DIFFÉRENTES MOYENNES... - LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE a) Exemple :Un rectangle de 3 m sur 5 m a le même périmètre qu’un carré de côté c. Calculer c.

........................................................................................................................................................................................................................... b) Cas général avec un rectangle dont les côtés sont a et b.

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

c = c est appelé la moyenne arithmétique des nombres a et b. - LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE a) Exemple : Un rectangle de 3 m sur 5 m a la même aire qu’un carré de côté c. Calculer c.

........................................................................................................................................................................................................................... b) Cas général avec un rectangle dont les côtés mesurent a et b.

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

c = c est appelé la moyenne géométrique des nombres a et b. - LA MOYENNE QUADRATIQUE a) Exemple : Étant donné un rectangle dont les dimensions sont 3 m et 5 m Quel est le côté c du carré ayant la même diagonale que le rectangle ?

...........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................... . b) Cas général avec un rectangle dont les côtés mesurent a et b.

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

c = c est appelé la moyenne quadratique des nombres a et b.

- LA MOYENNE PONDÉRÉE a) Un piéton marche pendant 4 heures à la vitesse moyenne de 3 km/h puis pendant 2 heures à la vitesse moyenne de 5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne v sur la totalité de son parcours ?

...........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................... b) Même question si le piéton marche pendant 4 h à a km/h et pendant 2 h à b km/h.

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

v = v est la moyenne pondérée des nombres a et b affectés des coefficients 4 et 2. - LA MOYENNE HARMONIQUE a) Un piéton parcourt 10 km à 3 km/h puis 10 km à 5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne v sur la totalité du parcours ?

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................... b) Même question pour un piéton parcourant d km à a km/h et d km à b km/h.

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

v = v est la moyenne harmonique de a et de b. - A un examen, un candidat obtient les résultats suivants : Français : 8 (coefficient 5) Mathématiques : 14 (coefficient 5) Anglais : 7 (coefficient 3) Physique : 15 (coefficient 2) Biologie : 9 (coefficient 2) Quelle note moyenne obtient-il ?

...........................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................

LE TRIANGLE DE PASCAL On adopte la convention suivante : a et b désignant des nombres relatifs, on multiplie par a quand on descend vers la gauche et par b quand on descend vers la droite. Il s’agit de compléter le tableau ci-dessous en respectant cette règle de calcul, sachant que le nombre de départ est 1. Dans les cases où aboutissent deux flèches, on ajoute les expressions obtenues.

Que représente la troisième ligne du tableau si on ajoute ses trois nombres ?

....................................................................................................................................................................................................................................................

Que représente la quatrième ligne du tableau si on ajoute ses quatre nombres ?

....................................................................................................................................................................................................................................................

Que représente la cinquième ligne si on ajoute ses cinq éléments ?

....................................................................................................................................................................................................................................................

Poursuivre la recherche en trouvant la loi logique qui permet de trouver les coefficients (les nombres qui

multiplient les valeurs littérales)

On obtient ainsi le triangle de PASCAL :

1

1 1 1 2 1

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

LE NOMBRE D’OR Ce nombre, très utilisé en architecture, exprime le quotient de la longueur a par la largeur b d’un rectangle d’or. Le rectangle d’or est le rectangle le plus harmonieux, c’est-à-dire celui dont les proportions sont les plus agréables à l’oeil.

- Construction du rectangle d’or : Tracer un carré ABCD et marquer le milieu I de [AB]. Le cercle de centre I et de rayon IC coupe la demi-droite [AB) en E. La tangente en E à ce cercle coupe la droite (CD) en F. Le rectangle AEFD est un rectangle d’or !

- Calcul du nombre d’or :

On suppose que AB = 1 ; Calculer IC puis AE et enfin qAEAD

= ...................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................... q =

Donner l’arrondi de q au 1/100 près: q ≈

- Propriétés du nombre d’or :

a) Vérifier que le nombre d’or est une solution de l’équation : x x2 1 0− − =

...................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................................................

b) Montrer que, si q est le nombre d’or, alors :1

1q

q= −

...................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................................................

- Montrer que, si ABCD est un rectangle d’or, (tel que AB = a et AD = b) et si CMND est un carré, alors

ABMN est un rectangle d’or. (On démontrera que BM qAB

= )

A

B C M

ND

……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………….

DÉTERMINATION DE TRIANGLES RECTANGLES DONT LES CÔTÉS SONT

MESURÉS PAR DES NOMBRES ENTIERS

On considère les nombres entiers u et v inférieurs ou égaux à 10 et tels que : u > v.

- Prouve qu’un triangle dont les côtés mesurent u² + v² ; u² - v² ; 2uv est un triangle rectangle : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

- Trouve tous les triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers en considérant toutes les valeurs possibles de u et de v. (Il y en a 45)

u v uv u² v² u²+v² u²-v² 2uv u v uv u² v² u²+v² u²-v² 2uv 2 1 2 4 1 5 3 4 3 1 3 9 1 10 8 6 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1

10 1 3 2 4 2

Colorie dans ce tableau les résultats correspondant à des triangles dits « primitifs », c’est-à-dire des

triangles dont les côtés ne sont pas proportionnels aux côtés d’un triangle déjà défini.

Exemples : le triangle 3 ;4 ;5 est un triangle primitif (les cases 5 ;3 ;4 sont donc coloriées)

Le triangle 10 ;8 ;6 n’est pas un triangle primitif car ses côtés sont respectivement proportionnels aux

longueurs 5 ;4 ;3 (côtés du précédent triangle). En fait, ce triangle a exactement la même forme que le

triangle 3 ;4 ;5 ; il n’en est qu’un agrandissement (échelle 2).

UN PARADOXE

Deux poteaux , l'un de 10 mètres et l'autre de 15 mètres, sont distants de 20 mètres.

Un câble est tendu du sommet de chaque poteau au pied de l'autre poteau.

dans l'égalité (1')Il s'agit de trouver à quelle hauteur se croisent les deux câbles. Voir le schéma ci-contre:

- Exprimer IH en fonction de AB, CH et AC. Égalité (1).

- Exprimer AH en fonction de AC, IH et CD. Égalité (2).

- Dans l'égalité (1), remplacer CH par AC - AH. Égalité (1').

- Reporter dans l'égalité (1') l'expression de AH, obtenue dans l'égalité (2),

- En déduire que: CDABCDABIH

+×

= .

- Calculer IH.

- Que peut-on dire de IH si les poteaux sont distants de 50 mètres? De 100 mètres?

Vérifier en réalisant les schémas correspondant à ces deux situations à l'échelle 1/500.

UN PROBLÈME DE ROBINETS Deux robinets A et B débitent, l’un 300 litres à l’heure, l’autre 400 litres à l’heure.

L’eau qu’ils déversent est destinée à remplir un bassin.

On ouvre le premier robinet à 10 h.

On ouvre le second robinet à 11h 30min.

a) Exprimer en fonction de l’heure x les quantités d’eau VA et VB déversée par chaque robinet.

b) Représenter graphiquement les nombres VA et VB en fonction de x.

c) Lire l’heure à laquelle les robinets auront déversé des volumes d’eau égaux. Vérifier par le calcul.

d) Représenter sur le même graphique le volume total d’eau déversée V en fonction de l’heure x.

e) Calculer la contenance du bassin sachant qu’il est rempli quand le second robinet a déversé 200

litres de plus que le premier.

Vérifier sur le graphique.

Remarque : les vérifications graphiques doivent être visibles sur les graphiques.

MÉDIANE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 âges

5

millions d'habitants

Population Française en 1986

Le graphique ci-dessus représente une partition de la population française en « Classes d’âges ». On recherche l’âge d’un français « partageant » cette population en deux parties égales : ceux qui sont plus jeunes que lui et ceux qui sont plus vieux. Cet âge « médiant » est appelé la médiane de la série statistique. Quel est l’effectif total ? ........................................................................................................................................................................................................................................... Quelle est la classe d’âge à laquelle appartient cette médiane ? ........................................................................................................................................................................................................................................... Comment partager le rectangle correspondant à cette classe d’âge pour que le diagramme soit partagé « verticalement » en deux diagrammes de même aire ?En déduire cette médiane. ........................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................... Calculer l’âge moyen des français :(On prendra 5,15,25,35,...comme moyenne d’âge par classe) ........................................................................................................................................................................................................................................... Comparer cette moyenne et la médiane : ...........................................................................................................................................................................................................................................

POLYGONE DES EFFECTIFS CUMULÉS (Suite de la fiche médiane d’une série statistique)

Compléter le tableau des effectifs cumulés suivant :(les effectifs sont en millions d’habitants)

âge 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 effectifs cumulés croissants

effectifs cumulés décroissants Construire les polygones des effectifs cumulés. L’un est le polygone des effectifs cumulés croissants, l’autre est celui des effectifs cumulés décroissants.

Lire sur ce graphique les coordonnées du point d’intersection des deux polygones. L’abscisse de ce point est la médiane de cette série statistique. ........................................................................................................................................................................................................................................ Retrouve-t-on le résultat obtenu par la recherche précédente ?

(L’autre méthode utilisait les aires des diagrammes). ........................................................................................................................................................................................................................................

GESTION DE FABRICATION Une petite entreprise fabrique deux séries d’objets (A et B) dont la vente est assurée. - La durée de fabrication est de 20 minutes pour un objet A et de 45 minutes pour un objet B. La durée totale de travail ne peut dépasser 15 heures. On appelle x le nombre d’objets A et y le nombre d’objets B effectivement fabriqués. Écrire une inéquation traduisant ces données. (Prendre la minute pour unité de durée) ..................................................................................................................................................................................................(1) - Avec le matériel dont on dispose, on ne peut pas fabriquer plus de 20 objets A et 15 objets B. Traduire cette information par deux inéquations : ..................................................................................................................................................................................................(2) ..................................................................................................................................................................................................(3) - Le coût de fabrication ( matériaux et frais;) est de 120 € pour un objet A et 200 € pour un objet B. Chaque objet A est vendu 300 € et chaque objet B est vendu 400 €. On veut réaliser un bénéfice d’au moins 4800 €. Traduire cette contrainte par une inéquation : ..................................................................................................................................................................................................(4)

- Représenter graphiquement les demi-droites associées aux inéquations (1),(2),(3) et (4). - Que peut-on en conclure pour obtenir le plus fort bénéfice ? ..................................................................................................................................................................................................

DIFFÉRENTES MOYENNES... - LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE a) Exemple :Un rectangle de 3 m sur 5 m a le même périmètre qu’un carré de côté c. Calculer c.

P(carré) = P(rectangle) soit : ( )4c 2 3 5= + ou : 16c 44

= = m

b) Cas général avec un rectangle dont les côtés sont a et b.

P(carré) = P(rectangle) soit : ( )4c 2 a b= + ou : ( )2 a b a bc4 2+ +

= =

c est appelé la moyenne arithmétique des nombres a et b. a bc

2+

= - LA MOYENNE GÉOMÉTRIQUE a) Exemple : Un rectangle de 3 m sur 5 m a la même aire qu’un carré de côté c. Calculer c. Aire (carré) = Aire(rectangle) soit : 2c 3 5 15= × = donc : c 1= 5 b) Cas général avec un rectangle dont les côtés mesurent a et b.

Aire (carré) = Aire(rectangle) soit : 2c ab= donc : c a= b c est appelé la moyenne géométrique des nombres a et b. c ab= - LA MOYENNE QUADRATIQUE a) Exemple : Étant donné un rectangle dont les dimensions sont 3 m et 5 m Quel est le côté c du carré ayant la même diagonale que le rectangle ?

Diagonale du carré = diagonale du rectangle soit :. 2 2c 2 3 5 34= + = donc : 34c 12

= = 7

. b) Cas général avec un rectangle dont les côtés mesurent a et b.

Diagonale du carré = diagonale du rectangle soit : 2c 2 a b= + 2

donc : 2 2 2 2a b a bc

22+ +

= = .

c est appelé la moyenne quadratique des nombres a et b.

2 2a bc

2+

=

- LA MOYENNE PONDÉRÉE a) Un piéton marche pendant 4 heures à la vitesse moyenne de 3 km/h puis pendant 2 heures à la vitesse moyenne de 5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne v sur la totalité de son parcours ?

distance totalevitesse moyennedurée totale

= donc : 4 3 2 5 22 11v 34 2 6 3

,66 km / h× + ×= = = ≈

+

b) Même question si le piéton marche pendant 4 h à a km/h et pendant 2 h à b km/h.

distance totalevitesse moyennedurée totale

= donc : . 4a 2b 4a 2bv4 2 6+ +

= =+

v est la moyenne pondérée des nombres a et b affectés des coefficients 4 et 2. - LA MOYENNE HARMONIQUE a) Un piéton parcourt 10 km à 3 km/h puis 10 km à 5 km/h. Quelle a été sa vitesse moyenne v sur la totalité du parcours ?

Durée du parcours : 1 210 10 80 16t t3 5 15 3

+ = + = =

Vitesse moyenne : 10 10 3 60v 20 3,75 k16 16 163

+= = × = = m / h

b) Même question pour un piéton parcourant d km à a km/h etd km à b km/h.

Durée du parcours : 1 2d d db dat ta b ab

++ = + =

Vitesse moyenne : d d ab 2dab 2abv 2dda db da db d(a b) a bab

+= = × = =

+ + + +.

v est la moyenne harmonique de a et de b. Remarque : ces moyennes sont très voisines mais différentes ; elles sont toutes comprises entre les deux nombres a et b donnés. - A un examen, un candidat obtient les résultats suivants : Français : 8 (coefficient 5) Mathématiques : 14 (coefficient 5) Anglais : 7 (coefficient 3) Physique : 15 (coefficient 2) Biologie : 9 (coefficient 2) Quelle note moyenne obtient-il ?

Il s’agit de calculer la moyenne pondérée des notes 8, 14, 7, 15 et 9 affectées respectivement des coefficients 5, 5, 3, 2 et 2.

8 5 14 5 7 3 15 2 9 2 179m 15 5 3 2 2 17

× + × + × + × + ×= = 0,53≈

+ + + +

2a bv +=

+4 24

2abva b

=+

LE TRIANGLE DE PASCAL On adopte la convention suivante : a et b désignant des nombres relatifs, on multiplie par a quand on descend vers la gauche et par b quand on descend vers la droite. Il s’agit de compléter le tableau ci-dessous en respectant cette règle de calcul, sachant que le nombre de départ est 1. Dans les cases où aboutissent deux flèches, on ajoute les expressions obtenues.

a b

a2ab+ab

2ab = b2

b3

b4

a3a2b+2a2b =

3a2b2ab2+ab2 =

3ab2

a3b+3a3b=4a3b

3a2b2+3a2b2=6a2b2

3ab3+ab3=4ab3

a4

Que représente la troisième ligne du tableau si on ajoute ses trois nombres ?

( )22 2a 2ab b a b+ + = +

Que représente la quatrième ligne du tableau si on ajoute ses quatre nombres ?

( )33 2 2 3a 3a b 3ab b a b+ + + = +

Que représente la cinquième ligne si on ajoute ses cinq éléments ?

( )44 3 2 2 3 4a 4a b 6a b 4ab b a b+ + + + = +

Poursuivre la recherche en trouvant la loi logique qui permet de trouver les coefficients (les nombres qui

multiplient les valeurs littérales)

On obtient ainsi le triangle de PASCAL :

1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1.

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

( )( )( )( )( )( )

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

5 5 4 3 2 2 3 4 5

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

7 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

8 8 7

(a b) a 2ab b

a b a 3a b 3ab b

a b a 4a b 6a b 4ab b

a b a 5a b 10a b 10a b 5ab b

a b a 6a b 15a b 20a b 15a b 6ab b

a b a 7a b 21a b 35a b 35a b 21a b 7ab b

a b a 8a b 28

+ = + +

+ = + + +

+ = + + + +

+ = + + + + +

+ = + + + + + +

+ = + + + + + + +

+ = + + 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8a b 56a b 70a b 56a b 28a b 8ab b+ + + + + +

LE NOMBRE D’OR Ce nombre, très utilisé en architecture, exprime le quotient de la longueur a par la largeur b d’un rectangle d’or. Le rectangle d’or est le rectangle le plus harmonieux, c’est-à-dire celui dont les proportions sont les plus agréables à l’oeil.

A I B E

FCD

- Construction du rectangle d’or :

Tracer un carré ABCD et marquer le milieu I de [AB]. Le cercle de centre I et de rayon IC coupe la demi-droite [AB) en E. La tangente en E à ce cercle coupe la droite (CD) en F. Le rectangle AEFD est un rectangle d’or !

- Calcul du nombre d’or :

On suppose que AB = 1 ; Calculer IC puis AE et enfin qAEAD

=

IBC est rectangle en : 2

2 2 2 21 5IC IB BC 12 4

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

donc

1 5 1AE AI IE AI IC2 2 2

+= + = + = + =

5 par conséquent :

1 5AE 1 52qAD 1 2

++

= = = 1 5q2+

=

Donner l’arrondi de q au 1/100 près: q 1,62≈

- Propriétés du nombre d’or :

a) Vérifier que le nombre d’or est une solution de l’équation : x x2 1 0− − =

21 5 1 5 1 2 5 5 1 5 1 2 5 5 2 2 5 4 01 1

2 2 4 2 4 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + −

− − = − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

−

⎠

−

⎝ ⎠0=

Le nombre d’or est bien solution de l’équation : 2x x 1 0− − = car on a bien : 2q q 1 0− − =

b) Montrer que, si q est le nombre d’or, alors :1

1q

q= −

s’écrit aussi : ou : 2q q 1 0− − = 2q q− =1 ( )q q 1 1− = soit : 1q 1q

− =

- Montrer que, si ABCD est un rectangle d’or, (tel que AB = a et AD = b) et si CMND est un carré, alors

ABMN est un rectangle d’or. (On démontrera que BM qAB

= )

A

B C M

ND

BM BC CM b a b a b 1AB AB a a a a

+ += = = + = +

Or : b 1a q= donc :

BM 1 1 qBA q

= + = puisque : 1 q 1q= −

BM qBA

= Le rectangle ABMN est un rectangle d’or.

DÉTERMINATION DE TRIANGLES RECTANGLES DONT LES CÔTÉS SONT

MESURÉS PAR DES NOMBRES ENTIERS

On considère les nombres entiers u et v inférieurs ou égaux à 10 et tels que : u > v.

- Prouve qu’un triangle dont les côtés mesurent u² + v² ; u² - v² ; 2uv est un triangle rectangle : Le plus grand côté est : (voir les valeurs numériques ci-dessous) 2 2u v+

Le carré du plus grand côté est : ( ) 4 2 42 2u v2u v= + +2 2u v+

La somme des carrés des deux autres côtés est : ( ) ( )2 22 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4u v 2uv u 2u v v 4u v u 2u v v− + = − + + = + +

D’après la réciproque de la propriété de Pythagore, ce triangle est rectangle.

- Trouve tous les triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers en considérant toutes les valeurs possibles de u et de v. (Il y en a 45)

u v uv u² v² u²+v² u²-v² 2uv u v uv u² v² u²+v² u²-v² 2uv 2 1 2 4 1 5 3 4 9 3 27 81 9 90 72 54 3 1 3 9 1 10 8 6 10 3 30 100 9 109 91 60 4 1 4 16 1 17 15 8 5 4 20 25 16 41 9 40 5 1 5 25 1 26 24 10 6 4 24 36 16 52 20 48 6 1 6 36 1 37 35 12 7 4 28 49 16 65 33 56 7 1 7 49 1 50 48 14 8 4 32 64 16 80 48 64 8 1 8 64 1 65 63 16 9 4 36 81 16 97 65 72 9 1 9 81 1 82 80 18 10 4 40 100 16 116 84 80

10 1 10 100 1 101 99 20 6 5 30 36 25 61 11 60 3 2 6 9 4 13 5 12 7 5 35 49 25 74 24 70 4 2 8 16 4 20 12 16 8 5 40 64 25 89 39 80 5 2 10 25 4 29 21 20 9 5 45 81 25 106 56 90 6 2 12 36 4 40 32 24 10 5 50 100 25 125 75 100 7 2 14 49 4 53 45 28 7 6 42 49 36 85 13 84 8 2 16 64 4 68 60 32 8 6 48 64 36 100 28 96 9 2 18 81 4 85 77 36 9 6 54 81 36 117 45 108

10 2 20 100 4 104 96 40 10 6 60 100 36 136 64 120 4 3 12 16 9 25 7 24 8 7 56 64 49 113 15 112 5 3 15 25 9 34 16 30 9 7 63 81 49 130 32 126 6 3 18 36 9 45 27 36 10 7 70 100 49 149 51 140 7 3 21 49 9 58 40 42 9 8 72 81 64 145 17 144 8 3 24 64 9 73 55 48 10 8 80 100 64 164 36 160

Colorie dans ce tableau les résultats correspondant à des triangles dits « primitifs », c’est-à-dire des

triangles dont les côtés ne sont pas proportionnels aux côtés d’un triangle déjà défini.

Exemples : le triangle 3 ;4 ;5 est un triangle primitif (les cases 5 ;3 ;4 sont donc coloriées)

Le triangle 10 ;8 ;6 n’est pas un triangle primitif car ses côtés sont respectivement proportionnels aux

longueurs 5 ;4 ;3 (côtés du précédent triangle). En fait, ce triangle a exactement la même forme que le

triangle 3 ;4 ;5 ; il n’en est qu’un agrandissement (échelle 2).

UN PARADOXE

A

B

I

H C

D

- Dans le triangle ABC, puisque (IH) est parallèle à (AB), on a, d’après la propriété de Thalès

IH CHAB AC

= soit : AB CHIHAC×

= égalité (1)

- De même, dans le triangle ACD :

AH IHAC CD

= soit : AC IHAHCD×

= égalité (2)

- ( )AB AC AHIH

AC× −

= égalité (1’)

-

( ) ( ) ( )

AC IHAB AC AB AC CD AC IH AB AC CD IH AB CD IHCDIHAC AC CD AC CD CD

×⎛ ⎞× −⎜ ⎟ × × − × × × − × −⎝ ⎠= = = =× ×

-

( )

IH CD AB CD AB IHIH CD AB IH AB CDIH AB CD AB CD

AB CDIHAB CD

× = × − ×× + × = ×

× + = ×

×=

+

- 10 15 150IH 6 m10 15 25

×= = =

+

- La hauteur IH ne dépend pas de la distance des poteaux.

50 m

6 m

6 m

100 m

CORRECTION UN PROBLÈME DE ROBINETS

a) si dA est le débit du premier robinet et si le robinet coule pendant une durée t, le volume VA écoulé est :

tvd A

A = soit : tdV AA ×=

La durée d’écoulement du premier robinet est (en heures) t = x - 10 (x étant l’heure)

si dB est le débit du second robinet, on a, pour une durée t :t

Vd BB = soit : avec t = x – 11,5 tdV BB ×=

En remplaçant les débits par leurs valeurs, on obtient : ( )( )⎩

⎨⎧

−=−=

5,11x400V10x300V

B

A ou ⎩⎨⎧

−=−=

4600x400V3000x300V

B

A

Ces deux calculs sont des applications affines. b) schéma ci-contre c) Lecture : à 16 heures, les volumes déversés par les deux robinets sont égaux à 18OO litres. VA = VB si et seulement si :

16x1600x100

4600x4003000x300

==

−=−

d) V = VA + VB sachant que x > 11,5

7600x700V)4600x400()3000x300(V

−=−=−=

Le procédé de calcul de V est celui d’une application affine. La représentation graphique est faite à partir de x = 11,5 e) Le bassin est rempli lorsque :

18x1800x100

2001600x10020030004600x300x400

200)3000x300()4600x400(200VV AB

==

=−=+−−

=−−−=−

Le bassin est rempli à 18 heures Il contient donc :

5000V760012600V

760018700V

=−=−×=

Le bassin peut contenir 5000 litres d’eau. On le voit sur le graphique en lisant la différence VB-VA pour le point d’abscisse 18.

MÉDIANE D’UNE SÉRIE STATISTIQUE

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 âges

5

millions d'habitants

Population Française en 1986

Le graphique ci-dessus représente une partition de la population française en « Classes d’âges ». On recherche l’âge d’un français « partageant » cette population en deux parties égales : ceux qui sont plus jeunes que lui et ceux qui sont plus vieux. Cet âge « médiant » est appelé la médiane de la série statistique. Quel est l’effectif total ? 7,6 8,4 8,8 9 6 6,2 5 3,8 2 0,2 57 millions d 'habitants+ + + + + + + + + = Quelle est la classe d’âge à laquelle appartient cette médiane ? C’est la classe des 30-40 ans Comment partager le rectangle correspondant à cette classe d’âge pour que le diagramme soit partagé « verticalement » en deux diagrammes de même aire ? En déduire cette médiane.

L’aire totale est égale à 57. Il faut partager le diagramme en deux surfaces de même aire : 57 28,52=

À l’aire des trios premières classes (24,8), il faut ajouter une aire de : 28,5 24,8 3,7− =

Si x est la largeur du rectangle cherché, : x 3,710 9

= soit : x 4,1= l’âge médian est donc : 30 4,1 34,1+ =

Calculer l’âge moyen des français :(On prendra 5,15,25,35,...comme moyenne d’âge par classe)

7,6 5 8,4 15 8,8 25 9 35 6 45 6,2 55 5 65 3,8 75 2 85 0,2 95 3757

× + × + × + × + × + × + × + × + × + ×=

Comparer cette moyenne et la médiane : La médiane et la moyenne sont deux valeurs distinctes ; dans ce cas : médiane<moyenne.

POLYGONE DES EFFECTIFS CUMULÉS (Suite de la fiche médiane d’une série statistique)

Compléter le tableau des effectifs cumulés suivant :(les effectifs sont en millions d’habitants)

âge 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 effectifs cumulés croissants 0 7,6 16 24,8 33,8 39,8 46 51 54,8 56,8 57

effectifs cumulés décroissants 57 49,4 41 32,2 23,2 17,2 11 6 2,2 0,2 0 Construire les polygones des effectifs cumulés. L’un est le polygone des effectifs cumulés croissants, l’autre est celui des effectifs cumulés décroissants.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 âges

50

Lire sur ce graphique les coordonnées du point d’intersection des deux polygones. L’abscisse de ce point est la médiane de cette série statistique. Les coordonnées du point d’intersection sont : la médiane est donc : 34 ans. 34;28,5

( ) Retrouve-t-on le résultat obtenu par la recherche précédente ?

(L’autre méthode utilisait les aires des diagrammes). Le résultat obtenu ici est très proche du précédent…quoique moins précis…

GESTION DE FABRICATION Une petite entreprise fabrique deux séries d’objets (A et B) dont la vente est assurée. - La durée de fabrication est de 20 minutes pour un objet A et de 45 minutes pour un objet B. La durée totale de travail ne peut dépasser 15 heures. 15h 900min→ On appelle x le nombre d’objets A et y le nombre d’objets B effectivement fabriqués. Écrire une inéquation traduisant ces données. (Prendre la minute pour unité de durée)

ou, en simplifiant par 5 :20x 45y 900+ ≤ 4x 9y 180+ ≤ (1)

- Avec le matériel dont on dispose, on ne peut pas fabriquer plus de 20 objets A et 15 objets B. Traduire cette information par deux inéquations :

x 20y 15≤≤

⎧⎪⎨⎪⎩

(2)(3)⎧⎨⎩

- Le coût de fabrication ( matériaux et frais;) est de 120 € pour un objet A et 200 € pour un objet B. Chaque objet A est vendu 300 € et chaque objet B est vendu 400 € On veut réaliser un bénéfice d’au moins 4800 €. Traduire cette contrainte par une inéquation : Bénéfice sur A : Bénéfice sur B :300 120 180− = 400 200 200− = D’où l’inéquation : ou, en simplifiant : 180x 200y 4800+ ≥ 9x 10y 240+ ≥ (4)

10

20

15

11

Tous les points vertssont des solutions possibles

10 20

- Représenter graphiquement les demi-droites associées aux inéquations (1) - Que peut-on en conclure pour obtenir le plus fort bénéfice ?

Il est préférable de fabriquer 20 objets A et 11 objets B (la recette est 5

C’est ce couple (20 ;11) qui représente la meilleure recette

,(2),(3) et (4).

800 €)