Dimensionnement de bout en bout des réseaux téléphoniques hiérarchisés et combinaison des trafics

pp. 129-141 129

Dimensionnement de bout en bout des r seaux t 16phoniques hi rarchis s

et combinaison des trafics *

Pierre LE G A L L **

Analyse

L'auteur se propose de d6terminer les pertes individuelles subies par chaque courant de trafic dans un r6seau hi~rarchisd, exploitd en appels perdus, avec une r~partition arbitraire pour la dur~e des communications. La recherche de lois de distribution propres d chaque courant de trafic conduit d les modifier au point que le concept habituel de << source de trafic >>, commode pour isoler une partie du r~seau, ne convient pas. II y a donc lieu d'Etre prudent sur les m6thodes d'approximation par ajustement des premiers moments des lois de distribution d'6tats. On montre que les trafics << pseudo-poissonniens >> se combinent en sommes << pond~r~es >> de trafics pseudo-poissonniens, oit les coefficients de pond~ration sont des valeurs frontibres aux propridtds diff~rentes et directement li6es aux probabilit~s de blocage de bout en bout.

Mots cl~s : T616trafic, R6seau t616phortique, Dimensionne- ment, Syst~me hi6rarchis6, Trafic d~bordement, ModUle stochastique, Syst~me avec perte, Etude th~orique, Processus Poisson.

must be exercised when applying approximate occu- pancy distribution moment matching methods. << Pseudo- Poisson >> traffics are shown to combine in << weighted >> sums of pseudo-Poisson traffics. The weighting coefficients are boundary values having different properties and are directly related to end to end blocking probabilities.

Key words : Teletraffic, Telephone network, Dimensioning, Hierarchical system, Overload traffic, Stochastic model, Loss system, Theoretical study, Poisson process.

Sommaire

1. Introduction.

2. Hypothbses, notations et rappels.

3. Cas de durJes de communications exponentielles.

4. Cas de distributions de dur~es de communication arbitraire.

5. Conclusion.

Bibliographie (13 r~fi).

E N D TO E N D D I M E N S I O N I N G OF HIERARCHICAL T E L E P H O N E NETWORKS

A N D TRAFFIC C O M B I N A T I O N 1. I N T R O D U C T I O N

Abstract

The author considers the problem of determining the individual loss probabilities of each traffic stream in a hierarchical network operated as a loss system in the case of arbitrary call holding time distribution. He shows that, in order to separate out the distribution function of each traffic stream, it is necessary to modify not only the arrival processes but also the call holding time distribution functions. The usual concept of << traffic source >>, which is convenient for isolating a part of the network, no longer applies. Therefore care

Le dimensionnement de bout en bout des r6seaux t616phoniques hi6rarchis6s (5. appels perdus) est un probl6me de base, concernant la planification des r6seaux. I1 n6cessite de calculer le trafic refus6 pour chaque courant de trafic, lequel se ramifie suivant des voies de premier choix, de deuxi~me choix, et 6ventuellement de troisi~me choix. D u fait de la hi~rarchisation, le trafic non 6coul~ par la vole de premier choix d6borde sur la voie de deuxi6me choix et, si n6cessaire, sur la voie finale. Ces voies de deu- xi6me et troisi6me choix regoivent donc de nombreux

* Sujet, revu et corrig6, d 'une communicat ion pr6sent6e au 10 e Congr~s international de t616trafic (Montr6al, juin 1983). ** Au CNET, DICEr, Affaires Internationales, Issy-les-Moulineaux.

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trafics d6bordant de voies de premier choix, sans avoir la possibilit6 inverse de d6border sur les voies de choix inf6rieur. L'6tude de ce r6seau hi6rarchis6 se ram6ne, en fait, b. celui du r6seau 616mentaire de base, constitu6 par la voie finale et ses courants de trafic, et tous les faisceaux de premier choix et de deuxi6me choix relatifs b. ces m~mes courants de trafic. Dans la terminologie du CCn'T, ce r6seau de base est appel6 groupe de faisceaux (en anglais : ~ network cluster r~).

Son 6tude a, depuis longtemps, 6t6 l'objet de nom- breuses publications. La premi6re m6thode rigoureuse a 6t6 pr6sent6e au premier Congr6s de t616trafic par N . I . Bech [1]. EUe fait appel au calcul matriciel, ce qui ne permet de traiter que le cas de faisceaux de circuits de tr6s petite taille. Plusieurs auteurs, et nous-m~me [2], avons essay6 de r6duire le nombre tr6s grand de variables b. consid6rer.

En fait, les m6thodes de planification recourent, actuellement, b. des m&hodes de calcul approch6es. La plus ancienne et la plus c616bre est celle pr6sent6e aussi au premier Congr& de t61&rafic par R. I. Wil- kinson [3]. Elle fait appel b. l'ajustement des deux premiers moments du trafic de d6bordement, mais surtout elle introduit la notion de faisceau de premier choix ~quivalent b. l'ensemble des faisceaux de premier choix consid6r6s. Nous verrons, au paragraphe 4, comment cette notion s'adaptait d6jb. b. certaines propri&6s fondamentales de la combinaison des trafics. La plus r6cente de ces m&hodes d'ajustement des moments est celle connue sous le nom de ~ processus de Poisson interrompu ~, rappel6e au pr6c6dent Congr& de t61&rafic par B. Wallstr6m et L. Reneby [4].

Toutes ces m&hodes d'ajustement sont excellentes quand on les applique b. un seul trafic de d6bordement, associ6 b. son unique faisceau de premier choix. Mais pour le calcul du processus de d6bordement compos6, combinaison de plusieurs processus de d6bordement composants, on fair g6n6ralement l'hypo- th6se suivante. On estime le processus de d6bordement comme d6fini par le processus des arriv6es de d6borde- ment, lequel est ind6pendant de la taille du faisceau de d6bordement. On suppose alors cette taille infinie et on en d6duit une r6gle de composition des moments de ces trafics de d6bordement, en particulier la r~gle de la somme des variances.

Toutefois, chaque trafic composant n'apparait qu'avec son propre faisceau de premier choix, et on distingue nettement les instants de d6bordement d 'un trafic composant des autres trafics. On estime ainsi &re capable de d6finir le processus global des arriv6es de d6bordement et avoir ramen6 l'&ude b. celle d 'un seul trafic (eomposant).

Ce principe nous l'avions aussi appliqu6 jadis [6]. I1 nous a 6t6 signal6, depuis, que les conclusions num6riques 6taient inexactes, sans que la raison de cette erreur n'apparaisse clairement. En fait, au cours de travaux plus r6cents, nous avons d6couvert deux

propri&6s susceptibles de nous guider vers la solution. Tout d'abord, au pr6c6dent Congr6s de t616trafic [10], nous avons montr6 que, pour le processus de trafic le plus g6n6ral (b. appels perdus), la loi stochastique 6tait fonction uniquement de celle relative b. un seul circuit. Autrement dit, il s'agit de se ramener au cas d 'un seul circuit et non d 'un faisceau illimit6, ce qui retire un fondement solide b. la m6thode d'ajustement des moments, m~me si elle conduit souvent b. de bons r6sultats num6riques. Ensuite, au 8 e Congr6s de t61&rafic, nous avons pr6sent6 [8] la classe des trafics pseudo-poissonniens, aux propri6t6s d'insensibilit6 assez curieuses, b. la condition de consid6rer simultan6ment et de fa~on sym6trique tous les faisceaux de circuits, en rendant les communications indiscernables. On peut alors d6gager des propri&6s simples que nous avons rapproch6es d'une certaine relation donn6e jadis par N. I. Bech [1], et dont personne ne semble encore avoir tir6 profit.

I1 nous a finalement sembl6 opportun de revoir les fondements th6oriques permettant d'6tudier la combinaison des trafics de d6bordement. La pr6sente 6tude n'envisage nullement les applications num6- riques, car nous pensons n6cessaire d'assimiler d'abord certaines propri&6s inhabituelles. C'est d 'abord une certaine faqon de penser que nous voulons remettre en cause.

Apr6s la d6finition des hypoth6ses et notations (paragraphe 2), nous traiterons d 'un cas simple (paragraphe 3), d6jb. 6tudi6 jadis par C. Palm [5] sans que des remarques n'aient alors pu 8tre formul6es : la combinaison d 'un trafic direct poissonnien et d 'un trafic de d6bordement sur un seul circuit (puisque l 'on peut d6duire ensuite le cas de plusieurs circuits). Nous verrons que, pour pouvoir isoler les propri6t6s du trafic de d6bordement, il est n6cessaire de modifier non seulement son processus d'arriv6es, mais aussi la fonction de r6partition des dur6es de communications de d6bordement. Ceci nous 61oignera du concept habituel de source de trafic, qui 6tait pourtant commode pour &udier, en l'isolant, une partie seulement du r6seau.

Au paragraphe 4, enfin, nous exposerons comment un traitement sym6trique et simultan6 de tous les faisceaux de circuits nous permet d'aboutir rapidement b. la loi stochastique du trafic de d6bordement global et des trafics de d6bordement partiels.

La m&hode sera valable pour une fonction de r6partition arbitraire de la dur6e des communications, suppos6e la mSme pour tous les courants de trafic dans un souci de simplification.

Elle mettra en valeur le fait qu'il est pr~f6rable de consid6rer les instants de ddbordement comme indiscernables, sans savoir b. quel trafic composant ils appartiennent. A c e moment-lb, seulement on peut 6crire correctement les 6quations du processus global composant. Mais il s'ensuit que pour chaque processus partiel offert, il faut consid6rer le processus des instants de d6bordement comme associ6 b. l'dvolu-

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tion de l'ensemble des faisceaux de premier choix et non pas seulement du faisceau de premier choix concern6 par le processus partiel.

2. HYPOTH~;SES, NOTATIONS ET RAPPELS

2.1. D~finition du r~seau ~tudi~.

Les r6seaux hi6rarchis6s habituels peuvent se d6composer en r6seaux plus simples, dont il suffit de d6terminer les propri6t6s pour en d6duire celles du r6seau g6n6ral. Nous 6tudierons donc le r6seau 616mentaire appel6 groupe de faisceaux (en anglais : network cluster). Pour le r6seau international t616- phonique, il est ~t trois niveaux. Pour des r6seaux nationaux plus restreints, il peut ~tre seulement ~t deux niveaux.

1131

a~ ~ 0 0 - - - 0 m2 0 0 - - - 0

a2 ~ 0 0 - - - 0

FIG. 1. - - G r o u p e de faisceaux h 2 niveaux.

Two-level network cluster.

Sur la figure 1, le trafic a~ (i = 1, 2) est offert au faisceau de premier choix de m~ circuits. S'il est encombr6, ce trafic d6borde sur l 'unique faisceau de d6bordement (2 e choix) de n circuits. Cette voie finale re~oit donc les trafics de d6bordement en provenance des trafics offerts a~ et a2 . Inversement, le trafic offert h cette voie finale ne peut d6border ~t nouveau sur une voie de premier choix, d'apr6s le principe de la hi6rarchisation du r~seau. Pour simplifier, nous ne consid6rons que le cas de deux faisceaux de premier choix, alors qu'en g6n6ral il y a x faisceaux de premier choix (x >~ 2), recevant chacun un trafic offert a~ distinct.

a2 ~ a~a~ ~ OO--.O

FIo. 2. - - Groupr de faisceaux h 3 niveaux.

Three-level network cluster.

Sur la figure 2, on repr6sente un groupe de faisceaux ~t 3 niveaux constitu6 de 2 groupes de faisceaux A 2 niveaux (il pourrait y avoir plus de groupes) d6bor- dant sur une voie finale (de 3 e choix) ayant l circuits. Ce dernier faisceau n 'a pas non plus la possibilit6 de d6border sur les faisceaux de choix inf6rieur.

Notons qu'il peut arriver qu 'un trafic aL (ou a '3

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soit offert directement h la voie de 2 e choix. Nous aurions alors : mi = 0.

2.2. Hypotheses.

a) T o u s l e s processus d'arriv6es at et a'~ sont suppos6s poissonniens, at (a'~) est en fait la valeur de l'intensit6 du trafic offert correspondant.

b) Toutes les communications des divers courants de trafic ob6issent ~t des dur6es qui sont des variables al6atoires mutuellement ind6pendantes, ainsi que des processus d'arriv6es. Ces variables al6atoires ont toutes la m~me fonction de r6partition arbitraire F(t). Au paragraphe 3, toutefois, F(t) sera assimil6 h la fonction n6gative exponentielle. Enfin, la dur6e moyenne des communications sera prise 6gale ~t l'unit~ de temps.

c) On rappelle que le mod61e est d appels perdus.

d) Le temps d'6tablissement d 'un appel est suppos6 nul.

e) Sauf mention expresse, on supposera l'6tat de stationnarit &

2.3. Notations.

Nous allons pr6ciser les notations dans le cas du groupe de faisceaux ~t 2 niveaux (Fig. 1), recevant deux trafics distincts seulement, pour simplifier les 6critures. Les notations s'6tendront facilement au cas de plus de deux courants de trafic.

Consid6rons l'6tat 616mentaire (j~ , Jz , ~) correspondant ~t :

- - J t communications en cours dans le premier courant de trafic et dans le premier faisceau de premier choix (Jl = 0, 1 . . . . . ml) ;

- - J 2 communications en cours dans le deuxibme courant de trafic et dans le deuxibme faisceau de premier choix (J2 = 0, 1 . . . . . m2) ;

- - ~ communications en cours dans le faisceau de d6bordement, appartenant h l'ensemble des deux courants de trafic (X = 0, 1 . . . . , n).

Introduisons la fonction al6atoire Z ( j a , J2 ; X ; t) qui prend la valeur 1, quand cet 6tat existe ~t l ' instant t, et 0 quand cet 6tat n'existe pas h l 'instant t. De m~me, pour chacun des 3 faisceaux pris isol6ment, introduisons les fonctions al6atoires Z~(jl , t), Z2(j2, t) et Z3(X, t) prenant ~t l 'instant t la valeur I quand respectivement l'6tat j~ , J2 ou 9~ arrive selon le faisceau consid6r6, et la valeur 0 dans le cas contraire. Toutes ces fonctions al6atoires ne pouvant prendre que les valeurs 0 ou 1, il peut r~sulter des relations stochastiques simples. Nous avons ainsi la relation :

(1) Z ( j l , J2 ; X ; t) = Z , ( j t , t) Za(j2 , t) Z3(X ; t).

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En appliquant l 'oprrateur esprrance mathrmatique E, nous drduisons la quantit6 numrrique :

P ( J l , J2 ; ~, ; t) = E{Z(jt ,./'2 ; ~. ;t)},

probabilit6 d'existence de l ' r tat considrrr, ~ u n instant quelconque t. Dans l ' r tat stationnaire, nous supprimerons la variable t dans ces notations.

L'r tude du paragraphe 4 nrcessitera l'rcriture des 6quations pour des processus grnrraux, et il nous sera commode d'utiliser la mrthode des intrgrales stochastiques, introduite dans le trl6trafic par R. For- tet [12].

Dans ces conditions, drsignons respectivement par N(t) et No(t), les nombres alratoires d'arrivres offertes et servies h u n faisceau de L circuits, durant l'intervalle de temps ]0, t].

De m~me, considrrons la durre alratoire T~ de la communication commencre h l 'instant u, de fonction de rrpartition F(t), et introduisons la fonction alratoire R(u, t) telle que :

R(u,t) ~1 si u < t < u + r . , = I 0 s i t < u ou t > u + T , .

Autrement dit, R(u, t) est 6gale h 1 si la communication dure encore ~t l 'instant t et ~t 0 dans le cas contraire. Nous avons :

E{R(u, t)) = 1 - - F(t - - u),

S et : [1 - - F(v)] dv ---- 1. o

D6signons enfin par W(t) la fonction al6atoire ~gale ~ 1 si le faisceau de circuits n'est pas encombr~ ~ l'instant t, et g 0 dans le cas contraire.

R. Fortet [12] a donn6 l'expression stochastique suivante pour la fonction al6atoirc Y(t), correspondant au nombre de communications en cours, en supposant ce nombre nul /t l'origine des temps :

!' Y(t) = R(u, t) dNo(u),

O

avec : dNo(u) = W(u) dN(u).

dN(t) ou dNo(t) sont 6gaux ~t 1 s'il arrive un appel (au plus) dans l'intervalle de temps (t, t + dt), ou

0 dans le cas contraire.

2.4. Rappels.

2.4.1. Pour les processus d'arrivres isol&s, nous avons utilis6 dans [13] la relation stochastique :

N(t) [N(t) - - 1] ... [N(t) - - n + 1] !' !' ----- dN(ul) ... dN(u.), 0 0

avec dN(u~) dN(uj) = 0 si us = uj , pour calculer la fonction alratoire (v = 1, 2 . . . . . L) :

(4)

avec :

I (2) X(v, t) ---- ~ ! Y(t) [V( t ) - - 1] X ... •

[ Y ( t ) - v -t- 11 = ,

avec : X(0, t) --= 1. Nous avons trouv6 l'expression stochastique utile

suivante :

(3) X(v, t) = ~ . R(u, , t) dNo(u,). 1=1 O

Utilisons la fonction alratoire Z(j, t) 6gale h I quand il y a j communications en cours ~t l 'instant t, et ~t 0 dans le cas contraire. Quand il y a j communications,

/ - - \

X(v, t )vaut , d 'apr , s (2 ) : (Jr)" \ 1

Consid6rant toutes les valeurs possibles de j, nous en drduisons :

X(v, t ) = ~ (Jl Z(j, t), ~=~\v/

X(L, t) = Z(Z;, t).

D'ofi, en appliquant l 'oprrateur esprrance mathrmatique :

j = , , \ v /

A l'instant t, p(j, t) est la probabilit~ de j communications en cours et la quantit6 pr~cddente est le moment bin6mial de la distribution p(], t). La proba- bilit6 ~(v, t) est celle de voir occup6s v circuits d6ter- min6s, ~ l'instant t.

D'apr~s (4), nous avons g l'instant d 'une arriv~e o f f e r t e :

aN(t) X(v, ,) = ~] (J l dN(,) Z(j, t). j=~\v/

A l'instant d'une arrivre servie, le cas j = L ne peut exister dans le module h appels perdus. D'o~ :

dNo(t) X(v, t ) : L ~ x ( J l dN( , )Z( j , t). j=v \ v /

Nous d~duisons la relation suivante, entre le processus des arrivres offertes et celui des arrivres servies :

(6) dNo(t) X(v, t) = dN(t) [X(v, t) - - (L) x(L, t)].

2.4.2. Dans le pav6 616mentaire de l'intrgrale (3)

f i g ( u , , t) dNo(ut), i = l

les 6poques d'arrivres servies ul ne sont pas ordonnres et sont indiscernables. Au lieu de se borner ~t 6crire que la communication commenqant ~t l'6poque u~ dure encore ~t l 'rpoque t, nous pouvons 6crire aussi qWelle dure encore ~t l 'instant 0 (0 > t). Nous drfinis-

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sons ainsi, au lieu de (3), l 'expression suivante :

I' (7) X(v, t ; 0) = ~.v R(u, , 0) dNo(u,).

i = 1 0

Pour dcrire maintenant l 'analogue de la relation (6), remarquons que le cas j = L correspond au faisceau encombrd o~ v communications ddtermin6es durent encore 5- l ' instant 0 (> t), les autres existant encore 5- l ' instant t. Nous avons dans ce cas, d'apr6s (7) :

~-~.V ~= t ~ R ( u i ' •

f I~ R(u s , t) dNo(us) j = V + I 0

= X ( v , t ;O) X ( L - - v , t ; t ) .

La relation (6) devient maintenant :

dNo(t) X(v, t ; 0) (8)

= dN(t) X(v, t ;0 ) [ 1 - - X ( L - - v, t ; t)].

Cette relation stochastique nous permettra, au paragraphe 4, d'6crire ais6ment la combinaison de processus g6n6raux de d6bordement.

3. CAS DE DURI~ES DE C O M M U N I C A T I O N S E X P O N E N T I E L L E S

Dans ce paragraphe, consacr6 5. l '6tude du groupe de faisceaux it 2 niveaux (Fig. 1), nous ne considdrons que Ie cas markovien, correspondant 5- (notation de l 'hypoth~se b) :

F ( t ) = 1 - - e - L

Par g6ndralisation de la relation (5), et en rappelant les notations du paragraphe 2.3.1., nous utilisons les moments bin6miaux :

(9) S([xx , ~t 2 ; v ; t )

= Z P ( j a , Ju ; X ; t ) j l = ~ l ~/'l j l = [~2 ~2 X='~

ImP) (:) - - [s ['L2 " 71;([s ' [s , V , t).

Nous considdrons donc simultan6ment, 5- l ' instant t, [z~ et [J. 2 circuits d~terminds occup6s respectivement dans les faisceaux de premier choix n ~ 1 et 2, et v circuits de ddbordement ddterminOs occup6s.

La probabilit6 d'arriver de cet 6vdnement vaut done : n( tz l , ~t2; v ; t).

3 .1 . E q n a t i o n s d '6 ta t s .

Nous allons utiliser la m6thode des 6quations de Kolmogorov 5- l '6tat (~q , ~t2 ; v). Comme il s'agit

de circuits ddterminds, il n 'y a que des naissances. Les fins de communicat ion sur des circuits autres que les circuits considdrds importent peu. Par exemple, il ne peut y avoir de transition (~tl + 1 ~ ~q).

A l ' instant (t + dt), la probabilitd de l '6tat ( [ J ' l , [ s ~/) vaut :

T~([J'I , [s ; "4 ; t + dt) ~ 7:(~x , ~t2 ; v ; t) +

7:'(~1 , ix2 ; v ; t ) dt .

Cet 6tat peut provenir du m~me 6tat 5- l ' instant t, s'il n 'y a pas eu de fin de communication sur les circuits considdr6s. Probabilit6 :

7:(~z~, [z 2 ; v ; t) [1 - - (fZl + [z2 + v) dt].

Cet dtat peut, au contraire, provenir de l '6tat ([3, x - - l , ['/'2 ; V) 5- l ' instant t, et il se produit une arrivde sur les circuits consid6r6s dans le faisceau de premier choix n ~ I. La probabilit6 conditionnelle d'arriv6e sur ce faisceau vaut : at dt. Sur un circuit d6termin6 libre parmi ceux consid6r6s, elle vaut :

al dt

m 1 - - ([3,1 - - 1) "

Sur un circuit quelconque de l 'ensemble des circuits consid6rds, etle vaut :

rnl - - (~t - - 1) at dt.

La probabilit6 globale de cette naissance vaut finalement, en appliquant la relation (6) :

m l - - ( E z l - - 1 ) a l d t •

[ x ( ~ l - - 1 ' ~2 ; v ; / ) - - ( ml~l-I ) x(mt ' ~2 " v " t)] " '

L 'dtat consid6r6 peut aussi provenir de l 'dtat ( m 1 , ~L 2 ; V - - 1) 5- l ' instant t, et il se produit une arrivde sur tes ~ circuits de d6bordement considdrds, cette arriv6e provenant du premier faisceau de premier choix encombr6. Une raisonnement analogue nous donne la probabilit6 globale de naissance correspondant :

1 7 - - ( v - - 1 ) al dt •

[ r~(ml, ~tl ; v - - 1 ; t) - - ( n ) T z ( m t ~ 2 ; n ' t ) ]

Tenons compte des naissances analogues provenant du deuxi~me courant de trafic pour 6crire les 6quations de Kolmogorov, et multiplions les deux membres des 6quations par :

(Otto:) (ix m : ) ( : ) "

L'expression (9) nous permet finalement d'dcrire les 6quations suivantes, relatives aux moments

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bin6miaux :

(10) S'(~q,~z2 ; v ; t ) =

- - ( ~ 1 "21- ["/'2 -~- V) S ( ~ l , ~'1"2 ; V ; t)

~tz--1 S ( ~ l , r n 2 ; v ; t

~i = 0, 1 . . . . , ml ;

avec : ~z = O, 1 . . . . . rn2 ;

v --= 0, 1, ..., n.

Le dernier crochet s 'annule pour v = 0, et nous avons la condit ion de normalisation :

(11) S(O, 0 ; 0 ; t) = 1,

en plus des conditions initiales ~t fixer. Nous laissons le soin au lecteur de r6soudre ce syst6me d'6quations. La m6thode prdsent6e au paragraphe 4 sera plus rapide et plus gdn6rale. Mais nous allons consid6rer un cas tr~s particulier, pour tirer des premieres conclusions importantes.

3.2. Combinaison d'un trafic direct et d'tm trafic de d6bordement.

Nous avons done ml > 0 et m 2 = 0 (cas du trafic direct), et nous nous limiterons au cas stationnaire, avec n = 1. Les conclusions que nous en tirerons seront aussi valables pour n > 1.

Dans l '6quation gdndrale (10), la fonction S s'6crit maintenant S(~q ; v), et le dernier crochet de cette dquation devient :

az[S(~tx ; 0) - - S ( ~ ; I)1.

Nous allons faire passer ce dernier terme a2 S(~tl ; i) dans le premier membre de la nouvelle dquation gdndrale qui devient, en annulant le terme S' (~t cause de la stationnaritd) :

(12) (~xl + 1 + a2) S(~L1 ; 1) - - a~ ]S(~h - - 1 ; 1) - -

( ml[z 1 - - 1) S(ml " 1)] --~ H([zl)'

avec :

(13) (ml)

H([Zl) = ~l al[S(ml ; 0) - - S(ml ; 1)] -t-

az S(~zl ; 0). Nous distinguerons maintenant les deux courants

de trafic dans l 'unique circuit de d6bordement, en posant :

(14) S(Vh ; 1) = Sx(~h ; 1) + S2(~a ; 1),

ofa S~(~tl ; 1) correspond ~t l 'occupation du circuit de d6bordement par le courant de trafic n ~ i ( i = 1 , 2).

Nous allons montrer que l '6quation (12) peut se morceler en deux dquations partielles, correspondant au morcellement du 2 ~ membre (13).

a) Equat ion en S2(~x ; 1) ( traf ic direct) .

L'6quat ion se d6duit de (12) ~ l 'aide des substitutions :

I S(~i ; 1 ) ~ S 2 ( ~ 1 ;1) ,

H(Ki) --> H2(~l) = a2 S(~q ;0).

Elle peut s'6crire sous la forme :

(15) A(~h) + B(Vq) = 0,

avec :

A(~I) = (1 + a2) S2(~tl ; 1) - - a 2 S(~ 1 ; 0),

B ( ~ ) = ~ $ 2 ( ~ ; 1) - -

ax [S2(~x~ - - 1 " 1) ( ma ) ] ' ~t 1 - - 1 S2(m 1 ; 1) .

Notons que l '6quation

B([z~) = 0

est, en fair, celle rdgissant la distribution du premier trafic dans le faisceau de premier choix. Elle a pour solution :

al a] ' l -m

a~ 1 1 + ~ + . . . + ( m l - - ~ t l ) l S l ( ~ l ) - ~L 1 ! a I a'~__~ '

1 + ~ ! + ' " + m i !

et correspond aux moments bin6miaux de la distribution d 'Erlang :

a{ ' l j l ! Pi(Jl) = al a~__~

1 + ~ . t + ' " + m i !

La solution g6n6rale est donc :

S2(?h ; 1) = K sl(~z~).

Notons que sx(0) ---- 1, et posons : $2(0 ; 1) = $ 2 ( 1 ) .

Nous pouvons finalement 6crire :

82(~s 1 ; 1) = $1(~1 ) $2(1).

Portons cette expression dans l 'dquation :

A(V.O = 0

et notons que : S(~l ; 0) --= s1(~3,1). Nous pouvons alors diviser le premier membre de cette dquation par s~(~q). Elle devient :

(1 + a2) $2 (1 ) - - a2 = 0, d 'o~ :

a2 s ~ 0 ) --- P~(1) = 1 + a~

Une solution de (15) est finalement la distribution :

P2(j~ ; 1) ---- pt(j~) P2(1).

ANN. T~L~COMMUN., 39, n ~ 3-4, 1984 6/13

P. LE GALL. -- RESEAUX TELEPHONIQUES HIERARCHISI~$ 135

La solution devant ~tre unique, c'est la solution cherchde pour (15). Nous avons en outre pour cette distribution, dans le cas d'absence de communication de d6bordement :

P2(J~ ; O) ---- P2(J, ; . ) - - P2(J, ; 1),

= P,(Jt) [1 - - P2(1)],

---- p~(jt) a2(0).

En d6finitive, la solution de (15) peut s'6crire, pour k = O o u l :

(16) P2(Jl ; k) = p~(j~) P2(k).

C'est le produit de deux termes : P2(~) correspond ~t la distribution (d'Erlang) du trafie direct suppos~ seul, et p~(j~) correspond fi la distribution du premier courant de trafic dans le faisceau de premier choix ind6pendamment de savoir l'6tat du circuit de d6borde- ment.

Autrement dit, la distribution du trafic direct n'est pas perturbde et est ind6pendante de l'existence du premier courant de trafic (s'il ne d6borde pas).

b) Equation en $1(~1 ; 1)[trafic de d~bordement].

L'6quation se d6duit de (12) ~t l'aide des substitutions �9

i S ( ~ ; 1) -+ S~(~ ; 1) ; (17) H(~q) --> Hx(BI) =

a~ [S(m~ ; 0 ) - - S(m~ ; 1)].

Par analogie avec (16), essayons une solution de la forme :

P~(j~ ; ~) = p*(j t ; ~) P2(0),

puisque nous sommes dans le cas d'absence de communication relative au trafic direct.

En prenant les moments bin6miaux, nous posons d o n c :

(18) S t ( ~ ; 1) = s*(~q ; 1) P2(0).

P2(0) est en facteur dans le premier membre des 6quations d6duites de (17). Ecrivons le second membre �9

/ml\ H~([z,) = \~.~ fl a~ [S(m,, 0)- -S2(m I ; 1 ) - Sl(m I ;1)],

compte tenu de (14). La quantitd :

S(m~ ; 0) - - S~(m, ; 1),

correspond au cas off il n'y a pas de communication du trafic direct, inddpendamment de savoir s'il existe une communication de ddbordement du premier courant de trafic. Nous pouvons donc dcrire, compte tenu de (18) :

S(m~ ; 0 ) - S2(m , ;1)

= p*(ml ; . ) P2(O) = s*(mz ; 0). P2(O),

d'ofi :

H~(~.) = ~t a~[s*(m~ ; 0) - - s*(m~ ; 1)] P~(0).

P:(0) est en facteur aussi dans le second membre des dquations relatives aux substitutions (17). Divisons les deux mernbres par P2(0). La quantit6 s*(tz 1 ; 1) est finalement solution des dquations suivantes (~L 1 = 0 , 1 . . . . . ml) :

(~q + 1 + a2) s*(~q ; 1)

~ ~

Exl

Ces dquations ne sont autres que celles d 'un seul trafic de ddbordement, suppos6 seul avec son faisceau de premier choix et son unique circuit de d6bordement. II y a toutefois, dans le premier membre, la prdsence du terme suppldmentaire :

a 2 S * ( ~ , 1),

qui va perturber profonddment la loi de distribution de ce premier courant de trafic. Nous trouvons, pour solution, l'expression suivante :

(19) a~l+ 1

s*(Ez~ ; 1 ) = E,,l(a0 ~ , + , •

I I (az + i) i = 0

G(m, , 0 ; a, , a2) G(m~ + 1, ~t 1 -I- 1 ; a l , a2) G(ml + l, 0 ; aa, a2)

G ( m l , ~ l + 1 ; a l , a 2 ) ] �9

off Eml(aa) est la formule de perte d'Erlang, et off nous avons pos6 :

X

m I ( m ) I-[ (a2 + i) (20) G(m,,~z, ;a~,a2)---- Y, ~ '=~

Nous avons finalement construit une solution ~t l'aide de (14), (16), (18) et (19), laquelle v6rifie les 6quations (12). Comme la solution ne peut ~tre qu'unique, c'est la solution cherchde, et nous justifions ainsi le morcellement effectu6 en 6quations partielles.

Nous en d6duisons, en particulier, l'expression de la probabilitO de bloeage globale du premier courant de trafic -

p(m~ ; 1 ) = ( a l - ~ a 2 ) E,.l(a,) +

(21) ( l ~ a 2 ) G ( m l , O ; a ~ , a 2 ) 1 E' l(al) G(m~ + 1, 0 ; a~ , a2) "

Le premier terme correspond au cas off l 'unique circuit de ddbordement est pris par le trafic direct, et le second terme correspond au cas off il est pris par le premier courant de trafic consid6r6.

En r6sum6, quand le trafie de d~bordement s'~eoule dans le circuit de dObordement, sa loi de distribution s*(~l ; I) est profond~ment perturbOe, si l'on veut considOrer ce courant de trafic ind~pendamment du trafic direct (relatif ?t l'autre courant de trafic). Tout

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136 P. LE.GALL. - RESEAUX TELI~PHONIQUES HIERARCHISES

se passe comme si la dur6e moyenne des communications variait avec le nombre de communications en cours.

Ce r6sultat num6rique fut obtenu jadis par C. Palm [5] h l'aide de la m6thode des d6terminants (*). Mais il est 6tonnant que, depuis pr6s de 50 ans, aucune remarque ne semble avoir encore 6t6 faite sur les cons6quences probabilistes de ce r6sultat.

On peut 6tendre les calculs au cas g6n6ral (mx > 0, m2 > 0, n > 1), mais ils deviennent rapidement tr~s compliqu6s.

3.3. Consequence sur le concept de source de trafic.

La pr6sence, dans le premier membre de l'6quation, du terme a2 s*(~q ; 1) signifie que l'6tat (Ez~ ; l) ne peut se prolonger que s'il ne se produit pas d'appels offerts directs (qui ne peuvent &re servis dans ce cas). Ce fait peut paraitre curieux. De fa~on g6n6rale on trouve, dans la combinaison des trafics de d6borde- ment sur un m~me circuit de d6bordement, le r6sultat suivant. Si ce circuit est occup6 par le trafic de d6bor- dement n ~ i, il ne doit pas se produire d'appel offert dans le courant de trafic j ( ~ i) si le faisceau de premier choix concern6 (n ~ j ) est encombr~.

Autrement dit, si une source de trafic occupe ce circuit, les lois de combinaison des trafics sont telles que les autres sources de trafic ne produisent alors pas d'appel, si le r~seau est en mesure d'acheminer cet appel vers ce circuit.

A l'aide de la m6thode des int6grales stochastiques, expos~e darts [9], nous pourrions ~tendre cette pro- pri6t6 aux cas de trafic les plus g6n6raux. Le concept de source de trafic est pourtant couramment utilis6 pour ~tudier commod6ment une partie du r6seau, suppos6e isol6e du reste du r6seau g6n6ral.

Mais, c'est une erreur que d 'admettre l'ind~pendance entre ces sources de trafic artificielles, sans modification des rdpartitions des durOes de communication.

En conclusion, il n 'apparaR pas commode d'essayer d'6tudier s6par6ment les divers courants de trafic du r6seau. Nous allons donc les 6tudier globalement, sans les distinguer.

4. CAS DE DISTRIBUTIONS DE DURl~ES DE COMMUNICATION ARBITRAIRES

Nous supposerons maintenant que la fonction de r6partition F(t) des dur6es de communication est arbitraire. Le syst6me n'est plus markovien et nous utiliserons la m~thode des int6grales stochastiques,

(*) A noter que C. Palm publia son article en langue franCaise.

ANN. T~L~COMMUN., 39, n ~ 3-4 1984

valable pour des processus d'arriv6es (isol6es) quelconques.

Nous avons maintenant le cas g6n6ral :

m l > ~ l , m 2 > ~ l , n > ~ l (x ----- 2).

En particulier, nous avons 6ventuellement plusieurs circuits de d6bordement.

4.1. Influence des probabilit~s de passage.

4.1.1. Equation du faisceau de d6bordement.

Supposons, pour l'instant, le faisceau de d6borde- ment de n circuits isol6 et recevant un processus d'arriv6es (isol6es) quelconque dN(t). Rappelons la fonction al6atoire (7) :

(22) x ( , , , t ; 0) = ~ , 0 ) dNo(u , ) ,

avec : v = 1, 2 . . . . . n, et X(0, t) ~ 1.

Rappelons que dNo(t) est le processus d'arriv~es servies. Consid6rons, parmi les instants u~ du pay6 616mentaire, l 'instant u le plus tardif. L'expression pr6c6dente peut alors s'6crire :

i' (23) X(v, t ; 0) = R(u, 0) dNo(u)X(v - - 1, u ; 0), do

en utilisant la notation (7). La relation (8) nous permet d'6crire finalement :

I' (24) X(,;, t ; 0) = R(u, 0) [dN(u) X(~ - - 1, u ; 0)] •

,dO [1 - - X ( n - - ~ + 1, u ; u ) ] .

Multiplions les deux membres par dN(t). Nous trouvons le syst~me d'6quations int6grales stochastiques (pour "~ = 0, 1 . . . . . n) d6finissant les fonetions al6a- toires [dN(t) X(v, t ; 0)] :

S' dN(t) X(v, t ; 0) = dN(t) R(u, 0) •

o (25) [dN(u) X(,; - - 1, u ; 0)1 •

[dN(u) - - dN(u) X(u - - ~ -t- 1, u ; u)].

Sous l'int6grale, nous nous sommes permis de faire la substitution :

(26) dN(u) ~ dN(u) dN(u),

puisque dN(u) ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1.

Ainsi, les 6quations (25) se r6f~rent aux instants d'arriv6es offertes, lesquels ne sont pas ordonnds dans le temps. Ils sont indiscernables. Caract6risons maintenant le processus (non ordonn6) des instants de d6bordement, offert au faisceau de 2 e choix (pour x = 2).

D6signons par g~ un 6tat d'occupation ( J l , J2) des deux faisceaux de premier choix :

t j l = 0 , 1 . . . . . ml ;

j2 = 0, t, ..., m2

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P. LE GALL. -- RI~SEAUX TI~LI~PHONIQUES HIERARCHISI~S 137

Posons, d'apr6s les notations utilis6es en (1) :

(27) Z*(g, ; t) = Z~(j~, t) Z2(j2, t).

Cette fonction ne prend la valeur non nulle ( = 1) que pour l'6tat g~ consid6r6.

D6signons par ~s l'ensemble des 6tats d'encombrement dans l 'un ou l'autre de ces faisceaux :

t j~ = m ~ , j 2 = 0 , 1 . . . . . m2 ; ou : Jl = 0 , 1 . . . . , m t , J2 = m 2 �9

Appelons Z I (~s , t) la fonction al6atoire qui prend, it l 'instant t, la valeur 1 s'il se produit Fun de ces 6tats d'encombrement provoquant le d6bordement, et 0 dans le cas contraire oh il n 'y a pas de d6bordement.

D6signons par dM(t) le processus de l'ensemble des instants d'arriv6e offerte, dN~(t) &ant le processus des arriv6es offertes au i-6me faisceau de premier choix (i = 1, 2). Nous avons :

2

(28) dM(t) = 2~ dN,(t). i = l

Rappelons que nous ne pouvons avoir simultan6- merit : dN~(t) = 1 et dNz(t) ~- 1.

Le processus global des instants quelconques (non discernds) de ddbordement, offert au faisceau de 2 ~ choix, est alors ddfini par la relation stochastique :

(29) m2

dM(t) Za(,~j, t) = dN~(t) ~ Za(nh, t) Z2(j2, t) -}- j2=o

nl 1

dN2(t) Z Zl(Jl , t) Z2(m2, t). J l ~ O

Dans les 6quations (25), nous avons maintenant faire la substitution :

dN(t) > dM(t) Z~(~s, t),

et non la substitution : 2

dN(t) > 2~ dN,(t) Z,(m~, t), i = 1

comme il est g6n6ralement pratiqu6, notamment dans les m6thodes d'ajustement des moments du trafie de d6bordement.

Sur un plan formel, ces deux substitutions, c'est4t- dire ces deux processus offerts sont identiques puisque nous avons les relations stochastiques :

ml

z , ( j , t ) =- 1. j = l

Mais l'expression (29) ins6r6e dans les 6quations (25) signifie que le syst~me est d6fini par les fonctions al6atoires (,~ = 0, 1 . . . . , n) :

t Z~(m~ , t) Zz(j2 , t) X(v, t ; 0), (J2 = 0, 1 ..... m2), Z~(j, , t) Z z ( m z , t) X(v, t ; 0) (j , = 0, 1 ..... m 0.

Autrement dit, chaque processus partiel de ddbordement doit ~tre lid d l'dtat des autres courants de trafic dans les atttres faisceaux de premier choix.

C'est ce point que l 'on oublie g6n6ralement car, dans le faisceau de d6bordement de taille illimit6e,

il importe peu. Mais il importe beaucoup si la taille de ce faisceau est limit6e, ce qui est le cas pratique.

En r6sum6, avec la notation condens6e (29), les 6quations stochastiques du syst~me, aux instants de d6bordement, s'6crit pour 0 = t :

(30) [dM(t) Zl(~s ; t)] X(v ; t)

S , = [dM(t) Z j (~ s ; t)] R(u, t) [dM(u) Zl(~i ; u)] • O

X ( v - - 1, u ; t ) [ 1 - - X ( n - - (v - - 1 ) , u ; u ) ] .

Les consid6rations pr6c6dentes s'6tendent ais6- ment au cas x > 2.

Cas stationnaire.

D'apr~s (29), et dans le cas de stationnarit6, la densit6 des arriv6es d6bordantes, vaut :

(31) • = E(dM(t) Z~(~ s ; t ) } = ~ a, • i = 1

2~ P(Jl ; al , ml) ... p(mi ; ai , mi) ... P(Jx ; ax, mx) J l , . . . , J x

X

= Z at Eni,(a3, f = l

avec les formules d'Erlang �9 a S [ a ani] -1

(32) p ( j ; a , m ) = ~ 1 + ~ + . . . + m ! '

Eni(a) = p(m ; a, m).

Toujours dans le cas de stationnarit6 nous rappel- lerons au paragraphe 4.2. que, dans les faisceaux de premier choix, les dur6es restantes de communications en cours sont sans mdmoire, et de fonction de r6partition �9

(33) [1 - - F(c0l d~. 0

I1 s'ensuit que, pour son 6volution apras l 'instant t, le processus des appels d6bordant [dM(t) Z~(.~gs ; t)] ne d6pend pas de son histoire ant6rieure ~ t.

C'est un processus markovien. D6signons par p(j, t/i, 0 ; a, m) la probabilit6

de transition du faisceau de premier choix (a, m), de l'6tat i /~ l'instant 0, ~ l'6tat j ~ l'instant t. La densitd conditionnelle des arrivdes d6bordant du k-i~me courant de trafic /~ l'instant t, pour l'6tat (j~ . . . . . mk . . . . , .ix), 6tant donn6 qu'un appel a d6bord6 du h-i~me courant de trafic fi l 'instant 0, pour l'6tat (il . . . . . mh . . . . . ix), vaut (ih = mh) : (34)

t po(t ; j l . . . . , m k , . . . , j~/i~ , . . . , m, . . . . . ix) : ak p(j~, t / i l , 0 ; a l , m~) ... p(mk, t/ik, 0 ; ak, ink)...

P(Jx , t/i~ , 0 ; ax , mx).

Nous pouvons 6noncer :

Thdorbme 1.

Dans le cas de stationnarit6, et pour une fonction F(t) arbitraire, le processus global des appels d6bordant dans le faisceau de 2 ~ choix est markovien et est d6fini par les formules (30 et (34).

9/13 ANN. T~L~COMMUN., 39, n ~ 3-4, 1984

138 P. LE GALL. - RESEAUX TELEPHONIQUES HIERARCHISI~S

On peut ainsi calculer l'effet des d6bordements (quelconques) successifs. Pour l'~valuation du trafic refus6 (apr~s d6bordement) pour le i-i~me courant de trafic, il suffit d'6crire que le dernier d6bordement est relatif ~ ce courant de trafic, h l'aide de (34), alors que tous les d6bordements pr6c6dents sont quelconques. On peut alors appliquer la m6thode g6n6rale indiqu6e dans [9] et [10].

4.1.2. Faisceau de d~bordement de r-i~me choix.

On peut g6n6raliser ais6ment dans le cas d 'un faisceau de d6bordement de r-i6me choix, recevant des trafics d6bordant de divers groupes de faisceaux ~t (r - - 1) niveaux. La fonction Z*(8~ ; t) d6finie par (27) sera remplac6e maintenant par la fonction al6a- toire Z,_~(~ ; t) relative ~ l'ensemble des groupes de faisceaux b. (r - - 1) niveaux d6bordant, g~ d6signant un 6tat g6n6ral de ces groupes de faisceaux, et ~ un 6tat d'encombrement entrMnant un d6bordement. Avec une 6criture condens6e analogue h (29), nous retrouvons la relation stochastique (25), ~t condition de faire la substitution :

(35) dN(t) ~ dM(t) Z~_ ~(~, ; t).

Le processus des appels de d6bordement quelconques devient [dM(t) Z~_I(b~j ; t)], mais il ne peut ~tre markovien que si F(t) est la distribution exponentielle.

4.1.3. Conclusion.

Le d6veloppement des calculs nous m6nerait trop loin, mais nous voulons faire ici la remarque suivante.

I1 est plus commode d'dtudier au pr6alable le trafic global de d6bordement, aux instants de d6bor- dement ; m a i s il est alors n6cessaire de tenir compte de l'~volution du sous-r~seau dkbordant, entre deux instants de ddbordement successifs et quelconques (sans distinction des courants de trafic). Nous ne consta- tons plus les difficult6s trouv6es au paragraphe 3, mais il est n6cessaire d'introduire les probabilitds de transition, simultan~ment pour tous les faisceaux d~bordant, pour d6crire le processus global des appels d6bordant.

Au paragraphe 3, nous avions essay6 de consid6- r e r u n trafic de d6bordement pris isol6ment : il en r6sultait une profonde perturbation de sa loi stochastique. A la lumi6re des r6sultats du paragraphe 4.1., on peut expliquer ainsi la cause dans le cas fondamen- tal d 'un seul circuit de d6bordement. Quand un courant de trafic occupe ce circuit de d6bordement, il y a lieu d'exprimer l'6volution simultan6e des autres faisceaux susceptibles de d6border, de faqon ~t 6crire l'6tat de saturation de l 'un de ces autres faisceaux seulement apr6s la fin de la communication de d6bordement en cours, &ant donn6 que cet autre faisceau avait 6t6 encombr6 avant cette communication en cours (les saturations 6ventuelles, pendant la dur6e de cette communication, importent peu).

En d6finitive, on introduit une d6pendance des autres sources de trafic de d6bordement.

Les m6thodes habituelles d'ajustement, par les moments, des divers trafics de d6bordement n6gligent totalement ce ph6nom6ne.

Par contre, le principe d 'un faisceau 6quivalent, consid6r6 dans la m6thode de Wilkinson, semble un bon principe puisqu'il correspond /t la d6finition du trafic global de d6bordement, sans isoler les trafics partiels. Cette m6thode, toutefois, ne permet pas d'exprimer s6par6ment les trafics refus6s partiels.

En ce qui concerne les principes g6n6raux et d'apr6s la relation (25), nous noterons, en outre, que le trafic de d6bordement d6pend de la forme de la distribution F(t) pour les dur6es des communications. Dans [8], nous avions pens6 l'inverse ~t l'aide du concept de trafic pseudo-poissonnien. I1 nous est donc ndcessaire d'examiner d 'un peu plus pr6s ce type de trafic.

4.2. Les trafics pseudo-poissonniens .

4.2.1. Nature de ces trafics.

Nous avons pr6sent6 le concept de trafic pseudo- poissonnien dans [7], puis au 8 e Congr6s de t616- trafic [8]. Sa propri6t6 fondamentale, en r6gime stationnaire, est l'absence de mdmoire de la fonction de r6partition des durOes aldatoires restantes des communications, dont l'expression est donn6e par (33).

Si l 'on consid6re un faisceau de circuits de taille infinie, o~a dNo(t) ~ dN(t), le pav6 616mentaire de l'int6grale (3) utilise maintenant la relation stochastique suivante, caract6ristique d 'un processus pseudo- poissonnien :

(36) ]-I dN(u,) = K('0 I-I dM(u,), i = 1 | = 1

avec : v = 1 ,2 . . . . . L, et : i = 1 ,2 . . . . . L.

dM(t) est un processus poissonnien, de densit6 donn6e. Les dM(u~) sont donc mutuellement ind6- pendants et stationnaires. La variable al6atoire K(v) ne prend que les valeurs 0 ou 1 et son expression est une donn6e.

Du fait de l'expression (3), nous d6duisons que la somme (ou la diff6rence) stochastique de deux trafics pseudo-poissonniens est aussi un trafic pseudo- poissonnien : il en est ainsi de tout trafic de d6bor- dement et de tout courant de trafic 6cou16 dans un r6seau hi6rarchis6, recevant des trafics poissonniens. D'oh l'int6r& de cette classe de trafic, qui suppose toutefois de consid6rer les communications globalement et indistinctement, l'expression (36) ne n6ces- sitant pas d'ordonner les arriv6es, au contraire d'autres cas usuels comme celui des arriv6es r6g6n6ratives.

4.2.2. Cas du trafic pseudo-poissonnien 61~mentaire.

Ce mot ~l~mentaire d6signe le trafic pseudo- poissonnien le plus simple : celui 6cou16 par un

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P. LE G A L L . -- RF.SEAUX TELEPHONIQUES H1ERARCHISI~S 1 3 9

faisceau de L circuits (~t acc6s total), recevant un trafic poissonnien d'intensit6 a. I1 est caract6ris6 par le couple (a, L).

Pour ce trafic, consid6rons l'expression (3) oO dNo(y) = W(y) dN(y), et posons dans le pav6 616- mentaire de cette int6grale (3) :

(37) J(v ; Yl . . . Yv ) : W ( y x ) . . . W(yv), (v : l, 2 ..... Z).

J e s t une fonction al6atoire qui ne prend que les valeurs 0 ou 1. Dans le pav6 616mentaire consid6r6, nous 6crirons donc :

f i dNo(y,) ---- J(v ; Yt ... Y~). f i dN(y,). i = 1 i=1

Pour le syst6me suppos6 vide d l'origine, nous en avons pos6 les 6quations stochastiques dans [6], pour Yl < Y2 < --- < Y~ (v = 1, 2 . . . . , L) :

(38)

J(0) = 1, J(v ; Yl, Y2 ..... Yv) = J(v - - 1 ; Yl .-. Yv- 1) - -

H ( L ; y t . . . y ~ _ l ;Y~), pourv = 0,

avec :

(39) H(L ; yt ... Yv-~ ;Y~)

: R(u~, y~) dN(u0 ... [ L - - (v - -1) ] ! o

l yv R(ur., J(L ; yx ... y~_ ~ ; u~ . . . . . UL). Yv) dN(uL) 0

Autrement dit, ~ l'6poque d'arriv6e y~ d 'un appel, J ne change pas de valeur, sauf s'il y a d6j~t encombrement, auquel cas J s'annule. Nous en avons fait l'6tude dans [7] et [9].

Dans le cas stationnaire, quand y~ croit ind6fini- ment, nous trouvons une solution J(v) ind6pendante des instants y~, d6buts des communications en cours, d'ofi l'expression (36) des trafics pseudo-poissonniens.

Dans [9], nous avons 6tudi6 le cas transitoire en introduisant la fonction al6atoire ZL(k, t), 6gale ~t 1 ~t l 'instant t, si le nombre de communications est 6gal ~t k ~t cet instant (et ~ 0 dans le cas contraire).

Si l 'on ne tient pas compte de la condition de normalisation J(0) = 1, la solution g6n6rale peut s'6crire :

(40) Zz(k, t/O, u) G(u) du, 0

off l'6poque u peut correspondre h la premi6re fois off le syst6me redevient vide. Dans [9], nous avons explicit6 cette solution.

4.3. La eombinaison des trafics pseudo-poissonniens.

4.3.1. Cas transitoire.

Nous avons x trafics pseudo-poissonniens partiels. Celui de n ~ i correspond ~t un processus offert poissonnien dN~(t) et d'intensit6 a~, subissant divers cas de blocage, caract6ris6s non seulement par l'encom-

brement des ln~ circuits connect6s h ce trafic, mais aussi par l'occupation d'autres circuits due ~ d'autres trafics partiels. Soit I~ le nombre total de communications en cours dans le trafic global (1~ ~> m~). D6si- gnons par Y~(t/lt) la fonction al6atoire qui prend la valeur 1 dans ce cas de blocage, et 0 autrement. Posons :

(41) dN(t) = ~ dN,(t), a : ~ a, : E(dN(t)). i = I i = 1

Dans l'6quation (38), H(L, y~) doit tenir compte de tousles cas de blocage, et nous devons 6crire ~ la place :

Z Z H,(I, , y j). l II

Si Z(k, t) prend la valeur 1 quand il y a k communications en cours, ~ l'instant t, dans le trafic global (et 0 autrement), l'expression (40) nous donne finalement la solution non normalis6e :

!toZt,( k, (42) Z(k, t) = E Y, t - - u/O) G,(u/l,)du, l Ii

off l 'on ne consid6re que les couples (i, 13 tels que 1~ >~ k. G~(u[13 se d6termine ~t l'aide de la relation stochastique suivante, relative au cas de blocage (i, l~) :

(43)

dN~(t) Y~(t/l~) = dN(t) Zt,(It, t - - u/O) G,(u/l~) du. 0

Elle exprime, de deux fa~ons, le refus subi par l'appel du trafic n ~ i. Nous pouvons 6noncer.

Th~orbme 2 (cas transitoire).

Le trafic pseudo-poissonnien global peut ~tre consid6r6 comme la somme stochastique de trafics pseudo-poissonniens (l~mentaires, de couples (a, 13, suivant la relation (42), compte tenu de (43).

Appliquons ~ (42) et (43), l'op6rateur esp6rance math6matique, puis la transform6e de Laplace, avec les notations :

t E(Z(k, t)} ---- P(k, t) --> 9~(k, z), (44) E(Y,(t/l,)) P~(t]lt) --> c~(z lt),

E{Z,,(k, t/0)} = q/,(k, t/O) ---> Qt,(k, z).

Nous d6duisons :

Corollaire.

Dans les conditions du th6or6me 2, nous avons la relation :

~i(z/l~) (45) 0"(k, z) = ~. -~ Y, ,, Q,,(l~, z) Qt,(k, z),

off les couples (i, l~) correspondent h : l~ >~ k.

4.3.2. Cas stationnaire.

Dans Ie cas stationnaire, t croissant ind6finiment, G~(u/13 devient ind6pendant de u. Nous d6duisons, avec les donn6es pr6c6dentes :

11/13 ANN. TELECOMMUN., 39, n o 3-4, 1984

1 4 0 v . LE G A L L . - RI~SEALIX TELt~PHONIQUES HIERARCHISI~S

Thdorbme 3 (cas stationnaire).

Le trafic pseudo-poissonnien global pr6c6dent est tel que :

(46) Z(k) = ~] ~ KI(I,) Zl,(k), i If

oh Z~(k) correspond au trafic 616mentaire de couple (a, 1l), et oh la fonction al6atoire K~(Ii) qui prend seulement la valeur 1 dans le cas (i, I~), et 0 autrement, est telle que :

a1 Pi(1i) (47) E(KI(ll)} = a Et,(a)"

Rappelons que El~(a) est la formule de perte d'Er- lang. Nous d6duisons le corollaire :

Corollaire.

Dans les conditions du th6or6me 3, nous avons la relation :

a ~

Pi(li) a2 k (48) P(k) = ~ X a at~ '

�9 a i, El,(a) 1 + ~.I + "'" + Ii !

oh l 'on ne consid~re que les couples (i, li) tels que

La condition de normalisation donne en outre :

(49) X if(k, z) = _1, X P(k) = 1. k Z k

4.3.3. Conclusion.

Tout ce paragraphe 4.3. sur les trafics pseudo- poissonniens, est valable pour une fonction de r6par- tition F(t) arbitraire des dur6es de communication. F(t) n'apparait pas dans les formules pr6c6dentes (46) et (48). Elle influence toutefois les probabilit6s de blocage Pi(li)-

En d6finitive, dans [8], nous avions commis l'erreur suivante. Le trafic de d6bordement global est constitu6 par la diff6rence stochastique de trafics pseudo- poissonniens.

I1 est donc bien pseudo-poissonnien, h la condition de le considdrer globalement avec les trafics d~bordants, et non tout seul, pris isol6ment, car il ne faut pas distinguer les communications directes des d6bordantes, h cause de l'expression (36).

Le th6or6me 2 nous montre alors que ce trafic global (direct + d6bordement) peut &re consid6r6 comme la somme al6atoire de trafics pseudo-poissonniens 616mentaires, oh la fonction F(t) s'introduit dans les coefficients de pond6ration, eux-m~mes fonctions directes des probabilit6s globales de blocage.

Ces trafics pseudo-poissonniens 616mentaires font penser au faisceau 6quivalent de R . I . Wilkinson. Mais maintenant, il en apparaR un certain nombre, fonction du param6tre 1i dans l'expression (48).

Pour concr&iser, consid6rons le cas d 'un r6seau hi6rarchis6 tt deux niveaux.

4.4. Cas d'un r~seau hi~rarehis~ h deux niveaux.

Rappelons les donn6es du paragraphe 2 et la figure 1, en supposant x faisceaux de premier choix mutuellement ind6pendants, F(t) &ant arbitraire.

Un &at d'encombrement ~ correspond /t l '&at (Jl , J2 . . . . . m1 . . . . . ix) des nombres de communications en cours dans les divers faisceaux de premier choix, h l'instant t, le i-i6me faisceau &ant encom- br6. Le nombre total de communications en cours (direct + d6bordement), vaut dans ce cas de blocage :

(50) li,s = ( j l + J2 + . . . + m~ + ... + Jx) + n.

(48) nous donne finalement pour la probabilit~ de trouver k communications en cours dans tout ce r~seau dt deux niveaux, et en r6gime stationnaire :

L al P(Jl ... m1 ... Jx ;n) (51) P(k)

t a o~ ~ El,,j(a) • a ~

k~ a a IGj

1 + ~ . + ' " §

Rappelons que a = ~ as est le trafic global offert l = 1

h l'ensemble de ce r6seau h deux niveaux. I1 apparait qu'il est aussi offert aux faisceaux ~16mentaires de tailles li,j /~ la difference du faisceau 6quivalent de R. I. Wilkinson.

Quant h la fonction F(t) des dur~es de communication, elle n 'a d'influence que dans les termes P(J1 ..- m1 ... jx ; n) qui sont justement les probabilitds globales de blocage.

La condition de normalisation (49) nous donne enfin la relation :

(52) ~ a~ ~ p(Jl ... m1 ...j~ ;n) = 1. i=1 a dsj Et,,j(a)

C'est la relation donn6e jadis par N. I. Bech [1]. Nous pourrions aussi bien 6tendre les formules pr6- c6dentes aux cas de r6seaux tt plus de deux niveaux.

5. CONCLUSION

Nous n'avons pr6sent6 que des consid6rations th6oriques, et non une analyse num6rique. En fait, nous voulions attirer l 'attention sur la conception erron6e de << sources de trafic artificielles >>, suppos6es mutuellement ind6pendantes. I1 s'ensuit la m6thode habituelle d'ajustement des moments des trafics de d6bordement, qui pourtant donne souvent de bons rdsultats num6riques concernant le trafic de d6bor- dement global.

Mais il est pr6f6rable d'&re beaucoup plus prudent concernant l'6valuation des pertes individuelles,

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P. LE GALL. - RI~SEAUX TISLI~PHONIQUES HII~RARCHISI~S 141

propres h chaque couran t de trafic, c'est-~t-dire concernant l ' 6va lua t ion des probabilit& de blocage de bout en bout.

Pour cette derni~re 6valuat ion, il a p p a r a i t qu ' i l y a lieu de tenir compte simultandment des probabilit& de transition des divers sous-r~seaux ddbordants, entre deux d6bordements quelconques, successifs (sans dis- t inct ion des courants de trafic). L '6 tude reste/~ faire. Elle est cer ta inement tr6s utile, en vue de la planifi- ca t ion des r6seaux hi6rarchis6s.

I1 appara l t , d 'a i l leurs , la n6cessit6 de consid6rer s imul tan6ment t o u s l e s faisceaux, au lieu d ' essayer

de res t re indre l '6 tude h un seul couran t de trafic (direct q- d6bordement) .

On peut penser que l '6 tude est encore beaucoup plus complexe dans le cas de r6seaux non hi6rar- chis6s. Nous voulons consei l ler la p rudence au sujet de m6thodes de calcul simplifi6es, bas6es sur de faux concepts , m~me si les r6sultats num6riques semblent excellents sur un cer ta in nombre d 'exemples . I1 y a lieu, au prdalable, de bien comprendre la no t ion de trafic et les propr i&6s des combina i sons des trafics.

Manuscrit refu le 24 mai 1983, acceptd le 25 janvier 1984.

B I B L I O G R A P H I E

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Documents

Dimensionnement de bout en bout des réseaux téléphoniques hiérarchisés et combinaison des trafics