Acta Physica Hungarica 72 (2-~Ÿ pi). 259-263 (1992)

DILATATION ET FUSION DES METAUX

Y. THOMAS

Institut de Rccherche8 Scientifique8 et Techniques .~90~�91 Angcr$ C› (Franco)

(Re~u 3 Novembre 1992)

Une th› thermocin› de la fusion des m› permet d'exprimer l'amplitude des vibrations thermJques responsables de la dilatation de coemcient lin› a et la temp› rature de fusion T I en fonction de caract› du r› Le produit a �9 T I apparMt comme un invariant structural. Les r› sont compax› �91 des donn› cxp›

Introduction

Poursuivons l ' › du ph› complexe de fusion, pour lequel il n'existe que diverses approches souvent anciennes et incompl~tes [1], par une th› ther- mocin› qui, ~ par t i r de l 'exp› considere le point de fusion comme le point

part ir duquel l '› thermique apport› s un r› cristallin n 'augmente plus que l '› potentielle W des atomes et non leur › cin› moyenne.

Pour cela, on reprend le mod~le du solide constitu› d'oscillateurs anhar- moniques identiques ofi la force rappelant chaque atome vers sa position d'› est:

F ( r ) - - dW(r)dr K l ( r - r o ) + K 2 ( r - r o ) 2 §

avec K1 et K2 constants (K2 ~ ( K 1 ) , r: distance interatomique et ro cette distance l'› (r - ro = x) [2]. Nous consid› essentiellement les m›

Ampli tude des oscillations atomiques

Exprimons les constantes K1 et K2 en fonction de caract› des m› Pour des peti ts d› atomiques, on se limite au second ordre du

d› et on admet que les valeurs moyennes des › cin› et po- tentielle sont les m~mes que pour un oscillateur harmonique. Loin du z› absolu, ce principe de l ' › de l'› s'›

1 ~ 2 1 ~ k l ( r - ro) = -~KT, -~ = K T / K 1

ofi K est la constante de Boltzmann et T la temp› absolue. Une solution de la forme:

x(t) = r - ro = (~ - ro) + al coswt q- a2 cos 2wt

Acta Phy$ica Hungarica 72, 1992 Akadgmiai Kiad£ Budapcst

2 6 0 Y . T H O M A S

de l ' › de mouvement m d 2 ( r - ro)/dt 2 = F(r) pour un oscillateur de masse

m donne, avec w = (K1/m) 1/2, comme dans le cas harmonique pour un seul d e g r › de libert›

a~ = 2z 2 = 2KT/ K1

avec une bonne approximation. Le carr› de l 'ampl i tude al de la fr› fondamentale est proportionnelle

h K T (et d› des conditions initiales du mouvement) . La dilatation ou › moyenne constante de l 'oscillateur est:

x = r - ro = a~K~/2K1 .

On sait que la compressibilit› (consid›233 comme ind› de la temp› est:

1 dV X - V dp - 3 ( 1 - 2G) /E

si G et E sont les modules de Poisson et d'Young, respectivement. Consid› une chaine de n oscillateurs constituant un › (section rO, largeur I = nr0) d 'une substance polycristalline quasi isotrope. Son allongement Al est dfi s une forc- K1 -~ = E r o _~_A soit K1 = E ro. Avec une bonne approximation: 3(1 - 2G) ~_ 1 (car

1 dans les structures compactes G > ~ et le nombre d 'a tomes croit alors que c'est l 'inverse dans les structures non compactes) d'ofi K1 = ro/X (ro › le diam~tre atomique) et al = (2KTx / ro ) ~/2 exprimant l 'ampli tude des oscillations thermiques des noyaux du r› cristallin.

La valeur de al est une valeur moyenne comme les autres constantes macro- scopiques des m› Les valeurs ainsi calcul› sont en accord satisfaisant avec celles d› de l ' › exp› aux rayons X [3] eornme le montre les ex- emples de KCI (cubique simple): ro = 0.628 nm, X = 5, 7 . 1 0 la m2.N -1 et de Al (cubique h faces centr› ro = 0.284 nm, X = 1, 37.1013 m2.N -1.

a {nm)

KCI Al

T K calcul› exp› calcul› exp›

86 0.0146 0.0149 0.0107 0.0110 290 0.0265 0.0255 0.0190 0.0175

Des r› analogues sont obtenus ~ l 'aide de la formule de Debye-Waller:

a--~l : 4 ,364 .10 -x8 T u Na.ro. e S[~(u) + 4]" '

ofi Na est le nombre d 'Avogadro et u = -~- avec On la temp› de Debye diffi- cile �91 d› avec pr› [4]. Notre expression pr›233 de ax, › d~s que T est assez ›233 (u petit) s l 'avantage d'~tre ind› de OD.

1 Si a est le coefficient de dilatation lin› du m› a = y ~ , les expressions pr›233 de Zl, K1 et al permet tent de calculer la seconde constante Kg_ = ,'o,~nUn = , . . U n x ~.

Acta Physica Hun#arica 7~, 199~

DILATATION ET FUSION DES METAUX 261

FusIon h la t e m p › T I

L'annulation de la force F(x) entre un couple d'atomes ~ la fusion montre que ]xi _ K1/K2. Le mouvement stable d 'un chaine d'osr anharmoniques est d'ailleurs limit› h [xi _< K1/2K2, car dF( , ) /dx = 0 pour x = K1/2K2. On ne peut jamais avoir x > K1/2K2 ofi les atomes ne seraient plus rappel› h leur position d'› stable (dF /dx serait n› En cons› pour T = T I : [XlMAX~ = K I / 2 K 2 = (4 /3 )~+ a~~ d'apr~s la solution x(,) adopt› pr›233 En rempla~ant ~, K1 et K2 en fonction des grandeurs caract› du m›

KX 4 a l I - - 2~r2o ~ro a T 1,

o~ le second terme 4rooLT! est tr~s petit. Soit, en premi~re approximation:

3K)�91 T! = 40c~2r 3 .

Comparons quelques r› exp› moyens avec les valeurs de T I cal- cul› ~ l'aide de cette expression [4,5] (tableau I).

Nos r› sont toujours sup› aux valeurs exp› par un facteur F = T I calcul› I exp› qui d› de la sym› cristalline et croit avec elle (1,66 pour les cubiques ~ corps centr› 1,16 pour les cubiques faces centr› et 1,36 pour les hexagonaux). En effet, notre d› de T I r› de la distribution statistique de Maxwell des amplitudes de vibration des

K 4-- atomes puisque nous avons pos› �91 la fusion all = 2K2 ~x soit environ 57 % des noeuds du r› cristallin ayant atteint (ou d›233 la valeur de l 'amplitude critique all pr›233 Of la fusion doit se produire pour un nombre plus faible d'oscillateurs vibrant ~ l 'amplitude critique, ceci d 'autant plus que la sym› du r› est grande. On doit donc › avec le facteur F de la sym› cristalline:

1 3Kx T] = y . 4O~~ro 3.

(Mo donne une valeur discordante due h une transformation allotropique).

Cons›

Adoptons ~ nouveau pour l'› potentielle l'expression W(r) = - a / r m + b/r" [1]. On peut alors consid› que la force ›233 F(r) r› du d› pement en s› de Taylor de F(r) = - a ' / r "r + b'/r '~' avec F(r0) = 0, m' = m + 1, n' = n-t- 1 . . . ) .

Acta Physica Hungarica 72, 1992

M›

a �9

10

6

K -

1

Tab

leau

I

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TI e

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9 Tf

x �9

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m 2

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TI

K

a �9

T!

exp

› %

calc

ul›

exp

›

r =

T

I cM

cul~

T

f exp

› al

Na

70,5

15

,9

3,7

620

K

85

33

4,59

51

2 F

e 12

,4

0,55

2,

49

3245

M

o

5,5

0,36

2,

72

7402

Al

26

138

2,86

11

60

N•

16

0,54

2,

48

2140

C

u

16,6

0,

75

2,56

16

82

Pd

11

,5

0,54

2,

74

2105

A

g

18,6

1,

01

2,88

11

65

Zn

31

1,72

2,

74

972

Cd

32

2,25

3,

04

785

371

337

1808

28

90

933

1726

13

56

1825

12

35,5

693

594

1,67

1,

52

1,79

(2

,61)

1,24

1,

24

1,24

1,

15

0,95

1,40

1,

32

2,60

2,

86

2,24

(1

,56)

2,42

2,

76

2,25

2,

09

2,29

2,14

1

,90

,<

o

DILATATION ET FUSlON DES METAUX 263

I1 en r›

n' - m' , n '(n ' + 1 ) - m ' ( m ' + 1)a' , K1 - r~-r+--i- a et K2 = "-'0"~ m,+2

K1 _ 2ro ro / x KX K2 1 + n' + m' = ar3o/ h'X 2 - a r 2 = __Fa T I ro.

D'ofi: ~ T I - 6 1 - ~ r ( l+n '+m' ) ' c'est une constante qui d› de la sym› du r›

que multiplie la constante "y de Grª [5]. Le produit a . T I appara i t comme une constante pour chaque type de structure en accord avec des r› pr›233 [6]

car l 'expression de T I est aussi › h 12 1 4-6V (1+,,,+,,~,) 2 Kx" En effet, les exposants n'

et m ' sont caract› de chaque structure cristalline en accord avec la th› de Wigner et Seltz.

On v› ( tableau I) que de produit aTy, repr› le pourcentage total de la dilatation lin› jusqu'h T I est sensiblement constant pour chaque structure. II croit avec la sym› de la structure: 2,57 % pour les cubiques h corps centr› 2,36 % pour les cubiques ~ faces centr› et 2,02 % pour les hexagonaux. Ceci est en accord avec le fait que 7 d› plus de la sym› que de la temp› ~ laqueUe les vMeurs de ro, X e t a sont consid›233 et avec le fait que la fusion intervient pour des vibrations at teignant , comme nous l 'avons montr› [1], une certaine fraction de l '› interatomique ind› de la nature de l 'a tome. Ceci est › en accord avec des invariants connus pour des structures de m6me type: V / x T I , a V / x , V / X L ofi V est le volume atomique et L la chMeur de sublimation.

Ii en r› toutefois une l› dispersion des valeurs par l'influence de la temp› (surtout sur c~) et des valeurs plus discordantes se rappor tant vraisem- blablement h des t ransformations allotropiques qui peuvent 6tre ainsi d›233 (cas de Mo) ou ~ des effets magn› (cas de Ni).

R e f e r e n c e s

1. J. E. Lennard-Jones, Devonshire, Proc. Roy. Soc. A, 170, 464, 1939; M. Born, J. Chem. Phys., 7, 591, 1939; R. Furth, Proc. Roy. Soc. A, 183, 87, 1939; Phil. Mag., 40, VII, 1227, 1949; Y. Thomas, Acta Phys. Hung., 71,207, 1992.

2. Y. Thomas, Phys. Lett., 66A, 2, 131, 1978. 3. J. K. Roberts and A. R. Miller, Heat and Thermodynamics, N. Y., 5th ed., 1960. 4. Y. Thomas et G. Goureaux, C. R. Acad. Sc., Paxis, 268, 1518, 1969. 5. N. F. Mott and H. Jones, The Theory of the Properties of Metals and Alloys, Dover Inc.,

N. Y., 1958. 6. J. Frenkel, Kinetic Theory of Liquids, Oxford, Clarendon Press, 1946; M. E. Straumanis, J.

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