la suite {X}.
Ceei dtablit une liaison entre l 'analyse speetrale et l'identifieation : reehereher la d.s.p, du max imum d'entropie de {X} revient d identifier le f i l tre Fzv.
Enfin, la relation
{XAu} = FN{B}
peut s '6crire : B = WN{XA~} ,
W N : filtre inverse de F~v (Fig. 2),
Ceci conduit 5. :
P(O) - - 2 t] r + ~ ~ N - - l j minimale
avec :
r = [ P ( I ) ] Ply-1 = I F ! 0 ) . . . F ! N - - 1 ) ]
]_I~(N)J - [ F ( N - - 1 ) . . r ( o )
soit : FN-~ i = r
qui peut aussi s '6crire :
P b = avec
off :
I'l b = - - i
PB F(0) $ r F(o) tr -~ . . . . ~N-1 r
est l ' e r reur quadrat ique moyenne de l ' approx imat ion . Alors :
[XAR} XARn
nr6dicteur ^
XARn
^
{XARn-XAR n} : suite form6e d'6chantil- ions d6cor- rel6s
FIG. 2. - - Wx : filtre inverse de Fx.
W.v : inverse filter of Fx.
soit, comme : 1 N
-- g(z) : Y, bn z-< G(z) 0
N XAR(i) : Bi q- Y~ ~;'XM~(i - - j ) ;
j=l
en revenant /~ :
P b =
on volt que :
I i] N
]=l est la meilleure approx imat ion en moyenne quadra- tique de X i , lorsque Xi-1 . . . . , X,_n sont connus.
En effet, l ' approxim6e lin6aire, opt imale en moyenne quadrat ique, de X, lorsque Xi_l ..... Xi_n sont connues, est :
N s = Z .ik xi_~ = 5~ x~
k = l
telle que :
E{(~ 'MQ~- X~) 2} soit minimale.
4/12
La suite {XAn} dont la d.s.p, est celle du m a x i m u m d 'en t rop ie de {X} est construite en a joutant ~. la meilleure estim6e d 'o rd re N de XffX%) un bruit blanc. Ce terme addi t i f est la partie to ta lement impr6dic- tible de Xi lorsque les valeurs pr6c6dentes sont connues. Dans le module du m a x i m u m d 'en t rop ie d 'o rd re N, le terme additif, pour un flltre d 'o rd re N est to ta lement nouveau ou alOatoire, on appelle ce terme innovation.
Terminons par deux remarques :
a) dans la suite r6elle le terme addit i f est peut&tre pr4dictible, mais nous ne disposons pas des donn6es (Fx(k) ; ]kl > N) qui permett ra ient de le pr4dire ;
b) il parai t logique de constater que la d.s.p, du m a x i m u m d 'ent ropie , que l ' on associe /l la suite la plus d&ordonn&, compte tenu des donn6es, soit celle d 'une suite construite avec un terme addi t i f blanc.
2.3. M6thode de Pisarenko.
2.3 .1 . Principe de la m4thode.
On a vu que la fonct ion spectrale (en z) du maxi- m u m d 'en t rop ie v6rifie :
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4
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soit
avec :
1 + N = ~, qnzn; q ~ = - q ' * ,
Q ~ ( z ) . = - N
q ~ ( z ) - q~v Z ( z - - zn) - - z* , n=l
[zn I <<. 1, Vn.
Avec cette 6criture il vient pour la fonct ion de corr& lation du m a x i m u m d 'en t rop ie :
1 f QM E(Z)
dz FME(k) - - i2r : ~ ,~ z z~,
soit "
en posant
N = Z qN[ZN[ k COS [kcpn + Zn],
n=l
PMx(k) est done la somme de N cosinusoides amorties. Pisarenko a montr6 que l ' on peut 6crire [4] :
Pp(k) = ~to~(k) + N/2
, n cos k % pour N pair, n=l
(N-l)/2 e @ ~] 0On cos k?n pour N impair ,
n=l
avec la condi t ion :
r e ( k ) = r x ( k ) , ikl <. N.
Le r6sultat essentiel de Pisarenko est donc le suivant :
Toute fonction de correlation connue sur le support N(Ik[ < N) peut s'interpr~ter comme la fonction de corrHation d'un processus somme d'un bruit blanc et de M ( M <~ N[2) frOquences pures.
2.3.2. Recherche du processus selon l'interprdtation de Pisarenko.
Consid6rons le filtre adapt6 5. une fr6quence pure et de longueur N + 1 (Fig. 3).
[ - - ~ F.A.
!
Ix} [ {y}
Fro. 3. -- Filtre adapt6 h une fr6quence pure et une longueur N + 1.
Matched filter to a pure frequency and of length N + 1.
Appl iquons la suite {X} 5- l ' en t r& de ce filtre et soit { I"3 la sortie :
N Y~ = ~ g~ X~_~ = ~ x~ ,
k=O
: matr ice ligne des coefficients du filtre.
Fixons ~ tel que .~ g = 1 (calibration du filtre). La puissance du processus de sortie du filtre est :
Ps = E( I = r g
P est une matr ice de covariance, done elle est d6finie non n6gative. Soit ix0 la plus petite valeur propre de _F(tz 0 I> 0). O n a :
Ps = ~ F _ g >/ ~o ( a v e c ~ g = 1).
La puissance en sortie du filtre adapt6 est toujours sup6rieure ou 6gale ~t ~t 0 . Or, d ' a p r & l ' interpr6tat ion du processus comme la somme d ' u n bruit blanc et de M fr~quences pures, cette puissance dolt &re sup6rieure ou 6gale ~. la puissance du bruit blanc et d ie est minimale lorsque te filtre rejette toutes les fr6quences pures.
I1 s 'ensuit que :
Exo, valeur propre minimale de __P, est la puissance du bruit blanc.
Si g = v o vecteur propre associ6 5- tzo, le filtre adapt6 rejette toutes les frdquences pures qui sont donc repr6sent6es par des vecteurs orthogonaux 5- o o .
La matrice colonne repr&entan t une fr6quence pure est :
Z = avec z = e ~q~ ,
et les valeurs des fr6quences pures sont donn6es par :
v o Z : 0
soit par l '6quat ion alg6brique :
N Z v~'~ z~ = 0. i=1
Ceci nous donne te moyen de d6terminer Ia puis- sance du bruit blanc et la valeur des fr6quences pures pr6sentes 5- par t i r des valeurs connues de la fonct ion de corr61ation.
2.4. M6thodes hybrides.
Pisarenko donne le r6sultat suivant :
Soit F associ6e 5- la s6quence {X(n)}. Soit ~t tel que 0 < ~t < ~to (~t 0 : valeur propre minimale de _F). Soit : F ~ = Y - - ~ / .
(_F, correspond 5- une s6quence dont on a retir6 une part ie du bruit blanc).
l im P , ME(k) = PpIs(X) quand ~ - + ~t 0 , ~ < ~t 0 . ~t
Revenan t ~ notre in terpr&at ion du pa ragraphe 2.3, on a l e compor t emen t suivant �9 aux M cosinusoMes amort ies de PM~(X) cor respondent M racines de module inf6rieur 5- 1. Lorsque ~t tend vers ~0, les M racines tendent vers M points de cercle unit6 (Zvis). (Fig. 4).
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3.1. Expression de l'estim6e Q M~(z).
Zpi
FIG. 4. - - Comportement des pfles du filtre autor6gressif dans les m6thodes hybrides.
Behaviour of the autoregressive filter poles with the hybrid method.
D'oh les m6thodes hybrides : on remplace 17 par F_, (~ < Ez0) et l 'on calcule P~E~(X) associ6e 5. F~.
Comportement d'une raie :
Ce fait de retirer une partie du bruit blanc entraine une amplification de plus en plus pouss6e des raies spectrales (Fig. 5).
(On tend vers des impulsions de Dirac lorsque
-~ ~o)-
P(~) 15ARF21K.~
l I § < ~o
s ]J !
t,ID~ mX
FIG. 5. - - M6thodes hybrides : comportement d'une fr6quence pure.
Hybrid methods : behaviour of a pure frequency.
3. STABILIT]~ STATISTIQUE DE L 'ESTIMATEUR
DU MAXIMUM D'ENTROPIE
Nous disposons de :
lq(n), 0 ~< n < N : estim6e de la fonction de corr61a- tion. Soit :
= [[q(0) . . . . F ( N - - 1 ) 1
~v_~ I_~(N-- 1) . . . . F(O)
= l ' L (N)J
= : coefficients du filtre autor6gressif N (estim6s),
Iz 1 Z = z = e -2infAT : vecteur fr6quence, N
PIv : estimation de la puissance du bruit blanc. Selon ce qui a 6t6 dit en (3)
soit
et ~ = ~ - 1 rN -- 7~--I
D'ofi l 'on d6duit la r@onse impulsionnelle du filtre autorfgressif �9
6 ( z ) : 1 -
matrice associ6e de Z et l'estim6e de la d.s.p, du maximum d'entropie �9
PN QME(z) : iO(z)l 2
Nous avons donc une expression litt6rale de 0M~(Z)" NOUS allons en d6duire la loi de 0(z).
3.2. Mod61e probabiliste de la fonction de corr61ation estim& et de l'estim6e de la d.s.p.
L'estimation de la d.s.p, est faite ~ partir d'une r6alisation particuli6re x(t) de la fonction al6atoire X(t). La valeur obtenue est donc une valeur particu- li6re d'une variable al6atoire (estimateur). La donn6e de la d.s.p, estim6e doit donc, pour &re compl&e, &re accompagn6e de la sp6cification de ses propri6t6s statistiques : variance, intervalle de confiance. L'objet de ce chapitre est de pr6senter une m6thode permet- tant de calculer l'intervalle de confiance de I'estimateur du maximum d'entropie.
On admet que :
- - X ( t ) est gaussienne,
- - l a fonction de corr61ation est calcul6e par moyennage de tranches temporelles d6corr616es :
1 M-1 F(kAT) = ~ S', X(mT) X ( m T - - k A T ) ,
0
off le temps T e s t tr~s sup6rieur au support de la fonction de corr61ation. A/ors, la variable al6atoire
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148 J.-L. LACOUME. - DIFFI~RENTES APPROCHES DE L'ANALYSE SPECI"RALE
& N dimensions ;
S~ = Ms (M nombre de points sur lequel porte le moyennage),
suit une loi de Wishart ~t N dimensions et M degr6s de libert6 [6].
- - Ceci permet de d6terminer les lois de probabilit6 de l'estim6e de la puissance du bruit blanc (P~v) et de l'inverse de la r6ponse impulsionnelle du filtre autor6gressif ~j(z) ;
- - l ' e s t i m 6 e de la puissance du bruit blanc,
/3~r est telle que MfiN[PN suit une loi du chi-deux & M - - N -k 1 degr6s de libert6 et est ind6pendante de G(z) ;
- - l a distribution de probabilit6 d'amplitude de l'inverse de la transform6e en z de la r6ponse impul- sionnelle du filtre autor6gressif est, en posant
Q(z) = GR + i G j o1~1 GR = Re G e t G j = Im G
M - - N + 2
(1 4 tag _L(Z) Ag) - (M-N+4) ] 2 ,
avec �9
1 [tZR _FS4_1 ZR
_L(Z) = ~ / U Z _r
[]L(Z)][ d6terminant de L(Z)
F - 1 Z j ] - 1 , t Z H _ N - - I
Z 2 et Z = = Z R - + - z i J , z = e i x ,
N
[ gi~ - - GR] A g =
L g J G j
G = Gn -~ i G j " valeur exacte de G.
Connaissant la loi de probabilit~ de ~(z) et de P ly , nous pouvons assigner des intervalles de con- fiance & la fonction spectrale en z estim6e :
O ( z ) = .
On peut 61iminer l'influence de PN qui joue seu- lement le r61e d 'un facteur d'Ochelle (translation en d6cibels) si l 'on s'int6resse seulement aux variations de la d.s.p, estim6e (recherche du fait qu'un pie est significatif ou non par exemple).
On s'int6ressera alors & la v.a. (variable al6atoire)
Y(z) = O(z)/Q(z) = [G(z)/G(z)] 2 .
On cherchera les valeurs de A(~) et BOO telles que �9
Prob{O(z)/Q(z) > A(00} -- 2 '
Prob{O(z)[Q(z) < B(~)} -- 2 '
6tant une probabilit6 fix6e ~ priori. D'ofi, l'intervalle
de confiance relatif :
1/B(~) < Q(z)/Q(z) < 1/A(~).
Les estimateurs du maximum d'entropie et les valeurs de A(ct) et B(~) pr6sent6es par Baggeroer dans le cas d 'un signal form6 de
! raie pure & 2 Hz de puissance 100,
1 raie pure ~ 1,5 Hz de puissance 10,
1 raie pure & 1 Hz de puissance 1
et un bruit blanc de puissance 1 sont pr6sent6es (Fig. 6 et 7).
lOO
~ TO
!
1000 ~..
. M s lOOq
_ ~ t t t 1 0 I 2 ~ 4
f [ H Z )
FIG. 6. - - Es t imateur de la d.s.p, du m a x i m u m d 'ent ropie et intervalles de confiance des raies (T = 2,4 s) d 'apr~s [2].
Estimator o f the maximum entropy p.s.d. and confidence interval o f the pure frequency amplitude
( T = 2,4 s).
Enfin notons que :
a) si N e s t assez grand (la fonction de corr61ation est connue pour les valeurs pour lesquelles elle est significativement diff6rente de 0), la matrice L e s t alors diagonale et s'6crit :
b) et si en outre M v6rifie :
M >> (Is(Z)IG(z)12) -1 (M grand),
alors l'estimateur Q(z) de G(z) se comporte comme une variable al6atoire de Gauss de moyenne G(z)
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J.-L. LACOUME. - DIFFI~RENTES APPROCHES DE L'ANALYSE SPECTRALE 149
A ( ~ x ) , B(~x)
IQ% ( ~ x t I K ~ k ~ - A l y m p t o l k :
. . . . . _~_~
I , , I . . . . I I ' [ i l i t [ Z O 50 IQO 2OO ~ I ~
NUMS(R OF OIIS(RYATIONS
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I i
0.4}
O.II I i , I , , . , I I i , I , i L~ [ I �9
NUIdlI[rA OF O S $ 1 r A V & T I O N $
(b)
FIG. 7. - - Evolut ion de l ' intervalle de confiance en fonct ion du nombre d 'observa t ions (T = 2,4 s) d 'aprbs [2].
(a) f = 1 Hz (b) f = 2 Hz.
Evolution o f the confidence interval versus the number o f observations ( T = 2.4 s) ( c f [2]).
expos6 est le lien Otroit qui existe entre l'analyse spectrale et la modOlisation des signaux dtudids. Ceci est directement Ii6 ~ l'impossibilit6 pratique de r6aliser une analyse spectrale parfaite d 'un signal sans hypo- thbses suppl~mentaires. En effet, un tel r6sultat ne pourrait ~tre obtenu que si l 'on disposait du signal de t : - - ~ ~ t : + ~ . Les m6thodes dites para- m6triques comme celle du maximum d'entropie ou de Pisarenko essaient de pallier cette difficult6 en postulant un mod61e particulier de signal : mod61e autor6gressif pour la m6thode du maximum d'entropie, module d 'un bruit blanc additionn6 ~ des fr6quences pures pour la m6thode de Pisarenko. Avec ces hypo- theses et si l 'on connait parfaitement la fonction de corr6[ation sur un support limit6 (mais suffisant), une analyse spectrale parfaite (sans erreur) du signal est th6oriquement possible.
Nous avons pr6sent6 la m6thode de Pisarenko dont le domaine d'application le plus int6ressant est le traitement d'antenne (recherche de sources ponc- tuelles) pour mettre en 6vidence un point qui nous parait important, car il a 6t6 souvent invoqu6 (/t tort) pour justifier certaines m6thodes et particu- li6rement celle du maximum d'entropie : les qualit6s d'une m6thode spectrale ne peuvent en aucun cas ~tre justifi6es par le fait qu'elle est apte ~. faire appa- ra#re des raies. En effet, comme nous l'avons vu, cela est toujours possible et de mani6re absolue (obten- tion de raies pures) en utilisant la m6thode de Pisa- renko. Les m6thodes hybrides nous indiquent m~me comment on peut passer continfiment d'une d.s.p. douce ~ une d.s.p, contenant des distributions de Dirac.
Enfin, il nous a paru important de pr6senter un certain nombre de r6sultats r6cents sur la stabilitO statistique de l'estimateur du maximum d'entropie. Ces r6sultats permettent au praticien, qui ne dispose jamais que d'estimations enffich6es d'erreurs de la fonction de corr61ation de pr6ciser les limites de validit6 de l'analyse spectrale r6alis6e par la m6thode du maximum d'entropie.
ANNEXE I
D6monstration du th6or6me de Szegi~
(estimateur non biais6) et de variance
o~ = 2/P(Z) (M - - X § 2),
les intervalles de confiance ainsi obtenus apparaissent en pointill6 dans la figure 7.
CONCLUSION
Le point le plus important que nous avons tent6 de mettre en 6vidence dans la premi6re pattie de cet
La trame de la d6monstration du thdor6me de Szeg6 est la suivante :
a) D'apr6s le th6or6me &approximation de Weier- strass toute fonction F(k) est la limite uniforme de polyn6mes :
03
F(k) 52 OSN), N ,
0
b)
lim Z )~/(P + 1) = P-VO~) dX p - + ~ i=0 ~ '
8/12 ANN. T~LI~COMMUNIC., 34, n ~ 3-4, 1979
150 J.-L. LACOUME. -- DIFFt~RENTES APPROCHES DE L'ANALYSE SPECTRALE
X, : valeurs propres de P_,
P(X) : fonct ion spectrale.
En effet, envisageons le cas N = 1 :
P Trace(F) 1 f + ~ Y~ Xd(p + 1) -- - - - F(0) = P(X) dX. i=0 p + 1 2 r ~ d - ~
Traitons enfin les cas N = 3,
P Trace r 3 E X ~ l ( p + 1 ) - - i=o p + 1
p p Trace P 3 = Y, 2~
i=0 l=0 Notons :
[p/2]~,r le premier
[p/2],,~ le premier
et posons :
J m
p 2~ l?(i - - / ) F(I - - k) r ( k - - i ) .
k=0
entier inf6rieur ou 6gal /l [p/2],
entier sup6rieur ou 6gal /l [p/2],
= i - - [p/2]inr,
= k - - [p/2]lnr,
= l - - [p/2]inr,
Trace [,3 = Z Y~ 2~ l~(j - - n) P(n - - m) F(m - - j ) , j m n
avec j, m, n variant de [p/21 inf h [p[21 sup.
En 6crivant que :
1 / + ' ~ e ixk P(X) dX I ' (k) = ~ ~
il vient �9
P 1 1 lim 2~ X~/(p + 1) = lim x
p-+oo i=0 p-+ oo P + 1 2 ~
Fjjj_+ = e i0 ' r ;q) j I(~.2-- ~.1) I(X3--~,2) P(X0 P(X2) P(X3)x
dXl dX2 dX3.
Or : eJxm
I(x) = lira 2~ 2 r~ = ~(x), m = [p/21~., ..... [p/2],.., p---~ oo m
soit, en g6n6ralisant �9
lim Y~ Xge/(p + 1) = PN(X) dX p--> o~ i=0 ~ '
et, d 'apr6s (a) �9
P 1 / + ~ lim N F(Xd/(p + 1) = F[P(?,)] dX
p--> oo i=O ~ "
A N N E X E I I
Exemple d'application
A.II.1. Calcul des diff~rents estimateurs de la d.s.p. darts un cas particulier.
r(k) connu sur [ - - 3, + 3] et form6 d ' u n cosinus amorti �9
P(0) = 1, I '(1) = q x/2-12, F(2) = 0, F(3) = - -~ /2q312 ,
P(k) = qk cos (r:14).
Calcutons les diff6rentes d.s.p, d6finies pr6c6dem- ment.
A.II.I.1. Transform~e de Fourier (TF).
PTv(A) = [I + q ~ / 2 c o s X - - q 3 ~ c o s 3 X].
On constate (Fig. A.II . 1) que cette d.s.p, n 'est pas sup6- rieure ou 6gale ~ 0.
Calculons la d.s.p. PBA obtenue avec une fonction de pond6rat ion de Bartlett :
PnA(X)= 1 + - ~ - q c o s X 4 c o s 3 X .
A.II.I.2.
17=
Maximum d'entropie.
1 42 42-q 3- 2 q 0 2
~ - q 0
0 - ~ - q 1 ~ - q
__ ~ _ q3 0 - ~ - q 1
_i'p= , p = 13~ ,
133
1 3 1 = + q 1 + ,
q2 3 2 = - - - - 2 '
[3 3 = __ q3 ~-2 4 '
q2 q4 q6
P4 = 1 2 4 4 '
G(z) " l - - 131z-- 132z 2 - 133z 3 ,
et : q2 q4 q6
1 2 4 4
PM EM (X) = W
q2 3 q4 qO ohW= 1 + ~ + ~ + ~-
( q' I) cos X + \q2 2
- - , ~ / 2 q ( 1 + q2) x
q3/~- c o s 2 X + ~ c o s 3 X .
ANN. TI~L~COMMUNIC., 34, n ~ 3-4, 1979 9/12
J . - L . L A C O U M E . - D I F F I ~ R E N T E S A P P R O C H E S D E L ' A N A L Y S E S P E C T R A L E 1 5 [
A.II.1.3. M6thode de Pisarenko.
II faut diagonaliser Y.
- ~/'Z
1 - - F 2
Soit :
F - - F I - =
~2 q 2 1 - - ~
0 4 2 q 2
m
__~2_ qa 0
0 ~ 2 qZ-
o
~/2- q 1 - - ~ 2
,,/~- q 2 l - - [ z
D'ofi on d6duit les mineurs de la premi6re ligne :
A l 1 = [1 - - ~t] 3 - - q2[1 - - ~z],
- - 2 q ( 1 - - ~ x ) 2 2 '
2 2 '
et l '6quation caract6ristique "
I 3 q~ + q~ q4 X 2 x + ~ - ( 1 § q 2 ) ~ = 0 ,
(~ x = ( I - - F ) 2.
Soit �9 q 2
x = ~- [3 + q4~ ~/~],
B = 5 -- 8 qZ + 2 q4 @ qS,
et les 4 valeurs propres. Nous avons men6 le calcul jusqu 'au bout dans un
cas particulier (cf. A.II.2).
A.II.1.4. M6thodes hybrides.
Soit 0 < ~/, < F m l n ,
E. = Appliquons la m6thode du maximum d'entropie ~t P~t :
I - - ~ ~ - q 0 2
q 1 --~z ~ q 0
0 I - - ~ 2 2
' ~ q3 0 4'2 q 1 -- --2 2
q J [2(1--~z)2--q2(1 -F q2)] Y1 ~ - - ~1 2(1 - - ~z) [ 2~-1 ~ z ) z ~ ] - ] '
q~ (1 -- q2) Y2 = 2 [ ( l - - F ) 2 - q 2 ] '
q " ~ - 2 ( 1 - - ~ t ) 2 - ( 1 § q2) Y" = 2 (I -- ~) 2 [(I -- ~)2 _ q~]
Posant
x = (1 -- ~z) ~ ,
4x ~ - ( 6 q ~ § 2q n) x § § q~)~ Pa =
4 ~/x[x - - q2]
0,75
-0,5
"i
" i
/ ...
/ /
-0,25
F(k) D5 I) ~valu6es par TF (pOrte, BARFLETI')
PIi~ENI<O
~----+-~ k
x
/
/. '.. .
"'.. ...... ..'
! "
~ i ~ ~ bruit blanc (['IS)
:" ~ ' ~ ~ " " TY papte TF BARThUFI'
"" " " ' - " ~ ~.l
I'" , .... ... l~t s I fl=O 9 I i
I) ~ 5 Ir
FIG. A.II.1. - - Densit6s spectrales de probabilit6 6valu6es par transform6es de Fourier (porte et Bartlett), par la m6thode du maximum d'entropie (MEM) et par celle de Pisarenko.
p.s.d, evaluated by means of TF (gate, Bartlett), by the maximum entropy method and Pisarenko method.
10/12 ANN. TI~L~COMMUNIC., 34, n ~ 3-4, 1979
152
Enfin
Pu=E u(X) =
J.-L. LACOUME. - DIFFI~RENTES APPROCHES DE L'ANALYSE SPECTRALE
P4 [A + B c o s X + C c o s 2 X + D c o s 3 Z ]
B : 2 [Y1 + "1"1 "/o Jr- "/2 Y3] ,
C = 2 1 7 2 + Y1"/3],
D = 2yz.
A.II.2. Exemples numdriques.
soit
Dans le cas ddcrit en A.II .1 nous avons pos6 :
1 q - - $~ '
r ( o ) = l ,
p(1) = 0 ,5 ,
P(2) = 0 ,
P(3) = - 0 ,25 ,
8 ! PMF3"i
]._ Dsp ~valu~es pax' des m~thodes hybrides
I
/ :7
it X
r ( k )
1
o,& ! !
, - 0,25
P #ML~
# = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . la = 0,9 ~o
ki = 0,95 b-to
= 0,99 P~
" :' I i ' \ / ..'1
>~ 7 J ~- . . . . . . . . .
0,1 0,2 0,3 0,q- 0,5 0,6 0,7 0,8
g,,
FIG. A.II.2. - - Densit6s spectrales de probabili t6 dvalu6es par des m6thodes hybrides.
p.s.d, evaluated by means of hybrid methods.
ANN. "I~LI~COMMUNIC., 34, n ~ 3-4, 1979 11/12
J.-L. LACOUME. - DIFFI~RENTES APPROCHES DE L'ANALYSE SPECTRALE 153
alors
PTFP(~.) : [1 @ C O S ~ . - 0,5 COS3 ?,] ,
PTFB(~,) = [1 @ 0,75 COS X],
= [0,125 COS3 k ] ,
PMEM(X) = 0,65625 (1,46875 - - 1,5 •
COS X - - 0,34375 COS2k § 0,25 COSX),
Pros(X) = 0,25 + 0,25 ~(0) + 0,25 S(X :~ 0,33),
PME.~I~(k) = P 4 [ ( A + B c o s k + C c o s 2 k + D c o s 3 k ) ,
avec, p o u r A, B, C, D :
bto : 0,25 .
Les d.s .p, o b t e n u e s s o n t pr6sent6es sur les f igures
A.I I .1 et A . I I .2 .
TABLEAU A.II .I
=0,225
90% de ~o
0,171 141
= 0,2375
95% de $0
0,100 94
= 0,2475
99% de ~o
0,02475
4,8651 6,58320 9,08697
- - 7,677 - - 10,51651 - - 14,54957
3,8699 5,32894 7,30752
- - 0,9577 - - 1,35804 - - 1,84268
Manuscri t re fu le 6 ddcembre 1978.
B I B L I O G R A P H I E
[1] ULRYCH (T. J.), BISH (T. N.). Maximum entropy spectral analysis and autotegressive decomposition B. Rev. Geophys. Space Phys., U. S. A. (fev. 1975), 13, ,o 1, pp. 183-199.
[2] BAGGEROER (A.B.). Confidence interval for regression (MEM) spectral estimate. I.E.E.E. Trans. IT, U. S. A. (sep. 1976), 22, n ~ 5, pp. 534-545.
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[5] KAVEH (M.), COOPER (G. R.). An empirical investigation of the properties of the autoregressive spectral estimator. I.E.E.E. Trans. IT, U. S. A. (may 1976), 22, n ~ 3, pp. 313-323.
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[7] FROST (O. L.). Power spectrum estimation. NATO (1976) La Spezia.
* Article de synth6se ayant une bibliographie complete sur la m6thode du maximum d'entropie.
12/12 ANN. TI~L~COMMUNIC., 34, n ~ 3-4, 1979
